Cursus quattuor mathematicarum artium liberalium

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Et forte hxc argumeta etia procede tfocoidis re putant contra primam opinione? ponentcnivnitates naturales cfTc accidentia cor oim. poraliaaddluifioncmfubieftidiuifibilia.Nos vero alias hanc difputationcm exani* mandamrelinqnentestnuncdicimus flue alicuius dofloris prxiudicio ("quia cos oni nes pro certo &veneramur &admiramur)arithnieticani noftram eque bene cflcin tclligibilem cuilibet prxdiflarum opinionum.Nam fecundum vnamquamq? earum vere faluari pofluntarithmcticx diffinitiones diuifiones principia &concluilones. Siucenim vnitas fit res fpiritualis flue corporalis: fine fubftantia fiue accidens :ratio ne indiuiflbili fiue indiuifibilitate cognotantc explicatur &fignifleatur abarithmec ticorita vt negatio importata in ratione vnitatis non refferatur ad rem fignificatam: fed ad modum fignificandi vocabuli fignificantis.eodem modo diceretur dcquolirf bet alio arithmetico principio aut principiato.Hic nofler modusficut cilvaldc facilis •8Uiberali.Timus:ficoIbuspdiftisopinionib?eritc6munia &coucnieti(Tinius. l^etri Cfruelt iBarocenftG.lfbara phrafis in arithmeticam fpeculatiuam diui Seuerini|Boetii:clari? &certius edita quamolim athoma Brauardino: Cui tale premittitur exordium. omnibusfcientfis antiqui rapientes fep^ tcmfpccialiterdifcrcucruntin ftudis fiiisfad. opus erudiendorum: Hugo dc fanfto viflore auflor eft in fuo didafcalion:qui cfi: de origis ne artium &fcientiarum :in quibus tantamvtilitatem cflc pre extes ris omnibus pcrfpcxcrimtrvt quifquts harii difciplinam firmiter per !lcepifict:ad aliarum notitiam poilea inquirendo magis &. exercendo BtuUbera '^lIam auc*icndo pcrucniret.Sunt enim quafi optima quxdam inftrumenta quib?vfa Hum com Paratur animo ad plenam philofophix mtelligentiam.Hinctriuium &quadriuium mendatio .nomina acceperuntrcoq’ his quafi qufbufdam viis animusviuaxad fecrcta fapientix introcat.Nemo etiam tunctemporis magiftri nomine dignus videbatur:qui no has feptem fcientias profiteri poflct.Pictagoras quoqs hac in fcholis fuis confuctudinem fcruafTc lcgitur:vtvfq; ad fcptcnnium(Teciindum numerum fcilicct feptem artium libcralitim^nulliis difcipulorimi fuortim dchisquxabipfo dicebaturrationem cx^ petcrct:fcd fidem daret verbis magiftrirquoufqjomnia andiwffet. Has itaq; feptem difciplinas illa xfate tanto fludio quidam didifeiffe leguntur :vt plcnxomncs eas in memoria tenerent:adco vt ad quafctmcp quxiliones fibi propofitas. cx harum regiis lis rationes inucnientcs vtdiffinirent omne id de quo ambigerctur:non rcuolucndo folia librorum :fed corde tenus ftatim haberent rcfpofioncs paratas. Qjiarc &nos an tiquorum exempla infcqucntesifcholaflicis noftri temporis £in quo iterum omnes bonxdofhinasrcfipifcuntatqj rcflorcnt^dc hifcc Iibcralibus difciplinfs compendio fani editionem fecundum mcnfnram gratix nobis diuinitiisiconccflx tradere voluit mus .abarithmetica exordin facientes qua in duos libros diuidemus. Liber primus introduflionis arithmcticx dc numeris &proprietatibus numerat libusihabet duos traflatus.Primus agit dcnumero &fpccicbus cius ac proprictatib* numerorum .habet capita fex. Caput primil dc mathematicis doftrinis commuter. K Parsprima de nvmeris ^©ppoftttstgErurfermottotiaKbusDtT «ciplinis :quas tradiderunt copiofiilime viri excellentes frigeo Cilio in hac noftra crnditiiTima ct patria et xtatcuioucllis philo IjTophix tiruculis mathematicas doftrinastradere voljtcsmo* ado dumtaxat introductorio atq? intranfcurfu velut explorato# a|rcs(^vt &ipfi ad maiores nitidiorefq; fapientfi facultates quafi Jperegrini 8i tranfeuntcsnccc Clario Sifacili quoda fumpto viae _|t/co properent} (ola ea qux ad peognir/ones demdftratiotm pertinent: declarabimus.hoceft vocabulorum diffinitiones, diuifiones ab audoriV bus acceptasatq? approbatas: &fingulorum generum ac fpederum proprietates ex# cmplariterfolum declaratas dimiflis alias demoftratiouibus tradere itendinms: ma xime in arithmetica &aftrologia.Nam in aliis tribus mathematicis nonnullas con# (ZPaUjema clufiones aliquantifper dcmoftrabinius. Mathcmaticx itaq? diicfplinx quo pacto qabaHfcTel ne ratione diflinguanturaphifica& methaphtfica fibi condiuifis infexto methaphi* fifogfitur, ficorum ariftotclis:quoetia jmodo mathcmaticxali» ab aliis difeernanturrin primis doceamus:vt earum diffinitiones proprias &fpccialeshinc cliccrc valeamus.Diffini xitariftoteles tria feientiarum fpcculatiuarum gcncra:mathcmaticum:phificn:& me thaphificum:pcrhoc vel maxime q> mathematica: fcientix folas caa rerum naturali umproprietates qux ad diuifibilitatem partium attinent fpeculantur. Phifica vero carumdem rerum naturalium motus altcrationcs &quafcunq;tranfmutati6es theo ricx inquirit.Mcthaphifica autem tranfccndcntibus quibufdam rationibusnon nio do rerum corporalium verum etiam &fupernaturalium entium quiditates naturas gradufq? perfeftionis sbroiutiiTime perucftigat.Hinc ergo fapientes antiqui mathe . maticasfcicntiasrecte diffinierut:effedodrinasdcqiiantitatc:quxpartiom ditufibi t[ce rc ? f C jJ|* Iftatem confignificat.-vtariftotelescxpreftc docctin cathegoriis. quod eorum dictu ciffinftio non ficeftacccipicndummeoiuditio-.vt quantitas fit alicuius fcientix fubicfhmi atri bntionis(nc omnes mathematicas vnam fcicntiajfadamusfub vnaue comprehen^ demus}fcd quia cuiufUbet fcientix mathcmaticx fubicftum atribtitionisfnb quanti tate contineturvtfpccics vel ficutpars in modo in diuifione accidentali. Sed iuxfa duogencra fubalterna quantitatis difcrctum8{continuum: mathcmaticx fcientix bi XPatijema faria diftiguntur.Na de quatitate difereta fcu multitudine aut numero difputat arith ^pecf mctica cfj fibi adiunfta mufica:dc quatitate vero cotimia vel magnitudine agitgeo; metria cum fibi annexis perfpcdiua &aitrologia. Principalium autem mathematica rum &anexaru hic fumi poteft differentia:^ ille rationibus abftraftis acbfignificas tione motus materix determinatx &qualitatfi fenfibiliu de rcb? totius mndi fubtilif fimcdifputat.hxvcro rationibuscocrctis motu materia &qualitateslefibiles denota tlbus dc eifde rebus naturalibus ptraftat.Hacdifferentia egregie notauft ariftotcles in fccudofuoruphificoru libro dices:^mathcmatic? dcphifica linea intendit fcd no inquatfi cft phifica: quia filicct no fub ratioc phifica qcftcocreta: fcd fub ratione mate matica abftraffo a talib? cognotatioib?. &ifexto mcthaphificoru ad ifle ppofitu] dic cit $differt ficutcuruu 8Cfimu:qux duo noia rcin cande fcd diucrfis ratioib? fignifiV cat.Exhac aut differentia fcquitur alia inter cafdc fcientias:g> prlcipalcs fut purx ma thcmaticx:accciToric vero fut parti phlficxct ptim mathematicx:qa rationes &voca bula prlcipaliu mathematicam fut penitus abftrafta notfi abfoluta^ cu fint de pdica metis quatltatis &qualitatis} rationes vero, &noia min? prlcipaliu mathematicam funt concreta &fuper rationes principalium mathematicarum addunt phificas co* gnotationes*. eo modoquologici diciit parte in modo cognotarc fupra fufi totu.qua lia funt:h5 &ho albus: fimiliter curufi &fixnu, Exdidis ergopoffut duoelici notatu 'b PRIMI LIBRI ARITHMETICAE digniffima.Primu eft qin mathematicis feientiis ideo vna carn dicitur alfi fubaltcr nataiquia fubicftum attributionis cius cotinctur fub alterius fubiefto ficut pars imo do:& eonfimilit er extera vocabula illius fubaliis feientix fuperiorisvocabuhsmo au tem ex eo fcientia fnpcriorpoflit demonftratiue probare principia feientix inferi* oris:neqfediuerfo fcientia inferior pofTit aliquid demonlirare cxprincipiis fuperio# ris fcicntix.nam cuiuflibet feientix principia funt immediata 6iindcmonftrabilia.de monftrato etiam fit ex propriis non ex extraneis principiis.Secundii eitq> omnester mini principalium mathematicarumhabent fimplicem 8i vnidi modum cognotan# di fecundum rationcj vnius tantum prxdicam cti ariftotelici:terminf vero mathema ticaruin fnbalternatarum omnesfunt mixtx cognotationis ex rationibus duoru aut plurium prsedicamentorum.vndc nullus eorum poteft ad aliquod ariftotelicum prx XDatbema ™camc,,tum pertinereiqui non pofuit prxdicam enta mixte cognotatois. Sed de his liccfcfmtte a^as opcrofius.Nunc autem fatis fit ex prxdiftis fingularum mathematicarum fden fpcjifieroi tiaram diffinitiones colligere qux fcquuntur»Arithmetica eft fcientia numerorumSC finiuntur fiuirum proprietatum jconfidcratiua per rationes abltraftas. vnde &de multitudine •ritpmtt pcr jcconfiderata fcientia vocata cita Boetio.Dicitur autem arithmetica arithmis.i. Geometria anumeris de quibus con fiderat.'Geometria eft fcientia magnitudinum proportio# num &figurarum aliarumq?proprietatum fuarum contemplatiua .hanc de magni# tudinc immobili feientiam efle dixit idem Boetius:quia per rationes abftraftasa mo tu rerum magnitudines inquirit. Dicitur autem geometria a mctris.i. menfuris rem ZDufica de quibus confidcrat.Mufica eft fcientia de vocibus 5i fonis eorum qj armonia Si con ccntu acexteris proprietatibus fpccu!atina;qua 5de multitudine ad aliud relata inferi pfitBoetiusrquia rationes numerales concretas habetad fonos &voces.Dicituraute muficanion vtaiunt quidam amos quod cftaqua qtiia.f.iinc humore illo qui eft fali# ua cantus Si armonia perfici non poteft: fed potiusamufis qux cancbant:quafi mufa Tlberfpccti' rum fdcntia.Pcrlpeftiun eft fcientia lucis &coloris per radios vifuales (qux dictitor Ud*fpccicsvifum immutantes feu ad ocula venientes ^fccftn rationes geometricas lnqui litiua.Hxcapcrfpicicndo diftarab aliis fpcculatiua nominatur abfpeculis de quibus oftrologfa Pcrtra^nt,Aftr°logia eft fcientia de ccelis&ftcllis eoruq; motibus Si cffeftibus theoa ‘riam faciens, qux &abaftris diftarabaliis aftronomia appcllatur:qiiia eft de norma Si lege motus aftroru.Hanc de magnitudine mobili feientiam dixit boetius: quia ra<* tiones geometricas pariter &arithmeticas motibus ccelorii applicat:ffcut& perfpcfli ua qualitatib? fenfibilib? octiloru.ideo illa fcictia dcmagnitudinc fenfibili dici po# terat aboctio* CaputfecundumUc arithmeticafpcctaltter Si de numero generaliter. isrsBr" 'Jmillie autemquatuoj ulttimsialiastnferen ilislrasl dis:ad primam mathematicarum fcientiarum arithmetica noftrahxc pre IflfifcN 'fens fc conncrtat oratio. qux ideo prima inter mathematicas feientias lljgsttdgc. ordinatur quia aliarum omnium eft fimpliciifima Si abfolutiflima vel ab* 2Mtl?tn*ti ftraftilfimn.Nam fiariftotcli refte docenti in analcflfcorum poftcrioru librofuo pri* ce fcicntlc jnoeredi oportcat;cerrior aliis fcientia Si prior eft illa qux eft ex paucioribus. i. fini* piimatuo p]{cj01.|f) U8 terminis vtcns:alix vero fe habentad illam ex appofitionc.i.addit/one cognotatiois.Arithmetica aut talis eft erga alias mathematicas oes.ua mufica vtitur terminisq extrlfcca Si phiflcalc cognotationc nddiit fitp tcrios arithmeticos, vt tori? fup fexquioftaua ,pportionc;8<di.ipafon fup dupla: &fic de aliis inultis, fimiliter geo PARSPRIMA DE NVMERIS nietria terminos habet fuper arithmeticam cognotantcs^non tamen phificccnm (it pura mathematica^)vt punftuscognotat fupervniratej:triangulus fuper ternarium: fiific de aliis fine mimcro.Si ergo his rationibus arithmetica prior comprobatur geo metria: multo verius prxccdctperfpeftiuam biaftrolog/am quarti; termini fuper ge 2grftfrtnetf ometriam cognotationcs ftiperaddiint.Primumomnium vocabulorum in arithme cefiibiectfi tica &fubicftum attributionis eius cft numerus feu multitudo cuius diffinitio heee eft Pulpale Nuincruscft pltinum vilitatum collcftio aut aggrcgatio.vcl clarius cftplures vilitas <jrf,, ume,.* tcscollcftx Siaggrcgatx.vt binarias:ternarius:qnaternarius &c. Vilitas vero (qux lidrnftaa priuatiuc cognotat fupra numerum ficur pmnfhis fuper magnitudincm^)cft rei per fe difcrctio.i.rcsaltcrinoncollecta vel aggregata :autfaltcm tali ratione coniiderata. Numeri dux funt proprietates quaslordanus in primo fux arithmeticxlibro /fatim mumcrf.p dcinonftrandas proponit.Prima eft .omnis numerus circum fc proxime pofitorum poetares. 2 atqj fimiil iunctorum cft medietas numerorum.vt quinarius medietas cft denarii ex i.^ptlctaa aggregatione quaternarii &fenarii refultantis.cuius proprietati sprobatio clara cft. quia omnis numerus interalios duos proximos mediat quorum alterum fola vnita tc fuperatiab altero vero fola vilitate vincitur: ergo fi cxcdlum maioris addas mino? rirefultabunt tres numeri xquales:quorum duo extremi fimul iiicti dupli funtad me dium.vt patet in exemplo propofitode quinario, nam fi vnitatem qua vincitur afc? nario auferas ab co &quaternario eandem addidcris:fienttrcs quinarii quorum mc? dictas vnus quinarius erit. Et accipitur iprxdicta proprietate numerus large ficut fx piusinarithmetica:adco vtcomprxhcndat vnitatem.cui etiam quodammodo hxcp prictas conncnit.tiam cum ante fc nullum habeat munerum:ipfa cft medietas nunic riimmediate fcqucntis fcilicct binarii- Secunda proprietas numericft. omnis nimics j.ppifcia® rus duorum quorucunqj extrinfccusiaccntium fedabeo xqualiter diftantium ac fis: inul iuiiftorum itidem cft medfctas.cuius probatio clarifiima eadem cft cum prxee? dcnte.nam numerus medius quantuj minorem inpcrat: tantum exceditur amaiore, ergo fi exceflum maioris minori addideris:fienttresmimeri equales quorum duoru vnus erit medietas.Diuiditur autem numerus primo in duo genera fiibalrerna de p? E>ucijp£« dicamento quantitatis: qux funt par &impar.Eft autem par 11 umerus ille qui in duo cqualia nulla relicta vnitate diuidi potcft.Impar vero numerus eft quiin duo equa fic rU0 , diuidi minime poteft. Paris numeri tres funt proprietates quas iordanus in fuo fepti 3mpar nu 1110 nititur dcmonftrare.prima eft.cum numerus parin duo partitur: vtracp pars erit n,cni® ciufdcni fimilifqjdenoniinationis-itacp fi vna carum fuerit numerus par:aliam quo? q’ parem ciTc ncceflc eft:& fi una fuerit impar:& altera. ncqsvmp inhaedmifionepo? tatea ires, terit commifccriiinparitas paritati.vtdciiarius diuiditur primo in duos quinarios. & in feptem &tria.&in noucm &vnum:quxpartes omnes finitimpares.piuiditiir fc? eundo in fex &quatuor.in duo &octo quxpartes omnesfuntparcs.Scctinda pprie? •>PP!lctae tas.fi numerus par altcrii pare multiplicet femp nafeitur inde par.vt ductobinario in quaternaria pducitur octonarius.fimilitcr ducto quaternario in fenarii! pnenietvi? . gcfim? quart?:& fic de aliis.Tertia pprictas.fi nunicr? par 111 ultiplicct iparc fem pIde 5'ppI e90 puenit numerus pnr.vt multiplicato binario ptern arui nafeitur inde fenari? Siducto quinario in feriariu fit numerus trigenarius: &fiede aliis. _Capnt 3.de tinniero pariter pari &fuis accidentibus. *f^)3*utdimraurem numerus par intrcefpcdcs ^Zr er? athomas:hx funt pariter par: pariter impar &impariter par. Pariter qutdttt. cri^=.fr). par numerus cft qui diuiditur in duo cqualia :iterum cius medietas b.ii. PRIMI LIBRIARITHMETICAE fn dtio cqtialia partitur ;fic q> cius partes omnes vfq; ad vnftatem per duo equa dnil ufiQiiem recipiant, vnde patet ratio quare dicatur numerus pariter par.vtoftonari* mdmiditur per duos quaternarios:& illi iterum per binarios:&tandcm binarii per vnitates: &fic de omnibus aliis in quibus diuifio non ccfl'atquoufq3adim partibiles vcniaturvnitatcs.Gencrenanturautcm fiueimieniuntur omnes numeri pariter pa l^arfirrpa res fi ab vnitate incipiendo per duplarioncm continuam in infinitum procedatur.vt ruwpztcta vmis:,duo:tpia ttuor :ofto. 16.5 i.&c. Pariter paris numeri qnatuoriunt proprietates lcP cx[c|>tilmo libro iordani dcmonftrandx. Prima cft. q> omnes eius partes aliquotx et fcmiliter denominationes carum rcfpeftu totius iunt pariter partes.i. noie &quan titatcaliquotadcnominantiiraparitcrparibus.vtoftonariipartcsaliquotx funt.1.2. ,4.q.uanim quaelibet prxtcr vnitatem eft numerus pariter par.fimiliter &denomina tiones carum .nam quaternarius cft medietas oftonarii cuius denominatio fumitur a binario qui eft pariter par.mcdictas enim nihil aliud eft qj fecunda aut bina pars to* tius. item binarius cft quarta pars oftonarii cuius denominatio fit aquaternario pns riter p3ri di fiede aliis omnibus fine exceptione.Dicitur aute5 in numeris pars aliquo ji>fdetae ta numcrus °ll“aliquoticns fumptus &replicatus efficit fuum totum prxcife.hin* ,iufmodi partes liint medietas tcitia quarta quinta &alixfinefinc. Secunda propries tas pariter paris numeri cft.q» omnis numerus pariter par cft: numerus diminutus. Ifrariil pdi Pr0 cuius declaratione fupponitur vna diuifio accidentalis numeri paris quxeftnon •tio iripici. in fpecies:fed fit per partes in modo quae cxtrinfccc cognotant fuper diuiium. Numc rorum enim parium alius cft pcrfcftus:alius fuperfluus :alius diminntus.quonl difs* finitiones ex conftitntionc totius per partcsaliquotasaccipicndx iunt. Dicitur cui* EfecP par numerus perfeftus ille par quem adcqnantprxdfc eumqs conftituunt ftix partes alis quotx fimul iunftx vel ad feipfas additx:talis cft fenarius cuius partes aliquotx vnus Supcrtlu* rrjapj occif efex conftituunt. Superfluus numerus cft par cuius omnes partes alis r,Jr'quotx ipfum exccduntmiaiorcmqj fummam fuo toto efficiunt. talis cft duodenarius £>,minui* cuius partes aliquotx.i. 2.5.4.tf.Gonftituunt.i6. Numerusdiminutus cftpar cu/us par. omnes partes aliquotxnon adequant fummam totius:fed ab ea deficiunt :minorem qj numerum cotiitituunr.talis cft oftonarius numerus cuius omnes partes aliquotx. 1. 2.4.fimuladditx feptenarium prxcifc conftituunt. Eft ergo fecunda proprietas nu meri pariter paris cp omnes tales numeri funt pares dimimiti.vcrumfamcn partes es ins aliquotx fola vnitate afuo toto deficiunt. &hoc verum cft in omni numero paris 3\pp:(ctae ter pari vtpatet induftiuc.Tertia proprictas.omnis numerus pariter par ex corrcfs» podentibus (ibi mutuo in eo ptib? aliquotis procrcatur.Jcuius explicatio hxc eft.q? p crearis numeris pariter paribus quotquot voluerimus per duplationem continuam ab vnitate caq; connumerata :faj numeri mediales qj alii xqualitcr amedialibus vtri q?diftantcs fefe mutuo denominant rcfpcftu fotius:qui cft maximus talium numero rum.vt fi accipias perordinem fex numeros pariter parcs.vr hic. 1.2. 4.8. 16 Jt.inuc nics ibi duos mediales.fcilicct. 4. &. 8. xqualitcr diftantesabcxrremis connumerata in eis vt diximus vnitate.nam ante illos medios prxccdunrdno mimcrfttotidcniqjle quunfnrpoftcos.crgoiftiduomcdialcsfcimmiodenonrinantquotx partes fiuttria ginta duorum.nam quaternarius cftoftaua pars: oftonarius vero quarta huius numc ri.iimiIitcr.2.8(.id.fcmHtuodcnom/nantJcfpcftuciHfdc fiimnix.52.cniusbinari?c decima fexta ps &decimus fextus cft medietas.tandem, i.&i.j 2.quxfut extrema pras diftxordmarionisfcfcniHtuodcnoiaiitriiavnitascft trigefima fcfta ps illi? numeri 51. eft lcmcl.32.Si auttales numeri pariter pares fuiflcnttm quinqj:quom.id.fiw iftet vItiiniis:non inucnircs in cis nifi vnum medialem.fcilicct. 4. qui fciplum deno Parsprima de nvmeris mfnarct refpeftuvltimi.cft enim eius quarta pars. &duo collaterales cius. 2.&g.fcfe dcnoniinarent.nambinariaseftoftaua pars:& oftonarius medietas decimi fcxtfide nicpynitas eft decima fextapars eiufdem numeri:qui ab vnitate denominatur femel decem&fex.cadem ratio cflct in omnialia difpofitione pariter parium. quia fi difs ponanturfub numero pari:fcniper funtduomcdiales.fi autem fub numero impari: cr/tin cis tantum vnus medialis. Quarta proprietas numeri pariter paris eit.cp omnium numerorum pariter parium continua feriedifpolltorufiuecorum fit vnus tm medialis fiue duo mediales: femp qd producitur ex multiplicatione vnius extre miperalterum: idem rcfiiltat cxduftu mediorn &collateraliil numerornm cqtfalitcr diftantium arnediis.vt patet in exemplis tertis proprietatis prxcedcnris. na quicun tp numeri feipfos denominabant refpeftu vltinririidem fi adiuuicem multiplicentur' eandem fumma producent.nam in primo exem pio fine dicantur quatuor in ofto: fis» ue duo in. 16.fiue vnus in. j2. eadem fumma triginta duorumrefultabit. &in feexido exemplo multiplicatoquaternario per feipfum fiue. 2. per. 8* fiue. 1. per. 16. femper idem proucnit fcilicet decimus fextus. £apntquaitum t>e numeropariter impari et proprietatibus cius, Sriter tmpar numeruseft qui in Puocqualia diuidipoteft:fcd qualibet cius medietas diuifionem per cqualia non ade mittit.huiufmodi funt tales numeri. 2. 6. 10. 14.& alii plurcs.vndc patet Jratioquarcdicanturparitcrimpares.quia licetipfiiintnunieriparcs: prxV matamen dinifionc veniunt ad imparcs.patet etiam generatiocontfnua talium tuis» merorumper duplationem Angulorum imparium etiam conumerata vnitate loco i paris numeri.Hui? etiam fpccici quattuor funt proprietates licet valde diuerix &op pofitx proprietatibus prcecedcntis. Prima proprietas eft q> cuiuflibet partis dus alis» quotx quantitas &dcnominatio differunt quantum ad paritatem ^imparitatem.ita q> fi pars illa fit numerus par habet denominatione Iparc refpeftu fui toti?.& fipscft numerus impar: dcnominatiocius cftpar.vtin hocnumcro.i8.noucm eft impar nu merus fed cius medietas.&fex eft numerus par fcd cius tertia. &fic de aliis fi militer. Secunda proprietas, quilibet duo proximi pariter impares diftant afcipfis quater nisvnitatibus:totidemq> numeris interfcalaritcr dimiffis.vtpatet icxemplo fuperio risdifFinitionis:Huiusaiitem proprictatisratiocft clariiTima :quia numeri pariter imparesexnaturalifericimpariumgcniti funt. quilibet autem impar diftata fuo proximo impari per duas vnitates: quibus duplatis vt fiantpariter impares: dtiplan tur etia corii diftnntix:crgo diftat per quatuor vnitates. vndefitvtfequcs pariterijn parquinto loco fituctur aproximo prxcedente pariter impari, vt patetin exemplis fupra diftis.Tcrtia proprietas eft. difpofitis naturali ordinepariter imparibus quote quotvoluerimus incipiendo abinario: fi' in tali fcricvnus tantum fuerit mcdialisrille duorum pariter imparium altrinfecus ab eo xqualiter diftantium erit medietas cone iunftorum.vtacceptis his quincp numeris. 2. 6.io. 14. 18. medialis vnicus eft dcnarins:cuitis collaterales prxdifti. 6. &14. vel 2. &18. vigenarium conft/s tnuiit:cuins medietas eft dcnarius.Quarta proprietas.fi in naturali ferie pariter ime parium fuerint duo mcdialcsrilli fiinul iunfti adequantur duobus collateralibus ex vtraq? parte abeis xqualiter diftantibtis fiue mediate fiue immediate hinc &inde ias centibus.vtfiaccipiamus fex tales numeros, vt hic. 2t6.10. 14, 18- 22. duo b.iu' 4.,ppifc. Tftatftcr Impar quid Iit. «Qaatfuo* cfu» ,p£>:|e tatee . i.^pjicias ...ppiicta» 5.,pp«eta® clue 4>p:le tat.o. PRIMILIBRI ARITHMETICAE medialeserunt 10.& 14. qui fimuliunfti complent. 24. candemfpfumnu per* fidentcollaterales, t8.ctiam 2.&.22.Harii proprietarii demonftration.es expri mo&ieptimo libr» arithmetices Iordani requirenda; funt certiflimx. Caputquintum denumeroimpariterpari et cius prorpictatibtts. 0$pariter par numeruscft par cuius One jmcdictatcs percqualia partitionem admittunt :fed non procedunt vfcpadvnitatemnmocitra eam deficit partitioper xqualia in tali nit Wro.vt. 12.20. 24.8fc.vndc patet ratio quare tnh'9 numerus dicitur ipariter par.qtiia fdlicet no vniformiter fs difformit' &ipariter dfni ditur permedietates modo pares modo ip3rcs. Generatur autem nu meir huius fpcciei ex multiplicatione permixtanumerorum pariter parium cum nu meris imparibus .Si enim fiant dux feries numerorum altera fuperior cx imparibus aternario initium fumentibus&nullo impari dirniflo:altcra inferior ex pariter parte bus numeris aquaternario incipientibus continucqj procedentibus:quilibet fttpcrte or numerus in quemlibet inferiorem duftus:uumfcrum impariter parem producit, vt clare demonftrat hxc forma. Huius fpcciei numerorum itidc quattuor fit t5f7j> n15 proprietates ex feptimo arithmeex iordani dcmonftrandx. Primaeft.omnis numerus is E?!— —}.• *-1~ pariter par aliquas cius partes aliquofas habj S-J j 4j _64o_ j .224 1448 \~8 96 I S6 I11 j144 j238 1f76_ IHft1 44188_| J7tf 15t2 17° + I140 81 U1IQ412o 3 1416 1Syi 1166 4 I denominatione &quantitate fua confimiles: aliquas verodifFcretcs 8fdiffimilcs. vt ille nu mcrus.24,habcthaspartcs.i.2.5.4.d,8, 32. quarum iftx. 2,4. 6,12. &re &denominatio Longitudo, onc funt. pares.nam binarius cft duodecima pars, eius,duodecim medietas cft.qtwtiis rocftfextapars.8£ fex cft quarta pars.fcdiftx.i.5.8 .difeordanta fuis denominatio* nibus,quia vnitas cft vigefima quarta pars.tenarius eft ofbwa.oftonarinsvero tertia cmfdcm numeri.Ex hac proprietate &fequentibus apertifllrnc conftabit q>hxc fpe* cies numeriparis^licet ordine pofita fit vltima^cft tamen media per participatione rntcrduasprxcedcntcsfpecicsfibimuiccmaducrfas8(diflenticntes:vtcaru proprie i.ppiictae tatcsoftcndcrunt.Secunda proprietas cft.omnisjnxmeriw impariter par cft medio* critcr dinifibilis ln partes fcilicct minus qj pariter par 8f plufq; pariter impar. Huius ratio cx diffinitione ftipcriore cft qjmanifcftiffima.quia impariter par nuineuis no vnicafcd multiplici partitione diuiditur:nectamen adeo vt diuidi poiTit vfcjj ad vnte tatem.Tertia proprietas.cp in fupradifta numerorum impariter parium formula q* j. ^pjfctaa libet feries fecundum longitudinem figurx accepta proceditduplando habet quar tam proprietatem numeri pariter paris fiuc accipias in ca duos mediales numeros ffuevnicum. femperenim multiplicatio medii vel mediorum adequaturmultipli* cationi collateralium &extremorum :qnia eadem fumma producitur vtrobiip vt pa 4..PP:ie. tet exarte multiplicandi in algorifmo.Quarta proprietas, quxlibct feries formulae fupra pofite fecundum latitudinem cius proceditper xquales diftantias &obferuat quartam proprietatem impariter paris.nam per artem additionis algorifticx vnus medialis in ea eft medietas duorum collateralium additoru5.8( duo mediales adequi tur duobus collateralibus «que diftantibusabcis fi fimul addantur. PARSPRIMADBNVMERIS. Caputfertum t>e numeroimpari et fpecte^ bus IU proprietatibus luis. Sgparnumerue ireppcttta OtfFtmttoe :eft ille qui iduo squali.aminime poteft diuidi.vt. i. 5. 5. 7. 9. Sic. Eius proprietates praecipuetres limt: cx feptimo libro iordani demon= ftraridx. Prima,quilibet numerus impar in duo partitus vfvna pars tem habeat parem &alteram imparenuaepartitionis membra inca qualia e(Tc neceffeeft.Nam fi quinarium in duas tantum partes diui ieris hex iols erunt. i.&. 4. vel. i.Si. 5.in quibus manifefte cft imparitati pariras af<» fociata.&ficdealiis numeris imparibus quibufcun(}3.Sccunda proprictas.fi numer? impar imparem niultiplicettlolum producitur numerus impar.patctinduftiue nam terquinq; ftmt quindecim.&quinquies feptem.j5. &fle de aliis. Tertia proprietas. imp3r numerus fi parem multiplicetfempcrnafciturindcpar. Hxc proprietas con= ucrtibilitcrfe habetcum tertia proprietate numeri paris fuperiuspofita: &ideoeade cft veritas &ratio vtriufqs. Numeri imparis tresfunt fpccics immediate quxfunt.pri mus. fecundus. 8C ad altcru primus.Numerus impar prim? cft qui fola vnirate pte ali quota metiri pot.vt.j.^.y.idemq^ incopofitus nominatur. &ratio vtriufqj denomia tioniscfteadcinrquia numeri imparis nulla poteftefie pars aliquota prxtcrvnitatcj nifiilh etiam fitmimenjsimpar.llle ergo numerus impar qui nullum alium impas* rcmprxtcrvnitatcm habet partem aliquotamrprimus dici debetiquia ante fc nullum habetnumerum mcufurantem. dicitur etiam incopof/tusrquia cx aliis numeris non componiturrfed exfolia vnitatibus.Impar fecundus cft quialiam vel aliasprxtcr vni tatem habet partes aliquotas.vt. 9. if. 21.merito ergo idem fecundus Si compofirus nominatur: quia prxceduntipfum alii numeri coponcnteseum.Hartim duarum fpe cicrum imparitatis quatuoraffign ari poflunt proprietates :quani dux priores cx ter tiolibro:dux vero pofterioresex fcptimolibro iordani veniunt demonftrandx. Pri rua proprietas eft omnis numerus primus in fc etiam cft primus ad omnem alium mt merum quem non mcnfurat.vt. 7.ad. 9» &ad. 15.1& fiede aliis. Secunda proprietas, omnis numerus fecundus &conipofltus ab aliquo primo Si incompofito ncccflario mcnfuratur.vt.9.atcrnario.&.i5.a quinario.&.ai.a feptenario &fiede aliis. Tertia proprictas.omnis numerus primus aliquis imparium eft taliter difpofitorfi qui poli: nullum imparem totus venerit quotus aliquis impariu5fuerit in naturali icric ab vni tatc.Quarta proprictas.omnis numerus fecundus&copofitus poftaliquc imparmj naturali ordine difpofitorn totus eflc cognofcitur quotus ille impar erat ab vnitate. Hexduxproprietatesfimul declarari potcrunt:dataartcimicnicndi per ordinem nu meros prxdiftaril dunril fpccicrum imparitatis.quxtaliscft.Difponantura ternario incipiendo omncsnumcriiniparcsinfericnaturali.vt.j.5.7.9.ii.ij.i5.i7.i9.2i*25 z>.27.2 9.tunc clarum eft cp ternarius cft impar primus Si incopofitus ante que nnU Ius impareft prxtcr vilitatem. Si ergo poft ternariu tot numeros accipiamus in prav diftaferierquotipfcternariuscontinct vnitates contimicproccdcndo:inucnicm?om nes numeros fecundos 3ternario mcnfuratos.vt poft ternarium acceptis. 5.7. 9.ter* tius iftorum iioucnarius cft fecundus &copofi*'is aternario parte aliquota cius.Itcm poft noucnarmm tribusacccptis.vt.il. ij.i^.tflviusiftorii quindenarius cftfccundus copofitus aternario parte aliquota cius.fimiUtcr poft quindenariu iterum li ib? ac ceptis vM7. 19. 21 .tertius iftorii cft fecundus Si copofitus aternario.&fic continue ,p b.iiii. 5mpar nu incr9c|il fir. 2-rea tiua «ppxfctaiea l.^pxictaa j.,pp:fetfld 3.^p:f«tatf Jiiiparia.j Ipcciea. Ipmm* it copoli’ lir. ( 5ccund*t copciitu® cjdlil* i.^piktaa :4'Pdetaa 4.^jpifc. ZToducige licraiioiiia (>atfi.j.(pe ctcvunw PRIMILTBRI ARI/THMETICAE cedendo per illam feriem intieniemus infinitos fecundos &copofitos aternario me iiiratos.Similis ratio cft habenda poft quinarium ad inueniendum numeros fccudo» •jpernulna &copofitos ab eo.f.acccpris poft quinarium quincp numeris cotinuc: quia tot ipccd rium. tinetvnitates.vtacceptis.7.9.ii.i3.i5.vltimusiftorucft fecundus &copoftisa qui nario parte aliquota cius,# iterum poftillum tialios quincpaccipiamus.vt.17.19.21 23.25.vltimusiftorn cft fecundus &copofitus aquinario. ficconfcqncnter procede do inucniemusomnes allos.Eadem ratio eft denumero feptenario continue acccp* ip>er(Vpte tis fepteni numeris poft ipfum:# de noucnario acceptis nonem;&fic de aliis omnib? narium. pari btis per ordinem.Ex quo proceffu liquido conftat qui numeri impares indi* •jmicntfo ferie flnt dc prima &qui dc fecunda fpccic imparium fupradictis.omncs enim im taitu mime paresinnenti per faltu ternarii aut quinarii aut feptenarii #flcde aliistfuntfccudi 8i renum copofiti.qui vero per nullum prxcedentium numerorum faltus faciendo inucniri po tucrunt;iunt primi &in coni politi,vt pater in his duabus fetiebus aut lineis. Primi Sincompoflti. 5. 5. 7.11. 13.17. 19- 25. 29- 31.37. 41. 43. 47. Secundi# compotiti. 9. 15-21.25. 27.35 35.59. 45* 49- 51- 55- 63. 81. Etfi ex hae fecunda feric vellet quis plurcs alias duudcreiquaru prima contineret nn meros menfurandos per temariunr.fecunda menfurandos per quinarium: tertia cos quos menfurat feptenarius&ficdealiistinucniet hanclcgem in eis obfcruataiuiolabi ©bfcri’3ila lirerq; denominationes cuiuflibct impfitisrcfpcfhifux ferici numeroru ab eo copo* rtguia. fitorum variantur cotinuc fecitndu naturale ieriem omnium numeroru imparin fu* periusdefcriptam.itacp rcfpeftu primi in fuaferiequilibet impar eft tertia pars.8(fc* eundi eft quinta pars. tertii cftfcptima:# ficconfcqucntcr in omnibus lineis. Compotiti aternario. 9.15. 21. 27.55 39.45.51. 57. 65- 69.75. Compotiti aquinario. 15. 25.35.45.55. 65. 75.85. 95- 105. Compotiti a.feptenario. 21. 35, 49. 65. 77. 9i. 105. 11 9. 135. >47. Exhis facilcintclliguntur duae proprietates harum fpederuimparitatis vltimo poti* txjfupi?.na oisnumcrus fecundus &cdpofitits abaliqnoimpari: totus cft in fua ferie quotus erat ille impar coponcns/pfum in ordine imparili vel alius fcqucns cum natu rali ordine, vtnouenarius totus cft inter iccudos &copofitos aternario quot? erat ter nari?in naturali feric impariumtquia primus biquindeflarius totus quotus quinarius quia fecudus.&C vigcfim?primus cftcoru tertius fient feptenarius inter impares.Eadc ratio cft in omnibus aliis. Numerusaures primus #incompofltus hac lege non aftri gitur.qnia non dicitur perrelatione ad aliquem alium numerum :cx quo anullo com THiimcrua ponitur fcd afola vnitatc.hxcdc primis duabus fpccicbus numeroru imparium. Nn raiwdJ 1 fit ,nerus adalterum primus cft impar qui fecundum fc cft fecundus &compotit?: fcd ad 1'alterum coparanis fola cil illo cducnitvnitate parte aliquota qua vtcrq; comunitcr mc furatur.vtnoucnarius ad vigefinut quintii. &ad.12 9. &c.Generantur aut flue lucniii* turomnesnumeri huius tertix fpccic per continua multiplicatione numerorii ipariil primx fpcdetifi eoru quilibj ducatur in fc ipm.vt in hac feric cft quanianifcftiirimu 3. 5. 7. n* 13. 17. Namcxtali muitiplicatioc quilibet numerus produfttts 9.25.49.121.169.289. cftfecudus# copofitus per difF/nltione:cuius pars aliquo ta prxtcr vilitatem cft ille impar cxcuius multiplicatione producitur &nullus alius, «terii tfml ,§‘Clir ftu^*tict duo tales ad inuicc coparatf in nulla parte aliquota prxtervnitatc con Mie ptopti cotdant. Huius fpccici dux funt proprietates. Prima cft .omnes numeri ad fcipfos eintec. primi Anguli in fcdufti numeros etiam primosad fcipfos producunt. vt.8i.quicx multiplicatione noucnani per fcipm produritur.-Iicet fit fccildus &copofit? fcorfiun acccptus:tficoparatusad.625.(^qui ex vigefimoquintoin fcdnfto naidtnf} cft pri* mus #incqmpotitus.qula in nulla cumco parte aliquota conucnit cxccpta vnitate» PARSPRIMADENVMERIS. Secilda proprfetas.omnis numerus minor qui ad maiore cft primus: fia maiore Act leta» trahatur quoties poterit: &eoqreliquetur quoties pot aminore ditraftoratqjhoc pas (io cotmuedetraftis refiduis afuis prxccdetibus,pccdcndo:tande fola reliqturvnitas* tp fi aliqs ali?nuer?abvnitate remaferitjtalcs numerino fut adimiice primi,vt fi. 9. de matur cftiens poterit a. zy.rcmanct^.q^refiduovltcripdetrafto anouenario quoties poterit:remanent duo.qb?iter ii fubtraftis afeptenario quoties fuerit poifibile:rema nec fola vnitas. non ficaute fe habebit. 9.ad. 21. quia antevnifate remanebit ternari?. ergo duo primi mleri fut ad ieipos primi &iucopofiti ptinctes ad tertia fpccie ipariu duo vero vlcimi no poiTunt ad illa pcrtinere:fed tanta remanet fub fecuda fpccic im parili. prxdiftx dux proprietates ex tertio libro iordani vcniutdcmoiirandx, Quia IfiKfdfobe vero fnpcriusde numeris parib?perfeftis fuperflnis di diminutis mentione fecim?: G libet hic in calce huius traftat?eoruinuentioes &pprietares detcrmmarc.Numcri igi tnr perfefti duabus regulis inueniutur.prima cft q> in quolibet limite numerorii eft coifieuere tantuvmisperfeftus.Idco numeri perfefti quia rari &prxdofi fimilitudine gerunt suIe> moraliii virtutii:dc quibus ariftotclcs dicit in fine fcciidi ethicoru q> virtus cft rara & prxdofa.Vocamusautin propofito limites mimcroru eos quos in deferiptionib? al gorifticis locos feribedi numeros vocare folent.vt in prinio loco vnitates.i.oes mime ros vfqj ad noue /nclufiue.in feciido loco denas qnx etia funtnoue.in tertio cctcnas. in quarto millenas.&fiede aliis qux oes denominationes vfqj ad noue prxcife fe exs» tendunt. Eftcrgofenfus hui? prinix regulx cp infra dccecft vnus folusnumcrus pfes ftns.& fupra dece fed infra centii etia vnicu perfeftii rcppeiinius.dcindc fupra cctuy fcd infra mille cft tantu vnus perfeft?.& ficconfequenter peroes alioslimites numes* rorii idc reperinnis.Scd quia ifta regula prima cft fatis cofufa addamus fecunda gis diftinfta.q> omnis numerus perfeftiis ex cotinuaaggregationc pariter parili nue* 2,rc£u!a merorii naturaliferie ab vilitate difpofitoru: &ex niultiplicatioe iparis primi inde re fultantis per vltimu pariter parili fimul additorii in falli biliter &conrinuegeneratur. vtdifpofitishoc ordine pariter paribus, i.z. 4. 8 .16 .j2.<S4.&c.fiaddamtispr/nn1 fecundo rcfultat ternarius: qui cuy fitnum erus primus&incompofitus :fimult/plice tur per binarium qui erat vItimusadditorum:refultat fenarius numerus perfeftus.de inde fi duobus primis; addatur tertius pariter par fcilicet quaternaria .refultat fepte* narius:qui cum fit impar primus 8Cincompofitus: debet multiplicari per quatere narium vltimum additoru: &producetur inde. 28 .qui cft numerus perfeftiis. poftea addatur oftonarius ad prxcedentes:& refultant.i 5. qui cum non fit impar primus: in. cficax 8t inutilis cft adgencrationem numeri pcrfcfti.dimittatur ergo &no multipli cctur per oftonarium vltimu additoru:fcd procedatur addendo pariter pares fequen tcs. &vbi ex eorum additione refultauerit numerus imparprimus:ille cft multiplica dus per vltimum pariter parium additorum, vt genereturinde numerus perfeftiis. quorum exemplar &refta feries eft hxc. Impares collcfti. 5. 7. 15. 51. dj. 127. 255 511. Pariterparcs 1. 2. 4. 8. id. 52. <14. 128. 2<;6 Perfefti numeri, o. 6.28. o. 49<*. o. 8128. o. 150816 0n{ . Mumcrorupcrfcftorum hxc eft notabilis proprictae. cp oesnumeri pfcftiferiarim 8f «aepertee naturali ordinedifpofiti altcrnatim fenario Softonario numeris terminantur fem* tojum, per. Numeri igitur perfefti licet pares fint:in ter alios fui generis obtinuerunt princis patii iaudcfcp promcruerunt:ci1 alii pares oes dicatur apud piftagoricos infamari :& maximepariter pares propter fua diuifibilitatc.na perfefti numeri aradice iparitati s procrcantaroes:qmagnaslaudcshabctinncgocioarithnietico.Imicrioai 1rimmcs roru pariu fupcrfluoru Sdiminutoru facilis cft. quiavtfuperius dixim?ocs numeri PRIMI LIBRIARITHMET/CAE £ftts rpte Cftx.Tertio quaelibet proximodiftatu fpecicru fubaltcruaru diuiditur ginfinitas fpecia* fiuuc, lifTimas variatas cx denominationibus pgrtium.vt dupla fupcrbipartlcns tertias: dupla (uperbipartiens quintas:dupl afuperbipartiensfeptimas' &cctcra. Item dupla fnperrri partiens quartas.dupla fuptriparties quintas vel feptimas &c. Ite dupla fupquadriparti tapairtens en 8 quitas*vel fepttima sSc.Simift tripla fupbiparties tertias .quitas. vel fepti mas&c.Ite tri pia fuptriparties quartas,vel quitas &c.ltetripla fupqdripties quitas vel feptimas &c. <&uadra Sinrifr qdrupla fupbiparties tcrtias.vcl quitas. vel feptimas &c.Ite quadrupla fuptripar ple tupbi ties quartas vel quitas &c,Ite qdrupla fugquadriparticns quitas. vel feptimas BJc.Qjtaru partitn* fpccicru diffiuitoes facile ex dictis igeniari poflimt boc mo.duplafupbipartics tertias p? portio cit numer? maior cotinens minore totiibis duas partes ci9 qfut dux tertix mi noris.vt.8.ad.j.&fifiutduxquItcciretdiipIafupbipartiensquItas.vt.iz.ad.5.& fidtix bjnowiea» feptimxteifet dupla fugbiparticns fcptimas.vt.i6.ad.7 .Stc.Similr diffiniretur aliaruj .Aue, fpccicru pdenoiataruvnaqqj.Q.ni aut vellet luenirccuiuflibct fpccici cx pcliftis nume ros primos hacvtetatur regula facillinia.Cuinflibctpportiois multiplicis fuppartietisi fpecic fpccialiilima. prim?comcs cft numet? denolatiois partiit qultimo pfertur in illa fpctdcidcfi ille dupletur aut tripi cturautqdrupkturfcc^coditioacfpecieifubalfnx pri derunf 1110 c*Iul^c: ^lcrrl° toC unitates ad datur quot^eft numex? partiti flgnificat? xfpecic fub *alterna fcdo loco diuifa:rcfulratprim9 dux talis pportiois.vt Apponatur tripla fupb/g; ties feptimas:prim? comes eft-7.qtriplato fiiit. 21. St additis duabPvnitatib? coftat.23.q cft prim? dux talis pportiois.8f Acfiarinoib?aIiis fpeb? fine cxccptioe.& tue primis il> lis numeris duplatis aut tr/platisaut qdruplatis aut aliter multiplicatis pueniet fccudiK tertii &quarti nucri in cifdc pportionib? :8i fic de aliis multis.Vfi pt5 mod? deferibedi formulas lilaru fpecienufi qs vellet eas faccrc.Sed qa multi funt Ipediti &tardi Igcnio ad faciedas fupdiftas pportioml formulas:quas arbitrio corti rcliqnim?icap.pccdetibus: dccreuim?hicaddcre quada mierorii forma quadrata qolb? aliis formulis cl faftis Sffnci endis cqualeat.Tircpt ca oxni pportioml Icqualitatis nucri cxcplares valeat lucniri. qma gna forma plogitudinc fiiaa f/niftra in dextera habeat Iprima iinca naturale feric nues £ g o H £r?p!arof$ .pporiionfi nurocraUfi roruabvnitatc.fecuda Iinca fub ea Icipiat abinario ncotinua cipadditioncpccdcs.tertia iincalcipicnsa temar/o cotinncf)additione ciP pcedit.quarta per quaternarios ,quito per quinarios &c.doncc tot fiant linex fubfcriptx quot funt numeri in prima linea. ficq; cuadet forma quadrata o!n\ Iatcru cqualium talis. Longitudo tabulx. 1.5 I61pI I’ Ilj_ 1+IS Inligjio _ 1f|io_l K_l 2Q l2(lf 0lir |4o |4f |fo \ff |6o\*t I70- 111 Ifio' 119» bfUltoo^f kJlLl_LLUil5.0 |j<i |42|4S (»4 |j> O\66 I7ZI78 IS4i90 I96 liojjxoil |lI4|flio_l 17 U.-fljllj.fi l?r |4 21491'ftf 1<S5 I70 I77 184 IS>£_ I9S\lpt |fl> |H?_ IJ.26 |ij5 1140 f Isita 1x4 15: [4-0I48 ktf 141-72 I0|88 I96 lio 4| iffe jl; ONl« llak 1144 Ufx Udo f \9 Il8l27l5(il4fir4|rf5 |72 ifi» I90 I99 |iOh' 1.H 7|IX (i |Tl5C 1144 |_ifj |_irf; |171 ||iko| lioj;o|l;o| 4olfoUol 7o| 8Q|~po~jioo IIIP [li-o jt50~if40~| tfoTirto 1770 Ifyo [is-ti |jOjT| ln|»T5]44|f7| 66'| 771«S 1'p 91i 1 o1m115x1 14? 'I i'f-1- lmf1 1 7C. I1S7|lyfi fioy |220 | l»lx4 |5g ksltfohx \94\96 1*0» |i:o 113 X1144 1 1frt~| i'o s'(' 1H0Ily: l l:o4| 2if.J::Sj 24o| hfx V, *|7s1. 9 1 |i 04[ 11 7 [150 114?| if<i l[6 y1 1s2|'1yfIjM j'ij4 ji 47l2do| |l4lxsl4X Us 7PlS4l 5>«|m |l*<? |l4o |lf4| lg» |i«2 jl j><t|,2lolj ;:4 |;5fi ll :Yx l- X^i^ll iiql ljffrol 4tl<?0 7t[ po il0y|lX 0|i;> I1?0 ll<sf II_SOjlyf I2loj I140 Ixtfjlx 70 12»f I |l 6l?x |'4»l(r4l 8ol prflllx |l2S|l44|l <iO |l 7tf|*l I>xl XOfi ix 24)x 40 |2fc, |212 jxSfi |504 ]$20.1 ii7l54l y11tf 8l8 ylTotTngl iytf |t » I.L7«l.!£7l:o4 |n> I25»I'ft I27:|xsc Isotf 1.525 Is-h^I I**l?i.ljtll3i gojiOfil i: ' |tn--i-| 1r, ;!Iso I!ys1: 1 e .|4|' 2f21270 |2Hst_j »>< |)24I54z"( ftfol 11915S If7.J Ip/I L14( '?5 11117 >!I0°IfOy IIis j;-1 --71:6o|:Sf l.5o4 |325 |$4x‘ |.$f 1|5S0 J ho|40| <i° Iao|l0o|l 20 ll 4-o|l«i 0[ie0boo 1220 1: 40 I20 OUso [300 I$20 I$40 1560 Isso |46o~| Itf [7Ifi 1:9110 III I.12 I15I14 Iit |Ig 117 1»3..1j9 I• 1.12 |14 f»g| IS |20 122 j24 I16 12»1 ?o(52 154 |5tf _l5sj4o { i'fi 12 1 1:4 |27 150.1 35 |Jtf 159 I. 42 |4f |4:; 1fi I14|n1.60.1 '24| 28 I52 I5<f I40 I44148 1f2 lf(f 6oIrt4 |68I7*|76i| 8o[ I i PARS SECVNDA DEPROPORTIONIBVS In hacfgitnrfbrma quadibctlinea ad prima coparata eftpportio multiplex, vt fecuda linea ad prima cil dupla.tertiatripla.qrta qdrupla. &fic poes fpes mnltipliciu pportio mMtcdimiffa prima lincajqlibctaliarufeqnsad fuajpximo pcedetc eil iiipparticularis pportio.vt tertia ad feciida eft fefquialtera.qrta ad tertia fefquitertia.quita ad quartafefq quarta.&fic dcidc poes fpes fupparticulariu-Ite quita linea ad tertiq.vel feptima ad qui ta.vel nona ad feptima.8( fic cofequctcrp oes iparcsroftcdentfingulasfpcsfupbipartn: tispportionis.Similrfeptima linea ad quarta.&oftaua ad quinta. &decima ad feptima &c.dcclaratfpcs fuptripartieris.Similr nona lincaad quinta .& vndecima ad feptima.& trcdccima adnana &c.explicat fin gulas fpes fupcrquadripartictis.fii ficpccdi potad oes fpestertii generis qeft pportio fuperparties.Itc referedo quinta linea ad ftenda. vf fcp tima ad tertia.vel nona ad quarta, vel vndecima ad quinta&c.p additione binariithabe? binius oes fpes duplicis fuppartictilaris.Siniirrcoparado ftptima linea ad fccuda.vcl dc cima ad tertia,vel trcdccima ad quarta &c.p additione ternariuueniem? oes fpes triplae fupcrparticularis. Similr fi coparemus nonu ordine ad fccudd.& trcdecimu ad tcrtiti.SC decimufcptimu ad quartfi&c.p additione quateniarii:oftcndcni?ocs fpes quadruplicis fuperparticularis.&fic cofcqucter^pcedcrcturp oes fpes multiplicis fuperparticularisq erat quarriigcn? pportion is icqualitatis.Tadc ad habedas flngulas fpes fpecialiffimas quiti generis qd cil multiplex fuppartiens.coparare oportet alias lineas ad alias ipdifla forma.na oftatia linea ad tertia.&vndecima. &quartadecima.& dccimafcptima.ad eade tertia Si ficcofeqntcr padditione ternarii alis multa: ;cxibet niieros fingularu fperxi mf tiplidsiiiperbipartictistcrtias.vt dupla.tripla Sic.Simirr fi ad quinta linea duodccimaSi dccimafcptia.Si vigcfimafccud^&cxtcra: padditione qnarii refcratur:oftcdxUocs fpes multiplicis fupcrbipartictis quitas.vt dupla.tripla &c.Simil'rad qtiarta linea referendo vndecima.&decimaquinta,&dcdnianona&c>pcrJadditionequatcrnarii:habcm?fingu las fpes multiplicis fupertripartietis quartas. Simifr fi ad quinta linea trcdednia.Si deci cimaoftaua.Si vigefima tertia &c.p additione quinariirerut oes fpes multiplicis fuptriV partietis quintas.vt dupla tripla &c.Eode modo fi ad feptima linea dedmafcptima:& vi gcfimaqunrta.& trlgefima prima Sic.per additione (cptenarii:referatur oftedent f/n gl'as fpcdcs'multiplicis fupertripartietis fcptimas.vt duplam triplam Sic. Confimiliter fiad quintani Uncam comparcmusquattamdcdmam. &dcdmam nonam.&vigefimaqiiar^ tam Sic.pcr additionem quinarii habebimus fingulasfpcdcsfupcrquadripartictis quin tas.vt duplam tripla mSfc.Itide fiadfcptimam lineam rcffcratutdccimaoftaiia.&vigefi ma quita. &trigefimafeda &c.p additione feptenariiappebiit oes fpes pportoismltipli cis-fupquadripartictis feptiasvt dupla tripla 8ic.Patctcrgocp-pra;di£hMiumeroru forma fi bene in longii &latu augcatunfacile intuenrib? dcmonftrabit olnipportionii etia fpc cialiiTimaru numeros.vnde arguitur maxima ei9vtilitas pariter atq, dignitas.qnaprop= ter no indignu duximus cius notabiles proprietates hic apponere et funt numero quiq; Prima pprictasq? oes numeri in hac forma dfamctralitcr aut diagonalitcr aprimoagu load tertiii dcfccndcutcsfiit numeri quadrati.na quilibet eorii rcliiltat cx mtiltiplicatoc duoru cqualifi adiiiuicc dc quib? paulo poft diccm^.Sccuda^prietas.q/numeros qdra? tosinhacformacirciidaiitaliinucri diftilogilatcriautaltcraptc Iogiorcsjqui fiiitex du fhinxicroruincqualiu fcd .pximoru in naturali ordincad fcipos.Gircudatcs dicutur nu meri pofiti fnb et fupra vel dextrorfum et finiftrorfum adaliqnc quadratu.vt circa. 9.fut <>.ct.ii.8ic.Tcrti3pprictasqf duplato quotlibctnmncro quadrato atqj fuperadditis ci duobuscircudantibp Iongilateris:refultatindcaliusriumcr? quadratus.vt duplato qua ternario fupadditifcp binario et fenario longiIateris fiunt. 16.qui etia cquadrat?. Quar ta pprictas cp additis duob? qdratis pximis finml cu duplo Logilatcri comunis :itcrn rc fultatnucr?qdratp vt additis finiul.4.ct. 9.cfi duplo fenarii fiut. a5-q cn«mer9 quadra?- tus .Quita proprietas q> in hac tota forma quadrilatcra et iqualibet eius parte quadrata duo aguli oppofitiife ipfos ducti producut cquale fuma aliis duob? agulls oppofitis iit c.iit» Tultipleic Suglicti laite SiiBparti ens. ZDuUipUe fnppartUi» laris. zxn-itfpicr luppflrttfs Si!p.bigti <ne. Superni paniene. Stipqua drfparttfg. Supjfidi «e fo:me,p pifctatcc-.f i.,pp2ictaa r.^piietas ^..pprfctae 44pjie. y.^piictaa PRIMILfBRIARITHMET/CAE feduftisvtfemel<400.eftideqcjvigefies.2o.&tcr.i5.fadnt.45.ffcutnoufcs.5r.fimilfe ZDfooifa Iter fcptics.40.fut.280.ficut decies. 28. &fic de aliis multipliciter exeplis.Haftcn? igi£ tquaifojiie rfe oib? generib? &fpedebus pportiois maioris ineqiialitatis. qb? totidc corcpodet vt nantur 01"diucrfitates minoris icqtialitatis:Na fnb multiplicis pportols fpesfut fub dupla fubtripla fub qdrupla 8C ce. Species fubfupticularis fimt fubfcqnialtera fubfequitcrtia fubfcqqrta&c. Species fubfuppartictis pportioisfut fnbfupb/partics fubfuptriparties fubfupquadriptics&c.Species fitbmlriplicis fwpparticularis fdt fubdupla fcfqalteraricfq tertia;fcfqniqta 8ic.ite fubtripla:fefqaltera:fefquiftcrria &c.ite fubqdrupla fcfqaltera fefc quitertia &c.Species vno fubmultipHcis fuppartietis (ut fubdupla fupbipartics fttptrip tiesrfupqdriparties &c.ite fub tripla fupbipartics fuptriparties &c.itc fub qdrupla fnps* biparties fuptriparties fnpqdripries &c.& qlibctiflaru (pecicrii diuiditurad huc pifini tas fecundu varias denoiatioes partium :fed heee oia ftatim cuilibet nota fum\ Caput, d.deorigine proportionum ineqlitatis ab «qualitate. iOST pniiffa cofideratioedignu ridetur ondere quooesjieqtialitatis fpccies ab squalitatis primordiis pcrcatur.noticia.il .coparatiua fpcciern alicuius ge 'neris poft noticia fingulare earude multn cofcrre folct ad clariore iparil itclli gentia iqueadmodu porphiri? circa pdicabilia fcciffc coperitur: poft fingulo ru dcclaratioes addes quiqjpdicabiliu coparatioes. Q£atois inequalitas ab xqiialitatcp cedatrationabile cft.ficut.n.vnitas fe habet ad nueros ocs:fic fe habet xqlitasadppor* tioes oesrquiaaliaru oim origo eft &mr.dcide inter genera icqualitatu ctia ordo origis odferuatitr.quia icqualitatu pria e multiplicitas :ex qua imediate oritur (npparticularis.- pjo deldc ex fuperparticulari fuperpartiesritc ex fuperparticulari multiplex ftiperparticu* pontonum laris.deniep ex fuperpartictc multiplex fuperparties.Scdhoc eftitclligcdii oblcruato ta li ordierquod ex prima fpecie generis pccdctis:pcreaturpria fpccies generis fubfcquen tis.ot cx fecunda fecunda,&cxtertia tertia. &fic de alifs; quod veru cftiii oib? generibus pportionu fefe cofcqueribus ordine fubppofito.crgo deprioad vltimu per media cotis nueordinataicx «qualitate oritur ois icqualitatis fpccies. Pro ifta aut fuccefiionc origis ^u'150 pio pportionu hxc vnica regula 8£ infallibilis fufficcrc poteft. q> deferiptis tribus seqlib9nij diiiata? °* meris qbubufcuq; in vna ferie: fubfcribatur nuero primo alius nucrtis fibi seql/s. deinde fub lecudo fuperiorc fcribatur nfierus alius cdpofitus cxprimo &fecundo fuperioribua dciriqj fub tertio cequaliufcribatur alius numerus aggregatus cx primo equalium &cx fecundo duplato &cx tertio fimplichpcr talem ergo modum fubfcribcndi ex tribus «qualibus crefcut alii tres in pportionc dupla comtinuati: &cx tribus duplis fimili mo fubfcriprionisroridtur alii tres in proportione tripla fcfcconfcqucntcs*& cx tripla quas» drupla &fic cofequenter per oes nniltipliccs.vt clare oftendere potheee forma. 1. 1. t. Oilsomul Simil/rer permutatoordine numeroru multipliciu:itacp maiores numeri pre 1. 2. 4 tfpHcfam. fcribatur minoribus peande arte fubfcribcdi ex dupla pportoe triu nucrorii i. 5. 9. ^zlgofnc cotinua oritur fcfquialtcra.&cx tripla fefqtcrtia cx qdrupla fcfqquarta.Gi fic 1. 4. 16 um! C31 p°es alias fpesftipparticulariu pportionii eritcotinua gfiatiocx multiplicibus:vt hic. 4. 2. 1. 1 9. 3. 1. 116. 4. 1. 1 Itcffl permutato ordine fupcrparticularium propor* ^rfgofuc 4. <5,9. 19.12.16.1 16.20.25' tionumoriiiturfuoordincfingulaefpcsfupcrpartietia parttemiR. prop0rtfOnu.vt cx fefquialtcra fupbipartics.& ex fefquitcrtia fuptriparties 8fc.vt pjhic 9. 6* 4. 116. 12. 9. | 25. 20. 16. IEodem modo fubfcribcndi cxfupcrparticnla1<i {9-15.25 16. 28. 49 *25. 45. 81. *ribusnon permutatis fcd ordine fuce originis itpiiciftfnc dcfcriptiscnafcimtur muttipliccsfupcrparticularcs feriatim.vtcx fcfqu/altcra dupla fex particulari quialtcra.& ex fefquitcrtia dupla fefquitcrtia &c.vtcIareoftcndithxcforma. ^n j4. 6. 9*I9* 12. 16 . 1 Tandecxfupcrpartictibusnumcriseoordincquogcniti funt lipilcifiTup 4’ ,a259«21.49 Idcfcriptiscpcr cade arte fubfcribcdo .pccdut multiplices fuper partlJiifi, partictcs fiugula9 fpcsfingftscopnrando.iraip exfuperbipartiefc nafeitur dupla fuperbi partiens; &cxfupcrtripartiente dupla fupertriparti ens &c.vt hic per tria exempla. PARS SBCVNDA DE PROPORTIONIBVS. i<f. 2?. -16. iS. 49. .25. 45. 81. .Relinquitur ergo exdiftoprocefin verant 9-14*64 I16. 44. 121, 1 15. 70. i96. 1 efie regula fupradiftam de continua origi nc proportionum ab «qualitate vfqj ad vltimam inequalitateni. Caput.7.dc refolutioiTCoim .pportionuiequaliu vfq? ad cqualitate. jjVIA vero iicut in naturalib? ita &imathematicis ois res ex quib? coponitur in cade refoliiiturrcofcques ergo erit oem iequalitate pcorinuas reduftioncs |vf<£ ad equalitate pducere:quaten?fortiori argumeto certiffimii relinquam? 'q5dc primatu equalitatis ad ocm aliapportione plibauimus.Et in hacppor tioiui rednftioe eade via eifdcqjpaifrb? ficut pgrefTi fumus regrediemur, f. vnaquaqj i cqualitatispportioneadearcducedora qua pcelTcratp doftrina capituli pccdetis. hanc vero pportionu rcfolutione ctiavnica hac regula copfoehendimus.g? deferiptis trib?mt meris icqunlib? in qualibetpportioc colligatis:fi primo numero fnbfcribatur aliPfibi c* qualis.&fecudo fupponatur refiduti fubilraftiois primiafecudo fupiorerfub tertio vero numero feribatur ille numerus qui remauctfubtraftis primo fimplici &fecundo inferio rc duplato atertio fuperiusdeferiptorper hanc ergo artem fubfcribendi proportio du* pia reducetur ad equalitate: &tripla ad dupla:&quadrupla ad tripla:vtpj hic. 1. 4. }6 I11 pportionib?vero fupparticuIaribPfefqaltera refoluitur idupla: &fefqtertia 1. 5, 9. itripla: &fe(quiqrta iqdrupla.vt clare ondet cxepla fupioris cp.reppctitavthic. I, a* 4 4. 6. 9. 1 9-12. 16 . 1 Similiterinproportionibus fuperpartientibus rc#> 1. 1. 1, 4. 2. 1. I9. 5. 1. Iducunturomnes fpecics ordinate ad fupcrparticulares vt fu? perbipartiens adfefquialtcram.fupertripartiensadfcfquitcrtiam &cetere.vt hic. 9. 15. 25*1 16.28. 49.I Pariformiter multiplices fupparticulares rcfoluiitur ordiate 9. 6. 4.1 16. 12. 9. ‘ad fupparticulares aquib?oriebatur.i.duplafeiqaltera:adfef qui aItera: &dupla feiquitertia ad fcfquiftia: &fle de aliis vt moilrat exepla iequentia, 4. 10. 2f. I9. 21. 49.1 16. 56. 81. 1 Poftrcmoflngulx fpecics multiplicium fat 4. 6. 9. '9. 12. 16. If<S* 20. zf* perpartientium rcfolituntur pereandem ar tem ad fpecics fuperpartientium aquibus oriebantur.vt dupla fuperbipartiens ad fus perbipartientem .& dupla fupertripartiens ad fupertripartientem 6i cetera, vt hic. 924 64 I16 44 121 1Patet ergo qua vniformitcrfe habet in. proportionibus: fi 91? 25 116 28 49 1ucpgreffus ab xqualitate: flue rcgrclTus ad cande pgrad? medios inter cxtrema:q ffit pria squalitas &maxima icqualitas fi effet dabilis inueris. Quia tume ordo fupradiftus faciens pportioes multiplicespximiores xqualitatitam i ^grcllitq: iregreflu: videtur fatidi cotrari?: (quia maiores iequalitatesfut multiplices q; fupparticularcs.vtduplaqj fefquialtcra &tripla qj fcfqtertia bic.ideo videtur magis abxqualiratc dillarc cp fitpparticulares.^ad fatiffacicdu huicdubitationi dabim? aliam regula de origine &refolutioc pportiomi inequaliil ad ceqlitaterquatii ad multiplices &fupparticulares diitaxat:de aiiis autno curabimus. Regnla hxccft.ois pportio duorii extremoru nucroru adiniiicecoponitur ex pportioib9illorfi extremorti ad mediu vel ad media iter cos rcppcribilia*ideoq3 illa pportioemaior qualibet iftaru ficut totu fua parte:ac perinde illa cremotiorab squalitate q; ifte parti alcsvEt quia iter nueros ppor^ tionis multiplicis fepeftdabile mediiihnspportione fupparticularc vna vel plurcs ad nueros extremos:ideopportio multiplex refoluitur inliip particulare tanq5in priore fc. Modusctia iftius refolutiois talis eft <$ pportio dupla(exceptis binario &vnitate }fes pcrcftrefolubilisiduas prias fuppticularcsqfut fefquialtcra &fefquitcrtia.quia fepiter extrema duple pportionis cft dabilis aliquis niicfus medi? ad vnii extremu fefqnialter &ad aliud fcfquitcrtius.vtiutcr.2.&*4.cfttcrnatiusftfqnialtcrad.2.& fubfefquitertiits ad. 4.8i ita in oibus aliis duplis ifallibilitefc.ln aliis vero multiplicibus qlibqt fcques fpe cies refoluitur inpccdcnte multiplice &iil illa fupparticularcq atali multiplici nafeitur fecundii regula pecdetis capituli, vt tripla refoluitur in dupla fefquialtcra. quadrae pia in tripla. &fcfquitcrtiam Sificdc aliis quia inter oia extrema triple ppottionis dabi XDoduare folutfofsjp ponfoimm ©c multi pifef. ©e fuper particulari ©cfuppar tiente tDc multi plici fuper particulari ©e mnlii plici fuper partiente. ©bifireor bine ^)poi tiouum fu pra dicto. Sit9oido mmplicifi ct fupparti cularlfi, Ifcrimare gula. .1. regula PRIMI LIBRI ARITHMETICAE -le cfl rnediutales pportioes obferuans ad extrema Yt inter*$.8f.l. ponitur binarius dii* plusadvmtate .81 fubfequialtcr adternariti.& inter. 4. &.iq funt extrema qdruple pro portiois: cadit ternarius triplus ad vnitate: &fnbfcquitertius ad quatcrnnrm.eode mo* Jncldlead do pccdcrcturfn oibnsallis excplis iftaru &aliaru pportlonu multipliciu.Hicfcciftca Xpolitum, m?fine traftui de pportioib? nueralib? &toti prio nrxitroduftiois arithmetica: Jibro: nifi quoriida muficoru &platoniCorn dubitatio frequens abfolui pofict ex pdiftis. qriit cnifepi^ppofitoaliquonumcroquotniicri fupparticularcs pofiint cotinuc adillum fe iQueftia qtii/n data fpccix illi 9generis: vtpoftbinariu quot poiTunt dari icfquialteri cotinuc fc cofcquentes:gf poft ternarium quot fcfqaitcrtii.Si poft qternariu quot fefqiiiquarti &c. £5out 0. HuiPqueftidis folutio exdoftrina pcedentis capituli pendet vbi diftu cft q> ex qualibet fpdepportiois multiplicis pcedit aliqua fpcctes pportiois fupparticularisordfnc debi .to.vtex dupla fefquialtera.ex tripla fefquitertia.ex qdrupla fefquiqrtia &c. Niic at exii Ia doftrina duo fcquutur ad prnifla qftione refpofiua: primu cfl: q> poft numern qui nui li cft dupl? nnll? fequititrfefquialter.quiatalisndhabet medietate. &poft mimcruqui nulli cft tripi? nnll? datur fefquitcrti? :C3de rntioc quia ille no habet tertia pte. di fimili j.regula ter poft numeraqui nulli cft quadrupl? 116 datur aliquis fcfquiqnnrt9.& c. Sccudu cft q> poftalfquc nutneru duplii tot fefquialtcri cotinuc fubfcquutur:quot? ille fuerit inter dti pios fitp aliqua radice no dupla.fii tot fefquitertii quotus numer? dat? fuerit iter triplos fnp radice noltripla.81 tot fefquiqrti quot? fuerit numerus datus inter quadruplos fuper i.qcZpIum radice noquadrupla &iicdc aliis hmoi niteris infallibiliter.Vtfup vnitatcq eradix nui li dupla:prim? dupl? eft blnari9.poft quevn? tatu reperitur fcfquialtcr.f. tcrnari?.fcds dupi? eft quatcrnad? cotinuat9poft binariu.adquc fcquutur duo icfqnialtcri.f.t>.&. 9. terti? dup!9 eft oftonari? ad quem fequutur tres fefquialtcri. f.u.i 8. &. 17 8£ficdc aliis in infinitum .Eodc mopofTctqufspcedcrc in nueris duplis fupternarm.fup quinariit i.tfjptum 8ifup fcptcnariu,& c.q fut ra dices no duplce.Itc fup vnitatcq nulli ctripla prim? tripi? eft.5.poftquc vn? tantn datur fefquitcrti9.f.4.fccmid9 tripi? eft. p.poft que reperiiitur duo fcfqttircrtii .f.i2.&. nS.terti? tripi? cft. 27. poft qnedabiles funttres fcfqui tertii, f.;6 48.&64.&c.in infinitu.cocic mo poffet quis .pccdetc inumeris triplis fup binariu.q^ ternariit.quinariu.& alios qui funtradices nbtriplae.Item fup vnitatcq nulli eft quadru plaprini9quadrupl9eft.4.que feqiuturvn9t5tu,fcfquiquart?.f.5.fcc|;s quadrupl? cft.itf qui habet poft fc duos fefquiquartos.f.ao. 81.25.terti? quadrupI9cft. 64.qui poft fc ha* bettresfcfqquartos .f. 80. ioo8i.i 25.8;c.in infinitum .eodem modo pofTet procedi fup binarium.tcrnarium.&quinar/nm.&alios qui funt radices non quadruple.prcdiftoru fcquuntur exempla tria.f.infcfquialtcris fefquftcttiis 8£fefquiquartis. iTrra—ra' i—nfrrFrrT^r Harffo'n’ I ariitl“f,f‘”t hoifi^pifc a.»l y|jrJjiW. liitlS* IISuTfl 2d.'| SoT | notad.rppnet3tcs.Pnma latce.i. 1 ' 'Iflta f1is» 1 _1|gi>n»l 16»! 48. 1 1 " [guia j ' 2f,| 100. |q? qualis cproportio nuil 111 rt». 27 |J|(rca.l<{4 .[ j||re». [ny* jt/plcx numerorum prime linee fuperioris in qualibet figurartalis eft &oimaiiaru lincarufub ca deferiptaru. vt in i.pwprfi. pria figura cftpportio dnpla in oib9fuis linciis.ifccunda figura pportio tripla.in tertia quadrupIa.Sccuda pprictai q> niteri iigulare* in qualibet diftaru figurarii hiit fola vni* j. pioptil, tnte maiore multiplicitate nilcri lineam pdiftarii. vt angulares prime figurc funt fri .pii .in fecuda quadrupli.in tertia qmtupli.&ficdc aliis oibus.Satis ergo fucritex pleno «P oSus. cj£jf CUTj*rt Q fj pportionu nueralm^qui oesfiit termini dc pdicamcto ad aliquid fubillo genercfubaltcrno qd alias ipofuim?ficdi<ftuadaliquid fcdm quatitatc Uin duas fpeci es rqualc &imequaleftatldiuifim?) pueniffe vfcj ad cotinuationc pluriupportiomrm eiufdcfpccicl in trib? aut quattuor aut plurib? numeris fefe cofcquctibP.q cotinuatio ,p portionalitasappcllatur.deqiTa &fpccicb? filis ac pprieratib? in fcqucri libro fccudo di .ftnri finn?.Sed in ffnc hui? libri prinii.(^nc doftrina ifta dc pporrioibus videatur oino notanda, arida di inutilisQcomeorabinms ca qfanftus auguftin? piftagorica fitnul &platonicaj PARS SECVNdA de proportionibvs. imaginationefequens idfiiino illo opnfculofuo de vera de rcl/gioe fccrcta ph/lofoph/cfl pandit'.dicens auftoritate htlarii q> ipatre eftvnitas;in filio xqualitas:& in fpiritu fancto vnitatis xqualitatifq$ conncx(o:iii creaturis autem oib? inaequalitas. Inaqualitatfq;va '?£’ 3,ei'*** ric fpccics reperiunturtquia loliis dei filius eu fpiritu lancto ab vtroq?pccdentc iic geni ** tus e II apatre fixorvt cflct vcra&ppria imagoiuifi bilis dei primogenit? ante oem creatu uus. ram: vt Paulus apoftolus dicit:cft en ifpledorpatris &figura fubftatice eius adaquans pa* S; ve fait terna pfeftionciomnib?ef!e«tialib?pcrfecti6ib?.quibus duot? per oia etia fimilis elpi £‘Ufi<6nc ritus lchis adequas fui pricipii aquopccditpfcftionc.idco nimirii ponitur vnitatis xq pouSonaU litatifqs c6nexio:diciturq; nexus aborii fcpduccntiii Creaturavero ficpticip.it diuinas ta«, pfcftiocsrqj no adequatur pfonisdiuinis aqnib? pccficrutrfcd loge ab eis diftar /nequa f'cari'ra liter, vnde no imagines fcd vcftigJa diuin xtriniattis efic dicutur.8f fi quado nome ima j^eftigra ginis facta littera adcreaturastraifcnxt: in obliquo no in refto illud ponut ad fignifica# uue <i «tu da.f.inaquahtatc. tale eft illud geuefis primo faciam? hoiem adimagina &fimilirudine rurum. n?3m. 6i illud c3cchiclis deagcloapoftaratcadeomifignaculix fimilmidis iquitdci.Sc. f£ri'af“lfl v Etficut imagmatoc pictagorica ecnrixcrcaturariifpcdebvniicroiixaiimilatc funt: quia cftjolutMa gradatii luis pfcftioib? pccdiit :fic cade via fpeciebus iaqualita udiuerfis coparari pof «i.iuaic futtquarn qdappius alia vero remoti? acccdxit ad aqualitatediuinaiu pfonarti.fcmp ta <8q> reduci me (vtaurclius ibide doftorpfequitur^crcaturarxx iaqualitasaddiuina aqualitate qua pe tu eft polfibile nittitur tendere.vt pote quia ois lfta iaqualitas ab illa fiima aqualitate ptcncftriafc ccifitiideo mmiru fiin cade fititerxi rcfolubilie:quia vniucrfa ppterfemctiplii oparat? QiuUOue* eft di?-Hic fit q>hoibus cxinclinatioc naturali coucnitvt nihil placeat iu creaturis: quod no aliquotnd imitetur illa luma aqualitate qcftdcj filiusiquo verbo dei fafta funt omia. Et adducit augu.ibicxcplii de feneftrisarcualib? qfi duafola inxqualcsiuxta feipfas pofite (int:ftatl intuitu afpicicnmi offcnducdifphccntq; hoibus:(pptcr dcffeflxi aqualis tatis qnulla eft.fi vero tres talesvelplurcsfcneftrafimul ponatur gradati iaquales: vel dua laterales miores iuxt3media maiore: ftati placet illa ftruftura fencftra rii:quia ibi eft aliquod vcftigiu xqnalitatis.Na inter feneftras inaquales funtpportioes xquales.f.res* latis extremisad mcdia.Hoc inquit nullus artificu quatiicfiqj ingen/ofiis aduertif in cdf ficiis talibus: quia dcciibiticlinatis ad terra ocultsniec vnde res pendeat eccelo vidctficd tantu fi peotetur rcfpodct:fic deberi fieri feneftras:quia fichabct vatioartis hxdificatos ric 8i no aliter: &fi chadificia pnlcra funtSt no aliter.idco fic fafta placet 8C aliter facfa dif £onc\u([ 0 plicent.Multaq; alia notatu digniflima iu pdiftoopiifciiload.pporriccs&formasmK* pnmt libri rorilptinetia fftilTim? ille vir diuinitateplen?latiffime,pfcqimur.viidc conucnicnscft aruijmciic vradfofasnumetoru &ad pportionalitatcstralcam?. Primi libri arithmetica finis. c<e* Hiber fecundus irroduettots arithmetice bc fojrnis niicralib?atq5de ^portionalitatil?coitl. habetigr duos traft-al?ficurpcedens fiber. Traftatns primus dc numeris habentibus fimilitndinc figuram geometricam qua propria forma numerorum dicuntur, habetcapita tria. Caput primum dc numeris linealibus &fupcrficialibus. Sntttas bifereta uel numeraslicet varia ra tionc habeat acontinua quatitate: fitq? genus fubaltcrnu quatitatis ab 'ea diftinctiirhxctnduogcncra hiitmagnaxtcrfe coucnicntiain multis cCoparafio pprictatib?vt in pportidib?:ppordonalitatit?:diuifi6ib?:pambns ali 4“5 quotis.&aliis mttisqtnno aque prio mrtitudiniSi magnitudini coucni 1 unttfcd prius pfcctius &fimplicius multitudini: dcide pattributionem ad ca coucnircpbatur magnitudini. f. feciidiia liqua rone nueralc -Hoiu ounargumentu (|rg ^ clarilUlnu cfigura que vtrifqj quatitatib? cois c.na &numeri aque atq; fupficies &cor ^',a6,pm pora figurabiies funt: fcd nxicri puri? &fimplic!?:na eudem nucru cotingit fimul linea imuife c*v le fuperficiale &folidii ciTeuino circulare di quadratix cubicxxSi fphcricix vt.6 4qoia uul PRIMI LIBRIARITHMETICAE Ia cade fupcrficics nnlluqj idc corp9 fimulhrepot.Igitur poftqj de aliispprietatib^ii ab tf&uartafpe folutistii rclatinis diftii cftrcofcqucs crirvt ctia de figuris numerorii difcram9. Sed difere ftcaq uiita tiois gra has coditioes inueris formas vocabim9:imagnitudinib9 vero figuras, ad huc vel cr"^cnfl'veriffimeexponitur qrta fpes pdicameti qlitatisapud ariftotele :qea difrado a*vocabulo forma vel figura appcllauit.p forma numerale deferiptione (ignificas: pfigu^ fojma im ra vero magnitudinis rcriadone.vnr6ncpri9difta forma ptulitfigurx.Eft igitur forma mcralis <\d numcrjtalisdifpofitrovcl nucr?tal'r difpofit9: vt figurxgeometricx ffmilitudinc gerat, vtqnaliquis mici 9vocaturtrfagularis qdragularis aut circfaris&c.vficoftat oestalcs ter minosadquartafpcm qlitads ptinere:& ^priaspalTiocsecnucrorir.quorugfia &fpes funtdc pdicatnetoquatitatis.ua in hacpdicati6eternari9efttriaguIus.noucnan9eft qua dratus.vigcfini9qnitus cft circul9.& fic dealiis.pdicaturppriu pdteabile de fuo fubicdo <fNumcraIisfornixtriafutgiiafubaltcriiahxc.formalinealis.fuperficiaUs.& folida.&qa eies tres *nhis ficut in fuperiorifc9c6cretii &abftradii finonima funt:has formas diffinictcs dici^ Uineaiia mus.Lincalis nucrus cft qui ab vnitate exordiu fumesip cotinua vilitatis additione pcc laolre di* ^if crelccdo.SUaliseftoisnuerusfiuc par fiueipar.vt.2.5. 4.Dicitur autlinealis nucrus tta iit linea a<^ fitiiilitudine linexgeometricx: qimaginarix I1C5 no rcal'rdicitur fieri ex cotinuo fiu lis, xu pueli: fic &nucri finguli ex codnuofluxu vilitatis rcfultat.Et debet feribi niicri linea les pCingulas vilitates fuas ivna ferie difpofitas ad modii lineae,ita q> tot piidis feribatut nucrus quilibet linealis quotvilitates babct:no aiittot? micrus fimul vno iolo C3redere vthaftcn^ficbativtbinartfiic .. tcrnariPfic. ..quatcriiari?ffc .... Iftccni enaturalis foimcllne modus feribedi nucrospif illos caradcrcs nucrales ars huana iuenit 116 natura.Hui9 pri fintte 60111 1111 gcncr‘sformx nucralis ifmitxfiit fpes tot.f.quot pofitx ffit fpes fpccialifilmx nues rorii.S noiantur fic linealis dnarii vnitatu. lin calfs triti vnitatii.linralis quattuor vnita tii ftc.fcd de his fatisrquia ficur apd geometras linea quatiicuq, tciiata fuis ex'rcmis 116 Siicf/clar dicitur figura neqs ei9pprictatcs dcnioftratrficapud arithmeticos pania cft cura de nue# fo:nw4dlit ris linealib? nullafqj eorij .pprietates demoftrar. Superficialis nucruscft qui pfuas vni* t.itcsiplari3 fupcrficicdcfcriptPlogitudinc 6! latitudine h5: vt fenari? fic feript? : : : Et ficut xgeometria ex fluxu Iincx ifcipam vel in alia imaginaturfieri fiipficics: vt hj EucU dcsiniccudolibroificiarithmctica exduduvclcxadditiocmicri linealis adlcipm vel ad aliunumcru lineale .pdudturnuems fupficialis.vtdudobinarioin icipm ^ducitur quatcrnari?:na bifduo fut quattuor qui cft nuet? ftipficialis. fimifr addito binario ad ter narixifit quinan'9 iupcrfidalis numci9.dudo ctia binario iternarifi pdudtur fcnari9fnp ficialis nucrus.&fiede aliis. Vn pj ro quare talis forma nueri dicatur fupficialfs. tu quia ,pducitur ex lineali ad lineale vt fiipficics igeometria .tii quia pfuas vilitates dcfcript9 16 gitudinc &latitudine cxhibjadmodu fupcrficiei geometricx fj altitudine noh5 de qua in nueris folidis dicem9. Diuidituraut fiiperficialis autplan9 nucrus pirin itas fpes ater fofe fiiprt nario initui funi ctcs. hx funt: friagularis:quadranguIaris:pctagon9:exagon9 &c.S ras deilsfpm circularis micrus.Binarius em116 pot ce nficrus fupficialis:tu quia ex folo fluxuvnita n,le tis ^ccdit admodulincx.tu quia quomodoctiq? feribatur fuxvnitatcsp fi 11 gula piida:fo CfiSguia logitudinc hjSnulla latitudine.Triagularis micrus equi pfuas vnirates certo 1116 def tis tora <jd cript9iplanotria latera eqlia moftrat:vt hic .•• Hui9gnis ctia futffinitx fpcstq fic noiaf Erifluguia triagulus hfis vnaunitate in quolibet Iatcre.triagul9 hns duasunirates in quolibet latere ristorme ^eidc tres &quatuor &!c pnaturale fericnumeroru.qocs fpes facile iuenicturp cotinua additione nucrorii naturalis ordinis nullo dimiflo. Vfi prini? trianguloru cft unitas no quidc rcal’r 8dn adu^cu ipa 116 fit nucrus iiipficialis:imo neqj lincalisifcd folu pfiftua^ 3imfu'onu h's}fcd cft triagulus folii J11 potctia:& cade ronc 111 oiin forinarufupcrficialiu gfiil 9ipa merorfipu itiiitns primulocuobtinebitaiocabitiirq; prim9quadrai9prim?pctagon96:c.hns,l.iin5 ius foemz vnitate in quolibet latere.dimiiTo ergo hoc primo triagulo.Sccudus cft tcrnari^^dud? ex aggregatioe vnitatis &binarii:vn 8f duas vilitates I13 iquolibet latcrc.Terti9 cft fena rius pdiftis duob9addes ternariu.& tres vnita tes hns iquolibet latere. cft dena PARS secvnda deformis nvmesorvm titis padditione qternarii ad pccdctcs:h jq$ qtuor unitates Iq°Iibct latcre.Sffic de aliis. Qjia dragularis nuci9eqpfuas vilitates fparfi dcfcript9qtuor lata ofidit: vt ::Hui9gfiis iut duae fpes fubaltcrjix peipue:^ niicr9qdrat?&nuei9 altera pte logioriqdrat? nuerPeft qui oia qstuor latera cqlia hj.di diuidif pifinitas fpes fient &triagul? variatas ex nucro unitatu qiut in quolibet latcre.f.vna .dux.trcs.qtuor Se. Altera pte logior niier? eft qui nohs oia latera cqlia f5logitudine hjlatitudine maiore. S(i fitexcelTusI fola vnitate dr nuer9 alta pte logi or:vt :::eoqaltera df de duob^quoruvnu imediatefequitur ad ali<|:fi aut iduab?autplu rib9 unitatib? fit latcrii dria:dratclogior.i.valdc Iogior.eftq; fora irregularis de qarithme tici no curat.Gcncratur aut nucri qiiadrati(ocs ex naturali feric nucrorii padditione vao i terfcalariter dimitto cotinue.vt vnitnscprim? qdrat9.i.i potctia.cui fi addatur ternari? fiut 4-fccud? qdrat?:hi!s duas vnitates icfiibj latere.deidc additoqnario fiut* 9.tcrti9qdrat9rri umqj vnitatu icflibet latere. Sfic cofeqntcr palios qdratos de quib? fupi9 data e alia regia giiatiois corii pmultiplicatioticcuiuflibj niteri lfeipm.vbi etia niicros altera pte logiorcs; <fs vocabam9 logilaterosip ml'tiplicationc nucrorii pximorfi inaturali ordine iueniredo cuim?.Pcntagon9 vfqiuquagulus nuer9 eft qfupficiali deicriprioe pfingulss vilitates! pia no dc(cripi9 qiriq; latera cqlia cotinet.ciufq; fpes ifinitx giiantur padditione ex naturali fe rienucroiucotinite duob9diniiiTis.vtaddit.ivnitatcad quatcrnariufiut.5.niicr9pctagon9 quib9 fi addatur fepte fiiit.i 2.ter ti? pctagon9:S fic de aliis. Exagon? vf fexagul? niier? eft qui cede movt fnpiores dcfcript9 fcxeqlia latera exhibet.Giianturqj ei? fpes ex naturali fe ric nucrorii trib9 dimiffis.cptagom qtuor dimittis.octogoni quiqt dimittis Sc.GircuIaris nuci 9cft qex aliquo niicroi fcipm diufto<pdufl9:in eiidc inicru defint acf pduccbatur.Sfe h; admodfi circuli igeometria cui9 finis reddit ad prldpiii .tales nucri ex qnario Sfenario Tmguli.1.5 6.10.15.21.28. folii orifiturvt.25.&.56:Scqtnr deferiptio o^iftarfi lpcrii fil‘. Quadrati.1.4. 9.16.25.56.4 9. Suraur pdiftarufpcrii forx fupficiarniierorii pprietates Alfa pte logiorcs.2. 6. 12*20.30. multx*; earii notabiliores hx fiit.Prla eqmerito 013 Pcragoni.1.5.12.22.55.51. fperu iftarutriagnlarisniiet9cprla qiriagfiatioib? Srcfqlutf Exagoni.1.6.15.28.45.66 toib? aliarii fempeft necettari9. na ocsforx nucrorii fibi pxle Eptagoni.i.7.i8.34.55.Sc. fiprimiipnoSfeciidiifc3o:SficdcIccpsnuerosc6parauc* Circularis nucri.1.2 5.36. ris:triagularifc9nueris fefefuperant. ergo cxtriagulis giiantur itriagulofqj rcfoluiitur.vt prini9 triagul? tcrnari9 differta prio quadrato pvnitate qe tria gulus.S fcciid9 triagulus fenari9 differt afctfo quadrato lioucnariop ternariu qetrilgul? Sterti9magulus.f.lo.fupaturatettio qdrato. 16.p fenariii qeft triagulus: Sfic de alii s fcqn tib9.Eadc copatio erit iter primii quadratu Sprimu pctagonu.iter P5 Spm.itcrtcrtiii Ster tiii:&ficdcaliis:qicifdc triagulisdiffcriir.f. vnitate.tcrnario.fcnario Sc.Simirrpntccp.iri petagoni ad cxagonos.S illi ad eptagonos.S fic dealiis. Sicut etia igeometria triaguluseft pria figurarii fupfcialiu excepto circuloicja dux reflx Iincx qjtiiciicp applicatx ad agulu 116 pficiiit figura.vn oes alix figurx gcometricx ex triagulis fuit itriagulofcp reloluxitur :vt a lias videri h5. Sepa .pprietas qqlibj fora nucri fupficialis padditione nucrorii naturalis or dinis como cf pdixim9 gnata:tot vnitates h5 icfhbct latere fux deferiptiois ex quot niicris aggregatis gnata cft.vt ternarius aggregatur ex vnitate &binario.i6duasvnitatcs h5i quo libet latere triagulari.fenarius feqns tresvnitates cj[ aex tribus aggrcgatur.f.vnitatc binario dC ternario. &ficdcaliis*Eadc ro eft de quadratismaqtcrnarius h5duas vnitates iquolibj Ia tcre:qa ex duobus nuetis aggregatur,vn itate.f.& tcrnario.nouenarius I13 trcs:^a tres nue ros aggregatifna giiatoe fiipaddes duobus primis qnariii.Pariformif fehfit nueri petago ni ifui slatcribus.ua (Jnarius aggregatus ex vno 8iqtuor duas vnitates I13 iquolibet latere* duodecimus tres vnitates: &fic de aliis.Tcrtia ,pprictas:fi quadratus quadratu multiplicet nudin^duftus nue.tus fcp eft qdratus.maior tfi&alius ab eis :vt nouc quater fut-56. &fic de aliis.Qjiartapprictas.finuctiis altera pte logioraliii altera ptelogioremultiplicet.fcrtius altera pte logior Ide pcreatur.vt bis fcx.funtM 2.& fic de aliis. Qjaita pprictas qfi 'qdratus multiplicet altera pte logiore vel ccotra :pduft? minicrusuieq equadratus neq; altera pte logior; vt bisquatuor.S.&ficdcalus.Sexta pprictas qois quadratus ex duobus (ibinx^ 0twdrS Qislarte tot mo (it. Siuadrata foiir.n. Sltii-fl j?tc longiot. $nuttion dratoifmOc rorn 1?addi tioneni 5nu£tio at tcrae«c(5 fora fidfit Etagona foFotJilfe i£ircu!cria fora jil* SnefWaK unifomurfi .Vpjktasco i.^ptietaa T*a>pjfcta« 4*4>pifc. f^piictaa Solida fo: ana cid flt. Jmzgma ti ofolfde fo;me fotefott dc fpca fofa pir.1 mldalfsitd Spleeius infinite ©cfcriptfo forepiratiif dalie •jjhframfdfi 4»p:letaa. £lnid inte gratddcnr ta ptramie SHCVNDI LIBRI ARITHMTICAE fuprapofitfs tfiagulis fimradditis gfiatnr.vt qternari? ex vnitate &tcrnar/ouiouenari? cx 3.&.6.pariter.i6.ex,6.&.io.Eader6neois petagon? exduob? eii pximo pcedetft^nucris gnaturaltero triaguIo&altcroqdrato:vt.5.ex.!.&.4.Simirr.l2.ex.5.&.9.Eadelege exas gon? ois extrlagulo &pctagono.oifqj eptagon? cx altero trigono altcroq; exagono .pcct* dir:& fic dc aliis.quo fit vt oes forx fupficiales extrigonfs cofurgerc:& in eofde refoltii faci limedcphcdatnr qd no foliiadpiftagorica:fed ctia ad platonica doftrina irelligcda magui efie momenti reputatur ab oib? doftis.haftcn? igitur de nueris fuperficialib?. Caput fccundudenumeris folidis vel corporeis* Olidus nuet? fiue corpore? eft qfparfim pfuas vnitates defeript? Iogitudincdatitndi J^/iie:&nltitndine^q craifitudo vel pfuditas appcllatur)hre vf:trinacj difteditur dime li6e.Q_dvtfacili?itelligatur:rcppetam?imaginatione geometrica deimagiariadeferiptoe vfpiuftoe cotinui ex idiuiftbilib?.q licet irc nulla fit: vtilis e tn imaginatio illa ad multa rc ftius itclligcda.nccpptcreafcietia: mathematica: fiit deceptorie imaginares qdnoeft.qavt ariftoteles h5 .i-phificoru abftrahctiu no cmcdacm.ficut ergo cx fluxu pufti Iinea:8i ex flu xu lineae fupficie defcripfim?ta in diferetis qji corinuis: fil'i imaginatioe cx fluxu fupfitici cralfitudine &corpuietiadefcfibere poterim?:vt Euclides facudifiimc docet i.n.Iibro fue gcotnctrix.fi ergo fupficiale nucrxi alique ad fcipm vl‘ad ahii aut addidcrimPautmftiplica uerim?:folidunueruidec6ftituem?.vt bisqtuorfut.8.qcftmler?folid?:&ficdcaIiis.rcfh? tfi imaginatio folidoru niicrorumultiplicatoe q; additioc c6cipitur:multiplicat6c inqj dic duplicata:! qtres nucri pferatur:quoru prior logitudine.fcques latitudine: terti? vero pfu ditate cxbibct.vt bis duo bis fut.8 .niicr? folid? hn9 duas vnitates in logu bftotidc in latilvt hic ::qfiguraqdrat3fiitcrupimagiiiationedefcribaturialtil:habebitnilcr?illcetia du* as vnitates in pfundiueritq; totus nuet?. 8.vnitatcs qsdfdm? bis duo bis:qa duas vnitates bisiplanodcfcribctcsgdiiaslineasfecim?qternarm:q 0bisdefcriptoipfundu:c6ftitm?cil oftonali?:eade ro eft dc iftis bis duo tcr.bis tria tcr.tcr tria qter.8 fic dc aliis.Nucri folidi y niicrx funtfpcs:ncq; anobisoes cxplicabiles.funt em <|da nucri piramidales.alii cubi, alif aircres:aliicnnei.aliilatcrculi.aliiparalellipidi:vrvtaliidicnt parallel epipedi &c.&tadenu meri fphcrici.Haril oim fperii fola pria additoc nucroru& diifinif &pcreatur:alixvero oes replicata vt dixim? nuiItiplicatioe. Pira midalis nuci?cft folid? cj cx aggregatoe pluriufup ficialiu niicroru eiufdc fpei refultat.vt cx plurib?triagularib?niieris fitvna piramis. fimitr cx plurib9 qdratis:aut ex plurib? petagonis naturali ferie difpofitis.vn eliciutur duo ccrtif fima. Primu $nilcroiu piramidaliii funt ifinitx fpes variate iuxta fpes niicroru fupficia^ liu.f.piramistrilateraqfitex triagulis.qiiadrilatcracx quadragulis.pctilafcra cxqnquagu lis Sc.SccJm eft facilis mod?gnati ois aut iuetiois mieroriiiftaru fperii qfult padditione fu perficialifi qs oes ia nouim?.Sed piramis ita fc hj iter mieros folidosficut fc habebat triagu lus iter mlcros fugf/cinlcsiqa ipa eft prlcipiil oijfolidarii formam.debetej; iei? defcriptioc fieri talis imaginatio qvnitasponaturfufpcfaiacrc.dcide fubca etiaiaereponatur terna rius.fub q’tcrtio ponatur fenari?.S! ficcofequctcr poes numerostriagulares dcfccdedo.cx eisoibus refultabit vna piramis trilatera magnaviparua pm qplurcs vel pauciores triagu losaggrcgat ifua c6poiiti6e:cuius piramidis agulus eft vnitas:bafis vero evltimus triagu lorii litb ea pofitorfi.Eodc mo cdeferibeda piramisqdrilatera fi fubvmtatc cofcqcf ponag qdrati nticri.&piramis petilafa fubvnitate aggregat iiiierospetagonos.&ficdc aliis.vt hic. Trianguli. 1.3.6.10.15. Piramides trilatere. 1.4. 10.2,0.55. Eftauteoim piramidalix^hxc Qjtadragri.1.4* 9.16.25. Piramidcsqdrila. 1.5.14.30.55. ^prictasqvnaqqjpramistot Pentagoni.1.5*12. 22. 55. Piramides peti. 1.6.18.40*75. vnitates hjiquoliby larerefux altitudinis cx quot fupficialibus numeris aggregatur.vt trilatera piramis qeft.4. I^dim vnitates in altitudinc.dccc h5tresvnitates &c. SimilVquadrilatcra piramis.5.113 duasvnita tes in altitudfne. 14.habet tres vnitates &c.Eode mo pctilatera piramis.6.habet duas vni* tates.18.tres vnitates iquolibet latere fux altitudinis: &fic de aliis.Scirc ctia oportet qfunt qdapiramidcsitegrx:alixverocurtxvrmuicatx quasgrxei coluros appellat.Intcgrx pira mides fuut quas prius defcripfimus.fcd curtx diceretur fi cx pte aguli piramidis auferretur PARS PRIMA DE FORMIS NVMERORVM. aliqui numeri fuperfidales pcrtinctcs ad eius integritate. &tunc (i fola vilitas ftiprema au feraturzdicitur curta pi'famls:fl aut etiii auferatur priniui numerusfupcrficialis fubvnita te pofit?:vocatur blfcurta piramls.8i fi adhuc auferatur ali?fequcs fupcrficialis: vocabitur tricurta pi ramis Si fic c6l'equentcr.& hoc verii eft in oib'-)fpcciebus piramidaliu nueroru. de quibus ia fatis.Gubicus numerus eft qui cx duplicata multiplicatione alicuius nueri p fcipm coii furgit.vel clari? fi in replicata ihultiplicationetres numeri equales ^feratur vt bis duo bis funt. 8*ter tria ter funt, 27 .& fic de aliis.Hui? fornix prima .pprietas eft q> qli bctctibPhjfexfuperficies equales.ofto angulos folidos.&duodccilincasfiue latera eqlia. quomodo aut debeat imaginari hui9formx &aliarii fequentiu corpulctia vel altitudo qe tertia dimcfio:fuperi9in principio hu^cap.dcchrauim^.Scdapprietas q> fi cubic?mler? fe vel aliu cubicii multiplicet.femp inde pducitttr cubic? maior eis .na ofties. 2y.funt. 21 6 qui ctiaeft numerus cubus extrib? fenariis replicata multiplicatione pcedens.vt dicedo fexies fex fexies.Cunc9numer? oppofitas coditioncs h5ad cubicu .quia omnes tresdime fiones habet incquales:fitqj cx replicata multiplicatione triti mimeroru incqualiii.vt fi di cerem fexies quatuor bis funt. 48.vel fic.quinquies quatuor ter funt. 60. Iftc numerns a grxeis vocatur fcalenos quod latineeftgradatus.dicituretia fpernifcoh.i.cunc? ad modii illi? corporis cui?longitudo eft maior latitudine.latitudocp maior altitndine.Aficr nume rus eft ad moducorporis ferratilis quod; vocatur tabula ercfta iitaltum :produdtnrqj cx replicata multiplicatione triu inequaliuded aliter cp cuneus.na in aflere longitudo eft mi nor latitudin e:&latitudo minoraltitudine, vt dicendo bis tria quater funt,24.aut bisqua tiior quinquies.funt.40.8(c.Laterculus’ numerus deferibitur admodulareris quadrati cu ius Ion gitudo& latitudo equales funt fed altitudo ininoreis.vr dicendo ter tria bis fut.18. vel quater quatuor bis funr^z.&c.Paralcllipidus micruseftadmoducoiuuxquadratxcii ius ion gitudine Si latitudine equaiibus alritudo maior eft: vt fi di dicam bis duo fexies. fu t 24.vl‘ter tria ofties fant.72. &c.Prxter has formas folidas funtalix plurimx fpecies figu rx latcratx tum regulares tiitn irregularcs:de quibus non eft modo dicenda per lingula; fedex geometria funt requirendx.Sphericus numeruscft cubicus talis.qui admodti fphe rx terminatur in numerum illum ex cuius mulriplicationeproceififcficnt &decircularib? diccbanms.vt quinquies qtiinq, quinquies.funt. 12 5.vel fexies fex fexies. funt. 2id.&pre terhosvixalii reperientur:nifi vellet quis vnitatem &circularem Si fphericum numeru appellare: quia per^omnem multiplicationem reddit ad feipam.vt dicendo femel vnuin. uclfemel vnum fcmcl:quidani etiam dicunt q>. 64.eft numerus fphcricus quia aquater# nariocubica multiplicationeprocedensad quaternarium terminatur.fcdapudarithineri cosnon confueuitnumcrusfphericus appcllari:nifiillecuius quadratus etiam fuit circus laris.hoc autem non habet prxdifti numeri quadratus qui cft.i 6.incipiens aquaternario &ternarius in fenarium. £aputtertium Oc comparatione quadrato?u &altera parte longiorum numerorum. EFORMISergo mimeroru tam multiplicibus fatis diftum fuiflfe pufarcmus:& fine huic tractatui faceremusniifi quia boetiusex nu meris quadratis Si altera pte logioribus magnum facitin philofos phicis theorcmatibusfacrametu.Ideonediuina ei?imaginatioiu# tilis videatur anobis reputata:breuibusea bic coiligem?verbis.In primis anotates nueroru quadratorfi Si altera pte logioru hacno# tabile differetia:fi no ex multiplicatoevt oli:t"5 cx additoe nueroru eos voluerm9gnarc:q> qdrati nueri ex naturali ferie ipariu: f5 alta ptelogiores cx nueris parib? feriati ordinatis cotinua additioe pcrcatur.vt ptjhic. d Cubfca fot ma4d iit. (Cubice fot me.ppiicta teamie. T^ditia L^ipileU* £one’ nile roe4d fit anVrnde ruo 4d fit iattreul* quid eft. Iftaralelft pid^dlit , Spherica fozmanftc roiuqd «iit ©Fle iftarfi foH rfanie.pin» jSnodecfa Certladcd ma polTibilte. XWatia a< pfeciaamio uia. Jjtueitificrl foiidfi nb* fnnt trca^J poaion.iii= laies. Jn dfdtm nfieria o5« colonantic muflcalcs JSts publi caeftppor tioiwliiaa. Sp5s poli Marum f« prccipue Srltfjmcti <®4>P-PflU torii poi2* Srmonltf propor.op tlmats. ficotnitri ca propo1’* pplariW** SECVNDl LIBRI ARITHMETICAE _ armomcx.Dnodecima flent maiorad miorc fic differentia corii ad differentia daoru mas ioriivt.6.7. 9.«Tcrtiadecia flent maioradmiore fle differentia eoruad difPcretia dnoru minoril .vt. 6.8. 9. Poflhas fequntur alix fex ipoffibilcs dc quib9 pri9 dixim?.& ex fupr* diftisnona ipofflbiIiexiftente:arc£fecunda 8 ifexta ad vnareduftis.ftfroftaua &decima peada coputatis: reflat vt dixim9 dece notabiles pporrionalitatu fpes differetes vt p3 hic Arithmetica prima .1.2.3. Qjnnra .4.6.7. Nona impoffibilis. Geometrica fcciida .1.2:4 Sexta geometrica Decima Armonica. .5.4.6. Contraria tertia .2.4.? Septima .1.4.6. Vnderia cdrraria .5.5.6. C^narta .5.5.8 Octana armonica Duodecia .6.7.9. Vbifoledccemhiitnueroscxpflbsqaillefolc Tridecia .6.8.9. fnnt pofiibilesS aliislno coicidetes vt patetex didis. Reflat niicp coclnfioe hui? nree arith meticxitroduftidis vt de maxlapfcftaq? armonia difleram9:q trib9 nucroru intcruallis tcftc boetiocoft/tuta magnavToptinetlmuficimodulamis tepera,mctis:&i fpeculatione naturaliu qftionu pferti apud platone &piftagoricos .hxc at armonia qtuor numeris fo« iidis coficitur qfnnt .6.8. 9.12.1 qutb9tresLiudatiflime pportionalitatcs prime, atq; oes c6i'on5fj'x muficales difertifflme anotatur.Qjiod at hi oes fint nijerifolidi: hicpbatur. cp mftipllcatioe replicata triti nueroru qlibct corii explicari potcft.vtfcmel duorcr funt.6. bis duo bi s.funt.S .fcmel tria ter fut. 9.& bis duo ter funt.i 2.q> at in eis fit pportionalitas authmcticadamcftcoparatis duobus extrcmisadvnnmediu.f*9-geomctrica vero:fi ca de extrema ad duo media fic referatur:q> iicut prim9 nucrus fe haber ad tcrtuv.fic ficund? adqrtu vtrobiqj.n.eftfef^altera pportio.armonica at:fi extrema ad vnu mcdiu.f.8,adap tcntur.vii &pprictates hariipportionalitatiiflipradide his nueris ficcoparatis manife= ftiifiniecouenietpfcrriillcqdemultiplicatioe vcladditioncnucroiumcdiorufii extreo ni loqbantur.Dc cofonatiis muflcalib? fedlis cflpbatio na.12.ad 9.vel.8.ad.6 eft diatefe# ron. fcd.i 2.ad.8. vel. 9.ad. C.eftdiapentc.haru duarii cofonatiaru differetia eft fefqoftaua pportio qdi dicitur epoedus inter. 9.&.8.dcide. 12.ad.6.eftdiapafon cofonatia.fed diffc rentia niaximiadpnmunicdiucoparata ad differentia duorunicdioruadinuiceefldias pafon cu diapentc.tande di fferentia maximi ad fecudu mediu fc habet ad eande difFerea tia duoni medioru iqdrupla pportioc qeft bis diapafon cofonatia. Nouiffimevcroflcut pportionalitates fupradiftas virtutibus moralib9 coparauimus:(^q ireginue rei publicx maxic'funtnccefiarix[) fic caru tres prime fpes:trib9valdc.differcntibus rei publicxfpe bus coaptari poffunt.ponit ctia ariftoreles in ftio fuorii politicoru libro:fex rcrii publica ru fpes tres primasrefttas&ftudiofas qfunt regnii.optimatiis.& res publica:& totide traf grelfas &v/dofas.f.tyranidc.paucorupotemia.&I popularitate.bonarii at &mal3ru poti fima hxc eft differentia :q> in bona re pubica qmaiores fnnt virtute merito &prudentia: pl9accipiutdehonorib9&bonisreipublicc:cpmioresiit talibus pfeftionibP. fedi mala di tiranica re publica accidit cotrariu.qa miores virtute &merito:fiunt maiores ia honos re &pticipatione bonorii rei publice.Quia igituriarithmetica pportioalitatc imiorib? termis eft maiorpportio &ecotra:paucori1 potentix tippil gerit. Armonica vero ,ppor tionalitas cotraria hfiscoditionc optioru gubernationi aflimilatur.Sed geometrica pro? portionaliras qivtriftp nueris ,pportionu feruat xqnalitate:rcfte popularitas dici poteft. hxc ct alia multa nobis .pfcfto in acceffibilia arithmeticx introduftioncs comoda addu* ccrcpoflunt.In his tamen qux rudi noftra minerua copegimus arithmetica pguftamejj ta:laus omnis &. honor fit fummodeo feientiarum Iargitorii:& maioribus noftris quo» rumopinioaibus communicauimus» Arithmeticxintroduftionis finis l^etriXiriicliBaroceftsqucIliucula preuia in Muficam fpcculatiuam Diui Seucrini Boetii, &eluddationetbeodceAhw ficc^qua dintts Scucriniis Boctiits compcndiofe ex anti** quioribusaitiftoribus recollegit modo quoda introdufto rio) Videtur in primis quetetidu an theorica ifta Philon fophorucocordetprafticeconitinium niuiicom voce aut inftrumetis conratitm. Pro cuius folutione fine argumed tiseftaducrtendirprimo: q> mufica fcietia cum fit mixta mathematica fubalternaturfcicntixnaturali pro ea parte qua agitur deaudibili &de auditu in fccudo libro de anis ma &in libello de fenfu 8i fenfato: flent etia pcrfpcftiua fubaltcrnatur eide Phificeirt quanta agit in cifdc locis de vifibili &vifu: licet vtraqj carii imaginationibus mathe niaticisrcsnaturalespertraftct:cteas dcmoftrarcconetur.nam flcutperipeftiua per punfta lineas 8{fuperficics de irradiationelucis &coloris difputabafcidcoqp diccba* turfubaltcrnata Geonictrie:fimili modo etia muflea de fonisbivocibus ages eas per* traftat rationibus nuiiicraIib?:hoc cft ac fi voces eflent vnifates Hnumeri pares aut impares:& cafde proportiones aut proportionalitates que numeris conueniunt:ifta in vocibus &fonis imaginatur.Vndc non immerito nutfica dicitur etia fubalterdata arithmcricc.Ad hoc propofitu quida exponere volunt &fatis bene anftoritatem Ari flotclis in carhcgoriis capitulo de quatitate vbi Uit:cft aute quatitas difcrcta vt nunies rus &oratio: quia vtaiuntperilla verba noluit dicere que effient fpecics quantitatis diferete de per fc an illud predicametu pertinentes:fed poti? voluit diftirtguerc duas fcietias que funt de quatitate difcrcta:altera pure mathcrtiatica.f.arith metidqUadc* notat per numeru. &altera mixta cx Phifica UMathematica, f. mufica qua defignat per orationem: no qualcniatqj fedvocalem que cftobieftii audibilc. vnde&ibi mes tionem facit dc fillaba breui Si loga. Similiter intelligcndaccnfent littera Ariftotclh fequente de quatitate cotinua vbi per linea fuperfreieni &corpus infinuat geometria que cft pure mathematicatpcrlocuautc &tcpus defignat pcrfpcftiua Uaftrologiam quefunt mathematice mixte de quatitate cotinua. Seciido cft adnertendum q> ficut Muflea fupponitcxarithmctica regulas numerorii et proportionum: que funt prin* cipia autconclufiones arithnicticc:ficetiam fupponit cx Phifica feu naturali fc/entia fonumet vocem efle propria obiefta auditus.Nccpertinctad muflea difputarc qne res fit fontis aut vox audibilis vtrum d.rcs permanens autfucccifiiTa: vel vtrii fit fub* ilantiaacrisvclaliquaqualitasacrem informans &caufata incocxcollifione duora corporum &c. Q.uia hocphiflci cft inquirere vel potius niethaphifici. Scimus enim fupet hac queftionc magnas efie &graucs philofophorum altercationcs.na qui peri tiores &fubriliores reputantur apud cos negant omnes res fucccfliuas in mnndo. vndcctconfcqucnter negare habent fonum aut vocem efle qualitatem talem quale antiquioresponcbant.f.fucceifluametnullo modo in aere permanentem fed raptim tranfcuntcni.Ifti vero potius fonum &vocem dicunt cflcipfum aerem ab aliis cor»» poribus percuflum autinter caconftriftum et diuifnm :fed dc his alias operofius. Nunc autem fatis fit nobis q> mufica noftra ad omnes illas philofophorum ditierfls tates comunis &in differes cft: du modogeneraliter et cofufe detur fibi aphilofopho fonum efle obieftnm audibilc: quicquid illud flt:ct fiueper fc fiue per accidens ab auditupercipiatur. et in haefeientia ficutfn pcrfpcftiua &aftrologia omnia vocabu? Ia propria funt mixte cognotantia adduntqj fignificationem Phificalcm fuper ter# minosarithmeticos.vtdiapafonfupcr duplam proportione.Diatefaronfuperfefqui tertiam. Diapente fuper fefquialtcram.& fic de aliis.cognotant enim tales proportio n,cscfl~e rcsaudibilcs. Tertio cftaducrtendum q> mufici vel cantores praftid vix aut •Taro vtuiitur fupradiftis terminis muficc rpcculatiue fcicntie:fcd ad faciliorem intcls •ligcntiam finxerunt fibiquedam vocabula fui cantus punfta denotantia quefuntrvt rc.mi.fa.iol.la.Et pcrtalia punfta afccndendo vel defccndcndo faciunt in vocibus co -fonantias aliis tamen vocabulis ab cis nominatas. Namquod thcoricus muficus vo* eat diapafomprafticusdidtoftauam.et quod ille diapcntc:iftc quintam nominat.Si* militer diatefaron vocatqnartam.Diapafon cum diapente duodecimam, bis diapa* fon appellat quintamdccimam vocemfub vel fuper aliam. &fic de aliis multis hinc et inde differentiis: que folii verbales funt.Nain re vtriq; ide dicut. quod fic declaras mus.ponatur cp vox prima in aliquo catu fit eleuata aut deprefla vt quattuor.tiic alia vox que fuperillam afceditper fepte vel ofto ex illis punftis que ponit prafticus mu ficus:facitad eamconfonantiam diapafon.que folum per quinq5: diapente .& que per quattuorrdiatefcron.Nam ofto dupla proportio eftad quattuor. quinqj vero fu# per quattuor fi non omnes flnt toni integru-eft proportio fcfquialtera. Quattuorde niqj punfta fi etiam non omnia finttoni: cft proportio fefquitcrtia.fimiliter vna .duodecima efttripla. et vna quindccima eft quadrupla proportio: que bis diapafott appellatur fimilis procefus obferuatur in defccndcndo fnb voce illa prima fupradi# ,fta que fempercftrcputada vt quattuor. Sed ad cuitandum oes fcrupulos cftfciendii: q>in punftis illismuficeprafticeeftdiuerfitas. nam quidam eorum afccnduntvcldei fcendunt per tonosintegros qui reputantur velut vnitates.Alii vero funt femitoni: & nooesequales.Iteintertonosaluficnt maiores alii minores: qjuis inhocfcpiuspra ftiddecipiatur.Seddchisiafatisrnaindifcurfuhniusfcictie deraoftratioiie cuadent omnia qsmanifcftifTum. Has dcmonftrationcs nuper cx Arithmetica iordanidedu# ftas:elcgantcr adiecitmagifterlacobus Faber natione gallus hacnoftra tempeftate philofophusinfignis ctcelebratifiinius.Qui vt in ceteris fcientiis folct:ita&iu Mu# fica introduftioncm edidit hanc quam aggredimur:per<| luculentiffimam. ,1 Iacobi Fabri Stapulcnfis Elementa-. Muficalia ad clariiTimu virum Nicolaum dehaqneuillc inquifitoruin Prefidentem. ***i!~“tEcrcucram clariffime virnulli meas elementorum muflealiu qualefcuncp funt prius dicare vigilias: improbatas cogiioniffctn. qsuis fdme minime lateretdcmonftrationcsrin quibus vel folis vis fcientie confiftit: non pro* bari non potuifle. Verum fi prefcntiumiudicia parui ducis rcputafqj:hiti bicx antiquis fummoperc muficos commendare labores iure valebant. Mercurius' Tamyras Ptolomcus Orpheus ~Hyfiiicnias Jhcbanus Eubolides Pythagoras Samius Terpander lcfbius Hippafus Amphion Thebanus LycaonSamius Arilloxemis Linus ProphraitusPeriotes Philolaus Pythagoricus Arion lcfbius Eftiacus Colophonius Archytas Tarentinus Mydas Phrygius ~TymotheusMilefius Albinus Corcbuslydius Nicomachus Diuus Scucrinus Boedus Hyaghis Phryx Plato Marfias Ariftoteles. Et firniliurn qsplurimi quos oes ctcrna memoria difciplinaril cbladitiffima Mufica reddidit infigncsdtcr quos duos prcceptorcs meosIacobu Labinid &Iacobii turbe* linu annumero taurea arte pollcritati vifturos. Comedant&ea mirifici ei9 effeft?. Pythagorici cmanimoru fcrocia tibiis fidibufqs cmollicbant.Efclepiadesfrcmcnti9 vulgi ledftiqncs crebro catu copclcuit. Ideqj turba furdis medebatur.Damon pytha gori.cus ebrios &proinde pctulatcs adoIefcctes:grauiorib? modulisad teperantiam reduxit.Febre &vulnera mufica modulatione curauit antiquitas. Eade quoq; faaui* tate fchias coxcdiciiq; dolores cmedamt:qd Hifmcnias theban? tetaiTe memoratur. Thcophrafhis ad animi perturbationes moderadas muficos adhibuific memoratur modulos.Ncciniuria quidc.cftcr.ini mufica vtqueda moderationis lexatep regula. Ojiaobrc betio iure cos ridebat Diogenes muficos:qui eucithara ad harmonicos c5 fenfus haberet tempcrata:animu gereret incopofitii &prorfus harmonia vitedeftitu tii. Xenocrates organicis modulis lymphaticos libcrauit.Talcs Cretefis fuauitate cis* tharc:morbos pcftilcntiacp fugauit.Tcrpader &arion Aones &lefbioscatu agranif* fimis morbis Ieuaflcrdiuus Scucrinus autor cft. Herophilus medicus egrorii vena» muficis pcnficulabat numeris. Tymotheus aut muficus dum voluit efferatum reddi dit Alexandriiad armaq; furentem atq; aliter cum libuit abarmisadeouiuia retraxit cmollitil.Thracius Orpheus ferarufenfus fidibus:catuqj inflexit, hoc efl ferinos ho* minii mores leges ad cithara cancdo ad moderata humanitate reduxit. Ccrui fiftulls capiutur ftudioqj modulationu detinctur.Cygni hyperborci citharc catibus alliciilc tur.Elcphatcsindi organica dulcedine permulcetur.AuicuIefiftulisirretiiitnr.Teue* ros adhucinfantiu fenfus pcfmouent catus: crepitaculaqj vagientn fedat. Delphinos fuis fibi fidibus cociliauit arion. Serperes catibus riipuntur. Sepultori! manes catibus excitatur.In aftiacolittorc mare cithara perfonare memoratur. Megaris cithara per* fonatfaxu:& adcuiufl.ibctpulfantis iftufidicinat.Etpoficm pleraq? talia vir clarifli* mead mufica comcndationcm adducere.At tot tatifqj &recentiu &prifeorii comcn* datam autoritatibustibi niicad meatq; bonarii litterarii ftudiis dicata difciplinam: equo fufeipias animo tuis aufpiciis lucem habitura. Et mevnum inter tuos clietulos tuarum virtutum tuiip nominis obferuatorem cfle cognofcito. Vale. aii MVSIGE Iacobus Stapnlenfls Iacobo Labinio &Iacobo Turbelin» Muficisffuischariffimispreceptoribus. Vodinter oratorem atqj rhetotarid inter cantorem &mulleum inttfeffe Volunt:neq5toratorem quemeg dici mereri qui idem rhetor non fit.ita ve* iftrum femper iudiciu fuif.vt ne cantor quidedicl mereatur vnqhqui ide Jmuficus non fuerit: pulchre mimos: ethyftrioncs acantorum honefto ce* tu fcqucftrantes tanqj Epicureosafobriamenfa:caftoqj philofophorum dogmate, nec iniuria namHomerusdiuinus Poeta vbiqj doftumet feria modulatum introdu cit cantorem vt apud Odyffeam vbi Penelope PhcmiuFidicine ad ncruos verba mo nentemhis verbis allocutam effingit. Prctcrea illachrimans diuum eft affata canentem Phemi multatenes hominum mulcentia peftus Facta hominum atqj deunuct que laudem autoribus addunt. Exiis pange aliquid. Etquales Homerus probat: vos minime tales effe dubito vt qui dudum avobis prf# rna muficcsrudimenta perceperim. Quapropter ad vos noftros labores examinati* doscommitto,quos eo libentius me fnfccpiffe fateor:qno muficalem fcientiam neqj apudGrccosncqj latinos quidem vnqjelementis traditam effe legerim: at introdu# ftiones qjplurimas inter quas ea omnium nobiliffima eft quadiuus Seuerinus Boe* cius fui monumentumreliquit.quem vnumin hac re preferti delegini meorii ftudio rumducem. Si ergo probaueritis fatis mihi eft. In re enimnoftra malumus aliorum indicia feqnftqj propria probare. Valete. Antiqui quidc mullea fcripfcrunt. Infigncsex recentioribue qui de eadem fcripferc. Democritus Plato Albinus Heraclides Ponticus Ariftotcles Diuus Seuerinus Thimotheus milcfius Thcophraftus Bafilius Philolaus Pythagoricus Nichomacus Hylarius Architas tarentinus Ariftoxcnus Auguftinus DuoTheodori Ptolomcus Ambrofius Xanthus athenienfis. Gelafius. Argumentum quattuor librorum muiices. Primus liber intcrualla niufids modulationibus acomoda difaitit. multiplex: du* piare /triplarc/quadmpIare.fHpcrparricuIareffefquialtcru/fefquitertm/fefquiofta uum/bis fefquioftauum/ter fcfquioftauum:quaterfefquioftauum /quinquies &fe* xies /fefquioftauum. Secundus de tono/integrotoni dimidio/femitonio minore/femitonio maiore^ comate /fchifmate/atqjdiafchifmatc. Tertius de fcfquitono/ditono diateffaru /diapente/diapente &tono /diapafon/ diapafon &trifcniitonio /diapafon &ditono/ diapafon &diateffaron/ diapafon SC diapetc/diapafondiapetc&tono/difdiapafon/acintcgrotoni&cofonantiaruoim dimidio.Et de niaximarii Harmoniamoofonantiis: &quamdam medietatum. Quartus de monochordo/tetrachordo /pcntachordo/hcptachordo /oftochor* do/pcntadccachordo/diatonicis /chromaticis/enarnsonicismelodiis.Et de melop diammodis.Ethccfubbreuitatecontraftarargumcntumlibrifunto, Iacobi Fabri Stapulenffs Elementorum Mutica* lium ad clariffimum virum Nicolaum dchaquc^ uillc prcfidentcm ParifienfemLiber primus. Diffinitiones Ntcruallum eftfonigrauis acutiqj fpaciorum habitudo. Spacium vocamus neruu: chordam: expiratum aercm:ct quidquid fimilc eft:a quo fonum elicimus. Multiplex interuallum eft quoties maius fpacium cotinetminusplu* ries.vtbis:et duplexintcruallum dicitur, vttertio: et dicitur triplex, vtquarto et quadruplexnuncupatur.& hocpafto deinceps. Interuallum fuperparticularc eft cum maius continet minus: &parte eius aliquam. Pars eft que metitur totum:ipfum aliquoties fumpta reftituens. Si maius continet minus et eiufde dimidium:fefqualteru nominatur interuallum. Sfmaius continet minus et minoris partem tcrtiam:diciturfefquitcrtiuni. Si vero continet minus ct ehifdem minoris partem oftauam :epogdoum:fc fquioftaf uuniqj nominatur. Et ita reliqua fupcrparticularia interualla perfacile eft diffinire: fed parum mufico conducuntpropofito. Superpartie*autem diceretur interuallunxfimaius contineret minus et minoris par tes aliquot:que partem vnam non efficiant. Numeri fuutadinuicem primi:quos iola metitur vnitas. Dignitates. i |fa^yii,Vicqnld metitur altcrum:mctitur ct omne menfuratum ab illo, xKfgfyl] Compofitum in ea refoluitur fimplicia:ex quibus componitur. 5IklsfJCuiuflibct numeri pars eft vnitas:ab eo denominata. 4•Vnitas in quemcunqjnumerum dufta:ipfum producit, 5Quicquid metitur detraftum etrcfiduum:metitur &totum. 6Qjiccunqs vni ct eidem equa funt:&cainter fe funt equa. 7Et que interfc funt eqna:ciufdemfunt equemultiplicia aut fubmultiplicia. 8Eorum quorum tota funt equa:ct dimidia funt equa. 9Gjaicqnid bis auftumaliquid tranfccndif.idvitra illius dimidium effe ncceffc eft. 10 Etquod duplicatum non implet mtcgrum:id profefto non continet dimidium, uOmnctotumeftmaius fua parte. Petitiones. iData cquali chorda:que fpacii ad fpacium proportio eft:eam efle 5i foni ad fonum. xInter numeros fola vnitate diftantes:nullum intercipi poffc medium, jSpacium quodlibct in qnotlibet equas partes diuiderc. 4-Totum ad fuam partem:etlaxius ad fe tenfum:grauiorcm fonum edere. 5Omnem proportionem effe tanq;numcri ad numerum. 6Si numerus numerudatu multiplicct:ideq5produftii diuidaf:mimeru datu redire. 7Si numeru datu numer? diuidat:& qd puenitrurfus multiplicetmunieru datu redire 8Extrcmoru proportione exmedioru proportionib? vt fuis partibiis cffccopofita. Extremiordinataru proportionu:maximusminimufq5terminus intelliguntur. CE Scictiafubaltemata qualis ad arithmeticam 2Duflradl:p:incipipifs et bcmoriftratisfcieiitiepjfotfa fubaltemantifqjvtuur.Strtuduimusvtcpfieripoteltrariirfmcidinhacbifdplinaffat.verumpIerficp vbi opoitunumvidebitur alio $> in arithmeticis factum eft vtemur ocmonflrandt modo: quo flugula magis er ptopnfs facta videantur quisarithmetico futfragto atqs ifs que in arithmeticis monflrata funt eadem pto* ptiuefaciliuiqsfierent: attamen quando id fiet 7quando nonfequentibus Dcmonftratlombus cuilibet per qperfpicuum euadere poterit. aiii MVSICE SIInteruallum multiplex binario multiplicetur:id quod fit ex hac multiplicatio^ i ne interuallum multiplex eft. D' 1 c | is ‘ 1 ! 4 1 XDuItlpler er Duplatione, 4:ZDultiplerinteruallum. 3 1 » CE interuallum binario tmiltiplicarcrcft interuallt habitudinem Duplare quequo pacto Duplanda fit du* dumtertia ptopoiltione quinti Srithmetices notnm efie poteft.vt fi abfit interuallum quodeunqs quodbf nario multiplicare iubcamurrlpfum pertertiam quinti multiplicabimus fi Ducimus ain fe et bin fc p:oues> niantep dceritqj productorum oetcDuplet interuallum interuallo producentium ab.t&trod fi rurfum ou« cimus ain bpioueniatq,- productum ceritper fertamquarti que proportio Dadceadem ead cet interuab lumo c(n duo equa partitum. Sed cito nunc vt interuallum a b fit multiplerquemadmodum proponit propofitio quod modo pauloaute ofeto: binario tnultlpliccturrfitcp Duplum ocet ea proportio dad et c ad c: Dico interuallum d ad ccITe multipler, THam cum aad cmultiple* iit interuallum cum geminatur mania fertum cftmultiplcr addi multiplici quare per vicefimamfecundam noni arithmetices ftatim notumeft interuallum eompofitum multipler efic.r propofitum. Sedidem aliter l?ic ocmonftratur: t0.uoniam enim queproportio aadbcaclt dad cet cad c. namvtraqs proportionis Duplate aadb medietas, ip-roportio autem aedbpoflta eft muItiplersigltur et proportio d ad c multipler eft, metitur igitur per Diffinitionem multiplicis :eipfum Dvel bisvel ter vel oeinccps. £teodem quoqj iure ctoties metitur ipfum e. quare et c perprimum communem conceptum metitur ipfum a. d&uidqutd enim alterum metitur: metitur et oins* ne quodmenfuratumeftabillo. Cftitaq? per Diffinitionem interuaHum a<multipler. quod erat often* dendum. Si fuerint termini proportionalifer conftitutircum primus fuerit vltimo compar % ratas fi primus vlt/inuni fuerit nicnfiisrmcticturetfecundum. I '4j81I 1 1 2 1 4 j Sbctrcstcrminfproportfo *M‘ 1 0 1 * j f j nales quorQ anumeratb. CEKametetfi bancDecimatertia quarti Demonftret fiifficicntcr: eam tamen amplius bot in loco volumus manifeftare. Sintenim abetermint piopoitionabilitcr conftftutf et anumeret croico idem anumeras5 rcb.capio enim D cf terminos in ea proportione minimos. C&uonfani enim o ad cvtaadb: eteadf vt bad c. igitur per equam proportionalitatcm quam viceilmaprima fecundi Srithmetfccs monftra t Dad ivta ad c. fed a per brpotbefim metitur c: igitur et dmetietur f, St qufa de f pofiti funt in fua proportione minimi, ergo per quintam quarti Detf funtadinuiccm primi. £c cum Dfefpfirm metiatur pariter ct f per Diffinitionem Deft vnitas. Stvero cumvilitas fit omnis numeri parsto ergo metietur e, £t elima adbvtD ad e: metietur igitur aipfum bfecundum terminum :quod erat cognofccndum atq$ propofitum. Si infernalium binario multiplicatum :multiplex effecerit interuallum :ipfum quoqp ni ultiplex erit. 1 1 1 4 ! s | Bbinteruallum binario multiplicatum 1 * I b | cmultipler efficiens. jtagcrtirff noni interuallfi (Impier multipler erit.Bt id idem aliterortlditur.lHam fi abcgemfnatum inter uallum fit multipler ffc vt cmultipler fit ad aet ea proportio aadb7bad c.-quoniam cadaerit mu!tiplcr:a per Diffinitionem metietur ipfum c.quare 1per prcccdcutcm ametieturipfum b.£ft igitur interuallum flm pletbadapi 1 4* Si tcrmfnorttm fnteriwllf prftmis ad fecundum comparatus fefe vt fertius ad qnar tumhabucrft:quotproporrionalfter medii primo et fecundortotidem tertio &quare tointcrucnire necefTceft. £medium proportionale inter oet ftertium tquartumvt binter pilmuni ct fecund um. n"u18 H8‘r **cdet*6ri 0?ancduodecimo quarti monftrat cufus adhuc l?fc vt ad fequentia momentum habehsrcognitfo proni» ptior babeaturirepetitur demonrtratio. <L©it acuiufcunqj interualli primus terminus ad cfecundum vt 6tertius adfquartum: ctUt bmedius $ portiona liter coflitutus inter atc. dico etia inter detfinteruenire vnum proportionalfter medium. Capio enim per fertam quarti gbktres minimos feeundum proportionem a ad b et argumentor er vicefiniaprf» ma fecundi per equam proportionalitatcm gad bvt aad bet bad kvtbad e. igitur gadkvt aad c. quare ct vt o ad f.at IToetf funt ifdem termini cum gkmanifefhim iam eft inter oet finteruenire vnfi proportiona» liter mcdiuiu.Binmjnusrergo per viccilmam tertii Sritbmeticcs get kmetienturoct fequaliter: fitqj id fecundum I.duco ergo 1in sbctkt prouenfant ocfper feptimam fecundi t» ad evt gad bctead fvt bad k. quare c intcruit proportionalitcr mediusterminis o«fquod erat mcnitrddum. 5Supcrpaft/cularJs interualli medius numerus: neqj vntis neq? plures proportio* nalitcr interucnicnt. IHl proportio fupcrparticularls:in ouo equa diuidi non poiTit. H18 |j S|e fpacium fuperpartieulare. abc 1 •1*1 5 1 f | ©eftre0minfmi,pportfoniiaadb. Clbancintelligirnuomullum fuperpartieulare interualhim in duas aut plures infernaliorum habitudines ;ppo:tlonefq( fccabile cITe.quod ocmonftratlone prorime fubiuncta per§> facile liquebit. CE Sita cintcnmUum fuperpartieulare quod ciuidatur in duo equalium habitudinum (padaabibe certis conftitntifqr numeris fl pofTibile cfhSirtp idcirco vt aadbita badc.capio per fertam quarti Sritb» mctieeodeftrcsminimos continue proportionales fn proportione aad b.ctqnfad adcvra adbeteadf vt bad erergo per equam proportionalitatcm dad fvt aad c. 2tquiaad cpolitum cft fuperpartieulare in* teruallumrigitur to ad fcft fuperpartieulare .2t vero quonfatu de f funttres illt’ habitudinis minimi ter* minbfgiturd et f primus tvltimus per primamquarti funt adinufcem primi. Stcum omonflratus fit fu» perparticularisadftpcroiffinltfoncm ocontinet fet cius partem que ideo per diffinitionem metitur f. £t Uca pars iit numerus cum ea etiam per communem conceptum metiatur d: metietur cnimfc partem de* tractam trcilduum quod equumeftf.non erunt ergo oct f adinuiccm primi cuius oppofitutn tam monilra tum eft 7ItnpoITibilc, erit ergo eaparsvnitas.Onc addo vnitatem ipfl frfiatg: vt g-rf foiius vnitatis difcrfmine diftent.mor argumentor dad fvtgadf. fed inter det fpolTtus cftvnus interuenire medius igi* tur perprccedentem 7inter get fnumeros folavnitate oiftantcs interucnit iutcrdpitiirqjaliquis numc<* rus medius quod per fecundam petitionem e(timpoiTibilc,non fgitur fuperpsrticularfs fnterualli vnus medius interucnit numerus, neq? quoqs eodem argumento interuenfent plures. £t batie etiam demon* liratferageiTmaprima nonf.Ct ejrbacqttocp eognofciturrcprcbenfloncm oemonflrationie Srcbftc: q> nui* lafuperpartfeularis in duo equa diuidi poiTit quam tertio fnflfrrttionfe tnuffce capite vndecfmo vfdctur di* uusScucrimisadducereuon tameflediuf jSeucrinl q> U-lic!,'omad?f aut aliozumquos interpretatu relc* gantilTtmcquitflmilcin pTerifqj tum Sritbmctice tum XDuiiec inlHtutionis locis feeiiTc comperitur. £t uonverentur quidam £pace omnium dircrfnO cius libros perlultrare non vtfeiant fed vt cxfurculent et ea tiino more IT quid bians) fubfultanfqs appareat altfus oentem infigant| mordeant ireprehendant ct fan* ctum etvenerabile TJMpllofopbic nomen ct fuorum eonuitiis lacerJt:-: quod aliorum vitium etl IT quod eft: diuiScucrini ejrclament errorem faciantqr aliorum crimine reum, ctcumnibilnorint volunt litterarios duces infectando |carpendo [laniendo omniaTcire vtdcrbatqj ftipra l|bbflofopbicos vertice* fefe gloriabun dos «tollere faduntqj quod dlapud Comicum ne intclligciido vtnfbil intclltganfquos idem ftatfnt vt maledicere delinant ammonet malefacta nceognofcantfua. Scdbccpretcrprcfcntisnegoclf offletum.de IfMjilofopbie enimqui recte fuerint natura inftituti vel abfqj monitione fctnper rectccogitabum.qut enim fecus faciunt ab eorum fe fegregant confortio et vtUbbilofopbi quales fe videri volunt non amplius «fle «ognofeantur ncceflceft. aUU MVSICE Siinteruallum non multiplex bfnar/o multiplfcctun Id quod fit ex hac multipli*. 6 cationc neqj multiplex eft:neq$ fuperparticulare. ’ 1 ‘ i 4Hcinteruallum neqs multiple* 1neqj fuperparticulare. 8 1 b I C1ScDupIatum interuallum ab quod 1quidem efl nonmultiple*. (T Siintero alium non multiple* abietDuplntn fit ae.itavtca fitpjopottio aad b?b ad c.Dico inter*» uallumac necp multiple* efie necp fuperparticulare, quoniamfl acpfimo ponatur multiple*: ergo per tertiam ptefentis et ab interuallum erit multiple* at pofitum efl non multiple*. Bt fi fecundo Diteris ac efie interuallum fuperparticulare: cum ffta adbvt bad cerit interualli fuperparticularie tnedius pto *5 pottionalie terminu» quodper ptccedentem cil impolTibilc. €ft itaqj notum fiinteruallnm non multi® ple* binario multiplicetur compotitum interuallum minime aut multiple* aut fuperparticulare efie. et ptopofitum. Si Infernaliumbinario mnltiplfcctur:at<$ id qnod ex ea multiplicatione creabitur 7 multiplexnon fitiipfum qtioqj non erit multiplex. (EflJcceficonucrfa ptcccdcntt0.Sitcrgofuperioris ptopofitfonis figura in qua interuallum acptoue® niat ct Duplatione babitudinie interualliabet non lita cinteruallum multiple*, dico itfdem interuallum a bnon efie multipIcr.THam II abinteruallum multiple* cil: cum acper bypotbefim e* interaallo abbina»* rio multiplicato furgatiergo per primamptefentie interuallum a c multiple* erit. St pofitum efl non mul* t(plc*:ergo fl interuallum non multiple* c* alicuius interualli binario multiplicatione nafcatur neqj ipfum quot» c*cuius multiplicatione ottum cil multiple): crittquod erat monltrandum. Anumero partium fupcrparricularis interualli queinvnum adafte totum rcftfc tuuntet numero vno maiore: quot interualli maiores termini fimul:minoribus fi* ® mulacccptisrefpondcant:cognofcuimir. dSitaadb interualktmfuperparrictilarcmairifefhimeft per Ditfmuioneinfupcrparticttlaris acontinet re bet «nam partium b.ea igitur pars fecundum numerumctconflituat fuum totum b:ct fit onumerus vno niaiot cioicoafumpta fecundum numerumceqtta cficb fumptis fecundum D.THam afecundum cftimpta continent b fecundum cftimpta et infuper patres bfumptas fecundum c.Stqui pofitum efl eas fecundum c conftituercvitunib.(giturafec!indumcfi:mptacontinent bftimpta fecundum numerumvnomaiotem c. St vero D politus efl numerus vno inatot c. ergo aftimpta fecundum c:continent b' fumpta fecundum D. quod erat motilirandum,£t fi cremplarem requiris Dcclaratioticmtfi aad binteruallum cil fefqttalterums quonfam afefqualtcrum efl ad b. ergo acontinet b*eius timidium: et duoDimidia per commune ptolo** quium fuum totum reddunt. ®ico ergo duo atantum cric quantum tria b: quoniam enim duo aconti® nent ouob.cKniupcr duo oimidiabque vnutnb rellituuut:crgo duo acontinent triab:tribufcp cua® dunt eqnalia. Ctfi aad befl fcfquitcriium acontinet totum bct tertiam partem b. at tres tertie beque funt vni b.ergo fuperiote argumento trfa acontinent quatluotbiquattuotqs cuadunt equaiia. innno Da ta quacuncp fuperparticulari maio:es terminifecundum ptopottionis minotem numerum: cquantur mi® notibtts terminis fecundum ptopotlionis maiotem numerum fumptis. vt fi aad bfit fcfquiquintarquo* niam minimi ferquiquittte funt <s ct f. $dcfrco qufnq? a equi futit fer b.ct in non minimis quoniam 11et 1ofunt termini fcfquiqufnte 1oacquantur 11b. £t fi aad bfit fefqtiioctauatqiioniam minimi felquiocta*» nefunt 91s«idcirco satantum funt q>tumnoucmb.£tqn(arurfum inad 1<5 fefquioctauarideo fe*deciit> aequi funt isb.ct ita in ccterfo.Scd II id non modoparticulariter fcd tvniuerfalitcr contemplari cupis ii vnincrfaliter verum erit. Data quacunqj proportione:maiores termini fecundum numerum minorii fum# 9 pti:cqui funt minoribus fecundum numerum maiorum fumptis. I | aSuBEti | 5 |.TI‘(UTI ZDuItfs 15 I pr fBSuppar 1'B 9EI | Bculares j z(1’H'mv| plicce. zJ r1utientes. | $I46 . (E0t(Ttaadbquecun®p:opotiioetam3fotterminue:bverom(no:. Dico afumptos fecundumbnume** rum minotem equos clTe bfumptle fecundum anumerummaiozem.Wam par octauam ptimi 3ritbmctl* cee quodfit et ain brcquumcfteiquodfiterb ina. ZUveroquodfit er ain btfunt afumpti fecundum b.ea quod fit cr bina funt bfumpti fecundum a.fgitur afumpti fecundum bequanturb fumptis facundum aet in qufbullibetalifs eademcftocmonltratio ?pzopoflturn. io Cumaliquot maiores termini aliquot minoribus equi funt: ea vnius maiorum ad vnum minorum reperitur proportio:que et numeri minorum collcfforum admaio rum colleftorum numerum. (Etoeceft conuerfa ptcccdcntie. i&uoniam per piecedentem minotes collecti fecundum nutneram niaioiS equi funt inaiotibue fecundum nutnerumminotumcollectis, ©ed numerus maiotum eft vnus terminus maiot et numerus minotum vnuc terminus minot. ergo eadem eIt piopottio vnius maiotum ad vnum m(no:um:quenumeri minotum collectozum ad numerum maiotumcollectotum. /ctquacp be tme vltfmecd elutiones faciles funt:vfus tamen earum paulo latcutioz eft.Tp>crptimamenim earum que nona ert:babe«* mus Unumerusmaio: ad minotem fcfqtialter eft vt trium ad ouoiouo maiotes equi funt tribus minoiibus. £tfi maiot ad minotemfefquitcrtiusvt 4ad 3: tres maiotes equi funt quattuot mfno:ibus.£t fi maiot fefquiquartus vt fad 4quattuot maiotes equi funt qutn® minoiibus. Si vero maiot fefquioctauus: octo maiotes equi funtnouemminoiibus.? ita inconflmilibue. Jn multiplicibus autem tl maiot ouplue eft vt Ouotum advnunr.vnue maiot equus eft ouobusminoiibus.Sitriplus: vnus maiot equus eft tribus. Siquadruplus:vmis equus eft quattuot.Si octuplus:vnus equatur ad octo. $nfupcr partientibus vero cofimileclfcvtil maiot eft fuperbi tertius vt {ad 3: tres maiotes equi funtquitiqjminoiib^.Slfuptrtri»* quartusvt 7ad 4: quattuot maiotes equi funt reptent minctibus.Sivero fuper octupartfensvt 17 ad 9; noucm maiotes equi funt occem ?feptem minoiibus.? boc pacto in reliquis. CE £xvltima autem banc mfupcrpartieularbus vtendi regulam elicimus. Si ouo maiotes equi funt tribus vt minoiibus quattuo:adfet|fetadnou5]octo ad ouodecim:vnusmaiot advnum mitiotcm fcfqual ter eft.Et Utres equi funt ad quattuot .’ fer adocto maiot ad minotem cftfcfqmtcrtius. Si quattuot ma fotea equi funtquincp minoiibus: aurocto ad becem: vnus mafot vnius minotis eft fefquiquartus. S£ vero octo maiotes nouem minoiibus funt equbvnue maiotum ad vnum minotumcognofdtur ferquioeta uus. $n multiplicibus. 11 vnus buobus: ouo ad quattuot |tres ad fer equiiunt]: maiot minotis eft ouplus. Si vnus tribue jouo adfer: vims mafot minotis eft tripius. 01 vnus ad quattuot: et ouo ad octo: vnua maiotum ad vnum minozum eft quadruplus.©! vero vnusadocto ouo ad fedecim:mafot minotis eft octu plus.CE ?nfuperpatientibue.. fi tres maiotes equi funt qufn® minot(bus:autferadoecJ: vnus maiot ad minotem eft fuperbitertius. ©iquattuot maiotes feptem minotibuslmafot minotis eftfupcrtrfquartns. ©i vero nouemequi funt ad occcm ifeptcm: maiot minotis eft fuperoctupar;ienc.CE£t in copolltis nu* meris flinilc cft.vt II ouoaequi funt quattuot b?oimidium vnius: quemadmodum in ouobus coniunctfs fefqualteris.quonfam 4etvnius oimidium ad ztuplumfunt et fefquiquartumtiddrco vnus aad vnumb Duplus eft at® fefquiquartus. ©i tres aequi funt ad quattuot bet tertiamvniu 0: vt in Duobus fcfqutter? tifs quoniam quin® ttertia vnius continent tres fem cl ouas tertfastvnam nonam, ptoinde vnus acon* tmebitbvmim ouaseiustertfasctvnam eius nonani, ©iquattuot equi funt ad fertquartam vnius: vt iu ouobusiunctis fefquiquartis: quoniam fer ?quarta vnius continent] quattuot oimidium |et Decimam fertam crquattiio::fdeo vnusmafot continet minotem femel|eiusDimidium)? cius vnam occimamfertflm. Si vero octo valent oeccm ?ociauam vniusvt in ouobusfcfquioceauus:quoniam occcm continent octo: et quartam: toctaua vnius ad octonos vna eft feragdlmaquarta: ideo vnusmaiotum continet minotem femellciusquar,ampartem|cteius ferageftmamquartam. £tficompo(lt(onfsferies ptotcnftotcuadittvr flouoaeqni funt fer b] medietati vnius ct quarte vt in coniunctione trium fcfqualterozum :quoniam fer continentduos ter ?oimidium vnius eft quarta pars ouotum:et quarta pars vnius eft octaua pars ouoiiu Jdcfrco vnusatripler eftb vnius (nfupcr quartam at® octaam partem bconttncna.£t fl tres equi funt ad feptem ?nonam vnius quod in tribus fcfquitcrttfs eoniunctis cuenit:quonfam feptem: bis continft tres: ttrium tertfam partem :ctnona vnius ad tres eft vfccfimafeptima. ideo vnus maiotum continet m\» notem bie| ciustertiam|ctciusv(cellmamfeptiniflm. £tIT quattuot equi funtfcptem Dodranti vnius boc eft trjbus quartis ctfnfupcroccimcfcrte vnius: vt in con functione trium ftfquiquartotumtquoniamfcptS continent femel quattuot et tres quaternarii partes: et tres quartcvnius ad quattuot funt tres oecime ferte:? occimaferta vnius eftad quattuot vna fcragetlrnaquarta.idcirco vnusmaiot continet vnum minos rem femel |et Dodrantem)et tres occimalfcrtas at® vnam fetagefitnanrquartam. Sivero octo equi funt 8dvndedm|tresoctauasvniu0?vnamfcr3gcflmamquartam:vtin iribus fcfquioctaufs coniunctistquotf1 nfamvndedm continent femel octonarium ct octonarii tres partes:? tres octaue vnius tunt ad octo tres feragcftmcquartc.?vnafcragcfmiaquartaadoctocftvnaqufngcntellma ouodccima. bine fit vt vnusmaiotum contineat minotem femel) tres cius octauas|tres lerageflmas quartae ctviiam quingentefimam ouodccimam.£tbcc adiecimuo quovfus bsrum ouarum vltimarumin fcquentibus patenttot[maiiifc= ftiot® babeatur. MVSICE ireptem etproductum biufdo per 17et venient 1sfcptimedccime {quevnum complent integram] vnam fcptimamdecimam,£(icrgo vilitas « vna vnlmtfs feptfmadedma oate fumme occem «octo pare vnafepti<= madedma.Sfvero fumme Decem «feptem volo partem oetauam reperfrctouco \-jinocto «quod piodu* ctumfuerit oiufdo peroctorpioueniettt 17 octaucquebuas vnitatcstvnam oetauam efficiunt, erant en a 0 duotoctaua vnfue totius fumme necem «feptem pars octaua.quod qucrebatur.ee ita in qufbuflfbet fe 'quinis valeatcrerdtare:babcnt tamen que particulari icremplariqr Dcmonflrationc funt oflenfa: adfequfe tia pondusac momentum. Sidnoinequales numeri ad eundem minorem comparentur: maioris adipium 11 maiorcftproportio: et minoris minor. (E€t (Int a‘b duo inequalee numeri qitoifi afit maioi [et bminouquieoparentur adeundimfnoil c. Dico a adcmafotldTcptopottionlq» bad e. iRamcfi per octaua petitioni crtremoiS aadcproportio copofita 111 er pjopoitionibus aad b«bad cvt fuis partfbue.-ergo pioportio bad cparselt proportionis aadeetpro» portio aad ctotum. «eum per vltimum eomune proloquium: omne totum maiusfit fua parte :igitur pro* portio aad emaior c(l proportione badc.etfta cequfbuilibctalifs ilmili argumento cftagendum. Scfqmfcxtadccima pi oportiorintcgrum toni dimidium fnperat. 1 1 m»1clflgli> l11 hl bj I"i IinIn101p1qIr1e|XI CE&ufntjbuius moilrauit medio ertrcmoru toni fpacio in ouo equa bfuifo: tonfi minime in ouo equa Jgeo mctrUepartiri:ctfection£I?iiic«inde altrinfec’fefqmfcpifmadecima ]et fefquffertadecimaretincreptopor» ttonl. 10ccvero oiledit fefquifertadectma p:opoition£ queillic er parte intenflonis aeuminifcp relinquitur: bemitoniolintcgrocptonioimidiociremaiojcm.etfequenomonflrabitrcfqmfcprimamdceimflm ergrauio ri parte fumptam: eodem toni oimfdio efle minorem. Sitergo vt in quinta l?uiue fpaeium abin Deccmet octo equas partes per aceef 7 reliquas notasoiuifum. ita vt abearum partium contineat occcmet octol ctcbfedcdm|« Ib occem «fcptcm.manifefhiin clt ab«cbvt p:iue vifum dt eifctouumrctlb 17 adeb 16 elTeferquifenadeciiimm qua babitudinem bico effe integro femitonfo maiotcm.quoniam enim per oeci* iimm Ijuius vnitas «fertadecima vnius: efl funittie oeccm «feptem pars fertadeeima.que fi eidem fumme adijefatur fient occcm «octo| ctfertadecima vnius. at octo bcccm «fcrtadccfmo vnius ad bcecm «feptem per Diffinitionem cft fefquifertadecima. Suntergo oeccm «octo «fertadecima vnius ad beeem «feptem et Decem «feptem ad ferdecim Duc confuncte fcfquifcrtededme.fcd ocecm «octo «fertadecima vniustper pr&> cedentem maior eft fefquioctaua ad fedeefm.lHam occem «octo adfedectm vt piius vifum «fl: fefquioctaua cfWgftur fcrquifertadccima bis aucta tonum] tonicp intcruallum tranfeendit, quare per nonum pioloquffi fefquifertadecima ptoponio integrum toni oimidtum fuperat. quidquid enim bis auctum tranfeendit alis» quidtidvitra ejus oimidiumeiTcnccefle eft. £r quo volemiore iurc cognofdtur fefquiqufntamdecimflm et omnem piopoitioncm fefquifertadecima matorcnr.intcgrum toni Dimidium fuperate. Scfquifeptimadedm.rminor cftintcgrotoni dimidio. I1911ip. 1Iis [17 18adb f efquidecfmgfcptfmatn piopoitioncm ciri |0gIc17 |a|b|nctiqiic integro toni Dimidio contractiot efl» (ESint 0ocecm «octo interuallf partes «b oeccm «feptem |cDecem « noucm «vna fcptfmadcdtna|bvc^ ro oeccm «noucm «vna octaua.perDecimam buius aad befl fefquifeptfmadedma.« cad a flmiliter fefqui feptimadecima. funt ergo c fld bduc fefquifeptitucdecime adinuieem coti functe, fed et per eandem badb fefquioctaua efl atq$ tonus. Dcnfm continet b« cius partem oetauam. atoad bpiopoitio maioiefl pro** poitloncc ad b.namvnius pars octaua mafoicll vna feptimadecima. ergo fcfqulfcptimadccftna piopot^ tfo prrbedmum proloquium minor efl integro femitonfo. quod enim ouplatft non impiet integrum: nccp id quocp continet Dfmfdium.£fl ergo notumfcfquifeptftnamdeeimam piopoitioncm integro toni Dimidio eifcminoiem. Integra toni medietatem :inter fefquifextamdcc/mam &fciqirifcptunnmdecima 14 proportionem cadere neccfTeeft. (E Iflam perDuodecimamfcfquifertadedma maioi eiltoni Dimidio: «per Dedmamtertfam CefquKepitm decima minoi efl codc tonioimfdfo.at per communem fdcntfam inter maius atep minusDimfdfo: (pfum of tnidium eonflllcrc nceclTe efl.crgo integrum toni oimidffi inter fefquifertamdeeimam etfcfquifepffmamde cimam cadere nece(Tecll.0ed id in itoto|intcgroq? numero nullo pacto vtfeptima buius monftrauitfieri ccmrfitgcnvtncqdn geometricis Diameter quadratfrcius cofte certolconftitutocp ntjmtro comenfurnripo tcft.Sed boc vltimum cr altero loeo requirendum efl. Semitonium minus:duobus tonis in chorda fubiungerc. 1* II fa clt>l el 1 I bl CE#ntclligitur femitonium fubiungi quaftdo efc acutioti parte duobus qufdemtonis adgraufotcm partem «lictis (pium femitonium collocatur, pteiuhgi vero quado (pftim etparte rchiiffioti duobustonis adbibe» tur.Cotinuo ergo per fecfidabui* duostonos in cbozda a b per notae ac&b.Sftcp abcbiptimits.* fccfis» dusfit cbt> bqui quia per oWWtfonem iti fefquioctaua ptopottionc confiftfit: iper oecfmfifepttm5ptimi l?ui9mic fefquioctaue tnittozes flint fefquitertia pzopottionci£rit ergo abibbtnfnue felquitertlo,£dui*= d® ergo abin quattuo: partes equas:* initium tertie lectionis fecio ftotam e. ita vt ebtres earfi quartarii cotincat :per diffinitione igiturabad cbfefquitertia ptopottio efi.fedfefquitertis .ppottio abiebfuperat nuos tonos abtdbfn ptopottionc ob te b.fcfk igitur dbzebper bcfcrfptioncm femiMqiunt mimisduo* bus tonis:vt pjopofitum erat fubiunetutn, . 1(5Scniitoniiimnimns:duobus tonis prcporicre. mei »1 ei i i i i jiibi CE'facio abad cbfefquitertium intcruallum et ditiido cbin octo equas partes et fitpta cverflisa: facio bt vni earum octo partium equalita vt bbearfi partiti nouem cotineat.iper diffinitiohed btcbvnum confti» tutmt tonum. Similiter oiuido obfn octo equaspaites:ivnaearfi adifigo fupta »per notam e. quare Iti» rumcbtoberit touus.funtqj buo toni cbtc b.fed ab«cbfefquitertia ptopottio tmafot cfi buob9illis toa nis in ptopottionc ab?eb. £ft igitur perbifFinitfonem abtcbfemitonium miitusiquodcum fit duobus tonis ptepontumtquonia er parte remifia illis adfuhctum.factum eft ptopofitum» 17 Duobus tonis:dicflm femitoniumqj minus fnterponerd. {Bt> ecb) CE5dem biefim atqj femitonium minueblc(vt iam quoqj bictum eft)lnteIligimus.J5itergo ab icb vtitt ptecedcnti fefquitertia ptopottio in tota cljotda ab.ab a:c vcrfusdntendo tonum per notam &.? abe verfus aremitto tonfi vt in ptccedfti factfi eft per notam e:ita vtabt bbfft tomistt fimiliter cb tcbtonus.nmnf» fefium abct cb fefquitertia ptopottionem fupcrarc duosillos tonos in media ptopottione obteb. £ftigi tur per diffinitionem db t ebfemitonium minus duobus tonis interceptum ct ptopofitum. Semitonii minoris minimos nttmefos reperire: &quomodolibet femitonm mU nus in chorda vna aut pluribus collocare* 1524 1138 Iif5 245 1 If1S1hki l81 54 l»1ei 181 1albl 14_ _1 51 tlL.m1 CESit anouenarius tboctonarius miniminumeri toni .duco ain felet’,n in b| et bin fc| et confurgfit mime* ricdc.intcrquosperfcrt«m quarti arithmetices cruntduolefquioctauilduocptoniinminimis cotinna» ti.Sit pteterea lquaternarius imternarlus<buco linede?ptodeant fgb: inter quosper fcptimn fccfidi arithmetices fimiliter coiimcti funt duo fcfqu(octaui|t ptoinde duo toni. J^uco pteterea itidem in c ipio» ticniatk per oetaufi fccfidi Sritbmeticesfadh eft ptopottio fefquitertia que per 17ptimi hui9minot cfif btdifferfiia cll hk.dico ergo I? bclTc minimosnumeros femitonif mino:is.q> emfint numeri femitonijmi' notis per&iffinitionJnofumeft.fcdqnninitnitidiaindeclarandficft. ttamquia ce funt infoa ptopottione tninimiipcr decinmoctaua tertii arithmetices funt cotra fe ptimi. tquia etiS I2aquaternarius 1noticnas rius funt contra fe ptimi.ergo per vndecfmi tertii arithmetices Ieft piimus ad c.? per bccima eiufdf I? quf nafeitur cxltcptimis etdS numero cterit pzimiie ad c.Surfus mtbternarius atqj octonarius funt adimit* cem ptimi.ergo per vndeeimS tertii tmptimtis eft adefed tcfi l[m quaternarius tternarius fint etiam pti mftergoper oceimam eiufdcm metiam ptimus eft adi?.«Cum ergoctm monftrati funt ptimi adi?: ergo per eadem decimam tertii numerus ker ctmptoductueiptfmus eft ad I?,Sunt itaqj l? tkfemitonif mi** notis numeri adimite? ptimftquare pervicefimaterti) arithmetices in fua ptopottionc mfnimi.quodcft ptopofitfi quo adboc.£t »ata quaefiq? cI?otda fl ea diuides fccfidfi mimerfil? 1earfi partifi accipias fccfidi» numerum knumerosfcilj femitonif minotis vbilibet in cadScbotda conrtitutum erit femitoni) minctis in» lentalium.?» diucrfie afit facillime tdem feceristfi caschotdas equalcs cqualiter tenfas vnifou afqj pofue# rislct partiaria earum quacunqs voles fecundi» bquarfi partium alterius acceperis fecundfikcrit tum fit pluribus chotdis femitonif minotisconftitutum intcruallum.quod eft totum ptopofitum» 19Semitonium minus in minore q; fefquifeptfmadedma fit: proportione conffftft* Q.110 fit vtregula femitoniifutuendi: non fit differentiam extremorum toni in duo equapartiendo.. MVSIGH \!;* 1288 ltf 7f12<6 |I4J1 1fl61117 1bIs1 (ESltitvt in ptecedenti 1? kmlnftni numeri femftonff minorievt ouccnta quinquaginta fex: ipucftaqua* draginta tria. Capio per Perimambuiueifcptfmamdedmam partem numeri I? Pucironitn fdl; quadragin» ta triumierikp quattuotdrrim iquinqs feplimededmc. 2ddo fraqs quattuoidedm et ;fcplirtiafdecfmas ad kifiatlnumcrua :f7et :rcpnmedcrimc, £rit ergo numerue lad krcfqutfeptimufdcdmus.at louccnta quinquaginta feptem et quinqs feplirtiededmc tranfeeudit I? quifolum erttueentotum qufnquaginta fer. Con(Wctitaq5rcmitonfunini(nu0pervndfc(rti0mbufu6innimo:cpjopoufoneq>fltp:opo2tfo rcfquifepris madedma.quarcctafoitiCK iu mfno:eeonfifHrpjopoMione §flt fefquifmadccfma. Coirelarium bfncno tum elUBam 1,’ocparto partiendo crirctnojum toni ipacfumicr quinta buiuftcognofhinturfcrqiiifhtade*’ cima arcp fcrqui.eptimadecima altrinfecite conftitutitquarutn vtraqs pzefena iiionfirauitfcinitonij minoris habitudinem cil'c mlnojcm, Scfqufoftaitadecima proportioifemitonio minore rurfusmaior enadit. 20 rI11 S 61:45 1 IC7|a|6l (ESint abminimi numeri femftonff minoiis per Pecimamoctauani buiue reperti fdl3 oucenta quin»51 quaginta fcr|ctt>uccnta quadragfnta tria. eapio per perimam buius octauam Perimampartem numeri b:qtiam reperio effe tredecim7femielquam quidemaddo numero b1fiatqj aggregatu 0c.tunc ead bfefquS oetauadedma pioponto efhateniaiot numerue cft a.namaoumtarat continet pueenta quinquaginta fet: cvero eqimlium pardumtotidem 7fofuptr luntiTcmvnius.clt igitur fc fquioctauadcdtra ptopojtio fcmlto niominoK nxriot. Sefquinonadcciniaicftfcmitonfomittore irrinor.Qjiofit vtfcnritoniu mimis ine 21 ter fcfquioftauamdecimam ct fcfquinonamdecimam confiftat collocatum. 1zf <?Iiv 1t4y 1 I•S1cty 1b.1. CESfntvtpriuoiiriniurifcniifnifcmifcr.ffmittotteactbipfcofcfqtrinonatudcrimampjopojffonem mino rem efTe pzopo«fonc aad b.capfo cn ini per Peeimam I?nlne:nonaindcctniGni parcem numeri bfquam iiiuc nfo e(Tc Pitodeeim 7qufndceim nouafdcc impp.quam pariem adtfcfo numero b7flat c. p7opo:tf® cad b eft fcfqmiionadcriinfl.fcd amatus cftfpc.fgitnr per vpderimGtnbiifus! maiueeft femitonimn minue fefqtiino nadectma piopotdonc|at^ fcfqufuonadccinia proooMfp fcitritpitlo mjnotc tninot. Cotrclarium vero vt oc cfmflquartabuiue notum«fle poteft. 22 Semitonium mamstfn data chorda conftitucrc. wn «r 1 i r~~\1 i 1bi . <E Sit ab -r cbfemitonii minotie intcruallum. S?iu(do cbin octo partee equae :quibue equam facio pariem co.ita vt pbnouem contittcat.ergo tb7cbcrittonue.pctuo igitur atono pb7cbfcinifonium ini nue fcil? ab?cb(reUtiqucturtp ob 7abtonirdiqua paretqua ipfc femitonifi minue fuperat.igiurper PtfFinirionem pbtabfemitonium maiue cft in peta cboida Cvt pjopofit^m eraO conlliiututn.t quemads modum femitonium maiue collccafti ad partem grauiotcmriraquctp ad partem acuminis collocare fa? cillimumcfret. Semitonii maiorisrmininios numeros rcpcrirc. 1J187 1J04S 1r194-4 i Ie1P1ci 1 1 216 11Z4$ l 1.1 a11bl 11Isi l 1 1 »1i CESinta bminimi numeri femitonif minotie er Pccimaoctaua bufus repertict foctonarius, quoniameje Dfiiionftrationc oecfmeoctauc bniuef oetonariue primtiscftad b. ergo fnon numefat b. non bafcctfgi**5 fur boctauam partem.puco igitur fin bct in aet cofurgant cPiper feptimam fecundidemeutojimi Srltl^ sueticee oad cvt a adb.cfl igitur inter pcfemitonium m(nue|fem{ton(fcp minoiie intcruallum. et qufa cbabet partem octauam vt biaddo eidem numero cpartem octauam cfue blt coaccruatue fiat e.rotinetigf ture numerum<Iet partem cfue octauam. quare ectonus, tquia tonus ecfuperat femitonium miniifl be 1 ;II 2187 intemaUo ct>:ergo eofuntnumerifemitonii maioris. iQ.6 autemMero flnt minimi faefle er ercfmaquinta 204.8 tertii 2rtthme^j.ces cognofcas biflrabcndo oab c«quod reliquum fuerit ftcrft quoties potes piflrabettdo ab e.«bocpacto ocinceps« videbis advltimumrtlfctam vnitatC(efftq; inodo qui ad latus apparet oiltra* ctio.quarc per eandemoecinmmquintam 0et c futit adimifcctn primi. Surit igitur per vicellmam ciufdem in fua proportione minimiiquod e(t propofitum. Semitonii maioris habituciotiefquiqiiintamdccimam fuperat proportionem. _1.1s.7_ _L H84 1 _L 2048 l_ 1 CE Sinta bminimi termini habitudinis femitonii maiotisperptecedentem reperti: oleo habitudinem» ad bmaiolem effe fefqUiquintadecima.Simio enim vt in pieceden tibiis iam tepefactum cflperctcimahu» (110 quintamdedmam partem numeri bthecinuenitur centri triglntafcretoctd qufntcdceimettriusque tlc 0adifeio ergoo abbctfiatctcertumeftc adbefrcfcfquiqiiintamdecmiam.at cminoz humerus eftepa. kli enimanumerus ouum milium citum ocmagmtafcptf.c autein folii tui tun tniliit cftum cctuagihtaquai tuo: ct ferefemie paulo ampliue.£ft igitur per vndeeimam huius ftmitonij maioris habitudo fefqutquinta decima pzopoitione tnaio: eamq» fuperans quodcft ptopolltum. Apotomcsinterualhim:minuscftfcfquiquartodccfmointeruaIlo. Vndc niamfe* ftum eft fefliitonri maioris proportionem inter fefquiquintanidecima &fcfqufquar^ tanidecimarii rcpcriricollocatam i LL9±_ 14 X2187 _L I4<T Lzr _|c_ X24y CE Sit abchotda fuptaquamfitptopolltum reperire mulleum comma :(n quaab «obiit fcfquioetaua piopottio atq» tonus. Sint pteterea ocminimi termini femitotiij uiir.oris. tSiuido fpacium abinpar^ tesequales fecundum t>: cr quarum numero ab ipfob verius a: capio fecundum numerum c«iu termino eartimponotiotctlif. tuticquepjppojtio ttadcteacrit 0badfb.quareabadfb femitonium minus, 8ur* fimi cbi^cuitti feto in equas partesfecundum numerume«carum partium ab fpfo bverius ametiendo: fumo fecundum numerum oictinearum termino pono notamg.tutmifeflum etiam citg beteb clTefcmt; bii 15* 102 57 28 9 L J•.... CESpotomen «femitonium mafusiiddh ciTc iam tjirimus.Sint ctgo abmfnfmi tnimcrffefititonif mafo^ ris vt ouo milia centuni et dctuagintafcptem «ouo milia quadragiiitaocto.jSumo peroecirira huius quar» tam oecfmam partem bfdlj ouummiliuht «quadragfntaocto qnaimicntoelTc centuni quadragtntafcr ct quattuo: quartedeeime que ftt o.addo eamqtiartamdccimam ad b:et fiat numerus aggregatus c. tunc nu*» meric ad b rcfqufquartadecima piopoitio cft. at cmafo: numerus cfta «quidem ouo tnilia quadraginta oeto et centumquadragintafer «quattuo: qtiattedCciitie fumtnam fiitiiil attollat ciouum tniltumcJtuin no» nagintaquattuouet ferequartam vniue.«a folutn fumma fltcuum inilfum centum octiiagintafeptcm.con» ItatcrgofcfqiiiqiiartartldeciitiampiopoitionemmOioiemelTe femftonid maiojejatcfcpiopofitum.itoircla»* rium vtpiecedcntinm nottntt cft. Semitonium minus atc^ ienutoniiini maiusin fuperparticulari proportionenon caduntfcdea in fuperpatiente ratione confiftcre neccffe eft. CE Wamfemitonium minus percoirelarium viccllmepritne huius cadit fnter fefqufoctauamdccimam et fefquinouanidccfniam.atquifnterfefquioctanomdeciinametfefquinonemdecfmam nulla cadere valet in* tcrccpta mcdfiup fupcrparticularis habitiido.funt enim ille fupcrparticularee pjortme maio: atqj mfnot igitur femitonium minus in fuperparticulari ratione non conftftit. necp per idem femitonium maius, THamper cotrelarium ptccedentis cadit in atiqua pjopoitfoncincdia inter fcfquiquintamdccltnam «fcfqui qunrtamdecimamouas piorimas lupcrpartlrularee: que fuperpsrticularcm mediam nullam admittunt nonigiturfemftoniummainscaditin fuperparticulari rationesfedctcum rationes femitonii minoris atqj niaiorismoltfs fuperparticularibus vtiamvifnmcft fintminoies ierunt etiam minoies ratione ouplarl quemultiplicium minima cftivt que aminimo numero ocnomfnetttr.nullus enim tititneru? binarfo niinoi. non cft ergo femitonii minoris habitudo multiple»: ITmilitcr neq» femitonff maioris, relinquiturigitur» fufficienti oiuifionc cumille (Tnt inter maioicm terminum «rninoiemreas efle in fuperpatitrf genefe. quoti ell p:opoflium.CE?dtamcnpioptcrfophillaflflduertcre licettp tonus «fuepartesconfonamieetconfona tfarumpartes intciifeifemperin fuperparticulariirnperpaticnti aut multiplici habitudinecadunt: remtlTe vero in fubruperparticnlarirubruperpatfcnriaatiubmultfplici.St vero ctlfiealirifolemus tamen eas oms» nesoicerecnelmfuperparticularehabittidinefuperpaticntiiautmultiplidfdcmfuperparticularcctfubrn:* pcrparticularc reputantes 1pto vno computantcs.fimiliter fuperpatlens « fubfuperpatiens;« multiple»: i fubmultipler. MuficutiKotmm in chorda rcpcr/re. ; •b MVSIGE ronfum mfaus.fed et cumabffbpiobatumflt etiam femitonium minufl.ergo inieruall* fbet gbeft quo fcfquioctaua proportio abct cbmiafoz eft buobus fcmltomis mlnorlbus.cft igiturper Diffinitionem fbct gbinuentum muUcumcommatquoderat monrtrandum* Comma:in minimis numeris conftitucrc. 55144 i 524. 288 7«55 2119 796 517 269 258 1 1 l$51441 $24288 I | 497664 472592 1 1kS11bi l<$$$?9 l16110 859049 iCf l bc 12$6 II245 1aiib 11ls1ll I 1 1 fl1I 1 ain fe ct in b[ctb in fe- et exurgant cb ctcruntqjc t> z0eouo femitonia minora commicta. Sit ptcterea foctonarius qui cf oedmaoctaua bufus eft primusad b.quare pervndccfmam terti} Sritbmetkcs et primusad e.non l?abet fgiture oetaunm. Duco ergo focto* narium inc be:*pzoueniatgbi: vtifcilicct oriatur ex fin e. certum eft etiam intergbeti? ieffe buo (cfi mitonia minora.etquiaceftoctauapars iaddo ez(ilmul: fltqs eorum aggregatus b. Dubium nullum eft kadiefle fcfquioctauam: et kgefTe proportionem qua fefquioctaua maior e’ftgb et biDuobus feraito* nijs minoribus. Sunt igiturkg numeri commatis.fcdq>fint minimi ejc&eitfmaquinta tertii Sritbme* tices notum cft.lfiam fubftracto vtcaipfaoocctg abhl et eo quod relictum efl! fubftracto quoad poteftab £.z ffc Deinceps tandem vtad latus adfeetum apparettrelinquitur vnitas.fit quemadmodum comma otia? bue&fcllbus eft prepofitum :ita quo<£ ^facillimum eft comma ouabus oiefibus fubiungerc: aut Duabus interferere* Scfqiiifcpttiag;eiTniaqiiarta:c6niinatisproportionetra:nfcenditur. C514-4I W511 72 Ifr4:38 17034 11 r ia1t> 74 1b|c74 CESint enim abmmimiinumericommatis per precedentcmreperti.elf ciopcrDecimambuiusfeptuageft* mamquartam bque fit c.adilcfottaqtbctciTimiltTcoalercataggrcgcturqeniimerusD.qui IT ad b confcra* tnr comperitur fefquifeptuagcflntufquflrtus.atqui idem omittor aeffe bcprebcnditur.fupcratcrgo per vn decimam Ijuius ratio comatiefcptuagcflmamquartam pzopoztioneme Comi»atisratio:fcfqinTcptuageiiniatertiaproportione minor cft.vndc fit.vtcom matisratio inter feptuagefiniamquartam ctfeptuagcfimamtertiam conftituta repe* riatur habitudinem. • ; I<514:70 2\Q144.1 -ICr4r8s‘ 17182« 21 1_&7? .. 1%1bIC7? 1 CE Sint abvt prius miniminumeri eommatis.capio feptuagcrtmatcrtfa partS bque (It c. iftgo b z c.flmul et aggregetur D.eritqj &ad bfcfquifeptuagcfimufterti^.t bmaior efle cofpicitur.ergo commatis ratio fcfquf reptuageflniatcrtia proportione minor cfbquod erat monftrandum.iCozrelarium vt alia notumeft.. Commatis ratio:in fuperpatiente ratione conflftit. . CE THon enim in fuperpartieularl cofiftetqugdoquidJbue fuperpartieulares proxime fefquifeptuageiTma quartactfcfquifeptuageflmatcrtia:omncm prorfusmediametcludautfupcrparticulari.ttatominusin gc* uerc nmltiplidconfiftercvalebit.vtquefeptuag(ntabuas fuperpartieulares l?abeat fe maioies.rclfnquitur ergo vt ea in fuperpatiente genere eonflftcre polTit.cft enim ca maforis etminoris babiludo. Rationes fchifmatis atej? diafchifmatis funt ignote:atc£ irrationales.quofit vt qua rum minimi numeri tetragonicum latus non habcant:mcdietatum rationes ignote 9 irrationalefcg fint omnes. 1Sib_ 1Cjb]c1 I,$51441 1iz4;88 _] 111 CE £as rationesignotas atqj irrationales bfeimus que nullo certo conftitutoq? numero beftgnarf.valent vn$: vt neq? in geometricis biametri ctcofte quadrati proportio :quales fcblfmatum oiafcbifnwwmcp II piopoitioneseflcbfcfums. Sfnt ergo primo abmfnimi humeri femitomlminozisjperbecimamocffloam buius inueniitb enimvt illic quocp niondratiun ednafcfturernoucnarfo in fc tternario in productum no nenarif in fe.atnumerusqui «buctunoucharif in fe erufgcbaucratquadratuB etternarfus non ed quadra tuelcrgo per oecimamquartamfextf Sritbmcticcs bminus femitonif minoris ertremum e* buctu quidem non quadrati fuquadratum pxoucnicristnoncdnumcrusquadratus.Sipofltofbifcd ergo vtbfafcbifraa^ too proportio in numeris fit nota:fmt ergo per Tertam quarti Sriibmctfces buo biafcbifmata in minimisc bcconumcta.manifcdmnenimedciitnoiafcbifmaflt fctmtontfinitiorisbiniidiumcDetbefimuicfiefcmi* toniutn mfnus.t cad eefTefemitomf minoris interuallum. fcd et cu mproportiones co roefint continuat te in minimisergo per quintam quarti Sriiijmetfces cefunt in fua proportione minimi.Suntergo mini*9 mi in proportione Temitomiminoris.fed-rtalespoITtiruntatbligiturect eifdem erunt numeri cuma -rb fdlj cidem aet eidemb.Kbreterca quia queproportio cad o ea edo ad erergo per primam ferti Srirbme* ticeo cnumeruseftquadratas et cnumerusquadratus: quare ibidem numero cetiam quadratus.at boe* monftratus ednon qnadratus.£rit itaepidem numerus quadratus etnon quadratustquod cft impoiTibf*9 le.non igitur ofafcpifma note proportionis habebitur, et idem bc proportione rcpifmatos mondrabftur. Sint enim abfubterbefignati minimi numeri eommatisrquia perviccflmamoctauafn buius bniino: pro*9 portionis commatisteftninus fit er ouctu octonarii in quadratum lateris ouccntorum quinqtiagintafer. i octonarius noncftqnadratusicrgoperoceimamquartam ferti Srftbmeticesbmino: terminus comma*9 tis nonclt quadratus.non igitur Umilf vt priotis partis bcmdndrationca bcertis befignatiftp numeris po ted equis proportionibus oeduef. £d igitur fcpifmatos citis Icfij medietatiO ratio fgnotatatqj irrationalis torrelarium er modo bcmonftrationis notumede ,Tonus:duobus fcmltonlls minoribus ct commateconflat. CE TRamratiofefquioctauabuobusfcmitonifemfnoribusafcp vnocommatc condat. Superat enim buas bfcfesouocpfemitoniaminaza vnocommatc: at tonus in eadem rationeconfldit.condat igitur tonus ef tntobus remitonifsminoribus et commate. .Tomis aduobus femltonlls minoribus:vno commate dlftat. CE THam fubdracto afefqufoctaoa proportfonc vno commaterclinqiifitur nuo femitonfa minora: igttnr et eodemcommate atono oiduaooueDicfesiouo femitonfa minora relinquantur.oidat ergo tonus aduo*9 bus femitonifemfnotibus vno commate. Semitonium minus tribus commatibus fnalits efl :minus vero quattuor. Vn* de manlfcllum cft apotoincit plura quattuor et pauciora qumcj continere com#9 mata. r277 f5l5>5>fzmfS50l<?*lf5 0747994llj q5:81285894 45 tf95fIlif728f77<S25!7<fl p265tfo 006 19 524018 025^05125896 97 55 6 02178596179652 950626746568 n2l55d9?9<f5O7fff7i7<S05lo 747 m20673954509S79648527Ji9°4 I17 09860485 f17 2552 ft I6611 IS l69 9 <566569 bt625 I26552 7I56 256 »54217728 fII 91 40165 c*27401984 b524288 c5514 41 b.245 CE THoncd greca curfofltas calculi labore beterritd quominus quot commata inbiefi quot in apotome quot beniq$in tono ilnt: peruedigarct. quod nid aprioribus lentatum cognouiiTem cumid quocp plus laboris vt milji vifmn ed3 In mufleis modulationibus vfus|vtilitatifqjafferat:mlfluni fecilTcm. qui ta* men idcognofccre bedderauerint boc pacto beprebendent. Sint ab minimi numeri femitonif minoris ctcominimicommatis:per oecimamfcptima ibedmaoctauambuius rcpertirbuco binco etproucniant efeta in ctveniatg: perfeptimam fecundi Sritbmeticcs fad ced commatis l?abiludo| etperoctauam «ftifdem gad ebabitudo eiefcosl femitonif<$ minoris, deinde buco ein et fin fete in getnafeantur bbl:per fertam quarti Sritbmcttcee pcrq> facile cognofci poted hi? continet buo commata, et per' biii MVSICE reprimamfecundi eiufdcm ladtpcfTc femitonium minus, deinde bueo bIn I?: iein k:et bin1: * eo ordi» ne veniant mno:per eandem fertam quarti cognitu facillimum eft nmcontinere tria commata, et per reprimam fecundi: om continere femitonium minus, at nnumerus eognofeiturefle minozo.ergoo adm femitonium minuotria vindt|«fupcratqj eommata.^einde ouco I? in 1? et kin ket I? in I.t iuo ordine «fur gantrotfanturip p q r.majiifeftum eft per idem quod prius qpcontiti«e quattuot commataet rpcontinet re femitonium mmus.at numerusrmino: eft numero q.igitur quattuo: commata amplius funt femito^ nio minorc.tCorrelaritim autem i?inc notum cftq> femitonium maiuo folo comate ruperat femitonium mi* tius.atqui femitonium minuo plura tribuo ipauciora quattuo: vt modo vifum cftcontinet commata, igi* turvnico fuperadtecto commate femitoniu maius quodvocant apotomftplura quattuo: ipauciora quinqj continere eftnecefTe. Tonum:plura feptem continerecommata ticceflc cft. 36 (Dflam tonuoerfemitonio minore iapotome eoalefcit atep condituftur.at femitonium minus per penuls t(mu mtria comfnct commata ?amplius :et perpreeedentem apotome quattuoretamplfus triaautem ct quattuo: tampliusrieptem funtctampliue.igitur tomio plura q» feptem contmeteommata. CE SecundiElementorum XDuflcalium finis. Efqiiitonus: eft qni tonum ac femitonium minus continet, quem ct trihemitonium:trifcmitoniumc^:infcrius dicemus. Ditonuscft qui duos complcfriturtonos. Tritonus vero qui tres. Confonantie fimpliccs funttdiatcflaronrdiapcntc 8C diapafon. Compofitevero:diap3fondiapcntc:bis diapafon. Diatcffaroneft confonantia: que ex intcrualli fcfquitertia ratione nafeitur. Diapcntc:que nafeitur exfefqualtera. Diapafon vero:que cx dupla. Diapafon diapente: eft quam adimticcm iunfte conftitmint diapafon ac diapente confonantie. Bis diapafon:eft quam coniunguntdue diapafon confonantie. dWccnUiusafcciiduntiPytljjgoricicpaltme offendentibus voccoquoqtio pacto illisftridulevifc tlnt-x q> vnfcuiqj fcrme fue vocis modumrifmitefcp ad confonantiam bis otapafon natura feccrit| q>qj pabita coi» temptatione nuificfl adufcp coufonantiam bis Diapafon:rc!tquam vt t?abcatur q-facillimam putaueruntvt qui ad ter atqj quater oiapafonnmflcos modulosaptare voluerintictbacquoqj oecaufa mullei fermeom nes in oefimendatoctcrmmandaqjatcp tradenda olfdpUna murtea limite»-^vtbagore non tranfccndunt putantes cius limitibus eontenti:et prlfcamlvctcremq? autorftatcm fccuti fnffieientcr oeterminaric. quod i nosin Ijoc opere tentabimus imitari. Scfquitonus inter fefquiquintam atqj fcfquifextam collocatus cft. vndc fit vt etfi i fcfquitonus iocude: fuauiterq; auditu feriat: nondiitamen confonantia ponedus fit. l:9i 312SS 1:S?;1U6 1145 1_4S _ f_1405l joi|B|e6[- b|clf(|gaJ (ESit-ergoaDucenta octuaglntaoctolb vero bucenta qu(nquagintafcr:rtc Ducenta iquadragintatria. per Decimamoetauamfecundi Ipuius manifcdiim eft aad bc(fe tonum |?bad ceiTe femitonium minus, quare aad cper biffinitionem erit fcfquitonus.quem bico in proportione minore cofiftere q> iit fefquiquintajetma iotcfcfquifctta.lflameapio peroccimam fecundi f?ulus quintam partem cctlvenict numerus 48 et tres quintequiilt f.Sddoigitur f ad cet aggregatus fiat b:qui mafor inucnftur a. igitur per vndecimom fcelS di buius bad cproportio maior eri «p aiad c.St vero D ad cfcfqufquinta cft. eft itaqs fefquitomis in propot» tionc minore conftitutus q> fit fefquiquinta proportfo.tCapfo beniq; per candi bcdmafccundi ferta parti c et veniet mit>inumerus 4oct femfe qui flt g.aggrcgatns igitur gad numeffi creftituat n umerfi ercertfi cft numtriS eminor? elTe q> a.qnare vt prius aad cfcfquitonus maior eft cp eadequi(n fefqtiiftrta ^portione conftltuitur.qnod cftproporttum.tCorrclarium enim cognofeitur. iprimum <p fcfquitonus fuauiter feriat auditumtcuiuilibet mulTcis modulationibus intenti fidi facitfenfus. cp vero nondii confonantia flt: idcirco cucnit q> fcfquitonus in fuperparticulari ratione non couftftittquandoquidcm inter fefquiquintam tfefquf fertam proritnas fuperparticulares nulla cadit interftes: mediaqj fnperpartfcularis Ijabitudo.ncqj quldi cft in multiplfdgenercrqrli per vndecima prfmi puius bupla ^portio que multlplidiS minima efttcr fefqual tera -rfcfqtiitcrtia proportione marimis quidi fuperpartfcularibusrcrurgit atep nafeitur. cofonantia auti ots perDiffinitioniin fuperparticulari aut multiplici ratione coflftft.cft «gototft pxopoftlum notum. isa III It/dem ditonus interfefquftertiam atqjfefqmquartam mediusrmnifmeninffcam complet atqj perficit harmoniam. 187771 l ~ 1a1 1 -18o 1172 1U4l |?i ilU6\ |b> yllai [g i i »iici if Ti OD CEIbartnonfam etcotifonatifiamidem Dicimus et buiusvt precedentie procedit oemonftratio. Sintergo abcDuo tonf in minimis eoftituti.vt si(7 2!is 4. trico oitonifi aari cconitere in piopoitionc minore fcfqui tertiaret maiorefefquiquartar murteam confonantiam baudquaqiperficere.tCapioenimtertiampartcme per oeclmam fecundi buiusvt fepe factum eft. et venit vmim et vigintf entn triente vnitieiqui numerusfit f.addo ftacp f11et trientem ad numerumc64.ct aggregatus eft s(cum tertia parte vnins:qui idem fit 0» manlfeltum eftoadeefie refquitertium.at Dmaioieft atcontfnct enim aDumtaxat viium et octuagfnta:b ve rooctiragintaquinqs 7amplius. £ft ergo fefquitertiap:opo:tio eitono mafor. £t rurtum capio quartam partem cque fit g:quam addo ad cet fiirgat erqui erit ad cfefquiquartus.ota maio: eftc.igiturper viidcci#* mamfecundi Ijuiusmltomis fefquiquattum tranfeendit. ct cum inter fefquttertium et fcfquiquartum nub* Ius cadat fuperparticularis mediusnccp multiplexterit ergo Ditonus in proportione fuperpatienti colloca»1 tus.quare tnuUcam confonantiam (ctfl in mulTcis modulationibus (It cupljonus fuauitcrqj auditum fes* riensj) nondum tamen perficit. Ditonifntcrualliini :fola fefqiutonum fuperatapotome. ClHam fefquitonus vnumtonum continet integrum ct fecundi toni continet femitonium minus :fedeum tonus ex femitonio minore 1apotomeconftct euadatqj coalftus. ergo fcfquitono ad fecundi toni comples* tionem fola oeeftapotome.atoitonusfolos duos incolumes fntegrofcp polTidet tonos, ergo Ditoni interi* uallutn folaiapotottietfoloqj femitonio maiozcifcrquitonifnperfltintcruallum.quodeftptopontum. Diatefiaron confonantiam in data chorda collocare. H31II1 ia. <[;0 1 t[ bi CE (Cum enim epitrita fcfquitertiaqj proportio rconfonantfam DfatdTaron creet :idcirco cata quacuncp cbotda vt abeam iti quattuor equas portiones ciuido.vt acte c:c en eb.ct trico abad cbcontonare 0ia? telTaron.lHama bcontinet cb ct iufupera cquetertie parti cbcquatur. eftergo fnteruaHum abfefquiter* tiumadcb.ergo abad cbper Diffinitionem contonat Diatefiaron: 2confonantfa ciatcffaron (n cljoida ab Datascollocata.quodeftpropofitum. Tritonusrconfonantiani diatefiaron tranfeendit. (E lHam pcroccimamoctauam primi tres fcfquioctaue proportiones amplius funtferquitertiointeruallo. atqui in tribus fcfquioctau(s:pcr Diffinitionem tres confidunt toni, igitur in tribus fefquioctauis confidit trftonus.7 in epitritorrefqultcrtioqMntcrualioconfiftitconfonantiaoiatcffaron.fgitur confonantiam Dia* tefidron tranfeendit vt proponcbatur:tritonue. Confonantiam diatefiaron: duobus tonis atej; femitoniominore conflare ticcefTc eft. Vndc facile comparatum eft fefquitonum tonoret ditonum femitonio minore ci tra diatefiaron concentum deficcre.Compcrtum item eft confonantiam diatefiaron quinq; diefes &duo commata continere. Ciatcffaron confonantia. fS" •<1 IIbl CE Sitabct c bconfonantia DiatelTaron.Dico eam Duobus tonis 7femitonio minore conflare. IHamcum a b z cb fit DfatelTaronrerit abct cbper conueriToncm Diffinitionis fcfquitcrtius.at cum fcniitonium mi* nus per Diffinitionem fit id quo fefquitertia Duobustonis maior cfi. continet ergo 0bzcbfemitonium mi* nueet duostonos, igitur confonantia Diatefforon onobue tonisjfcmitonioq* rninorc conflat. £tprimum corrdariutn l?inc facile cognofcitur. tCutnenimfefquftoisusfoIum tonum 2femitonium minus contineat: Deefl igitur ipfi ad confonantiam Diatefiaron complendam pcrprcfcntemvnue tonus, et cum Ditonus fo* Ium Duos complectatur tonos soeeritipfl ad eandem complendam femitonium minus. Secundum vero bincljaud Difficile perfpiciturcognitnm.Ulam cum tonusper triccffmamtertiam fecfidi Duas olcfceirvnfi commacontineatiDuo toni quattuor Diefes 7buo continebunt commata. Stper prcfcntcui Diatefiaron con* fanantia Duobustonis vnam Dicfim faperaddit.contiiict igitur confonantia Diatefiaron quitie^ Diefes atqj Duo commata.quod eft totum propofitum. biiii MVSICE Quinqj toni: duas dfatefiaron confonantiasvno commate vfncunticuaduntqj 7 maiores. CT IputauitHriftomiueinuflcus bfatdTaron confonantiam buobus tonfsct integro femitonio confla* re.c piolndecmae biatdTaroncoitfonar.tlaeJquIiiqstoiiosimplcre.cuius errorerterlio ZPuflcesbiuiSe» uermiboeUfcterbactptcccdentcfadlccomiiiicttur. flamper piecedcntcm confonaiitfa oiatefTaron tion er buobus tonis et femitonio integro conflattvcrum er buobus tonis 1femitonio mfnotc.quod crvlccflma ptinia fecundi inter fcfqufodauani Decimam et fcfquinonam Decimam ptopottionem colloratur.iiitcgrum autem fcmitoniiimperbcduiamquartam eiufdcm: inter fcfquifcitaitidcciniatn ctfefqnifeptiniamdedmani folloearetiir.biminutiusdl ergo femitoiiitim minusintegro femitonio. J&uia ergo vtpcrptecedcntenibfs etutn cflieonfonantia ofatdTaroncuos tonos et femitoiiium mimis contineUbuc igitur DiatelTaronconfo** nanticcontinebunttonos quatiuot et duo femftottia minota .et quia pcrtriccfinamtertiriin fcennditonns Continet buo fcmitonfainfnoia et vmini comma, ergo ouc oiateflaron confonantfe quinop tonos vno com# mate minue:continent, quinq; igiiurtonfcbuas biateflaron confonantias vno commate vincunt atqs ena» dunt inaiotcs.quod intendebatur. Confonantiam diapente:in affignato neruo conftituere. 8 1$ U. 1|(CohfonantfabiapSte. ia ]e \9 Jb - CTSitalTignatus neruus ab rupta qticmfufium fitconfouantiam biapente collocari :eiufdoa|b in tres adinuiccm equas partes per notas ac0b:ita vt abtres contineat et cb earum contineat euas.erltpcr oiffi« nitfoncm abad cbbcmiolfumifcfqualtertimq; (ntcrualluin.ted cum confonantia biapente: pcrblffinitfoni crea (iitcrualli ratione nafcatur.ergo abad cbcontonabit biapcnte.crftqj abadcbin pota cl?o:da alTigna 10 ve neruo confonantia biapentecollocata. Trestoni: confonantia diapente minus funt. &quattuor eandem confonantiam 9 tranfccndunt. CE£td cr quinta Ijuias fatis cognofcatur tritontim non pofTc efficere biapenteconfonantiam: l;ec etia olten dft tritonum biapente confonantia elTe mlnotcni. flamper becimamoctauam ptimi Ijuius tres fefquiocta luminusruntfefqualteroiittcruallo.ctperbeeimanmcnamciufdcniquattuo: fefquioctaui fcfqualtcrumf» perantinteruallum, confonantia autem biapente in fcfqualtcro fita dt. ergo tres toni (ntrfbns fefquiocta^ iiis eonilituti. minus funt confonantia biapente. tquatiuot toni iit quaitiioicofiftcmcofcfquioctaiiusca^ dem confonantiam magnitudine traiifccndmittquodefttotumpiopofliiim. Confonantia diapcnfcrfribus tonis:fcmitoniocp minore conibt. Quofit vt adiat= 10 pcntcfubdufto tono: diatcfTaron confonantia relinquatur, fiibdufta autem diatcfla»= ron confonantiarrclinquatur et tonus. CE IHnrti peroedmamquiutam ptimi rt afcfqualtcro intcruallo fcfquitcrtiumbemptum fuerit: relinquetur fcfquioctauum.fcd vt iu bcmonflratione ferte buius vifum elUfefquitertlum continetouostonos cum fetui# toufo mincte.ergo confotiantfa bfapentefefquioctauum l;oc «(Itonum vitra buoe tonos cum femitonio m{ note continens: tribus tonis et femitonio minote conflabit quemadmodum ptopofitum cfl. cCotrclarium cognofdtur.TRam biapente per ptefentem contincttrcs tonos cumfcmitonio minotc.at fubftracto tonore# fldtri funt bito touitatqifemifornum minus.? per fertam bnfusbuo toni cumfemitonio minote conftftuunt confonantiam biateiraron.fubllracro igitur tono aconfonantia biapentc:rcIinquituroiateffarou.fedt cum biapente conflet cr tribus tonis cum femitonio ni(notc:fubfiraeta ergo biateifaron confonatla qticbuobus totilset femitonio minote completur.TelinqueturqueuMdinodtimfccunda parscotrclarifptoponitttonus. quod dt totum cotrelarium. Diapenteconfonantia :minusofio femitoniis minoribus continet. n CE flatu cum tomis vnusbuofemitonia ininota ct vnum eoitmia eont(neat:trcs toni tvnumfemitoiiitim minusfeptem femfronfa tninota ?tria eouunata continebunt, ac tria commata per tricc(7mamquiutain fc« eundi buius femitonio minote funt contractiota.ergo biapente que per pieecdentcm tribue tonis et fernito itio minoteconllatmiinus octo feniitonffe minotlbiis contfncbit.fed quemadmodumfacile moiiflratiitn eIt bfapeute confonantiam nondum octauum attingerefemftoniuui minustoctauamqj bicfini :(ta quoqj facile monllratueiTetteadcni confonantiam nondum feptimam attingere apototnf. Diapcnteconfonantia:ditono fefqnitonoqj coniiingitur. 11 CEflantbiapente pcrpentiltimant tribus tonis ct femitonfo minotcconftat.etbitonus ?fefquitonnsfTmul tres tonos ct femitonium minusefficiunt. fgiturbitoBus atepfcfquitonus pariter copulati confonantiam biapente iungundquod intenditur. Confonantiarum diapente &dfatefiaron: tonus differentia eft. quofitvtdiatcfia* ron confonantia adiunfto tono:confonantiam diapente reftituat. III CE Sufferentia l?fc voeafnr ea pjopottio qua malo: ruperat mfnotetn. Iflam percozrelarlam cecfme^ufus fubducto tono aconfonantia tilapente relinquitur confonantfa DfatelTaron. folo Igitur tono confortantia biapenteconfonantlaDiatcflaron eft mafo:.£ft Igitur per olffinitfonJ:baruin confonantiaram tonus olffc' rcntta,2co:relarlutnftatlmcrp:c>polltioncnotumcft. 14 Bis diateflaronrfcfquitonoconfonantiam diapente tranfccndit. CE felatcffaron enim per fertam buiusouos tonos atqs fcmltonlum mlnnscontlnel,ergo ble DfatelTaron quatttio! tonos 1truo femltonla mittoja continebit, atqui aquattuo: tonis 2Duobusfemltontfsmfnoilbus Dempto fcfqultonotrellnquuntur tres toni et femltonlum minus. Stvero per Dedmambulusconfonantla Diapente totidem tonos eunt femitonto mlnote complectitur, ergo bis t>latclTaron:fefqultono .'confortantia Diapente tranfgredltur tranfccndltqt qucmadmodnm proponitur. 1? Confonantie diatcflaron aediapente: in maximis fuperparticularibus funt coi? locate. CE IHam er Diffinitione confonantfa DfatelTaron fit epitrita le(quftertla<pp:opo:tlonecollocatur.etDlai* pente In bcmfolla atq$ fcfqualtera. at nulle fuperpartlculareofcfqualtcra 1fefqultcrtla funt malotcs nam afecunda 2tria parte que marlmc funt fefe confcqucntee partes Denomlnantur.lgftur beconfonatlc er ma rimarum fupcrpartlcurarlum originibus ouete tlnmarlmls fuperparticularibus funt collocate quodeft ptopofitum. J<* Bis diatcflaron aut bis diapcntcmullam confonantiam componere poteft. <EB?cc proponit Ditas Diatcflaron conronantfasautDuasDlapenteconfonantiasjnuIlamconflarepoflecS fonantiain.THamct Diatcflaron et Dfapcr.tc non In multiplicibus fedfuperpartfcularlbusfunt conftftutcz per ptlmam petitionem queImeruslll ad fntcruallnm ptopoztio efttea qtiocp eft et lonlad fon£t< at per fert» ptlml duo (Tmilfa Interualla non rmiltfplfcfamcqs multlpler neq? fuperpartlcularc creat Intcruallum. qua^ are neq; lllotft fonl In nmltipllcfmcq? In fuperpartlcularl genere eriftfit.omnfe aCt confonatla aut In fuper#' |particulariaut In multlplfcf ratione collocanda eft.fic em confonantie nomine boc In loco Tg>vtbagorlcan* fequcntesatitotltatcm: fufceplmus vtendum. ergo Dtte confonantie DfatelTaron aut pue Diapente: nullam efficient confonantlam.ct no modo id verum fittfcd 1quotquot confonantie DlatrITnron fn Immcnfum co^ pulenturet quotquotDlap2tc:nulIavnq> confonantiam er quinta ptfmibulus efficere valebunt. 17 Adiimfto ad confonantiam diapentetonornulla parabitur confonantia.itcm neq? I ad diateflaron trifemitonio. 161171 1|THumeroyoifferttla. 1|£[?5a 41TRumcrotC g QDlfferttia 1J£ 127 j-f 1i<?[ Sertamaior |8192J<7 |jSj fsit 1Serta mino: IC[sil Conus '1^1 ;3Q4lia I1944ISefqultonus 1Sis l»U1diapente 1ifi j4j<E> \51©lateflaron _ 1j 1 I |||g. |tfgfafrj 143 1gemltonlum minue 11j I I 1JIfr 19181Sonus CE£*nbicfonotum congreflus nondum conConantla fit cnpljonum tamen muflei reputant melo: modula» nilnibufqi aptmmfcrtanup q' ferImpleaturvoefbusnoftrl nunc nfkupant.rquattuo: tonis a.qs vna DieS bocfeft femftotilo minorecoiiftflt.qnfq’ nondum confoiiantlafltpatct.Ucelpfo enim atb tcutarllttbiua» rlumtmlnlmos fcilj numeros confonantie Diapente, 2cDiiouenarlft atq? octonarium minimos numeros tonl.et duco cina:venfat dfeptem fupja vlgfntl.et dIn b2venfat cDecem 2fer.pertertia quinti Srltbme tlccso ad econtinet fcfqualterumtfefqufoctauumtqtiareD ad econtinet ofapeittc atcpadltinctum tonum, at manlfcftum eft dadc27fcillcet ad 1<s non effle multlplcr.nam feptem 2vigintlnon continent bis aut ter tlo aut Deinceps fededm.nctp dfuperpartlcularlseft ad e.nam Dlffercntfa numeri Dad eeft vndccim qui nu merus linnme 16parenulla eft. tranfccndlt enim vndenarluefcdenarffDlmldlutn.fglturadlunctiis adeo» fonantlam Diapente tonueinullam porlcconfonantfam.ctfimlll argumento adieeto adconfonantiam Dia?* reflaro» fcfqultcuomulla fit confonantlavt er fecunda flguratloncpcrfacilcpaterepoteft.flt tamen cupbo navocum congreflio:quam item fertam nuucupanttfcd que ap:ims contractio: tota Diftet apotome.eft er» gobcc mino: illa vero maloz.conftat enim p:fmn vt Dictum fam eftlquattuo: tonis et vna olefitfecunda vc?1 ro tribus tonis 2Duabus oiefibus.l£>:lmam fonat ubarbvpatc bvpaton ad mefentfecundemvero que con tractio: cft:fonatbvpatebvpaton ad JLfcbanon mefon, que autem bypatequcparbrpatciquIUcbantctquc mefe ofcantur:fequens UberDeclarabit. «8 Qjiopacto diapafon confonantiatfachorda fit adamgenda. rJ, 3jC|B1Confonantfa Diapafon. CEfcecconfonantlarum vt In lib:o nbtoblemuauim teftatus eft Sriftotelcs: elegantiITInia pulclpcrrlmaqj eft.cbotdam ergo 3bfcco per medium per notam c.ct quia abadcbeft Dupla intcrualll l?abitudo.ergo per Diffinitionem abadcbcontonat oiapafon. MVSrCE Tetrachorda funtquincp: Tctrachordum hypaton:Tetrachordum mefon: Syne* zetigmenon:Diezeugmenon: Hyperbolcon , Tetrachordon hypoton cft: Tctrachordum fynezeugmenon. Hypate hypatonMcfe FarHypatchypafon Trite fynezeugmenon Lichanoshypaton Parancte fynczeugmenon Hypate mefon Nete fynezeugmenon Tetrachordiim mefon cft Tetrachordon dicjcngmcnon. Hypate mefon Paramefc diezeugmenon Parhypatc mefon Trite diezeugmenon Lichanos mefon Parancte diezeugmenon Mefe Nete diezeugmenon Tctrachordum hyperbolcon Nete diezeugmenon Trite hyperbolcon Paranetc hyperbolcon Nete hyperbolcon Modum hic vocamus remiffionemautintenflonem omnium tctrarchordorum gradatini in aliquo genere melorum:fui generis progreffionem feruans. Modifuntfcptcm. Primus Hypodorius i Secundus Hypophrygius z Tertius Hypolydiiis 5 Qjiartus Dorius 4- Quintus Phrygius 5 Sextus Lydius 6 Septimus Mixolydius 7 Monochordi regularis partitionem:in diatonico genere dcmonftrare. <Ei&iiauieinlfrumcntamuficeetfpIurim8repcHSturvt£ftl?are:£ibk:£ubc:;lftuf:Xl?ultifoz.itiIc«3:i» ftulc: ©ertre: Z.«uc: ©implicce: ©upKcee: in quibus vno fpiriiu animandis vt inquit Bpulcius. fertur IbiagutotydotumrarDarficcp pater ptimuafo canendo manus mYeapedinalTcrputcrea vttjfee!fc:<£bw daeilte.Qambuci:fDrdrauIc.1Flabiiic:i(t>faItcria:Zl?agade0:JDarbiti:lHauIa.lp>entadee:e:omua:ipepta«» gona.iPcIer^cftudotBarbfltituMeetratXDonoebotdaJKctracbotdaJl^olyeboidflretcctenjfdgcnus mu® Uca iiifirunienta.lptlacuit tamen pl?fiofopl?i«inn0onocbo2df« £etrael?otdio: attp fl^olr<l?o:dis mon^ Itrandfstceterotum noa intcllfgcre ratfoncmtat<p ccnipolttfoncni. quo circa vt oe £Donod?cudomni iZea tradjotiiotumconipofitioneintcIligcmusdtaDcrcIiquiaeftiDtellfgcudurn.nuiic ergofldJ£Dcnorl;>o:dirc* gularie nosoftcnfiouem conucrta mus. SSoefgbikImn—o~p qb| Si 1Si 16|£\Z |0tZ|rlZ_\_3_|£1£|_0_ IC1Z11 g|IcfSbifc imno>qr1 121ZEoiius&Semitonium mimi» 8*1 CftDonocfjoidfi igitur regulare idcirco oicittir q> in vnico neruo mtifTeeeonfonStic harmonica regula pera Ncflfgetur. Sitergo abdjotda (n qua volumusin oiaioitko genere confouantUs regulariter collocare. mi Sccfpfo cplanilTimam r<•iguIamjnuHatp cc parte fubfultantcm:«iualem Ifnec ab.ci perptfmam et bechnS octanamfectmdfl?uiije st) c iu ointendo tominuetabb in e femiron imn minue, et al' Ciitft fin gintendo tmos tono0.ee ab.g in I?.fc,'nicoiiimnimiiue. ab I? iit icti in ksuos tonos, JKurfus ab bini tonum, et abi iu mfemitonium minus.at) trt iu net niitotmoe tonos.ab oiit pfemiton(um.ab pin qetqittr duostonos ita t?,continue femitonio itifnotifubiuncti flnt t>uo tonirocmptfscb q«f X> pzoflabanomcnoptimo femlto* iuopzepofTtuscfttomis:ctkUonoquttctrachotdibfc5eugmcni bocertoillimcti ptincipium cft. JSurfum applico totam tegulam harmonicam crtotid?o:dc ab. itavtciltcum a| ctreumb.etin c!?o:daabvbi applicantur blelf|g|?relfqite factionum regulcnote: figito 0] e|f ig[b|i|bll|m|n[o[p|q.et&icomonocbot dumabelTcingencrc&iatonico regulariter oiuifum. Quoniamenim lita interualla interuallie rrgulccr refpondcntteuaduntqs equalia a b et t> bfonat tonum et obet ebfemitoniumtet iterum ebet fbtonum co tfiict.igfturabet fbotioafonoe tfcmitonfimt minuscontittcnsiper fertam tertij confonatbfateffaron.£( quiafbct g.b vtfhi-e^Ul&contincttbnum.ctgbtbb femitonifi tninus.et bb: ib.T fb7kbt>uos tonos, ergo per ticcimam tertii fbfbb trcstonosfemitoniumcp minuscontinens concirtitbiapente. Sedetmon liratum!elt abtfbtfi6du!atioiate(raron:ergopcr vfceflmam tertif abetkb quod tt confonantifs oiatcfTa^ rori 7eiapente corifurgiticoalitumtconfonat ofapafon.Kurfns kbct lbfonat tonum [l bet mbfemitonfum minusmb7nbct obtntoc tonoe: quare kb7obtres tonos 7fetuitonium minus eotinens :per occimam tertii confonat ofapente.Scd abetkbmonilrataeltoiapafonconfonantiatergo ab to bconfonatbiapa*» foti ac oiapente. qp-Jcterea quia o b 7pbfemitontum ellctpbtqbetb tmo tonitergo o b ct bcoemit biat* teiraroii.kbigituretbcrbfapenteJbfatcfraroncpconftanstpervicdlmamtertifconfonat ofapafon. 3tve' foabikbftfdemmonrtratum cilcoucinere ofapafott. crgoabtb concinunt bis ofapafon. /Stquia bcc monocbozdi partitio per femitonfum 701100 tonos facta ptocclTfttet eeque modo monltrate funteonfonan tfebarmonice regule fitffragio peruertigate :ergo monoebotdiregularis partitio in genere oiatonico per oftfinitioncm monrtrata cPr.qttod elt pzopoflttim. *1Monochordi regularis conftitutioncnr.in genere chromatico declarare. a.sk_ 0T__ .a0efgbi:klmno_ pqb lS fc 1si«f 1a[3 larrariE is 1a1zs re 1g1g» 1 5|cbe f -gbik, i1mnopqr |S| E.£om»s. S.Scmitonium. S.Scmitoniutn maius. SC^.5Crtl?em!tonfum. ««1 ; ;„ ' C^nomni Wonocbotdoiatcpq^olycboido i?ec obferuatur ptopzfctas vt octaua modonotatmodo da pzimeti oetimaquinta o<taue:in confonStia bfapnfonrecrepct.ctvbfq5pzo pzoflambattomeno pteiungi fiir tomistintcrferitufqs vbicp intermefett atepr paramefen pto concentu oifificfo.tonus.boc cft in mottoebo: _disa ptima nota in fecundam et ab octaua iitnonam colfocaturtonus, Sitergo a b vt piius dporda in qua voltimuoconfouaiitlasingericrecbtomaticbrcgulariterrcperire.capfocr regulapIanflTimfietiUialTigua tecbotdeequam.facioqj per ptimam fecundi b“ft|?c ptonumtetper eccimamoctauam citifdem 0efemitoc niuin minusti iterft per ptimam b ftoni intcruallutn.critcrgo cffemitonifi maius: ct bc ct cfouo fciuito^ nio:fcd 7ab fad gmetiot tonum 7femitonifi mfnusrquc equa crfittribemitoniotctg bctb tfacio ouo feml toniamiinusfcilj atq$ maius 7ihcrt£doad tonfit femitonifi minuo.iofimliqiioqj pacto klfiattonusrt l|m|ttbuo fcmitoniaict u0tribtmitoiilft.t iterfio|p[qbuo femitonia: qrvero trfbcmitonium, £t regulam l;oc pacto oiuifam applico er equo linee ab:ct iit linea abligno collmilcs 7collmilibus biftantifs notas: fcilj a|b[c|f|g|b|i|k[l|m|nlo|p|q |b.qno peracto bico Uncam abcftc regulariter in melodfa cbtomatica t>io uffmn.Tfla cDoti us 70ftonus efgtonus 7femitonifi minus, quare a7gcontinent tres tonos 7femitonifi miims.ergo per occittta tertii aad gcfifonat biapcttte.tquia gbfeotttfuSt tonum:11ktribcitiitonifi:fgitur gad kbttos tonos tfemitonium mfnuscotinens per fertam tertii modulatur biatclTaron. led et agpiobata cftbinp2te:crgo nkroftaifftfA^gct gkbiapfte 7biatefTarpn per vicefimam tCrtif cocimtmapafou.^tpmi lus cadent rtitfouep.to.baneriftk 0confonarc biapeii tcfct kboiapafott.quarc a0biapafon ac bfapcntc t a b rccrcpobitbiobiapafomqtiatticonfonatinnttiosirahfcenderc l|bytbagoticotutn vetatautoiitflo.quftamJ voletvltcriusconfcJdere ex bio que iam ocmonllrata funt -zquepoftea ocmottftranda fufcipicnttir: fuctlc c MVSICE confcendcUEtcumfatn tuouflrafapartftfo plrfemltonium ifcm(ton(um et trlb cmltonlum proceflerltinlfi vbi Integer adicctus ctt tonus vt tmn Dlapafonitum concitus blflunctl feruetur proprietas. -^atet ergoep oifflnltlonefactum «(Te quod In chromatico genere proponebatur faciendum at qj ptopoITtum. Idem:in cnarnionico genere regulariter oftendere. _• * BZPonod?oidum£nantionlctim. b iclaicizg iereiit i%Ife i»nar 1bieiit i ex> efgbik1tn it oPqr tetrattemeria,££.l2»itomie. CC Sit vt prluscborda a b et crregula eidem vtln ceteris equatab puncto cado extendo tonumretabD ad ffemltonium minueret fpaelum ofpartio: In cqualla pernotanic.eruntcptie fDueoleres. etfg facio Duou tonos: quioironum Implent, gbivtpjlus Duae Diefee.i kOltonum.k ltonum.l in nDuas olefee. noolto^ num.opqDuaetlcfee.ctqroltonum.quam regulam l?ocpacto partitam equaliter applico Uneeab:etfl mllee notae: equallaqj Intcrualla In Unca aboeflgno permediae Inter a-z blitteras t> [e lfJI? (f Jft 11|m\» | o|p|q|b.ctqufaaotonue:tDcfDiKDiefeefeim'toitlumm(nua implentes: et fgoltonue: ergo agtres toni tfemltonium minue per Decimam tertii fonant biapente.fcd TgbloueDlefee et 1koltonue Duoe tonoe et femltonium minuecontfncnteetper fertam tertii fnnt DiatelTaron.igltur vt p:lue per vicelTmam tertif akc5 tfnct Dlapafon.i t?oc pacto monftretur kocontinere Diapente et kb Dlapafon: quarea oconfonare blapa#9 fon ac Diapenteret aad bconfonarebte ofapafon.et qnfa !?ec modulationis progrcITlo per tilias Dlefee et Di tonum procedit: conflat pcroiffinitlonem monodjordutuenaritionlcuniregulariter cffcpartitumrln eoqy niulTcaefltiiataeelTeconfonantiae etpropofUum. Tctrachordum hypatonrin diatonico melo diuidere. 4 T^rodambanoinenoB .Sia. -~ Ihypatelfcypaton b|£g••• nfrarhypatelDyp aton c1g£ aicbanoatoYPaton D1£j© BJYpatemcfon ej£ ‘- CESupcrforesiXDonocbotdaoocueruntoidfnare. inferiores autem: £ctrad?o:da:•gbltachorda: iQtxas* chorda ct alia qtiecp U^olycborda ad ^entl?adccad?o:dum vfqjrqulbue cognftle cetera que ampliue otC^ derarcnttir cogno(centurfacillitne.£onflftuo ergo bcdetetraebordum bypatomita vtbfitbypatc bvpa^ ton|cparbvpatc hypaton |oJlicbanoe hypaton (clhypate mefonrenlpreiiingo ad graultatle partem 3 flbroflambanomenon chordam quidem que (n tetrachordis non computaturrfed primo ndieeta tefraebot* docrcatpentbacbordmii.facfoergointeruallum ebordeafefquloctauumaddjordainb| tfefqulterllumad chordam 0(7 fefqualtcrum ad e.ftcni facio cad dfcfquioctauuro.Dlco ergo tctrachordum hypaton In gene re Dfatonfco(vt Dictum cft)c(te Diuifum.THaiu per Ditfinftienctn a ad bpronsnibfltionicnce ad hrpatenh? patonrerit touue.et quia a ad Dfcfquitcrtlum eftritidcm per Diffinitionem proflambanoittenosad Kdpanon hypaton concinit Dlstcflaron.fed et cumaade profla tubatiomcnoe ad hypaten mefon flt tefqualterumr per Idcina adeconfoHatDlapeute.perpcclniamtcriiam igitur tertij oabellchanos hypaton ahhypate mefon tono olflungltur. Burium quia cad Dfefquioctauum cfl: ergo cadtfonat tonum.at vero quia aad dDiae» tclTaron eft',7 abtonus cftli ct> tonusrlgltur per fextani tertii bad crellnqultiirfcmitontfi minus. £ltItaqj hypate hypaton ad parhypaten hypaton femltonium mlnus.etparhrpatc hypaton adllchanon hypaton tonuerllehanoshypaton ad hypaten mefon totius. (CSftitufiimefiergo b|c|D|ctetraehordtim hypaton: per femftontnm minus 7duos fubltmctos tonos procedensipcrDlfflnltloncm In gencrebfatonfco parlfersfp? thad;oiduni a|b(c|D|e.0cd incidit Dubitatio foifatncurtioftra tcmpcftatc mufidduos tonos ad tetraebor^ domm partem feriam Igraucmqj prclocan t: nosautem folum tonum qui cfl proflambanomeni atq? hypoe* fes hYpntomrcfponfio perula |(n proniptuqs e(l mufleos noftratcmpcftate proflambanotneno alteram 'cl;o* hiflantem prcflrlffect Id primum memorant6rcgo:lumfactltaflc, In eodem diatonico melo:tctrachordiim mefon fubiungere. &in oftochordo: a5 proflambanomeno in mefcn :diapafon contineri. TProflambanomenos si n tovpatc Bpypaton b| £B “g^arhypate Ihypaton c|©C JLldjanos {hypaton Dl£E> tbypate EDefon c) ££ T^arhypatcZDcfon f1Sf JLlchanosttMon S\Z _6 Z)?efe hI£n? CESlte|fjg|h tctrachordum mefotufacio efcfquitertium ad h1ct gfcfqufoctaunm ad l>|etffefqu(emnnm ad g:erit ergo per Diffinitionem cadbbTPatc mefon admefeu date ITaron .et quia gad btonus etflmlllter IIII fad gtonus, nant vtruniqs er fcfqufocfatiflpiopoitfone nafcftur. ergo per fertam tertii ead fcrftfctnffo^^, nfumminus.cft (taqjc|f|g|btctracbo:dutn mefon per femitonium mimis ?Duoetonos procedetis in ge* nere Diatonico Diuifum.ctquia acpioflambauomeuos?hypate mefon in procedenti monftrata luntconfo nare oiapcnte:ct in ptefentf cI? brpate mefon % mefe DiatefTaron.ergo per vkeftnum tertif: pioflambano*1 menosad inefcnconfonatoiapafon.coiitinet fgfturoctocbojdum a|blc|D|e|f|g| bconfonantiam Diapafon. qttod cft totum ptopofitum. Prcpofito oftochordor/n eodem genere tctracbordnm diTiunftartim fubmittere. &dodccachordum diapafon ac diapente continere. Tpionambanomeuos 3| 3 Ibypatc bypaton b1b lParl?ypatel?ypatou c1c Kicbanoe bypaton *l D Ibypatc mefon eLC qparl?ypate mefon f1f K-icIpanos mefon g H>efe 1? 1I? UbaramcfeDiejettgmciioii It |£rftcconiuRctarniii k SCrttc Diejcugmenon 11Iparancteconiuuctarfi 1 Tibaranete Dicjeugmcno» mIIHctc coniimctarum m WcteDiejcugmenon n1n CESit Ic imntctradjojdtimbfc;etfgiitenon quotct biflunctaruiu Dicitur,facto 1? ad kmefen ad pnramcfen Diftuuetarfi fcfqttioctauS.ct ad mparanctcn bifitmetarum felquitertfam.adn vero nct£oitluuctarfi fefqualte ratn.ociiidc lad mtriten ad paranet? facio fcfquioctattatmflc ergo mefe adparanctJ Diffunciarum concinit Dfateffaron et ad neten m'apcnte.£ft ergo per oedmamtertiam tertif madnparanctes ad neten toni inter* ualUuu.ct lad mtrites oicjcugtncnon ad paranctii fimiliter tonus cft. fcd reum mefe ad paranctS conto* net ofateflaron et Iad m(Tt tonus 1 1Tmilitcr bad ktonus: ergo per fertam tertii kad 1erit femitonfum mi* iins.crit itaqj paramefcad triten piejeugtncnon femitonium miuueitrfre odparancten tenue: et paranctc ad neten Diejeugmenon conflmilirertouiis.qiiarctetradjotduntOftTiinetaruui fuperfoti octocbojdo in da touico genere fubiunctumcft.£teunt pjcccdcnsmonftraucritapeirebiapafon et ptefcnsljncne Diapente: igitur anptolfambanomenos i nete pfcjeugmcnon in oodecacbotdo abcncoti tinent Diapafon ac rfapS* tc.tSti fi fu moliotf canendi modottetracbotdum ad?o:da mefe coniunctum partiri: cSIHiuereqs vofnt: us: fi id tctracljcidum bklm: que linit mefe trite fynjcugmtnon parancte frnjeugincnon nete fyiijeuginc*3 nontfacioqtmcrcn ad neten fynjctigmenon fefquitertiam. quare «concinentem oiateflaron tlad mpara* ttetSfynejcugmenou adneten tono oifiautempariter ctk ad Itono, eritergo per fertamtertii I? ad kmefes adtriten fynjcugmcnon femitonif minente intcruallittnct kltlmouo toni ttctraclpojdum fynjcugttic? nonl?oc eft Oiflutictarum in genere Diatonico Diutfum. 7Tctracbordnm hypcrbolcon meodem diatonico gen crc prediftis copulare:et in pcn tadecachordo:bis diapafon confonantiam compleri. 3rc 'Hbtoflambanomcnos ai 3 bini Ibypatc byppatou b1b cfaut llbarbypate bypaton clc Dfolrc aUcbanoe bypaton »r D clatui Ibypate mefon «r C ffant iParbypate mefon f1f £> folrcut Hicbanosmefon 1 alamire ZDcfe 1? 1b bini KbaramefeDiejcugmenon Mbfa Sritefyu. k £folfant Zritc Diejcugmenon llcfolfaut iJMranctcfyu. I Dlafolre qparanete Diejeugmenon m|Dlafolre ffletefyn. m clatui IHctc n1tt ffaut Eritcbvperboleott oi0 £> folrcut iParancte byperbolcon 1 alamire THetcbYpcrbolcon q1q cii MVSICE fl£etracl?QTdftl?rpaton| 1tetratbotdfi DiejeugmenS 1~1 ||to. ISemi.lto. | to. \j5cmi, \Zo.\to.| to. \Gemi, Ito. 1to. \gemi. |to. f~to. | 1Ejb1c1d1e1fIs 1bk»ImjnJo|p|q_| l|gctracfrotdfi mcfoit ||tetracbotdumIprperboleoit j CESitnopq tetradjosdmti brpcrboleon facto vt tu pitoilbusnneten Diejeugmenon ad qnctf bFP^rbo» Icon rcfquitertiam:? idcirco ad camconcinentem oiateflaron. ipad qfacto toni intcrnallum. i o ad pitfdJ toni imcrnaltum.per fatam tertii nad oerit feinitoninm minue. £11 ergo tetradpotdum brpcrboleon n o p qerfemitonio minote ouobue fubiunctia tonis in genere Diatonico ofmenfum. fed et per prcccdltemb me* fe ad nneten Diejeugmenon confonatoiapentelcrgo I? ad qmefe adneten bppcrboleon er confonantta Dia pcnre t oiatelTaron conftans:confonatDfapafon.ergo aad qpjoflatnbanotnenoe ad net? Ijyperboleon eott tonabit bis Diapufon, et cumtotum polrcbotdum aqomnino quindecim perficiatur djotdis: in pcntadcca cbofdo xin genere Diatonico conftimtuwi cfl: bis Diapafon.quod eft totum piopofitum. Pcntadecachordi in diatonica mclodia conftftutfcnumeros reperfre. Ipuoflambanomcnos sr 9l1iitf | | Ul 811I5824i Earpatc bvpatou b|sn_ 11 I9I11i f 511I2288|tonus -Jl&arbypare bvpaton c!i i I4f811H664 1Seroi.minus XtcbauosIb.-patoH o11iL!» 112 9(f 110 368 1tonus IDfpatc ZPcfon 1 1 144 |I I f219H6 Itonus qjbarbvpate ZPcfon f11I1118748 Scmi.mintis S.icbanos fDcfon e\ 111911 11717< tonus XDele b11108 |864! 1 91 1 tonus Ifcarameleoicjcugmenon tji1168 11(5144 touus trite Diejeugmenon n1!111 91 1 1852 ©cmi.minns mbaranctc Diejeugmenon ml 1 . 18« 1648 11f>84tonus THctc Diejeugmenon nI 1 17z 1<7* I14«08 tonus Zritc brpcrbolcon «LJL111457* Sctni. minus Tfbaran ete bvperbolcon jlL 1114861|588 8 touus iHctc brpcrbolcon q11 1 f4 |4J21154ftf tonus 1pm* ||fetius 1tertius |lquart’ loc9 CiRumeri qui in mullea Dffcipliua pwciptie tefldcrantur :funt buptarcc :trfplarcs :quadruplares: b*1* miolii: epitritisepogdoi :1?oc cfl oupli ttripll :quadrupli :fefquaiteri :fcfquitertif :et fefqufoctauf.quo cir* ea rtocfiderae cognofcere ad quem numerum numerus mafot eil oupluo. ipfum partire per ouo. 0d quE triplus partire per tria. Sd quem quadruplus partire per quattuo:. 73d quem fcfqualtcr partire per tria et tertiam augepcrouo.Sd quem fcfquitcrtfuo partire per quattuo? et quartam sngepertrfn. 3d quemfcfquioetauns partire pernonem itionamaugc perocto. £tmitneri:pcroctauam fecundi 3ritl?me lices vbiqj furgent petiti :ftma!ot Duplus: triplus: quadruplus: rcfqualter: fcfquitcrtius :aut fcfquii* octauus eft. CC £t fi rurfum cognofcere Defidcras quem numerus mino? Duplum babet: ipfum auge per bno. iSuem triplum: auge per tria, i&ucm quadruplum: auge per quattuor. fiSiicm fcfqualterum: par* tireper Duo tilli medietatem adde. i2lucm fcfquitertium :partire per tria: ttertiam adde. iShicm fefquf= oeiaunm: partire per octo: ct octauam adde: £t (latim pereandem octauam et Diffinitiones cognoiccs pes5 tftum. (E Sed nunc ad tiionflrandum ptopolitum nos conucrtaums. Sitpcntadecacljojdum inniato^ nico genere modo repertum: cnine numeri queruntur: obc»cfgbtft Itu n o pq. duco in feinuie ccmouo:tria:quattuo::ct minimostoni: bocelt vfgiutfquattuoi in pet 8minimos terminos tonf etre» niaitt in fecundo loco ab queperfeptimamrcccmdf Sritbmeticcs funt inpiopoJtionc fcfquioctaua: -ico linentia tomim.eapio fefquftcrtium numeri a: fitqj d: et fcfqualterum qui fit ctfubduplumquf fll b-Surs5 fum fumofcfquitertium numeri I? qui fit met fefqtialterum qui fit net eius fubduplum qui Iit q.qufa aad o cft Diateilaron et aad cDfapente:ergo per occimamtertiam tertif dad ctonus cflct eademquoqj ratione ad ntonus. £t II doctauam partem baberetca eidem adfccta facerem cfcfqufoctamtmadDltcD continentia tonuni.tnodo autem quia dcomperitur octaua parte carcrc: augeo abDebmnqper octo :furgantqj fer51 tio loco abDebmitq:qni numeri per eandE feptima adinuic? eandE feruabfit p:opo«ion£: qna *numeri fecfidoloco poffti.quia ergo dtertio loco politus babet octauam :ca igitur adiecta ad dfiat ceritqj cad d fciquioctauueatep cumco tonum continens, itidem ediecta octaua parte bad bfiat g.et octaua partem 9 IIII ad mfiat I. *octaua q.ad qffat p. erunt# fdfrfdem gad I? Iadtnt pad qfefquioctaui tnumeritonotum. et I? comperitur t?abcrc nonam partem :illam augeo per octo ctveniat It: erit# 1? adIt per octauam fecundi Sririjmetices fefquioctauus./2tfig octauam partem l?aberet facerem ffeltjirioctaniim ad g. St vero quo** niarn ea caret:augco omnes numerostertio loco repertos per octo et crurgsnt in quarto loco abeo egljfc Imnpqrquiper eandem feptimam erunt in cifdein habitudinibus «t et numeri tertif loci, adietta igitur octaua eius parte ad gfacio f. toctaua parte ad pfacio o.ofcoergo numeros quarto loco conftitutoseflc numerospentadecacljotdi.lllam aadocftoiatcflaron.etaad btonusric ad t> tonus, ergo per fcitam tertif bad cremitonium minue. i quia abcft Dfapafon et aeoiapenteergo per viceflmem tertif eI? cft Dia reflaro et gbtfgmonftrati fuiitfcfquioctatri afqs toni, ergo per fertam tertif cfeli femitoniuntininus. et eodem pacto oftendas ftlctnoefrcfemiton ia minotaii«teri adliiuicem funteogniti toni. igitur penradccadjot di Diatonici numeri funt reperti. £ft enim numerusptoflambanomeniad numerum bfpstesbvpatontoa nus:*bvpates Ijypaton ad parljypattn Ijypaton femitonium minus.parljypates brpaten ad liebanon Ijy paton: ct Kdjani ad brpaten mefotvDuo toiri. Ipvpatcgr mefonad parbvpatcm mefon femitonium minus, parljypates mefon ad liclpnnoiiiiicfou tetlidjani ad mefeii :imefes ad paramefen oifiuiictaruni: tres to#9 nf.paramefca ad triten remitoniumminus,trites ad paranctS:? paranetes adnetentbuo ton islHctcs ad tri ten bvperboleon femitonium mimis.trftee adparanctenetparanetesadnetenbuotoni./Sft igitur notum ptopofitum. Tres diatonice diateflarpiv confonantic fpecfcs aproflambaiiomenoad parbypa^ ten mefon concinunt. &quattuor diapente fpccies aproflambqnonieno ad triten diezeugmenon,feptem vcrodiapafon fpecies inter proflambanonienon ¶nes1 tcnbyperboleon. SpccicspiatcflarS | [ Species Diapente |~| Spccice Dfapafon' Ifrioflamba. %|pnia[fctiq|tcrtia ||pinaj fato |tertia jqita |jpma[feda |terffa lqrta l(fata |ferta |feptfaj ibypate byp. b|£o. |o|o||£o. [o|o|o||£o.| ojo|o|o ipiarljyp.brp._c:|Se.|Sc.j o||Sc.| o|o|o||Se.[ Sc. |o|o|o jticlja.ljypa. p' |£o.|ton9|ton<, ||gp. jton»| o| |o||go.liton»|ton»| o~ | Ppypate mefon Hbarljyp.mc. f| [ton9jton* 1 fCo. Ito»» [0(0 Jtidja. mefon g| XDdt b_ . jPara.pfejeu. k|| '[ j ~ ~[ Sc7|£5e. j _|tonfJt£n£jton* |toii<’|toii»| grfteofe;eu. I|||_ 1frara.p(c5cu. m, TReteple}eu. n|' j gritebyper. o~j \' Iton»[ton9| ICL IgoTjton9[ton* |ton9foP TSeTjSeTISe. |Se, [Se. | |Sto. Iton 9|toii 9|tou<*jion9|roti 9)o_ 1Zo7\ton9 \ton9\ton* [ton» |ton»|tonus ')tcm»|ton»|ton» [ton** |ton9[tonus 1 0 e.[ge. 1ge. f0cq~SeT [ jton»| ton9[ton9 jtonusI Tftara.tjypcr. THttc byper. ~i f1 I3IQ J_4 1IS |ton»|ton9[tonus | Se.|_55c. [ 'tonus| (C Illima fpecfcs bfatclTarou tono femitonio mfriotc at#tono conftat.Sccunda femitonio et Duobus tos5 nis.gcrtia Duobustonis et feqtientc fctiritoirio.(Cl|brima fpccies Diapente efl que conftat er tono hmito? nfom(notciDuobustonis.SccandaDuobnstonis:femitonto:at# tono.gertta femitonio et tribus tonis. ^iKrtatribustonisetfcmitonio.CClI^ttmn fpccies tiopafoncft que conftat er tono| femitonfo mfno:c[ Duobus tonie [femitonio mino:c|atq5 Duobus tcnfs.Secfida femitonio Duobus tonfe|fenritonfo ct tribus tonis. Certia Duobus touis|fcmitonfo|tribus tonfs| at# fcmltonio.tfSuarta tono| femitonio [tribus tonis| femitonio|fltqj tono.i^uinta femitonio [tribus tonislfem{toufo|Duobuetou(s.@cria tribus tonislfcmitos9 irio [Duobus tonis femitonio.Septima ouobus tonfs |fcmitonio [ptiob9tonis |fcmitonfo |at# tono. (T £r(t ita# per Diffinitionem prima Diateftaron fpecies apjoflambanomeno in Ifcbanou Ijypaton.lHam ptoflam* banomenos ad Ijypaten Ijypaton tonus eft:et Ijypate bypaton ad parljypatcn Ijypaton femitonium min us efttparljypatc verobypaton adifcljanon Ijypaton tonus.? (tidem per Diffinitionem fecunda Diateffaronfpc cies ab ljrpate brpaton in bypaten mefon reperietur. ttertia aporbypate Ijypaton in parljypaten mefon. CESperic»vero Diapentcljocpacto per Diffinitiones fumentur, llbrima aptoflainbanomeuoin Ijypaten mefon. Secunda aparljypate Ijypaten in Iicljaiton mefon. gertfa abIjypate mefon in paramefen Diejcu^ gmcnon.£tquartaaparijypatemcfonintriten Diescugmcnon. d^tleptcm fpecies Dfapaion coufimilfter per diffinitiones quercntur.lfbrima aptoflambanomcno in mefen.Sccundo aparljypate Ijypaton in para nicfeu Dfc5cttgmenon.2xrt(a aparbypate Ijypaton in triten Diejcugmcnon. £©uarta aIfdjano Ijypaton in paraneten Diejcugmenon. iShrinta abIjypate mefon in neten Dicseugmcnon. Serta 'a parljypate mefon in triten bypcrbolcon. Septfmavero alfcljano mefon in paraneten Ijyperbolcon.fcdbcc cognitu facilia funtrin fpccta Diligenter fuperiozc figura. ciii MVSICE Chromaticum principalium tetrachordum:conftitnerc. io Tfoofjatnbatiomenog 31B IbypatcbTpaton b|goniis b •jfoarbypatebypaton ejSciiii.tiiiuus c ilicbanog bypaton p|Bpofome p IPypate mefon c[Stifemitonium e CE £biomata apud Jlacbcdemonios induxitolfm JTimotbeua milefius moKoiemcautum fiiperlote pia» touicotinquo canendi modo l?ic tctracbotdiim bvpaton qtierimue. Sic ergo bcpctetracboidum ed bvpa tae in cl?iomatico melo conftituendas alTiguatunupicpono djoidam a: que fit ptoflanibanomcnos :quam facio tefquioctauam ad bbvpatcn bvpaton piimamtetrad?oidi coftituendicbotdaimoeinde facio aftfqual» teram ad eljrpatcnmcfomcritqjvcin omnibusaadbtonueletaadepiapcnte.peindefaciobadcfemitos* niumminus et bad otonum.erit ergo cad papotoinc.i quia per pecimam tertii Pcmpto abtono ob aeco fonantia oiapcntetreUnquitur PtatclTaron.crgp bcmodulabitur oiatelfaron. Sedcum per fertam oiatefia«* ron er Duobus tonis et lemitonio minote confiet tbcctco fimul fint tonuslergo Pecontinettonnm et fimi tonium minus.cft igiturp etrifcmitomum.fiCum ergo bebypate bypaton et parbypate bypaton fit femitoo nium minus, xcoparbvpate bypaton xlid?anoa bypaton flt femitoninm maius et P e Ifcbanos bypaton t bypate mefon trifemitonium vt monfiratum cft. confiat ergo per oiffinitfoncm tetracboidom bcDein gene re cbtomatico elTc conftitutuin.idcm enim trifemttoiiium et trfbemitonium Dicimus. Chromaticum tctnchordum mefon rfubiungcrc. i* Tfrioflambanomcitog 3|B Ibypate bvpaton b12iomis b llbarbypate bvparon c|Scmi.miiuis c Jtiebanoelbppaton P|Bpotome p flJvpatcZDcfon e|jtrlfcmitcnium e Ipnrbypate ZPcfon f|Scmi.minus f Jlfcbanos ZOcfott g1Bpotcmtc 0 ZDcfe b|gTrifetritonium b CESintp:o tctracboido mclou in gnierccbiomaiico cor.ftitncndo ef gb:facioaadbbupIani et concit nentem oiapafon.? cad ffemitonium minus? idem cad gfacio tonum, crft ergo fad gapotome.fcd cum a ad cmonftrata fit conlonamfa oiapentc.ca igitur fubflracM ab abcciifouaiitia piapafor:pcr viccfimomfc eundamtertii relinquitur ofutc(Tsron.£fi ergo ead bbypate mefon ad mefen oiatcilarou,? cum ointefiinon Puoe tonos xfemitonium minusimpicat:? cgfit totius ergo gbcontinet tonum et femitoninm ninua.erit ergo gI? trlfemitonfuinierft igitur cfgber Duobus femitom'iscf?fg:et trifemitonio gb eonftitutum in genere cbtomatico tctracboidum.quod erat monfiiadimt. Reliqua duo tctrachorda:in eodem gcncrc predibis adiicerc. &in pctadccachor^ ix llMoilniubiinomciios Ibyp-.te byppaton ll^urbrp.ifc bvpaton Bl B b|STonus b c|Scinf.minus c JUcbaiios bypaton p|Bpotomc p Ibypflte mefon c1ffrifcmitoiiiuni C Ifrarbvpate mefon f|Senii. minus f TOt(e b1Crifcmitoniuiii WSSSfeifraaiStiioinrI r %°«m 1Cr(Kjw.&mt.mtom_ EStttlcwsmoion II|H>»nn«.Jnn.apoioinc iHa^i^SiHrenon i' gTS^aito rLfsajgjg» IIII (ESlnt pro reliquis tetrachordis complendis klmnop qiqula tctracbojdum mefon slfTunetum efta te» trachordo netarum blejcugmenoniidcirco faelo meles ad paramefeii Pfejeugtnencu olftatttfam effetonflL' ct mefen ad netenolejcugmenonfaelo confonare diapente, iad neten hyperbolcon diaparotuct ictrachor» dum klmnpartior vt tetrachordon l?ypaton.tetracl?o:dnm vero nopqpartfo» vt fn precedentl tetraebo:» dum mefon erltqj vtrfiqj Id genere chromatico ofulfutn.? quia aad hcognita dl efle oiapafoni ?had qItl» dem otapafon. ergo aad qconfonablt bfs&fapafon.iglt? cum quindecim vocibus atqj chordis contentum fltrconftat effectum cfTe id quoderat propolItum.Sed fiklm facio tetrachotdum fynjeugmenou fpfumpar tlarla vt tetracl?ordum chromaticum mefontet facile factum intuebere propofitum. Chromatici pcntadccachordi numeros alTignarc. 'Bbiofiambanomenos ~S| 11191 1f97>963 1 Ihypatehypaton bIIrfcf 1504 ]f5oS4l6 Kbarhypatebrpatou cI:4? |218 71f0JS 848 ildjanosbvpaton o111o48 lOypate mefon ei‘72 8159 8151 2 iparbvpate zDcfon jtlchanos ZDcfon sl I XPcfe 1? i11296129Sf984 l^aramcfe Diezeugmenon k|11 fl 116f42 o8 Jtrlteolejeugrnenou l!112fI9424! Ifboranetebfejcugmeiion m, 125f 91961 WctePteseugmcnou U|.1964 Crflcbyperboleon 0 11I21 0826 8IfSeml.mliius Ifbarancte hyperbolcon P11 THetc hyperbolcon a1I«48 11492992 |Crifctnitonlum CC Slntb et cminimi numerifemltonif mlnorlsperbecfmamoctauam fecfidl hufus repertf. quia bnona parte carettaugco bete per noucm et veniant betcln fecundo loco.quonfam Igitur In fecundo loco bnos* nam partem habetteam augeo per acto ct flat n.tunc bad bper feptimam fecundi Urirhmeticee erit fefqui* octauuo.quareb t> continentia tonum.et b?cpereandem eftfemitonfum mlmio.ergo co eftapotome. «ur fumquia bhabet octauam advelo eidem fuam octaua ?fiat ajerltcp aad bfefq uloctauu eat<$totmo ?quot» nlam ahabet tertiam faelo aad e fefqualterum.? qufa habet fecundam faelo itidem aouplumad h. Pcpe» rlo (tem hhabere nonamtertiam et fecundam, facio Igitur hfefquloctauum ad k: lefqualterum ad n ?au* pium odq.quo facto suco bfecundi loci lnabct>ebk»q«vcnlant Intertiolocoa bcocljktiq. ©elude otico ct> fecundi loci In efecundi et veniant f g?in ket veniant Imet in n?veniant opfn tertio loco, crfttq; perfeptimam et octauam fecundi arithmetices numeripentadecachordl chromatici fn tertio loco afftgna ll.THam a b erit tonue ct bcfemltonlum minuo et coapotonte.et quia aadecft fefqttalterra ct efunt nume* rIofapente.? abnumeri tonl.Dempto fglmr a b touo relinquitur betriateffaron.? bc?coflmul funt tonus Igitur per fertam tertii t> efunttrifemltonlum.gt aI? cilolapafou ?a e oiapcnte.lgitttr chclt olatclTaroii. i per octauam fecundi Srltbmctfces e fet fgfunt femitonfum minuo ?apotomc.igltur gI? eft trifemitonium et confitniliter monitrablo hkefTc tonfi k1ilmouofemitdnlacttn ntrffcmltonfum nopOuo fcmifonla ? pq trifcmitonium.elarum igitur cuadlt propofitum. Modorum diatonici et chromatis parhypate parhypatis:paramefe paramcfis:atc^ trite tritis correfpondent. CTifiam (n vtrlfqs generibus hypate ad parhrpatas femltonif minoris obfcruantlnteruaHum. ct mefc ad paramefastonum.?trite ad trftas minus femftonfutn.efi igitur notum (lias voculae in virocg canendi mo* do fibifnulcem reipondere. ?non modo Id verum fit: fed ethypate hfpatls ?mefe mcfis?ncte netis cora refpondcnt. THam vtroblcp proflambamenonl ad bypatas bvpaton concinunt tonum. ?ad hypatae mefon biapentc.ad mefas blapafon.ad netas olflunctarum ofcpafon acolapcntc.? ad netas hyperbolcon bis oia pafon.etl ergo quod proponebatur et amplluorfacfle cognitura. % ciiii MVSICE Penfadecachordum enarmonicum conftituerc. 15 Tfctoflambanomenos ai a bypate bvpaton b|Conus b ifcarbypate bvpaton ci©ieffs c S-tcbanoe B>,’paton 0|©ieffs 0 bypate IDcfon e|©(tonus e Ifcarbypate mefon f|©ieffs f licbanoe mefon g|©ieffs e ZtScfe b|©itonus i? IfraramefeDJejeugmenon b]Conus |Crftcfyn.bfeffs b SEriteDiejeugmenon l|©ielle hlbaranetc fyu.bfelte 1 l^aranete olcjeugmenon tn |©ieffs 1Hetefvn.oitotma m lacteoiejeutmenon n1©itouue n CritcbVpcrboleon 01©ieffs 0 1!>aranetc bvperboleon _p 1©ieffs THete bvperboleon q|©itonue «1 (Dbuiuscompofitio perfacilis cff.facio enim vt in ceteris ptecedcniibnsaad binternatium tonf.etaade Diapente. 2bad ofacio femitonium minue, toiuido cbotdam cin medio bifferentie badDerit ergobade cfelle tetrartemeria atep quadrupartfalis pariter et cadooiclle.fed per quartam fecundi bufus b« latio* illa vero contractio: ucqjper tricefimamfccundam eiufdem femltonium minue in ouo equa certo: coniti#* tutoqj numero Diuidipotclt.eta adeoiapeute.fubftracto igitur abtono relinquitur bad eeffe oiatdTaron. et cumoiateflaron femltonium minue touoe tonoecomplectatur:et bad o fit femitonium minue:relini quitur igitur bad eelTe bitonue.critigitur bcoebvpatea bvpaton parbvpatec bvpaton licbaniqy bvpato «t bypatee rnefon tetradjotdumrper bc:c octo coieffm tofeilm toitonfi ptocedenepcr Diffinitione inenar mottico genere oiuifum.Sirniliter conllituae cfgbtctrarcbojdum mefon faciendo a ad boiapafomet ead gfemitonium mfnus.t partiendo mediam oifferentiam per fita vt cfet fgffntoue ofefee.lHam ab abcon* fonantiaoiapafonfubductaacconfonuntiaDiapentcrrellnouiturebcITeoiatcffaron.etcuinegfltfemiionifi mfttue: igitur gberit oftonne.tcum e f 7fg fint oue oiefes ?g boitonue.ergo bce tctracbotdi partitio in genere eiiarmonico facta confp(cltur.£t facta bmefe ad neten oiffunctarum oiapentett ad neten bvpcrbo#* Ieou oiapafontetcbot dajmefe aparamefc tctracbotdi eiffunctarum tono oifclufatperinde ac pioffambano ttteno ab bypate bypatontpartieris tctracbordutnoiflunctarum hlmnvtbco etetrarcbotdum bvpaton, t tctracbotdum n0pqbvperboleon ercellcntiumcptvt cfgbtetracbotdum mefon.tetracboidum autemcoi* itmetarum I? kIn» partieris vt tctracbotdum mefonet id quodqj facile eft. Pentadccachordi cnarmonid numeros collfgcrc. Ipnoflambanomenos .S&l i?8;4 |1i? S2 4| Ibrpatebyppaton b1n2s 8 1Conus |1j288 _|Contis IJbarbvpate bvpaton cII 664|Semi.minus |11976 1©ieffs JUcbauoe brpaton 0110568 |Conus I166 +1©ieffs ©vpate mefon c9216 |Comte |9216 |©Itonus l^arbvpatc mefon f118748 |Semf.minn018982l©felis JUcbanoe mefon jsJ .7_7 76|Conus |8748 I©iefls l^aramereoiejeitgmenon kl 6144~ rConue |614 4|Conus CritcDic3cugmenon l11(852 |Semi.mfnus |(9 88 |©ieffs l£>aranctc oiejcitgmenon m1f184|Comte [(852 1Bfeffs ffletcotejcugmenon n146 08 |Conus |46 08|©ftouus Crite bvperboleon 01!4574 |Scmf.minus |4491 1©ieffs K^aranetebvperbolcon P158 8 8 1Conus |45J7 4|©ieffs IHetebvperboIcon q154f6|Conus |54(6 1©Itonus K> IIII (ESfnt numcriabebefgklmno pqfnprimo loco conHftuti numeri pcntadccacboidi Diatonici per octauam huius repcrti.pou oIterum abeI? knq(n fecundo loco zin rcfpondcntlbus locis rurfum ein (ei* eundo loco tranfmuto ndoetfadgtlad tu z o ad p.quibus ita in fecundo loco oifpoITtls :ex ipfis quidem in fecundo loco capio Differentiam bt> «iciue medietatem adifeio ad Pet fiat e. Similiter differentiam eget medietatem addo ad getfiatf.t Differentiam Itmt medietate Diffcrcnlie adiecta ad inflati, et Differentiam npzmedietate adiecta ad pfiat o.Dico abcDcfghltltnuopqnumeros fecundo loco politos e(Tc nume* ros pentadecad?o:di cnarmonici.lfiam aberit tonus.b c|ct c o mcskfee conilimentcsfemitonium minus bo. quod enimcfl bcin diatonico factum eltbpin ctiarmonfco cto ecfl Ditonus.lflam quod eil in diatoni cocceftljicin cnarmonicoD c.atDiatonice tnodulatiotifs cetiitoimseff. THam continens ce tonum ctoe tonum, zIpoc pacto reperientur cfgbueoiefes zglp Ditonus.h ktonusth ltn Due Dtcfesim rt Ditonus.n op duc Diefearp qbitonus.Sunt itatp collecti numeri pentadcca cbojdi cnarmonici quemadmodum piopoft*3 tum fucrat.quod eft pjopoiltotn. 17Moddldfatonfciparhypatehypatonrln cnarmonica modulatione trantftmlicha non:& parhy pate melon in llchanon mefon atq? trite in paranctas. (E ?d ptofpici ftntimpjomptum cft. THam iu Diatonico pentadecachozdo apioflambanomcito ad hYPa^ tenl?vpatou incidit tonus. etab hrpate adparhrpaten hvpaton femitoniumminus. in enarmonfeovero aptollambanomeno ad hypaten hrpaton Umiliter incidit tonus, ct ab hrpate ad lichanon hvpaton fe* mitonium tuinus. Diatonica igitur parhrpatctin enarmonica modulatione permutatur :tranfltq$ inii* ehanon.cthoc pacto De reliquis oftcr.datur. quod zfacile feitfu bcpiehendetur:fl invtroq? emodulandi genere et oiatonico et enarmonico ptollambanomcni ponatur equifoni.tuitcenim msnffcfhim erit hufus lichanos: illius parpypatis effit cquifonoe: vnifonofcp: pariter et huius paranetas :illius tritis e(Te cquifonas. 18 Confcntiantin tribus modulationi! gencribus:proflambanomcni: hypate prin* cipales:hypatcniedlc:mefc:paramefc:nctc:cum diflunftetumconhmfte atqj cxccl* lentibus netis excellentes. CPBamin tribus generibus per quartamiquinlamtfertamlfeptimams Decimam: vndecimam; DuodccimS: etquintamdcciinflm huius ptoilambauomeni ad hypatae hrpaton fonant tonum, et tfdcm ad hypates tncfon Tonant Diapente» admefas oiapafon.adnetaoDifiunctasfonantDiapafonac Diapente. ad netas au tem coniunctas Dempto tono fonarent oiapafon acoiateifaron. et ad netas excellentes iconfonant vbilibet pjoflambanomenibisbiapafon.confentiunt igftur intribue generibus queaducte (bntvoculr. quod eil piopofltum. ,9Quechorde mobiles queuc immobiles in pcfadecachordis exiftant: imieiligare. •fe Toflambanomeni 'M 1Stabiles Iljyparebypaton b|_£tabiles Hbarbypatelyrpaton c\3nftabil<a Xichanog hrpaton »_l_.?uil8btles Ibypate mefon c|Stabiles HbarhVpateZDefon f|$nffabiies jUcbanos XPefon VJ3nffabiles XQcle I? IStabiles T^aramefeDie3cugmenon k|_Stabiles£ritcfyn;eugmenon.ffnffabllca Kriteolejeugmcnon 1_13nffabilee Hbaranetcfrn^eugmenon.jnftabiles ffiaranete Dlejcugriieiioii m13nffabiles fflete fynjcugmcnoiuStabilcs THctcoiescugjncnon n|Stabiles grltebyperboleono|Jurtabitei Hbaranctcbvperboleon p[$nffablle» HetebYPerbolgon q[Stabiles CE CbotdasHabiles immobilefep vocamus: que fn omni pentadccacboidozum biuiffone :eadem leruant (utcruallo :candentep ad ptoflambanomenonhabitudinem. 3nHabilcs vero atq? mobilesfquc id non fer* xiaiit.de ergo Habiles ac inHabiles repericmus.cum enim per pzcccdcntem fit tribus generibus confcntian* pzoflambanonienfcprincfpales brpate.mcdic brpstc:mcre:parainefc:nctc tumfynjeugnienc tk blc^cugme* neac Ijyperbolesfct eadem vt er oemonflratis iam patet feruent fnterualla. erunt ergo ptoflambanomenos hypate bypaton: hypate mcfontiucfcJparamcfc nete fyiijeiigmcnonmete Die5cugmenon: et nete hfptrbo* Icon: ffmpliciter immobiles atq? ffrme.Scdcum Decirnafeptima huius mondraucrit parhypatas Diatoni* tonicc modulationis .* in cnaiwonfco melotranilre pcrnmtai iqs in lichanae: ct tritas in paranetas: