Modelos estadísticos para la predicción de lesiones mediante datos procedentes de GPS

MODELOS ESTAD´ ISTICOS PARA LA PREDICCI´ ON DE LESIONES MEDIANTE DATOS PROCEDENTES DE GPS Mar´ıa del Carmen Monta˜n´es Palma Grado en Matem´aticas Universidad de Sevilla Facultad de Matem´aticas Departamento de Estad´ıtica e Investigaci´on Operativa MODELOS ESTAD´ ISTICOS PARA LA PREDICCI´ ON DE LESIONES MEDIANTE DATOS PROCEDENTES DE GPS Trabajo realizado por: Mar´ıa del Carmen Monta˜n´es Palma Tutor: Jos´e Mar´ıa Fern´andez Ponce Trabajo de fin grado presentado como requisito para optar al t´ıtulo del Grado en Matem´aticas v Resumen En este trabajo se exponen modelos estad´ısticos aplicados a la predicci´on de lesiones en futbolistas, mediante el uso de la tecnolog´ıa GPS para obtener los datos necesarios. En el primer cap´ıtulo se introducen los conocimientos sobre las lesiones y sobre los dispositivos GPS y su utilidad para el registro de datos y la posterior interpretaci´on de los mismos. Los tres cap´ıtulos posteriores se centran en tres modelos matem´aticos y sus correspondientes aplicaciones pr´acticas. En el segundo cap´ıtulo se lleva a cabo el An´alisis de Componentes Principales, con el objetivo de reducir el n´umero de variables a algunos factores significativos que se correlacionan con las lesiones. En el tercer cap´ıtulo se presenta el ANOVA de Medidas Repetidas para estudiar el efecto de la mejora del equilibrio en la reducci´on del n´umero de lesiones. Por ´ultimo, en el cap´ıtulo cuatro se trata el modelo de Regresi´on de Cox para estudiar los factores de riesgo que afectan a lesiones en una parte concreta del cuerpo: el muslo. vi Abstract In this final project for graduation are developed some statistical models applied to injury prevention in football players. These models use GPS technology in order to obtain the necessary data. The first chapter introduces some knowledges about injuries and GPS devices, which are useful for data recording and subsequent interpretation. The next three chapters focuses on three mathematical models and their corresponding practical applications. In the second chapter the Principal Components Analysis is carried out with the aim of reducing the number of variables to some significant factors that correlate with injuries. The third chapter presents the ANOVA of Repeated Measures with the goal of studying if the effect of equilibrium’s improvement helps to reduce the number of injuries. Finally, chapter four deals with the Cox Regression model to study the risk factors that affect injuries in a specific part of the body: the thigh. Contenido 1. Introducci´on 1 1.1. Conceptosprevios................................ 1 1.1.1. Ejemplos de registro de lesiones seg´un su definici´on . . . . . . . . . 3 1.2. Clasificaci´on de lesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Implementaci´on de cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4. Tecnolog´ıaGPS................................. 8 1.4.1. Funcionamiento y validez de la tecnolog´ıa GPS . . . . . . . . . . . 9 1.4.2. Aplicaciones pr´acticas de la tecnolog´ıa GPS . . . . . . . . . . . . . 11 2. An´alisis de Componentes Principales 15 2.1. Desarrollote´orico................................ 15 2.1.1. C´alculo de las componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.2. Propiedades de los componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.3. Interpretaci´on de los componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2. Aplicaci´onpr´actica............................... 21 2.2.1. Variables................................. 21 2.2.2. Datos .................................. 22 2.2.3. Definici´on del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.4. Modelo.................................. 25 2.2.5. Resultados................................ 25 2.2.6. Otros comentarios sobre CP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.7. Conclusiones .............................. 32 3. ANOVA de medidas repetidas 34 3.1. Desarrollote´orico................................ 34 3.1.1. Supuestos ................................ 34 3.1.2. Dise˜no de medidas repetidas con un factor intra-sujetos . . . . . . . 36 3.1.3. Dise˜no de medidas repetidas con dos factores intra-sujetos . . . . . 39 3.1.4. Dise˜no de medidas repetidas con un factor intra-sujetos y un factor inter-sujetos............................... 45 viii Contenido 3.2. Aplicaci´onpr´actica............................... 52 3.2.1. ¿C´omo afecta la mejora del equilibrio en la reducci´on del n´umero delesiones? ............................... 53 3.2.2. Material y m´etodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2.3. An´alisis ................................. 56 4. Modelo de Regresi´on de Cox 59 4.1. Desarrollote´orico................................ 59 4.1.1. Estimador de Kaplan-Meier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.1.2. ModelodeCox ............................. 64 4.2. Aplicaci´onpr´actica............................... 68 4.2.1. M´etodos................................. 68 4.2.2. An´alisis ................................. 71 A. Anexo 76 Bibliograf´ıa 79 1. Introducci´on “Un hombre con ideas nuevas es un loco, hasta que estas triunfan” Marcelo Bielsa (1955-) En este cap´ıtulo se tratan conceptos b´asicos sobre las lesiones en futbolistas y sobre los dispositivos GPS. Estos conocimientos son necesario para una mejor recogida de datos y para una mejor interpretaci´on de los mismos, una vez aplicados los modelos estad´ısticos, que se desarrollaran en posteriores cap´ıtulos. 1.1. Conceptos previos En esta secci´on se expondr´an algunos conceptos b´asicos sobre las lesiones en el f´utbol (ver Fuller y cols. (2006)) Entrenamiento. Un entrenamiento se define como un conjunto de actividades f´ısicas, tanto individuales como en equipo, bajo el control del entrenador y del cuerpo t´ecnico, que est´an enfocadas a mantener o mejorar las habilidades o la condici´on f´ısica de los futbolistas. El calentamiento pre-partido y la sesi´on de enfriamiento post-partido deben registrarse como entrenamiento. Las charlas de motivaci´on del equipo, los debates sobre las t´acticas, y las sesiones con psic´ologos deportivos, nutricionistas, y cualquier otro tipo que no requieran de actividad f´ısica no deben registrarse como entrenamiento. Las actividades de entrenamiento personal llevadas a cabo por los jugadores fuera del equipo y que no son planificadas por el entrenador o el equipo t´ecnico no deben ser registradas como entrenamiento. Cualquier actividad que forma parte de la rehabilitaci´on de una lesi´on no debe ser registrado como entrenamiento. Partido. Un partido se define como un juego entre dos equipos de diferentes clubes. Un partido entre dos equipos del mismo club debe ser considerada como un entrenamiento. 8 1 Introducci´on 1.4. Tecnolog´ıa GPS A continuaci´on se introducir´an algunas nociones b´asicas sobre la tecnolog´ıa “Global Positional System” (GPS) y su aplicaci´on a los deportes de equipo (ve´ase Twist, Waldron, Worsfold, y Gabbett (2013)). La tecnolog´ıa GPS (Figura 1-1) es un sistema de posicionamiento que mediante la tecnolog´ıa disponible de sat´elites construye la ubicaci´on geogr´afica y los movimientos de un individuo. Una integraci´on adicional de varios Sistemas Mec´anicos Micro Electromec´anicos (MEMS) y la telemetr´ıa de la frecuencia card´ıaca permiten a los expertos cuantificar la carga interna y externa a la que est´an expuestas los jugadores de deportes de equipo (en concreto nos centraremos en los jugadores de f´utbol) durante el entrenamiento y la competici´on. Figura 1-1.: Dispositivos GPS. La validez y fiabilidad de los sistemas de GPS al evaluar el movimiento de los futbolistas est´an influenciados por varios factores, entre ellos la velocidad de movimiento, la distancia recorrida, la trayectoria del movimiento individual y la recepci´on de GPS debido al ambiente. Los sistemas GPS proporcionan una serie de datos que se analizar´an con el objetivo de beneficiar al equipo en ´ambitos como la prevenci´on de lesiones o la estrategia de cambios durante los partidos, como se explica m´as adelante. A la hora de analizar los datos hay que tener en cuenta que el contacto f´ısico aumenta las demandas fisiol´ogicas y la fatiga de los jugadores, adem´as de la duraci´on e intensidad del trabajo y los per´ıodos de descanso. Adem´as hay que observar que con el fin de preparar al futbolista para la competici´on, el tipo, la intensidad, el volumen y la frecuencia de la formaci´on depender´an de la fase del a˜no. Con esta informaci´on se puede gestionar 1.4 Tecnolog´ıa GPS 9 la fatiga puntual y a largo plazo, minimizar lesiones y optimizar la recuperaci´on de un jugador. En el caso de un equipo de f´utbol profesional, este puede jugar unos 38-64 partidos por temporada, por lo general con uno o dos partidos por semana compaginados con entrenamientos regulares que suelen consistir en el acondicionamiento metab´olico, el entrenamiento de resistencia, habilidades y elementos t´acticos. En la actualidad, todos los equipos disponen de la tecnolog´ıa GPS. Cada uno de ellos trabaja con diferentes marcas, entre ellas destacan GPSPORTS, que trabaja con equipos como el Real Madrid, Atl´etico de Madrid o Sevilla, y “RealTrack Systems Wimu, la cual tiene un acuerdo con LaLiga que ofrece a los equipos informes con datos como las distancias grabadas a alta demanda metab´olica (HMLD), valores de las acciones cinem´aticas de alta densidad (KHIA), potencia metab´olica, distancia recorrida a alta velocidad (HSR), distancia recorrida de alta intensidad (HIBD), aceleraciones/desaceleraciones de alta y media intensidad y la distancia explosiva entre otros. 1.4.1. Funcionamiento y validez de la tecnolog´ıa GPS Los dispositivos GPS se fabrican actualmente con frecuencias de muestreo de 1, 5 y 10 Hz (la velocidad a la que la unidad recopila datos). La literatura sugiere que el GPS con una tasa de frecuencia m´as alta proporciona una mayor validez para la medici´on de la distancia. Al comparar la precisi´on de la adquisici´on de distancias entre un GPS de 1 y 5 Hz, el error est´andar de un sprint de 10 m fue de 32.4 y 30.9 %, respectivamente (v´ease Jennings, Cormack, Coutts, y cols. (2010)). Por el contrario, un GPS de 10 Hz mostr´o un error est´andar de 10.9 % en un sprint de 15 m (v´ease Aughey (2011)). Recientemente, se ha conocido que los dispositivos GPS a 1 Hz pueden no ser capaces de registrar movimientos que tardan menos de un segundo en completarse (v´ease Johnston, Watsford, Pine, y cols (2012)). Las unidades m´as nuevas de 10 Hz son capaces de medir el cambio m´as peque˜no que vale la pena en la aceleraci´on y desaceleraci´on, mientras que la unidad de 5 Hz no puede hacerlo (v´ease Varley y Aughey (2012)). Los mayores errores que se producen en la medici´on de la distancia con los dispositivos GPS de 1 y 5 Hz frente a los de 10 Hz indican que la frecuencia de muestreo puede limitar la precisi´on de las mediciones de distancia y la velocidad. La velocidad de un movimiento afecta la validez de la distancia medida por GPS. La primera validaci´on de un dispositivo GPS mostr´o varias velocidades de marcha y carrera (2–20 km ·h−1) que estaban altamente correlacionadas (r= 0,99) con un cron´ometro 10 1 Introducci´on (v´ease Schutz y Chambaz (1997)). Un estudio m´as reciente (v´ease Portas, Rush, Barnes, y cols (2009)) muestra que el error de medici´on de la distancia del GPS es m´as bajo durante la marcha (aprox. 1.8 ms−1; error est´andar de estimaci´on [SEE] 0.7 %) y m´as alto durante la carrera (aprox. 6 ms−1; VER 5.6 %). Del mismo modo otros estudios (v´ease Johnston y cols. (2012)) informaron que el GPS es capaz de medir patrones de velocidad de trabajo realizados a velocidades menores de 20 km ·h−1; sin embargo, se recomienda precauci´on al analizar los patrones de velocidad de trabajo a velocidades mayores de 20 km ·h−1. Estos resultados indican que la velocidad de movimiento afecta a la precisi´on. La validez de las medidas de distancia mejora con actividades de mayor duraci´on (v´ease Jennings y cols. (2010)); por ejemplo, el coeficiente de variaci´on (CV) disminuy´o de 32.4 a 9.0 % para distancias de sprint de 10 y 40 m, respectivamente. El CV se redujo aun m´as al 3.8 % para un rango de velocidades completado en un circuito de carrera de deportes de equipo modificado de 140 m (v´ease Jennings y cols. (2010)). Los factores de frecuencia de muestreo, distancia y velocidad, que afectan la validez del GPS, tambi´en afectan la exactitud del GPS. El impacto de la frecuencia de muestreo aun no est´a claro; por ejemplo, el CV de una tarea de f´utbol lineal se ha mostrado como del 4.4 a 4.5 % para un GPS de 1 Hz y del 4.6 a 5.3 % para un 5 Hz (v´ease Portas, Rush, Barnes, y cols (2010)). Sin embargo, otro estudio (v´ease Jennings y cols. (2010)) inform´o el CV de un sprint de 10 m como del 77 y 39 % para 1 y 5 Hz, respectivamente. M´as recientemente, una tasa de muestreo m´as alta de 10 Hz ha demostrado una mejora en la exactitud durante la velocidad constante y la fase de aceleraci´on o desaceleraci´on (CV menor al 5.3 y 6 %, respectivamente) (v´ease Varley y Aughey (2012)). Si bien los datos son actualmente ambiguos y pueden explicarse a trav´es del uso de diferentes fabricantes y modelos de GPS (v´ease Aughey (2011)), parece que un aumento de la frecuencia de muestreo parece mejorar la exactitud del GPS. La exactitud del GPS disminuye con la mayor velocidad de movimiento. El CV de paseo a pie para un GPS de 5 Hz fue del 1.4–2.6 %, mientras que el CV de carrera a una distancia de 20 m fue del 19.7–30 %. De manera similar, se anotaron los CV del 30.8 y 77.2 %, respectivamente, para caminar y correr a una distancia de 10 m con un GPS de 1 Hz (v´ease Jennings y cols. (2010)). La exactitud de los dispositivos GPS tambi´en se ve afectada negativamente por los movimientos que requieren cambios en la direcci´on. El CV para cambios graduales y ajustados de movimientos de direcci´on al caminar se ha mostrado como el 11.5 y 15.2 %, respectivamente (v´ease Jennings y cols. (2010)). 1.4 Tecnolog´ıa GPS 11 En general, los estudios concluyen que los dispositivos GPS tienen un nivel aceptable de validez y exactitud para evaluar los patrones de movimiento a velocidades m´as bajas y a mayores esfuerzos de distancia. La menor exactitud de las unidades de GPS para medir con precisi´on los patrones de movimiento durante carreras de l´ınea recta de alta velocidad y corta duraci´on, y los esfuerzos que requieren cambios en la direcci´on pueden limitar la precisi´on para evaluar estos aspectos en los deportes de equipo. Sin embargo, las unidades de GPS con mayor frecuencia de muestreo demuestran mejoras en la exactitud y en la validez y pueden utilizarse en el monitoreo de la actividad f´ısica en situaciones como los deportes de equipo, siempre que se tome precauci´on al interpretar los sprints individuales y los cambios r´apidos en direcci´on y velocidad. 1.4.2. Aplicaciones pr´acticas de la tecnolog´ıa GPS Uso del GPS para evaluar los patrones de movimiento de los equipos La tecnolog´ıa GPS se puede utilizar para cuantificar el movimiento de los futbolistas tanto en el entrenamiento como en la competici´on. Si bien el uso de dispositivos GPS port´atiles en “deportes de colisi´on” como el rugby es ahora una pr´actica com´un, su aplicaci´on en el ´ambito del f´utbol profesional sigue estando limitada debido a las preocupaciones sobre la seguridad de los jugadores. Dichas preocupaciones se relacionan con el tama˜no f´ısico de los dispositivos GPS port´atiles y la posici´on en la que se colocan al jugador (columna tor´acica), como se puede ver en la siguiente imagen (Figura 1-2). Figura 1-2.: Dispositivos GPS. 12 1 Introducci´on Con la aparici´on de la tecnolog´ıa GPS se ha mejorado la comprensi´on de las exigencias asociadas a los deportes de equipo, en particular del f´utbol, y a aumentar la informaci´on de las actividades diarias de los deportistas. La aplicaci´on de la tecnolog´ıa GPS en los deportes de equipo tambi´en ha manifestado los diferentes patrones de carrera observados entre los distintos deportes. Por ejemplo, un informe de un partido de f´utbol amistoso demostr´o que los jugadores recorren aproximadamente 10-11 km (aprox. 111-122 m·min−1), de los cuales aproximadamente 2,5 km (27,7 m·min−1) se cubren a alta intensidad. Si bien las diferencias de posici´on no se han evaluado, en el f´utbol para adultos, utilizando el GPS, hay informes de partidos juveniles (16-18 a˜nos) que han demostrado que los jugadores de medio campo cubren hasta 8,6 km (107,5 m·min−1), con aproximadamente 1,1 km cubiertos a alta intensidad. Lo que es m´as que lo que recorren los defensas centrales (7,6 km) y los delanteros (7,8 km), que tambi´en realizaron carreras de menor intensidad (aprox. 0.7 km). Los estudios tambi´en se˜nalan que los jugadores adultos de f´utbol australiano son los que mayor distancia recorren de todos los deportes de equipo estudiados (12,3 km), lo que equivale a 124 m·min−1, que es similar a los jugadores adultos de f´utbol. Se ha especulado que el mayor grado de actividad de los movimientos en el f´utbol y el f´utbol australiano es una consecuencia de la naturaleza abierta de estos deportes, en contraposici´on el rugby, donde las leyes de fuera de juego sirven para restringir el espacio de paso disponible. El mismo razonamiento se puede explicar a las diferencias de posici´on, con lo que los jugadores n´omadas (f´utbol australiano) y los mediocentros (f´utbol) poseen mayor libertad de movimiento por el campo de juego. Es importante se˜nalar la necesidad de llegar a un consenso con respecto a la clasificaci´on de movimiento de alta intensidad para permitir una verdadera comparaci´on entre los estudios. Sprints repetidos y esfuerzos repetidos en deportes de equipo El an´alisis de la actividad de “sprint repetido” y “esfuerzo repetido”, mediante GPS durante las competenciones, ha mejorado la comprensi´on del rendimiento deportivo en equipo. La actividad repetida del sprint se define a menudo como la ocurrencia de tres o m´as sprints, separados por menos de 21 segundos de ejercicio de intensidad moderada a baja. Esfuerzos repetidos difieren de los an´alisis tradicionales de sprints repetidos, al utilizar la integraci´on de GPS port´atil con sistemas microelectromec´anicos (MEMS). En 1.4 Tecnolog´ıa GPS 13 el entrenamiento, los aceler´ometros triaxiales integrados, encargados de medir la aceleraci´on y vibraci´on en m´ultiples sectores, se usan para generar una medida conocida como “carga de cuerpo”, que se deriva de la ra´ız cuadrada de la suma de la tasa instant´anea al cuadrado del cambio en la aceleraci´on en cada uno de los tres ejes ortogonales (anteriorposterior [x], medio-lateral [y] y vertical [z]). Los m´etodos que capturan los casos de aceleraci´on/deceleraci´on utilizando el aceler´ometro integrado en los GPS deben ser considerados como indicadores ´utiles de esfuerzo durante la actividad del deporte en equipo. En deportes donde las colisiones son menos frecuentes, como es el caso del f´utbol donde de hecho est´an penalizadas, la actividad de sprint repetida ha surgido como un indicador ´util de rendimiento. El an´alisis de GPS en el f´utbol juvenil ha informado que los jugadores ofensivos son los que realizan m´as sprints repetidos (aprox. 14) por partido y los defensas centrales (jugadores defensivos) los que menos (aprox. 5). Durante un episodio de seis sprints repetidos, la duraci´on promedio de un sprint se fue mayor durante los partidos internacionales (2,32 s) en comparaci´on con los partidos nacionales (1,83 s), con un per´ıodo de recuperaci´on m´as corto de 11.9 s en partidos internacionales en comparaci´on con 14.6 s en partidos nacionales. Informaci´on sobre pr´acticas de entrenamiento usando datos de GPS de la competencia Los resultados de los estudios que utilizan dispositivos GPS para monitorear a los jugadores de deportes de equipo durante la competici´on han ayudado a proporcionar directrices m´as claras para trabajar los entrenamientos. Recientemente, los datos de GPS se han utilizado para dise˜nar simulaciones espec´ıficas de partidos que puede ser utilizado tanto para fines de acondicionamiento y como de monitorizaci´on. Por otra parte, el rendimiento de los jugadores durante escenarios de entrenamiento se puede controlar utilizando los mismos dispositivos GPS utilizados durante la competici´on; algo que no se puede hacer cuando se utilizan otros modos de an´alisis de movimiento, tales como sistemas de c´amaras m´ultiples. Monitoreo de la fatiga transitoria usando dispositivos GPS en el deporte de equipo competencia La fatiga, en el caso de un partido, se considera tradicionalmente como la disminuci´on de intensidad del movimiento en funci´on del tiempo del partido. 14 1 Introducci´on La fatiga transitoria se refiere a los per´ıodos de intensidad significativamente m´as baja que siguen inmediatamente a un per´ıodo de m´axima intensidad. A menudo se utiliza la tecnolog´ıa GPS para medir la capacidad en tiempo real, es posible que esta informaci´on pueda ayudar en la estrategia de cambios durante los partidos. Tecnolog´ıa GPS aplicada a las lesiones. Varios estudios han investigado la influencia del volumen de entrenamiento, la intensidad y la frecuencia en el rendimiento de los deportistas, mejorando el rendimiento, generalmente, mejorando con aumentando la carga de entrenamiento (v´ease Foster, Daines, Hector, Snyder, y Welsh (1996), Stewart y Hopkins (2000)). Sin embargo, tambi´en se ha demostrado que una mala actividad en el entrenamiento produce una mayor incidencia de lesiones que ocurren cuando las cargas de entrenamiento son m´as altas (v´ease Foster (1998), Gabbett (2004a)). Estudios previos de atletas de deportes de equipo han mostrado relaciones positivas significativas entre las cargas de entrenamiento y la cantidad de lesiones de entrenamiento (v´ease JGabbett y Jenkins (2011), Gabbett (2004a)), lo que sugiere que cuanto m´as se entrene, m´as lesiones se sufrir´an. Adem´as, se ha demostrado que las reducciones en las cargas de entrenamiento reducen la cantidad de lesiones de entrenamiento y dan como resultado mayores mejoras en la potencia aer´obica m´axima (v´ease Gabbett (2004b)). Claramente, el entrenamiento para el f´utbol refleja una equilibrio entre la carga m´ınima de entrenamiento requerida para obtener una mejora en la condici´on f´ısica y la carga m´axima de entrenamiento tolerable antes de incrementar la cantidad de lesiones. Una proporci´on considerable de las lesiones sufridas por los deportistas de deportes de equipo sin contac- to, en particular de los futbolistas, son problemas de los tejidos blandos que se producen como resultado de cargas de entrenamiento excesivas, recuperaci´on inadecuada y sobre entrenamiento (v´ease Gabbett (2003), Gabbett (2005), Gabbett y Domrow (2007)). Estas lesiones, que en gran medida se pueden prevenir, pueden afectar negativamente a los equipos. La tecnolog´ıa GPS tiene aplicaciones para los entrenadores encargados del acondicionamiento f´ısico y que son responsables de dise˜nar y entregar peri´odicamente programas de entrenamiento. Los entrenadores pueden conocer r´apidamente la carga de entrenamiento de los jugadores, y as´ı saber cu´ales pueden ser susceptibles de sufrir lesiones o enfermedades debido al sobreentrenamiento. De hecho, los entrenadores a menudo usan datos de GPS para restringir la cantidad de alta intensidad en carrera de los deportistas que presentes en una sesi´on de entrenamiento determinada o en varias sesiones de entrenamiento. 2. An´alisis de Componentes Principales “Cada derrota es una victoria en s´ı misma” Francisco Maturana (1949-) En este cap´ıtulo se desarrolla el An´alisis de Componentes Principales. Posteriormente se aplica a unos ciertos datos con el objetivo de reducir el n´umero de variables a algunos factores significativos que se correlacionan con las lesiones. 2.1. Desarrollo te´orico El an´alisis de componentes principales tiene como objetivo reducir la dimensionalidad, es decir, conseguir explicar un conjunto pde variables usando un n´umero menor de ellas. Dadas nobservaciones de pvariables, se analiza si es posible representar adecuadamente esta informaci´on con un n´umero menor de variables, construidas como combinaciones lineales de las originales. Las nuevas variables que sustituyen a las originales tienen que tener m´axima correlaci´on con las variables originales. Este m´etodo es de gran utilidad, por una parte permite representar ´optimamente en un espacio de dimensi´on peque˜na observaciones de un espacio general p-dimensional. Por otra parte, permite transformar las variables originales, en general correladas, en nuevas variables incorreladas, facilitando la interpretaci´on de los datos. Es importante se˜nalar que en el an´alisis de componentes principales se trabaja con variables tipificadas. Por lo tanto, en lo que sigue, se supone que a cada variable previamente se le ha restado su media y dividido por su desviaci´on t´ıpica. 16 2 An´alisis de Componentes Principales 2.1.1. C´alculo de las componentes C´alculo de la primera componente Sea X=    X11 · · · X1p . . ..... . . Xn1· · · Xnp     la matriz de datos multivariantes donde las filas representan los individuos y las columnas las pvariables continuas analizadas. La primera componente principal es una combinaci´on lineal de las variables originales y viene dada por: z1=Xa1. z1tiene media 0 porque las variables originales tambi´en tienen media 0. Su varianza vendr´a dada por: 1 nz0 1z1=1 na0 1X0Xa1=a0 1Sa1,(2-1) donde Ses la matriz de varianzas y covarianzas de las observaciones. Se supone a0 1a1= 1 y usando el multiplicador de Lagrange quedar´ıa: M=a0 1Sa1−λ(a0 1a1−1). A continuaci´on se maximiza esta expresi´on. Para ello se deriva respecto a la componente a1y posteriormente se iguala a 0 de la siguiente forma: ∂M ∂a1 = 2Sa1−2λa1= 0, siendo su soluci´on: Sa1=λa1.(2-2) Por tanto a1es un vector propio de la matriz S, y λsu correspondiente valor propio. Seguidamente se determina qu´e valor propio de Ses la soluci´on de (2-2), para ello se usa la siguiente ecuaci´on, a0 1Sa1=λa0 1a1=λ, 2.1 Desarrollo te´orico 17 y se concluye, por (2-1), que λes la varianza de z1. Como esta es la cantidad que queremos maximizar, λser´a el mayor valor propio de la matriz S. Su vector asociado, a1, define los coeficientes de cada variable en la primera componente principal. C´alculo de la segunda componente En este caso la cuesti´on es conseguir el mejor plano de proyecci´on X. Se calcula estableciendo como funci´on objetivo que la suma de las varianzas de z1=Xa1yz2=Xa2sea m´axima, donde a1ya2son los vectores que definen el plano. La funci´on objetivo ser´a: φ=a0 1Sa1+a0 2Sa2−λ1(a0 1a1−1) −λ2(a0 2a2−1) (2-3) que tiene las restricciones de que las direcciones deben de tener m´odulo unitario (a0 iai) = 1, i= 1,2. Derivando e igualando a cero: ∂φ ∂a1 = 2Sa1−2λ1a1= 0 ∂φ ∂a2 = 2Sa2−2λ2a2= 0 La soluci´on de este sistema es: Sa1=λ1a1, Sa2=λ2a2 que implica que a1ya2deben ser vectores propios de S. Sustituyendo en (2-3) los vectores propios de norma uno, se tiene que, en el m´aximo, la funci´on objetivo es φ=λ1+λ2. Adem´as λ1yλ2son los dos autovalores mayores de la matriz Sya1ya2sus respectivos autovectores. Se observa que la covarianza entre z1yz2, dada por a0 1Sa2es cero debido a que a0 1a2= 0, y las variables z1yz2est´an incorreladas. 24 2 An´alisis de Componentes Principales 2.2.3. Definici´on del problema Enfoque A En primer lugar, se eliminaron todos los jugadores que no hab´ıan sido lesionados. En segundo lugar, de los jugadores que hab´ıan sido lesionados, s´olo se estudiaron aquellos que ten´ıan lesiones no producidas por contacto. Estas lesiones son suceptibles de ser predichas por variables aportadas por los datos GPS. Esto dej´o un total de 11 jugadores en el conjunto de datos. El conjunto de datos se agrup´o por jugador y semana, de manera que cada variable correspond´ıa a un jugador iy una semana j. Se tiene una variable binaria que indica si el jugador se lesion´o una semana o no. La agregaci´on por semanas fue elegida porque la semana es una divisi´on natural para la programaci´on en el f´utbol ya que cada semana se caracteriza por al menos un partido, y el programa de entrenamiento est´a dise˜nado sobre una base semanal. La media fue utilizada como un resumen de agregaci´on para agregar los casos durante la semana. Para cada jugador lesionado, hab´ıa por lo menos 2 sesiones de entrenamiento, antes de que se produjera la lesi´on. El ´ultimo conjunto de datos consisti´o en 206 filas y 68 variables de GPS, adem´as de la variable de respuesta y la duraci´on de la sesi´on de entrenamiento. De las 206 filas, hubo 11 casos de lesiones (correspondientes a las semanas que cada jugador hab´ıa estado lesionado). El problema planteado consist´ıa en saber si es posible predecir si se va a producir una lesi´on en una semana en base a los datos GPS recogidos: se centr´o s´olo en las lesiones que se producen por un factor identificable durante el entrenamiento. Enfoque B En este caso el proceso es id´entico al anterior, pero est´an incluidos todos los jugadores, incluso los no lesionados. Esto condujo a un conjunto de datos de 426 filas y 70 las variables en total (el mismo que en el enfoque A), incluyendo la variable de clase. 2.2 Aplicaci´on pr´actica 25 2.2.4. Modelo Se utiliza el m´etodo de componentes principales (CP), el cual sirve para reducir la dimensionalidad del problema con respecto a una variable de respuesta dada. En la Tabla 2-2 se exponen los par´ametros del modelo. Modelo Parametros Componentes principales α∈{0,0.01,. . . ,0.5}, num components∈{2:50} Tabla 2-2.: Par´ametros del modelo. 2.2.5. Resultados Enfoque A La Tabla 2-3 muestra los mejores par´ametros del modelo para el enfoque A. La precisi´on y kappa se muestran como media ±desviaci´on t´ıpica. Modelo Par´ametros Exactitud Kappa Precisi´on Recall CP α=0.01 num components=41 88.8 %±1.8 % 0.21±0.04 0.55±0.09 0.33±0.07 Tabla 2-3.: Mejores par´ametros del modelo para el enfoque A. La Figura 2-3 muestra el levelplot del par´ametro αy el n´umero de componentes principales, con el color que representa el estad´ıstico kappa. Parece que los mejores valores se consiguen cuando α < 0,05 y cuando se usan m´as de 20 componentes. 26 2 An´alisis de Componentes Principales Figura 2-3.: Levelplot del enfoque A Fuente: Kampakis (2016) Enfoque B La Tabla 2-4 muestra los mejores par´ametros del modelo para el enfoque B. La precisi´on y kappa se muestran como media ±desviaci´on t´ıpica. Modelo Par´ametros Exactitud Kappa Precisi´on Recall CP α=0.09 num components=40 97.07 %±-3.31 % 0.14±-0.09 0.19±-0.06 0.20±-0.8 Tabla 2-4.: Mejores par´ametros del modelo para el enfoque B Se observa que el rendimiento de estos clasificadores es peor que el rendimiento de los del enfoque A. Esto se debe probablemente al hecho tener lesionados y no lesionados, los cuales presentan datos significativamente diferentes entre s´ı. La Figura 2-4 muestra el levelplot para la b´usqueda de par´ametros para ACP para la aproximaci´on del enfoque B. Podemos ver que las mejores soluciones se encuentran en la esquina superior izquierda para valores α < 0,2 y cuando se usan m´as de 30 componentes. 2.2 Aplicaci´on pr´actica 27 Figura 2-4.: Levelplot del enfoque B Fuente: Kampakis (2016) 2.2.6. Otros comentarios sobre CP Los componentes principales se utilizan con el fin de obtener una mejor comprensi´on del conjunto de datos e informaci´on de c´omo las variables se relacionan con lesiones. En esta secci´on se analizar´an las componentes principales para ambos enfoques. Figura 2-5.: Varianza explicada para cada componente en el enfoque A. Fuente: Kampakis (2016) 28 2 An´alisis de Componentes Principales Enfoque A La Figura 2-5 muestra el gr´afico de sedimentaci´on para los componentes. Parece que los cuatro primeros componentes explican el mayor porcentaje de la varianza, por lo tanto, se decidi´o que los cuatro primeros componentes eran los adecuados para el an´alisis. Observamos en la Tabla 2-5 que el primer componente est´a dominado por “Zona Distancia 5” con la que se correlaciona negativamente. Un valor mayor en este componente indica que el jugador no cubre una gran distancia en funcionamiento en altas velocidades. Por lo tanto, este componente parece ser un buen indicador de “Ausencia de correr en velocidades altas”. El segundo componente tiene una gran correlaci´on negativa con “Distancia en la Zona 5” y una gran correlaci´on positiva con aceleraciones y deceleraciones en la zona 3. Un valor grande en este componente parece indicar la ausencia de funcionamiento en las zonas de mayor velocidad y muchos sprints en la zona 3. Por lo tanto, este componente parece representar “Velocidad media de sprint”. PC1 PC2 PC3 PC4 Aceleraci´on Zona 3 -0.22842 0.47640 0.02004 -0.18828 Desaceleraci´on Zona 3 -0.22305 0.43085 0.07311 -0.07318 Desaceleraci´on Zona 4 -0.09469 0.14696 -0.00709 -0.00245 Distancia por minuto 0.00317 -0.1908 0.43666 -0.19408 Distancia Zona 5 -0.76398 -0.48592 0.22479 -0.11721 Carga de estr´es din´amico Zona 2 -0.18703 0.04578 -0.39766 0.37565 Carga de estr´es din´amico Zona 3 -0.16017 0.06806 -0.17699 0.40768 Impactos Zona 4 -0.17954 0.08479 -0.16280 0.47654 Intensidad de velocidad Zona 3 -0.02075 -0.13704 -0.59876 -0.33671 Tabla 2-5.: Los dos primeros componentes principales del modelo con α=0.01 para el conjunto de datos en el enfoque A. El tercer componente est´a altamente correlacionado con “Distancia por minuto” y una correlaci´on negativa con la “carga din´amica de la tensi´on en la zona 3” y “Intensidad velocidad en la zona 3”. Un gran valor en este componente parece indicar la ausencia de correr en zonas de mayor velocidad y muchos sprints en zona 3, por lo tanto, este componente puede ser un buen indicador de “Alta Velocidad promedio”. 2.2 Aplicaci´on pr´actica 29 El cuarto componente tiene una alta correlaci´on con las variables que indican el estr´es f´ısico en las zonas de velocidad media (zonas 2-4). Por lo tanto, un buen nombre para este componente es “la intensidad del trabajo medio”. Figura 2-6.: Boxplot de los dos primeros componentes principales frente a la variable de respuesta. Fuente: Kampakis (2016) Figura 2-7.: Boxplot los componentes principales 3 y 4 frente a la variable de respuesta. Fuente: Kampakis (2016) 30 2 An´alisis de Componentes Principales La Figuras 2-6 y la Figura 2-7 muestran los diagramas de caja de los componentes principales frente a la lesi´on. Existen diferencias en la mediana y el rango de los grupos lesionados y no lesionados para todos los componentes. Los componentes uno y tres tienen medianas m´as altas para los futbolistas lesionados, mientras que los componentes dos y cuatro tienen menor. La prueba de rangos con signo de Wilcoxon indica que la mediana de las diferencias entre los heridos y los grupos no lesionados es cero y tiene asociado un para la segunda y la cuarto componentes. Esto refuerza la evidencia de que los componentes est´an asociados con la lesi´on. Basado en el diagrama de caja para los componentes uno y tres, parece que una distancia m´axima por minuto se correlaciona con la lesi´on, pero esto no se cumple cuando un jugador cubre una larga distancia en una velocidad alta. Tal vez la capacidad de un jugador para cubrir una gran distancia con las altas velocidades es una indicaci´on de que su cuerpo no est´a en riesgo de lesi´on. Los componentes dos y cuatro de la actividad medida de las zonas intermedias, en forma de aceleraciones/desaceleraciones, los impactos y la carga de estr´es din´amico tienen una correlaci´on negativa con la lesi´on. Esta relaci´on podr´ıa deberse a una actividad de estr´es medio que tiene un efecto preventivo sobre las lesiones o debido al hecho de que las sesiones de baja intensidad pueden no ser lo suficientemente estresantes como para causar lesiones. Figura 2-8.: Varianza explicada para cada componente para el enfoque B. Fuente: Kampakis (2016) 2.2 Aplicaci´on pr´actica 31 Enfoque B La Figura 2-8 muestra la varianza por componente para la aproximaci´on B. Se pude observar que los dos primeros componentes explican el mayor porcentaje de la varianza. La Tabla 2-6 muestra las correlaciones para los dos primeros componentes de este modelo. El primer componente se correlaciona negativamente con la “carga de la tensi´on din´amica en la zona 6” y “Impactos en la zona 6”. Parece representar la ausencia de altas velocidades en una sesi´on. Por lo tanto, un buen nombre para este componente es “ausencia de estr´es de alta velocidad”. El segundo componente tiene una alta correlaci´on con la magnitud y el n´umero de impactos verticales derecha e izquierda. Por lo tanto, este componente es un buen indicador de “impactos”. PC1 PC2 Estr´es din´amico zona 6 -0.7336374014 -0.141046 Impactos zona 6 -0.2726364018 -0.083711 Impacto lateral derecho -0.1904632684 -0.00039 Impacto de magnitud derecho -0.1737929754 0.3375606 Metabolismo zona 1 0.0075269287 0.2539652 Impacto vertical derecho 0.0037938173 0.3199798 Impacto vertical izquierdo 0.0442883442 0.3203094 Impacto de magnitud izquierdo 0.0477825359 0.3527447 Tabla 2-6.: Los dos primeros componentes principales del modelo con α=0.01 para el conjunto de datos en el enfoque B. La Figura 2-9 muestra los diagramas de caja para los dos componentes frente a la variable de respuesta. Las diferencias entre los lesionados y los grupos no lesionados son destacadas. El primer componente tiene una mediana inferior para futbolistas lesionados, mientras que el segundo componente tiene claramente una mayor mediana para los jugadores lesionados. La interpretaci´on de los componentes en este caso es que el estr´es en las zonas de mayor velocidad y un gran n´umero de impactos se correlaciona con la lesi´on. La prueba de los rangos con signos de Wilcoxon que la mediana de las diferencias entre 32 2 An´alisis de Componentes Principales los heridos y los grupos no lesionados tiene un p-value para la hip´otesis nula de menos de 0,01 para ambos componentes. Figura 2-9.: Boxplot de los dos componentes principales frente a la variable de respuesta. Fuente: Kampakis (2016) 2.2.7. Conclusiones En este estudio se plante´o el problema de la predicci´on de lesiones sin contacto de los datos GPS recogidos de entrenamiento. Los resultados demostraron que los datos GPS recogidos en los entrenamientos contienen informaci´on que puede ser utilizada para predecir lesiones. En primer lugar, un problema con estos datos fue que las variables estaban altamente correlacionados entre s´ı, por ello se us´o el m´etodo de componentes principales. El objetivo del estudio fue, dado un conjunto de variables, aplicar el m´etodo de componentes principales para reducir el n´umero de variables a aquellas que mas relaci´on tengan con las lesiones. Esto es muy ´util porque facilita la interpretaci´on de los medicos. Sin embargo, en este estudio se encuentran varias limitaciones. Otra es que muchas de las lesiones tienen lugar durante los partidos, o no est´an directamente relacionados con la fatiga. Este es el caso de las lesiones traum´aticas, por ejemplo, que suelen venir como 2.2 Aplicaci´on pr´actica 33 resultado de un solo evento (por ejemplo, un sprint muy r´apido). Otro problema es el hecho de que los datos del GPS no se recogen de partidos, y estos tienen un gran impacto en la condici´on f´ısica de los futbolistas. Esto podr´ıa ser planteando un inconveniente en el rendimiento del modelo predictivo que tiene este estudio como objetivo conseguir. 40 3 ANOVA de medidas repetidas medio adicional debido a la interacci´on entre el nivel i del factor Ty el nivel jdel factor V,Skel efecto aleatorio del sujeto k, Sik el efecto aleatorio del nivel idel factor Ty el sujeto k,Sjk el efecto aleatorio del nivel j del factor Vy el sujeto kyeijk representa el error aleatorio. Suponiendo que no existe interacci´on de orden tres entre los sujetos y los factores intra-sujetos se tiene que el modelo lineal asociado a este dise˜no viene dado por: yijk =µ+αi+βj+ (αβ)ij +Sk+Sik +Sjk +eijk con i= 1,2, .., t j = 1,2, .., v k = 1,2, .., n; Pt i=1 αi= 0; Pv j=1 βj= 0; Pt i=1(αβ)ij = 0 ∀j;Pv j=1(αβ)ij = 0 ∀i; Sk∼N(0, σ1); Sik ∼N(0, σ2); Sjk ∼N(0, σ3); eij ∼N(0, σ4); Sj,Sik,Sjk, y eij son mutuamente independientes. Se dispone de tv tratamientos y nr´eplicas por tratamiento. An´alisis de la varianza y esperanzas de los cuadrados medios Descomponiendo la varianza (SC) seg´un la variaci´on entre sujetos (SCE), encargada de medir la diferencia entre los sujetos, y la variaci´on dentro de los sujetos (SCD), que se ocupa de medir las diferencias dentro de los sujetos, se tiene: SC =SCE+SCD, donde: SC = t X i=1 v X j=1 n X k=1 (yijk −y)2 tiene nvt −1 grados de libertad. SCE= t X i=1 v X j=1 n X k=1 (yk−y)2 tiene n−1 grados de libertad. SCD= t X i=1 v X j=1 n X k=1 (yijk −yk)2 tiene vt(n−1) grados de libertad. 3.1 Desarrollo te´orico 41 Adem´as, la variaci´on dentro de los sujetos se puede descomponer en tres, la variaci´on debida a los factores (SCT), la debida a las interacciones entre los sujetos y cada factor (SCV) y la debida a la aleatoriedad (error) (SCError). SCD=SCT+SCV+SCT∗V+SCT∗S+SCV∗S+SCError, donde: SCT= t X i=1 v X j=1 n X k=1 (yi−y)2 es la suma de cuadrados asociada al factor Ty tiene t−1 grados de libertad. SCV= t X i=1 v X j=1 n X k=1 (yj−y)2 es la suma de cuadrados asociada al factor y Vtiene v−1 grados de libertad. SCT∗V= t X i=1 v X j=1 n X k=1 (yij −yi−yj+y)2 es la suma de cuadrados asociada a la interacci´on entre los dos factores intra-sujetos Ty tiene (t−1)(v−1) grados de libertad. SCT∗S= t X i=1 v X j=1 n X k=1 (yik −yi−yk+y)2 es la variabilidad correspondiente a la interacci´on entre los factores intra-sujetos y tiene (t−1)(n−1) grados de libertad. SCV∗S= t X i=1 v X j=1 n X k=1 (yjk −yj−yk+y)2 es la variabilidad correspondiente a la interacci´on entre el factor Ty los sujetos y tiene (v−1)(n−1) grados de libertad. SCError = t X i=1 v X j=1 n X k=1 (yijk −yij −yik −yjk +yi+yj+yk−y)2 42 3 ANOVA de medidas repetidas que recoge la variaci´on no explicada por los tratamientos y las interacciones de orden tres, es decir, el error aleatorio. Tiene (n−1)(t−1)(v−1) grados de libertad. Por tanto la descomposici´on de la varianza queda: SC =SCE+SCT+SCV+SCT∗V+SCT∗S+SCV∗S+SCError. En la variaci´on entre sujetos los cuadrados medios vienen dados por SCE n−1. En la variaci´on dentro de los sujetos los cuadrados medios vienen dados por SCD vt(n−1). En la variaci´on asociada al factor Tlos cuadrados medios vienen dados por CMT=SCT t−1 y la esperanza de estos por σ2 4+vσ2 2+nv t−1Pα2 i. En la variaci´on asociada al factor Vlos cuadrados medios vienen dados por CMV=SCV v−1 y la esperanza de estos por σ2 4+tσ2 3+nt v−1Pβ2 j. En la variaci´on asociada a la interacci´on entre los factores intra-sujetos los cuadrados medios vienen dados por CMT∗V=SCT∗V (t−1)(v−1) y la esperanza de estos por σ2 4+n (t−1)(v−1) PP(αβ)2 ij. En la variaci´on asociada a la interacci´on entre el factor Ty los sujetos los cuadrados medios vienen dados por CMT∗SSCT∗S (t−1)(n−1) y la esperanza de estos por σ2 4+vσ2 2. En la variaci´on asociada a la interacci´on entre el factor Vy los sujetos los cuadrados medios vienen dados por SCV∗S (v−1)(n−1) y la esperanza de estos por σ2 4+tσ2 3. En la variaci´on debida a la aleatoriedad (error) los cuadrados medios vienen dados por SCError (n−1)(t−1)(v−1) y la esperanza de estos por σ2 4. Se necesitan los estimadores de σ2 2,σ2 3yσ2 4. Para ello, teniendo en cuenta las esperanzas de los cuadrados medios de SCT∗S,SCV∗SySCError y se tiene que los estimadores vienen dados por: bσ2 2=CMT∗S−CMError v, bσ2 3=CMV∗S−CMError t, bσ2 4=CMError =SCE (n−1)(t−1)(v−1). Usando la descomposici´on de la varianza y las esperanzas de los cuadrados medios y suponiendo que las matrices de varianzas-covarianzas Σtv×tv, correspondiente al vector 3.1 Desarrollo te´orico 43 aleatorio (Y1, ...Yl), Σt×t, asociada al vector que recoge las respuestas bajo los niveles de factor T,yΣv×v, asociada al vector que recoge las respuestas bajo los niveles de factor V, verifican la propiedad de circularidad, se plantean los contrastes de hip´otesis sobre la interacci´on entre ambos factores y cada factor por separado: Efectos de la interacci´on. (H0: (αβ)ij = 0; H1: Existe al menos un par (i, j) tal que (αβ)ij 6= 0. Este constraste tiene asociado el estad´ıstico: F0=CMT∗V CMError , con (t−1)(v−1) y (n−1)(t−1)(v−1) grados de libertad. Efectos del factor T. (H0:αi= 0 i= 1, ..., t; H1: Existe al menos un par (i, i0) tal que αi6=αi0. Este contraste tiene asociado el estad´ıstico: F0=CMT CMT∗S, con (t−1) y (n−1)(t−1) grados de libertad. Efectos del factor V. (H0:βj= 0 j= 1, ..., v; H1: Existe al menos un par (j, j0) tal que βj6=βj0. Este contraste tiene asociado el estad´ıstico: F0=CMV CMV∗S, con (v−1) y (n−1)(v−1) grados de libertad. De forma an´aloga al modelo de medidas repetidas con un factor intra-sujetos si no se verifica la condici´on de circularidad de la matriz de varianzas-covarianzas se presentan dos soluciones alternativas: 1. Realizar un an´alisis univariante “aproximado” aplicando la prueba ´epsilon a los grados de liberdad del estad´ıstico F0. 2. Aplicar un an´alisis de varianza multivariado (o MANOVA) con dos factores. 44 3 ANOVA de medidas repetidas Comparaciones m´ultiples de medias. Supongamos que se cumple la condici´on de circularidad en las matrices de varianzascovarianzas. Si una vez realizado el An´alisis de la Varianza en este modelo aparecen diferencias significativas, el siguiente objetivo ser´a localizar donde se encuentran esas diferencias. Se considerar´an dos situaciones en funci´on de si existe o no interacci´on significativa entre los factores TyV. Si no existe interacci´on significativa nos interesa comparar los niveles del factor T, cuando existan diferencias significativas entre ellos, y los niveles del factor V cuando se d´e esta situaci´on. Se ven las diferencias entre los estimadores de µi, las medias de yipara comparar los niveles del factor T. El estimador de insesgado de las diferencias de medias es: yi−yi0=bµi−cµi0, que tiene por varianza: 2 vn(σ2 4+vσ2 2), y por estimador del error: bσ(yi−yi0) = r2 vn(bσ2 4+vbσ2 2). Por tanto, seg´un el m´etodo LSD de Fisher, al hacer comparaciones m´ultiples entre los niveles iyi0del factor T, la m´ınima diferencia significativa viene dada por: LSDα=t(t−1)(n−1); α 2r2 vn(bσ2 4+vbσ2 2). En el caso de en el que se comparan los niveles del factor V se deben estudiar las diferencias entre los estimadores de µjy las medias yj. El estimador insesgado de la diferencias de medias es: yj−yj0=bµj−cµj0, cuya varianza es: bσ(yj−yj0) = r2 tn(bσ2 4+tbσ2 3). Por lo tanto al hacer comparaciones m´ultiples entre los niveles jyj0del factor V, atendiendo al m´etodo LSD de Fisher, la m´ınima diferencia significativa viene dada por: 3.1 Desarrollo te´orico 45 LSDα=t(v−1)(n−1); α 2r2 tn(bσ2 4+tbσ2 3). Si no existe interacci´on significativa es posible realizar comparaciones de los tv tratamiento de forma an´aloga que en un dise˜no de dos factores de los factores inter-sujetos. En general, aparece interacci´on significativa de los dos factores cuando no se cumple el supuesto de circularidad. En ese caso se utiliza para cada nivel del factor T(o cada nivel del factor V) el test tpara dos muestras relacionadas de forma que se comparan dos a dos entre los niveles vniveles del factor V(o los tniveles del facor T) controlando el error experimental por el procedimiento de Bonferroni. Si no hay interacci´on entre los dos factores se pueden esudiar las diferencias para cada uno de los factores utilizando el test t para dos muestras relacionadas de forma que se comparan dos a dos entre los tovniveles de cada factor controlando el error experimental por el m´etodo de Bonferri. 3.1.4. Dise˜no de medidas repetidas con un factor intra-sujetos y un factor inter-sujetos Se dispone de un factor A(factor inter-sujetos) con aniveles que se asignan a grupos independientes de nsujetos, de forma que se tiene amuestras aleatorias independientes de nsujetos a los que se somete a los tniveles del factor T(factor intra-sujetos). El objetivo ser´a caracterizar el comportamiento de la variable respuesta Ysobre los agrupos a lo largo de los tniveles del factor T, donde yijk es el valor de la variable respuesta del k-´esimo individuo bajo el i-´esimo nivel del factor Ay el j-´esimo nivel del factor T. Hay que tener en cuenta que al considerar los sujetos fuente de variaci´on sus niveles est´an anidados en el factor inter-sujetos A. Sea µla media poblacional de la variable respuesta,αiel efecto medio adicional debido al nivel idel factor A,Sk(i)el efecto aleatorio del sujeto ken el nivel ·i·del factor A,βjel efecto adicional debido al nivel jdel factor T, (αβ)ij el efecto medio adicional debido a la interacci´on entre el nivel i del factor Ay el nivel jdel factor T,µij la respuesta media bajo el nivel i-´esimo del factor Ayeijk representa el error aleatorio. Este dise˜no viene dado por: yijk =µ+Sk(i)+αi+βj+ (αβ)ij +eijk =µij +Sk(i)+eijk i= 1,2, .., a j = 1,2, .., t k = 1,2, .., n; Pa i=1 αi= 0; Pt j=1 βj= 0; Pt j=1(αβ)ij = 0 ∀i;Pa i=1(αβ)ij = 0 ∀j; Sk(i)∼N(0, σ1); eij ∼N(0, σ2) Sk(i)yeij son mutuamente independientes. 46 3 ANOVA de medidas repetidas An´alisis de la varianza y esperanzas de los cuadrados medios Descomponiendo la varianza (SC) seg´un la variaci´on entre sujetos (SCE), encargada de medir la diferencia entre los sujetos, y la variaci´on dentro de los sujetos (SCD), que se ocupa de medir las diferencias dentro de los sujetos, se tiene: SC =SCE+SCD, donde: SC = a X i=1 t X j=1 n X k=1 (yijk −y)2 tiene nat −1 grados de libertad. SCE= a X i=1 t X j=1 n X k=1 (yik −y)2 tiene na −1 grados de libertad. SCD= a X i=1 t X j=1 n X k=1 (yijk −yik)2 tiene na(t−1)grados de libertad. Adem´as, la variaci´on entre sujetos se puede descomponer en dos, la variaci´on debida al factor A(SCA), y la debida a los sujetos en cada nivel A(SCSA), SCE=SCA+SCSA, donde: SCA= a X i=1 t X j=1 n X k=1 (yi−y)2 que mide las diferencias entre los niveles del factor A, y tiene a−1 grados de libertad. SCSA = a X i=1 t X j=1 n X k=1 (yj−y)2 3.1 Desarrollo te´orico 47 que mide las diferencias entre los sujetos para cada nivel del factor Ay tiene a(n−1) grados de libertad. Por otro lado, la variaci´on dentro de los sujetos se puede descomponer en distintas fuentes de variaci´on, la debida al factor T(SCT), la debida a las interacciones entre el factor A y el factor T(SCA∗T) y la debida a la aleatoriedad (error) (SCError), SCD=SCT+SCA∗T+SCError. SCT= a X i=1 t X j=1 n X k=1 (yj−y)2 que mide las diferencias entre los niveles del factor T, y tiene (t−1) grados de libertad. SCA∗T= a X i=1 t X j=1 n X k=1 (yij −yi−yj+y)2 es la suma de cuadrados asociada a la interacci´on entre el factor inter-sujetos y el factor intra-sujetos, y tiene (a−1)(t−1) grados de libertad. SCError = a X i=1 t X j=1 n X k=1 (yijk −yik −yij +yi)2 que recoge la variaci´on no explicada por los tratamientos y las interacciones de orden tres, es decir, el error aleatorio. Tiene a(n−1)(t−1) grados de libertad. Por tanto la descomposici´on de la varianza queda: SC =SCA+SCSA +SCT+SCA∗T+SCError. Para SCElos cuadrados medios vienen dados por SCE an −1. Para SCAlos cuadrados medios vienen dados por CMA=SCA a−1, y la esperanza de estos por σ2 2+tσ2 1+nt a−1Pα2 i Para SCSA los cuadrados medios vienen dados por SCSA a(n−1) y la esperanza de estos por σ2 2+tσ2 1. Para SCDlos cuadrados medios vienen dados por SCD na(t−1). 48 3 ANOVA de medidas repetidas Para SCElos cuadrados medios vienen dados por CMT=SCT (t−1) y la esperanza de estos por σ2 2+na (t−1) PP(αβ)2 ij. En la variaci´on debida a la aleatoriedad (error) los cuadrados medios vienen dados por SCError a(n−1)(t−1) y la esperanza de estos por σ2 2. Se necesitan los estimadores de σ2 2yσ2 1. Para ello, teniendo en cuenta las esperanzas de los cuadrados medios de SCSA ∗SySCError y se tiene que los estimadores vienen dados por: bσ2 1=CMSA ∗S−CMError t, bσ2 2=CMError =SCE a(n−1)(t−1). Usando la descomposici´on de la varianza y las esperanzas de los cuadrados medios y suponiendo que las matrices de varianzas-covarianzas Σii= 1, .., a deben ser iguales en cada uno de los niveles del factor inter-sujetos y que la matriz de varianzas-covarianzas combinada, Σt×t, definida como: Σt×t=1 Pa i=1(ni−1) a X i=1 (ni−1)Σi, es circular, se obtienen los contrastes de hip´otesis sobre la interacci´on entre ambos factores y cada factor por separado. Efectos de la interacci´on. (H0: (αβ)ij = 0; H1: Existe al menos un par (i, j) tal que (αβ)ij 6= 0. Este constrate tiene asociado el estad´ıstico: F0=CMT∗A bσ2 2 , con (a−1)(t−1) y a(n−1)(t−1) grados de libertad. Efectos del factor inter-sujetos A. (H0:αi= 0 i= 1, ..., t; H1: Existe al menos un par (i, i0) tal que αi6=αi0. Este constrate tiene asociado el estad´ıstico: 3.1 Desarrollo te´orico 49 F0=CMA bσ2 1 , con (a−1) y a(n−1) grados de libertad. Efectos del factor intra-sujetos T. (H0:βj= 0 j= 1, ..., v; H1: Existe al menos un par (j, j0) tal que βj6=βj0. Este contraste tiene asociado el estad´ıstico: F0=CMT bσ2 2 , con (t−1) y a(n−1)(t−1) grados de libertad. Si no se verifican los supuestos para la matriz de varianzas-covarianzas, de forma an´aloga a los modelos anteriores se puede optar por dos soluciones alternativas: 1. Realizar un an´alisis univariante “aproximado” aplicando la prueba ´epsilon a los grados de libertad del estad´ıstico F0. 2. Aplicar un an´alisis de varianza multivariado (o MANOVA) con dos factores AyT. Comparaciones m´ultiples de medias. Si se cumplen los supuestos en las matrices de varianzas-covarianzas, y una vez realizado el An´alisis de la Varianza en este modelo aparecen diferencias significativas, el siguiente objetivo ser´a localizar donde se encuentran esas diferencias. Se considerar´an dos situaciones en funci´on de si existe o no interacci´on significativa entre los factores AyT. Si no existe interacci´on significativa nos interesa comparar los niveles del factor A, cuando existan diferencias significativas entre ellos, y los niveles del factor Tcuando se d´e para ´el esta situaci´on. Para comparar los niveles del factor Ase estudia las diferencias estimadas yi. Teniendo en cuenta la expresi´on del modelo asociado al dise˜no se obtiene un estimador insesgado de la diferencia de medias, que es: yi−yi0=bµi−cµi0, 56 3 ANOVA de medidas repetidas 3.2.3. An´alisis Se recogen los mejores valores de tiempo para cada prueba y se calculan las medias y las desviaciones t´ıpicas, como se muestran en Tabla 3-1 y Tabla 3-2. Grupo A Grupo B Grupo C Antes Tres semanas despu´es Antes Seis semanas despu´es Antes Seis semanas despu´es Desviaciones µ±SD µ ±SD µ ±SD µ ±SD µ ±SD µ ±SD SI dom 9,6±2,4 6,1±0,8∗9,0±2,2 7,6±1,6∗9,2±2,4 8,7±1,5 SI no-dom 8,1±2,5 6,2±2,4∗8,4±3,0 6,6±2,0∗8,5±3,1 8,6±2,1 API dom 7,7±2,3 5,6±1,1∗8,2±3,1 6,3±1,6∗8,1±3,3 8,1±1,5 API no-dom 6,9±1,9 5,3±2,1∗8,0±2,8 6,4±1,8∗8,4±2,9 8,2±1,9 MLI dom 4,9±1,2 3,7±1,0∗5,4±1,3 3,5±0,9∗5,3±1,5 5,2±0,8 MLI no-dom 4,4±1,2 3,3±1,2∗4,9±1,6 3,1±0,8∗4,7±1,4 4,8±0,9 Tabla 3-1.: Medias (µ), desviaciones t´ıpicas (±SD), y total (Si), anterior-posterior (API) y medio-lateral (MLI), dominante (dom) , no-dominante (no-dom) extremidad. Grupo A Grupo B Grupo C Antes Tres semanas despu´es Antes Seis semanas despu´es Antes Seis semanas despu´es Desviaciones µ±SD µ ±SD µ ±SD µ ±SD µ ±SD µ ±SD APM dom 3,6±2,4 10,6±7,3∗2,5±0,7 9,6±3,1∗2,6±0,7 2,6±1,1 APM no-dom 3,0±1,6 7,1±2,2∗2,6±1,8 11,4±6,7∗2,8±1,8 2,4±2,1 MLI dom 2,7±1,6 15,2±8,1∗3,3±1,7 17,1±12,1∗3,3±1,7 3,1±1,1 MLI no-dom 3,0±1,6 17,8±7,8∗3,5±1,8 19,3±14,2∗3,5±1,8 3,3±1,2 Tabla 3-2.: Medias (µ), desviaciones t´ıpicas (±SD) tiempo de mantenimiento en la tabla de equilibrio para los movimientos anterior-posterior (APM), y los movimientos medio-lateral (MLM), para la pierna dominante (dom) y la no-dominante (no-dom). Se realiza un ANOVA de medidas repetidas con un factor intra-sujetos y un factor inter- 3.2 Aplicaci´on pr´actica 57 sujeto. El factor intra-sujetos (varibale dependiente) que consta de la pierna dominante y la no dominante. El factor inter-sujeto (variable independiente) consta de cada unos de los tres grupos en los que se dividi´o a los futbolistas: grupo A (13 jugadores), grupo B (13 jugadores) y grupo C (12 jugadores). Variable a estudiar o variable respuesta: Y= mejora del control postural y capacidad del cerebro para reconocer cada parte del cuerpo. Cada componente de la varible Yviene dada por yijk, donde irepresenta el i-´esimo nivel del factor inter-sujeto, jrepresenta el j-´esimo nivel del factor intra-sujeto y kel k-´esimo individuo. El modelo matem´atico asociado es: yijk =µ+Sk(i)+αi+βj+ (αβ)ij +eijk; con i= 1,2, .., a j = 1,2, .., t k = 1,2, .., n; Pa i=1 αi= 0; Pt j=1 βj= 0; Pt j=1(αβ)ij = 0 ∀i;Pa i=1(αβ)ij = 0 ∀j; Sk(i)∼N(0, σ1); eij ∼N(0, σ2) Sk(i)yeij son mutuamente independientes. Donde µla media poblacional de la variable respuesta, αiel efecto medio adicional debido al grupo en el que se encuentra el jugador Sk(i)el efecto aleatorio del jugador ken el grupo en el que se encuentra, βjel efecto adicional debido a si estudiamos la pierna dominante o la no dominante, (αβ)ij el efecto medio adicional debido debido al grupo en el que se encuentra el jugador junto con la pierna que se estudia (la dominante o la no dominante) yeijk representa el error aleatorio. Una vez comprobados los supuestos de independencia, normalidad y esfericidad se plantean los siguientes contrastes de hip´otesis: Efectos de la interacci´on. (H0: (αβ)ij = 0; H1: Existe al menos un par (i, j) tal que (αβ)ij 6= 0. 58 3 ANOVA de medidas repetidas Para el cual se obtiene un p-valor<0.05 con lo que se concluye que se detectaron diferencias en cada grupo para cada extremidad en la mejora del equilibrio. Efectos del factor inter-sujetos. (H0:αi= 0 i= 1, ..., t; H1: Existe al menos un par (i, i0) tal que αi6=αi0. Para el cual se obtiene un p-valor>0.05 con lo que se concluye que no existen diferencias significativas entre los grupos A, B y C en la mejora del equilibiro. Efectos del factor intra-sujetos. (H0:βj= 0 j= 1, ..., v; H1: Existe al menos un par (j, j0) tal que βj6=βj0. Tanto en las pruebas de estabilidad Biodex como en las tablas de equilibrio se obtuvo un p-valor<0.05 para la pierna dominante y la no dominante. Por tanto se concluye que existen mejoras significativa para ambas piernas. 4. Modelo de Regresi´on de Cox “No hay nada m´as peligroso que no arriesgarse” Pep Guardiola (1971-) En este ´ultimo cap´ıtulo se trata el modelo de Regresi´on de Cox para estudiar los factores de riesgo que afectan a lesiones en una parte concreta del cuerpo: el muslo. 4.1. Desarrollo te´orico En esta secci´on nos centraremos en el an´alisis de supervivencia, en concreto en la regre- si´on de Cox. Primero se expondr´an algunos conceptos b´asicos del an´alisis de supervivencia para luego profundizar en la regresi´on de Cox. El an´alisis de supervivencia es una t´ecnica inferencial que consiste en seguir a una serie de individuos y modelar el tiempo que transcurre desde que comienza el estudios, punto inicial, hasta que ocurre el suceso de inter´es, punto final. La variable de estudio es el tiempo de supervivencia. Puede ocurrir que haya individuos que desaparezcan del estudio, que entren en ´el. Tambi´en puede que el estudio finalice antes de que suceda el evento de inter´es. En estos casos se habla observaciones o individuos censurados. A continuaci´on se presentan varios tipos de censura: Censura de tipo I: Sea un conjunto de individuos y un intervalo de tiempo fijado [0, tf]. El conjunto de observaciones censuradas estar´a formado por los inidividuos que no presentan fallo en ese intervalo. Censura de tipo II: En este caso se fija el final del estudio en el momento en el que ocurren rfallos de nposibles (r < n). Por lo tanto habr´a n−robservaciones 60 4 Modelo de Regresi´on de Cox censuradas. Censura de tipo aleatorio: Este tipo puede ocurrir por diversas causas que no estan influenciadas por la persona que realiza el estudio. Por ejemplo: •Abandono: el individuo se ve obligado a dejar el estudio (por ejemplo un futbolista que abandona el club). •Fin del ensayo: termina el estudio y no se produce el suceso de inter´es. Censura por la izquierda: El tiempo de supervivencia real es menor o igual al tiempo de supervivencia observado. Censura por la derecha: El tiempo de supervivencia real es igual o mayor que el tiempo de supervivencia observado, es decir, si el individuo presenta fallo sabemos que este ocurre despu´es del tiempo de censura observado. Censura por intervalo: El tiempo real de supervivencia est´a dentro de un intervalo de tiempo conocido, pero se desconce el tiempo exacto. Sea Tel tiempo de supervivencia, consideramos Tcomo una variable aleatoria continua. Denotaremos f(x) como su funci´on de densidad y F(x) como su funci´on de distribuci´on. A continuaci´on se exponen funciones que intervienen en el an´alisis de supervivencia. Funci´on de supervivencia La funci´on de supervivencia es la probabilidad de que el sujeto estudiado sobreviva pasado un tiempo t. ST(t) = P[T > t] = 1 −FT(t) para todo t > 0 donde FT(t) = P[T≤t] = Zt 0 f(x)dx. 4.1 Desarrollo te´orico 61 Funci´on de riesgo La funci´on de riesgo es la probabilidad de que un sujeto experimente el suceso de inter´es durante un intervalo infinitesimal de tiempo dado que el individuo ha sobrevivido hasta el comienzo de ese intervalo. La expresi´on matem´atica de la funci´on de riesgo es hT(t) = l´ım ∆t→0 P[t≤T < (t+ ∆t)|T≥t] ∆t = l´ım ∆t→0 FT(t+ ∆t)−FT(t) ∆t=fT(t) ST(t). Tasa de fallo acumulado La tasa de fallo acumulado se define integrando la funci´on de riesgo. HT(t) = Zt 0 hT(u)du. Por lo tanto, la funci´on de riesgo es la derivada, o pendiente, de la funci´on de riesgo acumulado. La funci´on de riesgo acumulado se relaciona con la funci´on de supervivencia acumulada por la expresi´on ST(t) = e−HT(t)oHT(t) = −ln(ST(t)). Tiempo esperado de vida El tiempo esperado de vida se refiere a la esperanza matem´atica de T, siempre que exista, E[T] = Z∞ 0 tf(t)dt. Vida media residual La vida media residual es una funci´on que mide la esperanza de vida restante en los individuos de edad to el tiempo esperado de vida despu´es de t, hasta que ocurre el fallo. vmr(t) = E[T−t|T > t] = 1 S(t)Z∞ t S(x)dx, para todo t > 0. 62 4 Modelo de Regresi´on de Cox 4.1.1. Estimador de Kaplan-Meier En el an´alisis de supervivencia se puede distinguir entre m´etodos param´etricos y m´etodos no param´etricos. Entre los m´etodos no param´etricos, uno de los m´etodos m´as utilizados es el estimador de Kaplan-Meier. La finalidad del estimador de Kaplan-Meier es estimar la probabilidad de que un conjunto de individuos sobreviva en un intervalo de tiempo dado. El inter´es de este m´etodo reside en que tiene en cuenta las observaciones o individuos censurados para estimar las funciones antes mencionadas. En el caso en el que no haya observaciones censuradas, se estima la funci´on de supervivencia mediante: Sn=1 nCard{i:ti> t} donde nes el tama˜no de la muestra. Supongamos ahora que existen observaciones censuradas y se considera la censura a la derecha. Se observan los pares formador por (Yi, δi)i= 1, ..., n, donde, Yi=min{Ti, Ci}, δi=(1si Ti≤Ci(Oservado); 0si Ti> Ci(Censurado). Se construye un conjunto de n0≤nintervalos usando los tiempos esperados observados. Ii= (y(i−1), y(i)) con i=1,...,n0. Sean los par´ametros: ni= n´umero de individuos vivos al inicio del intervalo (y(i−1), y(i)] con i=1,...,n0, di= n´umero de individuos que fallecen en el intervalo (y(i−1), y(i)] con i=1,...,n0, pi= P[T > y(i)|T > y(i−1)], 4.1 Desarrollo te´orico 63 qi= P[T≤y(i)|T > y(i−1)]. A continuaci´on se muestran los estimadores de Kaplan-Meier para: Funci´on de supervivencia Aplicando de forma reiterada la probabilidad condicionada se obtiene la siguiente expre- si´on para ST(t). ST(t) = P[T > t] = Y i:y(i)≤t pi Por tanto considerando los estimadores: ˆqi=di ni ,ˆpi= 1 −ˆqi=ni−di ni , se obtiene el estimador no param´etrico de la funci´on de supervivencia propuesto por Kaplan-Meier (1958) ˆ ST(t) = Y i:y(i)≤t ˆpi= k Y i=1 ni−di ni , donde k=y(k)≤t<y(k+1). Funci´on de riesgo La estimaci´on de la tasa de fallo instant´anea mediante el estimador de Kaplan-Meier en un intervalo, es el siguiente: ˆ h(t) = di ni(ti+1 −ti), donde i:ti≤t < ti+1. Estimaci´on del fallo acumulado Estimaci´on de fallo acumulada mediante los estimadores de Kaplan-Meier: ˆ HT(t) = −ln[ ˆ ST(t)] = −ln Y i:y(i)≤t ni−di ni , ˆ V[ˆ HT(t)] = X i:y(i)≤t di ni(ni−di). 64 4 Modelo de Regresi´on de Cox Estimaci´on del tiempo medio de vida truncada Habitualmente, el tiempo medio de vida se estima a trav´es de: ˆ E[T] = Zy(n) 0 ˆ S(t)dt Pero en el caso de y(n)=max(yi) no est´e censurada, la integral anterior coincide con la que obtenemos en el intervalo [0,∞); pero en el caso de que est´e censurada, el l´ımt→∞ ˆ ST(t)6= 0, por lo que la integral en el intervalo definido anteriormente no est´a definida. Para intentar evitar este problema, consideramos y(n)como si no estuviera censurada obteniendo un estimador de la media, el cual coincide con la curva de Kaplan-Meier: ˆ E[T] = n0 X i=1 [y(i)−y(i−1)]ˆ S(yi) 4.1.2. Modelo de Cox En el an´alisis de supervivencia el modelo de regresi´on m´as utilizado es el modelo param´etrico de Cox, tambi´en denominado como modelo de riesgos proporcionales. Este procedimiento puede ser utilizado para estudiar el impacto de varios factores sobre la supervivencia, es decir, la regresi´on de Cox modela la relaci´on entre un conjunto de una o m´as covariables y la funci´on de riesgo y por tanto sobre la funci´on de supervivencia. Las covariables pueden ser discretas o continuas. El modelo de regresi´on de riesgos proporcionales de Cox se resuelve utilizando el m´etodo de probabilidad marginal. Se consideran las covariables x1, ..., xpyβ1, ..., βplos coeficientes de regresi´on a estimar.Adem´as, trepresenta el tiempo transcurrido, y h0la tasa de riesgo de referencia cuando todas las covariables son iguales a cero. Funci´on de riesgo La funci´on de riesgo para este modelo es: h(t, x) = Zt 0 hT(u, x)du =Zt 0 h0(u)ePp i=1 xiβidu 4.1 Desarrollo te´orico 65 =ePp i=1 xiβiZt 0 h0(u)du =H0ePp i=1 xiβi, Hay que notar que para este modelo la funci´on de fallo base h0no es conocida. Funci´on de supervivencia Bajo el modelo de regresi´on de riesgos proporcionales, la supervivencia acumulada es ST(t, x) = e−hT(t)= exp h−h0(t)ePp i=1 xiβii =e−h0(t)ePp i=1 xiβi=S0(t)ePp i=1 xiβi, Estimaci´on Sea t= 1, ..., M el sub´ındice de los Mtiempos de fallos completos sin censuras. Hay que tener en cuenta que Mno incluye los tiempos duplicados o las observaciones censuradas. El conjunto de todas los fallos que se producen en el momento Ttse denotan como Dt. Sean cyd= 1, ..., mt´ındice de individuos de Dt. El conjunto de todos los individuos que est´an en riesgo inmediato antes del tiempo Ttse denota como Rt. Este conjunto, a menudo se llama conjunto de riesgos e incluye todos los individuos que fracasan en el tiempo Ttas´ı como aquellos que est´an censurados o no en un momento posterior a Tt. Sea r= 1, ..., nt´ındice de individuos de Rt. Sea Xreferido a un conjunto de pcovariables. Estas covariables tienen como sub´ındices i,j, o k. Los valores de las covariables en un tiempo de fallo en particular Tdse escriben como x1d, x2d, ..., xpd oxid en general. Los coeficientes de regresi´on a estimar son β1, β2, ..., βp. Teniendo en cuenta lo anterior, cuando no hay relaci´on entre los tiempos de fallo, el logaritmo de verosimilitud viene dado por: LL(β) = M X t=1 "p X i=1 xitβi−ln X r∈Rt ePp i=1 xirβi!# = M X t=1 "p X i=1 xitβi−ln(GRt)#,(4-1) donde 72 4 Modelo de Regresi´on de Cox La curva de Kaplan-Meier (4.1.1) representa la probabilidad supervivencia durante la pretemporada y la temporada. En este caso la variable de estudio fue tiempo de evaluaci´on (d´ıas) para la ocurrencia de una lesi´on (evento sin censura) o al final del seguimiento (censurado). Para los datos de este estudio la curva de Kaplan-Meier dada por la Figura 4-4 Figura 4-4.: Curva de Kaplan-Meier Fuente: Venturelli y cols. (2011) El objetivo del estudio fue evaluar dentro de un conjunto de covariables (los factores tales como la altura, la posici´on en el campo o el ´ındice de masa corporal entre otros) cu´ales tienen influencia sobre la funci´on de riesgo (4.1.2). Como ya se vi´o en (4.1) la funci´on de riesgo y la funci´on de supervivencia est´an relacionadas, por tanto el estudio lleva a conocer como afectan los factores a la funci´on de supervivencia (4.1.2) Aplicando los contrastes de hip´otesis explicados en (4.1.2) se observa que factores tales como una lesi´on anterior, la posici´on en el campo (defensores vs mediocampistas), la altura, el ´ındice de masa corporal, el porcentaje de grasa, paso yo-yo, SJ y JH presentan una alta significaci´on. 4.2 Aplicaci´on pr´actica 73 Rango Haz. ratio±SE I.C.(95 %) z Lesiones previas (N) 0 a 13 3.55±1.46* 1.58-7.95 3.09 Partidos jugados (h) 24 a 68 0.977±0.02 0.95-1.01 -1.33 Entrenamientos (h) 150 a 314 0.996±0.00 0.99-1.00 -0.91 Entenamientos y partidos (h) 185 a 382 1.154±0.22 0.79-1.66 0.76 Categor´ıa CA, CB o CC (N) 28, 29, 27 0.87±0.21 0.55-1.39 0.56 Edad (a˜nos) 14 a 18 1.07±0.13 0.85-1.34 0.55 Defensas vs delanteros (N) 35 a 14 0.34±0.16* 0.14-0.85 -2.31 Defensas vs mediocentros (N) 35 a 35 0.61±0.17 0.36-1.10 -1.66 Mediocentros vs delanteros 35 a 14 1.18±0.75 0.35-4.10 0.28 Alura (cm) 163 a 191 1.19±0.05* 1.11-1.29 4.58 Peso (kg) 47 a 88 1.16±0.03* 1.09-1.23 5.28 ´ Indice de masa corporal (kgm−1) 18 a 26 1.59±0.18* 1.27-1.99 4.05 Porcentaje de grasa 6 a 16 1.37±0.11* 1.16-1.61 3.80 Paso yo-yo 9 a 15 0.67±0.09* 0.50-0.89 -2.79 SJ (cm) 26 a 45 1.13±0.06* 1.02-1.25 2.39 CMJ (cm) 28 a 51 0.99±0.04 0.92-1.08 -0.07 ∆JH( %) -7 a 11 0.76±0.04* 0.68-0.84 -5.35 Flexibilidad -11 a 16 0.98±0.03 0.92-1.05 -0.57 *p-value<0.05 SE se refiere al error est´andar Tabla 4-1.: Factores de riesgo intr´ınsecos y extr´ınsecos univariados que utilizan las regresiones de Cox para la probabilidad de supervivencia de la distensi´on del muslo Tomando, por ejemplo, el factor peso, se tiene (de acuerdo a la Tabla 4-1) que los jugadores tienen un peso entre los 47 y los 88 kg. Como el peso es una variable continua, “Haz. ratio” representa la raz´on de riesgos al incrementar una unidad la covariable, en este caso al aumentar un kg la razon de riesgo aumenta 1,16±0,03, donde 0.03 es el error est´andar. (1.09,1.23) es el intervalo de confianza al 95 % y z=5.28 el valor del estad´ıstico de Wald (4-2) que sirva para contrastar la hip´otesis nula H0:βj= 0. El principal hallazgo de este estudio fue que, durante una temporada de f´utbol (pretemporada + temporada de competici´on), no hubo efecto significativo de la exposici´on al entrenamiento y partidos en la probabilidad de distensi´on del muslo. 74 4 Modelo de Regresi´on de Cox Con el fin de interpretar con precisi´on los resultados, se deben considerar algunos factores metodol´ogicos. La principal limitaci´on es el n´umero relativamente bajo de casos y eventos. S´olo 84 de los 96 jugadores de f´utbol j´ovenes fueron seguidos durante la temporada, y s´olo 27 incurrieron en una lesi´on muscular. Los datos del presente estudio sugieren que la estatura del jugador es un fuerte factor de riesgo para las distensiones musculares. A. Anexo En este anexo se explican algunos tests usados en el trabajo. Prueba de rachas La prueba de rachas permite contrasta la hip´otesis nula de que la muestra sea aleatoria, es decir, si las observaciones son independientes. Una racha es una secuencia de observaciones similares. Una muestra con un n´umero demasido grande o demasiado peque˜no de rachas sugiere que la muestra no es aleatoria. Test de Shapiro-Wilk El test de Shapiro-Wilk contrasta la hip´otesis nula de que la muestra de estudio est´e normalmente distribuida. El estad´ıstico del test viene dado por: W=D2 nS2, donde Des la suma de las diferencias corregidas, nel tama˜no muestral y S2es la varianza muestral. Test de Mauchly Este test comprueba la esfericidad de las matrices de varianzas-covarianzas. Este test usa estimaci´on muestral de la matriz de varianzas-covarianzas poblacional, Σ, con el prop´osito de probar si C∗0ΣC∗cumple el supuesto de esfericidad. Test LSD de Fisher El Test LSD (Least significant difference) de Fisher es un test de comparaciones m´ultiples.Se aplica cuando en se rechaza la hip´otesis nula de igualdad de medias en el ANOVA y en este caso permite comparar las medias de los tniveles de un factor. 77 El test se basa en crear un valor com´un usando el test t-Student. Este valor viene dado por: T=Yi−Yj sb S2 E1 ni +1 nj≡tN−t LSD =tN−t, α 2sb S2 E1 ni +1 nj, donde Nel n´umero total de observaciones, tel n´umero de niveles del factor, ni, njtama˜nos muestrales de los niveles iyj,b S2 Ela estimaci´on de la varianza del error o residual, Yi, Y jlas medias muestrales de los niveles iyjytN−t, α 2es la distribuci´on t-student cpm N−tgrados de libertad y a un nivel de significaci´on α 2. Si |Yi−Yj|> LSD, entonces hay diferencia significativa. Test de Bonferroni Al igual que el test LSD de Fisher es un test de comparaciones m´ultiples y se aplica cuando en se rechaza la hip´otesis nula de igualdad de medias en el ANOVA y en este caso permite comparar las medias de los tnivelesde un factor. Del mismo modo que en el test LSD de Fisher se calcular´a un valor, BSD, por encima del cual la diferencia entre las dos medias ser´a significativa y por debajo del cual esa diferencia no ser´a significativa. El valor BSD viene dado por: BSD =tN−t, α 2Msb S2 E1 ni +1 nj, donde Nel n´umero total de observaciones, tel n´umero de niveles del factor, ni, njtama˜nos muestrales de los niveles iyj,b S2 Ela estimaci´on de la varianza del error o resifual, tN−t, α 2M es la distribuci´on t-student cpm N−tgrados de libertad y a un nivel de significaci´on α 2 yMson las combinaciones posibles de niveles tomados de dos en dos. Test de rangos con signo de Wilcoxon El test de rangos con signo de Wilcoxon es una prueba no param´etrica, la cual permite comparar poblaciones cuando sus distribuciones no satisfacen las condiciones necesarias 78 A Anexo para otros test param´etricos. Se utiliza para contrastar la hip´otesis nula H0: No hay diferencias significativas entre las observaciones. Referencias Alentorn-Geli, E., Myer, G. D., Silvers, H. J., Samitier, G., Romero, D., Lazaro-Haro, C., y Cugat, R. (2009). Prevention of non-contact anterior cruciate ligament injuries in soccer players. part 2: A review of prevention programs aimed to modify risk factors and to reduce injury rates. Knee Surg Sports Traumatol Arthrosc,17, 859-897. Aughey, R. J. (2011). Applications of gps technologies to field sports. Int J Sports Physiol Perform.,6(3), 295-310. Cummins, C., Orr, R., O’Connor, H., y cols. (2013). Global positioning systems (gps) and microtechnology sensors in team sports: A systematic review. 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