Stabilitá di strutture ad arco e regole costruttive nel XVIº e XVIIIº secolo

Stabilitá di strutture ad arco e regole costruttive nel XVP e XVIIIQ secolo Le formulazioni delle prime teorie scientifiche sulle volte, sugli archi e sulle cupole risalgono solo al XVIII' secolo. Giit da seeoli pero la tecnica costrutliva aveva offerlo capolavori architettonici. in cui lal i strutture particolari avevano dimostrato di essere state progettale secondo criteri di grande stabililit. E' allora di estremo interesse ricereare quali pOlessero essere stati codesti ciiteri. dal momento che non era ancora disponibile una precisa giustificazione di tipo statico o meecanico per la ]oro consistenza. Si tratta di individuare quelle regole che appartenevano ai maestri dI eantiere, a11'esperienza delfÓf¡- hricare. ehe furono ]0 strumento pratico e I'espressione della cultura della tradizione eostruttiva. Si era allora in un 'epoca --ci riferiamo ai seco]i del Medioevo, dell'Umanesimo e del Rinascimentoin cui ingegneri ed archiletti non sve]avano ]e proprie maestrie, e il meral'igliare ehe essi perseguivano con le loro opere era coperto da segreto: se si vuole conoseere ]a «norma» che assisleva la tecniea e I'intuizione che la guidava. si incombe nell'impedimento arrecato dal tempo ehe ha eonsentito la perdita di tale cultura. lasciando di essa solo tracce. Alcune regole possono essere rintraeeiate in amichi trattati. non sempre riferibili ad un medesimo autore: la loro derivazione e spesso ignota, poiché tali rego]e appartenevano aquel palrimonio di nozioni segrele de] mestiere. che era gelosarnente tramandato da una generazione all'altra di costruttori. In questo lavoro, partendo dalI'ana]isi del patrimonio di rego]e costruttive di tradizione gotieo-rinaseiAnna Sinopoli mentale attribuite al]o spagnolo Gil de Hontañón, sarit analizzata la nota rego]a per il dimensionarnento dei piedritto, spesso atlribuita a padre Derand. Codesta regola non e melodologieamente diversa da molte altre - ereditit della cultura preseientifica - spesso esposte come problemi geomelriei, in cui, fissate aleune dimensioni tipiche de 11'arco o della struttura voltata. le altre dimensioni sono definile in base a rapporti di proporzionalilit, di natura prevalentemente geometrica, emergenti dalle caratteristiche delle strutrure medesime. Scopo dell'analisi e quello di rianalizzare ]a corretlezza di tale antica regola e di quantificare la stabiliÜ¡ conseguente per la struttura attraverso I'uso del Teorema dei Lavori Virtuali nella sua formulazione ridona. in cui protagonisti dell'equilibrio sono i pesi e ]a geometria del sistema. L'ipotesi che soggiace e che la norma costruttiva, prima dell'assiomatizzazione della Meccanica. avesse un fondamento empirico, sperimentale e soslanzia]mente geometrieo. L 'indagine. infatti. si inserisce in un quadro molto piu ampio di ricerca, il cui intento principale e quello di dare consislenza formale e teoriea a quelle regole pratico-eostrmtive. ehe vedono nella geometria il loro fondamento, con la speranza di scorgervi il proemio ad una possibi]e e corretta concezione einemaliea della Meecanica. La rilettura storica diventa allora I'oecasione per «dar voce» alle teorie meecaniche perdenti. quelle che piuttoslo che privilegiare come unico cammino Actas del Tercer Congreso Nacional de Historia de la Construcción, Sevilla, 26-28 octubre 2000, eds. A. Graciani, S. Huerta, E. Rabasa, M. Tabales, Madrid: I. Juan de Herrera, SEdHC, U. Sevilla, Junta Andalucía, COAAT Granada, CEHOPU, 2000. IOSO quello dell'assiomatizzazione della Meccanica fondata sul concetto di forza, strada praticata da Eulero in poi, tentavano il cammino duale attraverso un piu consistente fondamento nell'evento fisico e nelle grandezze direttamente misurabili. La delineazione di tale cammino duale potrebbe condurre a nuove riflessioni e riconsiderazioni sull 'importanza della geometria e della stereotomia come «norma guida» delle tecniche costruttive della maggior parte delle strutture monumentali edificate prima del1a sistematizzazione Euieriana dcl1a Meccanica. La rilettura in chiave moderna del1a regola per il dimensionamento del piedritto sara effettuata come analisi limite di un sistema rigido, soggetto a vincoli unilaterali ed attrito, privilegiando un approccio cinematico attraverso I'uso della formulazione ridotta del Teorema dei Lavori Virtuali. Responsabili del1'equilibrio e della stabilita del sistema sono in tal caso gli spostamenti viduái e i pesi propri, trattati come aree e, cioe, ridotti anch'essi ad enti geometrici. L'equilibrio e la stabilita dipendono al10ra sol tanto dalla geometria, ed in particolare dal valore assegnato ad uno dei parametrici geometrici del sistema, trattato come parametro di stabilita, variando il quale pub essere raggiunta la condizione di col1asso: il rapporto fra il valore partico]are del parametro geometrico e quello critico, corrispondente al1a condizione di collasso, consente dI definire un coefficiente dI sicurezza per la struttura, di natura sostanzialmente geometrica. RODRIGO GIL DE HONTA:'iÓN ED IL COMPENDIO DE ARCHlTECTURA E' nel XVI" secolo che si sviluppa e si sistcmatizza ad opera degli architetti italiani un nuovo vocabolario classico per definire la «norma» estetica degli edificio Tale rivoluzione formale ha mascheratO il contributo degli architetti tardo-gotici, cosicché tutte le innovazioni dell'arte edificatoria del XVI" secolo sono state spesso attribuite tout court al movimento culturale del Rinascimento. Anche Robert Mark, un risolutO sostenitore delle acquisizioni strutturali del periodo Gotico, considera il Tardo Gotico, con le sue codificazioni di leggi progettuali, responsabile di un processo di soffocamento della sperimentazione strutturale. A. Sinopoli Certamente, il picco del la sperimentazione strutturale intuitiva era stato raggiunto molto prima con la costruzione delle grandi cattedrali gotiche del XIII" e XIV" secolo; ed in quell'epoca, la Scolastica, con il suo maggior esponente Giordano Nemorario, non era in grado di fornire alcun contributo al1'analisi di edifici cosl grandi e complessi. Tuttavia, come afferma Sanabria, il XVI" secolo non pub essere considerato come un periodo di declino nell'invenzione strutturale, caratterizzato soltanto dall'introduzione di nuove forme, in assenza di speiimentazione e di progressi nell'analisi teorica. GIi sciitti dell'architetto spagnolo Rodrigo Gil de Hontaflón, pervenutid attraverso la risciittura ad opera di Simon Garcia nel Compendio de Architectura y Simetría de los Templus, son o testimonianza de110 sviluppo del pensiero strutturale nel XVI" secolo, che, sulla base de\la tradizione gotica e de\le nuove idee umaniste, adotta i nuovi strumenti matematici per un incipiente approccio sperimentale ad una teoria di carattere sostanzialmente geometrico. Infatti, sebbene le regole che Rodrigo propone per la distribuzione degli spazi interni di un edificio facciano riferimento a due metodi di proporzionalita -il primo, che stabilisce una analogia fra I'edificio ed il corpo umano, in accordo ad una tradizione Vitruviana, ripresa in seguito da Francesco di Giorgio e Albert Diirer: il secondo, di tipo geometrico, basato su antiche regole goticheI'intento di Rodrigo e dI dimostrare che il piu nuovo e piu ricco in tipologie formali sistema di proporzionamento umano non e in contraddizione con il piu antico metodo geometrico di tradizione gotica. Una simile idea e presente anche in Le premia tome de l'architecture (1568) di Philibert de L'Orme, che propose di ridurre il disordinato e confuso libro di Vitruvio a\la teoiia e inetodologia geometrica di Euclide. Piu interessanti, comunque, come testimonianza del10 sviluppo del pensiero strutturale nel XVI" secolo ed in accordo a\la tesi che soggiace a tale lavoro, sono le rcgole che Rodrigo propone per il dimensionamento degli elementi strutturali: esse sono forinulate in modo indipendente dal1e regole di distribuzione degli spazi di un edificio, e con I'intento di garantire che lo spessore di ogni elemento strutturale sia né maggiore né minore di quel10 necessario alla sua stabilita. Le regole che Rodrigo propone possono essere suddivise in due categorie: Stabilitá di strutture ad arca e regale castruttive nel XVI" e XVII" seca la lOS 1 Quelle di natura aritmetica, risultato di una lenta assimilazione di un vocabolario matematico reso disponibile in Italia ancora nel XIV" secolo; Quelle di natura geometrica, che rappresentano un avanzato sviluppo della tradizione geometrica gotica, dal momento che esse sono articolate in sequenze grafico-costruttive progressive, orientate alle nuove tipologie strutturali Rinascimentali e formulate utilizzando piu sofisticati strumenti dellinguaggio matematico. Entrambe comunque si configurano come formulazioni teoriche di problemi strutturali, cui si richiede un carattere di generalita e di sufficienza, che risulta essere non analizzato né giustificato. L'unica regola che Rodrigo propone (Prima Regola Geometrica), fortemente radicata nella tradizione geometrica gotica e sopravvissuta, anche se non giustificata, attraverso i secoli nella pratica di cantiere, e la regola del dimensionamento del piedritto, che propone un rapporto 1:4 fra spessore del piedritto e luce dell'arco. Tale regola e stata spesso attribuita a Frangois Derand, che ne] 1643 la incluse nel suo trattato di stereotomia; essa, anche se elegante ed apparentemente molto adattabile, rappresenta un arrestato sviluppo del pensiero geometrico strutturale tardo gotico, dal momento che ignora sia lo spessore dell'arco sia l' altezza del piedritto. Integrazioni a tale regola son o state fornite infatti dalla stesso Rodrigo che, nella sua Terza Formula Geometrica, tiene in qual1 ¡ 1 Figura 1 La Prima e la Terza f'ormula Geometrica di Rodiigo Gil de Hontaflón che modo in considerazione le suddette variabili, suggerendo un sofisticato, anche se inesatto, andamento iperbolico per lo spessore del piedritto all'aumentare della sua altezza. Viollet Le Due considera la regola di Padre Oerand come la piu antica e radicata nella pratica costruttiva, ma impone un'altezza limite del piedritto per una corretta applicabilita deIla formula. n problema generale dell'equilibrio e della stabilita di un portale, costituito di conci lapidei, sara analizzato in codesto lavoro, adottando il modello meccanico di sistema rigido soggetto a vincoli unilaterali ed attrito; la condizione limite che separa I'equilibrio dal collasso verra individuata come funzione di ciascuno dei parametri geometrici caratterizzanti la struttura. 11valore critico di tali parametri consentira di rivisitare la Prima Formula Geometrica di Rodrigo, nota come regola di Padre Oerand, e di quantificare il corrispondente coefficiente di sicurezza; sara inoltre analizzato, in relazione a tale regola che non definisce né lo spessore dell'arco né l'altezza del piedritto, il limite superiore suggerito da Viollet Le Oue per l'a1tezza del piedritto. ANALISI LIMITE E STAHILlTA'DEL PORTALE LAPIDEO Si consideri il portale lapideo di fig. 2, modellato come sistema di conci rigidi soggetti a vincoli unilaterali sulle facce di contatto. e caratterizzato da attrito sufficiente ad impedire slittamenti relativi fra conci contigui. Si indichi con oq lo spostamento generalizzato. che corrisponde alla formazione del meccanismo caratterizzato da cinque cerniere alternate, rispettivamente, all'cstradosso e all'intradosso; tali cernierc sono simmctricamente collocate alla chiave e alle imposte del portal e, e al generico giunto di rottura dell'arco, individuato dall'angolo a considerato variabile con continuita da O' a 90'. Con un' ottica orientata alla ricerca della condizione di collasso, si considera soltanto il meccanismo a cinque cerniere, dal momento che il meccanismo di collasso e caratterizzato dal numero minimo di cerniere. Si indichi con Qil vettore generalizzato, le cui componcnti rapprescntano i pesi dei quattro conci in cui il portale resta suddiviso dal meccanismo considerato. Sia oq sia Qovviamente dipendono dai valori !O52 dei parametri geometrici caratterizzanli il porlale e dal meccanismn consideralo, e cine da: il valore dell'angolo del giunto di rottura a: il raggio di intradosso dell'arco r: lo spessore del!' arco s: lo spessore del piedritto 1, l'alteLZa del piedrittn 11. (3) 9) (2) I ,1 //'/:' M ~ . ! ~ '/ 11 // ~I 1/ ¡:í1 <',LJ \ E \, I "1 1 - ()- Figura 1 Schellla dci portalc lapidco e Illcccanislllo a quattro conci Condizione necessaria e ';ufficienle per I'eqllilibrio del sistema, in relazione a] meccanismo considerato, eche illavoro virtuale 8Ud) delle forze attive soddisfi la disuguaglianza: ¡"'¡Vd' =Q x oq S; O La condizione di collasso e raggiunta quando esisle un meccanismo 8ql" '* °, per cui il lavoro virtuale 8L"" risulti nullo: tale meccanismo e unico, esso e il meccanismo di collasso. Fissala la geometria del sistema, e a partire da una configurazione di equilibrio stabile, la ricerca della condizione di collasso pub essere effettuata diminuendo un unico e gene rico parametro geometrico p, in accordo al seguente teorema (Sinopoli, Corradi, Foce, 1998): Teorema del Linute Inferiore: Pcr p ?: p" 1,sia DL j' insicl1le di I1Icccanisl1li 8q '* °che soddisfÚno la (1). Dilllinuendo p. si indichi COII HL j' insieme dei mlori di p. pcr cui la (1) esoddisfÚtta '<18q E DI, La '\. Sinopoli condi~ione di collasso cOl1lefill/~lOne di p cO/'l'isponde a: fila.\' ¡'¡Lid' =Q X ()q] '<1&/ EDI (2) La soluzione della (2) identifica I\mico meccanismo ¡)q'" '* °, per cui il massimo lavoro e nullo 8L'''' =O), cosicché I'equilibrio ancora esiste: ()q" ¡e il fIIeccanisiI/O di collasso, associato ad un valore critico Il" del parametro p e ad un particolare valore e¡/" dell 'ango]o del giunto di rottura, Per tutti gli altri meccanismi, il massimo lavoro e slrettamente negativo (8'1111' <O), ]n accordo alla formulazione esposta, la condizione di collasso del portale lapideo sara individuata come funzione dello spessore dei piedritto, consideralo come parametro di crisi, in relazione a valori diversi, ma costanti, del raggio di intradosso r, dello spessore de11'arco se dell'altezza del piedritto h, Sari¡ inoltre analizzato il caso corrispondente al valore limite di h, suggerito da Violiet Le Duc per I'applicabilita della regola di Padre Derand. IL COLLASSO COME FlJNZIONE DELLO SPESSORE DEL PIlEDRMO (1) Fissata la luce de 11'arco, e cioe il raggio di intradosso r, poiché I'equilibrio e la stabilita del portale dipendono dallo spessore sdell'arco, dall'altezza he dallo spessore Idel piedritto, la ricerca della condizione di collasso corrispondente al Teorema del Limite ]nferiore (2) e stata pcrseguita fissando alcuni valori di r; per ciascuno di essi, si sono considerati diversi valori di 11,variando 1 aUa ricerca dello spessore critico 1" corrispondente alla condizione di collasso, ]valori assunti per lo spessore dell'arco sono ovviamente superiori allo spessore critico corrispondente alla condizione di collasso dcl!'arco semicircolare in assenza di piedritti (s> O.114r); per ognuno di tali spessori, si sono considerati cinque diversi valori per le altezze del piedritto, corrispondenti rispettivamente a: 111=11""=r\ 3/2,altczza del piedritto proposta da Padre Derand nel suo schema grafico: h,= r: 11,= 2h",,= r\ 3: h,= 2r; h, =.'Ir, altezza limite proposta da Violiet Le Duc. s = 0.15r h¡~ hDer ~r'0/3/2 ler ..~0.28043 r aer~57.1° h2 ~r ler 0.29341 r aer~57.lo h3~ 2hDer= r '0/3 ler 0.33788 r aer~57.¡O h4 ~2r la ~0.34774 raer~.57.lo hs =3r ler ~0.37115 racr=57.¡O s = 0.2 r h¡.~ hDer =r'0/3/2 ler ~0.27514 r aer=59.6° h2 =r ler ~0.29088 raer~59.6° h3~ 2hDer =r'0/3 ler =0.34743 r aer=59.6° h4 =2r ler =0.36049 r acr~59.6° hs ~3r ler 0.39217 racr~59.6° s = 0.4 r h¡= hDer =r'0/3/2 ler =. OPonalesemprestabiw h2 =rler ~O Portale sempre stabile h3= 2hDer d3 ler .= OPortale sempre stabile h4 =2r ler =OPortale sempre stabile hs 3r ler =OPortale sempre stabile Stabililá di strulture ad arco e regale costruttive ncl XVI" e XVIF sccolo 1053 Per ognuno dei casi considerati, e stato determinato in accordo alla (2) il valore dello spessore critico del piedritto ler ed il corrispondente valore 1" del giunto di rottura. 1 risultati ottenuti sono illustrati nelIe Tabelle 1 a. l b. I e e Id, da cui si pub notare ehe. in ogni caso, il valore di a" dipende sol tanto da110spessore dell'arco s, e non dalle earatteristiehe del piedritto he l. Tab. la. Spessori critiei del piedritto per 5= 0./51' Tab. lb. Spessori critiei del piedritto per s=0.21'. s = O.15r h¡~ hDer ~r'0/3/2 ler _C0.28043 r aer=57.¡O h2= r h3= 2hDer ~r'0/3 ler 0.29341 r aer=57.1° h4 ~2r hs..3r ler =0.33788 r ler ~0.34774 r acr=57.IO aer=57.IO ler ~~ 0.37115 racr=57.IO Tab. le. Spessori critici del piedritto per s=0.31'. Tab. Id. Spessori critici del piedritto per s=0.151'. i]\ Derand D.,and Cs Ik=Rlr=l.15 Cs k=RJr= 1.2 S=O.15r S~O.2r 1.783 fh=h(der) 1.817 h=h( der) 1.704 h~r 1.719 h=r I 1:1~~ --Ih=2h(der) h=2h( der) 1.439 ,h=2r 1.387 h=2r 1.347 -h=3r 1.275 h~3r 1054 Come si pub notare, la stabilita del portale aumenta al!' aumentare dello spessore dell' arco, tanto che nei casi della Tab. Id il sistema e sempre stabile; la stabilita din-anuisce, invece, all' aumentare del!' altezza dei piedritto e, conispondentemente, il collasso avviene per valori maggiori dello spessore critico del piedritto la' COEFFIClENTE GEOMETRICO DI SICUREZZA E CONCLUSIONI Individuati i valori dello spessore critico del piedritto, in relazione a diversi valori degli altri parametri geometrici del portale, siamo ora in grado di rianalizzare sia la regola di Padre Derand, sia ¡llimite imposto da Viollet Le Duc per I'altezza del piedritto: h=3,.. Per valutare la correttezza di tali criteri e per quantificare la stabilita conseguente per la struttura, si definisca come coefficiente di sicurezza C", in relazione allo spessore del piedritto, il rapporto fra un valore assegnato di tale spessore e quello critico, corrispondente alla condizione di collasso: C, =l/la' Fissato lo spessore dell'arco s, definito anche come k=R/,., e cioe come rapporto fra raggio di estradosso e raggio di intradosso del!'arco, sono stati calcolati i valori dei coefficienti di sicurezza, corrispondenti ad un'altezza prefissala del piedritto, come funzione del A. Sinopoli suo spessore l. Al variare dell'altezza del piedritto sono state ottenute diverse curve, rappresentate in fig. 3, per il caso corrispondente a s=1.15. Per un prefissato valore dell'altezza h, tutte le curve hanno andamento lineare, evidenziando una proporzionalita diretta fra coefficiente di sicurezza e spessore del piedritto. In fig. 3, lo spessore del piedritto corrispondente alla regola di Padre Derand (1 =0.5,.) e stato evidenziato con una linea verticale. La linea orizzontale, invece, corrispondente a Cs=l consente di evidenziare per ogni valore dell'altezza dei piedritto h il corrispondente spessore critico 1a' Come si pub notare da fig. 3, la regola di Padre Derand garantisce per le altezze considerate una buona stabilita per il portale, dal momento che il coefficiente di sicurezza varia tra 1.347 a 1.783; il valore piu basso e ottenuto per !'altezza limite proposta da Viollet Le Duc: h=],.. Andamenti simili si possono notare nelle flgs. 4 e 5, ottenute rispettivamente per s=1.2 es=1.3. Pub essere interessante notare che la variazione del coefficiente di sicurezza non ha andamento monotono rispetto all'altezza hdel piedritto, al!'aumentare de110spessore dell' arco. Tale circostanza pub essere evidenziata osservando i valori di C, corrispondenti alla regola di Padre Derand (1 =0.5,.), al variare di s. In particolare, mentre per bassi valori di hil coefficiente di sicurezza, °i --"-t--. ¡. I 0.15, -> 0.5r O.3r spessore piedritto Figura 3 Coefficiente di sicurezza per s =1.15. I I -°1 " / I 0.2r spessore piedritto O.4r 0.5r Figura 4 Coeffic1ente di sicurezza per per s= 1.2. Stabilitá di strutture ad arco e regole eostruttíve nel XVI" e XVII" seeoIo 1055 e, k=RIr= 1.3 8=0.3,. I I lA.58 ~ 1.385 :- 1.23 -1I f""'" /h=2h(der) /h=2r h=3r I ---L-!-~II / 0.5,. 0.6,. spessore piedritto0.3,. Figura 5 Coefficiente dí sicurezza per s=1.3. a!l'aumentare di s, aumenta tendendo a!l'infinito (1,,=0), per piu alti valori (ad esempio: h=3r) il coefficiente di sicurezza diminuisce. BIBLIOGRAFÍA Derand, F.: L"architecture des voLÍtes dalls les édif/ces, partíe 1, ehap. 6, Parls, 1743. Heyman, J.: «The safety of masonry arches», IlIternatiollal }ourllal ofMechallÍcal Sciences, Vol. l 1, pp. 363-3 85, 1969. 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