Analizando perfiles de reconocimiento en teoría de grafos

87 https://doi.org/10.5565/rev/ensciencias.3402 ISSN (impreso): 0212-4521 / ISSN (digital): 2174-6486 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 40-3 (2022), 87-107 Investigaciones didácticas González, A., Gallego-Sánchez, I., Gavilán-Izquierdo, J. M., y Puertas, M. L. (2022). Analizando perfiles de reconocimiento en teoría de grafos. Enseñanza de las Ciencias, 40(3), 87-107. https://doi.org/10.5565/rev/ensciencias.3402 Recepción: julio 2020 • Aceptación: mayo 2022 • Publicación: noviembre 2022 87 107 Antonio González, Inés Gallego-Sánchez, José María Gavilán-Izquierdo, María Luz Puertas Analizando perfiles de reconocimiento en teoría de grafos Analysing Profiles of Recognition in Graph Theory Antonio González, Inés Gallego-Sánchez, José María Gavilán-Izquierdo Departamento de Didáctica de las Matemáticas, Universidad de Sevilla, Sevilla, España [email protected], [email protected], [email protected] María Luz Puertas Departamento de Matemáticas, Universidad de Almería, La Cañada, Almería, España [email protected] RESUMEN • En este trabajo exploramos las habilidades de reconocimiento en teoría de grafos que poseen estudiantes universitarios del grado en Ingeniería Informática-Tecnologías Informáticas de la Universidad de Sevilla. Para ello, diseñamos un cuestionario que empleamos como instrumento de recogida de datos, los cuales son posteriormente analizados mediante una adaptación de la metodología del cálculo de los grados de adquisición, lo que da lugar a distintos perfiles de reconocimiento en teoría de grafos. Las características de estos perfiles nos permiten dar soporte empírico a una propuesta teórica de niveles de reconocimiento en teoría de grafos realizada desde la óptica del modelo de Van Hiele, así como extraer algunas conclusiones sobre aspectos de la enseñanza y el aprendizaje de esta materia. PALABRAS CLAVE: Reconocimiento; Teoría de grafos; Niveles de razonamiento; Modelo de Van Hiele. ABSTRACT • In this work, we explore the recognition skills in graph theory of undergraduate students of the degree in Computer Science-Information Technology of the University of Seville. For this purpose, we design a questionnaire that we use as an instrument for data collection, which are subsequently analysed by means of an adaptation of the methodology of the calculation of the degrees of acquisition, giving rise to different profiles of recognition in graph theory. The characteristics of these profiles allow us to give empirical support to a theoretical proposal of recognition levels in graph theory from the perspective of the Van Hiele model, as well as to draw some conclusions about aspects of teaching and learning this field of mathematics. KEYWORDS: Recognition; Graph theory; Levels of reasoning; Van Hiele model. 88 Antonio González, Inés Gallego-Sánchez, José María Gavilán-Izquierdo, María Luz Puertas ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 40-3 (2022), 87-107 INTRODUCCIÓN La educación matemática en el ámbito universitario abarca múltiples áreas, entre las que destaca la matemática discreta (Ouvrier-Buffet, 2011). Dentro de las diferentes ramas que la componen, la teoría de grafos cuenta cada vez con mayor relevancia, como se ha plasmado en la gran cantidad de trabajos sobre esta temática expuestos en el 13th International Congress on Mathematical Education (Hart y Sandefur, 2018). Aunque existen diferentes tipos de trabajos al respecto, hay pocos estudios que indaguen en el razonamiento de los estudiantes de teoría de grafos, como hacen notar Hazzan y Hadar (2005), que analizan la comprensión de estudiantes universitarios sobre esta rama de la matemática desde la perspectiva de la reducción de la abstracción. Este enfoque explica que, cuando los estudiantes no son capaces de manipular mentalmente los conceptos que aparecen en un problema, entonces inconscientemente reducen la abstracción de diversas maneras, por ejemplo, considerando solo casos particulares en lugar de casos generales. Igualmente, Medová et al. (2019), que categorizan y analizan los errores cometidos por estudiantes al implementar algoritmos sobre grafos, señalan esta misma deficiencia en la literatura. Se hace, por tanto, necesario el desarrollo de marcos teóricos que sustenten este tipo de investigaciones (Ouvrier-Buffet et al., 2018). Gavilán-Izquierdo y González (2016) proponen extender el modelo de Van Hiele al campo de la teoría de grafos. Aunque este modelo ha sido usualmente utilizado en investigaciones sobre enseñanzaaprendizaje de la geometría, autores como Gutiérrez y Jaime (1998) señalan la necesidad de extenderlo a otros campos de la matemática. De hecho, existen ampliaciones del modelo de Van Hiele a conceptos no necesariamente geométricos, como aproximación local (Llorens y Pérez-Carreras, 1997) o convergencia de sucesiones (Navarro y Pérez-Carreras, 2006). La idea de extender el modelo de Van Hiele a la teoría de grafos es, en principio, natural, dadas las similitudes entre grafos y figuras geométricas, pues ambos son representados habitualmente como puntos en el plano unidos por segmentos. Además, tratar con ambos objetos matemáticos implica el manejo de las transformaciones que los dejan invariantes: movimientos rígidos, en el caso geométrico, que son casos particulares de las transformaciones que dejan invariantes a las representaciones de los grafos, esto es, cualquier deformación que mantenga las conexiones originales entre vértices. No obstante, es necesario desarrollar investigaciones que garanticen la viabilidad de esta propuesta. En el caso del reconocimiento de grafos, González y Gavilán-Izquierdo (2017) formulan una propuesta teórica con tres niveles de perfeccionamiento, basándose en descriptores de los niveles de Van Hiele para geometría, una revisión de investigaciones sobre aprendizaje de la teoría de grafos y su propia experiencia docente en la materia. Dicha propuesta teórica, que debe ser testada experimentalmente, se plantea como punto de partida de un proceso cíclico de investigación que permita obtener propuestas cada vez más refinadas sobre niveles de razonamiento en teoría de grafos. El objetivo de este trabajo es la identificación empírica de perfiles de reconocimiento en teoría de grafos que nos permitan contrastar la validez de los indicadores de los niveles teóricos formulados por González y Gavilán-Izquierdo (2017) con una modificación que mencionamos en el siguiente apartado. MARCO TEÓRICO Fundamentos de la teoría de grafos Presentamos, a continuación, los conceptos de la teoría de grafos (Biggs, 2003) que aparecerán en nuestro estudio. Un grafo G es un par (V, E) donde V (vértices) es un conjunto cualquiera y E (aristas) es un conjunto de pares no ordenados de elementos de V. Un ejemplo de grafo es G1 = ({a, b, c, d}, {ab, 89 Analizando perfi les de reconocimiento en teoría de grafos ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 40-3 (2022), 87-107 ac, ad, bc}), y para representarlo en el plano podemos trazar sus vértices como puntos y unir mediante líneas aquellos que estén relacionados por aristas (representación pictórica), como se muestra en la fi gura 1(a). Aunque este es el modo de representación más habitual, existen otros cuyos usos pueden convenir según el problema que se considere: matricial, intersección de objetos, listas de incidencia, etc. La representación pictórica del grafo G1 dada en la fi gura 1(a) no es única, como podemos comprobar en la fi gura 1(b). De hecho, cualquier deformación continua de este tipo de representaciones será también una representación del grafo G1, siempre y cuando mantenga las conexiones originales entre vértices. Por otra parte, podemos observar que el grafo G2= ({x, y, z, t}, {xy, xz, xt, yz}), representado en la fi gura 1(c), transmite la misma información combinatoria que G1. Formalmente, decimos que existe un isomorfi smo entre G1 y G2, que es cualquier biyección entre sus vértices que preserve las aristas, por ejemplo: a ↔ x, b ↔ y, c ↔ z, d ↔ t. (a) (b) (c) Fig. 1. Representaciones pictóricas de los grafos (a) G1, (b) G1 y (c) G2. Decimos que dos vértices son adyacentes si están unidos por una arista, y que el grado de un vértice es el número de vértices adyacentes a él. Cuando todos los vértices de un grafo tienen el mismo grado k decimos que dicho grafo es k-regular. Por otra parte, decimos que un grafo G’ es subgrafo de otro grafo G si los vértices y aristas de G’ están contenidos en los vértices y aristas de G, respectivamente (véase fi gura 2). Fig. 2. Algunos subgrafos del grafo G1 Un grafo es: –Bipartito cuando sus vértices pueden dividirse en dos subconjuntos tales que todas las aristas del grafo tienen un vértice en cada uno de estos subconjuntos. –Conexo si cada par de vértices puede unirse mediante una secuencia de vértices adyacentes. –Hamiltoniano si posee una secuencia cerrada de vértices adyacentes que contiene a cada vértice del grafo una y solo una vez. 90 Antonio González, Inés Gallego-Sánchez, José María Gavilán-Izquierdo, María Luz Puertas ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 40-3 (2022), 87-107 –Euleriano si admite una secuencia cerrada de vértices adyacentes que contiene a cada arista una y solo una vez. Se caracterizan por ser aquellos grafos con todos sus vértices de grado par. –Plano si existe alguna representación pictórica de este sin cruces entre sus aristas. Finalmente, existen familias clásicas, como los grafos completos, en los que cada par de vértices está unido por una arista; los ciclos, que son grafos conexos con todos sus vértices de grado 2; los caminos, que son grafos conexos con dos vértices de grado 1 y el resto de grado 2; y los árboles, que son aquellos grafos conexos que no contienen ciclos. En las fi guras 3(a), 3(b) y 3(c) se puede ver un grafo completo de 5 vértices, un ciclo de 8 vértices y un camino de 6 vértices, respectivamente. (a) (b) (c) Fig. 3. Ejemplos de (a) grafo completo, (b) ciclo y (c) camino. El modelo de Van Hiele El modelo de Van Hiele (1986) se estructura en dos partes: los niveles de razonamiento y las fases de aprendizaje. Los primeros describen el grado de complejidad en el razonamiento de un estudiante con respecto a un determinado concepto matemático, mientras que las segundas hacen referencia a cómo puede un profesor ayudar a un estudiante a ir superando los distintos niveles (Jaime y Gutiérrez, 1990). Existen numerosos trabajos dedicados a ambas partes del modelo, tanto estudios que evalúan el razonamiento de los estudiantes para analizar características de los niveles (Gutiérrez y Jaime, 1995; Ma et al., 2015; Mayberry, 1983; Perdikaris, 1997), como artículos que proponen secuencias de enseñanza basadas en dichas fases (Abdullah y Zakaria, 2013; Abu y Abidin, 2013; Aravena et al., 2016). En este trabajo, nos centramos en los niveles de razonamiento, que para el caso geométrico son cinco: –Nivel 1 (visualización). Las fi guras geométricas son percibidas de manera puramente visual y como un todo. Los estudiantes las describen sobre la base de atributos físicos o mediante comparación con objetos cotidianos, y con un lenguaje no matemático. –Nivel 2 (análisis). Viene determinado por el reconocimiento de las partes de las fi guras y sus propiedades, lo cual permite describir las fi guras en términos matemáticos. –Nivel 3 (deducción informal). Se reconocen relaciones entre las propiedades de las fi guras, lo cual pone de manifi esto un cierto manejo de la lógica proposicional que permite hacer clasifi caciones lógicas. –Nivel 4 (deducción formal). Se caracteriza por la capacidad para elaborar demostraciones matemáticas formales y el manejo de defi niciones equivalentes para un mismo concepto geométrico. –Nivel 5 (rigor). Permite comprender, enunciar y comparar resultados en distintos sistemas axiomáticos, además del euclídeo, lo cual supone el máximo grado de razonamiento geométrico. 91 Analizando perfiles de reconocimiento en teoría de grafos ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 40-3 (2022), 87-107 Los niveles de Van Hiele tienen una serie de características generales que los distinguen de niveles propuestos en otros marcos, por ejemplo, los niveles de algebrización que plantean Godino et al. (2014). Específicamente, estas propiedades son: 1) jerarquización y secuencialidad, de manera que cada nivel posee un mayor grado de sofisticación en el razonamiento que el anterior, por lo que un estudiante no puede haber adquirido completamente un nivel sin haber previamente completado la adquisición de los anteriores; 2) especificidad del lenguaje, pues existe una estrecha relación entre los niveles y la forma de expresarse y dar significado a determinado vocabulario; 3) continuidad, de modo que se produce el paso de un nivel a otro de manera gradual, por lo que durante algún tiempo el estudiante se encontrará en un período de transición en el que combinará razonamientos de dos niveles consecutivos (Jaime y Gutiérrez, 1990). Estos niveles, ya sean en geometría o en otros campos de la matemática (Llorens y Pérez-Carreras, 1997; Navarro y Pérez-Carreras, 2006), se describen habitualmente mediante indicadores generales para cada uno de ellos. Sin embargo, Gutiérrez y Jaime (1998) proponen una manera diferente de describirlos en el caso geométrico, a partir de los denominados procesos de razonamiento: reconocimiento, uso de definiciones, formulación de definiciones, clasificación y demostración. Según esta perspectiva, cada nivel se caracteriza por presentar indicadores del grado de habilidad que debe alcanzarse en cada uno de estos procesos. Concretamente, el proceso de reconocimiento en geometría comprende las habilidades de los estudiantes para identificar tipos y familias de figuras geométricas, así como sus partes y propiedades. En el nivel 1, este proceso se manifiesta de un modo puramente visual, de manera que los estudiantes identifican las figuras geométricas por sus características físicas globales; en el nivel 2, el reconocimiento se basa en el análisis de las partes y propiedades matemáticas de las figuras, por lo que se alcanza, así, el máximo grado de habilidad en este proceso. Niveles de reconocimiento en teoría de grafos El reconocimiento en teoría de grafos abarca las habilidades que los estudiantes necesitan para identificar grafos (familias, grafos concretos, subgrafos, etc.), sus propiedades y las relaciones entre estos (González y Gavilán-Izquierdo, 2017). Cabe señalar que estos autores introducen una interpretación de la habilidad matemática de reconocimiento diferente a la habitual en el modelo de Van Hiele para geometría (Gutiérrez y Jaime, 1998; Van Hiele, 1986), que consiste en ampliarla a la identificación de relaciones entre propiedades, pues usualmente este proceso solo se refiere a figuras y sus propiedades. Esta ampliación es necesaria porque en teoría de grafos aparecen muchas situaciones en las que los estudiantes no pueden reconocer una propiedad directamente (ni de forma visual ni a partir de su definición), por lo que tienen que identificarla a partir de otra propiedad con la que esté relacionada. Así, esta interpretación aporta la posibilidad de evaluar una habilidad fundamental en la resolución de numerosos problemas sobre grafos, la cual, de no ser contemplada dentro del proceso de reconocimiento, sería obviada dado que los procesos restantes son difícilmente extensibles a esta. Por tanto, González y Gavilán-Izquierdo (2017), además de proponer un primer nivel de reconocimiento de tipo visual y un segundo nivel de carácter analítico, plantean un tercer nivel de reconocimiento en el que los estudiantes son capaces de reconocer relaciones entre propiedades. Detallamos, a continuación, los indicadores de estos niveles, a los cuales hemos añadido una modificación sobre la capacidad de los estudiantes para realizar traslaciones entre modos de representación, pues hemos detectado durante el pilotaje de este trabajo que esta capacidad se desarrolla parcialmente ya desde el nivel inicial. El reconocimiento del nivel 1 propuesto se basa en el aspecto visual de los grafos, que son percibidos como un todo, siendo sus vértices y aristas los únicos elementos que pueden reconocerse. Los estudiantes que han adquirido este nivel pueden reconocer distintas representaciones para un mismo grafo sobre la base de criterios visuales, y pueden realizar traslaciones entre distintos modos de repre- 92 Antonio González, Inés Gallego-Sánchez, José María Gavilán-Izquierdo, María Luz Puertas ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 40-3 (2022), 87-107 sentación conocidos, siempre y cuando exista un parecido visual entre las representaciones dadas. Por ejemplo, un estudiante podrá reconocer como iguales los grafos representados en las figuras 1(a) y 1(b) porque puede visualizar una deformación continua entre ambas imágenes, pero no razonando sobre la base de propiedades que los caracterizan (lo cual ocurre en el nivel 2). Así, pueden reconocer familias que se distinguen fácilmente por su apariencia visual, como los caminos y los ciclos, aunque pueden experimentar dificultades a la hora de reconocer otras más complejas, como los árboles, que tienen mayor diversidad en los grados de sus vértices y una definición basada en propiedades locales (esto es, asociadas a partes del grafo). En el nivel 1 también pueden reconocerse parcialmente algunas propiedades globales (es decir, asociadas al grafo en su totalidad), dependiendo de la representación concreta dada. En efecto, la conectividad o la planaridad pueden identificarse en muchos casos de manera visual. Por ejemplo, un estudiante puede detectar la conectividad de un grafo sobre la base de que este «sea (o no) de una sola pieza», o la planaridad según «pueda (o no) estirarlo hasta que no se crucen sus aristas». No obstante, la dependencia de las representaciones concretas dadas puede acarrear errores, por ejemplo, al decir que «el grafo de la figura 1(b) no es plano porque tiene cruces entre sus aristas». Los estudiantes de nivel 2 reconocen subgrafos y propiedades locales, lo cual les permite identificar los grafos con independencia de la representación recibida. Por ejemplo, para justificar que el grafo de la figura 1(a) es el mismo que el de la figura 1(b) pueden apoyarse en los grados de sus vértices, en lugar de recurrir a argumentos visuales. El carácter analítico de este nivel posibilita la identificación de nuevas familias de grafos en cualquier modo de representación conocido, y pueden realizar traslaciones entre estos, incluso cuando no existe un parecido visual. En este nivel se da una mejora en el reconocimiento de las propiedades globales, a menudo definidas en términos locales, como ocurre con la conectividad, que se entiende como la propiedad de que cada par de vértices esté conectado por algún subgrafo camino. Además, los estudiantes ya no asocian las propiedades globales a representaciones concretas, sino al propio grafo. Así, la planaridad ya no se decide sobre la base de alguna representación con cruces entre aristas, sino que se busca una representación adecuada o se argumenta por qué no existe. En algunos casos, sin embargo, el reconocimiento no es viable aplicando directamente la definición de una propiedad, sino que requiere la identificación previa de otras propiedades relacionadas, lo cual supone una dificultad en este nivel. Por ejemplo, cuando un estudiante recibe un grafo con un número elevado de vértices y aristas, el estudio del carácter euleriano podría no ser factible buscando una secuencia apropiada de aristas, sino que debería examinarse la paridad de los grados de sus vértices. En el nivel 3 se superan dificultades como la anterior, pues los estudiantes reconocen relaciones entre propiedades, en concordancia con el manejo de la lógica proposicional que se da en este nivel, que permite comprender, además, las limitaciones de algunos modos de representación. Esto se traduce en un reconocimiento más eficiente de propiedades que requieren de la detección previa de otras, como ocurre no solo en el ejemplo del carácter euleriano antes mencionado, sino también con la planaridad. Para estudiar esta propiedad, el alumno puede recurrir a un resultado que afirma que los grafos planos no pueden contener ni al grafo completo de cinco vértices ni al grafo denotado como K3,3 (véase figura 4). Así, los estudiantes pueden justificar que un grafo es plano si tiene menos de cinco vértices, o que no es plano localizando algún subgrafo completo de cinco vértices o un subgrafo isomorfo a K3,3. Igualmente, pueden asimilar que los subgrafos heredan algunas propiedades de los grafos que los contienen, como ocurre con el carácter bipartito. 93 Analizando perfi les de reconocimiento en teoría de grafos ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 40-3 (2022), 87-107 Fig. 4. Representación del grafo K3,3. Características de los niveles de reconocimiento en teoría de grafos Los tres niveles de reconocimiento en teoría de grafos tienen el mismo carácter que los tres primeros niveles de Van Hiele de razonamiento geométrico: un primer nivel visual, seguido de un segundo de carácter analítico y un tercer nivel de tipo deductivo informal. De hecho, algunos de los descriptores de los niveles de reconocimiento para grafos son análogos a los descriptores para el reconocimiento de fi guras geométricas, siempre que se refi eran a aspectos que pueden traducirse de la geometría a la teoría de grafos, en coherencia con las similitudes señaladas sobre ambos objetos matemáticos. No obstante, las particularidades de los grafos que no pueden inferirse desde la geometría dan lugar a descriptores de los niveles de reconocimiento para grafos sin análogos en el caso geométrico: reconocimiento parcial de algunas propiedades globales de los grafos, reconocimiento de grafos con independencia de la representación dada, deducción de unas propiedades a partir de otras, etc. Es importante destacar que los descriptores propuestos para estos niveles de reconocimiento en teoría de grafos cumplen las dos primeras características mencionadas anteriormente de los niveles de Van Hiele. Por una parte, presentan una estructura jerárquica y secuencial, pues el reconocimiento de relaciones entre propiedades (nivel 3) no puede concebirse sin un reconocimiento aislado de estas propiedades (nivel 2), que a su vez requieren del previo reconocimiento del grafo como un todo (nivel 1). Además, entre los indicadores del nivel 1 y 2 hay algunos que se refi eren a destrezas que los estudiantes no poseen todavía explícitamente, pero que se desarrollarán en el nivel subsiguiente: identifi cación de propiedades (nivel 1) y detección de relaciones entre estas (nivel 2). Por otra parte, la percepción de los grafos que se describe en cada nivel implica necesariamente un lenguaje distinto: el vocabulario de los estudiantes del nivel 1 abarca términos que no necesariamente son propios de la teoría de grafos: «el grafo puede estirarse», «tiene una sola pieza», «tiene forma de», etc.; en el nivel 2, las palabras que se emplean sí son propias del vocabulario de los grafos: «los vértices tienen grado 2», «tiene tantos vértices como aristas», etc.; el lenguaje del nivel 3 enlaza los vocablos del nivel 2 mediante conectores lógicos: «implica», «entonces», «necesariamente», etc. Además de esta comprobación a nivel teórico de ambas características, es necesario dar soporte empírico a estas, así como a la tercera característica, continuidad, la cual no puede deducirse de forma teórica a partir de los descriptores propuestos. Así, alcanzar el objetivo planteado en este trabajo implica necesariamente encontrar indicios empíricos de las tres características, de manera que los niveles que estamos estudiando puedan considerarse efectivamente desde la perspectiva del modelo de Van Hiele. 94 Antonio González, Inés Gallego-Sánchez, José María Gavilán-Izquierdo, María Luz Puertas ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 40-3 (2022), 87-107 DESARROLLO METODOLÓGICO Diseño del instrumento de recogida de datos El instrumento que hemos diseñado para evaluar el proceso de reconocimiento en teoría de grafos es un cuestionario con seis tareas que permiten detectar indicadores de los niveles propuestos por González y Gavilán-Izquierdo (2017) con la modificación que hemos comentado anteriormente. Para ello, nos basamos en las tareas de reconocimiento de figuras geométricas del cuestionario que proponen Gutiérrez y Jaime (1998), compuesto por preguntas de respuesta libre, que permiten a los estudiantes una mayor oportunidad de mostrar su nivel de razonamiento que si fueran preguntas de opción múltiple. En una primera versión, nuestro cuestionario fue validado por cuatro doctores en didáctica de las matemáticas y tres doctores en teoría de grafos (conocedores del modelo de Van Hiele), todos ajenos a la investigación, que tuvieron en cuenta que todos los niveles de reconocimiento fueran evaluados (suficiencia), que las tareas se comprendieran sintáctica y semánticamente (claridad), que estuvieran vinculados con las habilidades que evaluar, o sea, reconocimiento de grafos, de propiedades o de relaciones (coherencia), y que las tareas fueran todas necesarias y ninguna pudiera ser eliminada (relevancia). Así, los expertos fueron encuestados por cada uno de estos aspectos, y debían responder si el cuestionario los cubría o no, por lo que se daba como válido tras haber obtenido respuestas afirmativas en cada aspecto por parte de todos los expertos. Posteriormente, este fue pilotado con estudiantes de la asignatura Lógica y matemática discreta, del grado en Ingeniería del Software de la Universidad Politécnica de Madrid. Este pilotaje nos permitió modificar algunas tareas del cuestionario inicial para así obtener una versión definitiva del instrumento, que fue igualmente validado por los mismos expertos, que coincidían de nuevo en que cubría los aspectos mencionados. Además, hemos estudiado la escalabilidad del cuestionario, es decir, en qué medida las respuestas obtenidas poseen una estructura escalonada, lo que se traduce en nuestro contexto en analizar hasta qué punto los estudiantes poseen, para cada nivel, un grado de adquisición mayor o igual al de los niveles superiores. Para ello, hemos calculado el coeficiente de Guttman, que mide la escalabilidad del cuestionario considerando como errores los casos en que un estudiante presenta más adquisición de un cierto nivel que de alguno de los niveles inferiores, mostrando cuánto se adecuan las respuestas a la estructura jerárquica de los niveles de Van Hiele. Así, el valor de 0,96 obtenido para este coeficiente supone otro indicador de la fiabilidad del instrumento diseñado al ser superior a 0,6 (Menzel, 1953). El cuestionario consta en su totalidad de seis tareas agrupadas en tres partes que evalúan respectivamente las tres habilidades que comprenden el proceso de reconocimiento en teoría de grafos: identificación de grafos (tareas 1 y 2), propiedades (tareas 3 y 4) y relaciones entre propiedades (tareas 5 y 6). Los conceptos involucrados en cada tarea, todos conocidos por los estudiantes, han sido seleccionados de modo que permitan la posibilidad de ser identificados de distintas formas, según los niveles que evaluar por la tarea en cuestión (véase tabla 1): visualmente (nivel 1), analíticamente (nivel 2) o mediante deducción de propiedades (nivel 3). Nótese que, aunque algún estudiante pudiera activar puntualmente otros procesos, además del de reconocimiento, a la hora de responder a las tareas, en nuestro análisis de las respuestas solo evaluamos los indicadores que se refieren al proceso de reconocimiento descritos en el marco teórico, tal y como explicamos a continuación. 95 Analizando perfiles de reconocimiento en teoría de grafos ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 40-3 (2022), 87-107 Tabla 1. Objetos de reconocimiento y niveles que evalúa cada tarea Tarea Evalúa el reconocimiento sobre Niveles que evalúa 1 Grafos isomorfos 1 2 2 Familias de grafos (caminos y ciclos) 1 2 3 Propiedades (planaridad) 1 2 4 Propiedades (conectividad) 1 2 5 Relaciones entre propiedades 1 2 3 6 Relaciones entre propiedades 2 3 La primera parte del cuestionario (figura 5) atañe al reconocimiento de grafos. Concretamente, la tarea 1 consiste en reconocer parejas de representaciones de grafos isomorfos (con o sin parecido visual entre ellas), en algunos casos dados en distintos modos de representación; la tarea 2 requiere del reconocimiento de caminos y ciclos en distintos modos de representación. Así, la tarea 1 permite evaluar los niveles 1 y 2, dependiendo de si las justificaciones dadas o bien están basadas en el aspecto visual de las representaciones dadas (forma, modo de representación, etc.) o bien poseen un carácter analítico, que alude a la existencia de un isomorfismo o de propiedades comunes. Igualmente, la tarea 2 puede ser respondida por alumnos de estos dos niveles, y se espera que los de nivel 1 se fijen en aspectos visuales de las representaciones de caminos y ciclos que han visto anteriormente, y que los de nivel 2 sean capaces de distinguir estas familias mediante propiedades locales (como el grado) o globales (como la conectividad). Nótese que la variedad de modos de representación que intervienen en estas tareas ha sido seleccionada procurando que hubiera tanto de naturaleza gráfica como numérico-simbólica, así como que resultaran familiares a los estudiantes. De hecho, al tratarse de un cuestionario escrito en papel, hemos priorizado aquellos modos que más habitualmente han sido trabajados en las clases teóricas por los estudiantes, y hemos evitado modos que han sido empleados más frecuentemente en el laboratorio informático: matricial, listas de adyacencia, etc. 102 Antonio González, Inés Gallego-Sánchez, José María Gavilán-Izquierdo, María Luz Puertas ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 40-3 (2022), 87-107 RESULTADOS Todos los participantes en el estudio presentan una adquisición al menos intermedia (considerando el orden nula ≤ baja ≤ intermedia ≤ alta ≤ completa) del nivel 1 (véase tabla 4) suficiente para poder reconocer grafos en distintos modos de representación por su apariencia visual, así como algunas propiedades globales, aunque condicionados por las representaciones concretas dadas. Respecto al nivel 2, más del 30% de los estudiantes manifiestan adquisición nula o baja del nivel, lo que denota la ausencia de destrezas propias de este nivel, como son el uso adecuado de propiedades locales y la independencia de la representación dada, ambas necesarias para distinguir grafos en cualquier modo de representación y para detectar correctamente propiedades globales. En cuanto al nivel 3, más del 60% de los estudiantes muestra adquisición nula o baja, lo cual supone un impedimento a la hora de reconocer propiedades de manera indirecta, es decir, detectando previamente otras que le habrían proporcionado un reconocimiento más eficiente. Tabla 4. Número de estudiantes que alcanza cada grado de adquisición para cada nivel Adquisición Nivel Nula Baja Intermedia Alta Completa 1 0 0 7 19 33 2 6 16 15 18 4 3 26 10 15 6 2 El 90% de los estudiantes posee vectores cuantitativos de los grados de adquisición con las componentes en orden decreciente para los tres niveles, mientras que el 10% restante muestra más adquisición de un determinado nivel que de alguno de los niveles inferiores (véase tabla 5). Concretamente, todos estos estudiantes tienen más adquisición del nivel 3 que del nivel 2 en términos cuantitativos, aunque los vectores cualitativos de dos de ellos, S36 y S38, muestran adquisiciones similares de ambos niveles. El caso de los estudiantes S52 y S55 es parecido, pues si solo hubieran obtenido una unidad menos en sus vectores cuantitativos, los vectores cualitativos correspondientes también mostrarían adquisiciones similares de los niveles 2 y 3, de acuerdo con la elección de los límites de los intervalos de la tabla 2 propuestos por Gutiérrez et al. (1991). Tabla 5. Estudiantes cuyos vectores cuantitativos de los grados de adquisición no tienen sus componentes en orden decreciente Grados de adquisición Estudiante Vector cuantitativo Vector cualitativo S36 (100, 73, 78) (completa, alta, alta) S38 (95, 67, 80) (completa, alta, alta) S39 (100, 67, 88) (completa, alta, completa) S40 (85, 50, 90) (completa, intermedia, completa) S52 (91, 38, 40) (completa, baja, intermedia) S55 (43, 20, 40) (intermedia, baja, intermedia) 103 Analizando perfiles de reconocimiento en teoría de grafos ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 40-3 (2022), 87-107 Los estudiantes que participaron en el estudio han sido agrupados en ocho perfiles según los grados de adquisición de los tres niveles evaluados. De este modo, aparecen ordenados en la tabla 6, desde el perfil P1, con una adquisición completa de los dos primeros niveles y al menos intermedia del tercero, hasta el perfil P8, con una adquisición incompleta incluso del primer nivel. Cabe señalar que solo cuatro de los estudiantes, S39, S40, S52 y S55, no encajan exactamente en el perfil asignado, en todos los casos por tener más adquisición del nivel 3 que el resto de los estudiantes de su perfil. Tabla 6. Perfiles de reconocimiento obtenidos en el estudio Adquisición Perfil Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 Número de estudiantes P1 Completa Completa Alta o intermedia 4 P2 Completa Alta Alta 4* P3 Completa Alta ≤ Intermedia 10 P4 Completa Intermedia ≤ Baja 12* P5 Completa ≤ Baja Nula 3* P6 Alta Alta Intermedia 4 P7 Alta Intermedia ≤ Baja 3 P8 Alta o intermedia ≤ Baja Nula 19* *Uno de los estudiantes no verifica la condición de nivel 3 DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES Los resultados obtenidos dan soporte a la validez de la propuesta de niveles de reconocimiento en teoría de grafos desde la perspectiva del modelo de Van Hiele (González y Gavilán-Izquierdo, 2017), con la modificación mencionada en el marco teórico de este trabajo. En efecto, la variedad de perfiles obtenidos, desde los puramente visuales (P5 y P8) hasta aquellos con capacidad de deducción de propiedades (P1 y P2), proviene de una diversidad en las respuestas de los estudiantes que nos ha permitido detectar indicadores de los tres niveles propuestos. De hecho, esta diversidad de respuestas nos ha llevado también a poder comprobar empíricamente que los niveles de reconocimiento propuestos cumplen una de las características esenciales de los niveles de Van Hiele: la especificidad del lenguaje. Concretamente, es destacable que hayamos obtenido respuestas de tipo visual (nivel 1), con un vocabulario no necesariamente propio de la teoría de grafos (ni tan siquiera de la matemática), en contraste con las respuestas que muestran un reconocimiento de tipo analítico (nivel 2) o deductivo informal (nivel 3), que sí son esperables en tanto que vienen dadas por el lenguaje matemático que requiere la asignatura que cursaban los estudiantes. Respecto a la característica de jerarquía y secuencialidad, los resultados generales obtenidos por el conjunto de estudiantes revelan que cuanto mayor es el nivel, menor es el grado de adquisición, lo cual supone un factor de validación global para esta característica (Gutiérrez et al., 1991). Asimismo, el elevado porcentaje de estudiantes que tienen asignados vectores cuantitativos con las componentes en orden decreciente supone un factor de validación local. Más aún, los vectores cualitativos de los perfiles P1, P4, P5 y P8 se adecuan estrictamente al carácter jerárquico de los niveles de Van Hiele, en el sentido de que aquellos que tienen una adquisición al menos intermedia de un nivel tienen adquisición completa de los niveles anteriores (salvo que se trate del nivel 1, que no tiene niveles precedentes). Sin embargo, los estudiantes de los perfiles restantes, P2, P3, P6 y P7, poseen al menos dos niveles consecutivos con adqui- 104 Antonio González, Inés Gallego-Sánchez, José María Gavilán-Izquierdo, María Luz Puertas ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 40-3 (2022), 87-107 sición intermedia o alta, lo cual podría hacernos pensar que contradicen el carácter jerárquico de los niveles. Sin embargo, existen otros estudios (Gutiérrez y Jaime, 1995; Gutiérrez et al., 1991) con resultados similares a los nuestros, pero para el caso geométrico, en los que se interpretan precisamente como indicio de que los estudiantes pueden desarrollar dos niveles consecutivos de razonamiento al mismo tiempo, aunque generalmente poseen más adquisición del nivel inferior. Así, este hecho da apoyo empírico a la tercera característica de los niveles de Van Hiele, continuidad, que viene también respaldada globalmente por la variedad de grados de adquisición obtenidos en los resultados generales para cada nivel. Los únicos casos detectados de estudiantes que no se adaptan a la característica jerárquica, con más adquisición de un determinado nivel que de alguno de los niveles inferiores, presentan una frecuencia similar a la que han registrado otros estudios (Abu y Abidin, 2013; Gutiérrez et al., 1991; Ma et al., 2015; Mayberry, 1983). En nuestro caso, estos estudiantes poseen más adquisición del nivel 3 que del nivel 2, fenómeno que también ha aparecido en otros trabajos que han abordado el caso geométrico (Perdikaris, 1997). No obstante, es necesario explorar en futuros trabajos si estos resultados anómalos podrían estar motivados por el hecho de que el nivel 3 haya sido evaluado por menos tareas del cuestionario que los otros dos niveles. Igualmente, podríamos indagar en otras posibles fuentes de distorsión, como la variabilidad del nivel de razonamiento del estudiante en función del concepto tratado (Ma et al., 2015; Mayberry, 1983), el estilo cognitivo particular de cada estudiante (Perdikaris, 1997), el aprendizaje memorístico (Mayberry, 1983) o el tipo de enseñanza recibida (Gutiérrez et al., 1991; Gutiérrez y Jaime, 1995). Los resultados de este trabajo, además de permitirnos cumplir con nuestro objetivo, revelan que la mayoría de los estudiantes no poseen las habilidades de reconocimiento suficientes para realizar las tareas que requiere una asignatura sobre grafos de nivel universitario destinada a ingenieros informáticos. Dichas tareas demandan la comprensión y realización de demostraciones de enunciados matemáticos, que necesitan del reconocimiento de propiedades (nivel 2) y de las relaciones entre estas (nivel 3). Por tanto, estamos ante un caso de estudiantes que razonan en un determinado nivel pero que reciben una enseñanza que demanda un nivel superior, lo cual señala la importancia de dar más protagonismo al proceso de reconocimiento en la enseñanza de la teoría de grafos, así como la utilidad de instruir a los docentes de esta materia en el modelo de Van Hiele, de manera que puedan tener conocimiento del nivel de razonamiento de sus estudiantes y así poder impartir una docencia acorde con sus capacidades. Nuestro estudio constituye, así, un aporte a las investigaciones educativas en matemática discreta, concretamente sobre el aprendizaje de la teoría de grafos, cuya ausencia en la literatura ya ha sido señalada al inicio del trabajo (Hazzan y Hadar, 2005; Medová et al., 2019). Específicamente, no solo hemos aportado indicadores de niveles de reconocimiento validados empíricamente, sino también el diseño de un instrumento de evaluación para un proceso que es esencial en la resolución de problemas sobre grafos. Asimismo, hemos extendido el uso del método de cálculo de los grados de adquisición (Gutiérrez et al., 1991), empleado solo en el campo de la geometría, al ámbito de la teoría de grafos. Finalmente, las evidencias obtenidas en el trabajo sobre el proceso de reconocimiento en teoría de grafos en particular son indicios de la viabilidad de ampliar el alcance del modelo de Van Hiele al ámbito de la teoría de grafos en general. Así, el siguiente paso natural es explorar los restantes procesos de razonamiento extrapolados a este campo de la matemática. De hecho, el proyecto que hemos planteado a largo plazo incluye este objetivo, así como abordar aspectos de enseñanza para comprobar si, como muestran numerosos trabajos (Abdullah y Zakaria, 2013; Abu y Abidin, 2013; Aravena et al., 2016), la secuenciación de tareas según las fases del modelo de Van Hiele propicia una mejor adquisición de los niveles con respecto a la enseñanza tradicional. El uso del modelo de Van Hiele en teoría de grafos respondería, así, a la demanda de desarrollar marcos teóricos para investigaciones en matemática discreta, como señalan Ouvrier-Buffet et al. (2018), lo que abre la puerta a numerosas vías de exploración, dado que es un modelo consolidado sobre el que se ha investigado intensamente en las últimas décadas. 105 Analizando perfiles de reconocimiento en teoría de grafos ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 40-3 (2022), 87-107 REFERENCIAS Abdullah, A. H. y Zakaria, E. (2013). 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This proposal, introduced by González and Gavilán-Izquierdo (2017), is based on the descriptors of Van Hiele’s levels in geometry, the analogy between graphs and geometric figures, a review of research on teaching and learning graph theory, and the teaching experience of the authors in this subject. Specifically, three levels of development for the recognition process in graph theory are proposed. These levels have the same nature as the first three Van Hiele’s levels of geometric reasoning: a first level of visual character, followed by an analytic one, and a third level with an informal deductive character. The descriptors proposed for these three levels of recognition in graph theory fulfil two of the characteristics of Van Hiele’s levels: hierarchy and sequence and language specificity. It should be noted that the descriptors referring to aspects that can be extrapolated from geometry to graph theory are analogous to the descriptors for the recognition levels of geometric figures, in coherence with the similarities between both mathematical objects. However, the particularities of graphs that cannot be inferred from geometry give rise to descriptors without analogues in the geometric case, such as partial recognition of some global properties of graphs, recognition of graphs independently of the given representation, deduction of some properties from others, etc. Thus, the recognition process in graph theory consists of three levels, as opposed to the geometric case, with two levels of recognition. To empirically test this proposal of recognition levels for graphs, a questionnaire with six tasks is designed. This questionnaire makes it possible to detect all indicators of the recognition levels theoretically proposed. The participants in our study are 59 students in their second year of the degree in Computer Science-Information Technology of the University of Seville. The data obtained are analyzed by means of an adaptation of the calculation method of the degrees of acquisition in Van Hiele’s levels in geometry (Gutiérrez et al., 1991). This method generates, for each student, the percentages of acquisition of each level, which are distributed in five qualitatively different intervals. The results show that all participants had at least an intermediate acquisition of the first level. Regarding level 2, more than 30% of the students show low or no acquisition, denoting the absence of the main skills of this level. As for level 3, more than 60% of the students show low or no acquisition. Additionally, eight different profiles of recognition according to the degrees of acquisition of the levels evaluated are identified. Thisvariety of profiles provides empirical evidence on the three levels of recognition proposed for graphs, specifically, on the three essential characteristics of Van Hiele’s levels: hierarchy and sequence, language specificity, and continuity. Among the general conclusions that can be drawn from our study, the viability of the extension of Van Hiele’s model in graph theory stands out, thus suggesting further research on the rest of the reasoning processes: use and formulation of definitions, classification, and proof. Also, this paper shows the potential to extrapolate the computation method of the degrees of acquisition, used only in the field of geometry so far, to the field of graph theory. Finally, our study constitutes a contribution to educational research on discrete mathematics, specifically, on the learning of graph theory, whose absence in the literature has already been pointed out by several authors.