Un modelo de alerta para la gestión del riesgo en la emisión de opciones call sobre el IBEX-35

UN MODELO DE ALERTA PARA LA GESTIÓN DEL RIESGO EN LA EMISIÓN DE OPCIONES CALL SOBRE EL IBEX-35 Juan José García Machado, [email protected], Universidad de Huelva Juan José de la Vega Jiménez, [email protected], Universidad de Huelva Juan Carlos Roca Pulido, [email protected], Universidad de Huelva RESUMEN En este trabajo se analizan las posibilidades de formación de carteras réplicas y el establecimiento de estrategias de cobertura basadas en la delta neutral. La idea consiste en estudiar el grado de exposición al riesgo de los emisores de opciones call sobre el índice IBEX-35, intentando diseñar un modelo que lo recoja, e idear un sistema o indicador que dé la voz de alerta cuando el riesgo sea grande. Tras la simulación por ordenador de los resultados de pérdidas y ganancias de las distintas estrategias de cobertura, con ayuda de funciones matemáticas primarias y transformadas y de un análisis de filtros para los parámetros delta, gamma y gamma modificada, proponemos, y contrastamos, un modelo de alerta de utilidad, que sirve como herramienta de gestión del riesgo a los emisores de opciones, basado en una estrategia de cobertura dinámica con cartera réplica. PALABRAS CLAVE: Riesgo de mercado, gestión del riesgo, replicación de opciones, carteras réplicas, coberturas neutrales. A MODEL FOR RISK ALERT IN THE MANAGEMENT OF CALL OPTION ISSUES ON THE IBEX-35 SPANISH INDEX ABSTRACT This paper analyses the possibilities of forming replicating portfolio and establishing a hedge strategy based on neutral delta. The idea is based on a study of the degree of risk to which the issuers of call options on the IBEX- 35 stock index are exposed. The goal is to design a model that alerts issuers to an increase in risk. Several useful indicators based on this model are tested. After a computer simulation of gains and losses of different hedge strategies, with primary and transformed mathematics equations, and a filter analysis to delta, gamma and modified gamma parameters, we compare the results obtained. Finally, we recommend a valuable tool for managing the risk of call options issues as a dynamic hedge strategy with replicating portfolio. KEYWORDS: Market risk, risk management, replicating options, replicating portfolio, neutral delta strategies. 1 UN MODELO DE ALERTA PARA LA GESTIÓN DEL RIESGO EN LA EMISIÓN DE OPCIONES CALL SOBRE EL IBEX-35 1. INTRODUCCIÓN Este trabajo se encuadra en un proyecto de investigación más amplio del que forma parte y cuya realización ha sido posible gracias a la colaboración de la CNMV, la Bolsa de Madrid y la Sociedad de Bolsas. La idea del mismo consiste en estudiar la volatilidad aplicable y el grado de exposición al riesgo de los emisores de opciones, intentando diseñar un modelo que lo recoja, e idear un sistema o indicador que dé la voz de alerta cuando el riesgo sea grande, además de probar y proponer el mejor instrumento o estrategia de cobertura, para dichos emisores, entre todos los posibles. En éste, se recoge la última parte de dicha investigación, que hemos intentado resumir y sistematizar, y complementa a otros dos titulados «Replicating Options in Spanish Financial Markets1» y «Arbitrage, Volatility, and Pricing Options on IBEX-35 Spanish Index: An Empirical Examination2», por lo que no vamos a repetir los objetivos, hipótesis, metodología, itinerario de la investigación, background, y otros aspectos tratados en los mismos, y que son aplicables a éste trabajo, pues todos parten del mismo «tronco común». Con lo analizado en los referidos papers, hemos dado respuesta a muchas de las cuestiones y objetivos que nos planteábamos al comienzo de esta investigación y, pensamos que estamos ya en condiciones de atacar uno de los objetivos principales de la misma, cual es, el de diseñar un modelo que recoja el grado de exposición al riesgo para los emisores de opciones y sirva de gestión del mismo, dando la voz de alerta cuando el riesgo sea grande. A ello, dedicaremos los siguientes epígrafes. 2. DISEÑO DE UN MODELO DE GESTIÓN DEL RIESGO Para comenzar, basándonos en la información contenida en el trabajo dedicado a la replicación de opciones (simulaciones de primas teóricas, parámetros de sensibilidad, carteras réplicas de las distintas estrategias de cobertura, etc.), hemos construido dos nuevas hojas de cálculo, una para la volatilidad fija y otra para la móvil. A éstas, las hemos denominado «modelo de alerta para opciones call a tres meses con cobertura dinámica II», cubriéndose con el índice al contado, ya que era la mejor estrategia de cobertura delta neutral con carteras réplicas, según los diferentes parámetros y criterios de selección utilizados. La idea de hacerlo para los dos tipos de volatilidades consideradas, se debe a necesidad de contrastar los resultados de ambas entre sí y con los que se obtuvieron para cada una con la estrategia elegida. No obstante, para no ser repetitivos, explicaremos cómo hemos ido construyendo el modelo de alerta sólo para la volatilidad móvil, ya que, en el caso de la fija es exactamente igual. En aras de sistematizar la explicación y compresión del modelo, lo iremos comentando según los pasos que hemos seguido en su construcción. 1 Dicho trabajo fue presentado en el XVI Congreso Internacional de la AEDEM celebrado en Cracovia (Polonia) del 3 al 5 de septiembre de 2007. Véase: García Machado et al. [2007: 511-526] 2 Presentado en el XVII Congreso Internacional de la AEDEM celebrado en Salvador de Bahía (Brasil) del 2 al 4 de septiembre de 2008. Véase: García Machado et al. [2008: 69-83] 2 2.1. Variables de partida La tabla 1 muestra, para los primeros días del período de diez años estudiado, una parte de la hoja de cálculo que hemos utilizado para recoger los datos necesarios para plantear un modelo de alerta para la gestión del riesgo. En ella, se puede apreciar como las variables de las que hemos partido para diseñar un posible modelo de gestión del riesgo, han sido: la cotización del índice IBEX-35 al contado para cada día de negociación, la volatilidad histórica móvil a tres meses de dicho índice, el tiempo hasta el vencimiento expresado en años, el parámetro «d1» de la fórmula de Black-Scholes, la prima teórica y los parámetros delta y gamma, obtenidos como la derivada primera y segunda, respectivamente, de la prima con respecto al precio del activo subyacente (en este caso, la cotización del índice al contado). Asimismo, para comparar los resultados que se obtengan con el nuevo modelo diseñado, también se recoge la situación en balance de la estrategia de cobertura dinámica II al contado con volatilidad móvil3. TABLA 1 MODELO DE ALERTA PARA OPCIONES CALL A 3 MESES SOBRE EL IBEX-35 CON VOLATILIDAD MÓVIL (PUNTO DE VISTA DEL EMISOR) Móvil tDINÁMICA II V. MÓVIL Fecha Ibex-35 Ctdo. Volatilidad 3m Días/365 d1 Prima Tca. Delta Gamma Situac. Balance 22-jun-92 2643,92 11,48% 0,24109589041 0,8344603625 134,79 0,80 0,0019 0,00 23-jun-92 2620,14 11,52% 0,23835616438 0,669778594237 115,66 0,75 0,0022 -0,53 24-jun-92 2575,38 12,03% 0,23561643836 0,346279180414 85,99 0,64 0,0025 -5,01 25-jun-92 2591,78 12,00% 0,23287671233 0,453069679114 95,79 0,67 0,0024 -4,92 26-jun-92 2609,65 12,02% 0,2301369863 0,568202213375 107,44 0,72 0,0023 -5,09 29-jun-92 2564,52 12,49% 0,22191780822 0,245110062326 77,38 0,60 0,0026 -7,91 30-jun-92 2553,82 12,51% 0,21917808219 0,169025700344 70,43 0,57 0,0026 -7,85 01-jul-92 2521,46 12,77% 0,21643835616 -0,05235587332 53,92 0,48 0,0027 -10,18 02-jul-92 2523,15 12,63% 0,21369863014 -0,04806457991 53,37 0,48 0,0027 -9,21 03-jul-92 2556,27 12,89% 0,21095890411 0,168152164233 71,15 0,57 0,0026 -11,48 06-jul-92 2528,53 12,98% 0,20273972603 -0,03480098013 54,44 0,49 0,0027 -10,97 07-jul-92 2527,16 12,94% 0,2 -0,05044468397 52,82 0,48 0,0027 -10,43 08-jul-92 2496,83 13,16% 0,19726027397 -0,26160511106 39,76 0,40 0,0026 -12,33 09-jul-92 2523,2 13,10% 0,19452054795 -0,08906407487 50,12 0,46 0,0027 -12,56 10-jul-92 2518,32 13,10% 0,19178082192 -0,12953417785 47,13 0,45 0,0027 -12,23 13-jul-92 2520,65 12,75% 0,18356164384 -0,13973998776 44,41 0,44 0,0029 -8,84 14-jul-92 2506,15 12,67% 0,18082191781 -0,25466712919 37,26 0,40 0,0029 -8,52 15-jul-92 2459,4 13,19% 0,17808219178 -0,58915968309 22,84 0,28 0,0025 -13,11 16-jul-92 2427,63 13,24% 0,17534246575 -0,83146037613 14,90 0,20 0,0021 -14,23 17-jul-92 2361,77 14,27% 0,17260273973 -1,24107715048 7,04 0,11 0,0013 -19,90 20-jul-92 2291,09 15,51% 0,16438356164 -1,66256891348 2,82 0,05 0,0007 -23,36 21-jul-92 2325,19 15,74% 0,16164383562 -1,42148762981 5,02 0,08 0,0010 -23,96 22-jul-92 2273,45 16,25% 0,15890410959 -1,73962994304 2,39 0,04 0,0006 -25,42 23-jul-92 2252,74 16,35% 0,15616438356 -1,88559165797 1,63 0,03 0,0005 -25,55 24-jul-92 2246,06 16,35% 0,15342465753 -1,95308624028 1,35 0,03 0,0004 -25,50 27-jul-92 2227,15 16,44% 0,14520547945 -2,1496621853 0,77 0,02 0,0003 -25,43 28-jul-92 2222,87 16,44% 0,14246575342 -2,20745916976 0,65 0,01 0,0003 -25,39 29-jul-92 2279,2 17,16% 0,1397260274 -1,74831574447 2,32 0,04 0,0006 -26,32 30-jul-92 2271,31 17,18% 0,13698630137 -1,82459767393 1,89 0,03 0,0005 -26,25 31-jul-92 2289,85 17,25% 0,13424657534 -1,71150613761 2,52 0,04 0,0006 -26,28 03-ago-92 2289,59 17,24% 0,12602739726 -1,78899894622 2,01 0,04 0,0006 -25,83 04-ago-92 2310,37 17,30% 0,12328767123 -1,65972665788 2,77 0,05 0,0007 -25,86 05-ago-92 2309,42 17,09% 0,12054794521 -1,71374322672 2,37 0,04 0,0007 -25,56 06-ago-92 2304,99 16,77% 0,11780821918 -1,80712700938 1,82 0,04 0,0006 -25,25 07-ago-92 2284,61 16,84% 0,11506849315 -1,98276913626 1,14 0,02 0,0004 -25,33 2.2. Generación de variables transformadas Las pesquisas se centraron inicialmente en buscar alguna relación, o pauta de comportamiento, entre la cotización del índice al contado, la prima teórica y las pérdidas y ganancias de la estrategia elegida. Como la correlación entre los resultados de pérdidas y ganancias con los parámetros delta y gamma eran muy bajos (del 3 La que habíamos seleccionado porque era la que presentaba los mejores resultados de todas las carteras réplicas. 3 14% y del 5%, respectivamente), pensamos en calcularlos de modo discreto, esto es, como las variaciones relativas. En este caso, las correlaciones bajaron aún más, a un 1% y 2% respectivamente. Con ello, nos dimos cuenta de que éste no era el camino. A continuación, probamos con variables transformadas de las que ya teníamos. Empezamos por calcular la primera diferencia de gamma, y como los valores eran infinitesimales, decidimos multiplicarlo por una constante de valor 1.000: ( ) (1) 1 1000 tt−− Γ=Γ−Γ∗ La idea era encontrar si una variación significativa en la gamma era indicativa de un cambio o salto cuantitativo en la situación de balance. En este caso, la correlación fue de un -1% y continuamos probando con otras variables transformadas. Pensamos que la tasa de variación continua de gamma (en logaritmos neperianos), podría ser indicativa de lo que andábamos buscado. Así, hicimos: 1 ln t transf t − Γ Γ= Γ Y, probamos también con la función exponencial: 1 ' t t transf e− ⎛⎞ Γ ⎜⎟ ⎜⎟ Γ ⎝⎠ Γ= Para estas dos variables transformadas, las correlaciones con los resultados de pérdidas y ganancias eran también muy bajos, del -2% y -5% respectivamente, lo que nos mostraba su independencia con éstos. Dado que los resultados que íbamos obteniendo, probando con diferentes funciones matemáticas para las variables transformadas de gamma, no eran significativos, decidimos abandonar esta línea y replantearnos el camino de nuestra investigación. 2.3. Planteamiento de un modelo de total aversión al riesgo Basándonos en lo comentado anteriormente, supongamos un emisor de opciones que, en cuanto aparecen las primeras pérdidas en su situación de balance, decidiera cerrar sus posiciones. Se trataría de un hipotético emisor al que le aterra el riesgo, y ya sabemos que, aunque establezca una estrategia de cobertura delta neutral con ajustes diarios mediante carteras réplica (cobertura dinámica II), existe una probabilidad de pérdidas del 35,90%. Su actuación sería la siguiente: $ Mientras que su posición en balance sea positiva, es decir, tenga beneficios, mantendrá sus posiciones abiertas de un día para otro. $ En caso contrario, nada más que aparezcan las primeras pérdidas en un día, cerrará todas sus posiciones hasta el vencimiento y asumirá, únicamente, las pérdidas de ese día. Esta actuación es fácilmente trasladable a un modelo en hoja de cálculo, y eso es lo que hemos programado en Lotus SmartSuite 1-2-3, y le hemos denominado «modelo 1». La correlación de los resultados de este modelo 1 con los de pérdidas y ganancias de la estrategia de cobertura dinámica II con volatilidad móvil4 es ya del 46,70% 4 A partir de aquí, pasamos a denominarlo «modelo 0» y «modelo 0 bis», recogiendo el primero los resultados por vencimientos trimestrales, y el segundo, los diarios. 4 (y del 43,10% con el modelo 0 bis). Sin embargo, al analizar las series, nos dimos cuenta de un «pequeño» inconveniente, al liquidar las posiciones ante las primeras pérdidas, se evitaba que éstas aumentasen, pero se renunciaba a una posible recuperación en el resultado, es decir, que las pérdidas se tornarán en ganancias o de que fueran menores. En la figura 1 y en la tabla 2 ilustramos los resultados de esta estrategia recogida en el modelo 1. Call 2600 Vctº 18/09/92 Call 2300 Vctº 18/12/92 Call 2600 Vctº 18/03/93 Call 2600 Vctº 18/06/93 Call 3000 Vctº 17/09/93 Call 3000 Vctº 17/12/93 Call 3500 Vctº 18/03/94 Call 3650 Vctº 17/06/94 Call 3300 Vctº 16/09/94 Call 3200 Vctº 16/12/94 Call 3200 Vctº 17/03/95 Call 3050 Vctº 16/06/95 Call 3250 Vctº 15/09/95 Call 3500 Vctº 15/12/95 Call 3550 Vctº 15/03/96 Call 3700 Vctº 21/06/96 Call 4250 Vctº 20/09/96 Call 4100 Vctº 20/12/96 Call 5000 Vctº 21/03/97 Call 5350 Vctº 20/06/97 Call 6800 Vctº 19/09/97 Call 7100 Vctº 19/12/97 Call 7050 Vctº 20/03/98 Call 9950 Vctº 19/06/98 Call 9700 Vctº 18/09/98 Call 7200 Vctº 18/12/98 Call 9600 Vctº 19/03/99 Call 9950 Vctº 18/06/99 Call 10400 Vctº 17/09/99 Call 9700 Vctº 17/12/99 Call 11650 Vctº 17/03/00 Call 12350 Vctº 16/06/00 Call 10600 Vctº 15/09/00 Call 11200 Vctº 15/12/00 Call 9050 Vctº 16/03/01 Call 9250 Vctº 15/06/01 Call 9000 Vctº 21/09/01 Call 6900 Vctº 21/12/01 Call 8450 Vctº 15/03/02 Vencimientos 1992 - 2002 -200 -100 0 100 200 300 400 Puntos de índice Modelo 0 Modelo 1 Resultados de PyG vs. modelo 1 Figura 1. Comparativa de resultados de PyG y del modelo 1. TABLA 2 ESTADÍSTICOS DE LOS RESULTADOS DE LOS DIFERENTES MODELOS (PUNTO DE VISTA DEL EMISOR) C. Dinámica II 3m C. Dinámica II diaria Aversión riesgo Parámetros Modelo 0 Modelo 0 bis Modelo 1 Nº de Resultados 39 2444 39 Media P y G 19,54 6,12 13,92 Mediana 19,30 4,96 -0,54 Varianza 10.435,07 5.672,39 2.624,55 Desviación Típica 102,15 75,32 51,23 CV = Rdto/Desv. Tip 0,19 0,08 0,27 VAR al 90% (percentil 10) -136,47 -73,75 -22,76 Prob. Pérdidas (P y G<0) 35,90% 39,89% 79,49% CV' = [1- P(P y G<0)]/VAR -0,47% -0,82% -0,90% 2.4. Propuesta de un modelo basado en el análisis de filtros para delta y gamma Como decíamos antes, al modelo de total aversión al riesgo, nos indicó, en cierta medida, que andábamos por el buen camino. Teníamos claro que había que liquidar posiciones, para no seguir perdiendo, pero sin renunciar a los posibles cambios que tornasen las pérdidas en ganancias o en menores pérdidas. Pero, como decidir ante dicha tesitura. Estaba claro que basarnos en las primeras pérdidas no funcionaba. Necesitábamos encontrar un indicador que nos diera una señal cuando el riesgo de pérdidas fuese a incrementar. Algo así como un termómetro que nos informa de la temperatura y nos indica cuando un enfermo tiene fiebre. ¿Pero, en qué parámetro podríamos basarnos para ello? Habiéndonos decidido ya por cuál debía de ser la volatilidad aplicable5, cuyo efecto se recoge en el parámetro vega, nos quedaba probar con los parámetros delta y gamma como señalizadores del riesgo de pérdidas para un emisor de opciones. Y, así hicimos, introduciendo filtros para delta y gamma6. 5 Estudiada en trabajos anteriores, y habiéndonos decantado por la volatilidad histórica móvil a tres meses del índice IBEX-35 al contado. 6 Véase la utilización de los filtros como indicadores para recomponer una cartera réplica con menor frecuencia que la diaria en: FERNÁNDEZ, P. [1996]: Op. Cit. Págs. 333-334. 5 La actuación a seguir por un posible emisor sería la siguiente: $ Igual que en el modelo 1, mientras que su posición en balance sea positiva, es decir, tenga beneficios, mantendrá sus posiciones abiertas de un día para otro. $ En caso contrario, si en el día anterior se produjeron pérdidas, se aplicarán, para el día en curso, los siguientes filtros para delta y gamma: - Se comprobará si la delta es menor que 0,2 (un 20%). Para este caso, se observaría si la variación de gamma, en valor absoluto, es mayor de 0,15 (un 15%) y, en caso afirmativo, se liquidarían todas las posiciones. En caso contrario, se mantendrían un día más. - En caso de que la delta fuese mayor que 0,2, también cabría la posibilidad de introducir, para ella, otro filtro superior (por ejemplo, 0,8), de tal manera que, si lo superase, se observaría si la variación de gamma, en valor absoluto, es mayor de 0,15 y, en caso afirmativo, liquidar. En caso contrario, se mantendrían las posiciones un día más (gamma menor que 0,15 o delta menor que 0,8). En resumen, mientras haya beneficios en la situación de balance se seguiría adelante con la cobertura dinámica, reajustando diariamente la cartera réplica, pero no perdiendo de vista la información suministrada por los filtros, de tal manera que, en el momento en que se tenga una señal de alerta, habría que cerrar todas las posiciones hasta el vencimiento. En cualquier día, aparecerán las posiciones cerradas, si ya fueron cerradas con anterioridad o si los filtros nos indican que las cerremos ese día. Tras probar con diferentes posibilidades: sólo un filtro para delta, uno sólo para gamma, una combinación de dos filtros, uno superior y otro inferior, etc. Nos decantamos por lo siguiente: Esta estrategia fue bastante compleja de modelizar en una hoja de cálculo pero conseguimos hacerlo gracias a la versatilidad del programa Lotus SmartSuite 1-2-3 y la denominamos «modelo 2». En la tabla 3 recogemos los resultados de diferentes filtros para delta con los que hemos probado en este modelo 2, siempre para variaciones de gamma, en valor absoluto, superiores al 15% y demuestra las razones por las que hemos seleccionado un modelo de filtros combinado de delta y gamma. TABLA 3 MODELO 2: Simulaciones según diferentes filtros Parámetros Delta < 0,2 Delta < 0,3 Delta < 0,5 Delta < 0,6 0,4 < Delta < 0,6 0,2 > Delta > 0,8 0,2 > Delta > 0,9 Nº de Resultados 39 39 39 39 39 39 39 Media P y G 20,34 20,44 20,44 20,82 17,97 19,05 19,70 Mediana 19,30 19,30 19,30 19,30 -0,48 17,87 19,30 Varianza 9.842,32 9.812,31 9.812,31 9.734,18 9.847,31 9.958,17 10.044,86 Desviación Típica 99,21 99,06 99,06 98,66 99,23 99,79 100,22 CV = Rdto/Desv. Tip 0,21 0,21 0,21 0,21 0,18 0,19 0,20 VAR al 90% (percentil 10) -176,52 -176,52 -176,52 -176,52 -180,86 -180,86 -186,51 Prob. Pérdidas (P y G<0) 41,03% 43,59% 43,59% 43,59% 56,41% 46,15% 41,03% CV' = [1- P(P y G<0)]/VAR -0,33% -0,32% -0,32% -0,32% -0,24% -0,30% -0,32% Como podemos comprobar, el que presenta una menor probabilidad de pérdidas, con una mayor ganancia media esperada y menor VaR, es el filtro correspondiente a una delta menor del 20% y una variación de gamma, en valor absoluto, mayor del 15%. La correlación de los resultados de este modelo 2 con los de pérdidas y ganancias de la estrategia de cobertura dinámica II con volatilidad móvil (modelo 0) es, sorprendentemente, del 99,29% (y del 99,55% con el modelo 0 bis). En la figura 2 y en la tabla 4 se recogen los resultados de esta estrategia junto los ya vistos del modelo 0 y del modelo 1. Filtro de delta < 20% y variación de gamma, en valor absoluto > 15% 6 Call 2600 Vctº 18/09/92 Call 2300 Vctº 18/12/92 Call 2600 Vctº 18/03/93 Call 2600 Vctº 18/06/93 Call 3000 Vctº 17/09/93 Call 3000 Vctº 17/12/93 Call 3500 Vctº 18/03/94 Call 3650 Vctº 17/06/94 Call 3300 Vctº 16/09/94 Call 3200 Vctº 16/12/94 Call 3200 Vctº 17/03/95 Call 3050 Vctº 16/06/95 Call 3250 Vctº 15/09/95 Call 3500 Vctº 15/12/95 Call 3550 Vctº 15/03/96 Call 3700 Vctº 21/06/96 Call 4250 Vctº 20/09/96 Call 4100 Vctº 20/12/96 Call 5000 Vctº 21/03/97 Call 5350 Vctº 20/06/97 Call 6800 Vctº 19/09/97 Call 7100 Vctº 19/12/97 Call 7050 Vctº 20/03/98 Call 9950 Vctº 19/06/98 Call 9700 Vctº 18/09/98 Call 7200 Vctº 18/12/98 Call 9600 Vctº 19/03/99 Call 9950 Vctº 18/06/99 Call 10400 Vctº 17/09/99 Call 9700 Vctº 17/12/99 Call 11650 Vctº 17/03/00 Call 12350 Vctº 16/06/00 Call 10600 Vctº 15/09/00 Call 11200 Vctº 15/12/00 Call 9050 Vctº 16/03/01 Call 9250 Vctº 15/06/01 Call 9000 Vctº 21/09/01 Call 6900 Vctº 21/12/01 Call 8450 Vctº 15/03/02 Vencimientos 1992 - 2002 -200 -100 0 100 200 300 400 Puntos de índice Modelo 0 Modelo 1 Modelo 2 Resultados de PyG vs. modelos 1 y 2 Figura 2. Comparativa de resultados de PyG de los modelos 1 y 2. TABLA 4 ESTADÍSTICOS DE LOS RESULTADOS DE LOS DIFERENTES MODELOS (PUNTO DE VISTA DEL EMISOR) C. Dinámica II 3m C. Dinámica II diaria Aversión riesgo D < 0,2 y G > 0,15 Parámetros Modelo 0 Modelo 0 bis Modelo 1 Modelo 2 Nº de Resultados 39 2444 39 39 Media P y G 19,54 6,12 13,92 20,34 Mediana 19,30 4,96 -0,54 19,30 Varianza 10.435,07 5.672,39 2.624,55 9.842,32 Desviación Típica 102,15 75,32 51,23 99,21 CV = Rdto/Desv. Tip 0,19 0,08 0,27 0,21 VAR al 90% (percentil 10) -136,47 -73,75 -22,76 -176,52 Prob. Pérdidas (P y G<0) 35,90% 39,89% 79,49% 41,03% CV' = [1- P(P y G<0)]/VAR -0,47% -0,82% -0,90% -0,33% Ciertamente, los resultados de este modelo son bastante satisfactorios. Presenta la mayor ganancia media esperada de todos los modelos vistos hasta ahora, una desviación típica menor que la de la estrategia inicial y una correlación del 99,29% con esta última. Sin embargo, aunque hemos bajado la probabilidad de pérdidas al 41,03%, todavía es mayor que la del modelo 0. Lo bueno de este modelo basado en filtros, es que le indica a un emisor de opciones que puede «aguantar» unas pérdidas mientras que los parámetros delta y gamma no le den señales de alarma. De esta forma, consigue mejorar muchísimo sus resultados frente a los de una estrategia de total aversión al riesgo. La única pega que podríamos hacerle es que si se quisiera la mínima probabilidad de pérdidas, entonces, habría que mantener las posiciones hasta el vencimiento, realizando diariamente reajustes en la cartera según una estrategia de cobertura delta neutral (es decir, utilizar el modelo 0). 2.5. Estimación de un modelo de alerta basado en un filtro para gamma modificada El análisis de filtros realizado en el modelo anterior, nos sirvió para obtener mucha información sobre el comportamiento de delta y gamma. Analizando los cambios de delta, y distinguiendo si su valor era alto o bajo, observábamos que si éste era grande y se tenían resultados positivos, por lo general, los beneficios subían al hacerlo la delta, o al mantenerse en valores altos. El problema es que si bajaba mucho, los beneficios también disminuían, e incluso se tornaban en pérdidas7. Con deltas intermedias, podía ocurrir cualquier cosa, y con deltas 7 Para evitar confusiones, recordemos que la comparación que hacemos no es en relación con la prima de la opción, sino con los resultados de la cartera global (cartera réplica -acciones y préstamo- y opción call emitida) recogidos en la situación en balance de la cobertura dinámica II con volatilidad móvil (modelo 0). 7 bajas, tanto los beneficios como las pérdidas se mantenían más o menos estables. Sin embargo, si ya se tenían pérdidas, un aumento de la delta ocasionaba que éstas aumentasen. En el caso de gamma, si se tenían ganancias y la gamma era alta, en muchos casos, era mejor mantener las posiciones. No obstante, mantener gammas elevadas es muy arriesgado, porque anticipa un cambio o un salto cuantitativo en el resultado de la posición, que puede ser para bien o para mal. Es decir, gamma indica que va a ver un cambio, pero no dice en qué sentido. De hecho, si ya se tenían pérdidas con una gamma alta, en la mayoría de los casos, era mejor liquidar. Con gammas bajas, se podían mantener las posiciones asumiendo las pérdidas o ganancias que se produjesen. A parte de lo comentado, también habría que tener en cuenta el valor que tomase delta en cada caso y ponerlos en relación unos con otros. Sin embargo, ya vimos en el apartado 2.2, que las correlaciones de delta y gamma con los resultados de pérdidas y ganancias, tanto en forma continua como discreta, así como las de sus variables transformadas, eran muy bajas. Los comentarios anteriores nos hicieron reorientar nuestra investigación hacia otra variable transformada unida a un análisis de filtros para la misma y, pensamos en derivar nuevamente la gamma con respecto al precio del activo subyacente. Es decir, si delta ()) era la primera derivada y gamma (∋) la segunda, por que no hacer la tercera8. Sería un nuevo parámetro que nos mediría la proporción en que cambia la gamma de una opción ante variaciones del precio del subyacente. Decidimos llamarle «∋’». Matemáticamente: 11 2 ´´( ) ´( ) 'SNd Nd St σ ∗− Γ= ∗∗ Donde N’’(d1) corresponde al valor de la derivada de la función de densidad normal estandarizada en el punto d1. Es decir, es la segunda derivada de N(d1) en dicho punto9: () () 2 1 2 11 1 ´´ ´ 2 d Nd d e π − =∗−∗ Finalmente, d1' sería la derivada de d1: 1 1 ´dSt σ =∗∗ Dado que los valores de ∋’ son infinitesimales, decidimos crear una transformada de ésta, denominada «gamma’ modificada», multiplicando por una constante de valor 100.00010 y tomando su valor absoluto: modif ´ ( ´) 100.000ABS Γ =Γ∗ 8 El problema es que cuanto más derivadas se vayan sacando, más se complica su formulación matemática y mayor es la dificultad para obtener su función derivada. 9 Recordemos que: () () 2 11 2 11 1 2 dd N ded π − −∞ =∗∗∂ ∫ () 2 1 2 1 1 ´2 d N de π − =∗ 10 El valor de la constante es por comodidad en la operatoria, de tal forma que, con ella, el valor de gamma modificada sea más manejable. No obstante, puede cambiarse por cualquier otro a juicio del operador. 8 La idea es la ya planteada en el apartado 2.2, encontrar si este nuevo parámetro es indicativo de la situación en balance para el caso de la cobertura dinámica II con volatilidad móvil (modelo 0), y si podemos utilizar un filtro que actúe como señalizador del riesgo de pérdidas para un emisor de opciones. Y, esto es lo que hemos hecho utilizando un filtro para la gamma’ modificada de 0,02 (un 2%). La tabla 5 recoge, para los primeros días del período de diez años estudiado, una parte de la hoja de cálculo que hemos diseñado para realizar los cálculos necesarios y para la implementación de esta estrategia. TABLA 5 Variac. Gamma' Modif. < 0,02 Derivada d1 2ª Derivada N(d1) Derivada de DINÁMICA II V. MÓVIL MODELO 3 d1' N''(d1) Gamma' G' Modif Situac. Balance Liquidar Posiciones? P y G 0,006709964489 -0,001889841716 -0,000013 1,339556 0,00 No 0,006786220579 -0,002163341366 -0,000016 1,550657 -0,53 No No -0,53 0,006652021493 -0,002499342316 -0,000018 1,759615 -5,01 No No -5,01 0,006665139699 -0,00239963421 -0,000017 1,691976 -4,92 No No -4,92 0,006646433074 -0,002256274316 -0,000016 1,586077 -5,09 No No -5,09 0,00662553893 -0,002564987773 -0,000018 1,799461 -7,91 No No -7,91 0,006683729777 -0,002628603731 -0,000019 1,859816 -7,85 No No -7,85 0,006677844916 -0,002660425883 -0,000019 1,882102 -10,18 No No -10,18 0,006788306008 -0,002705015905 -0,000019 1,943455 -9,21 No No -9,21 0,00660663697 -0,002598667041 -0,000018 1,818504 -11,48 No No -11,48 0,006766763007 -0,002697913637 -0,000019 1,932313 -10,97 No No -10,97 0,006839391314 -0,002725052986 -0,000020 1,971601 -10,43 No No -10,43 0,006854436272 -0,002642535633 -0,000019 1,917145 -12,33 No No -12,33 0,006861007338 -0,002726311332 -0,000020 1,978574 -12,56 No No -12,56 0,00692263992 -0,002738660969 -0,000020 2,004626 -12,23 No No -12,23 0,007259680631 -0,002868053775 -0,000022 2,195898 -8,84 No No -8,84 0,007403948489 -0,002859501277 -0,000022 2,231259 -8,52 No No -8,52 0,007306627759 -0,002450491825 -0,000019 1,890121 -13,11 No No -13,11 0,007432566065 -0,002098597895 -0,000016 1,646243 -14,23 No No -14,23 0,007144172241 -0,001319459487 -0,000010 0,998512 -19,90 No No -19,90 0,006942922501 -0,000695389309 -0,000005 0,513155 -23,36 No No -23,36 0,006796336484 -0,000987214084 -0,000007 0,713401 -23,96 No No -23,96 0,006789208493 -0,000596449717 -0,000004 0,431178 -25,42 No No -25,42 0,006871050136 -0,000463314342 -0,000003 0,338912 -25,55 No No -25,55 0,006950336078 -0,000411716016 -0,000003 0,304487 -25,50 No No -25,50 0,007167915922 -0,000283697332 -0,000002 0,216090 -25,43 No No -25,43 0,007250120633 -0,000253001865 -0,000002 0,194811 -25,39 No No -25,39 0,006839283002 -0,000591815941 -0,000004 0,430726 -26,32 No No -26,32 0,006925659282 -0,000522942576 -0,000004 0,385196 -26,25 No No -26,25 0,006908332394 -0,000637094753 -0,000005 0,467949 -26,28 No No -26,28 0,007137429541 -0,000574736017 -0,000004 0,435316 -25,83 No No -25,83 0,007126837024 -0,000717187977 -0,000005 0,542170 -25,86 No No -25,86 0,007299470794 -0,000670591845 -0,000005 0,518534 -25,56 No No -25,56 0,007538821661 -0,000587589528 -0,000005 0,468465 -25,25 No No -25,25 0,007663710673 -0,000428215387 -0,000003 0,346915 -25,33 No No -25,33 0,008037218714 -0,000235668738 -0,000002 0,199847 -25,30 No No -25,30 0,008053802859 -0,000099726639 -0,000001 0,084832 -25,56 No No -25,56 0,008137343626 -0,000040564836 -0,000000 0,034881 -25,65 No No -25,65 0,008260996858 -0,000034740214 -0,000000 0,030303 -25,65 No No -25,65 0,008184643185 -0,000064571272 -0,000001 0,055792 -25,67 No No -25,67 0,00845447649 -0,000069819119 -0,000001 0,062184 -25,64 No No -25,64 0,008610432487 -0,000055383854 -0,000001 0,050196 -25,64 No No -25,64 0,008766347651 -0,000043701955 -0,000000 0,040293 -25,64 No No -25,64 0,008911297492 -0,000042288567 -0,000000 0,039598 -25,63 No No -25,63 0,00895024555 -0,000061264475 -0,000001 0,057581 -25,64 No No -25,64 0,009492594941 -0,000015695603 -0,000000 0,015614 -25,67 No No -25,67 0,009732474308 -0,000006200898 -0,000000 0,006320 -25,68 Sí Sí -25,67 0,010012292081 -0,000001988029 -0,000000 0,002083 -25,69 Sí Sí -25,67 La actuación a seguir por un posible emisor, sería la siguiente: • Al igual que en el modelo 1 y 2, mientras que su posición en balance sea positiva, es decir, tenga beneficios, mantendrá sus posiciones abiertas de un día para otro. • En caso contrario, si en el día anterior se produjeron pérdidas, se aplicará el siguiente filtro para gamma’ modificada: - Se comprobará si la gamma’ modificada es menor que 0,02 (un 2%) y, en caso afirmativo, se liquidarían todas las posiciones. En caso contrario, se mantendrían un día más. En resumen, mientras haya beneficios en la situación de balance, se seguiría adelante con la cobertura dinámica, reajustando diariamente la cartera réplica pero, vigilando la información suministrada por el filtro para la gamma’ modificada, de tal forma que, en el momento que se tenga una señal de alerta, habría que cerrar todas las Gamma’ modificada < 2% 15 KLEMKOSKY, R. C. y RESNICK, B. G. [1979]: «Put-Call Parity and Market Efficiency». Journal of Finance, Vol. 34. Diciembre. LAMBERTON, D. y LAPEYRE, B. [2008]: Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance. 2ª Edición. Chapman & Hall/CRC. Londres. LAMOTHE FERNÁNDEZ, P. y PÉREZ SOMALO, M. [2003]: Opciones Financieras y Productos Estructurados. 2ª Edición. McGraw-Hill. Madrid. LELAND, H. E. [1980]: «Who Should Buy Portfolio Insurance?». Journal of Finance, nº 35. Mayo. LELAND, H. E. [1985]: «Option Pricing and Replication with Transactions Costs». Journal of Finance, nº 40. 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