Estudio de la estabilidad dinámica de pares eje–cojinete en problemas evolutivos de lubricación

XX Cong eso de Ecuaciones Di e enciales y Aplicaciones X Cong eso de Ma em´ a ica Aplicada Se illa, 24-28 sep iemb e 2007 (pp. 1–8) Es udio de la es abilidad din´amica de pa es eje–cojine e en p oblemas e olu i os de lub icaci´on J. Du any1, J. Pe ei a-P´ e ez1, F. Va as1 1Dp o. Ma em´a ica Aplicada II, Uni e sidad de Vigo, Campus Ma cosende, E-36313 Vigo. E-mails: [email p o ec ed], [email p o ec ed]. Palab as cla e: Te mohid odin´amica, lub icaci´on, elemen os ini os, ol´umenes ini os, elemen os de con o no, es abilidad. Resumen En es e abajo se p esen a un modelo ma em´a ico y una combinaci´on de m´e o- dos num´e icos pa a la esoluci´on de p oblemas e mohid odin´amicos e olu i os en lub icaci´on de pa es eje-cojine e. En conc e o, un m´e odo de elemen os ini os pa a el p oblema hid odin´amico, jun o a un algo i mo de dualidad pa a la pa e no lineal de on e a m´o il (ca i aci´on). Adem´as, un esquema de ol´umenes ini os, de ipo cell– e ex de o den dos, pa a el c´alculo de la empe a u a del luido, y un m´e odo de elemen os de con o no pa a la ´e mica del cojine e. Una de las aplicaciones impo an es, po su in e ´es indus ial, se e ie e al an´alisis de la es abilidad del disposi i o mec´anico. En es e sen ido, la esoluci´on num´e ica que se p esen a pe mi e compa a el compo amien o din´amico del pa eje–cojine e con la cu a de es abilidad neu a que se ob iene al u iliza modelos anal´ı icos simpli icados. 1. Modelo e mohid odin´amico de lub icaci´on El modelo e mohid odin´amico que se desc ibe es cl´asico en el an´alisis de la lub icaci´on de pa es eje-cojine e ( e [4], en e o os). P ime o, se o mula la ecuaci´on de Reynolds con un modelo de ca i aci´on de El od-Adams pa a el c´alculo de la p esi´on del luido lub ican e. A con inuaci´on, se plan ea el p oblema ´e mico en el disposi i o median e la ecuaci´on de la ene g´ıa pa a la empe a u a del luido y unas ecuaciones de conducci´on ´e mica en el eje y en el cojine e. El acoplamien o de las ecuaciones en de i adas pa ciales iene dada, po una pa e, po una ley de a iaci´on de la iscosidad en unci´on de la empe a u a en la ecuaci´on del lujo y, po o a pa e, po medio de la in luencia del campo de elocidades en la ecuaci´on de la ene g´ıa. Adem´as, el acoplamien o ´e mico del luido con el disposi i o iene dado po las condiciones de con o no en las pa edes de con ac o con eje y cojine e. 1 J. Du any, J. Pe ei a-P´e ez, F. Va as Pa a simpli ica los c´alculos se emplean a iables adimensionales y el dominio del luido se ans o ma en un pa alelep´ıpedo. Las ecuaciones pa a es e cambio de a iable son: x=Raθ, y =h¯y, z =L¯z, ;u=ωRa¯u, =ωC¯ , w =ωRa¯w, =ωτ , (1) donde los alo es Ra, L, C y h ep esen an el adio del eje, la longi ud del pa , el juego adial y la al u a de la pel´ıcula de luido, espec i amen e, y (u, , w) las componen es de la elocidad. La elocidad angula de o aci´on del eje es ´a deno ada po ω, y el iempo eal po la a iable τ. Se de inen ambi´en los siguien es cambios de a iable que a ec an a o as magni udes: h=C¯ h, η =Ra/L, T =T0¯ T, µ =µ0¯µ, p =µ0ωRa C2 ¯p. (2) En es as ecuaciones T0yµ0 ep esen an la empe a u a y la iscosidad del luido en la anu a de alimen aci´on, que se u iliza ´an de e e encia, mien as que pyT ep esen an la p esi´on y empe a u a de la pel´ıcula de lub ican e. Realizando el cambio de a iable en el espacio comp endido en e el eje y el cojine- e, el dominio adimensional se con ie e en un olumen comp endido en e la supe icie ec angula Ω1= [0,2π]×[0,1] pa a (θ, ¯z) y la al u a: ¯ h= 1 + εcosθ, (3) con ε ep esen ando el coe icien e de excen icidad del pa eje–cojine e. El modelo ma em´a ico del p oblema de lub icaci´on con ca i aci´on se ealiza median e el modelo de El od-Adams ( e [3], po ejemplo), in oduciendo una inc´ogni a adicional que ep esen a la concen aci´on o ´ındice de ca i aci´on: ϑ. Es a unci´on ϑ ale uno en la zona ac i a (Ω+ 1) y oma alo es en el in e alo (0,1) en la zona ca i ada (Ω0 1). De es e modo, el p oblema se o mula en los siguien es ´e minos: Halla (p, ϑ) ales que se e i iquen las condiciones: ∂ ∂θ ¯ h3¯ G∂¯p ∂θ +∂ ∂˜z ¯ h3¯ G∂¯p ∂z =∂ ∂θ ¯ h1− ¯ I2 ¯ J2+∂(ϑ¯ h) ∂ ,(4) ¯p > 0y ϑ = 1 en Ω+ 1×[0, F] ∂ ∂θ ϑ¯ h1−¯ I2 ¯ J2+∂(ϑ¯ h) ∂ = 0,¯p= 0,0≤ϑ≤1en Ω0 1×[0, F],(5) ¯ h3¯ G∂¯p ∂~n = (1 −ϑ)¯ h1− ¯ I2 ¯ J2cos(~n,~ i),¯p= 0 en Σ×[0, F],(6) ¯p= 0 en ∂Ω1×[0, F], ϑ =ϑ0en Γ0×[0, F],(7) ¯p(0, θ, ˜z) = ¯p0(θ, ˜z) , ϑ(0, θ,˜z) = ϑ0(θ,˜z) ,(8) donde se ha ealizado un nue o cambio de a iable, ˜z = ¯z η, pa a simpli ica las ecuaciones, ans o mando el dominio en Ω1= [0,2π]×[0,1 η]. Adem´as, Σ ep esen a la on e a lib e en e la zona ac i a Ω+ 1y la zona ca i ada Ω0 1,~n es el ec o no mal a la on e a Σ, ~ ies 2 Es abilidad din´amica de pa es eje–cojine e el ec o uni a io en la di ecci´on θ, Γ0la on e a de alimen aci´on de luido (θ= 0) y F el iempo inal. Los coe icien es iscosos que in e ienen en el p oblema es ´an dados po : ¯ G=Z1 0 ¯y ¯µ¯y− ¯ I2 ¯ J2d¯y , ¯ I2=Z1 0 ¯y ¯µd¯y , ¯ J2=Z1 0 d¯y ¯µ,(9) y la iscosidad del luido, ¯µ, se conside a a iable con la empe a u a seg´un la ley: ¯µ=e−βT0(¯ T−1) (10) donde βes el coe icien e e mo iscoso y T0la empe a u a de e e encia. Cuando las condiciones de uncionamien o de un pa eje–cojine e son no males, los g adien es axiales de empe a u a son desp eciables y la ecuaci´on de la ene g´ıa pa a la empe a u a del luido lub ican e ¯ T se puede plan ea en un plano medio en coo denadas de longi ud y espeso (θ, ¯y) ( e [4], en e o os): ρcp C2 k ∂¯ T ∂ +Pe¯u∂¯ T ∂θ +1 ¯ h¯ −¯u¯y∂¯ h ∂θ ∂¯ T ∂¯y−1 ¯ h2 ∂2¯ T ∂¯y2= =Nd ¯µ ¯ h2∂¯u ∂¯y2 ,en Ω ×[0, F],(11) donde ρ,cpykdeno an densidad, calo espec´ı ico y conduc i idad, Pees el n´ume o de Pecle , Ndun pa ´ame o adimensional asociado a la disipaci´on iscosa, Ω = [0,2π]×[0,1] el dominio adimensional de una seci´on longi udinal y las componen es de la elocidad, ~ = (¯u, ¯ ), es ´an de inidas a pa i de la p esi´on del luido, ¯p, po : ¯u=¯ h2∂¯p ∂θ ¯ I− ¯ I2 ¯ J2 ¯ J+¯ J ¯ J2 ; ¯ =−¯ hZ¯y 0∂¯u ∂θ∗dξ , (12) con ¯ I2,¯ J2dadas en (9) y las nue as in eg ales, ¯ I,¯ J, de inidas po : ¯ I=Z¯y 0 ξ ¯µdξ ;¯ J=Z¯y 0 dξ ¯µ.(13) La ecuaci´on de conse aci´on de la ene g´ıa (11) debe e o mula se sob e la egi´on ca- i ada pa a ene en cuen a la p esencia de la mezcla. As´ı, con las adimensionalizaciones co espondien es, el p oblema ´e mico se o mula en Ω median e la misma exp esi´on (11), pe o aho a con ρ,cp,k,Pe yNd dependiendo de la concen aci´on del luido: ρcp=ρ c ϑ+ρaca(1 −ϑ) ; k=k ϑ+ka(1 −ϑ); Pe =ωC2[ρ c ϑ+ρaca(1 −ϑ)] [k ϑ+ka(1 −ϑ)] ;Nd =µ0ω2Ra2 [k ϑ+ka(1 −ϑ)]T0 ,(14) siendo ρ , c , k , ρa, ca, kala densidad, el calo espec´ı ico y la conduc i idad del luido y el gas, espec i amen e. Es a ecuaci´on (11) se comple a con las condiciones Di ichle en la on e a de en ada θ= 0 y en las on e as de con ac o con el eje (¯y= 1) y el cojine e (¯y= 0). 3 J. Du any, J. Pe ei a-P´e ez, F. Va as La ecuaci´on de la ene g´ıa en el cojine e se educe a un p oblema e olu i o de di usi´on jun o a las condiciones de con o no que la acoplan, po una pa e, con la empe a u a del luido y, po o a pa e, con las condiciones ambien ales: ρccpc ∂Tc ∂ −di (kc∇Tc) = 0 en Ωc×[0, F],(15) −kc ∂Tc ∂~n =hc(Tc−Ta)en Γe c×[0, F],(16) i)Tc=T0¯ T yii)−kc ∂Tc ∂~n =kT0 C¯ h ∂¯ T ∂¯yen Γi c×[0, F],(17) Tc(¯x, 0) = Tc0(¯x)en Ωc,(18) donde Tces la unci´on empe a u a en el cojine e, Ωcel dominio anula del cojine e con on e a in e io Γi cy ex e io Γe c,kcyklos coe icien es de di usi´on en el cojine e y en el luido, ρcla densidad, cpcel calo espec´ı ico, ~n un ec o , uni a io, no mal y ex e io a las on e as, Tala empe a u a ambien e, hcel coe icien e de con ecci´on al ex e io y Tc0la empe a u a inicial. Finalmen e, en el eje se conside a un modelo de empe a u a uni o me en cada ins an e de iempo debido a las al as elocidades de o aci´on. As´ı, el calen amien o o en iamien o se co esponde con el balance en e el calo ecibido del luido y el lujo ´e mico con el ex e io . Es deci : ZΓe kT0 C¯ h d¯ T d¯ydl =he(Te−Ta) + Ae ∂Te ∂ (19) donde Tees la empe a u a en el eje, Γela on e a con el luido, heel coe icien e de con ecci´on al ai e, Aeun coe icien e de capacidad calo ´ı ica y la de i ada no mal en la on e a se co esponde con la e ical. 2. Resoluci´on num´e ica del p oblema acoplado La esoluci´on num´e ica del p oblema acoplado e mohid odin´amico equie e la soluci´on de cada uno de los sub–modelos que se han desc i o en la secci´on an e io . En pa icula , la soluci´on del p oblema hid odin´amico (4)–(8) en el luido ha sido el obje i o de algu- nos abajos p e ios de los au o es. En es a secci´on se p esen a un esquema del m´e odo num´e ico desa ollado en Du any–Pe ei a–Va as [2], [3], pa a p oblemas es aciona ios y ansi o ios, espec i amen e. En conc e o, el esquema pasa po la cons ucci´on de una o mulaci´on d´ebil en ´e minos del ope ado mul ´ı oco de Hea iside, H, pa a a a el p oblema de on e a m´o il de la ca i aci´on ( e Du any–Ga c´ıa-V´azquez [1], pa a los de alles). A con inuaci´on, se ealiza una semidisc e izaci´on en iempo de la de i ada ma- e ial u ilizando el m´e odo de las ca ac e ´ıs icas, jun o a una ap oximaci´on espacial con elemen os ini os lineales a ozos. Finalmen e, se aplica un algo i mo de dualidad pa a esol e la no linealidad debida al ope ado de Hea iside. La ecuaci´on de la ene g´ıa en el luido lub ican e se esuel e median e un esquema de ol´umenes ini os de ipo cell- e ex de o den dos, siguiendo el abajo de Mo on-S ynes- S¨uli [5]. Es e m´e odo combina unas buenas p opiedades de mono on´ıa en la ecupe aci´on de capas l´ımi e con una con e gencia de o den dos bajo cie as hip´o esis de egula idad 4 Es abilidad din´amica de pa es eje–cojine e ( e Du any–Pe ei a–Va as [2]). Adem´as, conduce a un ensamblado muy sencillo, pa ecido al del m´e odo de elemen os ini os, que se simpli ica si las mallas son muy es uc u adas. La esoluci´on del p oblema ´e mico en el cojine e se abo da empleando un m´e odo de ecip ocidad dual combinado con una disc e izaci´on de la on e a, an o in e na como ex e na, median e elemen os de con o no P1. Los nodos de la disc e izaci´on son los ´e ices de los a cos que, en la on e a in e na de con ac o con el luido, coinciden con los nodos de la malla u ilizada en el m´e odo de ol´umenes ini os. Se imponen las condiciones de con inuidad del lujo en la on e a in e io y la igualdad del lujo a la con ecci´on al ambien e en la on e a ex e io . Es e p ocedimien o iene la en aja de no ene que malla odo el cojine e y, jun o con la sime ´ıa del p oblema, pe mi e educi en g an medida el cos e compu acional de es a e apa ( e Du any–Pe ei a–Va as [3]). Finalmen e, el p oblema ´e mico (19) en el eje puede esol e se expl´ıci amen e de mane a muy simple, ya que se a a de un p oblema unidimensional de balance de ene g´ıa. 3. An´alisis de la es abilidad din´amica del eje Se puede de e mina la ue za eje cida po el luido sob e el eje y elaciona el desplaza- mien o del cen o del eje y la elocidad de ese desplazamien o con la a iaci´on de la ue za ( e F ene e al. [4], pa a los de alles). Pa a ello, se p esen a en p ime luga un m´e odo cl´asico basado en la ob enci´on de un modelo anal´ı ico de la p esi´on y una ap oximaci´on lineal en el en o no del pun o de equilib io. Es a ´ecnica simpli icada iene el incon enien e de p e ija la posici´on de la zona ca i ada y, en consecuencia, es impo an e compa a los esul ados que se ob ienen con los co espondien es a u iliza el modelo hid odin´amico de El od–Adams pa a la ca i aci´on desc i o p e iamen e. La posici´on del eje queda de inida po el ec o ~ OcOacuyas coo denadas pola es son el ´angulo de desplazamien o del eje,φ, y la excen icidad dimensional del eje espec o del cojine e, e=Cε ( es habi ual conside a dos sis emas de coo denadas: el sis ema ijo (x, y) y el sis ema ( , ) que se desplaza con el cen o del eje). Pa a esol e anal´ı icamen e la ecuaci´on de Reynolds, se puede in oduci una simpli- icaci´on conocida como modelo de cojine e in ini amen e la go. Es a ap oximaci´on se basa en conside a que ∂p/∂θ es mucho mayo que ∂p/∂z, con lo que la ecuaci´on pa a la p esi´on queda educida a un caso unidimensional: 1 R2 a ∂ ∂θ h3 µ ∂p ∂θ = 6 (ω−2˙ φ)∂h ∂θ + 2 ˙ecos θ,(20) donde Raes el adio del eje, h=C(1 + εcosθ) la al u a de la pel´ıcula de luido ( e ecuaci´on (3)), µla iscosidad del luido, pla p esi´on, ωla elocidad de o aci´on del eje, y˙ φ, ˙e, son las de i adas empo ales de las coo denadas pola es de ~ OcOa. Es a ecuaci´on (20) se co esponde con oma el o igen de ´angulos, θ, sob e la l´ınea de cen os ¯ OcOaen el ins an e de iempo conside ado y, en consecuencia, es ´alida en el sis ema de coo denadas m´o il ( , ). Si adem´as se ealiza la imposici´on de si ua la zona ac i a (no ca i ada) en 0≤θ≤π, se puede esol e (20) anal´ı icamen e y ob ene una exp esi´on expl´ıci a de la 5 J. Du any, J. Pe ei a-P´e ez, F. Va as p esi´on: p= 6µRa C2"(ω−2˙ φ)εsenθ(2 + εcos θ) (2 + ε2)(1 + εcos θ)2+˙ε ε1 (1 + εcos θ)2−1 (1 + ε)2 −8 ˙ε π(1 −ε2)2(ε2+ 2) (ε2+ 2) 2a ccos ε+cosθ 1 + εcosθ  −2εp1−ε2senθ 1 + εcosθ +ε2√1−ε2 2 senθ(ε+cosθ) (1 + εcosθ)2)#.(21) Una ez conocida la p esi´on, p, se pueden de e mina las componen es de la ue za eje cida po el luido sob e el eje, median e la ´o mula: ~ F=F F =cos φ sen φ −sen φ cos φ·Fx Fy=ZL 0Zθ2 θ1 pcos θ senθ Radθdz, (22) siendo θ1, θ2los l´ımi es de la zona ac i a, Lla longi ud del pa eje–cojine e y se ha in oducido el cambio de a iable co espondien e. A pa i de las exp esiones de F , F , en unci´on de ε, φ, ˙ε y ˙ φse ealiza una ap oximaci´on en se ie de Taylo de la ue za en el en o no del pun o conside ado: Fx Fy=−Axx Axy Ayx Ayy ·¯x ¯y−Bxx Bxy Byx Byy ·˙ ¯x ˙ ¯y,(23) que elaciona el desplazamien o del cen o del eje y la elocidad de ese desplazamien o con la a iaci´on de la ue za. En el caso pa icula de dispone de la p esi´on anal´ı ica (21), las componen es de la ue za en coo dendas ( , ) son: F =−12µLRaRa C2"ε2(ω−2˙ φ) (2 + ε2)(1 −ε2)+˙ε (1 −ε2)3/2π 2−8 π(2 + ε2)#,(24) F = 12µLRaRa C2"πε(ω−2˙ φ) 2√1−ε2(2 + ε2)+2ε˙ε (2 + ε2)(1 −ε2)#,(25) y los coe icien es ma iciales de (23): Axx =2[8ε2(2 + ε4) + π2(1 −ε2)(2 −ε2+ 2ε4)] (2 + ε2)(1 −ε2)[4ε2+π2(1 −ε2)]3/2,(26) Axy =π[8ε2(2 + ε4) + π2(1 −ε2)(2 −ε2+ 2ε4)] ε(2 + ε2)√1−ε2[4ε2+π2(1 −ε2)]3/2,(27) Ayx =π[4ε4−π2(1 −ε2)2] ε√1−ε2[4ε2+π2(1 −ε2)]3/2;Ayy =2[4ε2+π2(2 −ε2)] [4ε2+π2(1 −ε2)]3/2,(28) Bxx =2[2ε2(π2(2 + ε2)−16) + π2(1 −ε2)(π2(1 −ε2) + 8ε2)] πε√1−ε2(4ε2+π2(1 −ε2))3/2,(29) 6 Es abilidad din´amica de pa es eje–cojine e Bxy =Byx =2(π2−8)(ε2+ 2) (4ε2+π2(1 −ε2))3/2;Byy =π√1−ε2(π2−8)(ε2+ 2) ε(4ε2+π2(1 −ε2))3/2.(30) Cuando se buscan soluciones de ipo pe i´odico pa a el sis ema (23), se ob iene una condici´on de exis encia pa a las mismas basada en el c i e io de Rou h-Hu wi z ( e [4]). Es a condici´on es ablece que pa a la ecuaci´on de la elocidad de o aci´on adimensional del cojine e: ˜ω=ω0pMC/W0,(31) con Mla masa del eje y W0la ca ga sopo ada po el eje cuando se encuen a en equilib io, exis e un alo l´ımi e pa a el pa ´ame o que in e iene, ω0( elocidad c ´ı ica), dado po : ˜ω2 0=BxxByy −BxyByx (Bxx+Byy )(Axx Ayy−Axy Ayx) BxxAyy +ByyAxx −Bxy Ayx−Byx Axy −Bxx Axx+Byy Ayy +Bxy Ayx+ByxAxy Bxx+Byy .(32) De mane a que pa a alo es ˜ω < ˜ω0el mo imien o es es able: an e una pe u baci´on espec o a la posici´on de equilib io el sis ema e o na a dicha posici´on. Pa a alo es ˜ω > ˜ω0 las pe u baciones sepa an al eje de la posici´on de equilib io es aciona io y lo lle an a ciclos l´ımi e, causando la ines abilidad. Sus i uyendo las ´o mulas (26)– (30) en (32), se de e mina la elocidad c ´ı ica pa a dis in os alo es de la excen icidad. Con los da os: Ra= 0,0254, L= 0,0254, C= 0,000127, µ= 0,0254, W0= 150 N, y M a iable, en la Figu a 1 se obse a es a elocidad c ´ı ica, de mane a que las elaciones (ε, ˜ω0) si uadas po debajo de la cu a p esen an si uaciones de es abilidad, mien as que las que se si ´uan po encima son casos ines ables. Adem´as, la elocidad c ´ı ica iene una as´ın o a e ical y es un n´ume o imagina io pa a alo es al os de ε. En consecuencia, no se pod ´ıa ga an iza el compo amien o del pa pa a alo es de la excen icidad mayo es que dicha as´ın o a. Cuando el es udio din´amico se ealiza a pa i del modelo hid odin´amico de ca i aci´on de El od–Adams (4)–(8), se incluye el c´alculo de la ue za ~ F, dada po (22), en cada i e a- ci´on empo al del m´e odo num´e ico desc i o en la Secci´on 2. Po o a pa e, conside ando el eje como un s´olido ´ıgido, se plan ea la esoluci´on num´e ica, median e un m´e odo cl´asico de Newma k, del sis ema de ecuaciones di e enciales o dina ias que ige la acele aci´on del cen o de g a edad del eje, (xg, yg), en unci´on de dicha ue za: M¨xg=ZΓe p nxdΓ ; M¨yg=ZΓe p nydΓ,(33) siendo (nx, ny) las componen es del ec o uni a io, no mal e in e io a la on e a del eje. Los esul ados ob enidos pa a los alo es c ´ı icos de es abilidad se mues an en la Figu a 1. Po ejemplo, pa a el alo de la excen icidad ε= 0,5, en la Figu a 2 se puede comp oba el mo imien o del cen o del eje en es compo amien os di e en es: caso es able, caso c ´ı ico y caso ines able, pa a los alo es de ˜ω0= 1,10,2,5 y 3,66, espec i amen e. Es os alo es debe ´ıan se m´as ealis as que los del caso anal´ı ico, p ecisamen e po no impone la posici´on de la zona ca i ada. 7 J. Du any, J. Pe ei a-P´e ez, F. Va as 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Figu a 1: Velocidad c ´ı ica, ˜ω0, en e a la excen icidad ε(anal´ı ica: pun os; num´e ica: c´ı culos) −0.5 0 0.5 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 −0.5 0 0.5 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 −0.5 0 0.5 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Figu a 2: Mo imien o del cen o del eje (´angulo, excen icidad), pa a excen icidad inicial ε= 0,5. Caso es able, c ´ı ico e ines able, de izquie da a de echa. Ag adecimien os Es e abajo ha sido pa cialmen e inanciado po el P oyec o MTM2004-05796-C02-2 del MEC de Espa˜na, incluyendo ondos FEDER (UE), y el P oyec o PGIDIT05PXIC32202PN de la Xun a Galicia. Re e encias [1] J. Du any, G. Ga c´ıa, C. V´azquez. Nume ical simula ion o a lub ica ed he zian con ac p oblem unde imposed load. Fini e Elem. in Anal. and Design. Vol. 38 (2002), 645–658. [2] J. Du any, J. Pe ei a, F. Va as. A cell- e ex ini e olume me hod o he mohyd odynamic p oblems in lub ica ion heo y . Comp. Me h. Appl. Mech. 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