Entrenamiento con medidas experimentales de una red neuronal como modelo de material para materiales hiperelásticos

Proyecto Fin de Carrera Ingeniería de Telecomunicación Formato de Publicación de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Autor: F. Javier Payán Somet Tutor: Juan José Murillo Fuentes Dep. Teoría de la Señal y Comunicaciones Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2013 Trabajo Fin de Máster Máster en Ingeniería Aeronáutica Entrenamiento con medidas experimentales de una red neuronal como modelo de material para materiales hiperelásticos Autor: Juan Pérez Gómez Tutor: Israel García García y Adrià Quintanas Corominas Dpto. de Mecánica de Medios continuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2024 Trabajo Fin de Máster Máster en Ingeniería Aeronáutica Entrenamiento con medidas experimentales de una red neuronal como modelo de material para materiales hiperelásticos Autor: Juan Pérez Gómez Tutor: Israel García García y Adrià Quintanas Corominas Profesor Titular e Investigador Postdoctoral Barcelona Supercomputing Center Dpto. de Mecánica de Medios continuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2024 Trabajo Fin de Máster: Entrenamiento con medidas experimentales de una red neuronal como modelo de material para materiales hiperelásticos Autor: Juan Pérez Gómez Tutor: Israel García García y Adrià Quintanas Corominas El tribunal nombrado para juzgar el trabajo arriba indicado, compuesto por los siguientes profesores: Presidente: Vocal/es: Secretario: acuerdan otorgarle la calificación de: El Secretario del Tribunal Fecha: Agradecimientos A mi familia, por estar siempre a mi lado apoyándome y animándome para que dé mi mejor versión, son los pilares de mi vida. No quería irme sin agradecer a Israel y a Adrià toda su ayuda. A pesar de que el comienzo de este proyecto no fue fácil, ellos han estado siempre ahí para ofrecer cualquier ayuda. Gracias por hacer que aún me apasione más este mundo. Juan Pérez Gómez Sevilla, 2024 I Resumen E n este proyecto, se parte de un modelo de red neuronal ya existente para la creación y evaluación de un modelo de material hiperelástico, utilizando medidas experimentales para su entrenamiento. Inicialmente se profundiza en la naturaleza de los materiales hiperelásticos, sus características y los distintos modelos existentes que definen su comportamiento. También se estudiaron las bases y peculiaridades de las redes neuronales. La campaña de ensayos experimentales, en la que se sometieron probetas de material hiperelástico a diversas cargas, proporcionó los datos necesarios para entrenar la red neuronal, tratando estas simulaciones de sustituir a los ensayos reales en laboratorio. Mientras que, los resultados obtenidos se compararon con el Método de Elementos Finitos (MEF) de ABAQUS, mostrando que el modelo neuronal captura con precisión el comportamiento mecánico bajo diversas condiciones de carga. Este enfoque no solo ofrece una nueva alternativa a métodos tradicionales, sino que también reduce el tiempo y los recursos necesarios para el desarrollo de nuevos materiales, abriendo nuevas posibilidades en la modelización y diseño de materiales avanzados. En resumen, este trabajo demuestra el potencial de las redes neuronales como herramientas poderosas y versátiles para la ingeniería de materiales, sentando las bases para futuras innovaciones en el campo de los materiales. II Abstract I n this project, an existing neural network model is used to create and evaluate a hyperelastic material model, utilizing experimental measurements for training. Initially, the nature of hyperelastic materials, their characteristics, and the different existing models that define their behavior were studied. The fundamentals and peculiarities of neural networks were also examined. The experimental testing campaign, in which hyperelastic material samples were subjected to various loads, provided the necessary data to train the neural network. The obtained results were compared with the Finite Element Method (FEM) of ABAQUS, showing that the neural network model accurately captures the mechanical behavior under various loading conditions. This approach not only offers a new alternative to traditional methods but also reduces the time and resources needed for the development of new materials, opening new possibilities in the modeling and design of advanced materials. In summary, this work demonstrates the potential of neural networks as powerful and versatile tools for material engineering, laying the groundwork for future innovations in the field of materials. III Índice de Tablas 1.1 Valores de los coeficientes del modelo de Ogden, [11] 8 3.1 Resultados obtenidos de la simulación para el nodo inferior en el ensayo de tracción 36 3.2 Resultados obtenidos de la simulación para el nodo superior en el ensayo de tracción 36 3.3 Resultados de F11 obtenidos de la simulación en el ensayo de tracción 37 3.4 Resultados obtenidos de la simulación para el nodo inferior en el ensayo de compresión 43 3.5 Resultados obtenidos de la simulación para el nodo superior en el ensayo de compresión 44 3.6 Resultados de F11 obtenidos de la simulación en el ensayo de compresión 44 3.7 Propiedades mecánicas del acero 46 3.8 Resultados obtenidos de la simulación para el nodo inferior en el ensayo de cortadura 51 3.9 Resultados obtenidos de la simulación para el nodo superior en el ensayo de compresión 51 3.10 Resultados de F11 obtenidos de la simulación en el ensayo de cortadura 52 4.1 Resultados obtenidos con ambos métodos para el nodo situado a 0◦en el borde del orificio 72 4.2 Resultados obtenidos con ambos métodos para el nodo situado a 90◦en el borde del orificio 72 4.3 Desviaciones de la resolución mediante el modelo de la UANISOHYPER _ INV con respecto al MEF de ABAQUS para el nodo situado a 0◦en el borde del orificio 72 4.4 Desviaciones de la resolución mediante el modelo de la UANISOHYPER _ INV con respecto al MEF de ABAQUS para el nodo situado a 90◦en el borde del orificio 72 5 1 Introducción E ste proyecto se enfoca en la predicción del comportamiento de materiales hiperelásticos utilizando redes neuronales, basándose en datos obtenidos de una campaña de ensayos específicos. La capacidad de las redes neuronales para predecir comportamientos complejos ofrece una alternativa prometedora a los métodos tradicionales. En los últimos años, la implementación de modelos basados en la teoría del hiperelasticidad ha avanzado significativamente, permitiendo estudiar y predecir el comportamiento de materiales que experimentan grandes deformaciones. Estos modelos se han integrado en diversos programas de elementos finitos, proporcionando herramientas poderosas para el análisis estructural. Sin embargo, la predicción precisa del comportamiento de materiales hiperelásticos sigue siendo un desafío debido a la complejidad de su respuesta mecánica. El objetivo de este proyecto es entrenar una red neuronal capaz de predecir el comportamiento de materiales hiperelásticos, alimentada con datos obtenidos de la simulación de ensayos experimentales específicos, sustituyendo dichas simulaciones a los ensayos reales en laboratorio. La implementación de esta red neuronal en un entorno de elementos finitos permitirá realizar análisis más precisos y eficientes. La metodología incluirá la realización de una campaña de ensayos detallada para recopilar datos que describan el comportamiento hiperelástico de los materiales, la capacitación de la red neuronal con estos datos y la integración de la red neuronal en un código de elementos finitos como ABAQUS mediante subrutinas personalizadas. La organización de este capítulo será la siguiente: en la sección 1.1 se presentará una introducción breve a los materiales hiperelásticos. En la sección 1.2 se dedica a la teoría y aplicación de redes neuronales en la predicción de comportamientos materiales. La sección 1.3 está destinada a el entendimiento y la descripción de diversas técnicas de ensayo. Finalmente, en la sección 1.4 se detallarán los objetivos específicos del proyecto y su organización general. 1.1 Material Hiperelástico Dado que nuestro proyecto se centra en el entrenamiento de una red neuronal para predecir el comportamiento de materiales hiperelásticos, se procede a la definición de los mismos. Un material hiperelástico, también conocido como material elástico no lineal, es un tipo de material que se deforma de manera reversible cuando se le aplica una carga, y cuya relación entre el esfuerzo (tensión) y la deformación (distorsión) es no lineal. La característica principal de los materiales hiperelásticos es que su comportamiento elástico puede ser descrito por una función de energía de deformación, la cual depende únicamente del estado de deformación del material. Se tratan de un caso particular del material elástico de Cauchy. W=f(I1,I2,I3)(1.1) 6 1.1 Material Hiperelástico 7 El comportamiento constitutivo de este tipo de materiales, se define como se ha mencionado anteriormente, a partir de un potencial de energía de deformación, el cual se basa en los tres invariantes del tensor de deformación de Green: I1,I2yI3. Donde, si definimos los tres invariantes en función de los ratios de deformación principales, λ1 , λ2 y λ3 queda I1=λ2 1+λ2 2+λ2 3(1.2) I2=λ2 1λ2 2+λ2 2λ2 3+λ2 3λ2 1(1.3) I3=λ2 1λ2 2λ2 3(1.4) Hay muchos materiales hiperelásticos que se pueden considerarse incompresibles. Este trabajo se va a centrar en este tipo de materiales, con lo que I3=0. Esto implica que Wes solo función de I1 y I2 W=f(I1−3,I2−3)(1.5) 1.1.1 Modelos de material Hiperelástico En general, encontramos dos tipos principales de modelos de materiales hiperelásticos. Los modelos fenomenológicos, que hacen referencia a la mecánica de medios continuos, donde las constantes del material son generadas mediante ajuste de curvas. El otro tipo, son los modelos micromecánico, con referencia a la microestructura donde las constantes del material son generadas mediante ensayos. Ambas fenomenologías se puede ver en la figura 1.1. Aunque hay muchos modelos propuestos para describir la respuesta de este tipo de materiales, sólo unos pocos pueden describir el comportamiento de los mismos de manera satisfactoria. para diferentes estados de carga. En concreto, nos centraremos en los modelos fenomenológicos correspondientes a materiales isocóricos. Figura 1.1 Clasificación de modelos para materiales Hiperelásticos, [3]. Los modelos en los que nos centraremos, modelan la energía de deformación almacenada en el material por unidad de volumen (densidad de energía de deformación), W , como un polinomio dependiente de términos desviatorios y volumétricos: W= N ∑ i=0 Ci j(¯ I1−3)i(¯ I2−3)j+ N ∑ i=1 1 Di (Jel −1)(1.6) 1 8Capítulo 1. Introducción donde Ci j son constantes del material que controla el comportamiento a cortadura y puede determinarse mediante ensayos uniaxiales, biaxiales y planos; Di es la constante del material que controla la compresibilidad volumétrica y Jel es el ratio de volumen elástico. Los modelos más característicos para este tipo de materiales son: formulación de Mooney-Rivlin, Neo- Hookeana, de Yeoh, de Ogden, de Arruda-Boyce, de Marlow, de Van der Waals, etc. Concretamente, nos centraremos en la de Ogden, pues es el que usamos para nuestro desarrollo. Modelo de Ogden Este modelo, se trata de un modelo fenomenológico basado en las deformaciones principales en lugar de en los invariantes. Este modelo tiene la capacidad de capturar el endurecimiento de la curva tensión-deformación y modelar a los materiales hiperelástico con precisión para grandes rangos de deformación W= 3 ∑ i=0 2µi α2 i (¯ λ1 αi+¯ λ2 αi+¯ λ3 αi−3)i+ 3 ∑ i=1 1 Di (Jel −1)2i(1.7) donde ¯ λi son las deformaciones desviadoras principales, mientras que µi y αi son propiedades del material dependientes de la temperatura, tal y como se indica en [3]. La razón de usar este modelo es que proporciona buenos resultados y además sus coeficientes son fáciles de obtener y manejar, algo que no ocurre en otros modelos de material hiperelástico. Concretamente, los coeficientes del modelo con los que se ha realizado los diferentes ensayos que se muestran más adelante son, los que aparecen en la tabla 1.1. Tabla 1.1 Valores de los coeficientes del modelo de Ogden, [11]. µi[MPa] αiDi 3.723 1.545 0 6.562e-3 5.846 0 0.170 -1.835 0 Como se puede ver, se ha impuesto N=3. 1.2 Redes neuronales 1.2.1 Historia de las redes neuronales Las redes neuronales han recorrido un largo camino desde sus inicios teóricos hasta convertirse en una de las técnicas más poderosas y versátiles en el campo del machine learning y la inteligencia artificial (IA). La historia de las redes neuronales comienza en 1943 con el trabajo pionero de Warren McCulloch y Walter Pitts, quienes desarrollaron el primer modelo computacional de una neurona artificial, conocido como lógica umbral. Este modelo sentó las bases para dos enfoques distintos en la investigación: uno centrado en entender los procesos biológicos del cerebro y otro en la aplicación de estos principios a la inteligencia artificial. A finales de los años 40, el psicólogo Donald Hebb propuso una teoría sobre la plasticidad neuronal, denominada aprendizaje de Hebb, que sugería cómo las conexiones entre neuronas se fortalecen a través del uso repetido. Esta teoría fue crucial para el desarrollo de modelos computacionales de aprendizaje no supervisado. Inspirados por estas ideas, en la década de 1950, investigadores como Farley y Clark comenzaron a simular redes neuronales en computadoras primitivas, conocidas como "calculadoras", en el MIT. En 1958, Frank Rosenblatt introdujo el perceptrón, un algoritmo de reconocimiento de patrones que utilizaba una red de neuronas artificiales, aunque presentaba limitaciones significativas como la incapacidad de procesar funciones no lineales complejas, tales como el circuito de o-exclusiva. 1.2 Redes neuronales 9 La investigación en redes neuronales sufrió un estancamiento significativo después de que Marvin Minsky y Seymour Papert publicaran en 1969 una crítica que destacaba estas limitaciones y la falta de poder computacional de la época. Sin embargo, el campo fue revitalizado en 1975 con la introducción del algoritmo de propagación hacia atrás por Paul Werbos. Este algoritmo resolvió problemas críticos, permitiendo la formación eficiente de redes neuronales multicapa y marcando un avance fundamental. Durante los años 80, el concepto de conexionismo, popularizado por David Rumelhart y James McClelland, promovió el uso de redes neuronales para simular procesos cognitivos en los ordenadores. A pesar de la competencia de métodos alternativos como las máquinas de soporte vectorial y los clasificadores lineales en la década de 1990, las redes neuronales encontraron aplicaciones exitosas en áreas específicas, como la predicción de estructuras de proteínas. El verdadero resurgimiento de las redes neuronales ocurrió a principios de los años 2000 con el incremento del poder computacional y la introducción de GPUs para acelerar el entrenamiento de modelos. Técnicas como el max-pooling y la preformación no supervisada de redes multicapa permitieron superar desafíos como el problema del desvanecimiento del gradiente. Estas innovaciones dieron lugar al auge del aprendizaje profundo, aplicando redes neuronales profundas a gran escala en tareas de procesamiento de imágenes y reconocimiento visual. El aprendizaje profundo, una subdisciplina del machine learning, ha demostrado ser extremadamente efectivo para una variedad de aplicaciones, desde la visión por computadora hasta el procesamiento del lenguaje natural. A diferencia de otros métodos de machine learning, las redes neuronales profundas pueden aprender representaciones jerárquicas complejas de los datos, lo que las hace particularmente adecuadas para problemas donde las relaciones entre las características son altamente no lineales. En resumen, las redes neuronales han evolucionado desde modelos teóricos básicos hasta convertirse en herramientas esenciales en el arsenal del machine learning. Su capacidad para modelar y aprender de datos complejos ha transformado múltiples campos y sigue siendo un área de investigación y aplicación dinámica y en rápida evolución. 1.2.2 Concepto de red neuronal artificial El concepto de red neuronal artificial, se engloba dentro del marco actual del machine learning y se trata de un conjunto organizado de neuronas que se agrupan en capas, de tal forma que cada capa recibe datos de la capa anterior y los entrega a la siguiente. Al colocar capas de manera secuencial conseguimos que la red aprenda un conocimiento jerarquizado. Figura 1.2 Esquema de una red neuronal artificial. Por otro lado, el término neurona mencionado anteriormente, hace referencia a la unidad de procesamiento mínima de una red neuronal. Estas neuronas, tienen conexiones de entrada a través de las cuales reciben estímulos externos (valores de entrada). Con estos datos de entradas realizarán cálculos internos mediante una 10 Capítulo 1. Introducción función de activación (como por ejemplo podría ser una suma ponderada de las entradas que van multiplicadas por unos pesos) y devolverá una salida. Como se puede ver en la figura 1.2, los parámetros designados con Xson las entradas, los designados con Ylas salidas y los designados con W (∗) son parámetros propios de la red neuronal. Estos últimos parámetros se determinan de tal forma que ante un conjunto de parámetros de entrada y de salida, el modelo de la red neuronal sea capaz de ajustarse de manera adecuada a dichos datos Funciones de activación La función de activación de una neurona se encarga de distorsionar su valor de salida, añadiéndole deformaciones no lineales para así poder encadenar de forma efectiva la computación de varias neuronas, ya que si todas las células lo que hiciesen fuese sumar ponderadamente las entradas, la red neuronal colapsaría y sería equivalente a tener una única neurona. Por otro lado, no cualquier función puede ser una función de activación para una neurona, para serlo estas deben cumplir una serie de requisitos asociados a restricciones físicas, como se indica en [ 1 ]. Algunas de las funciones matemáticas que pueden ser usadas para este fin son: •Función sigmoide: f(x) = 1 1+e−x(1.8) Figura 1.3 Función sigmoide. •Función tangente hiperbólica: f(x) = tanh x=ex−e−x ex+e−x(1.9) 1.2 Redes neuronales 11 Figura 1.4 Función tangente hiperbólica. •Función unidad rectificada lineal f(x) =    x si x >0 0si 0<x (1.10) Figura 1.5 Función RELU. Se muestra ahora un ejemplo, en la figura 1.6, del funcionamiento de una red neuronal artificial para clarificar la intervención de las funciones de activación y de los parámetros de la red, dicho ejemplo ha sido obtenido de la referencia [1]. 12 Capítulo 1. Introducción Figura 1.6 Ejemplo de red neuronal artificial (ANN), [1]. Como se puede ver, esta red neuronal cuenta con dos entradas ( I1−3 ) y ( I2−3 ) y con dos capas ocultas, la primera de ellas genera potencias ( ◦ ) 1 y ( ◦ ) 2 de los valores de entrada y la segunda aplica la identidad ( ◦ ) y la función exponencial ( exp ( ◦ )-1) a estas potencias, de tal forma que el conjunto de ecuaciones para esta red neuronal es el siguiente: ψ(I1,I2) = w2,1w1,1[I1−3]+w2,2[exp(w1,2(I1−3))−1] +w2,3w1,3[I1−3]2+w2,4[exp(w1,4(I1−3)2)−1] +w2,5w1,5[I2−3]+w2,6[exp(w1,6(I2−3))−1] +w2,7w1,7[I2−3]2+w2,8[exp(w1,8(I2−3)2)−1] (1.11) donde wn,m son los parámetros de la red y son los que se determinarían mediante el entrenamiento de la red. Dicho entrenamiento como se ha dicho ya consiste en pasarle a la red conjuntos de datos de entrada y salida, de manera que los parámetros de la red se toman para que los resultados de salida de la red se ajusten de la mejor manera posible a los datos de salida proporcionados. Estrategia del Back propagation Se trata de una técnica mediante la cual la red neuronal artificial es capaz de ajustar por sí misma sus propios parámetros. Se trata de realizar un análisis sobre toda la cadena de responsabilidades que ha afectado al resultado. Si durante este proceso encontramos una neurona con influencia en el error obtenido deberemos responsabilizar a esa neurona con parte del error. Este análisis tiene sentido realizarlo hacia atrás, es decir, desde la señal de error hasta las primeras capas, porque el error de las capas posteriores depende directamente del error de las capas anteriores (si los datos de una capa afectan poco al error final, las anteriores también afectarán poco. Si esto no fuese así sí que habría que revisar las capas que encontramos aguas arriba de la señal de error). Aplicar back propagation consiste en operar de manera recursiva capa tras capa moviendo el error hacia atrás de tal forma que cuando lleguemos a la primera capa habremos obtenido el error para cada capa, para cada neurona y para cada uno de sus parámetros, de esta forma será más fácil identificar el error. Overfitting y underfitting El overfitting y el underfitting se tratan de dos problemas de ajuste con los que nos encontramos al realizar el entrenamiento de una red neuronal. En concreto, el underfitting se da cuando el modelo es muy rígido de tal forma que la red no se puede adaptar a los datos y por tanto, los errores para las predicciones de datos nunca vistos (datos diferentes a los de training) son mayores. Es decir, la red no ofrece flexibilidad suficiente para adaptarse al conjunto de datos que se le proporciona. Por otro lado, el overfitting es justo el caso contrario al anterior. Aquí el problema, es el exceso de felxibilidad con el que se dota al modelo que hace que este sea incluso capaz de modelar el ruido contenido en los datos que se le pasan a la red para su entrenamiento. Es decir, el modelo se especializa muy bien en resolver 1.2 Redes neuronales 13 los casos para los que ha sido entrenado (como si memorizase las soluciones) pero si a la red le pasamos un conjunto de datos diferentes a los de entrenamiento, probablemente la red no ofrezca unos buenos resultados. Por último, cabe decir que el caso en el que el overfitting aparece se puede identificar. Para ello, sería necesario dividir el conjunto de datos del que se dispone en dos grupos: uno para realizar el entrenamiento (80 % de los datos totales) y otro para realizar el testeo (20 % de los datos totales) con la consigna de que estos datos deben ser independientes e idénticamente distribuidos en ambos grupos. Si al representar los errores obtenidos en el testeo y el entrenamiento sucede una situación similar a la que se muestra en la figura 1.7, el overfitting habrá tenido lugar y los resultados que se están obteniendo durante el testeo están distorsionados. Esta técnica recibe el nombre de técnica de Hold-Out, figura 1.7. Figura 1.7 Muestra de overfitting al usar técnica Hold-Out, [7]. Tipos de redes Hay muchos tipos de redes neuronales artificiales, a continuación se definen alguno de ellos, para ello se ha hecho uso de la referencia • Adaline y madaline: Modelos adaptativos desarrollados por Bernand Widrows Y Marcian Hoff de la Universiadad de Stanford. El significado de Adaline es Adaptative Linear Element y fue desarrollado en el objetivo de reconocer patrones binarios. Su funcionamiento se basa en la suma de pesos de las entradas produciendo una salida con valor 0 o 1. Resulta un elemento muy importante ya que de él se derivan redes más complejas. Si juntásemos y organizásemos varias capas Adaline formaríamos una red Madaline (Multiple Adaptative Linear Element). • Red backpropagation: Fue creada en 1986, se basa en el aprendizaje mediante asociación de patrones existentes. El backpropagation tiene capacidad para generalizar que hace un comportamiento, esto lo consigue mediante un conjunto de muestras escogidas como patrones de entrenamiento. Es como un cerebro humano, por lo que necesita de una etapa de aprendizaje. Este tipo de red requiere una búsqueda de una función de comportamientos que se acople a los valores muestreados y al comportamiento del sistema con un error mínimo. • Perceptron multicapa: Se trata de una red conformada por un conjunto de neuronas que permite la comunicación mediante el envío de señales entre sí con un conjunto de buenas conexiones. Por otro lado, cuenta con un estado de activación que determina la salida de la neurona. Estas neuronas están 2 Marco computacional El objetivo de este apartado es el de mostrar los aspectos generales y el modo de funcionamiento de la subrutina UANISOHYPER _ INV que hemos usado para desarrollar nuestro modelo de material. Esta subrutina no es más que una herramienta usada para definir el comportamiento mecánico del material a partir del entrenamiento de la red neuronal. Además la subrutina UANISOHYPER _ INV, se usa para definir el potencial de energía de deformación de materiales hiperelásticos anisotrópicos en función de un conjunto irreducible de invariantes escalares. En este caso, la subrutina es llamada en todos los puntos de cálculo de los elementos definidos en la simulación que tiene un comportamiento hiperelástico anisótropo definido por el usuario con una formulación basada en invariantes. Por otro lado, la subrutina puede incluir el comportamiento del material dependiente de variables de campo o variables de estado. Adicionalmente, para usar esta subrutina, se requiere que los valores de las derivadas de la función de densidad de energía de deformación del material hiperelástico anisotrópico se definan con respecto a las invariantes escalares. Por último, esta subrutina es llamada dos veces por punto material en cada iteración. 2.1 Tensor gradiente de deformación El vector posición de un punto cualquiera del sólido en la configuración indeformada o de referencia es X . Este vector se usa, en la descripción lagrangiana del movimiento, como etiqueta del punto durante todo el cambio de configuración. Por ello, en la configuración actual, el vector posición x del punto será una función de X1,X2,X3y del tiempo t. x=x(X1,X2,X3,t) = x(X,t)(2.1) Derivando esta expresión en un instante tdado, se tiene dx =∂x ∂XdX (2.2) El tensor ∂x ∂Xse denomina tensor gradiente de deformación F=∂x ∂X(2.3) y convierte el vector inicial dX en el vector dx resultado de la deformación dx =FdX (2.4) Por otro lado, para hallar las pequeñas deformaciones a partir de dicho tensor hay que aplicar la siguiente transformación ε=1 2·(FT·F−I)(2.5) 20 2.2 Ecuaciones de gobierno 21 de esta forma en el caso 2D tenemos lo siguiente   εx 1 2γxy 1 2γxz 1 2γxy εy 1 2γyz 1 2γxz 1 2γyz εz  =1 2   F11 F12 F13 F21 F22 F23 F31 F32 F33  ·  F11 F12 F13 F21 F22 F23 F31 F32 F33  −  100 010 001   = = 0,5 ·  F2 11 +F12F21 +F13F31 −1F11F12 +F22F12 +F13F32 F11F13 +F12F23 +F13F33 F11F21 +F22F21 +F23F31 F12F21 +F2 22 +F23F32 −1F21F13 +F22F23 +F23F33 F31F11 +F32F21 +F33F31 F12F31 +F32F22 +F33F32 F13F31 +F23F32 +F2 33 −1  (2.6) Por lo que, para el caso en el que se aplique compresión o tracción ( F11 = λ , F12 = F21 = F13 = F31 = 0) al espécimen en cuestión queda que εx=1 2(F2 11 −1)(2.7) Para el caso en el que se aplica cortadura (F11 =F22 = 1, F12=γ) γxy =2·F12 (2.8) Dado que no siempre es posible aplicar las simplificaciones realizadas en las ecuaciones 2.7 y 2.8, se opta por la definición dada en la ecuación 2.3, para la cual en el numerador se corresponde con la diferencia de desplazamientos de unos puntos auxiliares (estos puntos se definen más adelante para cada ensayo) tras aplicar la carga en el ensayo y una vez se ha alcanzado la configuración deformada, mientras que el numerador se corresponde con la distancia inicial que separan a los dos puntos auxiliares en la configuración indeformada. El motivo de introducir este tensor es que el entrenamiento de la red, mostrado en el Capítulo 3, se hace en términos del propio tensor. No obstante para la simulación de los ensayos mediante elementos finitos lo que se impone es el desplazamiento, por lo que es importante tener clara la relación entre el tensor gradiente de deformación, las deformaciones y los desplazamientos. Además, esta variable se usa también en desarrollos posteriores como los que se muestran en las Sección 2.2. 2.2 Ecuaciones de gobierno Se resumen aquí las ecuaciones constitutivas y las cinemáticas. Además, se reducen el conjunto general de ecuaciones para los casos de tensión uniaxial, compresión uniaxial y cizalladura. 2.2.1 Cinemática Para caracterizar las deformaciones, se introduce el mapeo de deformaciones ϕ , dicho mapeo representa las partículas del material X desde su situación indeformada, hasta la situación de las mismas la configuración deformada, x = ϕ(X) . Para describir las deformaciones relativas dentro de la muestra usando el tensor gradiente de deformación F, ya comentado en la sección 2.1, y su Jacobiano J. En el estado indeformado, el gradiente de deformación es igual al tensor unitario, F=I , por lo que el Jacobiano sería igual a uno, J=1 . Un Jacobiano menor que uno, 0 < J < 1, indica daiminución de volumen y un Jacobiano mayor que uno, 1 < J , indica aumento de volumen. Para caracterizar un material isótropo, introducimos los 3 invariantes principales I1,I2yI3y sus derivadas ∂FI1,∂FI2y∂FI3 I1=F:F∂FI1=2F(2.9) I2=1 2[I2 1−[Ft˙ F]:[Ft˙ F]] ∂FI2=2[I1F−F˙ Ft˙ F](2.10) I3=det(Ft˙ F) = J2∂FI3=2I3F−t(2.11) En el estado indeformado, los tres invariantes toman los siguientes valores: I1 = 3, I2 = 3 y I3 = 1. Para materiales isótropos, perfectamente incompresibles, el tercer invariante siempre es igual a la unidad, lo que reduce el conjunto de invariantes a dos, I1yI2. 22 Capítulo 2. Marco computacional Tracción y compresión. Para el caso de tracción y compresión uniaxial, estiramos el especimen en una dirección, F11 = λ1 = λ . Para material isótropo con I3 = λ2 1λ2 2λ2 3 = 1. Los alargamientos ortogonales a la dirección de carga son, F11 = λ2 = λ1/2 y F33 = λ3 = λ1/2 . De esta forma, a partir del gradiente de deformación, podemos obtener el primer y segundo invariante y consecuentemente sus derivadas, I1=λ2+2 λcon ∂I1 ∂λ =2λ− 2 λ2(2.12) I2=2λ2+1 λ2con ∂I2 ∂λ =2− 2 λ3(2.13) Cizalladura. Para el caso de tensión tangencial simple, aplicando dicha tensión en una dirección, F12 = γ . Para un material isótropo con F11 =F22 =F33, calculando el primer y segundo invariante y sus derivadas, I1=3+γ2con ∂I1 ∂λ =2γ(2.14) I2=3+γ2con ∂I2 ∂λ =2γ(2.15) 2.2.2 Ecuaciones constitutivas Las ecuaciones constitutivas relacionan una tensión como la nominal P , que se trata de la fuerza por área no deformada que se suele medir en experimentos, con una medida de deformación como la del gradiente de deformación F . Como se muestra en la [ 4 ], la tensión nominal puede ser expresada como P=∂ψ ∂F , donde ψ(F) es la derivada de la función de la energía libre de Helmotz. A esta expresión anterior de P , se le añade un término de presión para asegurar la perfecta incompresibilidad, como se indica en [4]. P=∂ψ ∂F−pF−t(2.16) Aquí, p es la presión hidrostática, que actúa como multiplicador de Lagrange que se determina a partir de las condiciones de contorno. Por otro lado, en lugar de expresar la energía libre en términos del gradiente de deformación, podemos expresarlo en término de los invariantes ψ(i1,I2) , esto nos proporciona la siguiente expresión de la tensión nominal P=∂ψ ∂I1 ·∂I1 ∂F+∂ψ ∂I2 ·∂I2 ∂F−pF−t=2∂ψ ∂I1 +I1·∂ψ ∂I2·F−2·∂ψ ∂I2 ·F·F−t·F−p·F−t(2.17) Tracción y compresión. Para este caso, se evalúa la tensión uniaxial nominal P11 usando la relación general tensión-alargamiento para materiales perfectamente incompresibles: Pii =∂ψ ∂I1∂I1 ∂λi+∂ψ ∂I2∂I2 ∂λi−∂ψ ∂I11 λi·p(2.18) donde p es la presión hidrostática que determinamos a partir de la condición de tensión nula en las direcciones transversales P22 =0yP33 = 0, p=2 λ·∂ψ ∂I1 +2λ+2λ2·∂ψ ∂I2 (2.19) De esta forma, se llega a que P11 =2∂ψ ∂I1 +1 λ·∂ψ ∂I2·λ− 1 λ2(2.20) Cizalladura. Para el caso de cizalladura simple, evaluamos la tensión nominal de cizalladura P12 utilizando la relación general tensión-alargamiento para materiales perfectamente incompresibles con los invariantes. Esto da como resultado la siguiente relación explícita de esfuerzo cortante-deformación, P12 =2∂ψ ∂I1 +∂ψ ∂I2·γ(2.21) 2.2 Ecuaciones de gobierno 23 2.2.3 Funcionamiento A continuación se detalla, brevemente, el funcionamiento de la subrutina. En primer lugar hay que tener en cuenta como ABAQUS resuelve los modelos de MEF. Supondremos que estamos ante modelos de un solo “step”. Un “step” se puede entender como un caso de carga, ya que a cada “step” se le asocia unas condiciones de contorno y unas cargas. Pero además de esto podemos hacer que un nuevo “step” obtenga las características modificadas del modelo por otro “step”, por ejemplo supongamos que estamos ante un modelo con un comportamiento elasto-plástico y sometemos al modelo a un “step” que produce la plastificación de cierta zona del modelo, podríamos crear un step que siguiera al anterior con lo que el nuevo “step” tendría plastificada esa zona del modelo. Al “step” se le asigna un tiempo, el cual tiene significado físico si estamos en un caso dinámico, pero como el análisis que realizaremos es un análisis estático este tiempo carece de alguna relación con el tiempo físico. Los steps están compuestos por incrementos, y en cada incremento se aplica un “incremento” de las cargas aplicadas. En cada incremento se realizan una serie de iteraciones para llegar al equilibrio con las cargas correspondientes a este incremento. En el caso que se haya utilizado el máximo de iteraciones permitidas y el problema no llegue a converger, se desecha la solución que no alcanzó el equilibrio y se realiza un nuevo incremento con un paso de carga menor al que se ha dado anteriormente. Toda esta información es mostrada en los archivos con la terminación “.sta”. En la figura 2.1 podemos ver un esquema del proceso que sigue ABAQUS para resolver los problemas, y donde llama a la subrutina UA. Si bien el esquema indicado puede mostrar de una forma sencilla el funcionamiento de ABAQUS y donde se ejecuta la subrutina UANISOHYPER _ INV, no es válido para la primera iteración de cualquier elemento. En esta primera iteración la subrutina UANISOHYPER _ INV es llamada dos veces, en la primera llamada la matriz de rigidez es montada usando la configuración de la situación inicial en el incremento. En la segunda llamada se actualiza la rigidez basándose en la configuración actualizada de la iteración anterior. En las demás iteraciones la configuración inicial estará basada en la iteración anterior. En cada iteración que se realiza para buscar el equilibrio y para cada punto de integración de cada elemento se ejecuta la subrutina UANISOHYPER_INV. Para cada iteración ABAQUS pasa a la subrutina las tensiones al comienzo de la iteración, las deformaciones al comienzo de la iteración y el incremento de deformaciones previstos. A partir de los datos que hemos introducido a la subrutina debemos devolverle a ABAQUS la matriz jacobiana y las tensiones actualizadas. 2.2.4 Formato de la subrutina Tal y como aparece en [ 4 ], la UANISOHYPER _ INV que usaremos se encuentra dividida en 4 algoritmos que pasamos a explicar un poco en profundidad. El primero de estos 4 algoritmos, incluye un pseudocódigo que describe como se computa la densidad de energía de deformación ( ψ ) y las primeras y segundas derivadas de las mismas con respecto a los invariantes ( ∂ψ/∂Ii y ∂ψ/∂Ii∂Ij ) en el punto de integración durante un análisis de elementos finitos. En definitiva, se comienza a inicializar todos lo índices relevantes y a leer las funciones de activación y los pesos de los nodos de la red neuronal. Seguidamente, se evalúa cada parámetro de cada nodo, en la tabla de parámetros UNIVERSAL_TAB que previamente a definido el usuario y se van actualizando la función de densidad de energía de deformación, sus primeras derivadas (( ∂ψ/∂Ii ) y sus segundas derivadas ( ∂ψ/∂Ii∂Ij )) usando los invariantes de referencia corregidos del nodo xInv. Por otro lado, el Algoritmo 2 detalla la actualización aditiva de la energía libre ( ψ ) y sus primeras y segundas derivadas dentro de la subrutina de material de usuario. Por último, los algoritmos 3 y 4 proporcionan el pseudocódigo para las dos subrutinas ( uCANN_h1 y uCANN_h2 ) que evalúa la primera y segunda capa de la red para cada nodo de la red con sus funciones y pesos. 24 Capítulo 2. Marco computacional Comienzo del análisis Definición de las condiciones Iniciales Comienzo del step Comienzo del incremento Definición de la matriz de rígidez del elemento K^el Definición de las cargas R Resolver el sistema: K^el u R = residuo ¿Converge? ¿Residuo<Tolerancia? ¿Final del Step? FIN Sí Sí UANISOHYPER_INV Comienzo de la iteración No No Figura 2.1 Esquema del funcionamiento de ABAQUS/Standard al utilizar la subrutina UANISOHYPER _ INV. 2.2 Ecuaciones de gobierno 25 Figura 2.2 Algoritmo 1 de la UANISOHYPER_INV, [4]. Figura 2.3 Algoritmo 2 de la UANISOHYPER_INV, [4]. 26 Capítulo 2. Marco computacional Figura 2.4 Algoritmos 3 y 4 de la UANISOHYPER_INV, [4]. 3 Entrenamiento de la ANN Para entrenar a la red nos basamos en la forma en la que se realiza en [ 1 ]. Aquí, se consideran 3 casos de carga claramente diferenciados: tracción, compresión y cortadura, Para cada uno de ellos, los datos de entrenamiento son 19 pares de datos compuestos por el valor de F11 (para caso de carga uniaxial) o F12 (para el caso de cortadura) cuyo significado se explica a continuación y la tensión correspondiente a dicho valor de la componente del tensor gradiente de deformación. El criterio seguido para la selección de los datos para entrenar a la red es el siguiente: para tracción se han seleccionado los datos en los que F11 se encuentra entre 1 y 1,1, para compresión se han seleccionado los datos en los que F11 se encuentra entre 1 y 0,9 y para cortadura se han seleccionado los datos en los que F12 se encuentra entre 0 y 0,2. De esta forma se ha seguido la misma filosofía de los autores de la referencia [ 1 ]. De nuevo, cabe recalcar que las simulaciones que en este capítulo se muestran sustituyen a los ensayos reales que se realizan en el laboratorio. El fin de estas simulaciones es el de obtener una base de datos con la que nutrir a la red para su entrenamiento. 3.1 Definición de los ensayos para entrenar la red neuronal En esta sección, se presenta la metodología seguida para obtener las bases de datos necesarias para entrenar la red neuronal. Para ello, básicamente se ha hecho uso de la simulación de elementos finitos con el software ABAQUS. Concretamente, se han obtenido 3 bases de datos, una correspondiente al caso en el que se tiene tracción, otra para compresión y otra para cortadura. En todos estos casos comentados, se ha recurrido a la normativa existente y aplicable para poder definir los ensayos en ABAQUS. También, cabe destacar que la red neuronal usada, ha sido la que aparece en la referencia [ 1 ]. En el caso que nos ocupa, únicamente se entrena dicha red a partir de los datos generados en ABAQUS mediante la simulación de los ensayos que a continuación se muestran, tratando de esta manera de imitar el papel que jugarían los ensayos reales en laboratorio. 3.1.1 Ensayo a tracción Para establecer el modelo de este ensayo en ABAQUS, se recurre a la normativa ASTM D412. Dicha normativa es la que define los ensayos de tracción para el caucho, estableciendo como ha de ser la probeta con la que se realice el ensayo, como se muestra en la figura 3.1. 27 28 Capítulo 3. Entrenamiento de la ANN Figura 3.1 Morfología de la probeta para el ensayo de tracción. Dicho ensayo, no presenta ninguna peculiaridad con respecto al típico ensayo de tracción que se realiza para caracterizar cualquier tipo de material. La probeta se sujeta por dos mordazas en los extremos de la misma, y se aplica tracción imponiéndole a la mordaza que sujeta el extremo superior de la probeta se desplace un cierto valor mientras que la mordaza del extremo inferior permanece fija. Una vez definido esto, se pasa a modelar el ensayo en ABAQUS, para lo cual primeramente se genera la geometría tal cual viene descrita en la figura 3.1. Figura 3.2 Modelo de ABAQUS de la probeta usada para el ensayo de tracción. Tras esto, se procede a crear el modelo de material en ABAQUS y a asignarlo a la geometría mostrada en la figura 3.2. 3.1 Definición de los ensayos para entrenar la red neuronal 29 Figura 3.3 Modelo de material hiperelástico de Ogden en ABAQUS. Como se puede comprobar los valores introducidos en los diferentes coeficientes del modelo coinciden con los mostrados en la tabla 1.1. El por qué se usan estos datos reside en que son los datos que se han tomado de ejemplo para mostrar la viabilidad de la estrategia. Además, cabe recordar que todos las simulaciones que se exponen en el presente capítulo son sustitutivas de los experimentos reales, tratando de jugar el mismo papel que dichos ensayos. El siguiente paso, es el de crear los diferentes Steps en los cuales se aplican las diferentes condiciones de contorno. Concretamente, hemos creado un único Step, ya que el denominado "Initial" ya viene creado por defecto. El step creado ha sido denominado "LoadingStep". En el "Initial" se incluyen las condiciones de contorno en las que se restringe un grado de libertad mientras que en el "LoadingStep" la condición de carga impuesta que provoca la deformación en la probeta. Una vez realizado esto, se procede crear las condiciones de contorno. En el extremo inferior de la probeta, se han restringido los desplazamientos a lo largo de los ejes X , Y y Z , además de los giros alrededor de X y Z (para lo que se ha impuesto la condición de simetría con respecto a Y, como se puede ver en la figura 3.4. 36 Capítulo 3. Entrenamiento de la ANN Tabla 3.1 Resultados obtenidos de la simulación para el nodo inferior en el ensayo de tracción. Nodo inferior Tiempo Desplazamientos [mm] Deformaciones Tensiones[Mpa] 0 0 0 0 0,02 0,05 0,002 0,02 0,04 0,09 0,004 0,04 0,07 0,16 0,01 0,08 0,1 0,23 0,01 0,11 0,12 0,28 0,01 0,13 0,14 0,32 0,01 0,15 0,17 0,39 0,02 0,19 0,2 0,46 0,02 0,22 0,23 0,53 0,02 0,25 0,27 0,62 0,03 0,3 0,3 0,69 0,03 0,33 0,33 0,76 0,03 0,37 0,38 0,88 0,04 0,42 0,4 0,93 0,04 0,44 0,43 1 0,04 0,51 0,46 1,07 0,04 0,51 0,49 1,13 0,05 0,55 0,5 1,16 0,05 0,56 Tabla 3.2 Resultados obtenidos de la simulación para el nodo superior en el ensayo de tracción. Nodo superior Tiempo Desplazamientos [mm] Deformaciones Tensiones[Mpa] 0 0 0 0 0,02 0,09 0,002 0,02 0,04 0,19 0,004 0,04 0,07 0,32 0,01 0,08 0,1 0,46 0,01 0,11 0,12 0,56 0,01 0,13 0,14 0,65 0,01 0,15 0,17 0,79 0,02 0,18 0,2 0,93 0,02 0,22 0,23 1,07 0,02 0,25 0,27 1,26 0,02 0,29 0,3 1,4 0,03 0,32 0,33 1,54 0,03 0,36 0,38 1,77 0,03 0,41 0,4 1,87 0,04 0,43 0,43 2,01 0,04 0,46 0,46 2,15 0,04 0,50 0,49 2,29 0,04 0,53 0,5 2,34 0,05 0,54 3.1 Definición de los ensayos para entrenar la red neuronal 37 Tabla 3.3 Resultados de F11 obtenidos de la simulación en el ensayo de tracción. Tiempo F11 0 1 0,02 1,0009 0,04 1,0028 0,07 1,0065 0,1 1,0122 0,12 1,0178 0,14 1,0216 0,17 1,0253 0,2 1,0310 0,23 1,0367 0,27 1,0424 0,3 1,0501 0,33 1,0559 0,38 1,0713 0,4 1,0752 0,43 1,0810 0,46 1,0869 0,49 1,0928 0,5 1,0947 Como puede verse en la tabla 3.3, todos los valores de F11 en tracción se encuentra entre 1 y 1,1. Ese ha sido el criterio seguido para la selección de los datos experimentales usados para entrenar la red, siguiéndose así la misma filosofía empleada por los creadores de la red para su entrenamiento. 3.1.2 Ensayo a compresión De igual forma que se hizo en el ensayo de tracción, para compresión se recurre a normativa existente. Concretamente, para este caso se recurre a la normativa ASTM D395, que dispone de dos metodologías, nosotros nos centramos en la metodología B. La metodología de este ensayo es muy simple, consiste en someter a compresión discos de 29 mm de diámetro y 12,5 mm de espesor, mediante dos placas que se encuentran sujetas entre si por tornillos, como se ve en la figura 3.15. Figura 3.15 Esquema del ensayo de compresión según norma ASTM D395. Tras tener definido el tipo de ensayo a realizar, se procede a modelar la probeta en ABAQUS, figura 3.16 38 Capítulo 3. Entrenamiento de la ANN Figura 3.16 Modelo de ABAQUS de la probeta usada para el ensayo de compresión. Además, al igual que se hizo en tracción, hay que definir el modelo de material siendo este el mismo que se usa en aquel ensayo y que viene definido en la figura 3.3. Por otro lado, los Steps creados y la función de los mismos es la misma que en el ensayo de tracción. En lo relativo a las condiciones de contorno, en la superficie que se encuentra apoyada en el útil de ensayo se ha impedido el desplazamiento del punto central en ejes X e Y , se ha impedido el desplazamiento en X de un punto de dicha superficie del disco que se encuentra en el borde, es decir, un punto con coordenadas X =0, Y = R y Z =0 siendo R el radio del disco, y ya por último, se ha impedido el desplazamiento en Z en toda la superficie inferior, figura 3.17. Figura 3.17 Condiciones de contorno impuestas en la superficie apoyada del disco. Además de estas últimas condiciones impuestas, sobre la superficie superior, la no apoyada, imponemos la condición de carga, que al igual que en el ensayo de tracción, esta se define en términos de desplazamiento. Concretamente, el desplazamiento impuesto ha sido de 4 mm, figura 3.18. 3.1 Definición de los ensayos para entrenar la red neuronal 39 Figura 3.18 Desplazamiento impuesto en el ensayo de compresión como condición de contorno. Al igual que antes en el ensayo de tracción, es necesario definir dos puntos auxiliares, uno en la superficie superior y otro en la inferior mediante dos Sets para medir el desplazamiento relativo. Para crear estos Sets ha sido necesario establecer un plano XY y otro plano XZ y a partir de dichos planos se han creado dos particiones, figura 3.19. Figura 3.19 Particiones creadas para establecer los 2 puntos de referencia y así hallar el desplazamiento relativo en el ensayo de compresión. De igual forma que en el ensayo de tracción, la componente F11 se calcula de la misma forma, estando definida por la ecuación 3.1, donde ahora des 12,5 mm siendo esta distancia el espesor del disco. Adicionalmente, al igual que con los anteriores aspectos, la metodología seguida para mallar es idéntica a como se hizo en el ensayo de tracción. Se han elegido elementos "Hex" y se han seleccionado las opciones de "Hybrid formulation" y "Reduced integration", figura 3.20. 40 Capítulo 3. Entrenamiento de la ANN Figura 3.20 Mallado del disco para el ensayo a compresión. Una vez definido esto, se le pasa el modelo a ABAQUS para que realice el análisis y proporcione los resultados. Estos resultados son los mostrados en las figuras 3.21-3.26. Figura 3.21 Probeta indeformada en el ensayo de compresión. En la figura 3.22, se observa que la probeta se deforma reduciendo su espesor en la dirección Z , pues es la dirección en la cual se aplica la carga de compresión. 3.1 Definición de los ensayos para entrenar la red neuronal 41 Figura 3.22 Probeta deformada en el ensayo de compresión. Ya en la figura 3.23, se aprecia como en la superficie superior de la probeta, en la que se actúa para generar la compresión, los desplazamientos uz son uniformes dado que el aplastamiento de la probeta con la superficie del útil también se produce de manera uniforme en la probeta. Los desplazamientos en dicha superficie son negativos debido a la naturaleza de la carga aplicada, mientras que en la superficie de la probeta donde se produce el apoyo con el útil de ensayo, dichos desplazamientos son nulos, tal y como debe de ser según las condiciones de contorno impuestas en la figura 3.17. Figura 3.23 Desplazamientos en la dirección Zen el ensayo de compresión. Además, en las figuras 3.24 y 3.25, donde se presentan la componente de las deformaciones y de las tensiones en el eje Z respectivamente se puede observar de nuevo la uniformidad de dichas variables, debido a que la carga que actúa durante la simulación es aplicada uniformemente también. 42 Capítulo 3. Entrenamiento de la ANN Figura 3.24 Deformaciones en la dirección Zen el ensayo de compresión. Figura 3.25 Tensiones en la dirección Zen el ensayo de compresión. Figura 3.26 Tensiones de Von Mises en el ensayo de compresión. 3.1 Definición de los ensayos para entrenar la red neuronal 43 Por otro lado, en las tablas 3.1 y 3.5, al igual que se hiciera en el ensayo de tracción, se presentan los valores de las variables más significativas de la simulación para nodo inferior y superior respectivamente con respecto al tiempo de simulación. A partir de estos datos y con la ecuación presentada en la expresión 3.1 se obtienen los resultados mostrados en la tabla 3.6 cuyos valores se usan para entrenar la red neuronal. Tabla 3.4 Resultados obtenidos de la simulación para el nodo inferior en el ensayo de compresión. Nodo inferior Tiempo Desplazamientos [mm] Deformaciones Tensiones[Mpa] 0 0 0 0 0,001 0 -0,0003 -0,0037 0,002 0 -0,0006 -0,0075 0,0035 0 -0,0011 -0,0131 0,0058 0 -0,0018 -0,0215 0,0091 0 -0,0029 -0,0342 0,0142 0 -0,0046 -0,0532 0,0218 0 -0,0070 -0,0816 0,0332 0 -0,0107 -0,1244 0,0503 0 -0,0162 -0,1886 0,0759 0 -0,0246 -0,2852 0,0900 0 -0,02945 -0,3386 0,1143 0 -0,0373 -0,4306 0,1300 0 -0,04132 -0,4902 0,1700 0 -0,05578 -0,6422 0,1720 0 -0,0566 -0,6498 0,1900 0 -0,0623 -0,7189 0,2200 0 -0,0815 -0,8341 0,2585 0 -0,0863 -0,9818 En la tabla 3.4, como se ha comentado ya, puede apreciarse como los desplazamientos del nodo inferior usado como referencia son nulos, algo lógico pues como condición de contorno se a impuesto que la superficie donde se encuentra dicho punto permanezca apoyada sobre la superficie inmóvil del útil de ensayo. 44 Capítulo 3. Entrenamiento de la ANN Tabla 3.5 Resultados obtenidos de la simulación para el nodo superior en el ensayo de compresión. Nodo superior Tiempo Desplazamientos [mm] Deformaciones Tensiones[Mpa] 0 0 0 0 0,001 -0,004 -0,0003 -0,0037 0,002 -0,008 -0,0006 -0,0075 0,0035 -0,0140 -0,0011 -0,0131 0,0058 -0,0230 -0,0018 -0,0215 0,0091 -0,0871 -0,0029 -0,0342 0,0142 -0,0568 -0,0046 -0,0532 0,0218 -0,0871 -0,0070 -0,0816 0,0332 -0,1327 -0,0107 -0,1244 0,0503 -0,2010 -0,0162 -0,1886 0,0759 -0,3035 -0,0246 -0,2852 0,0900 -0,3600 -0,02945 -0,3386 0,1143 -0,4573 -0,0373 -0,4306 0,1300 -0,5201 -0,04132 -0,4902 0,1700 -0.6800 -0,05578 -0,6422 0,1720 -0,6880 -0,0566 -0,6498 0,1900 -0.8000 -0,0623 -0,7189 0,2200 -0,9231 -0,0815 -0,8341 0,2585 -1,0340 -0,0863 -0,9818 Tabla 3.6 Resultados de F11 obtenidos de la simulación en el ensayo de compresión. Tiempo F11 0 1 0,001 0,9997 0,002 0,9994 0,0035 0,9989 0,0058 0,9982 0,0091 0,9971 0,0142 0,9955 0,0218 0,9930 0,0332 0,98394 0,0503 0,9839 0,0759 0,9757 0,0900 0,9712 0,1143 0,9634 0,1300 0,9584 0,1700 0,9456 0,1720 0,9450 0,1900 0,9392 0,2200 0,9296 0,2585 0,9173 Ahora, se observa en la tabla 3.6, que todos los valores de F11 en compresión se encuentra entre 1 y 0,9, es decir, la variable F11 sigue una secuencia decreciente en compresión cuando la carga aumenta, algo lógico si tenemos en cuenta la ecuación 3.1 y los valores y signos de los desplazamientos de los nodos auxiliares considerados. Por otra parte, este criterio (valores de F11 entre 1 y 0,9) ha sido el seguido para la selección de los datos experimentales usados para entrenar la red, siguiéndose así la misma filosofía empleada por los creadores de la red para su entrenamiento. 3.1 Definición de los ensayos para entrenar la red neuronal 45 3.1.3 Ensayo de cortadura Con respecto al ensayo de cortadura, se ha recurrido a la normativa ISO 1827 que permite la determinación del módulo de cortadura del caucho, considerando que este se encuentra adherido a placas metálicas. Concretamente la metodología del ensayo se muestra en la figura 3.27. Figura 3.27 Morfología del ensayo a cortadura según la normativa ISO 1827. El ensayo está compuesto por cuatro elementos paralelepipédicos idénticos de caucho de 4 mm ±1 mm de espesor, 20 mm ±5 mm de ancho y 25 mm ±5 mm de largo, pegados en cada una de sus dos caras opuestas más grandes a las caras de contacto de cuatro placas rígidas del mismo ancho y de longitudes apropiadas para obtener una superficie simétrica. Adicionalmente, los elementos marcados como 1, 2 y 3 en la figura 3.27 son las placas de acero consideradas rígidas externas e internas y un pasador y dispositivo para carga de tracción respectivamente. De esta forma, el ensayo consistiría en aplicar tracción a la placa de acero intermedia de la izquierda mediante el agujero que esta tiene en la dirección horizontal. Una vez definido esto, se pasa a modelar el ensayo en ABAQUS. Para ello, y dada la simetría que se puede apreciar en la figura 3.27 se ha optado por, en lugar de modelar las 4 probetas y todas las placas de acero, aislar únicamente una y aplicar las condiciones de contorno necesarias acordes con la simetría del problema. Es por ello que el modelo de ABAQUS es el que aparece en la figura 3.28. Figura 3.28 Modelo de ABAQUS de la morfología usada para el ensayo de cortadura. A diferencia de los ensayos anteriores, ahora tenemos además de la probeta, que es el paralelepípedo intermedio en la figura 3.27, también contamos con los útiles de ensayo que son las dos placas exteriores que se ven en la misma imagen. Es por ello, que es necesario definir dos materiales, uno para la probeta cuyo 52 Capítulo 3. Entrenamiento de la ANN Tabla 3.10 Resultados de F11 obtenidos de la simulación en el ensayo de cortadura. Tiempo F12 0 0 0,03 0,0119 0,06 0,0238 0,09 0,0356 0,13 0,0512 0,16 0,0629 0,19 0,0745 0,22 0,0860 0,24 0,0937 0,26 0,1014 0,29 0,1129 0,32 0,1243 0,35 0,1357 0,37 0,1432 0,39 0,1508 0,42 0,1621 0,45 0,1733 0,47 0,1808 0,49 0,1883 0,52 0,1995 Al igual que para los anteriores ensayos el criterio de selección de datos procedentes del ensayo para este caso es que F12 se encuentre entre 0 y 0,2, algo que se cumple como se puede ver en la tabla 3.10. 3.2 Resultados obtenidos al entrenar la red neuronal Antes de mostrar los resultados obtenidos de entrenar la red, se pasa a definir ciertos parámetros que nos van a permitir conocer si los resultados son fiables o si en cambio, los resultados que nos muestra la red no son del todo válidos. Estoa parámetros son la función de pérdida y el coeficiente de determinación. 3.2.1 Función de pérdida Dicha función nos mide de cierta manera el error que se produce entre nuestro modelo de red neuronal y los datos de los que hacemos uso para su entrenamiento, tal y como se menciona en [1] El objetivo de la red neuronal, como se ha dicho en ocasiones anteriores, es el de aprender los parámetros de la red, los pesos y los sesgos ( wk , bk ), todo esto debe hacerlo minimizando la función de pérdida, L , que penaliza el error y las desviaciones que se producen entre el modelo y los datos. Este error o diferencia se caracteriza como el error cuadrático medio, la norma al cuadrado de la diferencia entre el modelo P(Fi) y los datos ˆ Pi(siendo Fla deformación), dividido entre el número de datos usados para entrenar a la red, ntrn. L(wk,bk,F) = 1 ntrn ntrn ∑ i=1 P(Fi)−ˆ Pi  2 −→ min (3.2) 3.2.2 Coeficiente de determinación R2 El coeficiente de determinación, se trata de un coeficiente usado en el contexto de un modelo estadístico cuyo principal objetivo es predecir resultados futuros o probar hipótesis, tal y como se indica en [ 5 ]. Este coeficiente muestra la calidad del modelo para replicar los resultados. Su cálculo se realiza realizando cálculos estadísticos, como se puede ver en [ 5 ]. Por otro lado, el valor de este parámetro suele estar entre 0 y 1. Cuanto más cerca se sitúe su valor de 1, mayor es el ajuste del modelo a la variable que se está intentando replicar. De forma inversa, cuanto más cerca de 0, menos ajustado es el modelo y por tanto, menos fiable. F12 3.2 Resultados obtenidos al entrenar la red neuronal 53 3.2.3 Resultados para los diferentes casos de carga Llegados a este punto, en el ya se han realizado los ensayos y se han obtenido los resultados de los mismos, el siguiente paso es pasarle estos datos a la red para su entrenamiento. Concretamente, los datos que se le pasan a la red son S11 y F11 para tracción y compresión y S12 y F12 para cortadura, dado que para los tres ensayos se tienen dos datos de S11 o S12 para cada instante de tiempo, correspondientes a los dos nodos auxiliares, se ha optado por coger la media de ambos valores para entrenar la red, ya que a esta únicamente hay que proporcionarle un valor de tensión para cada valor de F11 o F12 . De esta forma, el formato en el que se le pasan los datos de entrenamiento a la red es el mostrado por la figura 3.40. Figura 3.40 Datos para el entrenamiento de la red neuronal, obtenidos de los ensayos. En dicha figura, se puede ver como los datos de los ensayos uniaxiales se han fusionado en una sola columna, mientras que para cortadura se han replicado los datos obtenidos en el sentido contrario de la dirección en la que se aplicó cortadura en el ensayo, ya que los resultados a obtener son los mismos. Una vez definido esto y pasados los datos de la figura 3.40 a la red, esta realiza internamente su entrenamiento de la forma que ya se ha mencionado en capítulos anteriores. Para ello, la herramienta utilizada ha sido Python y como se ha comentado anteriormente, no se ha programado nada sobre la red, sino que se ha tomado de la referencia [ 1 ]. Finalizado esto, los resultados que se obtienen se muestran a continuación para diferentes casos de carga. Caso 1: Compresión En este caso, los datos usados para entrenar la red son únicamente aquellos obtenidos mediante el ensayo a compresión mostrado anteriormente, es decir, aquellos datos correspondiente al caso uniaxial que van desde 54 Capítulo 3. Entrenamiento de la ANN la fila 1 a la fila 17 de la figura 3.40. Figura 3.41 Comparación en términos de tensión nominal- F11 de los resultados uniaxiales obtenidos del modelo con respecto a los datos experimentales al entrenar la red neuronal para un caso de carga de compresión. Figura 3.42 Comparación en términos de tensión de cortadura- F12 de los resultados de cortadura obtenidos del modelo con respecto a los datos experimentales al entrenar la red neuronal para un caso de carga de compresión. Como puede verse en las figuras 3.41 y 3.42 el modelo se ajusta bien a los datos experimentales pero únicamente en la zona en la que F11 está entre 0,9 y 1, justo la zona que se corresponde al caso en el que se somete a la probeta del ensayo a compresión. Además, puede verse que el coeficiente de determinación medido para los datos de compresión R2 c es bastante próximo a 1. Sin embargo el mismo coeficiente pero medido para los datos de tracción es prácticamente 0, consecuencia de que el modelo solo ha sido entrenado con datos correspondientes a casos en los que se tiene compresión. Esto hace que el coeficiente de determinación total para carga uniaxial sea de 0,778, un valor considerablemente bueno aunque mejorable. Por otro lado, el valor del coeficiente de determinación para carga de cortadura es de 0,998 que es bastante alto debido a que el ajuste entre modelo y datos es bastante bueno. 3.2 Resultados obtenidos al entrenar la red neuronal 55 Figura 3.43 Función de pérdida correspondiente al entrenar a la red neuronal para un caso de carga de compresión. En la figura 3.43, puede verse que los valores que termina alcanzando la función de pérdida son inferiores a 10 −4 por lo que se ha conseguido el objetivo de minimizar las diferencias entre el modelo y los datos experimentales. Caso 2: Tracción Ahora, los datos tomados para entrenar la red son aquellos correspondientes al ensayo de tracción definido, aquellos que van desde la fila 17 a la 34 en la figura 3.40 para el caso uniaxial. A diferencia del caso de compresión, ahora como pueden verse en las figuras 3.44 y 3.45 el modelo se ajusta de manera muy precisa a los datos experimentales en la zona en la que F11 se encuentra entre 1 y 1,1, justo la zona correspondiente a valores de F11 de tracción, por lo que se puede concluir que el modelo proporciona buenos resultados para casos en los que se tiene tracción. Ahora, de manera contraria a como sucedía en el caso anterior, el coeficiente de determinación es 1 para casos en los que se tiene carga a tracción y algo menos para casos en los que la carga es a compresión, algo lógico pues la red se ha entrenado únicamente con datos correspondientes a casos de carga en los que se aplica tracción. De esta manera el cómputo global de este parámetro es de 0,909, siendo bastante cercano a 1. lo cual hace indicar que el modelo se ajusta bastante mejor a este caso de carga si comparamos con el caso anterior en el que la carga era a compresión. Por otro lado, el coeficiente de determinación para datos de cortadura baja con respecto al caso de carga uniaxial siendo su valor de 0,824, algo evidente pues el modelo no ha sido entrenado con datos correspondientes a un caso de carga en el que se tiene cortadura y prueba de ello es la diferencia entre modelo y datos que se puede apreciar en la figura 3.45. 56 Capítulo 3. Entrenamiento de la ANN Figura 3.44 Comparación en términos de tensión nominal- F11 de los resultados uniaxiales obtenidos del modelo con respecto a los datos experimentales al entrenar la red neuronal para un caso de carga de tracción. Figura 3.45 Comparación en términos de tensión de cortadura- F12 de los resultados de cortadura obtenidos del modelo con respecto a los datos experimentales al entrenar la red neuronal para un caso de carga de tracción. 3.2 Resultados obtenidos al entrenar la red neuronal 57 Figura 3.46 Función de pérdida correspondiente al entrenar a la red neuronal para un caso de carga de tracción. En la figura 3.46 se visualiza como la función de pérdida para el caso de tracción alcanza valores del orden de 10 −6 , por lo que se tiene otra evidencia de que el modelo se ajusta de manera bastante precisa a los datos para este caso de carga. Caso 3: Cortadura Al igual que en casos anteriores, ahora los datos seleccionados para el entrenamiento de la red son los datos obtenidos del ensayo de cortadura, los que se encuentran en las columnas de shear de la figura 3.40. Se puede apreciar en la figura 3.47 que en este caso, el modelo no se ajusta bien para los casos en los que se tiene carga de tracción, pero sí que se ajusta algo mejor para casos en los que se tiene carga de compresión. Prueba de ello, es el valor de los coeficiente de determinación que se obtienen, mientras que en compresión su valor es de 0,992, en tracción es de prácticamente 0. Esto hace que el cómputo global de este coeficiente para caso de carga uniaxial sea de 0,74. No obstante el modelo se ajusta de manera muy precisa a los datos experimentales en los casos en los que la carga aplicada es de cortadura, como se ve en la figura 3.48, en los cuales el valor de F12 se encuentra entre -0,2 y 0,2, algo evidente pues los datos usados para entrenar a la red han sido esta vez los correspondientes al ensayo de cortadura expuesto anteriormente y por ello el grado de determinación toma el valor unitario. 58 Capítulo 3. Entrenamiento de la ANN Figura 3.47 Comparación en términos de tensión nominal- F11 de los resultados uniaxiales obtenidos del modelo con respecto a los datos experimentales al entrenar la red neuronal para un caso de carga de cortadura. Figura 3.48 Comparación en términos de tensión de cortadura- F12 de los resultados de cortadura obtenidos del modelo con respecto a los datos experimentales al entrenar la red neuronal para un caso de carga de cortadura. 3.2 Resultados obtenidos al entrenar la red neuronal 59 Figura 3.49 Función de pérdida correspondiente al entrenar a la red neuronal para un caso de carga de cortadura. Al igual que en casos anteriores, en la figura 3.49 se muestra la evolución de la función de pérdida, en la que se puede ver como se llega a valores de esa función del orden de 10 −5 , lo que muestra también que el ajuste del modelo a los datos es bueno. Caso 4: Combinación de cortadura y carga axial A diferencia de los casos anteriores en el que se tomaban datos correspondientes a diferentes casos de cargo obtenidos de los ensayos definidos con anterioridad, en este caso la red neuronal es entrenada con todos los datos de la figura 3.40 haciendo el entrenamiento de la misma mucho más realista. 60 Capítulo 3. Entrenamiento de la ANN Figura 3.50 Comparación en términos de tensión nominal- F11 de los resultados uniaxiales obtenidos del modelo con respecto a los datos experimentales al entrenar la red neuronal para un caso de carga combinado de cortadura y carga axial. Figura 3.51 Comparación en términos de tensión de cortadura- F12 de los resultados de cortadura obtenidos del modelo con respecto a los datos experimentales al entrenar la red neuronal para un caso de carga combinado de cortadura y carga axial. En las figuras 3.50 y 3.51 se muestra el ajuste del modelo a los datos experimentales, siendo dicho ajuste bueno aunque no del todo preciso, esto queda respaldado por los coeficientes de determinación que alcanzan valores bastantes cercanos a 1. No obstante, en la figura 3.52, se ve como ahora la función de pérdida es del orden de 10 −2 , algo superior de lo que era en casos anteriores, la razón se debe que ahora la red esta siendo entrenada con una mayor variedad de datos cuyo origen de carga es diferente, de ahí que este resultado no sea tan bueno como en casos anteriores. 3.2 Resultados obtenidos al entrenar la red neuronal 61 Figura 3.52 Función de pérdida correspondiente al entrenar a la red neuronal para un caso de carga de cortadura y carga uniaxial. 68 Capítulo 4. Aplicación del modelo a un caso real Figura 4.12 Desplazamientos obtenidas al resolver el problema de la placa con el orificio central mediante la UANISOHYPER_INV. Figura 4.13 Deformaciones εx obtenidas al resolver el problema de la placa con el orificio central mediante la UANISOHYPER_INV. 4.2 Resolución mediante subrutina UANISOHYPER_INV 69 Figura 4.14 Deformaciones εy obtenidas al resolver el problema de la placa con el orificio central mediante la UANISOHYPER_INV. Figura 4.15 Tensiones σx obtenidas al resolver el problema de la placa con el orificio central mediante la UANISOHYPER_INV. 70 Capítulo 4. Aplicación del modelo a un caso real Figura 4.16 Tensiones σy obtenidas al resolver el problema de la placa con el orificio central mediante la UANISOHYPER_INV. Figura 4.17 Tensiones de Von Mises obtenidas al resolver el problema de la placa con el orificio central mediante la UANISOHYPER_INV. 4.3 Comparación entre ambos análisis El objetivo de este apartado es el de comparar los resultados mostrados en los dos apartados anteriores para ver a través de números cual es la diferencia entre ambos. Inicialmente, se muestra en las figuras 4.18 y 4.19 una comparativa de las evoluciones de las tensiones y de las deformaciones de un nodo de la malla con respecto al tiempo de simulación. 4.3 Comparación entre ambos análisis 71 Figura 4.18 Comparativa de los resultado en términos de tensiones obtenidos tanto con el MEF de ABAQUS como con la UANISOHYPER_INV en función del tiempo de simulación. Figura 4.19 Comparativa de los resultado en términos de deformaciones obtenidos tanto con el MEF de ABAQUS como con la UANISOHYPER_INV en función del tiempo de simulación. Como puede verse en las figuras 4.18 y 4.19, el modelo obtenido mediante la UANISOHYPER _ INV se ajusta bastante bien al MEF de ABAQUS tanto en términos de tensiones como en términos de deformaciones, lo que nos da una evidencia más de que el modelo da resultados precisos y puede ser usado para estimar el comportamiento de materiales hiperelásticos. Para realizar todo esto, nos centraremos en dos nodos, uno situado en el borde del orificio que se encuentra a 0 ◦ , mientras que el otro se sitúa a 90 ◦ también en el propio borde, de esta manera se comparan los resultados para dos nodos que se encuentran, uno en la zona a tracción en la dirección Y y otro a compresión en la dirección X. Concretamente, estos nodos son los marcados en rojo en la figura 4.20. 72 Capítulo 4. Aplicación del modelo a un caso real Figura 4.20 Nodos seleccionadas para realizar la comparativa entre los dos métodos. En primer lugar, mostramos la comparativa de los resultados del nodo que está situado a 0 ◦ del orificio en la tabla 4.1. Tabla 4.1 Resultados obtenidos con ambos métodos para el nodo situado a 0◦en el borde del orificio. Método σy,[MPa]εyuy, [mm] MEF ABAQUS 18,9976 0,9280 24,2725 UANISOHYPER_INV 19,3767 0,9384 24,7568 Por otro lado, en la tabla 4.2 se muestra dicha comparativa pero para el nodo situado a 90◦del orificio Tabla 4.2 Resultados obtenidos con ambos métodos para el nodo situado a 90◦en el borde del orificio. Método σx,[MPa]εxux, [mm] MEF ABAQUS -2,4891 -0,1822 -0.0168 UANISOHYPER_INV -2,3019 -0,1839 -0.0178 Estos resultados, verifican y cuantifican lo que se ha mostrado en las figuras 4.7-4.10 y en las figuras 4.13-4.16. Los bordes situados a 0 ◦ y 180 ◦ del orificio están sometidos a tracción en el eje Y actuando dichos borde como concentradores de tensión, ya que las cargas tienen que distribuirse para salvar el orificio puesto que por ahí no se pueden transmitir ya que no hay material, mientras que en el eje X son sometidos a compresión debido a que las partículas del material intentan evitar el estrechamiento del orificio en dicha dirección. Tabla 4.3 Desviaciones de la resolución mediante el modelo de la UANISOHYPER _ INV con respecto al MEF de ABAQUS para el nodo situado a 0◦en el borde del orificio. σyεyuy 2%1,12%1,99% Tabla 4.4 Desviaciones de la resolución mediante el modelo de la UANISOHYPER _ INV con respecto al MEF de ABAQUS para el nodo situado a 90◦en el borde del orificio. σxεxux 7,52%0,93%5,95% 4.3 Comparación entre ambos análisis 73 Como puede verse en las tablas 4.3 y 4.4, las desviaciones, salvo para las deformaciones, son mayores en el caso en el que se tiene compresión, algo que podíamos presagiar ya que como se vio en la sección 3.2.3 las mayores desviaciones del modelo con los datos experimentales se producían en el caso de la compresión, que era el caso para el que el coeficiente de determinación era menor cuando se entrenaba a la red con datos de carga axial y con datos de cortadura. 5 Conclusiones E n el presente proyecto, se ha propuesto una metodología de entrenamiento de red neuronal, utilizando medidas experimentales como base para el entrenamiento. Dichas medidas experimentales, se han obtenido mediante la simulación de los ensayos en ABAQUS, sustituyéndose así los ensayos en laboratorio. Gracias a esto, se ha obtenido un modelo para la caracterización de materiales hiperelásticos. El enfoque propuesto ha demostrado ser eficaz en capturar las complejas características no lineales y de alta deformabilidad de los materiales hiperelásticos, superando las limitaciones de los modelos tradicionales basados en ecuaciones constitutivas. Primeramente, ha sido necesario ahondar en la naturaleza de los materiales hiperelásticos, las características que estos poseen y los distintos modelos existentes que definen su comportamiento. También, se ha realizado un estudio sobre las redes neuronales, cuales son las bases de su funcionamiento y las diferentes morfologías y peculiaridades que podemos encontrar en las mismas. Por otro lado, ha sido necesario el entrenamiento de la red neuronal, de forma que el modelo generado por la misma sea capaz de adaptarse al comportamiento de los materiales hiperelásticos. Para ello, ha sido necesario desarrollar una campaña de ensayos en los que se somete a una probeta de este tipo de material a distintos casos de carga con el objetivo de obtener datos con los que alimentar la red neuronal para su entrenamiento, parte esencial que ha ocupado la mayor parte del proyecto. Tras esto, realizar una comparativa entre el modelo obtenido y otro método de resolución, en concreto el MEF de ABAQUS, ha sido necesaria para proveer de evidencias de que el modelo generado representa de manera adecuada el comportamiento de los materiales hiperelásticos y que estos son completamente precisos y representativos para caracterizar el comportamiento del tipo de material que nos ocupa. Es por ello, que los resultados obtenidos muestran que las redes neuronales pueden proporcionar una precisión significativa en la predicción del comportamiento mecánico de estos materiales bajo diversas condiciones de carga. Además, el uso de medidas experimentales ha permitido una validación robusta del modelo, asegurando su aplicabilidad en escenarios reales. Tras esto, se puede concluir que el objetivo que inicialmente se marcó para este proyecto se ha alcanzado de manera satisfactoria en base a los datos y gráficas mostradas a lo largo del presente escrito. La principal contribución de este estudio reside en la integración de técnicas de inteligencia artificial con métodos experimentales, lo que abre nuevas posibilidades en la modelización y diseño de materiales avanzados. Este enfoque no solo mejora la precisión de las predicciones, sino que también reduce el tiempo y los recursos necesarios para el desarrollo de nuevos materiales. En resumen, este trabajo ha demostrado el potencial de las redes neuronales como herramientas poderosas y versátiles para la modelización de materiales hiperelásticos, sentando las bases para futuras innovaciones en el campo de la ingeniería de materiales. 74 5.1 Líneas de trabajo futuro 75 5.1 Líneas de trabajo futuro En cuanto a posibles trabajos futuros o ampliaciones del presente proyecto, con el objetivo de mejorarlo o trabajar en vertientes del mismo, algunas de estas líneas de trabajo pueden ser: • Mejora de los resultados obtenidos para hacer del modelo uno más preciso y que se ajuste mejor a los datos experimentales. • Lanzar una campaña de ensayos en laboratorio para obtener los datos con los que entrenar a la red, de manera que los resultados que se obtengan sean más precisos y realistas al eliminar el ruido que un software de elementos finitos introduce en el análisis. • Aumentar el número de datos que se le han suministrado a la red para tratar de obtener un modelo mucho más preciso. Otra opción, podría ser también ensayar distintos casos en los que se tenga situaciones de carga combinada que doten a la red de nuevos datos para que esta cubra muchas más situaciones posibles. •Realizar la comparativa mostrada en el capítulo 4, para otro caso de estudio. • Extender este campo de estudio a otros tipos de materiales como podrían ser los materiales compuestos, para lo cual habría que modificar ciertos parámetros y ecuaciones de la subrutina y de la propia red neuronal. Bibliografía [1] Linka, K., & Kuhl, E., "A new family of Constitutive Artificial Neural Networks towards automated model discovery", Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 403(Parte A), 2023. [2] S. Budday a, G. Sommer b, C. Birkl c et al., "Mechanical characterization of human brain tissue", Acta Biomaterialia, vol. 48, pp. 319-340, 2017. 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