Formación de estructuras cosmológicas

TRABAJO FIN DE GRADO GRADO EN FÍSICA Formación de estructuras cosmológicas Autor Rafael Adolfo Vázquez Ruiz Tutor Alvaro Domínguez Alvarez UNIVERSIDAD DE SEVILLA DEPARTAMENTO DE FÍSICA ATÓMICA, MOLECULAR Y NUCLEAR 24 de mayo de 2024 Resumen En la presente memoria realizamos un estudio teórico de la formación de las primeras inhomogeneidades en el campo de densidad de materia del universo y su evolución en el marco del modelo de polvo en gravitación newtoniana. Para ello, comenzamos estudiando la expansión del universo homogéneo e isótropo. Posteriormente estudiamos la evolución de inhomogeneidades primigenias empleando la teoría lineal de perturbaciones. Finalmente, extendemos este análisis al régimen no lineal mediante la aproximación de Zel’dovich. Índice Introducción 1 1. Universo homogéneo e isótropo 3 1.1. Principio cosmológico y ley de Hubble .................... 3 1.2. Ecuaciones de Friedmann ........................... 5 1.3. Soluciones de las ecuaciones de Friedmann ................. 9 1.4. Observaciones cosmológicas .......................... 13 2. Universo inhomogéneo. Teoría lineal de perturbaciones 16 2.1. Ecuaciones del continuo ............................ 16 2.2. Perturbaciones de la homogeneidad ..................... 19 2.3. Teoría lineal de perturbaciones ........................ 21 2.4. Evolución de las inhomogeneidades ..................... 23 2.5. Efecto de la presión. Teoría de la inestabilidad de Jeans .......... 27 3. Universo inhomogéneo. Aproximación no lineal 32 3.1. Formulación lagrangiana ............................ 32 3.2. Aproximación de Zel’dovich .......................... 35 4. Conclusiones 40 Referencias 42 Apéndices 44 A. Derivada material 44 B. Transformación al espacio de Fourier 45 INTRODUCCIÓN Introducción Hoy en día, gracias a la labor de los astrónomos, es sabido que el universo se halla compuesto de una gran variedad de estructuras cosmológicas a gran escala: galaxias, cúmulos de galaxias y supercúmulos. Sin embargo, estas no siempre estuvieron presentes. Si retrocedemos en el tiempo, el universo se enfría desde su origen conforme se expande [1]. Durante un periodo de 47000 años tras el origen, la densidad de energía por radiación era mayor que la densidad de materia [2]. Sin embargo, la densidad de radiación decrece a un mayor ritmo que la densidad de materia conforme el universo se expande. Por ello, tras este periodo, la densidad de radiación disminuyó lo suficiente como para igualar a la de materia, evento conocido como la igualdad radiación-materia. Antes y poco tiempo después de esta época, la temperatura era tan alta que pocos electrones y protones se podían recombinar para formar átomos neutros [1]. Este hecho provocaba que el camino libre medio de los fotones por dispersión Thomson fuera tan corto que la radiación y la materia actuaban de manera efectiva como un único fluido [3]. Sin embargo, conforme el universo se fue expandiendo la temperatura bajó lo suficiente para que, tras 240000 años, gran parte de los electrones y protones se recombinasen, formando principalmente átomos de hidrógeno neutro y en menor medida de helio [2]. Al presentar el helio un mayor potencial de ionización, este se vuelve neutro antes que el hidrógeno [1]. Por ello, el fin del proceso de recombinación lo establece el hidrógeno, tras el cual se produjo el desacoplamiento completo de la radiación y la materia (350000 años después del origen del universo), que pasaron a evolucionar como dos fluidos diferentes [2]. Tras este proceso, producto de la última dispersión fotónica, la distribución espacial de inhomogeneidades en la radiación quedó “fosilizada” en lo que se conoce como el fondo cósmico de microondas (CMB, por sus siglas en inglés)[1]. En el periodo en el cual la radiación resultaba ser dominante, las pequeñas fluctuaciones en el campo de densidad del universo no podían crecer debido a los gradientes 1 INTRODUCCIÓN de presión inducidos por la radiación, provocando oscilaciones de estas pequeñas desviaciones de la densidad media [4]. Este fenómeno conduce a que el universo fuera extremadamente uniforme en aquel entonces. Sin embargo, una vez que la materia se volvió dominante y tras el desacoplamiento entre radiación y materia, las pequeñas fluctuaciones iniciales de la densidad tenían la posibilidad de magnificarse gracias a la atracción gravitatoria. Este es el punto de partida para la formación de estructuras cosmológicas. Esta memoria tiene como objetivo explicar las condiciones físicas bajo las cuales las inhomogeneidades presentes en el universo evolucionan y, consecuentemente, dan lugar a las estructuras que conforman nuestro hogar. Por ello, en el primer capítulo se estudiará cómo se expande un universo homogéneo e isótropo en el periodo dominado por materia (esto es, despreciando la contribución de la radiación) mediante la teoría newtoniana de la gravedad. El segundo capítulo analizará cómo evolucionan las pequeñas irregularidades iniciales en el marco de la teoría lineal de perturbaciones. Sin embargo, pasado un tiempo estas pequeñas inhomogeneidades se magnificarán hasta el punto de ser la amplitud de estas comparable a la densidad media del universo. En el tercer capítulo estudiaremos esta evolución mediante aproximaciones no lineales. 2 1 UNIVERSO HOMOGÉNEO E ISÓTROPO 1. Universo homogéneo e isótropo En este capítulo estudiaremos la expansión del universo homogéneo e isótropo, es- to es, despreciando inhomogeneidades en la distribución espacial de materia. A partir de la uniformidad del universo obtendremos la relación entre velocidades y distancias de un objeto respecto de un observador (sección 1.1). Posteriormente, deduciremos las ecuaciones y sus respectivas soluciones que describen la expansión del universo (secciones 1.2 y1.3). Por último, los resultados teóricos se complementarán con los resultados observacionales en la sección 1.4. 1.1. Principio cosmológico y ley de Hubble Durante el siglo pasado hubo una cuestión que ocupó gran parte del debate científico en lo que respecta a la cosmología: la homogeneidad e isotropía del universo. Tras la formulación de la teoría de la relatividad general, Albert Einstein propuso en 1917 que, a grandes escalas, debía observarse que la materia en el universo se distribuye de manera uniforme [3]. Este resultó ser el punto de partida de una larga discusión acerca de esta cuestión. Sin embargo, pese a las discrepancias, gran parte de la comunidad aceptó la uniformidad del universo como un principio. Este, denominado el principio cosmológico esencial y propuesto por Edward Arthur Milne, asume que el universo a grandes escalas es homogéneo e isótropo. Pese a ello, se han obviado dos propiedades que pueden perturbar la uniformidad del universo. En primer lugar, en un universo en expansión como es el nuestro, para que la homogeneidad e isotropía se mantenga en el tiempo esta expansión ha de ser uniforme [5]. De igual manera, para que el universo se mantenga a grandes escalas uniforme hemos de asegurarnos de que las leyes de la física son universales, esto es, se cumplen de igual manera en cualquier ubicación del universo. Añadiendo estas restricciones al principio cosmológico esencial obtenemos el denominado principio cosmológico extendido. De la uniformidad de la expansión del universo se puede deducir un resultado 3 1 UNIVERSO HOMOGÉNEO E ISÓTROPO muy relevante. Si imaginamos un espacio bidimensional plano y describimos un sistema de coordenadas cartesiano tal que en xAse coloca un observador A y en xBun observador B (figura 1), ambos observadores deben mantenerse en esas coordenadas pese a que la cuadrícula se encuentre en expansión. A este sistema de coordenadas se le conoce como sistema de coordenadas comóviles [1]. Si nos ubicamos en la posición del observador A, para conocer la distancia real al observador B usamos la relación dBA(t) = a(t)|xB−xA|, (1.1.1) donde |xB−xA|es la distancia en coordenadas comóviles y a(t)se conoce como el factor cosmológico de escala. Esta última magnitud describe cómo varía en el tiempo la distancia entre A y B. A partir de la distancia real es posible calcular la velocidad a la que B se distancia de A por la expansión, obteniendo vBA(t) = ˙ a(t)|xB−xA|. (1.1.2) Si se divide la ecuación (1.1.2) entre (1.1.1), se obtiene finalmente una relación entre la velocidad y la distancia, vBA(t) = ˙ a(t) a(t)dBA(t) = H(t)dBA(t). (1.1.3) El término H(t)que relaciona la velocidad con la distancia es conocido como el parámetro de Hubble, y expresa el ritmo al que se expande el universo. La relación (1.1.3) fue propuesta observacionalmente por Edwin Hubble en 1929, pese a que su interpretación fue anticipada por Georges Lemaître en 1927 [6]. Esta se trata de la forma matemática de lo que se conoce como la ley de Hubble, la cual expresa la dependencia lineal entre la velocidad de un objeto y su distancia respecto a un observador. Entre otras cosas, la expresión (1.1.3) nos permite conocer el tamaño del universo observable, para lo cual se ha de sustituir la velocidad de la luz en esta expresión, obteniendo el radio de Hubble, 4 1 UNIVERSO HOMOGÉNEO E ISÓTROPO Figura 1: Dilatación de la distancia real a un observador B medida por un observador A, dBA(t). Los observadores A y B se encuentran en las coordenadas comóviles fijas xAyxB, respectivamente. rH=3000h−1Mpc, (1.1.4) donde h=H0/100 km−1sMpc, H0es el valor actual del parámetro de Hubble y Mpc denota un megaparsec1[4]. El parámetro hse conoce como la constante de Hubble reducida. 1.2. Ecuaciones de Friedmann En la anterior sección se ha dado una interpretación física del factor de escala y se ha estudiado la importancia que este posee en el formalismo matemático de la cosmología del universo homogéneo e isótropo. Entre los conceptos mencionados, destaca la dependencia temporal del factor de escala. Sin embargo, no nos es conocida aún la expresión de la función a(t). Esta sección tiene como propósito hallar la dependencia temporal de a(t), es decir, cómo se expande el universo. Antes de nada, resulta conveniente realizar un análisis de las interacciones que dominan la expansión del universo a grandes escalas. En primer lugar, a estas escalas resulta evidente que las fuerzas nucleares son despreciables, puesto que se trata de fuerzas con un alcance limitado a los núcleos atómicos. Por otra parte, a grandes escalas el universo es eléctricamente neutro, mientras que los campos magnéticos presentes resultan ser despreciables [2]. Por último, para el caso de un gas no relativista solo la densidad de masa contribuye como fuente de campo gravitatorio, esto es, se desprecia la contribución cinética (asociada a la presión). 1Se define 1 pc =3,26 años luz =3,086 ·1016 m [1]. 5 1 UNIVERSO HOMOGÉNEO E ISÓTROPO Si, además, como se ha mencionado en la introducción, nos limitamos a la época donde la materia es dominante (puesto que es esta la época relevante de formación de estructuras), podemos justificar nuestro interés en estudiar, como modelo más sencillo posible, el de un universo formado únicamente por un fluido de materia no relativista, de presión y viscosidad despreciables y cuya única interacción es la gravitatoria. Esta simplificación se conoce como el modelo de polvo. Como la materia es no relativista, es posible estudiar este modelo desde la descripción newtoniana de la gravedad. Con este objetivo, nos restringimos a una región relativamente pequeña tal que la velocidad de expansión de las partículas sea muy inferior a la de la luz [1]. Estudiamos una región esférica comóvil de radio R(t) = a(t)x(ecuación (1.1.1) que encierra una masa total M, cuya densidad será ¯ ρ(t) = M (4π/3) (a(t)x)3. (1.2.1) donde la densidad media ¯ ρ(t)coincide con la densidad en cada punto del espacio debido a la hipótesis de homogeneidad. Si expresamos ¯ ρ(t)en función de la densidad en el instante actual t0, obtenemos ¯ ρ(t) = ¯ ρ0a0 a3. (1.2.2) En lo sucesivo reservamos el subíndice 0 para magnitudes evaluadas en el instante presente. Para el objetivo de hallar una expresión para el factor de escala a(t), podemos estudiar la dinámica de una partícula de masa mque se mueve bajo la atracción gravitatoria de la masa encerrada por la esfera de radio R(t)(figura 2) [4]. Por lo tanto, la segunda ecuación de Newton se escribe como m¨ R=−GmM R(t)2. (1.2.3) Escribiendo esta expresión en función de la densidad ¯ ρ(t)dada por la ecuación (1.2.2), obtenemos 6 1 UNIVERSO HOMOGÉNEO E ISÓTROPO 1.3.3. Solución para k=0 Para este caso, resulta más sencillo usar directamente la primera ecuación de Friedmann en función del tiempo t, (1.2.13), que toma la forma ˙ a2=8πG 3¯ ρ0a3 0·a−1. (1.3.18) Integrando esta ecuación, se obtiene 2 3a a03/2 =8πG 3¯ ρ01/2 t. (1.3.19) Evaluando la definición (1.2.9) para t0, obtenemos la solución para un universo plano (ver figura 4) a a0=3 2H0t2/3 . (1.3.20) 1.4. Observaciones cosmológicas A lo largo de este capítulo se han estudiado los distintos modos de expansión del universo partiendo de su homogeneidad e isotropía a grandes escalas. Sin embargo, en esta memoria aún no hemos establecido qué entendemos por "grandes escalas". En 1969 los investigadores T. Kiang y Williams C. Saslaw, a partir del catálogo de cúmulos galácticos de Abell, determinaron que la escala a partir de la cual el universo se puede considerar aproximadamente uniforme es ∼100 h−1Mpc [3]. Por ello, de aquí en adelante, cuando nos refiramos a grandes escalas, habrá de entenderse escalas superiores a la determinada por Kiang y Saslaw. Respecto a las componentes fundamentales del universo, en la introducción de la memoria se han mencionado dos: la materia y la radiación. Sin embargo, la evidencia a día de hoy es que la composición del universo es más variada [1]. En lo que se refiere a la materia, la componente bariónica (materia ordinaria, esto es, protones, electrones y neutrones) no es el único constituyente. Existe una segunda componente, denominada materia oscura, la cual sólo interactúa con la materia bariónica a través 13 1 UNIVERSO HOMOGÉNEO E ISÓTROPO de la gravedad (el hecho de que tampoco interactúe con los fotones es el motivo de su denominación) [2]. Además, podemos distinguir dos tipos de materia oscura: materia oscura caliente (HDM por sus siglas en inglés) y materia oscura fría (CDM). El primer tipo se corresponde con partículas que eran relativistas en el momento del desacople entre radiación y materia, mientras que el segundo tipo corresponde a partículas que en ese momento no eran relativistas. Sin embargo, se estima que la cantidad de la HDM es despreciable en el presente puesto que, de lo contrario, se obtendría como resultado que a grandes escalas las estructuras más longevas serían los supercúmulos, mientras que las galaxias se habrían formado recientemente, resultado opuesto a las observaciones, que sugieren que los supercúmulos aún se encuentran en proceso de formación mientras que las galaxias son más antiguas [2]. Además de la materia y la radiación, existe una tercera componente fundamental. Albert Einstein, en un intento de aplicar la recién formulada teoría de la relatividad general al universo, propuso un modelo de universo estático. Sin embargo, como demuestran las soluciones de las ecuaciones de Friedmann, este modelo no es posible para un universo homogéneo e isótropo compuesto por materia no relativista. Para resolver este problema, Einstein incluyó en sus ecuaciones un término que contrarrestaba la atracción gravitatoria por medio de una "presión" negativa [2]. A este término se le conoce como constante cosmológica y se denota por Λ. Así, la ecuación (1.2.4) se modificaría a [3] ¨ a a=−4πG¯ ρ 3+Λ 3. (1.4.1) Si la densidad media del universo aumenta lo suficiente como para superar la fuerza repulsiva de Λ, el universo colapsará. Por el contrario, si la densidad disminuye, la atracción gravitatoria será dominada por Λ, dando lugar a un universo en expansión acelerada (¨ a>0 según la ecuación (1.4.1) con Λ>0). El trabajo observacional de Hubble en 1929 acerca de la expansión del universo condujo a desechar el modelo de Einstein basado en Λ. Durante años se creyó que Λ=0 y, por lo tanto, que el universo no se expande de forma acelerada (¨ a<0). Sin embargo, en 1998 el equipo High-z Supernova Search, mediante la observación de la 14 1 UNIVERSO HOMOGÉNEO E ISÓTROPO velocidad de supernovas de tipo Ia lejanas, concluyó que desde hace relativamente poco (concretamente 9,8 billones de años tras el origen del universo, comparado con la edad del mismo, 13,5 billones de años) el universo se encuentra en expansión acelerada [2]. Esto llevó a la consideración de una nueva componente de carácter repulsivo, conocida como energía oscura o energía del vacío, compatible con la constante cosmológica Λ. Actualmente, gracias a las observaciones de supernovas Ia y del CMB, se estima que: La densidad actual de energía debida a la materia es Ωm0≈0,3, de la cual la materia bariónica contribuye con Ωb0≈0,04 y la CDM contribuye con Ωd0≈ 0,26 [2]. La contribución actual de la energía oscura a la densidad total de energía es ΩΛ0≈0,7 [2]. Actualmente la radiación contribuye a la densidad total en una cantidad insignificante, Ωr0≈10−5[1]. Sumando todas las contribuciones, se observa que Ω0≈1, y debido a que el signo de la curvatura −kes constante, estas observaciones también concluyen que el universo es aproximadamente plano [2]. De acuerdo con estos resultados observacionales, para estudiar la formación de estructuras cosmológicas nos limitaremos al periodo en el cual la materia era dominante. Por ello, despreciaremos la contribución de la radiación. También se despreciará la contribución de la energía oscura por simplicidad. Por último, restringiremos nuestro estudio al modelo de polvo para un universo plano puesto que, además de las evidencias mencionadas respecto a la planitud, la mayor parte de la materia en el universo es CDM, para la cual la presión es despreciable frente a la gravedad. 15 2 UNIVERSO INHOMOGÉNEO. TEORÍA LINEAL DE PERTURBACIONES 2. Universo inhomogéneo. Teoría lineal de perturbaciones Tras haber estudiado los distintos modelos de expansión del universo homogéneo e isótropo, en este capítulo se pretende analizar cómo se forman las primeras inhomogeneidades. Con este fin, en primer lugar modelaremos la materia como un fluido y recurriremos a las ecuaciones del continuo (sección 2.1). Posteriormente, en la sección 2.2 se presentan las magnitudes que serán de utilidad para describir la evolución de las inhomogeneidades. Debido a la no linealidad de las ecuaciones del continuo, en la sección 2.3 se simplifican mediante la teoría lineal de perturbaciones. En la sección 2.4, en el contexto del modelo de polvo, estudiaremos la solución de las ecuaciones lineales para la evolución de los campos densidad y velocidad, tanto para un modelo de universo estático como para el caso de un universo plano (por ende, en expansión). Por último, extenderemos el estudio de la evolución de las inhomogeneidades más allá del modelo de polvo para incluir los efectos asociados a la presión (sección 2.5). En los dos capítulos siguientes supondremos que la región de interés es menor al tamaño del universo observable [3]. De este modo, se evitan los efectos relativistas asociados a la curvatura que pueda presentar el universo a grandes escalas. Además, de acuerdo a la ley de Hubble, al considerar una región mucho menor a la del universo observable, nos aseguramos de que las velocidades no sean relativistas. 2.1. Ecuaciones del continuo Como se comentó, modelamos la materia del universo como un fluido. Para ello, se impondrá una serie de condiciones. Para trabajar con las ecuaciones del continuo, la extensión espacial de las inhomogeneidades se supondrá mucho mayor que las escalas microscópicas asociadas a los constituyentes de la materia [4]. Formularemos las ecuaciones asociadas a conservación de masa y cantidad de movimiento. 16 2 UNIVERSO INHOMOGÉNEO. TEORÍA LINEAL DE PERTURBACIONES Figura 5: Flujo de materia a través de una superficie Sfija y arbitraria, la cual encierra un volumen V. El flujo vendrá dado por la proyección de la velocidad usobre el vector unitario normal na un diferencial de superficie dS. 2.1.1. Ecuación de continuidad En ausencia de fuentes o sumideros de materia nuestro sistema ha de cumplir el principio de conservación de la materia que se expresará como la ecuación de continuidad para la densidad. Para deducirla, usaremos un sistema de coordenadas fijo, conocido como la descripción euleriana [7]. Sea una superficie Sfija que encierra una cantidad de masa MVen un volumen V. El único motivo por el cual este volumen puede sufrir una pérdida de masa es debido a un flujo a través de la superficie S. Este flujo se caracteriza mediante una densidad de corriente de masa, jM=ρu, donde ρ(r,t)es el campo de densidad y u(r,t)el de velocidades. Entonces se puede escribir dMV dt=−ZSdSjM·n=−ZSdSρu·n, (2.1.1) donde nes el vector unitario normal a la superficie S(figura 5). A su vez, es posible describir la masa en función de la densidad ρcomo MV=ZVdVρ, (2.1.2) obteniendo d dtZVdVρ=ZVdV∂ρ ∂t=−ZSdSρu·n. (2.1.3) 17 2 UNIVERSO INHOMOGÉNEO. TEORÍA LINEAL DE PERTURBACIONES Usando el teorema de la divergencia en esta ecuación, se llega a ZVdV∂ρ ∂t+∇r·(ρu)=0, (2.1.4) donde se ha especificado que las derivadas en ∇rson respecto de las coordenadas propias r. La integral en esta última expresión se anula para volúmenes V arbitrarios si y sólo si el integrando se anula, es decir, ∂ρ ∂t+∇r·(ρu) = 0. (2.1.5) Esta expresión se conoce como la ecuación de continuidad. 2.1.2. Ecuación de Euler Al igual que con la conservación de la masa, resulta de interés obtener una expresión que describa la conservación del momento. Para ello, usaremos la segunda ley de Newton. Nuevamente, consideramos un volumen fijo Vde fluido encerrado por una superficie S. Las fuerzas se modelan mediante una fuerza externa por partícula f y un tensor de esfuerzos Σ, de manera que Σ·nrepresenta la fuerza por unidad de área transmitida a una superficie según n[7]. Este último término describe fuerzas de interacción de corto alcance entre elementos vecinos de fluido. Además, al igual que para la ecuación de continuidad, se ha de considerar el flujo de momento lineal, dado por la densidad de corriente jP=(ρu)u, que es un tensor de rango 2. Por tanto, la segunda ley de Newton para la cantidad de movimiento PV=ZVdVρude fluido encerrado en Vse escribe como dPV dt=d dtZVdVρu=−ZSdS(ρu)u·n+ZVdVρf+ZSdSΣ·n, (2.1.6) En lo que respecta al tensor de esfuerzos, es posible separarlo en dos términos: uno que hace referencia a fuerzas viscosas y otro que describe presiones mecánicas. Según esta descripción, expresamos Σcomo 18 2 UNIVERSO INHOMOGÉNEO. TEORÍA LINEAL DE PERTURBACIONES Σij =Σ′ ij −pδij (2.1.7) donde pes la presión. Por simplicidad, despreciamos las fuerzas viscosas descritas por el término Σ′. Si, además, en la ecuación (2.1.6) desarrollamos el término a la izquierda de la igualdad y aplicamos el teorema de la divergencia al primer y tercer término a la derecha de la igualdad, se obtiene [7] ZVdV∂ρ ∂tu+ρ∂u ∂t+∇r[(ρu)·u]−ρf+∇rp=0, (2.1.8) integral que será nula sí y sólo sí ∂ρ ∂tu+ρ∂u ∂t+∇r[(ρu)·u]−ρf+∇rp=0, (2.1.9) Para simplificar más, resulta útil utilizar la ecuación de continuidad (2.1.5), llegando finalmente a ρ∂u ∂t+ρ(u·∇r)u=ρf−∇rp. (2.1.10) Esta última expresión es la ecuación de Euler, que describe el balance del momento lineal para un fluido en ausencia de fuerzas viscosas. Este tipo de fluidos reciben el nombre de fluidos ideales. Para estudiar el modelo de polvo, además de considerar despreciable las fuerzas viscosas, también se desprecia la presión. Sin embargo, por ahora se mantendrá, pues más tarde nos será de interés. 2.2. Perturbaciones de la homogeneidad Pese a que a grandes escalas se observa que el universo es uniforme, por debajo de estas las irregularidades no pueden despreciarse. En lo que se refiere a la densidad, estas irregularidades están presentes como variaciones de densidad respecto de la densidad media, ρ(r,t)=¯ ρ(t) [1+δ(r,t)] , (2.2.1) 19 2 UNIVERSO INHOMOGÉNEO. TEORÍA LINEAL DE PERTURBACIONES donde δes conocido como el contraste de densidad. El principal mecanismo por el cual estas inhomogeneidades en la densidad evolucionan es la inestabilidad gravitatoria [4]. Si una región del espacio es más densa que su entorno, esta tenderá a incrementar aún más su densidad debido a la atracción gravitatoria sobre la materia circundante. Por el contrario, si una región del espacio es menos densa, su densidad disminuirá debido a la fuga de materia. En general, la velocidad de un cuerpo también sufrirá perturbaciones respecto a la velocidad asociada a la expansión del universo. De acuerdo con la definición (1.1.1), las coordenadas propias rse pueden expresar en términos de las coordenadas comóviles xcomo r=a(t)x. (2.2.2) A partir de esta expresión podemos obtener la velocidad con la que se desplaza un objeto. En el contexto de un universo homogéneo e isótropo, los objetos deberían mantenerse fijos en unas coordenadas comóviles x. Sin embargo, debido a la inhomogeneidades en la densidad, estos se desplazarán respecto al sistema de coordenadas comóviles. Si derivamos respecto del tiempo la expresión (2.2.2), u=dr dt=˙ ax+a˙x =˙ ax+v. (2.2.3) En esta ecuación identificamos el primer término como la velocidad del fondo (debida a la expansión) mientras que la perturbación de la velocidad, v, es conocida como la velocidad peculiar [8]. Otra magnitud física relevante afectada por las irregularidades en densidad del universo es el potencial gravitatorio. Si denotamos este como Φ, la aceleración debida a la gravedad es G=−∇rΦ=−1 a∇xΦ, (2.2.4) de acuerdo con la expresión (2.2.2). Según la ecuación de Poisson para el campo gravitatorio, 20 2 UNIVERSO INHOMOGÉNEO. TEORÍA LINEAL DE PERTURBACIONES ∇r2Φ=4πGρ, (2.2.5) por lo que Φes proporcional a ρy, por ende, a δ. Por ello, el potencial gravitatorio y la aceleración también se pueden descomponer en un término asociado al fondo homogéneo del universo y un término de perturbación (ϕ,grespectivamente), como Φ(x,t) = Ξ(x,t) + ϕ(x,t), (2.2.6a) G(x,t) = −1 a∇xΞ+g(x,t), (2.2.6b) donde el término de fondo verifica ∇rΞ=1 a∇xΞ=−¨ ax(aceleración asociada a la ecuación (2.2.3)) y g=−1 a∇xϕ(2.2.7) es conocida como la aceleración peculiar. 2.3. Teoría lineal de perturbaciones Además de la ecuación de continuidad, (2.1.5) y la ecuación de Euler, (2.1.10), para el estudio de las inhomogeneidades también es necesaria la ecuación de Poisson para el campo gravitatorio, (2.2.5). Así, en la ecuación (2.1.10) sustituiremos la fuerza neta externa fque experimenta una partícula por la fuerza gravitatoria de campo medio asociado al resto del sistema (puesto que la atracción gravitatoria es una interacción de largo alcance no apantallada), dada por f=−∇rΦ. (2.3.1) En definitiva, las ecuaciones que se aplicarán al estudio de las inhomogeneidades son ∂ρ ∂t+∇r·(ρu) = 0, (2.3.2a) 21 2 UNIVERSO INHOMOGÉNEO. TEORÍA LINEAL DE PERTURBACIONES ρ∂u ∂t+ρ(u·∇r)u=−ρ∇rΦ−∇rp, (2.3.2b) ∇r2Φ=4πGρ. (2.3.2c) La motivación de esta sección es la de entender cómo evolucionan en el tiempo las perturbaciones descritas en la sección 2.2. Para ello, escribiremos las ecuaciones (2.3.2) en función de las perturbaciones a la expansión homogénea. Antes, por conveniencia se reformulan estas expresiones en función de las coordenadas comóviles según la expresión (2.2.2), esto es, usaremos un sistema de coordenadas que sigue la trayectoria de los cuerpos debida únicamente al arrastre por la expansión (o, equivalentemente, usamos un sistema de referencia en el cual las partículas se desplazan únicamente por efecto de la velocidad peculiar) [9]. Para ello, realizamos las siguientes transformaciones (ver apéndice A): ∂ ∂tr =∂ ∂tx−˙ a ax·∇x, (2.3.3a) ∇r=1 a∇x. (2.3.3b) En adelante, por simplicidad se denotará ∇x→ ∇ y∂ ∂tx→∂ ∂t. Usando estas transformaciones, la expresión (1.2.2) para ¯ ρ(t)y la segunda ecuación de Friedmann (1.2.4), se encuentra ∂δ ∂t+1 a∇·[(1+δ)v]=0, (2.3.4a) ∂v ∂t+1 a(v·∇)v+˙ a av=−1 ¯ ρ(1+δ)a∇p−1 a∇ϕ, (2.3.4b) ∇2ϕ=4πG¯ ρδa2. (2.3.4c) Como ya se ha mencionado, para el modelo de polvo la contribución de la presión se desprecia y las ecuaciones (2.3.4) pasan a ser ∂δ ∂t+1 a∇·[(1+δ)v]=0, (2.3.5a) 22 2 UNIVERSO INHOMOGÉNEO. TEORÍA LINEAL DE PERTURBACIONES ω2 k=kcs a2 −4πG¯ ρ0. (2.5.7) La solución a esta EDO es δk(t) = Akeiωkt+Bke−iωkt, (2.5.8) donde Ak,Bkson constantes de integración. Definimos la longitud de onda propia como λ=2πa k(2.5.9) y la de Jeans como aquella que anula ωk, esto es, λJ=2πa kJ =csrπ G¯ ρ0, (2.5.10) lo que permite escribir ωkcomo ω2 k=1 T2 J"λJ λ2 −1#, (2.5.11) en términos del tiempo de Jeans TJdado por la ecuación (2.4.7). Según el valor de λdistinguimos dos casos. Si λ<λJ, el término de presión domina al gravitatorio y ωkes real, por lo que la solución (2.5.8) es una onda de sonido que se puede escribir como: δk(t) = αkcos ωkt+βksin ωkt. (2.5.12) Si, por el contrario, λ>λJ, el término gravitatorio domina al de presión y ω2 k<0, y la solución es una superposición de dos modos exponenciales reales: δk(t) = Ake|ωk|t+Bke−|ωk|t. (2.5.13) Mientras que para el caso λ<λJla amplitud de las irregularidades oscila sin crecer, en el caso λ>λJla amplitud de estas puede amplificarse o decrecer monótonamente. 29 2 UNIVERSO INHOMOGÉNEO. TEORÍA LINEAL DE PERTURBACIONES Todo este desarrollo se encuentra dentro del marco de lo que se conoce como la teoría de Jeans [4]. Cabe mencionar que si λ≫λJ(esto es, podemos despreciar la presión frente a la atracción gravitatoria) resulta ω2 k≈ −T−2 Jy recuperamos la solución (2.4.6) obtenida para un universo estático según el modelo de polvo. 2.5.2. Universo plano En el caso de un universo plano, las expresiones (1.3.19) y (1.3.20) reducen la ecuación (2.5.5) a ∂2δk ∂t2+4 3t ∂δk ∂t−   2 3t2−1 t4/3 "kcs 3 2H02/3 #2   δk=0. (2.5.14) Debido a la compleja dependencia de esta expresión con el tiempo, vamos a realizar un análisis distinguiendo dos casos: Para tiempos largos a kfijo, el término debido a la presión domina sobre el término gravitatorio, pudiendo expresarse la ecuación (2.5.14) como ∂2δk ∂t2+4 3t ∂δk ∂t+1 t4/3 γ2 kδk=0, (2.5.15) donde γ2 k="kcs 3 2H02/3 #2 . (2.5.16) La solución dada por Wolfram Mathematica es δk=1 t1/3 hαkcos 3γkt1/3+βksin 3γkt1/3i. (2.5.17) donde αk,βkson constantes de integración. Esta solución se corresponde con oscilaciones cuya amplitud decae y cuyo periodo aumenta conforme pasa el tiempo (ver figura 6). Por lo tanto, comparado con el resultado (2.5.12) obtenido para 30 2 UNIVERSO INHOMOGÉNEO. TEORÍA LINEAL DE PERTURBACIONES Figura 6: Evolución temporal del módulo |δk(t)|por la solución (2.5.17) para una solución particular. La solución bajo estas condiciones describe oscilaciones amortiguadas cuyo periodo aumenta con el paso del tiempo. un universo estático, la expansión tiene por efecto amortiguar estas oscilaciones y reducir la velocidad de propagación aparente. Para tiempos t→0 a kfijo, el término gravitatorio domina sobre el de presión, y la expresión (2.5.14) se reduce a la ecuación (2.4.8) y, por ello, recuperamos la solución para el modelo de polvo. 31 3 UNIVERSO INHOMOGÉNEO. APROXIMACIÓN NO LINEAL 3. Universo inhomogéneo. Aproximación no lineal En este último capítulo estudiamos la formación de estructuras cuando las inhomogeneidades comienzan a ser apreciables respecto del fondo. Bajo esta situación, debemos renunciar a la teoría lineal de perturbaciones. Para tratar este problema, en primer lugar cambiaremos de la descripción euleriana a la lagrangiana (sección 3.1). Reescribiremos las ecuaciones del continuo en coordenadas lagrangianas y las estudiaremos en el régimen no lineal gracias a la conocida aproximación de Zel’dovich (sección 3.2). 3.1. Formulación lagrangiana En el capítulo anterior se ha estudiado la formación de irregularidades en las etapas tempranas de la formación de estructuras a través de la teoría lineal de perturbaciones. En esta, se aproximaron las ecuaciones no lineales por ecuaciones lineales imponiendo |δ|≪1. Sin embargo, en etapas más avanzadas (esto es, cuando |δ|≈1) la teoría lineal de perturbaciones pierde su validez. El principal motivo reside en el acoplamiento de distintos modos de Fourier, que en la teoría lineal evolucionan de manera independiente. Por el contrario, las ecuaciones no lineales, ∂δ ∂t+1 a∇·[(1+δ)v]=0, (3.1.1a) ∂v ∂t+1 a(v·∇)v+˙ a av=−1 a∇ϕ, (3.1.1b) ∇2ϕ=4πG¯ ρδa2, (3.1.1c) se escriben para los modos de Fourier como (ver apéndice B) ∂δk ∂t+1 aik·vk+1 aZdk′ (2π)3ik′·vk−k′δk′=0, (3.1.2a) ∂vk ∂t+˙ a avk+1 aZdk′ (2π)3ik′·vk−k′vk′=−1 aikϕk, (3.1.2b) ϕk=−4πG¯ ρδa2 k2, (3.1.2c) 32 3 UNIVERSO INHOMOGÉNEO. APROXIMACIÓN NO LINEAL y el acoplamiento de distintos modos indica la relevancia que tienen distintas escalas en la formación de estructuras [11]. Las ecuaciones (3.1.1) están en coordenadas eulerianas “comóviles”, esto es, eulerianas respecto de la evolución peculiar. Sin embargo, para este problema resulta más conveniente cambiar a la segunda descripción posible en la mecánica de fluidos: la descripción lagrangiana. En esta, seguimos la trayectoria x(q,t)de una partícula de fluido [12], donde x(q,t)lo definimos como la posición propia en el instante t de la partícula lagrangiana q, y está última se identifica con la posición en un tiempo inicial ti, esto es, x(q,ti) = q. (3.1.3) Según esta definición, la velocidad peculiar es, pues, v(q,t) = a(t)dx dtq . (3.1.4) Para reescribir las ecuaciones (3.1.1) en la descripción lagrangiana, usamos la derivada material o lagrangiana y denotada d / dt(ver apéndice A), obteniendo: dδ dt+δ a∇·v=0, (3.1.5a) dv dt+˙ a av=g=−1 a∇ϕ, (3.1.5b) ∇2ϕ=4πG¯ ρδa2, (3.1.5c) donde ahora los campos se deben entender como funciones de las coordenadas lagrangianas q. La expresión (3.1.5a) tiene solución explícita en coordenadas lagrangianas porque expresa conservación de masa, pues en la descripción lagrangiana la cantidad fija es la masa (a diferencia de la descripción euleriana, donde la cantidad fija es el volumen) [7]. Así, la conservación de la masa en el espacio de coordenadas propias viene dada por (ver figura (7)) 33 3 UNIVERSO INHOMOGÉNEO. APROXIMACIÓN NO LINEAL Figura 7: En el espacio de coordenadas propias, un elemento de fluido que va desde una posición inicial zia otra rpara un instante tse deforma manteniendo la cantidad de masa constante. ρ(r,t)dr=ρi(zi)dzi, (3.1.6) donde rson las coordenadas eulerianas propias, ρ(r,t)es la densidad en el espacio de coordenadas r,zilas coordenadas lagrangianas propias para el instante inicial tiy ρi(zi)la densidad en el espacio de coordenadas zpara el instante inicial [11]. Según la relación (2.2.2), podemos escribir ryzien función de las coordenadas comóviles como r=a(t)xyzi=aiq, con aiel factor de cosmológico de escala para ti. Con estas expresiones, la ecuación (3.1.6) pasa a ser ρ(x,t)dx=ρi(q)ai a3dq. (3.1.7) Así, según la definición (2.2.1), el contraste de densidad vendrá descrito por 1+δ(q,t) = ρ ¯ ρ(t)=ρi(q) ¯ ρ(t)ai a3    ∂x ∂q    −1 , (3.1.8) donde el último factor es el determinante del jacobiano de la transformación de coordenadas lagrangianas comóviles qa coordenadas eulerianas comóviles x. 34 3 UNIVERSO INHOMOGÉNEO. APROXIMACIÓN NO LINEAL 3.2. Aproximación de Zel’dovich Por el contrario la solución a la ecuación (3.1.5b) no es inmediata, pues la aceleración peculiar involucra gradientes eulerianos. Para simplificar el problema usaremos una aproximación propuesta por Yakov Zel’dovich en 1970 [13]. Puesto que estamos interesados en estudiar la evolución de las inhomogeneidades incluso para cuando |δ|≈1, iniciaremos el estudio de las ecuaciones (3.1.5) para los últimos instantes de validez de la teoría lineal de perturbaciones. En estos instantes, pudimos demostrar que la velocidad peculiar es paralela a la aceleración peculiar (véase ecuación (2.4.19)), v=g F(t), (3.2.1) donde F(t) = D+(t) ˙ D+(t)4πG¯ ρ(t). (3.2.2) Así, la aproximación consiste en prescindir de la ecuación de campo (3.1.5c) y reemplazar gpor la dependencia con vdada por la ecuación (3.2.1), de manera que la expresión (3.1.5b) se aproxima como dv dt+H(t)v=F(t)v. (3.2.3) Si integramos esta expresión, obtenemos v(q,t) = vi(q)exp Zt ti dτ[F(τ)−H(τ)], (3.2.4) donde v(q,ti) = vi(q)es la velocidad peculiar para el instante inicial tiy que en virtud de la ecuación (3.2.1) está determinada únicamente por el campo gravitatorio inicial gi(q), y por ende, por las inhomogeneidades iniciales. Como ejemplo, para un universo plano se tiene F(t) = 1/tyH(t) = 2/3t, y resulta v(q,t) = vit ti1/3 . (3.2.5) 35 3 UNIVERSO INHOMOGÉNEO. APROXIMACIÓN NO LINEAL Este resultado implica que la dirección de la velocidad v(q,t)de la partícula lagrangiana qdepende únicamente de su dirección inicial, es decir, ejecuta un movimiento rectilíneo. Más concretamente, la trayectoria de la partícula lagrangiana se puede escribir como x(q,t) = q+s(q,t), (3.2.6) donde s(q,t)es el desplazamiento comóvil, con s(q,ti) = 0 según la definición (3.1.3) [11]. De acuerdo con la expresión (3.1.4), podemos escribir la velocidad peculiar ven función del desplazamiento scomo v=a˙s. (3.2.7) Combinando esta relación con el resultado (3.2.4), obtenemos s(q,t) = vi(q)Zt ti dτ a(τ)exp Zt ti dτ[F(τ)−H(τ)], (3.2.8) donde se ha usado la condición inicial si(q) = 0. Para un universo plano resulta s(q,t)=3 2tiaia(t) ai−1vi(q). (3.2.9) Como la dirección de s(q,t)depende únicamente de la dirección de la velocidad inicial vi(q), la expresión (3.2.6) resulta muy similar a la ecuación de la cinemática para un movimiento rectilíneo. La interpretación de este resultado es clara: en esta aproximación la materia colapsa siguiendo trayectorias rectas. Por ende, en el instante del colapso gravitatorio, cuando las partículas se encuentren próximas, no se sentirán gravitacionalmente. La gravedad solo juega un papel a través del campo inicial gi(q)y, por lo tanto, del campo inicial vi(q). Por ello, la aproximación de Zel’dovich es, esencialmente, de carácter cinemático. Volviendo al problema de la determinación del campo de densidad, de acuerdo con la definición (3.2.6), el determinante del jacobiano se puede escribir como 36 3 UNIVERSO INHOMOGÉNEO. APROXIMACIÓN NO LINEAL     ∂x ∂q    =    I+∂s ∂q    , (3.2.10) con Iel tensor identidad. Debido a la ecuación (3.2.1), se puede escribir vi=−1 aiFi∇qϕi, (3.2.11) donde ϕi(q)es el potencial gravitatorio inicial. Entonces s(q,t) = b(t)∇qΦi, (3.2.12) con b(t) = −vi(q) aiFiZt ti dτ a(τ)exp Zt ti dτ[F(τ)−H(τ)], (3.2.13) y     ∂x ∂q    =     δαβ +b(t)∂2ϕi ∂qαqβ     , (3.2.14) donde ∂2ϕi ∂qαqβ (3.2.15) lo identificamos como el tensor inicial de marea [4]. Puesto que se trata de un tensor simétrico, es posible diagonalizarlo y los autovectores forman una base ortonormal. Denotando los autovalores como λi(q), la expresión (3.2.14) pasa a ser     ∂x ∂q    =[1+b(t)λ1(q)] [1+b(t)λ2(q)] [1+b(t)λ3(q)](3.2.16) y llegamos a una expresión para el contraste de densidad (ecuación (3.1.8)): 1+δ(q,t) = ρi(q) ¯ ρ(t)ai a(t)31 [1+b(t)λ1(q)] (1+b(t)λ2(q)) [1+b(t)λ3(q)]. (3.2.17) 37 3 UNIVERSO INHOMOGÉNEO. APROXIMACIÓN NO LINEAL Cuando tomamos titan pequeño que se puede aproximar ρi(q)≈¯ ρi, la ecuación (1.2.2) conduce a ¯ ρ(t) = ¯ ρiai a(t)3 , (3.2.18) por lo que la expresión (3.2.17) se convierte en 1+δ(q,t) = 1 [1+b(t)λ1(q)] [1+b(t)λ2(q)] [1+b(t)λ3(q)]. (3.2.19) Nótese que, pese a que para un instante tiel campo de densidad sea aproximadamente homogéneo, las inhomogeneidades surgirán y crecerán debido al campo de velocidades inicial vi, viéndose las partículas “empujadas” al colapso. Si tomamos como ejemplo el modelo de universo plano, se tiene que b(t) = −3 2 ti Fia(t) ai−1<0 (3.2.20) y, por lo tanto, en el resultado (3.2.19)δ→∞(instante del colapso) si λi>0. Esto es, λi>0 describe el ritmo al cual se produce el colapso gravitatorio en la dirección de su respectivo autovector, mientras que λi<0 describe el ritmo al cual se expande. Por ello, según el signo de los autovalores, el colapso producirá distintas estructuras [14]. Estas son (ordenamos los autovalores λ1>λ2>λ3): λ1>λ2>λ3>0: Colapso gravitatorio en todas direcciones, dando lugar a un cúmulo. λ1>λ2>0>λ3: Colapso gravitatorio en dos direcciones, formando una estructura unidimensional, esto es, un filamento. λ1>0>λ2>λ3: Colapso gravitatorio en una dirección, generándose una distribución plana. 0>λ1>λ2>λ3: No se produce el colapso gravitatorio en ninguna dirección, sino que por el contrario se forma un vacío. 38 APÉNDICES d dt=∂ ∂t+(u·∇r). (A.0.3) Así, el cambio de coordenadas propias ra coordenadas comóviles xviene dado por ∂ ∂tx =∂ ∂tr +˙ a a(x·∇), (A.0.4) donde se ha tomado en consideración que la velocidad de arrastre debida a la expansión es u=˙ axy se ha usado ∇r=1 a∇. (A.0.5) Mientras, el cambio de la descripción euleriana comóvil a la lagrangiana comóvil es d dt=∂ ∂tx +1 a(v·∇). (A.0.6) donde ves la velocidad peculiar y nuevamente se ha usado el cambio (A.0.5). B. Transformación al espacio de Fourier La transformada de Fourier de una función g(x,t)se define como F[g]=gk=Zdxg(x,t)e−ik·x, (B.1) mientras que la inversa se define como F−1[gk]=Zdk (2π)3gkeik·x. (B.2) Así, para transformar una ecuación al espacio de Fourier, tendremos en consideración las siguientes propiedades de la transformada de Fourier: F∂g ∂t=∂gk ∂t,F∂2g ∂t2=∂2gk ∂t2, (B.3a) 45 APÉNDICES F[∇g]=Zdx∇ge−ik·x=ikZdxge−ik·x=ikgk, (B.3b) Fh∇2gi=Zdx∇2ge−ik·x=−k2Zdxge−ik·x=−k2gk. (B.3c) 46