Una introducción a la decoherencia cuántica

Introducción al proceso de la decoherencia cuántica Trabajo de Fin de Grado 6 Julio 2023 Departamento de Física Atómica, Molecular y Nuclear Universidad de Sevilla escrito por Álvaro Ledo Antúnez tutorizado por Dr. Jesús Casado Pascual Resumen En este Trabajo de Fin de Grado se presenta el concepto de la decoherencia cuántica como fenómeno natural derivado de las interacciones existentes entre el sistema estudiado y el entorno que lo rodea. La comprensión de la decoherencia juega un papel fundamental en el desarrollo de aplicaciones prácticas de cualquier sistema cuántico, siendo el ejemplo más destacado la computación cuántica tan vigente en la actualidad. En la primera sección se proporciona una breve introducción sobre el tema a tratar, además de herramientas básicas para el estudio de la evolución temporal de los sistemas cuánticos, primero para el caso de sistema cerrado y posteriormente extendemos las ideas a los sistemas cuánticos abiertos. En la segunda sección se presenta el formalismo de las ecuaciones maestras, claves en el estudio de la decoherencia. Para ello, se introducen una serie de aproximaciones cuyo motivo es facilitar el estudio de los sistemas cuánticos. Se introduce también el formalismo de Kraus, que nos permite deducir la forma general de la ecuación maestra de Lindblad, con la que se trabaja en múltiples modelos. En la tercera sección se aborda el concepto de decoherencia de forma completamente teórica, y se muestra su carácter puramente cuántico, derivándose exclusivamente de aplicar el formalismo estudiado a un sistema cuántico abierto. En la cuarta y en la quinta sección se estudian dos modelos, el de espín-bosón y el del oscilador armónico. Estos modelos son sencillos y ofrecen buenos resultados de forma analítica, por lo que ilustran a la perfección el fenómeno descrito en las secciones previas en casos prácticos. Abstract In this Bachelor’s Thesis the concept of quantum decoherence is presented as a natural phenomenon derived from the existing interactions between the studied system and the surrounding environment. The understanding of the decoherence plays a fundamental role in the development of practical applications of any quantum system, with quantum computation being the most outstanding example nowadays. The first section starts with a brief introduction related to the chosen topic, and a set of basic tools for the study of temporal evolution in quantum systems, firstly treating the case of a closed system and then extending the ideas to open quantum systems. In the second section the master equation formalism is presented, key to the study of decoherence. In that regard, a series of approximations are introduced in order to ease the study of quantum systems. The Kraus formalism is also introduced in this section, which let us deduce the general form of the Lindblad master equation, used in different models. In the third section the concept of decoherence is treated in a completely theoretical way, and its purely quantic nature is shown, derived from the application of the formalism used in open quantum systems. In the fourth and fifth section two models are studied, the spin-boson model and the harmonic oscillator model. These models are simple yet they show good analytical results, so they prefectly illustrate the phenomenon described in previous sections in a practical case. Índice 1. Introducción 1 1.1. Conceptosbásicos................................... 2 1.2. Evolución temporal en sistemas cuánticos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Evolución temporal en sistemas cuánticos abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2. Procesos cuánticos markovianos 9 3. Decoherencia cuántica 16 4. Modelo espín-bosón 22 5. El oscilador armónico amortiguado 34 6. Conclusiones 41 Apéndice 42 ApéndiceA ......................................... 42 Bibliografía 46 1. Introducción El primer atisbo de la teoría que acabaría siendo conocida como la Mecánica Cuántica se observó en la solución revolucionaria propuesta por Max Planck para el problema de radiación de cuerpo negro. En dicha teoría, Planck estableció que la luz era emitida y absorbida en cuantos de luz, paquetes discretos de energía E=hν. Desde entonces, la Mecánica Cuántica ha crecido hasta convertirse en uno de los pilares fundamentales de la física moderna, siendo clave para el desarrollo de la física y de la tecnología por igual. En este contexto surge la teoría de la decoherencia cuántica, propuesta por primera vez por H. D. Zeh en un artículo original de 1970 [1]. En dicho artículo, Zeh trató el problema del entrelazamiento entre los grados de libertad en un sistema y el entorno, que resultó fundamental para entender mejor el paso del régimen cuántico al clásico en un sistema. En este sentido, podemos decir que la decoherencia es el proceso a través del cual aparecen las distribuciones de probabilidad clásicas a partir de las distribuciones de probabilidad cuánticas. La constante evolución de la tecnología actual y la perseverante búsqueda de nuevos y mejores aparatos que nos permitan superar las barreras impuestas por la capacidad de cálculo actual es, sin duda, la mayor motivación que me guía para comenzar a entender este fenómeno, cuya importancia es capital en un concepto tan presente en la actualidad como es la computación cuántica. Es la pérdida de la coherencia en los cúbits que componen un ordenador cuántico uno de los mayores inconvenientes en su construcción, mantenimiento y uso. El desarrollo de la computación cuántica, por consiguiente, pasa por formular una teoría cuántica adecuada del fenómeno de la decoherencia, partiendo de la teoría de sistemas cuánticos abiertos. A través de estas ideas, podemos establecer un marco en el que estudiar los casos reales en los que surge este fenómeno, y constatar la validez de dichos modelos a partir de los resultados experimentales. Por tanto, el objetivo fijado para este trabajo consiste en introducir las herramientas matemáticas necesarias para el tratamiento general de los sistemas cuánticos abiertos y presentar de forma clara y concisa el concepto de la decoherencia cuántica, a partir del cuál estudiar este fenómeno en situaciones particulares como en un oscilador armónico o en un sistema binivel. 1 1.1. Conceptos básicos Comenzaremos esta sección introduciendo el espacio de Hilbert con el que trabajaremos normalmente, HSE, que será el espacio total correspondiente a nuestro sistema de estudio S y al entorno E. Este espacio vendrá dado por el producto tensorial de los espacios individuales de S y E HSE =HS⊗HE,(1) con {|ψj⟩S}y{|ϕα⟩E}bases ortonormales de los subespacios S y E respectivamente. La dimensión de HSyHEserá finita y arbitraria. La base de HSE será {|ψj⟩S⊗|ϕα⟩E}. Etiquetaremos aquellos estados pertenecientes a HScon subíndices latinos (j, k, ...), mientras que para aquellos pertenecientes a HEutilizaremos subíndices griegos (α, β, ...). En lo siguiente, todos los espacios de Hilbert nombrados serán considerados de dimensión finita. Múltiples pruebas presentadas no son válidas en el caso de dimensión infinita, y su correspondiente generalización solo complica de forma innecesaria los conceptos. A su vez, trabajaremos con operadores densidad, que representan el estado en el que se encuentra el sistema. Recordemos que estos operadores tienen algunas propiedades interesantes, como que son definidos positivos y tienen traza unidad. Para un colectivo de estados {|Φj⟩} (no necesariamente ortogonales) pertenecientes al espacio de Hilbert correspondiente, podemos escribirlos de la forma ρ=X j pj|Φj⟩⟨Φj|,(2) donde pjdenota la probabilidad del sistema de encontrarse en cada uno de los estados |Φj⟩. Según uno de los postulados de la Mecánica Cuántica, la relación entre un estado del sistema |Φ(t)⟩en dos instantes de tiempo t0ytviene dada mediante una transformación unitaria |Φ(t)⟩=U(t, t0)|Φ(t0)⟩,(3) siendo U(t, t0)el operador de evolución temporal, que enlaza el estado dado en el instante t0 inicial con el estado en un instante cualquiera t, con U(t, t)igual al operador identidad. Este operador de evolución a su vez satisface la siguiente relación U(t, t0) = U†(t0, t) = U−1(t0, t),(4) 2 de forma que para un estado |Φ(t)⟩se cumple que |Φ(t)⟩=U(t, t0)|Φ(t0)⟩=U(t, t0)U(t0, t)|Φ(t)⟩=1|Φ(t)⟩=|Φ(t)⟩,(5) Siendo 1el operador identidad del espacio de Hilbert correspondiente. Utilizando la definición (2) de la matriz densidad, podemos encontrar que la transformación de evolución temporal actúa de la forma ρ(t) = X j pj|Φj(t)⟩⟨Φj(t)| =X j pjU(t, t0)|Φj(t0)⟩⟨Φj(t0)|U†(t, t0) =U(t, t0)ρ(t0)U†(t, t0).(6) Hemos considerado que el sistema total está cerrado, por lo que las probabilidades pjson independientes del tiempo. Por último, para facilitar el estudio de nuestro sistema, definiremos la traza parcial en un espacio de Hilbert compuesto H=Hx1⊗ Hx2⊗... ⊗ Hxj⊗... y base {|ϕm1⟩⊗|ϕm2⟩⊗...}de la siguiente forma: Definición 1.1: Sea un operador O=Ox1⊗... ⊗Oxj⊗... que actúa sobre los estados de H. La traza parcial Trxjes una aplicación lineal sobre Otal que Trxj:H → H′=Hx1⊗... ⊗Hxj−1⊗Hxj+1 ⊗... (7) TrxjOx1⊗... ⊗Oxj⊗...→hOx1⊗... ⊗Ox(j−1) ⊗Ox(j+1) ⊗...iTr Oxj.(8) Veamos como se define en el caso que nos ocupa (HSE =HS⊗HE). Sea un operador Aque actúa sobre el espacio HSE cuya base ortonormal es {|Ψj,α⟩} ={|ψj⟩S⊗|ϕα⟩E}={|ψj⟩S|ϕα⟩E}. Su descomposición espectral es A=X j,k X α,β ⟨ψj|⟨ϕα|A|ψk⟩|ϕβ⟩ |ψj⟩|ϕα⟩⟨ψk|⟨ϕβ|.(9) Denotemos el término ⟨ψj|⟨ϕα|A|ψk⟩|ϕβ⟩=Ajα,kβ. Recordemos a su vez que el término |ψj⟩|ϕα⟩⟨ψk|⟨ϕβ|es equivalente a |ψj⟩⟨ψk|⊗|ϕα⟩⟨ϕβ|. La traza parcial (respecto al subespacio 3 E) se define como TrE(A) = X j,k X α,β Ajα,kβ |ψj⟩⟨ψk|Tr |ϕα⟩⟨ϕβ|(10) =X j,k X α,β Ajα,kβ |ψj⟩⟨ψk|δα,β (11) =X j,k X α Ajα,kα |ψj⟩⟨ψk|.(12) Análogamente, podemos definir la traza parcial respecto al subespacio S como TrS(A) = X jX α,β Ajα,jβ |ϕα⟩⟨ϕβ|.(13) En el caso que nos ocupa, establecemos que la traza parcial del operador densidad nos definirá el operador densidad reducido del subsistema. Este operador densidad reducido contiene toda la información concerniente al subsistema S que podemos obtener sin conocer el estado del subsistema E. Aplicando la definición de operador densidad vista en (2) tenemos que ρS= TrE(ρSE) = X j,k X αX l pl⟨Ψj,α|Φl⟩⟨Φl|Ψk,α⟩ |ψj⟩⟨ψk|.(14) 1.2. Evolución temporal en sistemas cuánticos cerrados Comenzaremos con una introducción a las distintas herramientas para conocer la evolución de un sistema cuántico cerrado. Definiremos el sistema cerrado como aquel que no interacciona de forma cuántica con su entorno. Esto significa que, o bien no intercambia información de ningún tipo, o bien lo hace clásicamente. Tomemos la ecuación de Schrödinger que describe a un sistema cuántico cerrado iℏd dt|ϕ(t)⟩=H(t)|ϕ(t)⟩,(15) donde |ϕ(t)⟩es el vector estado que describe al sistema, y H(t)es el hamiltoniano que describe al sistema. La energía varía (el hamiltoniano no es constante), por lo que el sistema intercambia información con el entorno. No obstante, el sistema descrito es cerrado, debido a que la interacción responsable (un potencial electromagnético variable por ejemplo) está descrita clásicamente. Al derivar la expresión (3), podemos escribirla de la forma ∂U(t, t0) ∂t =∂U(t, t0) ∂t 1=∂U(t, t0) ∂t U†(t, t0)U(t, t0) = A(t, t0)U(t, t0),(16) 4 Donde hemos llamado A(t, t0)a A(t, t0) = ∂U(t, t0) ∂t U†(t, t0).(17) La derivada temporal del operador identidad se puede escribir a su vez como ∂1 ∂t =∂U(t, t0)U†(t, t0) ∂t =∂U(t, t0) ∂t U†(t, t0) + U(t, t0)∂U†(t, t0) ∂t = 0,(18) de forma que ∂U(t, t0) ∂t U†(t, t0) = −U(t, t0)∂U†(t, t0) ∂t .(19) Usando esta relación, se demuestra que el operador A(t, t0)es antihermítico A(t, t0) = ∂U(t, t0) ∂t U†(t, t0) = −U(t, t0)∂U†(t, t0) ∂t =−A†(t, t0).(20) Para un instante t1comprendido entre tyt0, tenemos que el operador de evolución cumple que U(t, t0) = U(t, t1)U(t1, t0).(21) Si reexpresamos el operador A(t, t0)utilizando esta relación, llegamos al siguiente resultado A(t, t0) = ∂U(t, t1)U(t1, t0) ∂t U†(t1, t0)U†(t, t1) = ∂U(t, t1) ∂t U(t1, t0)U†(t1, t0)U†(t, t1) =∂U(t, t1) ∂t U†(t, t1) = A(t, t1).(22) Esto nos demuestra que A(t, t0) = A(t, t1) = A(t), es decir, que no depende del instante inicial, sino únicamente del estado final. Para transformar A(t)en un operador hermítico, multiplicamos por iℏ. Al resultado lo denominaremos H(t), de forma que la ecuación (16) queda ∂U(t, t0) ∂t =A(t)U(t, t0) = H(t) iℏU(t, t0)→iℏ∂U(t, t0) ∂t =H(t)U(t, t0),(23) donde el operador H(t)hermítico coincide con el hamiltoniano del sistema. A esta ecuación se le conoce como ecuación de Schrödinger hacia delante, y su condición inicial es U(t0, t0) = 1.(24) Utilizando un razonamiento similar pero derivando respecto a t0en la ecuación (3), obtenemos 5 mente la expresión ν(t,t0)ρS(t0) = X α,β Kα,β(t, t0)ρS(t0)K† α,β(t, t0).(55) Probemos ahora que, efectivamente, los operadores Kα,β(t, t0)cumplen (40). Para ello vamos a sustituir los operadores W(t, t0)en un término j, l de la suma. Utilizando (47) y (48), obtenemos que X α,β K† α,β(t, t0)Kα,β(t, t0)!j,l =X α,β X mK† α,β(t, t0)j,mKα,β(t, t0)m,l =X α,β X m1S⊗pρE(t0)U†(t, t0)jβ,mα U(t, t0)1S⊗pρE(t0)mα,lβ =X β1S⊗pρE(t0)U†(t, t0)U(t, t0)1S⊗pρE(t0)jβ,lβ =X β (1S⊗ρE(t0))jβ,lβ =δj,l X β (ρE(t0))β,β =δj,l Tr[ρE]=1,(56) de donde se deduce que X α,β K† α,βKα,β =X j,l X α,β K† α,βKα,β!j,l |ψj⟩⟨ψl|=X j,l δj,l |ψj⟩⟨ψl|=X j|ψj⟩⟨ψj|=1S,(57) como queríamos demostrar. En el trabajo de Griffiths [2] se proporciona una visión más profunda de los operadores de Kraus. Al poder descomponer el mapa dinámico en la forma de suma de operadores, el mapa cumple con las tres propiedades que definen a las operaciones cuánticas. Estas propiedades implican la existencia de una descomposición en suma de operadores y viceversa (ver el trabajo de Nielsen y Chuang [3] para una prueba): P1. El mapa ν(t,t0)debe conservar la traza en cualquier instante tpara que ν(t,t0)ρ(t0)sea un operador densidad válido, es decir, que cumpla que Trν(t,t0)ρ(t0)= 1.(58) 12 P2. El mapa ν(t,t0)es linealmente convexo si, para una matriz densidad definida como ρ(t0) = Pkpkρk(t0), con pkprobabilidades que cumplen Pkpk= 1, tenemos que ν(t,t0)"X k pkρk(t0)#=X k pkν(t,t0)[ρk(t0)].(59) P3. El mapa ν(t,t0)debe ser completamente positivo, lo que significa no solo que ν(t,t0)ρS(t0) debe ser positivo para cualquier ρS(t0)positivo perteneciente a S, sino que además, en caso de introducir un nuevo espacio R, debe cumplirse que (1⊗ν(t,t0))ρRS(t0)debe ser positivo también para cualquier ρRS(t0)positivo perteneciente ahora al sistema compuesto RS. Esto implica que el mapa dinámico definido en (38) es una operación cuántica. Si permitimos ahora que el instante tvaríe, tenemos una familia monoparamétrica de mapas dinámicos {ν(t,t0)|t≥t0}. Se plantea ahora la siguiente cuestión. Supongamos conocido el estado inicial tomado en (36). Si queremos conocer el estado en un instante t1, basta con utilizar la ecuación (34) para t=t1. Para un instante t=t2se obtiene de manera idéntica. Sin embargo, si queremos conocer la evolución entre t1yt2surge un problema de concatenación de aplicaciones, pues generalmente la expresión ν(t2,t0)=ν(t2,t1)ν(t1,t0)(60) no tiene por qué cumplirse. A esta expresión se le llama condición de semigrupo y tiene gran importancia a la hora de escribir las llamadas ecuaciones de Lindblad. Para una explicación más extensa sobre la condición de semigrupo se puede consultar el trabajo de Ángel Rivas [4]. Veamos por qué ocurre esto y cuándo será válida la relación anterior. La expresión para ν(t2,t1) es ν(t2,t1)ρS(t1) = TrEU(t2, t1)ρSE(t1)U†(t2, t1),(61) donde, a diferencia de las expresiones de ν(t2,t0)yν(t1,t0), ahora no tenemos una expresión factorizada para ρSE(t1). Para el operador densidad en un instante de tiempo tcualquiera, definimos los operadores densidad reducidos como ρS(t) = TrE[ρSE(t)]; (62) ρE(t) = TrS[ρSE(t)]; (63) δρ(t) = ρSE(t)−ρS(t)⊗ρE(t),(64) 13 donde hemos denominado δρ(t)a la diferencia entre el operador densidad total en ty el producto de los operadores densidad reducidos en t. Debido a que el sistema S está interaccionando con el entorno, este término por lo general será no nulo, y dará cuenta de las interacciones entre los mismos. Para que se cumpla la condición de semigrupo, debemos hacer aproximaciones. Vamos a suponer en primer lugar que el operador densidad reducido del entorno ρE(t)se mantiene invariante a lo largo del tiempo, de forma que tendremos que ρE(t0) = ρE(t) = ρE.(65) Normalmente, el entorno que vamos a considerar se suele modelar como un baño, por lo que el operador densidad reducido que describe al entorno apenas experimenta cambios debido a la interacción con el sistema. De esta forma, podemos tomar esta aproximación sin pérdida de generalidad. Aún requerimos de otra aproximación para que se cumpla la condición de semigrupo. Para ello, vamos a considerar que el término δρ(t)definido en la ecuación (64) es despreciable para cualquier instante de tiempo t. Esto implica que el operador densidad total se puede tomar como un producto de sus operadores densidad reducidos para cualquier instante de tiempo. A esta aproximación se le conoce como aproximación de Markov [5], y podemos asumirla ya que, como se verá posteriormente, la escala de tiempo a la que se pierden las correlaciones es muy pequeña frente al tiempo en el que se considera que el sistema ha interactuado con el entorno. Es fácil ver que si se cumplen dichas aproximaciones, la condición de semigrupo (60) es válida ya que el estado del sistema está factorizado para cualquier instante de tiempo t ρSE(t) = ρS(t)⊗ρE,(66) por lo que ρSE(t)es factorizable para cualquier instante t, y el mapa definido cumple la condición (60). Los procesos cuánticos que cumplen todo lo anterior son los llamados procesos de Markov, y las ecuaciones que los rigen son las llamadas ecuaciones de tipo Lindblad. Para encontrar estas ecuaciones, tomemos el límite l´ım t1→t− ρS(t)−ρS(t1) t−t1 = l´ım t1→t− ν(t,t1)−1 t−t1 ρS(t1),(67) donde hemos hecho uso de la condición de semigrupo. El primer término lo podemos tomar como 14 la propia definición de derivada de la matriz densidad, mientras que en el segundo renombramos el límite como un nuevo súperoperador. Obtenemos finalmente la expresión d dtρS(t) = L(t)ρS(t),(68) que nos definirá la conocida como ecuación de Lindblad. El operador L(t)se conoce como el generador del semigrupo y actúa sobre ρS(t). El siguiente teorema nos proporciona la forma general que toma dicho súperoperador y define la ecuación maestra que se utiliza en muchos casos del formalismo de la decoherencia. Teorema 1. El generador del semigrupo L(t)se puede expresar de forma general en la llamada forma de Lindblad L(t)ρS(t) = −i ℏ[H(t), ρS(t)] + N2−1 X k=1 γk(t)Lk(t)ρS(t)L† k(t)−1 2nL† k(t)Lk(t), ρS(t)o(69) donde el conmutador representa la evolución unitaria debido al hamiltoniano H(t)(no es necesariamente el mismo hamiltoniano del sistema, sino que puede haber sido renormalizado), los operadores Lk(t)son los llamados operadores de Lindblad y los coeficientes γk(t)satisfacen que γk(t)≥0para todo ky para cualquier instante tcuyas dimensiones son [γk] = T−1si se toman los operadores de Lindblad adimensionales. Demostración. La demostración formal de esta ecuación es compleja y se aleja del objetivo de este trabajo. Una demostración general se puede encontrar en el trabajo de Ángel Rivas [4]. A su vez, una demostración más sencilla extraída de libro de Breuer y Petruccione [5], suponiendo el operador L(t) = Lindependiente del tiempo se incluye en el Apéndice A. 15 3. Decoherencia cuántica En esta sección introduciremos la teoría de la decoherencia cuántica y la definición formal de este fenómeno físico. En teoría de sistemas cuánticos abiertos hemos estudiado un sistema total SE cerrado compuesto por nuestro subsistema de interés S en contacto con el entorno E que lo rodea. Al trazar sobre los grados de libertad de E, se observa que un cierto conjunto de estados del espacio de Hilbert del sistema S presentan propiedades robustas en el tiempo, mientras que las superposiciones de estos estados desaparecen muy rápidamente con el tiempo. A este proceso de la destrucción de las coherencias cuánticas lo llamamos decoherencia. Formalmente veamos cómo definir este proceso. Partimos de un hamiltoniano del sistema total SE de la forma HSE =HS+HE+HI=H0+HI,(70) donde el hamiltoniano inicial H0=HS+HErepresenta la suma de los hamiltonianos del sistema y el entorno y el hamiltoniano de interacción HItoma la forma HI=X n|n⟩⟨n|⊗En.(71) Aquí |n⟩es un conjunto específico de estados ortonormales que forma una base de HS, mientras que Enson operadores arbitrarios hermíticos que actúan sobre HE. También asumiremos que el hamiltoniano total conmuta con los proyectores Πn=|n⟩⟨n|⊗1E, de forma que [HSE,Πn]=[H0,Πn] = [HS,Πn]+[HE,Πn]=0,(72) donde hemos utilizado que [HE,Πn] = 0 (es inmediato a partir de la definición de Πn). Esto implica que los operadores Πnrepresentan cantidades conservadas, y, por tanto, la energía media del sistema S es constante en el tiempo d⟨HS(t)⟩ dt=−i ℏ⟨[HS(t), HSE(t)]⟩= 0.(73) Podemos ver que esto es cierto ya que, en la imagen de Heisenberg, se comprueba que [HS(t), HSE(t)] = [HS(t), H0(t)] + [HS(t), HI(t)] = "HS(t),X n Πn(t)⊗En(t)#= 0.(74) El conmutador [HS(t), H0(t)] es trivialmente cero para el mismo instante t, mientras que el conmutador [HS(t), HI(t)] es nulo debido a que hemos asumido que HS(t)conmuta con los pro- 16 yectores Πn(t)en el mismo instante t. Debido a que las imágenes de Heisenberg y de Schrödinger deben proporcionar los mismos resultados, esta propiedad se mantiene para todo instante t. En adelante, trabajaremos en la imagen de interacción. Representando ahora HIen dicha imagen llegamos a que HI(t) = eiH0(t−t0)/ℏHIe−iH0(t−t0)/ℏ=X n eiH0(t−t0)/ℏΠne−iH0(t−t0)/ℏ⊗eiH0(t−t0)/ℏEne−iH0(t−t0)/ℏ =X n Πn⊗En(t),(75) con En(t) = eiHE(t−t0)/ℏEne−iHE(t−t0)/ℏ. Es evidente que los proyectores Πnno cambian ya que conmutan con H0y, consecuentemente, con HS. El operador de evolución en la imagen de interacción a su vez se puede expresar como el operador de evolución usual mencionado en la ecuación (31) sustituyendo el hamiltoniano por el hamiltoniano de interacción U(t, t0) = Texp "−i ℏX nZt t0 ds(Πn⊗En(s))#.(76) Ya que el hamiltoniano conmuta con los proyectores, la dinámica de los estados |n⟩no se ve afectada por el entorno, y, por tanto, la evolución para un estado |Φ(t0)⟩será del tipo |Φ(t0)⟩=X n cn|n⟩⊗|ϕn(t0)⟩ → |Φ(t)⟩=U(t, t0)|Φ(t0)⟩=X n cn|n⟩⊗|ϕn(t)⟩,(77) donde el estado |ϕn(t)⟩lo podemos expresar en función del operador de evolución temporal que actúa sobre el espacio HE. Si definimos In(t)=Πn⊗En(t),(78) entonces para n, n′tenemos que el operador conmuta consigo mismo In′(t)In(t) = Πn′Πn⊗En′(t)En(t) = δn,n′Πn′,n ⊗En′(t)En(t) = Πn⊗E2 n(t); In(t)In′(t) = ΠnΠn′⊗En(t)En′(t) = Πn⊗E2 n(t); In′(t)In(t) = In(t)In′(t)→[In′(t), In(t)] = 0.(79) Como In(t)conmuta consigo mismo para todo n, n′, tenemos que el operador de evolución 17 temporal lo podemos factorizar de la forma U(t, t0) = Texp "−i ℏX nZt t0 ds(Πn⊗En(s))# =TY n exp −i ℏZt t0 dsΠn⊗En(s).(80) La exponencial de cada término se puede desarrollar en serie para obtener exp−i ℏZt t0 ds(Πn⊗En(s))=∞ X j=0 (−i)j ℏjj!Πn⊗Zt t0 dsEn(s)j =∞ X j=0   Πj n⊗ (−i)jRt t0dsEn(s)j ℏjj!   =1+∞ X j=1   Πj n⊗ (−i)jRt t0dsEn(s)j ℏjj!   =1+ Πn⊗∞ X j=1 (−i)jRt t0dsEn(s)j ℏjj! =1+ Πn⊗exp−i ℏZt t0 dsEn(s)−1E =1−Πn⊗1E+ Πn⊗exp−i ℏZt t0 dsEn(s),(81) donde nos hemos valido de la propiedad asociativa respecto a la multiplicación escalar del producto tensorial y de la propiedad de los proyectores Πj n= Πn∀j > 0.(82) La demostración de esta propiedad es trivial por la definición de Πn. De esta forma, la evolución para un estado |ϕn(t)⟩perteneciente a HEviene dada por el término exponencial y la podemos escribir como |ϕn(t)⟩=Texp −i ℏZt t0 dsEn(s)|ϕn(t0)⟩ ≡ Vn(t, t0)|ϕn(t)⟩,(83) donde hemos definido el operador unitario Vn(t, t0)(se comprueba que es unitario recordando que los operadores En(s)son hermíticos). El resultado es que |Φ(t)⟩es un estado cuántico entrelazado representado por la superposición de estados |Φ(t)⟩=Pncn|n⟩⊗|ϕn(t)⟩. Estas su- 18 perposiciones contienen toda la información del estado del sistema, y además están compuestas por combinaciones de todos los posibles estados |n⟩del sistema S presentes en el estado inicial |Φ(t0)⟩. Esto significa que la coherencia se mantiene al deducir el operador densidad reducido ρS(t) = TrE[|Φ(t)⟩⟨Φ(t)|] = TrE"X n,m cnc∗ m|n⟩⟨m|⊗|ϕn(t)⟩⟨ϕm(t)|# =X n,m cnc∗ m|n⟩⟨m|⟨ϕn(t)|ϕm(t)⟩.(84) Por unitariedad ⟨ϕn(t)|ϕn(t)⟩= 1, por lo que es fácil ver que los elementos diagonales del operador densidad reducido son constantes en el tiempo. Para los elementos no diagonales ⟨n|ρS(t)|m⟩, tenemos que su dependencia vendrá dada por el solapamiento entre los estados n ymdel entorno, que expresaremos como |⟨ϕn(t)|ϕm(t)⟩| =eΓn,m(t),(85) tomando el módulo para que el argumento de la exponencial sea real. A la función Γn,m(t) la llamaremos la función de decoherencia, y es fácil ver que cumple que Γn,m(t)≤0, ya que ⟨ϕn(t)|ϕm(t)⟩simboliza el solapamiento entre dos estados normalizados cualesquiera del entorno E, por lo que, usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz, tenemos que ⟨ϕn(t)|ϕm(t)⟩ ≤ ⟨ϕn(t)|ϕn(t)⟩1/2⟨ϕm(t)|ϕm(t)⟩1/2= 1,(86) lo que implica que el argumento de la exponencial debe ser menor o igual que cero (será igual a cero cuando n=m). Para el caso en que n=m, esta función nos describirá el comportamiento de las componentes no diagonales del operador densidad reducido. Para obtener la forma específica de esta función, hay que estudiar el sistema específico en detalle, ya que la dependencia temporal de dicha función cambia según los parámetros del sistema estudiado, el acoplo entre sistema y entorno, etc. De forma general para muchos sistemas físicos tendremos que la interacción lleva a una rápida disminución del solapamiento entre estados cuando n=m. En el caso de tiempos largos t≫τD, donde τDserá el tiempo de decoherencia (que nos proporcionará una escala de tiempo en la que actúa la decoherencia), tendremos el caso extremo ⟨ϕn(t)|ϕm(t)⟩=δnm,(87) 19 por lo que la expresión del operador densidad reducido pasa a ser ρS(t)→X n,m cnc∗ m|n⟩⟨m|δnm =X n|cn|2|n⟩⟨n|.(88) En esta representación han desaparecido las correlaciones debido a la interacción del sistema con el entorno. Esta mezcla de estados es “incoherente” ya que los términos de interferencia ⟨m|A|n⟩no aparecen en el valor esperado de ningún observable Acon n=m. Esto significa que las superposiciones de estados |n⟩son destruidas y no se pueden observar a través de medidas sobre S. Es a esta transición observada en (88) a lo que llamamos formalmente decoherencia inducida por el entorno, siendo el ejemplo planteado el caso más puro de decoherencia. Este tipo de decoherencia se caracteriza por destruir la coherencia cuántica sin que se dé un decaimiento de las poblaciones. La ecuación (88) implica que el operador densidad reducido se diagonaliza para un conjunto de estados específicos {|n⟩}, que no se verán afectados por la decoherencia. Nos referiremos a esta base como la base “preferida” por el sistema, y vendrá determinada por la interacción entre sistema y entorno. Si ahora partimos de los mapas dinámicos conocidos, y de la condición inicial dada en (36) con ρS(t0) = |ψ(t0)⟩⟨ψ(t0)|, entonces podemos expresar |ψ(t0)⟩en la base de estados preferida |ψ(t0)⟩=X n cn|n⟩,(89) y expresamos la condición inicial como ρSE(t0) = |ψ(t0)⟩⟨ψ(t0)|⊗ρE(t0) = X n,m |n⟩⟨m|⊗ρE(t0).(90) En este caso, la matriz densidad reducida viene dada por la expresión conocida ρS(t) = TrEU(t, t0)ρSE(t0)U†(t, t0)= TrE"U(t, t0) X n,m cnc∗ m|n⟩⟨m|⊗ρE(t0)!U†(t, t0)# =X n,m cnc∗ mTrEU(t, t0)(|n⟩⟨m|⊗1E)(1S⊗ρE(t0))U†(t, t0) =X n,m cnc∗ mTrE(|n⟩⟨m|⊗1E)U(t, t0)(1S⊗ρE(t0))U†(t, t0) =X n,m cnc∗ m|n⟩⟨m|TrEU(t, t0)(1S⊗ρE(t0))U†(t, t0) =X n,m cnc∗ m|n⟩⟨m|Tr Vn(t, t0)ρE(t0)V† m(t, t0).(91) 20 Sabiendo que ρE(t0)lo podemos escribir de forma general como ρE(t0) = Pαλα|ϕα(t0)⟩⟨ϕα(t0)|, siendo {|ϕα(t0)⟩} un colectivo de estados no necesariamente ortogonales pertenecientes a HE, y utilizando la definición de traza, el término Tr Vn(t)ρE(0)V† m(t)se puede expresar como Tr Vn(t, t0)ρE(t0)V† m(t, t0)= Tr "Vn(t, t0)X α λα|ϕα(t0)⟩⟨ϕα(t0)|V† m(t, t0)# =X α λαTr V† m(t, t0)Vn(t, t0)|ϕα(t0)⟩⟨ϕα(t0)| =X α λα⟨ϕα(t0)|V† m(t, t0)Vn(t, t0)|ϕα(t0)⟩ =V† m(t, t0)Vn(t, t0).(92) De aquí podemos obtener que la función de decoherencia será V† m(t, t0)Vn(t, t0)=eΓn,m(t,t0)→Γn,m(t, t0) = ln V† m(t, t0)Vn(t, t0),(93) donde V† m(t, t0)Vn(t, t0)es el valor esperado respecto al operador densidad reducido ρE(t0) inicial. De esta forma, hemos obtenido de forma analítica una expresión general para el decaimiento de los términos no diagonales en los sistemas descritos. 21 expresar como ρS(t) = TrEU(t, t0)ρSE(t0)U†(t, t0) = TrEeiφ(t,t0)V(t, t0)(ρS(t0)⊗ρE)e−iφ(t,t0)V†(t, t0).(128) Para los términos de la matriz reducida, seguimos el mismo procedimiento que en las ecuaciones (91) y (92) de forma que los términos diagonales son de la forma ρSii(t) = ⟨i|ρS(t0) Tr hV† i(t, t0)Vi(t, t0)ρEi|i⟩=⟨i|ρS(t0)|i⟩=ρSii(t0),(129) ya que la traza de V† i(t, t0)Vi(t, t0)es 1. Para los términos no diagonales, no obstante, tenemos que ρSij(t) = ρ∗ Sji(t) = ρSij(t0)DV† j(t, t0)Vi(t, t0)E=ρSij(t0)eΓ(t,t0),(130) con i=j. Calculemos la función de decoherencia Γ(t, t0) = ln "Tr(exp X k αka† k−α∗ kak!ρE)# = ln "*exp X k αka† k−α∗ kak!+# =X k ln hDexpαka† k−α∗ kakEi.(131) En el trabajo de Breuer y Petruccione [5] se evalúa el valor esperado de la exponencial utilizando el formalismo de las funciones de Wigner, que se aleja de los objetivos de este trabajo. Debido a ello, vamos a tratar directamente con el resultado, obteniendo que la función de decoherencia es Γ(t, t0) = −X k 4|gk|2 ℏ2ω2 k coth (ωk/2kBT)(1 −cos ωk(t−t0)).(132) Introducimos ahora la densidad espectral J(ω)como J(ω) = 4f(ω)|g(ω)|2,(133) donde f(ω)es la densidad de modos de vibración y g(ω)es la generalización al continuo de gk. En nuestro caso específico, vamos a utilizar la siguiente expresión para la densidad espectral Jopt(ω) = Aωe−ω/ωc.(134) 28 Jopt(ω)es la expresión específica de la densidad espectral en el régimen de la óptica cuántica, que utilizaremos para ilustrar este ejemplo. El término ωcrepresenta una cierta frecuencia de corte, y Arepresenta una constante que tomaremos igual a 1. Utilizamos ahora la densidad espectral para pasar al continuo la expresión de la función de decoherencia, obteniendo Γ(t, t0) = −Z∞ 0 dωJ(ω) coth (ω/2kBT)1−cos (ω(t−t0)) ℏ2ω2.(135) Vamos a separar este resultado en dos funciones de decoherencia distintas, que asociaremos la primera al vacío (Γvac)y la segunda al baño térmico (Γterm), debido a que la primera no depende explícitamente de la temperatura, y la segunda sí lo hace. La división es como sigue Γ(t, t0) = Γvac(t, t0)+Γterm(t, t0); (136) Γvac(t, t0) = −Z∞ 0 dωe−ω/ωc1−cos {ω(t−t0)} ℏ2ω,(137) Γterm(t, t0) = −Z∞ 0 dωe−ω/ωc[coth(ω/2kBT)−1]1−cos(ω(t−t0)) ℏ2ω.(138) Resolviendo las integrales, podemos obtener que el término del vacío es Γvac(t, t0) = −1 2ℏ2ln 1 + ω2 c(t−t0)2,(139) mientras que la parte térmica es Γterm(t, t0) = −kBT ℏ2Zt t0 dsZ∞ 0 dxe−kBTx/ωc[coth(x/2) −1] sin(kBT(s−t0)x),(140) donde hemos realizado el cambio de variable x=ω/kBT, y hemos reexpresado el término (1 −cos(ω(t−t0))/ω =Rt t0dssin(ω(s−t0)). Si asumimos que la frecuencia de corte es ωc≫ kBT, entonces podemos prescindir de la exponencial e−kBTx/ωcpara llegar a que Γterm(t, t0)≈ −kBT ℏ2Zt t0 dsZ∞ 0 dx[coth(x/2) −1] sin(kBT(s−t0)x),(141) y valiéndonos de la fórmula Z∞ 0 dx[coth(x/2) −1] sin(αx) = πcoth(πα)−1 α,(142) concluimos que Γterm(t, t0) = −1 ℏ2ln sinh((t−t0)/τβ) (t−t0)/τβ,(143) 29 donde hemos reescrito 1 πkBT=τβ.(144) Aτβlo denominaremos el tiempo de correlación térmico, y dará cuenta del tiempo de relajación del sistema, y también nos podemos referir a él como τR. En general, el tiempo de relajación sirve como medida para analizar el tiempo en el que la interacción entre el sistema y el entorno intercambian energía, por lo que lo usaremos para medir un intervalo en el que el intercambio de energía es suficientemente grande como para afectar a la evolución. Finalmente, la función de decoherencia total queda Γ(t, t0) = −1 2ℏ2ln 1 + ω2 c(t−t0)2−1 ℏ2ln sinh((t−t0)/τβ) (t−t0)/τβ.(145) A partir de esta fórmula podemos establecer distintas aproximaciones para visualizar mejor el decaimiento de los términos no diagonales del operador densidad. Régimen de tiempos cortos: Como su propio nombre indica, esta aproximación será útil para tiempos cortos, es decir, para (t−t0)≪1/ωc. Esta aproximación nos permite despreciar la parte térmica de la función (ya que (t−t0)≪1/ωc≪1/kBT), por lo que nos queda Γ(t, t0)≈ − 1 2ℏ2ln1 + ω2 c(t−t0)2=−1 2ℏ2 ∞ X n=1 (−1)n+1 (ωc(t−t0))2n n ≊−1 2ℏ2(ωc(t−t0))2−(ωc(t−t0))4 2+....(146) Al ser tpequeño, podemos cortar el desarrollo y quedarnos con los dos primeros términos, obteniendo Γt.c.(t, t0)≊−1 2ℏ2(ωc(t−t0))2−(ωc(t−t0))4 2.(147) Régimen del vacío: En este régimen hemos superado los tiempos iniciales, pero sigue dominando el término de vacío en la función. Esto ocurre cuando 1/ωc≪t≪τβ. En este caso basta con ver que (ωct)2≫1, por lo que tenemos que Γr.v.(t, t0)≈ − 1 2ℏ2ln1 + ω2 c(t−t0)2 ≊−1 2ℏ2lnω2 c(t−t0)2=−1 ℏ2ln(ωc(t−t0)).(148) Régimen térmico: También conocido como régimen de Markov debido a que la función 30 de decoherencia es lineal en t, ahora tenemos que la parte térmica domina la función, y se cumple que t≫τβ. Debido a ello, también lo llamaremos régimen de tiempos largos. Para este caso, tenemos que la función de decoherencia es de la forma Γt.l.(t, t0)≈ − 1 ℏ2ln sinh((t−t0)/τβ) (t−t0)/τβ=−1 ℏ2ln e(t−t0)/τβ−e−(t−t0)/τβ (t−t0)/τβ ≊−1 ℏ2(t−t0) τβ−ln (t−t0) τβ ≈ − 1 ℏ2 (t−t0) τβ .(149) A continuación se incluye una figura con una representación de la función de decoherencia y sus aproximaciones. Figura 1: Gráfica semilogarítmica de Γ(t, t0)y sus distintas aproximaciones en función de la variable adimensional τ=(t−t0) τβ, con τβωc= 20 (adimensional) y ℏ= 1. Es sencillo observar que, según el régimen en el que nos encontremos, tendremos una aproximación más válida que otra. La importancia de este modelo consiste en su resolubilidad exacta, tal y como hemos podido comprobar. No obstante, para sistemas no tan simples no podremos actuar de esta manera, y habremos de recurrir a las ecuaciones maestras. Veamos cómo se 31 utilizarían en el propio caso del modelo espín-bosón. Para ello, partiremos de la ecuación (69). En primer lugar, vamos a identificar al operador de Lindblad con la matriz de Pauli σz. Esto se puede entender sabiendo que en este modelo de decoherencia no tenemos un decaimiento de las poblaciones, sino una reducción de la coherencia en la dirección z del espín debido a la interacción del mismo con el baño térmico. En otras palabras, el operador de Lindblad da cuenta del proceso de decoherencia al medir la proyección de espín (sin provocar transiciones entre los estados de dicho espín). Una justificación de esto se puede ver en el trabajo de Ángel Rivas al deducir la forma de Lindblad a partir de razonamientos microscópicos [4]. La forma de la ecuación maestra particularizada para este caso es ˙ρS(t) = −i ℏ[HS, ρS(t)] + γLρS(t)L†−γ 2L†L, ρS(t) =−i ℏℏω0σz 2, ρS(t)+γσzρS(t)σ† z−γ 2σ† zσz, ρS(t).(150) Recordando la forma del hamiltoniano del sistema HSdada en (95), tenemos que ˙ρS(t) = −iω0 2ℏ   1 0 0−1 , ρS(t) +γ  1 0 0−1 ρS(t)  1 0 0−1 −γρS(t).(151) Desarrollando ρS(t)en sus cuatro términos, obtenemos las ecuaciones para todos los términos ˙ρS(t) = −iω0 2ℏ   ρS00(t)ρS01(t) −ρS10(t)−ρS11(t) −  ρS00(t)−ρS01(t) ρS10(t)−ρS11(t)   +γ  ρS00(t)−ρS01(t) −ρS10(t)ρS11(t) −γ  ρS00(t)ρS01(t) ρS10(t)ρS11(t) ,(152) Donde hemos definido ρSjk como ρSjk(t) = ⟨j|ρS(t)|k⟩.(153) Finalmente obtenemos                    ⟨0|˙ρS(t)|0⟩= ˙ρS00(t)=0, ⟨1|˙ρS(t)|1⟩= ˙ρS11(t)=0, ⟨1|˙ρS(t)|0⟩= ˙ρS10(t) = −iωρS10(t)−2γρS10(t), ⟨0|˙ρS(t)|1⟩= ˙ρS01(t) = iωρS01(t)−2γρS01(t), (154) 32 Resolviendo estas ecuaciones es fácil determinar que los términos no diagonales son constantes, o lo que es lo mismo, no decae la población a lo largo del tiempo ρS00(t) = ρS00(t0),(155) ρS11(t) = ρS11(t0).(156) Sin embargo, para los no diagonales, observamos que decaen exponencialmente de la forma ρ10(t) = ρ10(t0)e−(iω0+2γ)(t−t0),(157) ρ01(t) = ρ01(t0)e(iω0−2γ)(t−t0).(158) Estos términos decaen con un factor 2γ, por lo que se comprueba que los γtienen dimensión de T−1. Debido a que hemos supuesto condiciones de markovianidad, esta solución es válida en el régimen de Markov, y finalmente podemos identificar 2γ=τ−1 β, siendo τβel tiempo de correlación térmico definido en (144). 33 5. El oscilador armónico amortiguado En esta sección vamos a tratar la decoherencia en un oscilador armónico amortiguado. Este modelo sigue una descripción parecida a la utilizada en el baño de osciladores en la anterior sección. El hamiltoniano asociado a este sistema es HS=ℏω0a†a. (159) Vamos a utilizar la representación de estados coherentes. Podemos definir un estado coherente como aquel que cumple a|m⟩=m|m⟩,(160) es decir, el autoestado |m⟩del operador de aniquilación aasociado al autovalor m. Cualquier estado coherente |m⟩del oscilador lo podemos representar como |m⟩= exp−1 2|m|2∞ X n=0 mn √n!|n⟩= expma†−m∗a|0⟩,(161) donde a†yarepresentan los operadores de creación y destrucción de los estados del oscilador, y|n⟩son los diferentes estados numerados del oscilador armónico. Es fácil ver que cualquier estado construido así cumple (160) a|m⟩= exp−1 2|m|2∞ X n=0 mn √n!a|n⟩ = exp−1 2|m|2∞ X n=1 mn √n!√n|n−1⟩ = exp−1 2|m|2∞ X n=1 mn p(n−1)! |n−1⟩ =mexp−1 2|m|2∞ X n=1 mn−1 p(n−1)! |n−1⟩ =mexp−1 2|m|2∞ X n=0 mn √n!|n⟩=m|m⟩.(162) Estos estados |m⟩además están normalizados a la unidad, pero no serán ortogonales entre ellos. Partimos entonces de un cierto estado |ψ⟩=N(|α⟩+|β⟩),(163) 34 donde |α⟩y|β⟩(y, por tanto, |ψ⟩) son estados coherentes pertenecientes al espacio HS,N es una constante de normalización y los valores complejos αyβrepresentan las amplitudes iniciales de estos estados. Los estados |α⟩y|β⟩no son ortogonales entre sí, por lo que su solapamiento es no nulo, pero vamos a asumir que es lo suficientemente pequeño, de forma que, en el mundo macroscópico, solo observamos dos estados bien diferenciados. El solapamiento se puede expresar como ⟨α|β⟩= exp−1 2|α|2exp−1 2|β|2∞ X n=0 (α∗)n √n! ∞ X n′=0 βn′ √n′!⟨n|n′⟩ = exp−1 2|α|2exp−1 2|β|2∞ X n=0 (α∗)nβn′ √n!√n′!δn,n′ = exp−1 2|α|2exp−1 2|β|2∞ X n=0 (α∗β)n n! = exp−1 2|α|2−1 2|β|2+α∗β.(164) El operador densidad reducido para el estado |ψ⟩en el instante inicial t0viene dado por ρS(t0) = |ψ⟩⟨ψ|=N|α⟩⟨α|+|β⟩⟨β|+|α⟩⟨β|+|β⟩⟨α|.(165) Planteemos el caso en el vacío, donde tendremos que la temperatura es nula. Partiendo de la ecuación maestra general (69), vamos a tener dos operadores de Lindblad en este caso L1=p(n+ 1)a, L2=√na†.(166) En este caso, los operadores de creación y aniquilación aparecen para dar cuenta de las excitaciones o desexcitaciones de los estados del oscilador, mientras que los factores (n+ 1) ynestán asociados al número de ocupación asociado al proceso de destrucción y creación respectivamente dado por la distribución de Bose-Einstein [9]. La ecuación que describe este caso es ˙ρS(t) = −i ℏ[HS, ρS(t)] + γ(n+ 1)L1ρS(t)L† 1−1 2nL† 1L1, ρS(t)o +γnL2ρS(t)L† 2−1 2nL† 2L2, ρS(t)o =−i ℏℏω0a†a, ρS(t)+γ(n+ 1)aρS(t)a†−1 2a†a, ρS(t) +γna†ρS(t)a−1 2aa†, ρS(t).(167) 35 Si ahora hacemos la temperatura igual a cero, los números de ocupación nasociados a la distribución de Bose-Einstein se hacen nulos, ya que n∝exp−ϵ−µ kBT,(168) donde ϵes la energía y µes el potencial químico del estado respectivamente, con ϵ>µ. Aplicando esto y operando un poco llegamos finalmente a la expresión ˙ρS(t) = −iω0a†a, ρS(t)+γaρS(t)a†−1 2a†a, ρS(t) =−iω0−γ 2a†aρS(t) + iω0−γ 2ρS(t)a†a+γaρS(t)a†≡ LρS(t).(169) Para resolver esta ecuación, teniendo en cuenta que un estado coherente permanece coherente a lo largo del tiempo [5], podemos proponer una función solución del tipo σ(t) = exp{Lt}|α⟩⟨β|=f(t)|α(t)⟩⟨β(t)|,(170) con f(t)una función compleja que cumple f(t0) = 1, y α(t0) = α,β(t0) = β, de forma que tenemos para el instante inicial la solución σ(t0) = |α⟩⟨β|. Esto nos proporciona un operador densidad reducido del tipo ρS(t) = N2(fα(t)|α(t)⟩⟨α(t)|+fβ(t)|β(t)⟩⟨β(t)| +fα,β(t)|α(t)⟩⟨β(t)|+fβ,α(t)|β(t)⟩⟨α(t)|).(171) Para demostrar que (171) es, efectivamente, solución de la ecuación (169), vamos a utilizar la función solución σ(t), cuyos resultados se pueden generalizar a cada uno de los cuatro términos que componen ρS(t). Derivando |α(t)⟩obtenemos d dt|α(t)⟩=d dtexp−1 2|α(t)|2 ∞ X n=0 α(t)n √n!|n⟩+ exp−1 2|α(t)|2d dt"∞ X n=0 α(t)n √n!|n⟩#.(172) Veamos estos dos términos por separado. El primero queda d dtexp−1 2|α(t)|2 ∞ X n=0 α(t)n √n!|n⟩=−1 2 d dt|α(t)|2exp−1 2|α(t)|2∞ X n=0 α(t)n √n!|n⟩ =−1 2 d dt|α(t)|2|α(t)⟩.(173) 36 Del mismo modo, el segundo término queda exp−1 2|α(t)|2d dt"∞ X n=0 α(t)n √n!|n⟩#= (a†a)1 α(t) d dt[α(t)] exp−1 2|α(t)|2∞ X n=0 α(t)n √n!|n⟩ =1 α(t)˙α(t) exp−1 2|α(t)|2∞ X n=0 α(t)n √n!n|n⟩ =1 α(t)˙α(t) exp−1 2|α(t)|2∞ X n=0 α(t)n √n!(a†a)|n⟩ =˙α(t) α(t)a†a|α(t)⟩.(174) Donde hemos utilizado el operador número, que cumple a†a|n⟩=n|n⟩.(175) Podemos entonces expresar la derivada de |α(t)⟩como d dt|α(t)⟩=−1 2 d dt|α(t)|2+˙α(t) α(t)a†a|α(t)⟩.(176) Del mismo modo, podemos derivar el bra correspondiente a un estado β(t), y obtenemos de forma análoga d dt⟨β(t)|=⟨β(t)|"˙ β∗(t) β∗(t)a†a−1 2 d dt|β(t)|2#(177) Con estas relaciones y con la propiedad (160) podemos comprobar que nuestra solución propuesta resuelve la ecuación maestra. Para ello, sustituimos la solución y vemos que obtenemos para el primer término d dtf(t)|α(t)⟩⟨β(t)|=˙ f(t)|α(t)⟩⟨β(t)|+˙α(t) α(t)a†af(t)|α(t)⟩⟨β(t)| +f(t)|α(t)⟩⟨β(t)| a†a˙ β∗(t) β∗(t)!−1 2 d dt|α(t)|2f(t)|α(t)⟩⟨β(t)| −1 2 d dt|β(t)|2f(t)|α(t)⟩⟨β(t)|.(178) Por otro lado, el segundo término queda de la forma Lf(t)|α(t)⟩⟨β(t)|=−iω0−γ 2a†af(t)|α(t)⟩⟨β(t)|+iω0−γ 2f(t)|α(t)⟩⟨β(t)|a†a +γf(t)β∗(t)α(t)|α(t)⟩⟨β(t)|.(179) 37 de donde deducimos que TrS[LρS] = TrS" 2G+ N2−1 X i,j=1 aijF† jFi!ρS(t)#= 0.(207) Esto lo podemos expresar como el valor esperado respecto a ρS(t) TrS" 2G+ N2−1 X i,j=1 aijF† jFi!ρS(t)#=*2G+ N2−1 X i,j=1 aijF† jFi+= 0.(208) Esto implica que G+1 2 N2−1 X i,j=1 aijF† jFi= 0,(209) ya que *2G+ N2−1 X i,j=1 aijF† jFi+=⟨0⟩= 0.(210) Como tenemos dos operadores cuyo valor esperado es el mismo, independientemente del vector estado respecto al que tomamos el valor esperado (ya que el operador densidad inicial ρS(t) puede ser cualquier estado a priori), entonces se demuestra que ambos operadores son iguales y, por tanto se cumple (209). Uniendo esto a la ecuación (205), obtenemos la primera forma estándar del generador LρS(t) = −i[H, ρS(t)] + N2−1 X i,j=1 aijFiρS(t)F† j−1 2nF† jFi, ρS(t)o.(211) Dado que la matriz definida por los coeficientes aij es positiva, se le puede aplicar una transformación unitaria para diagonalizarla, obteniendo UaU†=          γ1 γ2 ... γN2−1          ,(212) donde los valores γison no negativos. Si introducimos un nuevo conjunto de operadores Lkde la forma Fi= N2−1 X k=1 ukiLk(213) 44 podemos reescribir (211) en la segunda forma estándar o forma diagonal del generador LρS(t) = −i[H, ρS(t)] + N2−1 X k=1 γkLkρS(t)L† k−1 2nL† kLk, ρS(t)o.(214) Esta es la forma más general de expresar el generador L, concluyendo así esta demostración. En los trabajos de Gorini, Kossakowski, Sudarshan [10] y Lindblad [11] que se encuentran en la bibliografía se puede encontrar dicha prueba con mayor rigor matemático. A su vez, una deducción microscópica de esta fórmula, en la que se identifica la forma que tienen los coeficientes γky los operadores de Lindblad Lkse puede encontrar en el trabajo de Ángel Rivas y Susana Huelga [4]. 45 Bibliografía [1] H. Dieter Zeh. “On the interpretation of measurement in quantum theory”. En: Foundations of Physics 1 (1970), págs. 69-76. [2] Robert B. Griffiths. “Quantum Channels, Kraus Operators, POVMs”. En: 2010. [3] Michael A. Nielsen e Isaac L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press, 2000. [4] Á. Rivas y S.F. Huelga. Open Quantum Systems: An Introduction. SpringerBriefs in Physics. Springer Berlin Heidelberg, 2011. isbn: 9783642233548. url:https : / / books . google.es/books?id=FGCuYsIZAA0C. [5] H. P. Breuer y F. Petruccione. The theory of open quantum systems. Great Clarendon Street: Oxford University Press, 2002. [6] Howard E. Haber. The time evolution operator as a time-ordered exponential. 2018. [7] Ángel Rivas et al. “Markovian master equations: a critical study”. En: New Journal of Physics 12.11 (nov. de 2010), pág. 113032. doi:10.1088/1367-2630/12/11/113032. url:https://dx.doi.org/10.1088/1367-2630/12/11/113032. [8] V. I. Gerasimenko. On Operators Generated by Density Matrix. 2020. arXiv: 2001.01180 [math-ph]. [9] V. P. Maslov y V. E. Nazaikinskii. On the Bose-Einstein distribution and Bose condensation. 2008. arXiv: 0812.4885 [math.PR]. [10] Vittorio Gorini, Andrzej Kossakowski y E. C. G. Sudarshan. “Completely positive dynamical semigroups of N-level systems”. En: Journal of Mathematical Physics 17.5 (mayo de 1976), págs. 821-825. doi:10.1063/1.522979. [11] G. Lindblad. “On the generators of quantum dynamical semigroups”. En: Communications in Mathematical Physics 48.2 (1976), págs. 119-130. 46