Dimensionamiento óptimo y automático de trazados de planos

Revista internacional de métodos numéricos para cálculo y diseño en ingeniería, Vol. 2, 2, 149-164 (1986) DIMENSIONAMIENTO 0PTI:MO Y AUTOMATIC O DE TRAZADOS PLANOS JUAN JOSE SENDRA SALAS Profesor titular de Construccioirzes Arquitectónicas de la E. T.S.A. de ,kvilla RESUMEN Se presenta en este trabajo un procedimiento autojmático para dirnensionamiento óptimo por ordenador de trazados de esquemas de distribución de edificios en planta. SUMMARY In this paper an automatic procedure for optirnal design of two dimensional building distribution plans is presented. El trabajo que aquí desarrollamos pretende servir de aportación a las formulaciones teóricas necesarias para la revisión de la utilidad del ordenador en el diseño arquitectónico. Se centrará en la búsqueda de un procedimj.ento automático para el dimensionamiento óptimo de trazados de esquemas de distribución de edificios en planta a partir de diversas condiciones, unas derivadas de la propia naturaleza de los trazados planos adimensionales, y otras, de características bien diferentes, impuestas por el diseñador. Tanto los espacios componentes y el propio contorno del trazado en planta resultante, ya dimensionado, tendrán forma rectangular. OPTIMIZACION DIMENSIONAL DIE TRAZADOS PLANOS DESCRIPCION DEL PROBLEMA Trabajos e investigaciones realizados hasta la fechia La mayoría de los investigadores tratan el problema del dimensionamiento de trazados en planta como un problema de optimización: Krejcirikg Mitchell, Steadman y ~iggett)' Mitchell?' Earl y ~arch) Scarano14 y ~lemming:" estári entre ellos. La formulación general de un problema de optimización viene dada,por el establecimiento de una función-objetivo y unas restricciones a cumplir por las variables que en ella intervienen. En los casos que nos ocupan, estas variables son esencialmente la longitud y anchura de cada uno de los espacios, y el contorno del conjunto. Casi todos Recibido: Mayo 1985 @ Universitat Politecnica de Catalunya (España) ISSN 0213-1315 150 J.J. SENDRA SALAS los investigadores trabajan con esquemas rectangulares y contorno asimismo rectangular; a lo sumo, introducen el concepto de "rectángulo ficticio" para poder emplear también espacios con planta en T, en L, o en U, etc., y contorno general de similares características. Para el dimensionamiento de esquemas se han establecido diferentes tipos de funciones objetivo, los más usuales minimizan las dimensiones del contorno del trazado en planta: su longitud o su anchura, su perímetro o su superficie. Unas funciones-objetivo serán, pues, lineales y otras no-lineales. En cuanto a las restricciones, un primer grupo lo constituyen las derivadas de la propia naturaleza del trazado en planta adimensional; un segundo tipo recogerá los requisitos de comunicación entre espacios; y un tercer y último grupo limitará, inferior o superiormente, la longitud, anchura y superficie de los,espacios componentes y del contorno. Igualmente, todos estos requisitos pueden expresarse unos lineal y otros no-linealmente. La naturaleza, lineal o no-lineal, de las funciones-objetivo y de.las restricciones determinará el método de resolución a emplear en el dimensionamiento. A continuación se enumeran y describen los más comunes: -- Programación lineal. Es una técnica muy poderosa que garantiza una solución óptima con gran eficacia. Tanto la función-objetivo como las restricciones han de estar expresadas en forma lineal. - Programación cuadrática. Técnica usada con menor frecuencia. Permite que, siendo lineales las restricciones a que deben de estar sujetas las variables, la función-objetivo pueda adoptar formar cuadrática. -- Programación no-lineal. Se aplica esta técnica cuando las restricciones como la función-objetivo pueden venir expresadas en forma no-lineal. Se han desarrollado varios métodos con esta técnica: algunos son rudimentarios y apropiados sólo en ciertos casos -por ejemplo, los métodos de linealización-; otros utilizan algoritmos más sofisticados y de mayor aplicabilidad. - Programación dinámica. Se pueden resolver con esta técnica tanto problemas lineales como no-lineales. La solución final se alcanza mediante una secuencia de decisiones. Hipótesis de trabajo y alternativa a dichas investigaciones El procedimiento que proponemos para el dimensionamiento de trazados de distribuciones en planta se puede subdividir en las siguientes etapas: 1. Sustitución del trazado adimensional por dos grafos dirigidos, uno cchorizontal" y otro "vertical". 2. Definición de las condiciones de accesibilidad entre locales. 3. Condiciones métrico-geométricas que deben cumplit los espacios componentes y el contorno. 4. Expresiones lineales o no-lineales correspondientes a todo tipo de requisitos. 5. Determinación de la función-objetivo. 6. Resolución del problema por programación lineal o no-lineal, según su naturaleza. El proceso termina con el dibujo automático clel esquema de distribución, ya dimensionado. El contorno y todos los espacios compoi~entes tendrán forma rectangular. Como puede observarse, se ha considerado la optimización como método idóneo para resolver el problema del dimensionamiento, y emplearemos la programación lineal y no-lineal como técnicas de resolución adecuadas a esa formulación. No aplicaremos, sin embargo, la programación dinámica, porque su utilidad depende en gran medida de la habilidad del usuario para descomponer la estructura del problema. El procedimiento completo queda recogido eri un programa en lenguaje FORTRAN IV para un ordenador Hewlett Packard de la serie 1000-M con un sistema operativo RTE-IVB. El programa, operando de forma interactiva, resuelve el problema del dimensionamiento óptimo de esquemas de distribucikln de edificios en planta a partir del trazado adimensional. Para ello, permite la realización automática de cada una de ,las operaciones necesarias para cumplimentar todas las etapas señaladas en dicho procedimiento, y dirige los intercambios de información entre ordenador y usuario, de forma que éste sólo interviene en el proceso cuando aqu5l se lo requiere. ALGORITMOS PARA EL DIMENSIONAMIENTO AUTOMATICO Y OPTIMO DE TRAZADOS PLANOS En el apartado anterior queda someramente descrito el procedimiento a seguir para el dimensionamiento de trazados, y su subdivisibn en distintas etapas. A continuación, entramos a detallar las operaciones y algoritmos que se desarrollan en cada una de ellas. Sustitución del trazado plano adimensional por dos grafos dirigidos El trazado plano adimensional se sustituye par dos grafos dirigidos, uno "vertical" y otro "horizontal". Los vértices del grafo "vertical" representan a los segmentos verticales del trazado, que son cerramientos y particiones paralelos entre sí. Figura 1. La región exterior y los distintos locales son reemplazados cada uno por un arco. Dichos arcos estarán siempre orientados, para los locales, desde el vértice que suple al segmento vertical que limita al espacio por la izquierda, hacia el vértice que realiza las mismas funciones por la derecha. Para la región exterior, sin embargo, se adopta la orientación opuesta. Figura 1. DIMENSIONAMIENTO OPTIMO DE TRAZADOS PLANOS 151 Fig. 1 Fig. 2 152 J. J. SENDRA SALAS Un procedimiento análogo se seguirá para la construcción del grafo "horizontal": se representarán por vértices los segmentos horizontales del trazado, se reemplazarán por arcos los locales y la región exterior, y se orientarán de arriba abajo los arcos que suplen a los locales, y en sentido contrario el que hace las veces de región exterior, Figura 2. Cuando se desee que los límites de dos espacios adyacentes estén en prolongación, los segmentos verticales que los representan se identificarán por un único vértice en el grafo que proceda. Figura 3. Esto es especialmente importante a la hora de definir el contorno del trazado en planta. Figura 4. + 2 1 k3 Fig. 3 Lj 12 12 Fig. 4 Los dos grafos citados pueden no ser simples, por tener arcos paralelos o múltiples. Sí serán fuertemente conexos. Ambos grafos dirigidos vendrán definidos por su correspondiente matriz de incidencia B (bil), cuyas dimensiones son el número de arcos IAl -igual en ambos grafos- y el número de vértices 1 VI -distinto, en general, en los dos grafos. Sus términos serán: bi1=o si el arco i no incide en el vertice j, blj=l si el vértice j es origen del arco i, y b,,=-1 cuando el vértice j sea el extremo del arco i. Definición de la matriz de adyacencia Una de las relaciones que hay que definir para un problema de dimensionamiento es la de adyacencia entre locales, especialmente en cuanto sean relaciones de acceso. Se ha considerado que dos espacios pueden comunicarse entre sí cuando tienen al menos 1 m. de contorno común (hueco de paso). Este concepto de adyacencia, entendido como accesibilidad, viene definido en la correspondiente matriz A (a,,) de dimensión ([Al , )A 1 ). Sus términos serán: a,,=O si no se establece comunicación entre los locales i y j y a,,=l en caso de que se establezca. Como el acceso es simétrico. all=al1, y A (a,,) será una matriz simétrica. DIMENSIONAMIENTO OPTIMO DE TRAZADOS PLANOS Restricciones métrico-geométricas Las limitaciones más usuales que en la práctica se imponen a los locales de una distribución en planta suelen ser las dimensiones 1ine:ales y superficies, mínimas o máximas, que cada espacio deba tener. Las dimensiones mínimas y máximas de los distintos locales y del perímetro de la planta son restricciones lineales. Si se introduce11 requisitos de superficies de los locales y del total del trazado en planta, las restricciones serán no-lineales. Expresiones que traducen las restricciones Como ya hemos mencionado con anterioridad, son tres los tipos de restricciones que limitan el problema de optimización dimensional del trazado en planta. - Limitaciones dimensionales derivadas de la naluraleza del propio trazado. - Relaciones de accesibilidad o comunicación entre espacios. - Restricciones métrico-geométricas impuestas ii los diversos locales y al contorno de la superficie en planta. La naturaleza del trazado en planta, representado por los grafos dirigidos "vertical" y "horizontal", dará origen a una serie de requisitos dimensionales que se traducen en un sistema de ecuaciones lineales. Dichas ecuaciones se obtienen aplicando la primera ley de Kirchhoff para redes eléctricas a ambos grafos dirigidos. Como es sabido, por esta ley se puede establecer que, en cada nudo de la red, la suma algebraica de las intensidades de corriente concurrentes es nula. La aplicación de esta ley a los dos grafos nos permite afirmar que la suma de los valores dimensionales (longitud y anchura de los locales y del contorno) atribuidos a los arcos que se dirigen hacia un vértice es igual a la suma de los que parten de él. Figura 5. Fig. 5 De este modo, en el grafo "horizontal" se hará: B1.XT= O donde B1 (bij) representa a la matriz obtenida transponiendo la de incidencia, a la que previamente se ha suprimido la última columna -combinación lineal de las demás-; y X es una matriz-fila, cuyos términos X1, X2 ,.. ., X, indican las longitudes de cada local y del contorno. Análogamente, en el grafo "vertical" se hará: B2 YT= O siendo B2 (b; ) la matriz obtenida a partir de la de incidencia del grafo "vertical" por el mismo procedimiento que se siguió para Bl ; e Y es una matriz-fila cuyos términos son las anchuras de los locales y del contorno. El siguiente tipo de restricciones lo constituyen las condiciones de accesibilidad entre locales. Las inecuaciones lineales que expresan dichos requisitos se elaboran para el grafo "vertical" u "horizontal", según la posición relativa existente en el trazado de los dos locales entre los que se quiere establecer comunjcación. Sólo aparecerá esta limitación, pues, si los arcos que representan a dichos espacios en e1 gafo dirigido correspondiente, son concurrentes en un mismo vértice w, incidiendo uno por el exterior y otro por el interior (término positivo y negativo, respectivamente, en la matriz de incidencia). Si denominamos local i a aquél cuyo centro geométrico en el trazado en planta(*) tiene mayor ordenada que el de otro local j con el que se quiere establecer acceso, este requisito se refleja, en el grafo "horizontal", si se verifican las dos inecuaciones siguientes: donde Xi, Xj indican las longitudes de los locales i y j; y .Z Xsupi, .Z Xsupj quieren significar las longitudes de dos grandes espacios que engloban a un conjunto de locales. Dichos locales se caracterizan por estar representados por arcos que inciden por el interior sobre el vértice w, y sus centros geométricos tienen abcisa mayor que la del local i ( Z XSUPi), O inciden por el exterior sobre el mismo vértice, y sus centros geométrico~ tienen abcisa mayor que la del local j (ZXSUpj) Figura 6. L_ _ ._ .. I Fig. 6 (*) Citar la abcisa u ordenada del centro geométrico de un local en el trazado en planta adimensional no supone un contrasentido, pues sólo servirá para situar 'relativamente' unos espacios respecto de otros. DIMENSIONAMIENTO OPTIMO DI3 TRAZADOS PLANOS 155 El término independiente 1 indica la anchur<a del hueco de paso mínimo.(*) Estas mismas restricciones elaboradas en el grafo "vt:rtical" para dos locales i y j, siendo i aquél local cuyo centro geométrico tiene mayor abcisa que el de otro j, se expresarían análogamente: donde Y,, Yj indican las anchuras de los locales i y j; y ZYsupi, ZYsupj son las anchuras de dos grandes espacios que comprenden a un conjunto de locales. Dichos locales se caracterizan por estar representados por arcos que inciden por el interior sobre el vértice w, y sus centros geométricos tienen ordenada mayor que la del local i (CYsupi), .o inciden por el exterior sobre el mismo vértice, y sus centros geométricos tienen ordenada mayor que la del local j (EXSUPj). Figura 7 En un trazado en planta de espacios y contorno rectangulares, estas inecuaciones reflejan siempre las condiciones de accesibilidad entre dos locales. En efecto, podemos entender la primera expresión, para el grafo "horizontal", considerando sólo dos grandes espacios: uno el que comprende al local i y al denominado SUPi, y otro el SUPj. Figura 8.a. con la segunda inecuación, en el mismo grafo, contemplemos la otra posibilidad: uno que hemos llamado SUPi, y otro que erigloba al local j y a SUPj. Figura 8.b. X Fig .7 Fig. 8.a Fig. 8.b (*) Si se emplea como término independiente 1, las longitudes y anchuras de los locales y del contorno vendrán dadas en metros. 156 J.J. SENDRA SALAS La misma lectura puede hacerse, de forma análoga, en el grafo "vertical". Estas incidencias pueden formularse de distinta forma ya que, para el grafo "horizontal" (Figura 8), se cumple: donde L indica la longitud del contorno del trazado en planta, y C XINFi, Z XINFj tienen el mismo significado que ,Z XsUPi y ZXSUPj, respectivamente, pero los centros geométrico~ de los espacios que engloban tienen abcisa menor, y no mayor, que la del local i (EXINFi) y la del local j (,ZXmFj). Sustituyendo los valores de Z Xsupi y ZXSUPj en las inecuaciones que, para el grafo "horizontal", reflejan los requisitos de comunicación de los espacios i y j, se obtendr ía : Igualmente podríamos expresar estas inecuaciones para el otro grafo dirigido. Unas y otras, como puede o'oservarse, son similares. El tercer y último tipo de restricciones corresponde a limitaciones dimensionales y de superficie impuestas a los locales y al contorno del trazado en planta. Podemos clasificarlas así: a) Restricciones para el problema lineal. - Acotación superior e inferior de las variables longitud y anchura de los locales y del contorno: Si alguna variable no está acotada inferiormente se le asignará un valor mínimo igual a 1 m. b) Restricciones para el problema no-lineal. - Acotación inferior de la longitud y anchura de cada local y del contorno En realidad estas inecuaciones pretenden fijar las dimensiones mínimas de locales y del contorno, sólo que dicho valor, si se quiere, puede ser distinto en una dirección que en otra. Al igual que en el caso anterior, si una variable no está limitada inferiormente, se le asignará un valor mínimo. - Acotación inferior de la superficie de locales y contorno Todas las restricciones impuestas, lineales y no-lineales, figurarán en una matriz de restricciones de dimensión ( 1 R 1 , 2 1 A 1 ). Donde 1 R1 indica el número de restricciones y IAJ representa el número de locales más uno (correspondiente al contorno). Los términos independientes de cada una de las limitaciones y su tipo (*) se localizarán en sendas matrices-columna. Naturaleza y costes de la función-objetivo La optimización dimensional se lleva a cabo con las siguientes funciones-objetivo: a) Funciones-objetivo lineales: - Minimizar la longitud y anchura -X, - del co~itorno del trazado en planta. - Con una longitud o anchura del contorno determinada, obtener estas mismas variables para cada uno de los locales. Para ello, si: ha de fijar la importancia "relativa" que se le da al tamaño de cada uno de los espacios que componen el trazado. La expresión de esta función-objetivo será: m-1 min Z CimXi i= 1 donde Xi representa la longitud o anchura de los locales exclusivamente; y el coste C, indica la importancia "relativa" del local i. Por tratarse de un problema de minimización, al coste se le asignará un valor negativo. b) Funciones-objetivo no-lineales: - Minimizar la superficie -X, .Y, - del contorno del trazado en planta. - Con una longitud y anchura del contorno determinada -y por tanto una superficie fijacalcular esas mismas variables para todos y cada uno de los espacios, según la importancia "relativa" que se confiere a su superficie dentro del trazado. La formulación de esta función-objetivo adopta la forma m-1 min Z C,Xi-Yi i= 1 donde Xi, Y, representan la longitud y anchura de los locales, respectivamente, y el coste Ci tiene una lectura similar a la explicada eti 1;s función-objetivo lirieal. (*) El tipo de una restricción se refiere a su forma de expresión, según se trate de ecuación o inecuación y, dentro de esta última, si es del género mayor o :igual; o menor o igual. 164 J.J. SENDRA SALAS CONCLUSIONES La posibilidad teórica de dimensionar de forma óptima esquemas de distribución de espacios ha sido el punto de partida de nuestro estudio, posibilidad formulada con anterioridad por diversos autores. Tras el análisis riguroso de los procesos sugeridos por las investigaciones sobre el tema y su crítica en función de los objetivos, el trabajo que presentamos consiste, esencialmente, en la propuesta de un procedimiento de optimización dimensional de trazados en planta, completo y coherente, que emplea técnicas clásicas de la programación lineal y no-lineal, según la naturaleza del problema. El método sólo es aplicable a trazados en planta donde, tanto los espacios componentes como el contorno, tengan forma rectangular. Las condiciones de accesibilidad entre locales vienen expresadas por inecuaciones para cuya elaboración se propone un algoritmo nuevo. Los restantes requisitos o bien se formulan directamente o se establecen por algoritmos ya conocidos. Se ha formulado también un procedimiento iterativo, basado en los estudios de Polak, para la resolución de problemas mediante programación no-lineal, que dimensiona eficazmente los esquemas de distribución, con ajuste posterior del mismo para conseguir así un trazado automático más exacto. Con este trabajo pretendemos ofrecer una aportación a todas aquellas formulaciones destinadas a introducir el ordenador en el campo del diseño y, más concretamente, del diseño arquitectónico. REFERENCIAS 1. P.R. Bryant, "Graph Theory and electrical networks". En applications of graph theoy, (R. J. Wilson y L. W. Beineke ed.) Academic Press, Londres, pp. 17-57, (1979). 2. J. Cea, Optimisation theorie et algorithmes, Ed. Dunod, col. Méthodes Mathématiques de l'informatique, Vol. 2, París, (1971). 3. C. Charalambous, "Non linear least pth. optimization and non linear pr~~ramming" En mathematical programming, Vol. 12, pp. 195-225, (1977). 4. C.F. Earl y L.J. 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