Submatriz sudeste más próxima que hace múltiple un valor propio prescrito

XX Cong eso de Ecuaciones Di e enciales y Aplicaciones X Cong eso de Ma em´ a ica Aplicada Se illa, 24-28 sep iemb e 2007 (pp. 1–8) Subma iz sudes e m´as p ´oxima que hace m´ul iple un alo p opio p esc i o Juan-Miguel G acia1, F ancisco E. Velasco1, 1Dp o. de Ma em´a ica Aplicada y Es ad´ıs ica, Uni e sidad del Pa´ıs Vasco, Facul ad de Fa macia, Paseo de la Uni e sidad, 7, 01006 Vi o ia-Gas eiz, Spain. E-mail: [email p o ec ed], [email p o ec ed]. Palab as cla e: Kalman, Moo e-Pen ose, Schu , Wilkinson, con inuidad y de i adas di eccionales de alo es singula es, con olable, obse able Resumen Dadas cua o ma ices complejas A, B, C yD, donde A∈Cn×nyD∈Cm×m, es udiamos el p oblema de Wilkinson gene alizado: ¿Cu´al es la dis ancia desde Dal conjun o de ma ices X∈Cm×m ales que A B C X enga alg´un alo p opio m´ul iple? En es a comunicaci´on esol emos es e p oblema, sal o en un caso, y damos una conje u a sob e la soluci´on comple a. 1. In oducci´on U ilizando ideas sob e el adio de es abilidad de ma ices eales de Qiu y o os [8], Malyshe [6] log ´o una ´o mula elegan e que esol i´o el p oblema de Wilkinson: Dada una ma iz G∈Cq×qcon odos sus alo es p opios simples halla la ma iz m´as p ´oxima a G, en la no ma espec al, que enga alg´un alo p opio m´ul iple. Es e p oblema espe ´o soluci´on du an e es d´ecadas. Malyshe [6, Sec ion 6] obse ´o que su ´o mula pe mi ´ıa halla el alo c ´ı ico de lameo “ lu e analysis” de una ma iz G∈Rq×q. Es e an´alisis se u iliza en el es udio de ib aciones pelig osas de es uc u as mec´anicas ales como las alas de un a i´on o el able o de un puen e suspendido [9]. Si los alo es p opios de Gson eales y simples, en onces odas las ma ices eales su icien emen e p ´oximas a G ienen sus alo es p opios 1 Juan-Miguel G acia, F ancisco E. Velasco simples y eales. El alo c ´ı ico de lameo de la es uc u a ep esen ada po G iene dado po c i := m´ın{kY−Gk:Y∈Rq×q iene un alo p opio m´ul iple eal}, que coincide con c i = m´ın x∈Rm´ax ≥0σ2q−1xI−G I 0xI−G. A pa i de c i el alo p opio eal doble (gen´e icamen e) de Yse bi u ca en dos alo es p opios complejos con pa e imagina ia no nula y simples. En es a comunicaci´on esol emos el p oblema de Wilkinson cuando se pe u ban ´uni- camen e los elemen os de una subma iz sudes e de G(pe u baci´on es uc u ada), sal o en un caso especial. Supongamos que Ges ´a pa ida en la o ma G=A B C D donde A∈Cn×n, D ∈Cm×myq=n+m. Empezamos po la cues i´on: Si z0∈C¿cu´al es la dis ancia desde Dal conjun o Mde ma ices X∈Cm×m ales que z0es alo p opio m´ul iple de G=A B C X en el caso de que es e conjun o no sea ac´ıo? Pa a analiza en qu´e casos M=∅u ilizamos elemen os de eo ´ıa de con ol (descomposici´on de Kalman, pa con olable, pa obse able, o ma can´onica con olado a). En el caso pa icula en el que z0 eco a los n´ume os imagina ios pu os y Gsea una ma iz es able, a e iguamos la dis ancia m´ınima dde Da X al que A B C X  iene un alo p opio imagina io m´ul iple. Es e alo dda un ma gen de segu idad que pe mi e asegu a la aco aci´on de odas las soluciones del sis ema di e encial ˙x=A B C X x, siemp e que kX−Dk< d. M´as pe inen e aun se ´ıa esol e el p oblema de halla la dis ancia desde Dal conjun o de ma ices X ales que A B C X  iene alg´un alo p opio imagina io ωi pu o de ´ındice ν(ωi) ≥2. En [6] Malyshe dio la ´o mula m´ın Y∈Cq×q m(z0,Y )≥2 kY−Gk= m´ax ≥0σ2q−1z0Iq−G Iq 0z0Iq−G,(1) donde G∈Cq×qes una ma iz dada con alo es p opios simples y z0es un n´ume o complejo dado. Aqu´ı σ2q−1deno a el (2q−1)-´esimo alo singula cuando es os alo es es ´an o denados en sen ido dec ecien e; la no ma k·kes la espec al, y m(z0, Y ) deno a la mul iplicidad algeb aica de z0como alo p opio de Y. En es e abajo amos a es udia un p oblema simila , pe o pe u bando una pa e de la ma iz. Conc e amen e, abo damos el p oblema siguien e: dadas cua o ma ices complejas A, B, C, D, donde A∈Cn×nyD∈Cm×m, nos p egun amos po la dis ancia desde Dal conjun o de ma ices X∈Cm×m ales que A B C X enga alg´un alo p opio m´ul iple. Vamos a conc e a m´as es e p oblema, e in oduci algunas no aciones. Dada G∈Cq×q, deno amos po Λ(G) su espec o y po Λ2(G) el conjun o de alo es p opios m´ul iples. Deno a emos po Ln,m el p oduc o ca esiano Cn×n×Cn×m×Cm×n. Dada una e na de ma ices α:= (A, B, C)∈Ln,m, pa a oda X∈Cm×mdeno a emos po M(α, X):=A B C X.(2) 2 Subma iz sudes e m´as p ´oxima que hace m´ul iple un alo p opio p esc i o De aho a en adelan e Dse ´a una ma iz de Cm×m. Los p oblemas que amos a abo da en es e abajo son los siguien es: P oblema 1. Halla el m´ınimo m´ın X∈Cm×m Λ2(M(α,X))6=∅ kX−Dk,(3) siemp e que el conjun o M2(α):={X∈Cm×m|Λ2(M(α, X)) 6=∅} no sea ac´ıo. P oblema 2. Dado z0∈Challa el m´ınimo m´ın X∈Cm×m m(z0,M(α,X))≥2 kX−Dk,(4) siemp e que el conjun o M2(z0, α):={X∈Cm×m|m(z0, M(α, X)) ≥2}no sea ac´ıo. A la ho a de abo da el P oblema 2, podemos supone que z0= 0. Pa a el P oblema 1, una p ime a cues i´on que su ge es si el conjun o M2(α) es no ac´ıo. 2. Exis encia del espec o de mul iplicidad ≥2 De inimos el conjun o ˆ Λ2(α) := [ X∈Cm×m Λ2(M(α, X)), que llama emos espec o ex endido m´ul iple de la e na de ma ices α. De inici´on 1. Dadas dos ma ices N1, N2∈C(n+m)×(n+m), di emos que son (n, m)- semejan es si exis en ma ices P∈GLn(C) y Q∈GLm(C) ales que N1=P0 0QN2P0 0Q−1 . Lema 1. Sean α, α0∈Ln,m. Si las ma ices M(α, 0) yM(α0,0) son (n, m)-semejan es, en onces ˆ Λ2(α) = ˆ Λ2(α0). Lema 2. Supongamos que ByCson ma ices no nulas. En onces, la ma iz M(α, 0) es (n, m)-semejan e, con ma ices de paso uni a ias, a una ma iz de la o ma       A11 0 0 0 0 A21 A22 0 0 0 A31 A32 A33 A34 B3 A41 A42 0A44 B4 C10 0 C40       ,(5) siendo A33 A34 B3 0A44 B4 un pa con olable. Adem´as, si Ci6= 0, el pa (Ci, Aii)es obse able, i= 1,4. Po el con a io, si Ci= 0, en onces en la o ma (5) eliminamos los bloques (i, k),(k, i),i= 1,2,3,4. 3 Juan-Miguel G acia, F ancisco E. Velasco Un esul ado sob e el conjun o ˆ Λ2(α), es el siguien e: Teo ema 3. Sea una e na α= (A, B, C)∈Ln,m en la o ma (5). En onces: (i) Si m= 1, el conjun o ˆ Λ2(α)es no ac´ıo y ini o. (ii) Si m > 1,C Λ(A44)⊂ˆ Λ2(α). 3. Resul ados auxilia es Un p ime esul ado b´asico, u ilizado en nues o abajo, es el siguien e: Teo ema 4. Dada una e na α= (A,B,C)∈Ln,m yD∈Cm×m, deno emos po ρ:= g[A,B] + g A C− g A. En onces ρ≤ g M(α, X), pa a oda ma iz X∈Cm×m. Aho a sean M:= (I−AA†)By N:= C(I−A†A).En onces, pa a oda X∈Cm×m, g M(α, X) = ρ+ g S(X), donde S(X) := (I−NN†)(X−CA†B)(I−M†M).(6) Adem´as, pa a odo en e o al que ρ≤ < g M(α, D),se cumple m´ın{kX−Dk:X∈Cm×m, g M(α, X)≤ }=σp+1S(D), donde p= −ρ. Po Z†se deno a la in e sa Moo e-Pen ose de una ma iz Z∈Cm×n. La demos aci´on del Teo ema 4 puede e se en [7, Theo em 19,(8.1), (8.2) and (8.6)], [2, Theo em 3], [11, Theo em 2.1] y Theo em 6.3.7, p´ag. 102, del lib o [1]. Tambi´en necesi amos esul ados sob e de i adas di eccionales de alo es singula es de ma ices que dependen de a ias a iables eales. De inici´on 2. Sean Ω ⊂Rpabie o y d∈Rp,kdk2= 1. Sea la unci´on : Ω →R. Se llama de i ada di eccional de en el pun o x0∈Ω espec o de dal l´ımi e 0(x0, d) := l´ım →0+ (x0+ d)− (x0) . siemp e que exis a. Sea la unci´on F: Ω →Cm×nde clase C1. Pa a cada x∈Ω, sean s1(x):=σ1F(x)≥ · · · ≥ sq(x):=σqF(x),con q:= m´ın(m, n), los alo es singula es de F(x). Supongamos que sk−ik(x0)> ik z }| { sk−ik+1(x0) = · · · =sk(x0) = jk z }| { sk+1(x0) = · · · =sk+jk(x0)> sk+jk+1(x0) con k=ik+jkla mul iplicidad del alo singula sk(x0). Sean U2:= [uk−ik+1, . . . , uk+jk]∈ Cm× kyV2:= [ k−ik+1, . . . , k+jk]∈Cn× kma ices cuyas columnas son pa es de ec o es singula es de F(x0) pa a sk(x0). La pa e eal de una ma iz G∈Cn×nse de ine po Re(G) := (G+G∗)/2; la ma ix Re(G) es he m´ı ica. 4 Subma iz sudes e m´as p ´oxima que hace m´ul iple un alo p opio p esc i o Teo ema 5 (Hi ia -U u y and Ye, Sun, Lippe ).Pa a cada k∈ {1, . . . , q},d= (d1, . . . , dp)∈Rpuni a io, s0 k(x0, d) = µik, con µ1≥ · · · ≥ µik≥ · · · ≥ µ klos alo- es p opios de la ma iz Re  U∗ 2  p X j=1 dj ∂F ∂xj (x0) V2 . Lema 6 ( [6]).Sean Ωun abie o de RyF: Ω →Cm×nuna unci´on anal´ı ica en Ω. Si la unci´on σiF( ) iene un m´aximo local (o m´ınimo) en 0∈Ω, en onces exis e un pa de ec o es singula es u∈Cm×1, ∈Cn×1de F( 0)asociados a σiF( 0) ales que Re u∗dF d ( 0) = 0. 4. Co a in e io del m´ınimo (4) Suponemos, sin p´e dida de gene alidad, que z0= 0. Conside emos la e na α= (A, B, C)∈Ln,m yD∈Cm×m. Sea X al que m(z0, M(α, X)) ≥2. En onces, ∀ ∈R g     A InB0 0A0B C0X Im 0C0X    ≤2(n+m)−2.(7) Aho a, u ilizando las no aciones del Teo ema 4, conside emos ρ( ) := g A InB0 0A0B+ g     A In 0A C0 0C    − g A In 0A, p( ) := 2n+ 2m−2−ρ( ),(8) M( ):= I2n−A In 0AA In 0A†!B0 0B N( ) := C0 0C I2n−A In 0A†A In 0A! S2( ):=I2m−N( )N( )†× D Im 0D−C0 0CA In 0A†B0 0B!I2m−M( )†M( )(9) Con es as no aciones se iene: 5 Juan-Miguel G acia, F ancisco E. Velasco P oposici´on 7 (Aco aci´on in e io de (4)). sup ∈R σp( )+1S2( )≤m´ın X∈M2(0,α)kX−Dk. Conje u a 8. m´ın X∈Cm×m m(0,M(α,X))≥2 kX−Dk= sup ∈R σp( )+1S2( ),(10) donde σjS2( ):= (∞si j < 1, 0 si j > 2m. Si no exis e ninguna ma iz X∈Cm×m al que m(z0, M(α, X)) ≥2, podemos in e p e a que m´ın kX−Dk=∞. 5. Caso 0/∈Λ(A) En es e caso, la Conje u a 8 es cie a. Adem´as, como 0 /∈Λ(A), de (8) ob enemos inmedia amen e que p( ) + 1 = 2m−1. Luego, enemos el siguien e esul ado: Teo ema 9. Supongamos que 0no es alo p opio de A. En onces m´ın X∈M2(0,α)kX−Dk= sup ∈R σ2m−1S2( ).(11) Como 0 /∈Λ(A), deno ando po M:= D−CA−1ByN:= Im+CA−2B, de (9) esul a S2( ) = M N 0M.(12) En la demos aci´on del Teo ema 9, el caso m= 1 se puede hace di ec amen e. Pa a m > 1 dis inguimos es casos: (1) cuando el sup emo se alcanza en un 0>0; (2) cuando s´olo se alcanza en 0= 0; (3) cuando no se alcanza en ning´un ∈R. En es e caso (3) g N= 1, adem´as `:= sup ∈R σ2m−1S2( )<∞. El alo `lo podemos de e mina as´ı: como g N= 1 exis en ma ices uni a ias U, V ales que U∗NV=s10 0 0, s1>0. Sean U∗M=M1 11 M1 12 M1 21 M1 22,MV=M2 11 M2 12 M2 21 M2 22, con M1 11,M2 11 ∈C1×1. En onces `= l´ım →∞ σ2m−1S2( )=σ2m−2  0M1 21 M1 22 M2 12 0 0 M2 22 0 0  . 6 Subma iz sudes e m´as p ´oxima que hace m´ul iple un alo p opio p esc i o 6. Caso 0∈Λ(A) Pa a es a si uaci´on, amos a conside a a ias opciones: 6.1. Caso B= 0 ´o C= 0. Pa a es e caso, la Conje u a 8 es cie a, adem´as la dis ancia es 0. 6.2. Caso B6= 0 yC6= 0. Po el Lema 2, podemos supone que la e na (A, B, C) es ´a en la o ma (5). Po simpli icaci´on, amos a deno a po ˜ A:= diag(A11, A22, A33), A4:= A44 ∈Cn4×n4. Aho a, conside amos los casos siguien es: (I) 0 ∈Λ2(˜ A) (II) 0 6∈ Λ2(˜ A), C4= 0, (III) 0 6∈ Λ2(˜ A), C46= 0,   (III-a) 0 ∈Λ( ˜ A)/Λ2(˜ A) (III-b) 0 6∈ Λ( ˜ A), m = 1 (III-c) 0 6∈ Λ( ˜ A), m > 1. 6.2.1. I.- 0∈Λ2(˜ A) La Conje u a 8 es cie a, conc e amen e la dis ancia es 0 . 6.2.2. II.- 06∈ Λ2(˜ A), C4= 0. Tambi´en pa a es e caso la Conje u a 8 es cie a. Adem´as, la dis ancia es σm(D). 6.2.3. III-a.- C46= 0,0∈Λ( ˜ A)/Λ2(˜ A) Deno ando po α4= (A4, B4, C4), amos a conside a la ma iz M(α4, D). Aho a, enemos es opciones: g M(α4, D)< n4+m: en es e caso la Conje u a 8 es cie a, y la dis ancia es 0. Supongamos aho a que g GD=n4+m. Como (A4, B4) es con olable ν(A4) = dim ke (A4)≤m. Si ν(A4) = m: la dis ancia es in ini a, pe o la Conje u a 8 no es ´a p obada. Si ν(A4)< m: el P oblema 2 se esuel e en ´eminos del Teo ema 4, mas la Conje u a 8 no es ´a p obada. 6.2.4. III-b.- C46= 0,06∈ Λ( ˜ A), m = 1 Pa a es e caso la Conje u a 8 es cie a, y la dis ancia es in ini a. 7 Juan-Miguel G acia, F ancisco E. Velasco 6.2.5. III-c.- C46= 0,06∈ Λ( ˜ A)m > 1 Como (A4, B4) es con olable, en onces ν(A4)≤m. Es e caso no es ´a esuel o, aunque se pueden a anza algunos hechos, aplicando el Teo ema 4: Si ν(A4) = m, en onces la dis ancia es in ini a. Si ν(A4)≤m−2, la dis ancia es ini a. Si ν(A4) = m−1, la dis ancia puede se ini a o in ini a. Dos ejemplos     0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0    in ini a ;     0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1     ini a , X =1 0 0 0. Ag adecimien os Es e ma e ial ue p esen ado en semina ios del G upo de ´ Algeb a Lineal de la Uni e - sidad del Pa´ıs Vasco, a cuyos miemb os ag adecemos el in e ´es p es ado y sus comen a ios. Es e abajo ue inanciado po el Minis e io de Educaci´on y Ciencia, P oyec o MTM2004– 06389–CO2–01. Re e encias [1] S. L. Campbell and C. D. Meye . Gene alized In e ses o Linea T ans o ma ions. Pi man, London, 1979. [2] J. Demmel. The smalles pe u ba ion o a subma ix which lowe s he ank and cons ained o al leas squa es p oblems. SIAM J. Nume . Anal., 24(1):199–206, 1987. . [3] J.-M. G acia. Nea es ma ix wi h wo p esc ibed eigen alues. Linea Algeb a Appl., 401:277–294, 2005. [4] J. B. Hi ia -U u y and D. Ye. Sensi i i y analysis o all eigen alues o a symme ic ma ix. Nume . Ma h., 70:45–72, 1995. [5] Ross A. Lippe . Fixing wo eigen alues by a minimal pe u ba ion. Linea Algeb a Appl., 406: 177–200, 2005. [6] A.-N. Malyshe . 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