Submatriz sudeste más próxima que hace múltiple un valor propio prescrito

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matem´ atica Aplicada Sevilla, 24-28 septiembre 2007 (pp. 1–8) Submatriz sudeste m´as pr´oxima que hace m´ultiple un valor propio prescrito Juan-Miguel Gracia1, Francisco E. Velasco1, 1Dpto. de Matem´atica Aplicada y Estad´ıstica, Universidad del Pa´ıs Vasco, Facultad de Farmacia, Paseo de la Universidad, 7, 01006 Vitoria-Gasteiz, Spain. E-mail: [email protected], [email protected]. Palabras clave: Kalman, Moore-Penrose, Schur, Wilkinson, continuidad y derivadas direccionales de valores singulares, controlable, observable Resumen Dadas cuatro matrices complejas A, B, C yD, donde A∈Cn×nyD∈Cm×m, estudiamos el problema de Wilkinson generalizado: ¿Cu´al es la distancia desde Dal conjunto de matrices X∈Cm×mtales que A B C X tenga alg´un valor propio m´ultiple? En esta comunicaci´on resolvemos este problema, salvo en un caso, y damos una conjetura sobre la soluci´on completa. 1. Introducci´on Utilizando ideas sobre el radio de estabilidad de matrices reales de Qiu y otros [8], Malyshev [6] logr´o una f´ormula elegante que resolvi´o el problema de Wilkinson: Dada una matriz G∈Cq×qcon todos sus valores propios simples hallar la matriz m´as pr´oxima a G, en la norma espectral, que tenga alg´un valor propio m´ultiple. Este problema esper´o soluci´on durante tres d´ecadas. Malyshev [6, Section 6] observ´o que su f´ormula permit´ıa hallar el valor cr´ıtico de flameo “flutter analysis” de una matriz G∈Rq×q. Este an´alisis se utiliza en el estudio de vibraciones peligrosas de estructuras mec´anicas tales como las alas de un avi´on o el tablero de un puente suspendido [9]. Si los valores propios de Gson reales y simples, entonces todas las matrices reales suficientemente pr´oximas a Gtienen sus valores propios 1 Juan-Miguel Gracia, Francisco E. Velasco simples y reales. El valor cr´ıtico de flameo de la estructura representada por Gviene dado por fcrit := m´ın{kY−Gk:Y∈Rq×qtiene un valor propio m´ultiple real}, que coincide con fcrit = m´ın x∈Rm´ax t≥0σ2q−1xI−G tI 0xI−G. A partir de fcrit el valor propio real doble (gen´ericamente) de Yse bifurca en dos valores propios complejos con parte imaginaria no nula y simples. En esta comunicaci´on resolvemos el problema de Wilkinson cuando se perturban ´unicamente los elementos de una submatriz sudeste de G(perturbaci´on estructurada), salvo en un caso especial. Supongamos que Gest´a partida en la forma G=A B C D donde A∈Cn×n, D ∈Cm×myq=n+m. Empezamos por la cuesti´on: Si z0∈C¿cu´al es la distancia desde Dal conjunto Mde matrices X∈Cm×mtales que z0es valor propio m´ultiple de G=A B C X en el caso de que este conjunto no sea vac´ıo? Para analizar en qu´e casos M=∅utilizamos elementos de teor´ıa de control (descomposici´on de Kalman, par controlable, par observable, forma can´onica controladora). En el caso particular en el que z0recorra los n´umeros imaginarios puros y Gsea una matriz estable, averiguamos la distancia m´ınima dde Da Xtal que A B C X tiene un valor propio imaginario m´ultiple. Este valor dda un margen de seguridad que permite asegurar la acotaci´on de todas las soluciones del sistema diferencial ˙x=A B C X x, siempre que kX−Dk< d. M´as pertinente aun ser´ıa resolver el problema de hallar la distancia desde Dal conjunto de matrices Xtales que A B C X tiene alg´un valor propio imaginario ωi puro de ´ındice ν(ωi) ≥2. En [6] Malyshev dio la f´ormula m´ın Y∈Cq×q m(z0,Y )≥2 kY−Gk= m´ax t≥0σ2q−1z0Iq−G tIq 0z0Iq−G,(1) donde G∈Cq×qes una matriz dada con valores propios simples y z0es un n´umero complejo dado. Aqu´ı σ2q−1denota el (2q−1)-´esimo valor singular cuando estos valores est´an ordenados en sentido decreciente; la norma k·kes la espectral, y m(z0, Y ) denota la multiplicidad algebraica de z0como valor propio de Y. En este trabajo vamos a estudiar un problema similar, pero perturbando una parte de la matriz. Concretamente, abordamos el problema siguiente: dadas cuatro matrices complejas A, B, C, D, donde A∈Cn×nyD∈Cm×m, nos preguntamos por la distancia desde Dal conjunto de matrices X∈Cm×mtales que A B C X tenga alg´un valor propio m´ultiple. Vamos a concretar m´as este problema, e introducir algunas notaciones. Dada G∈Cq×q, denotamos por Λ(G) su espectro y por Λ2(G) el conjunto de valores propios m´ultiples. Denotaremos por Ln,m el producto cartesiano Cn×n×Cn×m×Cm×n. Dada una terna de matrices α:= (A, B, C)∈Ln,m, para toda X∈Cm×mdenotaremos por M(α, X):=A B C X.(2) 2 Submatriz sudeste m´as pr´oxima que hace m´ultiple un valor propio prescrito De ahora en adelante Dser´a una matriz de Cm×m. Los problemas que vamos a abordar en este trabajo son los siguientes: Problema 1. Hallar el m´ınimo m´ın X∈Cm×m Λ2(M(α,X))6=∅ kX−Dk,(3) siempre que el conjunto M2(α):={X∈Cm×m|Λ2(M(α, X)) 6=∅} no sea vac´ıo. Problema 2. Dado z0∈Challar el m´ınimo m´ın X∈Cm×m m(z0,M(α,X))≥2 kX−Dk,(4) siempre que el conjunto M2(z0, α):={X∈Cm×m|m(z0, M(α, X)) ≥2}no sea vac´ıo. A la hora de abordar el Problema 2, podemos suponer que z0= 0. Para el Problema 1, una primera cuesti´on que surge es si el conjunto M2(α) es no vac´ıo. 2. Existencia del espectro de multiplicidad ≥2 Definimos el conjunto ˆ Λ2(α) := [ X∈Cm×m Λ2(M(α, X)), que llamaremos espectro extendido m´ultiple de la terna de matrices α. Definici´on 1. Dadas dos matrices N1, N2∈C(n+m)×(n+m), diremos que son (n, m)- semejantes si existen matrices P∈GLn(C) y Q∈GLm(C) tales que N1=P0 0QN2P0 0Q−1 . Lema 1. Sean α, α0∈Ln,m. Si las matrices M(α, 0) yM(α0,0) son (n, m)-semejantes, entonces ˆ Λ2(α) = ˆ Λ2(α0). Lema 2. Supongamos que ByCson matrices no nulas. Entonces, la matriz M(α, 0) es (n, m)-semejante, con matrices de paso unitarias, a una matriz de la forma       A11 0 0 0 0 A21 A22 0 0 0 A31 A32 A33 A34 B3 A41 A42 0A44 B4 C10 0 C40       ,(5) siendo A33 A34 B3 0A44 B4 un par controlable. Adem´as, si Ci6= 0, el par (Ci, Aii)es observable, i= 1,4. Por el contrario, si Ci= 0, entonces en la forma (5) eliminamos los bloques (i, k),(k, i),i= 1,2,3,4. 3 Juan-Miguel Gracia, Francisco E. Velasco Un resultado sobre el conjunto ˆ Λ2(α), es el siguiente: Teorema 3. Sea una terna α= (A, B, C)∈Ln,m en la forma (5). Entonces: (i) Si m= 1, el conjunto ˆ Λ2(α)es no vac´ıo y finito. (ii) Si m > 1,C\Λ(A44)⊂ˆ Λ2(α). 3. Resultados auxiliares Un primer resultado b´asico, utilizado en nuestro trabajo, es el siguiente: Teorema 4. Dada una terna α= (A,B,C)∈Ln,m yD∈Cm×m, denotemos por ρ:= rg[A,B] + rg A C−rg A. Entonces ρ≤rg M(α, X), para toda matriz X∈Cm×m. Ahora sean M:= (I−AA†)By N:= C(I−A†A).Entonces, para toda X∈Cm×m,rg M(α, X) = ρ+ rg S(X), donde S(X) := (I−NN†)(X−CA†B)(I−M†M).(6) Adem´as, para todo entero rtal que ρ≤r < rg M(α, D),se cumple m´ın{kX−Dk:X∈Cm×m,rg M(α, X)≤r}=σp+1S(D), donde p=r−ρ. Por Z†se denota la inversa Moore-Penrose de una matriz Z∈Cm×n. La demostraci´on del Teorema 4 puede verse en [7, Theorem 19,(8.1), (8.2) and (8.6)], [2, Theorem 3], [11, Theorem 2.1] y Theorem 6.3.7, p´ag. 102, del libro [1]. Tambi´en necesitamos resultados sobre derivadas direccionales de valores singulares de matrices que dependen de varias variables reales. Definici´on 2. Sean Ω ⊂Rpabierto y d∈Rp,kdk2= 1. Sea la funci´on f: Ω →R. Se llama derivada direccional de fen el punto x0∈Ω respecto de dal l´ımite f0(x0, d) := l´ım t→0+ f(x0+td)−f(x0) t. siempre que exista. Sea la funci´on F: Ω →Cm×nde clase C1. Para cada x∈Ω, sean s1(x):=σ1F(x)≥ · · · ≥ sq(x):=σqF(x),con q:= m´ın(m, n), los valores singulares de F(x). Supongamos que sk−ik(x0)> ik z }| { sk−ik+1(x0) = · · · =sk(x0) = jk z }| { sk+1(x0) = · · · =sk+jk(x0)> sk+jk+1(x0) con rk=ik+jkla multiplicidad del valor singular sk(x0). Sean U2:= [uk−ik+1, . . . , uk+jk]∈ Cm×rkyV2:= [vk−ik+1, . . . , vk+jk]∈Cn×rkmatrices cuyas columnas son pares de vectores singulares de F(x0) para sk(x0). La parte real de una matriz G∈Cn×nse define por Re(G) := (G+G∗)/2; la matrix Re(G) es herm´ıtica. 4 Submatriz sudeste m´as pr´oxima que hace m´ultiple un valor propio prescrito Teorema 5 (Hiriart-Urruty and Ye, Sun, Lippert).Para cada k∈ {1, . . . , q},d= (d1, . . . , dp)∈Rpunitario, s0 k(x0, d) = µik, con µ1≥ · · · ≥ µik≥ · · · ≥ µrklos valores propios de la matriz Re  U∗ 2  p X j=1 dj ∂F ∂xj (x0) V2 . Lema 6 ( [6]).Sean Ωun abierto de RyF: Ω →Cm×nuna funci´on anal´ıtica en Ω. Si la funci´on σiF(t)tiene un m´aximo local (o m´ınimo) en t0∈Ω, entonces existe un par de vectores singulares u∈Cm×1,v∈Cn×1de F(t0)asociados a σiF(t0)tales que Re u∗dF dt(t0)v= 0. 4. Cota inferior del m´ınimo (4) Suponemos, sin p´erdida de generalidad, que z0= 0. Consideremos la terna α= (A, B, C)∈Ln,m yD∈Cm×m. Sea Xtal que m(z0, M(α, X)) ≥2. Entonces, ∀t∈R rg     A tInB0 0A0B C0X tIm 0C0X    ≤2(n+m)−2.(7) Ahora, utilizando las notaciones del Teorema 4, consideremos ρ(t) := rg A tInB0 0A0B+ rg     A tIn 0A C0 0C    −rg A tIn 0A, p(t) := 2n+ 2m−2−ρ(t),(8) M(t):= I2n−A tIn 0AA tIn 0A†!B0 0B N(t) := C0 0C I2n−A tIn 0A†A tIn 0A! S2(t):=I2m−N(t)N(t)†× D tIm 0D−C0 0CA tIn 0A†B0 0B!I2m−M(t)†M(t)(9) Con estas notaciones se tiene: 5 Juan-Miguel Gracia, Francisco E. Velasco Proposici´on 7 (Acotaci´on inferior de (4)). sup t∈R σp(t)+1S2(t)≤m´ın X∈M2(0,α)kX−Dk. Conjetura 8. m´ın X∈Cm×m m(0,M(α,X))≥2 kX−Dk= sup t∈R σp(t)+1S2(t),(10) donde σjS2(t):= (∞si j < 1, 0 si j > 2m. Si no existe ninguna matriz X∈Cm×mtal que m(z0, M(α, X)) ≥2, podemos interpretar que m´ın kX−Dk=∞. 5. Caso 0/∈Λ(A) En este caso, la Conjetura 8 es cierta. Adem´as, como 0 /∈Λ(A), de (8) obtenemos inmediatamente que p(t) + 1 = 2m−1. Luego, tenemos el siguiente resultado: Teorema 9. Supongamos que 0no es valor propio de A. Entonces m´ın X∈M2(0,α)kX−Dk= sup t∈R σ2m−1S2(t).(11) Como 0 /∈Λ(A), denotando por M:= D−CA−1ByN:= Im+CA−2B, de (9) resulta S2(t) = MtN 0M.(12) En la demostraci´on del Teorema 9, el caso m= 1 se puede hacer directamente. Para m > 1 distinguimos tres casos: (1) cuando el supremo se alcanza en un t0>0; (2) cuando s´olo se alcanza en t0= 0; (3) cuando no se alcanza en ning´un t∈R. En este caso (3) rg N= 1, adem´as `:= sup t∈R σ2m−1S2(t)<∞. El valor `lo podemos determinar as´ı: como rg N= 1 existen matrices unitarias U, V tales que U∗NV=s10 0 0, s1>0. Sean U∗M=M1 11 M1 12 M1 21 M1 22,MV=M2 11 M2 12 M2 21 M2 22, con M1 11,M2 11 ∈C1×1. Entonces `= l´ım t→∞ σ2m−1S2(t)=σ2m−2  0M1 21 M1 22 M2 12 0 0 M2 22 0 0  . 6 Submatriz sudeste m´as pr´oxima que hace m´ultiple un valor propio prescrito 6. Caso 0∈Λ(A) Para esta situaci´on, vamos a considerar varias opciones: 6.1. Caso B= 0 ´o C= 0. Para este caso, la Conjetura 8 es cierta, adem´as la distancia es 0. 6.2. Caso B6= 0 yC6= 0. Por el Lema 2, podemos suponer que la terna (A, B, C) est´a en la forma (5). Por simplificaci´on, vamos a denotar por ˜ A:= diag(A11, A22, A33), A4:= A44 ∈Cn4×n4. Ahora, consideramos los casos siguientes: (I) 0 ∈Λ2(˜ A) (II) 0 6∈ Λ2(˜ A), C4= 0, (III) 0 6∈ Λ2(˜ A), C46= 0,   (III-a) 0 ∈Λ( ˜ A)/Λ2(˜ A) (III-b) 0 6∈ Λ( ˜ A), m = 1 (III-c) 0 6∈ Λ( ˜ A), m > 1. 6.2.1. I.- 0∈Λ2(˜ A) La Conjetura 8 es cierta, concretamente la distancia es 0 . 6.2.2. II.- 06∈ Λ2(˜ A), C4= 0. Tambi´en para este caso la Conjetura 8 es cierta. Adem´as, la distancia es σm(D). 6.2.3. III-a.- C46= 0,0∈Λ( ˜ A)/Λ2(˜ A) Denotando por α4= (A4, B4, C4), vamos a considerar la matriz M(α4, D). Ahora, tenemos tres opciones: rg M(α4, D)< n4+m: en este caso la Conjetura 8 es cierta, y la distancia es 0. Supongamos ahora que rg GD=n4+m. Como (A4, B4) es controlable ν(A4) = dim ker(A4)≤m. Si ν(A4) = m: la distancia es infinita, pero la Conjetura 8 no est´a probada. Si ν(A4)< m: el Problema 2 se resuelve en t´eminos del Teorema 4, mas la Conjetura 8 no est´a probada. 6.2.4. III-b.- C46= 0,06∈ Λ( ˜ A), m = 1 Para este caso la Conjetura 8 es cierta, y la distancia es infinita. 7 Juan-Miguel Gracia, Francisco E. Velasco 6.2.5. III-c.- C46= 0,06∈ Λ( ˜ A)m > 1 Como (A4, B4) es controlable, entonces ν(A4)≤m. Este caso no est´a resuelto, aunque se pueden avanzar algunos hechos, aplicando el Teorema 4: Si ν(A4) = m, entonces la distancia es infinita. Si ν(A4)≤m−2, la distancia es finita. Si ν(A4) = m−1, la distancia puede ser finita o infinita. Dos ejemplos     0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0    infinita ;     0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1    finita , X =1 0 0 0. Agradecimientos Este material fue presentado en seminarios del Grupo de ´ Algebra Lineal de la Universidad del Pa´ıs Vasco, a cuyos miembros agradecemos el inter´es prestado y sus comentarios. Este trabajo fue financiado por el Ministerio de Educaci´on y Ciencia, Proyecto MTM2004– 06389–CO2–01. Referencias [1] S. L. Campbell and C. D. Meyer. Generalized Inverses of Linear Transformations. Pitman, London, 1979. [2] J. Demmel. The smallest perturbation of a submatrix which lowers the rank and constrained total least squares problems. SIAM J. Numer. Anal., 24(1):199–206, 1987. . [3] J.-M. Gracia. Nearest matrix with two prescribed eigenvalues. Linear Algebra Appl., 401:277–294, 2005. [4] J. B. Hiriart-Urruty and D. Ye. Sensitivity analysis of all eigenvalues of a symmetric matrix. Numer. Math., 70:45–72, 1995. [5] Ross A. Lippert. Fixing two eigenvalues by a minimal perturbation. Linear Algebra Appl., 406: 177–200, 2005. [6] A.-N. Malyshev. A formula for the 2-norm distance from a matrix to the set of matrices with multiple eigenvalues. Numer. Math., 83(3):443–454, 1999. [7] G. Marsaglia and G. P. Styan. Equalities and inequalities for ranks of matrices. Linear Multilinear Algebra, 2:269–292, 1974. [8] L. Qiu, B. Bernhardsson, A. Rantzer, E.J. Davison, P.M. Young, J.C. Doyle. A formula for computation of the real stability radius. Automatica 31 (6) (1995), 879–890. [9] A.P. Seyranian and A.A. Mailybaev. Multiparameter stability theory with mechanical applications. World Scientific, Sinpapore, 2003. [10] Ji-Guan Sun. Sensitivity analysis of zero singular values and multiple singular values. J. Comput. Math., 6(4)70:325–335, October 1988. [11] M. Wei. Perturbation theory for the Eckart-Young-Mirsky theorem and the constrained total least squares problem. Linear Algebra Appl., 280:267–287, 1998. [12] J. H. Wilkinson. Sensitivity of eigenvalues. Utilitas Mathematica, 25:5–76, 1984. 8