Sophus Lie: un matemático visionario

Bolet´ın de la Asociaci´on Matem´atica Venezolana, Vol. XIV, Nos. 1 y 2 (2007)41 Sophus Lie: un matem´atico visionario Ver´onica Mart´ın1, Juan N´u˜nez1y´ Angel F. Tenorio2 1Departamento de Geometr´ıa y Topolog´ıa. Facultad de Matem´aticas. Universidad de Sevilla. Aptdo. 1160. 41080-Sevilla (Spain). 2Dpto. de Econom´ıa, M´etodos Cuantitativos e H.aEcon´omica. Escuela Polit´ecnica Superior. Universidad Pablo de Olavide. Ctra. Utrera km. 1, 41013-Sevilla (Spain). E-mail: v[email protected], jnv[email protected], [email protected] DIVULGACI ´ ON MATEM ´ ATICA Resumen A diferencia de una mera exposici´on de datos puramente biogr´aficos, este art´ıculo pretende dar a conocer a cualquier persona en general, y a los matem´aticos y cient´ıficos en particular, aquellas an´ecdotas menos conocidas, leyendas m´as o menos ajustadas a la realidad, correspondencia enviada y recibida, y sobre todo, opiniones de otras personas sobre la vida y obra de Sophus Lie. Abstract Unlike a typical and traditional biography, the goal of this paper consists in showing those more or less unknown but true stories, letters and above all, other people’s opinions about Sophus Lie’s research and life. Introducci´on Preg´untesele a cualquier persona, o incluso si se desea, y por elevar algo el nivel de exigencia, a cualquier cient´ıfico (sea o no matem´atico), por el nombre de los dos o tres matem´aticos m´as importantes a lo largo de la historia, y de seguro que las respuestas recibidas no diferir´an mucho de las siguientes: Pit´agoras, Gauss, Euler o, a lo sumo, Newton o Leibniz. Sin embargo, han existido obviamente much´ısimos otros matem´aticos cuya importancia en orden a sus descubrimientos, tanto por estos mismos como por su aplicaci´on a otras ciencias, no desmerecen de los anteriores, si bien es cierto que no lograron despertar la misma fascinaci´on en el p´ublico en general que los anteriormente citados. 42 V. Mart´ ın, J. N´ u˜ nez y A.F. Tenorio Pues bien, el objetivo principal del presente trabajo va dirigido a realzar los m´eritos de, precisamente, uno de los m´as desconocidos de entre los menos habituales: Sophus Lie, del cual el mism´ısimo Albert Einstein lleg´o a afirmar que “sin sus descubrimientos (los de Lie) no habr´ıa sido posible el nacimiento de la Teor´ıa de la Relatividad” [2]. En cualquier caso, este trabajo no ambiciona ser una biograf´ıa de este matem´atico. De hecho, ya existen en la literatura muy buenas y completas biograf´ıa sobre Sophus Lie (v´eanse [3, 6, 7] o [8], por ejemplo, de donde se han extra´ıdo la mayor parte de las citas de este art´ıculo). Lo que en realidad pretende este trabajo es dar a conocer al p´ublico en general, y a los matem´aticos y cient´ıficos en particular, aquellos aspectos que jalonan la vida de Sophus Lie y que pueden considerarse m´as reservados y de aparentemente menor relevancia que los puramente biogr´aficos. Para ello, se recurrir´a a la exposici´on de an´ecdotas poco conocidas, leyendas m´as o menos ajustadas a la realidad, correspondencia enviada y recibida, y sobre todo, opiniones de otras personas sobre su persona. En su ´epoca, Sophus Lie era considerado por casi todos como el arquetipo de personaje de un drama teatral, el prototipo de rubio n´ordico. Era conocido en toda Europa como el gran gigante germano, una fuerza primordial, un tit´an lleno de ansias de vivir con objetivos audaces y una fuerza de voluntad indomable. Era descrito como altamente comprometido e innovador, alguien con la resistencia necesaria para superar la mayor´ıa de los obst´aculos, pero tambi´en como un hombre que m´as tarde tendr´ıa que pagar por todo esto con bruscos cambios de humor y temperamento. Todo el que lo conoci´o ten´ıa algo que decir de este gran hombre que abri´o nuevos campos de investigaci´on en las Matem´aticas, y cada uno intent´o popularizar su propia versi´on, acompa˜n´andola de historias y an´ecdotas variadas, gracias a las cuales, Lie se hab´ıa convertido en el centro de las conversaciones de sus amigos, mucho tiempo antes de ser reconocido mundialmente. ¿Qu´e cuentan estas historias exactamente? ¿Qu´e sabemos con seguridad? ¿Qu´e es imaginario y qu´e es real? A continuaci´on, y respondiendo al objetivo se˜nalado, se ofrecen algunas de estas an´ecdotas, acompa˜nadas de citas, cartas, fotos y opiniones de familiares, amigos y otros matem´aticos de su tiempo. Sin embargo, antes de ello nos gustar´ıa responder previamente a una pregunta que puede surgir de manera natural tras la lectura de los p´arrafos anteriores: ¿por qu´e dedicarle este art´ıculo precisamente a Sophus Lie? Nuestra respuesta se fundamenta en varias razones. En primer lugar y como ya se ha indicado anteriormente, entendemos que la enorme trascendencia de la obra de Lie, tanto sobre los fundamentos de la Matem´atica actual como por su extensa aplicaci´on a otras ciencias (tales como F´ısica e Ingenier´ıas, por ejemplo), le hacen merecedor de ser un poco m´as conocido por el p´ublico en general. Como una muestra de la aplicaci´on del trabajo de Lie a la F´ısica Moderna, Sophus Lie: un matem´ atico visionario 43 queremos destacar que los grupos y las ´algebras de Lie son actualmente muy utilizados como herramientas en el estudio de las simetr´ıas, no s´olo de las cl´asicas y habituales en el espacio-tiempo, sino en las nuevas asociadas con los grados de libertad interna de las part´ıculas y de los campos, as´ı como tambi´en en la moderna teor´ıa de las super-cuerdas. En segundo lugar, la devoci´on particular de dos de los autores de este texto por este matem´atico, tras la realizaci´on de sus respectivas Tesis Doctorales sobre ´algebras de Lie, que les llev´o primero a bucear en su vida y en su obra, como paso previo al estudio de su teor´ıa. Esto, junto con la admiraci´on que la figura de Lie tambi´en despert´o en el tercer autor tras la lectura de una de sus biograf´ıas, es lo que nos ha llevado a escribir sobre ´el y a tratar de investigar sobre aquellos episodios de su vida m´as desconocidos y dif´ıciles por tanto de encontrar en las biograf´ıas ya escritas. Estos han sido por tanto los motivos que nos han llevado a escribir este trabajo, que aparece adornado por una peque˜na colecci´on de fotograf´ıas no muy conocidas, cuyo contenido hemos considerado oportuno estructurar de la siguiente forma: tras esta introducci´on, siguen tres breves secciones: la primera, dedicada a la infancia de Lie en Nordfjordeid, su pueblo natal, y dos m´as, en las que se tratan algunos aspectos de los estudios previos y universitarios de Lie. Se dedican despu´es dos secciones, ya algo m´as extensas, a recordar c´omo Lie encontr´o su verdadera vocaci´on y c´omo desarroll´o su labor profesional, tanto docente como investigadora. Finalmente, en un ep´ılogo del trabajo, se muestran algunas opiniones de destacados matem´aticos sobre quien, junto con Niels Henrik Abel (1802 - 1829), han sido los dos m´as preclaros matem´aticos que el pueblo noruego ha donado a la posteridad. 1 1842-1851: Infancia en Nordfjordeid Marius Sophus Lie (en adelante, Lie) naci´o el 17 de diciembre de 1842 en la vicar´ıa de Eid, en Nordfjordeid, Noruega. Su padre, Johan Herman Lie, era un pastor protestante y su madre, Mette Maren (nacida Stabell) era altamente considerada por todos gracias a su trabajo en la granja de la vicar´ıa. A la izquierda, una panor´amica de Eid en Nordfjordeid alrededor de 1885, vista desde la vicar´ıa. A la derecha, Johan Herman Lie, vicario desde 1836 hasta 1851, y padre de Sophus Lie. Lie pas´o su infancia en esta peque˜na aldea en compa˜n´ıa de sus tres hermanos y tres hermanas (Fredik Gill, Mathilde, Laura, Dorothea, John Herman 44 V. Mart´ ın, J. N´ u˜ nez y A.F. Tenorio y Ludvig Adler) hasta que su familia se mud´o a Moss, donde su madre y su hermano peque˜no murieron no mucho despu´es y su padre permaneci´o hasta su fallecimiento 22 a˜nos m´as tarde. 2 1852-1859: Moss y Christiania Lie estudi´o en la escuela comunal de la ciudad de Moss (Realskole) hasta los 15 a˜nos, cuando ingres´o en la Nissen’s Private Latin School de Christiania (actual Oslo, desde 1924). All´ı conoci´o a Ernst Motzfeldt, de su misma edad, que se convirti´o en un amigo fiel y que ser´ıa para ´el de gran ayuda a lo largo de toda su vida (a la derecha, la escuela Nissen). Lie estaba interesado en ejercer la carrera militar, como su hermano John Herman, pero problemas de visi´on le hicieron abandonar esa idea. Tambi´en dud´o durante un tiempo entre estudiar Ciencias o Letras, hasta que se decidi´o a entrar, en 1859, en la Royal Fredrik’s University de Christiania para estudiar Matem´aticas y Ciencias. 3 1859-1865: Universidad de Christiania Muchos de sus compa˜neros tienen historias que contar sobre su tiempo en la Universidad. Uno de los amigos de Lie en esa ´epoca, Armauer Hansen, escribi´o a˜nos despu´es sus memorias, en las que habl´o sobre sus a˜nos de estudiante y sus experiencias junto con Sophus Lie y Ernst Motzfeldt. Los tres estudiantes sol´ıan relajarse haciendo ejercicio en las anillas del gimnasio. En una ocasi´on, Lie estaba ejecutando una acrobacia en ellas cuando se solt´o demasiado tarde y cay´o de espaldas m´as all´a de la colchoneta. Cuando vio que sus dos amigos se estaban riendo de la c´omica expresi´on que mostraba su cara, se enfad´o y comenz´o a recriminarlos. Sin embargo, a mitad de su discurso par´o y dijo, casi como si hablase para s´ı mismo: ¡Es extra˜no, porque hasta hab´ıa calculado precisamente cu´ando deb´ıa soltarme! [8, p. 82]. Lie vivi´o en un tiempo en el que muchos estudiantes eran ´avidos gimnastas y deportistas. ´ El y sus amigos sol´ıan dar largas caminatas por las colinas Nordmarka detr´as de Christiania. Lie era especialmente conocido por su fuerza y Sophus Lie: un matem´ atico visionario 45 resistencia, que hac´ıan que fuese a pie hasta Moss (a unos 58 Km.) para visitar a su familia. Una historia en particular cuenta que en una ocasi´on fue hasta Moss a recoger un libro y, sin ni siquiera saludar a su padre, que hab´ıa salido, volvi´o a Christiania en el mismo d´ıa. Su ´ultimo a˜no como estudiante, 1865, parece que fue especialmente dif´ıcil para ´el. No estaba c´omodo con las asignaturas de esa parte de sus estudios y adem´as sufr´ıa de insomnio y depresi´on. Armauer Hansen pensaba que Sophus Lie habr´ıa sucumbido completamente si no hubiese sido por la ayuda de Ernst Motzfeldt, que sol´ıa llevarlo a dar largas caminatas por los alrededores de Christiania para cansarlo y que as´ı pudiese dormir mejor. Sin embargo, Sophus Lie no era f´acil de cansar. 4 1865-1869: La b´usqueda de una vocaci´on En oto˜no de 1865, Lie obtuvo su diploma de licenciado en Ciencias, sin haber mostrado especial habilidad o inclinaci´on por las Matem´aticas. Vivi´o durante un tiempo dando clases particulares a otros estudiantes mientras que decid´ıa su camino a seguir, al tiempo que tambi´en daba clases de astronom´ıa. Esta falta de vocaci´on supuso para ´el un gran problema y cuando fue a Moss en diciembre de 1865 lo hizo muy deprimido. Su amigo Motzfeldt pens´o que este abatimiento estaba ligado a no haber obtenido la m´axima nota en los ´ultimos ex´amenes. Aunque esto jug´o un papel importante en su depresi´on, no hay duda de que hubo otros factores, como la imposibilidad de entrar en el ej´ercito por problemas f´ısicos. Est´a claro que, de todas formas, el estado mental de Lie era mucho peor de lo que Motzfeldt cre´ıa. Prueba de ello es que, despu´es de tres meses, Lie respondi´o a una carta de Motzfeldt incluyendo las siguientes l´ıneas [8, p. 95]: “Cuando te dije adi´os antes de Navidad, lo hice pensando que ser´ıa para siempre, pues ten´ıa la intenci´on de suicidarme. Pero no tengo la fuerza para hacerlo. As´ı que, en consecuencia, tengo otra oportunidad para intentar vivir”. Este periodo de incertidumbre dur´o hasta el verano de 1866, que pas´o con su hermana mayor Matilde (la cual estaba casada con el m´edico Fredrik Vogt) en Tvedestrand, donde era conocido por sus escapadas. De hecho, se dec´ıa que una expresi´on que las madres utilizaban para amenazar a sus hijos era: “P´ortate bien o Sophus Lie vendr´a por ti”. En oto˜no de ese a˜no Lie volvi´o a Christiania, donde intent´o obtener el puesto de ayudante de profesor en el Observatorio de Astronom´ıa y despu´es dio clases de Astronom´ıa y Matem´aticas. A˜nos m´as tarde Lie escribi´o las siguentes l´ıneas sobre sus recuerdos de esta ´epoca: 46 V. Mart´ ın, J. N´ u˜ nez y A.F. Tenorio “Nunca se me hubiese ocurrido acabar envuelto en el trabajo de investigador original. Sobre todo, estaba pensando en mejorar la pedagog´ıa matem´atica. Estaba preocupado considerablemente por eso”. Fue en 1868 cuando ley´o las obras de los ge´ometras Poncelet y Pl¨ucker (los fundadores, con M¨obius, de la Geometr´ıa Proyectiva) y sus ideas lo inspiraron para dedicarse a la investigaci´on en Geometr´ıa. El oto˜no de ese a˜no trabaj´o duro leyendo los vol´umenes de revistas matem´aticas que ven´ıan de Par´ıs y Berl´ın. Lie public´o su primer trabajo en el Crelle’s Journal de Berl´ın en 1869 [4], que tuvo que pagar de su propio bolsillo. Como an´ecdota al respecto, cabe decir que Lie lo hab´ıa escrito bas´andose en una idea de Pl¨ucker que le hab´ıa llamado particularmente la atenci´on y que lo present´o previamente ante la Asociaci´on de Estudiantes de Ciencia. El mismo Ernst Motzfeldt fue quien prest´o a Lie el dinero necesario para la publicaci´on. Adem´as, a petici´on del Profesor Ole Jacob Broch, el trabajo fue traducido al alem´an para poder ser publicado en el extranjero. Posteriormente, una versi´on ampliada de este trabajo fue publicada en los Proceedings de la Academia de Ciencias, lo que le vali´o una beca del Estado para salir de Noruega y viajar al extranjero. Es conveniente tambi´en notar que esta versi´on ampliada conten´ıa ideas revolucionarias para la ´epoca, desde el punto de vista matem´atico, que no fueron aceptadas por algunos matem´aticos de su tiempo. Incluso la Academia de Ciencias de Christiania tuvo sus dudas a la hora de publicarlo. Para intentar arreglar esta situaci´on, Lie lleg´o a escribirles cartas a dos matem´aticos prusianos, Carl Theodor Reye y Alfred Clebsch, pidi´endoles que se le reconocieran sus ideas. Alg´un tiempo despu´es de esto, Reye reconoci´o que el tratamiento que Lie le daba a los n´umeros imaginarios era extremadamente interesante y se sorprendi´o de que Lie hubiese producido con un nuevo y simple principio lo que ´el mismo hab´ıa tratado en la segunda parte de su renombrada obra Geometrie der Lage (Reye public´o su primer volumen en 1866 y este segundo en 1868). De hecho, Reye le facilit´o a Lie una copia de esta obra con la siguiente dedicatoria elogiosa [8, p. 126] : “T´u, con tu teor´ıa de imaginarios, has hecho un feliz descubrimiento”. 5 Periodo 1869-1886 Lie pas´o el invierno de 1869–1870 en Berl´ın, donde conoci´o a un alumno de Pl¨ucker, Felix Klein, con el que trab´o una enorme amistad. Lie y Klein trabajaron juntos, intercambiaron ideas y es indudable que este intercambio fue fruct´ıfero para ambos. En el verano de 1870 los dos viajaron juntos a Par´ıs, donde conocieron a Camille Jordan y a Gaston Darboux, este ´ultimo de la misma edad que Lie y el primero cuatro a˜nos mayor; se trataba de dos glorias de la ciencia francesa. Sophus Lie: un matem´ atico visionario 47 Fue en Par´ıs donde Sophus Lie hizo uno de sus m´as hermosos descubrimientos: la c´elebre transformaci´on que lleva su nombre. Este descubrimiento suscit´o la admiraci´on de todos los ge´ometras y bastar´ıa por s´ı solo para inmortalizar su nombre. Al declararse la guerra franco-alemana, Klein tuvo que volver r´apidamente a Berl´ın. Sophus Lie permaneci´o en Francia y madur´o el proyecto de ir a pie hasta Italia atravesando toda Francia. Desgraciadamente, no lleg´o m´as all´a de Fontainebleau (a poco m´as de 50 Km. de Par´ıs) cuando fue detenido por los franceses como sospechoso de ser esp´ıa alem´an. Varias historias circularon sobre el c´omo y por qu´e de este incidente. Se dec´ıa que Lie sol´ıa hablar solo mientras caminaba y que cualquiera pod´ıa comprobar que no era en franc´es. Otros dicen que, adem´as, sol´ıa hacer esbozos del paisaje en su cuaderno y que estaba sentado y dibujando las defensas francesas cuando fue detenido. Adem´as, los s´ımbolos matem´aticos fueron tomados por c´odigos secretos. Lie intent´o demostrar su inocencia mostrando su pasaporte noruego y explicando los s´ımbolos y expresiones matem´aticas de su cuaderno de la forma m´as simple que pudo, todo ello en vano. En cualquier caso, en los titulares de los peri´odicos noruegos apareci´o: “Cient´ıfico noruego encarcelado por ser esp´ıa alem´an”, lo que hizo que su nombre fuese conocido en toda Noruega. A consecuencia de esta detenci´on, Lie tuvo que pasar cuatro semanas en la prisi´on de Fontainebleau. Se cuenta que cuando Lie le pregunt´o a uno de los guardias qu´e hac´ıan con sus prisioneros, se dice que ´este le respondi´o [8, p. 146]: “les disparamos a las seis de la ma˜nana”. Lie logr´o salir de la prisi´on gracias a la intervenci´on de Darboux, que se present´o en la prisi´on con una carta del Ministro del Interior, el todopoderoso Gambetta, autorizando su liberaci´on. El propio Lie cont´o m´as tarde que su estancia en prisi´on le dio la paz necesaria para meditar y trabajar con toda tranquilidad. Cuando Lie fue liberado se dirigi´o en tren a Italia, a donde lleg´o sin inconvenientes y volvi´o a Christiania pasando por Suiza y Alemania. A su llegada, Lie se mostr´o dispuesto a contar sus experiencias y, de ese tiempo en adelante, fue vox populis que siempre hab´ıa una an´ecdota relacionada con ´el. En 1871, la Universidad de Christiania le otorg´o una beca de investigaci´on para la obtenci´on del doctorado en ciencias. Como el estipendio no era suficiente para vivir, Lie complement´o su salario como profesor asistente de esa misma Universidad y tambi´en del Nissen’s Private Latin School, su antiguo colegio. Se dio el caso, por tanto, de que Lie lleg´o a ser profesor simult´aneo de los dos centros en los que ´el mismo hab´ıa estudiado. Finalmente, se doctor´o en julio de 1872 con un trabajo sobre una clase de transformaciones geom´etricas. Tras defender su tesis, Lie ense˜n´o durante un a˜no en la Universidad de Lund, en Suecia, obteniendo posteriormente una c´atedra que el Parlamento noruego hab´ıa creado pensando expresamente en ´el, en 1872, en la Universidad de Christiania. Lie pudo entonces entregarse de lleno al desarrollo de sus ideas, 48 V. Mart´ ın, J. N´ u˜ nez y A.F. Tenorio siendo constante su producci´on de memorias en este periodo. Un a˜no m´as tarde, Lie recordaba su situaci´on en la siguiente carta: “Yo, que casi siempre he tenido muy buena salud, me he debilitado debido a la enorme tensi´on de los ´ultimos a˜nos. Esto alcanz´o su cima el pasado verano pero, afortunadamente, el nombramiento de catedr´atico ha hecho posible vivir m´as sensatamente. Desde entonces, mi salud ha mejorado constantemente y espero tener pronto de vuelta mi vieja energ´ıa. No debes malentenderme; en toda mi vida nunca he estado verdaderamente enfermo, es que este ´ultimo a˜no empec´e a estar un poco nervioso”. Otros hechos que sucedieron durante los dos primeros a˜nos del desempe˜no de su c´atedra fueron la muerte de su padre, en 1873, en Moss, y su boda, en agosto de 1874, con Anna Sophie Birch (a la derecha) despu´es de un largo periodo de compromiso. La madre de Anna era prima hermana de su c´elebre compatriota Abel. De hecho, Lie escribi´o a Anna lo siguiente [8, p. 183]: “No tienes concepci´on de la rara coincidencia que es para m´ı el que mi prometida sea un familiar cercano de Abel, mi gran, aunque inalcanzable, ideal.” Lie y su esposa tuvieron dos hijas, Marie (1877) y Dagny (1880), y un hijo, Herman (1884). A la derecha puede observarse un retrato de toda la familia. Tanto Mayer como Klein escribieron a Lie para felicitarle por su compromiso. Mayer le escribi´o: “Mis m´as sentidas felicitaciones por tu compromiso. Ver´as que una nueva vida comienza cuando uno no puede permanecer solo durante m´as tiempo, pero otra se une a nuestra vida y nos llena el coraz´on tanto o m´as que el Intelecto llena el Estudio. Entonces uno obtiene el Sentido de la Vida apropiado, la Alegr´ıa de Vivir correcta”. Por su parte, Klein le escribi´o: “Me parece incre´ıble que te me hayas adelantado. ¿Recuerdas la conversaci´on que tuvimos en nuestra caminata de N¨urnberg a Fuerth? En esa ocasi´on los dos estuvimos de acuerdo en que era una cosa muy bella el encontrar refugio en un buen hogar. Y, ahora que vas a hacer esto primero, me hace mucha m´as gracia porque yo sol´ıa Sophus Lie: un matem´ atico visionario 49 tener los mismos pensamientos rondando por la cabeza, y me dec´ıa a m´ı mismo: ¡No, se˜nor, en esa condici´on no puedes trabajar, y Lie nunca lo permitir´ıa! No puedo asegurar que siga tu ejemplo pronto, pero puedo decir con certeza que lo har´e alg´un d´ıa”. Lie tambi´en deseaba reunir en una gran obra los resultados de sus investigaciones anteriores, especialmente las referidas a la teor´ıa de grupos. Sin embargo, ´el era consciente de no ser del todo reconocido por sus trabajos por parte del mundo matem´atico, lo que hac´ıa que se sintiese a veces decepcionado por esta falta de reconocimiento. Algunos autores han intentado explicar esta situaci´on bas´andose en el hecho de que sus art´ıculos estuviesen escritos en noruego, o tambi´en en que no usaba el lenguaje anal´ıtico aceptado por entonces o bien, ciertamente, porque sus art´ıculos no fuesen f´acilmente comprensibles al exceder mucho la intuici´on geom´etrica de Lie a la de otros matem´aticos. En 1884, Klein tuvo la feliz idea de enviar a Christiania para ayudar a Lie en la redacci´on de sus trabajos a uno de los disc´ıpulos de A. Mayer y suyo propio, Friedrich Engel, que se hab´ıa doctorado en Leipzig un a˜no antes. La colaboraci´on entre Lie y Engel dur´o nueve meses y fue descrita en m´ultiples ocasiones por este ´ultimo [8, p. 312]: “Cuando lo conoc´ı, Lie estaba en la cima de sus poderes, era una presencia gigantesca y puramente germ´anica que daba la impresi´on de una fuerza f´ısica inusual y de resistencia. La verdad es que todav´ıa era famoso entre sus compatriotas por ser senderista, pero hay que se˜nalar que en la Noruega de esa ´epoca era m´as comprensible evaluar al senderista que al matem´atico. [...] Su manera era directa y abierta, y era opuesto a cualquier pretensi´on, de forma que inspiraba confianza inmediatamente. Desde el primer momento uno sent´ıa que deb´ıa ser abierto con ´el, que se presentaba a s´ı mismo exactamente como era. Era completamente directo y franco en sus opiniones sobre gente para la que no guardaba ninguna simpat´ıa. Sobre todo, odiaba cualquier indicio de intriga y ten´ıa una gran propensi´on para descubrirlas. [...] El objetivo de mi viaje era doble: por una parte, deb´ıa sumergirme en las teor´ıas de Lie bajo su gu´ıa, y, por otra, deb´ıa ejercer cierta presi´on sobre ´el para que continuara con su trabajo de presentar de forma m´as coherente algunas de sus mejores teor´ıas, con lo que deber´ıa ayudarle”. Lie tambi´en ten´ıa una opini´on muy positiva de Engel, llegando a refereirse as´ı sobre ´el en una de sus cartas a Klein [8, p. 314]: “Estoy bastante de acuerdo contigo y con Mayer en que Engel tiene mucho talento. Piensa de forma cient´ıfica, y al mismo tiempo posee originalidad”.