Introducción al tratamiento matemático de la mecánica de medios continuos

Universidad de Sevilla Facultad de Matem´aticas Trabajo de fin de grado Introducci´on al tratamiento matem´atico de la mec´anica de medios continuos Realizado por: Mercedes Vega Gallo Dirigido por: Juan Casado D´ıaz 9 de julio de 2024 1 ´ Indice Abstract 4 Resumen 5 Introducci´on 6 Preliminares 9 1. Introducci´on a la mec´anica de medios continuos 18 1.1. Cinem´atica del medio continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2. Deformaci´on del medio continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3. Leyes de conservaci´on de la mec´anica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4. Fluidos................................... 28 1.5. Materiales el´asticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2. Resultados de existencia y unicidad 38 2.1. Sistemas lineales estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.1. Sistema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.2. Sistema de elasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2. Sistema de Navier-Stokes estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.1. Aproximaci´on de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.2.2. Teorema de existencia de soluci´on (N≤4)........... 57 2.3. Sistema de Navier-Stokes evolutivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.3.1. Resultados previos. Teoremas de compacidad . . . . . . . . . . 59 2.3.2. Descomposici´on espectral del operador de Stokes . . . . . . . . 64 2.3.3. Teorema de existencia de soluci´on (N≤3)........... 68 2.3.4. Teorema de unicidad de soluci´on (N=2)............ 77 2.3.5. Recuperaci´on de la presi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2 Referencias 83 3 Abstract The aim of the present work is to serve as an introduction to continuous media mechanics. We focus on the mathematical analysis of the partial differential equation problems that appear in this theory. Specially, we consider the case of elastic solids and incompressible viscous fluids. We show how these problems are modeled from the physical point of view thanks to the classical conservation laws and we prove existence and uniqueness of solution for several classical models. We study the linear elasticity system, the stationary Stokes and Navier-Stokes equations and the evolutionary Navier-Stokes system. 4 Resumen Este trabajo pretende servir como una introducci´on a la mec´anica de medios continuos, donde nos centramos en el an´alisis matem´atico de los problemas de ecuaciones en derivadas parciales que aparecen en esta teor´ıa. Especialmente consideraremos el caso de s´olidos el´asticos y el de fluidos viscosos incompresibles. Mostramos c´omo estos problemas se modelan desde el punto de vista f´ısico gracias a las leyes cl´asicas de conservaci´on y probamos resultados de existencia y unicidad de soluci´on para varios modelos cl´asicos. Estudiamos el sistema de elasticidad lineal, las ecuaciones de Stokes y Navier-Stokes estacionarias y el sistema de Navier-Stokes evolutivo. 5 Introducci´on La experiencia muestra que, al menos en numerosos casos, el comportamiento macrosc´opico de la materia puede estudiarse sin la necesidad de usar modelos que tengan en cuenta su estructura molecular. Esto permite hablar de medios continuos, donde la materia es considerada como indefinidamente divisible y distribuida de forma continua y uniforme en todo su volumen. El paso del comportamiento microsc´opico al macrosc´opico se llevar´ıa a cabo mediante un proceso de medias. Un medio continuo es concebido como un sistema de part´ıculas donde cada una de ellas corresponde a un volumen infinitesimal de materia, que identificamos con un punto del espacio eucl´ıdeo N-dimensional. Esta hip´otesis se incluye dentro del marco de la f´ısica cl´asica, en contraposici´on con la cu´antica, y por tanto deja de ser v´alida cuando tratamos la materia a nivel microsc´opico. Sin embargo, cuando es posible aplicarla, es sumamente ´util ya que permite tratar con modelos muchos m´as simples que no tienen en cuenta los efectos cu´anticos. En el presente trabajo recordaremos las hip´otesis fundamentales de la teor´ıa de medios continuos. Consideraremos la materia como un conjunto de part´ıculas en movimiento, donde las fuerzas internas que ejercen unas partes sobre otras obedecen la hip´otesis de Cauchy, lo que significa que se escriben como una integral de frontera en la superficie de contacto entre dichas partes. Estas fuerzas internas se expresar´an en funci´on del denominado tensor de esfuerzos, gracias al Teorema de Cauchy. La ley de conservaci´on de masas, del impulso y de la energ´ıa junto con hip´otesis adicionales acerca del tensor de esfuerzos dependiendo del tipo de material en consideraci´on permitir´an entonces describir el movimiento del medio a partir de un sistema de ecuaciones en derivadas parciales. En este trabajo nos vamos a centrar en el caso de s´olidos el´asticos y de fluidos viscosos incompresibles, cuyo estudio no necesita de la conservaci´on de la energ´ıa ni por tanto de los principios fundamentales de la termodin´amica. En el caso de s´olidos el´asticos, obtendremos el sistema de elasticidad lineal y en el de fluidos viscosos incompresibles, los sistemas de Navier y Navier-Stokes, llamados as´ı en honor al ingeniero y f´ısico franc´es Claude-Louis Navier y al f´ısico y matem´atico angloirland´es George Gabriel Stokes. Nuestro principal objetivo ser´a probar la existencia de soluci´on de los sistemas en derivadas parciales comentados anteriormente. Las ecuaciones se entender´an en el sentido de las distribuciones y la soluci´on se buscar´a en un espacio de tipo Sobolev. Para el sistema de elasticidad lineal, estudiaremos el caso estacionario. Los resultados obtenidos son de gran importancia para el comportamiento de estructuras t´ıpicas en ingenier´ıa como placas, columnas, puentes, etc., proporcionado el des- 6 plazamiento de la estructura respecto de su posici´on de reposo bajo la acci´on de fuerzas externas como por ejemplo la gravedad. Gracias a la linealidad del problema, la existencia y unicidad de soluci´on sigue del Teorema de Lax-Milgram. La dificultad principal radica en que el funcional bilineal correspondiente no es puntualmente coercitivo sobre H1 Γya que solo hace intervenir la parte sim´etrica de la derivada. La desigualdad de Korn permite mostrar que, a´un as´ı, esto nos basta para probar la coercitividad. Aunque su estudio escapa del presente trabajo, hacemos la observaci´on de que durante las ´ultimas d´ecadas se han obtenido tambi´en importantes avances relativos a la elasticidad no lineal. Estos se encuentran ligados a la minimizaci´on de funcionales dependientes de la derivada de una funci´on con valores vectoriales. Contrariamente al caso de funciones escalares, no es necesario que el funcional sea convexo para obtener la semicontinuidad del mismo, sino que basta con lo que se conoce como la quasiconvexidad. Esta propiedad es, sin embargo, muy dif´ıcil de probar para un funcional dado. Algunas condiciones suficientes basadas especialmente en la continuidad d´ebil del determinante de la matriz jacobiana conducen a varios de los resultados m´as importantes de existencia en elasticidad no lineal. El Teorema de Lax-Milgram nos permitir´a tambi´en probar la existencia de soluci´on para el sistema de Stokes estacionario. En ese caso, el resultado sigue f´acilmente de considerar el espacio de funciones con divergencia nula. Si bien esto solo proporciona la existencia de soluci´on para la velocidad, al tratarse de un sistema donde no aparece la presi´on, el Teorema de De Rham, que est´a estrechamente relacionado con la desigualdad de Korn, nos har´a posible recuperarla. Un problema m´as complejo es el correspondiente a la existencia de soluci´on para el sistema de Navier-Stokes debido a la no linealidad del mismo. En el caso estacionario, este problema se solventar´a gracias al Teorema de inyecci´on de Sobolev y al Teorema de compacidad de Rellich-Kondrachov, que usaremos en combinaci´on con una aproximaci´on finito-dimensional, aproximaci´on de Galerkin, del problema. M´as complejo resulta el problema evolutivo, donde debemos trabajar con distribuciones con valores en espacios normados. En este caso, el resultado fundamental para tratar con el t´ermino no lineal ser´a el Teorema de Aubin, que nos proporcionar´a la compacidad de las soluciones de una aproximaci´on de tipo Faedo-Galerkin en el espacio L2. Terminaremos el trabajo probando tambi´en la unicidad de soluci´on para el problema de Navier-Stokes evolutivo en el caso de dimensi´on 2. Es interesante notar que, aunque el sistema de Navier-Stokes lleva siendo conocido desde hace m´as de 150 a˜nos, el problema de la unicidad de soluci´on sigue estando abierto en dimensi´on 3. En realidad, esta podr´ıa obtenerse suponiendo que la soluci´on es suficientemente regular, pero la regularidad necesaria no ha podido ser probada. Resultados muy 7 finos y de gran complejidad en los cuales se trabaja en la actualidad proporcionan poco m´as acerca de la regularidad que lo que comentamos en este trabajo gracias al matem´atico franc´es Jean Leray en los a˜nos 30. Estos problemas est´an tambi´en ´ıntimamente relacionados con el fen´omeno de la turbulencia que aparece en dimensi´on 3 y que en gran medida sigue sin ser bien comprendido. 8 Preliminares En esta secci´on, recordaremos conceptos y resultados sobre espacios funcionales y teor´ıa de las distribuciones que ser´an imprescindibles para el desarrollo de este trabajo. Consideremos a partir de ahora Ω ⊂RNun conjunto abierto no vac´ıo y conexo. Definici´on 1 (Espacios de funciones Lp). Se define el espacio Lp(Ω) con 1≤p < ∞como Lp(Ω) := u: Ω →Rmedible :ZΩ|u|pdx < ∞. Si p=∞, entonces L∞(Ω) := u: Ω →Rmedible :∃C > 0tal que |u(x)| ≤ Ce.c.t. Ω. Teorema 1. Los espacios Lpson espacios de Banach provistos de las siguientes normas: Si p∈[1,∞), ∥u∥Lp(Ω) =ZΩ|u|pdx1/p . Si p=∞, ∥u∥L∞(Ω) = ´ınf C > 0 : |u(x)| ≤ Ce.c.t. Ω. Observaci´on 1.Los elementos de Lp(Ω) no son funciones, sino clases de funciones definidas mediante la relaci´on de equivalencia: f∼gsi y solo si fygson iguales salvo en un conjunto de medida nula. No tiene sentido por tanto hablar del valor de una funci´on de Lp(Ω) en un punto de Ω. Para p= 2, se tiene adem´as que L2(Ω) es un espacio de Hilbert con el producto escalar (u, v)L2(Ω) =ZΩ u(x)v(x)dx, ∀u, v ∈L2(Ω). Proposici´on 1 (Desigualdad de H¨older). Sean p, q ∈[1,∞]tales que 1 p+1 q= 1, entonces, para toda f∈Lp(Ω) y toda g∈Lq(Ω), la funci´on fg pertenece a L1(Ω) y verifica ||fg||L1(Ω) ≤ ||f||Lp(Ω)||g||Lq(Ω). 9 f∈H′≡ L(X, R)existe una ´unica u∈Hque satisface a(u, v) = ⟨f, v⟩,∀v∈H. Si a(·,·)es sim´etrica, uest´a caracterizada por ser la ´unica soluci´on en Hdel problema de m´ınimos    Minimizar 1 2a(v, v)−⟨f, v⟩, Sujeto a v∈H. Exponemos ahora resultados importantes de inyecci´on y compacidad. Teorema 7 (Inyecci´on en espacios de Sobolev). Sea Ω∈C1acotado. Para toda funci´on u∈H1 0(Ω), se tiene:  Si N= 2: ∥u∥Lq(Ω) ≤C(q, Ω)∥u∥H1 0(Ω) para todo qcon 1≤q < ∞.  Si N > 2: ∥u∥L2N N−2(Ω) ≤C(N)∥u∥H1 0(Ω). Definici´on 12. Sean XeYdos espacios de Banach y sea T∈ L(X;Y)un operador lineal. Se dice que Tes compacto si la imagen T(B)de cualquier conjunto acotado B⊂Xes relativamente compacta en Y, es decir, si T(B)es un compacto en Y. Proposici´on 10. Sea T∈ L(X;Y). Son equivalentes: 1. Tes compacto. 2. De toda sucesi´on acotada {xn}n≥1se puede extraer una subsucesi´on {xnk}k≥1⊂X tal que {Txnk}k≥1⊂Yes convergente en Y. Teorema 8 (Compacidad en espacios de Sobolev). Sea Ω∈C1acotado. Entonces la inclusi´on H1(Ω) ,→Lq(Ω) es compacta para cualquier qcon 1≤q < ∞si N= 2 y para cualquier qcon 1≤q < 2N N−2si N > 2. Por ´ultimo, repasamos algunas nociones de convergencia d´ebil. 16 Definici´on 13. Sean Xun espacio de Banach y {xn}n≥1⊂Xuna sucesi´on. Se dice que xnconverge d´ebil a xy se escribe xn⇀ x si ⟨f, xn⟩→⟨f, x⟩,∀f∈X′. Proposici´on 11. Sean Xun espacio de Banach y {xn}n≥1⊂Xuna sucesi´on. Entonces 1. Si xn→xfuerte en X, es decir, ∥xn−x∥X→0, entonces xn⇀ x en X. 2. Si xn⇀ x en X, entonces (∥xn∥X)est´a acotada y ∥x∥X≤l´ım inf ∥xn∥X (semicontinuidad). 3. Si xn⇀ x en Xyfn→ffuerte en X′, es decir, ∥fn−f∥X′→0, entonces ⟨fn, xn⟩→⟨f, x⟩. 4. Si xn⇀ x en Xyxn⇀ y en X, entonces x=y. Definici´on 14. Sean Xun espacio de Banach y {fn}n≥1⊂X′una sucesi´on. Se dice que fnconverge ∗-d´ebil a fy se escribe f∗ ⇀ f si ⟨fn, x⟩→⟨f, x⟩,∀x∈X. Definici´on 15. Sean Xun espacio de Banach y J:X→(X′)′la inyecci´on can´onica de Xen (X′)′. Se dice que el espacio Xes reflexivo si Jes sobreyectiva, es decir, J(X) = (X′)′. Observaci´on 10.La aplicaci´on Jes siempre inyectiva e isom´etrica, lo que permite identificar Xcon un subespacio de X′′ := (X′)′. Cuando Xes reflexivo podemos identificar XyX′′ mediante J. Debido a esta identificaci´on, se tiene que para espacios reflexivos la convergencia d´ebil y ∗-d´ebil son lo mismo. Observaci´on 11.Los espacios de dimensi´on finita son un ejemplo de espacios reflexivos. El resultado fundamental en espacios reflexivos acerca de la convergencia d´ebil es el siguiente teorema de compacidad. Teorema 9. Sean Xun espacio de Banach reflexivo y {xn}n≥1⊂Xuna sucesi´on acotada en X, entonces existe una subsucesi´on {xnk}k≥1que converge d´ebil en X. Respecto a la convergencia ∗-d´ebil se tiene tambi´en el siguiente resultado de compacidad. Teorema 10. Sean Xun espacio de Banach separable y {fn}n≥1⊂X′una sucesi´on acotada en X′, entonces existe una subsucesi´on {fnk}k≥1que converge ∗- d´ebil en X′. 17 18 1 Introducci´on a la mec´anica de medios continuos 1.1 Cinem´atica del medio continuo Sea un sistema de part´ıculas, medio continuo, que en el instante inicial t= 0 ocupa un dominio Ω0⊂RNy en un instante t > 0, un dominio Ω(t). Diremos que conocemos el movimiento del medio continuo entre los instantes 0 y Tsi conocemos la aplicaci´on S(0, t),∀t∈[0, T],(1) que establece una correspondencia biun´ıvoca entre Ω0y Ω(t). M´as generalmente, si t′es un instante cualquiera de [0, T ], la aplicaci´on S(t, t′) = S(0, t′)◦S−1(0, t) establece una correspondencia biun´ıvoca entre Ω(t) y Ω(t′). Concretamente, S(t, t′) es la aplicaci´on que a todo punto material o part´ıcula Mtde Ω(t) hace corresponder un punto Mt′de Ω(t′): Mt′=S(t, t′)(Mt),∀Mt∈Ω(t).(2) De (1) son inmediatas las siguientes propiedades sobre S(t, t′) cualesquiera los instantes t, t′, t′′ de [0, T]:  S(t, t) = Identidad.  S(t, t′′) = S(t′, t′′)◦S(t, t′).  S(t, t′) = S−1(t′, t). Se dir´a que Ω(t) representa la configuraci´on del medio continuo en el instante t. Si esta configuraci´on es llevada a un sistema de coordenadas (xi), i = 1, ..., N, y Ω(t′), a un sistema de coordenadas (x′ i), i = 1, ..., N, la aplicaci´on S(t, t′) se expresar´a por Necuaciones escalares x′ i=Fi(t, t′;x), i = 1, ..., N, donde x= (x1, ..., xN). Los puntos Mt∈Ω(t) y Mt′∈Ω(t′) diremos que representan el mismo punto material si est´an relacionados mediante (2). Notando (yi), i = 1, ..., N, al sistema de coordenadas asociado a Ω0, llamaremos a y= (y1, ..., yN) las 19 1.1 Cinem´atica del medio continuo coordenadas lagrangianas del punto material. Sus coordenadas xi, xi=Fi(0, t;y) = Φi(t, y), i = 1, ..., N, (3) en el instante tser´an llamadas coordenadas eulerianas. De forma m´as precisa, (3) se escribir´a x=F(0, t;y) = Φ(t, y), donde Φ(t, y) : [0, T]×Ω0→RNes un isomorfismo con inversa Ψ(t, ·) = Φ(t, ·)−1. La funci´on Ψ verifica y=F(t, 0; x) = Ψ(t, x) y Φ(t, Ψ(t, x)) = x, Ψ(t, Φ(t, y)) = y. El dominio de Ψ ser´a Dom (Ψ) = {(t, x)∈(0, T)×RN:x∈Ω(t)}, donde Ω(t) = {Φ(t, y) : y∈Ω0}. Observaci´on 12.Se tiene F(t, t′;x) = Φ(t′,Ψ(t, x)). La velocidad en el instante tde un punto material con coordenadas lagrangianas yse define por v(t, y) = ∂ ∂tΦ(t, y). Se obtiene entonces un campo de velocidades de los puntos Mt∈Ω(t) como funci´on de ty de y, lo que constituye una descripci´on lagrangiana de la velocidad del medio continuo. Si usamos como variables ty las coordenadas (xi), i = 1, ..., N, de los puntos materiales de la configuraci´on Ω(t), entonces estaremos haciendo uso de la descripci´on euleriana. Mientras que en la primera el observador est´a posicionado en la part´ıcula, en la segunda el observador est´a posicionado en un punto fijo del espacio. La velocidad en coordenadas eulerianas use describe por u(t, x) = v(t, Ψ(t, x)) ⇔v(t, y) = u(t, Φ(t, y)) ⇔∂ ∂tΦ(t, y) = u(t, Φ(t, y)). 20 1.2 Deformaci´on del medio continuo Usando la descripci´on lagrangiana, la aceleraci´on de una part´ıcula con coordenadas lagrangianas yen el instante tes α(t, y) = ∂ ∂tv(t, y) = ∂2 ∂t2Φ(t, y). En la descripci´on euleriana: a(t, x) = α(t, Ψ(t, x)). Se verifica α(t, y) = ∂tu(t, Φ(t, y)) + Dxu(t, Φ(t, y)) ·∂tΦ(t, y), luego haciendo y= Ψ(t, x) se deduce a(t, x) = ∂tu(t, x)+(u(t, x)·∇x)u(t, x), donde hemos notado (u·∇x)u=Dxu·u. Esto es lo que llamaremos una derivada material y es una derivada particular ya que representa la derivada respecto del tiempo de una magnitud ligada a una part´ıcula cuando la seguimos en su movimien- to. Se refiere a ella tambi´en como la derivada ”siguiendo el flujo”, tomando como referencia la mec´anica de fluidos. A diferencia de la aceleraci´on en lagrangianas, esta derivada consta de dos t´erminos bien diferenciados: ∂tuque representa la variaci´on de la velocidad que se produce localmente en el punto xy (u· ∇x)u, un t´ermino convectivo que representa el cambio de velocidad que se produce debido al desplazamiento del medio continuo. Si este no se moviera, su velocidad ser´ıa nula y entonces este t´ermino no aparecer´ıa. 1.2 Deformaci´on del medio continuo Sea un punto material con coordenadas y∈Ω0en la configuraci´on inicial que en un instante t > 0 pasa a ser un punto de coordenadas x∈Ω(t). Sabemos x= Φ(t, y), y = Ψ(t, x). Haciendo un desarrollo de Taylor en el punto y, se tiene Φ(t, y +δx)−Φ(t, y) = DyΦ(t, y)δx +o(||δx||), de donde resulta la matriz DyΦ, que llamaremos gradiente de la deformaci´on en el punto yen el instante t. Se puede pensar por tanto en DyΦ como una forma de medir la deformaci´on local hasta el primer orden de derivaci´on. Sin embargo, nuestro 21 1.2 Deformaci´on del medio continuo inter´es es saber c´omo var´ıan las distancias y los ´angulos de la configuraci´on Ω0a la configuraci´on Ω(t). Basta saber para ello c´omo var´ıan los productos escalares. Razonamos de la siguiente manera. Sean y,y1,y2∈Ω0las coordenadas en el instante inicial de tres part´ıculas en el medio continuo muy cercanas entre s´ı. Para t > 0, la aplicaci´on Φ(t, ·) transformar´a estos puntos en x= Φ(t, y), x1= Φ(t, y1), x2= Φ(t, y2) respectivamente. Tenemos: (x2−x)·(x1−x)−(y2−y)·(y1−y) ≈DyΦ(t, y)(y2−y)·DyΦ(t, y)(y1−y)−(y2−y)·(y1−y)) = (DyΦ(t, y)TDyΦ(t, y)−I) (y2−y)·(y1−y). A partir de este c´alculo, se introduce Definici´on 16. Se define el tensor de deformaciones como la funci´on matricial C(t, y) = 1 2DyΦ(t, y)TDyΦ(t, y)−I. Este tensor tambi´en recibe el nombre de tensor de deformaciones de Green-Lagrange. Definici´on 17. La condici´on necesaria y suficiente para que no haya deformaci´on en un punto xen el instante tcon respecto a la configuraci´on inicial Ω0es que el tensor de deformaciones sea nulo. Observaci´on 13.El tensor de deformaciones mide c´omo var´ıan los productos escalares entre la configuraci´on inicial y la configuraci´on en el tiempo t. Se puede probar adem´as que C≡0 si y solo si Φ es un movimiento r´ıgido. Tambi´en es ´util introducir la funci´on desplazamiento del medio continuo: z(t, y) = Φ(t, y)−y. Usando DyΦ = I+Dyz, el tensor de deformaciones en funci´on de zse escribe Ey(z) := 1 2(Dyz+DyzT+DyzTDyz). Si Dyzes peque˜na, podemos aproximar Ey(z) por su parte lineal. Definici´on 18. Se define el tensor de deformaciones linealizado de zpor ey(z) := 1 2(Dyz+DyzT). 22 1.3 Leyes de conservaci´on de la mec´anica Hasta ahora nos hemos interesado en la deformaci´on que experimenta el medio continuo sin tener en cuenta la velocidad a la que se ha producido dicha deformaci´on. Con este fin, vamos a calcular d dt(x2−x)·(x1−x). Se tiene: d dt(x2−x)·(x1−x)=d dt(Φ(t, y1)−Φ(t, y)) ·(Φ(t, y2)−Φ(t, y)) =u(t, x1)−u(t, x)·(x2−x)+(x1−x)·u(t, x2)−u(t, x) ≈Dxu(t, x)(x1−x)·(x2−x)+(x1−x)·Dxu(t, x)(x2−x) = (Dxu(t, x) + Dxu(t, x)T)(x1−x)·(x2−x). Esto motiva la siguiente definici´on. Definici´on 19. Se define el tensor de velocidades de deformaci´on como la funci´on matricial dx(u) := 1 2(Dxu(t, x) + Dxu(t, x)T). Definici´on 20. La condici´on necesaria y suficiente para que no haya deformaci´on entre los instantes t1yt2es que dx(t, x)=0, t ∈[t1, t2]. 1.3 Leyes de conservaci´on de la mec´anica Para obtener un modelo que describa el movimiento de un medio continuo, impondremos que el medio verifique las leyes de conservaci´on usuales de la mec´anica como son las leyes de conservaci´on de la masa y de la cantidad de movimiento. Sea ω0⊂Ω0. Consideremos un medio continuo que en el instante tocupa un dominio ω(t)⊂Ω(t), donde ω(t) = {Φ(t, y) : y∈ω0}.(4) Sea K(t) una cantidad ligada a ω(t) definida por K(t) = Zω(t) f(t, x)dx, donde la funci´on f(t, x) es dada. Se plantea el problema de c´omo calcular d dtK(t). Observaci´on 14.La dificultad reside en el hecho de que el dominio de integraci´on var´ıe con respecto del tiempo. Si ω(t) estuviera fijo, el problema ser´ıa el de la 23 1.3 Leyes de conservaci´on de la mec´anica derivaci´on bajo el signo integral. La variaci´on de K(t) es debida a:  La variaci´on de la funci´on a integrar f(t, x).  El hecho de que el dominio de integraci´on ω(t) est´e en movimiento. Teorema 11 (Teorema de transporte). Suponiendo fyΦde clase C1, se verifica d dt Zω(t) f(t, x)dx =Zω(t)∂tf(t, x) + divx(fu)dx, donde f(x, t)es una funci´on escalar o vectorial representando una propiedad del medio continuo. Demostraci´on. Con el cambio de variables x= Φ(t, y) pasamos del dominio ω(t) al dominio fijo ω0. Dado que la funci´on Φ(t, ·) se supone invertible con inversa derivable, la funci´on J(t, y) = det(DyΦ(t, y)) no se puede anular. Como Φ(0, y) = y, ∀y∈Ω0,se tiene J(0, y) = 1,∀y∈Ω0,y por tanto J(t, y)>0,∀(t, y)∈[0, T ]×Ω0. Esto implica |J(t, y)|=J(t, y), lo que lleva a Zω(t) f(t, x)dx =Zω0 f(t, Φ(t, y))J(t, y)dy. Podemos introducir ahora la derivada en la integral para obtener d dt Zω(t) f(t, x)dx =Zω0∂tf(t, Φ(t, y)) + ∇xf(t, Φ(t, y)) ·∂tΦ(t, y)·J(t, y)dy +Zω0 f(t, Φ(t, y)) ∂tJ(t, y)dy. (5) Calculemos ∂tJ(t, y). Notando Φ1,...,ΦNlas componentes de Φ, tenemos J(t, y) = det     ∇yΦ1(t, y) . . . ∇yΦN(t, y)    , luego ∂tJ(t, y) = det     ∇y∂tΦ1(t, y) . . . ∇yΦN(t, y)    +···+ det     ∇yΦ1(t, y) . . . ∇y∂tΦN(t, y)    . 24 1.3 Leyes de conservaci´on de la mec´anica Usando ∂ ∂tΦ(t, y) = u(t, Φ(t, y)), se deduce ∇y∂tΦl(t, y) = N X j=1 ∂xjul(t, Φ(t, y))∇yΦj(t, y). Dado que el determinante de una matriz con dos filas iguales es nulo, se obtiene det          ∇yΦ1(t, y) . . . ∇y∂tΦl(t, y) . . . ∇yΦN(t, y)          = N X j=1 ∂xjul(t, Φ(t, y)) ·det          ∇yΦ1(t, y) . . . ∇yΦj(t, y) . . . ∇yΦN(t, y)          =∂xlul(t, Φ(t, y)) ·det          ∇yΦ1(t, y) . . . ∇yΦl(t, y) . . . ∇yΦN(t, y)          =∂xlul(t, Φ(t, y)) ·J(t, y) y por tanto ∂tJ(t, y) = N X l=1 ∂xlul(t, Φ(t, y)) ·J(t, y) = divxu(t, Φ(t, y)) ·J(t, y). Teniendo en cuenta esta expresi´on en (5), se tiene d dt Zω(t) f(t, x)dx =Zω0∂tf(t, Φ(t, y)) + ∇xf(t, Φ(t, y)) ·u(t, Φ(t, y))·J(t, y)dy +Zω0 f(t, Φ(t, y)) divxu(t, Φ(t, y))J(t, y)dy. Si deshacemos el cambio de variables, deducimos finalmente d dt Zω(t) f(t, x)dx =Zω(t)∂tf+∇xf·u+fdivxudx =Zω(t)∂tf+ divx(fu)dx. Observaci´on 15.En la expresi´on d dt Zω(t) f(t, x)dx =Zω(t)∂tf(t, x) + divx(fu)dx podemos aplicar el Teorema de la divergencia y as´ı obtener el conocido Teorema de 25 1.3 Leyes de conservaci´on de la mec´anica transporte de Reynolds para la magnitud f(t, x): d dt Zω(t) f(t, x)dx =Zω(t) ∂tf(t, x)dx +Z∂ω(t) fu ·n ds(x). Observaci´on 16.Interpretaci´on f´ısica del Teorema de transporte de Reynolds. El primer t´ermino integral representa la variaci´on de la magnitud K(t) debida a la variaci´on de la funci´on f(t, x), donde el dominio de integraci´on es supuesto fijo, mientras que el segundo representa la variaci´on de la magnitud K(t) debida al movimiento de ω(t) y aqu´ı solo los valores de ∂ω(t) intervienen. Probaremos ahora la ecuaci´on de conservaci´on de la masa. Para ello, introducimos la funci´on densidad de masa: M=Zω(t) dm =Zω(t) ρ(t, x)dx, ∀ω(t)⊂Ω(t) medible. Proposici´on 12 (Ecuaci´on de conservaci´on de la masa). Se verifica ∂tρ+ divx(ρu)=0.(6) Demostraci´on. La ley de conservaci´on de la masa establece que la masa de un sistema material permanece constante en el tiempo, es decir, d dt Zω(t) ρ(t, x)dx = 0,(7) donde ω(t) medible viene definido por (4). Si aplicamos el Teorema de transporte con f(t, x) = ρ(t, x), se tiene d dt Zω(t) ρ(t, x)dx =Zω(t)∂tρ(t, x) + divx(ρu)dx, que gracias a la arbitrariedad de ω(t) es equivalente a (6). Para traducir en ecuaciones la ley de conservaci´on de la cantidad de movimiento ser´an esenciales la hip´otesis y el Teorema de Cauchy. Sea un medio continuo Ω(t) en movimiento que dividimos en dos subsistemas Ω1(t) y Ω2(t) separados por Σ(t). Notando nla normal unitaria a Σ(t) exterior a Ω1(t), la hip´otesis de Cauchy establece: La fuerza que experimenta Ω1(t)debido a Ω2(t)viene dada por ZΣ(t) F(t, x, n(x)) ds(x), 32 1.5 Materiales el´asticos Teorema 16. Sea Ω⊂RNabierto, N≥2,u∈C2(Ω)N. Se verifica div Cof(Du) = 0. Demostraci´on. Teniendo en cuenta la definici´on de matriz de cofactores, basta probar que para todas u2, ..., uN∈C2(Ω) se tiene det       ∂1. . . ∂N ∂1u2. . . ∂Nu2 . . ..... . . ∂1uN. . . ∂NuN      = 0. Por la definici´on de determinante y notando por Pel conjunto de permutaciones de orden N, esto es equivalente a probar 0 = X p∈P s(p)∂p1Y k≥2 ∂pkuk=X p∈P s(p)X k≥2 ∂2 p1pkukY l=1,k ∂plul con s(p)∈ {−1,1}el signo de la permutaci´on (−1 si se descompone en un producto impar de transposiciones y 1 si se descompone en un producto par). Fijado k≥2, definimos Qkcomo el conjunto de aplicaciones biyectivas q:{2, ..., N}\{k}→{1, ..., N} y observamos que cada q∈Qkdefine dos permutaciones q1, q2definidas por qm(l) = qlsi l= 1, k, m = 1,2, q1(1) = m(q), q1(k) = M(q), q2(1) = M(q), q2(k) = m(q), con m(q) = m´ın{n∈ {1, ..., N}\Im(q)}yM(q) = m´ax{n∈ {1, ..., N}\Im(q)}. Adem´as, s(q1) = −s(q2). De esta forma, tenemos X p∈P s(p)X k≥2 ∂2 p1pkukY l=2,k ∂plul =X k≥2X q∈QkY l=2,k ∂qluls(q1)∂2 q1(1)q1(k)uk+s(q2)∂2 q2(1)q2(k)uk, que gracias a la igualdad de las derivadas cruzadas implica s(q1)∂2 q1(1)q1(k)uk+s(q2)∂2 q2(1)q2(k)uk=s(q1) + s(q2)∂2 m(q)M(q)uk= 0. Esto demuestra el resultado. 33 1.5 Materiales el´asticos Recordemos que la ecuaci´on de conservaci´on de cantidad de movimiento ven´ıa dada por ρ∂tu+ρ(u·∇x)u−divxσ=ρf. Hagamos el cambio de variables x= Φ(t, y). Usando a(t, x) = ∂tu(t, x)+(u(t, x)·∇x)u(t, x) junto con a(t, Φ(t, y)) = α(t, y) = ∂2 ttΦ(t, y), tenemos, notando por simplificar x= Φ(t, y), ∂tu(t, x)+(u(t, x)·∇x)u(t, x) = ∂2 ttΦ(t, y). Si introducimos eσ(t, y) = σ(t, Φ(t, y)) o equivalentemente σ(t, x) = eσ(t, Ψ(t, x)) y llamamos σia las filas de σ, deducimos divxσi(t, x) = N X j=1 ∂xjσij(t, x) = N X j=1 N X l=1 ∂yleσij(t, y)∂xjΨl(t, Φ(t, y)), por lo que la ecuaci´on para 1 ≤i≤Nse escribir´ıa ρ(t, Φ(t, y))∂2 ttΦi(t, y)− N X j=1 N X l=1 ∂yleσij(t, y)∂xjΨl(t, Φ(t, y)) = ρ(t, Φ(t, y))fi(t, Φ(t, y)). Multiplicando la ecuaci´on por J(t, y), se tiene ρ0(y)∂2 ttΦi(t, y)− N X j=1 N X l=1 ∂yleσij(t, y)∂xjΨl(t, Φ(t, y))J(t, y) = ρ0(y)fi(t, Φ(t, y)). Definamos ahora la siguiente matriz: H(t, y) := J(t, y)DxΨ(t, Φ(t, y))T, donde hjl(t, y) = J(t, y)∂xjΨl(t, Φ(t, y)).Entonces la ecuaci´on anterior se escribe ρ0(y)∂2 ttΦi(t, y)− N X j=1 N X l=1 ∂yleσij(t, y)hjl(t, y) = ρ0(y)fi(t, Φ(t, y)). Usando DxΨ(t, Φ(t, y)) = DyΦ(t, y)−1,(12) tenemos H=J(t, y)DxΨ(t, Φ(t, y))T= Adj(DyΦ(t, y)), 34 1.5 Materiales el´asticos pero el Teorema 16 prueba que la divergencia de esta matriz es nula, luego se deduce N X j=1 N X l=1 ∂yleσijhjl = N X l=1 ∂ylN X j=1 eσijhjl− N X j=1 eσijN X l=1 ∂ylhjl = N X l=1 ∂ylN X j=1 eσijhjl. Esta expresi´on nos lleva a dar la siguiente definici´on. Definici´on 25. Se define el primer tensor de Piola-Kirchoff por bσ(t, y) := eσ(t, y)H(t, y) = J(t, y)σ(t, Φ(t, y))DxΨ(t, Φ(t, y))T. El sistema se escribe entonces ρ0∂2 ttΦ(t, y)−divybσ(t, y) = ρ0f(t, Φ(t, y)). El tensor bσno es sim´etrico en general. Sin embargo, podemos definir otro tensor ya sim´etrico en coordenadas lagrangianas conocido como segundo tensor de Piola- Kirchoff. Definici´on 26. Se define el segundo tensor de Piola-Kirchoff por b bσ(t, y) := DxΨ(t, Φ(t, y))bσ(t, y). Por (12), llegamos finalmente a ρ0∂2 ttΦ(t, y)−divy(DyΦ(t, y)b bσ(t, y)) = ρ0f(t, Φ(t, y)).(13) Estamos ahora en las condiciones de dar una definici´on de material el´astico de acuerdo con la Definici´on 24. Definici´on 27. El material se dice el´astico si existe una funci´on G: Ω ×RN×N→RN×N suficientemente regular con G(y, 0) = 0,∀y∈Ω0, tal que el segundo tensor de Piola-Kirchoff verifica b bσ(t, y) = G(y, C(t, y)). 35 1.5 Materiales el´asticos Observaci´on 20.En general, Ges una funci´on de (y, C) y no simplemente de C ya que el material puede no ser el mismo en todo Ω0. Si no existe la dependencia respecto de y, entonces decimos que el material es homog´eneo. El comportamiento de los s´olidos el´asticos se puede pensar como una generalizaci´on de la ley de Hooke. Cuando el s´olido el´astico es sometido a fuerzas, que causan en ´el una deformaci´on, surgen fuerzas internas, en la mec´anica de s´olidos el´asticos fuerzas el´asticas, que tratan de llevarlo a su configuraci´on de referencia y que dependen de la deformaci´on. Se observa que la descripci´on lagrangiana se adec´ua bien al comportamiento de los s´olidos el´asticos debido a la importancia que toma la configuraci´on de referencia. En el caso de los fluidos, no tiene sentido considerar una configuraci´on de referencia, pues cuando el fluido experimenta una deformaci´on, su comportamiento es diferente al de los s´olidos el´asticos: no intentan recuperar dicha configuraci´on. La descripci´on m´as adecuada por tanto ser´ıa la euleriana, donde se proporciona informaci´on en un tiempo ty en una posici´on x. Muchas veces en las ecuaciones se tomar´a, en lugar de Φ, la variable desplazamiento z(t, y) = Φ(t, y)−y. As´ı, el sistema (13) se escribe ρ0∂2 ttz−divy((I+Dyz)G(y, Ey(z))) = ρ0f(t, y +z).(14) Como ρ0es conocida, tenemos un sistema de Necuaciones en derivadas parciales con Ninc´ognitas: las Ncomponentes de z. Claramente, este sistema deber´a ser acompa˜nado de condiciones iniciales y condiciones de contorno. El sistema (14) es muy complejo ya que es fuertemente no lineal. Esto nos lleva a considerar el sistema linealizado con respecto de Dyz, para lo que se supone que Dyzes peque˜na y por tanto que los productos de derivadas de zrespecto de yson despreciables. Sea ey(z) el tensor de deformaciones linealizado y sea la aplicaci´on A: Ω → L(RN×N) derivada de Grespecto de Cen C= 0, es decir, DCG(y, 0)M=A(y)M, ∀M∈RN×N,∀y∈Ω0. Dado que G(y, 0) = 0, se tiene el siguiente desarrollo de Taylor: (I+Dyz)G(y, Ey(z)) ≈(I+Dyz)A(y)Ey(z)≈(I+Dyz)A(y)ey(z)≈A(y)ey(z), por lo que, bajo la hip´otesis de peque˜nas deformaciones, el sistema de elasticidad se escribe ρ0∂2 ttz−divy(A(y)ey(z)) = ρ0f(t, y +z), donde la inc´ognita z=z(t, y) es el desplazamiento. El sistema, que est´a escrito en 36 1.5 Materiales el´asticos coordenadas lagrangianas, no es lineal sino semi-lineal puesto que, aunque ya no hay t´erminos no lineales en Dyz, el segundo miembro f(t, y +z) depende no linealmente de la inc´ognita z. En la pr´actica, como zse supone peque˜na, se suele considerar ρ0∂2 ttz−divy(A(y)e(z)) = ρ0f(t, y).(15) Frecuentemente, se reemplazar´a ρ0f(t, y) por f(t, y), donde ahora frepresenta la fuerza por unidad de volumen. Observaci´on 21.Notemos que tras la linealizaci´on: b bσ(t, y) = bσ(t, y) = σ(t, y) = A(y)ey(z).(16) Vamos a ver ahora algunas propiedades de A. Para todo y∈Ω0,tenemos que A(t, y) es una aplicaci´on lineal de RN×Nen RN×N, es decir, se puede representar como un tensor de cuarto orden: A= (Aijkl)1≤i,j,k,l≤N, de forma que para toda matriz Mse tiene (AM)ij = N X k,l=1 AijklMkl. Sin embargo, debido a (16), AM debe ser una matriz sim´etrica, por lo que debe cumplirse Aijkl =Ajikl. Como Ase aplica tambi´en a una matriz sim´etrica, Apuede ser considerada como un elemento de L(RN×N s), luego podemos reemplazar Aijkl por 1 2(Aijkl +Aijlk) y as´ı suponer que se verifica Aijkl =Aijlk. Observaci´on 22.En la pr´actica, Aes un operador adem´as sim´etrico en el sentido de que coincide con su adjunto: A(y)M1:M2=A(y)M2:M1,∀y∈Ω0,∀M1, M2∈RN×N s, lo que se traduce en que los coeficientes Aijkl tambi´en verifican Aijkl =Aklij. 37 1.5 Materiales el´asticos Por lo tanto, de los N4coeficientes que definen Abasta conocer 1 2 N X i=0 i(i2+ 1) = N4+ 2N3+ 3N2+ 2N 8 coeficientes. De esta manera, en dimensi´on 2 basta conocer 6 coeficientes en lugar de 16 y en dimensi´on 3, 21 coeficientes en lugar de 81. Definici´on 28. El material se dice homog´eneo cuando Aes independiente de y, es decir, cuando sus propiedades no var´ıan respecto del punto del medio considerado. Definici´on 29. Se dice que un material es is´otropo si sus propiedades son las mismas en todas las direcciones, esto es, si Averifica QA(y)ey(z)QT=A(y)(Qey(z)QT). Se puede probar Teorema 17. El tensor Aes is´otropo si y solo si existen dos funciones reales λ, µ tales que σ(t, y) = A(y)ey(z) = λ(y) tr(ey(z))I+ 2µ(y)ey(z). Esta expresi´on se conoce como ley de Hooke. Cuando el material es homog´eneo, λy µson constantes y se conocen como constantes de Lam´e. Observaci´on 23.Experimentalmente se comprueba que las constantes de Lam´e son positivas por lo que (15) ser´ıa un sistema de tipo ondas. Observaci´on 24.Para un material el´astico, is´otropo y homog´eneo se tiene el sistema de Navier ρ0∂2 ttz−µ∆yz−(λ+µ)∇ydivyz=ρ0f(t, y +z). Observaci´on 25.El estudio de s´olidos el´asticos es interesante puesto que para peque˜nas deformaciones el comportamiento de muchos s´olidos es el´astico. Observaci´on 26.En el caso de la elasticidad, la inc´ognita es el desplazamiento, mientras que en el caso de los fluidos las inc´ognitas son la velocidad y la presi´on. El sistema de elasticidad lineal es un sistema de tipo ondas escrito en coordenadas lagrangianas, mientras que el sistema de Navier-Stokes es un sistema parab´olico escrito en coordenadas eulerianas. Todo esto hace dif´ıcil trabajar con problemas en los que interact´uen fluidos y estructuras s´olidas. 38 2 Resultados de existencia y unicidad 2.1 Sistemas lineales estacionarios 2.1.1 Sistema de Stokes El problema de Stokes surge del problema de Navier-Stokes cuando se considera que las soluciones no var´ıan con respecto al tiempo y que el coeficiente de viscosidad µes lo suficientemente grande como para que el t´ermino no lineal (u· ∇)upueda ser despreciado. Sean Ω ⊂RNun abierto no vac´ıo, conexo y acotado de clase C1,µ > 0 el coeficiente de viscosidad del fluido y f∈H−1(Ω)N. Se plantea estudiar la existencia y unicidad de soluci´on del sistema de Stokes          −µ∆u+∇p=fen Ω div u= 0 en Ω u= 0 sobre ∂Ω. (17) Este problema rige el movimiento de un fluido fuertemente viscoso en un recipiente dado por Ω, donde la funci´on urepresenta la velocidad y pla presi´on. La condici´on de contorno u= 0 sobre ∂Ω, usualmente llamada condici´on de adherencia, es la m´as representativa en este tipo de problemas, en los que se observa que las part´ıculas del fluido tienen velocidad cero en el momento en el que chocan contra la pared. Buscamos la soluci´on de (17) en el sentido de las distribuciones. M´as concretamente, como se tiene una condici´on de contorno de tipo Dirichlet, queremos u∈H1 0(Ω)Ny adem´as p∈L2(Ω). Tomando f∈H−1(Ω)N, tendremos −µ∆u+∇p=fen H−1(Ω)N o, equivalentemente, ⟨−µ∆u+∇p, v⟩H−1,H1 0=⟨f, v⟩H−1,H1 0,∀v∈H1 0(Ω)N, que, usando la definici´on de derivada distribucional, es a su vez equivalente a N X i=1 µ⟨∇ui,∇vi⟩H−1,H1 0− N X i=1 ⟨p, ∂ivi⟩H−1,H1 0=⟨f, v⟩H−1,H1 0. 39 2.1 Sistemas lineales estacionarios En formato matricial: µ⟨Du, Dv⟩H−1,H1 0−⟨p, div v⟩H−1,H1 0=⟨f, v⟩H−1,H1 0. Dado que Du ∈L2(Ω)N×Nyp∈L2(Ω), podemos escribir los dos primeros t´erminos como integrales: µZΩ Du :Dv dx −ZΩ pdiv v dx =⟨f, v⟩H−1,H1 0,∀v∈H1 0(Ω)N, donde ” : ” denota el producto escalar de matrices. Observaci´on 27.Si f∈L2(Ω)N, entonces ⟨f, v⟩H−1,H1 0=ZΩ f·v dx, ∀v∈H1 0(Ω)N. Aunque se ha llegado a una formulaci´on variacional, nos encontramos con el problema de tener no solo a ucomo inc´ognita, sino tambi´en a la presi´on p. A fin de eliminar la presi´on, vamos a tomar como espacio de trabajo el espacio de la funciones de H1 0(Ω)Ncon divergencia nula. Ello motiva la siguiente definici´on. Definici´on 30. Se define V:= {v∈H1 0(Ω)N: div v= 0}. Proposici´on 14. (V, ||·||H1 0(Ω)N)es un espacio de Hilbert. Demostraci´on. Basta observar que Ves el n´ucleo de la aplicaci´on lineal y continua div : H1 0(Ω)N→L2(Ω). As´ı, Ves un subespacio vectorial cerrado de H1 0(Ω)Ny por tanto Vhereda la estructura y propiedades del espacio de Hilbert (H1 0(Ω)N,||·||H1 0(Ω)N). Definici´on 31. Dada f∈H−1(Ω)N, se dice que u∈Ves soluci´on d´ebil de (17) si satisface la formulaci´on variacional µZΩ Du :Dv dx =⟨f, v⟩H−1,H1 0,∀v∈V. Teorema 18. Dada f∈H−1(Ω)N, existe una ´unica soluci´on del problema variacional      Hallar u∈Vtal que µZΩ Du :Dv dx =⟨f, v⟩H−1,H1 0,∀v∈V. (18) Demostraci´on. La prueba consiste en aplicar Lax-Milgram con (V, ||·||H1 0(Ω)N) es- 40 2.1 Sistemas lineales estacionarios pacio de Hilbert, fcomo elemento de V′ya:V×V→Rla forma bilineal, continua y coercitiva definida por a(u, v) = µZΩ Du :Dv dx, ∀u, v ∈V. Para probar la continuidad de a(·,·) aplicamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz para el producto escalar de matrices y para el producto escalar en L2: |a(u, v)| ≤ µZΩ|Du :Dv|dx ≤µZΩ|Du||Dv|dx ≤µ∥Du∥L2(Ω)N×N∥Dv∥L2(Ω)N×N=µ||u||H1 0(Ω)N||v||H1 0(Ω)N,∀u, v ∈V. La coercitividad es consecuencia de: a(u, u) = µZΩ|Du|2dx =µ∥Du∥2 L2(Ω)N×N=µ||u||2 H1 0(Ω)N,∀u∈V. Por el Teorema de Lax-Milgram existe entonces una ´unica u∈Vsoluci´on de (18). Observaci´on 28.Dado que aes sim´etrica, uest´a caracterizada por ser la soluci´on del problema de m´ınimos    Minimizar 1 2a(v, v)−⟨f, v⟩H−1,H1 0 Sujeto a v∈V. Observaci´on 29.Si definimos V:= {φ∈ D(Ω)N: div φ= 0} y denotamos Vla clausura de Ven H1 0(Ω)N, tenemos que para un abierto general los espacios VyVno coinciden y por tanto no est´a claro que la soluci´on del problema      Hallar u∈ V tal que µZΩ Du :Dv dx =⟨f, v⟩H−1,H1 0,∀v∈ V, coincida con la anterior. Se tiene sin embargo Teorema 19. Sea Ω⊂RNun abierto conexo y acotado de clase C1. Entonces V=V. Una vez probada la existencia de la velocidad u, nos preguntamos qu´e ocurre con la presi´on p. Para responder a esta cuesti´on, nos basaremos en el siguiente teorema. 41 2.1 Sistemas lineales estacionarios Teorema 20. Sea Ω⊂RNun abierto conexo y acotado de clase C1. Entonces existe una constante C > 0tal que para toda p∈L2(Ω) se tiene    p−1 |Ω|ZΩ p dx   L2(Ω) ≤C||∇p||H−1(Ω)N. Como consecuencia se puede probar Teorema 21 (Teorema de De Rham). Sea Ω⊂RNun abierto conexo y acotado de clase C1. Entonces para toda f∈H−1(Ω)Nverificando ⟨f, v⟩H−1,H1 0= 0,∀v∈V, existe una ´unica p∈L2(Ω) tal que ZΩ p dx = 0,∇p=fen H−1(Ω)N. Adem´as, existe C > 0independiente de ftal que ||p||L2(Ω) ≤C||f||H−1(Ω)N.(19) Demostraci´on. Consideremos el operador lineal G:L2(Ω) →H−1(Ω)Ndefinido por Gp =∇p, ∀p∈L2(Ω). Ges continuo: ||∇p||H−1(Ω)N= sup v=0,v∈H1 0(Ω)N |⟨∇p, v⟩H−1,H1 0| ||v||H1 0(Ω)N = sup v=0,v∈H1 0(Ω)N ZΩ pdiv v dx ||v||H1 0(Ω)N ≤sup v=0,v∈H1 0(Ω)N ||p||L2(Ω)||div v||L2(Ω) ||v||H1 0(Ω)N≤C||p||L2(Ω). Como G∈ L(L2(Ω); H−1(Ω)N), identificando L2(Ω) con su dual, se tiene G⋆∈ L(H1 0(Ω)N;L2(Ω)), luego dada u∈H1 0(Ω)N,para toda p∈L2(Ω), G⋆uest´a definida por ZΩ G⋆u p dx = (G⋆u, p)L2(Ω) =⟨Gp, u⟩H−1,H1 0=⟨∇p, u⟩H−1,H1 0=−ZΩ pdiv u dx. Por tanto, G⋆u=−div u, ∀u∈H1 0(Ω)N, por lo que Ker (G⋆) coincide con el espacio de funciones u∈H1 0(Ω)Ncon divergencia nula, es decir, con el espacio V. Adem´as, 48 2.1 Sistemas lineales estacionarios La forma bilineal Btambi´en es continua: |B(z, v)| ≤ ZΩ|Ae(z) : e(v)|dx ≤ZΩ|Ae(z)||e(v)|dx ≤ZΩ|A||e(z)||e(v)|dx ≤ ||A||L∞(Ω,L(RN×N s)ZΩ|e(z)||e(v)|dx ≤ ||A||L∞(Ω,L(RN×N s)||e(z)||L2(Ω)N×N||e(v)||L2(Ω)N×N ≤ ||A||L∞(Ω,L(RN×N s)||Dz||L2(Ω)N×N||Dv||L2(Ω)N×N =||A||L∞(Ω,L(RN×N s)||z||H1 Γ(Ω)N||v||H1 Γ(Ω)N,∀z, v ∈H1 Γ(Ω)N. Para la elipticidad, usando la hip´otesis (21) sobre la aplicaci´on A, se tiene B(z, z) = ZΩ Ae(z) : e(z)dx ≥αZΩ|e(z)|2dx, ∀z∈H1 Γ(Ω)N. Sin embargo, para aplicar Lax-Milgram necesitamos que para cierta constante β > 0 se verifique B(z, z) = ZΩ Ae(z) : e(z)dx ≥βZΩ|Dz|2dx =β∥Dz∥2 L2(Ω)N×N,∀z∈H1 Γ(Ω)N. Vamos a ver que en realidad tenemos la equivalencia de las normas ∥Dz∥L2(Ω)N×Ny ∥e(z)∥L2(Ω)N×N. Teorema 26 (Desigualdad de Korn). Sea Ω⊂RNun abierto conexo y acotado de clase C1, entonces existe C > 0tal que para toda z∈H1(Ω)Nexiste una matriz Aantisim´etrica verificando ∥Dz −A∥L2(Ω)N×N≤C∥e(z)∥L2(Ω)N×N.(26) Adem´as, se puede tomar A=1 |Ω|ZΩ (Dz −e(z)) dx. Demostraci´on. Es f´acil comprobar que para toda z∈H1(Ω)Ny todo i, j, k ∈ {1, . . . , N}se cumple ∂2 ijzk=∂ie(z)jk +∂je(z)ik −∂ke(z)ij y, por lo tanto, ||∂2 ijzk||H−1(Ω) ≤C||De(z)||H−1(Ω)N×N×N≤C||e(z)||L2(Ω)N×N. 49 2.1 Sistemas lineales estacionarios En particular, para todo i, k ∈ {1, . . . , N}, tenemos ||∇(∂izk)||H−1(Ω)N≤C||e(z)||L2(Ω)N×N. Gracias al Teorema 20, se deduce que existe C > 0 independiente de ztal que ||∂izk−bik||L2(Ω) ≤C||e(z)||L2(Ω)N×N, con bik =1 |Ω|ZΩ ∂izkdx o, equivalentemente, ||Dz −B||L2(Ω)N×N≤C||e(z)||L2(Ω)N×N, con B=1 |Ω|ZΩ Dz dx. Basta usar finalmente  1 |Ω|ZΩ Dz dx −1 |Ω|ZΩ (Dz −e(z)) dx= 1 |Ω|ZΩ e(z)dx≤C||e(z)||L2(Ω)N×N. Este resultado permite probar ahora el teorema central de esta secci´on. Teorema 27. Sean Ω⊂RNun abierto conexo y acotado de clase C1yΓ⊂∂Ω un subconjunto medible de medida superficial positiva. Entonces existe C > 0tal que para toda z∈H1 Γ(Ω)Nse tiene ∥Dz∥L2(Ω)N×N≤C∥e(z)∥L2(Ω)N×N.(27) Demostraci´on. Razonamos por reducci´on al absurdo. Supongamos que (27) no es cierto. Entonces para toda constante Cla desigualdad es falsa. En particular, dada C=n, existe zn∈H1(Ω)Ntal que ∥Dzn∥L2(Ω)N×N> n∥e(zn)∥L2(Ω)N×N.(28) As´ı, ∥Dzn∥L2(Ω)N×N>0 y tiene sentido considerar wn=zn ∥Dzn∥L2(Ω)N×N , que cumple Dwn=Dzn ∥Dzn∥L2(Ω)N×N ,∥Dwn∥L2(Ω)N×N= 1.(29) 50 2.1 Sistemas lineales estacionarios Dividiendo la desigualdad (28) entre ∥Dzn∥L2(Ω)N×Nse llega a 1> n∥e(wn)∥L2(Ω)N×N,∀n≥1 ⇔ ∥e(wn)∥L2(Ω)N×N<1 n,∀n≥1.(30) Por otro lado, gracias a la desigualdad de Korn (26), existen An∈RN×N, antisim´etricas, tales que ||Dwn−An||L2(Ω)N×N≤C||e(wn)||L2(Ω)N×N.(31) Usando ahora (29) y (30): ∥An∥L2(Ω)N×N≤ ∥Dwn∥L2(Ω)N×N+||Dwn−An||L2(Ω)N×N<1 + C n, luego Anest´a acotada. Como las matrices An,∀n≥1,se encuentran en un espacio de dimensi´on finita, existen una subsucesi´on, que seguimos denotando An, y una matriz antisim´etrica Atales que Anconverge a A. Gracias a (30) y (31), Dwnconverge a Aen L2(Ω)N×N. En particular, Dwnes de Cauchy en L2(Ω)N×N, lo que implica que wnes de Cauchy en H1 Γ(Ω)Ny, por tanto, convergente a una funci´on wen H1 Γ(Ω)Nque debe cumplir Dw =Aen Ω. Esto significa que existe a∈RNtal que wsatisface w(x) = a+Ax, ∀x∈Ω. Adem´as, como w∈H1 Γ(Ω)N, tenemos w(x) = 0 en Γ ⇔Ax =−aen Γ. Dado que el conjunto de soluciones de la ecuaci´on Ax =−a, si no es vac´ıo, es una variedad af´ın de dimensi´on N− R(A), Γ est´a contenido en una variedad af´ın de dimensi´on N− R(A). Considerando (29) y que Dwnconverge a Aen L2(Ω)N×N, se deduce que Aes no nula y, como Aes antisim´etrica, existen i, j ∈ {1, ..., N}con i<jtales que aij = 0. Por tanto, la submatriz de orden 2 de Adada por aii aij aji ajj!= 0aij −aij 0! tiene determinante no nulo y entonces R(A)≥2, por lo que Γ est´a contenido en una variedad af´ın de dimensi´on menor o igual que N−2. Sin embargo, esto implica que Γ tiene medida superficial nula, lo que es una contradicci´on. 51 2.1 Sistemas lineales estacionarios En conclusi´on, Teorema 28. Sea Ω⊂RNun abierto conexo y acotado de clase C1. Dada f∈L2(Ω)N, existe una ´unica soluci´on z∈H1 Γ(Ω)Ndel problema de elasticidad (22). Adem´as, existe una constante C > 0tal que ∥z∥H1 Γ(Ω)N≤C∥f∥L2(Ω)N,∀z∈H1 Γ(Ω)N. Demostraci´on. Sabemos que si zes soluci´on d´ebil de (22), entonces debe verificar (25). En particular, tomando como funci´on test v∈H1 0(Ω)N⊂H1 Γ(Ω)N,se tiene −div Ae(z) = fen H−1(Ω)N y como f∈L2(Ω)Nse deduce Ae(z)∈ H(div,Ω). Podemos usar entonces la f´ormula de integraci´on por partes: ZΩ Ae(z) : e(v)dx =−ZΩ div Ae(z)·v dx+⟨γnAe(z), γ0(v)⟩H−1/2,H1/2,∀v∈H1 Γ(Ω)N. Teniendo en cuenta (25), se obtiene ⟨γnAe(z), γ0(v)⟩H−1/2,H1/2= 0,∀v∈H1 Γ(Ω)N. Tomamos ahora φ∈ D(∂Ω\Γ)Nque, prolongando por cero, es la traza de una funci´on de H1 Γ(Ω)N. As´ı, se concluye γnAe(z) = 0 en H−1/2(∂Ω\Γ)N. Observaci´on 35.Si Γ = ∂Ω, se puede tomar f∈H−1(Ω)Nen lugar de L2(Ω)N. Adem´as, no hace falta suponer Ω regular, ya que las funciones de H1 0(Ω)Nse pueden prolongar por cero fuera de Ω. 52 2.2 Sistema de Navier-Stokes estacionario 2.2 Sistema de Navier-Stokes estacionario Sean Ω ⊂RNun abierto no vac´ıo, conexo y acotado de clase C1,µ > 0 el coeficiente de viscosidad del fluido y f∈H−1(Ω)N. El objetivo ahora es el de estudiar la existencia y unicidad de soluci´on del problema de Navier-Stokes estacionario          −µ∆u+ (u·∇)u+∇p=fen Ω div u= 0 en Ω u= 0 sobre ∂Ω. (32) En este problema, se considera que las soluciones no dependen del tiempo, pero, a diferencia del problema de Stokes, este sistema describe tambi´en el comportamiento de fluidos poco viscosos, de forma que el t´ermino no lineal (u· ∇)uno puede ser despreciado. Buscamos que la ecuaci´on se verifique en el sentido de las distribuciones, con u∈H1 0(Ω)Nyp∈L2(Ω), luego si tomamos f∈H−1(Ω)N, deber´ıamos tener la igualdad −µ∆u+ (u·∇)u+∇p=fen H−1(Ω)N. Para ello, necesitamos (u·∇)uen H−1(Ω)N. Veamos que eso es cierto si N≤4. Dado que u∈H1 0(Ω)N, por las inyecciones de Sobolev, u∈Lq(Ω)Ncon q≥1 si N= 2 y q=2N N−2si N > 2. Por otro lado, Du ∈L2(Ω)N×N. As´ı, usando la desigualdad de H¨older generalizada se llega a (u·∇)u∈Lr(Ω) con r∈[1,2) si N= 2 y r∈1,N N−1si N > 2. En particular, (u·∇)u∈L1(Ω)Ny por tanto (u·∇)u∈ D′(Ω)N. Como v∈Lp(Ω)N con p≥1 si N= 2 y p=2N N−2si N > 2, se deduce que (u· ∇)upertenece a H−1(Ω)Nsi (u·∇)u∈Lp′(Ω)Ncon p′el exponente conjugado de p. Para N= 2 no hay problema, mientras que para N > 2 tendr´ıa que verificarse 2N N+ 2 ≤N N−1, lo que ocurre cuando N≤4. Supondremos partir de ahora que se tiene N≤4. Se debe cumplir entonces −µ∆u+ (u·∇)u+∇p=fen H−1(Ω)N 53 2.2 Sistema de Navier-Stokes estacionario o, equivalentemente, µZΩ Du :Dv dx +ZΩ (u·∇)u·v dx −ZΩ pdiv v dx =⟨f, v⟩H−1,H1 0,∀v∈H1 0(Ω)N. Si usamos el espacio ya definido en el problema de Stokes V={v∈H1 0(Ω)N: div v= 0}, tenemos que u∈Ves soluci´on del problema variacional µZΩ Du :Dv dx +ZΩ (u·∇)u·v dx =⟨f, v⟩H−1,H1 0∀v∈V. Definici´on 35. Dada f∈H−1(Ω)N, se dice que u∈Ves soluci´on d´ebil de (32) si satisface la formulaci´on variacional µZΩ Du :Dv dx +ZΩ (u·∇)u·v dx =⟨f, v⟩H−1,H1 0∀v∈V. La prueba de la existencia de soluci´on para este problema se basa en los siguientes resultados. Teorema 29 (Teorema del punto fijo de Brouwer). Toda aplicaci´on continua de una bola cerrada de un espacio eucl´ıdeo en s´ı misma admite un punto fijo. Lema 1. Sea P:B(0, R)⊂RN→RNcontinua tal que P(x)·x≥0,∀x∈∂B(0, R). Entonces existe y∈B(0, R)tal que P(y) = 0. Demostraci´on. Supongamos por reducci´on al absurdo que Pno se anula en B(0, R). Definiendo Q:B(0, R)→B(0, R) por Q(x) = −RP(x) |P(x)|,∀x∈B(0, R), se tiene que Qes continua y transforma la bola en s´ı misma, luego el Teorema del punto fijo de Brouwer establece la existencia de un punto fijo x0∈B(0, R). M´as concretamente, Qtransforma puntos de B(0, R) en puntos de ∂B(0, R). Como x0es un punto fijo, tenemos que de hecho x0∈∂B(0, R) y x0=Q(x0) = −RP(x0) |P(x0)|=−P(x0). Tomando norma se observa que la norma de x0es igual a la norma de Ry por tanto 54 2.2 Sistema de Navier-Stokes estacionario multiplicando escalarmente por x0deducimos R2=−P(x0)·x0, en contradicci´on con P(x0)·x0≥0. As´ı, existe y∈B(0, R) tal que P(y) = 0. 2.2.1 Aproximaci´on de Galerkin Teorema 30. Dada f∈H−1(Ω)N, existe al menos una soluci´on del problema variacional      Hallar u∈Vtal que µZΩ Du :Dv dx +ZΩ (u·∇)u·v dx =⟨f, v⟩H−1,H1 0,∀v∈V. (33) Demostraci´on. Usaremos una aproximaci´on de tipo Galerkin. Como Ves separable, existe un conjunto denso y numerable {w1, w2, w3, ...} ⊂ V, luego dada v∈Vexiste una sucesi´on wnk∈Vtal que wnk→ven V. Definimos ahora el espacio vectorial de dimensi´on finita Vn:= Span (w1, w2, w3, ..., wn). Como Ves un espacio de Hilbert y Vnes un convexo, cerrado, no vac´ıo, se tiene que existe una ´unica soluci´on del problema de mejor aproximaci´on    Hallar vn∈Vntal que ||v−vn|| = ´ınf ev∈Vn||v−ev||. La pregunta que se plantea es la siguiente: vn ? →v. Por densidad, dado ε > 0,∃nk:||v−wnk|| ≤ ε, luego si n > nk, entonces wnk∈Vn. Como vnes la mejor aproximaci´on en cada Vn, se deduce ||v−vn|| ≤ ||v−wnk|| ≤ ε, ∀n>nk. Esto implica que ∀ε > 0,l´ım sup n||v−vn|| ≤ ε, por lo que tenemos la siguiente cadena de desigualdades: 0≤l´ım inf n||v−vn|| ≤ l´ım sup n||v−vn|| = 0. El l´ımite entonces existe y vale 0. Por tanto, tenemos una sucesi´on de espacios 55 2.2 Sistema de Navier-Stokes estacionario Vn⊂Vde dimensi´on ntales que ∀v∈V, ∃vn∈Vn, vn→ven V. Es natural as´ı considerar el siguiente problema finito-dimensional (aproximaci´on de Galerkin):      Hallar un∈Vntal que µZΩ Dun:Dv dx +ZΩ (un·∇)un·v dx =⟨f, v⟩H−1,H1 0,∀v∈Vn.(34) Como cada subespacio Vnposee una base {φ1, ..., φn}, el problema anterior se reduce a        Hallar un= n X i=1 αiφi∈Vntal que µZΩ Dun:Dφjdx +ZΩ (un·∇)un·φjdx =⟨f, φj⟩H−1,H1 0,1≤j≤n. (35) El objetivo ahora es encontrar una soluci´on para este sistema no lineal de necuaciones con ninc´ognitas. Para ello, definimos P:Rn→Rnpor P(α1, ..., αn)j=µZΩ Duα:Dφjdx +ZΩ (uα·∇)uα·φjdx −⟨f, φj⟩H−1,H1 0, donde uα= n X i=1 αiφi. Se observa que probar la existencia de unpara (35) es equivalente a probar la existencia de un cero para P. Probaremos esto ´ultimo usando el Lema 1. Notando α= (α1, ..., αn),se tiene P(α)·α=µZΩ Duα:Duαdx +ZΩ (uα·∇)uα·uαdx −⟨f, uα⟩H−1,H1 0, donde la segunda integral satisface ZΩ (uα·∇)uα·uαdx = N X i=1 ZΩ∇uα iuα i·uαdx =1 2 N X i=1 ZΩ∇|uα i|2·uαdx =−1 2 N X i=1 ZΩ|uα i|2div uαdx = 0. Por lo tanto, deducimos P(α)·α≥µ||uα||2 H1 0(Ω)N−||f||H−1(Ω)N||uα||H1 0(Ω)N,∀α∈Rn. 56 2.2 Sistema de Navier-Stokes estacionario Adem´as, la aplicaci´on α∈Rn→ ||uα||H1 0(Ω)N es una norma en Rny como en un espacio vectorial de dimensi´on finita todas las normas son equivalentes, existen dos constantes C1, C2positivas que dependen de n tales que C1|α| ≤ ||uα||H1 0(Ω)N≤C2|α|,∀α∈Rn. Esto implica P(α)·α≥µC2 1|α|2−||f||H−1(Ω)NC2|α|,∀α∈Rn. As´ı, si |α|es suficientemente grande, P(α)·α≥0. Aplicando el Lema 1 con R suficientemente grande, se llega entonces a la existencia de unsoluci´on de (34). Una vez sabemos que el problema en dimensi´on finita tiene soluci´on, se busca encontrar una soluci´on al problema original infinito-dimensional mediante alg´un paso al l´ımite. Concretamente, buscamos pasar al l´ımite en la expresi´on (34) con v=vn, mejor aproximaci´on de Ven Vn: µZΩ Dun:Dvndx +ZΩ (un·∇)un·vndx =⟨f, vn⟩H−1,H1 0. Tomando v=unen (34), se tiene µZΩ|Dun|2dx +ZΩ (un·∇)un·undx =⟨f, un⟩H−1,H1 0, pero se sabe ZΩ (un·∇)un·undx = 0, luego µ||un||2 H1 0(Ω)N≤ ||f||H−1(Ω)N||un||H1 0(Ω)N, es decir, ||un||H1 0(Ω)N≤||f||H−1(Ω)N µ,∀n∈N. Esto prueba que unest´a acotada en V, por lo que existen una subsucesi´on unky u∈Vtales que unkconverge d´ebil a uen V. La convergencia d´ebil de Dunken L2(Ω)N×Ny la convergencia fuerte Dvn→Dv en L2(Ω)N×Nllevan a ZΩ Dunk:Dvndx →ZΩ Du :Dv dx. Tambi´en, dada la continuidad de f,⟨f, vn⟩H−1,H1 0→ ⟨f, v⟩H−1,H1 0. Pasemos al l´ımite ahora en el segundo t´ermino. Usando los resultados de compacidad en espacios de 57 2.2 Sistema de Navier-Stokes estacionario Sobolev, tenemos que unkconverge fuerte a uen Lq(Ω)Ncon q≥1 si N= 2 y q∈[1,2N N−2) si N= 3, 4. Esta convergencia fuerte y la convergencia d´ebil de Dunk en L2(Ω)N×Nimplican (unk·∇)unk⇀(u·∇)uen Lr(Ω)N, con r∈[1,2) si N= 2 y r∈[1,N N−1) si N= 3,4.Por otra parte, por las inyecciones de Sobolev, (unk·∇)unkest´a acotada en Lr(Ω)Ncon r∈[1,2) si N= 2 y r=N N−1 si N= 3, 4. De esto se deduce que de hecho (unk·∇)unk⇀(u·∇)uen Lr(Ω)N, con r∈[1,2) si N= 2 y r∈[1,N N−1] si N= 3,4. Usando de nuevo las inyecciones de Sobolev, se tiene que vnconverge fuerte en Lp(Ω)Ncon p≥1 si N= 2 y p=2N N−2 si N= 3, 4. Podemos entonces pasar al l´ımite y obtener ZΩ (un·∇)un·vndx →ZΩ (u·∇)u·v dx. Esto demuestra que ues soluci´on de (33). 2.2.2 Teorema de existencia de soluci´on (N≤4) Teorema 31. Sean N≤4yΩ⊂RNun abierto conexo y acotado de clase C1. Dada f∈H−1(Ω)N, existe al menos una soluci´on (u, p)∈H1 0(Ω)N×L2(Ω) del problema de Navier-Stokes estacionario (32) en el sentido µZΩ Du :Dv dx +ZΩ (u·∇)u·v dx −ZΩ pdiv v dx =⟨f, v⟩H−1,H1 0,∀v∈H1 0(Ω)N. Adem´as, existe una constante C > 0independiente de ftal que toda soluci´on (u, p) del problema verifica ∥u∥H1 0(Ω)N≤∥f∥H−1(Ω)N µ,∥p∥L2(Ω) ≤C(∥f∥H−1(Ω)N+∥f∥2 H−1(Ω)N).(36) Demostraci´on. Consideremos una soluci´on ude (33) dada por el Teorema 30. Tomando v=uy usando ZΩ (u·∇)u·u dx = 0, se llega a la primera desigualdad en (36). Por otro lado, como N≤4 sabemos (u·∇)u∈Lp′(Ω)N⊂H−1(Ω)N, 64 2.3 Sistema de Navier-Stokes evolutivo tal que existen r≥1,q > 1,C > 0con dun dt ∈Lq(0, T;W) y ∥un∥Lr(0,T;V)≤C,     dun dt    Lq(0,T;W)≤C. Entonces existe una subsucesi´on de unque converge en Lr(0, T ;H). Demostraci´on. Basta probar que existe una subsucesi´on de unde Cauchy en Lr(0, T ;H). Gracias al Teorema 33, podemos extraer una subsucesi´on de un, que seguiremos denotando un, que es de Cauchy en C0([0, T ]; W). Sea ε > 0 y tomemos Cε>0 tal que se verifica (42). Entonces para todo n, m ∈Nse tiene ∥un−um∥Lr(0,T;H)=ZT 0∥un(t)−um(t)∥r Hdt1/r ≤ZT 0ε∥un(t)−um(t)∥V+Cε∥un(t)−um(t)∥Wrdt1/r ≤ε∥un−um∥Lr(0,T;V)+Cε∥un−um∥Lr(0,T ;W) ≤2Cε +T1 rCε∥un−um∥C0([0,T];W). Por tanto, si tomamos n0∈Ntal que para todo n, m ≥n0se cumpla ∥un−um∥C0([0,T];W)≤ε T1 rCε , se deduce ∥un−um∥Lr(0,T;H)≤(2C+ 1)ε, ∀n, m ≥n0, lo que prueba que unes de Cauchy en Lr(0, T ;H). 2.3.2 Descomposici´on espectral del operador de Stokes Para probar la existencia de soluci´on de (37), ser´a esencial la descomposici´on espectral del llamado operador de Stokes. Se recuerda Definici´on 38. Sean Hun espacio de Hilbert y T∈ L(H)un operador. Se dice que µes un autovalor o valor propio de Tsi Ker (T−µId)={0}. En este caso, el conjunto Ker (T−µId)es el subespacio propio de Tasociado a µy sus elementos no nulos se denominan autofunciones de Tasociadas a µ. A partir de ahora, notamos V={u∈H1 0(Ω)N: div u= 0 en Ω}, 65 2.3 Sistema de Navier-Stokes evolutivo H={u∈L2(Ω)N: div u= 0 en Ω}. Definici´on 39. Se dice que λ∈Res un autovalor del operador de Stokes Lu =−∆u+∇p∈H−1(Ω)N,∀u∈V, si existen u∈V,u≡ 0,p∈L2(Ω) soluci´on del problema de Stokes          −∆u+∇p=λu en Ω div u= 0 en Ω u= 0 sobre ∂Ω. El espacio de soluciones de este problema es el espacio de autofunciones del operador de Stokes asociado a µ. Observaci´on 39.Se tiene que λes autovalor del operador de Stokes y uno nula es una autofunci´on asociada a λsi y solo si u∈Vy satisface ZΩ Du :Dv dx =λZΩ u·v dx, ∀v∈V. Tambi´en recordamos Teorema 35 (Teorema de Hilbert-Schmidt). Sean Hun espacio de Hilbert separable y T:H→Hun operador compacto y autoadjunto. Entonces existe una sucesi´on (γn)n≥1de autovalores no nulos convergiendo a cero tal que:  Los espacios de autofunciones En:= Ker (T−γnId), n ≥1, correspondientes a cada γnson finito-dimensionales y ortogonales para el producto escalar en H. Si notamos γ0= 0, E0=Ker (T), entonces el espacio E0puede tener dimensi´on infinita.  La suma de los espacios En, n ≥0,es densa en H. Gracias a la ortogonalidad de los espacios En, si Pndenota la proyecci´on ortogonal de u∈Hsobre el espacio de autofunciones En,n≥0, cualquier elemento ude H verifica u= ∞ X n=0 Pnu, donde la suma converge en H. 66 2.3 Sistema de Navier-Stokes evolutivo Como consecuencia, tenemos Teorema 36. Existe una sucesi´on (λn)n≥1de autovalores no nulos del operador de Stokes tendiendo a infinito tal que:  Los espacios Wnde autofunciones asociados a cada λnson finito-dimensionales y ortogonales en el sentido ZΩ un·umdx =ZΩ Dun:Dumdx = 0,∀un∈Wn,∀um∈Wm, n =m. (44)  La suma de los espacios Wn,n≥1, es densa en HyV. Adem´as, si tomamos la proyecci´on ortogonal Pnde Hen Wn, se tiene u= ∞ X n=1 Pnu, (45) donde la serie converge en Hpara toda u∈Hy en Vpara toda u∈V. Demostraci´on. Se define el operador A:H→Hpor Au ∈V⊂H, ZΩ D(Au) : Dv dx =ZΩ u·v dx, ∀v∈V, o, equivalentemente, Au es tal que existe ep∈L2(Ω) de forma que la pareja (Au, ep) es la soluci´on del problema de Stokes          −∆Au +∇ep=uen Ω, div Au = 0 en Ω, Au = 0 sobre ∂Ω. Aes un operador lineal y adem´as continuo de Hen V, pues haciendo v=Au se tiene ZΩ D(Au) : D(Au)dx =ZΩ u·Au dx, luego por Poincar´e ||Au||2 H1 0(Ω)N=ZΩ|D(Au)|2dx =ZΩ u·Au dx ≤ ||u||L2(Ω)N||Au||L2(Ω)N ≤C||u||L2(Ω)N||Au||H1 0(Ω)N y, por tanto, ||Au||H1 0(Ω)N≤C||u||L2(Ω)N. Como la inyecci´on de Ven Hes compacta, Aes compacta de Hen H. Adem´as, A 67 2.3 Sistema de Navier-Stokes evolutivo es autoadjunta, es decir, ZΩ Au ·v dx =ZΩ u·Av dx, ∀u, v ∈H, pues si u∈Htenemos ZΩ D(Au) : Dw dx =ZΩ u·w dx, ∀w∈V, luego tomando w=Av resulta ZΩ D(Au) : D(Av)dx =ZΩ u·Av dx. An´alogamente, si v∈Hy tomamos w=Au se llega a ZΩ D(Av) : D(Au)dx =ZΩ v·Au dx. Usamos finalmente la conmutatividad del producto escalar. El operador Ase encuentra entonces en las hip´otesis del Teorema de Hilbert-Schmidt. Adem´as, al tener n´ucleo trivial, el cero no es uno de sus valores propios. En efecto, si Au = 0, entonces 0 = ZΩ D(Au) : Dv dx =ZΩ u·v dx, ∀v∈V, con lo que se concluye que u= 0. As´ı, los espacios de autofunciones son todos finito-dimensionales y ortogonales para el producto escalar en H. Notemos ahora que si γes un autovalor de A, entonces Au =γu y por tanto −γ∆u+∇ep=u. Definiendo p=ep γ, lo cual tiene sentido pues γ= 0, se obtiene ∆u+∇p=1 γu. Esto implica que γes autovalor de Asi y solo si λ=1 γ es autovalor del operador de Stokes. Como los autovalores de Atienden a cero, 68 2.3 Sistema de Navier-Stokes evolutivo los autovalores del operador de Stokes van tendiendo a infinito. Adem´as, ambos operadores poseen los mismos espacios de autovectores y, en consecuencia, para probar la ortogonalidad de los espacios Wnasociados a λnen el sentido (44), solo falta ver que son ortogonales para el producto escalar en V. Si un∈Wn, um∈Wm, entonces γnZΩ Dun:Dumdx =ZΩ un·umdx =γmZΩ Dum:Dundx y usando la ortogonalidad para el producto escalar en Hse llega al resultado. El Teorema de Hilbert-Schmidt garantiza adem´as la densidad del espacio vectorial generado por los espacios Wnen Hy la convergencia de la serie (45) en Hpara u∈H. A fin de probar la densidad y la convergencia en Vpara u∈V, veamos que el espacio vectorial generado por los espacios Wnes denso en V. Observemos que los Wn no solo se encuentran en H, sino en V. Sea v∈Vtal que ZΩ Dv :Dw dx = 0,∀w∈Vtal que w∈Wncon n∈N. Usando la definici´on de Wn, se deduce ZΩ v·wndx =1 λnZΩ Dv :Dwndx = 0,∀n∈N,∀wn∈Wn, lo que implica que v= 0. 2.3.3 Teorema de existencia de soluci´on (N≤3) Motivemos ahora la definici´on de soluci´on d´ebil correspondiente al problema de Navier-Stokes evolutivo. Dadas f∈L2(0, T;H−1(Ω)N) y u0∈H, nos interesamos en encontrar una soluci´on u∈L2(0, T ;V) de forma que (37) se satisfaga en el sentido de las distribuciones, es decir, en D′((0, T)×Ω)N. Se observa que si el sistema se satisface en este sentido, entonces para funciones del tipo (t, x)→φ(t)ψ(x), con φ(t)∈ D(0, T ) y ψ(x)∈ D(Ω)N,uverifica −Z(0,T)×Ω u·φ′ψ dt dx +µZ(0,T )×Ω Du :Dψφ dt dx −Z(0,T )×Ω pdiv φψ dt dx +Z(0,T)×Ω (u·∇)u·ψφ dt dx =Z(0,T )×Ω f·ψφ dt dx. 69 2.3 Sistema de Navier-Stokes evolutivo Aplicando entonces el Teorema de Fubini resulta −ZT 0ZΩ u·ψ dxφ′dt +µZT 0ZΩ Du :Dψ dxφ dt −ZT 0ZΩ pdiv ψ dxφ dt +ZT 0ZΩ (u·∇)u·ψ dxφ dt =ZT 0ZΩ f·ψ dxφ dt, que, por la arbitrariedad de φ∈ D(0, T ), es equivalente a d dt ZΩ u·ψ dx+µZΩ Du :Dψ dx−ZΩ pdiv ψ dx+ZΩ (u·∇)u·ψ dx =ZΩ f·ψ dx, (46) donde la igualdad se entiende en el sentido de D′(0, T ). Rec´ıprocamente, si ues soluci´on de (46), entonces se tiene que, para funciones de la forma χ(t, x) = n X i=1 φi(t)ψi(x), con φ1, φ2, ..., φn∈ D(0, T ), ψ1, ψ2, ..., ψn∈ D(Ω)N, u satisface −Z(0,T)×Ω u·∂tχ dt dx +µZ(0,T )×Ω Du :Dχ dt dx −Z(0,T )×Ω pdiv χ dt dx +Z(0,T)×Ω (u·∇)u·χ dt dx =Z(0,T )×Ω f·χ dt dx. Se prueba adem´as que estas funciones son densas en D((0, T)×Ω)N, lo que lleva finalmente a que (37) se tenga en el sentido de las distribuciones. En conclusi´on, (37) se da en el sentido distribucional si y solo si se cumple (46). Asimismo, por la densidad de D(Ω)Nen H1 0(Ω)Ny tomando funciones con divergencia nula, tenemos que, para toda v∈V,uverifica d dt ZΩ u·v dx +µZΩ Du :Dv dx +ZΩ (u·∇)u·v dx =ZΩ f·v dx en D′(0, T). Como se vio en el caso estacionario, si suponemos que para casi todo t∈(0, T) la funci´on u(t, ·) est´a en V, entonces para que la tercera integral est´e bien definida para toda v∈Vdebemos suponer N≤4. Definici´on 40. Sean N≤4,f∈L2(0, T;H−1(Ω)N)yu0∈H, se dice que u∈L2(0, T;V)es soluci´on d´ebil de (37) si para toda v∈Vverifica d dt ZΩ u·v dx +µZΩ Du :Dv dx +ZΩ (u·∇)u·v dx =ZΩ f·v dx en D′(0, T ) (47) con u|t=0 =u0. 70 2.3 Sistema de Navier-Stokes evolutivo Veamos que la condici´on de Cauchy tiene sentido para u∈L2(0, T ;V). Para ello, comenzamos observando que si identificamos Hcon H′, por el Teorema de Riesz, tenemos V⊂H≡H′⊂V′, donde cada espacio es denso en el siguiente y las inyecciones son continuas. Como consecuencia, se tiene ⟨u, v⟩V′,V = (u, v)H,∀u∈H, ∀v∈V. Por tanto, (47) puede escribirse d dt⟨u(t), v⟩V′,V =⟨Au(t) + Bu(t) + f(t), v⟩V′,V . Como u∈L2(0, T;V), la funci´on Au : (0, T)→V′definida por ⟨Au(t), v⟩V′,V =−µZΩ Du :Dv dx e.c.t. (0, T ),∀v∈V, pertenece a L2(0, T ;V′) al verificar |⟨Au(t), v⟩V′,V | ≤ µ||u(t)||V||v||V,e.c.t. (0, T),∀v∈V. La funci´on Bu : (0, T)→V′definida por ⟨Bu(t), v⟩V′,V =−ZΩ (u·∇)u·v dx e.c.t. (0, T),∀v∈V, pertenece a L1(0, T ;V′) al verificar |⟨Bu(t), v⟩V′,V | ≤ ||u(t)||2 V||v||V,e.c.t. (0, T),∀v∈V. As´ı, se deduce Au +Bu +f∈L1(0, T;V′). Esto implica du dt ∈L1(0, T;V′) (48) y por tanto u∈C0([0, T]; V′), lo que hace que la condici´on de Cauchy se pueda entender en el sentido de V′. Vamos a probar 71 2.3 Sistema de Navier-Stokes evolutivo Teorema 37. Sean N≤3,f∈L2(0, T;H−1(Ω)N)yu0∈H, entonces existe al menos una soluci´on del problema            Hallar u∈L2(0, T;V)∩L∞(0, T;H)tal que d dt ZΩ u·v dx +µZΩ Du :Dv dx +ZΩ (u·∇)u·v dx =⟨f, v⟩H−1,H1 0en D′(0, T) u|t=0 =u0, (49) para toda v∈V. Adem´as, esta funci´on verifica para toda t∈(0, T)la desigualdad de la energ´ıa: 1 2ZΩ|u|2dx +µZt 0ZΩ|Du|2dx ds ≤1 2ZΩ|u0|2dx +Zt 0⟨f, u⟩H−1,H1 0ds. (50) Demostraci´on. Usaremos el m´etodo de Faedo-Galerkin, que consiste en usar una discretizaci´on de tipo Galerkin en espacio y no discretizar en tiempo. Para ello, definimos Vn:= W1+···+Wn, donde Wies el espacio de autofunciones asociado al autovalor λidel operador de Stokes y u0 nla proyecci´on ortogonal en Hde u0sobre Vn. Consideramos entonces el problema            Hallar un∈H1(0, T;Vn) tal que d dt ZΩ un·v dx +µZΩ Dun:Dv dx +ZΩ (un·∇)un·v dx =⟨f, v⟩H−1,H1 0en D′(0, T) un|t=0 =u0 n, (51) para toda v∈Vn. Para cada i∈ {1, ..., n}, tomemos una base wij,j= 1, . . . , ni= dim(Wi), ortogonal para el producto escalar en L2. Definiendo los escalares φ0 ij por u0 n= n X i=1 ni X j=1 φ0 ijwij(x), el problema se escribe entonces                Hallar un(t, x) = n X i=1 ni X j=1 φij(t)wij(x) tal que d dt ZΩ un·wij dx +µZΩ Dun:Dwij dx +ZΩ (un·∇)un·wij dx =⟨f, wij⟩H−1,H1 0 un|t=0 =u0 n, 72 2.3 Sistema de Navier-Stokes evolutivo que, a su vez, se reduce a                Hallar un(t, x) = n X i=1 ni X j=1 φij(t)wij(x) tal que φ′ ij(t) + µλiφij(t) + ZΩ (un·∇)un·wij dx =⟨f, wij⟩H−1,H1 0 φij(0) = φ0 ij, que es un problema de Cauchy para un sistema diferencial de la forma y′=g(y) + h(t), donde ges una funci´on cuadr´atica, en particular localmente Lipschitziana, y h una funci´on de L2(0, T). Una adaptaci´on simple del Teorema de existencia de Picard muestra entonces la existencia de una soluci´on al menos en un intervalo [0, τ] con 0≤τ≤T. Para poder tomar τ=T, basta comprobar que las funciones φij(t) no explotan en tiempo finito cuando t∈(0, τ) tiende a τ. Usamos que, para toda v∈H1 0(0, T;Vn), unverifica −Z(0,τ)×Ω un·∂tv dt dx +µZ(0,τ)×Ω Dun:Dv dt dx +Z(0,τ)×Ω (un·∇)un·v dt dx =Z(0,τ)×Ω f·v dt dx. Tomando v(t, x) = un(t, x)φ(t) con φ∈ D(0, τ), se tiene −Zτ 0ZΩ|un|2dx φ′(t)dt −Zτ 0ZΩ un·∂tundx φ(t)dt +µZτ 0ZΩ|Dun|2dx φ(t)dt +Zτ 0ZΩ (un·∇)un·undx φ(t)dt =Zτ 0ZΩ f·undx φ(t)dt, (52) pero del caso estacionario sabemos Zτ 0ZΩ (un·∇)un·undx φ(t)dt = 0 y adem´as el segundo t´ermino se puede reescribir −Zτ 0ZΩ un·∂tundx φ(t)dt =−1 2Zτ 0ZΩ ∂t|un|2dx φ(t)dt =1 2Zτ 0ZΩ|un|2dx φ′(t)dt, 73 2.3 Sistema de Navier-Stokes evolutivo luego (52) se escribe −1 2Zτ 0ZΩ|un|2dx φ′(t)dt +µZτ 0ZΩ|Dun|2dx φ(t)dt =Zτ 0ZΩ f·undx φ(t)dt. Gracias a la arbitrariedad de φ, esta expresi´on es equivalente a la llamada identidad de la energ´ıa: 1 2 d dt ZΩ|un|2dx +µZΩ|Dun|2dx =⟨f, un⟩H−1,H1 0en (0, τ). Aplicando la desigualdad de Young, se obtiene ⟨f, un⟩H−1,H1 0≤1 2µ||f||2 H−1(Ω)N+µ 2||un||2 H1 0(Ω)N y entonces d dt ZΩ|un|2dx +µZΩ|Dun|2dx ≤1 µ||f||2 H−1(Ω)N. Integrando esta desigualdad en (0, t), tenemos ZΩ|un(t, x)|2dx +µZt 0ZΩ|Dun|2dx ds ≤ ||u0 n||2 L2(Ω)N+1 µ||f||2 L2(0,t;H−1(Ω)N) ≤ ||u0||2 H+1 µ||f||2 L2(0,T;H−1(Ω)N), (53) para todo t∈(0, τ), de donde se deduce que la norma en L2(Ω)Nde un(t, ·) permanece acotada cuando ttiende a τy por tanto que las funciones φij(t) no van a infinito. Los resultados de prolongabilidad para ecuaciones diferenciales ordinarias muestran que se puede tomar τ=T. Adem´as, de la desigualdad (53) se llega a ∥un∥2 L∞(0,T;H)+µ∥un∥2 L2(0,T;V)≤2||u0||2 H+2 µ||f||2 L2(0,T;H−1(Ω)N), luego existen una subsucesi´on, que seguiremos notando un, y una funci´on u∈L∞(0, T;H)∩L2(0, T;V) tales que un ∗ ⇀ u en L∞(0, T;H), un⇀ u en L2(0, T;V).(54) A fin de pasar al l´ımite en las condiciones iniciales y en el t´ermino no lineal, vamos a necesitar una estimaci´on de la derivada. Observemos primeramente que, dadas v∈V, φ ∈ D(0, T ) y notando por Pnvla proyecci´on ortogonal de vsobre Vn, 80 2.3 Sistema de Navier-Stokes evolutivo El tercer t´ermino de esta igualdad puede escribirse ZΩ(u1·∇)u1−(u2·∇)u2·(u1−u2)dx =ZΩ (u1·∇)(u1−u2)·(u1−u2)dx +ZΩ((u1−u2)·∇)u2·(u1−u2)dx, donde la primera integral se anula y la segunda se puede acotar gracias al Lema 4 con N= 2 por ZΩ((u1−u2)·∇)u2·(u1−u2)dx≤ ∥u1−u2∥2 L4(Ω)N∥u2∥V ≤C∥u1−u2∥H∥u1−u2∥V∥u2∥V. Sustituyendo en (59), obtenemos 1 2 d dt∥u1−u2∥2 H+µ∥u1−u2∥2 V≤C∥u1−u2∥H∥u1−u2∥V∥u2∥V +∥f1−f2∥H−1(Ω)N∥u1−u2∥V, luego aplicando la desigualdad de Young se tiene d dt∥u1−u2∥2 H+µ∥u1−u2∥2 V≤2C µ∥u1−u2∥2 H∥u2∥2 V+2 µ∥f1−f2∥2 H−1(Ω)N.(60) Usamos ahora la desigualdad de Gronwall para deducir ∥u1−u2∥2 H≤ ∥u0 1−u0 2∥2 He2C µRt 0∥u2∥2 Vds +2 µZt 0∥f1−f2∥2 H−1(Ω)Ne2C µRt r∥u2∥2 Vds dr para todo t∈[0, T ] y por tanto ∥u1−u2∥2 L∞(0,T;H)≤∥u0 1−u0 2∥2 H+2 µ∥f1−f2∥2 L2(0,T;H−1(Ω)N)e 2C µ∥u2∥2 L2(0,T ;V). Por otra parte, razonando como en la demostraci´on del Teorema 37, u2satisface µ∥u2∥2 L2(0,T;V)≤ ||u0 2||2 H+1 µ||f2||2 L2(0,T;H−1(Ω)N), por lo que sustituyendo esta expresi´on en la estimaci´on anterior se obtiene (56). Para probar (57), basta integrar (60) en (0, T ) teniendo en cuenta (56). Observaci´on 41.Para N= 3, solo en el caso de obtener una soluci´on con un poco m´as de regularidad se tiene que esta es ´unica. Sin embargo, incluso partiendo de condiciones iniciales muy regulares y tomando segundos miembros muy regulares no existen resultados que proporcionen la existencia de una soluci´on para el problema de Navier-Stokes con la regularidad necesaria para poder probar su unicidad. S´ı es posible probar la unicidad en un periodo corto de tiempo as´ı como resultados de 81 2.3 Sistema de Navier-Stokes evolutivo unicidad en largos periodos de tiempo pero partiendo de datos con norma peque˜na. 2.3.5 Recuperaci´on de la presi´on Probada la existencia de soluci´on d´ebil para el sistema de Navier-Stokes evolutivo, veamos c´omo podemos recuperar la presi´on. Tenemos u∈L2(0, T;H1 0(Ω)N)∩L∞(0, T;L2(Ω)N) tal que d dt ZΩ u·v dx +µZΩ Du :Dv dx +ZΩ (u·∇)u·v dx =⟨f, v⟩H−1,H1 0en D′(0, T) para toda v∈V. Si integramos la igualdad anterior en (0, t) con 0 ≤t≤T, se tiene ZΩ u·v dx +µZΩ DZt 0 u ds:Dv dx +ZΩZt 0 (u·∇)u ds·v dx =ZΩ u0·v dx +⟨Zt 0 f ds, v⟩H−1,H1 0, para toda v∈Vy casi todo t∈(0, T). Consideremos ahora la distribuci´on F(t) en Ω definida en casi todo t∈(0, T ) por F(t) = u0−u(t, ·) + µ∆Zt 0 u ds −Zt 0 (u·∇)u ds +Zt 0 f ds ∈H−1(Ω)N, que se anula al aplicarse a elementos de V. Por el Teorema de De Rham, existe entonces P(t, ·)∈L2(Ω) con integral nula tal que F(t) = ∇P(t, ·),e.c.t. t∈(0, T). Adem´as, por la continuidad del operador de De Rham, Pes medible en (0, T). Usando que H1(Ω) se inyecta de forma continua en L4(Ω), si N≤4, se tiene ZΩZt 0 (u·∇)u ds ·v dx≤ZT 0ZΩ|u||Du||v|dx dt ≤ZT 0ZΩ|u|4dx1/4ZΩ|Du|2dx1/2 dt ZΩ|v|4dx1/4 ≤ZT 0ZΩ|u|4dx1/2 dt1/2ZT 0ZΩ|Du|2dxdt1/2ZΩ|v|4dx1/4 ≤C∥u∥2 L2(0,T;H1 0(Ω)N)∥v∥2 H1 0(Ω)N. 82 2.3 Sistema de Navier-Stokes evolutivo Esto prueba Zt 0 (u·∇)u ds ∈L∞(0, T;H−1(Ω)N). Es inmediato que los otros t´erminos que componen Ftambi´en verifican esta propiedad, luego Fpertenece a L∞(0, T ;H−1(Ω)N) y por tanto P∈L∞(0, T ;L2(Ω)). Tomando p=dP dt , tenemos que p∈W−1,∞(0, T;L2(Ω)) y verifica du dt −µ∆u+ (u·∇)u+∇p=fen (0, T )×Ω. Finalizamos as´ı el estudio de las ecuaciones de Navier-Stokes. 83 Referencias Referencias [1] Alphonse, A. M., Caetano, D., Djurdjevac, A., and Elliott, C. M. Function spaces, time derivatives and compactness for evolving families of banach spaces with applications to pdes. Journal of Differential Equations (2021). [2] Batchelor, G. K. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press, 1990. [3] Brezis, H. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Universitext. Springer, New York, 2011. [4] Casado-D´ ıaz, J. Complementos sobre ecuaciones diferenciales. Notas de curso, Universidad de Sevilla, 2014. [5] Ciarlet, P. G. Mathematical elasticity. Vol. I. Three dimensional elasticity. Studies in Mathematics and its Applications, 20. North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1988. [6] Duvaut, G. M´ecanique des milieux continus. Masson, Paris, 1990. 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