Implementacion y análisis de métodos numéricos basados en flujo potencial con aplicación en turbomáquinas

Implemen acion y análisis de mé odos numé icos basados en lujo po encial con aplicación en u bomáquinas R. Chaca egui, A. Ca pin e o, J.L. Can ado , A. Muñoz Escuela Supe io de Ingenie os. Camino de los Descub imien os, S/N 41092 Se illa(España). Tl no:0034954487242; Fax:0034954487243 E-mail: [email p o ec ed] Resumen. Es e a ículo abo da la esolución de lujos no iscosos y en pa icula su aplicación al es udio de cascada de álabes. Pa a ello se analiza án modelos de lujo po encial esol iendo la ecuación de Laplace median e di e en es a iaciones del mé odo de los Paneles. Se ha ealizado una alidación de los esul ados ob enidos pa a pe iles aislados con alo es expe imen ales ob enidos po la NACA. Además, se ha ealizado un es udio compa a i o en e los dis in os esul ados ob enidos con los di e en es mé odos de los paneles implemen ados(Sou ce, Vo ex y Sou ce-Vo ex). Una ez comp obada la bondad de los dis in as a ian es del mé odo de los paneles pa a pe iles aislados se ha ampliado el mé odo a cascadas de álabes y se ha ealizado ambién una alidación con alo es expe imen ales ob enidos de la bibliog a ía. Abs ac . In his wo k an analysis o di e en panel me hods applied o u bomachine y has been p esen ed, wi hin he condi ions o po en ial low as well i s beha iou wi h di e en shapes and i s ad an adges and incon enien s applied o ae odynamics p o iles. Finally one o hese me hods ha e been ex ended and co ec ed o he analysis o comp esso cascades Keywo ds: Panel me hods, comp essible po en ial lows, u bomachiney cascades 1.Teo ía de lujo po encial. Se de ine como lujo po encial aquel que ocu e en ausencia de o ación. Es o ocu e cuando la o icidad es nula. Es a iene de inida como: k jk ijkix u w w HZ (1) Si la elocidad de i a de un po encial escala ( I  V ) se cumple la condición de lujo po encial. En pa icula pa a lujo incomp esible, si se sus i uye la exp esión de la elocidad en unción del po encial de elocidad en la ecuación de con inuidad: 0 2   II (2) ob eniendo la ecuación de Laplace pa a el po encial de elocidades I, ecuación en de i adas pa ciales ipo elíp ica cuya solución equie e los alo es de I en los con o nos (condición de con o no ipo Di ichle ) o bien de sus de i adas en los mismos (condición ipo Neumann) o bien combinaciones de ambos. En el caso de lujo no iscoso es aciona io pa a gas se ienen las siguien es ecuaciones de con inuidad y can idad de mo imien o: 0 )( w w i i x u U (3) j k j k dxj p x u u w w w U 1 (4) Desa ollando la exp esión de la ecuación de la con inuidad en sus de i adas, eniendo en cuen a ii x p px w w w w w w UU ,donde 2 1 a p w w U ,y dado que el é mino de la p esión se puede ob ene despejando de la ecuación de can idad de mo imien o, se llega a una exp esión de la ecuación de con inuidad:  0 2222 ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § w w  w w  w w  w w y u y u u y a x u au (5) Si el lujo es po encial:  02 2 2 2 22 2 2 22 ww w  w w  w w yx u y a x au III (6) En es e abajo se busca la aplicación a pe iles ae odinámicos delgados con pequeñas pe u baciones en el lujo, po lo que den o de de e minados angos se pueden asumi las siguien es hipó esis 1 III  (donde 1 II !! ) ; 1 uuu  ;1 llegando a la exp esión:  01 2 12 2 12 2 w w  w w  yx M II (7) Realizando un cambio de a iables adecuado en es a exp esión llegamos a la ecuación de Laplace que eníamos pa a lujo incomp esible. 2.Desa ollo del mé odo de los paneles. El mé odo de los paneles consis e en la esolución de es as ecuaciones al ededo de cue pos de geome ía a bi a ia (en nues o caso bidimensionales). Se basa en la disc e ización del con o no, y dado que la ecuación de Laplace es lineal, ob ención de la solución del campo luido como supe posición de las soluciones de di e en es p oblemas pa icula es. Siguiendo el desa ollo dado en [1-2] se ob iene que el po encial en un pun o P’ del dominio luido puede se exp esado como:  ³³ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © §¸ ¹ · ¨ © § w w  C S dS n P11 4 1 ' JO S II (8) La exp esión dada en (8) se puede e como la combinación de un lujo uni o me ( I ), un é mino uen e (O) y un é mino ó ice (J) es ando p esen es según el esquema de esolución empleado odos o sólo pa e de es os é minos. El p oblema se educe a encon a los alo es de las incógni as, O y J , pa a una geome ía especi ica y pa a una co ien e lib e dada, I . Pa a ello se disc e iza el con o no en una se ie de elemen os o paneles den o de los cuales se asume una ley de a iación de es as incógni as, y se plan ea pa a cada elemen o del con o no el e ec o que iene en el po encial en cada uno de los elemen os del con o no empleando (8). Es o da luga a un sis ema de ecuaciones algeb aicas con incógni as los alo es de O y J en cada uno de los elemen os del con o no. La p ime a e apa den o de es e abajo ue implemen a y analiza es a iaciones di e en es del mé odo de los paneles pa a ob ene el lujo en álabes aislados (Figu a 1). La di e encia en e ellas adicaba en la modelización del po encial sólo con é minos uen e, ó ice o ambos simul áneamen e. Los pasos a ealiza de o ma gené ica pa a cada uno de es os mé odos: 1. Disc e ización de la supe icie en paneles. 2. Esc ibi las elocidades ui, i en unción de las con ibuciones de cada panel eniendo como incógni as los alo es de los coe icien es, conside ados es os cons an es (o con a iación lineal) en cada panel y esol iendo las in eg ales co espondien es. 11 cos ij ij NN pjsj jj uV u u DO J  ¦¦ 11 sin ij ij NN pjsj jj V DO J  ¦¦ (11) 3. Cálculo de los coe icien es de in luencia de unos paneles sob e o os pa a gene a los sis emas de ecuaciones algeb aicas. Se án unción de la posición de los mismos y hab á que in eg a las exp esiones ob enidas. ,1 *1ln 2 ij ij s ij u S  §· ¨¸ ¨¸ ©¹ ; * 2 ij ij s E S ; * 2 ij ij u E S ; ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © §  ij ji ij 1, *ln 2 1 S (10) 4. Añadi la condición de Ku a-Joukowski al bo de de es ela, asegu ando que en el bo de de es ela la in ensidad de los ó ices en los paneles supe io e in e io sea igual y de signo opues o. 5. Co ección de la diagonal in e sa. V V  s J V  s J  s O N +1 1 2 N N ˆ 1 ˆ Mé odo sou ce Mé odo o ex Mé odo sou ce- o ex Figu a 1 Figu a2 Es a co ección es necesa ia ealiza la dada la dispe sión en amaños de los paneles según las zonas en que se encuen en dando luga a ma ices mal condicionadas[3]. El p ocedimien o ecomendado pa a co egi es e p oblema ue ideado po Jacob y Riegels [4] quienes p opusie on hace ce o la ci culación in e io pa a cada una de las columnas del sis ema. 6. Resol e el sis ema esul an e pa a calcula los coe icien es. 7. Dados los coe icien es, esc ibi las ecuaciones pa a la elocidad angencial en cada pun o de con ol del panel y de e mina la dis ibución de p esión usando la elocidad angencial en cada panel. 4. Compa ación mé odos sou ce, o ex y sou ce- o ex. De la múl iple in o mación analizada se obse ó que el mé odo sou ce daba esul ados buenos pa a pe iles simé icos y no excesi amen e delgados, allando ue a de es os casos. En la Figu a 4 se mues an la dis ibución del coe icien e de p esiones pa a un pe il NACA 4412 ob enida empleando cada uno de los mé odos, obse ándose la p ecisión de los mé odos o ex y sou ce- o ex con los esul ados expe imen ales ob enidos de [3-6]. -1,E-04 0,E+00 1,E-04 2,E-04 3,E-04 4,E-04 5,E-04 6,E-04 010 0 20 0 30 0 40 0 50 0 60 0 Núme o de Paneles CD Sou ce Vo ex Sou ceVo ex En cuan o a los mé odos o ex y sou ce- o ex se ob iene una ele ada p ecisión den o del ango de alidez del lujo po encial (ángulo de incidencia que no p oduzca desp endimien o de capa lími e). En la Figu a 5 se ep esen an los esul ados del coe icien e de sus en ación expe imen ales pa a ambos mé odos a iando el ángulo de a aque pa a dos pe iles. Figu a 3 Figu a 4 NACA 4412 a=1.525 - Da os E NACA 4412 -4,0 -3,5 -3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 00,20,40,60,81 x/c Cp NACA 4412 a=1.525 - Sou ce NACA 4412 a=1.525 - Vo ex NACA 4412 a=1.525 - Da os Exp. NACA 4412 a=1.525 - Sou ceVo ex Finalmen e analizando el núme o de paneles necesa io pa a una ele ada p ecisión se obse ó que el mé odo o ex necesi aba meno núme o de paneles que el sou ce- o ex, como ejemplo la con e gencia a ce o del coe icien e de esis encia en pe il simé ico en lujo no iscoso que mues a la Figu a 4. Po ello, pa a implemen a el mé odo en cascadas de álabes elegimos el mé odo o ex. 5. Aplicación a cascadas de álabes. El p oceso seguido en la aplicación del mé odo de los paneles a cascadas de álabes es idén ico al seguido en el apa ado 3 de o ma gené ica sal o que además se in oduce el e ec o de unos álabes sob e o os con la des iación que iene sob e el lujo y la modi icación que iene sob e los iángulos de elocidades a la salida Figu as 6a y 6b. a) b) c) Pun o de emanso Línea de co ien e de emanso x y ab dc 2 Vs  *  2 Vs  * Asimismo se in oduce la condición de shock- ee o malmen e idén ica a la condición de Ku a-Joukowski, pe o pa a la incidencia a la en ada asegu ando una a iación sua e a la en ada Figu a 6b. En las Figu as 7 a 9 se p esen an los esul ados ob enidos con el mé odo pa a di e en es con igu aciones. Es os esul ados mues an una buena conco dancia con los esul ados expe imen ales ob enidos de [6] empeo ando a medida w2 w w1 E V 2 s  * 2 s  *  2 E Figu a 6b Figu a 6a Figu a 5 -0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 -5,0º 0,0º 5,0º 10,0º 15,0º 20,0º 25,0º Ángulo de a aque a CL CL, NACA 0012 - Vo ex CL, NACA 0012 - Sou ceVo ex CL, NACA 0012 - Da os Exp CL, NACA 4412 - Vo ex CL, NACA 4412 - Sou ceVo ex CL, NACA 4412 - Da os Exp Figu a 5 que c ece el ángulo de incidencia. En las igu as 7 apa ecen indicados ángulo de calado E, la elación paso/cue da (s/c) y el ángulo de incidencia D. En las Figu as 8 y 9 se mues a la de lexión del lujo en unción del ángulo de incidencia. Bibliog a ía 1. Ka amche i K. P inciples o Ideal-Fluid Ae odynamics, John Wiley & Sons, 1966. 2. Ka z and Plo kin, A. Low-Speed Ae odynamics F om Wing Theo y o Panel Me hods, McG aw-Hill, Inc., New Yo k 1991. 3 Lewis, R.I. Tu bomachine y Pe o mance and Analysis, John Wiley & Sons, 1996. 4 Jacob, K and Riegels, F.W., The calcula ion o he p essu e dis ibu ions o e ae o oil sec ions o ini e hickness wi h and wi hou laps and sla s. X. Flugwiss, 11(9). R.A.E. T ansla ion No.1101, 1965. 5. NACA Repo nº 465 , I.E. Ga ick June 1933 6. Eme y, J.C, He ig, J.L. e als, , “Sys ema ic wo-dimensional cascade es s o NACA 65-Se ies comp esso blades a low speeds”” NACA Repo 1368 4322, 1957. -8 -4 0 4 8 12 16 40 45 50 55 60 65 Angulo de A aque (G ados) e G ados Da os Expe imen ales Da os P og ama -10 -5 0 5 10 15 25 30 35 40 45 50 Angulo de A aque (G ados) e G ados Da os Expe imen ales Da os P og ama Figu a 8 ángulo de salida cascada pe iles NACA 65010 pa a di e en es ángulos de incidencia D E1=60º c/s=1.5 Figu a 9 ángulo de salida cascada pe iles NACA 65010 pa a di e en es ángulos de incidencia D E1=45º c/s=1 Figu a 7 coe icien e de p esiones cascada pe iles NACA 65010 pa a di e en es ángulos de incidencia D E1=60º c/s=1 0,0 0,8 1,6 2,4 00,20,40,60,811,2 0,0 0,8 1,6 2,4 00,20,40,60,811,2 0,0 0,8 1,6 2,4 00,20,40,60,811,2 0,0 0,8 1,6 2,4 00,20,40,60,811,2 0,0 0,8 1,6 2,4 3,2 4,0 00,20,40,60,811,2 0,0 0,8 1,6 2,4 3,2 4,0 00,20,40,60,811,2 D=0º D=2º D=4º D=6º D=10º D=16º