La resolución de Montmort (1708 y 1713) de problemas relacionados con el juego de mesa conocido como Trictrac

Anales de Economia Aplicada XXX, 2016, pp. 1143 – 1151. ISSN: 2174-3088 LA RESOLUCIÓN DE MONTMORT (1708 Y 1713) DE PROBLEMAS RELACIONADOS CON EL JUEGO DE MESA CONOCIDO COMO TRICTRAC MARIA DOLORES PÉREZ HIDALGO JOSÉ ANTONIO CAMÚÑEZ RUIZ JESÚS BASULTO SANTOS Facul ad de Ciencias Económicas y Emp esa iales Depa amen o de Economía Aplicada I Uni e sidad de Se illa A enida Ramón y Cajal, 1, 41018-Se illa e-mail: mdpe [email protected] Telé ono: 954557541 Resumen En 1708 apa ece la p ime a edición del Essay D'Analyse su Les Jeux de Haza d del au o ancés P. R. Mon mo , y en 1713, la segunda edición ampliada y e isada del mismo ex o. Es conside ado el p ime ex o que en la his o ia apa ece con una dedicación exclusi a al cálculo de p obabilidades en juegos de aza . Den o de es e amplio ex o encon amos p oblemas p opues os, con esolución de algunos de ellos, sob e una amplia a iedad de juegos elacionados con dados y naipes, de los que se p ac icaban en la época. En el ex o sólo encon amos un juego de ablas, al es ilo de backgammon, bajo el nomb e de T ic ac. También encon amos p eceden es del mismo, en el lib o de Ajed ez, Dados y Tablas que mandó edac a Al onso X el Sabio, y que apa eció en 1283. Es e juego se ha mani es ado pos e io men e bajo ese nomb e y o os, an o en F ancia como en o os países eu opeos. En ese con ex o, Mon mo plan ea y esuel e es p oblemas sob e cálculo de p obabilidades en es si uaciones especí icas de dicho juego. En es e abajo, en p ime luga desc ibimos las que c eemos e an eglas del juego en el con ex o en el que el au o edac ó es e agmen o, dado que el mismo no es muy explíci o en es a ocasión, y analizamos y desc ibimos con lenguaje ac ual la esolución de los mismos y las posibles elaciones pos e io es. Palab as cla e: Mon mo , T ic ac, Cálculo de p obabilidades, Repa o jus o de una apues a. Á ea Temá ica: E olución his ó ica en la P oducción y Análisis de la In o mación. Abs ac The i s edi ion o he Essai su Les Jeux D'Analyse Haza d F ench au ho P. R. Mon mo , and in 1708, he second expanded and e ised edi ion o he same ex appea s in 1713. I is conside ed he i s ex ha appea s in his o y wi h an exclusi e dedica ion o calcula ing odds in gambling. Wi hin his b oad ex a e p oposed p oblems, wi h esolu ion o some o hem, on a wide a ie y o games ela ed o dice and ca ds, o hose who p ac iced a he ime. In he ex only we ound a se o ables, s yle backgammon, unde he name T ic ac. We also ound he same p eceden s in he Book o Chess, Dice and Tables sen compose Al onso X he Wise, and which appea ed in 1283. This game has subsequen ly exp essed unde ha name and o he s, bo h in F ance and in o he Eu opean coun ies. In his con ex , Mon mo aises and sol es h ee p oblems on calcula ion o p obabili ies in h ee speci ic si ua ions o he game. In his pape , i s we desc ibe wha we belie e we e ules o he game in he con ex in which he au ho w o e his piece, since i is no e y explici on his occasion, and analyze and desc ibe wi h cu en language esol ing hemsel es and possible subsequen ela ionships. Key Wo ds: Mon mo , T ic ac, Calcula ion o p obabili y, Jus cas a be . Thema ic A ea: His o ical E olu ion in P oduc ion and In o ma ion Analysis. LA RESOLUCIÓN DE MONTMORT (1708 Y 1713) DE PROBLEMAS RELACIONADOS CON EL JUEGO DE MESA CONOCIDO COMO TRICTRAC Anales de Economia Aplicada XXX, 2016, pp. 1143 – 1151. ISSN: 2174-3088 1144 1. INTRODUCCIÓN Es conocida la ascendencia que u o el análisis de los p oblemas asociados a juegos de aza en el nacimien o del cálculo de p obabilidades. Los abajos pione os en es e campo así lo a es iguan. Po ci a algunos, Ca dano du an e el Renacimien o i aliano, con un ex o sob e juegos en los que incluye an o e lexiones pe sonales sob e la mo al del juego, como in en os de esolución de p oblemas asociados a algunos de los que se p ac icaban en su época; Pascal, Fe ma , Huygens, Ca amuel, en el siglo XVII, dedicados odos ellos a esol e p oblemas especí icos elacionados con juegos de aza , p incipalmen e el p oblema de los pun os (y de paso, es ableciendo los p incipios sob e los que cons ui la nue a eo ía); y a p incipios del XVIII, Jakob Be noulli y amilia, de Moi e, A bu hno , y Mon mo , con a ances muy impo an es an o en el álgeb a asociado, como en la o malización de concep os. Eso sí, odos ellos inco po an en sus ob as juegos de aza que si en de jus i icación e hilo conduc o pa a la cons ucción del que e a conocido como nue o cálculo. Pie e Rémond de Mon mo nació en Pa ís en 1678 y alleció en es a misma ciudad, de i uela, en 1719. En su o mación u o una ue e in luencia su guía y amigo Maleb anche, con el que es udió eligión, iloso ía y ma emá icas. Su apo ación al campo del cálculo de p obabilidades ue su lib o Essay d’analyse su les jeux de haza d, publicado en 1708. Se a a de un ex o sob e juegos de aza p opiamen e dicho en el que se abo dan di e sos p oblemas, odos ellos inme sos en los juegos “ eales” que se p ac icaban en su época. Así, nos encon amos an o juegos de naipes como de dados. Así, juegos como el Pha aon, la Basse e, el Lansquene , el T eize, en los que, según él mismo esc ibe, “he de e minado cuál es la en aja o des en aja de los jugado es en odas las ci cuns ancias posibles de es os juegos”, o juegos como el Homb e, el Pique , el Impe ial, el B elan, el Quinqueno e, el Juego de los T es Dados, el Juego del Haza d (dice que és e, no p ac icado en F ancia, e a muy conocido en Ingla e a), el He , la Ton ine, el que él mismo llama el Juego de la Espe anza, o el que juegan los “Sal ajes” del Canadá. En odos es os in oduce y esuel e di e sos p oblemas, mos ando cla amen e que el ex o es de una di e sidad inusual has a el momen o. Sólo el p eceden e lib o de Ca dano se le pa ece un poco, pe o el que nos ocupa es mucho más ex enso y, desde luego, nada pe sonal, en el sen ido de que Mon mo no incluye e lexiones pa icula es sob e la mo al del juego o sob e sus p opias expe iencias como jugado , como sí lo hicie a Ca dano. La p ime a edición con iene 189 páginas además de un p e acio de 24 páginas. En 1713 apa ece una segunda edición, e isada y aumen ada, con 414 páginas y con un p e acio e in oducción de 42 páginas. El inc emen o de páginas en és a se debe, p incipalmen e, a la in oducción de un a ado sob e combinaciones y de una se ie de ca as que in e cambia on el au o y Nicholas Be noulli, además de una ca a de Jean Be noulli. Es a segunda edición des aca po su cuidada p esen ación, con g abados ma a illosos en las cabece as de los capí ulos y, ambién, po que el nomb e del au o no apa ece en la página inicial que incluye el í ulo, luga , edi o y echa. El único juego de mesa que Mon mo abo da en su ex o, el T ic ac, ocupa un pequeño agmen o en las páginas 189-195 de la segunda edición, y en él se abo da la esolución de es p oblemas con ex ualizados en es si uaciones di e en es del juego, y a cuyo análisis dedicamos es e abajo. 2. SOBRE EL JUEGO TRICTRAC P esen amos una b e e desc ipción del juego en base a la in o mación que hemos ecogido en L’Académie uni e selle des jeux (1802). Aunque hay bas an es eglas y alguna excepciones, ci a emos sólo las que ayuden a comp ende la esolución de los es p oblemas de Mon mo . El T ic ac es un juego de sociedad que es aba muy en boga en la co e y en los salones a is óc a as, en F ancia, y sob e odo, du an e los siglos XVII y XVIII. Es un juego en el que in e ienen dos jugado es, y en el que los mismos mue en ichas en un able o, ano ándose pun os en unción de di e sas jugadas y posiciones. Gana el juego el p ime o que consigue gana doce pa idas de doce pun os cada una. El able o en el que se juega es simila a uno de backgammon que cons a de 24 lechas, en en adas las pun as, 12 con a 12, di ididas cada una de esas 12, además, po una ba a que deja 6 lechas a cada lado de la misma. Cada jugado dispone de 15 ichas (damas), 2 dados y un cubile e. Los pun os se ano an con es ANALES DE ECONOMÍA APLICADA 2016, NÚM. XXX Anales de Economia Aplicada XXX, 2016, pp. 1143 – 1151. ISSN: 2174-3088 1145 discos, llamados en el a go del juego “je ons de b edouille”, y cada pa ida que se gana es ano ada median e una cla ija (“ iche ”), pequeña bande ola, que se in oduce en uno de los 12 aguje os, “ ous” en es e a go , que hay en los dos bo des del able o co espondien es a los dos jugado es que compi en. Añadimos una imagen que in en a ep esen a lo mejo posible lo que e a un able o de ic ac. Los dos con endien es usan ichas blancas o neg as. La a ibución del colo de las ichas a los jugado es se hace po común acue do, aunque ambién pod ía in e eni un so eo. En la pa e supe io las doce lechas (a las que ambién se les llama “case”, que pod íamos aduci como “compa imen o”), con pun a hacia abajo, que co esponde al jugado que juega con ichas neg as y que ep esen an las 12 casillas donde se mue en, y que han sido nume adas desde N1 has a N12. De igual o ma, en la pa e in e io y con lechas con pun as hacia a iba, las 12 lechas o compa imen os co espondien es a las ichas blancas, y nume adas desde B1 has a B12. El able o, a su ez se di ide en cua o cuad an es donde alguno de ellos iene dos denominaciones, según el pun o de is a de cada jugado . Así,  Desde N1 has a N6, pa a el jugado con neg as se llama “pe i jan” y pa a el jugado con blancas “jan de e ou ” (se c ee que la palab a “jan” ue omada del dios omano Janus, dios de dos ca as)  Desde N7 has a N12, “g and jan” pa a el jugado con neg as.  Desde B1 has a B6, “jan de e ou ” pa a el jugado con neg as, y “pe i jan” pa a el jugado con blancas.  Desde B7 has a B12, “g and jan” pa a el jugado con blancas. 15 ichas neg as N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9 N10 N11 N12 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 15 ichas blancas Figu a 1. Imi ación de able o de ic ac. Pa a cada jugado , el pun o o lecha 1 es el alón o s ock. El juego se inicia con odas las ichas o damas (15 en o al) de cada jugado en su alón. El pun o 12 es el “coin de epos” ( incón de eposo). Es el pun o más di ícil de alcanza dado que hay eglas especiales que limi an el mo imien o de las ichas a es e pun o. El pun o 8 es el del “diablo”, dado que po expe iencia es el segundo pun o más di ícil de consegui . Y el pun o 11 el del “colegial” po que los jugado es no a os ienden a consegui lo demasiado p on o, lo cual les pe judica. Añadimos al ocabula io del T ic ac es as o as exp esiones: Jeu o dinai e y jeu de e ou : las ichas eco en un ci cui o que les hace i desde su alón has a su “coin de epos”, y después desde el coin de epos del ad e sa io has a llega has a su alón. A la p ime a pa e del eco ido se le llama Jeu o dinai e, y a la segunda jeu de e ou . Tene un case: ene al menos dos damas sob e la misma lecha. Tene un semi-case: ene una dama en unas lecha (es a es una si uación ulne able). Y ene un su case: es oda dama añadida a una lecha. Una lecha puede llega a ene has a 13 su cases. El jugado que lanza los dados anuncia en oz al a los pun os que esul an del lanzamien o y juega sus damas en unción de los mismos. El jugado mue e las ichas un núme o de cases LA RESOLUCIÓN DE MONTMORT (1708 Y 1713) DE PROBLEMAS RELACIONADOS CON EL JUEGO DE MESA CONOCIDO COMO TRICTRAC Anales de Economia Aplicada XXX, 2016, pp. 1143 – 1151. ISSN: 2174-3088 1146 que coincide con el esul ado del lanzamien o de los dos dados. Po ejemplo, si el jugado que iene neg as lanza 3-2, dicho jugado puede mo e una icha desde el case 1 al 4, y o a desde case 1 al 3. Al saca dos ichas o damas del alón se dice que es e jugado ha jugado “ ou à bas”. También pod ía habe jugado de es a o a o ma: mo e una dama desde el case has a el case 6, conocido como juga “ ou d’une”. El esul ado de un lanzamien o de dados es un “double ” si los dos núme os son iguales, y es un lanzamien o simple si los dos núme os son dis in os. Los nomb es que eciben los double son los que siguen:  As-as: beze .  2-2: doble dos.  3-3: e nes.  4-4: ca mes.  5-5: quines.  6-6: sonnez. Como se ha dicho, cada dado puede pe mi i desplaza una dama un núme o de lechas igual al núme o de pun os que mues a. Aho a bien, pa a que el desplazamien o sea posible es necesa io que la lecha de llegada no es é bloqueada, es deci , que no con enga una dama del ad e sa io. Va ias leyes pa a el mo imien o de ichas: Lois du Coin: Un jugado no puede mo e icha alguna al “coin de epos” del oponen e, aunque puede pasa sob e él. Tampoco puede mo e una única icha a su p opio “coin de epos”, si es á acío. El “coin de epos” debe se ocupado con dos ichas en un solo lanzamien o. Lois du Plein: Si un jugado iene al menos dos damas en cada uno de los seis pun os en el pe i jan (en las lechas desde una has a seis), en el g and jan (sie e has a doce) o en el jan de e ou (pun os uno has a seis del oponen e) se dice que el jugado llena una abla ( ai e un plein o empli ). Un jugado no puede llena la cua a abla (el g and jan del oponen e) po que no puede ocupa el coin de epos del oponen e. Lois de Re ou : Una icha no puede pa a en una lecha del g and o pe i jan del oponen e si el oponen e es aún capaz de llena la. Una icha puede pasa desde un pun o acío del g and jan del oponen e a un pun o acío en el pe i jan incluso si el oponen e es aún capaz de llena el g and jan. Lois de la So ie: Cuando un jugado iene odas las ichas en el Jan de e ou , el jugado puede comenza a qui a ichas del able o. El jugado puede e i a una icha desde el pun o de seis con un seis, y así sucesi amen e.Un jugado no puede mo e una icha con un núme o si el núme o se puede juga en el in e io del Jan de e ou . Así no se puede qui a una icha desde el pun o cinco con un cinco si hay una icha en el pun o seis que se puede juga has a el pun o uno. Se puede qui a una icha desde un pun o más bajo con un núme o al o si no hay ichas en el pun o que co esponde al núme o más al o. Po ejemplo, sin ichas en el pun o seis y ichas en el pun o cinco, un jugado puede e i a una icha desde el pun o cinco lanzando un seis. 3. PROBLEMA UNO DE MONTMORT Mon mo comienza a a a es e juego en la sección 148 (pág. 189) de su segunda edición. Comienza con es e pá a o en el que nos a isa de la en aja que puede supone pa a un jugado conoce las p obabilidades asociadas a cada jugada: Es muy ú il, pa a juga al T ic ac de mane a ag adable y con en aja, sabe en cada lanzamien o del dado, la espe anza que se iene o de ba i , o de llena , o de cub i alguna de sus damas po el lanzamien o que se a a e ec ua . Es o es ambién lo que conocen bien los buenos jugado es; pe o no es más que po una g an aplicación y mucho eje cicio que se pueda adqui i la cos umb e pa a el caso en que es un poco complicado. Po ejemplo, hay pocas pe sonas que puedan comp oba de un is azo que es ando dispues o su “pe i Jan”, así que en el lado A del T ic ac, ienen un lanzamien o pa a gana doce pun os, diez lanzamien os pa a gana ocho, es lanzamien os pa a gana seis, dieciséis lanzamien os pa a A NALES DE E CONOMÍA A PLICADA 2016, N ÚM . XXX Anales de Economia Aplicada XXX, 2016, pp. 1143 – 1151. ISSN: 2174-3088 1147 gana cua o y, po in, seis lanzamien os pa a no llena . Pe o lo que sob epasa ex emadamen e los conocimien os o dina ios de los Jugado es, y lo que sin emba go les se ía muy impo an e pa a juga bien las damas, y hace conclusiones a p opósi o, es pode conoce con exac i ud la espe anza que se dispone de ene un cie o núme o de lanzamien os sin ompe , o de a egla su juego de al o al mane a, en dos o a ios lanzamien os. Hay que ene en cuen a que el llenado del pe i jan le apo a al jugado cua o pun os en cada sen ido con lanzamien os simples, y seis pun os ambién en cada sen ido pa a los double . La imagen que se mues a es la que inco po a Mon mo en su a ado. Las e e encias que hace en la in oducción an e io co esponden con las ichas neg as. Lo que nos dice Mon mo se puede esumi en la abla que sigue: Tabla 1. Cálculo de chances en un p ime plan eamien o. Lanzamien os Núme o de lanzamien os Núme o de pun os 2-2 1 12 5-4, 5-2, 4-2, 4-1, 3-2, 4-5, 2-5, 2-4, 1-4, 2-3 10 8 5-5, 4-4, 1-1 3 6 6-5, 6-4, 6-2, 5-3, 5-1, 4-3, 3-1, 2-1, 5-6, 4-6, 2-6, 3-5, 1-5, 3-4, 1-3, 1-2 16 4 6-6, 3-3, 6-3, 6-1, 1-6, 3-6 6 0 Con es a in oducción, Mon mo plan ea y esuel e sus es p oblemas: El p ime o de ellos apa ece de es a o ma: PROBLEMA. PROPOSICIÓN XXII. Ped o apues a que coge á su “g and coin” en dos lanzamien os. Se pide lo que debe apos a pa a que la pa ida le sea igual. Figu a 2. Única imagen que p esen a Mon mo en su ex o sob e es e juego. Aquí Mon mo se plan ea que chances ha de consegui su “coin de epos” con dos p ime os lanzamien os del juego. Según las eglas del juego, el coin de epos sólo se puede hace con dos damas jun as, y que ambién se puede hace consiguiendo que las dos ichas caigan en el coin acío del ad e sa io (se dice en es e caso que se consigue “pa puissance”). En onces, el au o señala que hay es secuencias de dos lanzamien os que pe mi en hace el coin de epos:  6-5 seguido de 6-5.  5-5 seguido de 6-6.  6-6 seguido o bien de 5-5 o bien de 6-6 (en es e úl imo caso, “pa puissance”). En onces la p obabilidad asociada es: 22 11 12 7 36 36 36 36 36 36 1296  . LA RESOLUCIÓN DE MONTMORT (1708 Y 1713) DE PROBLEMAS RELACIONADOS CON EL JUEGO DE MESA CONOCIDO COMO TRICTRAC Anales de Economia Aplicada XXX, 2016, pp. 1143 – 1151. ISSN: 2174-3088 1148 4. PROBLEMA DOS DE MONTMORT En es e caso Mon mo se ija en las ichas blancas si uadas en la ilus ación an e io , suponiendo dicha posición. Y plan ea: PROBLEMA. PROPOSICIÓN XXIII. Es ando dispues as mis damas así como pa ece en el lado B del T ic ac, quie o sabe cuán o pod ía apos a po ene dos lanzamien os sin ompe . Se es á p egun ando cuál es la p obabilidad de que las blancas puedan juga dos lanzamien os sin ompe el “g and jan” Supongamos que las blancas no pueden pasa al o o lado del able o ( e Lois de e ou ). Si el esul ado de las blancas es 6-6, el único mo imien o es de B6 a B12. Los o os seis no pueden se jugados. Mon mo comienza haciendo es a ad e encia en la esolución de es e p oblema: Los aza es de los dos lanzamien os son aquí mezclados jun os, y no se deben conside a independien emen e el uno del o o. Tan en ajoso que pueda se mi p ime lanzamien o, es cla o que mi segundo puede hace me pe de ; y al con a io an des en ajoso como sea, no me qui a la espe anza de ene en el segundo lanzamien o. La mayo pa e de los lanzamien os de dados que pueda consegui en el p ime lanzamien o, di e si ican mi expec a i a pa a el acon ecimien o del segundo; pe o hay quien me deja una igual espe anza. Po ejemplo, me es indi e en e consegui en el p ime lanzamien o sonnés o cinco y as, o cua o y dos, seis es o cinco y cua o, y así. Pa a desen eda odo es o, es necesa io busca cuál es mi espe anza de ene en el segundo lanzamien o en odos los di e en es supues os de los di e en es lanzamien os del dado que yo pueda consegui en el p ime lanzamien o. La suma de odos es os aza es exp esa á mi sue e. Podemos cons ui la abla 2 que esume odo lo que Mon mo explica en la esolución de es e p oblema: Po an o, el jugado que juega con blancas puede p ese a el g and jan en 565 chances de un o al de 1296. ANALES DE ECONOMÍA APLICADA 2016, NÚM. XXX Anales de Economia Aplicada XXX, 2016, pp. 1143 – 1151. ISSN: 2174-3088 1149 Tabla 2. Cálculo de chances en el p oblema dos de Mon mo . Flecha P ime esul ado Chances de un o al de 36 Localización de las dos ichas después del p ime esul ado Segundo esul ado Chances de un o al de 36 P oduc o de ambas chances 1 6-5, 5-6 2 B12-B12 6-6 1 2 2 6-4, 5-5, 4-6 3 B11-B12 6-6, 6-1, 1-6 3 9 3 6-3, 3-6, 5-4, 4-5 4 B10-B12 6-6, 6-2, 2-6, 1-1, 6-1, 1-6 6 24 4 6-2, 2-6, 5-3, 3-5 4 B9-B12 6-6, 6-3, 3-6, 6-2, 2-6, 6-1, 1-6, 1-1, 2-1, 1-2 10 40 5 4-3, 3-4 2 B9-B11 6-6, 6-3, 3-6, 6-2, 2-6, 6-1, 3-1, 1-3, 1-6, 1-1, 2-1, 1-2 12 24 6 6-1, 1-6, 5-2, 2-5 4 B8-B12 6-6, 6-4, 4-6, 6-3, 3-6, 6-2, 2-6, 6-1, 3-1, 1-3, 1-6, 1-1, 2-1, 1-2, 2-2 15 60 7 6-6, 5-1, 1-5, 4-2, 2-4, 3-3 6 B7-B12 6-6, 6-5, 5-6, 6-4, 4-6, 6-3, 3-6, 6-2, 2-6, 6-1, 1-6, 4-1, 1-4, 3-2, 2-3, 3-1, 1-3, 2-1, 1-2, 2-2, 1-1 21 126 8 4-1, 1-4, 3-2, 2-3 4 B7-B11 6-6, 6-5, 5-6, 6-4, 4-6, 6-3, 3-6, 6-2, 2-6, 6-1, 1-6, 5-1 1-5, 4-1, 1-4, 3-2, 2-3, 3-1, 1-3, 2-1, 1-2, 2-2, 1-1 23 92 9 4-4 1 B10-B11 6-6, 6-2, 2-6, 6-1, 1-6, 2-1, 1-2, 1-1 8 8 10 3-1, 1-3, 2-2 3 B7-B10 6-6, 6-5, 5-6, 6-4, 4-6, 6-3, 3-6, 6-2, 2-6, 6-1, 1-6, 5-2, 2-5, 5-1 1-5, 4-2, 2-4, 4-1, 1-4, 3-2, 2-3, 3-1, 1-3, 2-1, 1-2, 2-2, 1-1 27 81 11 2-1, 1-2 2 B7-B9 6-6, 6-5, 5-6, 6-4, 4-6, 6-3, … 32 64 12 1-1 1 B7-B8 6-6, 6-5, 5-6, 6-4, 4-6, 6-3, … 35 35 To al 36 565 LA RESOLUCIÓN DE MONTMORT (1708 Y 1713) DE PROBLEMAS RELACIONADOS CON EL JUEGO DE MESA CONOCIDO COMO TRICTRAC Anales de Economia Aplicada XXX, 2016, pp. 1143 – 1151. ISSN: 2174-3088 1150 5. PROBLEMA TRES DE MONTMORT Después de su segundo p oblema, Mon mo in oduce una ad e encia: Es imposible en la mayo pa e de las si uaciones donde dos Jugado es pueden encon a se en el T ic ac, de e mina cuál es su sue e, y es ima con p ecisión de qué lado es á la en aja; pues además, la a iedad p odigiosa de las di e en es disposiciones posibles de las ein a damas, la mane a con ecuencia a bi a ia en que los Jugado es conducen su juego, es lo que decide casi siemp e la ganancia de la pa ida. Aho a bien, odo lo que depende de la an asía de los homb es no eniendo ninguna egla ija y ce e a, es á cla o que no se puede esol e cues ión alguna sob e el T ic ac, a menos que la mane a de juga no sea de e minada. Y en onces añade: El único p oblema que se puede esol e de una mane a gene al sob e el juego del T ic ac es es e: Encon a la sue e de dos Jugado es que es án en el jan de e o no, cualquie núme o de damas que engan aún po pasa , en cualquie luga en que se encuen en si uados. Doy aquí un ejemplo, que bas a á pa a hace conoce de qué mane a se pod ía encon a los demás casos más compues os. De es a o ma, en onces, el au o in oduce su e ce p oblema sob e T ic ac: PROBLEMA. PROPOSICIÓN XXIV. Ped o iene las es damas A, B, C po le an a , y Pablo las es damas D, E, F; aquél que en p ime luga hab á le an ado pasando odas sus damas, gana á. Se supone que es á Ped o po juga , se pide cuál es su en aja. Mon mo esuel e al es ilo de cómo lo había hecho Huygens (1657) en algunas p oposiciones de su a ado. Va c eando igualdades de alo ación del juego en las di e en es si uaciones que se an sucediendo has a llega a la alo ación buscada. El esumen de la secuencia es el que sigue: Cuando Ped o a a juga , iene ein icinco lanzamien os pa a pasa las dos más a asadas B y C, ocho pa a pasa las damas A y C, a sabe , seis y as, cinco y as, cua o y as, es y as; dos lanzamien os pa a pasa las damas A y B, y un lanzamien o solamen e pa a pasa B, a sabe , beze . Sea llamado S la sue e de Ped o cuando él a a juga , x su sue e cuando lle a dos y as, e y su sue e cuando él lle a de p ime lanzamien o beze . Se end á 33 2 36 A xy S   . El dine o del juego es llamado A. Se a a aho a de de e mina las incógni as x e y; pa a lle a lo a cabo, es necesa io señala que Ped o, no eniendo más po le an a que la Dama C, no puede ni pe de ni gana po el lanzamien o que juga á Pablo; pe o que su sue e se á di e en e según odos los di e en es lanzamien os que Pablo consegui á. Pues, po ejemplo, Pablo pasando de su p ime lanzamien o las dos damas E y F, si Ped o no pasa de su segundo lanzamien o la dama C, cie amen e hab á pe dido, en luga de lo que él pod ía gana aún si Pablo no hubiese pasado de su p ime lanzamien o más que las Damas E y D, o solamen e la Dama E. Sea en onces llamada u la sue e de Ped o cuando, habiendo conseguido de p ime lanzamien o dos y as, Pablo ha pasado de su segundo lanzamien o las damas E y F; h su sue e, cuando Pablo ha pasado las damas D y E; y su sue e, cuando Pablo ha pasado la dama E. Se end á 33 2 36 uh x . Pa a conoce el alo de u, se señala á que Ped o, no eniendo más que la Dama C po pasa , jugando su segundo lanzamien o, iene ein a y cinco lanzamien os pa a gana . Pa a conoce el alo de h, se obse a á que Ped o no eniendo más que la dama C po pasa , y Pablo no eniendo más que la dama F, Ped o al juga de nue o iene ein a y cinco ANALES DE ECONOMÍA APLICADA 2016, NÚM. XXX Anales de Economia Aplicada XXX, 2016, pp. 1143 – 1151. ISSN: 2174-3088 1151 lanzamien os pa a gana , y un lanzamien o pa a ene 1 36 A : pues supues o que Ped o jugando po segunda ez, consigue beze que es el único lanzamien o que puede impedi le gana , Pablo no ha ganado po es o; pod ía ambién consegui beze , en cuyo caso Ped o hab ía ganado. Pa a conoce el alo de , se iene cuidado de que Ped o no enga más que la Dama C, y Pablo las dos damas D y F po le an a , Ped o jugando po segunda ez, ein a y cinco lanzamien os pa a gana , y un lanzamien o pa a ene 4 36 A : pues Ped o, no ganando de su segundo lanzamien o, Pablo iene pa alelamen e cua o lanzamien os pa a no le an a odas sus damas, a sabe , beze , doble dos, dos y as. Se end á en onces 35 4 36 36 36 A A . Teniendo así de e minadas las incógni as u, h, , si se sus i uyen los alo es encon ados en la ecuación 33 2 36 uh x , se end á 45366 46656 x A. Aho a es necesa io de e mina el alo de y. Sea llamada q la sue e de Ped o cuando a a juga su segundo lanzamien o, y le quedan las damas A y C po le an a , y a Pablo la única dama D; p su sue e cuando le queda po le an a las damas A y C, y a Pablo la dama F; n su sue e cuando le queda po le an a las damas A y C, y a Pablo las damas D y F. Se end á 33 2 36 qpn y   . Se encon a á, po azonamien os pa ecidos a los que se han hecho pa a encon a el alo de x, 32 36 qA, 32 4 36 36 36 p AA , 32 4 4 36 36 36 nA A   ; y po consiguien e, 41496 46656 y A. Habiendo así de e minado los alo es de x y de y, se encon a á 46641 46656 SA. 6. CONCLUSIÓN Mon mo , siendo iel a sí mismo en oda su ob a, abo da con una alen ía imp esionan e la esolución de p oblemas asociados a un juego de ablas en el que la di e sidad de posibilidades es an amplia. Lógicamen e, siendo conscien e de ello, abo da sólo es p oblemas, que es lo que su capacidad de cálculo le pe mi e. La idea de las chance de dos dados es aba ya pe ec amen e consolidada, y la de alo ación de un juego a a és de lo que se debe apos a de mane a jus a ya enía de la época de Pascal. Con es as ideas y con un álgeb a adecuado, habiendo ya leído, ob iamen e, el a ado de Huygens, Mon mo se a e e con es os p oblemas y sale ic o ioso en el in en o. REFERENCIAS L’Académie uni e selle des jeux, à Pa is chez A. Cos e e à Lyon chez A. Le oy, 1802, . 3, su Gallica. p. 48-143 : ex e du Jeu du ic ac, Cha pen ie , Pa is, 1715. MONTMORT, P. R. DE (1713). Essay d’Analyse su les Jeux de Haza d. Seconde Edi ion. Re ûe e augmen ée de plusieu s Le e. Quillau Pa is. Rep in ed 1714. Published anonymously. Rep in ed by Chelsea, New Yo k, 1980. PÉREZ-HIDALGO, M. D., BASULTO-SANTOS, J., CAMUÑEZ-RUIZ, J. A. (2014). Le Jeu du T eize: las soluciones emp anas de Mon mo y Nicolás Be noulli al p oblema de las coincidencias. His o ia de la p obabilidad y la es adís ica (VII). Del a publicaciones, Mad id. TODHUNTER, I. (1865). A His o y o he o he Ma hema ical Theo y o P obabili y om he Time o Pascal o ha o Laplace. Macmillan, London. Rep in ed by Chelsea, New Yo k, 1949.