Control robusto de un sistema de dos rotores en cuadratura

CONTROL ROBUSTO DE UN SISTEMA DE DOS ROTORES EN CUADRATURA M.L´opez-Ma ´ınez, M.G.O ega y F.R.Rubio Dp o.Ingenie ´ıa de Sis emas y Au om´a ica. Uni e sidad de Se illa. Escuela Supe io de Ingenie os. Tel´e ono: +34 95 4487361. Fax: +34 95 4487340 co eo elec ´onico: {mlm,o ega, ubio}@ca uja.us.es Resumen En es e a ´ıculo se p esen a el dise˜no de un con ol H∞pa a un sis ema de dos o o es en cuad a u a. Es e sis ema se ca ac e iza po se mul i a iable (de 2 en adas y 2 salidas) al amen e no lineal y ue emen e acoplado. Se ha hecho uso de la eo ´ıa de H∞pa a sis emas lineales, aplic´andola al sis- ema linealizado median e ealimen aci´on. Palab as cla e: Con ol Robus o, Con ol H∞, Linealizaci´on po ealimen aci´on, Con ol Mul i- a iable, Doble Ro o . 1 INTRODUCCI ´ ON En es e a ´ıculo se p esen a un con olado obus- o dise˜nado pa a un sis ema no lineal mul i a ia- ble y ue emen e acoplado, que es ´a some ido a pe u baciones. Dicho sis ema ha sido linealizado po ealimen aci´on median e la ´ecnica cl´asica del con ol po pa calculado u ilizado en al ´ambi o de la ob´o ica. Debido a las ince idumb e exis en es en el mode- lo, se ha obse ado que el desacoplamien o del sis- ema no se p oduce en al a ecuencia, exis ien- do una ince idumb e en la din´amica del sis ema linealizado. Es e hecho jus i ica el dise˜no de un con olado obus o, eligiendo la eo ´ıa de con ol H∞g acias a sus buenas p opiedades de con ol an o desde el pun o de is a de obus ez como de compo amien o. El a ´ıculo es ´a es uc u ado de la siguien e mane a: en el apa ado 2 se desc ibe el sis ema. Seguidamen e, en la secci´on 3 se ealizan cie - as conside aciones sob e la linealizaci´on po pa calculado, desc ibiendo la iden i icaci´on lle ada a cabo en al a ecuencia del sis ema linealizado. A con inuaci´on, en el apa ado 4 se mues a c´omo se ha ealizado el dise˜no del con olado H∞. En la secci´on 5 se p esen an los dis in os esul ados. Finalmen e, en el apa ado 6 se mues an las con- clusiones. 2 DESCRIPCI ´ ON DEL SISTEMA El equipo empleado es un a ilugio mec´anico de dos g ados de libe ad ( e igu a 1) impulsado po el mo imien o de dos o o es en cuad a u a ([4]). Los g ados de libe ad son cabeceo y gui˜nada (ele- aci´on y o ien aci´on). Es e equipo se ca ac e i- za po se mul i a iable, no lineal y ue emen e acoplado. Figu a 1: Doble o o en cuad a u a. El modelado del sis ema, as´ı como el alo de los pa ´ame os u ilizados pueden se encon ados en [5]. 3 LINEALIZACI ´ ON POR REALIMENTACI ´ ON U ilizando el modelo no lineal del sis ema desa- ollado [5], se ha ealizado una linealizaci´on po ealimen aci´on u ilizando la ´ecnica del con ol po pa calculado empleada com´unmen e en el ´ambi o de la ob´o ica ([10]), ob eni´endose a su ez un desacoplamien o pa cial de las en adas y sali- das del sis ema linealizado. Debido a las ca ac e ´ıs icas de la linealizaci´on lle- ada a cabo y al uido que apa ece en los senso es a pa i de los cuales ealimen amos, se obse a que el desacoplamien o es an o peo con o me se Re e encia Linealización po Pa Calculado τ Adap ación ω Velocidades de las hélices Posiciones y Velocidades en O ien ación y Ele ación Con ol LQR Posiciones y Velocidades en O ien ación y Ele ación Sis ema Doble Ro o u Con ol en Velocidad de hélices A B Figu a 2: Linealizaci´on po Pa calculado y sis ema a iden i ica . a aumen ando la ecuencia de la se˜nal de e e en- cia del sis ema. Po an o, exis e una ince idum- b e en el g ado de desacoplamien o del sis ema, el cual depende de la ecuencia de las se˜nales, sien- do mayo dicha ince idumb e con o me aumen a la ecuencia de abajo del sis ema. A in de pode calcula un con olado obus o, se ha lle ado a cabo una iden i icaci´on del sis ema en al a ecuencia pa a aco a la ince idumb e sob e el modelo. El p ime incon enien e que su ge a la ho a de iden i ica el nue o sis ema esul an e de aplica el pa calculado (sis ema de A a B en la igu a 2) es que el ´es e es ines able en bucle abie o, po lo que no se puede hace una iden i icaci´on adicional. Pa a pode ealiza la iden i icaci´on, se ha ce ado el bucle de con ol median e un con olado LQR ( e igu a 2 p e iamen e dise˜nado en [5]). Se ha lle ado al sis ema a un pun o de abajo y se le ha aplicado una secuencia bina ia pseudo alea o ia (PRBS) en la e e encia de ampli ud cons an e y de pe ´ıodo a iable en e 0.02 s. y 1s ( ecuencia en e 1Hz y 50Hz). Es o se ha ealizado an o pa a la o ien aci´on (gui˜nada) como pa a la ele aci´on (cabeceo) ( e igu a 3). En el dise˜no del PRBS se ha enido en cuen a que el iempo de mues eo del sis ema es de T=0.01 s, y que el iempo de subida an e en adas en es- cal´on es del o den de segundos. Ba iendo es e ango de ecuencias se ga an iza la iqueza de la exci aci´on del sis ema pa a pode lle a a cabo la iden i icaci´on. Sin emba go, al es a el sis ema en bucle ce ado, la en ada depende de la salida a a ´es del con olado si uado en el lazo de eali- men aci´on. Po es a az´on, se ha inyec ado un uido blanco adicional en la en ada del sis ema a iden i ica , disminuyendo as´ı la co elaci´on en e las se˜nales de en ada y salida del sis ema. 10 15 20 25 30 35 40 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 PRBSxi Time ξ ( Ele ación - Cabeceo ) Figu a 3: Secuencia bina ia pseudo alea o ia. En la igu a 4 se mues a la espues a del sis ema al se some ido al PRBS jun o con el uido blan- co, habiendo lle ado p e iamen e al sis ema a un pun o de abajo. En es e caso, el pun o de a- bajo co esponde a 25oen ele aci´on (cabeceo) y −90oen o ien aci´on (gui˜nada). T as ealiza una se ie de expe imen os con el sis- ema linealizado se obse a que la espues a del mismo sigue es ando acoplada cuando la ecuen- cia de la se˜nal de en ada es ele ada, es o es, que sucesi os cambios b uscos en la en ada a ec an a las dos salidas. Po lo an o, la iden i icaci´on del sis ema en dicho ango de ecuencias da luga a una ma iz no diagonal de cua o unciones de ans e encia. Usando un algo i mo de iden i icaci´on mul i a- iable basado en a iables de es ado de o den 4 ([6]), el modelo ob enido, exp esado como ma iz de unciones de ans e encia, es el siguien e: G(s) = 1 d(s)  n11(s)n12(s) n21(s)n22(s) (1) 12 14 16 18 20 22 24 26 28 −140 −130 −120 −110 −100 −90 −80 −70 −60 −50 −40 he a−Time Time θ ( O ien ación - Guiñada ) 12 14 16 18 20 22 24 18 20 22 24 26 28 30 32 xi−Time Time ξ ( Ele ación - Cabeceo ) Figu a 4: Respues a del sis ema an e el PRBS. n11(s) = (−0.2537s4 −25.640s3 −15.640s2 −64.690s−0.2368) n21(s) = (−0.0001s4 −0.6141s3+43.160s2+125.700s+96.290) n12(s) = (−0.0014s4+ 0.350s3+ 0.5438s2 −6.1820s−3.0020) n22(s) = (−0.2959s4 −6.8510s3 −13.760s2+ 5.750s−4.070) d(s) = 180 π(1.000s4+ 3.8350s3+ 4.8540s2+ 5.5660s+ 1.1450) En la igu a 5 se mues a una compa a i a en e la espues a del sis ema eal y el sis ema simu- lado. Puede obse a se como ambas espues as (la del modelo y la ob enida expe imen almen e) son cuali a i amen e pa ecidas. Es e es el modelo que se a a usa pa a aco a la ince idumb e del sis ema, y a pa i de las cuales se ob end ´a un con olado H∞. 4 S´ INTESIS DEL CONTROLADOR H∞ Una con igu aci´on gene al pa a exp esa el p o- blema de con ol H∞puede mos a se en el dia- g ama de bloques ep esen ado en la igu a 6, donde P ep esen a a una plan a gene alizada, K ep esen a al con olado , ues la se˜nal de con ol, es el ec o de medidas, ωes el ec o de pe - u baciones ex e nas y zes el ec o obje i o cuya no ma se quie e hace peque˜na. 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Time Ele ación en G ados Salida Real y Simulada Real Simulada Figu a 5: Respues a del sis ema eal y del iden i- icado an e el PRBS. K(s) z u ωP(s) Figu a 6: Con igu aci´on gene al de con ol. Llamando Tzω a la ma iz de unciones de ans- e encia desde ωhas a z( e igu a 7), es a end ´a dada po la ans o maci´on lineal accional in e- io z=Tzωω=Fl(P, K)ω, donde Fl(P, K) = Pzω +PzuK(I−P uK)−1P ω. Seg´un el conoci- do Teo ema de la peque˜na ganancia ([11]), una condici´on su icien e pa a la es abilidad obus a del sis ema en bucle ce ado es que se cumpla kTzwk∞k4k∞<1, donde k·k∞ ep esen a a la no ma in ini o. Cuando es a es aplicada a una unci´on de ans e encia G, su exp esi´on es kGk∞≡supω¯σ(G(jw)) donde ¯σ(·) ep esen a el alo singula m´aximo. ∆(s) Tzω(s) y∆ u∆ Figu a 7: Con igu aci´on pa a Teo ema de la peque˜na ganancia. El algo i mo de s´ın esis u ilizado pa a el c´alculo del con olado de es a aplicaci´on es a basado en la soluci´on p esen ada en [3], y que es a implemen a- do en di e sos paque es de p og amas come ciales, como po ejemplo [1, 2]. A con inuaci´on se exponen los pasos que pe mi- i ´an lle a a cabo la s´ın esis del con olado : 4.1 CONFIGURACI ´ ON DE LA PLANTA AUMENTADA En la igu a 8 se p esen a un esquema de un sis- ema de con ol en bucle ce ado, en el que es ´an p esen es pe u baciones, d, y uidos en los sen- so es de medida. y d n u e Re e encia G Plan a K Con olado Figu a 8: Sis ema en bucle ce ado. Teniendo en cuen a las de iniciones: L(s) = G(s)·K(s) (2) S(s)=(I+L(s))−1(3) T(s) = L(s)·S(s) = I−S(s) (4) podemos exp esa la salida, el e o y la se˜nal de con ol como: y=T· +S·d−T·n(5) e=S·( +d)−T·n u=K·S·( −n−d) Pa a consegui que la salida siga la e e encia, in e esa que T(s) enga sus alo es singula es en o no a la unidad en baja ecuencia, y que ´es os sean peque˜nos en al a ecuencia. Po o o lado, in e esa que S(s) enga su alo es singu- la es peque˜nos en baja ecuencia. De es a o - ma ambi´en se consigue que el e o ienda a ce o. En cuan o a la se˜nal de con ol, in e esa que K(s)·S(s) sea al que no p oduzca sa u aci´on en los ac uado es. Pa a moldea S(s) y T(s), y calcula un con o- lado K(s), se an a in oduci unas unciones de ponde aci´on en el esquema de con ol, de o ma que la plan a queda aumen ada de la siguien e o - ma: Figu a 9: Plan a aumen ada P(s). La esoluci´on del p oblema H∞con es a con igu- aci´on ecibe el nomb e de p oblema de sensibili- dad mix a S/KS/T. La exp esi´on a minimiza en es e caso queda de la siguien e mane a: kTzw(S)k∞=       WS(s)·So(s) WU(s)·K(s)·So(s) WT(s)·To(s)      ∞ (6) 4.2 ESTIMACI ´ ON DE LA INCERTIDUMBRE MULTIPLICATIVA A LA SALIDA Pa a la es imaci´on de la ince idumb e del modelo espec o a la del sis ema se ha hecho uso de la ma iz de unciones de ans e encia iden i icada a esas ecuencias y del modelo linealizado que da luga a un in eg ado doble mul iplicando a una ma iz diagonal. Siguiendo el m´e odo explicado en [7], se ha ea- lizado una no malizaci´on el sis ema haciendo uso de las m´aximas se˜nales de con ol pe mi idas, Du, y de los m´aximos e o es pe mi idos, De. La no - malizaci´on se ealiza median e la exp esi´on: GN=D−1 e·G·Du(7) A con inuaci´on se es iman las ince idumb es no - malizadas espec o al sis ema nominal: Gnom(s) =   1 (s−ε)20 01 (s−ε)2  (8) donde el pa ´ame o εse ha in oducido pa a sol- en a p oblemas num´e icos. Se le ha dado un alo de 10−5. As´ı, pa a cada ecuencia se calcula ´a la ince - idumb e mul iplica i a a la salida del sis ema es- pec o al an e io modelo nominal median e la ex- p esi´on: Ems(s) = (GN(s)−GNnom(s))·G−1 Nnom(s) (9) donde se ha es ablecido la hip´o esis de que: G(s)−Gnom(s) = 1 d(s)  n11(s)n12(s) n21(s)n22(s) (10) En la igu a 10 se ha ep esen ado los alo es sin- gula es de Ems(jω) en la ecuencia. 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100101102 −250 −200 −150 −100 −50 0 50 ecuencia ( ad/s) V.S. (dB) σM(Ems) σm(Ems) 1 2 Figu a 10: Ince idumb e no malizada. C´alculo de la ma iz WT(s) La unci´on de ponde aci´on WT(s) es u ilizada pa a obus i ica al sis ema en e a ince idum- b es mul iplica i as. Se ha escogido WT(s) como una ma iz de unciones de ans e encia cuad a- da, diagonal y de dimensi´on la del n´ume o de sali- das del sis ema: WT(s) =   WT1(s) 0 0WT2(s) (11) Las unciones de su diagonal WT i(s) debe ´an se es ables, de ase m´ınima y de o ma que pa a cada ecuencia se cumpla que: |WT1(jω)| ≥ σ1(Ems(jω)) (12) |WT2(jω)| ≥ σ2(Ems(jω)) Hab ´a que asegu a se de que WT i(s) enga en al a ecuencia un m´odulo g ande pa a consegui que T(jω) enga un m´odulo peque˜no y pueda echaza uidos en los senso es. Se han dise˜nado las siguien es WT i(s): WT1(s) = s2 0.0001s2+ 0.02s+ 1 (13) WT2(s) = 0.1·s2 0.0001s2+ 0.02s+ 1 Como puede obse a se en la igu a 11, la elecci´on de es as unciones de ponde aci´on cumplen las es- icciones impues as en la exp esi´on (12). 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100101102 −250 −200 −150 −100 −50 0 50 100 ecuencia ( ad/s) V.S. (dB) σ1 σ2 W 1 W 2 Figu a 11: Ma iz de ponde aci´on WT(s). C´alculo de la ma iz WS(s) La ma iz WS(s) a a se u ilizada pa a impone condiciones de compo amien o sob e el sis ema. En conc e o, seg´un la ecuaci´on (5), in e esa que S(s) enga alo es singula es peque˜nos en baja e- cuencia pa a echaza pe u baciones a la salida y pa a educi el e o . Po ello los alo es singu- la es de WS(s) end ´an que se g andes en baja ecuencia. Se p opone WS(s)como una ma iz cuad ada y diagonal de dimensi´on el n´ume o de salidas del sis ema: WS(s) =   WS1(s) 0 0WS2(s) (14) donde las unciones de ans e encia de su diagonal han de cumpli que: |W−1 S1(jw)| ≥ σ1(S(jw)) (15) |W−1 S2(jw)| ≥ σ2(S(jw)) Se han p opues o unas WSi(s)de la o ma: WSi(s) = "N √αi·S+ 10(κi−1)·ωT S+N √βi·10(κi−1)·ωT#N (16) siendo ambas iguales ( e igu a 12), con los si- guien es alo es en los pa ´ame os: •αi= 0.5 : Ganancia en al a ecuencia. •βi= 1e−4: Ganancia en baja ecuencia. •ωT: F ecuencia de co e de WT1(s). •κi= 2 : De e mina la ecuencia de co e de la unci´on. •N= 1 : De e mina la pendien e de los polos y ce os. 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100101102 0 10 20 30 40 50 60 70 80 ecuencia ( ad/s) dB Ws1 Ws2 Figu a 12: Ma iz de ponde aci´on WS(s). C´alculo de la ma iz WU(s) El obje i o del uso de la unci´on WU(s)se ´a el de disminui la sob eoscilaci´on de la espues a empo- al a ec ando poco a la apidez del mismo. Asimis- mo, la inclusi´on de WUpe mi e e i a p oblemas num´e icos en el c´alculo del con olado . Se ha elegido como ma iz WU(s), una ma iz iden idad de dimensi´on el n´ume o de salidas. WU=  WU10 0WU2 =1 0 0 1 (17) 4.3 C ´ ALCULO DEL CONTROLADOR H∞ Siguiendo el m´e odo explicado en [7] se ha cal- culado el con olado H∞median e el algo i mo implemen ado en [1], en el que se ob iene un con- olado sub´op imo i e ando con un pa ´ame o γ. El con olado se ´a sin e izado en con inuo, dis- c e izado median e una ans o maci´on bilineal de Tus in con T=0.01s y, inalmen e, se ´a desesca- lado median e la ans o maci´on: K(z) = Du·b K(z)·D−1 e(18) donde DeyDuson las mismas ma ices que se u iliza on pa a escala el sis ema seg´un la ecuaci´on (7). El con olado esul an e iene dado po las siguien es exp esiones: K(z) = 1 dk(z)  nk11(z)nk12(z) nk21(z)nk22(z) (19) nk11(z) = ( 0.0272 z8−0.0872 z5+0.0820 z2+ +0.0183 z7−0.0858 z4+0.0647 z+ −0.0231 z6+0.0042 z3−0.0003 ) nk12(z) = ( 4.4327e−7z8−1.4239e−6z5+1.3444e−6z2+ +2.9551e−7z7−1.4030e−6z4+1.0601e−6z+ −3.7975e−7z6+6.8262e−8z3−4.9787e−9) nk21(z) = (−4.2110e−7z8+8.5055e−7z5+1.0962e−9z2+ −8.5723e−7z7+3.7413e−7z4+5.9606e−8z+ +3.5838e−8z6−5.2926e−8z3+1.0035e−8) nk22(z) = ( 0.03621 z8−0.07218 z5−0.00108 z2+ +0.07273 z7−0.03119 z4−0.00500 z+ −0.00310 z6+0.00445 z3−0.00084 ) dk = ( 1.0000 z8−3.8635 z5+5.5515 z2+ −3.4970 z7+0.9092 z4−0.3206 z+ +0.3463 z6−0.1469 z3+0.0209 ) 5 RESULTADOS DE SIMULACI ´ ON En es e apa ado se an a p esen a unas simu- laciones con el con olado dise˜nado u ilizando el modelo es imado del sis ema eal. La igu a 13 mues a la espues a dada po el sis- ema con ince idumb e an e a ios escalones da- dos en las e e encias de gui˜nada (o ien aci´on) y cabeceo (ele aci´on). Po o o lado en la igu a 14 se ep esen an los alo es de la se˜nal de con ol del sis ema con in- ce idumb e en el acoplamien o. Un hecho impo - an e es que en la plan a eal se p oduce sa u aci´on 0 20 40 60 80 100 120 −1 0 1 2 3 4 5 6 7Sis ema con Ince idumb e Ángulo en g ados Tiempo ξ:Cabeceo−Ele ación θ: Guiñada−O ien ación Figu a 13: Respues a del sis ema nominal y del sis ema con ince idumb e. de los ac uado es cuando es a se˜nal de con ol su- pe a el alo de 0.5. Puede obse a se que se es ´a lejos de que se p oduzca es e en´omeno, po lo que se pod ´ıa hace el con ol algo m´as ag esi o sin p oblemas de sa u aci´on. 0 20 40 60 80 100 120 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 Sis ema con Ince idumb e Señal de con ol Tiempo ξ:Cabeceo−Ele ación θ: Guiñada−O ien ación Figu a 14: Se˜nal de con ol del sis ema con ince - idumb e en el acoplamien o. La igu a 15 p esen a un de alle en el que se obse - a el e ec o de acoplamien o en los cambios b us- cos de e e encia. De hecho, pa a el cambio de e e encia dado, el sis ema se compo a como un sis ema de ase no m´ınima. La explicaci´on ´ısica de es e en´omeno es la si- guien e: si se p opo ciona como e e encia un in- c emen o de ∆ξhacia a iba ( ´ease la igu a 16), se aduci ´a en un inc emen o de la elocidad del o o p incipal, ∆γ, en sen ido con a io a las agu- jas del eloj. Es o da ´a luga a un pa de eacci´on en sen ido con a io en O al ededo de Z0, p o o- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Sis ema con Ince idumb e Ángulo en g ados Tiempo ξ:Cabeceo−Ele ación θ: Guiñada−O ien ación Figu a 15: Respues a del sis ema no nominal. cando un desplazamien o en o ien aci´on ∆θ. Co- mo consecuencia, el sis ema aumen a ´a la eloci- dad del o o de cola ∆αen sen ido con a io a las agujas del eloj pa a con ola la o ien aci´on, p o ocando a su ez un pa de eacci´on de sen- ido con a io en A al ededo de X2. Es o da ´a luga , inicialmen e, a un desplazamien o ∆ξhacia abajo. Figu a 16: Sis emas de e e encia y nomencla u a. En la igu a 17 se mues an las se˜nales de con ol Al igual que suced´ıa an e io men e, se es ´a bas- an e lejos de los alo es que p oducen sa u aci´on en los ac uado es (0.6). 6 CONCLUSIONES Se ha ealizado un modelo lineal de la plan a en o no a un pun o de equilib io iden i icando din´amica de al a ecuencia, de la cual se ha ex- a´ıdo un compo amien o de acoplamien o del sis- ema, y elacionado con ´el, un compo amien o ´ıpico de los sis emas de ase no m´ınima. Se ha dise˜nado un con olado obus o lineal y mul i a iable pa a dicha plan a. Se ha is o co- mo el sis ema iden i icado, con ince idumb e en el acoplamien o, es con olado y consigue man ene 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Sis ema con Ince idumb e Señal de con ol Tiempo ξ:Cabeceo−Ele ación θ: Guiñada−O ien ación Figu a 17: Se˜nal de con ol del sis ema con ince - idumb e en el acoplamien o. las se˜nales de con ol den o del ango de alo es que asegu an la no sa u aci´on del sis ema. Se con- sigue es abilidad y compo amien o obus os. Po o o lado, se ha llegado a una soluci´on de com- p omiso en e apidez y compo amien o. Re e encias [1] Balas, G., Doyle, J., Glo e , K., Packa d, A. and Smi h, R. (1998). “µAnalysis Toolbox o use wi h Ma Lab”, The Ma hWo ks, Inc. [2] Chiang, Y. and Sa ono , R.(1998). “Robus Con ol Toolbox o use wi h Ma Lab”, The Ma hWo ks, Inc. [3] Doyle, J., G o e , K., Kha goneka , P. and F ancis, B. (1989). “S a e-Space Solu ions o S anda d H2and H∞Con ol P oblems”. IEEE T ans. on Au oma ic Con ol. Vol. 34, no. 8, pp. 831-846, Augus . [4] Feedback Ins umen s L d., (1996). “Twin Ro o Mimo Sys em : Ins alla ion and Com- missioning. Ge ing S a ed. Re e ence Man- ual. Ex e nal In e ace o Real Time Ke nel. Ad anced Teaching Manual I”. Pa k Road, C owbo ough, E. Sussex, TN6 2QR, UK. [5] L´opez-Ma ´ınez, M. (1998). “Modelo y con- ol LQR po Pa Calculado de un Sis ema Mec´anico de 2 GDL Impulsado po Dos H´elices”, P oyec o Final de Ca e a. 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