Teorema de Poncelet

FACULTAD DE MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE ÁLGEBRA Teorema de Poncelet Jesús López Sánchez Teorema de Poncelet Jesús López Sánchez Memoria presentada como parte de los requisitos para la obtención del título de Grado en Matemáticas por la Universidad de Sevilla. Prof. Tutor D. Manuel Jesús Gago Vargas 16 de junio de 2018 ´ Indice general Abstract vii Lista de s´ımbolos ix Introducci´on 11 1. Superficies de Riemann: Definiciones b´asicas 17 1.1. Cartas complejas y estructuras complejas ........... 17 1.2. Orientaci´on y g´enero ....................... 24 2. Morfismos entre superficies de Riemann 25 2.1. Morfismos ............................. 25 2.2. Teoremas sobre morfismos .................... 29 2.3. Isomorfismos del toro complejo ................. 32 3. Propiedades de los morfismos 37 3.1. Propiedades locales de los morfismos .............. 37 3.2. Propiedades globales de los morfismos ............. 40 3.2.1. Aplicaciones recubridoras ................ 40 3.2.2. Teorema de caracterizaci´on ............... 42 3.2.3. F´ormula de Hurwitz ................... 45 3.3. M´as ejemplos de superficies de Riemann ............ 45 3.3.1. Estructura heredada ................... 45 3.3.2. Suma conexa de superficies de Riemann ........ 46 4. Introducci´on a funciones el´ıpticas 53 4.1. Funciones el´ıpticas ........................ 53 4.2. La funci´on ℘de Weierstrass ................... 57 4.2.1. Ecuaci´on diferencial para ℘............... 60 4.3. Las funciones ζyσ........................ 61 v vi ´ Indice general 5. La funci´on modular 67 5.1. Las funciones g2, g3........................ 67 5.2. La funci´on modular J...................... 68 5.3. Regi´on fundamental para Γ ................... 70 5.4. Expansi´on de Fourier de J.................... 72 5.5. Valores de J............................ 75 5.6. Soluci´on al problema de inversi´on ................ 79 6. Curvas el´ıpticas 81 6.1. Curvas el´ıpticas .......................... 81 6.2. Modelos algebraicos ....................... 83 7. Teorema de Poncelet 87 7.1. Correspondencia de Poncelet .................. 87 7.2. Ecuaci´on algebraica para M................... 88 7.3. Estructura compleja en M.................... 90 7.4. Mes una curva el´ıptica ..................... 93 7.5. Los automorfismos σ, τ yη................... 96 7.6. Automorfismos involutivos del toro complejo ......... 97 7.7. Prueba del teorema de Poncelet ................. 99 A. La esfera de Riemann 101 B. Curvas algebraicas 105 C. Ecuaciones param´etricas de c´onicas lisas 107 D. Isomorfismo entre curvas hiperel´ıpticas 113 Bibliograf´ıa 118 Abstract Poncelet’s theorem is a famous result in projective geometry, dating to the early part of the nineteenth century. It concerns closed polygons inscribed in one conic and circumscribed about another. There are several proofs of the theorem, none of which are elementary. The proof of Poncelet’s theorem that we present in this work requires basic notions of Riemann surfaces, classic results of complex analysis and basic principles of projective geometry. It relates to the theory of elliptic curves and exploits the fact that such curves are endowed with an analytic group structure. vii Lista de s´ımbolos Nconjunto de n´umeros naturales Zconjunto de n´umeros enteros Rconjunto de n´umeros reales Cconjunto de n´umeros complejos C∗conjunto de n´umeros complejos no nulos b Cesfera de Riemann Hsemiplano superior abierto del plano complejo Re zparte real de un n´umero complejo z Im zparte imaginaria de un n´umero complejo z |z|valor absoluto de un n´umero complejo z B(z, ε){w∈C||w−z|< ε} ˙ B(z, ε){w∈C|0<|w−z|< ε} B(z, ε){w∈C||w−z| ≤ ε} P2plano proyectivo complejo C∗c´onica dual de la c´onica lisa C p∗haz de rectas a trav´es del punto p ∅conjunto vac´ıo #Acardinal del conjunto A int(A) interior topol´ogico del conjunto A A0derivado topol´ogico del conjunto A Aclausura topol´ogica del conjunto A A×B{(a, b)|a∈A, b ∈B} ix 16 Teorema de Poncelet Cap´ıtulo 1 Superficies de Riemann: Definiciones b´asicas Como se mencion´o en la introducci´on, la prueba del Teorema de Poncelet que presentamos en este documento usa nociones de superficies de Riemann. En este cap´ıtulo definiremos tales superficies, y tambi´en presentaremos varios ejemplos importantes de superficies de Riemann, las cuales ser´an usadas posteriormente. Adem´as, justificaremos que toda superficie de Riemann es una variedad diferenciable de dimensi´on 2 orientable, y concluiremos comentando sus consecuencias. 1.1. Cartas complejas y estructuras complejas Sea Xun espacio topol´ogico. Pretendemos que Xsea, localmente, como un abierto del plano complejo, as´ı nos permitir´a definir unas coordenadas complejas en cada punto de X. Definici´on 1.1. Una carta compleja, o simplemente carta, en Xes un homeomorfismo φ:U→V, donde U⊆Xes un abierto en X, y V⊆Ces un abierto en el plano complejo. Se denota por (U, φ). Si φ:U→Ves una carta compleja en X, al subconjunto abierto Use le denomina dominio de la carta φ. Adem´as, la carta φest´a centrada en p∈U si φ(p) = 0. Ejemplos 1.2. 1. En el plano real con la topolog´ıa euclidea Te, para cualquier abierto U⊆R2, la aplicaci´on φU:U→U, definida como φU(x, y) = x+iy, es una carta en R2. Es m´as, si (0,0) ∈U, entonces la carta φUest´a centrada en (0,0). 17 18 Superficies de Riemann 2. En la esfera de Riemann, definida en el ap´endice (A), consideremos los abiertos U1=C,U2=b C\{0}. Las aplicaciones φi:Ui→C, definidas como φ1(z) = z, φ2(z) = 1 z(donde 1 ∞:= 0), son cartas en b C. Observaciones 1.3. .Si φ:U→Ves una carta compleja en X, entonces para todo abierto U1⊆U, se verifica que φ|U1:U1→φ(U1) es una carta compleja en X, denominada subcarta de φ. .Si φ:U→Ves una carta compleja en X, y g:V→W⊆Ces una biyecci´on holoforma, donde Wes un abierto en el plano complejo, entonces la composici´on g◦φ:U→Wes una carta compleja en X. Definici´on 1.4. Dos cartas complejas φi:Ui→Vi,i= 1,2, en Xson compatibles si U1∩U2=∅, ´o U1∩U26=∅, y φ2◦φ−1 1:φ1(U1∩U2)→φ2(U1∩U2) es holomorfa. U1∩U2 U1U2 V1V2 φ1φ2 φ2◦φ−1 1 Figura 1.1: Compatibilidad de cartas complejas Observaciones 1.5. .Observe que la definici´on es sim´etrica, es decir, si U1∩U26=∅, y φ2◦φ−1 1:φ1(U1∩U2)→φ2(U1∩U2) 1. Definiciones b´asicas 19 es holomorfa, entonces φ1◦φ−1 2:φ2(U1∩U2)→φ1(U1∩U2) es holomorfa. Como consecuencia, se verifica que (φ2◦φ−1 1)0(z)6= 0,∀z∈φ1(U1∩U2). A la funci´on φ2◦φ−1 1se le denomina funci´on de transici´on entre las cartas complejas φ1yφ2. .Si φ:U→Ves una carta compleja en X, y g:V→W⊆Ces una biyecci´on holoforma, donde Wes un abierto en el plano complejo, entonces las cartas complejas φ,g◦φson compatibles. Es m´as, g◦φes compatible con cualquier carta compleja que sea compatible con φ. Definici´on 1.6. Un atlas complejo, o simplemente atlas, Aen Xes una colecci´on A={φα:Uα→Vα}de cartas complejas en X, compatibles dos a dos, cuyos dominios recubren a X, es decir, X=SαUα. Ejemplos 1.7. 1. En (R2,Te), la colecci´on A={φU:U→U|U⊆R2abierto}de cartas es un atlas en R2. 2. En (b C,Tc), la colecci´on A={φi:Ui→C|i= 1,2}de cartas es un atlas en b C. En efecto, pues U1∩U2=C∗,φ2◦φ−1 1(z)=1/z,∀z∈C∗. Definici´on 1.8. Dos atlas complejos A1,A2en Xson equivalentes si cada carta compleja de uno es compatible con cada carta compleja del otro. Evidentemente, dos atlas complejos en Xson equivalentes si y solo si su uni´on es un atlas complejo en X. Adem´as, puede probarse que todo atlas complejo en Xest´a contenido en un ´unico atlas complejo maximal. 1Luego, dos atlas complejos en Xson equivalentes si y solo si est´an contenidos en el mismo atlas complejo maximal. Definici´on 1.9. Una estructura compleja en Xes un atlas complejo maximal en X, o equivalentemente, una clase de equivalencia de atlas complejos en X. Dado que cualquier atlas determina una ´unica estructura compleja en X, est´a sera la manera habitual de definir una estructura compleja en X. 1Mediante una aplicaci´on del Lema de Zorn, se puede probar el resultado. 20 Superficies de Riemann Definici´on 1.10. Una superficie de Riemann es un espacio topol´ogico conexo, Hausdorff, no vac´ıo, dotado de una estructura compleja. Observaciones 1.11. .Sea Xuna superficie de Riemann, dotada de la estructura compleja determinada por un atlas A={φα:Uα→Vα}en X. Observe que para cualquier subconjunto abierto Y⊆Xse verifica que la colecci´on de subcartas AY={φα|Y∩Uα:Y∩Uα→φα(Y∩Uα)}es un atlas en Y. Como consecuencia, cualquier subconjunto abierto Y⊆X, conexo, no vac´ıo, es una superficie de Riemann. Su estructura compleja est´a determinada por AY. Observe que no depende del atlas representante A. .Si Xes una superficie de Riemann, entonces para cada punto p∈X existe una carta compleja φ:U→Ven X, con p∈U. Es m´as, podemos incluso garantizar la existencia de una carta centrada para cada punto p∈X. Como consecuencia, es f´acil probar que Xes localmente conexo por caminos. Por lo tanto, Xes conexo por caminos. .Si Xes una superficie de Riemann, entonces Xcumple el segundo axioma de numerabilidad (Teorema de Rad´o, [NR11, p.71]), es decir, existe una base numerable de abiertos en X. Ejemplos 1.12. 1. Observe que (R2,Te) es un espacio topol´ogico Hausdorff, conexo. Si dotamos a R2de la estructura compleja determinada por el atlas complejo constituido unicamente por la carta identidad (R2, φR2), esta superficie de Riemann se denomina plano complejo. Se denota por C. 2. Se verifica que (b C,Tc) es un espacio topol´ogico Hausdorff, conexo y compacto, pues b C∼ =S2. Si dotamos a b Cde la estructura compleja determinada por el atlas complejo A={φi:Ui→C|i= 1,2}, la superficie de Riemann resultante se denomina esfera compleja. Se denota por b C. 3. Sean w1, w2∈C, linealmente independientes sobre R. Consideremos el subconjunto de C, Λ = {m1w1+m2w2|m1, m2∈Z}. A Λ se le denomina ret´ıculo generado por w1, w2. Observe que Λ es cerrado y discreto. Adem´as, es subgrupo aditivo de C. Ahora, centr´emonos en el conjunto cociente C/Λ. Dotemos a C/Λ de la topolog´ıa cociente inducida por la proyecci´on π:C→C/Λ, esto es, G⊆C/Λ es abierto si y solo si π−1(G) es abierto en C. Con respecto 1. Definiciones b´asicas 21 0 w2 w1 Figura 1.2: Ret´ıculo generado por w1, w2 a esta topolog´ıa, πes continua, luego C/Λ es conexo. Observe que todo abierto en C/Λ es imagen de un abierto en C, pues U=π(π−1(U)),∀U⊆C/Λ, ya que πes sobreyectiva. Es m´as, πes una aplicaci´on abierta. En efecto, pues si V⊆Ces abierto, se verifica π−1(π(V)) = [ w∈Λ w+V. A continuaci´on, probaremos que C/Λ es Hausdorff. Sean z1+ Λ, z2+ Λ ∈C/Λ, tales que z2−z1/∈Λ. Se verifica que existe ε > 0, tal que B(w, ε)∩Λ = {w},∀w∈Λ. En efecto, pues dado que Λ es discreto, existe ε > 0 tal que B(0, ε)∩Λ = {0}. Como consecuencia, para cualquier w∈Λ, se verifica B(w, ε)∩Λ = {w}. 2Para cada w∈Λ, consideremos la bola B(w, ε 2). Observe que existe a lo m´as un ´unico w0∈Λ, tal que z2−z1∈B(w0,ε 2). Por lo tanto, η= ´ınf w∈Λ|(z2−z1)−w|> ε0, donde ε0=1 2|(z2−z1)−w0|. Concluimos que π(B(z1,η 2)), π(B(z2,η 2)) son abiertos disjuntos de z1+ Λ, z2+ Λ, respectivamente, en C/Λ. En efecto, pues si existiese z∈B(z1,η 2), w∈Λ, tales que z+w∈B(z2,η 2), se obtendr´ıa |(z2−z1)−w|≤|z2−(z+w)|+|z−z1| <η 2+η 2, que contradice la definici´on de η. Por ´ultimo, definamos un atlas complejo en C/Λ. Dado z∈C, consideremos la bola Bz=B(z, δ 4), donde δ= m´ın w∈Λ\{0}{|w|}. 3 2Recuerde que Λ es subgrupo aditivo de C. 3Sea r > 0, tal que w1∈B(0, r). Dado que las bolas B(w, ε 2), w∈Λ, son disjuntas, existe un n´umero finito de elementos de Λ \ {0}pertenecientes a la bola B(0, r). 22 Superficies de Riemann Observe que π|Bz:Bz→π(Bz) es un homeomorfismo. Denotemos por φza su homeomorfismo inverso. Probaremos que la colecci´on de cartas A={φz:π(Bz)→Bz|z∈C} es un atlas complejo en C/Λ. Evidentemente, C/Λ = Sz∈Cπ(Bz). Adem´as, dados z1, z2∈C, tales que π(Bz1)∩π(Bz2)6=∅, se verifica que existe a∈Ctal que φz2◦φ−1 z1(z) = z+a, ∀z∈S, donde S=φz1(π(Bz1)∩π(Bz2)). En efecto, pues ϕ(z) := φz2◦φ−1 z1(z)−z∈Λ,∀z∈S, y|ϕ(s1)−ϕ(s2)|< δ, para cualesquiera s1, s2∈S. Por lo tanto, existe a∈C, tal que ϕ(z) = a,∀z∈S. La superficie de Riemann resultante C/Λ se denomina toro complejo. Se trata de una supercie de Riemann compacta, ya que π(P) = C/Λ, donde P={λ1w1+λ2w2|λi∈[0,1]}. La presentaci´on de los siguientes ejemplos de superficies de Riemann usan el teorema de la funci´on impl´ıcita para polinomios. Enunci´emoslo. Teorema 1.13. Sea p∈C[z, w],(a, b)∈C2. Si p(a, b) = 0,pw(a, b)6= 0, entonces existen abiertos Va, Vb⊆C, con a∈Va,b∈Vb, y una funci´on g:Va→Vb, holomorfa en Va, tal que ∀(z, w)∈Va×Vb, p(z, w)=0 si, y solo si, w=g(z). En el ap´endice (B), precisamos la definiciones de curva algebraica lisa en C2y curva algebraica lisa en b C2. Ejemplos 1.14. 1. Sea γuna curva algebraica lisa en C2, definida por un polinomio p∈C[z, w]. Determinemos un atlas complejo en γ. Sea (a, b)∈γ. Supongamos que pw(a, b)6= 0. En tal caso, por el teorema anterior, existen abiertos Va, Vb⊆C, con a∈Va,b∈Vb, y una funci´on g:Va→Vb, holomorfa en Va, tal que ∀(z, w)∈Va×Vb,p(z, w)=0 si y solo si w=g(z). Por lo tanto, la aplicaci´on πz:U→Va, definida como πz(z, w) = z, donde U={(z, w)∈γ|z∈Va, w ∈Vb}, es una carta compleja en γ. Adem´as, observe que (a, b)∈U. La inversa de πzes π−1 z:Va→U,π−1 z(z) = (z, g(z)). An´alogamente, si suponemos 1. Definiciones b´asicas 23 pz(a, b)6= 0, entonces, como consecuencia del teorema anterior, existen abiertos V0 a, V 0 b⊆C, con a∈V0 a,b∈V0 b, y una funci´on h:V0 b→V0 a, holomorfa en V0 b, tal que ∀(z, w)∈V0 a×V0 b,p(z, w) = 0 si y solo si z=h(w). Luego, la aplicaci´on πw:U0→V0 b, definida como πw(z, w) = w, donde U0={(z, w)∈γ|z∈V0 a, w ∈V0 b}, es una carta compleja en γ. Observe que (a, b)∈U0. Adem´as, la inversa de πwes π−1 w:V0 b→U, π−1 w(w)=(h(w), w). Por hip´otesis, estas cartas complejas recubren a γ. 4 Veamos ahora la compatibilidad. Si ambas cartas provienen de proyectar sobre la misma variable, y sus dominios se cortan, entonces la funci´on de transici´on es la identidad. En cambio, si las cartas provienen de proyectar sobre distintas variables, esto es, πz:U→Va1,πz(z, w) = z, y πw:U0→V0 b2,πw(z, w) = w, y sus dominios se cortan, entonces πw◦π−1 z:πz(U∩U0)→πw(U∩U0) est´a definida como πw◦π−1 z(z) = g(z). Dotemos a γde la estructura compleja que determina el atlas obtenido. Supuesto que pes irreducible, se verifica que γes un espacio topol´ogico conexo por caminos. Adem´as, γes Hausdorff, pues C2lo es, luego bajo est´a ´ultima hip´otesis, obtenemos una superficie de Riemann, denominada curva plana af´ın. Observe que no es compacta, pues γno es un subconjunto acotado de C2. 2. Sea γuna curva algebraica lisa en b C2, definida por un polinomio p∈C[z, w]. Consideremos los polinomios q=zmp(1/z, w), r=wnp(z, 1/w), s=zmwnp(1/z, 1/w), donde m= degzp,n= degwp. Determinemos un atlas complejo en γ. Las cartas del atlas con dominio en C2est´an definidas como en el ejemplo anterior. Ahora, necesitamos aumentar nuestra colecci´on de cartas, para garantizar que recubran a γ. Supongamos que (∞, b)∈γ, con b6=∞. El homeomorfismo involutivo Q:b C2→b C2, definido como Q(z, w) = (1/z, w),∀(z, w)∈b C2, env´ıa la curva algebraica lisa γen la curva algebraica lisa γ1, la cual viene determinada por el polinomio q. Observe que Q(∞, b) = (0, b)∈γ1. Adem´as, se verifica que qz(0, b)6= 0, ´o qw(0, b)6= 0. Actuando como en el ejemplo anterior, determinemos una carta φ:U→V, con (0, b)∈U. Observe que φ◦Q|Q−1(U)es una carta compleja en γ, con (∞, b)∈Q−1(U). 4Es perfectamente posible que sobre un punto haya definidas dos cartas complejas. 24 Superficies de Riemann An´alogamente, se determinan cartas complejas en γsobre los puntos (a, ∞), con a6=∞, (∞,∞), usando respectivamente los homeomorfismos involutivos R, S :b C2→b C2, definidos como R(z, w) = (z, 1/w), S(z, w) = (1/z, 1/w),∀(z, w)∈b C2. La prueba de la compatibilidad de las cartas es omitida, y se deja como ejercicio para el lector. Dotemos a γde la estructura compleja que determina el atlas obtenido. De nuevo, supuesto que pes irreducible, se verifica que γes un espacio topol´ogico conexo por caminos. Adem´as, γes Hausdorff, luego bajo la hip´otesis de irreducibilidad, obtenemos una superficie de Riemann, denominada curva algebraica lisa en b C2. Observe que se trata de una superficie de Riemann compacta, pues γes un subconjunto cerrado de b C2. 1.2. Orientaci´on y g´enero Sea Ω ⊆Cabierto, y f: Ω →Cuna funci´on holomorfa en Ω. Consideremos las aplicaciones u, v : Ω →R, definidas como u(x, y) = Re f(z), v(x, y) = Im f(z),∀z=x+iy ∈Ω. Observe que ambas aplicaciones son de clase C∞. Adem´as, como fes holomorfa en Ω, se verifican las ecuaciones de Cauchy-Riemann, es decir, ∂u ∂x =∂v ∂y, ∂u ∂y =−∂v ∂x. Por lo tanto, si f0=∂u ∂x +i∂v ∂x 6= 0 en Ω, entonces det ∂u ∂x ∂u ∂y ∂v ∂x ∂v ∂y !=∂u ∂x2 +∂u ∂y 2 >0. Como consecuencia de los razonamientos anteriores, si Xes una superficie de Riemann dotada de la estructura compleja A, entonces Xes una variedad diferenciable de dimensi´on 2 orientable. En efecto, pues Aes un atlas diferenciable orientado. Por lo tanto, si adem´as suponemos que Xes una superficie de Riemann compacta, entonces podemos usar el teorema de clasificaci´on de superficies: Toda superficie compacta, conexa y orientable es homeomorfa a una esfera con gasas. El n´umero ges un invariante topol´ogico y se denomina el g´enero de la superficie. Si g= 0, la superficie es una esfera. Si g≥1, la superficie se obtiene pegando gasas a la esfera. Al n´umero χ= 2 −2gse le denomina caracter´ıstica de Euler-Poincare. Cap´ıtulo 2 Morfismos entre superficies de Riemann Como es habitual en Matem´aticas, una vez definido los objetos con lo que vamos a tratar, el siguiente paso natural es definir cu´ales son las aplicaciones interesantes o morfismos entre tales objetos. En este cap´ıtulo, precisaremos cuales ser´an las aplicaciones interesantes entre superficies de Riemann. Adem´as, presentamos varios resultados esenciales sobre tales aplicaciones. Finalizamos determinando los isomorfismos del toro complejo. A lo largo de todo el cap´ıtulo, salvo que se mencione otra cosa, X, Y, Z denotar´an superficies de Riemann. 2.1. Morfismos Comencemos definiendo las aplicaciones de inter´es entre superficies de Riemann. Definici´on 2.1. Sea W⊆Xabierto. Una aplicaci´on F:W→Yes un morfismo u holomorfa en p∈Wsi existen cartas φ1:U1→V1en X, φ2:U2→V2en Y, con p∈U1,F(p)∈U2, que garantizan la existencia de un abierto G⊆W∩U1, con p∈G,F(G)⊆U2, tal que la composici´on φ2◦F◦φ−1 1:φ1(G)→C es holomorfa en φ1(G). 1 Una aplicaci´on F:W→Yes un morfismo u holomorfa en un abierto U⊆Wsi lo es cada punto de U. 1Observe que si Fes continua en p, entonces, para cualesquiera abiertos U1⊆X, U2⊆Y, con p∈U1, F(p)∈U2, existe un abierto G⊆W∩U1, con p∈G, tal que F(G)⊆U2. 25 32 Superficies de Riemann φ2◦F◦φ−1 1(0) = 0. Adem´as, φ2◦F◦φ−1 1no es identicamente nula, pues existe p0∈U1, tal que F(p0)6=q. 5Como consecuencia de (2.9), obtenemos que existe ε > 0, tal que B(0, ε)⊆V1, y φ2◦F◦φ−1 1(z)6= 0,∀z∈˙ B(0, ε). Luego, φ−1 1(B(0, ε)) ∩F−1(q) = {p}. Si Xes compacta, entonces Fes sobreyectiva. Adem´as, si q∈Yentonces F−1(q) es compacto y discreto, por lo que F−1(q) es finito. Corolario 2.18. Sea q∈Y. Si F:X→Yes un morfismo, tal que F−1(q)(X, entonces F−1(q)es un subconjunto discreto de X. Por ´ultimo, presentamos un teorema de gran utilidad que nos permitir´a probar que ciertas aplicaciones son morfismos. Teorema 2.19. Sea F:X→Yuna aplicaci´on continua, y A⊆Xun conjunto finito. Si Fes holomorfa en X\A, entonces Fes morfismo. Prueba: Sea p∈A. Observe que existen cartas φ1:U1→V1en X,φ2: U2→V2en Y, con p∈U1,F(p)∈U2, tales que U1∩A={p}, y F(U1)⊆U2. Consideremos la composici´on φ2◦F◦φ−1 1:V1→C. Por hip´otesis, es continua en V1y holomorfa en V1\{φ1(p)}. Por lo tanto, φ2◦F◦φ−1 1es holomorfa en V1, como consecuencia del teorema de singularidad evitable de Riemann. 2.3. Isomorfismos del toro complejo En esta ´ultima secci´on, nos proponemos determinar los isomorfismos del toro complejo. Con tal fin, comencemos enunciando un resultado de An´alisis Complejo que describe cuales son los automorfismos de C∗,C,yb C. Teorema 2.20. Los automorfismos de C∗,C,yb Cson, respectivamente: 1. G(z) = az ´o G(z) = a z,a6= 0. 2. G(z) = az +b,a6= 0. 3. G(z) = az+b cz+d, con ad −bc 6= 0. Prueba: Probaremos solamente el primer caso, que es quiz´as menos conocido. Los dos ´ultimos casos pueden ser consultados en [BGLA10, p.238]. 5Note que U0 16=∅. 2. Morfismos entre superficies de Riemann 33 Fijado a∈C,a6= 0, es rutinario comprobar que tanto G(z) = az como G(z) = a/z son automorfismos de C∗. Rec´ıprocamente, sea G ∈ Aut(C∗). Observe que |G(z)| 6= 1, ∀z∈˙ B(0, ε), donde ε= ´ınf |w|=1|G−1(w)|>0. Por lo tanto, |G(z)|<1, ∀z∈˙ B(0, ε), ´o |G(z)|>1, ∀z∈˙ B(0, ε), pues la bola punteada ˙ B(0, ε) es conexa por caminos. Supongamos que |G(z)|<1, ∀z∈˙ B(0, ε). En tal caso, por el teorema de singularidad evitable de Riemann, existe G1:C→Cholomorfa, tal que G1(z) = G(z), ∀z∈C∗. Es m´as, se verifica que G1(0) = 0. En efecto, pues si (zn) es una sucesi´on en C∗, tal que l´ım n→∞zn= 0, entonces (G(zn)) es una sucesi´on en C∗, tal que l´ım n→∞G(zn) = G1(0). Como consecuencia, obtenemos que G1(z) = az,∀z∈C, con a∈C,a6= 0. Ahora, supongamos que |G(z)|>1, ∀z∈˙ B(0, ε). En tal caso, G∗:C∗→C∗, definida como G∗(z) = 1 G(z),∀z∈C∗, es un automorfismo de C∗. Adem´as, |G∗(z)|<1, ∀z∈˙ B(0, ε). Por lo tanto, aplicando el razonamiento anterior, obtenemos G∗(z) = az,∀z∈C∗, con a∈C,a6= 0. Sean Ti=C/Λi,i= 1,2, dos toros complejos, donde Λ1,Λ2⊆Cson ret´ıculos arbitrarios. Teorema 2.21. Sea F:T1→T2un isomorfismo, tal que F(p1) = p2, con pi∈Ti. Si πi(zi) = pi, con zi∈C, entonces existe un ´unico automorfismo Gde C, tal que G(z1) = z2, y F◦π1(z) = π2◦G(z),∀z∈C, es decir, el siguiente diagrama es conmutativo: CG// π1  C π2  T1F//T2 Prueba: [Fla09, p.226] El automorfismo Gest´a determinado por la condici´on G(z1) = z2. Observe que si z≡z0(m´od Λ1), entonces G(z)≡ G(z0) (m´od Λ2). Como consecuencia de los resultados anteriores, obtenemos la siguiente caracterizaci´on. 34 Superficies de Riemann Teorema 2.22. Si T1∼ =T2, entonces existe α∈C, tal que Λ2=αΛ1. Rec´ıprocamente, si existe α∈C, tal que Λ2=αΛ1, entonces T1∼ =T2. Adem´as, los isomorfismos de T1aT2son F(z+ Λ1) = αz +β+ Λ2,6 con α, β ∈C,Λ2=αΛ1. Prueba: Si F:T1→T2es un isomorfismo, por (2.21), existe un automorfismo Gde C, tal que F◦π1(z) = π2◦G(z),∀z∈C. Adem´as, por (2.20), se verifica que G(z) = αz +β, con α, β ∈C, α 6= 0. Luego F(z+ Λ1) = αz +β+ Λ2,∀z∈C. Como consecuencia, si z∈Λ1, entonces αz ∈Λ2, pues F(z+ Λ1) = F(Λ1) = β+ Λ2. Para la contenci´on contraria, observe F−1◦π2(z) = π1◦G−1(z),∀z∈C, con G−1(z) = z/α −β/α. Actuando de manera an´aloga, es f´acil deducir α−1Λ2⊆Λ1. Ahora, supongamos que existe α∈C, tal que Λ2=αΛ1, y probemos que F:T1→T2, definida como F(z+ Λ1) = αz +β+ Λ2,∀z∈C, con β∈C, es un isomorfismo. Observe que F(w−β α+ Λ1) = w+ Λ2,∀w∈C, luego Fes sobreyectiva. Adem´as, si F(z1+ Λ1) = F(z2+ Λ1), con zi∈C, entonces α(z1−z2)∈Λ2. Como Λ2=αΛ1, deducimos z1−z2∈Λ1. Por lo tanto, Fes inyectiva. Por ´ultimo, sea z0+ Λ1∈T1, y consideremos las cartas complejas φz0:π1(Bz0)→Bz0en T1,φw0:π2(Bw0)→Bw0en T2, con w0=αz0+β. Por continuidad, existe un abierto V0⊆Bz0, con z0∈V0, tal que αz +β∈Bw0,∀z∈V0, luego φw0◦F◦(φz0)−1(z) = αz +β, ∀z∈V0. Sea Λ ⊆Cun ret´ıculo arbitrario, y consideremos el toro complejo T=C/Λ. 6Observe que las aplicaciones est´an bien definidas, es decir, no depende del representante elegido. 2. Morfismos entre superficies de Riemann 35 Corolario 2.23. Los automorfismos de Tson G(z+ Λ) = αz +β+ Λ, con α, β ∈C,αΛ=Λ. Los automorfismos de Tsin puntos fijos son G(z+ Λ) = z+β+ Λ, con β∈C\Λ. Prueba: Por (2.22), con Λ1,Λ2= Λ, deducimos que los automorfismos de Tson G(z+ Λ) = αz +β+ Λ, con α, β ∈C, αΛ = Λ. Ahora, si exigimos que no existan punto fijos, entonces α= 1, pues en caso contrario, F(z0+ Λ) = z0+ Λ, donde z0=β 1−α. Por ´ultimo, observe que si β∈C\Λ, entonces el automorfismo G(z+Λ) = z+β+Λ no tiene puntos fijos. 36 Superficies de Riemann Cap´ıtulo 3 Propiedades de los morfismos En este tercer cap´ıtulo de superficies de Riemann estudiaremos propiedades de los morfismos, tanto locales como globales. Tales propiedades, nos permitir´an introducir el concepto de punto de ramificaci´on de un morfismo no constante, y de recubrimiento ramificado. Adem´as, presentamos dos m´etodos para construir nuevas superficies de Riemann a partir de otras ya existentes, y concluiremos incluyendo nuevos ejemplos notables de superficies de Riemann. 3.1. Propiedades locales de los morfismos En esta primera secci´on nos centramos en estudiar las propiedades locales de los morfismos. Comencemos enunciando dos resultados de an´alisis complejo, a saber, el teorema de la funci´on inversa y el teorema de existencia de ra´ız m-´esima. Teorema 3.1. Sea Ω⊆Cabierto, z0∈Ω. Si f: Ω →Ces una funci´on holomorfa en Ω, tal que f0(z0)6= 0, entonces existen abiertos V⊆Ω, W ⊆C, con z0∈V,w0=f(z0)∈W, tales que festablece una biyecci´on entre Vy W. Adem´as, f−1:W→Ves derivable en w0, y se verifica que (f−1)0(w0) = 1 f0(z0). Teorema 3.2. Sea Ω⊆Cabierto, z0∈Ω. Si f: Ω →Ces una funci´on holomorfa en Ω, tal que f(z0)6= 0, entonces para todo entero m≥1, existe un abierto V⊆Ω, con z0∈V, y una funci´on g:V→Cholomorfa en V, tal que f(z) = g(z)m,∀z∈V. En adelante, salvo que se indique otra cosa, X, Y denotar´an superficies de 37 38 Superficies de Riemann Riemann. Como consecuencia de los dos teoremas anteriores obtenemos el siguiente resultado, conocido como Teorema de Forma Local. Teorema 3.3. Si F:X→Yes un morfismo en p∈X, no constante, entonces existe un ´unico entero m≥1, que satisface la siguiente propiedad: Para toda carta (U2, φ2)en Y, centrada en q=F(p), existe una carta (U1, φ1)en X, centrada en p, con F(U1)⊆U2, tal que φ2◦F◦φ−1 1(z) = zm,∀z∈φ1(U1). Prueba: Sea φ2:U2→V2una carta en Y, con q∈U2, tal que φ2(q) = 0. Como Fes morfismo en p, existe una carta φ1:U1→V1en X, centrada en p, tal que F(U1)⊆U2, y la composici´on φ2◦F◦φ−1 1 | {z } h :V1→C es holomorfa en V1. Sea ε > 0, tal que B(0, ε)⊆V1. Si (an)n≥0son los coeficientes de la serie de potencias centrada en 0, tal que h(w) = ∞ X n=0 anwn∀w∈B(0, ε), entonces a0= 0, pues h(0) = 0. Por lo tanto, h(w) = wmf(w)∀w∈B(0, ε), donde m= m´ın{n∈N|an6= 0},1f:B(0, ε)→C, f(w) = ∞ X n=m anwn−m. Observe que fes holomorfa en B(0, ε), f(0) 6= 0. Por (3.2), existe un abierto V⊆B(0, ε), con 0 ∈V, y una funci´on g:V→Cholomorfa en V, tal que f(w) = g(w)m,∀w∈V. Luego h(w) = (wg(w))m,∀w∈V. Sea ψ:V→C, definida como ψ(w) = wg(w),∀w∈V. Como ψ0(0) 6= 0, por el teorema de la funci´on inversa, existen abiertos C⊆V,D⊆C, tales que 0 ∈C,ψ(0) ∈D, y ψestablece una biyecci´on entre CyD. Consideremos la carta compleja ϕ1=ψ|C◦φ1|φ−1 1(C)en X. Observe que φ2(F(ϕ−1 1(ψ(w)))) = (wg(w))m = (ψ(w))m,∀w∈C, 1Note que hno es identicamente nula, pues Fno es constante, y U0 16=∅. 3. Propiedades de los morfismos 39 luego φ2(F(ϕ−1 1(z)) = zm,∀z∈D. Ahora, sea δ > 0, tal que B=B(0, δ)⊆D. Observe que F(ϕ−1 1(z)) = φ−1 2(zm), z ∈B. Consideremos los abiertos ϕ−1 1(B)⊆X,F(ϕ−1 1(B)) ⊆Y. Como consecuencia de la anterior igualdad, dado q0∈F(ϕ−1 1(B)), con q06=q, se verifica que existen mpreim´agenes en ϕ−1 1(B) de q0. Se obtiene as´ı la unicidad del entero m≥1, pues est´a determinado por las propiedades topol´ogicas de la aplicaci´on en un entorno de p. Definici´on 3.4. Sea F:X→Yun morfismo en p∈X, no constante. Se define la multiplicidad de Fen p, o ´ındice de ramificaci´on de Fen p, como el ´unico entero m≥1, que satisface la propiedad enunciada en el teorema anterior. Se denota por ep(F). Ejemplos 3.5. 1. Si Id:X→Xes la aplicaci´on identidad, entonces ep(Id)=1,∀p∈X. 2. Sea f:C→C, definida como f(z) = zm,m∈N. Observe que la multiplicidad de fen 0 es m. En cambio, ep(f) = 1 para todo z∈C∗. Proposici´on 3.6. Sea F:X→Yun morfismo no constante, p∈X. Son equivalentes: 1. ep(F)=1 2. Fes un isomorfismo local en p, es decir, existen abiertos conexos U0⊆X, con p∈U0, y V0⊆Y, con q=F(p)∈V0, tales que F|U0:U0→V0es un isomorfismo. Prueba: Supongamos ep(F) = 1, y consideremos una carta φ2:U2→V2 en Y, centrada en q. Por (3.3), existe una carta φ1:U1→V1en X, centrada en p, con U1⊆Xconexo, F(U1)⊆U2, tal que φ2◦F◦φ−1 1(z) = z, ∀z∈V1. Por lo tanto, F|U1:U1→F(U1) es un isomorfismo. Supongamos ahora que existen abiertos conexos U0⊆X, con p∈U0, y V0⊆Y, con q∈V0, tales que F|U0:U0→V0es un isomorfismo. Consideremos una carta φ2:U2→V2en Y, centrada en q. De nuevo, por (3.3), existe una carta φ1:U1→V1en X, centrada en p, con U1⊆U0,F(U1)⊆U2, tal que φ2◦F◦φ−1 1(z) = zm,∀z∈V1, 40 Superficies de Riemann donde m=ep(F). Por inyectividad, necesariamente m= 1. Existe una forma f´acil de calcular el ´ındice de ramificaci´on sin necesidad de utilizar cartas centradas. Sea F:X→Yun morfismo no constante, p∈X. Como Fes morfismo en p, existen cartas φ1:U1→V1en X,φ2:U2→V2 en Y, con p∈U1,F(p)∈U2, tales que F(U1)⊆U2, y la composici´on φ2◦F◦φ−1 1 | {z } h :V1→C es holomorfa en V1. Entonces, ep(F) = m´ın{n∈N|hn)(z0)6= 0},2 donde hn)es la derivada n-´esima de h, y z0=φ1(p). Como consecuencia, si ep(F)>1, entonces existe un abierto U⊆X, con p∈U, tal que ep0(F) = 1, para todo p0∈U\{p}. En efecto, pues existe ε > 0, tal que B(z0, ε)⊆V1, yh0(z)6= 0, ∀z∈˙ B(z0, ε). Definici´on 3.7. Sea F:X→Yun morfismo no constante. Un punto p∈Xes un punto de ramificaci´on de Fsi ep(F)>1. Un punto y∈Yes un punto rama de Fsi es la imagen de un punto de ramificaci´on de F. Como consecuencia de la anterior observaci´on, para todo morfismo F:X→Y no constante, el conjunto R={p∈X|ep(F)>1}es discreto. Por lo tanto, si Xes compacta, entonces Res un conjunto finito, pues Res cerrado, como consecuencia de (3.6). 3.2. Propiedades globales de los morfismos Ahora, nos interesaremos en las propiedades globales de los morfismos. Introduciremos los conceptos de recubrimiento ´etale, recubrimiento ramificado y aplicaci´on propia, as´ı podremos enunciar el teorema de caracterizaci´on de recubrimientos ramificados y la f´ormula de Hurwitz. 3.2.1. Aplicaciones recubridoras Definici´on 3.8. Sean X, Y espacios topol´ogicos. Una aplicaci´on continua F:X→Yes un recubrimiento ´etale o espacio recubridor si es sobreyectiva, y para todo q∈Yexiste un abierto V⊆Y,q∈V, tal que F−1(V) = G i∈I Ui, 2Observe que no existe V⊆V1abierto, con z0∈V, tal que hsea constante en V, luego existe n0∈N, tal que hn0)(z0)6= 0. 3. Propiedades de los morfismos 41 donde Ui⊆Xes abierto, F|Ui:Ui→Ves homeomorfismo, ∀i∈I. En las condiciones de la definici´on anterior, si F:X→Yes un recubrimiento ´etale, entonces la aplicaci´on q∈Y→#F−1(q) es localmente constante. En efecto, pues si q∈Y, entonces existe un abierto V⊆Y, q∈V, tal que F−1(V) = G i∈I Ui, donde Ui⊆Xes abierto, F|Ui:Ui→Ves homeomorfismo, ∀i∈I. Luego #F−1(q0) = #I, para todo q0∈V. Proposici´on 3.9. Sean X, Y espacios topol´ogicos, y F:X→Yun recubrimiento ´etale. Si Yes conexo, entonces la aplicaci´on q∈Y→#F−1(q) es constante. Al n´umero #F−1(q), con q∈Y, se le denomina grado del recubrimiento ´etale. Prueba: Observe que Aq={q0∈Y|#F−1(q) = #F−1(q0)}, con q∈Y, es abierto y cerrado. Adem´as, q∈Aq, luego Aq=Y. Ejemplos 3.10. 1. Si Xes un espacio topol´ogico conexo, la aplicaci´on identidad Id:X→X es un recubrimiento ´etale de grado 1. 2. La aplicaci´on exp : C→C∗es un espacio recubridor. En efecto, pues si s0∈C∗, como consecuencia del teorema de la funci´on inversa, existen abiertos U0⊆C,V0⊆C∗, con s0∈V0, tales que exp|U0:U0→V0es una biyecci´on holomorfa. Luego exp−1(V0) = G n∈Z Un,donde Un= 2πin +U0,∀n∈Z. Observe que cada restricci´on exp|Un:Un→V0es homeomorfismo. Definici´on 3.11. Sean X, Y superficies de Riemann. Un morfismo F:X→Y es un recubrimiento ramificado si para todo q∈Yse verifica F−1(q)es finito y no vac´ıo, y adem´as, si F−1(q) = {p1, . . . , pr}, entonces existen cartas φi:Ui→Vien X, centradas en pi, y φ:U→Ven Y, centrada en q, y enteros ei≥1, tales que F−1(U) = r F i=1 Ui, y el diagrama siguiente UiF// φi  U φ  Vi ψi//V 48 Superficies de Riemann Proposici´on 3.31. Sean X, Y superficies de Riemann. Supongamos que existe un isomorfismo ψ:U→V, donde U⊆X,V⊆Yson abiertos conexos no vac´ıos. Si Zes Hausdorff, entonces existe una estructura de superficie de Riemann en Z, tal que las inclusiones jX, jYson morfismos. Prueba: Comencemos definiendo un atlas complejo en Z. Para cada carta φ1:U1→V1en X, consideremos la carta compleja φ1◦j−1 X:jX(U1)→V1. An´alogamente, para cada carta φ2:U2→V2en Y, consideremos la carta compleja φ2◦j−1 Y:jY(U2)→V2. Justifiquemos que esta colecci´on de cartas complejas en Zson compatibles dos a dos. Es f´acil comprobar la compatibilidad si ambas cartas provienen de X, o de Y. Supongamos entonces que jX(U1)∩jY(U2)6=∅. En tal caso, (φ2◦j−1 Y)◦(φ1◦j−1 X)−1(z) = φ2◦ψ◦φ−1 1(z),∀z∈V, donde V=φ1◦j−1 X(jX(U1)∩jY(U2)), luego la funci´on de transici´on entre las cartas complejas φ1◦j−1 X, φ2◦j−1 Yes holomorfa en V, pues ψes morfismo. Este atlas complejo determinar´a una estructura compleja en Z. Adem´as, por hip´otesis Zes Hausdorff, y por el resultado anterior Zes conexo, pues tanto Xcomo Ylo son. Finalicemos, probando que las inclusiones jX, jY son morfismos. Sea p∈X. Consideremos una carta φ1:U1→V1en X, con p∈U1. Observe que φ1◦j−1 X:jX(U1)→V1es una carta en Z, con jX(p)∈jX(U1). Se verifica (φ1◦j−1 X)◦jX◦φ−1 1(z) = z, ∀z∈V1, luego jXes morfismo. Actuando an´alogamente, se prueba que jYes morfismo. En el resultado anterior, hemos exigido que Zsea Hausdorff para poder dotarlo de estructura de superficie de Riemann. Est´a hip´otesis es esencial. En efecto, pues si X, Y =C, y consideramos el isomorfismo ψ:C∗→C∗, definido como ψ(z) = z, entonces Zno es Hausdorff: los punto 0X,0Yno se pueden separar. Ejemplo 3.32.(Curvas hiperel´ıpticas) Sea f∈C[z] un polinomio de grado 2g+ 1 ´o 2g+ 2, con ra´ıces distintas. Consideremos la curva plana af´ın X, determinada por el polinomio w2−f(z)∈C[z, w]. Definamos ˆ f=u2g+2f(1/u)∈C[u]. Observe que ˆ f tambi´en tiene ra´ıces distintas. Determinemos el grado de ˆ f, y sus ra´ıces: 1. Supongamos que el grado de fes 2g+ 2. 3. Propiedades de los morfismos 49 a) Si f(0) 6= 0, entonces ˆ fes de grado 2g+ 2, y sus ra´ıces son las inversas de las ra´ıces de f. b) Si f(0) = 0, entonces ˆ fes de grado 2g+ 1, y sus ra´ıces son las inversas de las ra´ıces no nulas de f. En ambos casos, ˆ f(0) 6= 0. 2. Supongamos que el grado de fes 2g+ 1. a) Si f(0) 6= 0, entonces ˆ fes de grado 2g+ 2, y sus ra´ıces son las inversas de las ra´ıces de f, m´as el cero. b) Si f(0) = 0, entonces ˆ fes de grado 2g+ 1, y sus ra´ıces son las inversas de las ra´ıces no nulas de f, m´as el cero. Observe que ˆ f(0) = 0, en ambos casos. Ahora, consideremos la curva plana af´ın Y, definida por el polinomio v2−ˆ f(u)∈C[u, v], y definamos la aplicaci´on ψ:U→Vcomo ψ(z, w) = 1 z,w zg+1 , donde U⊆X,V⊆Yson los abiertos, respectivamente {(z, w)∈X|z6= 0},{(u, v)∈Y|u6= 0}. Claramente ψes biyectiva. Su inversa ψ−1:V→Uest´a definida como ψ−1(u, v) = 1 u,v ug+1 . Probemos que ψes morfismo. Sea p= (z0, w0)∈U. Si w06= 0, entonces πz es la carta en Ude p. Adem´as, como ψ(p) = (u0, v0) verifica que v06= 0, la carta en Vde ψ(p) es πu. Por lo tanto, (πu◦ψ◦π−1 z)(s)=(πu◦ψ)(s, t(s)) = 1 s. En cambio, si w0= 0, entonces πwes la carta en Ude p, 3yπves la carta en Vde ψ(p). Obtenemos as´ı, (πv◦ψ◦π−1 w)(s) = (πv◦ψ)(r(s), s)) = s r(s)g+1 . Observe que ambas composiciones est´an bien definidas y son holomorfas en un entorno abierto respectivamente de z0,w0, pues ψes continua y π−1 z(s), π−1 w(s)∈U. 3Recuerde que ftiene ra´ıces distintas. 50 Superficies de Riemann Adem´as, Z=XSφYes Hausdorff. Justifiquemos el caso p∈X\U, q∈Y\V. 4Observe que los abiertos Up={(z, w)∈X||z|<1}, Vq={(u, v)∈Y||u|<1} no se cortan, y p∈Up,q∈Vq. La superficie de Riemann resultante de realizar el pegado XSφY, se denomina superficie de Riemann hiperel´ıptica asociada a la curva plana af´ın X, o curva hiperel´ıptica. A continuaci´on, probaremos que Zes una superficie de Riemann compacta, y que la aplicaci´on π:Z→b C, definida como π(p) = zsi p∈X, ∞si p∈Y\V, es un morfismo de grado 2. El car´acter compacto de Zse deduce a partir de la igualdad Z={(z, w)∈X||z| ≤ 1}∪{(u, v)∈Y||u| ≤ 1}. Centr´emonos ahora en la aplicaci´on. Sea p= (z0, w0)∈X. Si w06= 0, la carta en Zde pes πz◦j−1 X, mientras que si y0= 0, la carta en Zde pes πw◦j−1 X. En ambos casos, la carta en b Cde π(p) = z0es φ1. Entonces h1(s) = φ1◦π◦(πz◦j−1 X)−1(s) = φ1(s) = s, h2(s) = φ1◦π◦(πw◦j−1 X)−1(s) = π(r(s), s) = r(s), con r(s) holomorfa en un entorno abierto de 0, verific´andose f(r(s)) = s2. Ahora, sea p= (0, v)∈Y\V. Distingamos los siguientes dos casos: Si deg(f)=2g+ 2, entonces ˆ f(0) 6= 0. Por lo tanto, existen β1, β2∈C∗, tales que β2 i=ˆ f(0). Observe que necesariamente v=βi, para alg´un i= 1,2. La carta en Zde pes πu◦j−1 Y, y la carta en b Cde π(p) = ∞es φ2. Entonces h3(s) = φ2◦π◦(πu◦j−1 Y)−1(s) =φ2◦π◦jY(s, t(s)) =φ2◦π(1/s, t(s)/sg+1) = s, ∀s6= 0, h3(0) = φ2◦π◦(πu◦j−1 Y)−1(0) = 0. Si deg(f) = 2g+ 1, entonces ˆ f(0) = 0. As´ı, v= 0, y la carta en Zde pes πv◦j−1 Y, y la carta en b Cde π(p) = ∞es φ2. Entonces h4(s) = φ2◦π◦(πv◦j−1 Y)−1(s) =φ2◦π◦jY(b(s), s) =φ2◦π(1/b(s), s/b(s)g+1) = b(s),∀s6= 0, h4(0) = φ2◦π◦(πv◦j−1 Y)−1(0) = 0, 4Los casos restantes son triviales. 3. Propiedades de los morfismos 51 con b(s) holomorfa en un entorno abierto de 0, verific´andose ˆ f(b(s)) = s2. Finalicemos determinando el grado del recubrimiento ramificado π, y sus puntos de ramificaci´on. Haciendo uso de las funciones hique hemos calculado previamente, obtenemos: Puntos p= (z0, w0)∈X, con w06= 0. La funci´on a estudiar es h1(s) = s, cuya derivada no se anula. Por tanto, estos puntos no son de ramificaci´on. Puntos p= (z0,0) ∈X. Se corresponden con las ra´ıces de f. La funci´on a estudiar es la derivada de h2(s) = r(s), en s= 0. Como s2=f(r(s)), obtenemos 2s=f0(r(s))r0(s). Adem´as, f(r(0)) = 0, luego f0(r(0)) 6= 0, y entonces r0(0) = 0. Por tanto, estos puntos son de ramificaci´on. Observe que hay tantos como el grado de f. Puntos p= (0, β1),(0, β2)∈Y, para deg(f)=2g+ 2. A partir de h3, es inmediato que no son de ramificaci´on. Punto p= (0,0) ∈Y, para deg(f) = 2g+1. Hay que estudiar la derivada de la funci´on h4(s) = b(s), en s= 0. Como ˆ f(b(0)) = 0, deducimos ˆ f0(b(0)) 6= 0. Adem´as, 2s=ˆ f0(b(s))b0(s), por lo que b0(0) = 0. Por lo tanto, es un punto de ramificaci´on. En conclusi´on, de manera independiente al grado de f, obtenemos 2g+ 2 puntos de ramificaci´on, con ´ındice igual a 2, pues la imagen inversa de un punto z∈C, tal que f(z)6= 0, consta de dos puntos. Ahora, si aplicamos la f´ormula de Hurwitz, obtenemos que 2g(Z)−2 = deg(π)(2g(b C)−2) + X p∈R (ep(π)−1) = 2(−2) + 2g+ 2 = 2g−2, luego g(Z) = g. Observaciones 3.33. .Consideremos la curva plana af´ın Xa, determinada por el polinomio w2−af(z)∈C[z, w],con a∈C∗, y denotemos por Zala superficie de Riemann hiperel´ıptica asociada a la curva plana af´ın Xa. Aunque no lo probaremos aqu´ı, se verifica que Z∼ =Za. Este hecho lo usaremos en (7.8). .Sean a1, . . . , ann´umeros complejos distintos, con nun natural par. Consideremos la curva plana af´ın X1, determinada por el polinomio w2−(z−a1)···(z−an)∈C[z, w], 52 Superficies de Riemann y denotemos por Z1la superficie de Riemann hiperel´ıptica asociada a la curva plana af´ın X1. An´alogamente, consideremos la curva plana af´ın X2, determinada por el polinomio w2−(z−b1)···(z−bn−1)∈C[z, w], donde bj= 1/(aj−an), y denotemos por Z2la superficie de Riemann hiperel´ıptica asociada a la curva plana af´ın X2. En el ap´endice (D) demostramos que ambas curvas hiperel´ıpticas son isomorfas. Este hecho tambi´en lo usaremos en (7.8). Cap´ıtulo 4 Introducci´on a funciones el´ıpticas En el presente cap´ıtulo, introducimos el concepto de funci´on el´ıptica y derivamos sus principales propiedades. Como ejemplo, presentamos en detalle la funci´on ℘de Weierstrass, y determinamos la ecuaci´on diferencial que satisface. Adem´as, estudiamos algunas funciones relacionadas con ℘para caracterizar el conjunto de ceros y polos de las funciones el´ıpticas no constantes. 4.1. Funciones el´ıpticas Comencemos precisando el concepto de aplicaci´on meromorfa. Definici´on 4.1. Sea Xuna superficie de Riemann. Una aplicaci´on f:X→b C es meromorfa en Xsi fes un morfismo, y f−1(∞)(X. Observaciones 4.2. .En las condiciones de la definici´on anterior, observe que si f:X→b Ces meromorfa en X, entonces, como consecuencia de (2.18), f−1(∞) es un subconjunto discreto de X. .Si Xes una superficie de Riemann, es usual denotar al conjunto de aplicaciones meromorfas en Xpor M(X). Se prueba que M(X) es un cuerpo que presenta estructura de C-´algebra. Por lo tanto, si f, g :X→b Cson meromorfas en X, entonces f+g, fg y 1/f (si f6= 0) son meromorfas en X. .Sea Ω ⊆Cuna regi´on. Si f∈ M(Ω), entonces Ω1= Ω \f−1(∞)⊆Ces una regi´on, f−1(∞)0∩Ω = ∅, y se verifica que f|Ω1: Ω1→Ces holomorfa. Adem´as, si z0∈f−1(∞), entoces z0es un polo de f|Ω1. En efecto, pues 53 54 An´alisis complejo si (zn)⊆Ω1es una sucesi´on, tal que l´ım n→∞zn=z0, entonces l´ım n→∞f|Ω1(zn) = l´ım n→∞f(zn) = ∞. Rec´ıprocamente, si Ω1⊆Ω es una regi´on, tal que A0∩Ω = ∅, donde A= Ω \Ω1, y f: Ω1→Ces una funci´on holomorfa que verifica l´ım s→zf(s) = ∞,∀z∈A, entonces la funci´on fe: Ω →b C, definida como fe(z) = l´ım s→zf(s),∀z∈Ω, es meromorfa en Ω. Obtenemos as´ı una correspondencia entre las funciones meromorfas en Ω, y las funciones holomorfas en regiones contenidas en Ω con polos en el complementario respecto de Ω. En adelante, para abreviar la notaci´on, si f∈ M(Ω), entonces a f|Ω1tambi´en la denotaremos por f. Sean w1, w2∈C, linealmente independientes sobre R, y consideremos el ret´ıculo Λ generado por w1, w2. Definici´on 4.3. Una funci´on f∈ M(C)es el´ıptica con periodos w1, w2si f(z) = f(z+w1) = f(z+w2),∀z∈C. Las funciones constantes son ejemplos triviales de funciones el´ıpticas. En (4.2) introduciremos un ejemplo no constante de funci´on el´ıptica. Observe que si f, g son funciones el´ıpticas con periodos w1, w2, entonces f+g, fg, 1/f (si f6= 0) y f0tambi´en son funciones el´ıpticas con periodos w1, w2. Si fes el´ıptica con periodos w1, w2, entonces f(z) = f(z+w),∀z∈C,∀w∈Λ. Por lo tanto, fest´a determinada por sus valores en Pa={a+λw1+βw2|0≤λ, β < 1}, con a∈C. En efecto, pues dado z∈C, existe un ´unico z0∈Pa, tal que z≡z0(m´od Λ). A Pase le denomina periodo o paralelogramo fundamental. Adem´as, como f−1(∞)0=∅, deducimos que f−1(∞)∩Paes un conjunto finito, ya que Paes acotado. An´alogamente, si fno es identicamente nula, se deduce que f−1(0) ∩Patambi´en es un conjunto finito. En tal caso, denotaremos por Ncal n´umero de ceros de fen Pa, y por Npal n´umero de polos de fen Pa, contados los ceros y polos tantas veces como indiquen sus respectivos ordenes. Observe que tanto Nccomo Npno dependen del 4. Introducci´on a funciones el´ıpticas 55 Pa aa+w1 a+w2 Figura 4.1: Paralelogramo fundamental periodo Pa. Cuando hablemos de los ceros y polos de fsiempre deberemos entender que nos estamos refiriendo a los conjuntos π(f−1(0)) y π(f−1(∞)),1 respectivamente, donde π:C→C/Λ es la proyecci´on al conjunto cociente. En el siguiente teorema presentamos los resultados b´asicos correspondientes a ceros y polos de funciones el´ıpticas. Teorema 4.4. Si fes una funci´on el´ıptica, no constante, con periodos w1, w2, entonces: 1. f−1(∞)6=∅, o equivalentemente, ftiene polos. 2. La suma de los residuos de los polos de fes igual a cero. 3. Nc=Np. 4. Si a1, . . . , an(resp. b1, . . . , bn)son los ceros (resp. polos)de f, se verifica a1+···+an≡b1+···+bn(m´od Λ). Prueba: Antes de comenzar con la prueba, observe que en cualquier subconjunto acotado de Csolo existen un n´umero finito de ceros y polos de f. Por lo tanto, elijamos a∈C, tal que ∂Pa∩f−1{0,∞} =∅. 1. Supongamos por reducci´on al absurdo que f−1(∞) = ∅. En tal caso, existe M > 0 tal que |f(z)| ≤ M,∀z∈Pa, pues fes continua, y Paes un conjunto compacto. Por periodicidad, deducimos |f(z)| ≤ M, ∀z∈C, luego festa acotada. Por lo tanto, como consecuencia del teorema de Liouville obtenemos la contradicci´on deseada, pues fno es constante. 2. Por el teorema de los residuos, la suma de los residuos de los polos de f en Paes igual 1 2πi R∂Paf(z)dz, donde ∂Paest´a orientada positivamente. 1Habitualmente, a trav´es de representantes de las clases de equivalencia describiremos tales conjuntos. Adem´as, de acuerdo al orden correspondiente se repetir´an representantes. 56 An´alisis complejo Ahora, sean Γ1,...,Γ4los lados consecutivos dirigidos de ∂Pa, con Γ1el lado que une acon a+w1. Observe que ZΓ1 f(z)dz =ZΓ1 f(z+w2)dz =−ZΓ3 f(z)dz, ZΓ4 f(z)dz =ZΓ4 f(z+w1)dz =−ZΓ2 f(z)dz, luego R∂Paf(z)dz = 4 P k=1 RΓkf(z)dz = 0. 3. Por el principio del argumento 1 2πi Z∂Pa f0(z) f(z)dz =Nc−Np. Adem´as, como f0/f es una funci´on el´ıptica, no constante, con periodos w1, w2, deducimos por el apartado anterior R∂Pa f0(z) f(z)dz = 0. 4. Por el teorema de los residuos, n X j=1 aj− n X j=1 bj=1 2πi 4 X k=1 ZΓk zf0(z) f(z)dz. Ahora, observe que ZΓ1 (z+w2)f0(z) f(z)dz =−ZΓ3 zf0(z) f(z)dz, luego 1 2πi ZΓ1 +ZΓ3zf0(z) f(z)dz =−w2 2πi ZΓ1 f0(z) f(z)dz. Obtenemos as´ı 1 2πi ZΓ1 +ZΓ3zf0(z) f(z)dz =sw2, para alg´un s∈Z, pues 1 2πi ZΓ1 f0(z) f(z)dz =n(f(Γ1),0) ∈Z, donde n(f(Γ1),0) denota el ´ındice de f(Γ1) respecto de 0. An´alogamente, se prueba 1 2πi ZΓ2 +ZΓ4zf0(z) f(z)dz =rw1, para alg´un r∈Z. 4. Introducci´on a funciones el´ıpticas 57 Si fes una funci´on el´ıptica, no constante, con periodos w1, w2, al n´umero Npse le denomina orden de f. Observe que dado c∈C, el orden de fc=f−c es igual al orden de f. Como consecuencia del resultado anterior, obtenemos el siguiente resultado. Corolario 4.5. Si funa funci´on el´ıptica, no constante, con periodos w1, w2, entonces, en cada paralelogramo Pa,fasume cada valor el mismo n´umero de veces. 4.2. La funci´on ℘de Weierstrass Sean w1, w2∈C, linealmente independientes sobre R, y consideremos el ret´ıculo Λ generado por w1, w2. Por (4.4), si fes una funci´on el´ıptica, no constante, con periodos w1, w2, entonces f−1(∞)6=∅. Adem´as, su orden Np debe ser mayor o igual a dos, pues la suma de los residuos de los polos de fes igual a cero. Si suponemos que Np= 2, entonces o bien fpresenta tan solo un polo de orden dos, o bien fpresenta dos polos simples no congruentes. En esta secci´on presentamos un ejemplo del primer caso. La funci´on ℘de Weierstrass para Λ est´a definida como ℘(z) = 1 z2+X w6=0 1 (z−w)2−1 w2, donde la suma se extiende sobre todos los puntos w∈Λ, no nulos. A continuaci´on, probaremos que ℘es una funci´on el´ıptica con periodos w1, w2, y determinaremos sus principales propiedades. Lema 4.6. Para cualquier n´umero real r > 2, se verifica X w6=0 1 |w|r<∞. Prueba: Para cada k∈N, consideremos los conjuntos Ak={mw1+nw2|m, n ∈Z,|m|+|n|=k}, Sk={xw1+yw2|x, y ∈R,|x|+|y|=k}. Observe que, para cada k∈Nse verifica Ak⊆Sk, Sk=kS1,|Ak|= 4k. Por lo tanto, para todo w∈Akse verifica |w| ≥ ck, donde c= m´ın z∈S1|z|>0. 64 An´alisis complejo Por lo tanto, |(1 −s)es+s2 2−1|=|ev−1| ≤ 2|v| ≤ 4 3|s|3≤2|s|3. Sea r > 0. Observe que si |w|>2r, entonces |Ew(z)−1| ≤ 2r3 |w|3,∀z∈B(0, r), como consecuencia de los razonamientos anteriores. Ahora, basta aplicar (4.6) junto con el teorema anterior. Debido al resultado anterior, σdefine una funci´on entera, cuyo conjunto de ceros es Λ. Observe que todos sus ceros son simples. Adem´as, se verifica σ0 σ(z) = ζ(z),∀z∈C\Λ. Teorema 4.17. Sea Ω⊂Cuna regi´on simplemente conexa. Si f: Ω →C es una funci´on holomorfa que no se anula en Ω, entonces existe una funci´on g: Ω →Cholomorfa, tal que eg(z)=f(z),∀z∈Ω. Prueba: [SS03, p.100] Corolario 4.18. Para cada z∈C, se verifica σ(z+wj) = −σ(z)eηj(z+wj/2), j = 1,2. Prueba: Sea a∈C\Λ. Fijemos ε > 0, tal que B=B(a, ε)⊆C\Λ. Por el teorema anterior, existen funciones g1, g2:B→Cholomorfas, tales que eg1(z)=σ(z), eg2(z)=σ(z+wj),∀z∈B. Derivando, obtenemos g0 2(z)−g0 1(z) = σ0 σ(z+wj)−σ0 σ(z) =ζ(z+wj)−ζ(z) = ηj,∀z∈B, como consecuencia de (4.14). Por lo tanto, g2(z)−g1(z) = ηjz+dj,∀z∈B, con dj∈C, pues Bes una regi´on. Obtenemos as´ı σ(z+wj) = cjeηjzσ(z),∀z∈B, 4. Introducci´on a funciones el´ıpticas 65 donde cj=edj. Por (2.10), la igualdad anterior se extiende a C. Por ´ultimo, para determinar cj, usemos que σes impar, es decir, σ(−z) = −σ(z),∀z∈C. 7 Como σ(wj 2) = σ(−wj 2+wj) = cje−ηjwj/2σ(−wj 2), deducimos cj=−eηjwj/2. Teorema 4.19. Existe una funci´on el´ıptica fcon periodos w1, w2, cuyos ceros y polos son, respectivamente, a1, . . . , anyb1, . . . , bn, si, y solo si, a1+···+an≡b1+···+bn(m´od Λ). Es m´as, fest´a un´ıvocamente determinada salvo una constante multiplicativa. Prueba: La condici´on necesaria se prob´o en (4.4). Justifiquemos ahora el car´acter suficiente de la condici´on. Por hip´otesis, existe w∈Λ, tal que n X k=1 ak− n X k=1 bk=w. Supongamos que w= 0, y definamos f:C→b Ccomo f(z) = n Y k=1 σ(z−ak)/ n Y k=1 σ(z−bk). Observe que fes una funci´on el´ıptica con periodos w1, w2, como consecuencia del corolario anterior. Adem´as, ftiene los ceros y polos deseados. Por ´ultimo, supongamos que f1, f2son funciones el´ıpticas con periodos w1, w2, cuyos ceros y polos coinciden. En tal caso, f2/f1es una funci´on el´ıptica con periodos w1, w2, sin polos, luego es una constante. 7Observe que Λ = −Λ. 66 An´alisis complejo Cap´ıtulo 5 La funci´on modular En el cap´ıtulo anterior definimos las cantidades gk(Λ), k= 2,3, para un ret´ıculo Λ arbitrario, y probamos que g3 2−27g2 36= 0. Esto plantea la siguiente pregunta: Sean c2, c3∈C, tales que c3 2−27c2 36= 0. ¿Existe un ret´ıculo Λ cumpliendo gk(Λ) = ck, para k= 2,3? La cuesti´on anterior se denomina problema de inversi´on. En este cap´ıtulo probaremos que efectivamente existe un ret´ıculo Λ cumpliendo gk(Λ) = ck, para k= 2,3, y m´as aun, Λ ser´a el ´unico ret´ıculo que lo cumpla. La prueba que exponemos aqu´ı esta basada en propiedades de la funci´on modular J. Por tal motivo, comenzaremos definiendo la funci´on modular J, y precisaremos sus principales propiedades. 5.1. Las funciones g2, g3 Sean w1, w2∈C, linealmente independiente sobre R. En (4.2.1) hab´ıamos definido las cantidades g2, g3respecto de un ret´ıculo arbitrario. Tales cantidades pueden ser consideradas como funci´on de w1, w2, es decir, g2(w1, w2) = 60 X01 (mw1+nw2)4, g3(w1, w2) = 140 X01 (mw1+nw2)6, donde la suma P0se extiende sobre todos pares de enteros (m, n)6= (0,0). Lema 5.1. Las funciones gk,k= 2,3, verifican las siguientes propiedades: 1. gkes homogenea de grado −2k, gk(λw1, λw2) = λ−2kgk(w1, w2),∀λ∈C∗. 67 68 An´alisis complejo 2. Si a, b, c, d ∈Z, tales que ad −bc =±1, entonces gk(aw1+bw2, cw1+dw2) = gk(w1, w2). Prueba: La primera propiedad es inmediata. Con respecto a la segunda, definamos w0 1=aw1+bw2, w0 2=cw1+dw2. Como ad −bc =±1, obtenemos w1=±(dw0 1−bw0 2), w2=±(−cw0 1+aw0 2). Si Λ es el ret´ıculo generado por w1, w2, y Λ0es el ret´ıculo generado por w0 1, w0 2, entonces Λ = Λ0como consecuencia de las igualdades anteriores. As´ı, debido al car´acter incondicionalmente convergente de las series que definen las cantidades gk(w1, w2), se obtienen las identidades deseadas. De la prueba anterior deducimos que para cualesquiera a, b, c, d ∈Z, tales que ad −bc =±1, el ret´ıculo generado por w0 1=aw1+bw2, w0 2=cw1+dw2 coincide con el ret´ıculo generado por w1, w2. Adem´as, el rec´ıproco tambi´en es cierto, es decir, si w0 1, w0 2∈C, linealmente independiente sobre R, generan el mismo ret´ıculo que w1, w2, entonces existen a, b, c, d ∈Z,ad −bc =±1, tales que w0 1=aw1+bw2, w0 2=cw1+dw2. En efecto, pues w0 1=a1w1+b1w2, w1=c1w0 1+d1w0 2, w0 2=a2w1+b2w2, w2=c2w0 1+d2w0 2, con ai, bi, ci, di∈Z, luego Re w0 1Im w0 1 Re w0 2Im w0 2=a1b1 a2b2c1d1 c2d2Re w0 1Im w0 1 Re w0 2Im w0 2, o equivalentemente, a1b1 a2b2c1d1 c2d2=1 0 0 1 . 5.2. La funci´on modular J Sea H={z∈C|Im z > 0}, y consideremos las funciones gk,∆ : H→C, k= 2,3, definidas como gk(z) = gk(1, z), ∆(z) = g2(z)3−27g3(z)2,∀z∈H. 5. La funci´on modular 69 La funci´on modular J:H→C, est´a definida como J(z) = g2(z)3 ∆(z),∀z∈H. Debido a (4.12), deducimos que la funci´on modular Jest´a bien definida, pues ∆ no se anula en H. Teorema 5.2. La funci´on modular Jes holomorfa en H. Prueba: Observe que bastar´a probar que las funciones gkson holomorfas en H. Sean a, b > 0. Dado z∈H,z=x+iy,m, n ∈Z, se verifica |m+nz|2=m2+ 2mnx +n2x2+n2y2. Elijamos δ > 0, tal que a2 a2+b2< δ2<1, y reescribamos |m+nz|2= (1 −δ2)m2+δm +xn δ2+y2+1−1 δ2x2n2. Si suponemos |x| ≤ a,y≥b, entonces |m+nz|2≥(1 −δ2)m2+b2+1−1 δ2a2n2. Ahora, como 1 −δ2,b2+1−1 δ2a2>0, fijemos ε > 0, tal que |m+nz|2≥ε2(m2+n2). Obtenemos as´ı 1 |m+nz|≤1 ε 1 |m+ni|, para todo m, n ∈Z, no ambos nulos. Adem´as, por (4.6) se verifica X01 |m+ni|r<∞,para r > 2, luego basta aplicar el criterio mayorante de Weierstrass para deducir que la serie X01 (m+nz)r,para r > 2, converge uniformemente en {z∈H||Re z| ≤ a, Im z≥b}. Sean a, b, c, d ∈Z, tales que ad −bc = 1. Consideremos el automorfismo G:b C→b C, definido como G(z) = az +b cz +d. 70 An´alisis complejo Dado z∈C\R, se verifica que Im G(z) = Im (az +b)(c¯z+d) |cz +d|2=Im z |cz +d|2. As´ı, deducimos que γ=G|Hes un automorfismo en H. Adem´as, es rutinario comprobar que el conjunto constituido por todos los automorfismos en Hde esta forma presenta estructura de grupo bajo la operaci´on de composici´on. A este grupo se le denomina grupo modular, y se le denota por Γ. Teorema 5.3. La funci´on modular Jsatisface la ecuaci´on J(γ(z)) = J(z),∀z∈H,∀γ∈Γ. Prueba: Sea γ∈Γ, γ(z) = az+b cz+d. Como ad −bc = 1, obtenemos gk(z) = gk(cz +d, az +b)=(cz +d)−2kgk(γ(z)),∀z∈H, para k= 2,3, como consecuencia de (5.1). As´ı, se deduce g2(γ(z))3= (cz +d)12g2(z)3, g3(γ(z))2= (cz +d)12g3(z)2,∀z∈H. 5.3. Regi´on fundamental para Γ Comencemos definiendo una relaci´on de equivalencia en H. Dados z, z0∈H, zest´a relacionado con z0,z∼Γz0, si existe γ∈Γ, tal que z0=γ(z). Las clases de equivalencia resultantes las denominaremos Γ-´orbitas. As´ı, las Γ-´orbitas son id´enticas o disjuntas, y la uni´on de todas las Γ-´orbitas es igual a H. Ahora, un subconjunto Fde Hes una regi´on fundamental para Γ si Fes conexo por caminos, y cada Γ-´orbita interseca con Fen un ´unico punto. Observe que la funci´on modular Jes constante en cada Γ-´orbita, como consecuencia de (5.3), por lo tanto, si Fes una regi´on fundamental para Γ, la funci´on modular Jest´a determinada por sus valores en F. Teorema 5.4. Sea F={z∈H| − 1 2≤Re z < 1 2,|z|>1}∪{z∈C| − 1 2≤Re z≤0,|z|= 1}. Entonces, Fes una regi´on fundamental para Γ. Los puntos ρ, i, ρ+1, con ρ=−1+√3i 2, se denominan v´ertices de F. Observe que los automorfismos T(z) = z+ 1, U(z) = −1/z de Hest´an en Γ. 5. La funci´on modular 71 Prueba: Comencemos probando que cada Γ-´orbita tiene intersecci´on no vac´ıa con F. Fijemos z=x+iy ∈H. Si γ∈Γ, γ(z) = az+b cz+d, entonces Im γ(z) = y (cx +d)2+ (cy)2. As´ı, deducimos que existe γ0∈Γ, tal que Im γ0(z) = m´ax γ∈ΓIm γ(z). Sea n∈Z, tal que −1 2≤Re z0<1 2, donde z0=γ0(z)−n. Observe que z0 es un punto de la Γ-´orbita de z. Adem´as, como Im z0= Im γ0(z), deducimos que necesariamente |z0| ≥ 1, pues en caso contrario, obtendr´ıamos Im (−1/z0) = Im z0 |z0|2>Im z0, que contradice la maximalidad de Im z0. As´ı, z0es el punto deseado en la Γ-´orbita de z, salvo que |z0|= 1, en cuyo caso, el punto deseado es −1/z0. Ahora, justifiquemos que cada Γ-´orbita interseca a Fen un solo punto. En (5.11), probaremos que J|F:F→Ces una aplicaci´on biyectiva. Por lo tanto, si una Γ-´orbita interseca a Fen dos puntos z1, z2distintos, se obtendr´ıa J(z1) = J(z2), contradiciendo la inyectividad de J|F. Corolario 5.5. Cualquier ret´ıculo Λpuede ser generado por elementos w1, w2∈C∗, tales que w2/w1∈F. Prueba: Sean w0 1, w0 2∈C, linealmente independientes sobre R, y consideremos el ret´ıculo Λ generado por w0 1, w0 2. Sin perdida de generalidad, supongamos z0=w0 2/w0 1∈H.Por el teorema anterior, existe γ∈Γ, γ(z) = az+b cz+d, tal que γ(z0)∈F. Sean w1=dw0 1+cw0 2, w2=bw0 1+aw0 2. F −11 i −1/2 1/2 ρ+ 1 ρ Figura 5.1: Regi´on fundamental F 72 An´alisis complejo Como ad −bc = 1, deducimos que w1, w2generan el ret´ıculo Λ. Ademas, se verifica w2/w1=aw0 2+bw0 1 cw0 2+dw0 1 =γ(z0)∈F. 5.4. Expansi´on de Fourier de J Por (5.3), deducimos que J(z+ 1) = J(z),∀z∈H. As´ı, la funci´on modular Jes una funci´on holomorfa de periodo 1. Ahora, consideremos la aplicaci´on t:H→C, definida como t(z) = e2πiz,∀z∈H. Observe que t(H) = ˙ B, donde ˙ B=˙ B(0,1). Adem´as, dado z0∈H, si t0=t(z0), se verifica que t−1(t0) = {z0+k|k∈Z}. Por lo tanto, la aplicaci´on f:˙ B→C, definida como f(t(z)) = J(z),∀z∈H, est´a bien definida. Es m´as, usando el teorema de la funci´on inversa es f´acil comprobar que fes holomorfa en ˙ B. Como consecuencia, fadmite un desarrollo en serie de Laurent en ˙ B, es decir, existen coeficientes (an)n∈Zun´ıvocamente determinados, tales que f(t) = ∞ X ∞ antn,∀t∈˙ B. As´ı, obtenemos que J(z) = ∞ X ∞ ane2πinz,∀z∈H. En (5.8), probaremos que a−16= 0, y que an= 0, para todo n≤ −2. Esto nos permitir´a determinar el comportamiento asint´otico de la funci´on modular J cuando Im z→ ∞, lo cual ser´a requerido en la siguiente secci´on. Lema 5.6. Sea K⊆Ccompacto. Si K∩Z=∅, entonces la serie X m6=0 1 z+m−1 m, 5. La funci´on modular 73 extendida sobre todos los enteros no nulos, converge uniformemente en K. Adem´as, se verifica que πcot πz =1 z+X m6=0 1 z+m−1 m,∀z∈C\Z. Prueba: [Ahl78, p.189] Desarrollando en series de Laurent ambos lados de la identidad anterior sobre z= 0, e igualando los coeficientes asociados a z3,z5, se obtiene ∞ X m=1 1 m4=π4 90,∞ X m=1 1 m6=π6 945. Lema 5.7. Sea P∞ k=1 aktkuna serie de potencias de radio de convergencia R≥1, y consideremos la funci´on f:B(0,1) →C, definida como f(t) = ∞ X k=1 aktk,∀t∈B(0,1). Entonces, P∞ n=1 f(tn)converge uniformemente en compactos contenidos en B(0,1). Como consecuencia, la funci´on g:B(0,1) →C, definida como g(t) = ∞ X n=1 f(tn),∀t∈B(0,1), es holomorfa, y su serie de potencias centrada en 0se obtiene sumando formalmente las series de potencias centradas en 0de f(t), f(t2), . . . . Prueba: Sea r∈(0,1). Si |t| ≤ r, entonces |f(tn)| ≤ ∞ X k=1 |ak|rnk,∀n∈N. Intercambiando el orden de sumaci´on, obtenemos ∞ X n=1 ∞ X k=1 |ak|rnk =∞ X k=1 |ak|rk 1−rk≤1 1−r ∞ X k=1 |ak|rk<∞. Ahora, basta aplicar el criterio mayorante de Weierstrass, para obtener el resultado. 80 An´alisis complejo Ahora, es rutinario comprobar que estas seis soluciones generan el mismo ret´ıculo Λ, el cual es la ´unica soluci´on de (5.14). Si c3= 0, entonces c26= 0. Adem´as, en este caso (5.15) equivale a g3(z)=0,(5.20) w−4g2(z) = c2.(5.21) Como consecuencia de (5.10) y (5.11), deducimos que ies la ´unica soluci´on en Fde (5.20). Por lo tanto, las soluciones de (5.15) son w, wi con w∈4 pg2(i)/c2. Observe que estas cuatros soluciones generan el mismo ret´ıculo Λ, el cual es la ´unica soluci´on de (5.14). Cap´ıtulo 6 Curvas el´ıpticas Las superficies de Riemann las cuales son isomorfas a toros complejos se denominan curvas el´ıpticas. Las curvas el´ıpticas pueden ser dotadas con una estructura de grupo anal´ıtico. Adem´as, dicha estructura est´a un´ıvocamente determinada por la elecci´on del elemento neutro. En este cap´ıtulo probaremos que las curvas hiperel´ıpticas asociadas a curvas planas afines determinadas por polinomios de la forma w2−(z−a1)(z−a2)(z−a3), con a1, a2, a3n´umeros complejos distintos, son curvas el´ıpticas, y rec´ıprocamente, cualquier toro complejo es isomorfo a una curva hiperel´ıptica de este estilo. 6.1. Curvas el´ıpticas Definici´on 6.1. Una superficie de Riemann Xes una curva el´ıptica si es isomorfa a un toro complejo, es decir, si existe alg´un ret´ıculo Λ, tal que X∼ =C/Λ. Sea Λ un ret´ıculo, y consideremos el toro complejo T=C/Λ. A lo largo del cap´ıtulo, con el fin de abreviar la notaci´on, denotaremos por ezla clase de equivalencia en C/Λ de z∈C, es decir, ez=z+ Λ. Es obvio que Tes una curva el´ıptica. Adem´as, como Λ es subgrupo aditivo de C, el conjunto cociente C/Λ presenta estructura de grupo, a saber, ez1+ez2=^ z1+z2,∀ez1,ez2∈C/Λ. Sean ez1,ez2∈T, y consideremos las cartas complejas en T φz1:π(Bz1)→Bz1, φz2:π(Bz2)→Bz2, φw0:π(Bw0)→Bw0, 81 82 An´alisis complejo con w0=z1+z2. Observe que existe un abierto V⊆Bz1×Bz2, tal que z+w∈Bw0,∀(z, w)∈V. Por lo tanto, φw0φ−1 z1(z) + φ−1 z2(w)=z+w, ∀(z, w)∈V. Como consecuencia, Tpresenta estructura de grupo anal´ıtico. Esto significa que, en t´erminos de cartas locales sobre dos puntos cualesquiera ez1,ez2∈T, la adici´on es una funci´on holomorfa de dos variables complejas. Es m´as, a continuaci´on probaremos que esta es la ´unica estructura de grupo anal´ıtico en T, tal que e0 es el elemento neutro. Lema 6.2. Sea Λun ret´ıculo, y consideremos el toro complejo T=C/Λ. Entonces, existe una ´unica estructura de grupo anal´ıtico en T, tal que e0es el elemento neutro. Prueba: Supongamos que Tpresenta otra estructura de grupo anal´ıtico, distinta de la estructura anterior, determinada por la adici´on ⊕, tal que e0 es el elemento neutro. Bastar´a probar que ez1⊕ez2=ez1+ez2,∀ez1,ez2∈T, para obtener la contradicci´on deseada. Evidentemente, si ez2= 0, la identidad es obvia. Si ez26=e0, entonces la aplicaci´on Gez2:T→T, definida como Gez2(ez) = ez⊕ez2,∀ez∈T, es un automorfismo sin puntos fijos. Por lo tanto, como consecuencia de (2.23), existe e β∈T,e β6= 0, tal que Gez2(ez) = ez+e β, ∀ez∈T, o equivalentemente, ez⊕ez2=ez+e β, ∀ez∈T. As´ı, deducimos ez2=e β, pues e0⊕ez2=e0 + e β. Si Xes una curva el´ıptica, entonces existe un ret´ıculo Λ, y un isomorfismo F:T→X, donde T=C/Λ. Mediante el isomorfismo F, la curva el´ıptica Xhereda la estructura de grupo anal´ıtico de T. Para ello, basta definir la adicci´on F(ez1) + F(ez2) := F(ez1+ez2),∀ez1,ez2∈T. As´ı, Fse convierte en un isomorfismo de grupos. Adem´as, observe que F(e0) es el elemento neutro de la estructura de grupo anal´ıtico heredada en X. 6. Curvas el´ıpticas 83 Teorema 6.3. Sea Xuna curva el´ıptica, p0∈X. Entonces, existe una ´unica estructura de grupo anal´ıtico en X, tal que p0es el elemento neutro. Prueba: Por hip´otesis, existe un ret´ıculo Λ, y un isomorfismo F:X→T, donde T=C/Λ. Consideremos el automorfismo G:T→T, definido como G(ez) = ez−ez0,∀ez∈T, donde ez0=F(p0). Observe que G ◦F:X→Tes un isomorfismo, tal que G ◦ F(p0) = e0. Por lo tanto, basta dotar a Xde la estructura de grupo anal´ıtico heredada de Tv´ıa (G◦F)−1, como en el razonamiento anterior que precede al enunciado del teorema. Ahora, justifiquemos la unicidad. Supongamos que Xpresenta otra estructura de grupo anal´ıtico, distinta de la estructura anterior, determinada por la adici´on ⊕, tal que p0es el elemento neutro. En tal caso, dotemos a Tde ambas estructuras de grupo anal´ıtico heredadas de Xv´ıa G◦F. Basta ahora usar el lema anterior para obtener la contradicci´on deseada. Corolario 6.4. Sean X1, X2curvas el´ıpticas, con elementos neutros p1, p2, respectivamente. Si F:X1→X2es un isomorfismo, tal que F(p1) = F(p2), entonces F(x+y) = F(x) + F(y),∀x, y ∈X1. Como consecuencia, Fes un isomorfismo de grupos. Prueba: Basta dotar a X2de la estructura de grupo anal´ıtico heredada de X1v´ıa F, como consecuencia del teorema anterior. 6.2. Modelos algebraicos Sean a1, a2, a3n´umeros complejos distintos. Consideremos la curva plana af´ın X, determinada por el polinomio w2−(z−a1)(z−a2)(z−a3)∈C[z, w], y denotemos por Sa=S(a1, a2, a3) la superficie de Riemann hiperel´ıptica asociada a la curva plana af´ın X. Recuerde que Sa=X`Y/ψ, donde Yes la curva plana af´ın determinada por el polinomio v2−u(1 −a1u)(1 −a2u)(1 −a3u)∈C[u, v]. Adem´as, el conjunto Sa\X⊆Yest´a constituido por un ´unico elemento q0= (0,0). A continuaci´on, probaremos que Saes una curva el´ıptica. 84 An´alisis complejo Teorema 6.5. La curva hiperel´ıptica Saes una curva el´ıptica. Prueba: Sea s=Pai. El cambio de variable z=x+s/3, w =y/2, transforma la ecuaci´on w2=Q(z−ai) en y2= 4 Q(x−ei), con ei=ai−s/3. Adem´as, observe que la ecuaci´on y2= 4 Q(x−ei) es equivalente a la ecuaci´on y2= 4x3−c2x−c3, donde c2=−4(e1e2+e1e3+e2e3), c3= 4 Yei, pues Pei= 0. Ahora, como consecuencia de (5.12), existe un ret´ıculo Λ, tal que gk(Λ) = ck. Es m´as, por (4.10), la funci´on ℘de Weierstrass para Λ satisface la ecuaci´on diferencial (℘0)2= 4℘3−c2℘−c3. Consideremos la aplicaci´on F:C/Λ→Sa, definida como F(ez) = (℘(z) + s/3, ℘0(z)/2) si z /∈Λ, q0si z∈Λ. Observe que Fest´a bien definida. A continuaci´on, probaremos que Fes un isomorfismo. As´ı, obtendremos que Saes una curva el´ıptica. Comencemos justificando que Fes una aplicaci´on biyectiva. Sea (z0, w0)∈X. Distingamos los siguientes dos casos: Si z06=ai, entonces w06= 0. Adem´as, como ℘es una funci´on el´ıptica de orden dos, deducimos de la ecuaci´on diferencial que la ecuaci´on ℘(z) = z0−s/3 presenta dos soluciones ez1,ez2∈C/Λ. Observe que bastar´a probar que ℘0(z1)6=℘0(z2). Por (4.9), obtenemos que ez2=−ez1, luego ℘0(z2) = ℘0(−z1) = −℘0(z1), pues ℘0es una funci´on el´ıptica impar. Por lo tanto, ℘0(z1)6=℘0(z2). 1 Si z0=ai, entonces w0= 0. Adem´as, usando de nuevo que ℘es una funci´on el´ıptica de orden dos, deducimos de la ecuaci´on diferencial que la ecuaci´on ℘(z) = z0−s/3 presenta una ´unica soluci´on ez1∈C/Λ. Es m´as, observe que ℘0(z1) = 0, luego F(ez1)=(z0, w0). 1Note que ℘0(z1)6= 0. 6. Curvas el´ıpticas 85 Por ´ultimo, centr´emonos en probar que efectivamente Fes morfismo. Sea ez0∈C/Λ, y consideremos la carta compleja πz0:π(Bz0)→Bz0en C/Λ. Distingamos los siguientes dos casos: Si z0/∈Λ, entonces la carta en Sade F(z0) depende del valor ℘(z0), es decir, si ℘(z0)6=ei, entonces la carta es πz◦j−1 X, y si ℘(z0) = ei, entonces la carta es πw◦j−1 X. As´ı, en el primer caso obtenemos que (πz◦j−1 X)◦F◦(πz0)−1(z)=(πz◦j−1 X)◦F(ez) = (πz◦j−1 X)(℘(z) + s/3, ℘0(z)/2) =℘(z) + s/3, y en el segundo caso (πw◦j−1 X)◦F◦(πz0)−1(z)=(πw◦j−1 X)◦F(ez) = (πw◦j−1 X)(℘(z) + s/3, ℘0(z)/2) =℘0(z)/2. Observe que ambas composiciones est´an bien definidas y son holomorfas en entornos abiertos de z0. Si z0∈Λ, entonces la carta en Sade F(z0) = q0es πv◦j−1 Y. Por lo tanto, (πv◦j−1 Y)◦F◦(πz0)−1(z)=(πv◦j−1 Y)◦F(ez) = (πv◦j−1 Y)(℘(z) + s/3, ℘0(z)/2) =πv(ψ(℘(z) + s/3, ℘0(z)/2)) =℘0(z) 2(℘(z) + s/3)2,∀z6=z0, (πv◦j−1 Y)◦F◦(πz0)−1(z0)=0. De nuevo, observe que la composici´on est´a bien definida y es holomorfa en un entorno abierto de z0, pues l´ım z→z0 ℘0(z) 2(℘(z) + s/3)2= 0. Teorema 6.6. Sean w1, w2∈C, linealmente independiente sobre R, y consideremos el ret´ıculo Λgenerado por w1, w2. Entonces, C/Λ∼ =S(e1, e2, e3), donde e1=℘(w1 2), e2=℘(w2 2), e3=℘(w1+w2 2), con ℘la funci´on de Weierstrass para Λ. Prueba: Basta reproducir la prueba anterior. 86 An´alisis complejo Cap´ıtulo 7 Teorema de Poncelet El principal objetivo de este cap´ıtulo es demostrar el teorema de Poncelet para dos c´onicas lisas CyDen posici´on general. Para tal fin, comenzaremos definiendo la correspondencia de Poncelet Mpara CyD, y precisaremos la aplicaci´on de Poncelet ηasociada a M. Concretamente, probaremos la siguiente reformulaci´on del teorema de Poncelet, en t´erminos de η: Sea n∈N, con n≥3. Si la aplicaci´on ηnpresenta un punto fijo, entonces ηnes la aplicaci´on identidad. Para probar la afirmaci´on anterior, identificaremos Ma trav´es de una aplicaci´on biyectiva con una curva algebraica lisa γen b C2, as´ı Mheredar´a la topolog´ıa y la estructura de superficie de Riemann de γ. A continuaci´on, probaremos que Mdotada con est´a estructura heredada es una curva el´ıptica. Como consecuencia, podremos dotar a Mcon una estructura de grupo anal´ıtico, y mostraremos que la aplicaci´on ηes una traslaci´on con respecto a la estructura de grupo. El teorema de Poncelet se deducir´a facilmente de este ´ultimo hecho. 7.1. Correspondencia de Poncelet Sean CyDdos c´onica lisas en P2. La correspondencia de Poncelet M para CyDest´a definida como M={(x, ξ)|x∈C, ξ ∈D∗, x ∈ξ}, donde D∗es la c´onica dual de D. Observe que las proyecciones πx:M → C, πξ:M → D∗, πx(x, ξ) = x, πξ(x, ξ) = ξ, ∀(x, ξ)∈ M, son aplicaciones sobreyectivas. Es m´as, fijado x∈C, existen ´unicamente dos rectas ξ, ξ0∈D∗, tales que (x, ξ),(x, ξ0)∈ M, salvo que x∈C∩D, 87 88 Teorema de Poncelet en cuyo caso, existe tan solamente una recta ξ∈D∗, tal que (x, ξ)∈ M. An´alogamente, fijada una recta ξ∈D∗, existen ´unicamente dos puntos x, x0∈C, tales que (x, ξ),(x0, ξ)∈ M, salvo que ξ∈C∗∩D∗, en cuyo caso, existe tan solamente un punto x∈C, tal que (x, ξ)∈ M. Precisada esta notaci´on, consideremos las aplicaciones σ, τ :M→M, σ(x, ξ)=(x0, ξ), τ(x, ξ) = (x, ξ0),∀(x, ξ)∈ M. Observe que ambas aplicaciones son involuciones de M. Es m´as, como consecuencia de la observaci´on anterior, (x, ξ)∈ M es punto fijo para σ(resp. τ) si y solo si ξ∈C∗∩D∗(resp. x∈C∩D). A la composici´on de las aplicaciones anteriores, η:M→M, definida como η=τ◦σ, se le denomina aplicaci´on de Poncelet para M. C D x0 x ξ ξ0 Figura 7.1: Aplicaci´on de Poncelet para M Lema 7.1. Las c´onicas lisas CyDest´an en posici´on general si, y solo si, C∗yD∗est´an en posici´on general. Prueba: Sea F={(x, ξ)|x∈C∩D, ξ ∈C∗∩D∗, x ∈ξ}. Observe que (x, ξ)∈ F si y solo si CyDson ambas tangentes a ξen x. Ahora bien, CyDest´an en posici´on general si y solo si F=∅. Adem´as, por dualidad, C∗yD∗est´an en posici´on general si y solo si F=∅. 7.2. Ecuaci´on algebraica para M Sea q:b C→C3, la aplicaci´on definida como q(z) = (1, z, z2) si z∈C, (0,0,1) si z=∞. 7. Teorema de Poncelet 89 Por (C.3), CyD∗admiten parametrizaciones x(z) = Aq(z),∀z∈b C, ξ(w) = Bq(w),∀w∈b C, con A, B ∈M(3×3,C), invertibles. Estas ecuaciones param´etricas permiten identificar b C2con C×D∗, mediante la aplicaci´on m:b C2→C×D∗, m(z, w)=(x(z), ξ(w)),∀(z, w)∈b C2. Adem´as, consideremos la aplicaci´on P:b C2→C, definida como P(z, w) = x(z)·ξ(w) =Tq(z)·q(w) (T= [tij]2 i,j=0 =B0A) = (T0(z), T1(z), T2(z)) ·q(w),∀(z, w)∈b C2, donde Ti:b C→C, est´a definida como Ti(z)=(ti0, ti1, ti2)·q(z), ∀z∈b C. Observe que la restricci´on de la aplicaci´on PaC2determina un polinomio p∈C[z, w], a saber, p= 2 X i=0 ( 2 X j=0 tijzj)wi. Es m´as, es f´acil comprobar que dado (z, w)∈b C2, si γes la curva algebraica en b C2definida por el polinomio p, entonces (z, w)∈γsi y solo si P(z, w) = 0. Como consecuencia, m|γ:γ→ M es una biyecci´on, pues x·ξ= 0,∀(x, ξ)∈ M. Sea ∆ : b C→C, definida como ∆(z) = T1(z)2−4T0(z)T2(z),∀z∈b C. Lema 7.2. Sea z∈b C. Entonces x(z)∈C∩Dsi, y solo si, ∆(z)=0. Como consecuencia, CyDest´an en posici´on general si, y solo si, ∆tiene cuatro ra´ıces distintas en b C. Antes de comenzar con la prueba, observe que las aplicaciones Tino tienen ra´ıces comunes en b C, pues Tes una matriz regular y q(z)6= 0, ∀z∈b C. Prueba: Recuerde que existen dos rectas distintas en x(z)∗tangentes a D, salvo que x(z)∈C∩D, en cuyo caso tan solamente existe una ´unica recta. Por lo tanto, x(z)∈C∩Dsi y solo si existe un ´unico w∈b C, tal que P(z, w) = 0. A continuaci´on, probaremos que esto ´ultimo equivale ∆(z) = 0. 96 Teorema de Poncelet Puntos p= (0, v)∈Y, para deg(f) = 4. En este caso, necesariamente v∈p∆(∞), pues l´ım u→0u4∆(1/u) = ∆(∞). Adem´as, si T2(∞) = 0, entonces v=T1(∞) ´o v=−T1(∞), y l´ım (z,w)→p (z,w)∈X0 F(z, w)=(∞,∞), l´ım (z,w)→p (z,w)∈X0 F(z, w)=(∞,−T1(∞) T0(∞)), respectivamente. En cambio, si T2(∞)6= 0, entonces l´ım (z,w)→p (z,w)∈X0 F(z, w)=(∞,−T1(∞) + v 2T2(∞)). Como consecuencia de la comprobaci´on anterior, observe que la extensi´on es una aplicaci´on continua y biyectiva. Ahora, probemos que es morfismo. Sea p= (z0, w0)∈X0, tal que ∆(z0)6= 0. Observe que la carta en Zde pes πz◦j−1 X, y la carta en γde F(p) es πz, pues (z0, w0)∈γ\Bz. Por lo tanto, πz◦F◦(πz◦j−1 X)−1(z) = πz◦F((z, h(z))) =πz(z, −T1(z) + h(z) 2T2(z)) = z. As´ı, obtenemos que Fes holomorfa en p. Adem´as, como Fes continua en Z, basta aplicar (2.19) para obtener la conclusi´on deseada. 7.5. Los automorfismos σ, τ yη Consideremos las aplicaciones σ∗, τ∗:γ→γ, definidas como σ∗= (m|γ)−1◦σ◦m|γ, τ∗= (m|γ)−1◦τ◦m|γ. Observe que ambas aplicaciones son involuciones. Es m´as, (a, b)∈γes punto fijo para σ∗(resp. τ∗) si y solo si (a, b)∈ Bw(resp. (a, b)∈ Bz). En esta secci´on nos proponemos como objetivo probar que ambas involuciones son automorfismos de γ. Como consecuencia, obtendremos que las aplicaciones σ, τ, η son automorfismos de M, pues m|γes isomorfismo. Teorema 7.9. Las involuciones σ∗yτ∗son automorfismos de γ. 7. Teorema de Poncelet 97 Prueba: Probemos que τ∗es automorfismo.4 Sea (a, b)∈γ\Bz. Distingamos los siguientes dos casos: Si a6=∞, entonces existen cartas complejas (U, πz),(U0, πz) en γ, con (a, b)∈U,τ∗(a, b)∈U0, tales que U, U0⊆γ\Bz, U ∩U0=∅, πz(U) = πz(U0). Por lo tanto, πz◦τ∗◦(πz)−1(z) = z, ∀z∈U. Si a=∞, entonces existen cartas complejas (U, 1/πz),(U0,1/πz) en γ, con (a, b)∈U,τ∗(a, b)∈U0, tales que U, U0⊆γ\Bz, U ∩U0=∅,1/πz(U)=1/πz(U0). Por lo tanto, 1/πz◦τ∗◦(1/πz)−1(z) = z, ∀z∈U. Obtenemos as´ı que τ∗es holomorfa en γ\Bz. Ahora, bastar´a probar que τ∗ es continua en Bz, como consecuencia de (2.19). Sea (a, b)∈ Bz. Supongamos por reducci´on al absurdo que γno es continua en (a, b). En tal caso, existe un abierto U⊆γ, con (a, b)∈U, y una sucesi´on (an, bn)⊆γ\Bzconvergente a (a, b), tal que τ∗(an, bn)=(an, b0 n)/∈U, ∀n∈N. 5 Ahora bien, γes compacta, luego existe una subsucesi´on (ank, b0 nk) convergente a cierto (a0, b0)∈γ. Observe que necesariamente a0=a, b06=b, pero esto es una contradicci´on, pues x(a)∈C∩D. 7.6. Automorfismos involutivos del toro complejo Sea Λ ⊆Cun ret´ıculo arbitrario, y consideremos el toro complejo T=C/Λ. Teorema 7.10. Si G:T→Tes un automorfismo involutivo, distinto de la aplicaci´on identidad, con al menos un punto fijo, entonces existe β∈C, tal que G(z+ Λ) = −z+β+ Λ,∀z∈C. 4Probar que σ∗es automorfismo es similar. 5Observe que b0 n6=bn, pues (an, bn)/∈ Bz. 98 Teorema de Poncelet Rec´ıprocamente, si G:T→Test´a definida como G(z+ Λ) = −z+β+ Λ,∀z∈C, con β∈C, entonces Ges un automorfismo involutivo con cuatro puntos fijos. Prueba: Sea G:T→Tun automorfismo involutivo, distinto de la aplicaci´on identidad, con al menos un punto fijo. Por (2.23), existen α, β ∈C, αΛ = Λ, tales que G(z+ Λ) = αz +β+ Λ,∀z∈C. Por lo tanto, z+ Λ = α2z+β(α+ 1) + Λ,∀z∈C. As´ı, obtenemos (α2−1)z+β(α+ 1) ∈Λ,∀z∈C. Observe que necesariamente α=±1. Es m´as, si α= 1, entonces β∈Λ, pues en caso contrario Gno presentar´ıa ning´un punto fijo. Ahora, centr´emonos en el rec´ıproco. Sea G:T→T, definida como G(z+ Λ) = −z+β+ Λ,∀z∈C, con β∈C. Como consecuencia de (2.23), Ges un automorfismo. Ademas, es rutinario comprobar que G ◦G =IT, donde IT:T→Tes la aplicaci´on identidad. Por ´ultimo, es f´acil calcular que los cuatros puntos fijos de Gson 1 2(β+mw1+nw2)+Λ, m, n = 0,1, con w1,w2∈C, linealmente independientes sobre R, generadores del ret´ıculo Λ. El siguiente corolario es consecuencia inmediata del resultado anterior. Corolario 7.11. Si G1,G2son automorfismo involutivos de T, distintos de la aplicaci´on identidad, con al menos un punto fijo, entonces G2◦G1es una traslaci´on de T, es decir, G2◦G1(z+ Λ) = z+β+ Λ,∀z∈C, con β∈C. 7. Teorema de Poncelet 99 7.7. Prueba del teorema de Poncelet Por (7.8), Mes una curva el´ıptica, luego existe un ret´ıculo Λ, y un isomorfismo F:T→ M, donde T=C/Λ. Adem´as, recuerde que mediante el isomorfismo F,Mhereda la estructura de grupo anal´ıtico de T. Para ello, basta definir la adicci´on F(ez1) + F(ez2) := F(ez1+ez2),∀ez1,ez2∈T. Teorema 7.12. La aplicaci´on ηes una traslaci´on de M, es decir, existe b∈ M, tal que η(p) = p+b, ∀p∈ M. Prueba: Consideremos los automorfismos involutivos G1,G2:T→T, definidos como G1=F−1◦σ◦F, G2=F−1◦τ◦F. Por (2.8), ambos automorfismos tienen cuatro puntos fijos. Aplicando (7.11), obtenemos G2◦G1es una traslaci´on de T, es decir, G2◦G1(z+ Λ) = z+β+ Λ,∀z∈C, con β∈C. Por lo tanto, ηes una traslaci´on de M, pues G2◦G1=F−1◦η◦F. Prueba del teorema de Poncelet. Sea n∈N, con n≥3. Supongamos que existe p0∈ M, tal que ηn(p0) = p0. En tal caso, por el teorema anterior, η(p)n=p+nb =p, ∀p∈ M, pues p0+nb =p0. 100 Teorema de Poncelet Ap´endice A La esfera de Riemann Es conveniente en An´alisis Complejo a˜nadir el punto del infinito como un punto m´as del plano complejo. Con tal fin, se le une a Cun elemento adicional que no est´e en ´el. Tal elemento se denota por ∞. Se obtiene as´ı el plano complejo extendido o completado b C=C∪{∞}. A continuaci´on, a trav´es de la proyecci´on estereogr´afica, dotaremos a b Cde una topolog´ıa m´etrica, respecto de la cual b Cser´a un espacio compacto. Adem´as, la topolog´ıa relativa aCresultante coincidir´a con la topolog´ıa euclidea. Sea S2la esfera de Riemann, es decir, S2={(x, y, z)∈R3|x2+y2+z2= 1}. Consideremos la proyecci´on estereogr´afica p:C→S2\{N}, definida como p(z) = 2Re(z) 1 + |z|2,2Im(z) 1 + |z|2,|z|2+ 1 |z|2+ 1,∀z∈C, C S2 p(z) N z Figura A.1: Proyecci´on estereogr´afica 101 102 Ap´endice A donde N= (0,0,1). Observe que pes una aplicaci´on biyectiva. De hecho, p−1:S2\{N} → C, viene dada por p−1(x, y, z) = x 1−z+iy 1−z,∀(x, y, z)∈S2. Nosotros estamos interesados en la extensi´on de la proyecci´on estereogr´afica ab C, esto es, ep:b C→S2, definida como ep(z) = p(z) si z∈C, Nsi z=∞. Teorema A.1. Sea dela distancia euclidea en R3. Entonces, la aplicaci´on X:b C×b C→R, definida como X(z, w) = de(ep(z),ep(w)) ∀(z, w)∈b C×b C, es una distancia en b C, denominada distancia cordal. Adem´as, expl´ıcitamente X(z, w) =        2|z−w| √(1+|z|2)(1+|w|2)si z, w ∈C, 0si z, w =∞, 2 √1+|z|2si z∈C, w =∞. Teorema A.2. Denotemos por Tcla topolog´ıa inducida en b Cpor la distancia cordal. Se verifica: 1. La topolog´ıa relativa de TcaCes la topolog´ıa euclidea Te. 2. A⊆b Ces entorno de ∞si y solo si existe r > 0tal que {∞}∪{z∈C||z|> r} ⊆ A. 3. La extensi´on de la proyecci´on estereogr´afica a b Ces un homeomorfismo. Prueba: 1. Probaremos que la aplicaci´on identidad Id: (C, de)→(C,X|C) es homeomorfismo. Observe que la proyecci´on estereogr´afica p:C→S2\ {N} es homeomorfismo. Por lo tanto, dado z∈C,ε > 0, existe δ > 0, tal que de(p(z), p(z0)) < ε, para todo z0∈B(z, δ). Obtenemos as´ı la continuidad de la aplicaci´on identidad Id: (C, de)→(C,X|C), pues X|C(z, w) = de(p(z), p(w)), ∀(z, w)∈C×C. An´alogamente, se obtiene la continuidad de la aplicaci´on identidad Id: (C,X|C)→(C, de), sin m´as que tener en cuenta la continuidad de la aplicaci´on p−1:S2\{N} → C. La esfera de Riemann 103 2. Si A⊆b Ces entorno de ∞, entonces existe ε > 0, tal que BX(∞, ε)⊆A. Luego, {∞}∪{z∈C||z|> r} ⊆ {∞}∪{z∈C|2 p1 + |z|2< ε} ⊆ A, donde r= 2/ε. Rec´ıprocamente, si existe r > 0 tal que {∞}∪{z∈C||z|> r} ⊆ A, entonces BX(∞, ε)⊆A, donde ε=2 √1+r2. 3. Basta tener en cuenta X(z, w) = de(ep(z),ep(w)),∀(z, w)∈b C×b C. 104 Ap´endice A Ap´endice B Curvas algebraicas Curvas algebraicas en C2 Sea p∈C[z, w] un polinomio de grado positivo. Consideremos el subconjunto γ={(a, b)∈C2|p(a, b) = 0} ⊆ C2. Al subconjunto γse le denomina curva algebraica en C2, determinada por el polinomio p. Sea (a, b)∈γ. La curva algebraica γes singular en (a, b) si pz(a, b) = pw(a, b)=0. En tal caso, al punto (a, b) se le denomina punto singular de la curva algebraica γ. La curva algebraica γes lisa si no contiene puntos singulares. Adem´as, supuesto que pes un polinomio irreducible, puede probarse que γes un espacio topol´ogico conexo por caminos. 1La prueba de la afirmaci´on anterior puede ser consultada en [Ahl78, cap.8, sec.2]. Curvas algebraicas en b C2 Sea p∈C[z, w] un polinomio de grado positivo. Consideremos los polinomios q=zmp(1/z, w), r=wnp(z, 1/w), s=zmwnp(1/z, 1/w), donde m= degzp,n= degwp. Al subconjunto γ={(a, b)∈b C2|p(a, b) = 0} ⊆ b C2 1La curva algebraica γes un subespacio topol´ogico de C2. 105 112 Ap´endice C Ap´endice D Isomorfismo entre curvas hiperel´ıpticas Sean a1, . . . , ann´umeros complejos distintos, con nun natural par. Consideremos la curva plana af´ın X1, determinada por el polinomio w2−(z−a1)···(z−an)∈C[z, w], y denotemos por Z1la superficie de Riemann hiperel´ıptica asociada a la curva plana af´ın X1. An´alogamente, consideremos la curva plana af´ın X2, determinada por el polinomio w2−(z−b1)···(z−bn−1)∈C[z, w], donde bj= 1/(aj−an), y denotemos por Z2la superficie de Riemann hiperel´ıptica asociada a la curva plana af´ın X2. A continuaci´on, probaremos que ambas curvas hiperel´ıpticas son isomorfas. Sean E1⊆Z1,E2⊆Z2los subconjuntos {(an,0)}∪(Z1\X1),{(0, c),(0,−c)}∪(Z2\X2), respectivamente, con cuna ra´ız cuadrada de −b1···bn−1.Recuerde que: Z1=X1`Y1/ψ, donde Y1es la curva plana af´ın determinada por el polinomio v2−(1 −a1u)···(1 −anu)∈C[u, v]. Z2=X2`Y2/ψ, donde Y2es la curva plana af´ın determinada por el polinomio v2−u(1 −b1u)···(1 −bn−1u)∈C[u, v]. El conjunto Z1\X1⊆Y1est´a constituido por dos elementos, a saber, p1 0= (0,1), p2 0= (0,−1). 113 114 Ap´endice D El conjunto Z2\X2⊆Y2est´a constituido por un ´unico elemento q0= (0,0). Ahora, consideremos la aplicaci´on f:Z1\E1→Z2\E2, definida como f(z, w) = 1 z−an ,cw (z−an)n/2,∀(z, w)∈Z1\E1. Es rutinario comprobar que fes una aplicaci´on biyectiva y continua. Interes´emonos en la extensi´on a Z1, es decir, F:Z1→Z2, definida como F(p) =        f(p) si p∈Z1\E1, q0si p= (an,0), (0, c) si p=p1 0, (0,−c) si p=p2 0. Por (2.19), bastara probar que Fes holomorfa en Z1\E1, y continua en E1, para obtener que Fes isomorfismo. Comencemos probando que Fes continua en E1. Sea G2⊆Z2abierto, tal que q0∈G2. Observe que F(z, w) = 1 z−an ,cw (z−an)n/2 =ψ1 z−an ,cw (z−an)n/2 = (z−an, cw),∀(z, w)∈X1\{(an,0)}. Por lo tanto, existe un abierto G1⊆X1, tal que (an,0) ∈G1yF(G1)⊆G2. Ahora, sean G1 2, G2 2⊆Z2abiertos, tales que (0, c)∈G1 2, (0,−c)∈G2 2. Se verifica que F(u, v) = F(ψ−1(u, v)) =F1 u,v un/2 =u 1−anv,cv (1 −anu)n/2,∀(u, v)∈Y1, con u6= 0, tal que ψ−1(u, v)6= (an,0), luego existen abiertos G1 1, G2 1⊆Y1, tales que p1 0∈G1 1,p2 0∈G2 1yF(G1 1)⊆G1 2,F(G2 1)⊆G2 2. Por ´ultimo, comprobemos que Fes holomorfa en Z1\E1. Sea p= (z0, w0)∈Z1\E1. Distingamos los siguientes dos casos: Si z06=ai, la carta en Z1de pes πz◦j−1 X1, y la carta de F(p) en Z2es πz◦j−1 X2. Entonces (πz◦j−1 X2)◦F◦(πz◦j−1 X1)−1(s) = 1 s−an . Isomorfismo entre curvas hiperel´ıpticas 115 Si z0=ai, la carta en Z1de pes πw◦j−1 X1, y la carta de F(p) en Z2es πz◦j−1 X2. Entonces (πw◦j−1 X2)◦F◦(πw◦j−1 X1)−1(s) = cs (h(s)−an)n/2, con h(s) holomorfa en un entorno abierto de 0, verific´andose s2= (h(s)−a1)···(h(s)−an). Observe que ambas composiciones est´an bien definidas en un entorno abierto respectivamente de z0, 0, pues Fes una aplicaci´on continua. 116 Ap´endice D Bibliograf´ıa [Ahl78] Lars V. Ahlfors. Complex analysis. McGraw-Hill Book Co., New York, third edition, 1978. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable, International Series in Pure and Applied Mathematics. [Apo90] Tom M. Apostol. Modular functions and Dirichlet series in number theory, volume 41 of Graduate Texts in Mathematics. 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