Desarrollo de una herramienta para el cálculo del reparto de carga en uniones remachadas

Equation Chapter 1 Section 1 Trabajo de Fin de Máster Máster en Ingeniería Aeronáutica Desarrollo de una herramienta para el cálculo del reparto de carga en uniones remachadas Autor: Daniel García Guirao Tutor: Alberto Barroso Caro Dpto. Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2021 iii Trabajo de Fin de Máster Máster en Ingeniería Aeronáutica Desarrollo de una herramienta para el cálculo del reparto de carga en uniones remachadas Autor: Daniel García Guirao Tutor: Alberto Barroso Caro Profesor titular Dpto. de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2021 v Trabajo Fin de Máster: Desarrollo de una herramienta para el cálculo del reparto de carga en uniones remachadas Autor: Daniel García Guirao Tutor: Alberto Barroso Caro El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2021 El Secretario del Tribunal vii “Si consigo ver más lejos es porque he subido a hombros de gigantes”. -Isaac Newton ix Agradecimientos Este trabajo representa el final de una etapa que no habría conseguido superar sin el apoyo que he recibido. A mi familia por confiar ciegamente en mí, convencerme de que todo es posible y demostrarme que el esfuerzo siempre tiene su recompensa. A mis amigos por llenar cada día de risas, haciéndome sentir acompañado a lo largo de un momento histórico de gran aislamiento. A todos mis profesores, que me han enseñado a ser capaz. A mis compañeros, que han estado siempre a mi lado en el camino. A mi tutor, Alberto Barroso, por acompañarme y guiarme en esta etapa, por valorarme y por ayudarme siempre que lo he necesitado. A todos los que habéis creído en mí, gracias de corazón. Daniel García Guirao Sevilla, 2021 ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1.1-Esquema de una unión de dos filas de remaches [8] 2 Figura 1.2- Carga transferida y circulante en una unión remachada [1] 5 Figura 1.3- Reparto de la carga en uniones con varias filas de remaches [1] 6 Figura 1.4- Distribución de carga en los remaches para diferente rigidez [1] 6 Figura 1.5- Distribución de carga en una unión escalonada [1] 7 Figura 1.6- Cargas transmitidas en una unión remachada [1] 7 Figura 2.1- Módulo de elasticidad de los remaches en doble cortadura: test contra predicción [7] 12 Figura 2.2- Unión a doble cortadura o solape doble [7] 12 Figura 2.3- Módulo de elasticidad de los remaches en cortadura simple: test contra predicción [7] 13 Figura 2.4- Unión a cortadura o solape simple [7] 13 Figura 2.5- Aplicación cíclica de carga [6] 14 Figura 2.6- Esquema del modelo 1D [2] 16 Figura 2.7- Esquema del modelo empleado por McCarthy [3] 16 Figura 2.8- Diferentes tipos de uniones remachadas [3] 17 Figura 2.9- Geometría de la probeta usada por McCarthy para el modelo de elementos finitos [3] 17 Figura 2.10- Ecuaciones obtenidas al aplicar equilibrio de cargas [3] 17 Figura 2.11- Transmisión de carga en un remache con holgura inicial [3] 20 Figura 2.12- Ecuaciones obtenidas al aplicar equilibrio de cargas en presencia de holgura [3] 20 Figura 3.1- Esquema del modelo adaptado a tres filas de remaches [3] 28 Figura 3.2- Representación gráfica en planta 32 Figura 3.3- Representación de una unión escalonada [2] 32 Figura 4.1- Representación gráfica de la posición de los remaches generada en data_input.xlsx 37 Figura 4.2- Reparto de carga concéntrica en cada remache 39 Figura 4.3- Representación gráfica en planta 39 Figura 4.4- Reparto de carga concéntrica en cada remache para diferentes relaciones K_b/K_placas 41 Figura 4.5- Reparto de carga concéntrica en cada remache para diferentes relaciones del espesor de las placas 42 Figura 4.6- Reparto de carga concéntrica en cada remache para diferentes valores del espesor de las placas 43 Figura 4.7- Reparto de carga concéntrica en cada remache para diferentes valores de la separación entre columnas 44 Figura 4.8-Reparto de carga concéntrica en cada remache para diferentes valores de la separación entre filas 45 Figura 4.9- Reparto de carga concéntrica en cada remache para una unión de tres filas de remaches 46 Figura 4.10- Reparto de carga concéntrica en cada remache para una unión de cuatro filas de remaches 47 xvii Figura 4.11- Reparto de carga concéntrica en cada remache para una unión de cinco filas de remaches 48 Figura 4.12- Reparto de carga concéntrica en cada remache para una unión de siete filas de remaches 49 Figura 4.13- Reparto de carga concéntrica en cada remache al aplicar holgura 50 Figura 4.14- Reparto de carga concéntrica en cada remache al aplicar diferentes valores de holgura 51 Figura 4.15- Reparto de carga concéntrica sin escalonado 53 Figura 4.16- Reparto de carga concéntrica con escalonado progresivo 54 Figura 4.17- Representación gráfica de un escalonado progresivo 54 Figura 4.18- Reparto de carga concéntrica con escalonado óptimo 55 Figura 4.19- Representación gráfica de un escalonado óptimo 55 Figura 4.20- Reparto de carga concéntrica en una unión de materiales metálicos 57 Figura 4.21- Reparto de carga concéntrica en una unión de solape doble 58 1 INTRODUCCIÓN n el presente capítulo se realizará una introducción al contenido que recoge este trabajo, empezando por una revisión de la motivación de la que surge el desarrollo de la herramienta, el problema de estudio y los objetivos que se esperan conseguir. Finalmente, se profundizará brevemente en los conceptos principales de las uniones remachadas, en los tipos de carga a los que se ven sometidos los elementos de unión y en el cálculo algebraico seguido para construir el modelo analítico. 1.1 Motivación Las uniones remachadas han demostrado su utilidad en la conexión de grandes elementos estructurales. Concretamente, para realizar uniones en estructuras aeronáuticas los remaches ofrecen una serie de ventajas frente a las uniones adhesivas y soldadas que las convierten en el candidato favorito de los fabricantes, en concreto en el fuselaje y las alas. Sin embargo, la motivación para el desarrollo de esta herramienta no se ciñe exclusivamente al entorno aeroespacial, sino que se pretende crear una aplicación que pueda usarse tanto en el ámbito académico como en el productivo para obtener resultados fiables sobre el reparto de cargas en cada elemento de unión empleando métodos de cálculo. Este trabajo surge como complemento y ampliación del TFG “Cálculo del reparto de carga en uniones remachadas aeronáuticas”, de Armando López López, que enfoca la resolución del problema mediante métodos numéricos y realiza una revisión del estado del arte sobre la que se apoya este proyecto. Para desarrollar la herramienta es necesario construir el modelo sobre un conjunto de ecuaciones de elasticidad que dependen directamente de las propiedades de los materiales que intervienen en la unión: los adherentes y el remache. Estas propiedades se dividen en dos categorías: aquellas que pueden medirse con métodos directos y las que necesitan metodologías indirectas para aproximar su valor. Es en esta segunda categoría donde este trabajo se centra, ya que la fiabilidad del modelo será igual a la de los datos que lo componen, y para ello se expondrá un estudio detallado de la obtención de parámetros indirectos como la flexibilidad de los remaches. Esta propiedad es fundamental para obtener un reparto de cargas realista, ya que un valor de rigidez erróneo supone una estimación incorrecta de las cargas que soportan elementos de unión críticos. Por tanto, el esfuerzo realizado en obtener una medida más precisa se verá recompensado en la obtención de aproximaciones cercanas a la realidad que permitan a un fabricante realizar diseños seguros que no desperdician rendimiento del material por ser demasiado conservadores. 1.2 Problema de estudio y objetivos El objetivo de este trabajo consiste en desarrollar una herramienta digital que permita modelar un estado de carga genérico de una unión remachada de N filas y M columnas, con una interfaz en formato Excel para introducir los parámetros geométricos deseados y las propiedades de los materiales que intervienen en el proceso. El output de esta herramienta será la carga soportada por cada uno de los remaches considerando su desacoplamiento en carga excéntrica y concéntrica. E Introducción 2 Además de estar automatizada para cualquier geometría y carga aplicada, la herramienta podrá aplicarse en uniones entre materiales metálicos y entre adherentes de material compuesto. Es en este último caso donde interviene el mencionado cálculo de la flexibilidad de los remaches, ya que cuando se trata de una unión remachada de adherentes metálicos, es realista realizar aproximaciones que simplifican el problema de estudio, como se comentará en el capítulo 1.3. Independientemente del número de columnas que intervengan en el problema, es el número de filas de elementos de unión el condicionante del potencial reparto desigual de cargas que soportará cada remache. Para ello, se realizará una aproximación al modelo 1D desarrollado por varios autores en la literatura, pudiendo obtener los desplazamientos de cada sección de los adherentes mediante un cálculo matricial, conociendo la carga “P” a la que se ve sometida la unión y la matriz de rigideces de cada sección de los adherentes y de cada remache. En la figura 1.1 aparece un esquema de una unión remachada sobre el que está basado el modelo 1D seguido en el proyecto. Figura 1.1-Esquema de una unión de dos filas de remaches [8] La descripción de la herramienta, además, se complementará con la muestra de los resultados obtenidos en varios casos de ejemplo que permitirán visualizar la influencia de algunos valores clave en el diseño de las uniones mecánicas, tales como el espesor relativo de los adherentes o la flexibilidad de los remaches. Estos resultados se compararán con los existentes en la literatura, a fin de validar el modelo de rigidez de los remaches empleado. Además, se añadirán al modelo analítico holguras en los elementos de unión para comprobar su influencia en el reparto de cargas. Finalmente, contará con un módulo que adaptará el modelo 1D al caso de una unión escalonada, permitiendo calcular el reparto de cargas para un escalonado concreto además de obtener el escalonado óptimo para lograr un reparto de cargas equitativo. Una vez desarrollada y validada, se pretende que esta herramienta pueda ser utilizada como software open source por investigadores y estudiantes, a fin de reducir el número de ensayos experimentales (y con ello el coste económico) en el cálculo del reparto de cargas en uniones remachadas. 1.3 Conceptos básicos En este apartado se profundizará en las ideas y conceptos principales que aparecen en este documento. 1.3.1 Introducción a las uniones remachadas Las uniones remachadas son un tipo de uniones mecánicas. A diferencia de las uniones desmontables (bulones), sus elementos de unión son permanentes. Se fabrican en base a materiales dúctiles, fáciles de 3 3 Desarrollo de una herramienta para el cálculo del reparto de carga en uniones remachadas deformar, cuya elección concreta depende de la naturaleza de los adherentes y la aplicación específica de la unión. Suponen una alternativa a las uniones adhesivas que conlleva inevitablemente un peor comportamiento a fatiga debido a los concentradores de tensiones que se producen en el entorno de los taladros originados durante la ejecución de la unión remachada. Por otro lado, su uso presenta ventajas frente a las uniones adhesivas por su mejor comportamiento a bajas y altas temperaturas y en escenarios de carga sostenida. Además, su montaje puede automatizarse con facilidad, reduciendo coste, mano de obra y tiempo invertido en la instalación de las uniones remachadas. Tabla 1.1- Tipos de fijaciones mecánicas [1] Se referirá como “remaches” a todos los tipos de fijaciones permanentes durante el resto del documento. Las características de cada tipo de remache y las diferencias entre ellos están fuera del alcance de ese trabajo, ya que las hipótesis empleadas son válidas para cualquier categoría. En la tabla 1.1 aparece una clasificación de diferentes tipos de elementos de uniones mecánicas. [1] 1.3.2 Tipos de uniones Hay diversas clasificaciones sobre los tipos de unión. En la tabla 1.2 pueden observarse algunos de los tipos más comunes. Introducción 4 Tabla 1.2- Diferentes tipos de uniones remachadas [2] Para comprender la diferencia fundamental entre las uniones simples y dobles, es necesario hablar de la flexión secundaria, que aparece en el primer caso. Este fenómeno se produce como resultado de la excentricidad en la aplicación de la carga, que provoca un momento en la unión, generando un giro y una reorientación de los adherentes de forma que se crean tensiones de pelado perpendiculares a la cara de unión. Estas tensiones son máximas en los extremos y tienen un efecto muy acusado en la vida a fatiga de las uniones. [1] En este trabajo, la influencia de las tensiones de pelado aparece en la ecuación utilizada para obtener la rigidez de los elementos de unión. 1.3.3 Análisis de cargas en uniones remachadas De cara a identificar los posibles mecanismos de fallo en una unión remachada y sus valores admisibles, es necesario conocer: • El estado tensional en el entorno de los taladros. • La carga transmitida por cada remache. Es en el segundo punto en el que se centra este trabajo, ya que conocer la carga que soporta cada elemento de unión es crucial en el análisis y el diseño de fijaciones permanentes de cara a conocer los mecanismos de fallo y las cargas críticas que soportará la unión. Una vez conocidas, el siguiente paso será desarrollar el estado tensional en el entorno del taladro, un punto que está fuera del alcance de este proyecto. Cuando se tiene una unión remachada con varias filas de remaches, la carga transferida por cada remache es la diferencia entre la carga total que llega a esa fila y la carga circulante que pasa a la siguiente fila. 5 5 Desarrollo de una herramienta para el cálculo del reparto de carga en uniones remachadas Figura 1.2- Carga transferida y circulante en una unión remachada [1] En la figura 1.2 se muestra cómo la carga F se transmite a través de dos filas de remaches, de modo que F1+F2=F. En la chapa A, por ejemplo, siguiendo el esquema de izquierda a derecha, se comienza teniendo la carga F total, que se reduce a una carga circulante F-F1 tras la transmisión de F1 a la chapa B, para finalmente transmitirse del todo esa carga F-F1=F2, es decir, la carga transmitida por el remache 2. Conocer la carga transmitida y circulante en las uniones remachadas es fundamental para predecir los mecanismos de fallo críticos para una unión concreta. Si la naturaleza o la geometría de los adherentes es diferente, se tienen distribuciones desiguales de la carga transmitida cuyo conocimiento se puede obtener con métodos como el que se empleará en este trabajo. Un análisis preliminar que considere la deformación elástica de los adherentes ilustra que las filas externas de remaches tendrán un valor de carga transferida mayor, mientras que las internas quedarán más descargadas. Esto se debe a que en las uniones cercanas a los extremos se dan las mayores deformaciones a tracción de los adherentes. Por lo tanto, el cálculo del reparto de carga además depende de la cantidad de filas de remaches que existan en la unión, cuyo número no suele aumentar por encima de 4 para evitar situaciones críticas. La capacidad de comportamiento plástico de los materiales metálicos hace que sus uniones se calculen a efectos prácticos con un reparto idéntico en cada fila de remaches. Esto no es correcto con cargas pequeñas, pero al aumentar la carga a transmitir el entorno de los taladros de las filas de remaches plastifica, produciéndose redistribuciones locales de las tensiones y permitiendo que las filas de remaches internas crezcan hasta alcanzar valores de límite elástico. Esto no ocurre en el caso de materiales sin capacidad de comportamiento plástico (por ejemplo, en uniones de material compuesto con las fibras orientadas en la dirección de la carga). [1] Introducción 6 Figura 1.3- Reparto de la carga en uniones con varias filas de remaches [1] La figura 1.3 es útil para representar esquemáticamente lo expuesto en los párrafos anteriores, siendo necesario recalcar que el objetivo de este trabajo es el de conocer en detalle el reparto de cargas cuando éste es desigual, por lo que los valores que aparecen en casos en los que interviene un adhesivo de composite deben tomarse como representativos en este contexto. Cabe destacar el caso de la unión metalcomposite, donde los remaches más cercanos al material más flexible transmiten más carga que los del extremo opuesto. La herramienta desarrollada sólo cubrirá la posibilidad de simular uniones metal-metal (con un reparto idéntico) y uniones composite-composite, eliminando la posibilidad de plastificación en el entorno de los taladros. Con respecto a la rigidez de los remaches, un punto de gran importancia para el desarrollo de este trabajo, existe también una notable influencia en el reparto de carga. La elección de elementos de unión con rigideces comparativamente menores que las de las piezas a unir tiende a igualar la carga transferida, mientras que la tendencia a igualar ambas rigideces provoca una descarga total de las filas interiores. Figura 1.4- Distribución de carga en los remaches para diferente rigidez [1] Por otro lado, el escalonado de las piezas a unir provoca una reducción progresiva de la rigidez de la pieza, permitiendo generar una unión de materiales compuestos donde cada fila soporta aproximadamente el mismo nivel de carga. No obstante, la preparación del material para este tipo de unión encarece considerablemente el proceso. 7 7 Desarrollo de una herramienta para el cálculo del reparto de carga en uniones remachadas Figura 1.5- Distribución de carga en una unión escalonada [1] Para calcular la carga de cortadura en cada remache, es decir, la carga transmitida por cada elemento de unión, han de obtenerse las cargas concéntricas y excéntricas de forma desacoplada, para posteriormente hacer una suma que permita conocer el valor total de la carga que transmite la unión en cada dirección. Para realizar este desacoplamiento se supone que el centroide de la unión remachada es el centro de rotación de la unión, de modo que una fuerza P aplicada a una distancia L del centroide es equivalente a aplicar una fuerza P en el centroide con la misma dirección y sentido que la carga original, acompañada por un momento de valor 𝑷∗𝑳 aplicado en el mismo centroide, cumpliendo el principio de transmisibilidad. [1] Figura 1.6- Cargas transmitidas en una unión remachada [1] 1.3.3.1 Carga concéntrica La carga concéntrica 𝑃𝑐𝑖 se calcula repartiendo la carga P a partes iguales en cada columna, y a continuación el cálculo del reparto en cada fila depende del material empleado como adherente: • Si se trata de un material dúctil el reparto es uniforme, se obtiene tal que: 𝑃𝑐𝑖|=𝑃 𝑛𝑟𝑒𝑚𝑎𝑐ℎ𝑒𝑠 • Si se trata de un material no dúctil, el cálculo es más complejo y se usarán modelos 1D que se explicarán en el siguiente capítulo. Esta carga estará orientada en la dirección y, la misma que tiene la carga aplicada. Estado del Arte 14 En la figura 2.3 pueden comprobarse los resultados obtenidos al aplicar esta expresión. La figura 2.4 ilustra el tipo de unión en el que se aplica esta ecuación. Siguiendo el ejemplo de las referencias utilizadas para explorar el estado del arte del modelo de reparto de carga, se tomarán estas ecuaciones para el primer desarrollo de la herramienta, siendo posible modificar la línea de código correspondiente de cara a futuras iteraciones para optimizar su función. 2.1.3 Huth (1986) [6] Es pertinente mencionar el estudio de Huth y su influencia en la obtención de la ecuación de flexibilidad de los remaches. Lejos de realizar test estáticos, su planteamiento consistió en someter a las uniones a cargas cíclicas de R=0 aumentando el rango progresivamente hasta la fractura, consiguiendo la curva de tensióndeformación elasto-plástica. En la figura 2.5 se muestran los resultados obtenidos en estos experimentos. Figura 2.5- Aplicación cíclica de carga [6] Tras una serie de ensayos similares, desarrolló una ecuación que se ajustaba a los resultados para calcular la flexibilidad de los remaches: [6] 𝑓=(𝑡1+𝑡2 2𝑑 )𝑎𝑏𝑛 ( 1 𝑡1𝐸1+1 𝑛𝑡2𝐸2+1 𝑛𝑡1𝐸3+1 2𝑛𝑡2𝐸3) El paréntesis del lado derecho representa la componente de las cargas de aplastamiento, mientras que el 15 15 Desarrollo de una herramienta para el cálculo del reparto de carga en uniones remachadas izquierdo corresponde a la flexión y la cizalladura. Los valores de a y b se obtienen para cada uno de los 3 grupos de uniones que diferenció Huth, como puede comprobarse en la tabla 2.1. El valor n se sustituye por 1 en cortadura simple y 2 en cortadura doble. Grupo I Uniones atornilladas 𝑎=2/3 𝑏=3.0 Grupo II Uniones remachadas 𝑎=2/5 𝑏=2.2 Grupo III Uniones grafito/epoxi 𝑎=2/3 𝑏=4.2 Tabla 2.1- Factores ecuación de Huth [6] 2.1.4 Boeing Jarfall realizó también una propuesta para Boeing desarrollando dos ecuaciones para el cálculo de la flexibilidad de los remaches. No obstante, no existe demasiada información sobre su origen debido a la confidencialidad existente entre los fabricantes aeronáuticos. Ecuación 1 𝑓=4(𝑡1+𝑡2) 5𝐺𝑏𝐴𝑏+ 𝑡13+5𝑡12𝑡2+5𝑡1𝑡22+𝑡23 40𝐸𝑏𝐼𝑏+ 𝑡1+𝑡2 𝑡1𝑡2𝐸𝑏+ 1 𝑡1𝐸1+ 1 𝑡2𝐸2 Ecuación 2 𝑓=2(𝑡1 𝑑)0.85 𝑡1(1 𝐸1+3 8𝐸𝑟)+2(𝑡2 𝑑)0.85 𝑡2(1 𝐸2+3 8𝐸𝑟) Tabla 2.2- Ecuaciones de Boeing [2] 𝑬𝒓 corresponde al módulo de Young del remache y d a su diámetro. Su uso está muy extendido en manuales de mantenimiento de aeronaves y directivas de aeronavegabilidad. [2] 2.2 Modelos para el cálculo del reparto de carga A continuación, se realizará una introducción a los modelos típicamente utilizados para el cálculo de uniones remachadas que tienen varias filas de elementos de unión, junto con una revisión de trabajos anteriores que han empleado las ecuaciones propuestas por Nelson para estimar el valor de la rigidez de los remaches. 2.2.1 Métodos 1D Este tipo de modelos representa los elementos de fijación y los adherentes como resortes, de modo que la constante de los resortes correspondientes a los remaches 𝐾𝑟 sea equivalente a la inversa de la flexibilidad de estos, es decir, a su rigidez. En la figura 2.6 se muestra un esquema del modelo. Estado del Arte 16 Figura 2.6- Esquema del modelo 1D [2] Este modelo está limitado por considerar únicamente desplazamientos y cargas en la dirección longitudinal, por lo que la dirección de aplicación de los esfuerzos debe ser paralela a la columna de remaches. Por lo tanto, no se tiene en cuenta la flexión ni el posible giro de la unión, cuyos efectos se encuentran embebidos en la ecuación de flexibilidad de los remaches de Nelson. Esta clase de simplificaciones, que poco se alejan de las aplicaciones reales de uniones remachadas sometidas a cargas, permiten obtener un modelo con poco coste computacional. [2] 2.2.2 Modelo de McCarthy [3] En un estudio realizado por M.A. McCarthy, C.T. McCarthy y G.S. Padhi se presenta un método simplificado para determinar los efectos de la holgura de los remaches en una unión mecánica. Su método, aplicable a uniones de una sola columna y tres filas de remaches, está basado en estudios previos que no consideraban la inclusión de la holgura de los elementos de unión. Todo su planteamiento se valida empleando un modelo de elementos finitos tridimensional y, finalmente, se comprueba la influencia de ciertos parámetros de la unión. Figura 2.7- Esquema del modelo empleado por McCarthy [3] En la figura 2.7 se ilustra el modelo 1D propuesto por McCarthy, ideado para modelar tres elementos de unión posibilitando adaptarlo a un diferente número de filas, lo cual es uno de los objetivos principales de este trabajo. 𝑲𝑩 representa en el modelo la rigidez de los remaches, 𝑲𝑺𝑷𝑳 corresponde a la rigidez de la placa splice entre los remaches y 𝑲𝑺𝑲𝑰𝑵 a la rigidez de la placa skin. Sólo se presentará en este documento el procedimiento seguido para los casos (b) y (d) de la figura 2.8, los cuales han sido modelados en la herramienta. En la figura 2.9, puede comprobarse la geometría tridimensional utilizada para el estudio de elementos finitos. 17 17 Desarrollo de una herramienta para el cálculo del reparto de carga en uniones remachadas Figura 2.8- Diferentes tipos de uniones remachadas [3] Figura 2.9- Geometría de la probeta usada por McCarthy para el modelo de elementos finitos [3] Es necesario puntualizar que el espesor de cada uno de los adherentes (skin y splice) se asume constante en toda la placa, siendo posible que difieran entre ellos en dimensiones o en material. Por simplicidad, se asumirán todos los remaches de igual diámetro y material. Además, debe considerarse que las masas 1-7 de la figura 2.7 sólo pueden moverse libremente en la dirección horizontal, al igual que todos los resortes sólo tienen rigidez en dicha dirección, y los efectos de la fricción son despreciables. Figura 2.10- Ecuaciones obtenidas al aplicar equilibrio de cargas [3] Estado del Arte 18 Una vez conocida la constante de rigidez de cada resorte, determinar los desplazamientos para una carga determinada puede realizarse mediante un equilibrio de fuerzas en cada una de las masas, como puede comprobarse en la figura 2.10, donde se representan las fuerzas aplicadas sobre las masas 1 y 4. Este equilibrio, extendido a cada una de las masas, lleva a un sistema de ecuaciones lineales de 2X+2 incógnitas donde X es el número de filas de remaches. La condición de contorno de empotramiento en el extremo del splice permite simplificar el problema y convertirlo en un sistema de 2X+1 ecuaciones del tipo: 𝑀𝑥󰇘+𝐾𝑥=𝐹 Suponiendo una aplicación de cargas cuasiestática, el problema queda planteado matricialmente de forma que los desplazamientos se puedan obtener multiplicando el vector de carga F por la inversa de la matriz de rigidez. El proceso seguido para obtener los valores de los componentes de la matriz de rigidez se detallará en el capítulo 3 de este informe, ya que la construcción de la herramienta se basa sobre las ecuaciones utilizadas en este estudio. Con respecto a los resultados obtenidos por este estudio, se presentarán a continuación y se realizará una comparación con los resultados de la herramienta en el capítulo 4 de este documento. Tabla 2.3- Influencia del espesor de las placas [3] 19 19 Desarrollo de una herramienta para el cálculo del reparto de carga en uniones remachadas La notación seguida en el estudio establece como DL las uniones de solape doble (double lap) y como SL las uniones de solape simple (single lap). Puede comprobarse cómo en el primer caso hay una relación 2:1 entre skin y splice debido a que hay dos láminas de splice. En ambos escenarios, el desequilibrio de espesores entre adherentes provoca que haya mayor transmisión de carga por los remaches más cercanos a la placa de menor rigidez: la más delgada. Tabla 2.4- Influencia de la anchura de las placas [3] Tabla 2.5- Influencia de la separación entre las filas de remaches [3] Por otro lado, los cambios en la separación entre las columnas de remaches (plate width, tabla 2.4) influyen aumentando proporcionalmente la rigidez de los adherentes, mientras que un aumento en la distancia entre las filas de remaches (tabla 2.5) disminuye la rigidez de los tramos de placas entre cada elemento de unión. En ambos casos, puede observarse cómo al aumentar la rigidez de los adherentes permaneciendo la de los remaches inalterada existe una tendencia a equilibrar el reparto de carga. Por el contrario, cuanto menor sea la rigidez de las placas y por lo tanto más se aproxime a la de los elementos de unión, más desigual será el reparto. McCarthy propuso un cambio del modelo para reflejar la evidencia experimental de la influencia de la holgura en el entorno de los elementos de unión. Su aparición provoca un retraso en la transmisión de carga proporcional a la separación inicial entre la superficie del elemento de unión y las placas, suponiendo que se encuentra a la misma distancia de ambos adherentes. Un efecto menor de la holgura es una ligera disminución en la rigidez de los elementos de unión debido a que existe menos área de contacto entre estos y las placas a unir. Esto se desprecia ya que para cargas elevadas la diferencia con el caso ajustado es despreciable. Estado del Arte 20 La influencia de este fenómeno en este estudio se basa en que el retraso en la transmisión de carga provoca que los remaches se carguen progresivamente, de modo que los más ajustados comienzan transmitiendo la totalidad de la carga. Los cambios en el modelo se basan en las siguientes hipótesis, que se representan gráficamente en la figura 2.11: - La carga transmitida por un remache es nula hasta que la holgura desaparece. - Cuando la holgura desaparece, la carga transmitida es igual a la rigidez del remache por el desplazamiento de éste. Figura 2.11- Transmisión de carga en un remache con holgura inicial [3] Los cambios en el modelo se basan en introducir condiciones que establezcan que la carga transmitida de cada remache es igual a 0 hasta que el desplazamiento exceda a la holgura, además de derivar las ecuaciones del movimiento. El diagrama del cuerpo libre resultante tras aplicar las condiciones queda de la forma: Figura 2.12- Ecuaciones obtenidas al aplicar equilibrio de cargas en presencia de holgura [3] 21 21 Desarrollo de una herramienta para el cálculo del reparto de carga en uniones remachadas Al sólo verse afectados los términos del lado derecho, la única modificación efectiva en las ecuaciones matriciales planteadas en el caso sin holgura se produce en el vector de la carga, resultando el siguiente: Los resultados expuestos a continuación (tabla 2.6) reflejan cómo el aumento de la holgura en remaches concretos provoca una disminución proporcional en la carga que transmiten al alcanzarse el equilibrio estático. Tabla 2.6- Influencia de la holgura en el entorno de los remaches [3] 2.2.3 Jinwu Xiang [4] En “An improved spring method for calculating the load distribution in multi-bolt composite joints”, se presenta un modelo 1D para el cálculo del reparto de carga en uniones mecánicas más completo que el desarrollado en el punto anterior, basándose en el mismo procedimiento matricial pero añadiendo los efectos de la fricción. Se afirma que este método puede usarse como herramienta inicial para diseño cuando se va a realizar con frecuencia cambios en los parámetros de la unión. Estado del Arte 22 Al igual que en el caso de la adición de los efectos de la holgura, tener en cuenta la fricción sólo modifica el vector de cargas. En este proyecto no se tomarán en cuenta los efectos de la fricción ya que en la práctica es añadir holgura y puede colocar el modelo en el lado de la inseguridad. El uso del modelo de McCarthy en estudios más contemporáneos prueba la validez y aceptación del método, que servirá como base para desarrollar la herramienta. Ésta modificará el modelo automáticamente en función del número de remaches que se desee colocar en la unión, haciéndola escalable. 3 DESCRIPCIÓN DE LA HERRAMIENTA n este capítulo se realizará una revisión exhaustiva de la herramienta, incluyendo una descripción de los archivos utilizados para introducir los parámetros de entrada, el desarrollo matemático seguido en el código contenido en el fichero .m para obtener el reparto de cargas y los varios archivos de visualización y resultados generados por su uso. 3.1 Requerimientos de la herramienta En este apartado se describirán las funcionalidades requeridas de la herramienta. Estos objetivos han sido los pilares de su desarrollo de cara a obtener la mayor flexibilidad y adaptabilidad posibles a cualquier caso de uso. • Obtener la carga transferida por cada remache en una unión mecánica conocida la geometría de la unión y las propiedades de los materiales que la conforman. o Conocer las cargas concéntricas transferidas por cada fila. o Conocer las cargas excéntricas, de haber desalineamiento entre la carga aplicada y el centroide de los remaches. • Permitir diferenciar entre unión de materiales metálicos y materiales compuestos. • Permitir diferenciar entre unión de solape simple y de solape doble. • Ser independiente de la geometría, adaptándose a una unión mecánica de NxM remaches separados entre sí por una distancia introducida por el usuario. • Facilitar una visualización de la geometría en tiempo real al introducir los parámetros de entrada. • Proporcionar una visualización de los resultados que exprese con claridad las cargas transmitidas por cada remache. • Facilitar una salida en formato tabla que contenga toda la información necesaria para conocer la transmisión de cargas en la unión. • Permitir la modificación rápida de los siguientes parámetros para comprobar sus efectos en el reparto de cargas: o Geometría de cada adherente (espesor) o Propiedades de cada adherente (módulo de Young longitudinal/transversal) o Geometría de los remaches (diámetro) o Propiedades de los remaches (módulo de cizalladura, módulo de Young, tipo de remache) • Facilitar la opción de introducir holgura entre cada remache y el contorno del agujero de forma independiente para comprobar sus efectos en el reparto de cargas. • Calcular el reparto de cargas en una unión escalonada donde el espesor de las placas disminuye la misma cantidad tras cada remache. • Para uniones escalonadas obtener, mediante métodos numéricos, una reducción del espesor óptima imponiendo la misma transmisión de cargas en cada elemento de unión. E Descripción de la herramienta 30 30 %𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎= 𝑃 𝑃𝑐𝑜𝑙 3.6 Cálculo del reparto de cargas en presencia de holgura La existencia de holguras en el entorno de los remaches influye en el problema, como se desarrolló en el capítulo anterior, donde se presentó la adaptación de las ecuaciones al caso de una unión con tres filas de remaches. Al igual que para el resto de los cálculos, se ha buscado expresar los efectos de la holgura con independencia del número de remaches, por lo que el código de la herramienta importa una columna incluida en la página “Geometría” del archivo Excel que contiene el valor de la holgura media en cada elemento de unión (c) para así construir un vector de cargas con la forma: 𝐹= ( −𝐾𝑏𝑁𝑐𝑁 𝐾𝑏𝑁𝑐𝑁 −𝐾𝑏𝑁−1𝑐𝑁−1 𝐾𝑏𝑁−1𝑐𝑁−1 ⋮ −𝐾𝑏1𝑐1 𝐾𝑏1𝑐1 𝑃𝑐𝑜𝑙−∑𝐾𝑏𝑖𝑐𝑖 𝑁 𝑖=1 ) Los desplazamientos se obtienen de la misma forma que para el caso sin holguras, al igual que el cálculo del porcentaje de carga que transmite cada remache. 3.7 Visualización Cumpliendo con otro de los requisitos, la herramienta incluye un módulo de exportación de resultados en formato gráfico y en formato .xlsx. Las líneas de código se encuentran al final del fichero .m, el cual está descrito para facilitar su lectura y comprensión. 3.7.1 Tabla de datos La herramienta muestra por la consola de MATLAB una tabla con cuatro columnas: • Nº Remache: Identificación del remache, siguiendo la misma numeración que la indicada en el fichero de input. • Carga concéntrica: Resultados obtenidos tras la resolución del sistema 𝐾𝑥=𝐹. • Carga excéntrica: Suma euclidiana de la componente X y la componente Y calculadas en el apartado de carga excéntrica: 31 31 Desarrollo de una herramienta para el cálculo del reparto de carga en uniones remachadas 𝑃𝑒=√𝑃𝑋𝑒 2+𝑃𝑌𝑒 2 • Carga total: Suma euclidiana de las componentes X e Y totales: 𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙=√𝑃𝑋𝑒 2+(𝑃𝑌𝑒+𝑃𝑐𝑜𝑛𝑐)2 Además, el código genera un fichero Excel (data_ouput.xlsx) exportando esta misma tabla, que debe ser eliminado o renombrado previamente a utilizar la herramienta con nuevos parámetros de entrada, ya que los resultados se sobrescriben y podrían almacenarse en el mismo fichero valores de diferentes experimentos. 3.7.2 Representación gráfica La representación gráfica consiste en una vista en planta de la unión, siguiendo el esquema de la figura 1.6. Independientemente del tipo de unión (solape simple/doble) la vista en planta permite representar la geometría y la dirección de las cargas transmitidas por cada remache, ya sean concéntricas o excéntricas. Además, el código incluye un escalado automático de la imagen para cualquier variación de la geometría, como la posición de los remaches o el punto de aplicación de la carga. En la visualización, se representa una placa con el contorno de color negro que se trata del adherente skin, que transmite la carga. Esta placa será de forma rectangular si la distancia del punto de aplicación de la carga al centroide es igual o menor que la distancia de la columna de remaches más alejada, y trapezoidal si es mayor. La placa splice se representa con el contorno azul y siempre es rectangular. Con respecto a las cargas, el valor total transmitido por la unión se representa con una flecha negra en el punto de aplicación, mientras que las cargas transferidas por cada elemento de unión se muestran con vectores con el origen centrado en el remache. Los vectores de color azul simbolizan la carga excéntrica, y van acompañados de su valor en la componente X y en la componente Y, respectivamente. Por otro lado, los de color rojo representan la carga concéntrica, acompañada de su valor, y orientada en la misma dirección y sentido que la carga aplicada. En la figura 3.1 se muestra una representación de ejemplo con la misma geometría que la presentada al inicio del capítulo. Descripción de la herramienta 32 32 Figura 3.2- Representación gráfica en planta 3.8 Uniones escalonadas El último módulo por detallar cumple con los dos últimos requerimientos de la herramienta del punto 3.1. Se trata de habilitar la posibilidad de adaptar el modelo a uniones escalonadas, permitiendo en un caso conocer el reparto de cargas al imponerse un escalonado arbitrario, y en otro calcular el escalonado óptimo que permita un reparto equitativo. Este tipo de uniones tiene mayor relevancia en el caso de estudio principal del proyecto, la unión de placas de material compuesto, en las que la preparación previa necesaria para este tipo de uniones es más asequible, dada la naturaleza del material, al poder realizar un laminado que forme un escalonado en el extremo a unir. 3.8.1 Cálculo del reparto de cargas con escalonado uniforme Si el campo correspondiente en el documento de input ha sido seleccionado (Unión escalonada=1), la herramienta adaptará el modelo 1D al caso escalonado. Por defecto, el escalonado será progresivo, con una reducción del espesor igual en cada salto. Es importante destacar que, por la tipología de la unión, se tratará como una unión a solape simple a todos los efectos. Figura 3.3- Representación de una unión escalonada [2] 33 33 Desarrollo de una herramienta para el cálculo del reparto de carga en uniones remachadas Como puede verse en la figura 3.2, la reducción del espesor se produce en el tramo de placa entre cada fila de remaches, lo cual se opone al modelo 1D, donde los tramos de placa tienen rigideces 𝐾𝑠𝑝/𝑠𝑘 constantes. La solución propuesta a esto consiste en tomar la rigidez de los tramos de los extremos igual a la rigidez base de la placa, y utilizar la media aritmética de los dos espesores de cada tramo central para calcular la rigidez equivalente. Por ejemplo, si tras el primer remache el espesor de la placa superior pasa de ser 1mm a 2mm, la rigidez se calcula considerando que 𝑡𝑠𝑘=1.5mm. El cálculo se realiza de la siguiente forma: 𝑡𝑠𝑘(𝑖)=𝑡𝑠𝑘0∗𝑖 𝑁+1 𝑡𝑠𝑝(𝑖)=𝑡𝑠𝑝0−𝑡𝑠𝑝0∗𝑖 𝑁+1 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑖=1:𝑁 Conocido el espesor real de cada tramo, se calculan los espesores medios de los tramos intermedios: 𝑡𝑠𝑘𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜=𝑡𝑠𝑘(𝑖)+𝑡𝑠𝑘(𝑖+1) 2 𝑡𝑠𝑝𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜=𝑡𝑠𝑝(𝑖)+𝑡𝑠𝑝(𝑖+1) 2 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑖=1:(𝑁−1) A continuación, se calcula la rigidez de los tramos de los extremos: 𝐾𝑠𝑘0=𝐸𝑠𝑘∗𝑤𝑠𝑘∗𝑡𝑠𝑘0 𝑝 𝐾𝑠𝑝0=𝐸𝑠𝑝∗𝑤𝑠𝑝∗𝑡𝑠𝑝0 𝑝 El siguiente paso es calcular la rigidez equivalente de los tramos interiores: 𝐾𝑠𝑘(𝑖)=𝐸𝑠𝑘∗𝑤𝑠𝑘∗𝑡𝑠𝑘𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜(𝑖) 𝑝 𝐾𝑠𝑝(𝑖)=𝐸𝑠𝑝∗𝑤𝑠𝑝∗𝑡𝑠𝑝𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜(𝑖) 𝑝 Descripción de la herramienta 34 34 Con respecto a la rigidez de los remaches, se tomará como hipótesis que se obtiene con la misma expresión que en el caso de solape simple, dada la similaridad entre ambos escenarios. No obstante, esta hipótesis, que nace de la ausencia de literatura sobre la rigidez a cortadura de los remaches en uniones escalonadas, provoca que los cálculos realizados con este módulo sean orientativos y sólo válidos para una primera iteración. A continuación, se obtiene la matriz de rigidez, que difiere de la presentada en apartados anteriores ya que la rigidez de los tramos de placa no se trata de un número fijo, sino de un vector de valores para cada placa. Al igual que en el caso anterior, esta matriz se construye automáticamente para N filas de remaches. Por lo tanto, la esquina superior izquierda de la matriz K siempre tiene la siguiente forma: ( 𝐾𝑠𝑝0−𝐾𝑠𝑝0 −𝐾𝑠𝑝0𝐾𝑠𝑝0+𝐾𝑠𝑝(1)+𝐾𝑏 0 0 0 −𝐾𝑏−𝐾𝑠𝑝(1) 0 0 −𝐾𝑏𝐾𝑠𝑘(1)+𝐾𝑏0 −𝐾𝑠𝑘(1)) De modo similar, la esquina inferior derecha siempre tomará la forma: (−𝐾𝑠𝑝(𝑒𝑛𝑑)0 0 −𝐾𝑠𝑘(𝑒𝑛𝑑) 𝐾𝑠𝑝(𝑒𝑛𝑑)+𝐾𝑏 −𝐾𝑏 0 −𝐾𝑏 𝐾𝑠𝑘0+𝐾𝑠𝑘(𝑒𝑛𝑑)+𝐾𝑏−𝐾𝑠𝑘0 0 0 0 −𝐾𝑠𝑘0 𝐾𝑠𝑘0) Con respecto al resto de nodos, la repetibilidad del equilibrio en el cuerpo libre permite automatizar el proceso de creación de las filas centrales empleando los siguientes bucles: for i=4:2:F-3 K(i,i)= Ksp(i/2-1)+Ksp(i/2)+Kb; K(i,i-2)= -Ksp(i/2-1); K(i,i+2)= -Ksp(i/2); K(i,i+1)=-Kb; end for i=5:2:F-3 K(i,i)= Ksk((i-1)/2-1)+Ksk((i- 1)/2)+Kb; K(i,i-2)=-Ksk((i-1)/2-1); K(i,i+2)=-Ksk((i-1)/2); K(i,i-1)=-Kb; end A continuación, se resuelve la ecuación matricial al igual que en el caso de la unión no escalonada. El cálculo de la carga transmitida y los porcentajes es también igual al caso no escalonado, obteniéndose finalmente las representaciones gráficas correspondientes, además de una nueva figura detallada en el apartado 3.8.3. 35 35 Desarrollo de una herramienta para el cálculo del reparto de carga en uniones remachadas 3.8.2 Cálculo del escalonado óptimo Con el fin de permitir optimizar el escalonado, la herramienta incluye la opción de imponer las cargas finales como parámetro de entrada (un reparto equitativo) junto con el espesor base de las placas y obtener como salida el espesor de cada uno de los tramos. Si el campo correspondiente en el documento de input ha sido seleccionado (Escalonado óptimo=1), la herramienta ignorará el código empleado para el cálculo de todos los casos de uso vistos hasta ahora, y en su lugar realizará un cálculo iterativo empleando métodos numéricos. Se utilizará la función “fsolve” incluida en MATLAB, estableciendo una tolerancia de 1e-3 en la función objetivo y con un número de incógnitas igual al número de filas de remaches. Como se ha visto en el apartado anterior, estas incógnitas se reducirán en uno al emplearse la rigidez equivalente de los tramos intermedios. El iterante inicial será el mismo escalonado que aparece por defecto en la función descrita en el apartado 3.8.1, es decir, una reducción del espesor uniforme en cada tramo, suponiendo que la distribución óptima no dista de estos valores. Las ecuaciones que se encuentran en el solver son las mismas que las utilizadas en el caso del escalonado uniforme, obteniéndose finalmente el porcentaje de carga transmitido por cada elemento. Conocido eso, se plantea la ecuación a optimizar, que consiste en igualar el valor máximo del vector de porcentajes de carga transmitida con el valor mínimo, dentro de una tolerancia admisible: max(%𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎)≅min(%𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎) Al existir más incógnitas que ecuaciones, la solución no será única, pero con el iterante inicial escogido se encontrará la solución más próxima al escalonado uniforme, siendo por lo tanto progresivo y geométricamente coherente. 3.8.3 Representación gráfica y salida Con el objetivo de ofrecer una visualización de la unión escalonada, activar cualquiera de las dos funciones anteriormente descritas devuelve como salida una figura con el formato de la figura 3.2, que al igual que en la representación descrita en el apartado 3.7, se genera automáticamente para N filas de remaches. La figura consiste en una vista lateral de la unión, con la placa skin entrando por el lado izquierdo y con la placa splice por el derecho. Los ejes x e y representan coordenadas y están escalados en milímetros. Los bordes negros corresponden a las placas y los azules a la ubicación de los remaches. Además, muestra por la pantalla de comandos una tabla enumerando los remaches junto con el espesor del tramo asociado a cada uno, además de generar una tabla de Excel llamada espesor_optimo con estos mismos valores. En el siguiente capítulo se mostrarán las salidas obtenidas al utilizar estas funciones. Guía de usuario y resultados 36 36 4 GUÍA DE USUARIO Y RESULTADOS n este capítulo se describirán de forma detallada los pasos a seguir por el usuario de la herramienta para programar diversos casos de uso. Además, para cada escenario se mostrarán y comentarán los resultados, a fin de validar la herramienta comparándolos con los revisados en la literatura. 4.1 Guía de usuario Paso 1 Introducir los parámetros de entrada en el archivo data_input.xlsx. A continuación, se adjunta una tabla con los valores de ejemplo escogidos para este tutorial. Nº Filas Nº Columnas 4 2 Nº Remache Coordenada X (mm) Coordenada Y (mm) Holgura (mm) 1 0 0 0 2 30 0 0 3 0 30 0 4 30 30 0 5 0 60 0 6 30 60 0 7 0 90 0 8 30 90 0 Es importante remarcar que, en este apartado, la numeración de los remaches debe cumplir las siguientes reglas: - El primer remache debe tener las coordenadas [0,0]. - Cada remache debe tener coordenadas iguales o superiores al anterior, de modo que el llenado siga el sentido positivo de los ejes X e Y en todo momento. - Todos los remaches de la misma fila deben ir a continuación, por lo que sólo varía la coordenada X. - El orden de llenado de las filas será tal que la primera será la más próxima al extremo libre de la placa skin. - Las celdas de color verde tienen un valor automatizado y no deben modificarse manualmente. E 37 37 Desarrollo de una herramienta para el cálculo del reparto de carga en uniones remachadas Figura 4.1- Representación gráfica de la posición de los remaches generada en data_input.xlsx Diámetro de los remaches (mm) 8 Distancia entre filas (mm) 30 Distancia entre columnas (mm) 30 Valor de la carga aplicada (N) 5000 Distancia del punto de aplicación de la carga al centroide (mm) 60 Paso 2 La siguiente tabla muestra los parámetros que se modificarán para los diversos casos de uso. Los valores escogidos para una aplicación básica son los siguientes. Tipo de solape (1=doble; 0=simple) 0 Escalonado óptimo (0=No; 1=Sí) 0 Unión escalonada (0=No; 1=Sí) 0 Material de placas (1=composites; 0=metálico) 1 Paso 3 Guía de usuario y resultados 38 38 Con respecto a las propiedades de los materiales que intervienen en la unión, los valores introducidos son los siguientes: SKIN Módulo elástico longitudinal EL (GPa) 52.25 Módulo elástico transversal ET (GPa) 52.25 Espesor (mm) 5 SPLICE Módulo elástico longitudinal EL (GPa) 52.25 Módulo elástico transversal ET (GPa) 52.25 Espesor (mm) 5 REMACHE Mod. cizalladura G (Gpa) 24 Mod. Young (Gpa) 110 Tipo de remache (1 simple; 0.5 cabeza avellanada) 0.5 Paso 4 Una vez introducidos los datos, es necesario guardar el archivo para que el programa pueda leer los valores actualizados. El siguiente paso es abrir el archivo Reparto_cargas.m y correr el script. Las salidas obtenidas son las siguientes: 39 39 Desarrollo de una herramienta para el cálculo del reparto de carga en uniones remachadas Figura 4.2- Reparto de carga concéntrica en cada remache Figura 4.3- Representación gráfica en planta Guía de usuario y resultados 46 46 4.5 Influencia del número de filas de remaches Para este apartado, se modificarán algunos parámetros geométricos de entrada para comprobar la escalabilidad automática de la herramienta y visualizar los cambios en la distribución de cargas cuando el único dato que se modifica es el número de filas. Nº Filas Nº Columnas 3 1 Nº Remache Coordenada X (mm) Coordenada Y (mm) Holgura (mm) 1 0 0 0 2 0 30 0 3 0 60 0 Figura 4.9- Reparto de carga concéntrica en cada remache para una unión de tres filas de remaches 47 47 Desarrollo de una herramienta para el cálculo del reparto de carga en uniones remachadas Nº Filas Nº Columnas 4 1 Nº Remache Coordenada X (mm) Coordenada Y (mm) Holgura (mm) 1 0 0 0 2 0 30 0 3 0 60 0 4 0 90 0 Figura 4.10- Reparto de carga concéntrica en cada remache para una unión de cuatro filas de remaches Nº Filas Nº Columnas 5 1 Nº Remache Coordenada X (mm) Coordenada Y (mm) Holgura (mm) 1 0 0 0 2 0 30 0 3 0 60 0 4 0 90 0 5 0 120 0 Guía de usuario y resultados 48 48 Figura 4.11- Reparto de carga concéntrica en cada remache para una unión de cinco filas de remaches Nº Filas Nº Columnas 7 1 Nº Remache Coordenada X (mm) Coordenada Y (mm) Holgura (mm) 1 0 0 0 2 0 30 0 3 0 60 0 4 0 90 0 5 0 120 0 6 0 150 0 7 0 180 0 49 49 Desarrollo de una herramienta para el cálculo del reparto de carga en uniones remachadas Figura 4.12- Reparto de carga concéntrica en cada remache para una unión de siete filas de remaches Puede comprobarse que, incluso para unos parámetros de entrada que tienden a equilibrar el reparto de cargas, al aumentar el número de filas de remaches la diferencia de carga entre los remaches interiores y exteriores crece, por lo que en la práctica no se recomienda realizar uniones con más de cuatro filas, ya que la adición de más remaches implicaría un aumento de peso demasiado notorio en comparación con el alivio de cargas transmitidas por los remaches de los extremos. 4.6 Influencia de la holgura Para comprobar la influencia de la holgura en la herramienta es necesario modificar adecuadamente los parámetros de entrada. La funcionalidad actual de la herramienta no permite diferenciar entre cada columna a la hora de aplicar los efectos de la holgura. Por tanto, para configurar esta función será necesario introducir el mismo valor de holgura para cada remache de la misma fila. A continuación, se muestran unos parámetros de entrada de ejemplo y los resultados devueltos por la herramienta: Nº Filas Nº Columnas 4 2 Nº Remache Coordenada X (mm) Coordenada Y (mm) Holgura (mm) 1 0 0 0.05 2 30 0 0.05 3 0 30 0 4 30 30 0 5 0 60 0 6 30 60 0 7 0 90 0 8 30 90 0 Guía de usuario y resultados 50 50 El resto de los parámetros de entrada son los mismos que los introducidos en la guía del apartado 4.1. Figura 4.13- Reparto de carga concéntrica en cada remache al aplicar holgura Nº Remache Carga Concéntrica(N) Carga Excéntrica (N) Carga Total (N) 1 -555.61 1317.62 1583.61 2 -555.61 1317.62 1257.70 3 -535.79 589.26 1039.61 4 -535.79 589.26 433.36 5 -611.70 589.26 1109.57 6 -611.70 589.26 460.05 7 -796.90 1317.62 1742.206 8 -796.90 1317.62 1306.55 Puede comprobarse cómo, al igual que en los resultados obtenidos por McCarthy, en los remaches que tienen holgura en su entorno ocurre una disminución en la carga transmitida. Esta reducción se extiende a las filas vecinas más inmediatas, provocando un aumento considerable de carga transferida en el otro extremo. A continuación, se muestran los resultados tras realizar un barrido de valores de holgura en los remaches de la primera fila: 51 51 Desarrollo de una herramienta para el cálculo del reparto de carga en uniones remachadas Holgura [mm] %Remache 1 %Remache 2 %Remache 3 %Remache 4 0.01 26.08 22.65 23.25 28.02 0.06 21.26 21.13 24.77 32.84 0.11 16.43 19.61 26.29 37.67 0.16 11.61 18.09 27.81 42.49 Puede comprobarse que, al aumentar la holgura, esta descompensación de cargas aumenta, provocando escenarios donde un remache puede transmitir casi la mitad de la carga total con sólo una holgura de 160𝜇𝑚 en el otro extremo. Figura 4.14- Reparto de carga concéntrica en cada remache al aplicar diferentes valores de holgura Guía de usuario y resultados 52 52 4.7 Influencia del escalonado En este apartado, se mostrarán los cambios en el reparto de cargas tras modificar una unión a solape simple para convertirla en una unión escalonada con una reducción del espesor igual en cada escalón. Además, se realizará una segunda comparación con el espesor óptimo obtenido al activar la función de optimización de la herramienta. Para hacer más notable el equilibrado de cargas, se modificarán los parámetros de entrada de la herramienta para disminuir la rigidez de las placas. Las instrucciones detalladas en el primer apartado de este capítulo deben seguirse de igual manera para programar este caso de uso. Los parámetros serán los mismos, a excepción de las siguientes modificaciones (los espesores de las placas deben de ser iguales por geometría): SKIN Módulo elástico longitudinal EL (GPa) 30 Módulo elástico transversal ET (GPa) 30 Espesor (mm) 5 SKIN Módulo elástico longitudinal EL (GPa) 30 Módulo elástico transversal ET (GPa) 30 Espesor (mm) 5 REMACHE Mod. cizalladura G (Gpa) 24 Mod. Young (Gpa) 110 Tipo de remache (1 simple; 0.5 cabeza avellanada) 0.5 Para el primer caso, se obtendrán los resultados sin incluir el escalonado, configurando la herramienta de la siguiente forma: 53 53 Desarrollo de una herramienta para el cálculo del reparto de carga en uniones remachadas Tipo de solape (1=doble; 0=simple) 0 Escalonado óptimo (0=No; 1=Sí) 0 Unión escalonada (0=No; 1=Sí) 0 Material de placas (1=composites; 0=metálico) 1 Figura 4.15- Reparto de carga concéntrica sin escalonado A continuación, se muestra la configuración de una unión escalonada sencilla: Tipo de solape (1=doble; 0=simple) 0 Escalonado óptimo (0=No; 1=Sí) 0 Unión escalonada (0=No; 1=Sí) 1 Material de placas (1=composites; 0=metálico) 1 La herramienta devuelve el reparto de cargas y una visualización del escalonado. Guía de usuario y resultados 54 54 Figura 4.16- Reparto de carga concéntrica con escalonado progresivo Figura 4.17- Representación gráfica de un escalonado progresivo Puede apreciarse en la figura 4.15 cómo las cargas están más equilibradas al modificar el modelo para incluir el escalonado de las placas. En la figura 4.16 puede comprobarse cómo el espesor cambia de igual forma en cada salto. A continuación, se muestra la configuración para activar el modo de optimización (nota: el cálculo puede ser más lento que para el resto de los casos de uso). 55 55 Desarrollo de una herramienta para el cálculo del reparto de carga en uniones remachadas Tipo de solape (1=doble; 0=simple) 0 Escalonado óptimo (0=No; 1=Sí) 1 Unión escalonada (0=No; 1=Sí) 1 Material de placas (1=composites; 0=metálico) 1 Figura 4.18- Reparto de carga concéntrica con escalonado óptimo Figura 4.19- Representación gráfica de un escalonado óptimo ANEXO 1. Código MATLAB de la herramienta 62 62 ANEXO 1. CÓDIGO MATLAB DE LA HERRAMIENTA 1.1 Código principal %% Herramienta para el cálculo del reparto de carga en uniones remachadas % Se limpia el entorno de variables y de figuras el entorno clear all close all % Se limpia la consola clc % Se designa el documento de input de datos data_input = 'data_input.xlsx'; %% DATOS DE ENTRADA Y CÁLCULOS GEOMÉTRICOS % Se comprueba si la unión es escalonada para activar/desactivar partes del código escalonado = xlsread(data_input,'Geometria','D5:D5'); % Se comprueba si la unión es un escalonado óptimo para activar/desactivar partes del código escalonado_optimo = xlsread(data_input,'Geometria','C5:C5'); if escalonado_optimo==0 % Se leen los datos de entrada composites = xlsread(data_input,'Propiedades','E17:E17'); %1=composite; 0=metal 63 63 Desarrollo de una herramienta para el cálculo del reparto de carga en uniones remachadas tipo_solape = xlsread(data_input,'Geometria','G5:G5'); %1=doble; 0=simple N = xlsread(data_input,'Geometria','A5:A5'); % Número de filas M = xlsread(data_input,'Geometria','B5:B5'); % Número de columnas Coordenadas_X = xlsread(data_input,'Geometria','B8:B37'); %[mm] Coordenadas_Y = xlsread(data_input,'Geometria','C8:C37'); %[mm] holguras = xlsread(data_input,'Geometria','D8:D37'); %[mm] d = xlsread(data_input,'Geometria','G8:G8'); % Diametro de los remaches [mm] r = d/2; % Radio de los remaches [mm] % Se crean matrices con el valor de las coordenadas de los remaches en X e Y Contador = 1; for i=1:N for j=1:M X_remache(i,j)=Coordenadas_X(Contador); Y_remache(i,j)=Coordenadas_Y(Contador); Contador=Contador+1; end end % Se obtienen los valores relacionados con la carga aplicada X_carga = xlsread(data_input,'Geometria','F8:F8'); %[mm] P = xlsread(data_input,'Geometria','E8:E8'); %Valor de la carga [N] % Se calcula la posición del centroide X_cent = (X_remache(1,M)-X_remache(1,1))/2; %[mm] Y_cent = (Y_remache(N,1)-Y_remache(1,1))/2; %[mm] % Distancia de cada remache al centroide ANEXO 1. Código MATLAB de la herramienta 64 64 X_dist = X_remache-X_cent; %[mm] Y_dist = Y_remache-Y_cent; %[mm] % Sumatorio de las distancias sum_li = sum(sum(X_dist.^2+Y_dist.^2)); %[mm] L = X_carga; %[mm] %% CÁLCULO DE CARGAS EN CADA REMACHE %% Carga excéntrica. Se calculan las componentes X e Y. for i=1:N for j=1:M P_X(i,j) = P*L*Y_dist(i,j)/sum_li; %[N] P_Y(i,j) = P*L*X_dist(i,j)/sum_li; %[N] end end %% Carga concéntrica % Se divide por igual en cada columna P_col = -P/M; %[N] if composites==0 % Unión metal/metal: Reparto equitativo en cada fila for i=1:N for j=1:M P_conc(i,j)=P_col/N; %[N] end porcentajes(i)=P_conc(i,1)/P_col; % Se divide entre el total para obtener el porcentaje end else % Unión composite/composite: Reparto obtenido por sistema de ecuaciones % Se importan parámetros geométricos p = xlsread(data_input,'Propiedades','A13:A13'); % Separación entre filas [mm] % Se importan propiedades de la placa Splice E_Lsp = xlsread(data_input,'Propiedades','A8:A8'); %[GPa] 65 65 Desarrollo de una herramienta para el cálculo del reparto de carga en uniones remachadas E_Tsp = xlsread(data_input,'Propiedades','B8:B8'); %[GPa] wsp = xlsread(data_input,'Propiedades','C8:C8'); % Separación entre columnas [mm] if tipo_solape==0 tsp = xlsread(data_input,'Propiedades','D8:D8'); %[mm] else % Se corrige el espesor de splice en el caso de solape doble tsp = xlsread(data_input,'Propiedades','D8:D8')*2; %[mm] end % Se importan propiedades de la placa Skin E_Lsk = xlsread(data_input,'Propiedades','A3:A3'); %[GPa] E_Tsk = xlsread(data_input,'Propiedades','B3:B3'); %[GPa] wsk = xlsread(data_input,'Propiedades','C3:C3'); % Separación entre columnas [mm] tsk = xlsread(data_input,'Propiedades','D3:D3'); %[mm] % Se importan propiedades del remache y se realizan cálculos intermedios G = xlsread(data_input,'Propiedades','C13:C13'); %[GPa] E = xlsread(data_input,'Propiedades','D13:D13'); %[GPa] A = pi*d^2/4; %[mm^2] I = 1/4*pi+r^4; %[mm^4] beta = xlsread(data_input,'Propiedades','E13:E13'); if escalonado==0 % Se realiza el modelo para el caso de unión no escalonada % Se obtiene la rigidez de SPL y SKIN Ksp = E_Lsp*wsp*tsp/p; %[GPa*mm] Ksk = E_Lsk*wsk*tsk/p; %[GPa*mm] % Se obtiene la rigidez de los remaches if tipo_solape==0 % Ecuación de solape simple Kb = 1/(2*(tsp+tsk)/3/G/A+(2*(tsp+tsk)/tsp/tsk/E+1/tsp/sqrt(E_Ls p*E_Tsp)+1/tsk/sqrt(E_Lsk*E_Tsk))*(1+3*beta)); %[GPa*mm] else % Ecuación de solape doble Kb = 1/((2*tsp+tsk)/3/G/A+(8*tsp^3+16*tsp^2*tsk+8*tsp*tsk^2+tsk^ 3)/192/E/I+(2*tsp+tsk)/tsp/tsk/E+1/tsp/sqrt(E_Lsp*E_Tsp)+2/ tsk/sqrt(E_Lsk*E_Tsk)); %[GPa*mm] end ANEXO 1. Código MATLAB de la herramienta 66 66 % Se crea la matriz de rigidez K = zeros(2*N+2); [F,J] = size(K); K(1,1) = Ksp; K(1,2) = -Ksp; K(2,2) = Ksp*2+Kb; K(2,3) = -Kb; K(2,1) = -Ksp; K(2,4) = -Ksp; K(3,3) = Ksk+Kb; K(3,2) = -Kb; K(3,5) = -Ksk; for i=4:2:F-3 K(i,i) = Ksp*2+Kb; K(i,i-2) = -Ksp; K(i,i+2) = -Ksp; K(i,i+1) = -Kb; end for i=5:2:F-3 K(i,i) = Ksk*2+Kb; K(i,i-2) = -Ksk; K(i,i+2) = -Ksk; K(i,i-1) = -Kb; end K(F-2,F-2) = Ksp+Kb; K(F-2,F-4) = -Ksp; K(F-2,F-1) = -Kb; K(F-1,F-1) = Ksk*2+Kb; K(F-1,F-2) = -Kb; K(F-1,F-3) = -Ksk; K(F-1,F) = -Ksk; K(F,F) = Ksk; K(F,F-1) = -Ksk; K = K(2:F,2:J); 67 67 Desarrollo de una herramienta para el cálculo del reparto de carga en uniones remachadas % Se crea el vector carga F = zeros(1,2*N+1); % El vector se inicializa con ceros pos = 1; % Se usa un contador auxiliar % Se modifica con la influencia de las holguras (en caso de que las haya) for i=1:2:2*N F(i) = -Kb*holguras(pos); %[MN] F(i+1) = Kb*holguras(pos); %[MN] pos = pos+M; end % Se coloca el valor de la carga transmitida por toda la columna F(end) = P_col/1000-Kb*sum(holguras)/2; %[MN] % Se resuelve el sistema y se obtienen los desplazamientos x = K\F'; despl = x; % Se calcula la carga de cada remache j = 1; i = 1; while i<=N carga(i) = Kb*(despl(j+1)-despl(j)); j = j+2; i = i+1; end else % Se realiza el modelo para el caso de unión escalonada % Se almacenan los valores del espesor nominal de las placas tsp_0 = tsp; tsk_0 = tsk; % Se calcula la distribución real de espesores for i=1:N tsk_real(i) = tsk_0*i/(N+1); ANEXO 1. Código MATLAB de la herramienta 68 68 tsp_real(i) = tsp_0-tsk_0*i/(N+1); end % Se calcula el espesor medio de cada tramo de placa entre cada fila de remaches for i=1:N-1 tsk_medio(i) = (tsk_real(i)+tsk_real(i+1))/2; tsp_medio(i) = (tsp_real(i)+tsp_real(i+1))/2; end % Se obtiene la rigidez de SPL y SKIN Ksp_0 = E_Lsp*wsp*tsp_0/p; % Rigidez nominal de la placa[GPa*mm] Ksp = E_Lsp*wsp*tsp_medio/p; % Rigidez equivalente de cada tramo[GPa*mm] Ksk_0 = E_Lsk*wsk*tsk_0/p; % Rigidez nominal de la placa[GPa*mm] Ksk = E_Lsk*wsk*tsk_medio/p; % Rigidez equivalente de cada tramo[GPa*mm] % Se obtiene la rigidez de los remaches flex = 2*(tsp_0+tsk_0)/3/G/A+(2*(tsp_0+tsk_0)./tsp_0./tsk_0/E+1./t sp_0/sqrt(E_Lsp*E_Tsp)+1./tsk_0/sqrt(E_Lsk*E_Tsk))*(1+3*bet a); %Se calcula la flexibilidad Kb = 1./flex; %[GPa*mm] % Se crea la matriz de rigidez K = zeros(2*N+2); [F,J] = size(K); K(1,1) = Ksp_0; K(1,2) = -Ksp_0; K(2,2) = Ksp_0+Ksp(1)+Kb; K(2,3) = -Kb; K(2,1) = -Ksp_0; K(2,4) = -Ksp(1); K(3,3) = Ksk(1)+Kb; 69 69 Desarrollo de una herramienta para el cálculo del reparto de carga en uniones remachadas K(3,2) = -Kb; K(3,5) = -Ksk(1); for i=4:2:F-3 K(i,i) = Ksp(i/2-1)+Ksp(i/2)+Kb; K(i,i-2) = -Ksp(i/2-1); K(i,i+2) = -Ksp(i/2); K(i,i+1) = -Kb; end for i=5:2:F-3 K(i,i) = Ksk((i-1)/2-1)+Ksk((i-1)/2)+Kb; K(i,i-2) = -Ksk((i-1)/2-1); K(i,i+2) = -Ksk((i-1)/2); K(i,i-1) = -Kb; end K(F-2,F-2) = Ksp(end)+Kb; K(F-2,F-4) = -Ksp(end); K(F-2,F-1) = -Kb; K(F-1,F-1) = Ksk_0+Ksk(end)+Kb; K(F-1,F-2) = -Kb; K(F-1,F-3) = -Ksk(end); K(F-1,F) = -Ksk_0; K(F,F) = Ksk_0; K(F,F-1) = -Ksk_0; K = K(2:F,2:J); % Se crea el vector carga F = zeros(1,2*N+1);% El vector se inicializa con ceros pos = 1;% Se crea un contador auxiliar % Se modifica con la influencia de las holguras (en caso de que las haya) for i=1:2:2*N F(i) = -Kb*holguras(pos); %[MN] F(i+1) = Kb*holguras(pos); %[MN] pos = pos+M; end % Se coloca el valor de la carga transmitida por toda la columna ANEXO 1. Código MATLAB de la herramienta 70 70 F(end) = P_col/1000-Kb*sum(holguras)/2; %[MN] % Se resuelve el sistema y se obtienen los desplazamientos x = K\F'; despl = x; % Se calcula la carga de cada remache j = 1; i = 1; while i<=N carga(i) = Kb*(despl(j+1)-despl(j)); j = j+2; i = i+1; end end %Se calcula el porcentaje de cada remache for i=1:N porcentajes(i) = 1000*carga(i)/P_col; % Se divide entre el total para obtener el porcentaje end for i=1:M P_conc(:,i) = porcentajes*P_col; % Se extiende el resultado al resto de columnas [N] end end % Carga total transmitida. Se calculan las componentes X e Y. for i=1:N for j=1:M P_X_final(i,j) = P_X(i,j); %[N] P_Y_final(i,j) = P_Y(i,j)+P_conc(i,j); %[N] end end P_final = sqrt(P_X_final.^2+P_Y_final.^2); %[N] %% REPRESENTACIÓN DE GEOMETRÍA Y RESULTADOS 71 71 Desarrollo de una herramienta para el cálculo del reparto de carga en uniones remachadas figure(1) % Vista en planta de la unión % Representación de SPLICE x = linspace(-3*d,X_remache(1,M)+3*d); y = ones(length(x))*(Y_remache(N,1)+5*d); plot(x,y,'b') hold on y = ones(length(x))*(Y_remache(1,1)-5*d); plot(x,y,'b') hold on y = linspace(-5*d,Y_remache(N,1)+5*d); x = ones(length(y))*(X_remache(1,M)+3*d); plot(x,y,'b') hold on x = ones(length(y))*(X_remache(1,1)-3*d); plot(x,y,'b') hold on %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% X_carga = X_carga+X_cent; % Representación de SKIN if X_carga>X_remache(N,M) x2 = linspace(-2*d,X_carga+2*d); else x2 = linspace(-2*d,X_remache(1,M)+2*d); end y = ones(length(x2))*(Y_remache(N,1)+2*d); plot(x2,y,'k') hold on x1 = linspace(-2*d,X_remache(1,M)+2*d); y = ones(length(x))*(Y_remache(1,1)-2*d); plot(x1,y,'k') hold on if X_carga>X_remache(N,M) x3 = linspace(X_remache(1,M)+2*d,X_carga+2*d); ANEXO 1. Código MATLAB de la herramienta 78 78 ylim([-0.5*tsk_0,1.5*tsk_0]) xlim([0,(N+3)*p]) figure(2) % Se representa la carga concéntrica de cada remache x = 1:N; global porcentajes_output y = porcentajes_output*100; plot(x,y,'r- o','MarkerSize',6,'MarkerEdgeColor','b','MarkerFaceColor',[ 0.5,0.5,0.5]) grid title('Reparto de carga concéntrica en cada remache') xlabel('Remache') ylabel('Porcentaje de carga %') ylim([0,50]) %% SALIDA POR TABLA for i=1:N values(1,i) = i; values(2,i) = tsk_real(i); end salida = values'; tabla = array2table(salida,'VariableNames',{'Nº Remache','Espesor óptimo (mm)'}) data_output = 'espesor_optimo.xlsx'; writetable(tabla,data_output,'Sheet',1,'Range','A1'); end 79 79 Desarrollo de una herramienta para el cálculo del reparto de carga en uniones remachadas 1.2.1 Función para resolver la distribución de espesores function result = ecuaciones_escalonado(X, t_skin, t_splice, filas) %% Input y calculos intermedios % Se actualiza el nombre de las variables N = filas; % Se reliza la hipótesis de escalonado simétrico escalonado_skin = X; escalonado_splice = flip(X); % Se designa el documento de input de datos data_input = 'data_input.xlsx'; d = xlsread(data_input,'Geometria','G8:G8'); % Diametro de los remaches [mm] p = xlsread(data_input,'Propiedades','A13:A13'); %[mm] P_col = xlsread(data_input,'Geometria','E8:E8'); %Valor de la carga [N] %Splice E_Lsp = xlsread(data_input,'Propiedades','A3:A3'); %[GPa] E_Tsp = xlsread(data_input,'Propiedades','B3:B3'); %[GPa] wsp = xlsread(data_input,'Propiedades','C3:C3'); %[mm] %Skin E_Lsk = xlsread(data_input,'Propiedades','A8:A8'); %[GPa] E_Tsk = xlsread(data_input,'Propiedades','B8:B8'); %[GPa] wsk = xlsread(data_input,'Propiedades','C8:C8'); %[mm] %Bolt G = xlsread(data_input,'Propiedades','C13:C13'); %[GPa] E = xlsread(data_input,'Propiedades','D13:D13'); %[GPa] A = pi*d^2/4;%[mm^2] beta = xlsread(data_input,'Propiedades','E13:E13'); ANEXO 1. Código MATLAB de la herramienta 80 80 % Se almacenan los valores del espesor nominal de las placas tsp_0 = t_skin; tsk_0 = t_splice; % Se calcula la distribución real de espesores tsk_real = t_skin*escalonado_skin; tsp_real = t_splice*escalonado_splice; % Se calcula el espesor medio de cada tramo de placa entre cada fila de remaches for i=1:N-1 tsk_medio(i) = (tsk_real(i)+tsk_real(i+1))/2; tsp_medio(i) = (tsp_real(i)+tsp_real(i+1))/2; end %% Se obtiene la rigidez de SPL y SKIN Ksp_0 = E_Lsp*wsp*tsp_0/p; % Rigidez nominal de la placa[GPa*mm] Ksp = E_Lsp*wsp*tsp_medio/p; % Rigidez equivalente de cada tramo[GPa*mm] Ksk_0 = E_Lsk*wsk*tsk_0/p; % Rigidez nominal de la placa[GPa*mm] Ksk = E_Lsk*wsk*tsk_medio/p; % Rigidez equivalente de cada tramo[GPa*mm] %% Se obtiene la rigidez de los remaches flex = 2*(tsp_0+tsk_0)/3/G/A+(2*(tsp_0+tsk_0)./tsp_0./tsk_0/E+1./t sp_0/sqrt(E_Lsp*E_Tsp)+1./tsk_0/sqrt(E_Lsk*E_Tsk))*(1+3*bet a); Kb = 1./flex; %[GPa*mm] %% Se crea la matriz de rigidez K = zeros(2*N+2); [F,J] = size(K); K(1,1) = Ksp_0; K(1,2) = -Ksp_0; 81 81 Desarrollo de una herramienta para el cálculo del reparto de carga en uniones remachadas K(2,2) = Ksp_0+Ksp(1)+Kb; K(2,3) = -Kb; K(2,1) = -Ksp_0; K(2,4) = -Ksp(1); K(3,3) = Ksk(1)+Kb; K(3,2) = -Kb; K(3,5) = -Ksk(1); for i=4:2:F-3 K(i,i) = Ksp(i/2-1)+Ksp(i/2)+Kb; K(i,i-2) = -Ksp(i/2-1); K(i,i+2) = -Ksp(i/2); K(i,i+1) = -Kb; end for i=5:2:F-3 K(i,i) = Ksk((i-1)/2-1)+Ksk((i-1)/2)+Kb; K(i,i-2) = -Ksk((i-1)/2-1); K(i,i+2) = -Ksk((i-1)/2); K(i,i-1) = -Kb; end K(F-2,F-2) = Ksp(end)+Kb; K(F-2,F-4) = -Ksp(end); K(F-2,F-1) = -Kb; K(F-1,F-1) = Ksk_0+Ksk(end)+Kb; K(F-1,F-2) = -Kb; K(F-1,F-3) = -Ksk(end); K(F-1,F) = -Ksk_0; K(F,F) = Ksk_0; K(F,F-1) = -Ksk_0; K = K(2:F,2:J); %% Se crea el vector carga F = zeros(1,2*N+1); % El vector se inicializa con ceros F(end) = P_col/1000; %[MN] ANEXO 1. Código MATLAB de la herramienta 82 82 %% Se resuelve el sistema y se obtienen los desplazamientos x = K\F'; despl = x; %% Se calcula la carga de cada remache j = 1; i = 1; while i<=N carga(i) = Kb*(despl(j+1)-despl(j)); j = j+2; i = i+1; end % Se calcula el porcentaje de cada remache for i=1:N porcentajes(i) = 1000*carga(i)/P_col; % Se divide entre el total para obtener el porcentaje end % Se evalúa la condición para resolver el problema result(1) = max(porcentajes)-min(porcentajes); % Se exporta la siguiente variable para usarla en el módulo de representación global porcentajes_output porcentajes_output = porcentajes; end