El cambio de los invariantes por feedback mediante perturbación de columnas

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matem´ atica Aplicada Sevilla, 24-28 septiembre 2007 (pp. 1–8) El cambio de los invariantes por feedback mediante perturbaci´on de columnas M. A. Beitia1, I. de Hoyos2 1Dpto. de Did´actica de la Matem´atica y de las CCEE, Escuela de Magisterio, Universidad del Pa´ıs Vasco, E-01006 Vitoria-Gasteiz. E-mail: [email protected]. 2Dpto. de Matem´atica Aplicada y Estad´ıstica e I.O., Facultad de Farmacia, Universidad del Pa´ıs Vasco, Apartado 450, E-01080 Vitoria-Gasteiz. E-mail: [email protected]. Palabras clave: perturbaci´on estructurada, factores invariantes,´ındices de controlabilidad, desigualdades de entrelazamiento, mayorizaci´on Resumen Estudiamos la variaci´on de los invariantes por feedback de una matriz rectangular n×(n+m) cuando realizamos peque˜nas perturbaciones aditivas en las ´ultimas m columnas, en algunos casos particulares. 1. Introducci´on En las ´ultimas d´ecadas se ha estudiado el cambio de las formas can´onicas de matrices obtenidas mediante la adici´on de una matriz con entradas suficientemente peque˜nas (v´ease, por ejemplo, [2, 6, 8, 9, 10, 11]). En estos problemas se puede modificar todos los elementos de las matrices originales. En otros casos s´olo se puede perturbar los elementos en unas determinadas posiciones, dando lugar a problemas de perturbaci´on estructurada (v´ease [3, 4, 5, 7]). Nuestro problema consiste en estudiar el comportamiento de los invariantes por feedback cuando se perturban algunas columnas de una matriz rectangular. En concreto, consideramos matrices rectangulares [A B]∈Cn×(n+m)o, equivalentemente, pares de matrices (A, B) de Cn×n×Cn×m. En primer lugar, obtenemos condiciones necesarias que han de verificar los invariantes por feedback de todas las matrices [A B0]∈Cn×(n+m), siendo B0cualquier matriz suficientemente pr´oxima a B. Rec´ıprocamente, obtenemos condiciones necesarias y suficientes que tienen que satisfacer unos polinomios y unos n´umeros enteros para ser los factores invariantes y los ´ındices de controlabilidad de un par de matrices (A, B0), siendo B0una matriz tan pr´oxima a B como queramos. Este problema lo hemos resuelto en los siguientes casos: 1 M. A. Beitia, I. de Hoyos 1. cuando (A, B)es completamente controlable; 2. cuando (A, B)es completamente incontrolable, es decir, B= 0; 3. cuando Bs´olo tiene una columna. Estos problemas pueden considerarse tambi´en como problemas de completaci´on de matrices, dado que una parte de la matriz queda fija (v´ease, por ejemplo, [1, 12, 13, 14, 15]). 2. Notaciones, definiciones y resultados previos Una partici´on es una secuencia no creciente finita o infinita de enteros no negativos casi todos nulos, a= (a1, a2, . . . ).Denotamos por |a|el peso de a, es decir, la suma de sus componentes. La partici´on conjugada de a,a= (a1, a2, . . . ) se define por ak:= Card{i:ai≥k}. Sean aybdos particiones de enteros. Se dice que aest´a mayorizada d´ebilmente por b, i. e., a≺≺ b⇔Pk i=1 ai≤Pk i=1 bi,para k= 1, . . . , n, y se dice que aest´a mayorizada por b, i. e., a≺b⇔a≺≺ byPn i=1 ai=Pn i=1 bi. Definimos a∪bcomo la partici´on cuyas componentes son las de aybreordenadas en orden no creciente. Se verifica que a≺b⇔b≺a. Sea Xuna matriz compleja m×n, con m≤n. Llamaremos factores invariantes de X, a los factores invariantes de la matriz polinomial [sIm0] −X. Denotaremos por d(α) el grado del polinomio α. Denotaremos por Λ(X) := {λ1, . . . , λv}el espectro de X; por s(λi, X) la partici´on de λien la caracter´ıstica de Segre de Xy por w(λi, X) la partici´on de λien la caracter´ıstica de Weyr de X, i.e., en la partici´on conjugada de s(λi, X). Si λ /∈Λ(X), s(λ, X) := (0) y w(λ, X) := (0). Sean γ1| · · · | γmyγ0 1| · · · | γ0 mpolinomios m´onicos dados. Sean γ= (γ1, . . . , γm) y γ0= (γ0 1, . . . , γ0 m) las cadenas formadas por estos polinomios. Definimos γ0≺≺ γ⇔γ0 1· · · γ0 i|γ1· · · γi,para i= 1, . . . , m yγ0≺γ⇔γ0≺≺ γyγ0 1· · · γ0 m=γ1· · · γm. Ahora se puede enunciar el siguiente lema sobre mayorizaci´on d´ebil de cadenas de polinomios. Lema 1 Dadas dos cadenas de polinomios m´onicos ϕ= (ϕ1, . . . , ϕn)yϕ0= (ϕ0 1, . . . , ϕ0 n) tales que ϕ0≺≺ ϕ, existe un n´umero finito de cadenas intermedias de polinomios m´onicos de tal manera que para pasar de una de ellas a la siguiente s´olo hay que realizar una transformaci´on elemental de uno de los dos tipos siguientes: (1) ϕ0 i=ϕi∀i /∈ {j, k},j < k,(s−λ0)ϕ0 j=ϕjyϕ0 k= (s−λ0)ϕk, para alguna ra´ız compleja de ϕj, (2) ϕ0 i=ϕi∀i6=jy(s−λ0)ϕ0 j=ϕj, para alguna ra´ız compleja de ϕj. Denotaremos por k1≥ · · · ≥ kr1> kr1+1 =· · · =kq= 0, los ´ındices de controlabilidad de (A, B). Denotaremos por (r1, r2, . . . ) la partici´on de los ´ındices de Brunovsky, que es la partici´on conjugada de la de los ´ındices de controlabilidad. 2 Cambio de invariantes por perturbaci´on de columnas En el siguiente resultado se dan las relaciones entre los invariantes del par y de la matriz cuadrada. Corresponde a un problema de completaci´on de columnas. Teorema 2 ([15], [1]). Sea A∈Fn×ny sean ω1| · · · | ωnsus factores invariantes. Sean ϕ1| · · · | ϕnpolinomios m´onicos y k1≥ · · · ≥ kr1enteros positivos dados. Entonces existe una matriz Bcon rang(B) = r1tal que ϕ1, . . . , ϕnson los factores invariantes y k1, . . . , kr1 los ´ındices de controlabilidad no nulos de [A B]si y s´olo si (i) ωi−r1|ϕi|ωipara i= 1, . . . , n, (ii) (k1, . . . , kr1)≺(d(θr1), . . . , d(θ1)), donde θj=Qn+j i=1 mcm(ϕi−j,ωi−r1) Qn+j−1 i=1 mcm(ϕi−j+1,ωi−r1), j= 1, . . . , r1, siendo ϕi:= 1 yωi:= 1 para i < 1. Denotaremos por kXkcualquier norma de matriz de X. Dado un n´umero real ρ > 0, B(λi, ρ) es la bola abierta con centro λiy radio ρ, y definimos el ρ-entorno del espectro de Mcomo el conjunto Vρ(M) := Sv i=1 B(λi, ρ), donde las bolas son disjuntas dos a dos. Un n´umero real ρsuficientemente peque˜no como para que se verifique lo anterior se llamar´a adecuado a la matriz M. Ahora se presentan las condiciones necesarias de perturbaci´on de un par de matrices. Teorema 3 ([8]). Sea r= (r1, r2, . . . )la partici´on de los n´umeros de Brunovsky de (A, B)∈Cn×n×Cn×m. Sea Λ(A, B) = {λ1, . . . , λu}el espectro de (A, B). Sea ρ > 0 adecuado a [A B]. Existe ε > 0tal que si k[A B]−[A0B0]k< ε, entonces se cumplen las condiciones: (i) Λ(A0, B0)⊂Vρ(A, B), (ii) si µij ∈Λ(A0, B0)∩B(λi, ρ),para j= 1, . . . , ti, e i= 1, . . . , u, entonces Sti j=1 w(µij,[A0B0]) ≺≺ w(λi,[A B]),para i= 1, . . . , u, (iii) si r0= (r0 1, r0 2, . . . )es la partici´on de los n´umeros de Brunovsky de (A0, B0), entonces r≺≺ r0y r0 1≤m, (iv) |r0|−|r|=Pu i=1 |w(λi,[A B])| − Pu i=1 Pti j=1 |w(µij,[A0B0])|. 3. Relaci´on de equivalencia asociada a este problema Sean (A1, B1)y(A2, B2) dos pares de Cn×n×Cn×m. Decimos que (A1, B1) es PQ- equivalente a (A2, B2), y lo denotaremos (A1, B1)P Q ∼(A2, B2) si existen matrices P∈ C(n×n)yQ∈C(m×m)invertibles tales que (A2, B2) = (P A1P−1, PB1Q). Puesto que esta relaci´on es un caso particular de la relaci´on de equivalencia por feedback, dos pares PQ-equivalentes tendr´an los mismos ´ındices de controlabilidad y los mismos factores invariantes. El siguiente lema muestra que si se resuelve el problema para un par, se resuelve para cualquier otro de su clase. 3 M. A. Beitia, I. de Hoyos Lema 4 Sea [A1B1]∈Cn×(n+m)y sea [A2B2]=[PA1P−1PB1Q]. Entonces, en todo entorno de [A1B1]existe una matriz [A1B1+E1]con k0 1≥ · · · ≥ k0 m≥0como ´ındices de controlabilidad y ϕ0 1| · · · | ϕ0 ncomo factores invariantes si y s´olo si en todo entorno de [A2B2]existe una matriz [A2B2+E2]con esos invariantes prescritos. 4. Condiciones necesarias Las condiciones necesarias de perturbaci´on que se obtienen a partir del teorema de completaci´on de columnas (Teorema 2) y el de perturbaci´on de pares de matrices (Teorema 3) es el siguiente. Teorema 5 Sea A∈Cn×ny sean ω1| · · · | ωnsus factores invariantes. Sea [A B]∈ Cn×(n+m)con ϕ1| · · · | ϕncomo factores invariantes y k1≥ · · · ≥ kr1> kr1+1 =· · · = km= 0 como ´ındices de controlabilidad. Existe ε > 0tal que si k[A B]−[A B0]k< ε,ϕ0 1| · · · | ϕ0 nson los factores invariantes yk0 1≥ · · · ≥ k0 r0 1> k0 r0 1+1 =· · · =k0 m= 0 son los ´ındices de controlabilidad de [A B0], entonces se cumplen las condiciones: (i) ωi−r0 1|ϕ0 i|ωipara i= 1, . . . , n, (ii) (k0 1, . . . , k0 r0 1)≺(d(θ0 r0 1), . . . , d(θ0 1)), donde θ0 j=Qn+j i=1 mcm(ϕ0 i−j, ωi−r0 1) Qn+j−1 i=1 mcm(ϕ0 i−j+1, ωi−r0 1), j = 1, . . . , r0 1, siendo ϕ0 i:= 1 yωi:= 1 para i < 1, (iii) ϕ0≺≺ ϕ (iv) si r0es la partici´on de los n´umeros de Brunovsky de (A, B0), entonces r≺≺ r0. 5. Caso controlable Supongamos que (A, B) es controlable con k1≥ · · · ≥ km≥0 como ´ındices de controlabilidad. Si se perturba ligeramente la matriz B, el nuevo par (A, B0) sigue siendo controlable, es decir, ϕ0=ϕ= (1,(n) . . ., 1). En este caso, las condiciones del Teorema 5 se reducen a: (ii) k0= (k0 1, . . . , k0 r0 1)≺(d(ωn), . . . , d(ω1)), (iv) r≺r0. Para el par (A, B) se cumple la relaci´on k= (k1, . . . , kr1)≺(d(ωn), . . . , d(ω1)),siendo r1= rang(B). Como r≺r0⇐⇒ k0≺k, podemos concluir que, en el caso controlable, las condiciones necesarias pueden reducirse a k0≺k. 4 Cambio de invariantes por perturbaci´on de columnas Se demuestra que en este caso, esta condici´on es suficiente para encontrar, tan cerca como queramos de B, una matriz B0de forma que (A, B0) tenga k0 1≥ · · · ≥ k0 m≥0 como ´ındices de controlabilidad, como se enuncia en el siguiente teorema. Teorema 6 Sea (A, B)∈Cn×n×Cn×mun par controlable con k1≥ · · · ≥ kr1> kr1+1 = · · · =km= 0 como ´ındices de controlabilidad. Sea (k0 1, . . . , k0 m)una partici´on no creciente de enteros. Para todo ε > 0existe una matriz B0con k[A B]−[A B0]k< ε, tal que (A, B0)es controlable y tiene k0 1. . . k0 mcomo ´ındices de controlabilidad si y s´olo si (k0 1, . . . , k0 m)≺(k1, . . . , km). 6. Caso completamente incontrolable Supongamos que (A, B) = (A, 0) y que los factores invariantes de A(y los de [A0]) son ω1| · · · | ωn, es decir, ϕ=ω. En este caso, la condici´on (iii) del Teorema 5 se deduce de la condici´on (i) y la condici´on (iv) es trivial. Por tanto las condiciones necesarias se reducen a la (i) y la (ii). Se demuestra que en este caso, estas dos condiciones son suficientes para encontrar, con norma tan peque˜na como queramos, una matriz B0de forma que (A, B0) tenga k0 1≥ · · · ≥ k0 m≥0 como ´ındices de controlabilidad y ϕ0 1| · · · | ϕ0 ncomo factores invariantes, como se enuncia en el siguiente teorema. Teorema 7 Sea A∈Cn×ny sean ω1| · · · | ωnsus factores invariantes. Sean ϕ0= (ϕ0 1, . . . , ϕ0 n)una cadena de polinomios m´onicos y k0 1≥ · · · ≥ k0 r0 1> k0 r0 1+1 = · · · =k0 m= 0 enteros. Para todo ε > 0existe una matriz B0con rango r0 1ykB0k< ε, tal que (A, B0)tiene k0 1, . . . , k0 mcomo ´ındices de controlabilidad y ϕ0 1| · · · | ϕ0 ncomo factores invariantes si y s´olo si (i) ωi−r0 1|ϕ0 i|ωipara i= 1, . . . , n, (ii) (k0 1, . . . , k0 r0 1)≺(d(θ0 r0 1), . . . , d(θ0 1)), donde θ0 j=Qn+j i=1 mcm(ϕ0 i−j, ωi−r0 1) Qn+j−1 i=1 mcm(ϕ0 i−j+1, ωi−r0 1), j = 1, . . . , r0 1, siendo ϕ0 i:= 1 yωi:= 1 para i < 1. 7. La matriz Bs´olo tiene una columna Cuando Btiene s´olo una columna, es decir, si m= 1, se tiene que r1≤1. Al perturbar ligeramente en la ´unica columna de Bse tiene que r0 1= 1. Como consecuencia, la condici´on (iv) del Teorema 5 es trivial. Adem´as, por la condici´on (ii) se tiene que k0 1=d(θ0 1) = Pn i=1 d(ωi)−Pn i=1 d(ϕ0 i) = k1+Pn i=1 d(ϕi)−Pn i=1 d(ϕ0 i). De esto se deduce que k0 1−k1= Pn i=1 d(ϕi)−Pn i=1 d(ϕ0 i).Entonces las condiciones del Teorema 5 se reducen a: 5 M. A. Beitia, I. de Hoyos (i) ωi−1|ϕ0 i|ωipara i= 1, . . . , n, (ii) k0 1−k1=Pn i=1 d(ϕi)−Pn i=1 d(ϕ0 i), (iii) ϕ0≺≺ ϕ. Veamos que en este caso, estas condiciones son suficientes para encontrar, tan cerca como queramos de b, una columna b0de forma que (A, b0) tenga k0 1como ´ındice de controlabilidad y ϕ0 1| · · · | ϕ0 ncomo factores invariantes. Como m= 1 entonces M0tiene un ´unico ´ındice de controlabilidad. Por lo tanto, el problema de prescripci´on de invariantes se va a reducir a poder conseguir una matriz [A b0] con los factores invariantes prescritos. Por el Lema 4 se puede considerar que Aest´a en forma can´onica de Jordan, dado que la semejanza de pares de matrices es un caso particular de PQ-equivalencia. Denotaremos por Jai(λj) el bloque de Jordan de tama˜no aicorrespondiente al valor propio λj(con los unos por encima de la diagonal) y por J(λj) la matriz que tiene en la diagonal todos los bloques de Jordan asociados al valor propio λj, ordenados de mayor a menor tama˜no. Vamos a enunciar dos lemas que nos permitir´an dar una idea de la demostraci´on del teorema posterior. En el primero de ellos se mostrar´a que, si Aest´a en forma de Jordan, para obtener los factores invariantes se puede considerar cada valor propio por separado. Lema 8 Sea [A B]∈Cn×(n+m)con Λ(A) = {λ1, . . . , λv}. Si A= diag(J(λ1), . . . , J(λv)) yB= [B1. . . , Bv]T, entonces s(λi,[A B]) = s(λi,[J(λi)BT i]), para i= 1, . . . , v. Como consecuencia del Lema 8, no se pierde generalidad si se considera que Atiene un ´unico valor propio, que puede ser el cero, para simplificar la notaci´on. Adem´as basta considerar que s´olo hay dos bloques de Jordan porque si hubiera m´as se podr´ıa perturbar en varias veces, teniendo en cuenta en cada paso s´olo dos de dichos bloques (v´ease el Lema 1). Para poder mostrar el principal resultado de esta secci´on, necesitamos conocer c´omo son los factores invariantes y el ´ındice de controlabilidad de un par (A, b) en funci´on de los elementos no nulos de b. Este es el objetivo del siguiente lema. Lema 9 Sea [A, b]∈C(a1+a2)×(a1+a2+1) con A= diag(Ja1(λ), Ja2(λ)). Sean ω= (1, . . . , 1, sa2, sa1),ϕ= (1, . . . , 1, sc2, sc1)yk1las cadenas de factores invariantes de Ay(A, b)y el ´ındice de controlabilidad de (A, b), respectivamente. Entonces b= [∗(p1−1) . . . ∗bp10(a1−p1) . . . 0|∗ (p2−1) . . . ∗ba1+p20(a2−p2) . . . 0]T, donde ∗indica cualquier n´umero y bp16= 0 6=ba1+p2 si y s´olo si k1= m´ax{p1, p2},c2= m´ın{a1−p1, a2−p2}yc1=a1−p1+a2−p2−c2+m´ın{p1, p2}. Vamos a proceder a enunciar el principal resultado de esta secci´on. Teorema 10 Sea A∈Cn×ny sean ω1| · · · | ωnsus factores invariantes. Sea [A b]∈ Cn×(n+1) con ϕ1| · · · | ϕncomo factores invariantes y k1como ´ındice de controlabilidad. Sean k0 1un n´umero entero y ϕ0 1| · · · | ϕ0 npolinomios m´onicos dados. Para todo ε > 0existe una columna b0con kb0−bk< ε, tal que (A, b0)tiene k0 1como ´ındice de controlabilidad y ϕ0 1| · · · | ϕ0 ncomo factores invariantes si y s´olo si 6 Cambio de invariantes por perturbaci´on de columnas (i) ωi−1|ϕ0 i|ωipara i= 1, . . . , n, (ii) k0 1−k1=Pn i=1 d(ϕi)−Pn i=1 d(ϕ0 i), (iii) ϕ0≺≺ ϕ. Vamos a poner un ejemplo que sirva de indicaci´on de la demostraci´on de este teorema. Consideramos la matriz M= [A b] donde Aes nilpotente con factores invariantes no triviales s5ys3. Dependiendo de c´omo sea la columna b, (A, b) tendr´a como ´ındice de controlabilidad 0,1, . . . , 5. En el siguiente ret´ıculo mostramos c´omo podr´ıan ser las caracter´ısticas de Segre correspondientes a estos ´ındices de controlabilidad, que se˜nalamos a la derecha, y c´omo se podr´ıa pasar de un par, con unos invariantes, a otro, mediante transformaciones elementales de tipo (1), indicadas por flechas horizontales, o mediante transformaciones elementales de tipo (2), indicadas por flechas verticales o inclinadas. El sentido de las flechas nos indica cu´ales son los invariantes que se pueden conseguir a partir de los de la matriz Minicial, perturbando reiteradamente. (5,3 )  tt (0) (5,2 )  tt (4,3 ) oo  tt (1) (5,1 )  tt (4,2 ) oo  tt (3,3 ) oo tt (2) (5,0 )  (4,1 ) oo  tt (3,2 ) oo tt (3) (4,0 )  (3,1 ) oo tt (4) (3,0) (5) Para indicar las posiciones de la ´unica columna de bque hay que perturbar en cada paso ponemos sub´ındices a la matriz M, indicando en negrita las posiciones que necesariamente deben ser diferentes de cero, teniendo en cuenta el Lema 9. Ponemos estas matrices en lugar de las correspondientes caracter´ısticas de Segre. Tenemos, as´ı, un segundo ret´ıculo. M  tt (0) M1|6  tt M1 oo  tt (1) M12|67  ss M12|6 oo  tt M12 oo tt (2) M123|678  M123|67 oo  ss M123|6 oo tt (3) M1234|678  M1234|67 oo ss (4) M12345|678 (5) Para ver c´omo ser´ıa el vector bTen cada caso tenemos el tercer ret´ıculo. 7 M. A. Beitia, I. de Hoyos [00000|000]  ss (0) [∗0000|?00] ss [?0000|000] oo  ss (1) [∗ ∗ 000| ∗ ?0] ss [∗?000|?00] oo ss [∗?000|000] oo ss (2) [∗ ∗ 000|∗∗?]  [∗ ∗ ?00| ∗ ?0] oo ss [∗ ∗ ?00| ∗ 00] oo ss (3) [∗∗∗?0|∗∗?]  [∗∗∗?0|∗∗0] oo ss (4) [∗ ∗ ∗ ∗ ?| ∗ ∗∗] (5) Aqu´ı las estrellas ?indican elementos no nulos y los asteriscos ∗indican cualquier elemento. Conseguiremos una matriz M0= [A b0] con unos invariantes prescritos, con el m´ınimo de perturbaciones, si colocamos un elemento suficientemente peque˜no exclusivamente en las posiciones en las que aparece una estrella. Agradecimientos Agradecemos a los miembros del Grupo de ´ Algebra Lineal de la UPV/EHU las sugerencias aportadas. Este trabajo ha sido financiado por los proyectos MTM 2004-06389-CO2-01 del MEC y GIU05/28 de la UPV/EHU. Referencias [1] I. Baraga˜na, I. Zaballa, Column completion of a pair of matrices, Linear and Multilinear Algebra, 27 (1990) 243–273. [2] J. Barr´ıa, D.A. Herrero, Closure of similarity orbits of nilpotent operators I. Finite rank operators, J. Operator Theory, 1 (1979) 177–186. [3] M.A. Beitia, I. de Hoyos, I. Zaballa, The change of the Jordan structure under one row perturbations, Linear Algebra Appl., 401 (2005) 119–134. [4] M.A. Beitia, I. de Hoyos, I. Zaballa, The change of similarity invariants under row perturbations: generic cases, sometido a Linear Algebra Appl.. [5] M.A. Beitia, I. de Hoyos, I. Zaballa, The change of similarity invariants under row perturbations, sometido a Linear Algebra Appl.. [6] H. den Boer, G.Ph.A. 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