El cambio de los invariantes por feedback mediante perturbación de columnas

XX Cong eso de Ecuaciones Di e enciales y Aplicaciones X Cong eso de Ma em´ a ica Aplicada Se illa, 24-28 sep iemb e 2007 (pp. 1–8) El cambio de los in a ian es po eedback median e pe u baci´on de columnas M. A. Bei ia1, I. de Hoyos2 1Dp o. de Did´ac ica de la Ma em´a ica y de las CCEE, Escuela de Magis e io, Uni e sidad del Pa´ıs Vasco, E-01006 Vi o ia-Gas eiz. E-mail: [email p o ec ed]. 2Dp o. de Ma em´a ica Aplicada y Es ad´ıs ica e I.O., Facul ad de Fa macia, Uni e sidad del Pa´ıs Vasco, Apa ado 450, E-01080 Vi o ia-Gas eiz. E-mail: [email p o ec ed]. Palab as cla e: pe u baci´on es uc u ada, ac o es in a ian es,´ındices de con olabilidad, desigual- dades de en elazamien o, mayo izaci´on Resumen Es udiamos la a iaci´on de los in a ian es po eedback de una ma iz ec angula n×(n+m) cuando ealizamos peque˜nas pe u baciones adi i as en las ´ul imas m columnas, en algunos casos pa icula es. 1. In oducci´on En las ´ul imas d´ecadas se ha es udiado el cambio de las o mas can´onicas de ma ices ob enidas median e la adici´on de una ma iz con en adas su icien emen e peque˜nas ( ´ease, po ejemplo, [2, 6, 8, 9, 10, 11]). En es os p oblemas se puede modi ica odos los elemen os de las ma ices o iginales. En o os casos s´olo se puede pe u ba los elemen os en unas de e minadas posiciones, dando luga a p oblemas de pe u baci´on es uc u ada ( ´ease [3, 4, 5, 7]). Nues o p oblema consis e en es udia el compo amien o de los in a ian es po eedback cuando se pe u ban algunas columnas de una ma iz ec angula . En conc e o, conside amos ma ices ec angula es [A B]∈Cn×(n+m)o, equi alen e- men e, pa es de ma ices (A, B) de Cn×n×Cn×m. En p ime luga , ob enemos condi- ciones necesa ias que han de e i ica los in a ian es po eedback de odas las ma ices [A B0]∈Cn×(n+m), siendo B0cualquie ma iz su icien emen e p ´oxima a B. Rec´ıp ocamen e, ob enemos condiciones necesa ias y su icien es que ienen que sa is- ace unos polinomios y unos n´ume os en e os pa a se los ac o es in a ian es y los ´ındices de con olabilidad de un pa de ma ices (A, B0), siendo B0una ma iz an p ´oxima a B como que amos. Es e p oblema lo hemos esuel o en los siguien es casos: 1 M. A. Bei ia, I. de Hoyos 1. cuando (A, B)es comple amen e con olable; 2. cuando (A, B)es comple amen e incon olable, es deci , B= 0; 3. cuando Bs´olo iene una columna. Es os p oblemas pueden conside a se ambi´en como p oblemas de comple aci´on de ma ices, dado que una pa e de la ma iz queda ija ( ´ease, po ejemplo, [1, 12, 13, 14, 15]). 2. No aciones, de iniciones y esul ados p e ios Una pa ici´on es una secuencia no c ecien e ini a o in ini a de en e os no nega i os casi odos nulos, a= (a1, a2, . . . ).Deno amos po |a|el peso de a, es deci , la suma de sus componen es. La pa ici´on conjugada de a,a= (a1, a2, . . . ) se de ine po ak:= Ca d{i:ai≥k}. Sean aybdos pa iciones de en e os. Se dice que aes ´a mayo izada d´ebilmen e po b, i. e., a≺≺ b⇔Pk i=1 ai≤Pk i=1 bi,pa a k= 1, . . . , n, y se dice que aes ´a mayo izada po b, i. e., a≺b⇔a≺≺ byPn i=1 ai=Pn i=1 bi. De inimos a∪bcomo la pa ici´on cuyas componen es son las de ayb eo denadas en o den no c ecien e. Se e i ica que a≺b⇔b≺a. Sea Xuna ma iz compleja m×n, con m≤n. Llama emos ac o es in a ian es de X, a los ac o es in a ian es de la ma iz polinomial [sIm0] −X. Deno a emos po d(α) el g ado del polinomio α. Deno a emos po Λ(X) := {λ1, . . . , λ }el espec o de X; po s(λi, X) la pa ici´on de λien la ca ac e ´ıs ica de Seg e de Xy po w(λi, X) la pa ici´on de λien la ca ac e ´ıs ica de Wey de X, i.e., en la pa ici´on conjugada de s(λi, X). Si λ /∈Λ(X), s(λ, X) := (0) y w(λ, X) := (0). Sean γ1| · · · | γmyγ0 1| · · · | γ0 mpolinomios m´onicos dados. Sean γ= (γ1, . . . , γm) y γ0= (γ0 1, . . . , γ0 m) las cadenas o madas po es os polinomios. De inimos γ0≺≺ γ⇔γ0 1· · · γ0 i|γ1· · · γi,pa a i= 1, . . . , m yγ0≺γ⇔γ0≺≺ γyγ0 1· · · γ0 m=γ1· · · γm. Aho a se puede enuncia el siguien e lema sob e mayo izaci´on d´ebil de cadenas de polinomios. Lema 1 Dadas dos cadenas de polinomios m´onicos ϕ= (ϕ1, . . . , ϕn)yϕ0= (ϕ0 1, . . . , ϕ0 n) ales que ϕ0≺≺ ϕ, exis e un n´ume o ini o de cadenas in e medias de polinomios m´onicos de al mane a que pa a pasa de una de ellas a la siguien e s´olo hay que ealiza una ans o maci´on elemen al de uno de los dos ipos siguien es: (1) ϕ0 i=ϕi∀i /∈ {j, k},j < k,(s−λ0)ϕ0 j=ϕjyϕ0 k= (s−λ0)ϕk, pa a alguna a´ız compleja de ϕj, (2) ϕ0 i=ϕi∀i6=jy(s−λ0)ϕ0 j=ϕj, pa a alguna a´ız compleja de ϕj. Deno a emos po k1≥ · · · ≥ k 1> k 1+1 =· · · =kq= 0, los ´ındices de con olabilidad de (A, B). Deno a emos po ( 1, 2, . . . ) la pa ici´on de los ´ındices de B uno sky, que es la pa ici´on conjugada de la de los ´ındices de con olabilidad. 2 Cambio de in a ian es po pe u baci´on de columnas En el siguien e esul ado se dan las elaciones en e los in a ian es del pa y de la ma iz cuad ada. Co esponde a un p oblema de comple aci´on de columnas. Teo ema 2 ([15], [1]). Sea A∈Fn×ny sean ω1| · · · | ωnsus ac o es in a ian es. Sean ϕ1| · · · | ϕnpolinomios m´onicos y k1≥ · · · ≥ k 1en e os posi i os dados. En onces exis e una ma iz Bcon ang(B) = 1 al que ϕ1, . . . , ϕnson los ac o es in a ian es y k1, . . . , k 1 los ´ındices de con olabilidad no nulos de [A B]si y s´olo si (i) ωi− 1|ϕi|ωipa a i= 1, . . . , n, (ii) (k1, . . . , k 1)≺(d(θ 1), . . . , d(θ1)), donde θj=Qn+j i=1 mcm(ϕi−j,ωi− 1) Qn+j−1 i=1 mcm(ϕi−j+1,ωi− 1), j= 1, . . . , 1, siendo ϕi:= 1 yωi:= 1 pa a i < 1. Deno a emos po kXkcualquie no ma de ma iz de X. Dado un n´ume o eal ρ > 0, B(λi, ρ) es la bola abie a con cen o λiy adio ρ, y de inimos el ρ-en o no del espec o de Mcomo el conjun o Vρ(M) := S i=1 B(λi, ρ), donde las bolas son disjun as dos a dos. Un n´ume o eal ρsu icien emen e peque˜no como pa a que se e i ique lo an e io se llama ´a adecuado a la ma iz M. Aho a se p esen an las condiciones necesa ias de pe u baci´on de un pa de ma ices. Teo ema 3 ([8]). Sea = ( 1, 2, . . . )la pa ici´on de los n´ume os de B uno sky de (A, B)∈Cn×n×Cn×m. Sea Λ(A, B) = {λ1, . . . , λu}el espec o de (A, B). Sea ρ > 0 adecuado a [A B]. Exis e ε > 0 al que si k[A B]−[A0B0]k< ε, en onces se cumplen las condiciones: (i) Λ(A0, B0)⊂Vρ(A, B), (ii) si µij ∈Λ(A0, B0)∩B(λi, ρ),pa a j= 1, . . . , i, e i= 1, . . . , u, en onces S i j=1 w(µij,[A0B0]) ≺≺ w(λi,[A B]),pa a i= 1, . . . , u, (iii) si 0= ( 0 1, 0 2, . . . )es la pa ici´on de los n´ume os de B uno sky de (A0, B0), en onces ≺≺ 0y 0 1≤m, (i ) | 0|−| |=Pu i=1 |w(λi,[A B])| − Pu i=1 P i j=1 |w(µij,[A0B0])|. 3. Relaci´on de equi alencia asociada a es e p oblema Sean (A1, B1)y(A2, B2) dos pa es de Cn×n×Cn×m. Decimos que (A1, B1) es PQ- equi alen e a (A2, B2), y lo deno a emos (A1, B1)P Q ∼(A2, B2) si exis en ma ices P∈ C(n×n)yQ∈C(m×m)in e ibles ales que (A2, B2) = (P A1P−1, PB1Q). Pues o que es a elaci´on es un caso pa icula de la elaci´on de equi alencia po eed- back, dos pa es PQ-equi alen es end ´an los mismos ´ındices de con olabilidad y los mis- mos ac o es in a ian es. El siguien e lema mues a que si se esuel e el p oblema pa a un pa , se esuel e pa a cualquie o o de su clase. 3 M. A. Bei ia, I. de Hoyos Lema 4 Sea [A1B1]∈Cn×(n+m)y sea [A2B2]=[PA1P−1PB1Q]. En onces, en odo en o no de [A1B1]exis e una ma iz [A1B1+E1]con k0 1≥ · · · ≥ k0 m≥0como ´ındices de con olabilidad y ϕ0 1| · · · | ϕ0 ncomo ac o es in a ian es si y s´olo si en odo en o no de [A2B2]exis e una ma iz [A2B2+E2]con esos in a ian es p esc i os. 4. Condiciones necesa ias Las condiciones necesa ias de pe u baci´on que se ob ienen a pa i del eo ema de comple aci´on de columnas (Teo ema 2) y el de pe u baci´on de pa es de ma ices (Teo ema 3) es el siguien e. Teo ema 5 Sea A∈Cn×ny sean ω1| · · · | ωnsus ac o es in a ian es. Sea [A B]∈ Cn×(n+m)con ϕ1| · · · | ϕncomo ac o es in a ian es y k1≥ · · · ≥ k 1> k 1+1 =· · · = km= 0 como ´ındices de con olabilidad. Exis e ε > 0 al que si k[A B]−[A B0]k< ε,ϕ0 1| · · · | ϕ0 nson los ac o es in a ian es yk0 1≥ · · · ≥ k0 0 1> k0 0 1+1 =· · · =k0 m= 0 son los ´ındices de con olabilidad de [A B0], en onces se cumplen las condiciones: (i) ωi− 0 1|ϕ0 i|ωipa a i= 1, . . . , n, (ii) (k0 1, . . . , k0 0 1)≺(d(θ0 0 1), . . . , d(θ0 1)), donde θ0 j=Qn+j i=1 mcm(ϕ0 i−j, ωi− 0 1) Qn+j−1 i=1 mcm(ϕ0 i−j+1, ωi− 0 1), j = 1, . . . , 0 1, siendo ϕ0 i:= 1 yωi:= 1 pa a i < 1, (iii) ϕ0≺≺ ϕ (i ) si 0es la pa ici´on de los n´ume os de B uno sky de (A, B0), en onces ≺≺ 0. 5. Caso con olable Supongamos que (A, B) es con olable con k1≥ · · · ≥ km≥0 como ´ındices de con- olabilidad. Si se pe u ba lige amen e la ma iz B, el nue o pa (A, B0) sigue siendo con olable, es deci , ϕ0=ϕ= (1,(n) . . ., 1). En es e caso, las condiciones del Teo ema 5 se educen a: (ii) k0= (k0 1, . . . , k0 0 1)≺(d(ωn), . . . , d(ω1)), (i ) ≺ 0. Pa a el pa (A, B) se cumple la elaci´on k= (k1, . . . , k 1)≺(d(ωn), . . . , d(ω1)),siendo 1= ang(B). Como ≺ 0⇐⇒ k0≺k, podemos conclui que, en el caso con olable, las condiciones necesa ias pueden educi se a k0≺k. 4 Cambio de in a ian es po pe u baci´on de columnas Se demues a que en es e caso, es a condici´on es su icien e pa a encon a , an ce ca como que amos de B, una ma iz B0de o ma que (A, B0) enga k0 1≥ · · · ≥ k0 m≥0 como ´ındices de con olabilidad, como se enuncia en el siguien e eo ema. Teo ema 6 Sea (A, B)∈Cn×n×Cn×mun pa con olable con k1≥ · · · ≥ k 1> k 1+1 = · · · =km= 0 como ´ındices de con olabilidad. Sea (k0 1, . . . , k0 m)una pa ici´on no c ecien e de en e os. Pa a odo ε > 0exis e una ma iz B0con k[A B]−[A B0]k< ε, al que (A, B0)es con olable y iene k0 1. . . k0 mcomo ´ındices de con olabilidad si y s´olo si (k0 1, . . . , k0 m)≺(k1, . . . , km). 6. Caso comple amen e incon olable Supongamos que (A, B) = (A, 0) y que los ac o es in a ian es de A(y los de [A0]) son ω1| · · · | ωn, es deci , ϕ=ω. En es e caso, la condici´on (iii) del Teo ema 5 se deduce de la condici´on (i) y la condici´on (i ) es i ial. Po an o las condiciones necesa ias se educen a la (i) y la (ii). Se demues a que en es e caso, es as dos condiciones son su icien es pa a encon a , con no ma an peque˜na como que amos, una ma iz B0de o ma que (A, B0) enga k0 1≥ · · · ≥ k0 m≥0 como ´ındices de con olabilidad y ϕ0 1| · · · | ϕ0 ncomo ac o es in a ian es, como se enuncia en el siguien e eo ema. Teo ema 7 Sea A∈Cn×ny sean ω1| · · · | ωnsus ac o es in a ian es. Sean ϕ0= (ϕ0 1, . . . , ϕ0 n)una cadena de polinomios m´onicos y k0 1≥ · · · ≥ k0 0 1> k0 0 1+1 = · · · =k0 m= 0 en e os. Pa a odo ε > 0exis e una ma iz B0con ango 0 1ykB0k< ε, al que (A, B0) iene k0 1, . . . , k0 mcomo ´ındices de con olabilidad y ϕ0 1| · · · | ϕ0 ncomo ac o es in a ian es si y s´olo si (i) ωi− 0 1|ϕ0 i|ωipa a i= 1, . . . , n, (ii) (k0 1, . . . , k0 0 1)≺(d(θ0 0 1), . . . , d(θ0 1)), donde θ0 j=Qn+j i=1 mcm(ϕ0 i−j, ωi− 0 1) Qn+j−1 i=1 mcm(ϕ0 i−j+1, ωi− 0 1), j = 1, . . . , 0 1, siendo ϕ0 i:= 1 yωi:= 1 pa a i < 1. 7. La ma iz Bs´olo iene una columna Cuando B iene s´olo una columna, es deci , si m= 1, se iene que 1≤1. Al pe u ba lige amen e en la ´unica columna de Bse iene que 0 1= 1. Como consecuencia, la condici´on (i ) del Teo ema 5 es i ial. Adem´as, po la condici´on (ii) se iene que k0 1=d(θ0 1) = Pn i=1 d(ωi)−Pn i=1 d(ϕ0 i) = k1+Pn i=1 d(ϕi)−Pn i=1 d(ϕ0 i). De es o se deduce que k0 1−k1= Pn i=1 d(ϕi)−Pn i=1 d(ϕ0 i).En onces las condiciones del Teo ema 5 se educen a: 5 M. A. Bei ia, I. de Hoyos (i) ωi−1|ϕ0 i|ωipa a i= 1, . . . , n, (ii) k0 1−k1=Pn i=1 d(ϕi)−Pn i=1 d(ϕ0 i), (iii) ϕ0≺≺ ϕ. Veamos que en es e caso, es as condiciones son su icien es pa a encon a , an ce - ca como que amos de b, una columna b0de o ma que (A, b0) enga k0 1como ´ındice de con olabilidad y ϕ0 1| · · · | ϕ0 ncomo ac o es in a ian es. Como m= 1 en onces M0 iene un ´unico ´ındice de con olabilidad. Po lo an o, el p oblema de p esc ipci´on de in a ian es se a a educi a pode consegui una ma iz [A b0] con los ac o es in a ian es p esc i os. Po el Lema 4 se puede conside a que Aes ´a en o ma can´onica de Jo dan, dado que la semejanza de pa es de ma ices es un caso pa icula de PQ-equi alencia. Deno a emos po Jai(λj) el bloque de Jo dan de ama˜no aico espondien e al alo p opio λj(con los unos po encima de la diagonal) y po J(λj) la ma iz que iene en la diagonal odos los bloques de Jo dan asociados al alo p opio λj, o denados de mayo a meno ama˜no. Vamos a enuncia dos lemas que nos pe mi i ´an da una idea de la demos aci´on del eo ema pos e io . En el p ime o de ellos se mos a ´a que, si Aes ´a en o ma de Jo dan, pa a ob ene los ac o es in a ian es se puede conside a cada alo p opio po sepa ado. Lema 8 Sea [A B]∈Cn×(n+m)con Λ(A) = {λ1, . . . , λ }. Si A= diag(J(λ1), . . . , J(λ )) yB= [B1. . . , B ]T, en onces s(λi,[A B]) = s(λi,[J(λi)BT i]), pa a i= 1, . . . , . Como consecuencia del Lema 8, no se pie de gene alidad si se conside a que A iene un ´unico alo p opio, que puede se el ce o, pa a simpli ica la no aci´on. Adem´as bas a conside a que s´olo hay dos bloques de Jo dan po que si hubie a m´as se pod ´ıa pe u ba en a ias eces, eniendo en cuen a en cada paso s´olo dos de dichos bloques ( ´ease el Lema 1). Pa a pode mos a el p incipal esul ado de es a secci´on, necesi amos conoce c´omo son los ac o es in a ian es y el ´ındice de con olabilidad de un pa (A, b) en unci´on de los elemen os no nulos de b. Es e es el obje i o del siguien e lema. Lema 9 Sea [A, b]∈C(a1+a2)×(a1+a2+1) con A= diag(Ja1(λ), Ja2(λ)). Sean ω= (1, . . . , 1, sa2, sa1),ϕ= (1, . . . , 1, sc2, sc1)yk1las cadenas de ac o es in a i- an es de Ay(A, b)y el ´ındice de con olabilidad de (A, b), espec i amen e. En onces b= [∗(p1−1) . . . ∗bp10(a1−p1) . . . 0|∗ (p2−1) . . . ∗ba1+p20(a2−p2) . . . 0]T, donde ∗indica cualquie n´ume o y bp16= 0 6=ba1+p2 si y s´olo si k1= m´ax{p1, p2},c2= m´ın{a1−p1, a2−p2}yc1=a1−p1+a2−p2−c2+m´ın{p1, p2}. Vamos a p ocede a enuncia el p incipal esul ado de es a secci´on. Teo ema 10 Sea A∈Cn×ny sean ω1| · · · | ωnsus ac o es in a ian es. Sea [A b]∈ Cn×(n+1) con ϕ1| · · · | ϕncomo ac o es in a ian es y k1como ´ındice de con olabilidad. Sean k0 1un n´ume o en e o y ϕ0 1| · · · | ϕ0 npolinomios m´onicos dados. Pa a odo ε > 0exis e una columna b0con kb0−bk< ε, al que (A, b0) iene k0 1como ´ındice de con olabilidad y ϕ0 1| · · · | ϕ0 ncomo ac o es in a ian es si y s´olo si 6 Cambio de in a ian es po pe u baci´on de columnas (i) ωi−1|ϕ0 i|ωipa a i= 1, . . . , n, (ii) k0 1−k1=Pn i=1 d(ϕi)−Pn i=1 d(ϕ0 i), (iii) ϕ0≺≺ ϕ. Vamos a pone un ejemplo que si a de indicaci´on de la demos aci´on de es e eo e- ma. Conside amos la ma iz M= [A b] donde Aes nilpo en e con ac o es in a ian es no i iales s5ys3. Dependiendo de c´omo sea la columna b, (A, b) end ´a como ´ındice de con olabilidad 0,1, . . . , 5. En el siguien e e ´ıculo mos amos c´omo pod ´ıan se las ca - ac e ´ıs icas de Seg e co espondien es a es os ´ındices de con olabilidad, que se˜nalamos a la de echa, y c´omo se pod ´ıa pasa de un pa , con unos in a ian es, a o o, median e ans o maciones elemen ales de ipo (1), indicadas po lechas ho izon ales, o median e ans o maciones elemen ales de ipo (2), indicadas po lechas e icales o inclinadas. El sen ido de las lechas nos indica cu´ales son los in a ian es que se pueden consegui a pa i de los de la ma iz Minicial, pe u bando ei e adamen e. (5,3 )  (0) (5,2 )  (4,3 ) oo  (1) (5,1 )  (4,2 ) oo  (3,3 ) oo (2) (5,0 )  (4,1 ) oo  (3,2 ) oo (3) (4,0 )  (3,1 ) oo (4) (3,0) (5) Pa a indica las posiciones de la ´unica columna de bque hay que pe u ba en cada paso ponemos sub´ındices a la ma iz M, indicando en neg i a las posiciones que necesa iamen e deben se di e en es de ce o, eniendo en cuen a el Lema 9. Ponemos es as ma ices en luga de las co espondien es ca ac e ´ıs icas de Seg e. Tenemos, as´ı, un segundo e ´ıculo. M  (0) M1|6  M1 oo  (1) M12|67  ss M12|6 oo  M12 oo (2) M123|678  M123|67 oo  ss M123|6 oo (3) M1234|678  M1234|67 oo ss (4) M12345|678 (5) Pa a e c´omo se ´ıa el ec o bTen cada caso enemos el e ce e ´ıculo. 7 M. A. Bei ia, I. de Hoyos [00000|000]  ss (0) [∗0000|?00] ss [?0000|000] oo  ss (1) [∗ ∗ 000| ∗ ?0] ss [∗?000|?00] oo ss [∗?000|000] oo ss (2) [∗ ∗ 000|∗∗?]  [∗ ∗ ?00| ∗ ?0] oo ss [∗ ∗ ?00| ∗ 00] oo ss (3) [∗∗∗?0|∗∗?]  [∗∗∗?0|∗∗0] oo ss (4) [∗ ∗ ∗ ∗ ?| ∗ ∗∗] (5) Aqu´ı las es ellas ?indican elemen os no nulos y los as e iscos ∗indican cualquie elemen o. Consegui emos una ma iz M0= [A b0] con unos in a ian es p esc i os, con el m´ınimo de pe u baciones, si colocamos un elemen o su icien emen e peque˜no exclusi a- men e en las posiciones en las que apa ece una es ella. Ag adecimien os Ag adecemos a los miemb os del G upo de ´ Algeb a Lineal de la UPV/EHU las sug- e encias apo adas. Es e abajo ha sido inanciado po los p oyec os MTM 2004-06389-CO2-01 del MEC y GIU05/28 de la UPV/EHU. Re e encias [1] I. Ba aga˜na, I. Zaballa, Column comple ion o a pai o ma ices, Linea and Mul ilinea Algeb a, 27 (1990) 243–273. [2] J. Ba ´ıa, D.A. He e o, Closu e o simila i y o bi s o nilpo en ope a o s I. Fini e ank ope a o s, J. Ope a o Theo y, 1 (1979) 177–186. [3] M.A. Bei ia, I. de Hoyos, I. Zaballa, The change o he Jo dan s uc u e unde one ow pe u ba ions, Linea Algeb a Appl., 401 (2005) 119–134. [4] M.A. Bei ia, I. de Hoyos, I. Zaballa, The change o simila i y in a ian s unde ow pe u ba ions: gene ic cases, some ido a Linea Algeb a Appl.. [5] M.A. Bei ia, I. de Hoyos, I. Zaballa, The change o simila i y in a ian s unde ow pe u ba ions, some ido a Linea Algeb a Appl.. [6] H. den Boe , G.Ph.A. Thijsse, Semi-s abili y o sums o pa ial mul iplici ies unde addi i e pe u - ba ion, In eg al equa ions and Ope a o Theo y, 3/1 (1980) 23–42. [7] M. Dodig, M. S osic, The change o eedback in a ian s unde one ow pe u ba ion, Linea Algeb a Appl., 422 (2007) 582–603. [8] J.M. G acia, I. de Hoyos, I. Zaballa, Pe u ba ion o linea con ol sys ems, Linea Algeb a Appl., 121 (1989) 353–383. [9] I. de Hoyos, Pe u baci´on de Ma ices Rec angula es y Haces de Ma ices, Bilbao, 1990. [10] A.S. Ma kus, E.` E. Pa ilis, The change o he Jo dan s uc u e o a ma ix unde small pe u ba ions, Linea Algeb a Appl., 54 (1983) 139–152. [11] A. Pok zywa, On Pe u ba ions and he equi alence o bi o a ma ix pencil, Linea Algeb a Appl., 82 (1986) 99–121. [12] E.M. de S´a, Imbedding condi ions o λ-ma ices, Linea Algeb a Appl., 24 (1979) 33–50. [13] R.C. Thompson, In e lacing inequali ies o in a ian ac o s, Linea Algeb a Appl., 24 (1979) 1–31. [14] I. Zaballa, Ma ices wi h p esc ibed ows and in a ian ac o s, Linea Algeb a Appl., 87 (1987) 113–146. [15] I. Zaballa, In e lacing inequali ies and con ol heo y, Linea Algeb a Appl., 101 (1988) 9–31. 8