Seguimiento visual mediante esquema por par calculado. Aplicación a plataforma de 2-GDL

SEGUIMIENTO VISUAL BASADO EN PASIVIDAD EN SISTEMAS NO INERCIALES Fabio G´ omez-Estern, Miguel G. Cordones and F.R. Rubio Dept. Ingenier´ ıa de Sistemas y Autom´ atica Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla Camino de los Descubrimientos s/n. 41092-Sevilla. SPAIN e-mails: {fgs,cordones,rubio}@cartuja.us.es TEL: +34 954487346 FAX: +34 954487340 Abstract En este trabajo se presenta la s´ ıntesis e implementaci´ on de un controlador basado en pasividad destinado al seguimiento de visual de objetos m´ oviles dentro de un esquema de rechazo de perturbaciones. El prop´ osito de la aplicaci´ on es controlar la l´ ınea de visi´ on de una plataforma de sensores de dos grados de libertad asentada sobre un sistema de referencia m´ ovil, cuando el movimiento del veh´ ıculo terrestre o acu´ atico que soporta la plataforma act´ ua como un efecto perturbador de energ´ ıa limitada. Los pares externos debidos al movimiento del sistema de referencia de la base desestabilizan la imagen y pueden causar una p´ erdida del objetivo visual. Dichas perturbaciones se pueden compensar de manera efectiva incorporando un esquema cl´ asico de rechazo de perturbaciones con ganancia L2basado en pasividad, inicialmente dise˜ nado para sistemas inerciales. La principal aportaci´ on de este trabajo consiste en hacerlos extensivos a sistemas no inerciales con realimentaci´ on visual. Los controladores dise˜ nados han sido probados en una plataforma de laboratorio instalada sobre una mesa desestabilizadora que emula el oleaje o el movimiento de un veh´ ıculo terrestre, introduciendo el efecto perturbador de manera realista. Palabras clave: Sistemas no lineales, Robots m´ oviles, Pasividad, Control robusto, Seguimiento visual. 1 Introducci´ on En recientes trabajos, la teor´ ıa de los sistemas hamiltonianos y la pasividad han permitido profundizar en el tratamiento de la relaci´ on perturbaciones-salida de los sistemas realimentados. En [4] se han demostrado las propiedades de rechazo de perturbaciones para sistemas PCH (v´ ease tambi´ en un enfoque reciente m´ as pr´ actico en [5]) al imponer unas determinadas condiciones en la matriz de disipaci´ on de un sistema hamiltoniano, de modo que en bucle cerrado presente una ganancia L2reducida, el algunos casos cuantificable, en la relaci´ on perturbaci´ on-salida. Los sensores de veh´ ıculos o robots m´ oviles como antenas sat´ elite o sistemas de seguimiento visual, se ven afectados de manera continua por perturbaciones no deseadas debidas al movimiento sistema de referencia sobre el que se asientan. Las perturbaciones se reflejan como fuerzas de coriolis y centr´ ıfugas propias de los sistemas no inerciales. Estos sistemas encuentran la dificultad de mantener una l´ ınea de visi´ on estable frente a los movimientos del objetivo visual o los del propio sistema de referencia del sensor. Para objetivos alejados la segunda de las perturbaciones es la que m´ as efecto tiene en el seguimiento y requiere untratamiento especial. En el caso de veh´ ıculos acu´ aticos estas perturbaciones tienen car´ acter sinusoidal y por tanto es de esperar que su energ´ ıa est´ e acotada, hecho importante para la efectividad del esquema de rechazo de perturbaciones L2. Motivado por ello, en este art´ ıculo se propone el empleo de un controlador de Slotine y Li con rechazo de perturbaciones en sentido L2 basado en pasividad, inmerso en un sistema de seguimiento visual que proporciona la trayectoria de referencia a dicho controlador. A fin de estudiar de forma realista las caracter´ ısticas y el efecto de las perturbaciones, se ha construido una plataforma de laboratorio de dos grados de libertad sobre una mesa desestabilizadora de dos grados de libertad y se ha implementado un sistema de seguimiento visual mediante c´ amara CCD. Al analizar el efecto de las perturbaciones de la mesa desestabilizadora sobre la calidad del seguimiento visual, se ha observado experimentalmente una sustancial mejora al incorporar el nuevo esquema de rechazo de perturbaciones al sistema de control. Estos resultados se ilustran de forma gr´ afica. El presente art´ ıculo se organiza del siguiente modo: En la secci´ on 2, se presenta el modelo simplificado de la plataforma. En la secci´ on 3, se propone la estructura de control deseada, dividida en subsistema visual y subsistema de control. En la secci´ on 4 se ilustra la implementaci´ on de laboratorio de los controladores. La secci´ on 5 presenta algunos resultados experimentales. Finalmente se aportan una serie de conclusiones en el apartado 6. 2 Modelo del sistema El sistema consiste en una plataforma de dos grados de libertad inmersa en un sistema de referencia no inercial. La s´ ıntesis de controladores para esta plataforma presenta retos como la estabilizaci´ on robusta con rechazo de perturbaciones y el seguimiento visual de objetos m´ oviles. El modelo empleado corresponde a la plataforma de dos grados de libertad mostrada en la figura 1. Se compone de dos cuerpos principales: la base, cuya posici´ on est´ a determinada por el ´ angulo de acimut ϕy el cuerpo principal que contiene la c´ amara y cuya coordenada generalizada es el ´ angulo de elevaci´ on θ. En nuestra instalaci´ on experimental, este sistema se asienta en una mesa mecanizada capaz de girar en dos ejes. El sistema completo referido a tierra posee cuatro grados de libertad, aunque en nuestro modelo consideraremos s´ olo la cinem´ atica de la plataforma de dos grados de libertad en un sistema fijo, ya que el sistema de referencia de la mesa se supone desconocido en aplicaciones reales. Por tanto cualquier efecto de acoplamiento debido al movimiento de este sistema ser´ a tratado como perturbaci´ on externa. El peso del cuerpo de elevaci´ on se concentra a lo largo del eje de giro, por lo que la energ´ ıa potencial es invariante y por tanto desaparece de las ecuaciones. El origen del ´ angulo de acimut es arbitrario. La variable θes cero cuando ambos cuerpos son perpendiculares. Las coordenadas generalizadas del sistema son (ϕ,θ). Figure 1: Plataforma de dos grados de libertad. Las ecuaciones de movimiento se obtienen de manera sencilla en forma hamiltoniana. Bajo la suposici´ on anterior, la energ´ ıa mec´ anica total se reduce a la energ´ ıa cin´ etica: 1 2˙ϕ˙ θΓ(θ) 0 0Iyy2˙ϕ ˙ θ(1) que coincide al mismo tiempo con el lagrangiano y el hamiltoniano del sistema. El t´ ermino Γ(θ)representa la siguiente expresi´ on: Γ(θ),Izz1+Ixx2sen2(θ) + Izz2cos2(θ)(2) donde Izz1es el momento de inercia en torno al eje zde la base, y Ixx2,Iyy2eIzz2lo son respecto a los ejes x,yand z respectivamente. 3 Seguimiento de objetos m´ oviles en superfices no inerciales El problema de control de esta plataforma puede ser tratado en primera aproximaci´ on como una estabilizaci´ on de puntos de equilibrio. En efecto, si el objetivo visual no es m´ ovil o su desplazamiento es lento (v.gr. sat´ elite de comunicaciones no geostacionario), el error en posici´ on puede ser estimado por la c´ amara y corregido mediante linealizaci´ on por realimentaci´ on entre otras opciones. Sin embargo si el objetivo de control es el seguimiento visual de un objeto m´ ovil, el problema crece en inter´ es. El movimiento del objetivo respecto a la l´ ınea de visi´ on de la c´ amara puede darse en una o ambas de las siguientes situaciones: •Seguimiento de objetos m´ oviles desde una plataforma apoyada en tierra. La soluci´ on a este problema, al ser un caso particular, est´ a contenida en el siguiente supuesto. •Seguimiento de objetos fijos o m´ oviles desde una plataforma apoyada en la cubierta de un buque u otra base m´ ovil. En este caso el objeto a seguir tendr´ a un vector de velocidad no nulo con respecto al sistema de referencia ligado a la cabeza del pedestal, tanto si el objeto est´ a en movimiento como si no. Esta velocidad ser´ a la composici´ on del movimiento del propio objeto con el movimiento de la plataforma debido a las oscilaciones provocadas en el buque por el oleaje. Siendo el segundo caso el m´ as general, ser´ a el que abordaremos a continuaci´ on. Se plantear´ a el control como un seguimiento de trayectorias basado en pasividad con rechazo de perturbaciones. Las trayectorias de referencia ser´ an aquellas que hagan nulas las coordenadas del objeto en la imagen captada por la c´ amara y sus derivadas. Para ello se incluir´ a un m´ odulo de prec´ alculo de la trayectoria de referencia en virtud de los movimientos del objetivo en la imagen de la c´ amara. El esquema de control propuesto aparece en la figura 2. 3.1 Seguimiento visual El dise˜ no del primer bloque consiste en calcular la trayectoria deseada para las coordenadas de la plataforma, qd(t) = (ϕd(t), θd(t)) de modo que la imagen del objeto m´ ovil se estabilice en el centro de la pantalla de la imagen capturada por la c´ amara CCD. La entrada de este bloque est´ a formada por la posici´ on 2D del objeto en la imagen, referida al centro Radar Video Encoder/gyro Seguimiento de trayectoria basado en pasividad Cálculo visual de la trayectoria de referencia D(t) x(t),y(t) q(t),q'(t) qd(t),q'd(t) Perturbación (oleaje) + + u Plataforma de sensores Figure 2: Esquema de control para seguimiento visual. de la pantalla. Denotaremos estas coordenadas (x(t), y(t)). Supongamos que existe una trayectoria qd(t)∈ C2´ unica en las coordenadas articulares de la plataforma, tal que q(t) = qd(t)⇒(x(t), y(t)) = (0,0),∀t Esta trayectoria es, evidentemente desconocida, pues depende de los movimientos del buque y del objeto m´ ovil. Sin embargo, como se ver´ a a continuaci´ on, bastar´ a con conocer las trayectorias de las coordenadas del objeto en la imagen capturada por la c´ amara, para estimar qd(t)y sus derivadas en cada instante t. Conocidas ´ estas, se dise˜ nar´ a un controlador basado en pasividad para lograr estabilidad asint´ otica de la trayectoria, y consecuentemente lim t→∞ (x(t), y(t)) = (0,0) Es admisible afirmar que las coordenadas en pantalla (x,y), as´ ı como las coordenadas tridimensionales en el sistema de referencia de la c´ amara, (X,Y,Z), son medidas del error en seguimiento. Sin embargo, es necesario expresar dicho error en coordenadas articulares (ϕ, θ), y as´ ı se obtendr´ a a continuaci´ on. La posici´ on 2D del objetivo en la imagen capturada se supone estimada por un algoritmo de visi´ on por computador est´ andar. El c´ alculo de las coordenadas (X, Y, Z)del objeto referidas al sistema de referencia de la c´ amara se deriva de las propiedades geom´ etricas ilustradas en la figura 3. Por semejanza de tri´ angulos, se tiene x d=X Z y d=Y Z siendo dla distancia focal al plano de la imagen, un par´ ametro caracter´ ıstico (y a menudo ajustable) de la c´ amara. Tras algunas manipulaciones se despejan las coordenadas 3D X=xD √d2+r2 Y=yD √d2+r2 donde r2=x2+y2. El error de orientaci´ on de la c´ amara en funci´ on de xeyviene dado por eϕ= arctan(X Z) = arctan x d=ϕd−ϕ eθ= arctan(Y Z) = arctan y d=θd−θ Si derivamos esta expresi´ on, se tiene ˙eϕ=d dt arctan X Z=d dt arctan x d =˙xd d2+x2= ˙ϕd−˙ϕ ˙eθ=d dt arctan Y Z=d dt arctan y d =˙yd d2+y2=˙ θd−˙ θ, De donde obtenemos trayectoria articular deseada y sus derivadas en el instante t qd(t) = ϕ(t) θ(t)+eϕ(t) eθ(t)(3) ˙qd(t) = ˙ϕ(t) ˙ θ(t)+˙eϕ(t) ˙eθ(t) (4) Esta trayectoria objetivo calculada en tiempo real ser´ a la referencia del bloque de estabilizaci´ on de trayectorias que se dise˜ nar´ a a continuaci´ on con m´ etodos basados en pasividad. 3.2 Subsistema de estabilizaci´ on de trayectorias Para lograr el seguimiento de trayectorias partiremos de las ecuaciones de Euler–Lagrange, y emplearemos los resultados de [4]. Dada la matriz de inercia del pedestal M=Γ(θ) 0 0Iyy2(5) Y Z d Vista lateral Vista superior Z d X y x Plano de la Imagen Plano de la Imagen Figure 3: Coordenadas en pantalla y coordenadas reales. se escribe la din´ amica en bucle abierto en la estructura de Euler-Lagrange para sistemas rob´ oticos M(q)¨q+C(q, ˙q) ˙q=τ. (6) donde los t´ erminos de energ´ ıa potencial no son considerados en esta aplicaci´ on por razones ya expuestas, aunque si existieran el tratamiento ser´ ıa equivalente. Para estabilizar la trayectoria de referencia qd(t)aplicaremos la ley de control τ=M(q)˙ ξ+C(q, ˙q)ξ+ν(7) donde ξ= ˙qd−Λ(q−qd)(8) yΛ=ΛT>0. Sustituyendo en (7) se obtiene M(q) ˙s+C(q, ˙q)s=ν(9) donde s,˙q−ζ. Definiendo la funci´ on de energ´ ıa como H(s, q) = 1 2sTM(q)s(10) entonces a lo largo de las trayectorias (9) d dtH=sTM(q) ˙s+1 2sT˙ Ms =−sTCs +1 2sT˙ Ms +sTν=sTν(11) La ´ ultima expresi´ on se debe a la antisimetr´ ıa de la matriz (˙ M-2C). El sistema es disipativo respecto a (sTν) y un mapa pasivo ν7→ sporque H≥0, por cualquier condici´ on inicial. Si definimos, adicionalmente ˆν=Ks (12) Figure 4: Estructura de control para seguimiento de trayectorias donde K=KT>0es una matriz definida positiva que aparece en la estructura de control (Fig.4) en la parte de realimentaci´ on. Entonces se tiene que Proposition 3.1. La ley de control τ=M(q)[¨qd−Λ( ˙q−˙qd)] +C(q, ˙q)( ˙qd−Λ(q−qd)) +Kd[ ˙q−˙qd+ Λ(q−qd)] donde Kd=KT d>0yΛ=ΛT>0are son par´ ametros de ajuste, y qd(t)es la trayectoria calculada que se ha de seguir, estabiliza asint´ oticamente el error e(t) = q(t)−qd(t)en el origen La prueba es conocida tras los resultados de [4], y no se presentar´ a en este lugar. 3.3 Rechazo de perturbaciones en seguimiento de trayectorias El esquema propuesto se basa en el celebrado controlador de Slotine y Li [2], que en principio carece de propiedades de rechazo de perturbaciones cuantificable cuando se toma el error en posici´ on del robot como salida del sistema. Un hecho conocido de la literatura (v´ ease [3]) es que la adici´ on de un t´ ermino proporcional al error al controlador de Slotine y Li proporciona un m´ etodo de rechazo de perturbaciones en sentido L2hacia la salida e(t) = q(t)−qd(t)con un nivel de atenuaci´ on γarbitrariamente bueno en caso de sistemas completamente actuados. La proposici´ on anterior se transforma en Proposition 3.2. Consid´ erese la plataforma de dos grados de libertad con ley de control τ=M(q)[¨qd−Λ( ˙q−˙qd)] +C(q, ˙q)( ˙qd−Λ(q−qd)) +Kd[ ˙q−˙qd+ Λ(q−qd)] + Kp(q−qd) con todas las constantes definidas en la proposici´ on 3.1, y sup´ ongase adicionalmente que se cumplen las siguientes condiciones: Kd=1 21 γ2+1+λ Kp=1 2γ2+1+λ. Entonces, la atenuaci´ on L2desde la entrada a la salida τ la salida (q−qd)es inferior a la ganancia arbitrariamente definida γ, y el comportamiento transitorio puede ser ajustado usando el escalar positivo λ. La prueba de este resultado puede leerse en [3]. Lo emplearemos para su implementaci´ on en la plataforma real de dos grados de libertad con realimentaci´ on visual, para lo que se describir´ a la conexi´ on entre el sistema de tratamiento de imagen y la estructura aqu´ ı descrita. 4 Implementaci´ on En la figura 5 aparece el sistema de experimentaci´ on de laboratorio. La plataforma gira en dos ejes impulsados por motores de corriente continua tipo brushless. La mesa desestabilizadora consta de dos motores trif´ asicos controlados con un variador de velocidad. La medida de los sensores de posici´ on (encoders incrementales e inclin´ ometros para la mesa) y velocidad (gir´ oscopos) se realimenta al PC que contiene dos tarjetas (una por eje) de adquisici´ on y control dSpace basadas en el DSP TMS320C31 y un entorno de control en tiempo real ControlDesk. Para la realimentaci´ on visual se ha desarrollado un algoritmo sencillo de tratamiento de im´ agenes que se ejecuta en un PC distinto del de control de la plataforma. Dicho algoritmo determina las coordenadas xeyde un c´ ırculo negro en la imagen capturada y las ajusta en funci´ on de los Figure 5: Plataforma experimental par´ ametros calibrados de la c´ amara. A continuaci´ on se calculan los dos ´ angulos de la l´ ınea que apunta al objeto, referidos al eje longitudinal de la c´ amara. Este eje coincide con el de la parte superior de la plataforma. Conocidas estas coordenadas, se transmiten por medio de datagramas UDP sobre una red Ethernet descongestionada hacia el ordenador de control de la plataforma. En esta m´ aquina se ha implementado una aplicaci´ on de memoria compartida que recibe los datagramas y transmite los valores a las tarjetas DSP. El tiempo de muestreo logrado con este esquema es de 20 milisegundos, sin haberse apreciados efectos significativos relacionados con el retraso de comunicaci´ on. La identificaci´ on de los par´ ametros del modelo f´ ısico de la plataforma se han obtenido mediante ajuste m´ ınimo cuadr´ atico sobre los datos capturados por el PC. La compensaci´ on de fricci´ on (ver apartado siguiente) es posible mediante la identificaci´ on de los coeficientes del modelo de LuGre tal y como se indica en [1]. 5 Resultados experimentales La calidad de los resultados incrementa considerablemente al incorporar a nuestro controlador el esquema de prealimentaci´ on para la compensaci´ on de fricci´ on basado en el modelo de LuGre presentado en [1]. Con el controlador presentado, la figura 6 muestra los resultados experimentales. La ganancia L2del mapa perturbaci´ on-salida ha sido ajustada de acuerdo con la proposici´ on 3.2. Aunque el valor de γpuede hacerse arbitrariamente peque˜ no, en los experimentos se ha observado que no se puede reducir por debajo de cierto valor debido a la aparici´ on de un vibraci´ on sostenida. Esta vibraci´ on, debida a din´ amicas no modeladas, se ve amplificada al aumentar el t´ ermino derivativo (disipativo) del controlador, y esto se produce precisamente al reducir el valor de γ. Figure 6: Seguimiento visual de objetivo fijo con movimiento de mesa senoidal y perturbaci´ on aditiva. 6 Conclusiones En este trabajo se ha presentado la implementaci´ on pr´ actica de un controlador basado en la estructura hamiltoniana con realimentaci´ on de visual y atenuaci´ on de perturbaciones. El dise˜ no se basa en el controlador de Slotine and Li mejorado para incorporar un esquema de rechazo de perturbaciones. Como aportaci´ on novedosa esta estructura ha sido inmersa en contexto poco habitual en trabajos de pasividad: el seguimiento visual. La extensi´ on es natural y viene dada por el hecho de que la referencia m´ ovil del controlador de Slotine y Li es calculada bas´ andose en consideraciones geom´ etricas por un subsistema de seguimiento visual. Se ha estudiado un sistema real formado por una plataforma de dos grados de libertad sobre una mesa desestabilizadora emulando la superficie de un buque. Se ha realimentado el sistema mediante encoders, gir´ oscopos y una c´ amara CCD para realimentaci´ on visual. De forma experimental se ha ilustrado el comportamiento del sistema frente a la presencia de perturbaciones externas. Acknowledgements. Los autores desean expresar su agradecimiento al ministerio espa˜ nol de ciencia y tecnolog´ ıa patrocinar este trabajo en el marco de los proyectos DPI2001-2424-C02-01 y DPI2000-1218-C04-01. References [1] Olsson H. Lischinscky P. Astrom K.J., Canudas de Wit C. A new model for control on systems with friction. IEEE Tansactions of Automatic Control,vol.40,No.3, pp. 419-425, 1995. [2] Slotine J.J. and Li W. Adaptive manipulator control: a case study. IEEE Trans. on Automatic Control, 13(5):995–1003, 1988. [3] Sadegh N. and Horowith R. Stability and robustness analysis of a class of adaptive controllers for robot manipulators. Int. Journal. rob. Res., 9:74–92, 1990. [4] A. Van der Schaft. L2-Gain and Passivity Techniques in Nonlinear Control. 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