La banda de Möbius: un camino que te llevará de cabeza

15 Es e a ículo se ha esc i o con el obje i o de mos a la supe icie geomé ica denominada banda de Möbius como he amien a pa a po encia la mo i ación e in e és de los alumnos, an o de bachille a o como uni e si a ios, en sus clases de Ma emá icas. Es a supe icie, que iene a ias p opiedades muy cu iosas, es en ealidad un bucle gi ado, no malmen e hecho de papel, ácil- men e manipulable po los es udian es. Pa a su cons ucción únicamen e se necesi an lápiz, papel, pegamen o y ije as. The goal o his pape is o show a geome ical su ace named Möbius Band as an use ul ool o achie e he mo i a ion and in e- es om Seconda y o uni e si y s uden s when acing hei ma hema ical classes. This su ace, which has se e al s ange p o- pe ies is in ac a wis ed loop which can be easily manipula ed by s uden s. To cons uc i , s ips o pape , s icky ype, scisso s and a pen a e only needed. s e a ículo se ha esc i o con el obje i o p incipal de mos a la supe icie geomé ica denominada banda de Möbius como he amien a pa a consegui un mayo g ado de mo i ación e in e és de los alumnos, an o de bachille a o como uni e si a ios, en sus clases de Ma emá icas. El pun o de pa ida de es e a ículo son dos expe iencias ela- i as a la u ilización de es a supe icie, ealizadas espec i a- men e en las clases de es os alumnos. T as una exposición de allada de ambas expe iencias, se indi- can los obje i os que se p e ende consegui . Es os obje i os es án elacionados sob e odo con la in o- ducción de los cue pos geomé icos en Secunda ia. Se mues a el p oceso de cons ucción de la banda de Möbius y se comen an algunos aspec os cu iosos ela i os a es a supe icie, como pueden se el ema de los co es en la Banda y algunas aplicaciones de la misma en e las que des acamos una o almen e so p esi a a p io i: la casa Möbius. Pa a inaliza , se dan unas b e es no as sob e la biog a ía del descub ido de la banda, Augus Fe dinand Möbius, que pueden se ú iles pa a el p o eso en clase y así acili a el uso de la His o ia de las Ma emá icas en las clases, lo cual ambién se ha conside ado como uno de los obje i os a alcanza . Ana Belén G anados Pé ez Ana G au de la He án Juan Núñez Valdés Uni e sidad de Se illa. Se illa La Banda de Möbius: un camino que e lle a á de cabeza EDos expe iencias con la banda de Möbius Iniciamos es e a ículo con la na ación de dos expe iencias que ponen de mani ies o cómo la u ilización de la banda de Möbius en las clases de Ma emá icas de cualquie ni el supe- io al de P ima ia pe mi e consegui un mayo g ado de mo i ación e in e és en los alumnos. La p ime a de ellas iene como ac o es p incipales a un p o eso de Secunda ia de es a asigna u a y a un g upo de sus alumnos, mien as que en la segunda los p o agonis as son los p opios au o es del a ículo. 54 Feb e o 2007, pp.15-22 En los momen os de c isis, sólo la imaginación es más impo an e que el conocimien o. Albe Eins ein SUMA 54 Feb e o 2007 16 La p ime a expe iencia ue ealizada po un p o eso de Ma- emá icas de un Cen o de Secunda ia a ins ancia suya. Ap o echó pa e de la clase, en la que iba a explica a sus alumnos (de 1º de ESO) las p ime as nociones sob e cue pos geomé icos, pa a saca a es alumnos a la piza a, X, Yy Z, en egándole a cada uno un ec ángulo de papel, de medidas 40 x 15 cm, con una ec a pin ada a lo la go y que lo di idía en dos mi ades, y con las le as Ay B, espec i amen e, esc i as en las esquinas de uno de los dos lados de meno longi ud del papel, y las le as A’ y B’, en las mismas esquinas del lado pa a- lelo. Al mismo iempo, le comen ó al es o de los alumnos que les iba a explica el ema de cue pos geomé icos pe o que an es deseaba hace una pequeña expe iencia, pa a lo cual di idió la clase en es g upos, ambién denominados X, Yy Z, y les dijo que los alumnos de cada g upo debe ían hace lo mismo que el alumno de la piza a que enía su misma le a. Todos los alumnos u ie on que saca una hoja de cuade no g ande, lo más pa ecida posible al ec ángulo de papel, y pin- a la línea en medio y las le as de las esquinas en la hoja. El p o eso , mien as an o, obse aba muy ijamen e la conduc- a de los alumnos en es e p oceso, pa a conoce , aunque uese in ui i amen e, si los alumnos pa ecían es a más mo i ados o in e esados de lo habi ual. Cuando odos los alumnos enían un ec ángulo, el p o eso se di igió indi idualmen e a cada uno de los alumnos de la piza a, de o ma que ninguno de ellos pudie a escucha lo que les decía a los o os dos, y les indicó que las in ucciones que él iba a p opo ciona les, debe ían ellos ansmi í selas a los compañe os que o maban su g upo y pedi les que las siguie an. El p o eso le dijo al alumno Xque esc ibiese en el papel lo siguien e: Un cilind o es un cue po geomé ico edondo que iene dos bases ci cula es planas y una supe icie la e al cu a. Al alumno Y, el p o eso le dijo que doblase el papel de o ma que la esquina Acoincidiese con la A’ y la Bcon la B’, espec i- amen e, y que el cue po que se había o mado e a un cilind o. Al e ce o, Z, le dijo que en p ime luga hiciese exac amen e lo mismo que Y, pe o que después deshiciese la ope ación y la epi ie a, pe o que aho a an es de dobla el papel lo gi ase haciendo coincidi aho a Acon B’ y Bcon A’. Cuando Z eali- zó es a ope ación, el p o eso le dijo que el cue po que acaba- ba de ob ene no e a un cilind o, como la p ime a ez, sino o o cue po geomé ico que se llama banda de Möbius. El p o eso le dijo ambién a Z que una de las di e encias unda- men ales en e ambos cue pos es que el cilind o es o ien able y la banda de Möbius no. Pa a acla a algo más es e concep o, el p o eso les dijo que los de los g upos Yy Zcolocasen el capuchón de un bolíg a o o un pequeño lápiz con la pun a hacia a iba en uno de los pun os de la línea cen al p e ia- men e dibujada en el papel y que lo desplazasen en esa o ma a lo la go de esa línea. Los alumnos del g upo Yobse a on que una ez dada la uel a comple a al cilind o el lápiz ol ía al mismo pun o del que había salido y además, en la misma posición de la que había pa ido, mien as que los alumnos del g upo Z ie on que, ealizando la misma ope ación, el lápiz ol ía al mismo pun o del que salió, pe o aho a en posición in e ida, es deci , boca abajo. Las dos p egun as que el p o eso les hizo inalmen e a odos los alumnos ue on: ¿Cuál de los es g upos de alumnos pen- saban ellos que iba a es a más mo i ado pa a ecibi las expli- caciones del p o eso sob e los cue pos geomé icos? ¿Habían es ado con en os con el g upo que les había ocado, o hubie- sen deseado es a en o o? E iden emen e, es muy di ícil cuan i ica las espues as, y de hecho el p o eso no lo hizo de mane a explíci a, pe o sí nos obse ó que e an los alumnos del g upo Z, el de la banda de Möbius, los que habían mos ado un mayo in e és po segui con g an a ención las explicaciones pos e io es, incluso a e- iéndose a o mula p egun as que se les habían ocu ido a ellos mismos como esul ado de la expe iencia i ida. Animado po es a expe iencia, el p o eso au o de es e a í- culo pasó a epe i la en sus clases uni e si a ias de uno de los g upos de la asigna u a de Geome ía Local de Cu as y Supe icies, que impa e en el e ce cu so de la licencia u a, en la Facul ad de Ma emá icas de la Uni e sidad de Se illa. Po mo i os ob ios, es a nue a expe iencia se ealizó sin an a pa a e nalia como en el caso de Secunda ia y, po supues o, Los alumnos obse a on que, una ez dada la uel a comple a a un cilind o, el lápiz ol ía al mismo pun o del que había salido. Se ille e o Za a Home. Fo o CTB espe ándose aho a comple amen e el igo ma emá ico al habla de supe icies y cue pos, si bien man eniendo en esen- cia las p egun as a los es alumnos y dedicándole a la discu- sión común con la o alidad del g upo un iempo mucho mayo que el que la obligación de impa i el ema io comple- o en Secunda ia pe mi ía. Resul ado di ec o de la misma ue la pe ición al p o eso po pa e de dos alumnas de la clase de pe mi i les ealiza un a- bajo sob e la ci ada banda, en el que pudie an p o undiza algo más en sus p opiedades y aplicaciones, lo que ap o echó a su ez el p o eso pa a solici a les que conside a an ambién su u ilización como ecu so didác ico en la explicación de de e minados emas de Ma emá icas de Secunda ia y Bachi- lle a o. En es o adica la génesis de es e a ículo. Obje i os y mo i ación Como ya se ha comen ado an e io men e, es e a ículo se ha esc i o con el obje i o p incipal de mos a la banda de Möbius como ayuda pa a acili a la mo i ación y el in e és de los alumnos, an o de Bachille a o como uni e si a ios, a la ho a de a on a sus clases de Ma emá icas. No obs an e, nos pa ece con enien e desglosa es e obje i o p incipal en o os más pa icula es, des inados cada uno de ellos a a a aspec os pa ciales ela i os al es udio de es a supe icie y a su aplicación a la me odología a u iliza po el p o eso de Ma emá icas en sus clases de es a asigna u a. Un aspec o consis e en ap o echa el conocimien o de la gene- ación y u ilización de es a supe icie pa a usa la His o ia de las Ma emá icas en la in oducción de de e minados emas del cu ículo, lo que no debe limi a se a la me a indicación de unos cuan os da os biog á icos, sino que debe se ap o echada pa a explica a los alumnos cómo su gió el esul ado del que se a e, sus an eceden es, las di icul ades que en esa época exis- ían pa a ob ene lo y su elación con o os esul ados, an o de Ma emá icas como de o as disciplinas. Po o a pa e, el es udio de los cue pos geomé icos, po sus p opias conno aciones con la ida eal, esul a en gene al in e esan e pa a los alumnos de secunda ia. En endemos que la o ma de abo da es e ema que hemos p esen ado an e- io men e puede esul a e icaz a la ho a de p esen a el es u- dia los cue pos geomé icos. Po odo ello, los obje i os que nos hemos plan eado al esc i- bi es e a ículo pueden esumi se en los siguien es: 1.- Da a conoce a los alumnos de Secunda ia (y a los uni e si a ios, en su caso) la supe icie geomé ica conocida como banda de Möbius y u iliza la como ins umen o de mo i ación en el ap endizaje de de e minados emas del cu ículo. 2.- U iliza la His o ia de las Ma emá icas como he a- mien a de apoyo pa a las clases de Ma emá icas de Secunda ia (es e obje i o es na u almen e ex apolable a la enseñanza uni e si a ia). 3.- Mos a una in oducción al es udio de los cue pos geomé icos amena, sencilla y ag adable en la ense- ñanza secunda ia. 4.- Es imula la capacidad de pensamien o y de azona- mien o de los alumnos de secunda ia con la p esen a- ción de si uaciones más o menos ingeniosas, dis in as de las adicionales. Cons ucción de la banda de Möbius En es a sección se indica cómo cons ui en la p ác ica una banda de Möbius. Nues a in ención es que el alumno pueda ab ica la de mane a sencilla a pa i de unas mínimas ins- ucciones. Como ma e iales a u iliza se necesi an única- men e: i as de papel, pegamen o y ije as. Pa a ab ica la banda bas a coge una i a ec angula de papel y algo de pegamen o. Gi a uno de los ex emos del papel y después uni ambos ex emos (eso debe ía deja a la i a de papel con un medio gi o den o). La supe icie ob eni- da es la denominada Banda de Möbius. Nó ese que si se eali- za es a misma ope ación sin gi a uno de los ex emos del papel, la igu a que se ob end ía es un cilind o ( e la igu a siguien e). A A’ B B’ Cilind o Banda de Möbius To ce y pega Pega 17 SUMA 54 Feb e o 2007 Co es en la banda Comenzamos es a sección e i iendo una de las anécdo as que le ocu ió a un g upo de alumnos uni e si a ios de la ya ci ada asigna u a de Geome ía Local, du an e el cu so aca- démico 1999-2000. E an los o ganizado es de la exposición de cu as y supe icies, celeb ada en la Facul ad de Ma emá icas de la Uni e sidad de Se illa, con mo i o de la conmemo ación del año 2000 como el Año Mundial de las Ma emá icas (una desc ipción comple a de es a Exposición puede e se en —Aguile a y o os—). Un isi an e de la Exposición, que c eemos que e a o o alum- no de la Facul ad, p egun ó a los alumnos o ganizado es que es aban en aquel momen o en labo es de guías de la Exposi- ción si sabían qué se ob enía al co a una banda de Möbius longi udinalmen e po su mi ad. És os le con es a on, quizás sin medi a lo mucho, que se ob end ían dos bandas de Möbius. El isi an e no sólo se limi ó a esponde les nega i a- men e, sino que pasó di ec amen e a la acción cons uyendo una banda con una i a de papel que aía p epa ada y co án- dola con unas ije as que ambién aía, ob eniendo así o a banda de Möbius con dos izos. Ya no p egun ó nada más, sino que ol ió a co a de igual o ma es a nue a banda pa a hace e a los o ganizado es que lo que se ob enía aho a e an dos bandas de Möbius con dos izos cada una, enlazadas. Es a p ime a cu iosidad hizo que pos e io men e los alumnos o ganizado es pidiesen ayuda al p o eso de la asigna u a pa a es udia es e ipo de hechos con mayo de enimien o, encon- ando que es a p opiedad no sólo es ca ac e ís ica de la banda de Möbius, sino que se e i ica en gene al en odas aquellas bandas gene adas median e uel as o izos. Así, dada una banda con nmedios izos, con nimpa , al co a la longi- udinalmen e po su mi ad queda ía una nue a banda con 2n+2 medios izos, mien as que si la banda iene 2kmedios izos, al co a la longi udinalmen e po su mi ad queda án 2 bandas con 2kmedios izos cada una, enlazadas k eces ( éase Ga dne , 1984). Al espec o p esen amos aquí (pa e in e io de la página) una poesía ( an o en su e sión o iginal en inglés como aducida), que apa e de explica nos cla a y concisamen e el hecho an e- io , nos elaciona de alguna o ma la banda de Möbius con o a supe icie no menos conocida denominada bo ella de Klein: Pasamos a con inuación a analiza las pa icula idades de una banda de Möbius al se co ada ans e salmen e. Aconse- jamos a los lec o es que comp ueben expe imen almen e, a la ez que leen, lo ascinan e que puede llega a se la banda de Möbius. Pa a ello necesi a á a ias i as de papel, pegamen o, ije as y un bolíg a o, lápiz o o ulado . Empecemos con algo sencillo: cons uyan con la p ime a i a de papel una banda de Möbius (si desean pueden comp oba con el bolíg a o que iene una sola ca a y un solo bo de) y pos- e io men e co en la banda po el medio, al como se mues- a en la imagen de la página siguien e. Un a amien o más comple o del ema puede e se en (enlace web e ce o), de donde ha sido ex aída la ci ada imagen. 18 SUMA 54 Feb e o 2007 A ma hema ician con ined ha a Mobius band is one–side, and you will ge qui e a laugh i you cu one in hal . Fo i s ays in one piece when di ided. A ma hema ician named Klein hough he Möbius band was di ine. Said he: “i you glue he edges o wo, you will ge a wei d bo le like mine”. Un ma emá ico susu ó Que la banda de Möbius iene una sola ca a, Y que ú ei ás mucho Si la co as po la mi ad. Pues se queda de una pieza al di idi la. Un ma emá ico llamado Klein Pensó que la banda de Möbius e a di ina. Dijo él: “Si u pegas Los bo des de dos, Ob end ías una ex aña bo ella como la mía”. Al ealiza es a ope ación se pueden da cuen a que siguen eniendo una única banda, más g ande y más delgada. Lo que pasa es que es a banda ya no es una banda de Möbius (es una banda de Möbius pe o c eada con dos gi os) pues si lo com- p ueban es a banda iene dos ca as y dos bo des. Si se epi e la ope ación ob enemos dos bandas en elazadas (ambas del mismo ipo que el an e io , es deci , dos ca as y dos bo des). In i amos al lec o a que expe imen e con el es o de i as las di e sas posibilidades, es deci , qué pasa con una banda con más gi os, o haciendo más co es. Algunas aplicaciones de la banda de möbius Realizamos aho a un b e e comen a io sob e algunas de las aplicaciones p ác icas, cu iosas en su mayo pa e, de la banda de Möbius. En 1923, Lee De Fo es ob u o una pa en e no eame icana e e en e a una película ce ada en o ma de banda de Möbius sob e la cual podía g aba se el sonido po ambas ca as, o mejo dicho, po su única ca a. Más ecien emen e, la misma idea ha sido aplicada a cin as magne o ónicas, con lo que la cin a e o cida puede unciona el doble de iempo que lo que du a ía o a no mal. Se han o o gado ambién di e sas pa en es pa a cin as ans- po ado as diseñadas en o ma de banda de Möbius, a in de que su an igual desgas e po ambos lados. En ese sen ido, la B.F. Good ich Company, de Es ados Unidos, pa en a en 1957 su idea de una cin a anspo ado a de caucho que se usa pa a sus ancias calien es o ab asi as. Dándole media uel a en la o ma de banda de Möbius, es a cin a se desgas a po igual po su único lado. En 1963, Richa d L. Da is, ísico de Sandia Co po a ion de Albu que que, in en ó una esis encia desp o is a de eac- ancia, undada en la banda de Möbius. Adosando inas i as me álicas a las dos ca as de la cin a aislan e y o mando con ellas una banda de Möbius de iple capa, Da is descub ió que, al lui impulsos eléc icos en ambos sen idos en o no a la banda, és a adqui ía odo ipo de p opiedades eléc icas deseables ( e is a Time del 25 de sep iemb e de 1964, y Elec onic Illus a ed, no iemb e de 1969, pp. 76 y siguien es). Los a is as g á icos ambién se han alido de es a banda an o pa a ines publici a ios como a ís icos. La banda de Mobius ha enido ambién un papel des acado en nume osos cuen os de ciencia icción ( eáse Rick G an , 1949). También se sabe de mecanóg a os muy ápidos que encon- ando as idioso ene que de ene se a me e en la máquina hojas nue as en blanco, han op ado po u iliza papel en ollo. Si hubie an usado un la go bucle de e o cido hab ían podido además esc ibi po ambos lados del papel. Woldo R. Toble sugi ió en cie a ocasión ealiza un mapa- mundi sob e una banda de Möbius, de o ma que el bo de coincidie a con los polos y los pa alelos y me idianos queda- an uni o memen e sepa ados. De aza se adecuadamen e se pod ía pincha el mapa po un pun o cualquie a y al asoma la pun a po el o o lado señala ía el an ípoda es é ico. La banda de Möbius es ambién u ilizada en las co eas de ansmisión de los coches, como po ejemplo, en la co ea del en ilado . Con una co ea o dina ia sólo se desgas a ía la pa e en con ac o con las uedas (la in e io ), po lo que és a se es opea ía an es que la pa e ex e io . Como la banda de Möbius iene una sola ca a, su ecub imien o du a más y los desga os en la co ea son menos ecuen es haciendo que du e más. Sin emba go, una de las aplicaciones más cu iosas de es a supe icie es la denominada Casa Möbius, un p oyec o de i ienda que ep esen a cie os aspec os ca ac e ís icos de la a qui ec u a de inales del siglo XX. Las no as que siguen es án sacadas p incipalmen e de un ensayo sob e la a qui ec- u a con empo ánea, i ulado (Dis)con inuidad, de los a qui- ec os a gen inos Gab iel Ba il y Ludmila C ippa, publicado en Julio de 2004 ( éase Ba il y C ippa). La denominada casa Möbius es un p oyec o de Ben Van Be kel y Ca oline Bos, a qui ec os que empeza on a abaja jun os en 1988, undando un es udio 10 años después, llama- do UN S udio de A qui ec u a ( éase Massad y Yes e, 1998). La casa ue ealizada en e los años 1993 y 1995, y se encuen- a ubicada en He Gooi, zona esidencial p i ilegiada si uada a las a ue as de Ams e dam (Holanda), luga en el que p edo- minan ex ensas pa celas de e eno en medio de bosques, 19 SUMA 54 Feb e o 2007 colinas y p ade as. El nomb e de la casa y su diseño co es- ponden a la banda Möbius. Ya en el año 1963, Mau i s Co nelius Esche (genial au o holandés de dibujos y diseños sob e emas ma emá icos, 1898–1972) ep esen aba es a supe icie en uno de sus dibujos, i ulado Cin a de Möbius II, median e una cadena de ho migas, ma chando una as o a, sin p incipio ni in (el dibujo de la igu a, jun o a o os simila- es, pueden ex ae se del enlace web p ime o). Los clien es que ealiza on a Van Be kel y Bos el enca go de cons ui esa casa e an una pa eja casada que deseaba i i y abaja en la casa en o ma sepa ada. Ellos que ían habi a el mismo ecin o, pe o ene asignadas supe icies di e en es e incluso mo e se po u as dis in as po el in e io de la casa, de o ma que coincidiesen sólo en cie os pun os. Su in en- ción, además, no e a sólo ene un alojamien o di e en e, sino que el p opio edi icio plan ea a una a qui ec u a inno ado a. Todos es os hechos gene a on la necesidad de diseña una i ienda con dos espacios de abajo bien di e enciados y que además ompiese moldes p e iamen e es ablecidos. Pa a cons ui la casa, Van Be kel comienza po hace abs- acción de es os da os y gene a un diag ama ans o mando a cada habi an e en una línea que ep esen a el eco ido de cada uno de ellos den o de la i ienda, en un ciclo de 24 ho as de abajo y de ida. Es as dos líneas se mue en de o ma luida e independien e y po momen os se c uzan. És a ue la p incipal azón que lle ó a los a qui ec os a abaja p i- me o con dos ma e iales básicos: el ho migón y el id io, y después a adop a el concep o de la banda de Möbius como ep esen ación del despliegue del iempo y el mo imien o con inuo. No obs an e, pa a se ieles a la e dad hay que indica que es a idea de asigna le la o ma y las p opiedades de un cue po geomé ico a una cons ucción a qui ec ónica no es o iginal de los dos au o es an e io men e mencionados. Ya mucho iempo an es es a idea se había plasmado en ealidad. Como ejemplos de ello pueden se ci ados, en e o os, el a qui ec o alemán Ludwig Mies an de Rohe (1886–1969), que cons u- yó la casa Fa nswo h en 1950, en Plano (Illinois, USA), jun o al ío Fox, que se ha con e ido en una de las esidencias más es udiadas (y ambién más c i icadas) de la a qui ec u a del pasado siglo XX; el a qui ec o F ank Lloyd W igh (1869– 1939), au o de la denominada casa de la Cascada, cons uida en e 1936 y 1939 en Bea Pun (Pennsyl ania) y el a qui ec o suizo Le Co busie (1887–1965), au o de la muy conocida Ville Sa oye. En la página siguien e mos amos di e en es o os de la casa de Möbius. Como aplicaciones inales, y a modo de comen a io, indica que ambién la banda de Möbius es u ilizada en la moda. Pue- den des aca se al espec o las p endas en o ma de es a banda que lucen o gullosas la muje es de las imágenes. Biog a ía de Augus F. Möbius Pa a a ende inalmen e uno de los obje i os pa ciales que nos ijamos a la ho a de esc ibi es e a ículo, damos a con inua- ción unas b e es no as sob e la biog a ía de Möbius, ex aídas en su mayo pa e del enlace web p ime o. Augus Fe dinand Möbius (de aho a en adelan e Möbius) nació en Schulp o a (Sajonia, ac ual Alemania) casi al p inci- pio de la úl ima década del siglo XVIII, exac amen e el día 17 de No iemb e de 1790. Augus ue el único hijo del ma imo- nio, ya que su pad e mu ió muy poco iempo después, a los es años de su nacimien o. Möbius ue educado en su p opia casa has a la edad de 13 años, no asis iendo a la escuela has a 1803, año en el que ing esó en un colegio de su ciudad, comenzando pos e io - men e sus es udios uni e si a ios en la Uni e sidad de Leipzig en 1809. 20 SUMA 54 Feb e o 2007 21 SUMA 54 Feb e o 2007 En 1813 Möbius iajó a Gö ingen donde es udió as onomía bajo la di ección de Ka l F ied ich Gauss (1777–1855). Pos e io men e, se asladó desde Gö ingen a Halle, donde ue di igido po Johann P a (1765–1825), an iguo p o eso de Gauss. Al espec o, pe mí asenos e e i aquí una anécdo- a sob e Gauss y P a , que ilus a con enien emen e el p es i- gio que ambos ma emá icos han llegado a alcanza : En cie a ocasión, al insigne ma emá ico ancés Pie e Simón de Laplace (1749–1827) le ue p egun ado quién e a en su opinión el mejo ma emá ico alemán del cual él había enido e e encias. Cuando Laplace con es ó que e a P a , el in e locu o le p egun ó, ex añado: —¿P a ?, pe o, ¿y Gauss? Y Laplace con es ó sin acila : no, Gauss no. Gauss es el mejo ma emá ico del mundo. En 1844 Möbius consiguió una plaza de P o eso de As ono- mía a iempo comple o en la Uni e sidad de Leipzig, ciudad en la que había es ado abajando en la econs ucción del Obse a o io, desde 1818 has a 1821, supe isando odo el p oyec o. P e iamen e, en 1820, Möbius se había casado con Ma g e , con la que u o una hija y dos hijos, aunque ella mu ió muy jo en, cuando sólo enía 40 años. En 1848 llegó a se el Di ec o del Obse a o io. Con e e encia a sus descub imien os cien í icos, Möbius publicó abajos muy impo an es en Ma emá icas y As o- nomía, casi odos ellos en el C elle’s Jou nal, po aquel en on- ces la p ime a e is a dedicada exclusi amen e a a ículos ma emá icos. An es de la apa ición en el uni e so ma emá i- co del p oblema de los cua o colo es, p opues o po p ime a ez po F ancis Gu h ie a su he mano F ede ich en 1852, ya Möbius había p opues o en 1840 el siguien e, algo más ele- men al: Había un ey con 5 hijos. En su es amen o es ablecía que a su mue e su eino debía se di idido po sus hijos en 5 egiones de o ma que cada una debía ene on e a común con cada una de las o as cua o. ¿Podían sa is a- ce se odos los é minos de su es amen o? La espues a es nega i a y ácil de demos a . En una memo- ia p esen ada a la Academia y sólo descubie a después de su mue e, Möbius discu ía las p opiedades de las supe icies de una sola ca a, incluyendo en e ellas a la “Banda de Möbius”, que él había descubie o en 1858. No obs an e, pa ece se que Möbius no ue el p ime o en desc ibi esa igu a u obje o ma emá ico que hoy en día conocemos como la banda de Möbius, dado que no exis e ningún c i e io, echa de publica- ción o de descub imien o que p eceda al ob enido p e ia- men e po el ma emá ico inglés Johann Benedic Lis ing (1808–1882). Möbius mu ió el 26 de Sep iemb e de 1868, a la edad de 78 años, en Leipzig. El his o iado alemán Mo i z Can o dice de él que odos los días, an es de sali a pasea , epe ía el ac óni- mo que el p opio Möbius llamaba (en alemán) 3S und Gu , o mado po las iniciales de odos aquellos obje os que él no deseaba ol ida : Schlüssel (lla es), Schi m (pa aguas), Sack- uch (pañuelo), Geld (dine o), Uh ( eloj) y Taschenbuch (cua- de no de no as). 22 SUMA 54 Feb e o 2007 AGUILERA,C. M.; FERNÁNDEZ, I.; MACÍAS, M. J.; MONTAÑO, A.; NÚÑEZ, J.; PÉREZ, S.; RIVERO, I.; ROMERO, M. J.; SÁNCHEZ, J. I. y SERRATO, A. M. (2001): “Exposición de cu - as y supe icies: una expe iencia ex a-académica uni e si a ia”, SUMA n.º 36 (2001), 77–84. BARIL, G. y CRIPPA, L. (2004): (Dis)con inuidad (ensayo sob e la A qui ec u a con empo ánea), Cá ed a A q. Mele. Web: h p://www.a quimas e .com GARDNER, M. (1984): Fes i al Mágico-Ma emá ico, Alianza Edi o ial, Mad id. GRANT, R. (1999): No-died p o eso , The wall o da kness. MASSAD, F. y YESTE, A. G. (1998): “En iempos de la hipe mode - nidad. En e is a con Ben Van Be kel”, SUMMA 31, Ed. DONN S.A., Buenos Ai es, A gen ina. Enlaces web: h p://www.ma hcu e.com/su aces/mobius/mobius.sh ml (sob e la banda de Möbius en gene al). h p://www-his o y.mcs.s -and ews.ac.uk/his o y/BiogIndex.h ml (sob e la biog a ía de A. F. Möbius). h p://www.HunkinsExpe imen s.com (sob e co es en la banda de Möbius). REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Augus Fe dinand Möbius