D-módulos hipergeométricos

𝐷-módulos hipergeométricos Jose Alberto Ruiz Alba 𝐷-módulos hipergeométricos Jose Alberto Ruiz Alba Memoria presentada como parte de los requisitos para la obtención del título de Máster Universitario en Matemáticas por la Universidad de Sevilla. Tutorizada por Prof. Tutor Alberto Castaño Domínguez i Resumen El objetivo principal de este trabajo es definir y relacionar ciertas familias de - módulos algebraicos los cuales pueden considerarse como hipergeométricos (Horn, GKZ y clásicos de dimensión uno). Para ello, emprenderemos un viaje por el álgebra de Weyl y sus ideales en el que abordaremos conceptos como la holonomía y aprenderemos un poco de teoría de bases de Gröbner. Más adelante, nos adentraremos de lleno en la geometría algebraica, presentando la noción de 𝑏-función de un ideal así como la restricción de un -módulo cíclico a un subespacio afín. English Abstract The main goal of this work is to define and relate certain families of algebraic - modules that can be considered as hypergeometric (Horn, GKZ, and classical ones of dimension 1). To achieve this, we will embark on a journey through the Weyl algebra and its ideals, where we will explore concepts such as holonomy and introduce some basics of Gröbner basis theory. Later, we will dive right into algebraic geometry, presenting the notion of the 𝑏-function of an ideal as well as the restriction of a cyclic -module to an affine subspace. Índice general 1. El álgebra de Weyl 3 1.1. Introducción al álgebra de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Grado y orden de un operador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2. Conceptos generales 11 2.1. BasesdeGröbner ............................. 11 2.2. Bases de Gröbner respecto de un orden . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3. Idealesholónomos............................. 22 3. Rudimentos algebraicos 25 3.1. El anillo 𝐤[𝜃]. Acción tórica en .................... 25 3.2. b-funciones de ideales holónomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3. Restricción de un -módulo ....................... 33 4. Módulos clásicos 39 4.1. Definiciones de los -módulos clásicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2. Relaciones ................................. 43 A. Apéndice 61 iv 𝐷-módulos hipergeométricos A.1. Abanico de Gröbner reducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 A.2. Semicontinuidad del rango holónomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Introducción Euler, Gauss, Riemann... los más grandes matemáticos han trabajado en este área. Lo que comenzó siendo el estudio de unas sumas que hoy conocemos como hipergeométricas ha evolucionado y se ha ramificado a lo largo de los años dando pie a distintas ramas de la matemática. Es posible hacer un seguimiento a los orígenes de la teoría de -módulos algebraicos y llegar a estos famosos nombres que, con razón, eclipsan a otros actores principales de este trabajo, matemáticos como Gelfand, Graev, Kapranov y Zelevinsky que, en 1987, introducían unos sistemas de ecuaciones diferenciales que generalizaban los sistemas de ecuaciones diferenciales clásicos que satisfacían la ecuación hipergeométrica de Gauss. En la actualidad, dichos sistemas se conocen como GKZ en su honor. Tampoco podemos olvidarnos de Jakob Horn, que fue uno de los principales promotores de esta teoría a finales del siglo XIX y comienzo del siglo XX. Durante los años 20 del siglo pasado, varios físicos de renombre (entre ellos Werner Heisenberg, Paul Dirac y Max Bohr) estaban trabajando en explicar el comportamiento del átomo a la luz de los últimos avances de la física cuántica. En su trabajo sembraron las ideas de lo que más tarde, en los años 60, se conocería como el álgebra de Weyl, en honor al matemático alemán Hermann Weyl. El álgebra de Weyl 𝑛sobre un cuerpo 𝐤es la subálgebra de los endorfismos del anillo de polinomios en 𝑛variables 𝐤generada por los operadores diferenciales 𝜕1, ..., 𝜕𝑛. Este será nuestro entorno de trabajo durante todo el proyecto y donde definiremos los módulos hipergeométricos. Un 1-módulo hipergeométrico clásico (Definición 4.1.1) no es más que un cociente de 1dado por un operador definido en función de un par de vectores 𝛼y𝛽y un escalar 𝛾. Por otro lado, el ya nombrado 𝑛-módulo hipergeométrico GKZ (4.1.7) es un cociente de 𝑛por un ideal que queda definido por una matriz 𝐴y otro vector 𝛽. El objetivo principal de este trabajo es ver cómo podemos restringir el módulo GKZ a 1para obtener un 1-módulo hipergeométrico clásico. Y es en este proceso 8𝐷-módulos hipergeométricos Como |𝛽−𝑒𝑖|+|𝛼|=𝑘− 1 ydeg(𝜕𝑖) + |𝛼|=𝛼+ 1, podemos aplicar la hipótesis de inducción obteniendo que deg([𝜕𝛽−𝑒𝑖, 𝑥𝛼]) ≤|𝛼|+|𝛽|− 3,deg([𝜕𝑖, 𝑥𝛼]) ≤|𝛼|− 1. De nuevo, usamos la hipótesis de inducción (ahora en (b)) para ver que deg(𝜕𝑖[𝜕𝛽−𝑒𝑖, 𝑥𝛼]) ≤|𝛼|+|𝛽|− 2,deg([𝜕𝑖, 𝑥𝛼]𝜕𝛽−𝑒𝑖)≤|𝛼|+|𝛽|− 2 y, gracias a (a), deg([𝜕𝛽, 𝑥𝛼]) ≤|𝛼|+|𝛽|− 2. Por otro lado, por la definición del operador conmutador, 𝜕𝛽𝑥𝛼= [𝜕𝛽, 𝑥𝛼] + 𝑥𝛼𝜕𝛽. Ya que 𝑥𝛼𝜕𝛽es un monomio, su grado es |𝛼|+|𝛽|, luego por (a) podemos concluir que deg(𝜕𝛽𝑥𝛼) = deg(𝑥𝛼𝜕𝛽) = |𝛼|+|𝛽|. Estos cálculos nos serán útiles en el caso general. Sean 𝑝=𝑥𝜎𝜕𝛽y𝑝′=𝑥𝛼𝜕𝜂con deg(𝑝)+deg(𝑝′) = 𝑘. Supongamos que 𝛼y𝛽no sean ambos nulos (de serlo estaríamos en el caso anterior). De este modo, multiplicando y usando el conmutador obtenemos lo siguiente: 𝑝𝑝′=𝑥𝜎𝜕𝛽𝑥𝛼𝜕𝜂=𝑥𝜎+𝛼𝜕𝛽+𝜂+𝑥𝜎[𝜕𝛽, 𝑥𝛼]𝜕𝜂. Usamos las hipótesis de inducción de forma similar a como se hizo antes para obtener deg(𝑥𝜎[𝜕𝛽, 𝑥𝛼]𝜕𝜂)≤deg(𝑝) + deg(𝑝′)−2. Luego, como 𝑘 > deg(𝑝) + deg(𝑝′)−2, se llega a que deg(𝑝𝑝′) = deg(𝑥𝜎+𝛼𝜕𝛽+𝜂) = deg(𝑝) + deg(𝑝′) = 𝑘 lo cual prueba (b). Hemos visto que 𝑝𝑝′=𝑥𝜎+𝛼𝜕𝛽+𝜂+𝑞y que 𝑝′𝑝=𝑥𝜎+𝛼𝜕𝛽+𝜂+𝑞′donde 𝑞y𝑞′tienen grado menor o igual que deg(𝑝) + deg(𝑝′)−2. Por tanto [𝑝, 𝑝′] = 𝑝𝑝′−𝑝′𝑝 =𝑥𝜎+𝛼𝜕𝛽+𝜂+𝑞− (𝑥𝜎+𝛼𝜕𝛽+𝜂+𝑞′) =𝑞−𝑞′, 1. el álgebra de weyl 9 y usando (a), finalmente demostramos (c): deg([𝑝, 𝑝′]) ≤deg(𝑝) − deg(𝑝) − 2 = 𝑘− 2. Este teorema nos afirma que la multiplicación de dos elementos con grado positivo tiene también grado positivo. Teniendo en cuenta que 𝐤es un cuerpo de característica cero: Corolario 1.2.4.𝑛es un dominio de integridad. Podemos dar un análogo al teorema anterior para el orden: Teorema 1.2.5. Dados 𝑝, 𝑝′∈𝑛, se satisface que: (a) ord(𝑝+𝑝′)≤max{ord(𝑝),ord(𝑝′)}, donde la igualdad se alcanza cuando los términos de mayor grado de 𝑝y𝑝′no se cancelan entre sí. (b) ord(𝑝◦𝑝′) = ord(𝑝) + deg(𝑝′). (c) ord([𝑝, 𝑝′]) ≤ord(𝑝) + ord(𝑝′)−1. La prueba de este teorema es un caso más sencillo y se puede deducir casi palabra por palabra de la prueba del teorema 1.2.3cambiando grado por orden. Un breve estudio de los ideales de 𝑛 Una pregunta que podemos formularnos es cómo son los ideales del álgebra de Weyl. El grado nos será de ayuda para responder esta pregunta. Hay que tener en consideración que los espacios 𝑛son anillos no conmutativos. Por ello, introducimos el siguiente concepto: Definición 1.2.6. Un anillo se dice simple si su único ideal bilátero propio es el ideal nulo. En el caso de los anillos conmutativos, ser simple equivale a que el anillo sea un cuerpo, pero esto no es cierto para anillos no conmutativos. Teorema 1.2.7. El álgebra 𝑛es simple. 10 𝐷-módulos hipergeométricos Demostración. Sea 𝐼un ideal bilátero de 𝑛. Escojamos un elemento 𝑝≠0del menor grado posible en 𝐼. Si 𝑝tiene grado 0entonces es una constante y por tanto 𝐼=𝑛. Sea deg(𝑝) = 𝑘 > 0y sea (𝛼, 𝛽)un multi-índice de longitud 𝑘tal que el coeficiente que acompaña a 𝑥𝛼𝜕𝛽en la forma normal de 𝑝es no nulo. Si |𝛽|>0, existe un 𝛽𝑖>0. Por tanto, por el teorema 1.2.3 y como 𝑥𝑖no conmuta con 𝜕𝑖, se tiene que deg([𝑥𝑖, 𝑝]) = 𝑘− 1. Como 𝐼es un ideal bilátero de 𝑛, tanto 𝑥𝑖◦𝑝 como 𝑝◦𝑥𝑖están en 𝐼, así, [𝑥𝑖, 𝑝]está en el ideal, lo cual contradice que 𝑝sea de grado mínimo. Sea entonces 𝛽= 0. Como 𝑘 > 0, existe un 𝛼𝑖>0. Razonando de manera análoga al párrafo anterior, [𝜕𝑖, 𝑝]tiene grado 𝑘−1 y de nuevo está en el ideal 𝐼. De esta forma, 𝛼= 0,𝑘= 0 e𝐼no es un ideal propio. Gracias a este resultado y teniendo en cuenta que el núcleo de un endomorfismo de es un ideal bilátero, podemos deducir el siguiente corolario: Corolario 1.2.8.Todo endomorfismo de 𝑛es inyectivo. Otro concepto importante a la hora de considerar ideales de anillos no conmutativos es el siguiente: Definición 1.2.9. Dado un anillo 𝑅no necesariamente conmutativo, diremos que 𝑅es un anillo de división si todo elemento de 𝑅, excepto el cero, tiene un inverso multiplicativo. De nuevo, si el anillo es conmutativo esta noción y ser cuerpo son equivalentes. Observación 1.2.10.𝑛no es un anillo de división para 𝑛 > 0ya que los únicos elementos invertibles son las constantes: si 𝑝◦𝑝′= 1,deg(𝑝◦𝑝′)=0y sabemos que deg(𝑝◦𝑝′) = deg(𝑝) + deg(𝑝′), luego 𝑝y𝑝′son constantes. 2 Conceptos generales En este capítulo profundizaremos en un concepto fundamental a la hora de trabajar con álgebras de Weyl, las bases de Gröbner. No es nuestro objetivo profundizar en el tema, nos limitaremos a ver su existencia y a dar algunos ejemplos “de juguete”. Una vez adquirido cierto conocimiento sobre el álgebra de Weyl es hora de utilizar una notación más amigable. Indicaremos el subíndice 𝑛de 𝑛solo cuando sea necesario, así como escribiremos el producto interno de dos operadores, 𝑝, 𝑞 ∈, como 𝑝⋅𝑞(o simplemente 𝑝𝑞) cuando no haya lugar a confusión. En el resto del trabajo utilizaremos vectores de pesos, es decir, (𝑢, 𝑣) ∈ ℝ2𝑛tales que 𝑢𝑖+𝑣𝑖≥0para todo 𝑖∈ {1, ..., 𝑛}, donde 𝑢𝑖y𝑣𝑖representan el peso del generador 𝑥𝑖y𝜕𝑖respectivamente a la hora de calcular el grado asociado. 2.1 Bases de Gröbner Presentamos en esta sección el concepto de bases de Gröbner para el álgebra de Weyl =𝑛. Para ello, vamos a dar una definición del grado de un operador más general que la vista anteriormente siguiendo la referencia [SST00, § 1.1]. Dado un vector de pesos (𝑢, 𝑣): Definición 2.1.1. Llamamos anillo graduado de respecto a un vector de pesos (𝑢, 𝑣),gr(𝑢,𝑣)(), a la 𝐤-álgebra generada por los operadores 𝑥1, ..., 𝑥𝑛, los operadores 𝜕𝑖tales que 𝑢𝑖+𝑣𝑖= 0 y𝜉𝑖con 𝑢𝑖+𝑣𝑖>0para 𝑖∈ {1, ..., 𝑛}. Recalcamos dos casos extremos que ya conocemos: ∙Si todo 𝑢𝑖+𝑣𝑖es positivo, gr(𝑢,𝑣)() = 𝐤[𝑥, 𝜉]. ∙Si todo 𝑢𝑖+𝑣𝑖= 0,gr(𝑢,𝑣)() = . 12 𝐷-módulos hipergeométricos El nombre de "anillo graduado" no es una coincidencia, podemos definir este mismo espacio utilizando filtraciones, para ello trabajamos como en la referencia [Lê10, §§ 2.1.3 y 2.1.4]. Sea (𝑢, 𝑣)un vector de pesos: Definición 2.1.2. Consideremos los siguientes espacios 𝐹𝑚 (𝑢,𝑣)()≔{∑ 𝑢𝛼+𝑣𝛽≤𝑚 𝑐𝛼𝛽 𝑥𝛼𝜕𝛽}⊆, que llamaremos 𝑚-ésimo nivel de la filtración de respecto a (𝑢, 𝑣). De la misma definición podemos deducir que 𝐹𝑚 (𝑢,𝑣)es un grupo abeliano así como varias propiedades sencillas: Lema 2.1.3.Se satisface: 1. 𝐹𝑚 (𝑢,𝑣)⊂ 𝐹 𝑚+1 (𝑢,𝑣)para 𝑚∈ℤ. 2. 𝑛=⋃𝑚𝐹𝑚 (𝑢,𝑣). 3. 𝐹𝑘 (𝑢,𝑣)𝐹𝑙 (𝑢,𝑣)⊂ 𝐹 𝑘+𝑙 (𝑢,𝑣)para 𝑘, 𝑙 ∈ℤ. Además, si 𝑢𝑖+𝑣𝑖>0para todo 𝑖∈ {1, ..., 𝑛}: 4. [𝐹𝑘 (𝑢,𝑣), 𝐹 𝑙 (𝑢,𝑣)]⊂ 𝐹 𝑘+𝑙−1 (𝑢,𝑣)para 𝑘, 𝑙 ∈ℤ. 5. 𝐹𝑚 (𝑢,𝑣)= {0} si 𝑚 < 0. Demostración. Todas las afirmaciones son inmediatas, excepto la tercera y la cuarta. Probémoslas. Supongamos dos elementos 𝑝y𝑝′de dos niveles distintos, 𝐹𝑘 (𝑢,𝑣)y 𝐹𝑙 (𝑢,𝑣). Además, por linealidad y por la primera propiedad podemos tomar 𝑝=𝑥𝛼𝜕𝛽 y𝑝′=𝑥𝛼′𝜕𝛽′donde 𝑢𝛼 +𝑣𝛽 =𝑘y𝑢𝛼′+𝑣𝛽′=𝑙. Así, 𝑝𝑝′=𝑥𝛼𝜕𝛽𝑥𝛼′𝜕𝛽′, que si lo escribimos en su forma normal obtenemos 𝑝𝑝′=𝑥𝛼+𝛼′𝜕𝛽+𝛽′+operadores de menor grado, con 𝑢⋅(𝛼+𝛼′) + 𝑣⋅(𝛽+𝛽′) = 𝑘+𝑙. Estos operadores de menor grado se obtienen al conmutar 𝑥𝛼′con 𝜕𝛽en el monomio 𝑥𝛼+𝛼′𝜕𝛽+𝛽′. Comprobemos que todos ellos están en el nivel 𝐹𝑘+𝑙 (𝑢,𝑣). Para ello, en [SST00, Theorem 1.1.1] podemos encontrar una fórmula que nos da los coeficientes que se obtienen al conmutar los operadores pertinentes. De esta manera, la forma normal de 𝑝𝑝′puede expresarse como 𝑝𝑝′=𝑥𝛼+𝛼′𝜕𝛽+𝛽′+∑ 0<𝑡≤𝛾 𝑐𝑡𝑥𝛼+𝛼′−𝑡𝜕𝛽+𝛽′−𝑡 donde 𝛾𝑖= m ın{𝛽𝑖, 𝛼′ 𝑖}para todo 𝑖∈ {1, ..., 𝑛}y para ciertos coeficientes 𝑐𝑡. Basta probar entonces que 𝑢⋅(𝛼+𝛼′−𝑡) + 𝑣⋅(𝛽+𝛽′−𝑡)≤𝑘+𝑙 2. conceptos generales 13 para todo 𝑘∈ {1, ..., 𝛾}. Recordemos que 𝑘+𝑙=𝑢⋅(𝛼+𝛼′) + 𝑣⋅(𝛽+𝛽′), por tanto, la ecuación anterior es equivalente a (𝑢+𝑣)⋅𝑡≥0 que es cierta debido a que 𝑡y𝑢+𝑣no tienen componentes negativas. Esto prueba la tercera propiedad. Para (4) vamos a usar el desarrollo anterior. Supongamos que 𝑢𝑖+𝑣𝑖>0para 𝑖∈ {1, ..., 𝑛}. Escribamos 𝑝𝑝′y𝑝′𝑝en su forma normal. Como hemos visto, el término de mayor grado es el que nos determina en qué nivel estamos mientras que el resto de términos en sus respectivas formas normales están en un nivel inferior de la filtración ya que, en la formula anterior, (𝑢+𝑣)⋅𝑡es estrictamente positivo. Así, al realizar 𝑝𝑝′−𝑝′𝑝los términos de mayor grado de 𝑝𝑝′y𝑝′𝑝se cancelan entre sí, luego, a lo sumo [𝑝, 𝑝′] ∈ 𝐹𝑘+𝑙−1 (𝑢,𝑣). Proposición 2.1.4.El grupo abeliano gr(𝑢,𝑣)()≔⨁ 𝑚∈ℤ 𝐹𝑚 (𝑢,𝑣) 𝐹𝑚−1 (𝑢,𝑣) es un anillo unitario. Demostración. Para no sobrecargar la notación, quitaremos el subíndice que indica el vector de pesos. El grupo 𝑔𝑟(𝑢,𝑣)()está bien definido por el apartado (1) del lema anterior y efectivamente es un grupo abeliano con la suma de operadores ya que cada 𝐹𝑚 (𝑢,𝑣)lo es. Necesitamos definir un producto interno, con este fin consideremos el morfismo 𝜇𝑘+𝑙∶𝐹𝑘 𝐹𝑘−1 ×𝐹𝑙 𝐹𝑙−1 →𝐹𝑘+𝑙 𝐹𝑘+𝑙−1 definido como 𝜇𝑘+𝑙(𝑝+𝐹𝑘−1, 𝑞 +𝐹𝑙−1) = 𝑝𝑞 +𝐹𝑘+𝑙−1 para 𝑝∈𝐹𝑘y𝑞∈𝐹𝑙. Es sencillo comprobar que esta aplicación no depende de los representantes escogidos gracias a la tercera afirmación del lema anterior. Por otro lado, llamaremos 𝑝, 𝑞, 𝑝𝑞 a las clases de 𝑝, 𝑞, 𝑝𝑞 en sus respectivos espacios. Esto nos define un producto interno entre los distintos niveles. Veamos que esto induce también un producto en gr(). Sea 𝜇′∶ gr() × gr()→gr() que definimos por bilinealidad como 𝜇′(∑ 𝑘 𝑝𝑘,∑ 𝑙 𝑞𝑙) = ∑ 𝑘,𝑙 𝑝𝑞 14 𝐷-módulos hipergeométricos que hereda de 𝜇(en sus respectivos niveles) la asociatividad. La propiedad distributiva respecto de la suma se deduce de la definición. Una vez definido el producto, comprobemos que hay un elemento unidad. En nuestro caso, es fácil ver que la clase del operador identidad, 1, está en 𝐹0y que, efectivamente, es una unidad. Observación 2.1.5.Si 𝑢𝑖+𝑣𝑖>0para algún 𝑖, al realizar el corchete de [𝑥𝑖, 𝜕𝑖]en gr(𝑢,𝑣)()este es nulo. Por tanto, podemos considerar que 𝜕𝑖se convierte en gr(𝑢,𝑣)() en una variable conmutativa y sustituimos dicho operador por 𝜉𝑖. En el caso de que 𝑢𝑖+𝑣𝑖>0para todo 𝑖∈ {1, ..., 𝑛}, el anillo gr(𝑢,𝑣)()se convierte en el amigable anillo conmutativo 𝐤[𝑥, 𝜉]. Dado un operador 𝑝∈, denotamos 𝐸(𝑝)(o simplemente 𝐸) al conjunto de multi-índices que aparecen en la forma normal de 𝑝. Gracias a esto, la definición de grado respecto de un vector de pesos puede darse de manera elegante: Definición 2.1.6. Dados un operador 𝑝∈y un vector de pesos (𝑢, 𝑣)consideramos su grado respecto a (𝑢, 𝑣)como deg(𝑢,𝑣)(𝑝) = m ax (𝛼,𝛽)∈𝐸(𝛼⋅𝑢+𝛽⋅𝑣). Efectivamente, para (𝑢, 𝑣) = (1, ..., 1) el grado respecto a (𝑢, 𝑣)coincide con la noción vista en el capítulo anterior. La definición anterior nos da pie a generalizar también la idea de homogeneidad en polinomios: Definición 2.1.7. Un operador 𝑝∈se dirá (𝑢, 𝑣)-homogéneo si el grado respecto a (𝑢, 𝑣)en cada uno de sus sumando es el mismo. Observación 2.1.8.Si consideramos un vector 𝑤∈ℝ𝑛, la dupla (−𝑤, 𝑤)es un vector de pesos. En estas ocasiones es común referirse a 𝑤como vector de pesos y no a (−𝑤, 𝑤). Ejemplo 2.1.9.Sea 𝑝=𝑥1𝜕1+𝑥2𝜕2+𝑥3𝜕3+ 1 ∈ 3y consideremos el vector 𝑤= (−1,0,1). Observemos que el grado respecto a 𝑤de 𝑥1𝜕1es −𝑤⋅(1,0,0)+𝑤⋅(1,0,0) = 1 − 1 = 0. Para 𝑥2𝜕2y𝑥3𝜕3también se obtiene 0, igual que para el monomio 1. Por tanto, 𝑝es (−𝑤, 𝑤)-homogéneo y su grado respecto a (−𝑤, 𝑤)es 0. Definición 2.1.10. Dado un elemento no nulo 𝑝∈definimos su forma inicial respecto a (𝑢, 𝑣), denotada como in(𝑢,𝑣)(𝑝), de la siguiente manera: si 𝑚= deg(𝑢,𝑣)(𝑝), 2. conceptos generales 15 seleccionamos los términos de peso 𝑚en la forma normal de 𝑝reemplazando 𝜕𝑖por 𝜉𝑖para todo 𝑖con 𝑢𝑖+𝑣𝑖>0. Algebraicamente, in(𝑢,𝑣)(𝑝) = ∑ (𝛼,𝛽)∈𝐸 𝛼⋅𝑢+𝛽⋅𝑣=𝑚 𝑐(𝛼,𝛽)∏ 𝑖∶𝑢𝑖+𝑣𝑖>0 𝑥𝛼𝑖 𝑖𝜉𝛽𝑖 𝑖∏ 𝑖∶𝑢𝑖+𝑣𝑖=0 𝑥𝛼𝑖 𝑖𝜕𝛽𝑖 𝑖. Si 𝑝= 0, definimos in(𝑢,𝑣)(𝑝)=0. Ejemplo 2.1.11.Sean 𝑝1=𝑥2𝜕+ 1 ∈ 1y el vector de pesos (𝑢, 𝑣) = (0,1). La forma inicial de 𝑝1es in(𝑢,𝑣)(𝑝1) = 𝑥2𝜉∈𝐤[𝑥][𝜉].Para 𝑝2=𝑥1𝜕1+𝑥2𝜕2+ 2𝑥7 2∈2 y el vector de pesos (𝑢, 𝑣) = (0,0,1,1), su forma inicial es in(𝑢,𝑣)(𝑝2) = 𝑥1𝜉1+𝑥2𝜉2∈ 𝐤[𝑥1, 𝑥2][𝜉1, 𝜉2]. Para evitar confusiones, ya que el álgebra de Weyl no es conmutativa, llamaremos -ideal a los ideales a la izquierda de . En caso de considerar algún ideal a la derecha de se dirá específicamente. Corolario 2.1.12.Sea 𝐼un -ideal. Entonces el 𝐤-espacio vectorial in(𝑢,𝑣)(𝐼)≔𝐤⋅{in(𝑢,𝑣)(𝑙)|𝑙∈𝐼} es un ideal a la izquierda en el anillo graduado gr(𝑢,𝑣)(). Demostración. Comprobar que la suma de elementos de in(𝑢,𝑣)(𝐼)es interna es inmediato. Veamos si es cerrado bajo el producto de elementos de gr(𝑢,𝑣)(). Dado 𝑝∈ gr(𝑢,𝑣)()con deg(𝑢,𝑣)(𝑝) = 𝑚. Similar a como razonamos en la demostración de la proposición 2.1.4 se llega a que para 𝑙∈𝐼se verifica que 𝑝⋅in(𝑢,𝑣)(𝑙) = in(𝑢,𝑣)(𝑝⋅𝑙) ∈ in(𝑢,𝑣)(). Definición 2.1.13. El ideal in(𝑢,𝑣)(𝐼) ∈ gr(𝑢,𝑣)()se dice ideal inicial de un -ideal 𝐼respecto al vector de pesos (𝑢, 𝑣). Un conjunto finito 𝐺de es una base de Gröbner de 𝐼respecto a (𝑢, 𝑣)si satisface (a) 𝐼=⋅𝐺, (b) in(𝑢,𝑣)(𝐼) = gr(𝑢,𝑣)()⋅in(𝑢,𝑣)(𝐺), donde in(𝑢,𝑣)(𝐺) = {in(𝑢,𝑣)(𝑔)|𝑔∈𝐺}. Ejemplo 2.1.14.Trabajemos un ejemplo de forma completa. Sea 𝑛= 1 y consideremos (𝑢, 𝑣) = (−1,2), 𝐹1= {𝑥3𝜕2, 𝑥𝜕4}e𝐼=⋅𝐹1. Una observación que podemos hacer ahora mismo y que dará pie a una breve discusión posterior es que 𝑢+𝑣 > 0y por tanto gr(𝑢,𝑣)() = 𝐤[𝑥, 𝜉]. Veamos que {𝜕2}es una base de Gröbner para 𝐼, para ello vamos a comprobar las condiciones anteriores. (a) Probemos que el ideal 𝐺, generado por 𝜕2, coincide con 𝐼. Es claro que 𝐼 ⊆ 𝐺 ya que los generadores de 𝐼son múltiplos en del generador de 𝐺. Por otro 16 𝐷-módulos hipergeométricos lado, la otra contención es más laboriosa. Probar que {𝜕2}está contenido en 𝐼es equivalente a probar que 1pertenece al ideal generado por {𝑥3, 𝑥𝜕2}, que llamaremos 𝐼′. Demostremos esto último. Contamos con una herramienta que nos permite demostrar nuestro objetivo, el conmutador. La estrategia a seguir es calcular la diferencia de dos elementos del ideal que tengan la misma forma inicial viendo que el resultado tendrá menor grado. Empecemos partiendo de los generadores de 𝐼′ 𝑥2⋅𝑥𝜕2−𝜕2⋅𝑥3=𝑥3𝜕2−𝜕2𝑥3= [𝑥3, 𝜕2] = −6𝑥2𝜕− 6𝑥∈𝐼′. Ahora, sabiendo que 𝑥𝜕2está en 𝐼′: 𝑥𝜕 ⋅(𝑥2𝜕+𝑥) − 𝑥2⋅𝑥𝜕2= 3𝑥2𝜕+𝑥∈𝐼′ y, tomando las combinaciones lineales adecuadas entre estas dos últimas ecuaciones, llegamos a que tanto 𝑥como 𝑥2𝜕se encuentran en nuestro ideal. Obtener de aquí 1es sencillo: 𝜕2⋅𝑥−𝑥𝜕2= 2𝜕 y, una vez tenemos 𝜕y𝑥en 𝐼′, 𝜕𝑥 −𝑥𝜕 = 1. Luego 1está en 𝐼′y por ende 𝜕2∈𝐼. (b) Gracias al trabajo anterior, este apartado es inmediato ya que 𝐼=⋅{𝜕2}, luego in(𝑢,𝑣)(𝐼) = in(𝑢,𝑣)(⋅{𝜕2}) = ⟨𝜉2⟩. Observemos que en ningún momento hemos utilizado los valores 𝑢, 𝑣 por separado, solo nos ha interesado que su suma sea positiva. Esto define un cono en el espacio de posibles vectores de pesos de modo que in(𝑢,𝑣)(𝐼)es constante para cada vector (𝑢, 𝑣)de dicho cono. En la primera sección del apéndice formalizaremos este inocente suceso. 2.2 Bases de Gröbner respecto de un orden En la sección anterior definimos las bases de Gröbner respecto de un vector de pesos, ahora y ya que más adelante nos será de utilidad disponer de un orden total en el conjunto de los monomios 𝑥𝛼𝜕𝛽∈, definimos las bases de Gröbner respecto de un cierto tipo de órdenes, y exploramos la relación entre ambos tipos de bases siguiendo la referencia usual. 2. conceptos generales 17 Definición 2.2.1. Dado un orden total ≺en , decimos que ≺es un orden monomial multiplicativo si satisface: 1. 1≺ 𝑥𝑖𝜕𝑖para 𝑖= {1, ..., 𝑛}; 2. 𝑥𝛼𝜕𝛽≺ 𝑥𝑎𝜕𝑏implica 𝑥𝛼+𝑠𝜕𝛽+𝑡≺ 𝑥𝑎+𝑠𝛽𝑏+𝑡para todo (𝑠, 𝑡) ∈ ℕ2𝑛. Se dirá que este orden es de términos (para el álgebra de Weyl) si el elemento 1 = 𝑥0𝜕0es el más pequeño respecto a ≺. Esta condición es necesaria para que nuestro orden sea compatible con la multiplicación de elementos. Ejemplo 2.2.2.Consideremos el orden lexicográfico inverso ≻en ℕ2𝑛. Este se define como (𝑎, 𝑏)≻(𝑐, 𝑑)si la última entrada no nula de (𝑎, 𝑏)−(𝑐, 𝑑)es negativa. Así (1,2,0,0) ≻(1,2,4,0) y también (1,2,4,0) ≻(1,2,6,0). Un orden similar para el álgebra de Weyl es el orden lexicográfico inverso graduado que se define de la siguiente manera 𝑥𝛼𝜕𝛽≻ 𝑥𝑎𝜕𝑏si |𝛼|+|𝛽|>|𝑎|+|𝑏| y en caso de que se dé la igualdad usamos el orden lexicográfico inverso sobre los vectores (𝛼, 𝛽)y(𝑎, 𝑏), es decir, 𝑥𝛼𝜕𝛽≻ 𝑥𝑎𝜕𝑏si |𝛼|+|𝛽|=|𝑎|+|𝑏|y la última entrada no nula de (𝛼, 𝛽)−(𝑎, 𝑏)es negativa. Por construcción se tiene que es un orden total: Comprobemos si es un orden monomial multiplicativo. 1. 𝑥𝑖𝜕𝑖≻1ya que la longitud del multi-índice asociado a 1es nula mientras que la del asociado a 𝑥𝑖𝜕𝑖es 2. 2. Si 𝑥𝛼𝜕𝛽≻ 𝑥𝑎𝜕𝑏con |𝛼|+|𝛽|>|𝑎|+|𝑏|, es inmediato que para todo (𝑠, 𝑡) ∈ ℕ2𝑛 se tiene que |𝛼+𝑠|+|𝛽+𝑡|>|𝑎+𝑠|+|𝑏+𝑡|y por tanto 𝑥𝛼+𝑠𝜕𝛽+𝑡≻ 𝑥𝑎+𝑠𝛽𝑏+𝑡. Veamos el caso en que |𝛼|+|𝛽|=|𝑎|+|𝑏|y la última entrada no nula de (𝛼, 𝛽)−(𝑎, 𝑏)es negativa. Tenemos que |𝛼+𝑠|+|𝛽+𝑡|=|𝑎+𝑠|+|𝑏+𝑡|, luego debemos examinar la diferencia (𝛼+𝑠, 𝛽 +𝑡) − (𝑎+𝑠, 𝑏 +𝑡)=(𝛼, 𝛽) − (𝑎, 𝑏) cuyo último término es negativo por hipótesis. Verificar que es un orden de términos es inmediato. Ejemplo 2.2.3.Dados dos órdenes monomiales multiplicativos de términos ≺𝑥y≺𝜕 en 𝐤[𝑥]y𝐤[𝜕]respectivamente, un orden de eliminación asociado a los órdenes ≺𝑥y 24 𝐷-módulos hipergeométricos De forma similar, desde los conceptos de bases de Gröbner hasta la holonomía pueden generalizarse para -módulos, pero esto escaparía del enfoque de este trabajo. No obstante, se puede encontrar una introducción al tema en [SST00, § 5.1] y para el caso conmutativo en [AL94, ch. 3]. 3 Rudimentos algebraicos En el capítulo siguiente definiremos ciertas familias de -módulos y veremos cómo se relacionan entre ellas. Para tratar esto último necesitaremos cierta artillería, en concreto deberemos familiarizarnos con las 𝑏-funciones y con las restricciones de -módulos. Estos conceptos conformarán dos de las tres secciones que se presentan en este capítulo ya que primero hay que conocer a los operadores de Euler. 3.1 El anillo 𝐤[𝜃]. Acción tórica en  Introducimos en esta sección los operadores 𝜃𝑖=𝑥𝑖𝜕𝑖. Estos aparecerán de forma constante en el resto del trabajo debido, entre otras razones, a un detalle muy importante: conmutan entre ellos. De esta forma, el espacio 𝐤[𝜃] = 𝐤[𝜃1, ..., 𝜃𝑛]es una 𝐤-subálgebra conmutativa del álgebra de Weyl =𝑛. Comúnmente, se llama operadores de Euler a los polinomios en 𝐤[𝜃]. Veamos algunos resultados técnicos: Lema 3.1.1.Dado 𝑚un número natural se satisface que: ∙𝑥𝑚 𝑖𝜕𝑚 𝑖=𝜃𝑖(𝜃𝑖− 1)...(𝜃𝑖−𝑚+ 1) = ∏𝑚−1 𝑙=0 (𝜃𝑖−𝑙), ∙𝜕𝑚 𝑖𝑥𝑚 𝑖= (𝜃𝑖+ 1)...(𝜃𝑖+𝑚) = ∏𝑚 𝑙=1(𝜃𝑖+𝑙). Demostración. Ya que nos estamos centrando en un único par de variables, 𝑥𝑖y𝜕𝑖 del álgebra de Weyl, nos ahorraremos los subíndices (de hecho, es suficiente ver este resultado en 1). Razonemos por inducción en ambos casos. Para 𝑚= 1 el resultado es inmediato. Comencemos por la primera ecuación. Para reducir el número de cálculos al má- 26 𝐷-módulos hipergeométricos ximo, nos ayudamos del siguiente razonamiento, sea 𝑠∈𝐤: 𝑥⋅(𝜃−𝑠) = 𝑥𝜃 −𝑥𝑠 =𝑥⋅(𝑥𝜕) − 𝑠𝑥 =𝑥⋅(𝜕𝑥 − 1) − 𝑠𝑥 =𝑥𝜕𝑥 −𝑥−𝑠𝑥 =𝜃𝑥 − (𝑠+ 1)𝑥 = (𝜃− (𝑠+ 1)) ⋅𝑥 (3.1) Asumamos como hipótesis de inducción que, 𝑥𝑚−1𝜕𝑚−1 =𝜃𝑖(𝜃− 1)...(𝜃−𝑚+ 2). Multipliquemos por 𝑥a la izquierda y por 𝜕a la derecha. De esta manera, usando reiteradamente la ecuación que acabamos de deducir 𝑥𝑚𝜕𝑚=𝑥𝜃(𝜃− 1)...(𝜃𝑖−𝑚+ 2)𝜕 = (𝜃− 1)𝑥(𝜃− 1)...(𝜃−𝑚+ 2)𝜕=... = (𝜃− 1)...(𝜃−𝑚+ 1)𝑥𝜕 =𝜃(𝜃− 1)...(𝜃−𝑚+ 1) = 𝑚−1 ∏ 𝑙=0 (𝜃−𝑙). Para la segunda afirmación el razonamiento es muy similar y sigue las mismas ideas. En este caso, la ecuación (𝜃+𝑠)𝑥=𝑥(𝜃+𝑠+ 1) es de gran utilidad. El lema anterior se puede enunciar para multi-índices. La demostración de este sigue unas líneas muy similares a la prueba que acabamos de tratar. Corolario 3.1.2.Dado 𝛼= (𝛼1, ..., 𝛼𝑛) ∈ ℕ𝑛un multi-índice, se satisface que: ∙𝑥𝛼𝜕𝛼=∏𝑛 𝑖=1 ∏𝛼𝑖−1 𝑗=0 (𝜃𝑖−𝑗), ∙𝜕𝛼𝑥𝛼=∏𝑛 𝑖=1 ∏𝛼𝑖 𝑗=1(𝜃𝑖+𝑗). El siguiente corolario es una consecuencia directa de la fórmula (3.1): Corolario 3.1.3.Para todo multi-índice 𝑏∈ℕ𝑛y para todo polinomio de 𝐤[𝜃1, ..., 𝜃𝑛], 𝑝(𝜃), se verifica que 𝑥𝑏𝑝(𝜃) = 𝑝(𝜃−𝑏)𝑥𝑏. De hecho, con un razonamiento análogo podemos probar una serie de resultados similares, posteriormente usaremos el siguiente: Corolario 3.1.4.Para todo multi-índice 𝑏∈ℕ𝑛y para todo polinomio de 𝐤[𝜃1, ..., 𝜃𝑛], 𝑝(𝜃), se verifica que 𝜕𝑏𝑝(𝜃) = 𝑝(𝜃+𝑏)𝜕𝑏. 3. rudimentos algebraicos 27 Acción tórica Para ejemplificar la utilidad de los operadores de Euler, vamos a hablar de la acción del grupo tórico sobre el álgebra de Weyl. De nuevo, estos resultados serán relevantes más adelante, por ello los trataremos de forma breve. Para más información se puede consultar [SST00, § 2.3]. Sea =𝑛: Definición 3.1.5. Llamamos toro 𝑛-dimensional algebraico sobre 𝑘al grupo multiplicativo 𝑇= (𝐤∗)𝑛. Su acción sobre el álgebra de Weyl se define, por linealidad, como 𝑇×→ (𝑡, 𝜕𝑖)→ 𝑡𝑖⋅𝜕𝑖,(𝑡, 𝑥𝑖)→ 𝑡−1 𝑖⋅𝑥𝑖, donde 𝑡= (𝑡1, ..., 𝑡𝑛). Dados 𝑓∈y𝑡∈𝑇, denotamos 𝑡◦𝑓a la acción de 𝑡sobre 𝑓. Dados un -ideal 𝐼y un elemento 𝑡∈𝑇, definimos 𝑡◦𝐼como el conjunto formado por 𝑡◦𝑓con 𝑓∈𝐼. Lema 3.1.6.Dado un -ideal 𝐼, el conjunto 𝑡◦es también un -ideal para todo 𝑡∈𝑇. Demostración. Probar que la suma de elementos de 𝑡◦𝐼es interna es inmediato ya que la acción de 𝑇está definida por linealidad. Demostremos que el producto por elementos de es también interno. Sea 𝑡◦𝑝un elemento cualquiera de 𝑡◦𝐼, con 𝑝∈𝐼 y sea 𝑠un operador de , que por linealidad podemos suponer que es un monomio 𝑥𝛼𝜕𝛽. Queremos probar que 𝑠⋅(𝑡◦𝑝)está en el conjunto 𝑡◦𝐼, para ello, necesitamos encontrar un elemento 𝑞∈𝐼de forma que 𝑡◦𝑞=𝑠⋅(𝑡◦𝑝). Esto es sencillo, basta tomar 𝑞como 𝑡𝛼−𝛽⋅𝑠⋅𝑝. Este elemento está en ideal 𝐼ya que 𝑡𝛼−𝛽es un escalar, 𝑠∈ y𝑝∈𝐼. Además, 𝑡◦𝑞=𝑡◦(𝑡𝛼−𝛽𝑠⋅𝑝) =𝑡𝛼−𝛽⋅𝑡◦(𝑠⋅𝑝) =𝑡𝛼−𝛽(𝑡◦𝑠)(𝑡◦𝑝) = 𝑠⋅𝑡◦𝑝. Definición 3.1.7. Decimos que un -ideal es invariante tórico si verifica que 𝐼= 𝑡◦𝐼para todo 𝑡∈𝑇. Lema 3.1.8.Un -ideal 𝐼es invariante tórico si y solo si 𝐼está generado por elementos de la forma 𝑥𝑎𝑝(𝜃)𝜕𝑏con 𝑎, 𝑏 ∈ℕ𝑛y𝑝(𝜃) ∈ 𝐤[𝜃]. 28 𝐷-módulos hipergeométricos Demostración. Supongamos que 𝐼está generado por elementos 𝑥𝑎𝑝(𝜃)𝜕𝑏. Dado 𝑡∈ 𝑇observemos que 𝑡◦𝑥𝑎𝑝(𝜃)𝜕𝑏=𝑡𝑏−𝑎𝑥𝑎𝑝(𝜃)𝜕𝑏∈𝐼. Probemos la otra implicación. Partamos de que 𝐼=𝑡◦𝐼para todo 𝑡∈𝑇. Es fácil comprobar que todo elemento 𝑝de puede expresarse como una suma finita de la forma 𝑝=∑ 𝑎,𝑏∈ℕ𝑛 𝑐𝑎𝑏𝑥𝑎𝑝𝑎𝑏(𝜃)𝜕𝑏 donde 𝑐𝑎𝑏 ∈𝐤y las tuplas 𝑎y𝑏satisfacen que 𝑎𝑖y𝑏𝑖no son distintos de cero a la vez, para todo 𝑖∈ {1, ..., 𝑛}(en ese caso, diremos que 𝑎y𝑏tienen soporte disjunto). Así, sea 𝑓cualquier elemento de 𝐼. Si lo expresamos como la suma finita anterior y aplicamos 𝑡obtenemos que 𝑡◦𝑓=∑ 𝑎,𝑏∈ℕ𝑛 𝑐𝑎𝑏𝑡𝑏−𝑎𝑥𝑎𝑝𝑎𝑏(𝜃)𝜕𝑏. Por hipótesis 𝑡◦𝑓∈𝐼para todo 𝑡∈𝑇. Gracias a esto, tomando los valores de 𝑡 adecuados podemos afirmar que cualquier combinación lineal de los 𝑥𝑎𝑝𝑎𝑏(𝜃)𝜕𝑏que aparecen en la suma original pertenece a 𝐼y, en particular, podemos concluir que los 𝑥𝑎𝑝𝑎𝑏(𝜃)𝜕𝑏están en 𝐼, de donde deducimos que 𝐼se encuentra generado por elementos de dicha forma. Corolario 3.1.9.Sea 𝐼un -ideal invariante tórico y sea ≺un orden de términos. Podemos encontrar una base de Gröbner 𝐺de 𝐼respecto de ≺formada por elementos de la forma 𝑥𝑎𝑝𝑎𝑏(𝜃)𝜕𝑏con 𝑎, 𝑏 ∈ℕ𝑛con soportes disjuntos. Demostración. Gracias al lema previo, 𝐼está generado por elementos de esta forma. Vamos a usar una modificación del algoritmo de Buchberger en la que al tomar la forma normal de una 𝑆-pareja no nula, la escribimos como una combinación lineal de términos de la forma 𝑥𝛼𝑝𝛼𝛽 (𝜃)𝜕𝛽y añadimos todos los sumandos que aparezcan a la base. Este nuevo algoritmo termina porque el orden ≺es de términos y 𝐤[𝑥, 𝜉]es un anillo noetheriano, de forma completamente análoga al algoritmo de Buchberger original. En el siguiente lema usaremos la noción de vector genérico para un -ideal. La definición de este tipo de vectores se encuentra en la sección A.1 del apéndice. Lema 3.1.10.Sea 𝐼un -ideal, se satisface que: 1. 𝐼es invariante tórico si y solo si in(−𝑤,𝑤)(𝐼) = 𝐼para todo 𝑤∈ℝ𝑛. 2. Si 𝑤∈ℝ𝑛es un vector de pesos genérico para 𝐼entonces el ideal inicial in(−𝑤,𝑤)(𝐼)es invariante tórico. 3. rudimentos algebraicos 29 Demostración. Probemos ambas implicaciones de la primera afirmación. Supongamos que 𝐼sea invariante tórico y consideremos 𝑓∈𝐼. Podemos expresar 𝑓como una combinación lineal sobre 𝐤de términos de la forma 𝑥𝑎𝑝𝑎𝑏(𝜃)𝜕𝑏. Sea 𝑚su grado respecto a un vector 𝑤∈ℝ𝑛. Así, su forma inicial será ∑ 𝑎,𝑏∈ℕ𝑛 𝑤⋅(𝑏−𝑎)=𝑚 𝑐𝑎𝑏𝑥𝑎𝑝𝑎𝑏(𝜃)𝜕𝑏, pero cada “monomio” de este sumatorio está en 𝐼y su forma inicial respecto a 𝑤 coincide con él mismo, luego in(−𝑤,𝑤)(𝑓)pertenece a 𝐼para cualquier 𝑓y por ende in(−𝑤,𝑤)(𝐼)⊂ 𝐼. La otra contención es inmediata, basta comprobar que los generadores de 𝐼, que de nuevo son de la forma 𝑥𝑎𝑝𝑎𝑏(𝜃)𝜕𝑏por el lema 3.1.8, son su propia forma inicial respecto a 𝑤. Veamos la otra implicación. Supongamos que in(−𝑤,𝑤)(𝐼) = 𝐼para todo 𝑤∈ℝ𝑛. Sea 𝑓un operador cualquiera de 𝐼, lo expresamos como suma de elementos de la forma 𝑐𝛼𝛽 𝑥𝛼𝑝𝛼𝛽 (𝜃)𝜕𝛽. Gracias al lema 3.1.8 nos es suficiente probar que todos esos elementos están en 𝐼. Para ello, podemos escoger un vector de pesos 𝑤𝛼𝛽 de manera que la parte inicial de 𝑓respecto de dicho vector sea exactamente 𝑥𝛼𝑝𝛼𝛽(𝜃)𝜕𝛽. Encontrar dicho vector de pesos es sencillo. Supongamos que 𝑓=∑𝛼𝛽 𝑐𝛼𝛽 𝑥𝛼𝑝𝛼𝛽(𝜃)𝜕𝛽. Sea 𝛼 el mayor de los 𝛼usando el orden lexicográfico (el orden lexicográfico es un orden total; en el caso en que todos los 𝛼sean nulos, razonamos para 𝛽). Sea  𝑖el menor índice tal que existe un 𝛼con 𝑐𝛼𝛽 ≠0en la suma anterior de manera que 𝛼 𝑖> 𝛼 𝑖. Escogemos el vector de pesos 𝑤𝛼𝛽 = −𝑒 𝑖(si estuviéramos razonando para 𝛽, tomaríamos 𝑤𝛼 𝛽=𝑒 𝑖). Como las parejas 𝛼y𝛽tienen soportes disjuntos, el 𝑤𝛼𝛽-grado de los monomios 𝑥𝛼𝑝𝛼𝛽 (𝜃)𝜕𝛽es 𝛼 𝑖. Por construcción, la parte inicial de 𝑓respecto a (−𝑤𝛼𝛽 , 𝑤𝛼𝛽 ), expresada como antes, es una suma con menos términos, y 𝑓′= in(−𝑤𝛼𝛽 ,𝑤𝛼𝛽 )(𝑓) ∈ 𝐼 por hipótesis. Si repetimos este proceso para 𝑓′las suficientes veces, llegamos a que 𝑥𝛼𝑝𝛼𝛽 (𝜃)𝜕𝛽está en 𝐼. Sea ahora 𝑤un vector de pesos genérico para 𝐼. Así, in(−𝑤,𝑤)(𝐼) = in(−𝑤,𝑤)+𝜀(𝑢,𝑣)(𝐼) para todo vector de pesos (𝑢, 𝑣)con 𝜀suficientemente pequeño y usando el lema A.1.4 se sigue que in(−𝑢,𝑢)(in(−𝑤,𝑤)(𝐼)) = in(−𝑤,𝑤)+𝜀(−𝑢,𝑢)(𝐼) = in(−𝑤,𝑤)(𝐼). Por tanto, 𝐽= in(−𝑤,𝑤)(𝐼)satisface in(−𝑢,𝑢)(𝐽) = 𝐽para todo vector de pesos 𝑢∈ℝ𝑛, luego por (1) se tiene que es invariante tórico. 30 𝐷-módulos hipergeométricos 3.2 b-funciones de ideales holónomos Con el objetivo de probar las relaciones entre las cuatro familias de -módulos que veremos en el siguiente capítulo, tenemos que hacer un pequeño receso para hablar de 𝑏-funciones de -ideales holónomos con respecto a un vector de pesos 𝑤. Para ello, seguimos las líneas de [SST00, §§ 5.1, 5.2]. Definición 3.2.1. Sean 𝐼un -ideal holónomo y 𝑤∈ℝ𝑛un vector no nulo. Consideremos el ideal in(−𝑤,𝑤)(𝐼) ∩ 𝐤[𝑤1𝜃1+... +𝑤𝑛𝜃𝑛]. Como 𝐤[𝑠](siendo 𝑠=𝑤1𝜃1+... +𝑤𝑛𝜃𝑛) es un dominio de ideales principales, el ideal anterior, si no es nulo, está generado por un único elemento mónico, 𝑏(𝑠), que llamamos 𝑏-función del -ideal holónomo 𝐼con respecto a 𝑤. Si el ideal es nulo, diremos que 𝑏(𝑠)=0. Lema 3.2.2.Dados un -ideal holónomo 𝐼y un vector de pesos 𝑤no nulo, se verifica que existe un elemento 𝑔∈𝐼tal que 𝑏(𝑠) = in(−𝑤,𝑤)(𝑔). Demostración. Por la definición de 𝑏-función se tiene que 𝑏(𝑠) ∈ in(−𝑤,𝑤)(𝐼) ∩ 𝐤[𝑠], luego es un elemento de la forma in(−𝑤,𝑤)(𝑔1) + ... + in(−𝑤,𝑤)(𝑔𝑟)donde los elementos 𝑔𝑖∈𝐼. Vamos a demostrar que existe un elemento 𝑔∈𝐼tal que in(−𝑤,𝑤)(𝑔) = 𝑏(𝑠). De hecho, nos basta elegir 𝑔=𝑔1+... +𝑔𝑟. Veámoslo. Como ya sabemos, 𝑏(𝑠) = in(−𝑤,𝑤)(𝑔1) + ... + in(−𝑤,𝑤)(𝑔𝑟) ∈ 𝐤[𝑠]⊂𝐤[𝜃]tiene (−𝑤, 𝑤)-grado nulo, es más, cada 𝑔𝑖tiene también grado nulo (o existen algunos 𝑔𝑗1, ..., 𝑔𝑗𝑙tales que la suma de sus partes iniciales no es de (−𝑤, 𝑤)-grado nulo pero se cancelan, en ese caso podemos eliminarlos sin alterar 𝑏(𝑠)). Con esto en mente, la parte inicial de 𝑔respecto a (−𝑤, 𝑤) es la suma de los monomios con (−𝑤, 𝑤)-grado 0, que por construcción es la suma de las partes iniciales de cada 𝑔𝑖. Teorema 3.2.3. Sea 𝐼un -ideal holónomo y sea 𝑤un vector genérico de 𝐼. Entonces el ideal conmutativo in(−𝑤,𝑤)(𝐼) ∩ 𝐤[𝜃1, ..., 𝜃𝑛]es artiniano. Demostración. La demostración de este teorema se encuentra en [SST00, Theorem 5.1.3]. He trabajado esta prueba con denuedo pero hay alguna implicación que no he sido capaz de comprender. No obstante, en este trabajo hemos incluido todos los resultados que cita dicha referencia como necesarios para poder entenderla y algunos que he considerado importantes para el correcto entendimiento de la demostración. Por otro lado, terminaremos esta sección viendo un enunciado alternativo a este hecho. 3. rudimentos algebraicos 31 Corolario 3.2.4.Para 𝑤un vector de pesos genérico, la 𝑏-función 𝑏(𝑠)de un -ideal holónomo 𝐼respecto de 𝑤es distinta de cero. Demostración. Sea 𝐽= in(−𝑤,𝑤)(𝐼). Se tiene que ⟨𝑏(𝑠)⟩= (𝐽∩𝐤[𝜃]) ∩ 𝐤[𝑠]. Este ideal define la proyección de (𝐽∩𝐤[𝜃]) sobre el hiperplano 𝑠= 0 (ver [CLO15, Theorem 4.4.4]), que necesariamente es un conjunto finito al serlo (𝐽∩𝐤[𝜃]). Por tanto, ⟨𝑏(𝑠)⟩ es un ideal artiniano y 𝑏(𝑠)≠0. El siguiente lema nos será de utilidad más adelante. Para ello, sean 𝐼un -ideal holónomo y 𝑤∈ℝ𝑛un vector de pesos tal que 𝑤𝑖>0para 𝑖∈ {1, ..., 𝑚}y𝑤𝑗= 0 para 𝑗∈ {𝑚+ 1, ..., 𝑛}y sea 𝑠0la mayor raíz de la 𝑏-función 𝑏(𝑠)de 𝐼respecto de 𝑤. Lema 3.2.5.Si 𝛽∈ℕ𝑛satisface que 𝑤⋅𝛽 > 𝑠0entonces existe un elemento 𝑓en el 𝐤-espacio vectorial 𝐼+𝑥1+... +𝑥𝑚que verifica in(−𝑤,𝑤)(𝑓) = 𝜕𝛽. Demostración. Sea 𝑠1=𝑤⋅𝛽 > 𝑠0. Como 𝑠0es la mayor raíz respecto de 𝑤,𝑠1no anula la 𝑏-función. Por el lema 3.2.2, existe un elemento 𝑔∈𝐼tal que 𝑏( 𝑚 ∑ 𝑖=1 𝑤𝑖𝜃𝑖) = in(−𝑤,𝑤)(𝑔). Multiplicando la identidad anterior a la izquierda por 𝜕𝛽y, debido a que 𝜕𝛽es igual a su forma inicial, aplicando el corolario 3.1.4 obtenemos in(−𝑤,𝑤)(𝜕𝛽⋅𝑔) = 𝜕𝛽⋅in(−𝑤,𝑤)(𝑔) =𝜕𝛽⋅𝑏( 𝑚 ∑ 𝑖=1 𝑤𝑖𝜃𝑖) =𝑏(𝑠1+ 𝑚 ∑ 𝑖=1 𝑤𝑖𝜃𝑖)⋅𝜕𝛽 =𝑏(𝑠1)⋅𝜕𝛽+ 𝑚 ∑ 𝑖=1 𝑥𝑖𝑢𝑖 para algunos 𝑢1, ..., 𝑢𝑚∈. Además, la suma ∑𝑚 𝑖=1 𝑥𝑖𝑢𝑖es (−𝑤, 𝑤)-homogénea: como sabemos, la 𝑏-función es (−𝑤, 𝑤)-homogénea de grado 0, luego el (−𝑤, 𝑤)-grado de cada monomio de 𝜕𝛽⋅ in(−𝑤,𝑤)(𝑔)es exactamente 𝑤⋅𝛽=𝑠1y lo mismo sucede con 𝑏(𝑠1)⋅𝜕𝛽; de esta manera, ∑𝑚 𝑖=1 𝑥𝑖𝑢𝑖verifica que cada monomio suyo tiene (−𝑤, 𝑤)-grado 𝑠1. Por tanto, el elemento 𝑓=1 𝑏(𝑠1) ⋅(𝜕𝛽𝑔− 𝑚 ∑ 𝑖=1 𝑥𝑖𝑢𝑖) 32 𝐷-módulos hipergeométricos pertenece a 𝐼+𝑥1+... +𝑥𝑚y satisface que in(−𝑤,𝑤)(𝑓) = 𝜕𝛽. Ya que no incluimos la demostración del teorema 3.2.3, para no dejar este importante hecho sin probar vamos a utilizar una fuente alternativa, concretamente [And10, Theorem 3.11]. Para ello, necesitamos un par de resultados previos. El primero de ellos es consecuencia de [Kas78, Theorem 4.8], que no incluimos debido a difiere del enfoque de este trabajo. Podemos obtener el siguiente corolario suyo: Corolario 3.2.6.Sea 𝐼un -ideal holónomo. Entonces, dim𝐤(End(∕𝐼)) <∞. Teorema 3.2.7. Sea 𝐼un -ideal tal que 𝐼⋅𝑠 ⊂ 𝐼 ydim𝐤(End(∕𝐼)) <∞. Entonces 𝐼∩𝐤[𝑠]≠0. Demostración. Consideremos la multiplicación a la derecha por 𝑠como un endomorfismo de ∕𝐼. Este endomorfismo está bien definido ya que 𝐼⋅𝑠 ⊂ 𝐼 . Como End(∕𝐼)tiene dimensión finita, el conjunto {1, 𝑠, 𝑠2, ....}es linealmente dependiente. Por tanto, para un cierto 𝑟∈ℕ, podemos encontrar una combinación lineal de la forma 𝜇= 𝑟 ∑ 𝑖=0 𝑐𝑖𝑠𝑖, con los 𝑐𝑖∈𝐤y al menos uno de ellos distinto de 0, de forma que 𝜇= 0 como endomorfismo de ∕𝐼. De esta manera, 𝜇pertenece al ideal 𝐼y, por construcción, 𝜇∈𝐤[𝑠]. Teorema 3.2.8. La 𝑏-función de un -ideal holónomo no es el polinomio cero para cualquier vector de pesos no nulo 𝑤∈ℝ𝑛 ≥0. Demostración. Sea 𝐽= in(−𝑤,𝑤)(𝐼)⊆y sea 𝑠=∑𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖𝜃𝑖. Vamos a probar que 𝐽⋅𝑠⊆𝐽. Para ello, consideremos un elemento cualquiera 𝑝=∑𝛼,𝛽 𝑐𝛼,𝛽 𝑥𝛼𝜕𝛽no nulo de 𝐽que sea (−𝑤, 𝑤)-homogéneo. Por linealidad, se extiende para los elementos de 𝐽que no sean homogéneos. Sea 𝑚el (−𝑤, 𝑤)-grado de 𝑝, es decir, 𝑤⋅(𝛽−𝛼) = 𝑚 para todo 𝛼y𝛽tales que 𝑐𝛼,𝛽 sea no nulo. Con esto en mente, por la ecuación (3.1) y 3. rudimentos algebraicos 33 el corolario 3.1.4 se tiene que 𝑝⋅𝑠=𝑝 𝑛 ∑ 𝑖=1 𝑤𝑖𝜃𝑖= 𝑛 ∑ 𝑖=1 𝑤𝑖𝑝𝜃𝑖= 𝑛 ∑ 𝑖=1 𝑤𝑖∑ 𝛼,𝛽 𝑐𝛼,𝛽 𝑥𝛼𝜕𝛽𝜃𝑖 = 𝑛 ∑ 𝑖=1 𝑤𝑖∑ 𝛼,𝛽 (𝜃𝑖−𝛼𝑖+𝛽𝑖)𝑐𝛼,𝛽 𝑥𝛼𝜕𝛽 =( 𝑛 ∑ 𝑖=1 𝑤𝑖𝜃𝑖)(∑ 𝛼,𝛽 𝑐𝛼,𝛽 𝑥𝛼𝜕𝛽) + 𝑛 ∑ 𝑖=1 ∑ 𝛼,𝛽 𝑤𝑖(−𝛼𝑖+𝛽𝑖)𝑐𝛼,𝛽 𝑥𝛼𝜕𝛽 =𝑠⋅𝑝+𝑚⋅𝑝. (3.2) Por tanto, tenemos que 𝐽⋅𝑠 ⊆ 𝐽. Por el teorema A.2.3 sabemos que 𝐽es holónomo y por ende, por 3.2.6, que dim𝐤(End(∕𝐽)<∞, luego el ideal 𝐽∩𝐤[𝑠]es no nulo y la 𝑏-función de 𝐼es distinta de 0. 3.3 Restricción de un -módulo Un concepto muy ligado a las 𝑏-funciones es la restricción de un -módulo. Finalizamos el capítulo tratando este tema que puede parecer, a primera vista, un poco árido. Para ello necesitamos distinguir dos álgebras de Weyl, y′, donde la primera es el álgebra de Weyl asociada al espacio afín 𝑋=𝐤𝑛mientras que la segunda es el álgebra de Weyl asociada al subespacio afín 𝑌=𝐤𝑚(es el subespacio de ecuaciones 𝑥1=... =𝑥𝑚= 0). Así, podemos definir el siguiente cociente: 𝑌→𝑋=/⟨𝑥1, ..., 𝑥𝑚⟩⋅. Observemos que ⟨𝑥1, ..., 𝑥𝑚⟩⋅es un ideal de a la derecha y no a la izquierda, por tanto 𝑌→𝑋es un -módulo a la derecha. Es más, también es un ′-módulo a la izquierda. Así, 𝑌→𝑋es un (′-)-bimódulo. En [Cou95, ch. 12] podemos profundizar más sobre el tema, así como encontrar demostrados parte de los resultados que usaremos. Dado un -ideal 𝐼, podemos considerar el producto tensorial sobre del (′− )-bimódulo 𝑌→𝑋con el -módulo a la izquierda ∕𝐼(en particular, usaremos su estructura de (-𝐤)-bimódulo) obteniendo el ′-módulo 𝑁=𝑌→𝑋⊗∕𝐼≅𝑌→𝑋/(𝑌→𝑋⋅𝐼). 40 𝐷-módulos hipergeométricos Definición 4.1.3. Sea 𝐵∈(𝑛𝑥𝑚, ℤ)una matriz 𝑛𝑥𝑚 de números enteros (siendo 𝑚≤𝑛) y de rango 𝑚. Llamemos 𝑏1, ..., 𝑏𝑛a sus filas. Sean 𝜅∈𝐤𝑛y𝜃′= [𝜃1, ..., 𝜃𝑚], construyamos los siguientes operadores de 𝑚para todo 𝑘∈ {1, ..., 𝑚}: 𝑞𝑘=∏ 𝑏𝑖,𝑘>0 𝑏𝑖,𝑘−1 ∏ 𝑙=0 (𝑏𝑖⋅𝜃′+𝜅𝑖−𝑙), 𝑝𝑘=∏ 𝑏𝑖,𝑘<0 −𝑏𝑖,𝑘−1 ∏ 𝑙=0 (𝑏𝑖⋅𝜃′+𝜅𝑖−𝑙). El 𝑚-módulo hipergeométrico de Horn Horn(𝐵, 𝜅)asociado a 𝐵y𝜅es el 𝑚módulo que resulta de tomar el cociente de 𝑚por el 𝑚-ideal: 𝑚⋅⟨𝑞1−𝑥1𝑝1, ..., 𝑞𝑚−𝑥𝑚𝑝𝑚⟩. Supongamos que 𝐵tiene una submatriz identidad 𝑚×𝑚y que las correspondientes entradas de 𝜅son cero. Definimos el módulo hipergeométrico normalizado de Horn, nHorn(𝐵, 𝜅), asociado a 𝐵y𝜅como el 𝐷𝑚-módulo que se obtiene al tomar el cociente de 𝑚por el 𝑚-ideal 𝑚⋅⟨1 𝑥1 𝑞1−𝑝1, ..., 1 𝑥𝑚 𝑞𝑚−𝑝𝑚⟩. A primera vista, estos dos sistemas parecen estar fuertemente relacionados. En efecto, bajo ciertas hipótesis, así es: Observación 4.1.4.Si las primeras 𝑚filas de 𝐵forman una matriz identidad y 𝜅1= ... =𝜅𝑚= 0 ambos módulos son el mismo si podemos invertir 𝑥1, ..., 𝑥𝑚, es decir, si nos restringimos al toro (𝐤∗)𝑚en lugar de trabajar en el espacio afín 𝐤𝑚. Definición 4.1.5. Consideremos la matriz 𝐵de entradas 𝑏𝑖,𝑗 y el vector 𝜅en las condiciones de la definición anterior y tomemos 𝑑=𝑛−𝑚. Sea 𝐴∈(𝑑×𝑛, ℤ) una matriz de números enteros de rango máximo tal que 𝐵es una dual de Gale de 𝐴 (es decir, sus columnas generan kerℚ(𝐴)). Llamamos ideal de base reticular (del inglés lattice basis ideal) al siguiente ideal en 𝐤[𝜕]: 𝐼(𝐵) = ⟨∏ 𝑏𝑖,𝑗 >0 𝜕𝑏𝑖,𝑗 𝑖−∏ 𝑏𝑖,𝑗 <0 𝜕−𝑏𝑖,𝑗 𝑖∶𝑗= 1,…, 𝑚⟩⊂𝐤[𝜕1, ..., 𝜕𝑛] y definimos los operadores de Euler asociados a 𝐴como 𝐸𝑖=∑𝑛 𝑗=𝑖𝑎𝑖,𝑗𝜃𝑗, para todo 𝑖∈ {1, ..., 𝑑}. 4. módulos clásicos 41 Otra forma de presentar los ideales de base reticular es la siguiente: 𝐼(𝐵) = ⟨𝜕(𝑏𝑗)+− 𝜕(𝑏𝑗)−⟩, donde 𝑏𝑗son las columnas de 𝐵y el subíndice +o−indica que tomamos (sin signo) las componentes positivas o negativas respectivamente. Definición 4.1.6. Llamamos 𝑛-módulo de base reticular (de nuevo, del inglés lattice basis -module) asociado a 𝐵y𝜅al 𝑛-módulo 𝐻(𝐵, 𝜅)definido como el cociente de 𝑛por el 𝑛-ideal 𝑛⋅⟨𝐼(𝐵), 𝐸1− (𝐴𝜅)1, ..., 𝐸𝑑− (𝐴𝜅)𝑑⟩. Es común encontrar la notación ⟨𝐸−𝐴𝜅⟩para referirse a todos los operadores de Euler 𝐸𝑖− (𝐴𝜅)𝑖. De esta forma, el -módulo de base reticular se expresa como el cociente de 𝑛por 𝑛⋅⟨𝐼(𝐵), 𝐸 −𝐴𝜅⟩. Usaremos esta notación más adelante. Definición 4.1.7. Dada una matriz 𝐴de dimensiones 𝑑×𝑛y coeficientes enteros y un vector 𝛽de 𝐤𝑑, definimos el ideal tórico asociado a 𝐴de 𝐤[𝜕]como 𝐼𝐴=⟨𝜕𝑢−𝜕𝑣∶𝑢, 𝑣 ∈ℕ𝑛tales que 𝐴𝑢 =𝐴𝑣⟩, y el 𝑛-módulo hipergeométrico GKZ como el 𝑛-módulo 𝛽 𝐴resultado de hacer el cociente de 𝑛por el ideal 𝑛⋅⟨𝐼𝐴, 𝐸1−𝛽1, ..., 𝐸𝑑−𝛽𝑑⟩. Observación 4.1.8.Cabe destacar que el ideal generado por los elementos 𝐸𝑖−𝛽𝑖 no depende completamente de la matriz 𝐴, de hecho, este ideal (y por tanto los sistemas hipergeométricos GKZ y los de base reticular) se mantiene igual si aplicamos operaciones elementales por filas a la matriz 𝐴. Para cerrar esta sección introductoria veamos un ejemplo en el que tratamos todas las definiciones anteriores. Ejemplo 4.1.9.Sean 𝑚= 2 y𝑛= 3, por tanto 𝜃′= [𝜃1, 𝜃2]. Consideremos la matriz 𝐵=⎛⎜⎜⎝ 1 0 0 1 −2 2⎞⎟⎟⎠ de rango 2y el vector 𝜅= (0,0, 𝜅3). Los operadores 𝑞𝑘y𝑝𝑘son 𝑞1=𝜃1, 𝑞2=𝜃2(−2𝜃1+ 2𝜃2+𝜅3)(−2𝜃1+ 2𝜃2+𝜅3− 1), 𝑝1= (−2𝜃1+ 2𝜃2+𝜅3)(−2𝜃1+ 2𝜃2+𝜅3− 1), 𝑝2= 1. 42 𝐷-módulos hipergeométricos Con los operadores construidos podemos dar el sistema hipergeométrico de Horn y su normalizado, que llamaremos 𝐻y𝐻𝑛, respectivamente: 𝐻=2⋅⟨𝜃1−𝑥1⋅(−2𝜃1+ 2𝜃2+𝜅3)(−2𝜃1+ 2𝜃2+𝜅3− 1), 𝜃2(−2𝜃1+ 2𝜃2+𝜅3)(−2𝜃1+ 2𝜃2+𝜅3− 1) − 𝑥2⟩, 𝐻𝑛=2⋅⟨𝜕1− (−2𝜃1+ 2𝜃2+𝜅3)(−2𝜃1+ 2𝜃2+𝜅3− 1), 𝜕2(−2𝜃1+ 2𝜃2+𝜅3)(−2𝜃1+ 2𝜃2+𝜅3− 1) − 1⟩. El ideal de base reticular asociado a 𝐵es 𝐼(𝐵) = ⟨𝜕1−𝜕2 3, 𝜕2𝜕2 3− 1⟩. Introducimos una matriz 𝐴= (2,−2,1), tal que 𝐵es una dual de Gale suya. Calculamos el ideal tórico asociado. Para ello, debemos calcular los vectores con coeficientes naturales 𝑢y𝑣tales que 𝐴𝑢 =𝐴𝑣 o lo que es lo mismo, 𝐴(𝑢−𝑣) = 0. Si llamamos 𝑤=𝑢−𝑣, calcular el ideal tórico se deduce de calcular el núcleo de 𝐴sobre ℤ, que, de manera computacional, podemos ver que es el espacio generado por los vectores 𝑤1= (1,1,0) y𝑤2= (−1,0,2). Se puede comprobar que basta con los binomios asociados a estos vectores, por tanto 𝐼𝐴=⟨𝜕1𝜕2− 1, 𝜕2 3−𝜕1⟩. Por otro lado, el operador de Euler asociado es 𝐸1= 2𝜃1− 2𝜃2+𝜃3 y el 3-ideal que define 𝐻(𝐵, 𝜅)es 3⋅⟨𝜕1−𝜕2 3, 𝜕2𝜕2 3− 1,2𝜃1− 2𝜃2+𝜃3−𝜅3⟩, mientras que el hipergeométrico GKZ es el cociente de 3por el ideal 3⋅⟨𝜕1𝜕2− 1, 𝜕2 3−𝜕1,2𝜃1− 2𝜃2+𝜃3−𝜅3⟩. Observación 4.1.10.La matriz 𝐵escogida para el ejemplo anterior no es una matriz cualquiera, está escogida teniendo en mente que 𝑚= 1. Esto es debido a que calcular el ideal tórico no es una tarea sencilla si la matriz 𝐴no es de tamaño (𝑛− 1) × 𝑛. La dificultad radica en hallar el núcleo de la matriz 𝐴con coeficientes en ℤy en que, además, es posible que el ideal tórico esté generado por más elementos que dicho núcleo. 4. módulos clásicos 43 Consideremos las siguientes matrices 𝐵=⎛⎜⎜⎜⎜⎝ 1 0 0 1 1 −2 −2 1 ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ , 𝐴 =(−1 2 1 0 2 −1 0 1), donde 𝐵es una dual de Gale de 𝐴. A primera vista podríamos pensar que, ya que 𝐵es una matriz de números enteros y una dual de Gale de 𝐴, los operadores binomiales asociados a las columnas de 𝐵generan 𝐼𝐴, pero esto no es cierto. Así, los vectores (1,0,1,−2) y(0,1,−2,1) están contenidos en el núcleo de 𝐴, pero {𝜕1𝜕3−𝜕2 4, 𝜕2𝜕4−𝜕2 3}no genera el ideal 𝐼𝐴. Este es el caso de la famosa cúbica alabeada donde es conocido que el ideal tórico asociado es el generado por los dos binomios anteriores y el binomio asociado al vector (1,1,−1,−1), de forma que el ideal tórico es 𝐼𝐴=⟨𝜕1𝜕3−𝜕2 2, 𝜕2𝜕4−𝜕2 3, 𝜕1𝜕2−𝜕3𝜕4⟩. 4.2 Relaciones A lo largo de este trabajo hemos ido recopilando cierta artillería sobre -módulos. Es el momento de ponerla en uso. Para ello, en la sección anterior enunciamos cuatro familias clásicas de -módulos. Veamos ahora que, bajo ciertas condiciones, podemos relacionarlos o expresarlos de distinta manera. Para ello vamos a seguir el siguiente cuadrado: 𝛾(𝛼, 𝛽) Horn(𝐵, 𝜅) 𝛽 𝐴𝐻(𝐵, 𝜅) Relación entre los módulos hipergeométricos y los módulos hipergeométricos de Horn La siguiente proposición, sacada de [CD, § 3], nos da la relación entre los sistemas hipergeométricos y los de Horn. La demostración son meras comprobaciones. 44 𝐷-módulos hipergeométricos Proposición 4.2.1.Sea 𝐵una matriz columna 𝐵= (𝑏1, ..., 𝑏𝑟+𝑠)𝑡de entradas enteras no nulas, donde 𝑟y𝑠son el número de entradas positivas y negativas respectivamente. Dado un vector 𝜅∈𝐤𝑟+𝑠de números complejos, se satisface que Horn(𝐵, 𝜅) = 𝛾(𝛼, 𝛽)donde 𝛼, 𝛽 y𝛾son los siguientes: 𝛼=(−𝜅𝑖−𝑙 𝑏𝑖 ∶𝑏𝑖>0, 𝑙 ∈ {0, ..., 𝑏𝑖− 1}), 𝛽=(𝜅𝑗−𝑙 −𝑏𝑗 ∶𝑏𝑗<0, 𝑙 ∈ {0, ..., −𝑏𝑗− 1}), 𝛾=∏ 𝑏𝑖>0 𝑏𝑏𝑖 𝑖∏ 𝑏𝑗<0 𝑏𝑏𝑗 𝑗. Demostración. Para probar que ambos módulos son el mismo, vamos a probar que sus respectivos sistemas están generados por el mismo operador salvo producto por una unidad. Por simplicidad, llamamos 𝐶a la matriz columna que se obtiene de 𝐵al considerar 𝑐1, ..., 𝑐𝑟como las 𝑟componentes positivas de 𝐵y𝑐𝑟+1, ..., 𝑐𝑟+𝑠como las 𝑠 componentes negativas de 𝐵. Primero, veamos la expresión del sistema hipergeométrico de Horn teniendo en cuenta las formas de las matrices 𝐵y𝐶. Este sistema está generado por 𝑞−𝑥𝑝 siendo 𝑞y𝑝los siguientes operadores: 𝑞=∏ 𝑏𝑖>0 𝑏𝑖−1 ∏ 𝑙=0 (𝑏𝑖𝜃+𝜅𝑖−𝑙) = 𝑟 ∏ 𝑖=1 𝑐𝑖−1 ∏ 𝑙=0 (𝑐𝑖𝜃+𝜅𝑖−𝑙), 𝑝=∏ 𝑏𝑖<0 −𝑏𝑖−1 ∏ 𝑙=0 (𝑏𝑖𝜃+𝜅𝑖−𝑙) = 𝑟+𝑠 ∏ 𝑗=𝑟+1 −𝑐𝑗−1 ∏ 𝑙=0 (𝑐𝑗𝜃+𝜅𝑖−𝑙). Por otro lado, observamos que el vector 𝛼tiene exactamente 𝑛=𝑐1+... +𝑐𝑟 componentes y el vector 𝛽posee 𝑚=𝑐𝑟+1 +... +𝑐𝑟+𝑠componentes, luego el sistema hipergeométrico es 1⋅⟨𝛾 𝑛 ∏ 𝑖=1 (𝜃−𝛼𝑖) − 𝑥 𝑚 ∏ 𝑗=1 (𝜃−𝛽𝑗)⟩,(4.1) donde llamamos ℎal generador de dicho sistema. 4. módulos clásicos 45 Podemos reescribir los dos productos de (4.1) usando la expresión de 𝛼y𝛽dada anteriormente, de esta manera 𝑛 ∏ 𝑖=1 (𝜃−𝛼𝑖) = 𝑟 ∏ 𝑖=1 𝑐𝑖−1 ∏ 𝑙=0 (𝜃+𝜅𝑖−𝑙 𝑐𝑖 ) = 𝑟 ∏ 𝑖=1 1 𝑐𝑐𝑖 𝑖 𝑐𝑖−1 ∏ 𝑙=0 (𝑐𝑖𝜃+𝜅𝑖−𝑙), 𝑚 ∏ 𝑗=1 (𝜃−𝛽𝑗) = 𝑟+𝑠 ∏ 𝑗=𝑟+1 −𝑐𝑗−1 ∏ 𝑙=0 (𝜃−𝜅𝑗−𝑙 −𝑐𝑗 ) = 𝑟+𝑠 ∏ 𝑗=𝑟+1 −𝑐𝑗−1 ∏ 𝑙=0 (𝑐𝑗𝜃+𝜅𝑗−𝑙 𝑐𝑗 ) = 𝑟+𝑠 ∏ 𝑗=𝑟+1 (1 𝑐𝑗)−𝑐𝑗−𝑐𝑗−1 ∏ 𝑙=0 (𝑐𝑗𝜃+𝜅𝑗−𝑙) = 𝑟+𝑠 ∏ 𝑗=𝑟+1 (𝑐𝑗)𝑐𝑗 −𝑐𝑗−1 ∏ 𝑙=0 (𝑐𝑗𝜃+𝜅𝑗−𝑙). Teniendo en cuenta que 𝛾=∏𝑟+𝑠 𝑖=1 𝑐𝑐𝑖 𝑖, usando las dos igualdades anteriores en (4.1) y asociando las productos adecuadamente en el sistema hipergeométrico, obtenemos que podemos expresar ℎcomo ℎ=(𝑟 ∏ 𝑖=1 𝑐𝑐𝑖 𝑖 𝑟+𝑠 ∏ 𝑗=𝑟+1 𝑐𝑐𝑗 𝑗)𝑟 ∏ 𝑖=1 1 𝑐𝑐𝑖 𝑖 𝑐𝑖−1 ∏ 𝑙=0 (𝑐𝑖𝜃+𝜅𝑖−𝑙) −𝑥 𝑟+𝑠 ∏ 𝑗=𝑟+1 𝑐𝑐𝑗 𝑗 −𝑐𝑗−1 ∏ 𝑙=0 (𝑐𝑗𝜃+𝜅𝑗−𝑙) = 𝑟+𝑠 ∏ 𝑗=𝑟+1 𝑐𝑐𝑗 𝑗 𝑟 ∏ 𝑖=1 𝑐𝑖−1 ∏ 𝑙=0 (𝑐𝑖𝜃+𝜅𝑖−𝑙) − 𝑥 𝑟+𝑠 ∏ 𝑗=𝑟+1 𝑐𝑐𝑗 𝑗 −𝑐𝑗−1 ∏ 𝑙=0 (𝑐𝑗𝜃+𝜅𝑗−𝑙) =𝑞 𝑟+𝑠 ∏ 𝑗=𝑟+1 𝑐𝑐𝑗 𝑗−𝑥 𝑟+𝑠 ∏ 𝑗=𝑟+1 𝑐𝑐𝑗 𝑗 −𝑐𝑗−1 ∏ 𝑙=0 (𝑐𝑗𝜃+𝜅𝑗−𝑙) = 𝑟+𝑠 ∏ 𝑗=𝑟+1 𝑐𝑐𝑗 𝑗(𝑞−𝑥 𝑟+𝑠 ∏ 𝑗=𝑟+1 −𝑐𝑗−1 ∏ 𝑙=0 (𝑐𝑗𝜃+𝜅𝑗−𝑙)) = 𝑟+𝑠 ∏ 𝑗=𝑟+1 𝑐𝑐𝑗 𝑗(𝑞−𝑥𝑝). De esta forma, como ∏𝑟+𝑠 𝑗=𝑟+1 𝑐𝑐𝑗 𝑗es un elemento invertible, concluimos que el sistema hipergeométrico está generado por 𝑞−𝑥𝑝, al igual que el sistema de Horn, por tanto 𝛾(𝛼, 𝛽) = Horn(𝐵, 𝜅). Ejemplo 4.2.2.Consideremos la matriz columna 𝐵= (1,−1,2)𝑡y el vector 𝜅= (𝜅1, 𝜅2, 𝜅3). El sistema de Horn asociado es 𝑞= (𝜃+𝜅1)(2𝜃+𝜅3)(2𝜃+𝜅3− 1), 46 𝐷-módulos hipergeométricos 𝑝= −𝜃+𝜅2, 1⋅⟨(𝜃+𝜅1)(2𝜃+𝜅3)(2𝜃+𝜅3− 1) − 𝑥(−𝜃+𝜅2)⟩. Por la proposición anterior, los 𝛼, 𝛽 y𝛾correspondientes son: 𝛼= (−𝜅1,−𝜅3 2,−𝜅3− 1 2), 𝛽=𝜅2, 𝛾= −4, y operando vemos que el generador ℎdel sistema hipergeométrico es ℎ=𝛾 3 ∏ 𝑖=1 (𝜃−𝛼𝑖) − 𝑥(𝜃−𝛽) = −(𝜃+𝜅1)(2𝜃+𝜅3)(2𝜃+𝜅3− 1) + 𝑥(−𝜃+𝜅2). Observación 4.2.3.Gracias a 4.1.4, si 𝑏1= 1 y𝜅1= 0 y nos restringimos a 𝐤∗, se tiene que 𝛾(𝛼, 𝛽)|𝐤∗= nHorn(𝐵, 𝜅)|𝐤∗. Relación entre los módulos de base reticular y los hipergeométricos de Horn Siguiendo el artículo de [BMW20], planteamos el siguiente escenario: sean 𝐵y𝜅 como en la definición 4.1.3 y asumamos que las primeras 𝑚filas de 𝐵tienen rango 𝑚. Estos 𝐵y𝜅definen así un módulo hipergeométrico de Horn (y su normalizado) Horn(𝐵, 𝜅)ynHorn(𝐵, 𝜅). Consideremos una matriz 𝐴como en la definición 4.1.6 de forma que 𝐻(𝐵, 𝜅)es un -módulo de base reticular. Comencemos con un resultado técnico que se obtiene usando álgebra lineal: Lema 4.2.4.En las condiciones anteriores, las últimas 𝑑columnas de 𝐴tienen rango 𝑑. Demostración. Para probar esta afirmación recordemos que 𝐴es una matriz 𝑑×𝑛de rango 𝑑,𝐵es 𝑛×𝑚de rango 𝑚y que 𝐵es una dual de Gale de 𝐴, luego 𝐴𝐵 = 0. Razonemos por reducción al absurdo. Supogamos que la columna 𝑖-ésima de 𝐴, con 𝑖∈ {1, ..., 𝑚}(es decir, una columna que no se encuentra entre las 𝑑últimas), es la primera columna de 𝐴en formar parte de una submatriz de rango 𝑑. Esta submatriz es invertible, llamemos 𝐶a su inversa. De esta forma, 𝐶𝐴 será una matriz 𝑑×𝑛tal que 4. módulos clásicos 47 en su 𝑖-ésima columna encontramos el vector 𝑒1y en otras 𝑑− 1 columnas están los restantes vectores 𝑒𝑗, con 𝑗∈ {2, ..., 𝑑}. Si llamamos 𝜆= (𝜆1, ..., 𝜆𝑛)a la primera fila de 𝐶𝐴, sabemos que 𝜆𝑖= 1 y que 𝜆𝑘= 0 para algunos 𝑘mayores que 𝑖. Como 𝐴𝐵 = 0, 𝐶𝐴𝐵 = 0 y su primera fila se puede expresar, elemento a elemento, como 𝜆⋅𝑏𝑗= 0, siendo 𝑏𝑗la columna 𝑗-ésima de 𝐵, con 𝑗∈ {1, ..., 𝑚}. Ahora, teniendo en cuenta la forma del vector 𝜆y las dimensiones de 𝐵podemos reescribir la igualdad anterior de forma vectorial respecto de las primeras 𝑚filas de 𝐵, es decir, ∑𝑚 𝑖=1 𝜆𝑖𝑏𝑖= 0, siendo 𝑏𝑖la fila 𝑖-ésima de 𝐵. Pero esto contradice que 𝐵tenga rango 𝑚ya que sus primeras 𝑚filas son linealmente independientes. Sea 𝐼el sistema de base reticular, es decir, 𝐼=𝑛⋅⟨𝐼(𝐵), 𝐸 −𝐴𝜅⟩. Entonces: Lema 4.2.5.Si la matriz formada por las primeras 𝑚filas de 𝐵tiene rango 𝑚, entonces la 𝑏-función de 𝐼para la restricción al subespacio afín 𝑥𝑖= 1 con 𝑖∈ {𝑚+ 1, 𝑚 + 2, ..., 𝑛}divide a 𝑠. Demostración. En el capítulo anterior aprendimos a calcular un caso particular de 𝑏funciones cuando la restricción era al espacio afín 𝑥𝑖= 0 para 𝑖∈ {𝑚+ 1, 𝑚 + 2..., 𝑛}, por ello, haremos más adelante el cambio de variables 𝑥𝑖→ 𝑥𝑖+ 1. Llamaremos 𝐽 al 𝑛-ideal que se obtiene de 𝐼al realizar dicho cambio. Sea 𝑤el vector de pesos 𝑤= (0𝑚,1𝑑) ∈ ℝ𝑛. Computemos la 𝑏-función asociada a 𝐽. Esta es el generador del ideal in(−𝑤,𝑤)(𝐽)∩ 𝐤[𝑠], con 𝑠=𝜃𝑚+1 +... +𝜃𝑛. Gracias al lema anterior, la submatriz de 𝐴formada por las últimas 𝑑=𝑛−𝑚columnas tiene rango 𝑑. Por tanto, podemos encontrar vectores 𝜈(𝑚+1), 𝜈(𝑚+2), ..., 𝜈(𝑛)∈𝐤𝑑tales que (𝜈(𝑗)𝐴)𝑘=𝛿𝑗,𝑘 para 𝑚+1 ≤𝑗, 𝑘 ≤𝑛. Desarrollando un poco la igualdad anterior obtenemos que 𝑑 ∑ 𝑖=1 𝜈(𝑗) 𝑖𝑎𝑖,𝑘 = (𝜈(𝑗)𝐴)𝑘=𝛿𝑗,𝑘 (4.2) para los 𝑗y𝑘correspondientes. Consideremos el siguiente elemento de 𝐼para 𝑗∈ {𝑚+ 1, ..., 𝑛}con 𝛽=𝐴𝜅 ∶ 𝑑 ∑ 𝑖=1 𝜈(𝑗) 𝑖𝐸𝑖−𝜈(𝑗)𝛽. Reemplazando 𝐸𝑖=∑𝑛 𝑘=1 𝑎𝑖,𝑘𝜃𝑘se obtiene 𝑑 ∑ 𝑖=1 𝜈(𝑗) 𝑖𝐸𝑖−𝜈(𝑗)𝛽= 𝑑 ∑ 𝑖=1 𝑛 ∑ 𝑘=1 𝜈(𝑗) 𝑖𝑎𝑖,𝑘𝜃𝑘−𝜈(𝑗)𝛽, 48 𝐷-módulos hipergeométricos y reordenando los sumatorios y usando la igualdad izquierda de (4.2) llegamos a 𝑛 ∑ 𝑘=1 𝑑 ∑ 𝑖=1 𝜈(𝑗) 𝑖𝑎𝑖,𝑘𝜃𝑘−𝜈(𝑗)𝛽= 𝑛 ∑ 𝑘=1 (𝜈(𝑗)𝐴)𝑘𝜃𝑘−𝜈(𝑗)𝛽, donde gracias a la igualdad derecha de la misma fórmula obtenemos 𝑚 ∑ 𝑘=1 (𝜈(𝑗)𝐴)𝑘𝜃𝑘+𝜃𝑗−𝜈(𝑗)𝛽∈𝑛⋅⟨𝐸−𝛽⟩.(4.3) En este punto realizamos el cambio de variables mencionado anteriormente, 𝑥𝑖→ 𝑥𝑖+ 1 para 𝑖∈ {𝑚+ 1, ..., 𝑛}, resultando, 𝑚 ∑ 𝑘=1 (𝜈(𝑗)𝐴)𝑘𝜃𝑘+𝜃𝑗+𝜕𝑗−𝜈(𝑗)𝛽∈𝑛⋅⟨𝐸−𝛽⟩, y ahora multiplicamos (a la izquierda) por 𝑥𝑗: 𝑚 ∑ 𝑘=1 (𝜈(𝑗)𝐴)𝑘𝑥𝑗𝜃𝑘+𝑥2 𝑗𝜕𝑗+𝜃𝑗−𝜈(𝑗)𝛽𝑥𝑗∈𝐽. Si tomamos la parte inicial en esta expresión respecto al vector (−𝑤, 𝑤)se tiene que 𝜃𝑗∈ in(−𝑤,𝑤)(𝐽)debido a que 𝑤= (0𝑚,1𝑑), por tanto, los términos 𝑥𝑗𝜃𝑘con 𝑘∈ {1, ..., 𝑚}tienen grado negativo respecto a (−𝑤, 𝑤)y, de los restantes, 𝜃𝑗es el de mayor grado, para 𝑗∈ {𝑚+ 1, ..., 𝑛}. De esta forma 𝑠=𝜃𝑚+1 +... +𝜃𝑛∈ in(−𝑤,𝑤)(𝐽), por tanto 𝑠∈ in(−𝑤,𝑤)(𝐽) ∩ 𝐤[𝑠]y la 𝑏-función de 𝐼asociada al vector de pesos (0, ..., 0,1, ..., 1) ∈ ℝ𝑛divide a 𝑠. Corolario 4.2.6.Sea 𝑟∗la restricción al subespacio afín dado por 𝑥𝑚+1 =... =𝑥𝑛= 1 y 𝐻(𝐵, 𝜅)el 𝑛-módulo de base reticular dado por la matriz 𝐵y el vector 𝜅anteriores. Entonces, 𝑟∗(𝐻(𝐵, 𝜅)) es un 𝑚-módulo cíclico 𝑚∕𝐿, para cierto ideal 𝐿 ⊂ 𝑚, o es nulo. Demostración. Llamemos, como antes, 𝐼al sistema de base reticular 𝑛⋅⟨𝐼(𝐵), 𝐸 − 𝐴𝜅⟩. Por lo anterior sabemos que la 𝑏-función de 𝐼divide a 𝑠, luego o es 1, no tiene raíces y la restricción es nula por el corolario 3.3.13, o es 𝑠. En este caso, su única raíz es el cero. Utilicemos de nuevo el isomorfismo dado por el teorema 3.3.12. Consideremos 𝑠0= 0. De esta forma, 𝐹𝑠0=𝐤[𝑥1, ..., 𝑥𝑛]⟨𝜕1, ..., 𝜕𝑚⟩. 4. módulos clásicos 49 Si miramos ahora en el cociente 𝐹𝑠0/(∑𝑟 𝑖=1 𝐹𝑠0−𝑚𝑖𝑔𝑖+∑𝑛 𝑗=𝑚+1(𝑥𝑗− 1)𝐹𝑠0+𝑤𝑗), los términos del sumatorio (recordamos que estamos tomando la restricción al subespacio dado por 𝑥𝑚+1 =... =𝑥𝑛= 1) de la derecha son, por el corolario 3.3.11, 𝑛 ∑ 𝑗=𝑚+1 (𝑥𝑗− 1) ⋅𝐹𝑠0+𝑤𝑗= 𝑛 ∑ 𝑗=𝑚+1 (𝑥𝑗− 1) ⋅𝑛∩𝐹𝑠0. De manera análoga, el sumatorio de la izquierda es 𝑟 ∑ 𝑖=1 𝐹𝑠0−𝑚𝑖𝑔𝑖=(𝑟 ∑ 𝑖=1 𝑛⋅𝑔𝑖)∩𝐹𝑠0=𝐼∩𝐹𝑠0. Recapitulando, tenemos que 𝑟∗(𝐻(𝐵, 𝜅)) ≅𝑚 𝐹𝑠0 𝐼∩𝐹𝑠0+∑𝑛 𝑗=𝑚+1(𝑥𝑗− 1) ⋅𝑛∩𝐹𝑠0 , y aplicando el tercer teorema de isomorfía obtenemos que la restricción es isomorfa como 𝑚-módulo a 𝐹𝑠0 ∑𝑛 𝑗=𝑚+1(𝑥𝑗− 1) ⋅𝑛∩𝐹𝑠0/𝐼∩𝐹𝑠0+ (∑𝑛 𝑗=𝑚+1(𝑥𝑗− 1) ⋅𝑛∩𝐹𝑠0) ∑𝑛 𝑗=𝑚+1(𝑥𝑗− 1) ⋅𝑛∩𝐹𝑠0 . Finalmente, observamos que el 𝑚-módulo definido por el cociente de la izquierda es isomorfo a 𝑚mientras que el cociente de la derecha es isomorfo como 𝑚módulo por el mismo isomorfismo a 𝐿, donde 𝐿es el resultado de hacer las variables 𝑥𝑚+1, ..., 𝑥𝑛iguales a 1en 𝐼∩𝐹𝑠0. Por tanto, 𝑟∗(𝐻(𝐵, 𝜅)) ≅ 𝑚∕𝐿. En este momento es importante hacer una aclaración. La referencia en la que está basada esta sección, [BMW20], no especifica por qué la restricción no es nula, por tan- to asumiremos que la 𝑏-función asociada al sistema de base reticular es 𝑠. En [SST00, § 5.1] se puede encontrar un algoritmo para el cálculo de esta restricción. De esta manera, en las condiciones anteriores: 56 𝐷-módulos hipergeométricos Ejemplo 4.2.9.Veamos la forma normal de la 𝑆-pareja de 𝐸1−𝛽1y𝐸2−𝛽2presentes en el ejemplo anterior. Sea ≺un orden de eliminación de la forma 𝜕2≻ 𝜕3≻ 𝑥2≻ 𝑥3≻ 𝜕1≻ 𝑥1. Recordemos que 𝑚= 1. Escribiremos =≺para expresar que hemos ordenado los términos de la izquierda de la igualdad a la derecha de esta respecto del orden ≺. Así: 𝐸1−𝛽1=𝜃1+𝜃2−𝜅2=≺𝜃2+𝜃1−𝜅2, 𝐸2−𝛽2= −2𝜃1+𝜃3−𝜅3=≺𝜃3− 2𝜃1−𝜅3, donde su 𝑆-pareja es sp(𝐸1−𝛽1, 𝐸2−𝛽2) =≺2𝜃1𝜃2+𝜅3𝜃2+𝜃1𝜃3−𝜅2𝜃3=𝑟. Calculemos la forma normal respecto de 𝐺= {𝐸1−𝛽1, 𝐸2−𝛽2}. Como el monomio inicial de 𝑟respecto a ≺. que es 𝑥1𝑥2𝜉1𝜉2, es divisible por el monomio inicial de 𝐸1−𝛽1 calculamos la nueva 𝑆-pareja sp(𝑟, 𝐸1−𝛽1) = 𝑟− 2𝜃1(𝐸1−𝛽1) = 2𝜃1𝜃2+𝜅3𝜃2+𝜃1𝜃3−𝜅2𝜃3− 2𝜃1𝜃2− 2𝜃2 1+ 2𝜅2𝜃1 =≺𝜅3𝜃2+𝜃1𝜃3−𝜅2𝜃3− 2𝜃2 1+ 2𝜅2𝜃1=𝑟2. Repetimos el proceso para 𝑟2, sp(𝑟2, 𝐸1−𝛽1) = 𝑟2−𝜅3(𝐸1−𝛽1) =𝜅3𝜃2+𝜃1𝜃3−𝜅2𝜃3− 2𝜃2 1+ 2𝜅2𝜃1−𝜅3𝜃2−𝜅3𝜃1+𝜅3𝜅2 =≺𝜃1𝜃3−𝜅2𝜃3− 2𝜃2 1+ (2𝜅2−𝜅3)𝜃1+𝜅2𝜅3=𝑟3. Observemos que ya hemos acabado con 𝜃2. Pasemos a la variable 𝜃3, sp(𝑟3, 𝐸2−𝛽2) = 𝑟3−𝜃1(𝐸2−𝛽2) =𝜃1𝜃3−𝜅2𝜃3− 2𝜃2 1+ (2𝜅2−𝜅3)𝜃1+𝜅2𝜅3−𝜃1𝜃3+ 2𝜃2 1+𝜅3𝜃1 =≺−𝜅2𝜃3+ 2𝜅2𝜃1+𝜅2𝜅3=𝑟4, donde podemos deducir a simple vista que 𝑟4= −𝜅2(𝐸2−𝛽2)y concluimos que la forma normal de la 𝑆-pareja respecto de 𝐺y del orden ≺es nula. 4. módulos clásicos 57 Relación entre los módulos de base reticular y los módulos hipergeométricos GKZ La relación que se enuncia en este apartado, tal y como se presenta aquí, es una simple observación que podríamos haber realizado directamente en la primera sección: Lema 4.2.10.Para 𝑚= 1, si los elementos 𝑏𝑖,1son coprimos se tiene que 𝐼(𝐵) = 𝐼𝐴 y por tanto 𝐻(𝐵, 𝜅) = 𝛽 𝐴. Demostración. La segunda implicación es inmediata si asumimos la primera. Como 𝑚= 1, la matriz 𝐴es una matriz casi cuadrada, (𝑛− 1) × 𝑛, y la matriz 𝐵es un vector columna. Recordemos quiénes son los ideales 𝐼(𝐵)e𝐼𝐴: 𝐼(𝐵) = ⟨𝜕𝐵+−𝜕𝐵−⟩, 𝐼𝐴=⟨𝜕𝑢−𝜕𝑣∶𝐴(𝑢−𝑣)=0, 𝑢, 𝑣 ∈ℕ𝑛⟩. 𝐵es una dual de Gale de 𝐴, es decir, genera el espacio nulo de 𝐴en ℚy por ende 𝐴𝐵 = 0. Como 𝑚= 1,𝐼(𝐵)está generado por un único elemento, 𝑏1=𝐵. Sean 𝑢y 𝑣dos vectores tales que 𝑢𝑘=𝑏𝑘si 𝑏𝑘>0,𝑣𝑘=𝑏𝑘si 𝑏𝑘<0y son cero en los casos contrarios. Se satisface trivialmente que 𝐴(𝑢−𝑣)=0y por tanto 𝐼(𝐵)⊆ 𝐼𝐴. Para la otra contención, tomemos un elemento 𝑤de nullℤ(𝐴). Por hipótesis, este se puede expresar como 𝑘⋅𝐵, donde 𝑘∈ℚ. Sabemos que 𝑤es un vector de números enteros y como los elementos de 𝐵son enteros coprimos, 𝑘también es un entero. Concluimos pues que 𝑤∈𝐼(𝐵). Observación 4.2.11.En realidad, pedir que 𝑚= 1 es una simplificación de un caso más genérico y que escapa del paraguas de este trabajo. La relación que se enuncia en esta sección es válida cuando el ideal 𝐼(𝐵)es intersección completa, cosa que se satisface si tomamos 𝑚= 1. Esta relación se puede encontrar enunciada en [CD, Remark 2.9]. En el ejemplo 4.1.9 podemos observar que los ideales 𝐼𝐴y𝐼(𝐵)coinciden ya que 𝐼(𝐵)es intersección completa. 58 𝐷-módulos hipergeométricos Relación entre los módulos hipergeométricos GKZ y los módulos hipergeométricos Concluimos con la última relación que completa el diagrama presentado al final de la sección 4.1. El siguiente resultado está inspirado en [CDS19, Corollary 2.9]: Corolario 4.2.12.Sean 𝛼∈𝐤𝑛y𝛽∈𝐤𝑚y sea 𝑟∗la restricción al subespacio afín 𝑥2=... =𝑥𝑚+𝑛= 1. Si 𝛼1= 0, la restricción del 𝑛+𝑚-módulo GKZ dado por la matriz 𝐴=(1𝑡 𝑚0𝑚×(𝑛−1) 𝐼𝑑𝑚 1𝑡 𝑛−1 −𝐼𝑑𝑛−1 0(𝑛−1)×𝑚) y el vector columna 𝛽′= (𝛽1, ..., 𝛽𝑚, 𝛼2, ..., 𝛼𝑛)𝑡a𝐤∗es igual a la restricción a 𝐤∗del 1-módulo hipergeométrico 𝛾(𝛼, 𝛽)|𝐤∗, con 𝛾= (−1)𝑚. Es decir, 𝛾(𝛼, 𝛽)|𝐤∗=𝑟∗(𝛽′ 𝐴)|𝐤∗. Demostración. En esta demostración nos ayudaremos del resto de las relaciones que hemos estudiado a lo largo de este capítulo. Nuestro objetivo es partir de un módulo hipergeométrico y llegar a uno GKZ. Empezamos usando la proposición 4.2.1 para expresar nuestro módulo hipergeométrico como uno de Horn. En este caso, se puede comprobar que si consideramos la matriz columna dada por 𝐵= (1𝑛,−1𝑚)𝑡y𝜅el vector (0,−𝛼2, ..., −𝛼𝑛, 𝛽1, ..., 𝛽𝑚),los vectores 𝛼y𝛽son los deseados. Por otro lado, como la primera fila de 𝐵es una matriz identidad (recordemos que 𝑚= 1) y 𝜅1= 0 estamos en las hipótesis de la observación 4.1.4. Si nos restringimos a𝐤∗el -módulo de Horn y su normalizado coinciden. Tenemos que 𝛾(𝛼, 𝛽)|𝐤∗= nHorn(𝐵, 𝜅)|𝐤∗. Utilizando ahora el teorema 4.2.7 expresamos este último módulo como la restricción del módulo de base reticular 𝐻(𝐵, 𝜅), y gracias al lema 4.2.10 podemos reemplazar este último módulo por uno de tipo GKZ tomando la matriz 𝐴del enunciado y el 𝛽′dado. Se comprueba de forma sencilla que, en efecto, la matriz 𝐵es una dual de Gale de 𝐴y que 𝛽′=𝐴𝜅. 4. módulos clásicos 59 Ejemplo 4.2.13.Consideremos el 1-módulo hipergeométrico 𝛾(𝛼, 𝛽)dado por 𝛾= −1, 𝛼= (0,−𝜅3∕2,−(𝜅3− 1)∕2) y𝛽=𝜅2cuyo sistema asociado es 1⋅⟨𝜃1(𝜃1+𝜅3 2)(𝜃1+𝜅3− 1 2) − 𝑥1(−𝜃1+𝜅2)⟩. Siguiendo el corolario, 𝑛= 3 es el número de componentes de 𝛼y𝑚= 1 es el número de componentes de 𝛽. Tomemos la matriz 𝐴=⎛⎜⎜⎝ 1 0 0 1 1 −1 0 0 1 0 −1 0⎞⎟⎟⎠ , y𝛽′= (𝜅2,−𝜅3∕2,−(𝜅3− 1)∕2)𝑡. De esta manera, el sistema hipergeométrico GKZ queda definido por los operadores de Euler 𝐸1=𝜃1+𝜃4−𝜅2, 𝐸2=𝜃1−𝜃2+𝜅3∕2, 𝐸3=𝜃1−𝜃3+ (𝜅3− 1)∕2, y por el ideal tórico 𝐼𝐴. Como ya hemos visto, calcular el ideal tórico puede ser complicado, por ello, ya que 𝑚= 1 podemos usar la subsección anterior y dar un rodeo siguiendo la prueba anterior en orden inverso. Consideremos la matriz 𝐵(que es una dual de Gale de 𝐴) y el vector 𝜅 que se nos indica: 𝐵= (1,1,1,−1)𝑡y𝜅 = (0, 𝜅3∕2,(𝜅3−1)∕2, 𝜅2).Tenemos que 𝐼𝐴=𝐼(𝐵) = ⟨𝜕1𝜕2𝜕3−𝜕4⟩. Así, el 4-módulo hipergeométrico GKZ 𝛽′ 𝐴es igual al 4-módulo hipergeométrico de base reticular 𝐻(𝐵, 𝜅). Por el teorema 4.2.7, la restricción 𝑟∗de dicho módulo al espacio 𝑥2=𝑥3= 1 es el 1-módulo nHorn(𝐵, 𝜅)que, gracias a la proposición 4.2.1 y, si nos restringimos a 𝐤∗, podemos expresar como un 1-módulo hipergeométrico 𝐻𝛾 (𝛼,  𝛽)donde 𝛼 = (− 𝜅1,−𝜅2,−𝜅3) = (0,−𝜅3∕2,−(𝜅3− 1)∕2),  𝛽=𝜅4=𝜅2, 𝛾 = −1. Observación 4.2.14.Realmente se podría llegar a tomar 𝛾≠(−1)𝑚y𝛼1≠0, pero para ello habría que emplear ciertos funtores que escapan del enfoque de este trabajo. En [Kat90, § 3.1] se puede encontrar dicha construcción. A Apéndice En este apéndice se incluyen dos secciones que, si bien contienen resultados y conceptos fundamentales en este trabajo, utilizan técnicas que son más propias de otras ramas de la matemática. A.1 Abanico de Gröbner reducido En el tercer capítulo aparece por primera vez el concepto de vector genérico. Dar esta definición con todos sus detalles nos ocuparía más de un capítulo de este trabajo, por ello, haremos un esbozo de lo que es el abanico de Gröbner (pequeño) de un -ideal. Para ver este desarrollo con más detalle se puede consultar [SST00, § 2.1], o [MR88]. Repasemos algunas nociones de geometría convexa. Diremos que un poliedro en ℝ𝑛es la intersección finita de semi-espacios cerrados de ℝ𝑛. Un poliedro 𝐶dado por una matriz 𝐴con 𝑛columnas de modo que 𝐶= {𝑥∈ ℝ𝑛|𝐴⋅𝑥≥0} se llamará cono poliedral. Gracias al teorema de Minkowski-Weyl, este cono está dado por un número finito de vectores, que llamaremos generadores, de forma que podemos expresar 𝐶como 𝐶= {𝜆1𝑐1+... +𝜆𝑟𝑐𝑟|𝜆1, ..., 𝜆𝑟∈ℝ𝑛 +}. Dado un vector 𝑤∈ℝ𝑛, definimos la cara de 𝑤en 𝐶como cara𝑤(𝑃)={𝑢∈𝑃|𝑤⋅𝑢≥𝑤⋅𝑣para todo 𝑣∈𝑃} y a los conjuntos de esta forma los llamamos caras de 𝑃. Observamos que un poliedro tiene un número finito de caras y que estas a su vez también son poliedros. 62 𝐷-módulos hipergeométricos Definición A.1.1. Dada una colección Δde conos poliedrales, diremos que forman un abanico poliedral si satisfacen que 1. Si 𝑃∈ Δ y𝐹es una cara de 𝑃, entonces 𝐹∈ Δ. 2. Si 𝑃1, 𝑃2∈ Δ, entonces 𝑃1∩𝑃2es una cara de 𝑃1y de 𝑃2. Llamaremos a la unión de todos los conos del abanico soporte del abanico Δ. Esto acaba nuestro breve repaso de geometría convexa. Volvamos al álgebra de Weyl. Definición A.1.2. Dado un -ideal 𝐼, definimos el abanico de Gröbner del ideal 𝐼como el abanico poliedral en ℝ2𝑛con soporte en los vectores de peso de ℝ2𝑛tales que in(𝑢,𝑣)(𝐼)⊆gr(𝑢,𝑣)()es constante a medida que varía (𝑢, 𝑣)a lo largo de cualquier cono abierto. Esta definición, dada por Sattelberger en sus notas [Sat], es una simplificación bastante grande del concepto del abanico de Gröbner para un -ideal, de nuevo, otras referencias más extensas donde aprender resultados sobre estos objetos son [SST00, § 2.1] y [ACJG01]. Definición A.1.3. Llamamos abanico de Gröbner pequeño de un -ideal 𝐼al abanico de Gröbner de 𝐼restringido al conjunto de vectores de pesos {(𝑢, 𝑣) ∈ ℝ2𝑛|𝑢+ 𝑣= 0} y decimos que un vector de pesos 𝑤es un vector genérico para 𝐼si está en un cono abierto del abanico de Gröbner reducido de 𝐼. Lema A.1.4.Sea 𝐼un -ideal y sean (𝑢, 𝑣),(𝑢′, 𝑣′) ∈ ℝ2𝑛vectores de pesos. Para cualquier 𝜀 > 0lo suficientemente pequeño se tiene que in(𝑢,𝑣)(in(𝑢′,𝑣′)(𝐼)) = in(𝑢′,𝑣′)+𝜀(𝑢,𝑣)(𝐼). Demostración. Ver [SST00, Lemma 2.1.6]. Proposición A.1.5.Para cualquier orden de términos ≺y para cualquier -ideal 𝐼 ⊂ , existe un vector de pesos (𝑢, 𝑣)positivo (todas sus componentes son positivas) tal que in(𝑢,𝑣)(𝐼) = in≺(𝐼). Demostración. La demostración de este hecho usa herramientas de programación lineal y análisis convexo. En [SST00, Proposition 2.1.5] podemos encontrar este resultado enunciado y cómo podría demostrarse. Concluimos la sección dando el siguiente teorema cuya demostración se puede encontrar en [SST00, páginas 65 y 66]: a. apéndice 63 Teorema A.1.6. Sea (𝑢, 𝑣)un vector de pesos no negativo con 𝑢+𝑣 > 0. Un -ideal 𝐼es holónomo si y solo si dim in(𝑢,𝑣)(𝐼) = 𝑛. A.2 Semicontinuidad del rango holónomo En esta breve sección probaremos que, dados un -ideal holónomo 𝐼y un vector 𝑤∈ℝ𝑛, el -ideal in(−𝑤,𝑤)(𝐼)es también holónomo. Para ello, veamos dos lemas previos. Lema A.2.1.Sean 𝐽un ideal de 𝐤[𝑥, 𝜉]y(𝑢, 𝑣)un vector de ℝ2𝑛. Entonces: 1. dim(in(𝑢,𝑣)(𝐽)) ≤dim(𝐽). 2. Si (𝑢, 𝑣)es un vector no negativo, se cumple que dim(in(𝑢,𝑣)(𝐽)) = dim(𝐽). Demostración. En este trabajo la dimensión de un ideal hasta ahora la dimensión del conjunto algebraico que define. Una caracterización equivalente es la siguiente: sea un conjunto de monomios 𝑥𝑎𝜉𝑏que forman una base del 𝐤-espacio vectorial 𝐤[𝑥, 𝜉]∕𝐽y sea ≤𝑑el subconjunto finito de monomios en de grado a lo sumo 𝑑. Consideremos la función 𝐻∶ℕ→ℕque envía 𝑑∈ℕen #≤𝑑. Para 𝑑suficientemente grande, esta función es un polinomio y su grado es dim(𝐽). Cabe observar que la función 𝐻depende de , no obstante, y como era de esperar, su orden de crecimiento asintótico es independiente de . Para más detalles, ver [CLO15, § 9.3]. Sea ≺un orden de términos en 𝐤[𝑥, 𝜉]y sea ≺(𝑢,𝑣)el orden multiplicativo monomial asociado en 𝐤[𝑥, 𝜉]definido como hicimos en (2.1): 𝑥𝑎𝜉𝑏≺(𝑢,𝑣)𝑥𝑎′𝜉𝑏′⇐⇒ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝑎𝑢 +𝑏𝑣 < 𝑎′𝑢+𝑏′𝑣 o 𝑎𝑢 +𝑏𝑣 =𝑎′𝑢+𝑏′𝑣y𝑥𝑎𝜉𝑏≺ 𝑥𝑎′𝜉𝑏′. Recordemos que este orden es de términos en 𝐤[𝑥, 𝜉]si y solo si el vector (𝑢, 𝑣)es no negativo. Sea ′el conjunto formado por todos los monomios de 𝐤[𝑥, 𝜉]que no están contenidos en el ideal in≺(𝑢,𝑣)(𝐽). Veamos que es una 𝐤-base de 𝐤[𝑥, 𝜉]∕in(𝑢,𝑣)(𝐽)cuando ≺ es un orden de términos: 1. Probemos que ′es un sistema de generadores. Sea 𝑞= [𝑚]un elemento cualquiera de 𝐤[𝑥, 𝜉]∕in(𝑢,𝑣)(𝐽). Si su monomio líder respecto a ≺no está en 64 𝐷-módulos hipergeométricos ′entonces existe un elemento 𝑝∈𝐽tal que in≺(𝑚) = in≺(𝑢,𝑣)(𝑝)y por tanto 𝑞= [𝑚−𝑝]. Como ≺es un orden de términos, no podemos repetir este proceso indefinidamente, luego tras un número finito de pasos encontramos una representación de 𝑞como combinación lineal de elementos de ′. 2. Para la independencia lineal razonemos por reducción al absurdo. Supongamos que existen 𝑎1, ..., 𝑎𝑟∈𝐤no nulos tales que 𝑎1𝑚1+... +𝑎𝑟𝑚𝑟= 0 con 𝑚1, ..., 𝑚𝑟 monomios de ′.Por construcción, la clase de 𝑎1𝑚1+...+𝑎𝑟𝑚𝑟está en in(𝑢,𝑣)(𝐽), lo que significa que existe un elemento 𝑝∈𝐽tal que in(𝑢,𝑣)(𝑝) = 𝑎1𝑚1+...+𝑎𝑟𝑚𝑟. Si tomamos parte inicial respecto a ≺concluimos que la parte inicial para ≺(𝑢,𝑣) de 𝑝pertenece a ′, pero eso solo es posible si es nula. Por tanto, todos los 𝑎𝑖 son nulos. De esta manera, ′es una base del 𝐤-espacio vectorial 𝐤[𝑥, 𝜉]∕in(𝑢,𝑣)𝐽. Por la caracterización anterior, dim(in(𝑢,𝑣)(𝐽)) es el grado del polinomio 𝐻′(𝑑), para 𝑑suficientemente grande. Por otro lado, se prueba de manera similar que el conjunto ′es 𝐤-linealmente independiente en 𝐤[𝑥, 𝜉]∕𝐽para cualquier vector de pesos (𝑢, 𝑣)y es una 𝐤-base para dicho espacio cuando ≺(𝑢,𝑣)es un orden de términos. Por tanto, por la caracterización de la dimensión de Krull, dim(in(𝑢,𝑣)(𝐽)) ≤dim(𝐽)y, cuando (𝑢, 𝑣)es no negativo, el orden ≺(𝑢,𝑣)es de términos y se alcanza la igualdad. En el siguiente resultado usaremos la siguiente notación, siendo 𝐽∈𝐤[𝑥, 𝜉]un ideal. Sea 𝜌(𝐽) = dim𝐤(𝑥)(𝐤(𝑥)[𝜉]/𝐤(𝑥)[𝜉]⋅𝐽).(A.1) Observamos que si 𝐼es un -ideal, rg(𝐼) = 𝜌(in(0,𝑒)(𝐼)) <∞. Lema A.2.2.Sean 𝐽un ideal de 𝐤[𝑥, 𝜉]y(𝑢, 𝑣)un vector de ℝ2𝑛. 1. Si dim(𝐽)≤𝑛entonces 𝜌(in(𝑢,𝑣)(𝐽)) ≤𝜌(𝐽)<∞. 2. Si dim(𝐽)≤𝑛y𝑣es un vector positivo en ℝ𝑛,𝜌(in(0,𝑣))(𝐽)) = 𝜌(𝐽). Demostración. Usamos la caracterización anterior de la dimensión de Krull. Sea  un conjunto de monomios 𝑥𝛼𝜉𝛽linealmente independientes en 𝐤[𝑥, 𝜉]∕𝐽, y sea el conjunto de los monomios 𝜉𝛽∈𝐤[𝜉]tales que 𝑥𝛼𝜉𝛽∈para todo 𝛼∈ℕ𝑛. Gracias a esta última hipótesis y a que es linealmente independiente, podemos deducir que es linealmente independiente en 𝐤(𝑥)[𝜉]∕(𝐤(𝑥)[𝜉]⋅𝐽). Sin embargo, si es una 𝐤-base de 𝐤[𝑥, 𝜉]∕𝐽,no tiene porque ser una 𝐤(𝑥)-base de 𝐤(𝑥)[𝜉]∕(𝐤(𝑥)[𝜉]⋅𝐽). Sea ≺un orden de eliminación (ver ejemplo 2.2.3) de la forma 𝜉 ≻ 𝑥 en 𝐤[𝑥, 𝜉] y supongamos que es el conjunto de los monomios que no están en in≺(𝐽). De a. apéndice 65 nuevo, como en la prueba del anterior lema, es una base del 𝐤-espacio vectorial 𝐤[𝑥, 𝜉]∕𝐽. Vamos a probar que el conjunto asociado a es también una base del 𝐤(𝑥)-espacio vectorial 𝐤(𝑥)[𝜉]∕(𝐤(𝑥)[𝜉]⋅𝐽). La independencia lineal ya la tratamos en el párrafo anterior. Veamos que genera 𝐤(𝑥)[𝜉]∕(𝐤(𝑥)[𝜉]⋅𝐽)como 𝐤(𝑥)-espacio vectorial. Para ello, consideremos un monomio 𝜉𝛽que no esté en , por tanto, existe un 𝛼∈ℕ𝑛tal que 𝑥𝛼𝜉𝛽∉. Ahora, 𝑥𝛼𝜉𝛽módulo 𝐽es una suma de monomios menores respecto a ≺ de la forma 𝑥𝛾𝜉𝛿∈(si 𝑥𝛾𝜉𝛿no estuviera en , existiría un 𝑝∈𝐽de manera que in≺(𝑝) = 𝑥𝛾𝜉𝛿; módulo 𝐽la clase de 𝑥𝛼𝜉𝛽es la misma al restar 𝑝). Así, 𝜉𝛽se puede expresar como una 𝐤(𝑥)-combinación lineal de monomios 𝜉𝛿que satisfacen 𝜉𝛿≺ 𝜉𝛽 módulo 𝐤(𝑥)[𝜉](𝐽). Para los 𝜉𝛿∉que aparecen en este desarrollo, repetimos los pasos anteriores. Como el orden ≺es de términos, este proceso termina (ya que no podemos encontrar sucesiones infinitamente decrecientes con dicho orden). Eventualmente no tendremos más términos que no estén en y habremos expresado 𝜉𝛽 como una 𝐤(𝑥)-combinación lineal de términos de . Gracias a la argumentación anterior, 𝜌(𝐽)=#. Por reducción al absurdo, supongamos que #no es finito. Por hipótesis, dim(𝐽)≤𝑛, luego el grado del polinomio 𝐻es dim(𝐽)a lo sumo. Por otro lado, podemos acotar asintóticamente el orden del cardinal de ≤𝑑usando el cardinal de , #≤𝑑≥# {𝑥𝑎𝜉𝑏| |𝑎|+|𝑏|≤𝑑, 𝜉𝑏∈≤𝑑} ≥# {𝑥𝑎𝜉𝑏| |𝑎|+|𝑏|≤𝑑, 𝜉𝑏∈≤⌊𝑑∕2⌋} ≥# (⌊𝑑∕2⌋)⋅# {𝑥𝑎| |𝑎|≤𝑑−⌊𝑑∕2⌋} =#(⌊𝑑∕2⌋)⋅(𝑑−⌊𝑑∕2⌋+𝑛 𝑛)∼𝑑→∞⋅𝑑𝑛, y el comportamiento del cardinal de ≤𝑑está acotado de manera superior por 𝑐⋅𝑑dim(𝐽) (siendo 𝑐una constante positiva), lo cual contradice que 𝜌(𝐽)=#no sea finito. Ahora, consideremos el orden de eliminación anterior, el conjunto de los monomios que no están en in≺(in(𝑢,𝑣)(𝐽)),′, y el conjunto ′asociado a ′. Usando el razonamiento anterior 𝜌(in(𝑢,𝑣)(𝐽)) = #′. Como ′es 𝐤-linealmente independiente módulo 𝐽,′es 𝐤(𝑥)-linealmente independiente módulo 𝐤(𝑥)[𝜉]∕𝐽y por ende 𝜌(𝐽)≥#′=𝜌(in(𝑢,𝑣)(𝐽)) (la igualdad se da cuando ′es una base). Esto prueba la primera afirmación. Para la segunda, el orden de términos definido en la demostración del teorema 𝐴.2.1es un orden de eliminación con 𝜉 ≻ 𝑥 cuando 𝑢= 0 y𝑣es positivo. Además, ′