Análisis del proceso de fatiga en implantes dentales

Análisis del proceso de fatiga en implantes dentales por Juan Manuel AYLLÓN GUEROLA Realizada en el Departamento de Ingeniería Mecánica y Fabricación para la obtención del grado de Doctor en Ingeniería Mecánica en la UNIVERSIDAD DE SEVILLA Escuela Superior de Ingeniería Sevilla 2014 Directores de Tesis: Jaime DOMÍNGUEZ ABASCAL Carlos NAVARRO PINTADO Índice general 1. Introducción 1 1.1. Objetivos ................................... 2 1.2. Sistemas de implantes dentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3. Resumen del contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2. Fractura y fatiga en elementos con concentradores de tensión 9 2.1. Antecedentes históricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2. El mecanismo de rotura por fatiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.1. Iniciación de grieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.2. Propagación de grieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3. Fatigaenentallas ............................... 22 2.3.1. Entallas agudas: Grietas no propagantes . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.2. Modelos de predicción de vida en presencia de entallas . . . . . . . 27 2.4. Fatigamultiaxial ............................... 31 2.5. Titanio: Propiedades y sus aplicaciones biomédicas . . . . . . . . . . . . . 33 2.6. Fatiga en implantes dentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3. Método Teórico 41 3.1. Modelo de predicción de vida de Longitud de Iniciación Variable . . . . . . 43 3.1.1. Fase de iniciación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1.2. Fase de propagación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.1.3. Combinación de iniciación y propagación: Vida total . . . . . . . . 53 3.2. Modelo de predicción de vida basado en la Teoría de la Distancia Crítica . . 56 3.2.1. Fundamentos de la TDC aplicada a entallas . . . . . . . . . . . . . 56 3.2.2. El MCWM: estimación de la vida a fatiga en presencia de multiaxialidad ............................... 61 3.2.3. Combinación de TDC y MCWM para estimación de vida a fatiga en entallas multiaxiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 II Índice general 3.3. Modelo FEM para cálculo de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.3.1. Modelo geométrico del sistema de implante dental . . . . . . . . . 71 3.3.2. Mallado del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.3.3. Condiciones de contorno y contactos entre las partes del modelo . . 85 3.4. Modelo FEM para cálculo del FIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4. Método Experimental 91 4.1. Propiedades del titanio comercialmente puro de grado IV . . . . . . . . . . 92 4.1.1. Objetivos y planificación de los ensayos . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.1.2. Probetas de ensayo: Diseño, fabricación y caracterización . . . . . 96 4.1.3. Útiles de ensayo: Diseño y verificación . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.1.4. Realización de los ensayos y resultados . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.2. Propiedades de fatiga del implante dental ICI según ISO 14801 . . . . . . . 101 4.2.1. La norma ISO 14801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.2.2. Útiles para ensayo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.2.3. Realización de los ensayos y resultados . . . . . . . . . . . . . . . 110 5. Resultados 113 6. Conclusiones y trabajos futuros 117 Anexos 119 A. Planos de fabricación 121 A.1. Planos de fabricación de las probetas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 A.2. Planos de fabricación del utillaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Bibliografía 127 CAPÍTULO 1 Introducción La rotura por fatiga de un componente mecánico, es un fenómeno ampliamente estudiado en los últimos 200 años y está caracterizado por el hecho de que dicha rotura se produce en presencia de cargas cíclicas. Estas cargas, generalmente, presentan un valor inferior al de la carga que dicho componente es capaz de soportar de forma estática. Así mismo, las deformaciones asociadas a la rotura son pequeñas comparadas con las que se producirían en una rotura estática. Desde un punto de vista general, el fallo por fatiga consta de varias fases que abarcan desde la iniciación de una o varias grietas en el material, seguida por la propagación de dichas grietas hasta que se produce la rotura final del componente en cuestión. El hecho de que las deformaciones involucradas en la rotura por fatiga sean pequeñas hace que sea difícil predecir, mediante inspección visual, el fallo de un componente. Por este motivo, el estudio del fenómeno de fatiga de materiales, puede ayudar a prevenir fallos en componentes mecánicos y estructurales cuyas consecuencias pueden resultar, en ocasiones, catastróficas. Un sistema de implantes dentales es un conjunto de elementos mecánicos cuya misión es servir como soporte para una o varias prótesis dentales y transmitir a la mandíbula los esfuerzos que éstas recibirán durante su vida útil. Los sistemas de implantes dentales están compuestos, generalmente, por varios cuerpos unidos entre sí y anclados a la mandíbula por lo que, durante su funcionamiento, se verán sometidos a numerosos ciclos de carga, principalmente los producidos durante la masticación. El hecho de que sean sistemas sometidos a cargas cíclicas justifica el interés por la caracterización del comportamiento a fatiga de los sistemas de implantes dentales. La rotura por fatiga de un implante dental es, por tanto, un fenómeno que, aunque no ocurre con mucha frecuencia, es importante caracterizar, no solo por el interés que pueda suscitar desde el punto de vista del diseño, sino 2 Capítulo 1. Introducción también por las complicaciones de carácter clínico que puede acarrear. La norma ISO-EN 14801 permite caracterizar desde un punto de vista experimental el comportamiento a fatiga de sistemas de implantes sencillos endoóseos de tipo transmucosal y de sus componentes prostéticos prefabricados. Dicha norma especifica un método de ensayo de fatiga de implantes dentales endoóseos, permitiendo la obtención de la curva de fatiga de los mismos y resulta útil para la comparación de diferentes diseños y/o tamaños. Por otro lado, desde un punto de vista teórico, resulta de especial interés la elaboración de modelos numéricos que, en combinación con algún modelo de predicción de vida, permitan predecir el comportamiento de los implantes dentales, cuando son ensayados en condiciones de fatiga siguiendo las especificaciones de la norma ISO-EN 14801. El empleo de dichos modelos de fatiga durante la fase de diseño de los implantes permitiría mejorar la resistencia a fatiga de los mismos y, como consecuencia, se conseguiría un mejor aprovechamiento del material. De esta forma, por ejemplo, se podrían diseñar implantes con un diámetro menor, facilitándose el uso de los mismos en pacientes con problemas de escasez de hueso o en zonas estéticas. 1.1. Objetivos El objetivo del presente trabajo es desarrollar una metodología para poder estimar la vida a fatiga de un sistema de implantes dentales mediante el uso de un modelo de predicción de vida, que utiliza las propiedades del material y un modelo numérico de dicho sistema. Concretamente se obtendrán experimentalmente las propiedades del material, se modelarán las condiciones de ensayo propuestas por la norma ISO 14801 y se compararán los resultados obtenidos usando el modelo de predicción de vida propuesto, con los obtenidos experimentalmente mediante la aplicación de dicha norma a un sistema de implantes dentales comercial. La consecución de este objetivo implica la realización de una serie de tareas que pueden dividirse en dos grupos distintos dependiendo del carácter teórico/numérico o experimental de las mismas: 1.2. Sistemas de implantes dentales 3 •Modelos teórico/numéricos: Generar una serie de modelos computacionales, tanto del sistema de implantes dentales bajo estudio, como de las condiciones de ensayo del mismo. Estos modelos permitirán: caracterizar la geometría del sistema estudiado (modelo de CAD), obtener la distribución de las tensiones en el implante (modelo FEM del ensayo). Caracterizar la fase de propagación de grieta en el implante mediante la obtención de la evolución del factor de intensidad de tensiones en función de la longitud de la grieta. Evaluar la vida estimada para el sistema de implantes dentales mediante la aplicación del modelo de predicción de vida •Caracterización experimental del material y del sistema de implantes dentales: Llevar a cabo una serie de ensayos que permitan determinar las propiedades mecánicas, de fatiga y de fractura del material. Así mismo, se realizarán una serie de ensayos para estimar el efecto del roscado del implante y del tratamiento superficial que lleva. Por otro lado se realizarán una serie de ensayos según las directrices de la norma ISO 14801 para estimar la curva y el límite de fatiga del sistema de implantes dentales bajo estudio. Las tareas que hay que llevar a cabo para estimar la vida a fatiga de un sistema de implantes dentales se encuentran subordinadas entre sí, de forma que, para completar algunas de ellas, será necesario haber finalizado previamente otras de estas tareas. 1.2. Sistemas de implantes dentales En los últimos tiempos el campo de la rehabilitación protésica dental ha experimentado un gran auge, motivado por las importantes mejoras introducidas en ámbitos como el diseño y fabricación de sistemas de implantes dentales endoóseos, los materiales empleados y las técnicas quirúrgicas de implantación. Estos factores son determinantes en la generalización del uso de esta práctica médica y en el consecuente abaratamiento de precios. Los sistemas de implantes dentales endoóseos son elementos biocompatibles que, mediante su implantación en la mandíbula, sirven de soporte para las prótesis dentales y reciben las solicitaciones externas derivadas del uso de las mismas, debiendo por tanto, ser 4 Capítulo 1. Introducción capaces de resistirlas durante toda su vida útil. La figura 1.1 muestra diversos diseños de sistemas de implantes dentales comerciales. Figura 1.1: Implantes dentales comerciales Normalmente, los sistemas implantes dentales constan de varios componentes que funcionan de manera integrada. Estos componentes suelen ser, como se muestra en la figura 1.2, el cuerpo del implante, la pieza de conexión (también llamado pilar) y el tornillo de retención, que permite la unión entre ambos. El pilar, es el elemento al que ha de fijarse la prótesis dental en el caso de rehabilitaciones unitarias. Pilar Cuerpo implante Figura 1.2: Componentes de un sistema de implantes dentales El éxito del tratamiento con sistemas de implantes dentales osteointegrados está íntimamente relacionado con la transmisión de fuerzas en el sistema pilar/tornillo de retenció- 1.2. Sistemas de implantes dentales 5 n/implante/hueso. Una fuerza elevada puede conducir a la fractura del tornillo de retención o a la fractura del implante, aunque esto último menos frecuentemente en la práctica. Así mismo, la osteointegración puede verse favorecida mediante la aplicación de determinados tratamientos superficiales al cuerpo del implante. Las cargas a las que se encuentran sometidos son muy importantes no tanto por su magnitud como por la forma en que se producen; son cargas aleatorias de un valor normalmente muy inferior al de rotura y que a menudo se dan de forma muy reiterativa. Este tipo de carga, unido al hecho de que la vida del implante ha de ser muy elevada, hacen que el mecanismo de fatiga sea, generalmente, el causante de la rotura del mismo. La rotura por fatiga del cuerpo de un implante, como la que puede observarse en la figura 1.3, consiste en el inicio de una grieta en la zona del valle del roscado externo, donde hay una alta concentración de tensión, y una posterior propagación de la misma siguiendo dicho valle. Figura 1.3: Rotura por fatiga del cuerpo de un implante dental Algunos de los factores más influyentes en la formación de grietas en implantes dentales son, por un lado las propiedades mecánicas del material en que están fabricados, y por otro, las características geométricas de dichos implantes, en concreto de su rosca externa, por 12 Capítulo 2. Fractura y fatiga en elementos con concentradores de tensión estar sometidos a estados de carga complejos que pueden provocar estados tensionales multiaxiales, a temperaturas extremas y/o ambientes corrosivos. Todo esto ha impulsado el desarrollo de modelos de predicción de vida a fatiga, que generalmente tienen un carácter teórico experimental, que sean capaces de tener en cuenta el efecto de estas condiciones de servicio complejas. Así mismo, los grandes avances experimentados en los últimos tiempos por disciplinas como la tecnología de materiales, así como las buenas propiedades y comportamiento que presentan ante diversas aplicaciones los materiales no metálicos y compuestos, hacen que progresivamente haya ido creciendo el interés por el uso de éstos en el ámbito industrial. Por este motivo, una gran parte de las investigaciones actuales están siendo llevadas a cabo con el objetivo de conocer y caracterizar el comportamiento a fatiga de materiales cerámicos, poliméricos y de materiales compuestos. 2.2. El mecanismo de rotura por fatiga La rotura por fatiga de un componente mecánico implica la presencia de cierta carga cíclica actuando sobre el mismo, capaz de generar una grieta de tamaño microscópico y hacerla crecer hasta que, inicialmente alcance un tamaño macroscópico y posteriormente un tamaño tal que conduzca a la rotura del componente. El hecho de que el fenómeno de fatiga ocurra en estas dos escalas (micro y macroscópica) condiciona la forma en que ha de ser estudiado y los factores a tener en cuenta en dicho estudio. En general, para estudiar el fallo por fatiga en un componente mecánico puede considerarse que éste tiene lugar en tres etapas distintas: •una fase inicial llamada de iniciación de grieta en la que se generan microgrietas generalmente en una zona cercana a la superficie o en las proximidades de defectos del material. Estas microgrietas van creciendo y agrupándose hasta forma una grieta de un tamaño considerable desde un punto de vista macroestructural. Este tamaño, conocido como longitud de iniciación de grieta, en general, dependerá del material en consideración y del enfoque empleado en el estudio de la fase de iniciación. La duración de esta fase está fuertemente influenciada por las características de la superficie, por el estado tensional en una pequeña región alrededor de la zona donde se 2.2. El mecanismo de rotura por fatiga 13 iniciará la grieta así como por la microestructura del material. •una fase posterior de propagación de grieta, caracterizada por el crecimiento estable de la grieta formada en la fase de iniciación, bajo la acción de la carga. Esta fase termina cuando la grieta tiene un tamaño suficiente como para que el crecimiento de la misma no requiera un incremento de la carga. El estudio de la fase de propagación puede llevarse a cabo empleando conceptos de la mecánica de la fractura elástica lineal. La duración de esta fase ya no depende de las características locales de la superficie sino que se ve condicionada por las propiedades globales del material. •una última fase de rotura final, en la que la grieta crece de manera inestable hasta la fractura total del componente bajo estudio. La duración de esta fase suele ser muy corta comparada con la de las dos anteriores. La separación entre las fases de iniciación y propagación es un aspecto que ha generado mucha controversia tradicionalmente, aunque algo en lo que suelen coincidir los distintos estudios existentes es en el hecho de que la iniciación finaliza cuando el crecimiento de la grieta no depende de las características de la superficie del material donde se ha generado. Esto implica que, en la fase de propagación, el crecimiento de la grieta está controlado por propiedades globales del material. Existen distintos enfoques para abordar el cálculo de la vida a fatiga de un componente mecánico en función de la importancia relativa de cada una de las fases anteriores. De esta forma: •Cuando los niveles de tensión son relativamente bajos, el estado de tensiones y deformaciones en el material es predominantemente elástico y la duración de la fase de iniciación domina sobre el resto, pudiendo alcanzar hasta un 90% de la vida total del componente. Para el análisis de estas situaciones, denominadas tradicionalmente como fatiga a alto número de ciclos, suele emplearse un enfoque basado en tensiones. •Por el contrario, cuando los niveles de tensión son altos y existe una considerable deformación plástica, las grietas se inician rápidamente y es la fase de propagación la que tiene mayor duración en el proceso completo de rotura por fatiga. Esta situación, conocida como fatiga a bajo número de ciclos, es característica de las grietas que 14 Capítulo 2. Fractura y fatiga en elementos con concentradores de tensión se inician en zonas afectadas por concentradores de tensión y su estudio se suele abordar usando un planteamiento basado en deformaciones. •Así, mismo, cuando no existe una fase predominante en el proceso de iniciación y propagación hasta el fallo de una grieta, es común el empleo de modelos de predicción de vida que analizan éstas fases de manera independiente para, posteriormente combinar ambos estudios y obtener la vida a fatiga del componente en cuestión. Un aspecto clave en el empleo de modelos de predicción de vida suele ser la determinación de la longitud de iniciación de grieta, que separa las fases de iniciación y propagación de la misma. El conocimiento de los mecanismos físicos involucrados en las fases de iniciación y de propagación de grieta es conveniente de cara a la comprensión de los distintos enfoques empleados para el estudio de dichas fases. A continuación, en los dos apartados siguientes, se describirán los aspectos básicos de los procesos de iniciación y propagación de una grieta. 2.2.1. Iniciación de grieta La primera evidencia que se tiene de la presencia de una grieta en un material metálico sin defectos es en forma de una microgrieta que, en ocasiones, puede tener un tamaño inferior a una micra. La microgrieta aparece como consecuencia del deslizamiento cíclico e irreversible que tiene lugar entre distintos planos atómicos. Dicho deslizamiento implica la ruptura de los enlaces existentes entre los átomos de dichos planos y la formación de dislocaciones en el material. La aparición de dislocaciones en determinadas zonas de un material está asociada a la existencia de deformación plástica en las mismas. Así mismo, las grietas por fatiga pueden iniciarse con valores de tensión inferiores al límite elástico del material, y en estas condiciones, la deformación plástica queda restringida a un pequeño número de granos. Generalmente, los granos que plastificarán estarán situados en la superficie del espécimen, ya que se encuentran menos limitados en cuanto a su deformación que los granos situados en el interior. Por otro lado, en un material real, existirán defectos e inclusiones, que ac- 2.2. El mecanismo de rotura por fatiga 15 tuarán como concentradores de tensión, haciendo que en su proximidades pueda aparecer deformación plástica y en consecuencia dislocaciones que puedan llevar a la aparición de microgrietas. Los granos de la superficie, además de aquellos situados en las proximidades de defectos e inclusiones, son zonas preferentes de iniciación de grietas por fatiga. Aparte del nivel de tensión al que se encuentran sometidos los granos del material, existen otros factores que condicionarán la aparición o no de dislocaciones en los mismos, como son su forma, tamaño y orientación cristalográfica. De forma general, en un material real, aparecerán microgrietas en varios granos y algunas de ellas crecerán de tamaño, pudiendo combinarse entre si, hasta formar una o varias grietas cuya posterior propagación llevará a la rotura final. Aunque, desde un punto de vista conceptual, una dislocación pueda ser considerada una grieta en si misma, éstas tienen un tamaño tan pequeño que no pueden propagarse por si mismas. Sin embargo tienen a concentrarse en planos paralelos y adyacentes formando lo que se conoce como Bandas de Deslizamiento Persistentes (PSB Persistent Slip Bands en inglés). Las PSB son consideradas como las precursoras de las microgrietas y son conjuntos de dislocaciones con una orientación común. Cuando una PSB se genera en una superficie libre del material, aumenta la rugosidad de la zona debido a las intrusiones y extrusiones que forma en dicha superficie. Las intrusiones y extrusiones aparecen como consecuencia del deslizamiento irreversible de las distintas dislocaciones que componen la PSB y actúan como microentallas que producen una concentración de tensión en la superficie, situación muy favorable para la aparición de microgrietas en el material. La irreversibilidad de dicho deslizamiento está asociada al endurecimiento por deformación que experimenta la PSB, así como a las condiciones ambientales existentes. En efecto, en las nuevas superficies que quedan expuestas al aire, y que aparecen como consecuencia del movimiento de las dislocaciones, se adhiere fuertemente una capa de óxido que genera fricción entre las caras de la dislocación. Es importante destacar que en ausencia de defectos en el material, la formación de microgrietas es un fenómeno que depende fuertemente del estado tensional y de las carac- 16 Capítulo 2. Fractura y fatiga en elementos con concentradores de tensión terísticas de la superficie donde se generará dicha microgrieta. Desde un punto de vista práctico, se pueden resaltar algunos factores relacionados con la superficie de iniciación que facilitan la aparición de microgrietas en la misma, como son la rugosidad superficial y la presencia de marcas de mecanizado y corrosión. Así mismo, factores muy influyentes en la iniciación de grietas en componentes mecánicos son el contacto con otros componentes (fretting fatigue) y la presencia de concentradores de tensión, como los agujeros o cambios de sección, que provocan que la tensión en la superficie multiplique su valor. Otro aspecto a destacar relacionado con la formación de microgrietas es el hecho de que éstas pueden formarse a partir del primer ciclo de carga, y en distintas localizaciones en el espécimen a la vez. Sin embargo, dependiendo del nivel de carga y del estado tensional de las distintas zonas de iniciación, éstas microgrietas pueden permanecer invisibles gran parte de la vida a fatiga del componente, creciendo lentamente hasta alcanzar un tamaño visible. El crecimiento de microgrietas cuando su tamaño es del orden del tamaño de grano del material, se ve altamente influenciado por la microestructura del mismo. De esta forma, el ritmo de crecimiento de estas microgrietas presenta un comportamiento errático compuesto por bruscas aceleraciones y deceleraciones. Se ha comprobado que una microgrieta creciendo a través del grano en que ha nucleado, experimenta decrementos en su ritmo de crecimiento conforme se va acercando a los sucesivos límites de grano que va encontrando en su camino y que dicho ritmo de crecimiento aumenta al atravesar cada uno de estos límite de grano. Esto indica que los límites de grano, cuando la grieta es pequeña, actúan como barreras que limitan el crecimeinto de la misma. El ritmo de crecimiento discontinuo de la microgrieta continuará hasta que ésta alcance una longitud tal que las barreras microestructurales dejan de tener efecto en dicho ritmo y éste se vuelve estable. La estabilización del ritmo de crecimiento de una grieta cuando ésta alcanza una determinada longitud puede entenderse si se tiene en cuenta que el frente de ésta, al crecer, va abarcando cada vez un número mayor de granos y sin embargo su forma ha de ser continua, similar a la de una semielipse. Esto implica que el crecimiento a través de un grano no puede ocurrir en una dirección arbitraria y con un ritmo independiente del de los granos vecinos, uniformizándose conforme aumenta el numero de granos abarcado 2.2. El mecanismo de rotura por fatiga 17 por el frente de la grieta. Se considera que el momento en que el ritmo de crecimiento de una grieta se hace uniforme coincide con el fin de la fase de iniciación de grieta y comienza la propagación de la misma. A partir de ese momento el ritmo de crecimiento de la grieta pasa a depender de la resistencia intrínseca del material, es decir, de una propiedad global del mismo. Sin embargo, hay que tener en cuenta que en ocasiones, las microgrietas iniciadas pueden crecer hasta una determinada longitud y quedar bloqueadas en alguna de las barreras que encuentre. La existencia de grietas no propagantes indica, como se verá mas adelante, que es posible generar grietas en el material con niveles de tensión inferiores al límite de fatiga. Éstas solo propagarán si la tensión sube por encima de dicho valor límite. 2.2.2. Propagación de grieta La fase de propagación de una grieta, tal y como se ha mencionado en la sección 2.2, comienza cuando la grieta ha alcanzado un tamaño considerable desde el punto de vista macroscópico, de forma que su ritmo de crecimiento se estabiliza y no se ve afectado por la microestructura del material y las características de la superficie donde se ha generado. Bajo estas condiciones, el material puede ser considerado continuo y homogéneo, y el crecimiento de la grieta puede ser caracterizado haciendo uso de los conceptos tradicionales de la Mecánica de la Fractura, ya se Elástica Lineal o Elasto-Plástica. Figura 2.1: Modos de propagación de grieta La propagación de una grieta en un material depende del estado tensional en las proxi- 18 Capítulo 2. Fractura y fatiga en elementos con concentradores de tensión midades del vértice de la misma y de los desplazamientos relativos entre las caras de ésta provocados por dicho estado tensional. De esta forma, y como se muestra en la figura 2.1, existen tres posibles modos de propagación de una grieta. El Modo I, conocido como modo de tracción, en el que las caras de la grieta se separan la una respecto a la otra en dirección normal al plano de la grieta. El Modo II es el modo de deslizamiento tangencial en el plano, en el que las caras de la grieta se desplazan de en dirección perpendicular al borde de la misma. Finalmente en el Modo III, llamado modo de deslizamiento tangencial fuera de plano, los flancos deslizan en dirección paralela al frente de la grieta. La mayoría de los fallos por fatiga en componentes mecánicos reales ocurren predominantemente en Modo I. Se puede comprobar [3] que el campo de tensiones en las proximidades del vértice de una grieta puede expresarse en función de una magnitud escalar denominada Factor de Intensidad de Tensiones (FIT). Por ejemplo, para una grieta creciendo en Modo I (existen expresiones similares para los Modos II y III), el campo de tensiones en coordenadas polares (véase la figura 2.2) cerca de su vértice viene dado por la expresión Figura 2.2: Coordenadas polares en el vértice de una grieta σi j (r,θ) = 1 √2πrKIfi j (θ)+O(√r)(2.1) donde KIes el FIT en Modo I, cuyo valor depende de la carga aplicada, de la longitud de la grieta y de la geometría del componente bajo estudio. El término O(√r)representa términos de orden superior que pueden ser despreciados en primera aproximación en las proximidades del vértice de la grieta. 2.2. El mecanismo de rotura por fatiga 19 El FIT, que representa la intensidad de las tensiones elásticas cerca del frente de la grieta, es considerado como la fuerza impulsora del crecimiento de la misma y suele expresarse como KI=Yσ√πa(2.2) donde σes la tensión remota aplicada, Y es un factor adimensional que depende de la geometría del espécimen y de la grieta y a es la longitud de dicha grieta. El FIT ha sido calculado analíticamente para multitud de geometrías y condiciones de carga [6][7][8] aunque su valor también puede ser calculado de manera numérica, por ejemplo, mediante el método de los elementos finitos, en situaciones en las que la geometría es complicada. Es importante destacar que, a la vista de la ecuación 2.1, cuando el valor de r tiende a cero, el campo de tensiones tiende a infinito. Esto implica que en materiales reales aparecerá cierta plastificación cerca del vértice de la grieta. Dado que el FIT es un parámetro que proviene de un análisis elástico, su validez para caracterizar el estado tensional en las proximidades de una grieta depende del tamaño de la zona plástica desarrollada en torno al frente de la misma. De esta forma, siempre que dicha zona plástica sea pequeña comparada con la longitud de la grieta y con el tamaño del espécimen estudiado, las hipótesis de la MFEL siguen siendo válidas [9]. Para caracterizar la propagación de una grieta por fatiga resulta de utilidad estudiar la evolución de la longitud de grieta a, en función del número de ciclos aplicados N; en concreto, la pendiente de esta función da/dN, representa el ritmo de propagación de dicha grieta. Dado que el FIT, en condiciones de plasticidad a pequeña escala, representa correctamente el estado tensional en el vértice de una grieta, resulta lógico pensar que el ritmo de crecimiento de la misma pueda estar controlado por este valor [10]. La Ley de Paris establece que el ritmo de crecimiento de una grieta puede expresarse mediante la ley potencial da dN =C∆Km(2.3) donde C y m son constantes dependientes del material bajo estudio y de distintas variables como son la frecuencia y el tipo de carga, las condiciones ambientales y la tensión media. ∆Kes el rango de variación del FIT en un ciclo de carga, definido como ∆K=Kmax −Kmin. 20 Capítulo 2. Fractura y fatiga en elementos con concentradores de tensión Figura 2.3: Ritmo de crecimiento de una grieta vs. δK La figura 2.3 representa la evolución típica del ritmo de crecimiento de una grieta frente a∆Ken materiales metálicos. En dicha figura puede observarse que existen tres zonas bien diferenciadas, así como la existencia de un umbral y una zona de crecimiento acelerado. La región I está asociada a un rango del FIT umbral ∆Kth∞, en la que el incremento medio de la longitud de grieta por ciclo es del orden de 10−8mm/cliclo. Para valores del rango del FIT inferiores al umbral las grietas no se propagan. En la región II el crecimiento de la grieta se estabiliza y existe un aumento progresivo de la velocidad de crecimiento al aumentar ∆K. Esta zona es conocida como región de Paris y en ella, dicha velocidad de crecimiento puede describirse adecuadamente mediante la Ley de Paris. Finalmente, en la región III, el ritmo de crecimiento de la grieta aumenta rápidamente y la grieta crece de manera inestable hasta la rotura del componente bajo estudio. Esta rotura se produce cuando el valor máximo del FIT Kmax alcanza un valor crítico KCdenominado tenacidad a fractura del material. KC es una propiedad del material y representa la máxima carga estática que dicho material es capaz de soportar cuando presenta una grieta. 2.2. El mecanismo de rotura por fatiga 21 La Ley de Paris permite obtener el número de ciclos necesario para que una grieta existente en un material concreto avance una determinada longitud. Para ello habrán de conocerse las constantes m y C que, como se ha mencionado previamente, dependerán del material y de las características de la carga aplicada al mismo, así como la evolución del FIT conforme la grieta avanza desde su longitud inicial hasta la final. Esto puede realizarse mediante la integral Nprop =∫af ai da C∆Km(2.4) donde Nprop es el número de ciclos de carga necesarios para propagar una grieta desde una longitud inicial aihasta una longitud final af. Tomando como punto de partida la Ley de Paris se han desarrollado numerosos modelos que pretenden incluir el comportamiento de la grieta en las regiones I y III, así como otros factores que afectan al ritmo de propagación de las mismas. Una de las principales limitaciones de la Ley de Paris es que no tiene en cuenta el efecto de la tensión media. La Ley de Walker [11] propone tener en cuenta dicho efecto a través del coeficiente de asimetría de la carga R mediante la siguiente expresión da dN =CW[∆K (1−R)1−γW]mW (2.5) en la que CW,mWyγWson tres parámetros que habrán de ser ajustados experimentalmente. Existen otros modelos que incluyen efectos tales como el comportamiento de la grieta en la región III [12], y el efecto del umbral ∆Kth∞cuando la grieta crece en la región I [13]. Finalmente cabe destacar que el uso del FIT para describir el crecimiento de grietas por fatiga permite afirmar que, independientemente de la longitud de la grieta y del valor de la carga, dos grietas en un mismo material que presenten el mismo ∆Ktendrán el mismo ritmo de crecimiento. Esto es así porque existe semejanza física entre ambas grietas y dicha semejanza viene caracterizada por el FIT, para ello la longitud de las grietas ha de ser tal que su comportamiento pueda ser descrito mediante los conceptos de la MFEL. En efecto, si alguna de esas grietas fuera de una longitud comparable al tamaño de la microestructura, su crecimiento se vería afectado por ésta y en consecuencia se perdería la semejanza física de ambos problemas siendo, por tanto, incorrecto caracterizar el crecimiento de esta pequeña grieta utilizándose solamente el FIT. 28 Capítulo 2. Fractura y fatiga en elementos con concentradores de tensión mayor sentido físico al fenómeno de la iniciación y propagación de grietas en materiales con entallas. A continuación se describirán brevemente los modelos de predicción de vida a fatiga en presencia de entallas que tradicionalmente han tenido mayor relevancia. El método propuesto por Smith y Miller [21] sugiere modificar el FIT para tener en cuenta el efecto del concentrador de tensión conforme la grieta avanza. Para ello comparan la evolución del FIT de una grieta creciendo en un espécimen con entalla, con el que presenta una grieta en un espécimen sin entalla bajo las mismas condiciones de de ensayo. Cuando ambas grietas presentan la misma velocidad de crecimiento, la diferencia entre las longitudes de ambas e=L-a, la asocian al efecto de la entalla. De esta forma, los autores asumen que una grieta de una determinada longitud a, creciendo bajo la acción de un concentrador de tensión, tendrá un FIT igual al que tendría en un espécimen sin entalla pero considerando que su longitud es a+e, luego K=σ√π(a+e)(2.13) donde el efecto de la entalla e va variando a medida que aumenta la longitud real de la grieta. Los autores proponen calcular e mediante las siguientes expresiones, dependiendo de si la grieta se encuentra dentro del campo de influencia de la entalla o no. e=     7,96 a√α rif 0 <a<0,13√αr αif a>0,13√αr donde αy r son la profundidad y el radio de la entalla respectivamente. A partir de las expresiones anteriores, se puede estimar el límite de iniciación de grietas. En efecto, para una grieta dentro de la zona de influencia de la entalla K=[1+7,96α r]1 2σ√πa=kf atigueσ√πa(2.14) σinic =σFL kf atigue =σFL [1+7,96α r]1 2 (2.15) Finalmente, el límite de propagación para la grieta puede calcularse teniendo en cuenta que, en estas circunstancias, el FIT ha de ser igual al FIT umbral del material K=Kth∞. σFL =Kth∞ Y√π(a+α)(2.16) 2.3. Fatiga en entallas 29 Tomando como punto de partida el modelo anterior, Yates y Brown [29] que hace uso del diagrama de Kitagawa-Takahashi del material. Este diagrama establece las condiciones umbral para la propagación de grietas por fatiga en un componente sin entalla y puede expresarse en funcion del FIT como Kth =     YσFL√πaif 0 <a<a0 Kth∞if a>a0 (2.17) donde a0es el parámetro de el Haddad cuya expresión viene dada por a0=1 π(Kth YσFL )2 (2.18) Los autores proponen que para que una grieta en el fondo de una entalla crezca por fatiga, el FIT ha de ser siempre superior al predicho por el diagrama de Kitagawa. El FIT de la grieta puede expresarse en términos del modelo de Smith y Miller como K=     Yσkt√πaif 0 <a<a0 σ√π(a+α)if a>a0 (2.19) Igualando las expresiones 2.17 y 2.19 pueden obtenerse tres situaciones distintas mostradas de manera esquemática en la figura 2.6: 1. Que la curva del FIT de la grieta esté por debajo del diagrama de Kitagawa, en cuyo caso no se propagará. 2. Que el FIT de la grieta siempre esté por encima del diagrama de Kitagawa, creciendo hasta la rotura del componente. 3. Que ambas curvas se corten en algún punto. En este caso, la grieta se iniciará en el fondo de la entalla, se propagará hasta una longitud determinada y se detendrá. Esta longitud vendrá dada por la intersección de ambas curvas y se corresponderá con la longitud de grieta no-propagante para la carga aplicada. 30 Capítulo 2. Fractura y fatiga en elementos con concentradores de tensión Figura 2.6: Modelo de Yates y Brown Este modelo, aunque proporciona predicciones razonables respecto a los resultados experimentales con los que fue comparado, propone una aproximación demasiado simplista del efecto de la entalla al no considerar el efecto del gradiente de la tensión. Taylor [30] propuso un método sencillo para estimar el límite de fatiga de componentes con entallas con geometrías arbitrarias. Basándose en las ideas clásicas de Neuber y Peterson y en los conceptos de la MFEL, propuso evaluar la tensión a una distancia característica del material L/2, donde L se define como L=1 π(∆Kth ∆σ0)2 (2.20) Para aplicar este método, conocido como método del punto, es necesario conocer la distribución de tensiones a lo largo del camino potencial de la grieta. Existen otras versiones de dicho método en función de si la tensión utilizada para estimar el límite de fatiga se 2.4. Fatiga multiaxial 31 obtiene a partir del valor medio en una línea, en un área o en un volumen en torno al fondo de entalla, en lugar de hacerlo en un punto. Este modelo y sus distintas formulaciones han sido aplicados con éxito en numerosas situaciones de carácter practico, siendo capaz de recoger correctamente el comportamiento a fatiga de entallas tanto romas como agudas. Sin embargo, desde un punto de vista físico, no se encuentra una relación entre la distancia crítica L y algún parámetro de la microestructura del material. 2.4. Fatiga multiaxial En muchas aplicaciones reales, existen componentes mecánicos que se encuentran sometidos a estados de carga cíclica complejos que provocan estados tensionales multiaxiales. Caracterizar el comportamiento a fatiga de materiales que se encuentran sometidos a este tipo de cargas es una tarea compleja que requiere conocer los mecanismos físicos involucrados en la formación y el crecimiento de grietas en los mismos. Con este objetivo y tomando como punto de partida el trabajo publicado por Gough [31] a mediados del siglo XX, han sido numerosos los estudios realizados por los investigadores para desarrollar procedimientos que permitan diseñar componentes mecánicos reales que se comporten de manera segura frente a la acción de la fatiga multiaxial. Se ha comprobado que los distintos materiales utilizados comúnmente en la ingeniería responden de forma distinta ante cargas cíclicas multiaxiales [31] y que esta respuesta está íntimamente ligada a la microestructura del material. Si además de la multiaxialidad del estado tensional, se tiene en cuenta que los estados de carga pueden ser no-proporcionales, es decir, con cargas fuera de fase, se añade una dificultad extra al estudio del comportamiento a fatiga de dichos materiales. Las cargas no-proporcionales provocan que las direcciones principales del estado tensional puedan rotar durante el cada ciclo de carga, y en estas condiciones, el daño por fatiga depende de la interacción entre la ductilidad intrínseca del material y el cambio cíclico de la dirección correspondiente a la tensión principal máxima [32][33][34]. Esto supone que la no-proporcionalidad de la carga pueda tener efectos contrapuestos en distintos materiales pudiendo ser, en ocasiones, beneficiosa para la resistencia a fatiga de los mismos. 32 Capítulo 2. Fractura y fatiga en elementos con concentradores de tensión La argumentación llevada a cabo en los párrafos anteriores pone en evidencia que, el diseño de componentes mecánicos y estructurales reales que se encuentren sometidos a estados de carga complejos, resulta una tarea difícil que involucra numerosas variables. Por este motivo, gran parte del esfuerzo de los investigadores en los últimos tiempos, ha sido dedicado a desarrollar métodos eficientes desde un punto de vista práctico que permitan estimar el daño por fatiga multiaxial en componentes mecánicos reales. Dichos métodos pueden ser clasificados en dos grupos bien diferenciados dependiendo de si se pretende evaluar el daño por fatiga a bajo número de ciclos, donde la plasticidad juega un papel muy importante en la iniciación de grietas, en cuyo caso se recomienda usar un enfoque basado en deformaciones, o si por el contrario, se pretende analizar el régimen de fatiga a medio/alto número de ciclos, donde es preferible utilizar métodos basados en tensiones. De entre los métodos para estimar el daño por fatiga multiaxial a bajo número de ciclos merece la pena destacar la metodología propuesta por Brown y Miller [35], en la que los autores proponen evaluar la vida a fatiga teniendo en cuenta las componentes de la deformación perpendiculares y paralelas al plano de iniciación la grieta. Dicho plano, denominado plano crítico, es el que experimenta la maxima amplitud de deformación tangencial. Este enfoque, en combinación con la curva de Manson-Coffin permitiría estimar la vida a fatiga de componentes en los que la grieta se propaga principalmente en Modo II por la superficie de los mismos, ya que, como se argumentó en el apartado 2.2, el plano de iniciación no coincide con el de propagación cuando la grieta se adentra hacia el interior del material. Años mas tarde, Socie [36][37] propuso emplear la tensión perpendicular al plano crítico en lugar de la deformación, para la estimación del daño por fatiga multiaxial, porque dicha tensión está mas relacionada con los mecanismos físicos de propagación de micro/meso grietas en el material. Tomando como punto de partida esta hipótesis, sugirió que el diseño a fatiga habría de realizarse en función del comportamiento de las grietas en el material: cuando la iniciación de grietas en el material tiene lugar principalmente en Modo I, el plano crítico habría de ser considerado aquél dónde la tensión normal alcance su valor máximo y la vida a fatiga habría de estimarse usando el parámetro de Smith-Watson-Topper [36]; por el contrario, cuando la propagación inicial de las grietas en el material tiene lugar principalmente en Modo II, el plano crítico sería aquel en el que la amplitud de la 2.5. Titanio: Propiedades y sus aplicaciones biomédicas 33 deformación tangencial es máxima, y la vida a fatiga se estimaría usando la curva torsional de Manson-Coffin [37]. Existen otras metodologías basadas en criterios energéticos [38][39], que presentan la ventaja, frente a las mencionadas anteriormente, de utilizar una magnitud escalar (la energía), independiente de la complejidad del estado tensional existente en la zona que se considere crítica desde el punto de vista del diseño a fatiga. En cuanto a los métodos desarrollados para el diseño de componentes reales a fatiga multiaxial en régimen de alto número de ciclos, hay que indicar que existen distintos enfoques como pueden ser aquellos basados en cálculo de invariantes del estado tensional, en el plano crítico y enfoques mesoscópicos. Los métodos basados en el cálculo de invariantes asumen que el daño por fatiga depende tanto de la raíz cuadrada del segundo invariante del tensor desviador, como del tensor hidrostático [40]. Estos métodos, aunque son muy eficientes desde el punto de vista computacional, arrojan resultados erróneos al considerar el efecto de las cargas no-proporcionales [41]. Los métodos que utilizan un enfoque basado en el plano crítico arrojan predicciones muy acertadas a la hora de estimar el límite de fatiga multiaxial incluso en presencia de carga no-proporcional. Existen métodos que proponen que el plano crítico es aquél en el que una combinación lineal de la tensión normal y tangencial alcanza un valor máximo [42]. Otros métodos asumen que el plano crítico es el que experimenta el máximo valor de la amplitud de la tensión tangencial y que para estimar el daño por fatiga es necesario también tener en cuenta el valor de la tensión normal máxima a dicho plano [43][44][45]. El enfoque mesoscópico, propuesto por Dang Van [46][47], utiliza una metodología diferente de las anteriores y sugiere que el daño por fatiga multiaxial se puede estimar a partir de una combinación de lineal de la tensión tangencial máxima y la presión hidrostática. 2.5. Titanio: Propiedades y sus aplicaciones biomédicas El titanio es un material metálico que se encuentra en la naturaleza, generalmente formando compuestos con oxígeno y hierro. El titanio comercialmente puro se obtiene princi- 34 Capítulo 2. Fractura y fatiga en elementos con concentradores de tensión palmente mediante un proceso de reducción de tetracloruro de titanio (TiCl4) con magnesio, denominado proceso Kroll en honor a Wilhelm Justin Kroll, que fue quien lo desarrolló a mediados del siglo XX. La alta solubilidad intersticial del titanio hace que su obtención con alta pureza sea complicada, lo cual encarece su precio. El titanio puro es un material alotrópico, es decir, existe en más de una configuración cristalográfica, de forma que a partir de una temperatura de transición pasa de una configuración hexagonal compacta (fase α) a otra cúbica centrada en las caras (fase β). La temperatura de transición depende del grado de pureza del metal y se encuentra en torno a los 880oC. De esta forma, existen elementos aleantes como el oxígeno, el aluminio y el nitrógeno, que hacen que dicha temperatura disminuya, estos son los llamados elementos α-estabilizadores. Por otro lado los elementos β-estabilizadores como el vanadio, el hierro y el molibdeno, hacen que la temperatura de transición aumente. Finalmente existe otro grupo de elementos aleantes como el zirconio o el estaño que tienen un efecto ínfimo sobre dicha temperatura y que son llamados neutrales. En la figura 2.7 se muestran distintos diagramas de fases del titanio en función de sus elementos aleantes. Figura 2.7: Diagramas de fases del titanio en función de sus elementos aleantes Comparado con otros metales, el titanio (y sus aleaciones) es el que presenta mayor ratio resistencia/densidad. En general, las propiedades del titanio y de sus aleaciones se determinan en función de la fracción en volumen de fase αyβque contiene. Comparada con la fase β, la fase αpresenta una mayor densidad de empaquetamiento, lo que hace que presente un mayor módulo elástico, una mayor resistencia a la deformación plástica y al creep, así como una menor ductilidad. 2.5. Titanio: Propiedades y sus aplicaciones biomédicas 35 El material en que están fabricados los implantes dentales analizados en el presente trabajo es titanio comercialmente puro (Ti c.p.) que, al no contener elementos aleantes, presenta la ventaja de no ser nocivo para el organismo y ciertas desventajas como, por ejemplo, una menor resistencia mecánica y a fatiga comparada con la que tienen algunas aleaciones del titanio. El Ti c.p., a temperatura ambiente, es una fase pura de tipo α, de la que existen cuatro grados distintos en función del contenido en oxígeno intersticial. En concreto, Ti c.p. de grado 4 presenta un contenido en oxígeno del 0.4 pp [48]. Como puede observarse en la figura 2.8, de entre los cuatro grados existentes del Ti c.p. es el que presenta una mayor resistencia a la rotura, el de mayor límite elástico y una menor ductitlidad. Figura 2.8: Propiedades mecánicas del titanio y sus aleaciones para aplicaciones biomédicas El titanio puro y sus aleaciones son, actualmente, los materiales metálicos mas atractivos para las aplicaciones biomédicas por sus mejores propiedades de biocompatibilidad y su mayor resistencia a la corrosión y resistencia especifica (relación resistencia/densidad). En 36 Capítulo 2. Fractura y fatiga en elementos con concentradores de tensión la figura 2.8 se resumen las principales propiedades mecánicas de las aleaciones del titanio mas empleadas en el campo de la implantología. Tradicionalmente el Ti-6Al-4V, que es una aleación de titanio del tipo (α+β)ha sido el material mas usado en estas aplicaciones dada su alta resistencia mecánica y su mayor grado de desarrollo, ya que es ampliamente utilizado en la industria aeronáutica y aeroespacial (lo que ha abaratado sus costes de fabricación). No obstante, en los años 80 se publicaron estudios que demostraban que el vanadio es tóxico y que tiende a desprenderse del implante y a acumularse en el torrente sanguíneo causando un efecto nocivo sobre el organismo [49]. Por este motivo, comenzaron a desarrollarse aleaciones de titanio del tipo (α+β)libres de vanadio como el Ti-6Al-7Nb y el Ti-5Al-2.5Fe, así como libres de vanadio y aluminio (también considerado tóxico en grandes cantidades) como el Ti-15Sn-4Nb-2Ta-0.2Pd y el Ti-15Zr-4Nb-4Ta-0.2Pd. Sin embargo, recientemente se ha comprobado que, cuando el módulo elástico del material del implante es muy superior al del hueso donde es implantado, se produce una mayor reabsorción de dicho hueso y se empeoran las características de osteointegración (unión hueso-implante). Es decir, se consigue una mejor biocompatibilidad cuando el módulo elástico del implante es lo más parecido posible al del hueso. Esta es la razón por la que, en los últimos tiempos, se están desarrollando nuevas aleaciones de titanio con elementos aleantes no tóxicos (como el niobio, el talio y el zirconio) con propiedades de biocompatibilidad y resistencia mejoradas [48]. Estas aleaciones son del tipo βque, como se ha mencionado anteriormente y como puede comprobarse en la figura 2.8, presentan un módulo elástico menor al de las aleaciones de tipo αy(α+β); este valor, que aunque sigue siendo mayor, se encuentra mas cerca del valor del módulo elástico del hueso cortical, que suele variar entre 17 y 28 GPa [48]. 2.6. Fatiga en implantes dentales Cuando los implantes ejercen la función del hueso, como por ejemplo cuando se usan para restaurar articulaciones, como placas óseas o como implantes dentales, normalmente se encuentran sometidos a condiciones de carga cíclica que pueden llegar a ser bastante 2.6. Fatiga en implantes dentales 37 Figura 2.9: Resistencia a fatiga de materiales metálicos utilizados biomedicina severas. Por este motivo el conocimiento del comportamiento a fatiga del material en que están fabricados dichos implantes es un aspecto crucial en el diseño de los mismos. A la hora de evaluar dicho comportamiento a fatiga es importante tener en cuenta que normalmente, los implantes que sustituyen tejidos duros, pueden estar sometidos durante largos periodos a ambientes que pueden resultar corrosivos y a condiciones de fatiga por fretting y desgaste por el contacto con tornillos de sujeción. En la figura 2.9 [50], se muestra el límite de fatiga en aire de los materiales metálicos más utilizados en el campo de la biomedicina, como son las aleaciones de titanio, distintos aceros inoxidables, así como algunas aleaciones de cobalto. Es necesario destacar que la gran dispersión que puede observarse en estos valores del límite de fatiga está asociada a distintos factores como pueden ser el proceso de fabricación, las condiciones de la superficie, la microestructura y las condiciones de fatiga impuestas durante los ensayos. En esta figura se puede observar que, de manera general, la mayor resistencia a fatiga la presentan las aleaciones de cobalto, seguidas por el TI-6AL- 4V y por el acero inoxidable. EL titanio c.p. es de los materiales utilizados en medicina que tiene la menor resistencia a fatiga. 44 Capítulo 3. Método Teórico las curvas ε−N, y aplicando algún criterio de fatiga multiaxial, mientras que la vida de propagación se determina a partir de métodos basados en la Mecánica de la Fractura. A la hora de aplicar métodos que combinan las fases de iniciación y propagación a componentes con entallas, y gradientes de tensión en general, es necesario tener en cuenta dos aspectos muy importantes. Uno de ellos es la definición de la longitud de grieta aique separa dichas fases. Esta longitud será considerada como la longitud inicial de grieta para el cálculo de la fase de propagación. El otro aspecto importante es la definición del punto o de la zona del espécimen dónde ha de evaluarse el parámetro de daño para determinar el número de ciclos Ni, necesarios para iniciar una grieta de longitud ai. En lo referente a la definición de la longitud de iniciación de grieta ai, algunos autores proponen que la fase de iniciación termina cuando la longitud de la grieta es tal, que permite que se pueda aplicar la MFEL a su posterior propagación. Estos métodos tienen el problema de que es necesario definir a priori dicha longitud, de cuyo valor dependerá fuertemente el resultado del análisis, a partir de la geometría, del material y de los niveles de tensión. Existen propuestas, basadas en resultados experimentales, que definen dicha longitud como 1 mm para los materiales metálicos. Otras propuestas definen la longitud de iniciación como la longitud a la que la grieta deja de estar localizada en la zona de influencia de la entalla. Otros autores proponen que dicha longitud es función del parámetro de El Haddad, a0, que depende del factor de intensidad de tensiones umbral ∆Kth∞y del límite de fatiga σFL del material. Finalmente, algunos autores defienden que la longitud de iniciación de grieta habrá de definirse en función del comportamiento del material durante las fases de iniciación y propagación. Existen autores que definen una longitud inicial de grieta, ai, lo suficientemente pequeña como para que ésta pueda ser considerada una grieta microestructuralmente o físicamente corta. En esos casos, el análisis del proceso de propagación hasta que la grieta pueda ser considerada larga es mas complejo, ya que en esas circunstancias no es posible aplicar una ley de crecimiento de tipo Paris, o cualquier otra basada en la MFEL. Hay modelos que permiten caracterizar el crecimiento de grietas cortas que tienen en cuenta el cierre de grieta, otros que consideran la microestructura del material, y otros que modifican las leyes de crecimiento de tipo Paris haciendo uso del parámetro de El Haddad. 3.1. Modelo de predicción de vida de Longitud de Iniciación Variable 45 En relación al punto o área en la que evaluar el parámetro de daño para estimar la vida de iniciación se pueden encontrar distintos enfoques en la literatura. Algunos autores proponen evaluar el parámetro de daño en la superficie del material, otros a una determinada profundidad, que puede estar relacionada con la microestructura del material, con el parámetro de El Haddad, a0, o con la longitud de iniciación ai. Algunos autores defienden evaluar dicho parámetro de daño en una zona, que puede ser una distancia, un área o un volumen, normalmente relacionados también con la microestructura del material, con a0 oai[22-24]. Existen otras propuestas que analizan la tensión en la superficie del material pero corrigen dicho valor para tener en cuenta el efecto del gradiente de tensión provocado por el concentrador. Los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos que combinan las fases de iniciación y de propagación dependen en gran medida del la longitud de iniciación ai, y en menor medida de la zona de evaluación del parámetro de daño. Esta es una de las principales limitaciones de estos métodos ya que no existe un consenso generalizado a la hora de definir dichos valores. En este apartado, se describirá un modelo de predicción de vida que combina las fases de iniciación y propagación, y que tiene la particularidad de que no es necesario definir a priori la longitud de iniciación ai, sino que este valor se obtiene como resultado de la aplicación del modelo. Para aplicar el modelo, ambas fases se analizan por separado para, posteriormente combinar los resultados de ambos análisis y obtener la vida a fatiga del espécimen bajo estudio, bajo las condiciones de carga establecidas. Este modelo, como podrá comprobase a continuación, permitirá tener en cuenta el efecto de la concentración de tensión, así como la existencia de estados tensionales multiaxiales y cargas no proporcionales. 3.1.1. Fase de iniciación El análisis de la fase de iniciación de grieta está basado en el trabajo de McClung el al. y requiere que, a lo largo del camino potencial de la misma y para un determinado valor de la carga, se determine la relación existente entre, una longitud de grieta cualquiera y el número de ciclos necesarios para iniciarla. Esto equivale a determinar una curva que, 46 Capítulo 3. Método Teórico como se muestra de forma esquemática en al figura 3.1, para cada valor posible de longitud de grieta, at, proporcione el número de ciclos necesarios para iniciarla Ni|atbajo la acción de una carga concreta. Ha de entenderse que esta vida de iniciación supone el número de ciclos necesarios para, generar una microgrieta, y propagarla mediante los mecanismos de iniciación detallados en el apartado 2.2.1 hasta que alcance dicha longitud at. Relación long. grieta-Nº ciclos iniciación Ni a Figura 3.1: Relación entre la longitud de grieta y el node ciclos necesarios para iniciarla Si, por simplicidad, se considera el caso de un espécimen sin entalla sometido a carga cíclica uniaxial, su vida total a fatiga, N, puede dividirse en dos periodos: la vida de iniciación Niy la vida de propagación Np. Si se conoce la curva de fatiga del material, la vida de iniciación puede obtenerse restando la vida de propagación a la vida total dada por esa curva, como se indica en la expresión Ni=N−Np(3.1) de forma que para una longitud de grieta cualquiera, at, la vida de iniciación podrá obtenerse como Ni|at=N−∫af at da f(a)(3.2) donde afes la longitud de grieta asociada a la rotura del espécimen, y f(a) es la ley de propagación de grieta, que habrá de ser integrada entre las longitudes inicial y final de grieta para obtener el número de ciclos de propagación Np. Es importante indicar que dicha ley de propagación ha de tener en cuenta la propagación de grietas pequeñas, ya que, al aplicar este modelo, la longitud inicial de grieta, at, puede tomar cualquier valor. Además, esta 3.1. Modelo de predicción de vida de Longitud de Iniciación Variable 47 ley de crecimiento de grieta ha de ser la misma que se emplee en el análisis de la fase de propagación que se detallará en el apartado 3.1.2. La curva de fatiga utilizada para determinar la vida total del espécimen, N, habrá de ser aquella que esté indicada para el problema bajo estudio. Si las deformaciones son predominantemente elásticas, podrá usarse una curva S-N, mientras que si existen deformaciones plásticas importantes, habrá de utilizarse una curva de tipo ε−N. Sin embargo, hay que tener en cuenta que, en muchas ocasiones, los componentes mecánicos y estructurales reales suelen estar sometidos a estados de carga que pueden ser no-proporcionales y/o que pueden provocar estados tensionales multiaxiales en el material. Para tener en cuenta el efecto de, tanto la multiaxialidad del estado tensional, como la noproporcionalidad de la carga, existen numerosas metodologías tal y como fue descrito en el apartado 2.4. El modelo que se está describiendo utiliza el criterio de Fatemi-Socie, que establece que el mecanismo de iniciación está gobernado por determinadas componentes de la tensión y deformación relativas al denominado plano crítico. Según estos autores, el plano crítico es aquel en el que la amplitud de la deformación tangencial es máxima, denominada por ∆γmax. Para evaluar el parámetro de daño por fatiga, este criterio establece que, aparte del valor de la amplitud de la deformación tangencial máxima, habrá de tenerse en cuenta la máxima tensión normal a dicho plano, σmax. El valor del parámetro de daño, FS, puede obtenerse a partir de la expresión FS =∆γm´ ax 2(1+kσm´ ax σy)(3.3) donde σyes el límite de fluencia del material y k es un parámetro de carácter experimental, que establece la sensibilidad de dicho material al efecto de la tensión perpendicular al plano crítico. El valor de k puede obtenerse mediante una calibración a partir de las curvas de fatiga axial y torsional del material, aunque si no se dispone de ambas curvas, también puede calcularse como el cociente entre σy, y el coeficiente de resistencia a fatiga de dicho material, σ‘f. Mediante la ecuación 3.3, y suponiéndose conocido el estado tensional, se puede evaluar el parámetro de daño por fatiga, FS, en cualquier punto del camino potencial de la grieta. Para caracterizar el estado tensional en el sistema bajo estudio se puede emplear, por ejemplo, un modelo de elementos finitos del mismo. 48 Capítulo 3. Método Teórico Es importante resaltar que, para poder usar la ecuación 3.2 de cara a obtener la vida de iniciación de una grieta cualquiera, es necesario expresar la curva de fatiga del material en términos del parámetro FS. Esta curva, que puede denominarse curva FS-N, permitirá obtener la vida total del espécimen, N, en función del valor de dicho parámetro. En el caso de que el componente que esté siendo analizado contenga una entalla, es necesario realizar ciertas modificaciones al procedimiento descrito anteriormente. En esta situación las tensiones, conforme se avanza hacia el interior del material, disminuyen rápidamente desde un valor máximo en la superficie de dicho componente. Por tanto, la vida de iniciación de cualquier grieta dependerá de dónde y cómo se evalúen dichas tensiones, deformaciones, o cualquier otro parámetro de daño que se esté utilizando. En efecto, si se considera una grieta de una longitud cualquiera, a, que se ha iniciado en el fondo de una entalla, tal y como se indica en la figura 3.2, se puede comprobar que durante el proceso de iniciación y propagación inicial hasta dicha longitud, la grieta ha estado sometida a valores del parámetro de daño muy superiores a los existentes a una profundidad equivalente a su longitud FS(a). Por tanto no sería correcto tomar este último valor como referencia para calcular la vida de iniciación de dicha grieta, ya que se obtendría un valor de ésta muy superior al real. De igual forma tampoco sería correcto utilizar el valor máximo del parámetro de daño, FS(0), ya que el cálculo sería demasiado conservativo. a FS Figura 3.2: Evolución del parámetro de Fatemi-Socie en una entalla 3.1. Modelo de predicción de vida de Longitud de Iniciación Variable 49 En el apartado 2.3 se describen distintas metodologías que pueden utilizarse para tener en cuenta la existencia de entallas, y en consecuencia el efecto de la concentración de tensión asociada a las mismas, a la hora de determinar el número de ciclos necesario para iniciar una grieta de longitud cualquiera at. Basándose en resultados anteriores, los autores proponen utilizar, como valor de referencia para este cálculo, el valor medio del parámetro de daño obtenido entre la superficie y una profundidad igual a la longitud de grieta que se esté considerando. Mediante este enfoque se está realizando la hipótesis de que, tanto en condiciones de tensión uniforme, como ante la presencia de un gradiente de tensión, el número de ciclos necesario para iniciar una grieta de longitud atserá el mismo, si el valor medio del parámetro de daño calculado entre la superficie y dicha longitud es el mismo en ambos casos. Obviamente esta hipótesis es una aproximación, y el error asociado a la misma será mayor cuanto mayor sea la zona en la que se está calculando el valor medio, es decir, cuanto mayor sea at. Además implica que, en diferentes situaciones, para un mismo valor medio de las tensiones (el parámetro de daño), la vida de iniciación obtenida será la misma. De cara al análisis de la fase de iniciación de una grieta, y según el planteamiento realizado en los párrafos anteriores, un componente real con entalla y sometido a un estado de tensiones multiaxial, puede ser considerado como un espécimen sin entalla sometido a carga uniaxial, si el efecto de la multiaxialidad se tienen en cuenta a mediante el parámetro de Fatemi-Socie, y el efecto de la entalla a través del valor medio de dicho parámetro. Haciendo uso del modelo propuesto, el estudio de la fase de iniciación de grieta puede puede realizarse mediante la utilización de las llamadas curvas de iniciación. Estas curvas permiten determinar, en función de la carga, el número de ciclos necesario para iniciar una grieta de una determinada longitud. A continuación se describirá el procedimiento a seguir para determinar las curvas de iniciación, el cuál se muestra de manera esquemática en la figura 3.3. La obtención de las curvas de iniciación puede entenderse como una calibración del material que, en función de las propiedades del mismo y del estado tensional existente, determina cuál sería la respuesta de dicho material a la hora de iniciar y propagar hasta la rotura grietas de distintas longitudes. Esta calibración, que puede obtenerse a partir de ensayos en laboratorio de es- 50 Capítulo 3. Método Teórico FS 2 FS 1 N i1|a2 N i2|a2 N i1|a1 N a 1 a1>a2 a 2 N p1|a2 N p2|a1 FS N p2|a2 N p1|a1 N 1 N 2 N i2|a1 Curva de fatiga del material Figura 3.3: Obtención de las curvas de iniciación de grieta pecímenes simples, será mas acertada cuanto mas parecido sea el espécimen utilizado en la misma al componente real bajo estudio. 1. En primer lugar habrá de obtenerse la curva de fatiga del material en términos del parámetro de Fatemi-Socie mediante la expresión 3.3. Esta curva, representada mediante trazos en la figura 3.3, proporciona el valor de la vida total N en función del parámetro de daño. Así mismo habrá de discretizarse el camino potencial de la grieta en el espécimen. Esto permitirá definir las distintas longitudes posibles de iniciación de grieta. 2. A continuación para un valor concreto del parámetro de daño FS1, se calculará la vida de propagación hasta la rotura para cada una de las longitudes de grieta que se han obtenido mediante la discretización realizada en el punto 1. Para ello habrá de integrarse la ley de crecimiento de grieta entre cada una de dichas longitudes y la correspondiente a la rotura del espécimen. 3. Para cada longitud de grieta, se restará a la vida total N1, la vida de propagación correspondiente Np1|a1,Np1|a2... De esta forma se obtendrá la vida de iniciación de cada una de ellas bajo las condiciones de carga establecidas en el punto 2, Ni1|a1, 3.1. Modelo de predicción de vida de Longitud de Iniciación Variable 51 Ni1|a2... 4. Las curvas de iniciación correspondientes a cada longitud de grieta pueden obtenerse repitiendo los pasos 2 y 3 para distintos valores del parámetro de daño FS. FS3 FS2 FS1 Ni|a3 Ni|a2 Ni|a1 N FS1 < FS2 < FS3 a1 > a2 >a3 a1 a3a2 Figura 3.4: Determinación de la vida de iniciación Una vez determinadas la curvas de iniciación relativas al material bajo estudio, éstas pueden utilizarse para determinar la vida de iniciación de grietas de distintas longitudes en el componente real analizado. Para ello es evidente que éste ha de estar fabricado en el mismo material que el utilizado para la obtención de las curvas de iniciación. A continuación se enumeran los pasos a seguir para realizar dicho cálculo y obtener la evolución de la vida de iniciación de grieta en función de la longitud de la misma en el componente real, que como se muestra en la figura 3.1, es el objetivo planteado al principio de este apartado. 1. El primer paso sería la obtención de la evolución del parámetro de Fatemi-Socie a lo largo del camino potencial de la grieta en el componente real bajo estudio. Esto puede conseguirse a partir de un modelo de elementos finitos del mismo y haciendo uso de la expresión 3.3. En este modelo habrá de identificarse y discretizarse dicho camino potencial de propagación de la grieta. 2. A continuación, para tener en cuenta el efecto de la entalla será necesario, para cada longitud de grieta, determinar el valor medio del parámetro de daño obtenido entre la superficie y la longitud de iniciación correspondiente. De esta forma, a cada longitud 52 Capítulo 3. Método Teórico de grieta estará asociado un valor distinto del parámetro de daño medio. 3. Finalmente, la vida de iniciación asociada a cada longitud de grieta, podrá obtenerse entrando en la curva de iniciación correspondiente, con el valor medio del parámetro de daño calculado en el punto anterior. Esto se muestra de forma esquemática en la figura 3.4. 3.1.2. Fase de propagación El modelo de predicción de vida propuesto analiza de la fase de propagación mediante la aplicación de métodos basados en la mecánica de la fractura. De manera equivalente al análisis de la fase de iniciación, el objetivo es determinar a lo largo del camino potencial de la grieta, el número de ciclos necesario para propagar una grieta de cualquier longitud, hasta la rotura del componente bajo estudio. En la figura 3.5, se muestra de manera esquemática la relación buscada. Relación long. grieta- Nº de ciclos propagacion Figura 3.5: Relación entre la longitud de grieta y el node ciclos necesarios para propagarla hasta la rotura El número de ciclos necesarios para propagar una grieta de una longitud athasta la 3.1. Modelo de predicción de vida de Longitud de Iniciación Variable 53 rotura mediante la expresión Np|at=∫af at da f(a)(3.4) donde afes la longitud de grieta asociada a la rotura del espécimen, y f(a) es la ley de propagación de grieta, que habrá de ser integrada entre las longitudes inicial y final de la misma. Dado que la longitud inicial de la grieta puede ser muy pequeña, dicha ley de propagación ha de contemplar el crecimiento de grietas cortas. El modelo que se está describiendo utiliza la siguiente ley de crecimiento de grieta, que presenta un umbral de crecimiento modificado en función de la longitud de la grieta: f(a) = C ∆Kn− ∆Kth∞(af af+af 0−lf 0)1/2f  n (3.5) donde ∆Kth∞es la amplitud del factor de intensidad de tensiones umbral para el crecimien- to de grietas largas, f es un parámetro cuyo valor se toma de manera general igual a 2.5, a0es el parámetro de El Haddad, dado por la expresión 2.18 y l0es la distancia media hasta la primera barrera microestructural. Si se considera que, en el material analizado, las únicas barreras microestructurales son los límites de grano, l0puede tomarse igual a la mitad del tamaño de grano medio. En la ecuación 2.18 el límite de fatiga ha sido evaluado a 106ciclos. El factor que modifica el umbral de crecimiento de grietas largas en la expresión 3.5, proviene de una aproximación teórica del diagrama de Kitagawa-Takahashi basada en resultados experimentales. Para poder aplicar la ecuación 3.4 es necesario conocer la evolución del factor de intensidad de tensiones, ∆K, a lo largo del camino potencial de la grieta. Dicha evolución, dependiendo de la geometría del componente analizado, podrá determinarse a partir de distintos manuales, como los indicados en el apartado 2.2.2. Si la geometría es compleja, la forma mas común de determinar la evolución de ∆Kserá mediante técnicas numéricas, principalmente haciendo uso del método de los elementos finitos. 3.1.3. Combinación de iniciación y propagación: Vida total Para determinar la vida a fatiga total, el modelo descrito propone sumar las curvas calculadas durante los análisis de las fases de iniciación y propagación. El resultado de esta 60 Capítulo 3. Método Teórico se puede recalcular el node ciclos hasta la rotura como Nf,j: Nf,j=N0(∆σ0 ∆σ1,i)b (3.9) 5. Si el valor obtenido Nf,jno es igual al supuesto inicialmente Nf,iserá necesario repetir el proceso, imponiendo Nf,i=Nf,jhasta alcanzar el nivel de convergencia deseado. Δσbruta Δσbruta r LM( Nf,a) 2 Δσ1 Δσ1,a Entalla Figura 3.9: Uso de la TDC para estimar la vida de componentes con entalla Merece la pena comentar que, aunque se ha empleado el Método del Punto para describir este procedimiento de estimación de vida, siguiendo estrategias similares podría haberse empleado cualquiera de los métodos mencionados anteriormente. Finalmente es importante resaltar que el planteamiento expuesto en los párrafos anteriores es válido para estimar la vida a fatiga de componentes con entalla sometidos a cargas cíclicas uniaxiales. Sin embargo, los elementos mecánicos y estructurales reales suelen estar sometidos a cargas que generan estados tensionales multiaxiales. En el siguiente apartado se describe un método que permite caracterizar la vida a fatiga teniendo en cuenta la multiaxialidad del estado tensional existente. 3.2. Modelo de predicción de vida basado en la Teoría de la Distancia Crítica 61 3.2.2. El MCWM: estimación de la vida a fatiga en presencia de multiaxialidad El Método de la Curva de Wohler Modificada (MCWM) [27] permite tener en cuenta el efecto de la multiaxialidad del estado tensional a la hora de caracterizar el comportamiento a fatiga de componentes mecánicos. Este método toma como punto de partida la idea de que el daño por fatiga en materiales homogéneos e isótropos puede estimarse modelando tanto la iniciación como la propagación inicial de micro/meso grietas en el material. El comportamiento a fatiga de materiales con grietas puede estudiarse a tres niveles distintos: micro meso y macroscópico [54]. En concreto, una micro-grieta se localiza en el interior de un solo grano, una meso-grieta abarca varios granos y una macro-grieta es aquella que cubre un número elevado de granos en el material. Desde un punto de vista formal [55][56], para modelar correctamente el comportamiento de una micro/meso grieta, habría que tener en cuenta la morfología real de la microestructura del material así como el comportamiento elasto-plástico de los granos. Sin embargo, tener en cuenta estos aspectos sería una tarea demasiado compleja como para que pudiera ser utilizada en situaciones de interés práctico. Por este motivo han de establecerse hipótesis simplificativas como son suponer que el comportamiento de los materiales metálicos convencionales es lineal, elástico, homogéneo e isótropo. Teniendo en cuenta las limitaciones expuestas en el párrafo anterior, el MCWM se basa en un modelo de daño por fatiga que pretende describir la iniciación y la propagación inicial de micro/meso grietas empleando para ello las tensiones macroscópicas obtenidas a partir de los conceptos de la Mecánica de Medios Continuos. El MCWM asume que en el régimen de fatiga a medio/alto número de ciclos, tanto la iniciación como el crecimiento inicial de micro/meso grietas depende de la tensión tangencial que actúa sobre los granos situados en la zona de iniciación de dichas grietas [35][57]. La validez de esta hipótesis se fundamenta, como se explicó en el apartado 2.2.1, en las evidencias experimentales de que la formación de bandas de deslizamiento persistentes está relacionada con la existencia de esfuerzos tangenciales de carácter cíclico. En concreto, es la amplitud de la tensión tangencial τala que controla el mecanismo de 62 Capítulo 3. Método Teórico iniciación de grietas, ya que se ha comprobado experimentalmente [40][58] que el efecto de la tensión tangencial media es despreciable desde el punto de vista del diseño a fatiga. Teniendo en cuenta esto, es lógico suponer que, de entre los infinitos planos que pasan por el punto dónde potencialmente se iniciará la grieta, el máximo daño por fatiga ocurrirá en el plano dónde la amplitud de la tensión tangencial alcance su máximo valor. Será por tanto en este plano, denominado plano crítico, donde se inicie la grieta. Así mismo hay que tener en cuenta, que tanto la iniciación como la propagación de una grieta se ven influenciadas por el valor de la tensión normal al plano crítico [36]. En concreto, una tensión normal de tracción separa las caras de la grieta favoreciendo su crecimiento, mientras que una tensión normal de compresión reduce el ritmo de crecimiento de ésta dado que hace que aumente la fricción entre sus caras. De acuerdo con este razonamiento, se puede suponer que el efecto de la tensión media sobre el daño a fatiga puede ser tenido en cuenta a través del valor de la tensión máxima perpendicular al plano crítico σn,max[43]. De acuerdo con lo expuesto en los párrafos anteriores, para llevar a cabo el diseño a fatiga de componentes mecánicos utilizando el enfoque clásico del plano crítico habrán de tenerse en cuenta tanto la máxima amplitud de la tensión tangencial τa, como la tensión máxima perpendicular a dicho plano σn,max [44][45]. Para determinar el plano crítico es importante destacar que a partir del estado tensional en un punto, siempre pueden obtenerse dos o mas planos donde τaes máxima. De entre todos estos planos, el plano crítico será aquel donde la tension normal alcance su valor máximo, ya que será en éste donde el daño por fatiga será mayor. El MCWM tiene en cuenta la multiaxialidad del estado tensional existente en el punto de iniciación de la grieta mediante el parámetro ρ: ρ=σn,max τa (3.10) La principal característica de este parámetro es que tienen en cuenta tanto la presencia de cargas estáticas superpuestas como la existencia de cargas no-proporcionales (fuera de fase). Sin embargo, ante la evidencia experimental de que no todos los materiales presentan la misma sensibilidad ante el valor medio de la tensión [59], y para tener en cuenta este 3.2. Modelo de predicción de vida basado en la Teoría de la Distancia Crítica 63 hecho, el grado de multiaxialidad dado por la ecuación 3.10 puede redefinirse como ρe f f =mσn,m τa +σn,a τa (3.11) donde σn,myσn,ason respectivamente el valor medio y la amplitud de la tensión perpendicular al plano crítico y m es el denominado índice de sensibilidad a la tensión media, una propiedad del material que puede ser determinada experimentalmente. Merece la pena destacar que la distinta sensibilidad de distintos materiales al efecto de la tensión media parece estar asociada a la existencia de un valor umbral de dicha tensión; valor a partir del cual, un incremento de la misma no supone un aumento del daño por fatiga. Desde un punto de vista físico, este fenómeno parece estar relacionado con el hecho de que para valores de la tensión media perpendicular al plano crítico inferiores al umbral existe cierta fricción entre las caras de la grieta, que ralentiza el crecimiento de la misma y que desaparece al superarse el valor de dicho umbral. De esta forma, m es un parámetro que varía entre 0 y 1 y que permite determinar que fracción de la tensión media normal al plano crítico separa de manera efectiva las caras de la micro/meso grieta, favoreciendo el crecimiento de la misma. Cuando m vale 0 el material es insensible a la presencia de cargas estáticas superpuestas y cuando vale 1 el material es totalmente sensible a la existencia de dichas cargas. Recapitulando, según la definición de la ecuación 3.11 y tal y como se muestra en la figura 3.10, el daño por fatiga puede modelarse a través del MCWM si son conocidas tres magnitudes: El fenómeno de iniciación y propagación de micro/meso grietas depende de la amplitud de la tensión tangencial máxima τa. La influencia de la tensión cíclica perpendicular al plano de la micro/meso grieta es función de la amplitud de la tensión normal al plano crítico σn,a. La parte de la tensión media perpendicular al plano crítico que separa de manera efectiva las caras de la micro/meso grieta es igual a mσn,m. Para finalizar, y una vez explicada la forma en que el MCWM tiene en cuenta la existencia de cargas no-proporcionales y de estados tensionales multiaxiales, resulta interesante 64 Capítulo 3. Método Teórico Zona de proceso de fatiga y x Plano crítico Plano crítico m·σn,m m·σn,m σn,a σn,a τa τa Figura 3.10: Modelo de daño por fatiga empleado en el MCWM describir la forma de aplicar este método para estimar la vida a fatiga. En la figura 3.11 se muestra de manera esquemática la forma de usar el MCMW. La idea es obtener una curva de Wohler del material modificada en términos de la amplitud de la tensión tangencial (curva τa−N), de manera que una vez conocido el estado tensional en el punto de iniciación de la grieta y entrando en dicha curva con el valor de τa, se obtenga directamente el valor del número de ciclos hasta la rotura Nf. Para ello, existen estudios experimentales que sugieren que puede establecerse una dependencia lineal de la pendiente de dicha curva, así como del límite de fatiga de la misma con el grado de multiaxialidad ρe f f del estado tensional: kτ(ρe f f ) = aρe f f +b(3.12) τA,Ref (ρe f f ) = αρe f f +β(3.13) donde a, b,αyβson constantes que dependen del material y que, como se comprobará mas adelante, pueden determinarse experimentalmente a partir de dos curvas de calibración. Suponiendo conocidas kτ(ρe f f )yτA,Ref (ρe f f )la vida estimada del espécimen bajo estudio puede obtenerse como: Nf,e=N0(τA,Ref τa)kτ (3.14) A continuación, en el siguiente apartado, se describirá la forma de combinar la TDC y el MCWM para estimar la vida a fatiga de componentes mecánicos con entallas en presencia 3.2. Modelo de predicción de vida basado en la Teoría de la Distancia Crítica 65 [σ(t)] τa , σn,m, σn,a, ρeff τa τa Kτ(ρeff) τA,Ref(ρeff) Nf,e N0Nf 1 τA,Ref(ρeff), Kτ(ρeff) F(t) Figura 3.11: Aplicación del MCWM de estados tensionales multiaxiales. 3.2.3. Combinación de TDC y MCWM para estimación de vida a fatiga en entallas multiaxiales La combinación de la TCD y el MCWM pretende conformar un procedimiento eficiente desde el punto de vista práctico para diseñar elemntos mecánicos reales a fatiga cuando existe concentración de tensión y cargas, tanto proporcionales como no proporcionales, que provocan estados tensionales multiaxiales. Por un lado, la TDC permite tener 66 Capítulo 3. Método Teórico en cuenta el efecto de la escala y de dicha concentración de tensión, mientas que por otro lado, el MCWM considera la influencia de la multiaxialidad de las tensiones y de la noproporcionalidad de la carga durante el proceso de fatiga. En primer lugar, para aplicar este procedimiento combinado hay que tener en cuenta que ambas metodologías han de ser correctamente calibradas en función del material del componente bajo estudio, tal y como se indica en los apartados 3.2.1 y 3.2.2. Por un lado, la TDC, que por simplicidad será formalizada a través del Método del Punto, será calibrada mediante las curvas de fatiga uniaxiales del material con y sin entalla, lo que permitirá la relación existente entre el número de ciclos hasta la rotura Nfy la distancia crítica L a través de la expresión 3.8. Por otro lado, el MCWM necesita ser calibrado para conocer las constantes a,b,αyβ de las ecuaciones 3.12 y 3.13. Estas ecuaciones establecen la relación lineal entre la pendiente kτy el límite de fatiga τA,Ref de la curva de Wohler modificada en términos de la amplitud de la tensión tangencial τa, y el grado de multiaxialidad del estado tensional ρe f f . Para la obtención de estas constantes se usarán como curvas de calibración las curvas de fatiga uniaxial y torsional pura del material, ambas obtenidas para un coeficiente de asimetría de la carga R=-1. Una vez calibrados el Método del Punto y el MCWM, el uso combinado de los mismos para estimar la vida a fatiga se realiza como se indica de manera esquemática en la figura 3.12. 1. En primer lugar, será necesario identificar en el componente bajo estudio el punto de iniciación de la grieta, que coincidirá con el punto de máxima concentración de tensión provocada por la entalla. Partiendo de este punto y siguiendo una línea recta perpendicular a la superficie de dicho componente, se establecerá el camino potencial de la grieta que será descrito por la coordenada r. 2. A lo largo del camino potencial de la grieta habrá de determinarse el estado tensional; normalmente esto se conseguirá mediante un análisis elástico lineal a partir de un modelo de elementos finitos del sistema bajo estudio. A partir del estado tensional podrá determinarse la evolución del plano crítico a lo largo del camino de la grieta 3.2. Modelo de predicción de vida basado en la Teoría de la Distancia Crítica 67 F(t) A Focus pathr ρeff=ρlim A . NB f 2– r A . NB f,e 2= r r LM( Nf,e) 2 Nf,e ρeff τa Figura 3.12: Aplicación combinada de la TDC y el MCWM para estimación de la vida a fatiga y las distintas componentes de la tensión tangencial y perpendicular a dicho plano τa(r),σn,m(r)yσn,a(r). 3. A partir de las componentes de la tensión calculadas en el punto anterior, y utilizando la expresión 3.11, se determinará el grado de multiaxialidad del estado tensional ρe f f (r)en cada punto perteneciente al camino potencial de la grieta. Para cada valor de ρe f f (r)se podrá establecer una curva de Wöhler modificada (curva τa−N), calculándose para ello en cada punto los valores de kτ(ρe f f )yτA,Ref (ρe f f )mediante las ecuaciones 3.12 y 3.13 respectivamente. Las curvas de Wöhler modificadas permitirán determinar en cada punto del camino de la grieta, y en función de la amplitud de la tensión tangencial τa(r), el número de ciclos hasta la rotura Nf(r) 4. Utilizando la ecuación 3.8 se calculará una distancia crítica L(r) asociada a cada pun- to del camino de propagación de la grieta. Según el Método del Punto, para estimar la vida a fatiga en una entalla, las tensiones han de evaluarse a una distancia del fondo de la misma igual a L/2, es decir r=L/2, por tanto r=L(r) 2=ANB f(r) 2 68 Capítulo 3. Método Teórico ANB f(r) 2−r=0 (3.15) Determinándose el valor de r que satisface la expresión 3.15 se obtendrá el punto del camino de la grieta en el que ha de evaluarse la vida a fatiga para obtener la vida del componente analizado, bajo las condiciones de carga establecidas. 3.3. Modelo FEM para cálculo de tensiones En este apartado se describirá detalladamente el modelo de elementos finitos que se ha desarrollado para caracterizar el estado tensional en el implante. Conocer dicho estado tensional es imprescindible de cara a estimar la vida a fatiga del implante mediante la aplicación de los modelos de predicción presentados en los apartados 3.1 y 3.2. Este modelo ha sido realizado en el software comercial de elementos finitos ANSYS Workbench a partir de una geometría generada en el software comercial de CAD Solidworks. Así mismo, en este trabajo, la vida estimada se comparará con los resultados experimentales obtenidos al ensayar el implante según la norma ISO 14801. Por este motivo, el modelo FEM descrito en este apartado, habrá de ser capaz de simular correctamente, no solo la geometría del implante y de sus componentes, sino también las condiciones de ensayo impuestas por dicha norma. En el capítulo 4 se describen las principales características de esta norma y la forma en que ha sido aplicada durante el ensayo de los implantes. A la hora de llevar a cabo un análisis de EF existen distintos aspectos que hay que tener en cuenta de cara a la fiabilidad de los resultados obtenidos del mismo. En primer lugar es imprescindible fijar los objetivos que se persiguen con dicho análisis, que pueden ser, por ejemplo, obtener la máxima tensión de Von Misses en una determinada zona de un componente, de cara a determinar si será capaz de soportar su carga de servicio, o calcular las frecuencias de resonancia de un mecanismo para saber si, durante su funcionamiento puede entrar en resonancia y puede ocurrir el fallo prematuro del mismo... Fijar los objetivos permitirá determinar el tipo de análisis a realizar, como puede ser estático, dinámico, térmico... y los componentes o zonas clave del sistema que se va a analizar. Estos últimos habrán de recibir una especial atención a la hora de elaborar el modelo. 3.3. Modelo FEM para cálculo de tensiones 69 Existen otros aspectos a destacar a la hora de realizar un análisis FEM como son: el correcto modelado de la geometría del sistema a analizar, la calidad de la malla empleada, la correcta aplicación de las cargas y de las condiciones de contorno, así como la adecuada configuración de dicho análisis, especialmente en lo relativo a la asignación de las propiedades mecánicas y el tipo de comportamiento de los materiales que componen el sistema y la elección del tipo o tipos de elementos mediante los cuales se realizará el modelo. Finalmente será necesario verificar los resultados obtenidos del análisis, para lo cual habrán de realizarse ciertas comprobaciones como pueden ser determinar si las cargas están equilibradas con las reacciones, si existen movimientos relativos entre partes que debieran estar unidas solidariamente, así como verificar la continuidad de la malla y la convergencia de los resultados en función del número de elementos empleado en el modelo. El modelo que se describirá en este apartado se utilizará para estimar la vida a fatiga de un sistema de implante dental. En concreto, para poder aplicar los dos modelos de predicción de vida presentados en los apartados 3.1 y 3.2, es necesario conocer el estado de tensiones y deformaciones a lo largo del camino potencial que seguirá la grieta que provocará la rotura del implante. Este será, por tanto, el objetivo que se persigue con el análisis del modelo de elementos finitos. Para cumplir el objetivo planteado en el párrafo anterior, habrá de realizarse un análisis estático del implante, en el que previamente habrá de identificarse dicho camino potencial de la grieta. En la figura 3.13 se muestra la geometría del sistema de implante así como las condiciones de carga y de sujeción impuestas durante el ensayo del mismo. En dicha figura se señala la zona en la que se considera mas probable que se inicie la grieta. Dicha zona se considera favorable para la iniciación por dos motivos: Es ahí donde el momento flector provocado por la carga será máximo y por tanto donde, de manera global, se alcanzarán las tensiones máximas. Por otra parte, en dicha zona existe una alta concentración de tensión provocada por el roscado exterior del cuerpo del implante que actúa como entalla. La presencia de una entalla, como se ha mencionado en el apartado 2.3, favorece los mecanismos que provocan la iniciación de grietas en un material. En concreto, de cara al análisis que se va a realizar, y como se muestra en la figura 3.14, se supondrá que la grieta se iniciará en el fondo de la rosca exterior del cuerpo del implante 76 Capítulo 3. Método Teórico Figura 3.19: Miembro hemisférico de carga del sistema de implante dental ICI de implante que se está analizando, en los que aparte de la complejidad de la geometría, existen altos gradientes de tensión que llevan asociados comportamientos no lineales del material, contactos relativos entre varios componentes, así como distintos tipos de condiciones de contorno y de esfuerzos, es imprescindible controlar de forma manual el proceso de mallado. Será necesario, por ejemplo, refinar la malla en determinadas zonas de un componente, a la vez que imponer que el tamaño de los elementos sea mayor en otras zonas del mismo, alejadas de las zonas de interés. El control manual de la malla no es una tarea sencilla, ya que, en general, habrá de llegarse a un compromiso entre el número de elementos (o nodos) del modelo y la capacidad de cálculo de que se dispone. Normalmente, el control manual de la malla, implicará dividir la geometría en varias partes y en ocasiones, cuando 3.3. Modelo FEM para cálculo de tensiones 77 Figura 3.20: Ensamblaje del sistema de implante dental ICI el número de elementos del modelo es inabarcable desde el punto de vista computacional, será necesario recurrir a técnicas avanzadas de modelado como el uso de submodelos o subestructuras. El sistema de implante dental que se está modelando es un ensamblaje, es decir, un conjunto de cuerpos independientes entre los que existen distintas relaciones, que en este caso concreto impiden el movimiento relativo entre los mismos. Entender la forma en que ANSYS Workbench trata los ensamblajes es importante de cara a planificar el mallado de cada uno de los componentes del sistema bajo estudio. ANSYS Workbench considera que un ensamblaje está formado por distintas partes. El 78 Capítulo 3. Método Teórico mallado de cada una de estas partes es, en principio, independiente del de las otras, es decir, aunque dos partes estén en contacto, no compartirán los nodos en las zonas de contacto y podrán moverse de manera independiente la una respecto a la otra. Es más, si no se define ningún tipo de relación entre ellas, cada una se comportará como si la otra no existiera. La forma general de establece que ambas partes se relacionen entre sí es mediante la definición de un contacto entre ambas. Existen distintos tipos de contactos, como por ejemplo de tipo "bonded"(pegado), friccional, y de no separación, y distintas formulaciones matemáticas para caracterizarlos. Por otro lado, cada una de las partes que componen un ensamblaje puede estar formada por varios cuerpos. El mallado entre los cuerpos dentro de una misma parte es conforme, es decir, las mallas compartirán los nodos en las zonas de contacto. Esto implica que estos, al estar incluidos dentro de una misma parte se comportarán como si estuvieran unidos entre sí, sin necesidad de definir ningún tipo de relación de contacto entre ellos. Finalmente, merece la pena mencionar que es posible realizar un mallado conforme entre partes mediante la opción de çompartir topología". Esta opción, que habrá de ser activada en el nivel de la geometría, detecta todas las superficies que se encuentran en contacto dentro de un ensamblaje y obliga a que la malla sea conforme en ellas. El problema de esta opción es que no permite seleccionar que partes compartirán la geometría y cuales de ellas no lo harán, sino que se aplica al ensamblaje completo. Teniendo en cuenta lo expuesto en los párrafos anteriores, el modelo del sistema de implante dental, será un ensamblaje que estará formado por cuatro partes, correspondientes a los cuatro componentes del mismo, que serán malladas de manera independiente. Las relaciones entre estas partes se establecerán en el apartado 3.3.3 cuando se describan las condiciones de contorno del modelo. Así mismo la parte correspondiente al cuerpo del implante estará formada a su vez por cuatro cuerpos, lo que permitirá, como se comprobará mas adelante, ejercer mas control sobre la malla en la zona de interés (donde se desarrollará la grieta), así como establecer un comportamiento elasto-plástico a dicha zona. Una cuestión importante a la hora de llevar a cabo el mallado de un modelo es la elección del tipo de elemento o elementos a utilizar. En ANSYS existe una gran variedad de 3.3. Modelo FEM para cálculo de tensiones 79 tipos de elementos que pueden elegirse en función de las características topológicas de la geometría del modelo, de los requisitos del tipo de análisis que se vaya a llevar a cabo, y del tipo de malla que se desee utilizar. En función de la geometría del modelo podrán utilizarse elementos de tipo solido, placa o lámina y de tipo viga o tubería, entre otros, dependiendo de si la geometría está formada por sólidos, superficies o líneas. En cuanto al tipo de análisis, se ha mencionado anteriormente que éste puede ser, por ejemplo, estático, dinámico, térmico, electromagnético... y existen elementos con características especiales para cada uno de ellos. Figura 3.21: Mallado libre y mallado mapeado En lo relativo al tipo de mallado que desee utilizarse, existen principalmente dos: El mallado libre y el mallado "mapeado"(mapped meshing), en la figura 3.21 pueden observarse las diferencias entre ambos. El mallado libre puede utilizar elementos tanto tetraédricos como hexaédricos, ya que no presenta restricciones en cuanto a la forma de los mismos, y no sigue ningún patrón. Este tipo de malla es aconsejable en modelos con geometría compleja. El mallado mapeado sigue un patrón preestablecido y emplea, en el caso de volúmenes, solamente elementos hexaédricos (de tipo brick). Este tipo de malla, aunque es más eficiente desde el punto de vista computacional, presenta una serie de restricciones de carácter topológico que hacen que sea difícil de utilizar en geometrías complejas. 80 Capítulo 3. Método Teórico Figura 3.22: Geometría del elemento SOLID187 El análisis que se realizará con el modelo que se está describiendo es de tipo estático y se utilizará un mallado libre de elementos sólidos, dado que la geometría es compleja y está compuesta íntegramente por volúmenes. El elemento que se utilizará es el SOLID187, un elemento tetraédrico de 10 nodos de propósito general, recomendado para geometrías irregulares, cuya descripción geométrica puede observarse en la figura 3.22. Este elemen- to tienen definidos 3 grados de libertad en cada nodo: las traslaciones en las direcciones X, Y y Z, e interpola los desplazamientos mediante funciones de forma cuadráticas. Así mismo admite incorporar leyes de comportamiento plástico al material, entre otros tipos de comportamiento. En la figura 3.23 se muestra la malla realizada para modelar el miembro hemisférico. Como condición para mallar este elemento se ha impuesto que, siempre que sea posible desde un punto de vista geométrico, los elementos tengan un tamaño mínimo de 0.8 mm. La malla consta de un total de 23500 elementos y 40000 nodos. Se trata de una malla relativamente grosera, pero esta parte está tan alejada de la zona de interés, que la calidad de su malla no influye en las tensiones existentes en dicha zona. Una vez resuelto el modelo habrá de comprobarse que la carga aplicada a esta parte se transmite correctamente al pilar a través de la reacciones en las zonas de contacto entre ambos. 3.3. Modelo FEM para cálculo de tensiones 81 Figura 3.23: Malla del miembro hemisférico de carga En la figura 3.24 se puede observar la malla del pilar. Esta parte está en contacto con todas las demás partes del sistema de implante dental. Por una lado se encargará de transmitir los esfuerzos provenientes del miembro hemisférico al cuerpo del implante a través de la zona de contacto entre ambos, que se encuentra situada en el interior de dicho cuerpo del implante. Por otro lado, este componente servirá de apoyo a la cabeza del tornillo de retención y resistirá los esfuerzos derivados del apriete de éste. Su malla se compone de un total de 19800 elementos y 32000 nodos y también es relativamente grosera por los mismos motivos expuestos para el caso del miembro hemisférico. A continuación, en la figura 3.25, se muestra la malla del tornillo de retención. El mallado de este componente es un aspecto controvertido, dado su pequeño tamaño comparado con el resto de partes del modelo, y la topología de pequeña escala que presenta en su zona roscada. No se considera un elemento esencial del modelo dado que no se encuentra en 82 Capítulo 3. Método Teórico Figura 3.24: Malla del pilar la zona donde se desarrollará la grieta, sin embargo su presencia en el mismo no puede obviarse ya que influye de manera considerable en el valor de las tensiones en dicha zona. Por un lado, mediante su apriete transmite ciertos esfuerzos al interior del cuerpo del implante a través de los filetes de su rosca, lo que modifica la distribución de tensiones en la zona final del camino de la grieta. Por otro lado, su presencia hace de núcleo al cuerpo del implante, contribuyendo en parte a resistir las tensiones generadas por la carga externa aplicada al miembro hemisférico. Para tener en cuenta los efectos del tornillo de retención sobre las tensiones en la zona de la grieta no es necesario que la malla del mismo sea muy fina, sobre todo si se tiene en cuenta que: por un lado, el objetivo de este estudio no es analizar y dimensionar dicho tornillo, y por otro que el par de apriete del mismo será aplicado a través de una carga de 3.3. Modelo FEM para cálculo de tensiones 83 Figura 3.25: Malla del tornillo de retención pre-tensión y no imponiendo una torsión, situación esta última que complicaría innecesariamente el modelo. La malla del tornillo de retención consta de 34800 elementos y 50000 nodos. La malla más compleja del modelo es la del cuerpo del implante y puede observarse en la figura 3.26. En esta figura se indican también los cuatro cuerpos en que se ha descompuesto la geometría del mismo: La Zona Superior, que queda por encima de la zona de interés, integra la cabeza del implante y está en contacto con el pilar y con el tornillo de retención. La Zona Inferior, que queda por debajo de la zona de interés, y es poco relevante de cara a los resultados del estudio ya que, como se comprobará en el apartado 3.3.3, los desplazamientos de su superficie exterior estarán impedidos por una condición de contorno de empotramiento. La Zona Trasera, situada a la misma altura que la zona de interés. Es importante que la malla de esta zona presente una alta densidad de elementos aunque no será necesario refinar dicha malla en los valles de los roscados tanto interior como exterior ya que no se pretende determinar el valor máximo de la tensión en dichos valles. 84 Capítulo 3. Método Teórico Figura 3.26: Malla del cuerpo del implante La Zona Grieta es la zona de interés y la calidad de su malla es crítica de cara a los resultados obtenidos del análisis del modelo. En la figura 3.27 se muestra en detalle la malla que se ha realizado para esta zona. (Tamaño de elemento, fondo de rosca, zona iniciación esferas, zona de propagación esferas, convergencia en tensiones en dicha zona, comportamiento elastoplástico). 3.3. Modelo FEM para cálculo de tensiones 85 Figura 3.27: Malla del la zona de desarrollo de la grieta 3.3.3. Condiciones de contorno y contactos entre las partes del modelo En este apartado se describirán las condiciones de contorno aplicadas al modelo, así como los contactos definidos entre las distintas partes del mismo. Como se ha mencionado en secciones anteriores, existen varios contactos entre las distintas partes del modelo. El contacto entre el miembro hemisférico y el pilar en el sistema de implante real se asegura mediante un material adhesivo por lo que las superficies de contacto entre ambos se mantienen en todo momento unidas. La forma de modelar este tipo de unión en ANSYS es mediante la definición de un contacto de tipo "bonded". Con este tipo de contacto las superficies se consideran pegadas o soldadas y esto se consigue imponiendo que ciertos nodos de una de dichas superficies no se desplacen ni roten respecto a ciertos nodos de la otra. Entre las ventajas del contacto "bonded", se puede destacar que requiere un bajo coste computacional ya que, al no existir deslizamiento ni desplazamiento relativo entre las superficies implicadas, el modelo sigue siendo lineal y su resolución no implica procesos iterativos. 92 Capítulo 4. Método Experimental en este apartado se describirá el utillaje diseñado para los ensayos y se presentarán los resultados de los mismos. 4.1. Propiedades del titanio comercialmente puro de grado IV En los apartados 2.5 y 2.6, donde se habló sobre las propiedades del titanio y de sus aleaciones, se puso de manifiesto la escasez de referencias relativas a este material (a excepción del Ti-6Al-4V), y las dificultades encontradas a la hora de buscar propiedades de fatiga y de fractura del titanio comercialmente puro de grado 4. Las propiedades encontradas, aparte de ser escasas, presentan una gran dispersión, atribuible por un lado, a las distintas metodologías de ensayo aplicadas, y por otro, a los distintos procedimientos empleados en la fabricación, tanto de los especímenes utilizados en dichos ensayos, como del material de partida para los mismos. La escasez de propiedades relativas al Ti c.p. gr 4 y la gran dispersión de las existentes motivó la elaboración de un plan de ensayos que permitiera determinar las propiedades necesarias para aplicar los modelos de predicción de vida planteados en los apartados 3.1 y 3.2. El material de partida utilizado para fabricar las probetas para los ensayos, proviene del mismo fabricante que el empleado en la fabricación de los implantes, con el objetivo de minimizar la dispersión en las propiedades inherente a dicho material de partida. En concreto, las probetas, cuyo diseño se detallará en el apartado 4.1.2, han sido mecanizadas a partir de barras de Ti cp gr4 estiradas en frío. En la figura 4.1 se muestra la microestructura del material con distintos aumentos. Para realizar las micrografías se ha empastillado el material en resina epoxy y se ha atacado su superficie con HF para revelar su microestructura. Para determinar el tamaño de grano medio se ha utilizado un software de edición de gráficos. A través de este software se ha estimado que el tamaño de grano medio es de 10 micras. En los siguientes apartados se describirá el plan de ensayos que se ha llevado a cabo, así como algunos aspectos del mismo que se consideran importantes. 4.1. Propiedades del titanio comercialmente puro de grado IV 93 Figura 4.1: Micrografías del Ti cp grIV 94 Capítulo 4. Método Experimental 4.1.1. Objetivos y planificación de los ensayos El primer paso a la hora de diseñar un plan de ensayos es establecer los objetivos que se persiguen con dicho plan. Así mismo, existen otros factores a tener en cuenta a la hora de planificar un estudio experimental com son, por ejemplo, las características de las máquinas de ensayo disponibles, el utillaje y equipos auxiliares necesarios, así como aspectos económicos relacionados con el coste de fabricación de los especímenes de ensayo y de realización de dichos ensayos. En este estudio, se pretende determinar ciertas propiedades mecánicas del titanio cp gr IV, como son las propiedades de elasticidad y de rotura estática, de fatiga y de fractura. Así mismo se establecerá como se ven modificadas las propiedades de fatiga del Ti cp gr IV ante la presencia de entallas, por los efectos del mecanizado y cuando la superficie del material es modificada mediante un tratamiento superficial denominado Nanoblast. Este tratamiento es idéntico al que presentan los implantes y se pretende determinar el efecto del mismo, por un lado respecto al material, y por otro al material con entalla. En lo relativo a las propiedades elásticas y de rotura estática, será necesario realizar ensayos de rotura estática uniaxiales sobre probetas de Ti cp grIV. Estos ensayos permitirán obtener el módulo de elasticidad, E, el límite de rotura σuts, el límite elástico σy, así como establecer una ley de comportamiento plástico del material que, como se mencionó anteriormente, será utilizada en el modelo de EF para el cálculo de tensiones. Para esta parte del estudio experimental serán necesarias entre 5 y 10 probetas. Para caracterizar el comportamiento a fatiga del Ti cp grIV, así como determinar el efecto del mecanizado y del tratamiento superficial en dicho comportamiento será necesario ensayar cuatro grupos distintos de probetas, tal y como se especifica en a continuación: Inicialmente, para obtener la curva de fatiga del material se ensayarán probetas pulidas a distintos niveles de carga, lo que permitirá obtener el límite de fatiga del material. Para obtener esta curva serán necesarias 20 probetas. El siguiente grupo de probetas estará destinado a cuantificar la influencia del tratamiento superficial Nanoblast en las propiedades de fatiga del material. Para ello, una 4.1. Propiedades del titanio comercialmente puro de grado IV 95 vez obtenida la curva de fatiga del mismo, habrán de ensayarse probetas con características geométricas similares a las utilizadas para obtener dicha curva, teniendo en cuenta que, una vez pulidas, se les ha de aplicar este tratamiento. A continuación, usando otro grupo de probetas se cuantificará el efecto del mecanizado en el material. La eliminación de material mediante mecanizado puede inducir tensiones residuales, así como marcas sobre la superficie del mismo, que pueden tener algún efecto (por determinar) sobre su resistencia a fatiga. Resulta interesante estimar dicho efecto y para ello se propone ensayar probetas a las que no se les modificará la superficie después del proceso mecanizado. Finalmente, dado que los implantes, una vez mecanizados, son tratados superficialmente, resulta interesante realizar otro grupo de ensayos destinados a establecer las modificaciones que sufre la curva de fatiga del material cuando las probetas de ensayo son tratadas directamente después del mecanizado, es decir, sin pulir. Con el objetivo de conocer el comportamiento a fatiga del material en presencia de un concentrador de tensión, habrá de realizarse una serie de ensayos sobre probetas con entalla. Así mismo, como también se desea cuantificar el efecto combinado de la entalla, del mecanizado y del tratamiento superficial, lo más lógico es realizar los mismos ensayos que se han enumerado en los cuatro puntos anteriores usando, en este caso, probetas con características similares a las anteriores, pero con una entalla, cuya geometría será descrita en el apartado siguiente. En lo relativo al tipo de probetas a utilizar en los ensayos mencionados anteriormente, hay que tener en cuenta que todos los ensayos serán uniaxiales y que la carga será totalmente reversible durante los ensayos de fatiga (R=-1). También hay que tener en cuenta que el tamaño de los implantes es pequeño y que en su fabricación, éstos son mecanizados a partir de barras de 4 mm de Ti cp gr IV. Es lógico, por tanto, usar probetas cilíndricas con un diámetro en la zona de estudio similar al de los implantes. De esta forma se podrían fabricar todas las probetas iguales y dependiendo del grupo al que pertenezcan, se les realizará la entalla y se les aplicará el proceso correspondiente, ya sea el pulido y/o el tratamiento superficial. Dado que la carga será R=-1, dichas probetas habrán de tener sus extremos 96 Capítulo 4. Método Experimental roscados de forma que puedan ser fijadas a la máquina de ensayo. Así mismo, ya que su diámetro será pequeño, habrá de tenerse en cuenta que la torsión inducida durante el montaje en dicha máquina puede provocar tensiones elevadas comparadas con las nominales y por tanto dicha torsión es parámetro importante que deberá ser cuantificado y controlado. Esto supone que el uso de una máquina de ensayos biaxial es lo más recomendable. Finalmente, un último grupo de ensayos permitirá determinar las características de crecimiento de grieta en el Ti cp gr IV. Para ello habrán de diseñarse y ensayarse probetas de tipo compact, que también serán descritas en el apartado siguiente. Este tipo de probetas es el que se utiliza generalmente para medir velocidades de crecimiento de grieta. 4.1.2. Probetas de ensayo: Diseño, fabricación y caracterización El diseño de las probetas viene condicionado por los distintos factores mencionados en el apartado anterior. Las probetas para ensayos de fatiga y estáticos han de ser cilíndricas con los extremos roscados y con un diámetro similar al de los implantes. El roscado de los extremos de las probetas cilíndricas habrá de ser tenido en cuenta a la hora de diseñar el utillaje necesario para fijar dichas probetas a la máquina de ensayo. Así mismo, las probetas para determinar las propiedades de fractura del material, que serán probetas de tipo compact, también han de ser pequeñas por el alto precio de dicho material. 56 3.500 8 Figura 4.2: Geometría de las probetas lisas A la hora de diseñar las probetas cilíndricas, mostradas de forma simplificada en la figura 4.2, se han seguido las directrices de la norma. En esta norma se fijan las relaciones 4.1. Propiedades del titanio comercialmente puro de grado IV 97 existentes entre los distintos parámetros geométricos que definen la geometría de dichas probetas. Así mismo, se ha intentado que las técnicas y parámetros de mecanizado utilizadas en la fabricación de las probetas cilíndricas sean similares a las empleadas al fabricar los implantes. Se ha puesto especial cuidado en minimizar en lo posible las velocidades de corte y avance, así como la profundidad de las pasadas de mecanizado, con el fin de que el valor de las tensiones residuales inducidas durante el mismo sea lo mas bajo posible. En la figura A.1 del anexo A.1, se muestran los planos de fabricación de las probetas lisas, es decir sin entalla. Como se indicó en el apartado anterior, estas probetas serán divididas en cuatro grupos dependiendo del acabado de su superficie: Mecanizado, pulido, mecanizado y tratado, y mecanizado, pulido y tratado. 56 3.500 8 Figura 4.3: Geometría de las probetas con entalla La geometría de partida de las probetas cilíndricas con entalla es la misma que en el caso de las lisas. Sin embargo, como puede observarse en la figura 4.3, a este tipo de probetas se les ha practicado una ranura en su zona central. Se ha intentado que la entalla de estas probetas sea idéntica al perfil de la rosca exterior de los implantes. Sin embargo, por motivos de carácter práctico relacionados con la fabricación de las mismas, no ha sido posible que ambas entallas coincidan. De entre las entallas que fue posible fabricar, se ha elegido aquella que se asemeja más al perfil del roscado de los implantes. En la figura A.2 del anexo A.1, se puede observar el plano de fabricación de las probetas cilíndricas con entalla así como la geometría de dicha entalla. Al igual que en el caso de las probetas lisas, las probetas con entalla también han sido divididas en cuatro grupos distintos en función del acabado superficial de la zona de la entalla: Mecanizado, pulido, mecanizado y tratado, 98 Capítulo 4. Método Experimental y mecanizado, pulido y tratado. El diseño de las probetas de tipo compact, que puede observarse en la figura 4.4, ha sido realizado teniendo en cuenta las consideraciones recogidas en la norma. Debido al alto precio del material de partida, se ha intentado que estas sean lo más pequeñas posible. Así mismo se ha asegurado que el plano de propagación de las grietas en estas probetas sea perpendicular a la dirección de laminación de las barras de titanio usadas como material de partida. De esta forma se pretende reproducir correctamente el comportamiento de las grietas en los implantes, en los que éstas crecerán también en un plano perpendicular (o cuasi perpendicular) a la dirección de laminación del material de partida de dichos implantes. En la figura A.3 del anexo A.1, se muestra el plano de fabricación de las probetas de tipo compact. 37.500 36 4 Figura 4.4: Geometría de las probetas de tipo compact 4.1.3. Útiles de ensayo: Diseño y verificación Se han fabricado dos tipos de útiles de sujeción distintos: Uno para las probetas cilíndricas y otro para las probetas de tipo compact. Las características de dichos utillajes dependerán por un lado de la geometría de las probetas y por otro de la máquina de ensayos utilizada. Así mismo cada uno de estos sistemas de sujeción ha sido verificado para 4.1. Propiedades del titanio comercialmente puro de grado IV 99 asegurar que, por defectos de fabricación, no inducen esfuerzos considerables en los especímenes de ensayo. Como se ha mencionado, el sistema de sujeción de las probetas cilíndricas consta de dos casquillos, uno superior y otro inferior, y de sus correspondientes contratuercas, que sirven para fijar las probetas a dichos casquillos mediante un par de apriete. En la figura 4.5, donde por simplicidad se ha representado solamente uno de los conjuntos casquillo-contratuerca, se ilustra el funcionamiento de este sistema de fijación. Como podrá comprobarse en el apartado siguiente, el saliente de cada uno de los casquillos irá roscado a la máquina de ensayos, el casquillo superior al vástago hidráulico, y el inferior a la célula de carga. Figura 4.5: Funcionamiento del sistema de fijación mediante casquillo-contratuerca En las figuras A.4 y A.5 del anexo A.2 se muestran los planos de fabricación del casquillo y de la contratuerca. Es importante mencionar que, como puede comprobarse en dichos planos de fabricación, se ha prestado especial interés en asegurar el paralelismo entre ciertas caras de estos componentes, así como el correcto alineamiento de los taladros roscados. Esto permitirá que, cuando se lleve a cabo el montaje de las probetas en la máquina de ensayo, se minimice la flexión de la probeta inducida por errores en la fabricación. No obstante se ha comprobado experimentalmente el funcionamiento del sistema de fijación y se ha cuantificado el error que introduce su utilización. 4.1.4. Realización de los ensayos y resultados En este capítulo se mencionarán algunos aspectos que se consideran importantes a la hora de instalar las probetas en la máquina de ensayo y posteriormente se presentarán los resultados obtenidos al ensayar los distintos tipos de probetas. 100 Capítulo 4. Método Experimental Como se ha mencionado anteriormente, las probetas cilíndricas tienen una sección en su zona central de 3.5 mm de diámetro. Así mismo, la fijación de estas probetas a la máquina de ensayos se realiza a través de un apriete mediante unas contratuercas. El apriete de dichas contratuercas ha de ser tal que se asegure que estas no se separarán del casquillo durante el ensayo, ya que esto provocaría, aparte de un molesto repiqueteo, cierta inestabilidad en la forma de la onda que describe el sistema de control al aplicar al carga. Sin embargo, se ha comprobado que este apriete introduce una torsión residual en la probeta cuyo valor, que depende del valor del par de apriete aplicado a las contratuercas, puede ser importante comparado con los esfuerzos aplicados por la máquina. El uso de una máquina de ensayos biaxial permite controlar el par que se aplica en todo momento a las probetas y asegurar que éste no supera un determinado valor umbral. Este valor umbral dependerá del valor de las tensiones inducidas en la probeta durante su ensayo y generalmente se expresará como un pequeño porcentaje del mismo: en este trabajo se ha decidido que las tensiones inducidas por torsión durante el ensayo no pueden superar el 2% del valor de las tensiones inducidas por la carga axial que en cada ensayo esté aplicando la máquina. Para minimizar el efecto de la torsión en las probetas cilíndricas durante el montaje de las mismas en la máquina de ensayos se ha establecido un procedimiento de montaje que puede sintetizarse en los siguientes puntos: 1. En primer lugar habrá de roscarse las probeta en los casquillos superior e inferior. Esto suele realizarse con control en carga fijando el valor de dicha carga a 0N. De esta manera el sistema ajusta la posición del actuador hidráulico en función del esfuerzo que mide la célula de carga durante el proceso de roscado. El sistema de control puede de esta forma encontrar la posición del actuador que permite que la probeta se pueda roscar arriba y abajo a la vez. 2. Una vez roscada la probeta se le aplicará una precarga igual al valor de la carga que se va a aplicar durante el ensayo. Una vez aplicada la precarga será necesario cambiar usar el control torsional para obligar a que el valor de la torsión sea nulo en esta situación. 4.2. Propiedades de fatiga del implante dental ICI según ISO 14801 101 3. A continuación, cuando el par sobre la probeta sea nulo, será necesario fijar el valor del ángulo del actuador hidráulico en el valor actual. Esto permitirá que al aplicar par sobre la contratuerca de la célula de carga, el actuador hidráulico no gire para compensar este par. Es necesario indicar que este par aplicado a la contratuerca está siendo transmitido a la célula de carga a través del casquillo, pero no está siendo aplicado sobre la probeta y por tanto no es necesario compensarlo. En este momento se puede aplicar un pequeño par a la contratuerca para fijarla. 4. Seguidamente se volverá a controlar el par haciendo que este sea de nuevo nulo. De esta forma se elimina el pequeño par residual fruto del apriete anterior. A partir de este momento se puede fijar la otra contratuerca con el mismo par de apriete que se haya aplicado a la anterior. 5. Finalmente se eliminará la precarga aplicada en el punto 2 y el sistema estará listo para comenzar el ensayo de fatiga. En la figura 4.6 se muestran las curvas SN obtenidas al ensayar las probetas lisas. Se puede observar el efecto negativo del tratamiento superficial sobre la resistencia a fatiga de dichos especímenes. Sin embargo también puede comprobarse en esta figura que dicho efecto negativo es apreciable en el régimen de medio/alto número de ciclos. A continuación, en la figura 4.7, se pueden observar las curvas de fatiga obtenidas en los ensayos de las probetas con entalla. En este caso, el tratamiento superficial no afecta de una manera considerable a la resistencia a fatiga de las mismas, aunque en el régimen de alto número de ciclos si puede observarse una pequeña disminución de la misma. 4.2. Propiedades de fatiga del implante dental ICI según ISO 14801 Según la Norma ISO 14801, un sistema de implantes dentales endoóseos puede definirse como un dispositivo constituido por componentes integrados, incluidos los instrumentos auxiliares y el equipo específico necesario para la preparación en clínica y en laboratorio y para la colocación de los implantes, así como para la construcción e inserción de las pró- 108 Capítulo 4. Método Experimental defina una distancia l = 11,0 ±0,5 mm desde el centro (C) de la semiesfera hasta el plano de sujeción (véase la figura 4.9). Figura 4.10: Miembro hemisférico de carga Para un cuerpo de implante dental endoóseo y/o una pieza de conexión que carezca de simetría de rotación alrededor del eje longitudinal central del cuerpo del implante, se debe seleccionar como geometría de carga para ensayar el caso más desfavorable que sea compatible con el uso previsto del implante. La geometría de carga se debe justificar y documentar. Esta situación suele ocurrir, por ejemplo, cuando el nivel del hueso nominal del implante se localiza en la zona roscada del mismo. En este caso, para que el ensayo tenga lugar en las condiciones más desfavorables, las muestras a ensayar han de ser colocadas de manera que en el punto donde se den las tensiones de tracción máximas (punto crítico en la figura 4.9), el valor de dichas tensiones sea el máximo posible. Para ello, la intersección entre el plano formado por el eje del implante y la dirección de carga, y el plano de sujeción, ha de coincidir con un valle de los filetes de la rosca del implante (ver figura 4.9). 4.2. Propiedades de fatiga del implante dental ICI según ISO 14801 109 Figura 4.11: Situación de ensayo más desfavorable 4.2.2. Útiles para ensayo Así mismo, la fuerza de carga se debe aplicar a la superficie de carga hemisférica por medio de un dispositivo con una superficie plana perpendicular a la dirección de aplicación de carga de la máquina (ver figura 4.9). El dispositivo de carga no debe estar restringido en la dirección transversal, a fin de que no reduzca la magnitud del momento de flexión aplicado. Esto se debe lograr por medio de una junta universal o un contacto puntual en la unión del miembro de carga con la estructura de la máquina de ensayo. Esta unión debe estar situada al menos a 50 mm de la superficie de carga hemisférica. La superficie de carga hemisférica y la superficie del dispositivo de carga se deben examinar visualmente después de cada ensayo, para asegurarse de que no se ha producido deformación permanente. Si se observa deformación permanente, el componente deformado se debe sustituir y el ensayo se ha de repetir. La parte anclada al hueso de la muestra debe fijarse en un dispositivo de anclaje fijo. Este dispositivo ha de diseñarse de modo que no deforme la muestra de ensayo y que la sujete a una distancia de 3.0 ±0.5 mm entre el ápice y el nivel del hueso nominal, 110 Capítulo 4. Método Experimental Figura 4.12: Dispositivo de aplicación de carga para proveer las peores condiciones respecto a la posible retracción del hueso, además de satisfacer la condición relativa al ángulo formado entre el eje del implante y la dirección de carga referida en el apartado anterior. Si se utiliza un material para incrustación durante el proceso de fijación de la muestra en su soporte, éste debe tener un módulo de elasticidad mayor de 3 GPa. 4.2.3. Realización de los ensayos y resultados En la figura 4.13 se muestran los resultados obtenidos de los ensayos de los sistemas de implantes ICI. 4.2. Propiedades de fatiga del implante dental ICI según ISO 14801 111 Figura 4.13: Ensayos de fatiga del implante ICI según la norma ISO 14801 CAPÍTULO 5 Resultados En este capítulo se presentan los resultados obtenidos al aplicar los modelos descritos en las secciones 3.1 y 3.2 al sistema de implantes dentales ICI. Así mismo se compararán estos resultados con los obtenidos experimentalmente mediante la aplicación de la norma ISO 14801 a dicho implante. Los modelos de predicción de vida han sido aplicados para valores de la carga iguales a los que se han usado durante los ensayos del implante ICI. En la figura 5.1, por ejemplo, se muestra el resultado de aplicar el modelo de Longitud de Iniciación Variable al implante, para un valor de la carga de 220N. En esta figura se pueden observar las curvas (a−Npya− Ni). Al sumarlas se obtiene una curva que representa la vida total en función de la longitud de iniciación. El valor mínimo de esta curva se toma como vida a fatiga y el punto dónde tiene lugar dicho mínimo es considerado como la longitud de iniciación. En esta simulación la longitud de iniciación resulta ser de 85 micras y se puede comprobar que la longitud de iniciación es pequeña comparada con la vida total. Esto indica que las grietas, para este nivel de carga, se inician rápidamente debido a la alta concentración de tensión producida por el roscado exterior del implante. Los resultados de este modelo pueden compararse con los obtenidos mediante otros en los que la longitud de iniciación necesita ser definida a priori. Esto equivaldría a entrar en la figura 5.1 con dicho valor preestablecido de la longitud de iniciación y determinar la vida de iniciación y de propagación. Como puede comprobarse, la ventaja de utilizar el modelo propuesto, es que el resultado del mismo es más conservativo, además de que no es necesario definir a priori cuando termina una fase y cuando empieza la otra. A continuación, en la figura 5.2, se comparan los resultados que arroja el modelo de 114 Capítulo 5. Resultados Figura 5.1: Aplicación del Modelo de Longitud de Iniciación Variable para F=220N predicción de vida con los obtenidos experimentalmente ensayando a fatiga el sistema de implantes para distintos valores de la carga aplicada al mismo. En dicha figura se puede observar que las predicciones son razonables y que la pendiente de la curva estimada es prácticamente igual a la curva de fatiga experimental. Así mismo puede comprobarse que para un valor de la fuerza igual a 120N, el modelo teórico predice una vida a fatiga que hace que la pendiente de la curva estimada cambie. Esto hecho pone de manifiesto que el límite de fatiga del sistema estimado ha de encontrarse en torno a ese valor, un valor muy cercano al límite de fatiga observado experimentalmente. Hay que tener en cuenta que el proceso completo de iniciación y propagación de la grieta tiene lugar en apenas medio milímetro, que es el espesor de la pared del implante, y aún así, el modelo es capaz de reproducir aceptablemente dicho proceso. 115 Figura 5.2: Vida a fatiga del sistema de implantes ICI: resultados experimentales y estimación teórica CAPÍTULO 6 Conclusiones y trabajos futuros Los resultados de este estudio muestran que el modelo de predicción de vida, que ha sido utilizado con anterioridad en otras situaciones, es muy versátil, robusto y capaz de adaptarse a diferentes circunstancias, como por ejemplo el caso de los implantes dentales, que son sistemas de pequeño tamaño que pueden presentar problemas de escala. Entre las distintas fuentes de error del modelo cabe destacar aquellas relacionadas con la parte experimental: Las propiedades de crecimiento de grieta utilizadas han sido obtenidas a partir de un número pequeño de ensayos debido a, por un lado el alto coste de los especímenes y por otro a que, por motivos de agenda, el tiempo disponible para realizar dichos ensayos ha sido escaso. El funcionamiento de los modelos de predicción de vida mejora cuanto mayor es el número de ensayos realizados para caracterizar el comportamiento a fatiga del material. Sin embargo ha sido necesario llegar a un compromiso entre el presupuesto disponible y el número de ensayos realizados. En cuanto a los ensayos de fatiga del sistema de implantes dentales, es importante destacar que la norma permite utilizar distintos sistemas de sujeción del cuerpo del implante. Esto añade cierta incertidumbre al proceso de caracterización de dichos implantes, ya que se ha comprobado que el comportamiento a fatiga de los mismos depende en gran medida de dicho sistema de fijación. Así mismo hay que tener en cuenta que la fijación utilizada durante los ensayos influirá en las condiciones de contorno aplicadas a los modelos de elementos finitos. 124 Anexo A. Planos de fabricación 6 6 + 0.15-18 0.15 8.25 -0.15 +0.15 18 -0.15 +0.15 -0.15 + 8.25 0.15 sean válidos las probetas MATERIAL: Titanio gr. IV esta orientación. PROBETA COMPACT FASE 2 (PCOF2) (20 uds.) han de fabricarse con Para que los resultados Esta orientación NO es válida DETALLE B ESCALA 8 : 1 max 90° 0.2 max R max 1.8 El vértice de la ranura ha de ser equidistante a los centros de los taladros y las caras superior e inferior de la pieza DETALLE A ESCALA 4 : 1 45° 1 4 A B 0.3+ 0.337.500 - 7.500 2x +1.5 0 + -0.336 0.3 30 - 0.15 +0.15 Figura A.3: Plano de fabricación de las probetas de tipo compact A.2. Planos de fabricación del utillaje 125 M12x1.25 SECCIÓN A-A M8x1 1 Aquí el diámetro ha de coincidir con el del fondo de la rosca M12x1.25 2 45° 0.500 20 0.500 20 R2 X 20 X 45° 0.500 20 2 0.50045° X 45° X 10 10.500 entre los roscados M8x1 y M12x1.25 y el eje de simetría de la pieza. NOTAS: Es importante garantizar el paralelismo • entre los planos marcados como '1' y '2' y así mismo, la perpendicularidad de éstos con el eje de simetría de la pieza. Es importante garantizar el alineamiento • CASQUILLO TIPO 1 (4 uds.) MATERIAL: Acero F127 25 A A Figura A.4: Plano de fabricación del casquillo para las probetas cilíndricas 126 Anexo A. Planos de fabricación R12.500 A A NOTAS: Es importante garantizar el paralelismo • entre los planos marcados como '1' y '2' y así mismo, la perpendicularidad de éstos con el eje del taladro roscado M8x1 CONTRATUERCA TIPO 1 (4 uds.) MATERIAL: Acero F127 SECCIÓN A-A ESCALA 4 : 1 1 M8x1 2 45° 0.500 X 0.50045° X 45° X 0.500 10 20 0.50045° X Figura A.5: Plano de fabricación de la contratuerca para las probetas cilíndricas Bibliografía [1] W.A.J. Albert. Arch. Miner. Geognosie Berg. Huttenkunde, 10:215, 1938. (Cited on page 9.) [2] A. Wöhler. Test to determine the forces acting on railway carriage axles and the capacity of resistance of the axles. Engineering, 11:199, 1871. (Cited on page 10.) [3] Irwin G.R. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate. Journal of Applied Mechanics, 24:136, 1957. (Cited on pages 10 and 18.) [4] Pearson S. Fatigue crack closure under cyclic tension. Engineering Fracture Mechanics, 7:235–247, 1975. (Cited on page 11.) [5] Kitagawa H. and Takahashi S. Application of fracture mechanics to very small cracks. In Int Conf Mech Behaviour of Materials (ICM2), pages 627–631, 1976. (Cited on page 11.) [6] Y. Murakami, S. Aoki, and Society of Materials Science. 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