Reglas igualitarias restringidas para problemas globales de bancarrota

Reglas Igualitarias Restringidas para Problemas Globales de Bancarrota Reglas Igualitarias Restringidas para Problemas Globales de Bancarrota Sánchez Sánchez, Francisca J. ([email protected]) Economía, Métodos Cuantitativos e Historia Económica Universidad Pablo de Olavide Mármol Conde, Amparo M. ([email protected]) Economía Aplicada III Universidad de Sevilla Hinojosa Ramos, Miguel A. ([email protected]) Economía, Métodos Cuantitativos e Historia Económica Universidad Pablo de Olavide RESUMEN Se analizan problemas de reparto en los que los agentes realizan unas determinadas demandas sobre múltiples bienes. En este contexto, cada agente puede mostrar sus preferencias, valorando su reparto global por el mínimo obtenido con respecto a todos los bienes. El objetivo es proponer y analizar una regla global basada en el principio de justicia según el requisito de eciencia leximin que garantice repartos no dominados con respecto a las preferencias de los agentes. Palabras clave: Problemas de reparto con múltiples bienes, reglas de reparto igualitarias, eciencia leximin. Clasicación JEL (Journal Economic Literature): C71 Área temática: Teoría de Juegos XV Jornadas de ASEPUMA y III Encuentro Internacional 1 Sánchez Sánchez, Francisca J.; Mármol Conde, Amparo M.; Hinojosa Ramos, Miguel A. 1. INTRODUCCIÓN Un problema clásico de bancarrota aparece cuando hay que repartir una cantidad (llamada también estado) entre un conjunto de agentes, en los casos en que esta cantidad no es suciente para satisfacer las demandas de los agentes que tienen adquiridos unos derechos sobre la cantidad a repartir. Desde muy antiguo se han presentado problemas reales de este tipo. Son clásicos los ejemplos que aparecen en el Talmud babilónico (ver Aumann y Maschler, 1985). Una revisión exhaustiva de las distintas reglas de reparto puede verse en Thomson (2003). Consideramos una extensión de los problemas de bancarrota, en la que se reparten distintos bienes entre un conjunto de agentes que reclaman una cantidad distinta dependiendo del bien que se considere. En el reparto de múltiples bienes hay que considerar dos aspectos para realizar el reparto: por una parte las demandas de cada agente sobre los diferentes bienes (como en los problemas de bancarrota) y por otra parte las preferencias de los agentes con respecto a los resultados obtenidos en los diferentes bienes. En relación con el segundo punto, las preferencias de los agentes pueden ser aditivas en los bienes, es decir, cada agente valora la cantidad total recibida con respecto a todos los bienes. El modelo que surge en este caso está relacionado con el modelo introducido por Calleja (2005), si se incorporasen restricciones adicionales para asegurar que la asignación total para cada bien no excede el estado correspondiente. En este trabajo se considera el caso en que las preferencias de los agentes son leximin, esto signica que cada agente valora su reparto global según la ordenación leximin denida en su espacio de pagos. Basándose en la regla de Igual Ganancia se propone y analiza una regla de reparto en el caso de problemas de bancarrota con múltiples bienes. La regla de reparto se fundamenta en el principio de justicia que se determina por la eciencia leximin. En la sección 2, se realiza una extensión del problema clásico de bancarrota 2 XV Jornadas de ASEPUMA y III Encuentro Internacional Reglas Igualitarias Restringidas para Problemas Globales de Bancarrota incorporando cotas inferiores sobre las cantidades que los agentes pueden conseguir. A partir de una regla clásica de reparto se propone un procedimiento para obtener repartos en el modelo extendido. La sección 3, se centra en una situación global para la que se propone una regla global basada en la eciencia leximin y se formulan propiedades generales para reglas globales. 2. PROBLEMAS DE BANCARROTA CON COTAS INFERIORES Los problemas de bancarrota con cotas inferiores son problemas de reparto en los que hay que considerar dos aspectos importantes: por una parte las demandas de cada agente sobre el estado y por otra un vector de cotas inferiores sobre las cantidades asignadas a cada agente. Formalmente el problema de bancarrota con cotas inferiores se dene: Sea N={1, . . . , n} un conjunto de agentes. Una situación de bancarrota con cotas inferiores viene representada por (E, c,a) , donde E∈R+ es el estado que hay que repartir entre los agentes, c∈Rn es el vector de demandas y a∈Rn es un vector de cotas inferiores sobre las cantidades asignadas a cada agente. Además, se establece la siguiente condición: Pi∈Nai< E ≤Pi∈Nci . Se denota por BL a la familia de este tipo de problemas. Dado el problema (E, c,a) , un reparto del estado E es un vector x∈Rn que cumple las condiciones de: Racionalidad individual: xi≥ai , ∀i∈N. Eciencia: X i∈N xi=E . En este contexto, una regla de reparto es una función, f , que asocia a cada problema (E, c,a) un reparto, x=f(E, c,a)∈Rn . Nótese que no necesariamente se cumple que xi≤ci , ∀i∈N . XV Jornadas de ASEPUMA y III Encuentro Internacional 3 Sánchez Sánchez, Francisca J.; Mármol Conde, Amparo M.; Hinojosa Ramos, Miguel A. En la literatura se han tratado problemas relacionados con el problema de bancarrota con cotas inferiores. En Pulido (2002) y (2006), se analizan situaciones donde hay incertidumbre sobre la validez de las demandas de los agentes y se considera un punto de referencia exógeno denido según unos criterios objetivos que juega un papel importante en el reparto. En su modelo, el punto de referencia está siempre dominado por el vector de demandas de los agentes. En los problemas de negociación analizados en Chun y Thomson (1992), Bossert (1993) y Herrero (1998), se incluye un punto de desacuerdo junto con un punto de referencia fuera del conjunto factible, que domina el punto de desacuerdo. En contraste con los trabajos antes mencionados, en el problema de bancarrota con cotas inferiores que aquí se presenta, las demandas no dominan necesariamente a las cotas inferiores, incluso puede ser necesario asignar a los agentes una cantidad mayor que su demanda. 2.1. REGLA DE IGUAL GANANCIA RESTRINGIDA PARA PROBLEMAS DE BANCARROTA CON COTAS INFERIORES La regla de reparto que se dene a continuación, está basada en una regla igualitaria, en concreto la de Igual Ganancia, CEA 1 , que asigna la misma cantidad a todos los agentes sin dar a ninguno más de lo que demanda. Sin embargo, la regla que se propone aquí, además de la idea de reparto igualitario contempla un límite sobre las cantidades asignadas a los agentes. Este límite permite que los agentes, puedan en algunos casos recibir una cantidad mayor que su demanda. Denición 2.1. Para todo problema (E, c,a)∈BL , se dene la regla de Igual 1 La asignación que proporciona la regla de reparto CEA en un problema clásico de bancarrota, (E, c) , viene dada por: xi=CEAi(E, c) = m´ın{λ, ci} donde 0≤λ≤ ∞ , se determina de forma que n X i=1 xi=E . 4 XV Jornadas de ASEPUMA y III Encuentro Internacional Reglas Igualitarias Restringidas para Problemas Globales de Bancarrota Ganancia Restringida con Cotas Inferiores, CEAL , como: xi=CEALi(E, c,a) = m´ax{ai,m´ın{λ, ci}},∀i∈N, donde 0≤λ≤ ∞ , se determina de forma que n X i=1 xi=E . En la Figura 1, se presentan grácamente tres situaciones distintas de problemas de bancarrota con cotas inferiores. Se muestran los resultados de las reglas CEAL y CEA para el caso de dos agentes. . c1 a c2 . 2 a1 . CEA(E,c) c a CEAL(E,c,a) . c1 a c2. 2 a1 . CEA(E,c) c a CEAL(E,c,a) . EE c1 a c2 2 a1 . CEA(E,c) c a CEAL(E,c,a) . . . . Agente 1 Agente 1 Agente 1 Agente 2 Agente 2 Agente 2 Figura 1: Regla de Igual Ganancia Restringida con Cotas Inferiores. A continuación, se propone un procedimiento para obtener el reparto que proporciona la regla de Igual Ganancia Restringida en problemas de bancarrota con cota inferior. Sea (S, ES,cS) un problema clásico de bancarrota, donde S⊆N es un conjunto de agentes, ES es el estado que hay que repartir, cS es la proyección del vector c al espacio |S| -dimensional y CEA es la regla de Igual Ganancia. Proposición 2.2. El reparto x=CEAL(E, c,a) se obtiene según el siguiente procedimiento: Sea S=N , ES=E y cS=c . Sea FS={i∈S|CEAi(S, ES,cS)≤ai} , entonces: XV Jornadas de ASEPUMA y III Encuentro Internacional 5 Sánchez Sánchez, Francisca J.; Mármol Conde, Amparo M.; Hinojosa Ramos, Miguel A. • Mientras FS6=∅ : Para k∈FS , hacer xk:= ak , S:= S\FS , ES:= ES−Pk∈FSak , y actualizar FS . • Si FS=∅ entonces xi=CEAi(S, ES,cS) para i∈S . Demostración: Sea x un reparto obtenido siguiendo el procedimiento. Sea ¯ S el conjunto de agentes tal que F¯ S=∅ , y λ¯ S la cantidad común obtenida en la última aplicación de la regla de Igual Ganancia ( CEA ) para los agentes de ¯ S . Se probará que xi= m´ax{ai,m´ın{λ¯ S, ci}} . En primer lugar si los conjuntos FS y TS se han construido siguiendo el procedimiento, y además T⊂S , entonces para i∈T , CEAi(T, ET,cT)≤CEAi(S, ES,cS) . Esto es porque cuando un agente sale del conjunto S su cota inferior es más grande que la porción obtenida con la regla CEA , y como este valor está jado en la cota inferior, en el siguiente paso hay un estado más pequeño para repartir entre el resto de agentes. Cuando el procedimiento termina, el conjunto de agentes se divide en dos conjuntos, F=SFS , formado por los agentes cuyos valores se han jado en la cota inferior, y ¯ S formado por los agentes cuyos repartos se han obtenido según la regla CEA en el último paso. Si i∈F , entonces xi=ai y para algún subconjunto T⊇¯ S , se cumple que CEAi(T, ET,cT) = m´ın{λT, ci} ≤ ai . Por otra parte, el m´ın{λ¯ S, ci} ≤ m´ın{λT, ci} ≤ ai y entonces xi= m´ax{ai,m´ın{λ¯ S, ci}} . Si i∈¯ S entonces xi=CEAi(¯ S, E ¯ S,cS) = m´ın{λ¯ S, ci}> ai , y en este caso también, xi= m´ax{ai,m´ın{λ¯ S, ci}} . Además, Pi∈Nxi=Pi∈¯ Sxi+Pi∈Fxi=E¯ S+Pi∈Fxi=E . Para i∈N , la expresión xi= m´ax{ai,m´ın{λ, ci}} con Pixi=E , dene un reparto que, necesariamente es el reparto obtenido por el procedimiento. 6 XV Jornadas de ASEPUMA y III Encuentro Internacional Reglas Igualitarias Restringidas para Problemas Globales de Bancarrota 3. PROBLEMAS GLOBALES DE BANCARROTA Supóngase que en una determinada Universidad un departamento dispone de dotaciones presupuestarias distintas destinadas a 5 conceptos distintos: Transporte, comunicación, dotación ordinaria no inventariable, investigación-divulgación y material-bibliografía. El departamento está compuesto por 3 áreas de conocimiento que en base al gasto de otros años, reclaman una cantidad distinta dependiendo del concepto que se considere. Las áreas pueden interpretarse como los agentes que reclaman de la dotación presupuestaria una cuantía que es variable según el concepto, además las áreas muestran sus preferencias valorando su reparto global con respecto a todos los bienes. Esto es un ejemplo del tipo de situaciones que se analizan a continuación. Formalmente un problema global de bancarrota es un problema de asignación de múltiples bienes que consiste en una familia de problemas de bancarrota (N, Ej,cj) , j= 1, . . . , m , donde N={1, . . . , n} es un conjunto de agentes, Ej∈R+ es el estado o cantidad disponible del bien j y cj∈Rn + representa las demandas de los agentes con respecto al bien j . Para cada j , j= 1, . . . , m , se cumple que Pn i=1 ci j≥Ej , es decir, en cada bien los agentes reclaman una cantidad mayor que la disponible, apareciendo el problema de cómo dividir el estado del bien j entre los demandantes. Suponemos que los estados de los distintos bienes están ordenados de forma creciente, E1≤E2≤, . . . , ≤Em . El problema global de bancarrota se denota por (N, E, C) , donde E∈Rm y C∈Rm×n . A partir de ahora si no hay confusión posible al problema global se le denota por (E, C) . Obsérvese que el problema (E, C) se podría considerar como m problemas clásicos de bancarrota, (N, Ej,cj) , j= 1, . . . , m , uno por cada bien, pudiéndose resolver separadamente cada problema si los agentes no maniestan preferencias sobre las combinaciones de resultados correspondientes a los distintos bienes. No obstante, cuando dichas preferencias existen, hay que tenerlas en cuenta en las propuestas de soluciones para el problema global. XV Jornadas de ASEPUMA y III Encuentro Internacional 7 Sánchez Sánchez, Francisca J.; Mármol Conde, Amparo M.; Hinojosa Ramos, Miguel A. Un reparto global de los bienes a los agentes es una matriz no negativa X∈ Rm×n + , cumpliendo para cada j , j= 1, . . . , m , Pn i=1 xi j=Ej . La columna i -ésima de la matriz X , Xi= (xi 1, xi 2, . . . , xi m)t∈Rm , representa el reparto del agente i -ésimo en cada uno de los m bienes. La la j -ésima de la matriz X , Xj= (x1 j, x2 j, . . . , xn j)∈Rn , representa el reparto del bien j para cada uno de los agentes. Una regla de reparto global para este problema es una función, F , que asocia a cada problema global de bancarrota, (E, C) , un reparto global, X=F(E, C)∈ Rm×n + . 3.1. REGLA IGUALITARIA LEXIMIN Antes de denir la regla regla Igualitaria Leximin hay que introducir una serie de conceptos para formalizar la idea de eciencia leximin. Dado un vector a∈Rm , r(a)∈Rm es el vector obtenido reordenando las componentes de a en sentido creciente. Dados a,b∈Rm , a>lex b denota si hay k= 1, . . . , m −1 tal que ri(a) = ri(b) para i= 1, . . . , k y rk+1(a)> rk+1(b) . Con a⩾lex b se denota si a>lex b o r(a) = r(b) . Con >lex se denota la parte asimétrica de ⩾lex . Para X, Y ∈Rm×n se dice que el agente i tiene preferencias leximin sobre los repartos globales, si preere X a Y cuando Xi⩾lex Yi . Ahora se dene una relación de dominancia colectiva entre los repartos globales. Dado X∈Rm×n , la matriz Z(X) , de orden m×n , se construye como sigue: Para cada columna Xi , se reordenan sus componentes de forma creciente, este vector reordenado es la columna i -ésima de la matriz Z(X) . Así, la primera la de Z(X) , Z1(X) , contiene el valor más pequeño de cada columna de la matriz X . La segunda la, Z2(X) , contiene el segundo valor más pequeño de cada columna de la matriz X . En general, los elementos de Zk(X) son el k -ésimo elemento más pequeño de cada columna de la matriz X . Se dice que X<lex Y , si Zk(X)≥Zk(Y) para la primera la, k , tal que Zk(X)6=Zk(Y) . 8 XV Jornadas de ASEPUMA y III Encuentro Internacional Reglas Igualitarias Restringidas para Problemas Globales de Bancarrota En el próximo resultado, se establece la relación entre preferencia leximin y esta relación de dominancia colectiva: Si un reparto global es eciente leximin, entonces no existe otro que mejore la asignación de todos los agentes en un sentido lexicográco, con una mejora estricta por lo menos para uno de los agentes. Lema 3.1. Dados X, Y ∈Rm×n , si Xi⩾lex Yi para todo i∈N y Xi>lex Yi para algún i∈N , entonces X<lex Y . Se puede denir la eciencia leximin de la siguiente forma: Eciencia Leximin. Un reparto global X∈Rm×n es eciente leximin si no hay otro Y∈Rm×n tal que Y<lex X . La siguiente caracterización de reparto global eciente leximin es una consecuencia de los resultados de Mármol y Ponsatí (2007). Para un reparto global, la condición de no dominancia con respecto a las preferencias leximin es quivalente al siguiente supuesto: Si el estado correspondiente a un bien no es menor que el estado correspondiente a otro, entonces los agentes no obtendrán menos de este estado que del otro. Proposición 3.2. Un reparto global, X , en un problema global de bancarrota, (E, C) , es eciente leximin si y solo si X15X25, . . . , 5Xm . Una vez denida la eciencia leximin se está en disposición de concretar la regla Igualitaria Leximin. A partir de ahora se asume que los estados de los distintos bienes son diferentes, es decir, cumplen que, E1< E2< . . . < Em . La idea de la regla Igualitaria Leximin es lograr un objetivo de uniformidad o igualdad, es decir, cuando sea posible asigna cantidades iguales de los bienes a los agentes, pero respetando unos límites en las ganancias para que se cumpla la eciencia leximin. Por otra parte, si fuese necesario se corrigen los límites para que se cumpla este último requisito. Así, puede ocurrir que en algún bien se pierda el carácter igualitario del reparto, aunque puede que este carácter se recupere después en el reparto de otro bien. XV Jornadas de ASEPUMA y III Encuentro Internacional 9 Sánchez Sánchez, Francisca J.; Mármol Conde, Amparo M.; Hinojosa Ramos, Miguel A. Concepto Área 1 Área 2 Área 3 Total Transporte 2372, Ä 6 2372, Ä 6 2372, Ä 6 7118 Comunicación 8670 2372, Ä 6 8945,4 19988 Ordinario no inventariable 14063 7824 14063 35950 Investigación y divulgación 14063 7824 14840 36727 Material y bibliografía 15156 13362 14840 43358 Total 54324,6 33755,3 55061,1 143141 Obsérvese que al aplicar la regla UCEA , en dos de los conceptos (transporte y dotación ordinaria no inventariable), el reparto coincide con el obtenido aplicando la regla CEA a los problemas clásicos de bancarrota, sin embargo, en los tres conceptos restantes el reparto es distinto al obtenido en los problemas clásicos de bancarrota. Nótese como en este segundo enfoque se cumple la eciencia leximin. En el problema global se ven favorecidas las demandas de las áreas que corresponden a bienes con demandas más bajas. 4. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS AUMANN R.J., MASCHLER M.(1985) Game theoretic analysis of bankruptcy problem form the Talmud, Journal of Economic Theory, 36, 195-213. BOSSERT W.(1993) An alternative solution to bargaining problems with claims, Mathematical Social Sciences, 25, 205-220. CHUN Y., THOMSON W. (1992) Bargaining problems with claims Mathematical Social Sciences 24, 19-33. CALLEJA P., BORM P., HENDRICKX R. (2005) Multi-issue allocation situations, European Journal of Operational Research 164, 730-747. 16 XV Jornadas de ASEPUMA y III Encuentro Internacional Reglas Igualitarias Restringidas para Problemas Globales de Bancarrota HERRERO C. (1998) Bargaining with claims in economic environments, Revista Española de Economía, 15, n.1, 3-13. LORENZO-FREIRE S., CASAS-MÉNDEZ B., HENDRICKX R. (2005) The two-stage constrained equal awards and losses for multi-issue allocation situations, CentER Discussion Paper, 2005-80. LORENZO-FREIRE S., ALONSO-MEIJIDE J.M., CASAS-MÉNDEZ B., HENDRICKX R. (2005) Balanced Contributions for Multi-issue allocation situations, CentER Discussion Paper, 2005-93. MÁRMOL A.M., PONSATI C.(2007) Bargaining over multiple issues with maxmin and leximin preferences, Forthcoming Social Choice and Welfare. PULIDO M., LLORCA N., SÁNCHEZ-SORIANO J.(2002) Game theory techniques for University management: and extended bankruptcy model, Annals of Operations Research, 102, 129-142. PULIDO M., BORM P., HENDRICKX R., LLORCA N., SÁNCHEZ-SORIANO J., (2006) Compromise solutions for bankruptcy situations with references, Annals of Operations Research (to appear). THOMSON W.(2003) Axiomatic and game-theoretic analysis of bankruptcy and taxation problems: a survey, Mathematical Social Sciences 45, 249-297. XV Jornadas de ASEPUMA y III Encuentro Internacional 17