Convergencia y análisis numérico de un método de tercer orden para sistemas de ecuaciones no lineales

XX Cong eso de Ecuaciones Di e enciales y Aplicaciones X Cong eso de Ma em´ a ica Aplicada Se illa, 24-28 sep iemb e 2007 (pp. 1–6) Con e gencia y an´alisis num´e ico de un m´e odo de e ce o den pa a sis emas de ecuaciones no lineales S. Ama 1, C. Be m´ udez1, S. Busquie 1, F. Manzano1, S. Plaza2 1Dp o. de Ma em´a ica Aplicada y Es ad´ıs ica, U.P. Ca agena. 30203 Ca agena (Mu cia) E-mails: [email p o ec ed], [email p o ec ed], [email p o ec ed]. 2Dp o. de Ma em´a icas, Facul ad de Ciencias, Uni e sidad de San iago de Chile. E-mail: [email p o ec ed]. Palab as cla e: M´e odos i e a i os, sis emas de ecuaciones no lineales, o den de con e gencia Resumen A lo la go de la His o ia la esoluci´on de ecuaciones no lineales ha p eocupado a g an can idad de cien ´ı icos. Hoy en d´ıa, con los adelan os ecnol´ogicos, es as ecua- ciones son ap oximadas de o ma e icien e po medio de m´e odos i e a i os. La idea es gene a una sucesi´on de ap oximaciones x0, x1, x2, ... que bajo cie as condiciones con e ge a la a´ız deseada. En es e abajo, p esen amos una ex ensi´on a espacios de Banach de un m´e odo de e ce o den ecien emen e p esen ado en el caso escala [6]. Se in oduci ´an a ios eo emas de con e gencia, modi icaciones que no necesi an el c´ompu o de de i adas y a ios expe imen os num´e icos. 1. In oducci´on En ma em´a icas, uno de los p oblemas m´as habi uales al que nos en en amos es la esoluci´on de ecuaciones. Cuando nos encon amos con la exp esi´on F(x) = 0,cabe pensa en di e en es si uaciones, esoluci´on de un sis ema de ecuaciones, encon a la soluci´on de una ecuaci´on di e encial o halla las a´ıces de un polinomio. Cuando la ob enci´on de la soluci´on no es posible (hecho que ocu e en nume osas ocasiones), nos debemos con o ma con ap oximaciones de las mismas. Es e hecho da pie a los p ocesos num´e icos, dando ida a los m´e odos i e a i os. Las a´ıces de una ecuaci´on no lineal (x) = 0 no puede exp esa se en gene al de o - ma ce ada. As´ı pa a a a ecuaciones no lineales, usualmen e se debe u iliza m´e odos 1 S.Ama , C. Be m´udez, S. Busquie , F. Manzano, S. Plaza ap oximados. Es os m´e odos no malmen e se basan en la idea de ap oximaci´on sucesi a o en linealizaci´on. Tales m´e odos son i e a i os; es deci , a pa i de una o m´as ap oxi- maciones a la a´ız, c ean una sucesi´on x0, x1, x2, ... que bajo cie as condiciones con e ge a la a´ız deseada. Con cie os m´e odos, es su icien e (pa a la con e gencia) conoce un in e alo [a, b] que con enga a la a´ız. O os m´e odos equie en una ap oximaci´on inicial que es ´a ce ca de la a´ız deseada; a cambio, es os m´e odos con e gen m´as ´apidamen e. As´ı, a menudo es con enien e empeza con un m´e odo de o den bajo y luego cambia a uno que con e ja m´as ´apido [3]. En gene al, un m´e odo i e a i o xn+1 = Φ(xn) es de o den p-´esimo si la soluci´on x∗ de F(x) = 0 sa is ace x∗= Φ(x∗), Φ0(x∗) = · · · = Φ(p−1(x∗) = 0 y Φ(p(x∗)6= 0. Pa a es e m´e odo, el e o |x∗−xn+1|es p opo cional a |x∗−xn|pcuando n→ ∞. Po ejemplo, el m´e odo de New on xn+1 =xn−F0(xn)−1F(xn). iene con e gencia cuad ´a ica (o den dos) pa a a´ıces simples. En es e abajo, p esen amos una ex ensi´on a espacios de Banach de un m´e odo de e ce o den ecien emen e p esen ado en el caso escala [6]. Se in oduci ´an a ios eo- emas de con e gencia, modi icaciones que no necesi an el compu o de de i adas y a ios expe imen os num´e icos. 2. Esquemas de e ce o den En [6] se in oduce el siguien e m´e odo i e a i o de o den 3 yn=xn− (xn) 0(xn), zn=−(yn−xn)2 2 0(xn) 00 (xn) xn+1 =yn−(yn+zn−xn)2 2 0(xn) 00 (xn). En es e abajo es amos in e esados en el caso de sis emas de ecuaciones o de o ma m´as gene al de ecuaciones donde los ope ado es sean en e espacios de Banach. Sea F:D⊂X→Yun ope ado no lineal, en onces el m´e odo an e io se esc ibe como xn+1 =xn−(I+Tn+ 2T2 n+T3 n)Γn donde Tn:= 1 2F0(xn)−1F00 (xn)F0(xn)−1F(xn), y Γn:= F0(xn)−1F(xn). Usando di e encias di ididas se pueden ob ene esquemas que no necesi an que el ope ado sea di e enciable F ´eche [2], [5]. 2 Sob e un m´e odo de e ce o den pa a sis emas de ecuaciones no lineales 3. Con e gencia Los m´e odos in oducidos en la secci´on an e io pueden esc ibi se como n+1 = n−¡1 + θn+O¡θ2 n¢¢ ( n) 0( n), donde θn:= 1 2 00 ( n) ( n) 0( n)2. En pa icula , podemos aplica la eo ´ıa gene al desa ollada pa a es e ipo de m´e odos [1], [4]. Pa a un ope ado en e espacios de Banach F:D⊂X→Y;F(x) = 0, se iene xn+1 =xn−¡I+Tn+O¡T2 n¢¢Γn.(1) Conside a emos n+1 = n−¡1 + θn+O(θ2 n)¢ ( n) 0( n),(2) donde O(θ2 n) iene el mismo desa ollo de Taylo que O¡T2 n¢. P oposici´on 1 Sean a, b, c > 0n´ume os eales de o ma que a≤¡b2+ 2c¢3 2−b¡b2+ 3c¢ 3c2.(3) En onces, exis e un polinomio de e ce g ado ( ) e i icando: (a) (0) = 0 (b) ( 0) = a (c) 0( 0) = 1 (d) 00 ( 0) = b (e) 000 ( ) = −c, ∀ eal. Demos aci´on Cla amen e, pa a ( ) := ³−c 6 2+β +γ´ donde β:= b+c 0 2 y γ:= 1 −c 2 2 0−b 0 se e i ican los esul ados. ¤ 3 S.Ama , C. Be m´udez, S. Busquie , F. Manzano, S. Plaza Co ola io 1 Si a, b, c e i ican (3), en onces ab ≤1 2. P oposici´on 2 La sucesi´on { n}n≥0con e ge mon´o onamen e y su l´ımi e es ce o. Teo ema 1 Supongamos que x0en Des al que F0(x0)es in e ible. Adem´as, a, b, c son n´ume os eales posi i os e i icando 3, y pa a odo x, y en D, ° ° °F0(x0)−1F(x0)° ° °≤a, (4) ° ° °F0(x0)−1F00 (x0)° ° °≤b, (5) ||F0(x0)−1(F00(x)−F00(y)|| ≤ ckx−yk.(6) Adem´as, como ( ), 0y{ n}n≥0son los de inidos en la secci´on an e io , se iene pa a odo n≥0, kxn+1 −xnk ≤ n− n+1. Co ola io 2 Bajo las mismas hip´o esis del eo ema 1, si B0:= {x∈X:kx−x0k ≤ 0} ⊂ D, en onces la sucesi´on {xn}n≥0con e ge a x∗en B0;x∗es la ´unica a´ız de F(x) = 0 en B:= {x∈D:kx−x0k ≤ 2}. Adem´as, pa a odo n≥0, kxn−x∗k ≤ n Co ola io 3 Pa a odo a, b, c ≥0sa is aciendo (3), exis e un ope ado F(x)y un pi o e x0 e i icando la p oposici´on 2 al que: Si {xn}n≥0es la sucesi´on ob enida en (1) de x0,en onces ||xn+1 −xn|| = n− n+1;kx∗−xnk= n (Es cla o que ( )y 0sa is acen el co ola io) Lema 1 F0(x0)−1[x, y;F]es in e ible, y ||F0(x0)−1[xn, x∗;F]|| ≤ 1 1− {b 2(||xn−x0|| + 0) + c 6(||xn−x0||2+ 0||xn−x0|| + 02)}=: P oposici´on 3 Sean b, c, 0, F, F 0, F 00, T, xn, x∗ e i icando las mismas condiciones que en el es o de la secci´on. En onces, ||xn−x∗|| ≤ ||F0(x0)−1F(xn)|| 4 Sob e un m´e odo de e ce o den pa a sis emas de ecuaciones no lineales 4. Expe imen os num´e icos Sea la ecuaci´on de Hamme s ein x(s) = 1 −1 4Z1 0 s +s 1 x( )d , s ∈[0,1].(7) Usando la egla de in eg aci´on de los apecios con paso h=1 m, ob enemos el siguien e sis ema de ecuaciones no lineales 0 = xi−1 + 1 4m(1 2 i i+ 0 1 x0 n X k=0 i i+ k 1 xk+1 2 i i+ m 1 xm), i = 0,1, . . . , m, (8) donde j=j m. En es e caso, la segunda de i ada F ´eche es diagonal a bloques. Conside amos m= 100 y omamos como soluci´on la compu ada num´e icemen e po el m´e odo de New on. ( e abla 1). New on Te ce O den 4 3 Tabla 1: N´ume o de i e aciones has a la con e gencia, x0= 1, disc e izaci´on ecuaci´on ipo Hamme s ein. Conside amos ecuaciones cuad ´a icas del ipo F(x) = x0Ax +Bx +C= 0 (9) donde dim(A) = (N×N×N,dim(B) = N×Nydim(C) = dim(x) = N. Sob e el ipo de ecuaciones, pueden eni de la disc e izaci´on de p oblemas de equilib io, donde in e accionan ue zas en e pa ´ıculas que de e minan el endimien o. De cualquie modo, el caso que amos a analiza es ´a p epa ado pa a ob ene una soluci´on exac a con el in de acili a la e aluaci´on de los e o es. Gene amos alea o iamen e AyB, y en onces de e minamos C al que x∗(i) = 2, i = 1,2, . . . , n, es una soluci´on de (9). En la abla 2 la dimensi´on u ilizada es m= 100. No a que, la segunda de i ada F ´eche es cons an e F00 (x) = A+A0. New on Te ce O den 5 4 Tabla 2: N´ume o de i e aciones has a la con e gencia, x0= 1,8, ecuaci´on cuad ´a ica. Finalmen e, es udiamos el sis ema de ecuaciones no di e enciable ( e abla 3) 3x2+y2−1 + |x−1|= 0, x4+xy3−1 + |y|= 0. 5 S.Ama , C. Be m´udez, S. Busquie , F. Manzano, S. Plaza Secan e Te ce O den 8 3 Tabla 3: N´ume o de i e aciones has a la con e gencia, (x−1, y−1) = (5,5), (x0, y0) = (1,0), sis ema no di e enciable. La soluci´on conside ada es (x∗, y∗) = (0,8946553733346867,0,3278265117462974). Se han u ilizado como p ime a y segunda di e encia di idida [xn−γnF(xn), xn+γnF(xn); F] y [xn−γnF(xn), xn, xn+γnF(xn); F] donde γnes un pa ´ame o eal e i icando 10−16 << ||γnF(xn)|| ≤ 10−6, ( e [1], [2]). 5. Conclusiones Se han es udiado unos m´e odos i e a i os de e ce o den pa a ecuaciones no lineales en espacios de Banach, cons uyendo eo emas de con e gencia. Se han dado al e na i as pa a p escindi del uso de de i adas. En di e sos ejemplos de in e ´es p ´ac ico hemos es ado los dis in os m´e odos. Los m´e odos in oducidos son compe i i os con espec o a los m´e odos cl´asicos ya conocidos. Ag adecimien os La in es igaci´on de los cua o p ime os au o es ha sido en pa e sub encionada po MTM2004-07114 y 00675/PI/04. La in es igaci´on de Se gio Plaza ha sido sub encionada en pa e po Fondecy G an #1020711 y Dicy G an #0433 Re e encias [1] S. Ama , S. Busquie , Thi d-o de i e a i e me hods unde Kan o o ich condi ions. J. Ma h. Anal. Appl., en p ensa 2007. [2] S. Ama , S. 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