Operadores universales y subespacios invariantes

FACULTAD DE MATEM´ ATICAS Departamento de An´alisis Matem´atico OPERADORES UNIVERSALES Y SUBESPACIOS INVARIANTES Trabajo de fin de M´aster para el M´aster Universitario en Matem´aticas. Francisco Javier Gonz´alez Do˜na Supervisado por los profesores: Luis Rodr´ıguez Piazza Miguel Lacruz Mart´ın ´ Indice general Abstract 3 Resumen 5 Introducci´ on 7 1. Teor´ ıa Espectral 15 1.1. ´ AlgebrasdeBanach ............................... 15 1.2. Teor´ıa Espectral Elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3. La Representaci´on de Gelfand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2. El Problema del Subespacio Invariante 35 2.1. El Problema del Subespacio Invariante en Espacios de Hilbert . . . . . . . 35 2.2. El Teorema de Lomonosov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3. El Teorema Espectral para Operadores Normales . . . . . . . . . . . . . . . 46 3. C´ alculo de Ret´ ıculos Cl´ asicos 51 3.1. El Ret´ıculo del Operador Shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.1.1. El Espacio de Hardy H2......................... 52 3.1.2. Productos de Blaschke y Funciones Interiores . . . . . . . . . . . . . 54 3.1.3. El Teorema de Beurling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2. El Ret´ıculo del Operador de Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.3. El Ret´ıculo de las Traslaciones en L2(R).................... 71 4. Operadores Universales 75 4.1. El Operador Universal de Rota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.2. ElTeoremadeCaradus ............................. 78 4.3. Un Operador de Composici´on Universal en H2................ 81 4.3.1. Operadores de Composici´on en H2................... 81 4.3.2. Las Transformaciones de M¨obius de D................. 85 4.3.3. El Operador de Composici´on Hiperb´olico Automorfismo . . . . . . . 92 1 2´ INDICE GENERAL 5. El Ret´ ıculo de Cierto Operador de Composici´ on 103 5.1. Formulaci´on del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.2. ´ Algebras de Banach con un elemento c´ıclico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.3. Un isomorfismo de H2aW1,2[0,+∞) .....................107 5.4. El Espacio de Sobolev W1,2[0,∞) como ´ Algebra de Banach. . . . . . . . . . 114 5.5. El Conmutante de Cϕ..............................125 Bibliograf´ ıa 135 palabra Abstract The Invariant Subspace Problem is one of the most studied problems on Operator Theory in the last decades. In fact, it is still open in the Hilbert space setting. The purpose of this work is to present the most classic results concerning this problem and to study the approach based on universal operators. The text is organized as follows: In the first chapter we introduce the theory Banach algebras, focusing on spectral theory and Gelfand transform, two tools that will be fundamental in the development of the text. In the second chapter we provide a classical view of the invariant subspace problem in Hilbert spaces. We show two of the most important results on the existence of hyperinvariant subspaces: Lomonosov theorem and spectral theorem for normal operators. In the third chapter we study the tools to calculate invariant subspaces lattices for some classical operators, emphasizing on the need to use models to characterize these lattices. In chapter four we introduce the universal operators and we prove that the characterization of the invariant subspaces lattice of the hyperbolic automorphism composition operator in H2would solve the invariant subspace problem. Finally, in chapter five we present the closest result to date: the characterization of the lattice of the parabolic nonautomorphism composition operator in H2. 3 palabra Resumen El Problema del Subespacio Invariante es uno de los problemas m´as estudiados en Teor´ıa de Operadores en las ´ultimas d´ecadas. De hecho, sigue abierto para operadores definidos en espacios de Hilbert. El objetivo de este trabajo es presentar los resultados m´as cl´asicos en este problema y estudiar el enfoque basado en los operadores universales. El trabajo est´a organizado como sigue: En el primer cap´ıtulo, introducimos la teor´ıa de ´algebras de Banach, haciendo hincapi´e en la teor´ıa espectral y en la transformada de Gelfand, dos herramientas que ser´an dos elementos fundamentales en el desarrollo del texto. En el cap´ıtulo segundo proporcionamos una visi´on cl´asica del problema del subespacio invariante en espacios de Hilbert. Demostramos dos de los resultados m´as importantes de existencia de subespacios h´ıperinvariantes: el teorema de Lomonosov y el teorema espectral para operadores normales. En el tercer cap´ıtulo, estudiamos las herramientas para calcular los ret´ıculos de subespacios invariantes de algunos operadores cl´asicos, enfatizando la necesidad del uso de modelos para caracterizar dichos ret´ıculos. En el cap´ıtulo cuarto introducimos los operadores universales y probamos que la caracterizaci´on del ret´ıculo de subespacios invariantes del operador de composici´on hiperb´olico automorfismo en H2resolver´ıa el problema del subespacio invariante. Finalmente, en el quinto cap´ıtulo presentamos el resultado m´as cercano hasta la fecha: la caracterizaci´on del ret´ıculo del operador de composici´on parab´olico no automorfismo en H2. 5 palabra Introducci´on Denotaremos por Xa un espacio de Banach complejo y por B(X) al espacio de los operadores lineales y acotados T:X→X. Cuando Xsea un espacio de Hilbert, lo denotaremos por H. Adem´as, llamaremos subespacio a cualquier variedad lineal cerrada en X. Antes de enunciar el problema del subespacio invariante, debemos introducir algunas definiciones. Llamamos subespacio invariante a cualquier subespacio M⊆Xtal que T(M)⊆M. Diremos adem´as que es no trivial si M6={0}, H. El problema se enuncia como sigue: ¿Tiene todo operador T∈ B(H) un subespacio invariante no trivial? A pesar de su aparente sencillez, el problema del subespacio invariante lleva abierto desde que fue propuesto por John von Neumann en la d´ecada de los a˜nos 30. Una Introducci´on Hist´orica al Problema del Subespacio Invariante Presentamos ahora una exposici´on hist´orica documentada gracias a [24]. A principios de los a˜nos treinta, John von Neumann empez´o a trabajar en lo que conocemos actualmente como el problema del subespacio invariante. Von Neumann se preguntaba si todo operador Tlineal y acotado en un espacio de Banach complejo Xten´ıa un subespacio invariante no trivial. Es decir, si para todo T∈ B(X) existe Msubespacio cerrado propio y de dimensi´on no nula tal que T(M)⊂M. Antes de comentar el desarrollo hist´orico del problema, observemos que el problema es trivial si nuestro espacio de Banach Xtiene dimensi´on finita o es no separable. Si Xes de dimensi´on finita n∈Nes isomorfo a Cn. As´ı, todo operador T∈ B(X) es semejante a una matriz cuadrada n×n. Ahora, est´a claro por el teorema fundamental del ´algebra que todas estas matrices tienen autovalores, y por tanto autovectores que generan subespacios invariantes no triviales. En el caso en el que Xes no separable, basta tomar x∈Xno nulo y considerar la ´orbita 7 palabra Cap´ıtulo 1 Teor´ıa Espectral Este cap´ıtulo est´a basado en la presentaci´on que puede encontrarse en [21], aunque a˜nadiremos algunos elementos de [3] por completitud. 1.1. ´ Algebras de Banach De ahora en adelante todos los espacios vectoriales que consideraremos ser´an complejos. Comenzamos exponiendo las definiciones b´asicas: Definici´ on 1.1.1. Un ´ algebra es un espacio vectorial Aequipado con una aplicaci´on bilineal A×A→A (a, b)7→ ab, que adem´as es asociativa. Es decir, (ab)c=a(bc),para todo a, b, c ∈A. Llamaremos multiplicaci´ on a esta aplicaci´on. Una sub´ algebra Bes un subespacio vectorial Bde Ade forma que bb0∈Bpara todo b, b0∈B. Est´a claro que toda sub´algebra es un ´algebra con la multiplicaci´on inducida. Es muy usual que las ´algebras tengan definidas una norma. Introducimos ahora las definiciones sobre ´algebras que involucran esta situaci´on: Definici´ on 1.1.2. Una norma en un ´algebra Ase dice submultiplicativa si kabk≤kakkbkpara todo a, b ∈A. En ese caso, diremos que el par (A, k·k) es un ´ algebra normada. Si adem´as Aadmite una unidad 1, es decir, un elemento 1 ∈Atal que a1=1a=apara todo a∈Ay tal que k1k= 1, diremos que Aes un ´ algebra normada unitaria. 15 16 CAP´ ITULO 1. TEOR´ IA ESPECTRAL Ya podemos presentar la definici´on de ´algebra de Banach: Definici´ on 1.1.3. Un ´ algebra de Banach es un ´algebra normada y completa. Si este ´algebra tiene unidad lo llamaremos ´ algebra de Banach unitaria. De nuevo, est´a claro que cualquier sub´algebra de un ´algebra normada es tambi´en un ´algebra normada. Adem´as, cualquier sub´algebra cerrada en un ´algebra de Banach es, a su vez, un ´algebra de Banach. Nota 1.1.4. Es importante remarcar que la multiplicaci´on en un ´algebra normada Aes compatible con la topolog´ıa inducida por la norma, en el sentido de que es una aplicaci´on continua. Para probarlo, basta tomar a, a0, b, b0∈Ay estudiar la siguiente desigualdad: ab −a0b0=ab −a0b0+ab0−ab0≤ kakb−b0+b0a−a0. Es primordial proporcionar algunos ejemplos sobre ´algebras de Banach para mostrar el inter´es de este concepto: Ejemplos 1.1.5. (a) Si (Ω, µ) es un espacio de medida, entonces el conjunto de clases de funciones esencialmente acotadas L∞(Ω, µ) equipada con la norma esencial k·k∞ es un ´algebra de Banach unitaria con la suma, producto por escalar y multiplicaci´on puntual, donde la funci´on constante 1 es la unidad. (b) Si Ω es un espacio topol´ogico de Hausdorff compacto, entonces el conjunto de funciones continuas complejas definidas sobre C(Ω) es una ´algebra de Banach unitaria. (c) Si Xes un espacio normado y denotamos por B(X) al conjunto de endomorfismos acotados de X, entonces B(X) es un ´algebra unitaria con la suma y producto por escalar habituales, con la composici´on como multiplicaci´on y el operador identidad como unidad. Si adem´as Xes completo, B(X) es un ´algebra de Banach. Por tanto, en particular B(H) es un ´algebra de Banach unitaria, que ser´a principalmente el ´algebra que estudiemos en este trabajo. Merece la pena resaltar que en los ejemplos (a) y (b) las dos ´algebras presentadas son conmutativas, cuando el ´algebra B(X) no es conmutativa en general. Consideremos ahora un ´algebra A, y sea (Bλ)λ∈Λuna familia de sub´algebras de A. Es rutinario comprobar que \ λ∈Λ Bλ es tambi´en una sub´algebra. Por tanto, dado cualquier subconjunto Sde A, existe la m´ınima sub´algebra Bque contiene a S, que es la intersecci´on de todas las sub´algebras que contienen aS, que denominaremos sub´ algebra generada por S. Si Ses un subconjunto unitario {a}, entonces Bes el subespacio engendrado por todas las potencias an,n∈N. Adem´as, si Aes un ´algebra normada, el sub´ algebra cerrada generada por Ses la m´ınima sub´algebra cerrada que contiene a S, que coincide con B. 1.2. TEOR´ IA ESPECTRAL ELEMENTAL 17 Definici´ on 1.1.6. Un homomorfismo de un ´algebra Aa un ´algebra Bes una aplicaci´on lineal ϕ:A→B tal que ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) para todo a, b ∈A. Diremos que ϕes unitario si ϕ(1) = 1. 1.2. Teor´ıa Espectral Elemental Denotemos por C[z] al ´algebra de todos los polinomios con coeficientes complejos en la indeterminada z. Si p∈C[z] es el polinomio p(z) = λ0+λ1z+···+λnzn entonces definimos p(a) = λ01 + λ1a+···+λnan para todo a∈A. Proposici´ on 1.2.1. Dada un ´algebra Aya∈A, la aplicaci´on ϕ:C[z]→A p→p(a) es un homomorfismo unitario. Demostraci´on. Est´a claro que ϕes homomorfismo. Basta entonces notar que la unidad en C[z] es el polinomio constante p(z) = 1, entonces est´a claro que p(1) = 1.  Definici´ on 1.2.2. Dada un ´algebra A, diremos que a∈Aes invertible si existe b∈A tal que ab =ba = 1. En este caso, bes ´unico y lo denotamos por a−1. Denotaremos Inv A={a∈A:aes invertible}. Es trivial ver que Inv Aes un grupo multiplicativo. Definici´ on 1.2.3. Dado un ´algebra Aya∈A, definimos su espectro σ(a) como σA(a) = σ(a) = {λ∈C:a−λ1/∈Inv A}. Llamaremos conjunto resolvente aρ(a) := C r σ(a). A partir de ahora y cuando no haya lugar a confusi´on, escribiremos λen lugar de λ1. 18 CAP´ ITULO 1. TEOR´ IA ESPECTRAL Veamos un par de ejemplos de c´alculo de espectro: Ejemplos 1.2.4. (a) Consideremos Ω un espacio topol´ogico de Hausdorff compacto, y sea f∈C(Ω). Tenemos que f−λno ser´a invertible si se anula en alg´un punto, es decir, si λ∈f(Ω). Por tanto, se tiene que σ(f) = f(Ω). (b) Consideremos ahora Mn(C), el espacio de matrices cuadradas de dimensi´on ncon coeficientes complejos. Est´a claro que este espacio conforma un ´algebra unitaria no conmutitativa con la suma, producto por escalar y multiplicaci´on usuales y con la matriz identidad como unidad. Dada A∈Mn(C) es bien conocido que A−λI es no invertible si y solo si λes un autovalor de A. Por tanto, σ(A) es el conjunto de autovalores de A. Podemos entender por tanto el espectro de un elemento ade un ´algebra como una generalizaci´on del concepto de autovalor de una matriz cuadrada o de rango de una funci´on continua. En el caso del ´algebra de Banach B(X) donde Xes un espacio de Banach, se suele descomponer el espectro en subconjuntos m´as peque˜nos que muestran la causa de la no invertibilidad del operador T−λI. Nosotros presentamos aqu´ı los casos que ser´an interesantes en este trabajo, aunque obviamente no es una descripci´on exhaustiva de la descomposici´on total del espectro. Definici´ on 1.2.5. Se llama espectro puntual del operador T∈ B(X) al conjunto de autovalores de Ty lo denotamos por σp(T). Observemos que todo autovalor est´a en el espectro, ya que T−λI no ser´a un operador inyectivo y por tanto, no ser´a invertible. Definici´ on 1.2.6. Se llama espectro puntual aproximado al conjunto de λ∈Ctales que T−λI no est´a acotado inferiormente. Es decir, al conjunto de λ∈Ctales que no existe C > 0 tal que kTx −λxk ≥ Ckxk.Denotamos a este conjunto por σap(T). De nuevo, est´a claro que σap(T)⊂σ(T), ya que la acotaci´on inferior es una condici´on necesaria para la invertibilidad de cualquier operador definido entre espacios de Banach. Definici´ on 1.2.7. Dado un operador T∈ B(H) se llama espectro de compresi´ on y lo denotamos por Γ(T) al conjunto de λ∈Ctales que el rango de T−λI no es denso. Estos dos ´ultimos subconjuntos del espectro cubren completamente al espectro: Proposici´ on 1.2.8. Si T∈ B(X), entonces σ(T) = σap(T)∪Γ(T). Demostraci´on. Veamos que si λ /∈σap(T) y λ /∈Γ(T) entonces λ /∈σ(T). Observemos que si λ /∈ σap(T) entonces T−λI est´a acotado inferiormente. Es decir, existe C > 0 de forma que 1.2. TEOR´ IA ESPECTRAL ELEMENTAL 19 k(T−λI)xk ≥ Ckxkpara todo x∈X. Veamos que Im(T−λI) es cerrado. Para ello, sea ((T−λI)xn)nsucesi´on en Im(T−λI) convergiendo a y∈X. Veamos que (xn) es una sucesi´on convergente. Su l´ımite x∈Xcumplir´a que (T−λI)x=y, lo que probar´a lo que queremos. Para ello, basta ver que es de Cauchy, ya que kxn−xmk ≤ 1 Ck(T−λI)(xn−xm)k=k(T−λI)xn−(T−λI)xmk. Como ((T−λI)xn) es convergente es de Cauchy, y por tanto tambi´en (xn), como quer´ıamos. As´ı, Im(T−λI) es cerrado. Adem´as, sabemos que es denso, ya que λ /∈Γ(T). Por tanto, T−λI es sobreyectivo. Adem´as, como est´a acotado inferiormente se tiene que es inyectivo y por tanto invertible. As´ı, λ /∈σ(T).  Proposici´ on 1.2.9. Si T∈ B(X), entonces ∂σ(T)⊂σap(T). Demostraci´on. Primero, como σ(T) es cerrado, se tiene que ∂σ(T) = σ(T)∩ρ(T).Supongamos que λ∈∂σ(T) y λ /∈σap(T). Tomemos (λn)⊂ρ(T) convergiendo a λ. Veamos que existen k, N ∈Ntales que si n≥Nentonces k(T−λn)xk ≥ (1/k)kxkpara todo x∈X. Razonamos por reducci´on al absurdo. Para todo m, N ∈Nexiste n≥Ny un vector xm de norma 1 con k(T−λ)xmk≤k(A−λn)xmk+k(λ−λn)xmk ≤ 1 m+|λ−λn|,lo que implica que λ∈σap(T), que es contradicci´on. Por tanto, existen dichos k, N ∈N. Vamos a probar que λ /∈Γ(A). Este hecho, junto con el resultado anterior, probar´a lo que queremos. Dado x∈X, para cada n∈Nexiste yn∈Xde forma que (T−λn)yn=x. Como k(T−λn)ynk ≥ (1/k)kynk, se deduce que kynk ≤ kkxkpara n≥N. Por tanto, k(T−λ)yn−xk≤k(T−λn)yn−xk+k(λn−λ)ynk= 0 + |λn−λ|kynk ≤kkxk|λn−λ|. Si n→ ∞ entonces kkxk|λn−λ| → 0, lo que implica que λ /∈Γ(T), como quer´ıamos.  Ser´a tambi´en ´util hablar del espectro total: Definici´ on 1.2.10. Llamamos espectro total de un operador T∈ B(X) y lo denotamos por η(σ(T)) a la uni´on de σ(T) con las componentes conexas acotadas de ρ(T). Es decir, η(σ(T)) es el menor conjunto simplemente conexo que contiene a σ(T). Nota 1.2.11. Si Aes un ´algebra unitaria y a, b ∈A, entonces 1 −ab es invertible si y solo si lo es 1 −ba, ya que si 1 −ab tiene inversa c, entonces 1 −ba tiene inversa 1 + bca. Como consecuencia se deduce que σA(ab)r{0}=σA(ba)r{0}. Veamos ahora algunos de los resultados m´as importantes y conocidos de la teor´ıa espectral: 20 CAP´ ITULO 1. TEOR´ IA ESPECTRAL Teorema 1.2.12. [Teorema de la Aplicaci´on Espectral] Sea Aun ´algebra unitaria, y sea a∈A. Si σ(a)es no vac´ıo y p∈C[z], entonces σ(p(a)) = p(σ(a)) = {p(λ) : λ∈σ(a)}. Demostraci´on. Si p=αconstante, entonces est´a claro que σ(p(a)) = α=p(σ(a)), as´ı que podemos suponer que pes no constante. Tomemos µ∈C. Est´a claro que p(z)−µ=λ(z−λ1)···(z−λn), as´ı que p(a)−µ=λ(a−λ1)···(a−λn). Est´a claro que p(a)−µes invertible si y solo si (a−λk) lo son para todo k= 1, ..., n. Por tanto, se tiene que µ∈σ(p(a)) si y solo si µ=p(λ) para alg´un λ∈σ(a), as´ı que σ(p(a)) = p(σ(a)), como quer´ıamos probar.  Teorema 1.2.13. Sea Aun ´algebra de Banach unitaria y sea a∈Atal que kak<1. Entonces (1 −a)∈Inv Ay (1 −a)−1=∞ X n=0 an. Demostraci´on. Tenemos que ∞ X n=0 kank ≤ ∞ X n=0 kakn=1 1−kak<∞, por lo que la serie P∞ n=0 anes absolutamente convergente y, por tanto, convergente, ya que Aes completo. Llamemos b=P∞ n=0 an. Ahora, observemos que n X k=0 ak!(1 −a) = (1 −a) n X k=0 ak= 1 −an+1 y si tomamos l´ımite cuando n→ ∞ en la triple igualdad obtenemos que (1 −a)b= b(1 −a) = 1, como quer´ıamos.  Teorema 1.2.14. Si Aes un ´algebra de Banach unitaria, entonces Inv Aes abierto en Ay la aplicaci´on ϕ:Inv A→A a7→ a−1 es diferenciable en el sentido de Fr´echet. 1.2. TEOR´ IA ESPECTRAL ELEMENTAL 21 Demostraci´on. Sea a∈Inv Ay sea b∈Ade forma que kb−ak<a−1−1. Entonces ba−1−1≤ kb−aka−1<1, as´ı que por el teorema anterior ba−1∈Inv Ay por tanto b∈Inv A. Para ver la diferenciabilidad, tomemos b∈Atal que kbk<1. Entonces (1 + b)∈Inv Ay k(1 + b)−1−1 + bk=k∞ X n=0 (−1)nbn−1 + bk=k∞ X n=2 (−1)nbnk ≤∞ X n=2 kbkn=kbk2 1−kbk. Tomemos ahora a∈Inv Ay elijamos c∈Ade forma que kck<1 2ka−1k.Entonces est´a claro que a−1c<1/2<1, as´ı que escribiendo b=a−1ctenemos (1 −a−1c)−1−1 + a−1c≤a−1c2/(1 −a−1c)≤2a−1c2, ya que 1 −a−1c>1/2. Ahora definimos el operador U:A→Acomo U(b) = a−1ba−1. Entonces (a+c)−1−a−1−U(c)=(1 + a−1c)−1a−1−a−1+a−1ca−1 ≤(1 + a−1c)−1−1 + a−1ca−1≤2a−13kck2. Por tanto, l´ım c→0(a+c)−1−a−1−U(c) kck= 0, lo que prueba que ϕes diferenciable con derivada Dϕ(a) = U. Lema 1.2.15. Sea Aun ´algebra de Banach unitaria y sea a∈A. El espectro σ(a)de a es un subconjunto cerrado del disco cerrado de centro el origen y radio kak, y adem´as la aplicaci´on ϕ:ρ(a)→A λ7→ (a−λ)−1 es diferenciable (en el sentido de Fr´echet). Demostraci´on. Comencemos observando que la diferenciabilidad de ϕse sigue inmediatamente del teorema (1.2.14). Si λ > kak, entonces λ−1a<1 y (1 −λ−1a) es invertible, y por tanto, tambi´en lo es λ−a. Por tanto, λ∈ρ(a), lo que prueba que si λ∈σ(a),entonces |λ| ≤ kak. 22 CAP´ ITULO 1. TEOR´ IA ESPECTRAL Finalmente, para ver que el espectro σ(a) es cerrado basta probar que ρ(a) es abierto. Para ello, observemos que ρ(a) = ϕ−1(Inv A). Como Inv Aes un conjunto abierto y ϕes diferenciable por ser continua, se sigue el resultado.  El siguiente resultado puede entenderse como una generalizaci´on del teorema fundamental del ´algebra para ´algebras de Banach. Teorema 1.2.16 (Teorema de Gelfand).Sea Aun ´algebra de Banach unitaria y sea a∈A. Entonces, el espectro σ(a)es no vac´ıo. Demostraci´on. Razonamos por reducci´on al absurdo. Supongamos que σ(a) = ∅. Si |λ|>2kak, entonces λ−1a<1 2y por tanto, 1 −λ−1a>1 2. As´ı, k(1 −λ−1a)−1−1k=k∞ X n=1 (λ−1a)nk ≤ λ−1a 1−kλ−1ak ≤2λ−1a<1. En consecuencia, (1 −λ−1a)−1≤ k(1 −λ−1a)−1−1k+k1k<2, y por tanto (a−λ)−1=λ−1(1 −λ−1a)−1<2/|λ|<kak−1, ya que a6= 0 porque σ(a) = ∅.Es m´as, como la aplicaci´on λ7→ (a−λ)−1es continua, est´a acotada en el compacto 2 kakD. Por tanto, hemos probado que esta aplicaci´on est´a acotada en todo el plano complejo; es decir, existe M > 0 de forma que (a−λ)−1≤M para todo λ∈C. Si τ∈A∗(donde A∗denota el dual de A), la aplicaci´on λ7→ τ((a−λ)−1) es entera y acotada por Mkτk, as´ı que gracias al teorema de Liouville, es constante. En particular, τ(a−1) = τ((a−1)−1). Como esto es cierto para todo τ∈A∗, deducimos que a=a−1, lo cual es una contradicci´on.  Teorema 1.2.17 (Teorema de Gelfand-Mazur).Si Aes un ´algebra de Banach unitaria donde todo elemento no nulo es invertible, entonces A= 1C. Es decir, Aes isom´etricamente isomorfo a C. Demostraci´on. Definimos θ:C→Acon θ(λ) = λ1. Claramente, θun isomorfismo de Cen la sub´algebra C1. Vamos a probar que θes sobreyectivo en A, lo que terminar´a la prueba. Dado a∈A, tenemos por el teorema de Gelfand que existe λ∈σ(a) de forma que a−λno es invertible, as´ı que x−λ= 0 por hip´otesis. Esto prueba que a=θ(λ), como quer´ıamos.  Definici´ on 1.2.18. Si Aes un ´algebra de Banach unitaria y a∈A, definimos su radio espectral como r(a) = sup λ∈σ(a)|λ|. 1.2. TEOR´ IA ESPECTRAL ELEMENTAL 23 Est´a claro por la nota 1.2.11 que r(ab) = r(ba) para todo a, b ∈A. El siguiente teorema nos proporciona una sencilla f´ormula para calcular el radio espectral de cualquier elemento de un ´algebra de Banach unitaria: Teorema 1.2.19 (Teorema de Beurling).Sea Aun ´algebra de Banach unitaria y a∈A. Entonces r(a) = ´ınf n∈Nkank1/n = l´ım n→∞kank1/n . Demostraci´on. Sea λ∈σ(a). Entonces, por el teorema de la aplicaci´on espectral 1.2.12, se tiene que λn∈σ(an). Por tanto, tenemos que |λ|n≤ kanky se sigue que |λ| ≤ ´ınf n∈Nkank1/n ≤l´ım inf n→∞ kank1/n . Veamos que efectivamente el l´ımite existe y que se tiene la igualdad. Para ello, llamamos ∆ al disco abierto en Ccentrado en 0 y con radio 1/r(a) (tomamos el convenio 1/0 = ∞.) Si tomamos λ∈∆, entonces 1 −λa ∈Inv A. Si τ∈A∗, entonces la aplicaci´on f: ∆ →C λ7→ τ((1 −λa)−1) es anal´ıtica, as´ı que existe una sucesi´on de n´umeros complejos {λn}n∈Nde forma que f(λ) = ∞ X n=0 λnλn para todo λ∈∆.Adem´as, si |λ| ≤ 1/kak, como kak ≥ r(a), se sigue que |λ|<1/r(a) y por tanto kλak<1, as´ı que (1 −λa)−1=∞ X n=0 λnan, y por tanto f(λ) = ∞ X n=0 λnτ(an). Ahora, por la unicidad de coeficientes de series de potencias, se sigue que λn=τ(an) para todo n∈N. As´ı, la sucesi´on λnτ(an) converge a 0 para cada λ∈∆, y en concreto la sucesi´on est´a acotada. Como esto es cierto para todo τ∈A∗, se tiene por el principio de acotaci´on uniforme que la sucesi´on (λnan)n∈Nest´a acotada. Por tanto, existe una constante M > 0 que depende de λtal que kλnank ≤ Mpara todo n∈Ny, en consecuencia, kank1/n ≤M1/n/|λ|si λ6= 0. Por tanto, l´ım supn→∞ kank1/n ≤1/|λ|para todo λ∈∆ tal que r(a)<1/|λ|. Por tanto, deducimos que l´ım sup n→∞ kank1/n ≤r(a), 30 CAP´ ITULO 1. TEOR´ IA ESPECTRAL (b) Ahora supongamos que Aes un ´algebra no unitaria y tomemos κ∞:ˆ A→Cel homomorfismo can´onico. Entonces Ω( ˆ A) = {ˆκ:κ∈Ω(A)}∪ {κ∞}, donde ˆκes el ´unico car´acter que extiende κaˆ A. Entonces, tenemos por (a) que σ(a) = σˆ A(a) = {κ(a) : κ∈Ω( ˆ A)}={κ(a) : κ∈Ω(A)}∪{0}, lo que prueba el resultado.  Notemos que si Aes un ´algebra de Banach abeliana, entonces por el teorema 1.3.12 deducimos que Ω(A) est´a contenida en la bola unidad cerrada de A∗. Dotaremos por tanto a Ω(A) de la topolog´ıa d´ebil* relativa, y llamaremos al espacio topol´ogico Ω(A)espacio de caracteres oespectro de A. Teorema 1.3.14. Si Aes un ´algebra de Banach abeliana, entonces Ω(A)es un espacio T2localmente compacto. Es m´as, si Aes unitaria, Ω(A)es compacto. Demostraci´on. Veamos primero que Ω(A)∪ {0}es d´ebil cerrado en la bola unidad cerrada BA∗de A∗. Tomemos entonces una red (κα) en Ω(A)∪{0}convergiendo a κ∈BA∗. Tomemos a, b ∈A. Tenemos que κ(ab) = l´ım ακα(ab) = l´ım ακα(a)κα(b) = κ(a)κ(b), lo que prueba que κes un homomorfismo y por tanto pertenece a Ω(A)∪ {0}. Ahora, como BA∗es d´ebil* compacto por el teorema de Banach-Alaoglu, se sigue que Ω(A)∪{0} es d´ebil* compacta y, por tanto, Ω(A) es localmente compacto. En el caso en el que Aes unitaria, se sigue que Ω(A) es d´ebil* cerrado, y por tanto es compacto.  Dado un espacio topol´ogico T2Ω, diremos que una funci´on continua f: Ω →Cse desvanece en el infinito si para cada ε > 0 el conjunto {x∈Ω : |f(x)| ≥ ε}es compacto en Ω. El ´algebra constituida por estas funciones se denota por C0(Ω), y es un ´algebra de Banach abeliana y unitaria con la norma infinito. Podemos entonces presentar la idea central de esta secci´on, la transformada de Gelfand, que nos permitir´a entender cada elemento de un ´algebra de Banach como una funci´on continua que se desvanece en el infinito definida sobre su espectro: Definici´ on 1.3.15. Sea Aun ´algebra de Banach abeliana con Ω(A) no vac´ıo. Dado a∈A, definimos la funci´on ˆacomo ˆa: Ω(A)→C κ7→ κ(a). Llamamos transformada de Gelfand de aa la funci´on ˆa. 1.3. LA REPRESENTACI ´ ON DE GELFAND 31 Teorema 1.3.16 (Teorema de Representaci´on de Gelfand).Sea Aun ´algebra de Banach abeliana con Ω(A)no vac´ıo. Entonces la aplicaci´on A→C0(Ω(A)) a7→ ˆa, llamada representaci´on de Gelfand, es un homomorfismo decreciente en norma, y r(a) = kˆak∞. Adem´as, si Aes unitario, σ(a) = ˆa(Ω(A)), y si Aes no unitario, σ(a) = ˆa(Ω(A)) ∪{0}, para todo a∈A. Demostraci´on. Veamos primero que la aplicaci´on est´a bien definida. Es decir, que ˆa∈C0(Ω(A)) para todo a∈A. Observemos que la topolog´ıa d´ebil* es la topolog´ıa menos fina que hace continuas a todas las funciones ˆa, lo que en cierta manera justifica la elecci´on de la topolog´ıa. Adem´as, para cada ε > 0, el conjunto {κ∈Ω(A) : |κ(a)| ≥ ε}es d´ebil* cerrado en la bola unidad cerrada de A∗, y de nuevo por Banach-Alaoglu se sigue que son conjuntos compactos para todo a∈A. Esto prueba que ˆa∈C0(Ω(A)). Ahora, por el teorema 1.3.11 se tiene que σ(A) es el rango de ˆasi Aes unitario (σ(a)∪{0}si es no unitario). Por tanto, r(a) = kˆak∞, lo que implica que la aplicaci´on es decreciente en norma. Finalmente, el hecho de que la aplicaci´on es homomorfismo se sigue inmediatamente de la definici´on de la transformada de Gelfand.  Definici´ on 1.3.17. Sea Aun ´algebra de Banach abeliana con Ω(A) no vac´ıo. Llamaremos radical de Aal n´ucleo de la representaci´on de Gelfand. Si el radical de Aes {0}, diremos que Aes semisimple. Es trivial ver que los elementos del radical de Ason aquellos tales que r(a) = 0. Por tanto, el radical contiene a todos los elementos nilpotentes. Proposici´ on 1.3.18. Sea Aun ´algebra de Banach abeliana con espectro no vac´ıo. Son equivalentes: (a) Aes semisimple. (b) Ω(A)separa puntos. (c) Tκ∈Ω(A)ker κ={0}. Demostraci´on. Sea Aes semisimple, y razonemos por reducci´on al absurdo. Supongamos que Ω(A) no separa puntos. Es decir, existe a∈Ano nulo tal que κ(a) = 0 para todo κ∈Ω(A). Es decir, ˆa(κ) = 0 para todo κ∈Ω(A), lo que implica que ˆa= 0, que contradice el hecho de que Aes semisimple. 32 CAP´ ITULO 1. TEOR´ IA ESPECTRAL Supongamos ahora que Ω(A) separa puntos. Entonces, est´a claro que dado κ1∈Ω(A), y x∈ker κ1no nulo, existe κ2tal que κ2(x)6= 0, por lo tanto x /∈ker κ2. Adem´as, est´a claro que 0 ∈ker κpara todo κ∈Ω(A), lo que prueba que \ κ∈Ω(A) ker κ={0}. Finalmente, supongamos que la intersecci´on de todos los n´ucleos de los caracteres es cero. Supongamos que Ano es semisimple: existe a∈Ano nulo de forma que ˆa= 0, es decir, 0 = ˆa(κ) = κ(a) para todo κ∈Ω(A). Es decir, a∈Tκ∈Ω(A)ker κ, y obtenemos de nuevo una contradicci´on.  Como vimos en el teorema 1.3.12, los ideales maximales regulares de cualquier ´algebra de Banach abeliana son precisamente los n´ucleos de los caracteres definidos en A, as´ı que tenemos una biyecci´on Ω(A)→M. Identificaremos por tanto Ω(A) con M. Es m´as, podemos ver entonces a Mcomo un espacio topol´ogico, ya que Ω(A) est´a equipado con la topolog´ıa d´ebil* relativa a la bola unidad cerrada de A∗. As´ı, podemos entender la transformada de Gelfand como ˆa:M→C M7→ ˆa(M), donde definimos ˆa(M) = κ(a), donde M= ker κ, y podemos entonces definir la representaci´on de Gelfand como la aplicaci´on A:→C0(M) a→ˆa. Lidiaremos con ambas definiciones, entendiendo que en realidad estamos trabajando exactamente con las mismas ideas en ambos casos. Finalizamos la secci´on introduciendo el concepto de ´algebra de Banach regular, que ser´a una idea crucial en ciertos momentos del trabajo. Para ello, debemos hablar primero de ciertas ideas que de nuevo pondr´an en juego a los ideales maximales regulares. Definici´ on 1.3.19. Sea Aun ´algebra de Banach abeliana. Dado un ideal Ide A, definimos su cierre h(I) como el conjunto de todos los ideales maximales regulares que contienen a I. Es f´acil ver entonces, gracias a nuestra definici´on alternativa de la transformada de Gelfand que Proposici´ on 1.3.20. Dado un ideal Ien un ´algebra de Banach abeliana A,h(I)es el conjunto de M∈Mtales que ˆa(M)=0para todo a∈I. En consecuencia, h(I)es cerrado. 1.3. LA REPRESENTACI ´ ON DE GELFAND 33 Demostraci´on. Llamemos B={M∈M: ˆa(M)=0∀a∈I},y veamos que h(I) = B. Sea M∈h(I). Entonces Mes un ideal maximal regular con I⊂M. Es decir, M= ker κ con κ∈Ω(A) con I⊂ker κ. Entonces, para todo a∈I, se tiene que κ(a) = 0, es decir, ˆa(M) = 0, por lo tanto M∈B. Tomemos ahora M= ker κ∈B. Se tiene por tanto que ˆa(M) = 0 para todo a∈I, es decir, κ(a) = 0 para todo a∈I. Por tanto, I⊂M, que por definici´on quiere decir que M∈h(I).  Definici´ on 1.3.21. Dada un ´algebra de Banach abeliana A, definimos el n´ ucleo de un conjunto E⊂Mcomo el ideal k(E) = \ M∈E M. De nuevo, podemos relacionar esta definici´on con la transformada de Gelfand: Proposici´ on 1.3.22. Dada un ´algebra de Banach abeliana A, se tiene que k(E) = {a∈A: ˆa(M)=0∀M∈E}. En consecuencia, k(E)es cerrado. Demostraci´on. Llamemos C={a∈A: ˆa(M)=0∀M∈E}y veamos que k(E) = C. Sea a∈k(E). Entonces a∈Mpara todo M∈E. Es decir, si ker κ=M∈E, entonces κ(a) = 0. Es decir, ˆa(M) = 0 para todo M∈E, por lo tanto a∈C. Por otro lado, sea a∈C. Si M= ker κ, entonces κ(a) = 0, as´ı que a∈Mpara todo M∈E, es decir, a∈k(E).  Definici´ on 1.3.23. Diremos que un ´algebra de Banach abeliana Aes regular si todo punto M∈Mtiene un entorno Ude forma que k(U) es un ideal regular. Dado un conjunto cerrado Fen M, definimos J(F, ∞) como la uni´on de los ideales k(U), donde Ues cualquier conjunto abierto tal que F⊂Uy con complementario compacto. Se tiene Proposici´ on 1.3.24. Dada Aun ´algebra abeliana y Fcerrado en M, se tiene J(F, ∞) es el menor ideal con cierre igual a F. La demostraci´on de este resultado es bastante t´ecnica y las herramientas presentadas en este cap´ıtulo no son suficientes para poder plantearla. Dicha prueba puede encontrarse en ([27], p. 91). Gracias a este resultado, tenemos para cualquier ideal cerrado Ique J(h(I),∞)⊂I⊂k(h(I)). 34 CAP´ ITULO 1. TEOR´ IA ESPECTRAL Finalmente, damos una condici´on necesaria y suficiente para poder expresar todo ideal cerrado Ide un ´algebra de Banach abeliana Asemisimple y regular como la intersecci´on de ideales regulares maximales: Lema 1.3.25. Sea Aun ´algebra de Banach abeliana, semisimple y regular. Entonces los conjuntos cerrados de Mson exactamente los cierres de los ideales cerrados. Adem´as, todo ideal cerrado Ide Aes intersecci´on de ideales maximales regulares si y solo si J(h(I),∞) = k(h(I)). En ese caso, se tiene que J(h(I),∞) = I=k(h(I)). De nuevo, la prueba es bastante ´arida, pero el lector interesado puede encontrarla en ([27], p. 92). Cap´ıtulo 2 El Problema del Subespacio Invariante En este cap´ıtulo ofrecemos el planteamiento general del problema del subespacio invariante, enfoc´andonos en la estructura del ret´ıculo de los subespacios invariantes de un operador, y proporcionando algunas herramientas b´asicas tales como la semejanza. A continuaci´on, enunciamos y demostramos el teorema de Lomonosov y el teorema espectral para operadores normales, los dos resultados m´as importantes que prueban la existencia de subespacios invariantes para una gran clase de operadores. 2.1. El Problema del Subespacio Invariante en Espacios de Hilbert Durante el resto del texto consideraremos espacios de Hilbert Hcomplejos, separables y de dimensi´on infinita. El problema del subespacio invariante en espacios de Hilbert tiene un sencillo enunciado: ¿tiene todo operador T∈ B(H) un subespacio invariante no trivial? Vamos a comenzar presentando las definiciones b´asicas necesarias para comprender el problema. Definici´ on 2.1.1. Dado un operador T∈ B(H), diremos que un subespacio M⊆Hes invariante por Tsi Tx ∈Mpara todo x∈M. Est´a claro que todo operador acotado tiene siempre dos subespacios invariantes: {0}y H, que llamaremos subespacios invariantes triviales. 35 36 CAP´ ITULO 2. EL PROBLEMA DEL SUBESPACIO INVARIANTE Definici´ on 2.1.2. Dado un operador T∈ B(H), llamamos ret´ ıculo de subespacios invariantes oret´ ıculo de Tal conjunto de subespacios invariantes por Ty lo denotamos por Lat T. Adem´as, si Ses una familia de operadores acotados, definimos Lat S=\ T∈S Lat T. Usar el t´ermino ret´ıculo para referirnos al conjunto de subespacios invariantes de un operador no es casual. La colecci´on de estos subespacios cumple ciertas propiedades de orden que hacen que constituyan un ret´ıculo en el lenguaje de la teor´ıa algebraica de orden. Vamos a comentar ciertos aspectos de este punto de vista de estudio de los ret´ıculos para deducir propiedades sobre subespacios invariantes. Definici´ on 2.1.3. Una relaci´on binaria definida en un conjunto A≤es una relaci´ on parcial de orden en Asi cumple para todo a, b, c ∈A: (i) a≤a(Reflexividad) (ii) Si a≤byb≤a, entonces a=b. (Antisimetr´ıa) (iii) Si a≤byb≤centonces a≤c. Si adem´as se cumple que para todo a, b ∈A 1. a≤b´o b≤a, diremos que es una relaci´ on de orden total. A cualquier conjunto con una relaci´on parcial de orden lo llamaremos conjunto parcialmente ordenado y si esta relaci´on es total lo llamaremos conjunto totalmente ordenado. Adem´as, si a≤bpero a6=b, lo denotaremos por a<b. Podemos generalizar muchos de los conceptos de orden que aplicamos a los n´umeros reales a los conjuntos parcialmente ordenados: Definici´ on 2.1.4. Sea Aun subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado P. Un elemento p∈Pes una cota superior para Asi a≤ppara todo a∈A. Un elemento p∈Pes el supremo de A(sup A) si pes cota superior de Ayp≤p0para todo p0∈P cota superior de A. Si a, b ∈A, definimos el intervalo cerrado [a, b] como el conjunto de los elementos c∈Ptales que a≤c≤b, y el intervalo abierto (a, b) como los elementos c∈Ptales que a<c<b. De igual manera, podemos definir los conceptos de cota inferior e´ ınfimo. Introducimos entonces el concepto algebraico de ret´ıculo: 2.1. EL PROBLEMA DEL SUBESPACIO INVARIANTE EN ESPACIOS DE HILBERT 37 Definici´ on 2.1.5. Dado un conjunto parcialmente ordenado Adiremos que es un ret´ ıculo si para todo a, b ∈Alos elementos sup{a, b}e ´ınf{a, b}existen y pertenecen a A. Adem´as se definen las operaciones: ∨:A×A→A (a, b)7→ sup{a, b}. ∧:A×A→A (a, b)7→´ınf{a, b}. Puede ser interesante considerar aplicaciones entre conjuntos parcialmente ordenados que conserven el orden definido: Definici´ on 2.1.6. Sean dos conjuntos parcialmente ordenados A1yA2yα:A1→A2 una aplicaci´on. Diremos que αpreserva el orden si para todos a, b ∈A1tales que a≤b se cumple que α(a)≤α(b).En cambio, si α(b)≤α(a) para todo a≤b, diremos que α invierte el orden. Finalmente, tambi´en podemos hablar de isomorfismo en el sentido de la teor´ıa de orden: Definici´ on 2.1.7. Dos ret´ıculos A1yA2son isomorfos si existe una aplicaci´on biyectiva α:A1→A2de forma que αyα−1preservan el orden. A esta aplicaci´on se le denomina isomorfismo. Si αes una aplicaci´on biyectiva tal que αyα−1invierten el orden, diremos que αes un anti-isomorfismo. Una vez sentadas las bases te´oricas del concepto de ret´ıculo, veamos que dado un operador T∈ B(H) el conjunto de sus subespacios invariantes Lat Tconforma un ret´ıculo: Proposici´ on 2.1.8. Dado T∈ B(H)se tiene que Lat Tes un ret´ıculo, donde A≤Bsi A⊆B. Demostraci´on. Est´a claro que la inclusi´on de conjuntos es una relaci´on parcial de orden. Ahora, basta observar que A∧B=A∩B, y que A∨B= span A∪B. Veamos que A∧B∈Lat T. Para ello, sea x∈A∩B. Tenemos que Tx ∈AyTx ∈B, ya que A, B ∈Lat T, por lo que Tx ∈A∩B, y entonces A∩Bes invariante por T. Ahora, sea x∈spanA∪B. Entonces, x=αx1+βx2, con x1∈A,x2∈Byα, β ∈C. Ahora, como A, B ∈Lat T, se sigue que Tx1∈AyTx2∈B, por lo tanto αTx1+βTx2∈spanA∪B, as´ı que spanA∪Btambi´en es invariante por T, y por la continuidad de Ttambi´en lo es spanA∪B. Definici´ on 2.1.9. Dado T∈ B(H), diremos que M∈Lat Tes minimal si para todo N≤Mse tiene que N=MoN={0}. Nota 2.1.10. De la misma forma, dada una familia de operadores S ⊆ B(H) se tiene que Lat Ses un ret´ıculo, donde A≤Bsi A⊆By donde las aplicaciones ∨y∧se definen de manera an´aloga. La misma definici´on es v´alida adem´as para los subespacios minimales. 38 CAP´ ITULO 2. EL PROBLEMA DEL SUBESPACIO INVARIANTE Es natural preguntarse por propiedades adicionales de invariancia de subespacios por acci´on de operadores de B(H). Una de las m´as estudiadas es la hiperinvariancia, relacionada con el conmutante de un operador, que pasamos a definir. Definici´ on 2.1.11. Dados dos operadores T, S ∈ B(H) definimos su conmutador como [T, S] = TS −ST. Diremos que TySconmutan si [T, S] = 0, es decir, si TS =ST. Llamamos conmutante de Tal conjunto de los operadores que conmutan con T, y lo denotamos por {T}0: {T}0:= {S∈ B(H) : T S =ST }. Est´a claro que {T}0es una sub´algebra de B(H). Definici´ on 2.1.12. Dado T∈ B(H), diremos que un subespacio M⊆Hes h´ ıperinvariante por Tsi M∈Lat Spara todo S∈ {T}0. El problema de decidir si todos los operadores de B(H) que no son un m´ultiplo escalar de la identidad son h´ıperinvariantes es un problema que contin´ua abierto, aunque ha recibido algunas respuestas parciales, como el teorema de Lomonosov (que probaremos en la siguiente secci´on), que asegura que todo operador no escalar que conmuta con un operador compacto posee subespacios hiperinvariantes no triviales. Definici´ on 2.1.13. Dados T∈ B(H) y Msubespacio de H, diremos que Mreduce aT si MyM⊥pertenecen a Lat T. Tambi´en llamaremos a Mespacio reductor. Veamos algunos resultados de car´acter general que nos ayudar´an a decidir qu´e subespacios son invariantes para un operador concreto: Proposici´ on 2.1.14. Si T∈ B(H)yPes una proyecci´on sobre M, entonces M∈Lat T si y solo si TP =PTP. Demostraci´on. Si que M∈Lat Tyx∈H, entonces TPx est´a contenido en TM, y como TM ⊆M, se sigue que P(TPx) = TPx. Para la otra implicaci´on, observemos que si T P =PTP y x∈M, entonces Px =xyTx =PTx. Como P(T x) = Tx, se sigue que Tx ∈M, y por tanto M∈Lat T. Proposici´ on 2.1.15. Dado T∈ B(H), se tiene que Lat T∗={M:M⊥∈Lat T}. Demostraci´on. Vamos a probar la doble inclusi´on. Tomemos primero M∈Lat T∗. Tomemos x∈M⊥. Se tiene para todo y∈Mque 0 = hx, T∗yi=hTx, yi, por lo que Tx ∈M⊥. As´ı, M⊥∈Lat T. Ahora, si M⊥∈Lat T, como Mes cerrado se tiene que (M⊥)⊥=M, por tanto M∈Lat T∗. Podemos deducir entonces que: 2.1. EL PROBLEMA DEL SUBESPACIO INVARIANTE EN ESPACIOS DE HILBERT 39 Corolario 2.1.16. El subespacio Mreduce a Tsi y solo si M∈(Lat T)∩(Lat T∗). Tambi´en ser´a muy importante el concepto de semejanza: Definici´ on 2.1.17. Sean H1,H2espacios de Hilbert complejos. Diremos que dos operadores T∈ B(H1) y S∈ B(H2) son semejantes si existe un isomorfismo Φ : H1→H2de forma que T= Φ−1SΦ. Cuando queramos enfatizar el isomorfismo Φ diremos que son semejantes bajo Φ. Adem´as, si Φ es unitario, diremos que TySson unitariamente equivalentes. La relaci´on ’ser semejantes’ es una relaci´on de equivalencia sobre los operadores acotados. Esta propiedad va a ser fundamental en nuestro trabajo, pues la semejanza entre operadores conserva muchas propiedades que juegan un papel crucial en la teor´ıa de los subespacios invariantes. Por ejemplo, si conocemos el ret´ıculo de un operador, conoceremos tambi´en el ret´ıculo de todos los operadores semejantes a ´el: Proposici´ on 2.1.18. Sean T∈ B(H1)yS∈ B(H2)dos operadores semejantes bajo Φ : H1→H2. Entonces M∈Lat Tsi y solo si Φ(M)∈Lat S. Es decir: Lat S={Φ(M) : M∈Lat T}. Demostraci´on. Veremos solo una de las implicaciones, la otra es an´aloga. Supongamos que M∈Lat T. Por tanto, para todo x∈M, se tiene que Tx ∈M. Es decir, Φ−1SΦx∈M, o sea, Φ−1Sy ∈M para todo y∈Φ(M). Ahora, Φ−1(Sy)∈Msi y solo si Sy ∈Φ(M), por lo que deducimos que Sy ∈Φ(M) para todo y∈Φ(M), es decir, Φ(M)∈Lat S. Proposici´ on 2.1.19. Sean T∈ B(H1)yS∈ B(H2)dos operadores semejantes bajo Φ : H1→H2. Entonces σ(T) = σ(S)yσp(T) = σp(S). Demostraci´on. Sea λ∈σ(T). Entonces, T−λI no es invertible. Entonces, est´a claro que Φ−1(T−λI)Φ tampoco es invertible. Adem´as tenemos que Φ−1(T−λI)Φ = S−λI as´ı que S−λI no es invertible y λ∈σ(S). La otra contenci´on es an´aloga. Consideremos ahora λ∈σp(T). Es decir, existe x∈H1de forma que Tx =λx. Entonces, se tiene que Φ−1SΦx=λx. Si despejamos obtenemos S(Φx) = λ(Φx). Como Φ es isomorfismo se sigue que Φx6= 0 y por tanto λ∈σp(S). De nuevo, la otra contenci´on es an´aloga.  46 CAP´ ITULO 2. EL PROBLEMA DEL SUBESPACIO INVARIANTE 2.3. El Teorema Espectral para Operadores Normales En esta secci´on vamos a presentar el teorema espectral para operadores normales en espacios de Hilbert y veremos como aplicaci´on que todo operador normal posee un subespacio h´ıperinvariante no trivial. Las demostraciones de los resultados que no probaremos pueden consultarse en [25]. Comencemos recordando la definici´on de operador normal: Definici´ on 2.3.1. Diremos que T∈ B(H) es normal si conmuta con su adjunto. Es decir, si TT∗=T∗T. El resultado principal de esta secci´on es el siguiente: Teorema 2.3.2. Sea T∈ B(H)un operador normal no escalar. Entonces Ttiene un espacio h´ıperinvariante. Como ya hemos comentado, obtendremos este resultado como consecuencia del teorema espectral. Comencemos definiendo el concepto de medida espectral: Definici´ on 2.3.3. Sea (Ω,Σ) un espacio medible. Diremos que E: Σ → B(H) es una medida espectral si cumple las siguientes propiedades: (a) E(∅) = 0, E(Ω) = I. (b) E(A) es una proyecci´on autoadjunta (ortogonal), para todo A∈Σ. (c) E(A1∩A2) = E(A1)◦E(A2) = E(A2)◦E(A1), para todos A1, A2∈Σ. (d) Si A1∩A2=∅, entonces E(A1∪A2) = E(A1) + E(A2). (e) Para todos x, y ∈H, si denotamos Ex,y(A) = hE(A)x, yipara todo A∈Σ, entonces Ex,y es una medida compleja en Σ. Es decir, una medida espectral es una aplicaci´on Eque asocia a cada conjunto medible una proyecci´on ortogonal definida en H. Notemos que las propiedades exigidas a Erecuerdan a las propiedades de una medida de probabilidad µ. Podemos entender la propiedad (a) como una equivalencia con la propiedad de µ(∅) = 0, µ(Ω) = 1. Adem´as, la propiedad (d) puede entenderse como aditividad finita. Observemos que en esta analog´ıa no es completa, pues no reclamamos la aditividad numerable para E. Finalmente, la propiedad (e) nos permite generar medidas complejas Ex,y para cada x, y ∈H. Se cumplen las siguientes propiedades adicionales: Proposici´ on 2.3.4. Sea Emedida espectral en B(H)definida en (Ω,Σ). Entonces: (a) Ex,x es una medida positiva para todo x∈H. 2.3. EL TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES NORMALES 47 (b) Para cada x∈H, la aplicaci´on x→E(A)Hes una medida vectorial numerablemente aditiva. (c) Si {An} ⊂ ΣyE(An)=0para todo n∈N, entonces E(∪∞ n=1An)=0. Como ocurre con las medidas positivas y las medidas complejas, las medidas espectrales nos permiten construir una teor´ıa de integraci´on. A nosotros nos bastar´a con definir las integrales para funciones E-esencialmente acotadas, concepto que definimos a continuaci´on: Definici´ on 2.3.5. Sea Euna medida espectral definida en (Ω,Σ). Definimos L∞(E) como el espacio de funciones medibles f: Ω →Ctales que E({|f|> C}) = 0. Si f∈L∞(E) diremos que est´a E- esencialmente acotada. Notemos la analog´ıa en la definici´on de este espacio con los espacios L∞(µ), donde µ es una medida positiva o compleja cualquiera. Como en dichos casos, L∞(E) es un espacio de Banach (tomando clases de equivalencia de funciones) con la siguiente norma: kfkL∞(E)= m´ın{C > 0 : E({|f|> C})=0}. Observemos ademas que si f: Ω →Ces acotada en el sentido usual (existe M > 0 tal que |f| ≤ M) entonces f∈L∞(E), con kfkL∞(E)≤M. El siguiente resultado nos abre la puerta para definir las integrales de funciones de L∞(E) con respecto a la medida espectral: Proposici´ on 2.3.6. Sea Euna medida espectral en B(H)definida en (Ω,Σ). Entonces, dada f∈L∞(E)existe un ´unico operador T∈ B(H)de forma que hTx, yi=ZΩ fdEx,y para todo x, y ∈H. Definici´ on 2.3.7. Sea Euna medida espectral en B(H) definida en (Ω,Σ), y sea f∈ L∞(E). Definimos la integral de fcon respecto a E ZΩ fdE como el ´unico operador T∈ B(H) que cumple que hTx, yi=ZΩ fdEx,y para todo x, y ∈H. 48 CAP´ ITULO 2. EL PROBLEMA DEL SUBESPACIO INVARIANTE Es decir, la integral de una funci´on en L∞(Ω) nos definir´a un operador acotado T∈ B(H). Como veremos m´as adelante, esta definici´on nos permitir´a representar todo operador normal Tcomo la integral de la funci´on identidad z7→ zdefinida sobre su espectro σ(T). Esta representaci´on es una herramienta muy potente gracias a las siguientes propiedades: Proposici´ on 2.3.8. Sea Euna medida espectral en B(H)definida en (Ω,Σ),f, g ∈ L∞(E)yT=RfdE, g =RgdE. Se tiene: (a) T∗=RfdE. (b) T◦S=S◦T=RfgdE. (c) kTk=kfkL∞(E). (d) σ(T)es el E-rango esencial de f. Es decir, C r σ(T)es el abierto m´as grande Gtal que E(f−1(G)) = 0. (e) Si A∈Σentonces E(A) = RΩχAdE. Enunciamos ahora el teorema espectral: Teorema 2.3.9 (Teorema espectral para operadores normales).Sea T∈ B(H)un operador normal. Entonces existe una ´unica medida espectral Edefinida en la σ−´algebra de Borel de σ(T)tal que Zσ(T) zdE(z) = T. Es m´as, Tconmuta con todas las proyecciones E(A), para todo Borel A∈σ(T). Esta representaci´on nos permitir´a extender el c´alculo funcional anal´ıtico para operadores normales. Es decir, nos permitir´a definir f(T) para cualquier funci´on f:σ(T)→C acotada, lo cual ampl´ıa enormemente la clase de las funciones disponibles para el c´alculo anal´ıtico. Definici´ on 2.3.10. Sea T∈ B(H) un operador normal y Ela medida espectral que lo representa. Sea f:σ(T)→Cmedible Borel y acotada. Definimos entonces ˜ f(T) = Zσ(T) f(z)dE(z). Se tienen las siguientes propiedades: Proposici´ on 2.3.11. Sea T∈ B(H)un operador normal, f, g, fn:σ(T)→Cfunciones medibles y acotadas. Se tienen: (a) f fg(T) = e f(T)◦˜g(T)y] f+g(T) = e f(T) + e g(T). 2.3. EL TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES NORMALES 49 (b) Si g=f, entonces ˜g(T)=(˜ f(T))∗. (c) Si fes continua, entonces σ(˜ f(T)) = {f(λ) : λ∈σ(T)}. (d) Si fn→funiformemente en σ(T), entonces ˜ fn(T)−˜ f(T)→0. (e) Si S∈ {T}0, entonces S∈ {˜ f(T)}0. Demostraci´on del teorema 2.3.2. Veamos que como Tno es m´ultiplo escalar de la identidad, σ(T) tiene al menos 2 puntos distintos. Razonamos por reducci´on al absurdo. Supongamos que el espectro se reduce a un punto. Es decir, existe λ0∈Ctal que σ(T) = {λ0}.Entonces se tiene para todo x, y ∈Hque hTx, yi=Z{λ0} zdEx,y(Z) = Zσ(T) λ0dEx,y(z) = λ0Ex,y(σ(T)) =λ0hE(σ(T))x, yi=hλ0x, yi. As´ı, se tiene que T=λI, lo cual es absurdo. Tomemos entonces a, b ∈σ(T) con a6=b. Entonces, existe ε > 0 de forma que B(a, ε)∩ B(b, ε) = ∅.Definamos entonces A=B(a, ε)∩σ(T). Se tiene por tanto que AyB=σ(T)r Ason conjuntos de Borel. Observemos que ambos son no vac´ıos, y al menos uno de ellos es abierto. Por tanto, se sigue que E(A) y E(B) son proyecciones no triviales. Adem´as, como A∪B=σ(T) y A∩B=∅, se tiene que E(A)+ E(B) = IyE(A)E(B) = E(B)E(A) = 0, de donde se sigue que P=E(A)6=IyE(B) = I−P. Ahora, definimos M=P(H). Observemos que Mes un subespacio cerrado y no trivial de H. Veamos que es h´ıperinvariante para T. Para ello, observemos que P=E(A) = Rσ(T)χA(z)dE(z) = f χA(T).Por tanto, gracias a la propiedad (e) de la proposici´on 2.3.11 se sigue que si Sconmuta con T, entonces Sconmuta con P. Tomemos entonces S∈ {T}0.As´ı, PS =SP . Tomemos x∈M, y veamos que Sx ∈M. Tenemos que Px =x, as´ı que Sx =SPx =PSx =P(Sx)∈M, lo que prueba que M∈Lat S, y por tanto Mes h´ıperinvariante por T. Si observamos detenidamente la prueba, realmente hemos probado un resultado m´as fuerte, que resumimos en el siguiente corolario: Corolario 2.3.12. Sea T∈ B(H)un operador normal no escalar. Entonces existe un subespacio cerrado Mque reduce a todo operador S∈ {T}0. 50 CAP´ ITULO 2. EL PROBLEMA DEL SUBESPACIO INVARIANTE Demostraci´on. Retomemos la notaci´on de la prueba anterior. El subespacio Mes invariante para todo operador S∈ {T}0. Ahora, el mismo razonamiento utilizado es v´alido para el espacio M⊥= (I−P)(H) = E(B)(H). Entonces, M⊥es invariante para todo operador S∈ {T}0, por lo tanto Mreduce a todos los operadores Sque conmutan con T, como quer´ıamos.  Cap´ıtulo 3 C´alculo de Ret´ıculos Cl´asicos En este cap´ıtulo vamos a presentar el c´alculo expl´ıcito del ret´ıculo de subespacios invariantes de dos operadores cl´asicos (el shift y el operador de Volterra) y el ret´ıculo de la familia de las traslaciones en L2(R). Es decir, vamos a proporcionar una descripci´on expl´ıcita de sus subespacios invariantes y trataremos de estudiar las propiedades de orden de estos ret´ıculos. Es de vital importancia notar que las pruebas que vamos a presentar en los dos primeros casos se basan fuertemente en la utilizaci´on de modelos que representen a nuestros operadores. La caracterizaci´on de los ret´ıculos de muchos operadores puede resultar una tarea inabarcable sin el uso de modelos. La estrategia a seguir ser´a tratar de encontrar un espacio de Hilbert separable en el que podamos representar por semejanza al operador que queremos estudiar de forma m´as sencilla y caracterizar sus subespacios invariantes en este nuevo espacio. 3.1. El Ret´ıculo del Operador Shift Vamos a comenzar ofreciendo una caracterizaci´on completa del ret´ıculo de subespacios invariantes del operador shift, gracias al teorema de Beurling. Vamos a seguir las ideas que se exponen sobre este tema en el libro de Rudin [29]. El operador shift se define de la siguiente forma: S:`2→`2 (a0, a1, ...)7→ (0, a0, a1, ...). Claramente es un operador acotado y es, de hecho, una isometr´ıa. Observamos r´apidamente que los subespacios Mk:= {(an)n≥0∈`2:an= 0 para todo n= 0, ..., k.}(3.1) son claramente invariantes por S, pero cuesta mucho decidir si estos son sus ´unicos subespacios invariantes. Por ello, vamos a presentar un modelo de nuestro operador en el 51 52 CAP´ ITULO 3. C ´ ALCULO DE RET´ ICULOS CL ´ ASICOS espacio de Hardy H2, que es un espacio de Hilbert separable (que recordemos es siempre isom´etricamente isomorfo a `2). Estudiaremos entonces el operador shift en este espacio, que tomar´a una forma m´as sencilla de manejar como operador de multiplicaci´on. Para ello, vamos a recordar los conceptos m´as b´asicos del espacio de Hardy. 3.1.1. El Espacio de Hardy H2 Las pruebas de los resultados que vamos a exponer en esta secci´on pueden encontrarse con todo detalle en [12]. Definimos el espacio de Hardy H2como el espacio de las funciones anal´ıticas definidas en el disco unidad Ddel plano complejo Ccuyos sucesi´on de coeficientes de la serie de potencias centrada en el 0 est´an en `2. Es decir: H2:= {f(z) = ∞ X n=0 ˆ f(n)zn∈ H(D) : ∞ X n=0 |ˆ f(n)|2<∞}. Podemos dotar a H2del producto escalar definido como sigue. Si f(z) = P∞ n=0 ˆ f(n)zny g(z) = P∞ n=0 ˆg(n)znson funciones de H2, entonces hf, gi=∞ X n=0 ˆ f(n)ˆg(n).(3.2) Claramente este producto escalar induce una norma en H2definida como kfkH2= ∞ X n=0 |ˆ f(n)|2!1/2 . Como ya hemos comentado, se tiene que Teorema 3.1.1. El espacio H2es un espacio de Hilbert separable con el producto escalar definido en (3.2). Por tanto, H2es isom´etricamente isomorfo a `2, donde este isomorfismo viene dado por T:`2→H2, donde T(a0, a1, a2, ...) = P∞ n=0 anzn. Como los elementos de `2son sucesiones acotadas, entonces la serie de potencias que engendra tiene radio de convergencia al menos 1, as´ı que Test´a bien definida. Adem´as, por definici´on la sucesi´on de coeficientes de cualquier funci´on de H2est´a en `2. Estos hechos, junto con la unicidad de series de potencias, prueban que esta identificaci´on es un isomorfismo isom´etrico. Es muy ´util, e imprescindible en muchos casos, la siguiente caracterizaci´on de la norma en H2: Teorema 3.1.2. Sea f∈H2. Se tiene que kfk2= l´ım r→1− 1 2πZπ −π|f(reiθ)|2dθ = sup 0≤r<1 1 2πZπ −π|f(reiθ)|2dθ. 3.1. EL RET´ ICULO DEL OPERADOR SHIFT 53 Se deduce f´acilmente de este resultado que el espacio de funciones holomorfas acotadas en el disco, que se denota por H∞, est´a contenido en el espacio de Hardy. Es tambi´en primordial hablar del l´ımite radial de una funci´on del espacio de H2. Dada f∈H2definimos la familia de funciones frcomo fr(eiθ) = f(reiθ) para todo eiθ ∈T, con 0 ≤r < 1, donde Tes el toro, es decir, la frontera del disco unidad. Se sigue que fr∈L2(T) para todo 0 ≤r < 1. Definimos tambi´en el valor frontera de fcomo la funci´on f∗cuya serie de Fourier viene dada por ∞ X n=0 ˆ f(n)eiθ. Se tiene Teorema 3.1.3. [Teorema del l´ımite radial]. Sea f∈H2. Entonces (a) f∗∈L2(T)ykf∗kL2(T)=kfkH2. (b) kfr−f∗kL2(T)→0si r→1−. (c) fr→f∗en casi todo T. Gracias a este teorema, tenemos que el valor frontera de fcoincide con su l´ımite radial. Cuando no haya lugar a confusi´on, usaremos ambos t´erminos indistintamente. Este teorema nos permite entonces identificar H2con el subespacio de L2(T) de funciones con coeficientes de Fourier de ´ındices negativos nulos. Como consecuencia del teorema, podemos recuperar cualquier funci´on del espacio de Hardy mediante la integral de Poisson de su funci´on radial: Corolario 3.1.4. Sea f∈H2. Entonces f=P[f∗], donde P[f∗]denota la integral de Poisson de f∗. En cierta manera, el l´ımite radial f∗recoge el comportamiento de fen la frontera del disco en la que no tiene por qu´e estar definida. De ahora en adelante y cuando no haya lugar a confusi´on, tomaremos el convenio de escribir fen vez de f∗. Una vez expuestos los resultados m´as b´asicos sobre H2, retomamos el estudio del operador shift S. Recordemos que se define como S(a0, a1, ...) = (0, a0, a1, ...). Por el isomorfismo isom´etrico que hemos descrito, el shift en el espacio de Hardy vendr´a definido como S ∞ X n=0 ˆ f(n)zn!=∞ X n=1 ˆ f(n−1)zn. 54 CAP´ ITULO 3. C ´ ALCULO DE RET´ ICULOS CL ´ ASICOS Es decir, Sf(z) = zf(z) para todo z∈D. Como ya hemos comentado, el operador shift se convierte en un operador de multiplicaci´on en H2. Recordemos cu´al es su definici´on: Definici´ on 3.1.5. Dada b∈H∞, definimos el operador de multiplicaci´on Mb:H2→H2 como Mbf=bf para todo f∈H2. Proposici´ on 3.1.6. Dada b∈H∞, el operador de multiplicaci´on Mbest´a bien definido, es acotado y kMbk≤kbk∞. As´ı, tenemos que si Tes el isomorfismo isom´etrico de `2→H2se sigue que S= T−1MzT. Es decir, Ses unitariamente equivalente al operador de multiplicaci´on Mz. Cuando no haya lugar a confusi´on, llamaremos indistintamente Sal shift en `2y al shift Mzen H2. Entonces, si logramos caracterizar los subespacios invariantes asociados al operador Mz obtendremos la descripci´on completa para el shift definido en `2. Para ello, ser´a necesario estudiar las funciones interiores del espacio H2. 3.1.2. Productos de Blaschke y Funciones Interiores Como ya hemos visto, los subespacios Mkque definimos en 3.1 son invariantes para S. Si traducimos estos espacios al lenguaje de los espacios de Hardy, tenemos que Mk:= (∞ X n=k ˆ f(n)zn∈H2). Es decir, los subespacios de funciones de H2con un cero de orden ken el origen. Observemos que gracias a la expresi´on del shift como operador de multiplicaci´on Mz, si ftiene ceros en {α1, ..., αn} ⊂ D, entonces Sf tambi´en se anular´a en estos puntos. Por tanto, las variedades formadas por estas funciones tambi´en ser´an invariantes por S. Vamos entonces a estudiar la construcci´on de funciones con unos ceros determinados en el disco unidad: Teorema 3.1.7. Si {αn}n∈Nes una sucesi´on en Dde forma que αn6= 0 para todo n∈N y∞ X n=1 (1 −|αn|)<∞, si k∈N∪{0}y definimos B(z) = zk∞ Y n=1 αn−z 1−αnz|αn| αn (z∈D) (3.3) entonces B∈H∞y solo se anula en los puntos αn. 3.1. EL RET´ ICULO DEL OPERADOR SHIFT 55 A la funci´on Bla llamamos producto de Blaschke. Cabe destacar que si alguno de los αnse repite, entonces Btendr´a un cero m´ultiple en ese punto. Adem´as, cada factor del producto que define a Btiene m´odulo 1 en T. Para poder realizar la prueba, necesitamos recordar el siguiente resultado: Proposici´ on 3.1.8. Sea Ωuna regi´on en C, y sean fn∈ H(Ω) no id´enticamente nulas. Si ∞ X n=1 |1−fn(z)| converge uniformemente en compactos de Ω, entonces el producto f(z) = ∞ Y n=1 fn(z) converge uniformemente en compactos de Ω, y en consecuencia f∈ H(Ω). Es m´as, tenemos m(f;z) = ∞ X n=1 m(fn;z), donde m(f;z)es la multiplicidad del cero de fen z(Si f(z)6= 0, entonces m(f;z)=0). Demostraci´on. Ver [29]. Probamos entonces el resultado: Demostraci´on del teorema 3.1.7. Vamos a aplicar la proposici´on anterior para probar el teorema. Consideramos la serie ∞ X n=1 1−αn−z 1−αnz|αn| αn. Su n-´esimo t´ermino viene dado por  αn+|αn|z (1 −αnz)αn (1 −|αn|)≤1 + r 1−r(1 −|αn|), si |z| ≤ r. Por tanto, se sigue que B∈ H(D) y que solo tiene los ceros prescritos. Adem´as, como cada factor del producto tiene m´odulo menor que 1, se sigue que |B(z)|<1 para todo z∈D, por lo que B∈H∞. Cabe destacar que como B∈H∞, entonces B∈H2, por lo que podemos hablar de su l´ımite radial B∗. El siguiente resultado muestra que podemos manejar bien el comportamiento de los productos de Blashcke en la frontera: 62 CAP´ ITULO 3. C ´ ALCULO DE RET´ ICULOS CL ´ ASICOS  Gracias al teorema 3.1.12 podemos caracterizar estas propiedades de orden en funci´on de los ceros de las funciones interiores y de las medidas que las representan: Corolario 3.1.18. Sean φ1yφ2dos funciones interiores, y denotemos por µ1yµ2las dos medidas que representan a estas funciones respectivamente como en (3.4). Entonces: (a) Mφ1H2⊂Mφ2H2si y solo si todos los ceros de φ2son ceros de φ1yµ1−µ2es una medida positiva. (b) Mφ1H2=Mφ2si y solo si φ1yφ2tienen los mismos ceros y µ1=µ2. Demostraci´on. (a) Sabemos que Mφ1H2⊂Mφ2H2si y solo si φ1/φ2es una funci´on interior. Si ponemos φ1(z) = eiθ1B1(z) exp −Zπ −π eit +z eit −zdµ1(t)! y φ2(z) = eiθ2B2(z) exp −Zπ −π eit +z eit −zdµ2(t)!, donde B1yB2son los productos de Blaschke con los ceros de φ1yφ2respectiva- mente. Entonces, φ1(z) φ2(z)=ei(θ1−θ2)B1(z) B2(z)exp −Zπ −π eit +z eit −zd(µ1−µ2)(t)! ser´a interior si y solo si B1/B2es un producto de Blaschke y µ1−µ2es una medida positiva finita singular respecto a la medida de Lebesgue. Est´a claro que B1/B2ser´a un producto de Blaschke si y solo si los ceros de φ2son todos ceros de φ1, y la medida µ1−µ2es claramente finita y singular respecto a la medida de Lebesgue. Entonces, solo necesitamos exigir que µ1−µ2sea positiva, lo que prueba el resultado. (a) Sabemos que Mφ1H2=Mφ2H2si y solo si φ1/φ2es constante. Con la notaci´on de la demostraci´on del apartado anterior, se tiene φ1(z) φ2(z)=ei(θ1−θ2)B1(z) B2(z)exp −Zπ −π eit +z eit −zd(µ1−µ2)(t)!, que ser´a constante si y solo si µ1=µ2yB1=B2, lo que prueba que φ1yφ2tienen exactamente los mismo ceros.  3.2. EL RET´ ICULO DEL OPERADOR DE VOLTERRA 63 3.2. El Ret´ıculo del Operador de Volterra En esta secci´on caracterizaremos el ret´ıculo del operador de Volterra en L2(0,1) y probaremos es un operador con ret´ıculo totalmente ordenado, que denominamos operador unicelular. Es decir, el ret´ıculo del operador de Volterra es peque˜no en el sentido del orden. La caracterizaci´on de su ret´ıculo utilizando las t´ecnicas que nosotros vamos a mostrar la realiz´o Donald Sarason en [30]. Se define el operador de Volterra V∈ B(L2(0,1)) como V f(x) = Zx 0 f(t)dt. Est´a claro que este operador est´a bien definido y es lineal. Para ver que es acotado, basta ver que: kV fk2 L2=Z1 0Zx 0 f(t)dt 2 dx ≤ kfk2Z1 0kfk2 L2xdx =1 2kfk2. As´ı, kVk ≤ 1 √2. El resultado principal de esta secci´on es el siguiente: Teorema 3.2.1. Si definimos Ma:= {f∈L2(0,1) : f= 0 en casi todo [0, a]}para a∈[0,1] se tiene que Lat V={Ma:a∈[0,1]}. Ahora, consideramos la funci´on interior ψ(z) = exp(z+ 1 z−1). Sabemos que es interior gracias al ejemplo 3.1.15. Ahora, denotamos por Y= (ψH2)⊥ y por P:H2→Ya la proyecci´on ortogonal. Entonces, definimos T=P◦S|Y, donde S∈ B(H2) es el operador shift. La estrategia de la prueba consiste en: (1) Probaremos que Tes unitariamente equivalente a W=f(V), donde f(z) = 1−z 1+z. (2) A continuaci´on, demostraremos un resultado general que nos permitir´a deducir que Lat W= Lat V. (3) Finalmente, vali´endonos del teorema de Beurling, caracterizaremos el ret´ıculo de T. As´ı, obtendremos el ret´ıculo de Wy por tanto el de V, como queremos. Empecemos por tanto con nuestra construcci´on. Se tiene: Teorema 3.2.2. El operador W= (I−V)(V+I)−1es unitariamente equivalente a T. 64 CAP´ ITULO 3. C ´ ALCULO DE RET´ ICULOS CL ´ ASICOS Debemos presentar el espacio de Hardy en el semiplano superior para poder realizar la prueba. Consideramos el semiplano superior Π := {z∈C:=(z)>0}. Entonces, se define el espacio de Hardy en el semiplano superior como H2(Π) := {f∈ H(Π) : kfkH2(Π) <∞}, donde kfk2 H2(Π) = sup y>0ZR|f(x+iy)|2dx. Se tiene que H2(Π) es un espacio de Hilbert con la norma definida anteriormente y el producto escalar asociado, como deduciremos de la siguiente proposici´on: Proposici´ on 3.2.3. La aplicaci´on U2:H2(Π) →H2 f→U2f(z) = 2√π 1−zfi1 + z 1−z es un isomorfismo isom´etrico. Una demostraci´on de este resultado puede encontrarse en ([13], p. 106). Ser´a imprescindible utilizar el siguiente resultado, que afirma que gracias la f´ormula de inversi´on de Fourier podemos encontrar un isomorfismo isom´etrico entre H2(Π) y L2(0,+∞): Teorema 3.2.4 (Teorema de Paley Wiener).Sea f∈H2(Π). Entonces existe F∈ L2(0,+∞)de forma que f(z) = 1 √2πZRF(t)eitzdt (z∈Π),(3.5) donde F(t) = ety ·1 √2πZ∞ −∞ f(x+iy)e−itxdx. Adem´as, kfkH2(Π) =kFkL2(0,+∞). La prueba de este resultado puede encontrarse en ([29], p. 372). Ya podemos demostrar el teorema anterior: Demostraci´on del teorema 3.2.2. Ser´a conveniente a lo largo de la prueba considerar L2(0,1) como subespacio de L2(0,∞) de L2. Consideramos Q:L2(0,∞)→L2(0,1) la proyecci´on ortogonal. Observemos que 3.2. EL RET´ ICULO DEL OPERADOR DE VOLTERRA 65 Qes el operador de multiplicaci´on en L2(0,∞) con s´ımbolo χ[0,1]. Ahora, definimos el operador K∈ B(L2(0,∞)) (Kf)(x) = Zx 0 f(t)et−xdt. Observemos que como kVk ≤ 1/√2, (V+I) es invertible. Probaremos primero que (V+I)−1=Q(I−K)|L2(0,1). Para ello, tomemos f∈L2(0,1). Tenemos que ver que (I+V)Q(1 −K)f=f. Fijemos s∈[0,1]. Se tiene (QKf)(s) = χ[0,1] Zs 0 f(t)et−sdt =Zs 0 f(t)et−sdt, y se sigue que [(I+V)Q(I−K)f](s) = f(s) + Zs 0 f(t)dt −Zs 0 f(t)et−sdt −Zs 0Zx 0 f(t)et−xdtdx. Ahora, por el teorema de Fubini se tiene que Zs 0Zx 0 f(t)et−xdtdx =Zs 0 f(t)Zs t et−xdxdt =Zs 0 (f(t)−f(t)et−s)dt. As´ı, [(I+V)Q(I−K)f](s) = f(s) y (I+V)−1=Q(1 −K)|L2(0,1). Se sigue entonces que W= (I−V)(I+V)−1= 2(I+V)−1−I=Q(I−2K)|L2(0,1). Basta entonces probar que (I−2K) es unitariamente equivalente a S. Vamos a contruir un isomorfismo isom´etrico de L2(0,∞) a H2. Sabemos por el teorema de Paley-Wiener que la aplicaci´on U1:L2(0,∞)→H2(Π) definida por (Uf)(w) = 1 √2πR∞ 0f(t)eiwtdt es un isomorfismo isom´etrico. Ahora, la aplicaci´on U1dada en la proposici´on anterior por U2f(z) = 2√π 1−zfi1 + z 1−z 66 CAP´ ITULO 3. C ´ ALCULO DE RET´ ICULOS CL ´ ASICOS tambi´en es un isomorfismo isom´etrico. Por tanto, la composici´on U2U1es una isometr´ıa de L2(0,∞) a H2. En otras palabras, el operador U=U2U1:L2(0,∞)→H2definido por (Uf)(z) = √2 1−zZ∞ 0 f(t)e−1+z 1−ztdt es un isomorfismo isom´etrico. Veamos que SU =U(I−2K). Para ello, tomemos f∈L2(0,∞). Entonces, U(I−2K)(f)(z)=(Uf)(z)−2(UKf)(z), y (UKf)(z) = √2 1−zZ∞ 0Zt 0 f(s)es−tdse−1+z 1−ztdt =√2 1−zZ∞ 0Z∞ s e(−1+z 1−z−1)tdtf(s)esds =√2 1−zZ∞ 0 1−z 2e(−1+z 1−z−1)sf(s)esds =√2 2Z∞ 0 f(s)e−1+z 1−zsds. Por tanto U(I−2K)(f)(z)=(Uf)(z)−√2Z∞ 0 f(s)e−1+z 1−zsds = (Uf)(z)−(1 −z)(Uf)(z) =z(Uf)(z)=(SUf)(z). Se sigue por tanto que SU =U(I−2K), o lo que es lo mismo, U−1SU = 1 −2K, como quer´ıamos.  El siguiente paso es probar un teorema que nos de condiciones suficientes para asegurar que el ret´ıculo de un operador coincide con el ret´ıculo de una funci´on anal´ıtica de dicho operador. Para ello, recordemos que el espectro total η(σ(T)) de un operador es el menor conjunto simplemente conexo conteniendo a σ(T). Teorema 3.2.5. Sea Hun espacio de Hilbert complejo y separable y sea T∈ B(H). Si fes una funci´on holomorfa y biyectiva en un conjunto abierto que contiene a η(σ(T)), entonces Lat T=Lat f(T). Debemos presentar algunos resultados previos para realizar la prueba de este teorema. Primero, veamos la relaci´on entre el espectro de un operador restringido a uno de sus subespacios invariantes y el espectro total: Proposici´ on 3.2.6. Si M∈Lat T, entonces σ(T|M)⊂η(σ(T)). Demostraci´on. Primero, notemos que si λ∈σap(T|M) implica que existe una sucesi´on (xn) de vectores 3.2. EL RET´ ICULO DEL OPERADOR DE VOLTERRA 67 unitarios tales que k(T−λ)xnkconverge a 0. Entonces, σap(T|M)⊂σap(T).Ahora, por el teorema 1.2.9, ∂σ(T|M)⊂σap(T|M)⊂σ(T). Ahora, si σ(T|M) contiene puntos de la componente no acotada de ρ(T), entonces ∂σ(T|M) corta a la componente no acotada de ρ(T) y eso es imposible por lo anterior.  Proposici´ on 3.2.7. Sea T∈ B(H)yM∈Lat T. Si fes anal´ıtica en un abierto conteniendo a σ(T)∪σ(T|M), entonces M∈Lat f(T)yf(T|M) = f(T)|M. Demostraci´on. Comencemos tomando una curva γ: [a, b]→Cen el abierto en el que fes holomorfa de forma que γrodee a σ(T)∪σ(T|M). Entonces se tiene que f(T) = 1 2πi Zγ (z−T)−1f(z)dz. Ahora, veamos que como la imagen de γest´a contenida en ρ(T)∩ρ(T|M), se tiene que (z−T|M)−1= (z−T)−1 |MyM∈Lat (z−T)−1para todo z∈γ([a, b]). Para ello, observemos que si x∈M, y ponemos (z−T|M)x=u, (z−T)−1x=vpodemos aplicar (z−T) para obtener x= (z−T)u= (z−T)v, de donde deducimos que u=vy por tanto (z−T|M)−1= (z−T)−1 |M. As´ı, dado x∈Mse tiene que (z−T)−1x= (z−T|M)−1x=y, de donde deducimos que x=zy −T x, as´ı que zy =x−T x ∈M, lo que prueba que M∈Lat (z−T)−1. Esto prueba el resultado, ya que f(A) es l´ımite uniforme de funciones simples simples de la forma Pn j=1 αj(zj−T)−1con zj∈γ([a, b]).  Corolario 3.2.8. Si fes anal´ıtica en un abierto conteniendo a η(σ(T)), entonces Lat T⊂ Lat f(T). Demostraci´on. Sea M∈Lat T. Por la proposici´on 3.2.6 tenemos que σ(T|M)⊂η(σ(T)). Por tanto, fes anal´ıtica en un abierto que contiene a σ(T)∪σ(T|M) y M∈Lat f(T) por el resultado anterior.  Ya podemos probar nuestro resultado: Demostraci´on del teorema 3.2.5. Primero, observemos que por el corolario anterior se tiene que Lat T⊂Lat f(T). Denotemos por Uun abierto que contenga a η(σ(T)) y tal que Uest´a contenido en el abierto en el que fes anal´ıtica. Entonces, f(U) es abierto, y f(U) contiene a σ(f(T)). Para ello, basta aproximar f(T) uniformemente por polinomios y aplicar el teorema de la aplicaci´on 68 CAP´ ITULO 3. C ´ ALCULO DE RET´ ICULOS CL ´ ASICOS espectral. Ahora, como f|Ues un homeomorfismo, se sigue que η(σ(f(T))) ⊂f(U).Denotemos ahora por ga la inversa de f, que es una funci´on anal´ıtica que lleva f(U) en U. Entonces, g(f(T)) = Ty por el corolario anterior se sigue que Lat f(T)⊂Lat T, lo que concluye la prueba.  Para poder aplicar el teorema 3.2.5 a nuestro operador W=f(V) debemos comprobar que se cumplen las hip´otesis del teorema. Para ello vamos a demostrar que Ves un operador cuasinilpotente, que definimos a continuaci´on: Definici´ on 3.2.9. Diremos que un operador T∈ B(H) es cuasinilpotente si σ(T) = {0}. Est´a claro por tanto que si Ves cuasinilpotente se cumplir´an las hip´otesis del teorema 3.2.5, ya que fes holomorfa y biyectiva en D. Para probar que el espectro de Vse reduce a {0}, debemos valernos del siguiente teorema sobre el espectro de los operadores compactos: Teorema 3.2.10. Sea T∈ B(H)un operador compacto. Entonces, todo elemento no nulo del espectro de Tes un autovalor para T. Es decir, σp(T)⊇σ(T)r{0}. La prueba de este resultado puede consultarse en ([21], teorema 1.4.11). Se tiene: Proposici´ on 3.2.11. El operador de Volterra Ves compacto y cuasinilpotente. Demostraci´on. Para probar que Ves compacto, vamos a ver que es l´ımite en la topolog´ıa de la norma de operadores de una sucesi´on de operadores de rango finito. Tomemos n∈N. Definimos para cada 1 ≤k < n αn,k(f) = Zk/n 0 f(t)dt para todo f∈L2[0,1].Ahora, definimos Vn(f) = n−1 X k=1 αn,kχ[k/n,(k+1)/n]. Observemos que Im(Vn) = span{χ[k/n,(k+1)/n]:k= 1,··· , n}.Por tanto, son operadores de rango finito y acotados. Ahora tomemos f∈L2(0,1) y k/n ≤x≤(k+ 1)/n. Se tiene que |Vnf(x)−V f(x)|=Zx k/n f(t)dt≤qx−k/n kfkL2(0,1) ≤1 √nkfkL2(0,1) . As´ı, kVnf−V fk ≤ 1 √npara todo f∈L2(0,1), por lo que kVn−Vk ≤ 1/√n. Por tanto, Vn→Ven la norma de operadores y Ves compacto por ser l´ımite de operadores de rango finito. Ahora, por el teorema , sabemos que si λ∈σ(V) es no nulo, entonces es autovalor para 3.2. EL RET´ ICULO DEL OPERADOR DE VOLTERRA 69 V. Vamos a probar que 0 ∈σ(T) y que no tiene autovalores, lo que terminar´a la prueba del teorema. Observemos que por el teorema fundamental del c´alculo V f es continua para todo f∈ L2(0,1), lo que prueba que Vno es sobreyectivo, por lo que no es invertible. As´ı, 0 ∈σ(T). Supongamos ahora que λ6= 0 es autovalor para V. Es decir, existe una autofunci´on f∈L2(0,1) tal que V f =λf. Observemos que V f es continua, as´ı que tambi´en lo es f. Ahora, por el primer teorema fundamental del c´alculo, V f es derivable y por tanto tambi´en lo es f. Si derivamos, tenemos que f=λf0yf(0) = 0. Por tanto, fes la ´unica soluci´on de la edo (y0=1 λy y(0) = 0. Ahora, la ´unica soluci´on de esta ecuaci´on es y≡0, asi que deducimos que f≡0, lo que contradice el hecho de que fes autofunci´on. As´ı, se sigue que Vno tiene autovalores no nulos, por tanto σ(T) = {0}, como quer´ıamos.  Finalmente, vamos a caracterizar el ret´ıculo del operador T=P◦S|Y. La equivalencia unitaria de este operador con W=f(V) nos dar´a finalmente el ret´ıculo buscado. Teorema 3.2.12. Sean φ(z) = exp z+1 z−1,Y= (φH2)⊥,P:H2→Yla proyecci´on ortogonal y T=P◦S, donde Ses el operador shift en H2. Entonces Lat T={P(ψaH2) : ψ(z) = exp az+ 1 z+ 1, a ∈[0,1]}. Veamos un par de lemas que ser´an necesarios para la prueba: Lema 3.2.13. Sea Mun subespacio cerrado de un espacio de Hilbert complejo y separable H, sea S∈ B(H)y supongamos que M∈Lat S. Consideramos P:H→M⊥la proyecci´on ortogonal y sea T=P S|M⊥.Entonces Y∈Lat Tsi y solo si Y⊕M∈Lat S. Demostraci´on. Tomemos primero Y∈Lat Ty tomemos f∈Y,g∈M. Entonces S(f+g) = Sf +Sg. Ahora Sg ∈M, y Sf =PSf + (I−P)Sf =Tf + (I−P)Sf. Entonces se sigue que (I−P)Sf ∈M, y por tanto S(f+g)∈Y⊕M. Por tanto, Y⊕M∈Lat S. Ahora, sea Y⊕M∈Lat Syf∈Y. Se tiene que f∈Y⊕My por tanto Sf ∈Y⊕M. Finalmente, PSf ∈M⊥, por lo que PSf ∈Y. Lema 3.2.14. Sea φ(z) = exp z+1 z−1. El cociente φ/ψ es interior si y solo si ψ(z) = eiθ exp az+ 1 z−1 con a∈[0,1] yθ∈R. 70 CAP´ ITULO 3. C ´ ALCULO DE RET´ ICULOS CL ´ ASICOS Demostraci´on. Sabemos por el teorema 3.1.12 que φ/ψ es interior si y solo si todos los ceros de ψson ceros de φy la diferencia de las medidas que las representan es una medida positiva. Observemos que como φno tiene ceros, se sigue que ψtampoco los tiene. Adem´as, la medida que representa a φes la medida que vale 1 en todos los conjuntos que contienen a 1 y 0 en el resto. Por tanto, φ/ψ ser´a interior si y solo si la medida que representa a ψvale a∈[0,1] en 1 y 0 en el resto de T. As´ı, se tiene que ψ(z) = eiθ exp az+1 z−1, como quer´ıamos.  Ya podemos completar la prueba del teorema 3.2.12. Demostraci´on. Sabemos por el lema 3.2.13 que M∈Lat Tsi y solo si M⊕(φH2)∈Lat S. Ahora, sabemos por el teorema de Beurling que existe ψinterior de forma que M⊕(φH2) = ψH2. Adem´as, por el corolario 3.1.17 se sigue que M=ψH2, donde φ/ψ es interior. Entonces, por el lema 3.2.14 tenemos por tanto que Lat T={P(ψaH2) : ψa(z) = exp az+1 z+1, a ∈[0,1]}, como quer´ıamos.  Podemos entonces probar la caracterizaci´on del ret´ıculo de Volterra: Demostraci´on. Como Ves un operador cuasinilpotente por la proposici´on 3.2.11 podemos aplicar el teorema 3.2.5 a W=f(V), donde f(z) = 1−z 1+z. Por tanto, Lat V= Lat W. Ahora, sabemos que Tes unitariamente equivalente a Wmediante el operador Uconstruido en la prueba de 3.2.2. Adem´as, por la proposici´on 2.1.18, se tiene que Lat V=U−1(Lat T) = {U−1(ψaH2) : ψ(z) = exp az+ 1 z+ 1, a ∈[0,1]}. Basta entonces computar los subespacios U−1(ψaH2) para lograr nuestro resultado. Vamos a probar que U(Ma) = ψaH2. Para ello, tomemos f∈L2(0,∞) de forma que f= 0 en casi todo [0, a]. Entonces (Uf)(z) ψa(z)=e−az+1 z−1√2 1−zZ∞ 0 f(t)e−t1+z 1−zdt =√2 1−zZ∞ a f(t)e−1+z 1−z(t−a)dt =√2 1−zZ∞ 0 f(t+a)e−1+z 1−ztdt. As´ı, se deduce que (Uf/ψa) pertenece a H2, y por lo tanto Uf ∈ψaH2, lo que prueba que UMa∈ψaH2para todo a∈[0,1].Para la otra inclusi´on, tomemos ψag∈ψaH2. Entonces g=Uf para alguna f∈L2(0,∞). Es decir, g(z) = √2 1−zZ∞ 0 f(t)e−t1+z 1−zdt. 3.3. EL RET´ ICULO DE LAS TRASLACIONES EN L2(R) 71 Se sigue por tanto que ψa(z)g(z) = √2 1−zZ∞ 0 f(t)e−1+z 1−z(t+a)dt =√2 1−zZ∞ a f(t−a)e−t1+z 1−zdt. Ahora, si definimos h(t) = f(t−a)χ[a,∞)(t) para todo t≥0, se sigue que h∈May ψag=Uh, como quer´ıamos.  Terminamos esta secci´on demostrando que Ves unicelular, como enunciamos al comienzo de nuestro estudio: Corolario 3.2.15. Ves un operador unicelular. Es m´as, Lat Ves anti-isomorfo a [0,1] en el sentido del orden. Demostraci´on. Como Lat V={Ma:a∈[0,1]},es obvio que la aplicaci´on α: Lat V→[0,1] definida por Ma7→ aes una aplicaci´on biyectiva. Ahora, observemos que si a≤bentonces Mb⊂Ma, por lo tanto αes un anti-isomorfismo, como quer´ıamos probar.  3.3. El Ret´ıculo de las Traslaciones en L2(R) En esta ´ultima secci´on no vamos a caracterizar el ret´ıculo de un solo operador, sino que caracterizaremos el ret´ıculo de subespacios invariantes de la de operadores en L2(R) constituida por las traslaciones Tαdefinidas por f7→ Tαf(x) = f(x−α) para α∈R. Es decir, si A={Tα∈ B(L2(R)) : α∈R}⊂B(L2(R)) vamos a ofrecer la caracterizaci´on completa de Lat A, que recordemos se define como Lat A=\ α∈R Lat Tα. La exposici´on que vamos a presentar est´a basada en la que se puede encontrar en [29]. Ser´a fundamental utilizar la transformada de Fourier en nuestro estudio. Nosotros utilizaremos la siguiente definici´on de la transformada de Fourier F. Para cada funci´on f∈L1(R), definimos Ff(t) = 1 √2πZRf(x)e−ixtdx para todo t∈R. Como es habitual, denotaremos Ff≡ˆ f. Extenderemos la transformada de Fourier de la forma usual a L2(R), obteniendo as´ı la identidad de Plancherel: 78 CAP´ ITULO 4. OPERADORES UNIVERSALES por lo que se tiene que I−1 SUIS=S. Por tanto, 2 kAkI−1 SUIS=Ay si componemos con el isomorfismo isom´etrico Vy con su inversa obtenemos 2kAkV−1I−1 SUISV=V−1AV =T, as´ı que tomando X=ISVse tiene 2 kAkX−1UX =T, lo que prueba que Ues universal.  Por tanto, hemos probado que los operadores universales existen. Como ya hemos comentado, la importancia de esta clase de operadores radica en que basta estudiar la restricci´on de estos operadores a sus subespacios invariantes para poder estudiar propiedades que se conservan por semejanza. Obviamente, la propiedad que nos interesa a nosotros es tener subespacios invariantes no triviales. El siguiente resultado nos muestra la potencia de los operadores universales, pues caracterizar su ret´ıculo o al menos sus subespacios invariantes minimales resolver´ıa el problema del subespacio invariante. Teorema 4.1.3. Sea U∈ B(H)un operador universal. Las siguientes condiciones son equivalentes: (i) Todos los subespacios invariantes minimales de Uson de dimensi´on 1. (ii) Todo operador T∈ B(H)tiene subespacios invariantes no triviales. Demostraci´on. Supongamos primero que Utiene todos sus subespacios invariantes minimales de dimen- si´on 1. Tomemos T∈ B(H) y supongamos que no tiene subespacios invariantes no triviales. Tenemos que Tes semejante a un m´ultiplo escalar de U|M, con M∈Lat T. Ahora, como Hes de dimensi´on infinita, Mdebe tener tambi´en dimensi´on infinita. Como Tno tiene subespacios invariantes no triviales, obtenemos que Mes un subespacio invariante minimal, lo cual es absurdo. Supongamos ahora que todo operador T∈ B(H) tiene subespacios invariantes no triviales. Tomemos M∈Lat Uun subespacio invariante minimal para U. Ahora, si Mes minimal y tiene dimensi´on mayor o igual que 2, el operador U|Mtiene un subespacio invariante no trivial Ncon N(M, lo que contradice el hecho de que Mes minimal. Por tanto, dim(M) = 1, como quer´ıamos.  4.2. El Teorema de Caradus El objetivo de esta secci´on es enunciar y demostrar el teorema de Caradus ([6]), que nos proporciona una condici´on suficiente para probar que un operador es universal. Como ya hemos expuesto, podemos reducir el problema del subespacio invariante a estudiar este tipo de operadores, por lo que tener una amplia familia de operadores universales en diferentes espacios de Hilbert nos abre la puerta a poder abordar dicho problema desde 4.2. EL TEOREMA DE CARADUS 79 varias perspectivas muy diferentes. La capacidad de obtener operadores universales en diversos espacios de Hilbert nos permite afrontar el problema del subespacio invariante con una amplia gama de herramientas, como puede ser la teor´ıa de la medida o la variable compleja en espacios de funciones anal´ıticas, y es aqu´ı donde radica la importancia de este resultado. Teorema 4.2.1 (Teorema de Caradus).Sea U∈ B(H)y supongamos que satisface las siguientes condiciones: (i) Ues sobreyectivo. (ii) ker Utiene dimensi´on infinita. Entonces, Ues universal. Demostraci´on. Comenzaremos la prueba construyendo sendos operadores V, W ∈ B(H) tales que UV =I, UW = 0, ker(W) = 0, Im(W) es cerrada y Im(W)⊥Im(V). Para ello, denotamos por U=U|ker(U)⊥. Veamos que Ues invertible. Est´a claro que es inyectivo, ya que ker(U) = {0}. Para probar que es sobreyectivo, tomemos y∈H. Como Ues sobre, existe x∈H tal que Ux =y. Ahora, si Pes la proyecci´on ortogonal sobre ker(U) y Qsobre ker(U)⊥ tenemos que x=Px+Qx, por lo tanto y=Ux =U(Qx) = U(Qx), lo que prueba que Ues sobreyectivo. Denotemos entonces V=U−1. Ahora tomemos (en)n∈Nuna base ortonormal de Hyfnuna base ortonormal de ker(U). Definimos entonces Wen=fny extendemos la definici´on por linealidad y continuidad y todo H. Es obvio que VyWcumplen las propiedades deseadas. Ahora tomemos T∈ B(H) cualquiera, y elijamos λ∈Cde forma que |λ|kVkkTk<1. Entonces definimos Φ = ∞ X k=0 λkVkWTk. Para ver que Φ est´a bien definida, basta obervar que kWk= 1 por ser isometr´ıa, y tenemos ∞ X k=0 λkVkWTk≤∞ X k=0 (|λ|kVkkTk)k. Entonces, gracias a la elecci´on de λy a la serie geom´etrica, la serie es absolutamente convergente y Φ est´a bien definido. Si recordamos que UV =I,UW = 0, se deduce f´acilmente que UΦ = λΦT(4.2) y Φ = λV ΦT+W. (4.3) 80 CAP´ ITULO 4. OPERADORES UNIVERSALES Ahora, si conseguimos probar que Φ es un homeomorfismo sobre su imagen podremos escribir por (4.2) T=λ−1Φ−1U|Im(Φ)Φ. Si adem´as demostramos que Im(Φ) es cerrado y que es invariante por U, se seguir´a que U es universal. Comencemos probando que Φ es inyectivo. Para ello, sea x∈ker Φ. Entonces, gracias a la expresi´on (4.3) y al hecho de que Im(V)⊥Im(W), se sique que VΦTx =Wx = 0, pero como Wes isometr´ıa deducimos que x= 0, por lo tanto Φ es homeomorfismo sobre su imagen. Veamos ahora que Im(Φ) es cerrada. Tomemos la sucesi´on (Φ(xn))n∈N y supongamos que converge a y∈H. De nuevo gracias a (4.3), se sigue que λV ΦTxn+ Wxn→y. Por tanto, usando que Im(V)⊥Im(W) se sigue que Wxn→Py, donde Pes la proyecci´on ortogonal sobre Im(W). Ahora, como Im(W) es cerrada, existe x∈Im(Φ) de forma que Wxn→Wx y por tanto xn→xgracias a que Wes isometr´ıa. As´ı, Φ(xn)→Φ(x) = y∈Im(Φ), lo que prueba que Im(Φ) es un subespacio vectorial cerrado. Finalmente, para ver que es invariante por U, basta remitirnos a la igualdad (4.2). Dada x∈Hse tiene que U(Φx)∈Im(Φ), ya que U(Φx) = λΦ(Tx)∈Im(Φ), por tanto Im(Φ) es invariante por U, lo que prueba que Ues universal.  La combinaci´on del teorema de Caradus, con la siguiente proposici´on, nos otorga una herramienta potent´ısima para encontrar diferentes modelos de operadores universales en diversos espacios de Hilbert, lo que nos permite transformar el problema del subespacio invariante en un problema de c´alculo expl´ıcito de ret´ıculos gracias al teorema 4.1.3. Proposici´ on 4.2.2. Sean U1∈ B(H1),U2∈ B(H2)dos operadores semejantes. Entonces U1es universal si y solo si lo es U2. Demostraci´on. Est´a claro que basta probar una de las implicaciones, la otra es an´aloga. Supongamos que U1es universal. Veamos que U2tambi´en lo es. Para ello, tomemos T∈ B(H2). Como U1y U2son semejantes, existe Φ ∈ B(H1, H2) isomorfismo tal que U2= ΦU1Φ−1. Consideremos entonces el operador S= Φ−1TΦ∈ B(H1). Como U1es universal, existe λ∈C,M∈ Lat U1y un isomorfismo X∈ B(H1, M) de forma que S=λX−1U1|MX. Por tanto, se tiene que Φ−1TΦ = λX−1U1|MX. Observemos que Φ(M) es un subespacio invariante para U1. Si llamamos Ψ = Φ−1 |Φ(M),se tiene que Ψ es un isomorfismo de Φ(M) aH1. Adem´as, tenemos que U2|Φ(M)= Ψ−1U1|MΨ. As´ı, se sigue que Φ−1TΦ = λX−1ΨU2|Φ(M)Ψ−1X. 4.3. UN OPERADOR DE COMPOSICI ´ ON UNIVERSAL EN H281 As´ı, obtenemos que T=λΦX−1ΨU2|Φ(M)Ψ−1XΦ−1, lo que prueba que U2es universal.  4.3. Un Operador de Composici´on Universal en H2 El objetivo de esta secci´on es probar el siguiente resultado, que fue probado en [22] por Nordgren, Rosenthal y Wintrobe: Teorema 4.3.1 (Nordgren, Rosenthal y Wintrobe).Sea ϕuna transformaci´on de M¨obius hiperb´olica automorfismo, y consideremos el operador de composici´on inducido Cϕen H2. Sea λ∈σp(Cϕ).Entonces el operador Cϕ−λI ∈ B(H2)es universal. Se sigue inmediatamente el siguiente resultado: Corolario 4.3.2. El operador de composici´on Cϕ∈ B(H2)tiene todos sus subespacios invariantes minimales de dimensi´on 1 si y solo si todo operador tiene subespacios invariantes no triviales. Demostraci´on. Observemos que dado λ∈σ(Cϕ) el operador Cϕtiene el mismo ret´ıculo de subespacios invariantes que el operador Cϕ−λI. Entonces basta remitirse al teorema 4.1.3 para obtener el resultado.  Obtenemos as´ı un modelo muy potente para estudiar el problema del subespacio invariante, pues tenemos a nuestra disposici´on toda la maquinaria del an´alisis complejo y la teor´ıa de funciones holomorfas para tratar de caracterizar el ret´ıculo de subespacios invariantes de Cϕ, lo que resolver´ıa el problema del subespacio invariante gracias al corolario anterior. Antes de probar el resultado, introduciremos el concepto de operador de composici´on en H2y estudiando sus propiedades m´as elementales. A continuaci´on, hablaremos sobre las transformaciones de M¨obius del disco unidad D, para poder definir la transformaci´on hiperb´olica automorfismo que inducir´a el operador de composici´on universal. Finalmente, probaremos el resultado. No seguiremos la prueba original de [22], si no que seguiremos una demostraci´on alternativa que recientemente publicaron C. Cowen y E. Gallardo-Guti´errez en [18]. 4.3.1. Operadores de Composici´on en H2 Vamos a introducir en este apartado el concepto de operador de composici´on, una clase de operadores crucial para el estudio de la teor´ıa de subespacios invariantes, como ya podemos deducir del teorema 4.3.1. Las pruebas omitidas de esta presentaci´on pueden consultarse en [12]. 82 CAP´ ITULO 4. OPERADORES UNIVERSALES Definici´ on 4.3.3. Sea ϕ∈ H(D) tal que ϕ(D)⊂D. Definimos el operador de composici´ on de s´ımbolo ϕcomo Cϕ:H2→H2 f7→ f◦ϕ. Veamos que estos operadores son acotados. Para ello, comencemos enunciando el principio de subordinaci´on de Littlewood que nos proporcionar´a la acotaci´on del operador cuando fije el 0: Teorema 4.3.4 (Principio de Subordinaci´on de Littlewood).Sea ϕ∈ H(D)con ϕ(D)⊆D y tal que ϕ(0) = 0. Entonces Cϕ∈ B(H2)ykCϕk= 1. Gracias a esta primera propiedad podemos obtener la continuidad de cualquier operador de composici´on, pues podemos expresar cualquier operador de composici´on como Cϕ=CψCαϕ(0) , donde ψlleva el disco en si mismo y fija el cero y αϕ(0) es el automorfismo del disco que intercambia el cero con el punto ϕ(0). Estudiando la acotaci´on de Cαϕ(0) se obtiene Teorema 4.3.5 (Teorema de Littlewood).Sea ϕ∈ H(D)tal que ϕ(D)⊆D. Entonces Cϕ∈ B(H2)y kCϕk ≤ s1 + |ϕ(0)| 1−|ϕ(0)|. Ser´an muy importantes los n´ucleos reproductores, unas funciones que nos ayudar´an a tratar con los adjuntos de los operadores de composici´on: Definici´ on 4.3.6. Para cada p∈D, llamamos n´ ucleo reproductor para pa la funci´on kp(z) = 1 1−pz =∞ X n=0 pnzn. Proposici´ on 4.3.7. Sea p∈D. Se tiene (i) kp∈H2. (ii) Para cada f∈H2tenemos hf, kpi=f(p) (iii) Sea ϕ∈ H(D)con ϕ(D)⊆D. Entonces C∗ ϕkp=kϕ(p). Veamos ahora que podemos conseguir una amplia clase de operadores universales usando los operadores de composici´on. El resultado es el siguiente: 4.3. UN OPERADOR DE COMPOSICI ´ ON UNIVERSAL EN H283 Teorema 4.3.8. Sea Cϕ∈ B(H2)un operador inducido por una funci´on interior no automorfismo tal que ϕ(0) = 0. Entonces, C∗ ϕes universal. Necesitaremos un par de resultados t´ecnicos para probar este teorema. Proposici´ on 4.3.9. Sea ϕ∈ H(D)con ϕ(D)⊂D. Supongamos adem´as que ϕes una funci´on interior con ϕ(0) = 0. Entonces, el operador de composici´on Cϕ∈ B(H2)es una isometr´ıa. Demostraci´on. Si ϕes una funci´on interior con ϕ(0) = 0, entonces su sucesi´on de potencias 1, ϕ, ϕ2, ... forma una sucesi´on ortonormal, pues gracias al hecho de que |ϕ|= 1 en casi todo T tenemos hϕn, ϕmi=ZTϕnϕmdm =ZTϕn−mdm =ϕn−m,1. Por tanto, junto al hecho de que ϕ(0) = 0 se sigue que hϕn, ϕmi=δn,m para n≥m. Por tanto, dada f(z) = P∞ n=0 ˆ f(n)zntenemos que kCϕfk2= ∞ X n=0 ˆ f(n)ϕn 2 =∞ X n=0 |ˆ f(n)|2=kfk2, as´ı que Cϕes una isometr´ıa.  Proposici´ on 4.3.10. Sea ϕ∈ H(D)con ϕ(D)⊆D, y supongamos que es una funci´on interior no automorfismo con ϕ(0) = 0. Entonces ϕno es inyectiva. Demostraci´on. Razonamos por reducci´on al absurdo. Supongamos que ϕes inyectiva. Como ϕno es automorfismo no puede ser sobreyectiva, as´ı que existe a∈Drϕ(D). Consideramos ahora ϕael automorfismo del disco que lleva aen 0, y definimos g=ϕa◦ϕ. Entonces, est´a claro que ges inyectiva por composici´on de inyectivas, g(z)6= 0 para todo z∈Dpor construcci´on, g∈H∞(D) y adem´as |g∗|= 1 en casi todo T, por lo que gtambi´en es interior. Observemos que como ges no nulo en Dy el disco es simplemente conexo podemos definir su ra´ız cuadrada. Es decir, existe f∈ H(D) de forma que f2=g. Inmediatamente se sigue que fes tambi´en inyectiva, acotada e interior. Observemos adem´as que, como fes abierta, existen b∈Dy 0 <ε<|b|tales que B(−b, ε)⊂f(D). Adem´as, observemos que si f(z1) = ayf(z2) = −ase sigue que g(z1) = g(z2). Como ges inyectiva, se tiene que z1=z2. As´ı, deducimos que B(b, ε)∩f(D) = ∅. 84 CAP´ ITULO 4. OPERADORES UNIVERSALES Si consideramos ahora ϕbel automorfismo del disco que lleva ben 0, podemos definir u(z) = −log |ϕb(f(z))|. Observemos primero que de nuevo ϕb◦fes interior. Adem´as, como ues la parte real de una funci´on holomorfa, ues arm´onica y u(z)>0 por construcci´on. Es m´as, como |f(z)−b| ≥ ε para todo z∈D, se sigue que existe δ > 0 de forma que |ϕb(f(z))| ≥ δpara todo z∈D, de donde deducimos por tanto que u(z)>0 para todo z∈D, ya que δ≤ |ϕb(f(z))|<1. Ahora, como ues arm´onica, sabemos por el teorema del valor medio que u(0) = 1 2πZ2π 0 u(reiθ)dθ para todo 0 < r < 1.Finalmente, podemos aplicar el teorema de la convergencia dominada a las funciones ur(eiθ) = u(reiθ), pues son funciones uniformemente acotadas. Adem´as, como el l´ımite radial de ϕb◦ftiene m´odulo 1 en casi todo, se sigue que ur→0 en casi todo cuando r→1−. Por tanto, se sigue que u(0) →0 cuando r→1−,lo que contradice el hecho de que u(z)>0 para todo z∈D. Por tanto, deducimos que ϕno es inyectiva, lo que prueba el resultado.  Ya podemos entonces probar el teorema 4.3.8 Demostraci´on del teorema 4.3.8. Veamos que Cϕcumple las hip´otesis del teorema de Caradus. Primero, veamos que como Cϕes isometr´ıa se tiene que C∗ ϕes sobreyectivo. Para ello, tomemos f∈H2. Observemos que como Cϕes isometr´ıa, entonces es un isomorfismo sobre su imagen y podemos definir C−1 ϕ:Cϕ(H2)→H2que es un operador acotado por ser Cϕisometr´ıa. Ahora, definimos el operador Λ : Cϕ(H2)→Ccomo Λ(g) = Df, C−1 ϕgE.Este operador es claramente acotado por ser composici´on de operadores acotados. Por tanto, podemos extenderlo a un operador definido en todo H2por el teorema de Hahn-Banach. Adem´as, por el teorema de representaci´on de Riesz, existe h∈H2que representa a Λ. Veamos que C∗ ϕh=f. Tenemos para todo g∈H2 DC∗ ϕh, gE=hh, Cϕgi=Df, C−1 ϕCϕgE=hf, gi, as´ı que C∗ ϕh=f, como quer´ıamos. Ahora, veamos que ker C∗ ϕtiene dimensi´on infinita, que es equivalente a probar que Im(Cϕ) tiene codimensi´on infinita. Fijemos N∈N. Observemos que como ϕno es automorfismo del disco podemos aplicar la proposici´on 4.3.10 para deducir que ϕno es inyectiva. Por tanto, podemos encontrar 2Npuntos en Dw1, ..., wNyw0 1, ..., w0 Nde forma que ϕ(wj) = ϕ(w0 j) para todo j= 1, ..., N. Entonces, consideramos las funciones hj=kwj−kw0 jque claramente son linealmente independientes. Tenemos que para todo f∈H2 hCϕf, hji=f(ϕ(wj)) −f(ϕ(w0 j)) = 0, 4.3. UN OPERADOR DE COMPOSICI ´ ON UNIVERSAL EN H285 por lo que todas las hjson ortogonales a Cϕ. Finalmente, como N∈Nes arbitrario, se sigue que Im(Cϕ) tiene dimensi´on infinita y por tanto C∗ ϕes universal.  Con este resultado tenemos un buen ejemplo de una clase muy amplia de operadores universales que est´an definidos en un espacio m´as natural, como puede ser H2. Caracterizar el ret´ıculo de subespacios invariantes (o al menos los subespacios minimales) de alguno de estos operadores resolver´ıa el problema del subespacio invariante gracias al teorema 4.1.3. 4.3.2. Las Transformaciones de M¨obius de D Definici´ on 4.3.11. Vamos a comenzar estudiando las transformaciones de M¨obius del disco, enfatizando el estudio de sus puntos fijos, para poder introducir las transformaciones hiperb´olicas. Esta presentaci´on puede consultarse en el cap´ıtulo 0 de [31]. Una transformaci´ on de M¨ obius otransformaci´ on fraccional lineal es una aplicaci´on ϕ(z) = az +b cz +d, donde a, b, c, d ∈C,ad −bc 6= 0 y que lleva la esfera de Riemann ˆ Cen s´ı misma. Es bien sabido que estas transformaciones son biyecciones de ˆ Cen ˆ Cy que forman un grupo con la composici´on, que denotaremos por LFT (ˆ C). Cada matriz no singular A= a b c d!, donde a, b, c, d ∈Cdefine claramente una transformaci´on de M¨obius ϕAdada por la definici´on anterior. Est´a claro adem´as que ϕA=ϕλA para cualquier λ∈Cdiferente de 0, por lo tanto varias matrices diferentes pueden darnos la misma transformaci´on. Por ello, normalizaremos todas las matrices para que tengan determinante +1, y diremos entonces que ϕest´a en forma est´ andar. De ahora en adelante, salvo que se especifique expl´ıcitamente lo contrario, consideraremos que todas nuestras transformaciones est´an en forma est´andar. Observemos que aunque nuestra transformaci´on est´e en forma est´andar, esto no determina de manera ´unica nuestros coeficientes a, b, c, d, ya que puede haber cambios de signo entre ellos que permitan nuestra condici´on ad −bc = 1. Puntos Fijos Vamos a centrar nuestra atenci´on en el estudio de los puntos fijos de estas transformaciones. Comencemos notando que ϕfija el ∞si y solo si c= 0, por tanto, si ϕest´a en forma est´andar, el punto ∞ser´a el ´unico punto fijo de ϕsi y solo si a=dyb6= 0. Si c6= 0, y z∈Ces un punto fijo para una transformaci´on ϕ, se tiene que az +b cz +d=z=⇒ −cz2+ (a−d)z+b= 0. 86 CAP´ ITULO 4. OPERADORES UNIVERSALES Es decir, en el caso en el que ϕno es la aplicaci´on identidad (todos los puntos son fijos) los puntos fijos α, β de ϕvienen determinados por una ecuaci´on cuadr´atica, por lo que ϕ tendr´a uno o dos puntos fijos, dados por la siguiente igualdad: α, β =(a−d)±[(a−d)+4bc]1/2 2c. Vamos a caracterizar la ecuaci´on anterior en t´erminos de la traza de ϕ, que viene dada por χ(ϕ) = ±(a+d). Observemos que la traza de ϕes precisamente la traza de la matriz que define la transformaci´on ϕ. Si nuestra transformaci´on est´a en forma est´andar, sus puntos fijos ser´an α, β =(a−d)±[χ(ϕ)2−4]1/2 2c.(4.4) Notemos entonces que ϕtendr´a un ´unico punto fijo si y solo si |χ(ϕ)|= 2. Podemos resumir esta informaci´on en el siguiente resultado: Proposici´ on 4.3.12. Sea ϕ∈LFT(ˆ C)con ϕ(z) = az+b cz+d. Entonces ϕtiene un ´unico punto fijo si y solo si |χ(ϕ)|= 2. Estudiar las derivadas de ϕpuede darnos tambi´en informaci´on ´util sobre los puntos fijos. Se tiene el siguiente resultado: Proposici´ on 4.3.13. Sea ϕ∈LFT (ˆ C). Las siguientes condiciones son equivalentes: (a) |χ(ϕ)|= 2. (b) ϕ0= 1 en un punto fijo de ϕ. (c) Ttiene un ´unico punto fijo en ˆ C. Si ϕtiene dos puntos fijos distintos, entonces sus derivadas en estos puntos son inversas y su suma es χ(ϕ)2−2. Demostraci´on. Como ϕest´a en forma est´andar, se tiene que ϕ0(z) = ad −bc (cz +d)2=1 (cz +d)2. Adem´as, gracias a la expresi´on de 4.4, si α,βson los puntos fijos de ϕse tiene que ϕ0(α), ϕ0(β) = 1 4χ(ϕ)±[χ(ϕ)2−4]1/22. Por tanto, deducimos que ϕ0(α) = 1 ϕ0(β) 4.3. UN OPERADOR DE COMPOSICI ´ ON UNIVERSAL EN H287 ϕ0(α) + ϕ0(β) = χ(ϕ)2−2. En el caso no contemplado en el que ϕtiene un punto fijo en ∞y otro α∈C, est´a claro que ϕ(z) = z+bpor estar en forma est´andar. Por tanto, se sigue trivialmente que ϕ0(α) = 1/ϕ0(∞) = 1. Observemos por tanto que se tienen autom´aticamente las tres equivalencias y el resultado queda probado.  Clasificaci´ on de Puntos Fijos Nuestro pr´oximo objetivo es clasificar las transformaciones de M¨obius en funci´on de su n´umero de puntos fijos y de sus caracter´ısticas. Dividiremos los elementos de LFT(ˆ C) en transformaciones parab´olicas, hiperb´olicas, el´ıpticas y loxodr´omicas. Ya hemos estudiado las propiedades de la primera, que definimos a continuaci´on: Definici´ on 4.3.14. Diremos que una transformaci´on ϕ∈LF T(ˆ C) es parab´ olica si tiene un ´unico punto fijo. Si el punto fijo de ϕes ∞, est´a claro que ϕ(z) = z+r, con r∈Cno nulo. Es decir, ϕes una traslaci´on. Si α∈Ces su punto fijo, y tomamos S∈LFT(ˆ C) que lleve αa∞, entonces V=S◦ϕ◦S−1∈LFT(ˆ C) fija solamente el ∞. Por tanto, V(z) = z+τcon τun n´umero complejo no nulo. Por tanto, tenemos que ϕ=S−1◦V◦S, por lo que deducimos que ϕes conjugado a una traslaci´on. Supongamos ahora que ϕno es parab´olica, as´ı que tiene dos puntos fijos α, β ∈ˆ C. Tomemos S∈LFT(ˆ C) de forma que lleve αa 0 y βa∞. Entonces, la aplicaci´on V=S◦ϕ◦S−1∈ LFT(ˆ C) tiene a 0 y a ∞como puntos fijos, por lo tanto V(z) = λz para alg´un λ∈C, que llamaremos el multiplicador de ϕ. Por tanto, ϕ(z) = S−1(λS(z)) ∀z∈C. Ahora, si derivamos, obtenemos que ϕ0(α) = λyϕ0(β) = 1 λ. Observemos que la igualdad anterior asegura que, si |λ| 6= 1, uno de los puntos fijos de ϕ es atractivo. Por ejemplo, si |λ|<1 el punto fijo atractivo es α, y ϕn(z)→α(z∈ˆ C r {β}), donde la convergencia se da uniformemente en compactos. Notemos ahora que puede haber ambig¨uedad en la definici´on de multiplicador. Si cambiamos los papeles de αyβ, entonces obtendr´ıamos que el multiplicador es 1/λ. Es mucho 94 CAP´ ITULO 4. OPERADORES UNIVERSALES obtenemos los mismos coeficientes de Fourier para la medida de densidad. Como estos coeficientes determinan las medidas de manera ´unica, se sigue que ambas medidas coinciden. Ya podemos probar entonces la caracterizaci´on del espectro: Demostraci´on del teorema 4.3.22. Como vimos en el teorema de Littlewood, se tiene que kCϕtk ≤ s1 + |ϕ(0)| 1−|ϕ(0)|, de donde se sigue que kCϕk ≤ e|t|/2.As´ı, tenemos por tanto que σ(Cϕ)⊆B(0, e|t|/2). Adem´as, como ϕ−1(z) = z(e−t+1)+(1−e−t) (e−t+1)+(1−e−t)zse tiene que C−1 ϕ≤e|t|/2. Ahora, si λ∈ B(0, e−|t|/2)∩σ(Cϕ), se sigue que 1/λ ∈σ(C−1 ϕ), pero 1/|λ|> e|t|/2, lo cual es absurdo. As´ı, σ(Cϕ) est´a contenido en el anillo {z∈C:e−|t|/2≤ kzk ≤ e|t|/2}.Para ver que la anterior contenci´on es una igualdad, basta probar entonces que el espectro puntual coincide con el interior de este anillo, como hemos enunciado. Observemos primero que {z∈C:e−|t|/2<|z|< e|t|/2}={e−tλ ∈C:−1/2<Re(λ)<1/2}. Comencemos viendo que las funciones wλ(z) = 1+z 1−zλson autofunciones asociadas al autovalor e−tλ para −1/2<Re(λ)<1/2.Tenemos Cϕt(wλ)(z) = wλ(ϕ(z)) =  1 + z(e−t+1)+(e−t−1) z(e−t−1)+(e−t+1) 1−z(e−t+1)+(e−t−1) z(e−t−1)+(e−t+1)   λ =1 + z 1−zλ e−tλ =wλ(z)e−tλ, como quer´ıamos. Esto prueba por tanto que σp(Cϕt)⊆ {λ∈C:e−|t|/2<|λ|< e|t|/2}. Veamos que la contenci´on anterior es una igualdad. Para ello, Para ello, veamos que para todo f∈H2se tiene que kCϕtfk< e|t|/2kfk. Esto obviamente impide que existan autovectores asociados a autovalores con |λ|=e|t|/2. Con el mismo argumento aplicado a C−1 ϕ, se obtiene que no puede haber autovalores con |λ|=e−|t|/2,lo que cerrar´a la demostraci´on. Para ello, tenemos gracias a la proposici´on 4.3.24 y al lema 4.3.23 que kCϕfkH2=kfkL2(mϕ∗)=ZT|f(eit)|2Pa(eit)dm < ZT|f(eit)|2kPak∞dm(eit) =e|t|/2kfkL2(mϕ∗)=e|t|/2kfkH2, 4.3. UN OPERADOR DE COMPOSICI ´ ON UNIVERSAL EN H295 donde hemos usado que kPak∞=e|t|/2y que solo se alcanza en un solo punto. Esto termina la demostraci´on.  El conocimiento del espectro y en particular de las autofunciones descritas anteriormente son cruciales para la construcci´on necesaria para la prueba. Ahora, vamos a construir el operador de multiplicaci´on cuyo adjunto ser´a semejante a Cϕ. Para ello, definimos ψt(z) = exp ti πlog 1−z 1 + z=1−z 1 + zti π(z∈D) para todo t∈R. Observemos que esta funci´on est´a bien definida, ya que la aplicaci´on z7→ 1−z 1+zlleva el disco Den el semiplano derecho Re(z)>0. As´ı, podemos tomar la rama natural del logaritmo tal que log(1) = 0. Observemos entonces que ψes holomorfa en D. Veamos qu´e conjunto es ψt(D). Dado z∈D, pongamos reiθ =1−z 1+z, donde r > 0 y θ∈(−π/2, π/2). Entonces, log 1−z 1+z= log r+iθ. As´ı, ψt(z) = exp ti π(log r+iθ)= exp ti log r πexp −tθ π.(4.6) Observemos que la primera exponencial tiene exponente imaginario puro, as´ı que es un n´umero complejo de m´odulo 1. La segunda exponencial nos dar´a el m´odulo de ψt(z). Como θ∈(−pi/2, π/2), observemos entonces que e−|t|/2< e−tθ/π < e|t|/2.Por tanto, se tiene que ψt(D) = {z∈C:e−|t|/2<|z|< e|t|/2}. As´ı, ψt∈H∞para todo t∈R, y el operador de multiplicaci´on est´a bien definido. Observemos adem´as que ψ(D) coincide exactamente con el espectro puntual σp(Cϕt) de nuestro operador de composici´on. Con la siguiente proposici´on vamos a estudiar de forma parcial el espectro puntual de M∗ ψt. Adem´as, vamos a dar una forma expl´ıcita de las autofunciones asociadas a los autovalores λde la misma forma en la que las vimos para Cϕ, lo que nos permitir´a comparar las autofunciones de ambos operadores. Proposici´ on 4.3.25. Dada t∈Rse tiene que {z∈C:e−|t|/2<|z|< e|t|/2} ⊆ σp(M∗ ψt), donde las funciones vλ(z) = 1−isin(λπ/2) cos(λπ/2) z−1son autofunciones asociadas al autovalor e−tλ para −1/2<Re(λ)<1/2. Demostraci´on. Comencemos tomando α∈Dy consideremos el n´ucleo reproductor en αdado por kα(z) = 1 1−αz .Dada f∈H2, tenemos que DM∗ ψtkα, fE=hkα, ψt·fi=hψt·f, kαi=ψtαf(α) = Dψt(α)kα, fE. 96 CAP´ ITULO 4. OPERADORES UNIVERSALES Por tanto, para todo α∈D, se tiene que kαes autofunci´on para M∗ ψtasociada al autovalor ψt(α). Como ψt(D) = {z∈C:e−|t|/2<|z|< e|t|/2}, se sigue entonces que {z∈C:e−|t|/2<|z|< e|t|/2} ⊆ σp(M∗ ψt). Vamos ahora a expresar nuestro autovalor ψt(α) y la autofunci´on kαasociada en funci´on de λcon −1/2<Re(λ)<1/2 para obtener la forma enunciada. Para ello, observemos que ψt(α) = 1−α 1 + α−ti π. Ahora, ponemos e−λt =1−α 1 + α−ti π y despejamos αen funci´on de λ. Tenemos entonces que e−iλπ =1−α 1 + α. Por tanto, α=1−e−iλπ 1 + e−iλπ =eiπλ/2−e−iπλ/2 eiπλ/2+e−iπλ/2=isin(πλ 2) cos(πλ 2). As´ı, los autovalores e−λt =ψt(α) est´an asociados a las autofunciones kα(z) = (1−αz)−1= 1−isin(λπ/2) cos(λπ/2) z−1para −1/2<Re(λ)<1/2,como quer´ıamos.  Las autofunciones descritas para CϕtyM∗ ψttienen propiedades muy ´utiles: Proposici´ on 4.3.26. Definamos vλ, wλ∈H2como anteriormente. Entonces, los subespacios span{vλ:−1/2<λ<1/2}y span{wλ:−1/2<λ<1/2}son densos en H2. Demostraci´on. Comencemos probando el resultado para las funciones vλ.Tomemos f∈H2tal que f⊥span{vλ:−1/2<λ<1/2}. Recordemos que las funciones vλson los n´ucleos reproductores en α=−isin( πλ 2) cos( πλ 2).Por tanto, se tiene que 0 = hf, kαi=f(α). Entonces, se sigue que f(−isin( πλ 2) cos(πλ 2)) = 0 para todo −1/2< λ < 1/2. Es decir, fes id´enticamente nula en la intersecci´on del eje imaginario con el disco unidad D. Por tanto, gracias al principio de prolongaci´on anal´ıtica, deducimos que f= 0, lo que prueba la densidad de span{vλ:−1/2<λ<1/2}. 4.3. UN OPERADOR DE COMPOSICI ´ ON UNIVERSAL EN H297 Para las funciones wλ, est´a claro que basta probar la densidad de span{wλ: 0 <λ<1/2}. Para ello, vamos a considerar el isomorfismo isom´etrico U:L2(0,∞)→H2dado por (Uf)(z) = √2 1−zR∞ 0f(x)e−1+z 1−zxdx que introdujimos en la prueba de la proposici´on 3.2.2. Vamos a probar que span{U−1(wλ):0<λ<1/2}es denso en L2(0,∞), lo que probar´a el resultado. Tomemos las funciones de L2(0,∞) eλ(x) = Zx 0 tλ−1e−(x−t)dt (x > 0). Vamos a ver que U(eλ) = γλwλpara todo 0 <λ<1/2, donde γλ∈Ces una constante que depender´a de λ. Entonces, bastar´a probar la densidad de span{wλ: 0 < λ < 1/2}. Tenemos, aplicando el teorema de Fubini: (Ueλ)(z) = √2 1−zZ∞ 0 (Zx 0 tλ−1e−(x−t)dt)e−1+z 1−zxdx =√2 1−zZ∞ 0 tλ−1et(Z∞ t exp −x(1 + 1 + z 1−z)dx)dt =√2 1−z 1 1 + 1+z 1−zZ∞ 0 tλ−1exp −1 + z 1−ztdt =√2 2Z∞ 0 tλ−1exp −1 + z 1−ztdt. Observemos que obtenemos una integral que puede transformarse en una funci´on Γ. Si ponemos 1+z 1−zt=w, la integral queda: (Ueλ)(z) = √2 2 1−z 1 + zZ∞ 01−z 1 + zwλ−1 e−wdw =√2 21−z 1 + z−λZ∞ 0 wλ−1e−wdw =√2 21−z 1 + z−λ Γ(λ) =γλwλ(z). Como λ > 0, Γ(λ) est´a bien definida y obtenemos que U(eλ) = γλwλ, como quer´ıamos. Veamos por tanto que span{eλ: 0 < λ < 1/2}es denso en L2(0,∞).Para ello, tomemos f∈L2(0,∞) ortogonal a este subespacio. Es decir, supongamos que Z∞ 0 eλ(x)f(x)dx = 0 para todo 0 <λ<1/2. Aplicando de nuevo el teorema de Fubini, obtenemos que Z∞ 0 tλ−1Z∞ t e−(x−t)f(x)dxdt = 0.(4.7) 98 CAP´ ITULO 4. OPERADORES UNIVERSALES Definimos entonces la funci´on continua F∈L2(0,∞) dada por F(t) = Z∞ t e−(x−t)f(x)dx (t∈(0,∞)). Observemos que la funci´on ˜ F(λ) = R∞ 0tλ−1F(t)dt es una funci´on anal´ıtica en la regi´on 0<Re(λ)<1/2. Ahora, por la condici´on obtenida en (4.7), tenemos que ˜ F(λ) = 0 para todo 0 < λ < 1/2. Por tanto, deducimos por el principio de prolongaci´on anal´ıtica que ˜ F≡0, lo que implica por tanto que F= 0 en (0,∞). As´ı, se sigue que f= 0 en casi todo (0,∞), lo que prueba por tanto la densidad de span{eλ: 0 < λ < 1/2}y en consecuencia la de span{wλ: 0 <λ<1/2}, como quer´ıamos.  La densidad de estas funciones nos permitir´a definir un isomorfismo de H2en s´ı mismo, que nos dar´a la semejanza buscada entre CϕtyM∗ ψt, como vemos en el siguiente teorema: Teorema 4.3.27. Consideremos las funciones vλywλpara 0<λ<1/2. Se tiene: (a) Si definimos S:span{vλ:−1/2<λ<1/2} → span{wλ:−1/2<λ<1/2} como S(vλ) = 1 √2wλ, entonces Spuede ser extendido a un operador en B(H2)con inversa acotada. (c) Para todo t∈Rse tiene que CϕtS=SM∗ ψt. Es decir, CϕtyM∗ ψtson semejantes. Demostraci´on. (a) Definimos el producto escalar hh·,·ii en H2como hhf, gii =hf, gi− 1 2f(0)g(0) = 1 2 ˆ f(0) ˆ g(0) + ∞ X n=1 ˆ f(n)g(n) para todo f, g ∈H2. Adem´as, denotaremos por kkfkk a la norma inducida por el producto escalar. Tenemos que 1 2kfk2=1 2 ∞ X n=0 |ˆ f(n)|2≤ kkfkk2≤ kfkH2, por lo que son normas equivalentes. Denotemos entonces por K2al espacio de Hilbert de funciones anal´ıticas en el disco con norma kk·kk finita. Observemos que K2y H2contienen exactamente a las mismas funciones, pero tienen productos escalares diferentes. Consideremos ahora A:H2,→K2la inyecci´on can´onica. Es decir, Af =f 4.3. UN OPERADOR DE COMPOSICI ´ ON UNIVERSAL EN H299 para todo f∈H2. Como 1 √2kfk ≤ kkAfkk ≤ kfk, se sigue que Aes un operador acotado de H2aK2con inversa acotada. Ahora, definimos V: span{vλ:−1/2<λ<1/2} ⊂ K2→span{wλ:−1/2<λ<1/2} ⊂ H2 como V(vλ) = 1 √2wλy extendiendo por linealidad. Veamos que Ves una isometr´ıa. Para ello, observemos que vλ(0) = 1 para todo −1/2< λ < 1/2. Adem´as, dados −1/2< λ, µ < 1/2 se tiene que 2hvλ, vµi=hwλ, wµi+ 1. Omitimos este c´alculo por ser bastante farragoso. Para el lector interesado, pueden encontrarse en [18], colorario 2. Se tiene por tanto que hV vλ, V vµi=1 √2wλ,1 √2wµ=1 2hwλ, wµi=1 2(2 hvλ, vµi−1) =hvλ, vµi− 1 2vλ(0)vµ(0) = hhvλ, vµii. Por tanto, Ses isometr´ıa. Ahora, como span{vλ:−1/2< λ < 1/2}y span{wλ: −1/2<λ<1/2}son densos en H2(y en K2), podemos extender Va un isomorfismo isom´etrico de K2en H2. Finalmente, definimos S=V◦A:H27→ H2. As´ı, tenemos S(vλ) = 1 √2wλ, como quer´ıamos. (b) Sea −1/2<λ<1/2. Entonces S(M∗ ψtvλ) = S(e−λtvλ) = e−λt √2wλ. Por otro lado, Cϕt(Svλ) = Cϕt(1 √2wλ).Como CϕtS=SM∗ ψtcoinciden sobre un conjunto total, se sigue que los dos operadores son iguales.  Necesitamos introducir ahora los operadores de Toeplitz. Dada una funci´on f∈L∞(T), ´esta induce un operador de multiplicaci´on Mf∈ B(L2(T)) definido como Mfg=fg para todo g∈L2(T). Nuestro objetivo es convertir estos operadores de multiplicaci´on en L2(T) en operadores acotados definidos en H2. Recordemos que podemos identificar H2con el subespacio cerrado de L2(T) de funciones cuyos coeficientes de Fourier de ´ındice negativo son nulos. Por tanto, existe una proyecci´on ortogonal P:L2(T)→H2. Definici´ on 4.3.28. Se define el operador de Toeplitz de s´ımbolo f Tfcomo Tf=P◦Mf|H2. Observemos que es un operador bien definido y autom´aticamente acotado, pues kTfk ≤ kPkkMfk≤kfkL∞(T). 100 CAP´ ITULO 4. OPERADORES UNIVERSALES Observemos que para toda funci´on f∈H∞se tiene que su l´ımite radial f∗es una funci´on acotada en T, as´ı que f∗induce un operador de Toeplitz Tf. Veamos que en este caso, el operador de Toeplitz inducido por fy el operador de multiplicaci´on usual Mf coinciden. Proposici´ on 4.3.29. Sea f∈H∞. Entonces, Tf=Mf. Demostraci´on. Sea g∈H2. Observemos que Tfg=P(f∗g∗). Ahora, como f∈H∞, se sigue que fg ∈H2, por lo que su l´ımite radial f∗g∗tiene sus coeficientes de Fourier de ´ındices negativos nulos. As´ı, P(f∗g∗) = f∗g∗, y por tanto Tfg=fg =Mfg, como quer´ıamos.  Ya podemos entonces probar la universalidad de Cϕ: Demostraci´on del teorema 4.3.1: Sea ϕun automorfismo hiperb´olico del disco, y sea λ∈σp(Cϕ). Ahora, Cϕes semejante aCϕtpara alg´un t∈R. Adem´as, sabemos por el teorema 4.3.27 que Cϕtes semejante aM∗ ψt. Entonces, gracias a la proposici´on 4.2.2 basta probar que M∗ ψt−λI es universal. Para ello, nos valdremos del teorema de Caradus. Tenemos que probar que M∗ ψt−λI tiene n´ucleo de dimensi´on infinita y que es sobreyectivo. Comencemos estudiando la primera propiedad. Recordemos que ψt(D) = σp(Cϕt).Vamos a probar que ψttoma cada valor en una cantidad infinita de puntos. Para ello, tomemos z∈Dy pongamos reiθ =1−z 1+z,con r > 0 y θ∈(−π/2, π/2). Como vimos en la igualdad 4.6, se tiene que ψt(z) = exp ti log r πexp −tθ π. Ahora, pongamos λ=ρeiα,donde e−|t|/2< ρ < e|t|/2.Entonces, est´a claro que existe θ0∈(−π/2, π/2) tal que exp −tθ π=ρ. M´as a´un, observemos que el argumento de ψt(z) viene dado por exp ti log r π. Como r∈(0,∞), podemos elegir una cantidad infinita rn (n∈N) de forma que exp ti log rn π=eiα gracias a la periodicidad de t7→ eit.Finalmente, basta ver que como la transformaci´on z7→ 1−z 1+zes una biyecci´on del disco en el semiplano derecho, existe un n´umero infinito de zn∈Dtales que ψt(zn) = λ. Ahora, consideramos los n´ucleos reproductores kzn. Est´a claro que son funciones linealmente independientes para todo n∈N. Tenemos entonces para todo n∈Nque M∗ ψtkzn=ψt(zn)kzn=λkzn. As´ı, (M∗ ψt−λI)kzn= 0 4.3. UN OPERADOR DE COMPOSICI ´ ON UNIVERSAL EN H2101 para todo n∈N, lo que prueba que ker(M∗ ψt−λI) tiene dimensi´on infinita. Veamos la sobreyectividad. Notemos que ψt−λes una funci´on anal´ıtica acotada en el disco. Adem´as, se tiene que Mψt−λI =Mψt−λ,as´ı que M∗ ψt−λI =M∗ ψt−λ.Observemos ahora que como M∗ ψtes semejante a Cϕt, su espectro y su espectro puntual coinciden. Por tanto, se tiene que λ∈σp(M∗ ψt).Veamos que existe ` > 0 de forma que |ψt(eiθ)−λ| ≥ ` en casi todo eiθ ∈T. Para ello, observemos que ψtlleva la frontera de Den la frontera del espectro ∂σ(M∗ ψt) = {λ∈C:|λ|=e−|t|/2}∪{λ∈C:|λ|=e|t|/2}. Entonces, como λest´a en el interior del espectro, basta tomar `su distancia a la frontera. As´ı, obtenemos que ft=1 ψt−λes una funci´on acotada en L∞(T), y por lo tanto induce un operador de Toeplitz Tf. Veamos que Tfes la inversa por la izquierda de Mψt−λ. Sea g∈H2. Si P2 L(T)→H2es la proyecci´on ortogonal, se tiene que TfMψt−λg=Tf((ψt−λ)) = P(f·(ψt−λ)) = P(1) = 1. Entonces, se tiene que TfMψt−λ=I. Basta tomar adjuntos para obtener que M∗ ψt−λT∗ f= I. Por tanto, T∗ fes la inversa por la derecha de M∗ ψt−λ, por lo que deducimos que es sobreyectivo. As´ı, M∗ ψt−λI verifica las hip´otesis del teorema de Caradus y es un operador universal, como quer´ıamos demostrar.  palabra Cap´ıtulo 5 El Ret´ıculo de Cierto Operador de Composici´on 5.1. Formulaci´on del Problema En este ´ultimo cap´ıtulo vamos a presentar el ret´ıculo de subespacios invariantes del operador de composici´on inducido por una transformaci´on parab´olica no automorfismo. M´as all´a del inter´es propio que tiene conocer el ret´ıculo de este operador, el atractivo de esta caracterizaci´on radica en que es el ´unico ret´ıculo no trivial conocido de un operador de composici´on inducido por una transformaci´on de M¨obius. Por tanto, su estudio puede aportarnos ideas y m´etodos aprovechables para el estudio del operador de composici´on hiperb´olico automorfismo, que resolver´ıa el problema del subespacio invariante en espacios de Hilbert. Como ya comentamos en el cap´ıtulo anterior en la secci´on de transformaciones de M¨obius, nosotros estamos interesados en aquellas transformaciones que llevan al disco unidad D dentro de s´ı mismo. Todas estas aplicaciones tienen uno o dos puntos fijos. Vamos a estudiar el caso en el que ϕtiene solo un punto fijo, es decir, en el que ϕes parab´ olico. Como ya comentamos, este punto fijo debe estar en el toro T. Por tanto, podemos suponer sin p´erdida de generalidad que este punto fijo es 1, ya que basta componer con un giro para recuperar la aplicaci´on inicial. Vamos a proporcionar una forma can´onica para las transformaciones parab´olicas. Observemos que la aplicaci´on τ(z) = 1+z 1−ztransforma el disco unidad en el semiplano H={z∈C:<(z)>0}y manda al punto 1 a ∞. Por tanto, la aplicaci´on Φ(w) = τ◦ϕ◦τ−1es una traslaci´on de Hen s´ı mismo, as´ı que tiene la forma Φ(w) = w+a, donde <(a)≥0. Por tanto, obtenemos que ϕ(z) = (2 −a)z+a 2 + a−az .(5.1) 103 110 CAP´ ITULO 5. EL RET´ ICULO DE CIERTO OPERADOR DE COMPOSICI ´ ON Ahora, por el teorema de Plancherel (proposici´on 5.3.2) tenemos para todo g∈L2(R) que kgk2 L2(R)=1 2πkF(f)k2 L2(R). Gracias adem´as a que F(g0)(x) = ixF(g)(x) (proposici´on 5.3.2), se tiene g02 L2(R)=1 2πF(g0)2 L2(R)=1 2πkixF(g)k2 L2(R). As´ı, para toda g∈L2(R), se sigue que kgk2 W1,2(R)=1 2πZR(1 + x2)|(Fg)(x)|2dx. Es decir, g∈W1,2(R) si y solo si √1 + x2(Fg)(x)∈L2(R). Veamos entonces que FMf := g∈W1,2(R). Por lo razonado anteriormente, g∈W1,2(R) si y solo si √1 + x2(Fg)(x)∈L2(R). Ahora, gracias a la proposici´on 5.3.2, se tiene que F(FMf)(x) = 2πMf(−x). As´ı, FMf ∈ W1,2(R) si y solo si 2πq(1 + x2)Mf(−x) = 2π √πf(−x)∈L2(R), lo que prueba que FMf ∈W1,2(R). Veamos que, adem´as, esta aplicaci´on es un isomorfismo isom´etrico. En efecto, dada f∈L2(R) tenemos kFMfk2 W1,2(R)=1 2πZR(1 + x2)|F(FMf)(x)|2dx =1 2πZR(1 + x2)4π2|Mf(−x)|2dx = 2πZR 1 π|f(−x)|2dx = 2 kfk2 L2(R). lo que prueba en particular que FMes un operador continuo e inyectivo. Para ver que es sobreyectivo, tomemos f∈W1,2(R). Definimos entonces g(x) = √π√1 + x2(Ff)(−x).Observemos que g∈L2(R), ya que como f(−x)∈W1,2, se sigue que √1 + x2(Ff)(−x) pertenece a L2(R) por el razonamiento anterior. Adem´as, est´a claro que (Mg)(x)=(Ff)(−x), as´ı que (FMg)(x) = f(x), lo que prueba la sobreyectividad. As´ı, hemos probado que FM es un isomorfismo que cumple que kFMfkW1,2(R)= 2 kfkL2(R) para todo f∈L2(R). Por tanto, tenemos que Ψ = FMT es un isomorfismo que cumple que kΨfkW1,2(R)= 2 kfkL2(T) 5.3. UN ISOMORFISMO DE H2AW1,2[0,+∞) 111 para todo f∈L2(T), como quer´ıamos. Probemos la segunda parte del teorema. Tomemos f∈zH2, es decir, f(z) = zg(z), con g∈H2. Usando de nuevo el cambio de variable x=i1+eiθ 1−eiθ tenemos (Ψf)(t) = 1 πZ∞ −∞ gx−i x+ie−itx (x+i)2dx, para todo t∈R. Veamos que gracias a la f´ormula anterior podemos deducir que Ψfes la transformada de Fourier de una funci´on de H2(Π). Es decir, tenemos que probar que z∈Π7→ gz−i z+i1 (z+i)2∈H2(Π). Ahora, observemos que gracias a la proposici´on 5.3.3 se sigue que z∈Π7→ gz−i z+i1 (z+i)∈ H2(Π). Basta probar entonces que el operador de multiplicaci´on por (w+i)−1, que denotaremos por M:H2(Π) →H2(Π), es acotado en H2(Π). Como ocurr´ıa con los operadores de multiplicaci´on en H2, bastar´a conque la funci´on de multiplicaci´on sea acotada, que es justo lo que ocurre en nuestro caso. En efecto, dada w∈Π, tenemos que |w+i| ≥ 1, por lo tanto |(w+i)|−1≤1. As´ı, kMfkH2(Π) = sup y>0ZR|f(x+iy)|21 |x+iy +i|2dx ≤sup y>0ZR|f(x+iy)|2dx =kfkH2(Π) , lo que prueba que el operador est´a bien definido y es acotado. Por tanto, deducimos que Ψfes la transformada de Fourier del valor frontera de una funci´on de H2(Π), que en concreto es una funci´on continua, ya que es la transformada de una funci´on integrable, como vimos anteriormente. Por tanto, Ψfes una funci´on continua (es la transformada de Fourier de una funci´on continua) se anula en el intervalo (−∞,0], lo que prueba por tanto que Ψ(zH2)⊂W1,2 0[0,+∞). Con el mismo razonamiento, se prueba que Ψ(zH2)⊆W1,2 0(−∞,0]. Nos falta probar que estas contenciones son en realidad igualdades. Para ello, notemos que podemos descomponer ortogonalmente W1,2(R) como W1,2(R) = W1,2 0(−∞,0] ⊕De−|t|E⊕W1,2 0[0,∞), donde De−|t|Edenota el subespacio de dimensi´on 1 generado por e−|t|.Est´a claro que los tres subespacios son ortogonales entre s´ı (basta realizar una sencilla integraci´on por partes.) Adem´as, dada f∈W1,2(R), se tiene que f(t)=(f(t)−f(0)e−|t|)χ(−∞,0](t) + f(0)e−|t|+ (f(t)−f(0)e−t)χ[0,∞)(t), 112 CAP´ ITULO 5. EL RET´ ICULO DE CIERTO OPERADOR DE COMPOSICI ´ ON lo que prueba que la descomposici´on enunciada es v´alida. Adem´as, est´a claro que L2(T) = zH2⊕h1i⊕zH2. Observemos que el isomorfismo Ψ conserva la ortogonalidad gracias a la identidad de polarizaci´on: si f⊥g∈L2(T) tenemos hΨf, ΨgiW1,2(R)= 2 hf, giL2(T)= 0. Por tanto, Ψ conserva las descomposiciones ortogonales. Finalmente, gracias al hecho de que Ψ(1) = e−|t|, se sigue que Ψ(zH2) = W1,2 0[0,∞) y Ψ(zH2) = W1,2 0(−∞,0], como quer´ıamos probar.  Ya podemos ver entonces que el operador Φ que definimos al comienzo de la secci´on es un isomorfismo: Corolario 5.3.4. El operador Φ : H2→W1,2[0,∞)es un isomorfimo. Demostraci´on. Gracias al teorema 5.3.1, los operadores Φ y Ψ coinciden en el subespacio zH2, por lo tanto Φ define un isomorfismo de zH2aW1,2 0[0,∞) cumpliendo kΦfkW1,2(R)= 2 kfkH2 para todo f∈zH2y, por polarizaci´on, hΦf, ΦgiW1,2(R)= 2 hf, giH2 para todo f, g ∈H2. Ahora, por el mismo razonamiento que en la prueba anterior, se sigue que W1,2[0,∞) = De−tχ[0,∞)E⊕W1,2 0[0,∞) = hΦ1i⊕Φ(zH2) = Φ(H2), lo que prueba que efectivamente Φ es un isomorfismo.  Gracias a este resultado, vamos a ver con la siguiente proposici´on que el adjunto de nuestro operador de composici´on Cϕapuede ser estudiado como un operador de multiplicaci´on en el espacio de Sobolev W1,2[0,∞) : Proposici´ on 5.3.5. Sea ϕadefinido como en (5.1) con <(a)≥0.Entonces C∗ ϕa:H2→ H2es semejante bajo Φal operador de multiplicaci´on Mψ:W1,2[0,∞)→W1,2[0,∞), donde ψ(t) = e−at. Demostraci´on. Recordemos que la proposici´on 5.1.1 aseguraba que e−at son autovalores para Cϕasi t≥0 asociados a los autovectores et= exp tz+1 z−1.Tenemos, dada f∈H2 (ΦC∗ ϕaf)(t) = DC∗ ϕaf, etEH2=hf, CϕaetiH2=Df, e−atetE =e−at hf, etiH2=e−at(Φf)(t) 5.3. UN ISOMORFISMO DE H2AW1,2[0,+∞) 113 para cada t≥0. As´ı, C∗ ϕa= Φ−1MψΦ, como quer´ıamos. Esto prueba el resultado.  Para completar todo lo enunciado al comienzo de la secci´on, solo nos falta probar que Mψes c´ıclico con ψvector c´ıclico. Vamos a dar las definiciones formales de estos conceptos: Definici´ on 5.3.6. Dado un espacio de Banach X, diremos que un operador T∈ B(X) es c´ ıclico si existe x∈Xtal que su ´orbita bajo Tes densa en H. Es decir, si X= span{Tnx:n≥0}. En tal caso, diremos que xes un vector c´ ıclico asociado a T. Observemos que un elemento a∈Aen un ´algebra de Banach es c´ıclico si y solo si el operador de multiplicaci´on Ma∈ B(A) es c´ıclico y aes vector c´ıclico para Ma. Adem´as, necesitaremos poner en juego los n´ucleos reproductores del espacio H2: Definici´ on 5.3.7. Para cada α∈D, definimos el n´ ucleo reproductor en αcomo la funci´on kα∈H2dada por kα(z) = 1 1−αz =∞ X n=0 αnzn. Proposici´ on 5.3.8. Sea α∈D. Se cumple: (a) Para cada f∈H2se tiene hf, kαiH2=f(α). (b) Sea ϕ∈ H(D)con ϕ(D)⊆D. Entonces C∗ ϕkα=kϕ(α). La prueba de este resultado puede encontrarse en ([12], p. 65). Se tiene: Proposici´ on 5.3.9. El operador de multiplicaci´on Mψ∈ B(W1,2[0,∞)), donde ψ(t) = e−at y<(a)>0, es c´ıclico con vector c´ıclico ψ. Demostraci´on. Tomemos α=a−1 a+1 ∈D, y sea kαel n´ucleo reproductor asociado a α. Tenemos que (Φkα)(t) = hkα, etiH2=et(α) = ψ(t) para todo t≥0. As´ı, como C∗ ϕay Φ son similares, basta probar que C∗ ϕaes c´ıclico con vector c´ıclico kα.Para ello, tomemos f∈H2y supongamos que es ortogonal a la ´orbita de kαbajo C∗ ϕa. Para todo n≥0, tenemos 0 = D(C∗ ϕa)nkα, fEH2=hkα,(Cϕa)nfiH2=hkα, Cϕna fiH2 =hkα, f ◦ϕnai=f(ϕna(α)). 114 CAP´ ITULO 5. EL RET´ ICULO DE CIERTO OPERADOR DE COMPOSICI ´ ON Si probamos que (ϕna(α)) no es una sucesi´on de Blaschke, entonces f= 0 y se seguir´a el resultado. Para ello, tenemos que probar que ∞ X n=0 1−|ϕna(α)|=∞. Comencemos calculando ϕna(α). Como α=a−1 a+1, tenemos que ϕna(α) = (2 −na)a−1 a+1 +na −naa−1 a+1 +2+na =a(n+ 1) −1 a(n+ 1) + 1. Est´a claro que obtenemos una sucesi´on en Dque converge a 1. Debemos afinar un poco para probar que la serie que queremos estudiar diverge. Ahora, observemos que (1 −|ϕna(α)|2)≤(1 −|ϕna(α)|)(1 + |ϕna(α)|)≤2(1 −|ϕna(α)|). Por lo tanto, tenemos que ∞ X n=0 1−|ϕna(α)| ≥ 1 2X1−|ϕna(α)|2, as´ı que bastar´a con estudiar la segunda serie para obtener la divergencia. Tenemos 1−|ϕna(α)|2= 1 −a(n+ 1) −1 a(n+ 1) + 1 ·a(n+ 1) −1 a(n+ 1) + 1 = 1 −|a|2(n+ 1)2−2(n+ 1)<(a)+1 |a|2(n+ 1)2+ 2(n+ 1)<(a)+1 =4(n+ 1)<(a) |a|2(n+ 1)2+ 2(n+ 1)<(a)+1 ≥4(n+ 1)<(a) (|a|2+ 2<(a))(n+ 1)2 =4<(a) |a|2+ 2<(a)·1 n+ 1. Observando que 4<(a) |a|2+2<(a)es un n´umero real positivo, se sigue que ∞ X n=0 1−|ϕna(α)| ≥ 1 2 4<(a) |a|2+ 2<(a) ∞ X n=0 1 n+ 1 =∞, como quer´ıamos. Esto prueba que (ϕna(α)) no es sucesi´on de Blaschke, y por tanto f= 0. Esto termina la demostraci´on.  5.4. El Espacio de Sobolev W1,2[0,∞)como ´ Algebra de Banach. En esta secci´on vamos a probar que el espacio de Sobolev W1,2[0,∞) es un ´algebra de Banach con el producto puntual como multiplicaci´on. Adem´as, caracterizamos su espectro 5.4. EL ESPACIO DE SOBOLEV W1,2[0,∞)COMO ´ ALGEBRA DE BANACH. 115 y veremos que es un ´algebra semisimple y regular. Finalmente, con la ayuda del teorema 5.2.3 lograremos una caracterizaci´on del ret´ıculo de Mψen funci´on de los conjuntos cerrados de [0,∞), y en consecuencia, del ret´ıculo de C∗ ϕ, con lo que obtendremos la prueba del teorema 5.1.3. Comencemos viendo algunas propiedades b´asicas del Espacio de Sobolev W1,2[0,∞). La prueba del siguiente resultado est´a extra´ıda de [17]. Proposici´ on 5.4.1. Si f∈W1,2[0,∞), entonces f∈L∞[0,∞), con kfk∞≤ kfkW1,2[0,∞). En particular, la convergencia en norma W1,2[0,∞)implica la convergencia uniforme. Demostraci´on. Sea t0≥0 y tomemos t > t0. Por definici´on, fes absolutamente continua en el intervalo [t0, t], por lo tanto tambi´en lo es f2. As´ı, para cada s∈[t0, t] tenemos f(t0)2−f(s)2=−Zs t0 (f2)0(σ)dσ =−2Zs t0 f(σ)f0(σ)dσ. Entonces, aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz obtenemos |f(t0)2−f(s)2|= 2 Zs t0 f(σ)f0(σ)dσ≤2kfk2f02. Por lo tanto, tenemos |f(t0)|2≤ |f(t0)2−f(s)2|+|f(s)|2≤2kfk2f02+|f(s)|2. Tomando la media integral en el intervalo [t0, t] en ambos lados de esta desigualdad, obtenemos |f(t0)|2≤2kfk2f02+1 t−t0Zt t0|f(σ)|2dσ ≤2kfk2f02+kfk2 2 t−t0 . Por tanto, tomando l´ımite con t→+∞, se sigue que |f(t0)|2≤2kfk2kf0k2.Como t0≥0 es arbitrario, obtenemos finalmente kfk2 ∞≤2kfk2f02≤ kfk2 2+f02 2=kfk2 W1,2[0,∞), como quer´ıamos.  Como consecuencia de este resultado, obtenemos f´acilmente nuestro primer objetivo: el espacio de Sobolev W1,2[0,∞) es un ´algebra de Banach. Proposici´ on 5.4.2. El espacio W1,2[0,∞)con la multiplicaci´on puntual es un ´algebra de Banach conmutativa sin unidad. 116 CAP´ ITULO 5. EL RET´ ICULO DE CIERTO OPERADOR DE COMPOSICI ´ ON Demostraci´on. Sean f, g ∈W1,2[0,∞). Gracias a la proposici´on 5.4.1, tenemos kfgk2≤ kfk2kgk∞≤ kfkW1,2[0,∞)kgkW1,2[0,∞) y (fg)02=f0g+fg02≤f02kgk∞+g02kfk∞≤2kfkW1,2[0,∞)kgkW1,2[0,∞), por lo tanto kfgkW1,2[0,∞)≤3kfkW1,2[0,∞)kgkW1,2[0,∞), lo que prueba que fg ∈W1,2[0,∞).  Como es habitual cuando se trabaja con espacio tipo Sobolev, simplifica mucho algunos razonamientos contar con un subespacio denso compuesto de funciones mucho m´as regulares. Denotaremos por C∞ c[0,∞) al espacio de funciones infinitamente diferenciables con soporte compacto en [0,∞). Se tiene Proposici´ on 5.4.3. El espacio C∞ c[0,∞)es denso en W1,2[0,∞). Demostraci´on. Tomemos f∈W1,2[0,∞) de forma que hf, giC∞ c[0,∞)= 0 para todo g∈ C∞ c[0,∞). Es decir, Z∞ 0 f(t)g(t)dt +Z∞ 0 f0(t)g0(t)dt = 0 para todo g∈ C∞ c[0,∞). Veamos entonces que f= 0, lo que probar´a que C∞ c[0,∞) es denso en W1,2[0,∞). Como gtiene soporte compacto, si integramos por partes en la identidad anterior tenemos que Z∞ 0f0(x)−Zx 0 f(t)dtg0(x)dx = 0,para cada g∈ C∞ c[0,∞). Observemos ahora que como g0tiene soporte compacto, la integral obtenida en realidad es una integral sobre un intervalo de medida finita. Tomemos entonces a > 0. Como el conjunto de funciones g0con g∈ C∞ c[0, a) es denso en L2[0, a], se tiene f0(x)−Zx 0 f(t)dt = 0,para cada 0 ≤x≤a. Por tanto, se sigue que f(x) = c1ex+c2e−xpara 0 ≤x≤a, donde c1, c2∈C. Como aes arbitrario, se sigue que f(x) = c1ex+c2e−xpara todo x≥0. Finalmente, como f∈W1,2[0,∞), se sigue que c1= 0, y como f0(0) = 0, se tiene c2= 0. As´ı, obtenemos que fes la funci´on nula y se sigue el resultado.  5.4. EL ESPACIO DE SOBOLEV W1,2[0,∞)COMO ´ ALGEBRA DE BANACH. 117 El siguiente paso entonces es caracterizar el espectro Ω(W1,2[0,∞)). Para cada t≥0, denotamos por δt∈W1,2[0,∞) al n´ucleo reproductor en t, es decir, f(t) = hf, δtiW1,2[0,∞). Observemos que δtpuede ser caracterizado mediante el isomorfismo que definimos en el apartado anterior, ya que hf, δtiW1,2[0,∞)=f(t) = Φ(Φ−1f)(t) = DΦ−1f, etEH2. Recordemos que el espectro Ω(W1,2[0,∞)) es el espacio de caracteres (homomorfismo complejos no nulos) equipado con la topolog´ıa d´ebil*. Notemos que como W1,2[0,∞) es un espacio de Hilbert, esta topolog´ıa coincide con la topolog´ıa d´ebil. Tenemos Proposici´ on 5.4.4. El espectro del ´algebra de Banach W1,2[0,∞)es Ω(W1,2[0,∞)) = {δt:t≥0}. Es m´as, la aplicaci´on t7→ δtes un homeomorfismo de [0,+∞)aΩ(W1,2[0,∞)). Para poder dar la prueba de este resultado, vamos a basarnos fuertemente en el espectro del espacio C1[0,1], con la norma kfkC1[0,1] = m´ax{kfk∞,kf0k∞}definida para todo f∈ C1[0,1]. Es trivial comprobar que este espacio constituye un ´algebra de Banach conmutativa con el producto puntual. Lema 5.4.5. Definimos para cada 0≤s≤1las aplicaciones κs:C1[0,1] →Ccomo κs(f) = f(s). Entonces Ω(C1[0,1]) = {κs: 0 ≤s≤1}. La prueba de este resultado puede encontrarse, en un enunciado mucho m´as general, en ([16], p. 219). Demostraci´on de la proposici´on 5.4.4. Claramente, para cada t≥0, el funcional δtes un car´acter en W1,2[0,∞), ya que es claramente un homomorfismo complejo. Es decir, δt∈Ω(W1,2[0,∞)) para todo t≥0. Hay que probar por tanto que todo car´acter en W1,2[0,∞) es de la forma δtpara alg´un t≥0. Consideramos entonces el ´algebra C1[0,1] descrita anteriormente y su sub´algebra A0:= {f∈ C1[0,1] : f(1) = 0}.Definimos entonces el operador T:A0→W1,2[0,∞) f7→ (Tf)(x) = fx 1 + x. Veamos que est´a bien definido. Tenemos kTfk2 W1,2[0,∞)=Z∞ 0fx 1 + x 2 +1 (1 + x)4f0x 1 + x 2 dx 118 CAP´ ITULO 5. EL RET´ ICULO DE CIERTO OPERADOR DE COMPOSICI ´ ON Con el cambio de variable x 1+x=y, la integral anterior queda como Z1 0 1 y2−2y+ 1|f(y)|2+ (y2−2y+ 1)|f0(y)|2dy. Ahora, basta observar, aplicando consecutivamente la regla de L’Hˆopital que l´ım y→1|f(y)|2 y2−2y+ 1 = l´ım y→1 f0(y)f(y) + f(y)f0(y) 2y−2≤f0∞l´ım y→1 f(y) + f(y) 2y−2 =f0∞<(f0(1)) ≤f02 ∞. Por tanto, la funci´on 1 y2−2y+1|f(y)|2+ (y2−2y+ 1)|f0(y)|2es una funci´on acotada en el intervalo [0,1], por tanto su integral es finita y se sigue que T f ∈W1,2[0,∞). Ahora, observamos que Tes claramente es homomorfismo de ´algebras, y gracias al razonamiento anterior, es un operador acotado. Ahora, si κes un car´acter en W1,2[0,∞), es trivial comprobar que el funcional ˜κen C1[0,1] definido como ˜κ(f) = κ(T(f−f(1))) + f(1) es tambi´en un car´acter. Ahora, sabemos por el lema 5.4.5 que todo car´acter definido en C1[0,1] consiste en una evaluaci´on puntual, as´ı que existe 0 ≤s≤1 tal que ˜κ(f) = f(s) para todo f∈ C1[0,1]. Si s= 1, tenemos para cada f∈A0que 0 = f(1) = ˜κ(f) = κ(T(f−f(1))) + f(1) = κ(Tf) de donde deducimos que κ(Tf) = 0. Por lo tanto, κse anula en todo el rango de T, que es denso porque contiene al espacio C∞ c[0,∞), que como probamos en 5.4.3 es un subespacio denso. Por tanto, se sigue que κes el funcional nulo. Ahora, si s6= 1, tomamos t=s/(1 −s)≥0 y observamos que, si f∈A0tenemos δt(Tf) = (Tf)(t) = f(s) = ˜κ(f) = κ(T(f−f(1))) + f(1) = κ(T f). As´ı, tenemos que δtyκcoinciden en T(A0), que como ya hemos comentado es un conjunto denso, lo que implica que κ=δt. Por tanto, hemos probado que Ω(W1,2[0,∞)) = {δt: t≥0}, como quer´ıamos. Falta entonces probar que la aplicaci´on t7→ δtes un homeomorfismo. Comencemos probando que es continua. Tomemos tn→t0. Tenemos que para cada f∈W1,2[0,∞) hf, δtni=f(tn)→f(t0) = hf, δt0i, por ser fcontinua. Esto prueba que δtnconverge d´ebilmente a δt0, por lo tanto t7→ δtes continua. Veamos ahora que la inversa δt7→ ttambi´en es una aplicaci´on continua. Para ello, observemos que como W1,2[0,∞) es un espacio de Hilbert, su topolog´ıa d´ebil coincide con su topolog´ıa d´ebil*. Adem´as, como es separable, se sigue que su topolog´ıa d´ebil es metrizable en conjuntos acotados. Tenemos que para cada f∈W1,2[0,∞) y t≥0 |hf, δti| =|f(t)| ≤ kfk∞≤Ckfk1,2. 5.4. EL ESPACIO DE SOBOLEV W1,2[0,∞)COMO ´ ALGEBRA DE BANACH. 119 As´ı, obtenemos que kδtkW1,2[0,∞)≤1 para todo t≥0, por lo tanto Ω(W1,2[0,∞)) est´a acotado en norma en el espacio dual, y por lo tanto la topolog´ıa en Ω(W1,2[0,∞)) es metrizable. As´ı, deducimos que para probar que nuestra aplicaci´on es efectivamente homeomorfismo basta probar que tn→tsi δtn→δt. Razonemos por reducci´on al absurdo. Supongamos que existe ε > 0 tal que |tn−t0|> ε para cada n∈N. Consideramos ahora f∈W1,2[0,∞) definida como f(t)=(ε−|t0−t|)χ[t0−ε,t0+ε]. Entonces, tenemos que δtn(f) = 0 y δt0(f) = ε, por lo que δtnno puede converger a δt0, lo cual es una contradicci´on. Por tanto, t7→ δtes homeomorfismo y el resultado queda probado.  Con esta caracterizaci´on en mano, vamos a probar a continuaci´on que W1,2[0,∞) es un ´algebra semisimple y regular, y caracterizaremos los ideales cerrados del ´algebra en funci´on de los conjuntos cerrados de [0,∞), que denotamos por F[0,∞). Recordemos que el ret´ıculo de Mψcoincide exactamente con los ideales cerrados de W1,2[0,∞) gracias al teorema 5.2.2, y as´ı caracterizaremos su ret´ıculo en funci´on de F[0,∞). Con esto en mano, probaremos finalmente el teorema 5.1.3. Proposici´ on 5.4.6. El ´ Algebra de Banach W1,2[0,∞)es semisimple y regular y la aplicaci´on F7→ \ t∈F ker δt es una biyecci´on de F[0,∞)a Lat Mψ, donde ψ(t) = e−at. Demostraci´on. Comencemos notando que los caracteres δtseparan puntos, as´ı que gracias a la proposici´on 5.4.4, el espectro Ω(W1,2[0,∞)) separa puntos. Adem´as, gracias a la proposici´on 1.3.18, se sigue que W1,2[0,∞) es semisimple. Para ver que es regular, tomemos M= ker δtun ideal regular maximal. Tenemos que encontrar un entorno abierto Ude δtde forma que k(U) sea ideal regular, es decir, tal que W1,2[0,∞)/k(U) sea un ´algebra unitaria. Supongamos que t∈[0, b)⊂[0,∞) con 0 <b<∞y sea Ula imagen de [0, b) por el homeomorfismo dado por la proposici´on anterior. Est´a claro entonces que Ues entorno abierto de δt, ya que [0, b) es abierto en la topolog´ıa relativa de [0,∞). Ahora, tenemos por definici´on k(U) = \ 0≤t<b ker δt={f∈W1,2[0,∞) : f≡0 en [0, b)}, que como ya sabemos es un ideal cerrado. Basta entonces ver que W1,2[0,∞)/k(U) es un ´algebra unitaria, lo que probar´a que k(U) es regular, como queremos. Ya sabemos que W1,2[0,∞)/k(U) es un ´algebra de Banach. Vamos a buscar la unidad. Observemos que, si 126 CAP´ ITULO 5. EL RET´ ICULO DE CIERTO OPERADOR DE COMPOSICI ´ ON Definici´ on 5.5.1. Dado un espacio de Banach Xdefinimos la topolog´ ıa d´ ebil de operadores (WOT) en B(X) y la denotamos por σa la topolog´ıa inducida por los funcionales T7→ x∗(Tx) para todo x∈X, x∗∈X∗. Es decir, una red (Tα) converge a Ten σsi y solo si x∗(Tαx)→ x∗(Tx) para todo x∈X,x∗∈X∗. Observemos que esta topolog´ıa est´a bien definida, ya que efectivamente el conjunto de funcionales definido anteriormente es un subconjunto del dual de B(X). De hecho, esta topolog´ıa est´a inducida por todos los operadores de rango 1 definidos sobre X. Nosotros manejaremos principalmente esta topolog´ıa en espacios de Hilbert. Observemos que si Hes Hilbert, entonces los funcionales que dan lugar a la topolog´ıa d´ebil de operadores vienen dados por T7→ hTx, yi para todo x, y ∈H. Necesitaremos manejar tambi´en, aunque en menor medida, la topolog´ıa fuerte de operadores. Definici´ on 5.5.2. Dado un espacio de Banach X, llamamos topolog´ ıa fuerte de operadores (SOT) a la topolog´ıa localmente convexa en B(H) inducida por las seminormas T7→ kTxkpara todo x∈X. Observemos que una red (Tα) converge a T∈ B(X) si y solo si Tαx→T x para todo x∈Xen la topolog´ıa de la norma de X. Tenemos la siguiente relaci´on para las topolog´ıas en B(X): Proposici´ on 5.5.3. Denotemos por σ,TSOT yTk·k a las topolog´ıas d´ebil de operadores, fuerte de operadores y topolog´ıa uniforme en B(X). Se tiene: σ⊆TSOT ⊆Tk·k. Demostraci´on. Tomemos una red (Tα) convergiendo a T∈ B(X) en la topolog´ıa inducida por la norma. Es decir, l´ımαkTα−Tk= 0. Por tanto, para todo x∈Xse tiene que kTαx−Txk ≤ kTα−Tkkxk → 0, as´ı que Tα→Ten SOT. Supongamos ahora que (Tα) converge a T∈ B(H) en SOT y veamos que tambi´en converge en σ. Para ello, tomemos x∈Xyx∗∈X∗. Se tiene: l´ım αx∗(Tαx) = x∗(l´ım αTαx) = x∗(Tx), lo que prueba que Tαconverge a Ten σ. Tenemos la siguiente propiedad para el conmutante: 5.5. EL CONMUTANTE DE Cϕ127 Proposici´ on 5.5.4. Dado T∈ B(X)se tiene que {T}0es cerrado en la topolog´ıa d´ebil de operadores de operadores, y por tanto es cerrado tanto en la topolog´ıa fuerte de operadores como en la topolog´ıa uniforme. Demostraci´on. Para ello, tomemos (Sα) una red en {T}0convergiendo a S∈ B(H). Tenemos, para todo x, y ∈Hque hSTx, yi= l´ım αhSαTx, yi= l´ım αhTSαx, yi=hTSx, yi. Por tanto, S∈ {T}0, como quer´ıamos.  Denotemos ahora por alg(T) al ´algebra generada por el operador T. Es decir, al sub´algebra alg(T) := {p(T) : pes un polinomio}. Est´a claro que alg(T) es un ´algebra conmutativa contenida en {T}0.Por tanto, se tiene que alg(T)σ⊆ {T}0. Diremos entonces que un operador T∈ B(H) tiene conmutante minimal o que Ttiene la propiedad del m´ ınimo conmutante si alg(T)σ={T}0. El objetivo de esta secci´on es probar que el operador de composici´on Cϕ, con ϕun noautomorfismo parab´olico tiene la propiedad del m´ınimo conmutante utilizando la semejanza del adjunto con el operador de multiplicaci´on c´ıclico en W1,2[0,∞) descrita en el teorema 5.3.5. Este resultado fue probado en 2018 por M. Lacruz, F. Le´on-Saavedra, S. Petrovic y L. Rodr´ıguez-Piazza en [17]. El resultado es el siguiente: Teorema 5.5.5 (Lacruz, Le´on-Saavedra, Petrovic y Rodr´ıguez-Piazza).El operador de composici´on Cϕ∈H2inducido por un no-automorfismo parab´olico tiene conmutante minimal. La prueba de este resultado radica en demostrar que la propiedad del m´ınimo conmutante se conserva bajo semejanzas y bajo tomar adjunto y probar a continuaci´on que esta propiedad se cumple para todos los operadores de multiplicaci´on c´ıclicos en toda ´algebra que tenga aproximaci´on a la identidad. Finalmente, veremos que W1,2[0,∞) tiene en efecto una aproximaci´on a la identidad, lo que probar´a el resultado. En lo que sigue consideraremos H,H1yH2espacios de Hilbert complejos y separables, pues el operador que queremos estudiar est´a definido sobre espacios de Hilbert. No obstante, como manejaremos tambi´en ´algebras de Banach, ha sido necesario introducir la teor´ıa topol´ogica anterior sobre espacios de Banach cualesquiera. 128 CAP´ ITULO 5. EL RET´ ICULO DE CIERTO OPERADOR DE COMPOSICI ´ ON Lema 5.5.6. Sea T∈ B(H1)yS∈ B(H2)dos operadores semejantes. Entonces Ttiene conmutante minimal si y solo si lo tiene S. Demostraci´on. Basta probar que si Ttiene conmutante minimal entonces tambi´en lo tiene S. Como son semejantes, se tiene que existe un isomorfismo Φ : H1→H2de forma que T= Φ−1SΦ. Sea Y∈ {T}0. Entonces Y= ΦTΦ−1∈ {S}0, y como Stiene conmutante minimal, existe una red de polinomios (pd) tal que pd(A)→Xen la topolog´ıa d´ebil de operadores. Se sigue entonces que pd(T)=Φpd(S)Φ converge en la topolog´ıa d´ebil de operadores a Y, como quer´ıamos.  Lema 5.5.7. Sea T∈ B(H). Entonces Ttiene conmutante minimal si y solo si lo tiene T∗. Demostraci´on. Est´a claro que basta probar que si Ttiene conmutante minimal entonces lo tiene T∗. Primero, veamos que tomar adjunto es continuo en la topolog´ıa d´ebil de operadores. Tomemos una red (Xα) convergiendo a un operador X∈ B(H) en σ. Veamos que (X∗ α) converge a X∗en esta topolog´ıa. Para ello, sean x, y ∈H. Tenemos l´ım αh(X∗ α)x, yi= l´ım αhx, Xαyi= l´ım αhXαy, xi=hXy, xi =hx, Xyi=hX∗x, yi, lo que prueba la continuidad enunciada. Ahora, probemos que T∗tiene conmutante minimal. Para ello, tomemos S∈ {T∗}0. Entonces, se tiene que S∗∈ {T}0. Como Ttiene conmutante minimal, existe una red de polinomios (pα) tal que pαTconverge a Tcuando α∈Aen la topolog´ıa d´ebil de operadores. Ahora, para todo x, y ∈Hse tiene, usando la continuidad de tomar adjunto, que hSx, yi=hx, S∗yi=hS∗y, xi= l´ım αh(pα(T))y, xi= l´ım αh(pα(T))∗x, yi. Entonces, se sigue que (pα(T))∗→Sen la topolog´ıa d´ebil de operadores. Basta entonces definir la red de polinomios (qα(z)) = pα(z). Est´a claro que (pα(T))∗=qα(T∗), as´ı que qα(T∗)→S en la topolog´ıa d´ebil de operadores, as´ı que T∗tiene la propiedad del m´ınimo conmutante, como quer´ıamos.  Gracias a estos dos lemas podemos deducir entonces que basta probar que Cϕtiene conmutante minimal cuando ϕest´a en forma can´onica. Adem´as, como C∗ ϕes semejante al operador de multiplicaci´on Mψintroducido en la proposici´on 5.3.5, basta entonces probar que Mψtiene conmutante minimal para obtener nuestro resultado. 5.5. EL CONMUTANTE DE Cϕ129 Comencemos caracterizando la clausura en la topolog´ıa d´ebil de operadores del ´algebra generada por un operador de multiplicaci´on c´ıclico en un ´algebra de Banach no unitaria. Como ya hemos visto, este es el caso del ´algebra W1,2[0,∞): Lema 5.5.8. Sea Aun ´algebra de Banach no unitaria y a∈Aun elemento c´ıclico. Entonces alg(Ma)σ={Mb+βI :b∈A, β ∈C}σ. Demostraci´on. Comencemos observando primero que el conjunto {Mb+βI :b∈A, β ∈C}es una sub´algebra de B(A). Adem´as, contiene al operador May a la identidad, por lo tanto es claro que contiene a la sub´algebra alg(Ma). Por tanto, la inclusi´on alg(Ma)σ⊆ {Mb+βI :b∈A, β ∈C}σ es trivial. Veamos la otra inclusi´on. Para ello, tomemos b∈Ayβ∈C. Tomemos una sucesi´on de polinomios (pn) de forma que pn(0) = 0 y kb−pn(a)k → 0 cuando n→ ∞. Esto es posible gracias a que aes un elemento c´ıclico. Es decir, A= span{an:n∈N}. Ahora, definimos qn(z) = pn(z) + β. Observemos ahora que qn(Ma) = Mpn(a)+βI → Mb+βI en la topolog´ıa fuerte de operadores cuando n→ ∞, as´ı que tambi´en converge en la topolog´ıa d´ebil de operadores. Esto demuestra que {Mb+βI :b∈A, β ∈C} ⊆ alg(Ma)σ, lo que nos da autom´aticamente la inclusi´on buscada.  Como ya hemos comentado, el ´algebra W1,2[0,∞) es no unitaria, pero podemos conseguir una estructura que haga las veces de unidad. Definimos el concepto a continuaci´on: Definici´ on 5.5.9. Sea Aun ´algebra de Banach. Llamaremos aproximaci´ on a la identidad a cualquier sucesi´on (en) tal que kenb−bk → 0 cuando n→ ∞ para todo b∈A. Es decir, Men→Icuando n→ ∞ en la topolog´ıa fuerte de operadores. Veamos entonces que W1,2[0,∞) efectivamente cumple esta propiedad. Lema 5.5.10. La sucesi´on de funciones (en)definida como en(σ) = (1,si 0≤σ≤n e−(σ−n),si σ≥n, es una aproximaci´on de la identidad en W1,2[0,∞). Demostraci´on. Comencemos observando que para todo n∈Nse tiene que en∈L2(0,∞). Adem´as, e0 n=−e−(σ−n)χ[n,∞), que tambi´en est´a claramente en L2(0,∞). Por tanto, est´a claro 130 CAP´ ITULO 5. EL RET´ ICULO DE CIERTO OPERADOR DE COMPOSICI ´ ON que enson funciones de W1,2[0,∞) que cumplen que kenk∞≤1. Es m´as, se tiene que en(σ)→1 y e0 n→0 puntualmente en el intervalo [0,∞). Tomemos f∈W1,2[0,∞). Tenemos que probar que ken·f−fkW1,2[0,∞)→0 cuando n→ ∞. Ahora, se tiene ken·f−fk2 W1,2[0,∞)=ken·f−fk2 L2+(en·f−f)02 L2. Observemos que, gracias al hecho de que kenk∞≤1, se tiene que |en(σ)f(σ)−f(σ)|2≤ 4|f(σ)|2,y por tanto podemos aplicar el teorema de la convergencia dominada de Lebesgue para deducir que ken·f−fk2 2→0 cuando n→ ∞. De igual forma, como f0∈L2(0,∞), podemos usar el mismo argumento para probar que ken·f0−f0k2 2→0. Como (en·f−f)0=e0 n·f+en·f0−f0,basta probar que e0 n·fconverge a 0 en L2(0,∞). Ahora, como fes acotada y e0 n→0 puntualmente, se tiene que e0 nfconverge puntualmente a 0. Como ke0 nk∞, se tiene que |e0 n·f|2≤ kfkL2, en casi todo, as´ı que basta aplicar de nuevo el teorema de la convergencia dominda. Esto termina la demostraci´on.  Con el siguiente resultado probamos que basta exigir que un ´algebra de Banach conmutativa tenga aproximaci´on a la identidad para asegurar que los operadores de multiplicaci´on c´ıclicos tengan conmutante minimal: Teorema 5.5.11. Sea Aun ´algebra de Banach conmutativa con aproximaci´on a la identidad y a∈Aun elemento c´ıclico. Entonces el operador de multiplicaci´on Matiene conmutante minimal. Demostraci´on. Denotemos por (en) a la aproximaci´on a la identidad de A. Como aes c´ıclico, existe una sucesi´on de polinomios que se anulan en cero tales que ken−pn(a)k → 0, cuando n→ ∞. Ahora, tenemos para cada b∈Aque kpn(a)b−bk≤kpn(a)b−enbk+kenb−bk≤kbkkpn(a)−enk+kenb−bk → 0, as´ı que (pn(a)) es tambi´en una aproximaci´on a la identidad. Veamos ahora que, para todo X∈ {Ma}0, tenemos XMa=Mb, donde b=Xa. Tenemos para cada n∈Nque XMaan=XMn aa=Mn aXa =anb=ban=Mban. Como hemos probado la igualdad para todas las potencias de aque es un elemento c´ıclico, se sigue por densidad que XMa=Mb. Ahora, como pn(0) = 0, tenemos que existe una sucesi´on de polinomios qnde forma que pn(z) = zqn(z) para todo z∈C. Tomemos ahora X∈ {Ma}0.Tenemos Xpn(Ma) = XMaqn(Ma) = Mbqn(Ma). Ahora, si tomamos l´ımite en la topolog´ıa fuerte de operadores en la igualdad anterior, tenemos que Xpn(Ma)→X, ya que pn(a) es una aproximaci´on de la identidad. As´ı, 5.5. EL CONMUTANTE DE Cϕ131 tenemos que Mbqn(Ma) converge a Xen la topolog´ıa fuerte de operadores, y por tanto, tambi´en converge en la topolog´ıa d´ebil de operadores. As´ı, se deduce que X∈ {Mc+γI :c∈A, γ ∈C}σ= alg(Ma)σ, donde hemos usado en la ´ultima igualdad el lema 5.5.8. Esto termina la prueba.  Ya podemos entonces completar la prueba del teorema 5.5.5: Demostraci´on. Sabemos por los lemas 5.5.6 y 5.5.7 que Cϕtiene la propiedad del m´ınimo conmutante si y solo si Mψla tiene. Ahora, Mψes un operador de multiplicaci´on por un elemento c´ıclico en el ´algebra de Banach W1,2[0,∞), que es conmutativa y tiene una aproximaci´on a la identidad por el lema 5.5.10. Finalmente, basta aplicar el teorema 5.5.11 para deducir que alg(Mψ)σ={Mψ}0, as´ı que se sigue que alg(Cϕ)σ={Cϕ}0, como quer´ıamos.  palabra Bibliograf´ıa [1] S.A. Argyros, R. G. Haydon, A hereditarily indecomposable L∞-space that solves the scalar-plus-compact problem, Acta Math. 206 (2011), no. 1, 1–54, 2011. [2] N. Aronszajn, K. T. Smith, Invariant subspaces of completely continuous operators. Ann. of Math. (2) 60, (1954). 345–350. [3] W. Averson, A Short Course On Spectral Theory, Graduate Texts in Mathematics, 209. Springer-Verlag, New York, 2002. [4] A. R. Bernstein, A. Robinson, Solution of an invariant subspace problem of K.T. Smith and P.R. Halmos, Pacific J. Math. 16, 421–431. [5] H. Br´ezis, Analyse fonctionnelle, th´eorie et applications, Masson, Paris, 1983. [6] S.R. 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