Ajuste de matrices O-D con asignación de alta convergencia

A A JUSTE DE M A A A TRIC E A LTA C J u T ESI S Antoni o E S O-D C ONVE R u lio 20 S D OC T o Reyes G CON A R GENC I 13 T ORAL G utiérrez A SIGNA I A A CIÓN D D E A Esta T 0251 N aci o A JUST E T esis ha sid o 10, concedi d o nal I+D”, y E DE M A A Presentad a Dirigida p o Departam e Ing e E o realizada g d o por el M y el M iniste r T ESI S A TRIC E A LTA C a por: o r: J u e nto de Inge n e niería e Infr a E scuela Téc n Uni v g racias al pr o M inisterio d e io de Fome n S D OC T E S O-D C ONVE R A n Fr a D L u D u lio 20 n iería Mecá n a estructura d n ica Superio r v ersidad de S o yecto ENE 2 e Ciencia e n to (P63/08). T ORAL CON A R GENCI A n tonio Reyes Ingeniero In d a ncisco Garc D r. Ingeniero I u is M. Rom e D r. Ingeniero I 13 n ica y de los d e los Trans p r de Ingenier o S evilla 2 008-05552 Innovación SIGNA C A Gutiérrez d ustrial í a Benítez I ndustrial e ro Pérez I ndustrial Materiales p ortes o s y al Progra m a través de l C IÓN D E m a FPI BES - l programa E - 2009- “Plan C O CAP 1. 1 1. 2 1. 3 1. 4 CAP 2. 1 2. 2 2 2 2 2 2. 3 2. 4 2 2 2. 5 2 2 2 2 2. 6 2. 7 O NTE N ÍTULO 1 1 ÁMBI T 2 MOTI V 3 OBJE T 4 ESTR U ÍTULO 2 1 INTR O 2 PROPI E E q 2 .2.1 D a 2 .2.2 C l 2 .2.3 A s 2 .2.4 3 DEFI N 4 ESTA D C l 2 .4.1 a s C l 2 .4.2 a s 5 PRINC Fr 2 .5.1 Fl o 2 .5.2 D i 2 .5.3 B a 2 .5.4 6 ANÁL I DE TR Á 7 IMPL E N IDO I NTROD U T O DE LA T V ACIÓN ..... T IVOS ......... U CTURA D E P ROBLE M O DUCCIÓN E DADES D E q uilibrio de t r a tos relevant l asificación d s ignación m e N ICIÓN DE L D O DEL AR T l asificación d s u formulaci ó l asificación d s u impleme n IPALES A L ank & Wolf e o rian et al. ( 2 i al (2006) .... ar -Gera (201 I SIS COMP U Á FICO ....... E MENTACI Ó U CCIÓN ....... . T ESIS .......... . ................... . ................... . E LA TESIS M A DE A SIG N ................... . E L PROBL E r áfico ......... . es para el m o d e los proble m e diante equil L PROBLE M T E DE LOS d e los métod o ó n ............... . d e los métod o tación num é L GORITMO S e ................. . 2 009) (modi f ................... . 0) ............... . U TACION A ................... . Ó N DE UN A i . .................. . . ................... . ................... . ................... ................... N ACIÓN DE L . ................... E MA DE A S . ................... o delo de asi g mas de asig n l ibrio de usu a M A ............... MÉTODO S o s de asigna c . ................... o s de asigna c é rica ............. S DE ASIG N . ................... f icado) ........ . ................... . ................... A L DE LOS A . ................... A LGORIT M ................... . ................... . ................... . ................... . ................... . L T RÁFICO ( T ................... . S IGNACIÓ N ................... . g nación ....... . n ación de tr á a rio determi n ................... . S DE ASIG N c ión de tráfi c ................... . c ión de tráfi c ................... . N ACIÓN .... . ................... . ................... . ................... . ................... . A LGORIT M ................... . M O DE ASI G . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... T AP) .......... . ................... N DE TRÁF I . ................... . ................... á fico ............. n ista ............ . ................... N ACIÓN D E c o atendien d . ................... c o atendien d . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... M OS DE AS I . ................... G NACIÓN D . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... I CO ............. . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... E TRÁFICO d o ................ . ................... d o ................ . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... I GNACIÓN . ................... D E TRÁFIC O . ...... 1 ....... 1 ....... 2 ....... 3 ....... 4 . ...... 7 ....... 7 ....... 8 ....... 8 ..... 10 ..... 11 ..... 16 ..... 17 ..... 22 ......... ..... 23 ......... ..... 27 ..... 29 ..... 29 ..... 31 ..... 32 ..... 34 ......... ..... 36 O .. 42 2. 8 2 2 CAP 3. 1 3. 2 3. 3 3. 4 3. 5 3. 6 3. 7 3. 8 3. 9 8 RESU L R E 2 .8.1 R E 2 .8.2 ÍTULO 3 1 INTR O 2 PROPI E Z o 3.2.1 P e 3.2.2 R e 3.2.3 In d 3.2.4 L a 3.2.5 3 DEFI N 4 ESTA D A PAR M 3.4.1 M 3.4.2 M 3.4.3 M 3.4.4 M 3.4.5 5 MÉTO D 6 METO D 7 CÁLC U 8 FORM U 9 ALGO R A l 3.9.1 A l 3.9.2 L TADOS/A P E DES DE A P E SULTAD O P ROBLE M O DUCCIÓN E DADES D E o nificación d e riodo de tie m e cogida de i n d eterminaci ó a asignación N ICIÓN DE L D O DEL AR T TIR DE DA odelos Grav i odelos de m á odelos de m á odelos de in f odelos de m í D OS DE P R D OLOGÍA D U LO DEL J A U LACIÓN P R ITMOS I M l goritmo 1. A l goritmo 2. A P LICACIO N P LICACIÓ N O S ................ . M A DE E STI M ................... . E L PROBL E d e la región d m po para el q n formación e ó n del probl e como parte d L PROBLE M T E DE LOS T OS DE A F i tacionales .. . á xima entro p á xima veros i f erencia bay e í nimos cuad r R OGRAMA C D E RESOL U A COBIAN O P ROPUEST A M PLEMENT A A signación b A signación b ii N ES .............. N .................. . ................... M ACIÓN DE M . ................... E MA DE E S d e estudio .... q ue se defin e e n la estimac e ma .............. d el problem a M A ............... MODELO S F OROS ........ . ................... p ía/mínima i n i militud ....... e siana ......... r ados gener a C IÓN BINI V U CIÓN PR O O ................... A PARA E L A DOS PAR A b asada en ca m b asada en orí g ................... . ................... . ................... . M ATRICES O ................... . S TIMACIÓ N ................... . e la matriz d e ión de matri c ................... . a del ajuste .. . ................... . S DE ESTI M ................... . ................... . n formación . ................... . ................... . a lizados ....... . V EL ............. . O PUESTA ... . ................... . L CÁLCUL O A EL CÁL C m inos. ......... . g enes. ......... . . ................... . ................... . ................... O RIGEN – D E . ................... N DE MATR . ................... e viajes ........ c es .............. . ................... . ................... . ................... M ACIÓN DE . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... O DEL JAC O C ULO DEL J . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... E STINO ....... . ................... R ICES .......... . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... E MATRICE S . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... O BIANO ..... J ACOBIAN O . ................... . ................... ..... 58 ..... 59 ..... 63 . .... 67 ..... 67 ..... 68 ..... 68 ..... 69 ..... 70 ..... 71 ..... 74 ..... 77 S ...... ..... 81 ..... 82 ..... 82 ..... 84 ..... 85 ..... 87 ..... 89 ..... 93 ..... 97 ... 102 O 123 ... 125 ... 129 3. 1 CAP 4. 1 4 4 4. 2 B IBL A P A l 3.9.3 d e A l 3.9.4 de A n 3.9.5 1 0RESU L Ej 3.10.1 Ej 3.10.2 Ej 3.10.3 Ej 3.10.4 M 3.10.5 ÍTULO 4 1 CONC L E s 4 .1.1 Pr 4 .1.2 2 LÍNE A L IOGRAFÍA .. . P ÉNDICE I M l goritmo 3. A e segmentos a l goritmo 4. A l conjunto d e n álisis de al g L TADOS/A P emplo de ap l emplo de ap l emplo de ap l emplo de ap l ejora del pr o C ONCLU S L USIONES s timación de oblema de a s A S FUTURA . ................... M EDIDAS DE A signación b a lternativos. A signación b e PAS. ........ . g oritmos im p P LICACIO N l icación 1: R l icación 2: R l icación 3: R l icación 4: R o ceso de aju s S IONES Y L Í N ................... . matrices ori s ignación d e S ................ . ................... . D ISTANCIA iii b asada en orí g ................... b asada en orí g . ................... p lementados . N ES .............. R ed sencilla . R ed de Tierg a R ed de Chic a R ed de Madr i s te para la re d N EAS F UTU R . ................... gen – destin o e tráfico ........ . ................... . .................. . ENTRE M A T g enes con al m ................... . g enes con e q ................... . ................... . ................... . ................... . a rten ........... . a go Sketch ... . i d ................ . d de Chicag o R AS ............. . ................... . o ................. . ................... . ................... . ................... . T RICES ........ . m acenamie n . ................... q uilibrado si m . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... o Sketch ...... . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... n to ............... . ................... m ultáneo ..... . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... . ................... ......... ... 131 ......... ... 134 ... 138 ... 140 ... 141 ... 145 ... 150 ... 153 ... 156 . .. 161 ... 161 ... 161 ... 163 ... 164 . .. 167 ... 177 iv v ÍNDICE DE FIGURAS Figura 2-1: Red de Tiergarten. Bush del origen 21 .................................................................... 35 Figura 2-2: Red de ejemplo. Estructura de datos empleada ....................................................... 46 Figura 2-3: Iteraciones para el equilibrio de los caminos del mismo par .................................. 51 Figura 2-4: Par O-D β en equilibrio ........................................................................................... 53 Figura 2-5: Par O-D β, nueva situación en equilibrio ................................................................ 53 Figura 2-6: Modelo de red de Tiergarten ................................................................................... 59 Figura 2-7: Modelo de red de Chicago Sketch .......................................................................... 61 Figura 2-8: Modelo de red de Madrid (sin centroides) .............................................................. 62 Figura 2-9: Convergencia de los algoritmos de asignación ....................................................... 64 Figura 3-1: Red de Tiergarten .................................................................................................... 73 Figura 3-2: Ejemplo 1. Red simulada ...................................................................................... 106 Figura 3-3: Ejemplo 1. Evolución del flujo en el arco v5 ......................................................... 109 Figura 3-4: Algoritmo 1. Evolución función objetivo ............................................................. 128 Figura 3-5: Algoritmo 1. Matriz desactualizada frente a ajustada ........................................... 128 Figura 3-6: Algoritmo 2. Evolución función objetivo ............................................................. 130 Figura 3-7: Algoritmo 2. Matriz desactualizada frente a ajustada ........................................... 131 Figura 3-8: Algoritmo 3. Evolución función objetivo ............................................................. 133 Figura 3-9: Algoritmo 3. Matriz desactualizada frente a ajustada ........................................... 134 Figura 3-10: Algoritmo 4. Evolución función objetivo ........................................................... 137 Figura 3-11: Algoritmo 4. Matriz desactualizada frente a ajustada ......................................... 137 Figura 3-12: Análisis algoritmos. Función objetivo - iteraciones ............................................ 138 Figura 3-13: Análisis algoritmos. Función objetivo – tiempo de computación ....................... 139 Figura 3-14: Ajuste Red Tiergarten. Función objetivo – iteraciones ....................................... 146 Figura 3-15: Ajuste Red Tiergarten. Función objetivo – tiempo de computación ................... 147 Figura 3-16: Ajuste Red Tiergarten. Distancia entre matriz ajustada y real ............................ 148 vi Figura 3-17: Ajuste Red Tiergarten. Distancia entre matriz ajustada y desactualizada ........... 149 Figura 3-18: Ajuste Red Tiergarten. Correlación matriz ajustada y desactualizada ................ 149 Figura 3-19: Ajuste Red Chicago Sketch. Función objetivo - iteraciones ............................... 151 Figura 3-20: Ajuste Red Chicago Sketch. Distancia entre matriz ajustada y real ................... 152 Figura 3-21: Ajuste Red Chicago Sketch. Distancia entre matriz ajustada y desactualizada .. 152 Figura 3-22: Ajuste Red Madrid. Función objetivo – tiempo de computación ....................... 153 Figura 3-23: Ajuste Red Madrid. Función objetivo – tiempo de computación ....................... 155 Figura 3-24: Mejora Ajuste Chicago Sketch. Función objetivo – tiempo de computación ..... 157 vii ÍNDICE DE TABLAS Tabla 2-1: Tipos de problemas de asignación de tráfico ............................................................ 15 Tabla 2-2: Necesidad de almacenamiento (apartado 2.5) .......................................................... 39 Tabla 2-3: Necesidad de almacenamiento .................................................................................. 39 Tabla 2-4: Vectores A, B y lastnode .......................................................................................... 46 Tabla 2-5: Características red de Tiergarten .............................................................................. 60 Tabla 2-6: Características red de Chicago Sketch ...................................................................... 61 Tabla 2-7: Características red de Madrid ................................................................................... 63 Tabla 2-8: Valor de la función objetivo final ............................................................................. 65 Tabla 3-1: Expresiones empleadas en el problema de estimación de matrices .......................... 96 Tabla 3-2: Ejemplo 1. Descripción de los caminos de cada par O-D ...................................... 106 Tabla 3-3: Ejemplo 1. Matriz O-D de partida .......................................................................... 106 Tabla 3-4: Ejemplo 1. ∂v5∂gi ................................................................................................ 107 Tabla 3-5: Ejemplo 1. ∂Z(g)∂gi ............................................................................................ 107 Tabla 3-6: Ejemplo 1. Soluciones inicial y final ...................................................................... 108 Tabla 3-7: Ejemplo 1. Modificación de la matriz O-D de partida ........................................... 110 Tabla 3-8: Planteamiento inicial del grado de indeterminación del problema ......................... 116 Tabla 3-9: Indeterminación del problema ................................................................................ 116 Tabla 3-10: Características de las redes de transporte empleadas ............................................ 125 Tabla 3-11: Algoritmo 1. Tiempos de computación (segundos) .............................................. 127 Tabla 3-12: Algoritmo 2. Tiempos de computación (segundos) .............................................. 129 Tabla 3-13: Algoritmo 3. Tiempos de computación (segundos) .............................................. 133 Tabla 3-14: Algoritmo 4. Tiempos de computación (segundos) .............................................. 136 Tabla 3-15: Algoritmos implementados. Resumen del tiempo de ejecución (segundos) ........ 139 Tabla 3-16: Ejemplo de aplicación 1. ∂v5∂gi ....................................................................... 142 Tabla 3-17: Ejemplo de aplicación 1. ∂Z(g)∂gi .................................................................... 142 6 AJUSTE DE MATRICES O-D CON ASIGNACIÓN DE ALTA CONVERGENCIA CAPÍTULO 2 PROBLEMA DE ASIGNACIÓN DEL TRÁFICO (TAP) 2.1 INTRODUCCIÓN La asignación de tráfico es la parte de la planificación del transporte que predice como se cargará la red de transporte. Conocida la topología de la red y la matriz de viajes, el problema de asignación pronostica cual será la distribución de vehículos sobre los arcos de la red. La solución de dicho problema reporta el flujo y tiempo de viaje en los arcos de la red, que resulta del uso de la misma por parte de todos los viajeros, para ir desde sus orígenes hasta sus destinos. La cantidad de vehículos que atraviesa una calle o zona de la red depende de la decisión individual de cada uno de los usuarios que realizan un desplazamiento. Esta decisión está influenciada por diferentes factores que miden el nivel de servicio de la red. Los factores más relevantes son: distancia, tiempo de viaje, fiabilidad del tiempo de viaje, hora de salida, presencia de señales, accesibilidad, tipo de maniobras requeridas, tarifas y plazas de aparcamiento en destino, tarifas de acceso, seguridad y otros. El número de variables que interviene en la decisión de desplazamiento de cada usuario es alto. Esto hace complejo encontrar una expresión que generalice al conjunto de la población, por ello es una práctica frecuente simplificar el número de variables. La aproximación más común es considerar un coste generalizado donde el tiempo de viaje es el principal factor de decisión para los usuarios de la red. Generalmente, cuando un conductor hace uso de la red es porque tiene necesidad de desplazarse para realizar una actividad en destino. El desplazamiento no es la actividad más importante, sino una actividad intermedia necesaria para desarrollar su actividad principal. Es por eso que cada usuario trata de reducir el tiempo de esta actividad intermedia. Para ello, cada usuario seleccionará la ruta cuyos arcos tengan menor tiempo de viaje. 8 El ti e canti d exist e viaja r simu l red d La v i matr i indi v entre com b reco r trans p disti n acce s la so l com ú princ fiabi l Esta t a los dem á ellos . 2.2 2.2. 1 El p r equil i assig n (Flor i de as De e s e mpo de vi a d ad de usua r e ncia de una r por una d l táneamente e transporte. i sión más ge n i z de dema n v iduo puede e una combi n b inación, se l r rida, númer o p orte tiene u n tos, existe s ibilidad res t l ución, este t ú n, el vehí c ipalmente a l idad lo que s t esis se cent r usuarios q u á s modos de . PROPI E TRÁFI C Equili b 1 r oblema de i brio en re d n ment prob l i an y Hearn , s ignación de s ta forma se a je o nivel d r ios que de c interacción d eterminada todas estas i n eral del pr o n da global s e legir entre d n ación de m l eccionará l a o de manio b u nas caracte r interacción t ringida a ci e t ipo de prob l c ulo privad o a este mod o s ucede en la r a en la asig n u e tienen la o transporte y E DADES C O b rio de trá f asignación d es: “An e ffi l em” (LeBl a , 1995),… E tráfico está n alcanza la s A J d e congestió n c iden atrave s entre la con g ruta. En e i nteraccione s o blema de a s e calcula p a d iferentes m o m odos para a ruta más c b ras,…). És r ísticas difer e entre ello s e rtas zonas d l emas suele o . Así, se s o y que, po red real. n ación de tr á o pción de vi y , en consec u DEL P f ico de tráfico e ffi cient appr o a nc et al, 1 9 sto se debe a n basadas en s olución res o J USTE DE M AT R n alcanzado s arlo para ll e g estión en l o e l problema s individual e s ignación de a ra cada us u o dos de viaj e el mismo v c ompetitiva te es un pr o entes, adem á s , algunos t d e la red. Ge n enfocarse e n s upone que o r tanto, la á fico privad o i ajar en su p c uencia, tod a P ROBL E e s visto po r o ach to sol v 9 75), “Net w a que las té c n la noción d o lviendo un R ICES O-D CON A en un arco e gar a su d e o s arcos y la d de asignac e s para enco n tráfico es a q u ario la me j e (a pie, aut o v iaje. A su según sus p o blema co m á s de que p r t ienen excl u n eralmente, p n asignar a l a los proble m solución e n o . La matriz r opio vehíc u a s las combi n MA D E r muchos a u v ing the roa d w ork equilib r c nicas utiliz a e equilibrio problema d e A SIGNACIÓN DE es función stino. Sheff i d ecisión de l ión se mo d n trar el patró n q uella en la q or alternati v o bús, coche, v ez, dentro pr ioridades ( m plejo, ya q u r esentan val o u sividad en p ara reducir a red única m m as de con n contrada re p de demand a u lo. Por tant o n aciones e i n ASIG N u tores como d network e r ium model s a das para re s entre los us u e programac i E A LTA C ONVE R proporcion a fi (1985) det a l os conduct o d elan y res u ó n de flujo s o q ue a partir d v a de viaje. tren,…) o i n de cada m o ( tiempo, di s u e cada mo o res de con g carriles y la compleji d m ente el mo d n gestión se presenta co n a solo repres o , se excluy n teraccione s N ACIÓN o un proble m e quilibrium s and algor i s olver el pro b u arios del si s ión convex o R GENCIA a l a la a lla la o res de u elven o bre la d e una Cada n cluso o do o tancia do de g estión otros d ad de d o más deben n alta entará en los s entre DE m a de traffic i thms” b lema s tema. o . Esta Capítulo 2: PROBLEMA DE ASIGNACIÓN DE TRÁFICO (TAP) 9 particularidad ofrece la posibilidad de implementar algoritmos que resuelven de forma eficiente problemas con redes de grandes dimensiones. El patrón de flujo sobre la red de transporte responde a un equilibrio entre la congestión en los arcos y la decisión de viajar de los conductores por una determinada ruta. Este concepto es semejante a la noción de equilibrio del mercado empleada en economía. Para cualquier producto en el mercado siempre existen dos grupos interactuando: los productores y los consumidores. En el caso del problema de asignación, los consumidores son los individuos que tienen una necesidad de viaje o demanda de transporte y los productores, en este caso estarían representados por un único agente, el sistema de transporte formado por las vías, vehículos, terminales y la forma de interactuar entre ellos. El comportamiento de los productores se rige según la curva de la oferta y el comportamiento de los consumidores según la curva de demanda. Generalmente la curva de la oferta y la demanda son funciones que dependen principalmente del precio. En un mercado perfectamente competitivo, al aumentar el precio, la oferta de productos aumenta mientras que su demanda disminuye, y viceversa. Existen productos o servicios en los que no solo influye su precio sino que además influyen otros parámetros como, por ejemplo, el tiempo de espera para adquirir dicho producto o servicio. Este caso se presenta en gasolineras (Sheffi, 1985). Si una gasolinera disminuye el precio de sus combustibles, la demanda aumentará de forma considerable. Como cada cliente necesita de un tiempo de repostaje, se formarán colas. En este momento, comienza a influir una nueva variable como es el tiempo de espera en la gasolinera. Ciertos consumidores valoran ese tiempo de espera como negativo y decidirán repostar en otra gasolinera diferente. En el problema de asignación, el precio del producto se corresponde con el tiempo de flujo libre del arco. Si disminuye este tiempo, el arco tendrá una demanda de vehículos mayor. Como en el caso de la gasolinera, si la demanda de vehículos es mayor a la ofertada, no se satisface instantáneamente formándose colas y aumentando el tiempo de flujo real en el arco. Como resultado final del problema de asignación se obtienen los flujos en los arcos que se encuentran en equilibrio con el tiempo o coste generalizado de atravesar dichos arcos. Estudiando la estabilidad del problema, se define la solución final como un estado de equilibrio estable. Esto es, cuando el problema se encuentra en dicho estado no existen atracciones actuando sobre él que lo hagan moverse hacia otro estado diferente. Si el problema no está en equilibrio, se generan atracciones que hacen tender la solución hacia un estado en equilibrio estable. Estos factores, que actúan sobre el sistema, son los mecanismos de cambio de rutas de 10 los u s ince n Uno com p ejem p arco. mec a Desp distri pued e 2.2. 2 2.2.2 . Expr e práct i Exis t resid e de vi a los p a hora r pres e Dad o están cerc a equil i tráfi c 2.2.2 . Repr e para may o se e n reco p s uarios, des d n tivo para ca m de los o b je t p ortar los ve h p lo, si se co r En este m a nismos de c ués de vari bución de v e e demorarse Datos r 2 .1 M atriz d e sa la dema n i ca, los ele m t e una matri z e nciales son a jes al inici o a res O-D cu y r io de maña n e ntarán un pi o que la mat r n en estado d e a del equili b i brio cuand o c o, modifica c .2 Grafo d e senta la re d ello es muy o r semejanz a n contrará l a p ilación de u d e su ruta ac t m biarse de r u t ivos del pr o h ículos por l r ta la circul a m omento la c ambio de r u as iteracion e hículos en e desde vario s r elevantes d e viajes n da de viaje s m entos de la m z de viajes d zonas clara m o de la jorna d y os orígenes n a que luego co de viajes r iz de dema n e equilibrio d b rio o tendi o se produc e c iones del c o d e la red de t d de transpor t importante a habrá entr e a solución. u na mayor c a A J t ual hasta ot r u ta. o blema de p l a red si se m a ción de una solución s e u tas que hac e s el siste m e quilibrio. E n s días a vari a para el m o s estimada p m atriz de d e d iferente pa r m ente prod u d a y atraen l a sean este ti p disminuirá. Y por la tarde. n da no es co n d e forma pe r endo hacia e n cambios o ntrol semaf ó t ransporte t e que quier e la definició n el grafo y l a No obstant e a ntidad de i n J USTE DE M AT R r a más com p l anificación m odifica alg ú vía. Esta ac e desvía de l c en tender a l m a alcanzar á n la práctic a a s semanas d odelo de a p ara los dife r e manda está n r a cada inst a u ctoras de vi a misma ca n p o de zonas, Y los pares O n stante, los s r manente. P o dicho esta d en factores ó rico, etc. e modela r se. n del nivel d a red en est u e , aumenta r n formación a R ICES O-D CON A p etitiva. En e del transpo r ú n parámetro ción se mo d l estado de sistema a u á un nuevo a esta transic d ependiendo a signación r entes pares n en constan t a nte de tie m ajes po r lo q n tidad de via j presentan u n O -D cuyos d s istemas de t o r lo general d o. Solo se externos c o El modela d d e detalle. C u dio, y por t a r el nivel d a demás de p A SIGNACIÓN DE l equilibrio, r te es prede c del sistema d ela asignan d equilibrio u n nuevo es t estado repr e i ón entre es t d e la magni t origen – de s t e variación m po. Como ej q ue generan j es al fin de d n a cantidad d d estinos sean t ransporte e n , se supone q considera q o mo pueden d o de dicha r e C uanto mayo a nto más ce r d e detalle h rovoca r un a E A LTA C ONVE R no existirá n c i r como se de transpor t d o coste infi n y se activ a t ado de equi r esentado p o t ados de equ t ud del prob l s tino (O-D). a lo largo d e e jemplo, las una gran ca n dicha jorna d d e viajes alt a este tipo de n la práctica q ue el siste m q ue se desv í ser los cor t ed debe ser f o r nivel de d r cana a la re h ace neces a a umento del R GENCIA n ingún van a t e. Por n ito al a n los librio. o r una i librio ema. En la e l día. zonas n tidad d a. Así a en el zonas nunca m a está í a del t es de f iable, etalle, alidad a ria la costo Capít u com p de s a men o aten d Un a arco s que l difer e defi n libre ) Es i m muy matr i prop o calib r 2.2.2 . Para cond u se al c posi b llega r medi a Ante r los u princ adel a tiem p unita r 2.2. 3 El p r de lo s u lo 2: PROBL E p utacional e n a lida necesar i o r importan c d iendo al fluj a partado fun d s . Esto conll e l os caracteri c e ntes condi c n ición de di c ) y la densid a m portante se ñ sensible a l i z de dema n o rcionará lo r adas. .3 Compo r resolver el u ctores tien e c anza si, y s b ilidades del r á a una sit u a nte el cam b r iormente s e u suarios. La ipalmente p a nte se supo p o de viaje o r ios de dive r Clasifi c 3 r oblema de a s datos del m E MA DE ASIG N n el cálculo d i os. En la p r c ia y mante n o de vehícu l d amental, d e e va asignar a c e. Las fun c c iones de fl u c has funcion e a d o capacid a ñ alar que la l os parámet r n da es esti m s flujos ob s r tamiento d e problema e n un mismo s olo si, el c o sistema de t u ación en la q b io de ruta. e han enume r aproximaci ó or un único ndrá que l o o , en una ac e r sas naturale z c ación de l a signación d e m odelo de as i N ACIÓN DE T d e flujos y c o r áctica, la re d n iendo únic a l os que las a t e ntro del di s a cada arco u c iones de de u jo de vehí c e s de demo r a d de vehíc u distribució n r os emplead o m ada de for m s ervados en e los usuario s de asignaci comportam i o lectivo de c t ransporte y q ue ningún c r ado los dif e ó n más com ú factor, el c s usuarios a e pción más z as). l os proble m e tráfico pu e i gnación des T RÁFICO (TA P o stes en arc o d suele sim p a mente las v t raviesa. s eño del gr a u na función e mora mode l c ulos. Los p r a son dos: l u los que pue d n del flujo d e o s en las f u m a muy fia b n los arcos s i ón de tráfi iento. El eq u c onductores actúan bajo c onductor p u e rentes fact o ú n es supon c oste de viaj a ctúan con l amplia, su c m as de as i e de clasifica r s critos en la s P ) o s. El nivel d p lifica r se eli m v ías que rea l a fo, es la ca r de demora o l izan el co m p arámetros e l a velocida d d e soportar e e vehículos u nciones de d b le, el probl si dichas f u co es nece s u ilibrio entr e comparten u un mismo c u ede reducir o res que infl u e r que su c o e (monetari o l a intención c oste genera l i gnación d r se en funci ó s ección ante r d e detalle de p m inando vía s l mente van r acterizació n o curva de o f m portamiento m pleados g e permitida ( l arco. e n la soluci ó d emora. Co n e ma de asi g u nciones es t s ario supon e e la oferta y d u n conocim i c riterio. Sol o el coste de s u yen en la e l o mportamie n o y/o temp o de minimi z l izado (com b d e tráfico ó n de las di f r ior. p ende de lo s s secundaria a ser impo r n funcional d f erta de tran o del arco fr e e neralmente ( o tiempo d e ó n final pue n siderando q g nación de t t án correcta e r que tod o d emanda de i ento pleno o de esta fo r s u desplaza m lección de r u n to está do m o ral). De ah o z ar únicame n b inación de f erentes tip o 11 datos s o de r tantes d e los sporte e nte a en la e flujo d e se r q ue la t ráfico m ente o s los viajes de las r ma se m iento u ta de m inado o ra en n te su costes logías 12 AJUSTE DE MATRICES O-D CON ASIGNACIÓN DE ALTA CONVERGENCIA 2.2.3.1 Atendiendo a la matriz de viajes Según se considere variaciones en la matriz de demanda o no, existen dos formulaciones completamente diferentes para el problema de asignación de tráfico: ‐ Asignación del tráfico estática. Se suponen las mismas condiciones de demanda durante un determinado periodo de tiempo (i.e. hora punta de mañana). La solución encontrada responde a una situación de flujo estacionario en equilibrio. ‐ Asignación del tráfico dinámica. Se utiliza la matriz de demanda real que es diferente en cada periodo de tiempo. La solución está cerca del equilibrio o tiende hacia él en todo momento. La hipótesis formulada en los modelos estáticos es válida para problemas de planificación estratégica o táctica, mientras que para aspectos operacionales es más recomendable el uso de modelos dinámicos. El uso de modelos dinámicos que sustituyan a los estáticos se debe a que estos últimos son incapaces de explicar cualquier evolución de los flujos de tráfico en cortos periodos de tiempo. Por ejemplo, durante un periodo en hora punta puede ocurrir que el número de vehículos que necesitan utilizar una vía sea mayor que su capacidad. Este exceso de vehículos hace que se formen colas que serán descargadas más tarde. Los modelos estáticos se centran en varias horas del día utilizando valores medios de capacidad de vía, demanda de viajes y tiempo de flujo libre, encontrando escasos problemas de exceso de vehículos y, por tanto, de colas. Es por esto que muchos autores sostienen que los modelos estáticos subestiman los tiempos totales de viaje (Ben-Akiva y Lerman, 1985). 2.2.3.2 Atendiendo al grafo de la red de transporte Relacionadas con las funciones de demora que definen los arcos de la red, existen varias clasificaciones del problema de asignación de tráfico: ‐ Según la dependencia de la función de demora de cada arco con el flujo de los demás arcos de la red, el problema puede dividirse en simétrico o asimétrico. ‐ Según la influencia del flujo de vehículos sobre el coste de viaje en los arcos, se distingue entre problema con congestión y sin congestión. En los problemas asimétricos se admite que el coste de viajar por un arco puede verse influenciado por el flujo de cualquier otro arco de la red sin tener que darse la influencia Capítulo 2: PROBLEMA DE ASIGNACIÓN DE TRÁFICO (TAP) 13 inversa. Es decir, el coste de atravesar un arco puede verse afectado por el flujo de otro arco pero su flujo no afecta de igual manera al coste de este otro arco. Los problemas simétricos por otra parte verifican la expresión: ab ba s s vv      (2.1) en los que a y b son dos arcos de la red de transporte, sa, sb sus costes y va, vb los volúmenes en dichos arcos. Entre cada par de arcos, el flujo de uno influye de igual manera en el coste del otro. En la bibliografía pueden consultarse artículos sobre formulaciones basadas en la asignación asimétrica (Nguyen y Dupuis, 1981; Fisk y Nguyen, 1982; Florian y Spiess, 1982; Smith, 1983) y simétrica (LeBlanc et al., 1975; Larsson y Patriksson, 1992; Jayakrishnan et al., 1994). El problema más extendido es un caso particular de la asignación simétrica, en el que el coste del arco depende únicamente de su propio flujo, esto es:    aaa s vsv aA   (2.2) Este caso, también llamado de costes separables, tiene la característica de que las funciones de demora dependen única y exclusivamente de su flujo. Debido a esto, el problema de programación convexa que resuelve la asignación de tráfico se simplifica de forma considerable haciendo posible el desarrollo de algoritmos numéricos eficientes. Esta tesis se centra en algoritmos que resuelven el problema de asignación estática. En este tipo de asignación, al suavizarse los problemas de congestión, no se forman colas en los arcos y por tanto la hipótesis de costes separables es razonable. Por el contrario en los problemas de asignación dinámica, al considerar la existencia de colas, es necesario considerar las influencias, de forma general, asimétricas entre arcos. Las redes de transporte pueden dividirse según su escala en: urbanas e interurbanas. Dependiendo del tipo de red analizada, las funciones de demora de los arcos se ven más influenciadas por unas variables que por otras. Entre estas variables destacan la longitud, densidad de vehículos en los arcos, control semafórico, influencia de otros modos de transporte, entre otros. En redes interurbanas las distancias entre pares O-D son generalmente importantes, la longitud de los arcos que componen este tipo de redes es grande por lo que el coste de atravesar cada 14 AJUSTE DE MATRICES O-D CON ASIGNACIÓN DE ALTA CONVERGENCIA arco se debe principalmente a su longitud, dando lugar a los problemas de asignación de tráfico sin congestión. En el caso de redes urbanas la distancia entre pares O-D se reduce, siendo redes densas con arcos de poca longitud. Es por esto que el coste de atravesar cada arco se encuentra principalmente influenciado por la interacción entre los vehículos que lo atraviesan, dando lugar a los problemas de asignación de tráfico con congestión. 2.2.3.3 Atendiendo al comportamiento de los usuarios Considerando el viaje, desde un origen a un destino, como una actividad intermedia necesaria para cumplir la actividad principal en destino, es razonable considerar que cada usuario tendrá un comportamiento egoísta tratando de minimizar su propio coste de viaje para poder desarrollar su actividad principal. Así, cada conductor actuará de forma independiente escogiendo la ruta que menor coste le suponga. Con este comportamiento, desde el punto de vista del colectivo de viajeros, se alcanzará un estado en el que ningún viajero puede mejorar su coste de viaje mediante el cambio de ruta. Éste es un estado en el que se cumple la condición de equilibrio de usuario (UE: user-equilibrium). Si el problema de asignación de tráfico supone que, además de tener información completa acerca de las diferentes rutas posibles, los usuarios perciben el mismo coste de viaje bajo las mismas condiciones, se está resolviendo el problema de equilibrio de usuario determinista. El principal inconveniente del equilibrio de usuario determinista es que se requiere una perfecta, o al menos uniforme, previsión (teóricamente con cero errores de percepción) del coste de viaje por parte de los usuarios. En la realidad, estas percepciones en los costes están sujetas a variaciones. Una generalización del equilibrio de usuario determinista es el problema de equilibrio de usuario estocástico. En el equilibrio de usuario estocástico se relaja la hipótesis de información perfecta por lo que no se tiene una percepción idéntica de los costes. En este caso se supone que todos los usuarios conocen la red con igual incertidumbre. Es decir, el coste percibido es considerado como una variable aleatoriamente distribuida entre los conductores. Así, en vez de tener una ruta con menor coste de viaje, existe un conjunto de rutas que pueden seleccionarse como de menor coste. Una característica a destacar en los algoritmos de asignación es el grado de realismo alcanzado por los modelos. Puede comprobarse que, a través de las asignaciones estocásticas (Sheffi, 1985), asignaciones bicriterio (Dial, 1996; Leurent, 1996) y de los modelos dinámicos, se encuentran soluciones con una representación más realista de la distribución de los vehículos por la red. Además tienen la ventaja, respecto del equilibrio de usuario determinista, que tanto la solución en términos de flujos en arcos como de flujos en rutas es única. Capítulo 2: PROBLEMA DE ASIGNACIÓN DE TRÁFICO (TAP) 15 El realismo alcanzado por los modelos no es la única propiedad que los hace útiles, existen otras consideraciones adicionales como son: “sensibilidades adecuadas a las decisiones políticas; capacidad para obtener datos de partida, así como datos de validación y calibración; estabilidad, repetitividad y consistencia; eficiencia computacional; puntos de vista, comprensibilidad y accesibilidad; confianza de los modeladores en los resultados y habilidad para convencer a otros que los resultados proporcionan una sólida base para tomar decisiones; etcétera” (Bar-Gera, 2010). No existe ningún modelo que cumpla todas estas propiedades ni existe ningún criterio consistente que justifique una elección concreta. En esta tesis se implementa la asignación de equilibrio de usuario determinista por ser la más estudiada y aplicada en la práctica, además de que cumple una gran cantidad de características como indica Bernstein (1990), entre ellas: eficiencia computacional; estabilidad, repetitividad y consistencia. Un comportamiento diferente al definido hasta ahora se basa en considerar una actuación altruista por parte de los usuarios en la que tratan de minimizar el coste de viaje del colectivo. Este tipo de problemas se denomina asignación óptima del sistema. Existen diferentes problemas en la bibliografía (ver Paradoja de Braess (Braess, 1968)) en los que se demuestra que minimizando el coste de viaje del colectivo se obtendrían mejores costes individuales. Corresponde con el punto de vista del planificador o gestor del sistema, que busca un bien general del mismo. En la práctica no pueden considerarse este tipo de comportamientos por parte de los usuarios aunque estas asignaciones suelen ser empleadas como criterio para diseñar la red de transporte. 2.2.3.4 Resumen de los problemas de asignación de tráfico En la siguiente tabla se muestran las diferentes clasificaciones del problema de asignación de tráfico descritas en los párrafos anteriores. Los problemas de asignación estarán perfectamente determinados cuando se pueda distinguir su tipología dentro de cada una de las cinco clasificaciones que se muestran en la tabla. Evolución de la demanda Comportamiento usuarios Influencia en las funciones de demora Minimización costes Percepción costes Flujo - Distancia Flujo Entre Arcos Estático Equilibrio usuario Determinista Con Congestión Simétrico Dinámico Sistema óptimo Estocástico Sin Congestión Asimétrico Tabla 2-1. Tipos de problemas de asignación de tráfico. 22 AJUSTE DE MATRICES O-D CON ASIGNACIÓN DE ALTA CONVERGENCIA usuarios no podrán reducir su coste de viaje al cambiar su ruta ya que no existen rutas alternativas con menores costes (Bell y Iida, 1997). Esta expresión es la que define el principio de Smith (Smith, 1979): “Los usuarios de una red sólo cambiarán de ruta si el costo total de operación sobre la red, calculados en base a los costos observados antes del cambio, disminuye”. Por tanto el principio de Smith permite una nueva formulación matemática del primer principio de Wardrop. Como el coste en una ruta está definido como la suma de los costes de cada uno de sus arcos (costes aditivos), las condiciones de Wardrop pueden ser descritas en términos de flujos en arcos.     ** 0 T sv v v   (2.16) donde el vector v* contiene la solución de flujos en arcos que cumple las condiciones de equilibrio de usuario determinista,   *T s v es el correspondiente vector de costes en arcos y v es una solución factible de flujos en arcos que cumple las restricciones de conservación y no negatividad del flujo. 2.4 ESTADO DEL ARTE DE LOS MÉTODOS DE ASIGNACIÓN DE TRÁFICO El principal tema abordado en esta tesis es el ajuste de matrices de viajes. En estos problemas se resuelven, en cada iteración, una gran cantidad de problemas de asignación. En la mayor parte de los algoritmos de ajuste de matrices resueltos en esta tesis, el problema de asignación ha supuesto el 80-90% del tiempo total de computación. Por lo tanto, es muy importante encontrar un algoritmo de asignación que aporte soluciones precisas además de bajo coste en tiempos de ejecución. Como se describe en los apartados anteriores, existe una multitud de problemas de asignación de tráfico diferentes dependiendo de las características descritas en la Tabla 2-1. Además pueden definirse varios tipos de formulaciones equivalentes para describir cada uno de estos problemas. Debido a ello el número de algoritmos encontrados en la bibliografía es muy extenso y variado. Como ejemplo puede consultarse Patriksson (1994) donde se describen y clasifican más de mil referencias. De forma general la asignación de viajes a la red puede considerarse como un problema de programación matemática de gran escala. En los inicios de estos algoritmos, tras la publicación Capít u de l a limit a Fran k Hoh e cons i Gera Tod o prob l Bec k coste Los a Bec k opti m facti b nega t vehí c inter a cara c 1992 una d 2.4. 1 Flori a cate g capa c algo r linea l 2.4.1 . Ésto s el su b de d e nuev a u lo 2: PROBL E a s condicion a das capaci d k & Wolfe ( F e nbalken, 1 i derablemen t (2002, 201 0 o s los algorit m l ema de asig n k mann para s en arcos s e a lgoritmos d k mann, son l o m ización co n b le en este t ividad del fl c ulos que s a a cciona con c terística pro ; García, 20 0 d escomposic i Clasifi c 1 formul a a n y Hearn ( g orías. Flori a c idades rest r r itmos de as l es se divide n .1 M étod o s son métod o b problema o e scenso fac t a solución q u E MA DE ASIG N es de equil i d ades de co m F rank y W o 977). Hoy t e permitien d 0 ), Dial (200 6 m os nombra n ación de tr á encontrar e l e parables y d d e asignació n o s más estu d n vexa difer e problema v fl ujo. En est a a len de orí el flujo q u porciona al p 0 1). Es posi b i ón particul a c ación de l a ción ( 1995) y Pa t a n y Hearn ( r ingidas en ignación de n en: o s de linealiz a o s de direcci ó btenido por t ible. Así, m u e minimiza N ACIÓN DE T brio de Wa r m putación s e o lfe, 1956) y en día, l d o el uso de 6 ) y Florian e dos en el pá r á fico. Dicho l equilibrio d emanda de v n estática, q u d iados en la e nciable con v iene deter m a s restriccio n genes difer e u e sale de o p roblema es t b le construi r a r de la estru c l os métod o r iksson (19 9 1 995) añade n los arcos q tráfico for m a ción parci a ó n factible. P la linealizac i m ediante un la función o T RÁFICO (TA P r drop y la t e hicieron i m y descomp o l as capacid algoritmos m e t al. (2009) . r rafo anteri o problema s e de usuario v iajes const a u e utilizan c bibliografía n restriccion e m inada por n es no se tie n e ntes. El f l o tro origen tructura de p r un amplio c tura del pr o o s de asig 9 4) coincide n n una categ o q ue no es o m ulados co m al P artiendo de ión de la fu n método de o bjetivo. P ) t ransformad a m portantes c i o sición sim p a des de c o m ás preciso s . r tienen en c e caracteriza en una red a nte. c omo funció n . Éstos se f o e s lineales ( las restricc n e en cuent a l ujo que sa l por medio p roducto ca r rango de al g o blema. nación d e n en dividir e o ría adicion a o bjeto de e s m o problem a una solució n n ción objeti v búsqueda u n a de Beckm a i ertos algori t licial (SD) o mputación y eficientes c omún que r e p or utilizar l congestion a n objetivo l a o rmulan co m ( expresión ( i ones de c o a la interacc i l e de un o de la funci ó t esiano (Lar s g oritmos ba s tráfico a t e ste tipo de a l relativa a l s tudio en e s a s convexos n factible in i v o, genera u n n idimension a m ann, debido t mos como l (Holloway, han aum e s como los d e e suelven el m l a transform a a da, consid e a transform a m o un proble m ( 2.10)). La r o nservación i ón entre fl uj o rigen única i ón objetivo r sson y Patri k s ados cada u t endiendo algoritmos e l os problem a s ta tesis. A s con restric c i cial y resol v n a nueva dir e al se alcan z 23 a las l os de 1974; e ntado e Ba r - m ismo a da de e rando a da de m a de r egión y no j os de m ente . Esta k sson, u no en a su e n tres a s con s í, los c iones v iendo e cción z a una 24 AJUSTE DE MATRICES O-D CON ASIGNACIÓN DE ALTA CONVERGENCIA La relación entre dos estimados sucesivos se puede formular como: 1kk k x xd     (2.17) siendo dk una dirección factible en xk y α ≥ 0. Las soluciones factibles se encuentran definidas en términos de flujos en arcos. Dentro de esta categoría se incluye el algoritmo de Frank & Wolfe (Frank y Wolfe, 1956). Éste busca el extremo de la región factible que hace que la función objetivo experimente un mayor descenso. La dirección de búsqueda factible se calcula como la diferencia entre el extremo de máximo descenso y la solución actual. Con dicha dirección se realiza una búsqueda unidimensional para obtener la combinación convexa óptima entre el extremo y la solución en flujos actual. En el caso de que la búsqueda lineal resulte computacionalmente costosa, Bell y Iida (1997) recomiendan reemplazar ésta por el método de las medias sucesivas: * 11 1vv v nn      (2.18) donde n es el número de iteraciones, v’ es la solución en flujos actual y v* es el extremo en la iteración n. Desde el punto de vista numérico, el cálculo del extremo equivale a obtener las rutas mínimas para cada par O-D, con los costes de la iteración actual, y asignarles toda la demanda (Sheffi, 1985). El flujo en los arcos se calcula a través de la ecuación (2.5), obteniendo el vector de flujos en arcos auxiliar o extremo. Obsérvese que en esta metodología no es necesario almacenar los caminos mínimos empleados en el cálculo del extremo. Así los requerimientos de memoria son modestos y no aumentan con el número de iteraciones. Para cada iteración sólo es necesario almacenar los vectores actuales de flujos y de costes en los arcos, junto con los datos de la red de transporte. 2.4.1.2 Métodos de generación de columnas Estos métodos son propuestos para acelerar el algoritmo de Frank & Wolfe. Se centran básicamente en mejorar la búsqueda lineal de los algoritmos de linealización parcial. En el ámbito de la optimización lineal se conocen con el nombre de métodos de optimización lineal de descomposición. Para ello almacenan todos los vectores extremos empleados para la generación de las direcciones de búsqueda. Los vectores extremos en este caso son conocidos Capítulo 2: PROBLEMA DE ASIGNACIÓN DE TRÁFICO (TAP) 25 como columnas. En cada iteración se genera y almacena una nueva columna que mejora la solución actual. La búsqueda lineal que se resuelve en el algoritmo de Frank & Wolfe se transforma en el siguiente problema de optimización convexa conocido como problema maestro restringido: * .. 1 1,..., 01,..., ii i i i i Min Z v v sa i n in            (2.19) La región factible está delimitada por los vectores extremos (columnas) calculados en las diferentes iteraciones. Cualquier solución puede ser escrita como una combinación convexa de estos vectores. Existe gran variedad de métodos numéricos que resuelven el problema maestro restringido como pueden ser el método de Newton o el de quasi-Newton. Uno de los métodos de generación de columnas para problemas de optimización no lineal más conocidos es el enfoque de descomposición simplicial (SD) (Holloway, 1974; Hohenbalken, 1977). En este enfoque el problema maestro restringido considera todas las columnas generadas. En la práctica el método alcanza relativamente rápido una solución casi óptima pero pierde eficiencia cerca de la solución óptima. A medida que aumenta el número de puntos extremos necesarios para expresar la solución óptima, aumenta el número de variables en el problema maestro restringido haciendo menos eficiente el algoritmo. Un segundo método conocido como descomposición simplicial restringida (RSD) fue introducido por Hearn et al. (1985). Estos autores introducen el parámetro r para limitar el número de columnas almacenadas en el problema maestro restringido. Cuando el número de columnas alcanza el valor r, se elimina la columna con menos peso en la combinación lineal convexa del problema maestro restringido y se añade una nueva columna. La eficiencia del algoritmo recae en gran medida en que el número de variables que maneja está restringido. En la práctica, un inconveniente de estos métodos es que para encontrar una solución cercana al óptimo se requieren valores elevados del parámetro r que mantengan una convergencia superlineal. Larsson y Patriksson (1992) desarrollan el algoritmo de descomposición simplicial desagregada (DSD) haciendo uso de la estructura de producto cartesiano que presenta el problema. Este método se basa en la optimización lineal por descomposición en bloques. Estos autores realizan 26 AJUSTE DE MATRICES O-D CON ASIGNACIÓN DE ALTA CONVERGENCIA una modificación del problema maestro restringido. Sustituyen el cálculo de una combinación convexa en el espacio total por varias combinaciones convexas, tantas como en productos cartesianos se haya dividido la red. Para cada grupo cartesiano se almacena un conjunto de extremos que forman una combinación convexa local. Todos los productos cartesianos constituyen en sí una combinación convexa global. El número de variables que maneja este método es mayor que los dos anteriores pero presenta mejores resultados computacionales. La formulación de este problema se esquematiza como: 12 () () () () () () 11 22 11 1 () 1 () ˆˆ ˆ , ,..., .. 1 1,..., 0 1,..., ; 1,..., n i m mm jj jj jj nn jj j m j i j j ii Min Z y y y sa i n j mi n                  (2.20) Por último, se hace referencia al método de descomposición simplicial no lineal (NSD) que se presenta como una extensión de los algoritmos RSD. En los algoritmos SD y RSD el cálculo de las columnas se realiza mediante el algoritmo de Frank & Wolfe. El principal inconveniente de estas formulaciones estriba en que las direcciones de búsquedas se deterioran rápidamente mermando la calidad de las columnas. Es por esto que Larsson et al. (1997) modifican el problema de generación de columnas para obtener una mejor aproximación de la función objetivo esperando obtener una mejor aproximación en el problema maestro restringido. 2.4.1.3 Métodos de descomposición (Equilibrio de caminos) Estos métodos aprovechan la estructura de producto cartesiano que presenta el problema de asignación para transformarlo en una secuencia de problemas de menor dimensión. De igual forma, el algoritmo DSD descompone el problema en otros de menor tamaño. La diferencia de los algoritmos de descomposición respecto del algoritmo DSD estriba en que los primeros son formulados en términos de flujos en caminos. Estos algoritmos pueden descomponerse por pares O-D o por orígenes. Cada par O-D, o cada origen, dependiendo de la división realizada, constituyen un problema de menor tamaño dentro del problema de asignación. Este enfoque general es equivalente a la descomposición de Gauss- Seidel que divide el problema en productos Xi de tal forma que representen el sistema global i iC X X  . La descomposición de Gauss-Seidel es un método iterativo, también llamado de descomposición cíclica, donde en un ciclo se resuelven uno a uno todos los productos Capít u mant e objet i orige La d e que s dond e per m prob l La c estri c linea l cami n estos son l Flori a 2.4. 2 A co n deter m de f o estru c simil a 2.4.2 . Es u n en ar u lo 2: PROBL E e niendo co n i vo durante u n o a los flu j e scomposici ó s e divide: e a ppk v      m anecen con s l ema. c onvergenci a c tamente co n l ización par c n os encontr a métodos su p l os desarrol l a n (2009), G Clasifi c 2 imple m n tinuación s m inista en d o rma sintéti c c turas inter n a res. .1 Grupo 1 n algoritmo d r cos. En cad a E MA DE ASIG N n stantes los d u n ciclo. Ca j os entre un p ó n de Gauss - p ak k K h    (e x st antes, y p a v a de este m n vexa. El c o c ial o de g e a dos y sus v p era conside l ados po r J a G entile (2012 c ación de l m entación n s e clasifican d iferentes gr u c a en el ap a n as, requeri m 1 .- Frank & d e linealizac i a iteración e s N ACIÓN DE T d emás. El p r d a producto p ar O-D. - Seidel resu e .. a A k K k M in sa h     x presión (2. 5 p ak k kK h     m étodo está o ste comput a e neración d e v ariables as o rablemente l a yakrishnan ). l os métod o n umérica los princip a u pos con el f a rtado 2.6. E m ientos de c o Wolfe (195 6) i ón parcial. L s necesario a T RÁFICO (TA P r oblema ter m Xi está aso c e lve el sigui e  0 0 p aa p vv a A kp K sx d hg        5 )) correspo n es el flujo d garantizad a a cional es e e columnas y o ciadas. Po r l a obtenida e et al. (199 4 o s de asig a les algorit m f in de come n E stos grupo o mputación, r 6) L as solucion a lmacenar ú n P ) m ina cuando c iado a los fl e nte proble m p d x kK n de al flujo d el producto a siempre q levado com p y a que es n r otro lado, e n los demás . 4 ), Ba r -Ger a nación d e m os de asign a n tarlos y co m s se caract e r equisitos d e es se almac e n icamente u n no hay mej o u jos en la r e m a para cada de los de m en estudio y q ue la fun c p arado con n ecesario al m l a converge n . Ejemplos d a (2002, 20 tráfico a t a ción de eq u m pararlos co m e rizan por t e e almacena m e nan en el es p n vector de f o ras en la f u e d que salen producto p m ás product o y las variab l c ión objeti v los algorit m m acenar tod o n cia alcanz a d e estos algo r 0 10), Dial ( 2 t endiendo u ilibrio de u m putacional e ner métod o m iento y res u p acio de los f lujos en ar c 27 u nción de un en los (2.21) o s que l es del o sea m os de o s los a da en r itmos 2 006), a su suario m ente o s con u ltados flujos c os. El 28 AJUSTE DE MATRICES O-D CON ASIGNACIÓN DE ALTA CONVERGENCIA cálculo de la dirección factible se basa en encontrar un extremo al que trasladar la solución actual para mejorar la función objetivo. Para la obtención de esta dirección es necesario buscar los caminos mínimos desde todos los orígenes hasta todos los destinos. Esta dirección de búsqueda se deteriora cuando se acerca a la solución óptima proporcionando valores de convergencia modestos. 2.4.2.2 Grupo 2.- SD (1974), RSD (1985), DSD (1992) Son métodos de generación de columnas. El algoritmo DSD presenta mejores resultados computacionales y será el que se compare con los demás grupos. Este algoritmo crea para cada origen una copia de la red de transporte donde se representan los flujos que salen hacia los diferentes destinos. Además, almacena para cada red todos los extremos (o columnas) encontrados con el método de Frank & Wolfe. Las necesidades de almacenamiento aumentan considerablemente en comparación con el anterior grupo. Son necesarios mantener guardados nO·nC vectores en el espacio de flujos en arcos, donde nO representa el número de orígenes y nC es el número de columnas para cada origen. En este caso, al dividir la red en diferentes productos cartesianos, el algoritmo alcanza mejores convergencias que el anterior, aunque sigue presentando el problema de deterioro de las direcciones de búsqueda. 2.4.2.3 Grupo 3.- Jayakrishnan et al. (1994), Florian et al. (2009) Son métodos de descomposición o de equilibrio de caminos. En este caso se almacenan todos los caminos activos entre cada par O-D. Las diferencias entre cada algoritmo se centran en el cálculo del flujo desplazado entre los caminos de cada par O-D para que sus costes se igualen (primer principio de Wardrop). 2.4.2.4 Grupo 4.- Bar-Gera (2002, 2010), Dial (2006), Gentile (2012) Son métodos de descomposición o de equilibrio de caminos. En este caso se generan tantas subredes o arbustos acíclicos “bushes” como orígenes contiene la red principal de transporte. Son subredes porque solo incluyen los arcos que pertenecen a los caminos mínimos entre un origen y todos los destinos. En estos métodos no es necesaria la enumeración de caminos por lo que mejoran el costo computacional respecto de los métodos del grupo 3. El equilibrio de usuario se alcanza estudiando para cada origen todos los nodos intermedios de la subred. Desde cada nodo se desplaza el flujo entre los segmentos que salen de dichos nodos y llegan hasta los diferentes destinos. Capít u 2.5 Para algo r efici e desa r cam b han s (201 0 desc r de e s emb a et al. 2.5. 1 Éste dise ñ acep t El al g u lo 2: PROBL E PRINC I el desarrol l r itmos que r e ncia y opo r r rollando la b io en el alg o s ido: Frank & 0 ). Estos al g r ibirá su me t s tos algorit m a rgo, como s (2009), la i m Frank & 1 es el algor i ñ o, b ajas ne c t ables. g oritmo pue d Paso 0. I n l o l o t o e l Paso 1. A a Paso 2. B a E MA DE ASIG N I PALES A l o de esta t e r esuelven el r tunidades q investigaci ó o ritmo de as & Wolfe, u n g oritmos s o t odología de s m os puede e e han lleva d m plementaci ó & Wolfe i tmo más i m c esidades d e d e resumirse n icializació n o s arcos se r o s destinos. o da la dema n l flujo de lo s A ctualizació n ctua l . B úsqueda de ctuales se r e N ACIÓN DE T A LGORI e sis se ha l l problema d q ue cada un o ó n en el aju s ignación. Fi n n a modifica c o n mencion a st acando su s e ncontrarse d o a cabo m o ó n de este a l m plementad o e almacena m en los sigui e n . Cálculo d e e aliza la bú s Una vez en n da, h0 = g. L s caminos q u n de costes d un nuevo e x e aliza una n u T RÁFICO (TA P I TMOS D l evado a c a d e asignació n o ofrece en ste de matr i nalmente lo s c ión de Flo r a dos en tod o s ventajas e en las pub l o dificacione s l goritmo se d o y utilizad o m iento y ob t e ntes pasos: e una soluci ó s queda de c a n contrado u n L a solución f u e pasan por 0 a v  d e los arcos n s  x tremo de m u eva b úsque d P ) D E ASIG N a bo la impl e n del trans p el problem a i ces, se ha h s algoritmos r ian et al. (2 o el docu m i nconvenien t l icaciones o r s importante s d etalla en el a o en la prác t t ención de s ó n factible. C a minos míni m n camino pa r f actible se o b él. 0 ak k kK h    a p artir de  n sv  m áximo desc e d a de camin o N ACIÓN e mentación d orte con el a de ajuste. h echo nece s implement a 0 09), Dial ( 2 m ento de tes t es. Una de s r iginales de s en la meto d a partado 2.7 . t ica por su s oluciones c C on los cost e m os desde c a r a cada par O b tiene suma n la solución d e nso. Con l o o s mínimos d d e los prin c fin de eval u Según se h s ario un av a a dos en MA T 2006) y Ba r s is por lo q s cripción de t sus autore s d ología de F . simplicidad c on converg e e s de flujo li b a da origen a O-D, se le a n do para ca d de f lujos en o s costes en desde cada o 29 c ipales u ar la h a ido a nce o T LAB r -Gera q ue se t allada s . Sin F lorian en el e ncias b re en todos a signa a arco arcos arcos o rigen 30 AJUSTE DE MATRICES O-D CON ASIGNACIÓN DE ALTA CONVERGENCIA a todos los destinos. Una vez encontrado un camino para cada par O-D, se le asigna toda la demanda, hn = g. El extremo se obtiene sumando para cada arco el flujo de los caminos que pasan por él. nn aakk kK eh     Paso 3. Cálculo de la dirección de búsqueda factible. Ésta será la diferencia entre el extremo de máximo descenso y la solución actual. nnn dev   Paso 4. Actualización del flujo en arcos. Se realiza una búsqueda unidimensional para obtener la combinación convexa óptima entre el extremo y la solución actual. La solución en arcos encontrada minimizará la función objetivo (función de Beckmann). 1nnnn vv d     Paso 5. Criterio de parada. Si se alcanza el nivel de convergencia buscado, el algoritmo finaliza. En otro caso, el algoritmo establece n = n+1 y continúa por el paso 1. En todo momento la única variable que se almacena es la solución actual, es decir, el vector de flujos en arcos actual. La solución tiene dimensiones 1A  . Los módulos implementados son: el cálculo de los caminos mínimos y la optimización unidimiensional. Se comprueba la baja necesidad de almacenamiento y la simplicidad en el diseño. Los inconvenientes encontrados en este método son principalmente el nivel de convergencia alcanzado y la falta de variables de salida que aporten información valiosa para el problema de estimación de matrices O-D. La dirección de búsqueda de Frank & Wolfe, al estar basada en un extremo de la región factible, pierde efectividad en cuanto la solución se acerca al óptimo. Esto hace que una vez alcanzado el nivel de convergencia máximo aun se den diferencias de flujo en arcos considerables entre dos iteraciones consecutivas. Capít u La p r de a l esti m flujo s relac i otros 2.5. 2 La m apart a alca n par O alca n El d i com p par O cami n El e q cami n están impl e Las v flujo s varia b Los m D, la Grac i resp e conv e direc c u lo 2: PROBL E r incipal cara l macenamie n m ación de m a s en arcos. E i ón de cami n métodos qu Floria n 2 m odificación a do 2.7. Est n za cuando n O -D present a n za el equili b i seño del al g p aran con lo s O -D se calc u n os hasta al c q uilibrado d e n os de la re d n desequilibr e menta un a l v ariables pri n s en camin o b les interna s m ódulos pri n gestión de c i as a la cap e cto del alg o e rgencia y l c iones de b ú E MA DE ASIG N cterística q u n to. Esta ca r a trices, ya q u E l problema d n os que con e e considere n n et al. (20 0 de Florian e e método al m n o se encuen t a n igual co s b rio de usuar i g oritmo es s existentes u lan los cost e c anzar el eq u e los camin o d ya que m o ando otros p l goritmo iter a n cipales son o s con dim e s adicionales n cipales del c aminos y el acidad de l o o ritmo de F l o hace en t ú squeda fina l N ACIÓN DE T e se destaca r acterística s u e la única i d e asignació n e cta los difer n estas varia b 0 9) (modi f e t al. (2009) m acena los c t ran camino s s te. Así, sin i o cumplien d s imple, se b y si son dif e e s de los ca m u ilibrio en co o s de un pa r o difica el flu j p a r es O-D. P a tivo que re c la matriz de e nsiones K que ayudan algoritmo s o equilibrado d o s procesad o F rank & W t iempos inc l l es son efici e T RÁFICO (TA P del algorit m s e traduce e n i nformación n de tráfico p r entes pares O b les. f icado) implement a caminos de s nuevos mí n necesidad d d o el primer b uscan los c fe rentes se a l m inos y si n o stes. r O-D tiene j o en los ar c P ara llegar a c orre los par e caminos qu e 1 . En l a a agilizarlo. o n: la búsqu e d e los cami n o res actuale s W olfe. Mejor l uso inferio r e ntes durant e P ) m o de Frank n un incon v que aporta p uede aport a O -D y su fl uj a da se descr i cada par O- n imos y los c d e evaluar l a principio de c aminos mí n l macenan. E n n o coinciden influencia s c os. Por tant a la situaci ó e s O-D con m e tiene dime n optimizaci ó e da de cami n n os. s , este algo r a de forma r es a los d e e todo el pro c & Wolfe es v eniente, pa r este método a r más infor m j o. Para ello i be de form a D . El equili b c aminos que a transform a Wardrop. n imos para c n el siguien t se traspasa s obre los co s o , al equilib r ó n de equili b m ás de un c a n siones A ó n del algo r n os mínimo s r itmo presen considerab l e Frank & W c eso. s la baja nec e r a el proble m o es la soluc i m ación com o se pasa a e s a exhaustiv a b rio de usu a pertenecen a a da de Beck m c ada par O - t e paso, par a flujo entre d stes de los d rar un par O b rio de usu a a mino activo K  y el ve c r itmo se e m s para cada p n ta varias v e le los nive l W olfe ya q u 31 e sidad m a de i ón de o es la s tudiar a en el a rio se a cada m ann, - D, se a cada d ichos d emás O -D se a rio se . c tor de m plean p ar O- e ntajas l es de u e sus 38 solu c Lind b de c o direc c com p (200 9 com p 2.6. 2 Hast a varia b de a s escal a es m e Hist ó estos Clasi en p r los d apro x supe r dem o El a l alma c com p algo r sean todo s c iones, PAR T b erg, 2012). o mputación y c iones bi-c o p arado direc t 9 ) hasta c o p utación en p Necesi d 2 a hace poco s b le que ha d s ignación de b a . Actualme n e nos restrict i ó ricamente e l requerimie n ficando los d r imer lugar s el grupo 2 y x imadament e r ior a Fran k o strado que a l goritmo D S c enamiento. p utación au n r itmo DSD a necesarios h s los camino s T AN (Floria n Estas modi f y convergen o njugadas, p r t amente con o nvergencias p aralelo (Cal d ad de al m s años, el e s eterminado s b e ser capaz n te el espac i i va gracias a l método de n tos de m e d emás algor s e sitúan los y 3. El orde n e tantos ve c k & Wolfe p e a porta mejor a S D y los m Estos niv e n que con gr a a lmacena pa r h asta alcanz a s activos ent r A J n et al., 198 7 f icaciones n o cia, en com p r opuesto po r los propue s de 10-4, m i per Corpor a m acenami e pacio de al m s i éstos podí a de resolver o de almace n los avances Frank & W o e moria alma i tmos por o r algoritmos d n de necesid c tores de fl u e ro en la a c a s a la obten c m étodos del e les actual m a ndes reper c r a cada orig e a r la conver g r e cada pare j J USTE DE M AT R 7 ) y método s o presentan m p aración co n r Mitradjiev a s tos por Ba r - m ejorando a tion, 2010; Z e nto m acenamien t a n ser imple m problemas d namiento si g en la tecnol o o lfe ha sido e a cenando ú n r den de men d el grupo 4 y d ad de alma c u jos en arc o c tualidad p u ción de la s o grupo 3 p u m ente pued e c usiones en en tantos e x r gencia. Los j a O-D. R ICES O-D CON A s de direccio m ejoras con s n los nuevo s a y Lindber g - Gera (2002 incluso sus Z hou y Mar t t o requerido m entados o n d e asignació n g ue siendo u n o gía de alm a e l algoritmo p n icamente u n or a mayor n y en segund o c enamiento d o s como or í u ede se r fác o lución. u eden llegar e n ser ab o los tiempo s x tremos (vec t métodos d e A SIGNACIÓN DE n es conjuga d s iderables e n métodos, s a g (2012). Es t ) , Dial (200 6 resultados t imo, 2010). por los alg o n o, ya que c u n de tráfico n a variable i a cenamiento. p or excelen c n vector de n ecesidad d e o lugar, en u d e los méto d í genes teng a i lmente im p a necesita r rdados por s de cálcul o t ores de fluj l grupo 3 n e E A LTA C ONVE R d as (Mitradj n cuanto al t i a lvo el mét o t e método h 6) y Floria n si se util i o ritmos ha s u alquier pro g con r edes d e i mportante a u c ia ya que c u e flujos en e almacena m u n mismo es d os del grup o a la red. E s p lementado y r niveles al t los equip o o y procesa d j o en arcos) e cesitan en u R GENCIA i eva y i empo o do de a sido n et al. i za la s ido la g rama e gran u nque u mplía arcos. m iento, calón, o 4 es s muy y está t os de o s de d o. El como u merar Capítulo 2: PROBLEMA DE ASIGNACIÓN DE TRÁFICO (TAP) 39 Algoritmos Necesidad almacenamiento Frank & Wolfe 1A  Dial (2006) A Origenes Bar-Gera (2010) A Origenes A Segmentos DSD Origenes A Extremos Florian et al. (2009) 1AK K   Tabla 2-2. Necesidad de almacenamiento (apartado 2.5). A continuación (Tabla 2-3) se muestra la necesidad de almacenamiento (Tabla 2-2) de cada uno de los algoritmos descritos cuando son aplicados sobre diferentes redes de transporte. Las redes empleadas se describen en el apartado 2.8.1. Algoritmos Tiergarten Chicago Sketch Madrid Frank & Wolfe 2,9 KB 11,5 KB 68,5 KB Dial (2006) 75,9 KB 4,4 MB 79,0 MB Bar-Gera (2010) 81,7 KB 4,5 MB 83,2 MB DSD 379,3 KB 21,8 MB 394,9 MB Basado en caminos 74,2 KB 63,7 MB 3,4 GB Tabla 2-3. Necesidad de almacenamiento. Para el cálculo de los elementos totales en el algoritmo DSD se ha supuesto que se almacenan 5 extremos para cada origen. En el cálculo de los elementos totales en el algoritmo basado en caminos se ha supuesto que un 20% de los pares O-D tienen dos caminos y el resto un único camino. Para los demás algoritmos se han obtenido los datos resolviendo los problemas de asignación. Los tipos de datos considerados para calcular los valores de la Tabla 2-3 han sido float y boolean. En la Tabla 2-3 se observa una diferencia apreciable entre los métodos que almacenan caminos respecto del resto. Para disminuir dicha necesidad de almacenamiento, en los métodos basados en caminos se emplean variables de tipo rala (sparse) ya que la matriz arcos – caminos tiene muchas casillas nulas. Aun así el tamaño de la información almacenada es muy alto comparado con los demás algoritmos. 40 2.6. 3 Otra conv e repet i centr a prov o difíc i de pr Las c de l a cons t direc c de u n deter i Para Fran k su baj 2.6. 4 Com o gran aplic a dura n asig n cálc u Los t proc e impl e princ de d a de lo s Actu a para Niveles 3 característi c e rgencias ( B i tivo, establ e a el estudio o o ca que las i l alcanzar l a r oblemas co n c onvergenci a a s direccion e t rucción no c iones de b ú n a forma m á i oro de la d i un nivel a l k & Wolfe e s aj a converge n Tiemp o 4 o se ha pun t medida la c a ción profes n te el ajust e n aciones. Pa r u lo no puede t iempos de e sado y cap a e mentan en u ipalmente a a tos a move r s orígenes o a lmente, los altos grado s de conve r c a exigida a B oyce et al. e y consiste n o se dismin u alternativas a convergen c n altos grado s a s que pued e e s de búsq u pueden g e ú squeda mej o á s acentuad a i rección de b l to de con v s desconoci d n cia es debi d o s de com p t ualizado pr e c alidad de lo ional se enc e de la ma t r a no hacer t e ser excesiv o computació n a cidad de R u na misma c la converge n r o almacen a pares O-D. algoritmos d s de conver g A J r gencia a los algori t , 2004). Es n te. A medi d u ye el númer o de viajes d e c ia. Los alg o s de saturaci ó e n alcanzar l u edas y la e e nera r se cic l o ran la con v a Frank & W b úsqueda pr o v ergencia el d o pero mu y d a a los ciclo p utación e via m ente, e s resultados uentran lim i r iz de viaj e e diosos o in c o . n de un alg o R AM de los c omputador a n cia exigid a a r, existenci a d el grupo 4 s g encias (Sla v J USTE DE M AT R t mos de as i importante d a que dis m o de carriles e cada usua r o ritmos deb e ón. l os algoritm o e xistencia o los. Adem á v ergencia en W olfe, tienen o porcionan d número d e y alto. Janso n s. e n la práctic a ya que los i tados. Dura n e s es neces a c luso impra c oritmo son ordenador e a , las difere n a , efectivida d a de ciclos, y s on los que n v in et al., 2 R ICES O-D CON A i gnación es que el alg o m inuye el int e , los efectos r io también s e n estar dise ñ o s de asigna no de cicl o á s, en esta todas las it e problemas d d o valores d e e iteracione s n y Zozaya- G a , los tiemp o tiempos de n te la calibr a a rio llevar a c ticables los debidos, en e s empleado s cias de tie m d de las dire c y a las paut a n ecesitan un m 006). Si la A SIGNACIÓN DE alcanzar g r o ritmo se c a e rvalo de ti e de saturació n s e multipliq u ñ ados para s c ión depend o s. En los g tipología d e raciones. L o d e eliminaci e convergen c s que neces i G orostiza (1 9 o s de comp u e jecución d e a ción o vali d a cabo una pasos anteri gran parte, s . Si todos p os entre al g c ciones de b a s seguidas p m enor t iem p exigencia d e E A LTA C ONVE R r andes nive l a racterice p o e mpo en el q n se agrava n u en haciend o s olventar es t d en principal g rupos 3 y d e algoritm o o s grupos 1 i ón de ciclo s c ia más mo d ita el méto d 987) sugier e u tación mar c e los proyec t d ación de la gran canti d i ores, el tie m a la poten c los algorit m g oritmos se b úsqueda, ca n p ara el equil i p o de compu t e converge n R GENCIA l es de o r ser q ue se n . Esto o más t e tipo m ente 4 por o s las y 2, y s y de d estos. d o de e n que c an en t os de red y d ad de m po de c ia de m os se deben n tidad i brado t ación cia es Capít u mod e men o Para grup o únic a 2, en ade m tiem p La d infor m de fo de lo s de la s al qu e En e s resul t subp r mue s En l a form a algo r grup o efect i 2.6. 5 Por ú de as inici o se re s se m o resul t dem o u lo 2: PROBL E e sta, los tie m o res a los de l altos grado s o s 3 y 4. En a mente en aj u cada mome n m ás, son inc a p os de viaje r d esventaja d e m ación que rma consid e s algoritmos s direccione s e presen t a D s te caso, se g t ados. El h r oblemas qu e s tra la conve r a sección 2. 7 a eficiente l o r itmo que pe r o , mejora l o i vas. Otras c 5 ú ltimo, una c s ignación es o sino que p a s uelve una g o difican lev e t ante sea m u o ra e inclus o E MA DE ASIG N m pos de co m l grupo 4 (M i s de conver g estos algorit m u star los fluj n to se ajust a a paces de e l r especto de l e los algor i almacenan. e rable la eje c dentro de u n s de búsque d D ial (2006) a u g ún Nie et al h echo de e m e componen r gencia en l o 7 se lleva a o s datos nec e r tenece al gr u o s tiempos c aracterís t c aracterístic a la opción d e a rte de una s o g ran cantida d e mente (es p o u y similar a l o la red (dir e N ACIÓN DE T m putación d i tradjieva y L g encia, los ú m os no se f o o s de los ca m a n todos los c l iminar los l os demás, s e i tmos del g r La no enu m c ución de lo s n mismo gr u d a. Por ejem p u nque teóric . (2012) el m m plear dire la asignaci ó o s métodos d cabo la des c e sarios para e u po 3 en el q de comput a icas impo r a que incluy e e Warm Star t o lución ante r d de asignaci o sible modi f l anterio r ). E e cciones, eli m T RÁFICO (TA P d e Frank & W L indberg, 2 0 ú nicos algor i o rman ciclos m inos que a ú c aminos tan t caminos qu e quedan co n r upo 3 res p m eración de l s algoritmos. u po, la princ i p lo, Gentile c amente gen e m étodo de G cciones m á ó n, aunque p d e Ba r -Gera ( c ripción de u e l ajuste de l q ue, compar á a ción por m r tantes e n algunos p t . Con esta o e rior. Dicha o i ones donde f ica r cualqui e E stos datos s m inación y c P ) W olfe (usan d 0 12). i tmos viable y además ti e ú n no están e t o si están c o e durante e l n flujo cero. p ecto del 4 o s caminos a Comparan d pal diferenc i (2012) pres e e ra direccio n G entile (201 2 á s efectivas odría altera r ( 2002) y Di a u n algoritm o as matrices O á ndolo con l m edio de di p rogramas c o o pción la asi o pción es vá l las entradas e r dato de e n s on: la mat r c reación de d o computa c s son los p e e nen la cap a n equilibrio. o mo si no e n l proceso, d está en la a ctivos, en e d o los tiemp o i a se encuen t e nta un algo r n es de búsqu e 2 ) irónicame n acelera la el suave co m l (2006). o de asignac O -D. En est e os ya existe n r ecciones d e o merciales p g nación no c l ida para pr o de una itera c n trada siemp r r iz de viajes , arcos,…). S c ión paralel a e rteneciente s a cidad de ce n En los gru p n equilibrio. d ebido a su s gran canti d e l grupo 4, a o s de compu t t ra en la efi c ritmo muy s e da más efe c n te obtiene p solución d m portamien t c ión que ap o e caso se dis e n tes dentro d e búsqueda s p ara los pro b c omienza d e o blemas en l o ción a la sig u r e que el pro b , las funcio n S egún Slavi n 41 a ) son a los n trarse os 1 y Éstos, s altos ad de a celera t ación iencia imila r c tivas. p eores d e los t o que o r t a de e ña un d e este s más b lemas e sde el o s que u iente b lema n es de n et al. 42 AJUSTE DE MATRICES O-D CON ASIGNACIÓN DE ALTA CONVERGENCIA (2006), la estructura del patrón de flujos en la red no cambia incluso si se modifica ligeramente la matriz de viajes. Utilizando la opción de Warm Start los tiempos de computación disminuyen en gran medida ya que parten de una solución próxima al óptimo. Esta opción es fácilmente implementada en la mayoría de los algoritmos analizados hasta el momento. Según Slavin et al. (2006), la opción de Warm Start para el algoritmo de Frank & Wolfe tiene el mismo coste computacional que si empezara desde el principio. La posibilidad de implementar la opción de Warm Start hace que los tiempos de computación de los algoritmos del grupo 3 se equiparen a los de grupo 4 a partir de la segunda iteración. Los algoritmos del grupo 4 son computacionalmente más rápidos que los del grupo 3, aunque a partir de la segunda iteración la principal desventaja de los algoritmos del grupo 3, que es el coste de almacenamiento, se reduce considerablemente. 2.7 IMPLEMENTACIÓN DE UN ALGORITMO DE ASIGNACIÓN DE TRÁFICO En este apartado se diseña un método que resuelve el problema de asignación. Dicho método se incluye dentro del grupo 3. Las ventajas que principalmente destacan en este tipo de algoritmos son las siguientes: ‐ Simplicidad de diseño. Básicamente se trata de encontrar los caminos mínimos para cada par O-D, almacenarlos y repartir el flujo de modo que se igualen sus costes. Si algún camino tiene flujo cero y coste mayor a los demás se elimina. Realizando estas acciones de forma reiterada se llega al equilibrio de usuario. ‐ Está basado en términos de flujos en caminos. La información que almacena es mucho más detallada que los basados en términos de flujos en arcos. A partir de la información en caminos siempre pueden calcularse datos agregados a nivel de arcos, siendo muy difícil el proceso contrario. ‐ La principal característica de los algoritmos del grupo 4 es que no enumeran los caminos. Pero, la no enumeración es un inconveniente en el ajuste de matrices ya que los datos son almacenados de forma agregada por orígenes o pares O-D. En este sentido los métodos del grupo 3 dan un nivel de detalle mayor. Trabajar con flujos en caminos proporciona una información más detallada en el análisis de la distribución de flujo por la red: es posible conocer los caminos (o pares O-D) que pasan por un cierto arco, Capítulo 2: PROBLEMA DE ASIGNACIÓN DE TRÁFICO (TAP) 43 cuántos y cuáles arcos comparten dos caminos (o pares O-D), relaciones entre caminos y entre pares O-D. ‐ Los algoritmos del grupo 3 tienen un tiempo de computación superior a los del grupo 4 para una asignación que no parte de una solución anterior. Pero, cuando se emplea la opción de Warm Start dichos tiempos se aproximan, siendo una opción válida para los ajustes de matrices donde se modifican ciertos elementos de la matriz de viajes en cada iteración. Es conocido que para una misma matriz de viajes no existe la unicidad de soluciones en caminos aunque cualquiera de las posibles soluciones, de forma agregada, representan una única y óptima solución en arcos. Si se modifica el orden de elección de los pares O-D para el establecimiento del equilibrio de usuarios, las soluciones en caminos encontradas serán diferentes aunque siempre se obtendrá la misma solución en arcos. La discrepancia entre las soluciones en caminos se debe a diferencias en el flujo de estos caminos pero no a su enumeración. Los caminos enumerados en las diferentes soluciones son siempre los mismos. A partir de la solución óptima en arcos pueden extraerse los caminos que conectan los pares O-D, éstos tendrán igual coste y será el mínimo que conecte dicho par O-D. Al tener una única solución en arcos, la enumeración de caminos también será única. Sin embargo, el flujo que pasa por los caminos puede tomar diferentes configuraciones, siempre guardando relación con los flujos de los caminos con los que comparten arcos. La no unicidad de soluciones en caminos para una misma distribución de flujos en arcos no representa un inconveniente en los cálculos que realiza el algoritmo implementado para la obtención de las direcciones de búsqueda. Bajo ciertas hipótesis, descritas por Tobin y Friesz (1988), se demuestra que es posible utilizar cualquier solución en términos de flujo en caminos, que se encuentre en equilibrio de usuarios, para el cálculo de derivadas. Estos autores demuestran que al realizar la transformación de esas derivadas a términos de flujo en arcos coinciden con las del problema original. El algoritmo puede resumirse en los siguientes pasos: Paso 0. Inicialización. Con los costes de flujo libre en los arcos se realiza la búsqueda de caminos mínimos desde cada origen a todos los destinos. Una vez encontrado un camino para cada par O-D, se le asigna toda la demanda, h0 = g; n = 1. 44 Para serie 2.7. 1 El al g capa c espe c de a y parti c traba j impl e resul t Las r Map I empl e Paso 1. A v Paso 2. A l a c c Paso 3. C c Paso 4. A Paso 5. A f l Paso 6. C f i llevar a cab de element o Almac e 1 g oritmo se d c idad de ma n c íficas para d y uda online p c ulares, a t r j ar con red e e menta un m t ados. r edes de tra n I nfo TAB f e ado, todas l A ctualizació n 1n aak kK vh      A dición de c a a búsqueda d ada par O- D oinciden se a C álculo de l a aminos. El c A ctualizació n h A ctualizació n l ujo cero po r C riterio de p a i naliza. En o o los pasos o s que se det a e namiento d iseña para s u n ejo de mat r d iferentes á r p or parte d e r avés de los e s que pue d m ódulo de p r n sporte pue d f ile, EMM E l as redes est á A J n de coste s 1n k h  ; 1n ss   a minos alter n d e caminos m D , se compa r a gregan a la dirección  álculo de es t n del flujo en 1nn kk h h    n de la Red. r presentar u n a rada. Si se t ro caso, el a d escritos, el a llan a conti n de la red u ejecución r ices con gr a r eas científic e los admini s foros. Mat l a ser útil e n r esentación d d en encontra r E , TransCA D á n compues t J USTE DE M AT R s en arco s  1n s v  . n ativos. Co n m ínimos de s r an los cami n solución act u n k h  que rep a t a dirección caminos. n k hk    Eliminació n n coste supe r alcanza el n i a lgoritmo es t algoritmo t i n uación. en Matlab. É a ndes dimen s c as que inco r s tradores, a t l ab aún no n el proble m d e grafos po r r se en difer e D , SATUR N t as por arco s R ICES O-D CON A s a p artir n los costes e s de cada ori g n os encontr a u al. a rte la dema n s e describe e , p Kp P   n de los ca m r ior al coste m i vel de conv e t ablece n = n i ene imple m É ste es un p r s iones y por r pora. Ade m t ravés de s u incorpora n m a de asig n r pantalla q u e ntes format o N , etc. Ind e s y nodos. C a A SIGNACIÓN DE de los fl u n arcos actu a g en a todos a dos con los n da de los p a e n los siguie n P m inos que h a m ínimo del p e rgencia bus +1 y contin ú m entado de f o r ograma mu y la gran can t m ás presenta u web, y por n inguna t ool b ación de tr á u e se utilizar á o s como so n e pendientem a da arco co n E A LTA C ONVE R u jos en c a alizados se r los destino s existentes y a res O-D en t n tes apartad o an pasado a p a r O-D. s cado, el alg o ú a por el pas o o rma modul a y extendido t idad de too l una gran ca n parte de us u b ox especia l á fico. Única á para most r n : ESRI sha p m ente del f o n sta de un n o R GENCIA minos r ealiza s . Para y si no t re sus o s. a tene r o ritmo o 2. a r una por la l boxes n tidad u arios l para m ente r ar los p efile, o rmato o do de Capítulo 2: PROBLEMA DE ASIGNACIÓN DE TRÁFICO (TAP) 45 inicio y final, y una serie de características que definen su comportamiento funcional. Se ha utilizado una estructura de datos muy común en las aplicaciones informáticas que implementan algoritmos relacionados con la teoría de grafos, la representación forward star. Cualquier red puede transformarse en el siguiente conjunto de vectores: a) Dos vectores columna A y B con dimensión igual al número de nodos de la red. Hay que apuntar que será necesario realizar una nueva enumeración de nodos que comience en 1 para el primer nodo y no permita huecos, obteniendo una numeración continua hasta el último nodo. También es necesario enumerar los arcos comenzando por el nodo 1 y recorriéndolos de forma correlativa, enumerando de forma continua los arcos salientes de cada nodo. Después de esto, se indica en el vector A, para cada nodo, la enumeración más baja de entre sus arcos salientes, y en el vector B la enumeración más alta. De esta forma con los vectores A y B puede identificarse los arcos salientes de un nodo cualquiera. Al coincidir la numeración de los nodos con el índice de los vectores A y B, el algoritmo es muy eficiente obteniendo los id de los arcos salientes. b) Si el algoritmo se sitúa en un arco cualquiera y necesita conocer hacia qué nodo se dirige, debe consultar el vector columna llamado lastnode. Este vector indica el nodo destino hacia el que apunta cada arco. Tiene como dimensión el número de arcos. Si la enumeración de los arcos se inicia a partir del valor 1 y es continua, los índices del vector lastnode coincidirán con el id de los arcos, en otro caso es necesario emplear un vector intermedio que direccione el algoritmo hacia los arcos. Esta forma de almacenar la red no permite que existan arcos de doble sentido. Este tipo de arcos se descompone en dos de un único sentido. Para completar la red se añaden tantos vectores columna como sean necesarios para almacenar las características de arcos y nodos. Los vectores más importantes para los arcos son aquellos que describen las funciones de demora: t=t(t0, α, β, capacidad). A continuación se representa una pequeña red de ejemplo mediante dos formas distintas: a través de un grafo (Figura 2-2) y mediante los vectores (Tabla 2-4) descritos en este apartado. 46 Figur a Tabla lastn o salen salie n corre 2.7. 2 Para coste colu m alma c matr i En l a encu e a 2-2. Red de e I D 2-4. Vectores o de indica e n de cada n o n tes de cada sponderán a Almac e 2 almacenar l a . Estos últi m m nas. Cada c ena en la m i z dispersa d e a s diferentes e ntra nuevo s 1 1 2 e jemplo para m D Arco l a 1 2 3 4 5 6 7 8 A, B y lastnod e e l nodo al q u o do. Éstos i nodo, todos IDs de arco s e namiento a solución e s m os son valo r camino es m atriz de inc e unos y cer o iteraciones d s caminos c o A J 4 2 3 m ostrar la estr a stnode 2 3 4 2 3 5 2 4 e . u e apunta ca n dican, res p los valores e s salientes d e y tratam i s necesario c r es asociado s identificad o idencia arc o o s, el eleme n d el problem a o n menor co J USTE DE M AT R 2 3 r uctura de dat o a da arco. Lo s p ectivament e e nteros com p e l nodo. i ento de l a c onocer todo s s a cada ca m o por los a o s – camino s n to ij tiene v a a el número o ste y elimi n I R ICES O-D CON A 3 5 7 o s empleada. s vectores A e , los índice p rendidos e n a solución s los camin o m ino activo y a rcos que c o s (Λ) con ta m a lor 1 si el a r de caminos a caminos c I D Nodo 1 2 3 4 5 A SIGNACIÓN DE 4 5 68 y B almac e s inicial y f tre estos do s s activos ad e y se almacen a o ntiene. Est a m año igual a r co i pertene c no es const a on flujo cer o A B 1 2 3 3 4 4 5 6 7 8 E A LTA C ONVE R e nan los arc o f inal de los s números ta m e más de su f a n en dos v e t a informac i a AxK . E c e al camin o ante. El alg o o y coste al t R GENCIA o s que arcos m bién f lujo y e ctores ón se E s una o j. o ritmo t o. De Capít u esta redi m canti d una m matr i par O vect o elimi La “ m esta m se e n apari c algú n de fi l 2.7. 3 Este actu a actu a b úsq u Las s 2.7. 4 La d i solu c los c a flujo El c á CAP Í usua r com p en u n los d u lo 2: PROBL E forma la m ensionamie n d ades de da t m atriz estáti c i z de incide n O -D, el lug a o r que indi q nación de lo m atriz lista” m atriz dirig e n cuentran s u c ión. No es n n camino se b l as vacías la p Gestió n 3 bloque de a lmente acti v a lmente acti v u eda de cam s alidas son, s Cálcul o 4 i rección dn r c ión en equi l a minos de c a de los men o á lculo de la d Í TULO 3 d r ios de la re d p rueba que e x n pa r O-D c u emás camin o E MA DE ASIG N matriz de n to. Estos p t os con las q c a de grande s n cia arcos – c a r donde se e q ue los esp a s caminos n o se compon e e el algoritm u s caminos. n ecesario or d b orran los v p osición do n n de cami n código bu s v os. Las ent r v os. Los pro inos mínim o i existen, lo s o de la dir e r eparte el fl u l ibrio de usu a da par O-D, o s costosos. d irección im p e estimació n d cuando au m x isten cierta u alquiera ha c o s de la red . N ACIÓN DE T caminos s r ocesos tien e u e se trabaj a s dimension e c aminos es n e e ncuentran s a cios libres o activos. E n e de tantas f o hacia las f Los camin o d enarlos por alores de la n de puede in s n os s ca, para c a r adas de est e c esos que ti e o s y un códi g s caminos al t e cción n d u jo entre los ario. La fun c para ello re d p lemen t ado e n de matric e m entan o di s s influencia s c e que se re c . Estas influ T RÁFICO (TA P s e ve som e en un gran c a . Para evita r e s que trabaj ecesario rec o s us caminos en la matri n estos espac f ilas como p a f ilas de la m o s se van i n r pares O-D g fila de la m a s ertarse un n a da par O- D e bloque son ene implem e g o de compa r t ernativos c o caminos d e c ión de esta d uce el flujo e n el algorit m e s. Dicho e s minuyen l o s entre los d i c onfigure, a d u encias se d e P ) e tida a un c oste comp u r este sobre c a como una o rrer la “ma t . Además, e z de incide n ios se insert a a res O-D ti e atriz de inci d n sertando e n g racias a la m a triz arcos – n uevo camin o D , caminos : la red, los e ntados son r ación de ca m o n menor o i g cada par O dirección e s de los cami n m o es result a studio anali o s viajes en u i ferentes par e d emás del fl u e ben a la sat u constante u tacional de b c oste compu t lista enlaza d t riz lista” qu e s necesaria n cia arcos – a n los nuevo e ne la red. P a d encia arco s n dicha ma t m atriz lista. C caminos y s o . mínimos a costes en ar c el método d m inos para e g ual coste q u -D con el fi n s la de equil i n os más cos t a do del estu d z a el comp o u n par O-D c e s O-D. La v u jo de sus c a u ración en l o ordenamie n b ido a las g r t acional se e m d a. Para reco e indica, par a la creación – caminos p s caminos. ara cada pa r s – caminos t riz por or d C uando se e l s e indica al v a lternativos r cos y los ca d e Dijkstra p e vitar r epeti c u e los activo s i n de alcanz a i bra r los co s t osos y aum e d io realizad o o rtamiento d concreto. E n v ariación de a minos, el fl u os arcos qu e 47 n to y r andes m plea r rer la a cada de un p or la r O-D, donde d en de l imina v ector a los m inos p ara la c iones. s . a r una st es de e nta el o en el d e los n él se viajes u jo de e hace 54 AJUSTE DE MATRICES O-D CON ASIGNACIÓN DE ALTA CONVERGENCIA medida que el algoritmo va iterando, estos efectos se atenúan hasta llegar a un estado de equilibrio de usuario en todos los pares O-D. Para una red compleja, es decir de gran escala y con congestión, los efectos indirectos hacen que sea necesaria una gran cantidad de iteraciones para alcanzar el equilibrio. En esta tesis se implementa un módulo de cálculo de la dirección de búsqueda que a través de una aproximación lineal de los costes de los caminos, tiene en cuenta las dependencias o influencias entre los caminos del mismo par. 2.7.4.3 Cálculo de la dirección de búsqueda propuesto El cálculo de la dirección de búsqueda implementado en el algoritmo es consecuencia del estudio de ajuste de matrices. En dicho estudio se describen con más detalle las influencias entre caminos (o pares O-D). A continuación se introducen ciertas variables que serán de ayuda para la descripción del módulo de cálculo. Realizando una linealización de los costes de los caminos se obtiene:   2 kk kk C CC h h O h       (2.33) Escrito de forma matricial:   Ch A B h   (2.34) donde A son los costes fijos y B representa la relación lineal entre el coste y el flujo de los caminos en la solución actual. Los métodos analizados anteriormente (apartado 2.7.4.1) aproximan la matriz B a una matriz diagonal para simplificar los cálculos. Así el incremento de flujo de un camino afecta únicamente al coste del mismo. A través de los resultados obtenidos en estos métodos, se comprueba que es una aproximación válida que genera soluciones convergentes aunque tiene margen de mejora. En caso de no realizar dicha simplificación a una matriz diagonal, el coste de un camino puede representarse como función del flujo de todos los caminos de la red. De esta forma el algoritmo tendría en cuenta las influencias mencionadas, obteniendo una convergencia más rápida en cada iteración. Aun así el algoritmo debe ser iterativo ya que las funciones de demora son monótonamente crecientes y la matriz B es calculada mediante una aproximación lineal de dichas funciones en la solución actual. Capítulo 2: PROBLEMA DE ASIGNACIÓN DE TRÁFICO (TAP) 55 ka kl ak al a la Cs Bhv         (2.35) En (2.35) se muestra la expresión de los elementos de la matriz B. Se observa que la variación del coste del camino k respecto al flujo del camino l está formada por la suma de la derivada de la función de demora de los arcos comunes a dichos caminos respecto a su flujo. La matriz B es cuadrada de tamaño igual al número de caminos. Generalmente no es posible calcular su inversa ya que, en los problemas de transporte, el número de caminos suele ser mayor al de arcos existiendo relaciones de dependencia entre caminos. Esta característica hace que sea complejo su tratamiento para la generación de expresiones que relacionen los costes de todos los caminos con sus flujos. El uso de esta matriz por parte de Tobin y Friesz (1988) en su trabajo de análisis de sensibilidad para redes con flujos en equilibrio ha generado muchas críticas (Bell y Iida, 1997; Patriksson, 2004; Lundgren y Peterson, 2008). En esta tesis se resuelve una expresión que evita el cálculo de la inversa de la matriz B a través de un algoritmo iterativo. A continuación, se desarrolla la formulación asociada al cálculo de la dirección dn que se implementa. Para cada par O-D p, se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones. 0 kp k hkK   (2.36) 1nn n kk kp p CC CU kK    (2.37) Con la expresión (2.36) se traspasa flujo entre los caminos del par p sin modificar el número de viajes recogido en la matriz de demanda. Las variables del problema serán los incrementos de flujo de los caminos del par p junto con el coste mínimo del par n p U, conservándose constantes el flujo de los caminos de los restantes pares O-D. Los parámetros 1n k C representan el valor del coste de los caminos del par p en la iteración anterior y a priori ni coinciden entre ellos ni son mínimos. Estos valores se consideran constantes en la iteración actual y para equilibrarlos se aplica un incremento de coste ΔCk. Al traspasar flujo entre los diferentes caminos del par Δhk se modificará el valor de ΔCk, así los costes de los caminos que conectan el par O-D p en la iteración actual n k C estarán equilibrados y coincidirán con el coste mínimo del par n p U. 56 AJUSTE DE MATRICES O-D CON ASIGNACIÓN DE ALTA CONVERGENCIA Los incrementos de costes ΔCk se pueden descomponer en dos términos, uno que depende del flujo del propio par y otro que depende de los flujos de los demás pares: ,,, kkiikjj p p ij CBhBh ikKjKjK         (2.38) En la expresión (2.38) se calcula ΔCk = Bk·Δh, donde Bk es la fila de la matriz B correspondiente al camino k. En el vector Δh se distingue entre los caminos que pertenecen al par O-D p, las variables del problema, y los caminos que pertenecen al resto de pares O-D, que se mantienen constantes. A través de la matriz B: i) el término Δhi tiene en cuenta el incremento de coste en el camino k debido al aumento de flujo del propio camino y el incremento debido a los demás caminos del par que comparten arcos con él, ii) y el término Δhj tiene en cuenta la influencia que realizan sobre el coste del camino k los demás pares O-D. Para el cálculo de la dirección de búsqueda Δh de cada par O-D, se empleará el método que se describe en el apartado 3.8.4.2.2, donde se construye y resuelve un sistema con las ecuaciones (2.36) y (2.37). El algoritmo de asignación finaliza cuando, después de realizar varias pasadas sobre todos los pares O-D con más de un camino activo, se compruebe que los costes han sido equilibrados. Para evitar la aparición de flujos negativos que llevan a soluciones no factibles, los valores negativos de Δhk no pueden superar el valor de 1n k h  . Como se indica en el esquema del algoritmo descrito en la introducción del apartado 2.7, en el paso 4 del algoritmo los flujos de los caminos se actualizan a través de la siguiente expresión. 1nn kk k p hh h kK    (2.39) Esta formulación presenta una serie de características que la diferencia de las demás y que le aportan una mayor eficiencia para equilibrar los costes y alcanzar las condiciones de equilibrio de usuario de Wardrop: ‐ En cada iteración se equilibran a la vez todos los caminos de un mismo par O-D. No todos los métodos tienen esta propiedad, existen métodos que equilibran caminos o segmentos dos a dos. ‐ Tiene en cuenta las influencias del flujo del resto de caminos que no pertenecen al par O-D. Los algoritmos que existen en la bibliografía técnica no tienen en cuenta estas influencias para calcular la dirección. Generalmente, estas influencias las consideran una vez realizan la búsqueda lineal y actualizan los costos en arcos y caminos. Esta forma de actuar tiene un mayor coste computacional. Capít u ‐ ‐ 2.7. 5 Al i m requi alca n Rose ‐ ‐ ‐ u lo 2: PROBL E Tiene en número d conjunto s camino a posibles c (element o La direc c que mini m Beckma n al incluir Criteri o 5 m plementar a ere un crit e n zado una ci e et al., 1988 ) Similitu d donde n p u Cambio e Máximo E MA DE ASIG N cuenta las i n d e caminos q s de arcos d a fecta de for m c omputarlas o s de la diag c ión dn = Δ h m ice el valo r n n. El métod en las expr e o s de con v a lgoritmos i t e rio de par a e rta converg e ) : d de los suce s p es el míni m e n los flujos cambio de f l N ACIÓN DE T n fluencias d q ue conectan d iferentes d o m a diferent e si únicame n onal de B). h n no necesit r de la funci ó o implemen t e siones el co s v ergencia t erativos par a a da. Existen e ncia. A co n s ivos costes d  m o coste de v en arcos a  l ujo en arcos m a a  T RÁFICO (TA P d el flujo entr e n un par O- D o s a dos. D e e sobre cad a n te se consid t a la imple m ó n objetivo, t ado incluye s te mínimo d a la solució n varias for m n tinuación s e d e viaje en l o 1 nn pp n pp uu u    v iaje del par O 1 ( n n a a a A n a aA x x x       s a x nn aa n Aa x x x       P ) e caminos d es tres o su p e b ido a est o a camino del eran los cos t m entación de en este caso las condici o d e los camin o n del proble m m as de dete c detallan las o s pares O- D 1 O -D p en la i 2 ) n a 1      e l mismo p a p erior, éstos o el aument o par. Estas i t es marginal e una búsque d el valor de l o nes de equi o s del par U m a de asign a c tar cuando más emple a D i teración n. a r O-D. Cua n pueden co m o del flujo i nfluencias n e s de cada c a d a lineal po s l a transform a i librio de W a n p. a ción de trá f un algorit m a das (Sheffi, 57 n do el m partir de un n o son a mino s terior a da de a rdrop f ico se m o ha 1985; (2.40) (2.41) (2.42) 58 AJUSTE DE MATRICES O-D CON ASIGNACIÓN DE ALTA CONVERGENCIA ‐ Cambio en la función objetivo 1 100% nn n zz z      (2.43) ‐ Relative gap p p kk pp pPkK pP kk pPkK hC gU hC        (2.44) donde p kk pPkK hC   es el coste total del sistema con la configuración actual de flujos en caminos y pp pP gU   es el coste total del sistema si la demanda de todos los pares O-D se distribuye por los caminos de menor coste. ‐ Excedente de coste promedio p kk p p pPkK pP p pP hC gU g        (2.45) En este caso se implementa como criterio de parada el relative gap (2.44). Este método de medida de convergencia tiene una gran sensibilidad y es apto para presentar la evolución de la solución cuando los algoritmos alcanzan altas convergencias como se indica en Slavin et al. (2006). Además, tiene sentido físico ya que compara la solución actual donde aún los caminos no están en equilibrio, con una solución donde toda la demanda se distribuye por el camino de menor coste. 2.8 RESULTADOS/APLICACIONES Una vez descrita toda la teoría relevante sobre el problema de asignación de tráfico, en cuanto a su formulación e implementación algorítmica, se muestran los resultados obtenidos con los métodos implementados. Para ello se emplean varias redes de transporte que se detallan a continuación. Capít u 2.8. 1 En e s difer e caso s tama ñ 2.8.1 . Es u n infor m Gera Figur a u lo 2: PROBL E REDE S 1 s te apartado e ntes investi g s reales am p ñ o; se ha e m .1 R ed de n a red de pe q m ación top o (2012); sus a 2-6. Modelo E MA DE ASIG N S DE APL se realiza u g aciones qu e p liamente e s m pleado una r Tiergarten q ueña escal a o lógica para característic a de red de Tie r 2 20 25 N ACIÓN DE T ICACIÓ N u na breve de e componen s tudiados. L a r ed de peque ñ a , pertenece a el diseño d e a s se encue n garten. 3 13 15 1 21 2 T RÁFICO (TA P N e scripción d e este docum e a principal ña escala, u n a una zona d e la red (Fig u n tran recogid 1 4 5 6 10 6 22 2 4 P ) e las redes d e nto de tesis diferencia e n a de escala m d el centro de u ra 2-6) se h as en la Tab l 8 9 14 17 1 8 19 23 e transporte . Todas las r n tre cada u n m edia y otr a Berlín llam a h a obtenido d l a 2-5. 7 11 12 8 26 empleadas r edes descrit a n a de ellas a de gran esc a a da Tiergart e d e la web d e 59 en las a s son es su a la. e n. La e Ba r - 60 AJUSTE DE MATRICES O-D CON ASIGNACIÓN DE ALTA CONVERGENCIA Arcos 747 Arcos aforados 120 Porcentaje Arcos aforados 16% Nodos 344 Centroides 26 Porcentaje Centroides 7,6% Pares O-D 650 Pares O-D con flujo no nulo 650 Demanda 26.658,54 Ratio Arcos aforados – Pares O-D 0,185 Tabla 2-5. Características red de Tiergarten. El porcentaje de arcos aforados respecto del total de arcos de la red es del 16%. Este valor en muchos proyectos puede ser un límite inalcanzable aunque para el problema de ajuste es un porcentaje muy insuficiente. El porcentaje de centroides respecto del total de nodos da una idea del tamaño de las zonas y de lo expandidas que están sobre la red. Cuanto mayor sea este valor, menor dimensión tienen las zonas que representan los centroides y más cercanas están dentro de la red. En este caso el ratio de centroides es bajo, además puede apreciarse en la Figura 2-6 que están bien distribuidos por toda la red. Un dato importante en el ajuste de matrices es el grado de indeterminación. En este problema cuanto menor sea el ratio arcos aforados – pares O-D mayor será la indeterminación. Por un lado los arcos aforados representan las restricciones del problema y por otro, los pares O-D las variables. Lo ideal es que este valor esté próximo a 1 aunque en la práctica, en redes de tamaño medio o superiores, no alcanzan el 0,1. 2.8.1.2 Red de Chicago Sketch Es una red de tamaño medio, es una simplificación de la red de la ciudad de Chicago en la que solo se recogen las calles principales (Figura 2-7). La información topológica para el diseño de la red también se ha obtenido de la web de Bar-Gera (2012), sus características se muestran en la Tabla 2-6. Capítulo 2: PROBLEMA DE ASIGNACIÓN DE TRÁFICO (TAP) 61 Figura 2-7. Modelo de red de Chicago Sketch. Arcos 2.950 Arcos aforados 500 Porcentaje Arcos aforados 17% Nodos 933 Centroides 387 Porcentaje Centroides 41,5% Pares O-D 149.382 Pares O-D con flujo no nulo 93.135 Demanda 1.137.493,44 Ratio Arcos aforados – Pares O-D 0,00335 Tabla 2-6. Características red de Chicago Sketch. El porcentaje de arcos aforados es semejante al empleado en la red de Tiergarten. El principal inconveniente de esta red es la cantidad de nodos centroides, representan el 41,5% del total. En la Figura 2-7 se observa que están uniformemente distribuidos por la red pero el tamaño de cada zona es muy pequeño. La conexión entre las zonas limítrofes es a través de un único arco. Para 62 AJUSTE DE MATRICES O-D CON ASIGNACIÓN DE ALTA CONVERGENCIA llevar a cabo un proceso de estimación de viajes en cualquier red es importante interceptar flujo de cada pareja O-D, en este caso no existe otra opción que aforar todos los arcos. A su vez, la indeterminación de este problema es muy elevada como muestra el ratio arcos aforados – pares O-D. 2.8.1.3 Red de Madrid Es una red de gran escala, incluye la mayor parte de carreteras de la Comunidad Autónoma de Madrid y del callejero de la ciudad de Madrid. Las características de esta red (Figura 2-8) se muestran en la Tabla 2-7. Figura 2-8. Modelo de red de Madrid (sin centroides). Capít u Tabla Anal i afor a indet e 2.8. 2 En e s esta t b asa d Gera A s u prog r trans p que s path b El al impl e con c excl u muc h gene r u lo 2: PROBL E 2-7. Caracter í i zando los r a a dos en esta r erminación e RESU L 2 s ta sección s t esis. En tot a d o en camin o (2010) (apa r u vez se ej e r ama está di s p orte y ésta s e ejecutará n b ased. goritmo de e mentado e n c ódigo Mat l u sivamente d h as materias r ados media n E MA DE ASIG N Arcos Arcos a Porcen t Nodos Centro i Porcen t Pares O Pares O Deman d Ratio A í sticas red de M a tios que se m r ed es insufi c e n el proble m L TADOS s e analizan n a l se han re a o s propuesto r tados 2.5.3 y e cutan vario s s eñado para siendo utili z n serán el de orígenes U E n Matlab ba s l ab y los i m d iseñado par a . Aun así, l n te el códig o N ACIÓN DE T a forados t aje Arcos a i des t aje Centro i O -D O -D con fluj o d a A rcos afora d M adrid. m uestran en c iente y el n ú m a de estim a n uméricame n a lizado tres i en el apart a y 2.5.4). s algoritmo s abordar tod o z ado po r nu m Frank & W E en Trans C s ado en Dial m plementado a este fin y M l a compara c o Matlab. T RÁFICO (TA P a forados i des o no nulo d os – Pares O la Tabla 2- 7 ú mero de ce a ción de mat r n te los algor i i mplementa c a do 2.7 y do s s incorpora d o s los mode l m erosas co n W olfe (aparta d C AD 5.0 co i l (2006). La s en Trans C M atlab es un c ión da una P ) 1 7 7 1 1 1.39 1 30 4 4 5 O -D 0,0 0 7 puede con c n troides es e r ices. i tmos imple m c iones en el s algoritmos d os en el p r l os necesari o n sultorías a n d o 2.5.1), O i ncide a gr a comparació n C AD es ses g programa d e idea de la 7 .544 491 3% 7 .966 1 .180 4,8% 1 .220 4 .678 1.564,24 0 0353 c luirse que e e levado, lo q u m entados pa r software M a basados en D r ograma Tr a o s en planifi c n ivel mundi a r ígenes UE n des rasgos n de los alg o g ada ya qu e e propósito g eficiencia d e l número de q ue lleva a u n r a el desarr o a tlab: el alg o D ial (2006) y a nsCAD 5.0 c ación de re d a l. Los algo r (apartado 2. con el alg o oritmos dis e e este últim o g eneral que a d e los algo r 63 arcos n a alta o llo de o ritmo y Ba r - . Este d es de r itmos 5.3) y o ritmo e ñados o está a barca r itmos 70 Los m de la exce s plani f En l o tiem p real q para a El u s inca p Por e vehí c vehí c matr i mo m insta n inici o de v i poco s de ta l una e 3.2. 3 Gen e de la acci o 3.2.3 . Si es t para e O-D cuan t la fu e fiabi l m odelos est á vía, deman d s o de vehíc u ficación estr o s problema s p o (p. ej. mi n q ue es difer e a naliza r asp e s o de model p aces de exp l e jemplo, du r c ulos que ne c ulos hace q i z de viajes m ento. Estos v n tes de tiem p o de la jorn a i ajes destin a s viajes y pr e l forma que e structura ap r Recogi d 3 e ralmente pu e matriz de v i o nes pueden c .1 M atriz d t á disponibl e el sistema d e estará evid e t o a su estru c e nte de proc e l idad o “con f á ticos se cen t d a de viajes y u los y, por t a atégica o tá c s planteados n utos, cuart o e nte para ca d e ctos operac i os dinámic o l icar cualqu i r ante un pe r cesitan utili z q ue se form e O-D mues t v alores pue d p o. Por eje m a da ésta es c l a dos. Pero a l e sentando u n recoja tant o r oximadame d a de info r e den realiza r i ajes. A con t c ombinarse p d e viajes ba s e , es muy re e transporte s e ntemente d c tura. Antes e dencia, anti g f ianza” resp e A J t ran en vari a y tiempo de a nto, de col a c tica. desde una p o s de hora, … d a periodo d e i onales. o s que sustit u i er evolució n r iodo de tie m z ar una vía s e n colas qu e t ra valores d d en llegar a s m plo, si se o b l aramente o r l finalizar d i n pico en el d el inicio c o nte simétric a r mación e r se diferente s inuación se e p ara obtener s e comendable s en un proy e esactualizad de utilizar u g üedad y es f e cto del rest o J USTE DE M AT R a s horas del d flujo lib r e e n a s. Esta hip ó p erspectiva d … ). En estos p e tiempo. E s u yan a los e n de los fluj o m po en hor a sea mayor q e serán des c d e viajes or i er incluso o p b serva una z r igen de viaj i cha jornad a d estino. Si e o mo el fin d e a . n la estim s acciones p a e xponen las una mayor c partir de u n e cto anterio r d a, pero pue u na matriz O f uerzo econ ó o de informa c R ICES O-D CON A d ía y utiliza n n arcos, enc o ó tesis se su p d inámica, se p roblemas s e s te tipo de p r e státicos se o s de tráfico a punta, pu e q ue lo que p u c argadas má i ginados y d p uestos para z ona que es es siendo re a los valore s l periodo de e la jornada, ación de m a ra reducir e más profus a c alidad de l o n a matriz O- D r al que actu a d e contener O -D desactua ó mico que s u c ión disponi b A SIGNACIÓN DE n valores m e o ntrando esc a one válida p consideran c e utiliza la m r oyectos es m debe a que en cortos p e e de ocurrir q u ede soport a s tarde. Ca d d estinados d una misma z completam e l ativamente se invierte n tiempo del p la matriz d e m atrices l coste y tie m a mente empl e s datos de e n D base o de a lmente se a c informació n l izada es ne c u puso para p o b le. E A LTA C ONVE R e dios de cap a a sos proble m p ara proble m c ortos perio d m atriz de de m m ás recome n estos últim o e riodos de ti q ue el núm e a r. Este exc e d a elemento d iferentes e n zona en dif e e nte residen c pequeños e l n originand o p royecto se d e viajes va a m po de esti m e adas. Toda s n trada. e partida, ge n comete. La m n muy vali o c esario com p o der así eval R GENCIA a cidad m as de m as de d os de m anda n dable o s son e mpo. e ro de e so de de la n todo e rentes c ial, al l valor o muy d efine a tener m ación s estas n erada m atriz o sa en p robar u ar su Capít u 3.2.3 . La r e una t cono c princ tiem p reco g 3.2.3 . Los m Parti e que l predi cuya de v i may o 3.2.3 . La o b la re a de v e los v opci ó auto m fide d nece s intro m calid a los u s 3.2. 4 En a p cono c trans p u lo 3: PROBL E .2 E ncues t e alización de t écnica muy c e r se la hor a ipal desven t p o y puede g ida de la in f .3 M odel o m odelos de e ndo de la m l a matriz re s chos. Estos obtención e s i ajes relativ a o r frecuenci a .4 R ecogi d b tención de i a lización de e e hículos y e l v iajeros. La p ó n es ampli a m ática. Los d igna posibl e s ario proces a m isión a la a d ya que se s uarios. Indete r 4 p artados an t c er la elecci ó p orte se ha i n E MA DE ESTI M t as de viajes encuestas s o empleada. L a y motivo d t aja de este constituir u n f ormación, e s o s de distrib u distribució n m atriz de via j s ultado sea c modelos re q s bastante c a a al año bas a para prono s d a y estimac i i nformación e ncuestas. L l escaneo de p rimera opc a mente utiliz métodos de e el volume n a r las matríc u privacidad. recoge, ade m r minación t eriores se h ó n de cada u n dicado la n M ACIÓN DE M o bre una mu e L a informac i d el viaje, ru t método es n a intromis i s necesario l u u ción n zonal sim u j es base, se r c onsistente c q uieren com o a ra. Además, e. Esta met o s ticar matric e i ón mediant e de forma ag r a s principal e matrículas. i ón obtiene ada, mucha s ajuste de m n medido en u las para di s Mediante e l m ás del con t del probl e h a comenta d u suario de f o n ecesidad de M ATRICES O R e stra estadís t i ón que se o t a seleccion a que el hec h i ón a la pri v u ego realiza r u lan el co m r ealizan las m c on los dato s o entrada d e , dependen e n o dología tie n e s futuras. e datos agre g r egada es u n e s formas de Estos méto d el número d s administra c m atrices O- D estas vías. L s tinguir la r u l escaneo d e t eo de vehíc u e ma d o la no vi a o rma indivi d dividir el si s R IGEN – DES T t icamente re p o btiene es d e a da, etc. par a h o de respo n v acidad, po r r una correc c m portamient o m ínimas mo d s de genera c e datos una m n gran medi d n e más éxit o g ados n a tarea rápi d recogida de d os no pres e d e vehículo s c iones reco g D intentará n L a segunda o ta de cada v e matrículas u los, inform a a bilidad del d ual. Ademá s s tema en zo n T INO p resentativa e mucha cali a cada fami l n der a una e r lo que ad e c ión y valid a o de los us u d ificaciones c ión y atrac c m atriz de d e d a de la fiab i o y por eso d a, simple y m datos agreg a e ntan ningun que atravi e g en esta info r n reproducir o pción es m e e hículo y p u se adquiere n a ción de las proyecto c u s , para abor d n as y estable de la pobla c i dad ya que l ia encuesta d e ncuesta co n e más del co s a ción de los d u arios por l posibles de c ión observ a e manda obs e ilidad de la m es emplea d m enos costo s a dos son el c n a influencia e san una ví a rmación de de la form a e nos emple a u ede constit u n datos de m rutas segui d u ando se pr e d ar el proble m e cer como o b 71 c ión es puede d a. La n sume s te de d atos. a red. fo r ma a dos o e rvada m atriz d a con s a que c onteo sobre a . Esta forma a más a da, es u ir una m ayor as por e tende m a de b jetivo 72 AJUSTE DE MATRICES O-D CON ASIGNACIÓN DE ALTA CONVERGENCIA principal conocer los movimientos de grupos de usuarios entre estas zonas. Con esta división se reduce la complejidad del sistema, aunque la estimación de la matriz de viajes sigue siendo un problema indeterminado como se detalla a continuación. La división de la red en zonas constituye una parte importante de la modelización, debe ser un proceso trabajado y exhaustivo para no llegar a una distorsión de la realidad. Cuando se crean las diferentes zonas, se están simplificando los arcos de la red y se está suponiendo que todos los individuos de la zona siguen el mismo patrón de desplazamiento. Es decir, todos los individuos salen desde el mismo punto (centroide) y acceden a la red por las mismas salidas (conectores). Para llegar a una solución que represente fielmente el desplazamiento de los viajeros es necesario que existan centroides distribuidos por toda la red y que el tamaño de la zona que representa no sea muy elevado para no simplificar en demasía el problema. Si las zonas de transporte en las que se divide el problema son muy grandes, pueden englobar arcos importantes que no serán considerados ya que a las zonas se accede a través de los conectores. Para llevar a cabo esta división zonal se suelen utilizar las áreas censales o divisiones de tamaño similar para la zonificación de los centros urbanos, y distritos o municipios para la zonificación en las áreas interurbanas. Las zonas se distribuyen por toda la red y cada individuo puede acceder desde su centroide origen hasta cualquier centroide destino diferente del de salida (no se tienen en cuenta los viajes internos). El número de combinaciones entre centroides, eliminando los viajes intra-zonales, es igual a N2-N. Es decir, el número de rutas es al menos N-1 veces el número de zonas. Este valor indica el número de elementos de la matriz de viajes que conforman las variables del problema y que, generalmente, resultan varios órdenes superiores al número de arcos de la red. Sabiendo que cada arco aforado aporta una restricción lineal al problema del ajuste, puede demostrarse que, aun aforando el conjunto íntegro de arcos, el sistema es indeterminado. La medición del volumen de vehículos en todos los arcos de la red es inviable, en la práctica se suele aforar aproximadamente un 10% del total. Además, el aforado de todos los arcos es innecesario, puede no aportar más información al problema debido a que existe dependencia lineal entre ellos. A través de las leyes de Kirchhoff o de conservación de flujo en los nodos, existen tantas relaciones entre arcos como nodos internos tenga el grafo. A esta indeterminación, hay que añadirle un problema que aporta mayor complejidad a la estimación de matrices. El comportamiento de los usuarios es individualista ya que su objetivo a Capítulo 3: PROBLEMA DE ESTIMACIÓN DE MATRICES ORIGEN – DESTINO 73 la hora de elegir ruta no es el de disminuir el tiempo total del sistema sino el suyo propio. Cada usuario selecciona las calles, carreteras o autovías principales evitando las que le consuman un mayor tiempo de viaje. Esto hace que los usuarios de un gran número de pares O-D utilicen las mismas vías, las principales. Con este comportamiento no todos los arcos de la red son empleados. Grandes cantidades de vehículos se acumulan sobre las vías principales y hacen complicada la discriminación de los porcentajes de viajeros de cada par O-D en los arcos. Para ilustrar lo anterior se estudia la indeterminación de la red de Tiergarten (Figura 3-1). Esta red se presenta en el apartado 2.8.1.1; ha sido seleccionada por tener una baja indeterminación respecto de la mayoría de casos que se dan en la práctica. La red se compone de 747 arcos y 344 nodos, de los cuales 26 son centroides. La matriz de viajes por tanto consta de 650 elementos (existen más arcos que pares O-D). Si se afora un 10% de los arcos se tendría 75 datos de volumen de tráfico para estimar el valor de 650 elementos de la matriz. Los arcos aforados se marcan en rojo (trazado grueso). Figura 3-1. Red de Tiergarten. 74 Con resp e matr i afor a inclu Kirc h flujo inde p Con esti m prob l cons i de 8 7 red e n zona s Otro s ‐ ‐ 3.2. 5 Dad a dura n los d i Com o en c a el fin de a c e cto del pro b i z de deman d a r todos est o so en ese c a h hoff de con s existen re l p endientes. este peque ñ m ación de m l ema, con e i dera b le la i n 7 0 pares O- D n un númer o s generan u n s datos inter e Total de 7 por 4 ca m sólo un c Existen a ajuste de b arco. La asig 5 a una matri z n te el interv a i stintos arco o resultado, a da arco vie n c entua r los p b lema origi n d a a la red, e o s arcos, se t a so el probl e s ervación d e l aciones de ñ o ejemplo m atrices. Au m e l fin de en n determinaci D para el m i o inferior de z n total 462 p a e santes de es 7 61 camino s m inos, 5 par e amino. a rcos con h a b e discrimi n nación co m z de viajes g a lo temporal s de la red d si A es el co n e dado po r : A J p roblemas q u n al aumenta n e l número d e t endrían 52 1 e ma sigue e s e flujo en los dependenc i puede com p m entar el n c ontrar una ón. Por eje m i smo númer o z onas el nú m a res O-D). ta red son lo s activos par a e s O-D por 3 a sta 139 par e n ar que porc e m o parte d g , cuyo ele m considerad o d e transport e n junto de ar c ai iP vp    J USTE DE M AT R u e genera l a a ndo los via j e arcos con f 1 datos de a s tando indet e nodos del g i a, siendo m p robarse la n ivel de det a solución d e m plo, al emp l o de arcos y m ero de incó g o s siguientes : a este nivel d 3 caminos, 8 e s O-D dife r e ntaje ocup a d el probl e m ento gi co n o , el procedi m e de acuerdo c os de la re d ,ai g R ICES O-D CON A a congestió n j es entre z o f lujo es 521 . a foro frente e rminado. A g rafo se ded u m enor el n ú fuerte inde t a lle de la r e mayor ca l l ear 30 zona s aforos. De g nitas se re d d e congestió 8 6 pares O- D r entes pasa n a cada par O e ma del aj u n tiene el nú m m iento de a s a un deter m d de transpo r aA A SIGNACIÓN DE n , se realiza nas. Cuand o . Si fuera p o a 650 pares d emás, apli c u ce que entre ú mero de a t erminación r ed, agrega n l idad puede s se trabaja c f orma contr a d uce de form a n . Existen 5 D por 2 cam i n do por ello s -D sobre el u ste m ero de via j s ignación re p m inado princ r te, el volum e E A LTA C ONVE R una modifi c o se asigna o sible la opc i O-D, con l c ando las le y e los 521 arc o a rcos lineal que existe n do más zo n elevar de c on una dim e a ria, dividie n a considera b pares O-D u i nos y el res t s . El algorit m volumen to t j es del par O p arte los vi aj c ipio de equi m en de vehíc u R GENCIA c ación dicha i ón de l o que y es de o s con m ente en la n as al forma e nsión n do la b le (22 u nidos t o con m o de t al del O -D i aj es en librio. u los va (3.1) Capítulo 3: PROBLEMA DE ESTIMACIÓN DE MATRICES ORIGEN – DESTINO 75 donde P representa el conjunto de pares O-D y pi,a representa la fracción de viajes del par O-D i que utilizan el arco a. El tratamiento de la matriz de viajes como pseudovector hace más simple y comprensible las expresiones. En apartados sucesivos se emplearán indistintamente las variables Tij y gi aunque se continúan nombrando como matriz de viajes. La ecuación (3.1) representa el proceso de asignación de viajes de una red de transporte. Para una matriz de viajes determinada y un comportamiento de usuarios predefinido, este procedimiento obtiene una única solución en arcos que está en equilibrio. La estimación de matrices de viajes representa el proceso contrario, dados unos valores de aforos medidos en los arcos de la red se estima la matriz que los representa. Esta técnica en cambio no tiene solución única debido a su indeterminación. A diferencia de la asignación, el ajuste de matrices O-D es un proceso complejo debido a que los valores de flujo observados en los aforos tienen la limitación de que son captados de forma agregada. Los métodos de ajustes más conocidos necesitan resolver múltiples problemas de asignación de tráfico en cada iteración para ir corrigiendo la diferencia entre los flujos modelados y los observados. Desagregar el flujo observado entre sus diferentes orígenes ─ destinos es una tarea ardua y por esto el peso computacional de la asignación dentro de un problema de ajuste es muy elevado. Conocida una cierta matriz O-D es necesario resolver un problema de asignación para conocer la distribución de sus flujos sobre los arcos de la red. Sabiendo que la solución en arcos es única, el problema de asignación permite analizar si la matriz O-D obtenida representa o se ajusta a la información disponible sobre la red. Una vez realizado el proceso de ajuste será necesario, por tanto, ejecutar un algoritmo de asignación que permita analizar la bondad del mismo. Los métodos de ajuste iterativos asignan la matriz O-D obtenida en cada iteración ya que, a través de las soluciones intermedias es posible decidir sobre qué elementos de la matriz actuar para mantener un control del proceso. Para simplificar el problema y centrarlo exclusivamente en el ajuste de matrices se realizan las siguientes hipótesis: i) el algoritmo de asignación se supone que representa fielmente el comportamiento de los usuarios, ii) la red se considera correctamente calibrada con funciones de demora que modelan de forma exacta la relación tiempos – volúmenes en las vías. La calibración de los parámetros de la red y el análisis del comportamiento de los usuarios son procesos importantes y complejos que no se abordan en esta tesis. A continuación se analizan las expresiones empleadas en el problema de asignación ya que dependiendo de los valores de pi,a se distinguen diferentes tipologías de ajuste. La ecuación (3.1) 76 AJUSTE DE MATRICES O-D CON ASIGNACIÓN DE ALTA CONVERGENCIA está formada por la unión de la ecuación de conservación del flujo (2.3) y la ecuación de transformación del flujo en caminos a flujo en arcos (2.5): i ki kK hg iP    i aakk iPkK vhaA     donde 1 Sielarcoaperteneceala ruta k 0 e.o.c. ak     De las expresiones anteriores se deduce que , ii i ak k ak k kK kK ia ki kK hh p aA hg        (3.2) Se observa que los valores de pi,a están comprendidos entre 0 y 1. pi,a tiene valor nulo cuando ningún camino del par i pasa por el arco a, tiene valor igual a 1 si todos los caminos del par i lo atraviesan y un valor intermedio (0 ≤ pi,a ≤ 0) si solo una fracción de los caminos pasa por dicho arco. Según la influencia del flujo de vehículos sobre el coste de viaje en los arcos, dentro del algoritmo de asignación se distingue entre problema con congestión y sin congestión. El problema sin congestión sólo encuentra una ruta competitiva para cada pareja O-D y ésta será siempre la mejor opción independientemente de su flujo. En este caso no existen valores intermedios entre 0 y 1 de pi,a. El problema con congestión, ya sea resuelto mediante equilibrio de usuario determinista o estocástico, puede contener valores intermedios de pi,a y además las rutas pueden variar para matrices O-D diferentes. Con respecto a la variable pi,a calculada en la asignación, los métodos de ajuste pueden clasificarse en dos, dependiendo de si se considera constante o no la proporción en el arco pi,a durante las diferentes iteraciones: métodos de ajuste con asignación proporcional y métodos de ajuste con asignación no proporcional. Los métodos de ajuste con asignación proporcional suponen que las proporciones de viaje en el arco se mantienen aproximadamente constantes durante todo el proceso. Para no violar esta Capítulo 3: PROBLEMA DE ESTIMACIÓN DE MATRICES ORIGEN – DESTINO 77 hipótesis, los caminos entre pares O-D deben mantener además la relación en flujos respecto de los demás caminos dentro de dicho par. Esta hipótesis es válida para redes sin congestión o poco congestionadas donde las proporciones de viajes pi,a son independientes del volumen en el arco. En el caso de asignación no proporcional se tienen en cuenta los efectos de la congestión y, por tanto, las proporciones de viaje pi,a dependen del nivel de tráfico en la red de transporte. Se considera que las técnicas de asignación no proporcional son más realistas para condiciones de congestión. Por otra parte, la asignación no proporcional requiere la estimación conjunta o iterativa de las proporciones pi,a y de las matrices de viajes para que ambas sean consistentes. La ventaja de los métodos de asignación proporcional es que puede separarse la parte de asignación (cálculo de p i,a) de la estimación de matrices, aunque esta hipótesis de independencia tiene limitaciones inherentes como se indica en Yang et al. (1992): “Debido a que la matriz O-D es estimada a partir de flujos observados en los arcos con proporciones de viajes constantes, y la matriz O-D es asignada a la red haciendo uso del concepto de equilibrio de usuario, hay una inconsistencia al utilizar unos valores de proporciones de viaje para obtener una matriz O-D a partir de los aforos, y otros para obtener la distribución de flujo asignando la matriz O-D a la red”. Por otra parte, según Yang et al. (1994), los errores derivados de las proporciones de rutas constantes y las observaciones de tráfico, pueden dar lugar a un sistema con ecuaciones de restricción de conteo inconsistente, por lo que debe llevarse a cabo algún tipo de preproceso para estimar flujos en arcos de forma consistente a partir de los aforos de tráfico para que los modelos de estimación sean factibles. 3.3 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA Las distintas formas de recogida de información para la estimación de matrices descritas en el apartado 3.2.3 presentan ciertas limitaciones: ‐ La matriz resultado de los procesos de encuestas, al recopilar información de una muestra de familias y expandirla sobre el conjunto de la población, no tiene en cuenta los viajes de todos los usuarios. Aunque, al considerar una muestra estadísticamente representativa, esta matriz contiene información muy importante en cuanto a la estructura de la matriz real. ‐ Los modelos de distribución zonal modelan el comportamiento de los usuarios pero no son capaces de explicar todos los viajes. ‐ Por sí solos los datos de volúmenes de aforos representan un sistema indeterminado por lo que no es una información válida para generar una matriz O-D. Aun así estos datos 78 AJUSTE DE MATRICES O-D CON ASIGNACIÓN DE ALTA CONVERGENCIA de volumen pueden combinarse con cualquiera de los métodos anteriores para aportar mayor fiabilidad a la matriz resultado. El objetivo que se persigue es diseñar un algoritmo de estimación de matrices de viaje tal que partiendo de una matriz de demanda desactualizada, ya sea resultado de un proyecto anterior, venga de un proceso de encuesta o sea la salida de un modelo de distribución, se ajuste para que cuando ésta sea asignada a la red, los flujos modelados se asemejen a los volúmenes medidos en los arcos. El periodo de tiempo definido será suficiente como para considerar el problema estático. Así, se buscará una única matriz que represente las mismas condiciones de demanda durante todo el periodo. En la práctica, actualizar una matriz de referencia utilizando datos de volúmenes medidos en los aforos es un proceso muy económico. Se parte de una matriz ya construida y se conocen multitud de datos de aforos en las vías principales ya que las administraciones recogen valores de flujo automáticamente en muchos puntos de la red. Durante los últimos 40 años esta metodología ha sido la opción más atractiva y ha recibido especial atención en la literatura técnica dedicada a la planificación del transporte. Si se denota por A el subconjunto de arcos aforados del conjunto A de arcos de la red para el periodo objeto de estudio, la obtención de la matriz O-D para dicho periodo se plantea inicialmente en términos del sistema de ecuaciones (3.1): ,aiaia iP v pgv aAA     (3.3) donde a v es el volumen de vehículos medido (observado) en cada arco del subconjunto A . El sistema de ecuaciones planteado en (3.3) generalmente es un problema incompatible. Los valores recogidos en los puntos de aforo presentan inconsistencias que llevan a un problema de ajuste sin solución. Estas inconsistencias se deben a errores en el proceso de medición como son: i) las mediciones en los puntos de aforo pueden realizarse en diferentes horas, incluso días, ii) el número de mediciones tomadas en cada aforo es diferente, teniendo más fiabilidad cuantas más horas de medición se encuentren disponibles, iii) existe tráfico recursivo imposible de discriminar, iv) el sistema de aforo puede arrojar valores erróneos, etc. Para salvar los problemas de incompatibilidad e indeterminación, los métodos de ajuste se formulan como problemas de optimización matemática. Así, se selecciona la mejor solución, entre un conjunto de soluciones, maximizando o minimizando un criterio determinado. Puede Capítulo 3: PROBLEMA DE ESTIMACIÓN DE MATRICES ORIGEN – DESTINO 79 concluirse que los distintos métodos para el problema de estimación de matrices de viajes a partir de volúmenes de tráfico desarrollados en la literatura, presentan la forma genérica siguiente:       11 2 2 ,,,, gv M inimizar Z g v F g g F v v   (3.4)   .. s avPgg (3.5) g   (3.6) siendo γ1 y γ2 factores de peso, donde γ1 ≥ 0, γ2 ≥ 0, γ1 + γ2 = 1. Las restricciones (3.5) representan el modelo de asignación. Cada fila de la matriz P(g) está formada por las fracciones de viajes correspondientes a cada par O-D para los diferentes arcos aforados. Ω es el conjunto de las matrices O-D factibles, normalmente definido por las restricciones de no negatividad de los elementos aunque es posible añadirle ciertas restricciones lineales como la limitación de las generaciones y atracciones de los centroides. Las funciones  1,Fgg y  2,Fvv representan medidas de distancia generalizadas entre la matriz O-D estimada g y la matriz de partida g , y entre el flujo en el arco estimado v y el observado v, respectivamente. En resumen, se minimiza la discrepancia respecto de dos parámetros g y v con el fin de realizar el ajuste de la matriz de viajes. Se supone que las funciones son convexas, por lo general definidas como cuadráticas, entrópicas o de máxima probabilidad y están diseñadas para tener en cuenta la aleatoriedad de la información recogida. Los factores de peso γ1 y γ2 en (3.4) reflejan la confianza (o incertidumbre) relativa en la información proporcionada por g y v. Si la matriz previa se considera más fiable y precisa en comparación con los conteos de tráfico, entonces 12   , se obtiene como resultado una matriz g muy cercana a g donde se acepta una desviación mayor entre v y v. En el caso contrario, 12   , la matriz previa no tendrá influencia y los volúmenes estimados serán muy similares a los observados. Existe un caso especial cuando la matriz previa es fiable y los conteos de tráfico se consideran libres de errores. Entonces la formulación anterior se reduce a:   1, g M inimizar F g g (3.7)   .. s avPgg (3.8) g   (3.9) 86 AJUSTE DE MATRICES O-D CON ASIGNACIÓN DE ALTA CONVERGENCIA Los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cómo deben modificarse las probabilidades subjetivas cuando se recibe información adicional de un experimento. Los modelos de inferencia bayesiana consideran la matriz O-D de referencia como una función de probabilidad a priori de la matriz O-D estimada y los datos de aforos son considerados otra fuente de información experimental. Por tanto, el teorema de Bayes proporciona un método para combinar ambas fuentes de información, rigiéndose por:       PTv PvT PT  (3.17) La matriz de viajes se puede encontrar maximizando el logaritmo de la expresión (3.17). Generalmente se establece la hipótesis de que los volúmenes de aforo siguen una distribución de probabilidad de Poisson o normal multivariante. Las expresiones para el logaritmo de   PvT son: i) segundo término de la expresión (3.15) si se supone que v sigue una distribución de probabilidad de Poisson y, ii) segundo término de la expresión (3.16) si se supone que v sigue una normal multivariante. Para la función de probabilidad P(T) podría suponerse una distribución multinomial (3.18), Poisson (primer término en (3.15))(3.19) o normal multivariante (primer término en (3.16)). En estos casos es útil la aproximación de Stirling para el logaritmo de P(T):  ln ln ij ij ij ij t PT t c t        (3.18)  ln ln 1 ij ij ij ij t P Tt c t            (3.19) El modelo más conocido es el de Maher (1983) que emplea una distribución normal multivariante para P(T) y vcon covarianzas conocidas 1 T   , 1 v   . Éste es aplicable únicamente para redes de transporte de muy pequeño tamaño. Los métodos bayesianos, por tanto, amplían los métodos de máxima entropía/mínima información, siendo iguales cuando los elementos de la matriz O-D de partida se encuentran distribuidos equitativamente. Además tienen la ventaja de que puede incluirse información recogida de otras fuentes de información. Otro dato a destacar es que además de la matriz de viajes, es posible obtener información sobre la variabilidad de dicha matriz, probabilidad, intervalos de confianza y otros estadísticos. Capít u La p r por l o En l a Ngu y 3.4. 5 Al i g gene r inici a Prop o estoc méto d la va r dond e cuad r En e s viaje s los o b Una p de f o afor o reflej Así, final. Ade m aleat o u lo 3: PROBL E r incipal des v o que única m a s últimas d o y en, 1988; H Model o 5 g ual que el r alizados es a lmente pro p o rciona una ásticas obte d os anterior e r ianza de lo s e T  y  r ados gener a M in s ta expresió n s estimada y b servados e n p ropiedad i m o rma simple o s. Si algún e ando una g r el modelo l e m ás de la i n o rias, las b u E MA DE ESTI M v entaja de es t m ente son ap l o s décadas h azelton, 200 o s de míni m modelo d e otro estima d p uesto para e estimación nido al co m e s, las varia b s errores vie n v  son las a lizados pue d  , 1 2 Tv imizar n se minimi z y la de refer e n los aforos, m portante d e combinar la e lemento de n r an fiabilida d e asignará u n n dependenci a u enas propi e M ACIÓN DE M t os métodos l icables a re d h an aparecid 1; Li, 2005; m os cuad r e máxima v d or dentro d e e l problema de la ma t r i m binar los v b les se supo n n e dada po r : V V matrices d e d e ser expres   1 T T TT   z a la suma d e ncia, y entr c orregidos p e l método d e s dos fuente n tro de las m d en la infor m n gran peso a de hipóte s e dades de l a M ATRICES O R es que empl e d es con bajo s d o numeroso s Sánchez-Ca m r ados gen e v erosimilitu d e la teoría c l de estimac i i z O-D a p v alores de d n en según l a  T v v V ar V ar          e varianzasc ado como:  1 1 2 TT d e los cuad r r e los flujos p or las matri c e los mínim o e s de inform a m atrices de v m ación obs e y dicha in f s is de distri b a s funciones R IGEN – DES T e an el enfoq u s niveles de s estudios s o m bronero, 2 0 e ralizados d , el model o l ásica de la i i ón de matri a rtir de un d emanda co n a s expresion e T v  c ovarianzas.    1 2 vvT r ados de las obtenidos e n c es de varia n o s cuadrado s a ción, matri z v arianzas-co v e rvada, su in f ormación s e b uciones d e formadas p T INO u e de asigna c c ongestión. o bre esta te m 0 08) o de los m í i nferencia es c es O-D po r sistema lin e n los de af o e s (3.13) y ( 3 El modelo   1 T v vv   diferencias e n el p r oble m n zas-covaria n generaliza d z de deman d v arianzas es t v ersa tendrá e rá reproduc i probabilid a p or sumas d ción propor c m ática (Cas c ínimos cua d s tadística. É s r Cascetta ( 1 e al de ecua c o ro. Como e 3 .14). Supo n o de los mí   v T entre la ma t m a de asigna c n zas. d os es que p e d a y volúme n t á próximo a á valores ele v i da en la so l a d para las d e cuadrado s 87 c ional, c etta y d rados s te fue 1 984). c iones e n los n e que (3.20) n imos (3.21) t riz de c ión y e rmite n es de a cero, v ados. l ución partes s y su 88 AJUSTE DE MATRICES O-D CON ASIGNACIÓN DE ALTA CONVERGENCIA relación con la distribución normal hacen que este método sea muy conveniente desde el punto de vista estadístico. Un problema que presenta este método es que bajo determinadas circunstancias produce celdas negativas en la matriz de viajes, especialmente cuando la matriz de referencia tiene valores próximos a cero. Por tanto, es necesario agregar restricciones de no negatividad para los elementos de la matriz de viajes. Puede observarse que para la formulación de este modelo no es necesaria la hipótesis de ninguna distribución de probabilidad para las componentes aleatorias de las variables. Sólo es requerida la existencia de las matrices de varianzas-covarianzas. En ausencia de matrices fiables generalmente se emplean matrices unitarias o matrices diagonales eliminando las covarianzas entre elementos. Esto se aconseja cuando el cálculo de las covarianzas es muy complejo y/o es preciso disminuir los requerimientos de memoria y tiempos de computación. En este caso la expresión (3.21) se simplificaría quedando:     22 , 11 22 a ij ij ij aa Tv ij a v T TT vvT Minimizar Var Var           (3.22) Este método ha sido profusamente empleado para el ajuste de matrices ya que es posible aplicarlo tanto para problemas con asignación proporcional como no proporcional (Yang et al., 1992). Aunque los algoritmos que emplean asignación no proporcional son heurísticos, éstos permiten abordar redes de grandes dimensiones con costos computacionales aceptables. Si se supone que los términos de error de los flujos de aforos y la matriz de viajes ( v  y T  ) siguen una distribución normal multivariante, puede demostrarse que el método de mínimos cuadrados generalizados coincide con los métodos de máxima verosimilitud y de inferencia bayesiana. Bell (1984) muestra como el método de mínima información de Van Zuylen y Willumsen (1980) se aproxima también al de mínimos cuadrados generalizados si los volúmenes de aforo son recogidos con alto grado de fiabilidad. La semejanza entre los tres métodos estadísticos según Cascetta (2009) es únicamente formal ya que la matriz O-D de referencia tiene diferentes interpretaciones. Para los métodos de mínimos cuadrados generalizados y máxima verosimilitud la matriz O-D de partida es un estimado directo de la matriz de viajes mientras que el método de inferencia bayesiana considera que los elementos de la matriz O-D de partida son variables aleatorias con una distribución inicial dada. Capítulo 3: PROBLEMA DE ESTIMACIÓN DE MATRICES ORIGEN – DESTINO 89 Una discusión más amplia de esta metodología puede consultarse en Cascetta (1984), Cascetta y Nguyen (1988), Bell (1991), Bierlaire y Toint (1995). 3.5 MÉTODOS DE PROGRAMACIÓN BINIVEL La literatura técnica referida a la estimación de matrices O-D es muy extensa, existe multitud de formulaciones que tratan de encontrar la matriz que con mayor exactitud reproduce los valores de aforo y con mayor fiabilidad tiene en cuenta el comportamiento de los usuarios en la red. Cada formulación además tiene asociada diferentes variantes según el tipo de asignación empleada. Para todas estas combinaciones formulación – tipo asignación, a su vez, han sido publicadas distintas metodologías de resolución. Este apartado se centra exclusivamente en la descripción de los modelos de programación binivel formulados para resolver el problema de estimación de matrices O-D. Ésta es la formulación más extendida gracias a las propiedades teóricas y computacionales que presenta. Desde el punto de vista teórico esta metodología emplea asignación no proporcional por lo que es apta para abordar redes de transporte con problemas de congestión y ofrece gran flexibilidad ya que puede ser implementada bajo cualquier método de asignación ya sea equilibrio de usuario determinista, estocástico, equilibrio de sistema, etc. A su vez, empleando esta metodología la solución generada (matriz O-D) es más consistente con los valores de aforo y con las hipótesis de comportamiento de los usuarios supuestas. Desde el punto de vista de la práctica, los algoritmos que implementan modelos de programación binivel para la estimación de matrices O-D presentan la ventaja de ser computacionalmente abordables. Éstos son aplicados a redes de gran escala, obteniéndose resultados razonables con una significante mejora en la bondad del ajuste. Las técnicas, o soluciones algorítmicas, utilizadas para la resolución de modelos binivel planteados hasta el momento por la comunidad científica, en el terreno de la ingeniería del transporte, son heurísticas y no tienen en cuenta la falta de diferenciabilidad del problema. Yang et al. (1992) de acuerdo con Bard (1988) define el problema binivel como sigue:    , .. , 0 x Minimizar F x y sa G x y  (3.23) donde y es obtenida resolviendo el problema (3.24): 90 AJUSTE DE MATRICES O-D CON ASIGNACIÓN DE ALTA CONVERGENCIA    , .. , 0 y Minimizar f x y sa g x y  (3.24) En el nivel superior, la matriz de viajes define las variables de decisión que se modifican para minimizar la función objetivo y están sujetas a las restricciones de no negatividad y las condiciones de asignación en equilibrio de la matriz O-D correspondiente. Estas condiciones de asignación en equilibrio son obtenidas resolviendo el nivel inferior donde las variables de decisión son el flujo en los arcos. Para definir un problema binivel es necesario especificar qué modelo, o formulación para la estimación de matrices O-D, se implementa en el nivel superior y que método se emplea para asignar la matriz de viajes a la red en el nivel inferior. La experiencia sugiere que el problema de programación binivel, en el que se resuelve el modelo de los mínimos cuadrados generalizados en el nivel superior y la asignación en equilibrio de usuario determinista en el inferior, converge en la práctica. La resolución de estos modelos se aborda a través de algoritmos iterativos. Cada iteración de este problema consta de dos fases; en la primera fase se resuelve el problema de nivel inferior (problema de asignación en equilibrio) y en la segunda se aborda el problema de nivel superior (problema de optimización) considerando que las variables calculadas en el nivel inferior permanecen constantes. La información aportada por la matriz O-D de referencia es tomada como una solución inicial en el problema de estimación de matrices y es ajustada o modificada con el fin de reproducir los aforos de tráfico. Las variables de decisión del nivel inferior son funciones implícitas de los viajes entre cada pareja O-D y son obtenidas en el procedimiento de asignación de tráfico.     vg Pgg (3.25) Esto significa que el problema de estimación de matrices (nivel superior) puede ser formulado únicamente en términos de variables de elementos de la matriz O-D (gi) utilizando funciones de distancia, véase (3.4). Una característica particularmente importante dentro de la programación binivel es que desde el nivel superior no se puede intervenir en las decisiones del nivel inferior. Las aportaciones más importantes en la programación binivel aplicada a la estimación de matrices O-D se desarrolla durante la década de los 90. Capítulo 3: PROBLEMA DE ESTIMACIÓN DE MATRICES ORIGEN – DESTINO 91 Fisk (1988, 1989) combina el modelo de máxima entropía con restricciones del tipo de equilibrio de usuario, requiriendo que sólo un subconjunto de arcos sea aforado. Para ello formula el problema con desigualdades variacionales. Spiess (1990) sugiere un método heurístico que, aunque tiene débil base teórica, proporciona buenos resultados prácticos. Según la expresión (3.4) supone γ1=0. Spiess propone un método de estimación de mínimos cuadrados y aproxima el gradiente de dicha función objetivo, respecto de la matriz O-D, bajo la hipótesis de que la matriz de proporciones o probabilidades P(g) es localmente constante. Cabe destacar la importancia práctica de esta aportación como punto de partida para formulaciones más elaboradas en los modelos de asignación no proporcional, ya que permite su aplicación a redes de transporte de gran tamaño. Los resultados presentados corresponden a un ejemplo de prueba con la base de datos de la ciudad Winnipeg (154 zonas y 2983 arcos) incluida en el paquete EMME/2 y a estudios en Basilea (330 zonas y 220 arcos), Berna (226 zonas y 2676 arcos), Suecia (522 zonas y 3879 arcos) y Finlandia (469 zonas y 12476 arcos). Yang et al. (1992) muestran que es posible integrar las funciones de mínimos cuadrados generalizados o máxima entropía con un problema de asignación en equilibrio de usuario siguiendo un problema de optimización binivel. Yang (1995) encuentra una alternativa interesante al emplear la matriz de sensibilidades A(g) en el nivel superior en vez de la matriz de proporciones P(g), y calcula el gradiente de la función objetivo respecto de la matriz O-D utilizando un método de análisis de sensibilidad (Tobin y Friesz, 1988); con él obtiene las derivadas parciales de los flujos en arcos, en equilibrio de usuario, respecto de los viajes en los pares O-D, (Ver además Yang y Yagar (1995)). Drissi-Kaïtouni y Lundgren (1992) investigan diferentes gradientes. Uno de sus métodos, como Spiess (1990), considera que la función objetivo está compuesta únicamente por la función de distancia F2 (γ1=0 según (3.4)). Para mejorar el gradiente encontrado por Spiess utilizan información de segundo orden obtenida del Hessiano de la función objetivo. Los autores ponen especial énfasis en la calidad de la dirección de búsqueda y no en la eficiencia computacional del algoritmo. Según muestra Patriksson (2004) este método proporciona una aproximación del valor de la derivada direccional que es correcto cuando el flujo en arcos es diferenciable. Florian and Chen (1993) reformulan el problema binivel dentro de un único nivel utilizando el concepto de función marginal. Estos autores proponen un método heurístico del tipo Gauss- Seidel. 92 AJUSTE DE MATRICES O-D CON ASIGNACIÓN DE ALTA CONVERGENCIA Chen (1994) y Doblas y Benítez (2005) de forma independiente han propuesto resolver el problema mediante la técnica de la lagrangiana aumentada. Chen (1994), busca justificaciones teóricas que expliquen los resultados de Spiess y propone algoritmos alternativos para la resolución del problema. Estos algoritmos requieren a priori del conocimiento de todos los caminos empleados por los diferentes pares O-D, y por tanto, son aplicables a redes de pequeña escala. Doblas y Benítez (2005) tratan de disminuir la distorsión de la matriz de viajes incluyendo restricciones de sus elementos dentro de la función objetivo. Este método es eficiente y permite abordar redes de grandes dimensiones ya que minimiza la cantidad de información almacenada. Denault (1994) propone una formulación basada en el método del gradiente, obtenida a partir del análisis de sensibilidad de Tobin y Friesz (1988), y la compara con el método presentado por Chen (1994). Además compara el gradiente propuesto, con el calculado por Drissi-Kaïtouni y Lundgren (1992), concluyendo que este último tiene un uso más sencillo y proporciona resultados más confiables. Estos métodos son aplicados a redes de pequeña y mediana escala. Sherali et al. (1994) tratan la programación binivel incluyendo la idea de la estimación del flujo de los caminos entre los diferentes pares O-D. Para este enfoque se requiere el aforado de todos los arcos de la red. Posteriormente Sherali et al. (2003) relajan este requisito y proponen un modelo basado en un conjunto incompleto de conteos de tráfico. En ambos trabajos, las metodologías propuestas se aplican a redes sencillas. Maher y Zhang (1999) proponen un procedimiento iterativo donde, en cada iteración, se calcula una nueva matriz O-D a través de los siguientes pasos: i) en un primer paso, suponiendo localmente constante la matriz de proporciones P(g), se llega a una nueva matriz O-D de prueba. Esta matriz es empleada para definir una dirección de búsqueda. Asignando dicha matriz a la red, los autores obtienen una aproximación lineal de cómo la matriz de proporciones P(g) será afectada a lo largo de la dirección de búsqueda; ii) en un segundo paso, se finaliza la iteración con un procedimiento de búsqueda lineal. Cascetta y Postorino (2001), Maher et al. (2001) y Yang et al. (2001) difieren de los anteriores métodos en que emplean equilibrio de usuario estocástico en el nivel inferior. Codina y Barceló (2004) emplean un método de subgradiente para los problemas de optimización no diferenciables donde no es necesario ningún dato proveniente de cualquier análisis de sensibilidad. Capítulo 3: PROBLEMA DE ESTIMACIÓN DE MATRICES ORIGEN – DESTINO 93 Lo y Chan (2003) emplean en el nivel superior una estimación estadística de los elementos de la matriz O-D junto con los parámetros de dispersión θ. El nivel inferior emplea un modelo de asignación logit. Lundgren y Peterson (2008) parten de la idea inicial presentada por Drissi-Kaïtouni y Lundgren (1992). Estos autores muestran que bajo ciertas hipótesis es posible generar el gradiente real; así si en el punto actual la función objetivo es diferenciable, entonces el Jacobiano es exacto y este enfoque permite definir un gradiente. Sin embargo, la función objetivo no es diferenciable en todos los puntos por lo que no puede asegurarse que las derivadas direccionales constituyan un gradiente. En este caso, este enfoque proporciona una aproximación del gradiente. Para más información relativa a la mayoría de los métodos expuestos, se recomienda consultar la recopilación de metodologías desarrollada por Abrahamsson (1998). 3.6 METODOLOGÍA DE RESOLUCIÓN PROPUESTA La formulación general para el problema del ajuste de matrices ya se introdujo en el apartado 3.3 de este capítulo y es la siguiente:         11 2 2 ,,, .. ,, 0 gv M inimizar Z g F g g F v g v sa v h gh gvh      (3.26) donde Λ y Γ son las matrices de incidencia arcos-caminos y pares O-D-caminos, respectivamente, definidas en la sección 2.3. La componente i del gradiente de Z(g) se expresa como:           2 1 12 a i ii ai Fvg Z gFg vg Zg gg vg           (3.27) Se observa que, conociendo v g  , es posible emplear cualquier tipo de función objetivo compuesta por F1 y F2, siempre que cumpla la condición de que sea derivable respecto de g o v(g), respectivamente. 94 La m trans p de la Las v matr i travé s obte n Aun q coste mon ó supe r obse r pasa n está m arco s tesis satur a 3.6. 1 La m cálc u unidi funci Sien d funci sien d funci m atriz Jacob i p orte y del v expresión d e v ariables qu e i z O-D, gi, y s de las fu n n drá solucio n q ue puede u t en arcos. ó tonamente c r ado el nive r varse bajos n efectivam e m uy saturad o s observado p se emplea a ción de ca d Expres i 1 m etodología d u lo del pas o i mensional o ón objetivo, d o Z(g) la f u ón es: d o λ el paso, ón objetivo. i ana v g  , e v alor de la m e la función e generalme n el flujo en l n ciones de d n es similares t iliza r se ind e Esto se de b c reciente res p l de saturac valores de v e nte muy po c o y los vehí c p uede interp r como varia b d a arco afora d i ón analít i d esarrollada p o óptimo p u o empleando se calculará u nción objet i el cual se q u A J e n adelante m atriz de via j o bjetivo. n te se emple l os arcos af o d emora por ya que exis t e pendientem e b e a que, e p ecto de su i ón, pierde e v olumen en c os vehículo s c ulos se mu e r etarse de fo b le el flujo d o. i ca para e l p ara resolve r u ede llevars e una expresi ó el paso ópti m i vo emplead a n g  u iere determ J USTE DE M AT R Jacobiano, e aj es en la sit u e an en los p r o rados,  a v g los costes e t e una relaci ó e nte una ex p e n la prácti c demanda de el carácter c arcos; esto s por dicho a e ven muy de s o rma errónea en arcos y l cálculo d r el problem a e a cabo r e ó n analítica. m o mediant e a en el ajus t 1n g       m inar de for m R ICES O-D CON A e s una mag n u ación actu a oblemas de  g . Esta últi m e n arcos, a s ó n b iunívoc a p resión u otr a c a, el coste viajes. El v o c reciente. E n ocurre prin c a rco porque s pacio. En e l mientras q u se compru e d el paso a de ajuste s e e solviendo u En este cas o e una expres i t e, la matriz n Z g   m a que garan t A SIGNACIÓN DE n itud intrín s l. No depen d a juste son l o m a variable p  a v , y el p a . a , es recom e en un arc o o lumen en a r n los punto s c ipalmente p hay poca d e l segundo c a u e el coste e n e ba, a trav é e rá el métod o u n problem a o , al conoce r i ón analítica . de viajes q u t ice el máxi m E A LTA C ONVE R s eca de la r d e en ningú n o s elemento s p uede sustit u proceso de e ndable emp l o es una f u a rco, una ve z s de aforo p p or dos razo n e manda, ii) e a so, el volu m n arcos no. E é s de su co s o del gradie n a de optimi z r la derivad a . u e minimiza m o descens o R GENCIA r ed de n caso s de la u irse a ajuste l ear el u nción z se ha ueden n es: i) e l arco m en en E n esta s te, la n te. El z ación a de la dicha (3.28) o de la Capítulo 3: PROBLEMA DE ESTIMACIÓN DE MATRICES ORIGEN – DESTINO 95 Conociendo la matriz gn+1, el nuevo vector de flujos en arcos, desarrollando linealmente respecto al punto actual:  11nn nn n v vv gg g      (3.29) Y aplicando (3.28) se tiene: 1nn n nn vZ vv vv gg        (3.30) donde se ha definido un vector de volúmenes en arco v  que representa la dirección de actualización de los volúmenes en arco de la iteración n a la siguiente n+1. El valor de λ se obtendrá imponiendo la condición de un máximo descenso en la función objetivo Z: 0 nn ZZv v      (3.31) De la expresión (3.30) se despeja: n vv     (3.32) Llamando f(λ) = n Z v   y realizando un desarrollo en serie de f(λ) para λ = 0, donde se obvian los elementos de segundo orden o superior, se obtiene:     0 0 00 f ff ff               (3.33) Sustituyendo las expresiones (3.32) y (3.33) en (3.31):   0 00 0 Zffv         (3.34) 102 AJUSTE DE MATRICES O-D CON ASIGNACIÓN DE ALTA CONVERGENCIA Estos autores reemplazan la aproximación lineal presentada por Spiess por una aproximación cuadrática. El Jacobiano se calcula como sigue. Para cada par O-D (i, j), la derivada direccional de v en el punto actual v* y en la dirección unitaria eij se obtiene de forma aproximada resolviendo el siguiente problema: 1 2 .. T d T ij M inimizar d S d sa x e dx     (3.47) donde: ij v dT  , ij h xT    y S es una matriz cuadrada cuyos elementos son a ab b s Sv  . Según Patriksson (2004), si la función objetivo es diferenciable en el punto actual, este enfoque aporta gradientes exactos. Drissi-Kaïtouni y Lundgren (1992) aplican el método presentado en redes pequeñas y medianas. Lundgren y Peterson (2008) presentan un método para redes de gran escala; según los autores, el esfuerzo extra computacional requerido, en comparación con el algoritmo de Spiess, es marginal. 3.8 FORMULACIÓN PROPUESTA PARA EL CÁLCULO DEL JACOBIANO   a i vg g   Como punto de partida de esta tesis se emplea el trabajo de Spiess (1990). La importancia de la aportación de Spiess radica en haber sido la primera implementación capaz de estimar matrices O-D en redes reales de gran tamaño en el contexto de la asignación en equilibrio y de una forma sencilla y eficiente, es decir, con un coste computacional más que razonable en aplicaciones prácticas. El autor propone el método del gradiente proyectado para resolver el problema y lo implementa en el programa EMME. La eficiencia computacional mostrada por la metodología de Spiess se debe al uso de un método de descenso que actualiza una matriz de partida en cada iteración. El principal coste de estos métodos se encuentra en el cálculo de la dirección de descenso. Aunque, en este caso, la obtención del gradiente que minimiza la función objetivo es muy simple y rápida. Está demostrado que dicha metodología mejora el valor de la función objetivo en cada iteración, es decir, disminuye la discrepancia entre el valor medido y modelado en los puntos de aforo. Capítulo 3: PROBLEMA DE ESTIMACIÓN DE MATRICES ORIGEN – DESTINO 103 Al ser un método de descenso hay que poner especial atención en la obtención de la matriz inicial. El problema de estimación de matrices O-D tiene múltiples óptimos locales por lo que la solución final dependerá del punto de partida. Considerando que la matriz con la que parte el proyecto de planificación de transporte es bastante fiable, será muy interesante implementar un algoritmo que encuentre una solución próxima a la de partida. En este sentido, el método de Spiess por lo general obtiene soluciones muy diferentes respecto de la de inicio. Según Doblas y Benítez (2005) el algoritmo podría llevar a una desviación no controlada de la información contenida en la matriz de partida ya que no existen criterios explícitos que limiten las variaciones durante el proceso de optimización. Al no estar garantizada la unicidad de la solución en el problema de estimación de matrices, es posible encontrar múltiples matrices que cumplen los criterios impuestos en la optimización. La función objetivo formulada por Spiess se centra únicamente en disminuir la discrepancia de los aforos. Al no imponer más criterios, el cálculo de la dirección de descenso se simplifica y permite abordar problemas de gran escala. En cambio, el proceso de ajuste no asegura el mantenimiento de la estructura de la matriz O-D dentro de unas cotas. Así, siendo un algoritmo eficiente desde el punto de vista computacional, tiene la desventaja de reportar soluciones poco fiables. La metodología de Doblas y Benítez (2005) ha sido ampliamente estudiada y desarrollada por el Grupo de Ing. e Inf. de los Transportes de la Universidad de Sevilla. Ésta es una mejora del método de Spiess. Doblas y Benítez se centran en preservar la estructura de la matriz previa conocida tratando de no disminuir la eficiencia computacional del algoritmo. Para ello proponen una formulación que combina el método del lagrangiano aumentado (o de los multiplicadores) con el método de aproximación lineal de Frank & Wolfe. La expresión que utilizan para el cálculo del gradiente está basada en la de Spiess (1990), añadiendo los términos correspondientes a las nuevas restricciones introducidas. Para la obtención de la expresión analítica establecen igualmente la hipótesis de proporciones localmente constantes. Esta formulación, además, permite aumentar el valor de las celdas O-D inicialmente nulas en la matriz previa, lo cual es un enfoque realista dada la gran cantidad de pares O-D que no presentan viajes después de la expansión de los datos recogidos en la encuesta domiciliaria. Centrando la atención en la aproximación que realizan Spiess (1990) y Yang et al. (1992) en el cálculo de la dirección de descenso, puede afirmarse que dicha aproximación no es válida para los problemas de transporte que presentan congestión. Estas aproximaciones no tienen en cuenta las relaciones existentes entre los pares O-D a través de los arcos saturados. El gradiente empleado por Spiess y más tarde por Yang et al., aunque mejora la función objetivo formulada 104 (dad a elev a Esta t alca n cons i que l disto r meto d algo r 3.8. 1 En a p auto r De l a par O arco a los fl u 3.8.1 . Con e Spie s La m funci en el a la indeter m a dos en la m a t esis trata d e n zar un ópti m i deran restri c a dirección d r sión que e x d ología de D r it m os propu e Crítica s 1 (1992) p artados pre c r es (expresió n a expresión ( O -D i es igu a a y pertenec e u jos en cam i .1 E jempl o e l siguiente s s (1990). P a m atriz de de m ón objetivo Z cambio rela t m inación del p a triz de viaj e e mejorar la m o local d e c ciones que l d e descenso x perimenta l D oblas y B e e stos sin ca m s a la di r c edentes se d n (3.40)): 3.40) puede a l a la prop o e n a una rut a i nos, es equi v o 1 ejemplo se m a ra ello se de m anda es ac t Z (g). Para u n t ivo de la m a A J p roblema n o s como se d e dirección d e e l problema l imiten el de sea capaz d e l a matriz O - e nítez (200 5 m bios metod o r ección d e d iscute sobr e i a a kK i v g      interpretars e o rción de vi a a de dicho p a v alente a la a i i a kK a i kK v gh        m uestran las s cribe previ a u alizada en n enfoque m á a triz O-D. J USTE DE M AT R o es tarea co m e muestra en e búsqueda p cercano a splazamient o e alcanzar d i - D respecto 5 ), que pue d o lógicos im p e descens o e la semejan z a kk p  e que la vari a a jes, respect o a r O-D. La s i a nterio r (3.4 0 a kk k h h  carencias d a mente la fo r cada iteraci ó á s realista S p R ICES O-D CON A m pleja), tam b apartados p o p ara los mét o la matriz d e o de la matr i i cho óptimo de la matri z d e implemen p ortantes. o de Spie s z a de los Ja c ,aAi P   a ción del fl uj o del total d e i guiente ecu a 0 ). ,aAi P   e la expresi ó r mulación e m ó n siguiend o p iess realiza A SIGNACIÓN DE b ién i m prim e o steriores. o dos de desc e partida. I n i z de viajes d local. Si se z previa se p t arse de for m s s (1990) c obianos obt e P uj o de un arc o e l par O-D i , a ción, expre s P ó n del gradi e m pleada. o la direcció n dicha actual E A LTA C ONVE R e desplaza m c enso con el n icialmente d ado que se e desea contr o propone se g m a directa e y Yang e enidos por l o o a respecto , que pasan s ada en func i e nte emplea d n que mini m l ización bas á R GENCIA m ientos fin de no se e spera o lar la g uir la e n los e t al. o s dos de un por el i ón de (3.48) d o por m iza la á ndose Capítulo 3: PROBLEMA DE ESTIMACIÓN DE MATRICES ORIGEN – DESTINO 105  11 k kk k g Zg gg g         (3.49) La función objetivo se define como la suma del cuadrado de la diferencia de los flujos modelados y aforados:   21 2aa aA Z gvv    (3.50) El gradiente de la función objetivo es el siguiente:   a aa aA ii Zg vvv iP gg       (3.51) Spiess (1990) a su vez proporciona una expresión para calcular la longitud del paso óptimo en cada iteración.   2 aa a kaA a aA vv v v        (3.52) donde  ii aia aikakaaakk iP iP kK aA kK i dv dg v vgpvvp ddg               . La expresión (3.52) equivale a la recogida en la Tabla 3-1 para el caso en el que la función objetivo del problema de ajuste es del tipo de mínimos cuadrados generalizados. Conocida la formulación de Spiess (1990) necesaria para este pequeño ejemplo, se pasa a su resolución. En este caso, se dispone de una red simulada por un grafo formado por 7 arcos dirigidos y 4 centroides (A, B, C y D). 106 AJUSTE DE MATRICES O-D CON ASIGNACIÓN DE ALTA CONVERGENCIA Figura 3-2. Ejemplo 1. Red simulada. Los diferentes arcos de la red permiten conectar 4 pares O-D: A-C, A-D, B-C y B-D. Los pares A-C y B-D están conectados por 2 caminos cada uno, los dos restantes sólo están conectados por un solo camino. Par O-D Camino Arcos que lo componen A-C h1 v1 h2 v2 - v4 - v5 A-D h3 v2 - v4 - v6 B-C h4 v3 - v4 - v5 B-D h5 v3 - v4 - v6 h6 v7 Tabla 3-2. Ejemplo 1. Descripción de los caminos de cada par O-D. Las capacidades de los arcos son 200 vehículos y su velocidad de flujo libre t0={3.5, 1, 1, 1, 1, 1, 10}. La matriz O-D de partida se recoge en la Tabla 3-3: Par O-D Viajes A-C 400 A-D 200 B-C 0 B-D 300 Tabla 3-3. Ejemplo 1. Matriz O-D de partida. Capítulo 3: PROBLEMA DE ESTIMACIÓN DE MATRICES ORIGEN – DESTINO 107 Resolviendo el problema de asignación de tráfico se alcanza la siguiente situación en equilibrio de usuario: 111 12 22233 33454 4 42345 5 6 5524 6635 76 Flujo caminos Flujo arcos Coste caminos 340 340 60 260 200 205 0 465 205 60 95 405 95 AC AD BC B D hvh CCU hvhhCU hvhhCU hvhhhhCCU hvhh hvhh vh             Esta red sólo tiene un punto de aforo situado en el arco v5 donde se mide un total de 300 vehículos. Se observa en dicho arco una discrepancia de 240 vehículos, cuatro veces superior a lo modelado actualmente. Si se lleva a cabo un ajuste de la matriz de viajes según el método de Spiess se obtiene lo siguiente: 5 i v g   Valor i = A-C 0,15 i = A-D 0 i = B-C 0 i = B-D 0 Tabla 3-4. Ejemplo 1. 5 i v g     i Z g g   Valor i = A-C -36 i = A-D 0 i = B-C 0 i = B-D 0 Tabla 3-5. Ejemplo 1.   i Z g g   108 AJUSTE DE MATRICES O-D CON ASIGNACIÓN DE ALTA CONVERGENCIA Y por tanto la nueva matriz de viajes es igual a:  0 10 * 1840 200 10 300 g Zg gg g               Para resolver la expresión anterior es necesario calcular previamente: 2160 a v y *0,1    . En la primera iteración se imprime un desplazamiento de la matriz de viajes muy grande aunque el valor de λ* es pequeño. Spiess comenta en su artículo que el valor de λ* debe ser seleccionado lo suficientemente pequeño para asegurar que el camino seguido por la matriz de demanda, a través del gradiente aproximado, sea suficientemente cercano al camino del gradiente verdadero. Como puede comprobarse en la primera iteración, el valor de λ* es pequeño pero el desplazamiento de la matriz de viajes es elevado, luego no es cierto que dicho algoritmo asegure que no haya una desviación, respecto de la solución inicial, mayor que la necesaria. Realizando 10 iteraciones el algoritmo alcanza la convergencia y obtiene la siguiente matriz de viajes ajustada. Par O-D Matriz Inicial Matriz Final A-C 400 767 A-D 200 200 B-C 0 0 B-D 300 300 Tabla 3-6. Ejemplo 1. Soluciones inicial y final. La nueva situación de equilibrio es la siguiente: 111 12 22233 33454 4 42345 5 6 5524 6635 76 Flujo caminos Flujo arcos Coste caminos 467 467 300 500 200 64 0 564 64 300 236 264 236 AC AD BC B D hvh CCU hvhhCU hvhhCU hvhhhhCCU hvhh hvhh vh             Capítulo 3: PROBLEMA DE ESTIMACIÓN DE MATRICES ORIGEN – DESTINO 109 A continuación se representa la evolución seguida por el flujo en el arco 5 v en las diferentes iteraciones del algoritmo. Figura 3-3. Ejemplo 1. Evolución del flujo en el arco v5. El excesivo desplazamiento de la matriz de viajes entre iteraciones consecutivas, sobre todo en las iteraciones iniciales, hace que no se verifique en ningún momento la hipótesis supuesta por Spiess, donde las probabilidades de los caminos pk son localmente constantes. En la solución final calculada por el método de Spiess se observa que el único par O-D modificado es el par gA-C. Esto se produce porque sólo el par gA-C tiene caminos que pasan por el arco aforado. El gradiente implementado por Spiess y Yang et al. sólo tiene en cuenta, durante el ajuste, los pares O-D interceptados por algún aforo, mientras que el resto de pares O-D no son ajustados. Ésta es la principal anomalía del gradiente ya que, en las redes de transporte con congestión, se supone que existe un equilibrio de usuario en el que interactúan los diferentes pares O-D a través de sus caminos. En una red congestionada en equilibrio, al modificar el número de viajes de un par O-D, el reparto de flujo entre las rutas del resto de pares puede verse modificado. Por tanto, un par O-D cuyo flujo no ha sido observado directamente en ningún punto de aforo puede alterar el reparto de flujo entre las rutas de otros pares. Así, dicho par O-D tiene el potencial para disminuir de forma indirecta la discrepancia de ciertas estaciones de aforo a través de dicha redistribución de flujos. 0246810 12 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Iteraciones v 5 110 AJUSTE DE MATRICES O-D CON ASIGNACIÓN DE ALTA CONVERGENCIA En el ejemplo anterior, aunque el gradiente de Spiess no lo pronostique, el par gB-D puede influir sobre el volumen del arco v5. Si se disminuye su valor en 150 viajes se obtiene la siguiente situación de equilibrio. Par O-D Viajes A-C 400 A-D 200 B-C 0 B-D 150 Tabla 3-7. Ejemplo 1. Modificación de la matriz O-D de partida. 111 12 22233 33454 4 42345 5 6 5524 6635 76 Flujo caminos Flujo arcos Coste caminos 320 320 82 282 200 150 0 432 150 82 0 350 0 AC AD BC B D hvh CCU hvhhCU hvhhCU hvhhhhCCU hvhh hvhh vh             La disminución del par gB-D hace que el valor de v5 aumente desde 60 hasta 82 viajes. De igual forma, el gradiente no tiene en cuenta los pares O-D que presentan valores nulos. Estos valores nulos pueden ser debidos a que, en el proceso de encuesta, no se han interceptado usuarios que recorran dichos pares O-D. Según Doblas y Benítez (2005) suele ser importante el tamaño del conjunto de pares O-D con valor nulo en las matrices de viaje iniciales. Este problema puede resolverse precargando los pares O-D nulos con una pequeña cantidad de viajes. Esta acción debe ser estudiada con profundidad ya que aumenta de forma evidente el número de viajes total de la matriz O-D. Es sabido que para una matriz O-D dada y una red de transporte específica, donde los costes en arcos siguen una función monótonamente creciente, la solución en término de flujos en arcos es única, pero no en término de flujos en caminos. Según la expresión (3.48), el valor de ∂va∂gi puede obtenerse conociendo la solución de flujos en caminos actual. Luego, para un mismo problema, pueden obtenerse diferentes valores de ∂va∂gi, dependiendo de la solución en caminos obtenida. Esta solución dependerá del algoritmo de asignación empleado (Yang et al., 1992; Bierlaire y Toint, 1995). Por tanto, los métodos de ajuste de matrices que emplean esta Capít u direc c ópti m 3.8. 2 Para un a n Dad a solu c mant e las c a asig n Para el c o Llev a desp r un c a dond e es u n punt o La m El c o dond e (2.7) . arco s u lo 3: PROBL E c ión de des c m as dependi e Análisi s 2 lineale s superar las l n álisis de se n a una matriz c ión de flujo e niendo el e q a racterística s n ación. llevar a cab o o ste de los c a ndo a cab o r eciando los a mino respe c 1 C  e A es un v e n a matriz qu o actual. m atriz B está o ste de los c a e s represen t . Estos cost e s . Para calcu l E MA DE ESTI M c enso puede n e ndo de la so s de sen s s en cami n i m itaciones p n sibilidad co n de viajes y s en arcos e q uilibrio de s de la red d o este anális i c aminos dep o un desarr o términos d e c to del flujo d 1 k C      e ctor que re p e representa compuesta p a minos está f t a el vector d e s pueden o b l ar los valor e M ACIÓN DE M n obtener, p a lución en ca m ibilidad p n os p resentadas p n el fin de e n una red de e n equilibrio usuario, al m d e transporte , i s se trabaja ende lineal m o llo en seri e e segundo o r d e los demá s   1kk k Chh h      C p resenta los v la relación p or las deriv a fo rmado por l  C d e coste de l b tenerse dir e e s de las casi M ATRICES O R ara un mis m m inos alcan z p ara el e q por el gradi e n contrar una transporte, . Es posible m odificar b i e , sin la nec e inicialment e m ente de su e de Taylo r r den y super i s :   2O C    hA B   v alores cons t lineal entre a das del cos t la suma de l o    T hs   los arcos y Λ e ctamente e v i llas de B se p R IGEN – DES T m o problema , z ada. q uilibrio e nte de Spie s nueva expr e el problem a calcular la s e n el valor d e e sidad de vo l e en el espa c flujo y del r en torno a i ores, se ob t 1 1 kk C C h     B h t antes de co s el coste y e t e en camin o o s costes de   v Λ la matriz d v aluando la s p rocede co m T INO , diferentes s de usuar i s s y Yang et sión del gra d a de asignac i s variacione s e dicha matr i l ver a resol v c io de camin o flujo de lo s a un punto i ene la expr e 1 k k k C hh     s te en la iter l flujo de l o o s respecto d los arcos qu e d e incidenci a s funciones m o sigue: soluciones l o i os con c al. se lleva a d iente. i ón encuent r s de dichos f iz de viajes o v er el proble m n os. Se supo n s demás ca m actual (hϕ, esión del c o 1k k C h r ación anteri o o s caminos p d el flujo ∂Ck e lo compon a arcos – ca de demora d 111 o cales ostes a cabo r a una f lujos, o bien m a de n e que m inos. Cϕ) y ste de (3.53) (3.54) o r y B p ara el ∂hl. en. (3.55) m inos d e los 118 AJUSTE DE MATRICES O-D CON ASIGNACIÓN DE ALTA CONVERGENCIA Inicialmente se plantean tres metodologías igualmente válidas ya que reportan análogas soluciones al problema planteado. Varios de los algoritmos propuestos se centran en el cálculo de ∂h∂g. La matriz de ∂h∂g puede calcularse de una forma más simple e intuitiva que ∂v∂g en aquellos casos en los que se utilice un algoritmo de asignación basado en caminos. Para conocer los valores de la matriz ∂v∂g sólo es necesario aplicar la expresión (3.71): * vh gg       (3.71) Las metodologías propuestas se dividen en dos conjuntos según si resuelven problemas de asignación de tráfico o resuelven expresiones. 3.8.4.1 Metodología por asignación de tráfico La primera metodología resuelve un problema de asignación para cada par O-D. El algoritmo de asignación empleado es un caso especial llamado “Warm Start”. Este método de asignación es muy rápido convergiendo ya que el punto de partida, para cada par O-D, es la solución de flujo en arcos obtenida con la matriz de viajes actual. Además de emplear “Warm Start” en la asignación, se realizan dos modificaciones asumiendo la siguiente hipótesis: dar incrementos infinitésimos a la matriz de viajes genera una desviación mínima respecto del estado de equilibrio por lo que el número de pares O-D afectado es limitado. Al mismo tiempo, ningún par O-D modificará su número de caminos. Esta hipótesis disminuye el coste computacional del problema: ‐ Se elimina el módulo que busca nuevos caminos mínimos para cada par O-D. Entendiendo que la variación de la matriz de demanda es mínima, se presupone que no cambia el conjunto de caminos activos. ‐ Se modifica el módulo que equilibra el coste de los caminos de cada par O-D. Éste equilibra de forma iterativa el coste de los caminos de un mismo par O-D para que coincidan y sean mínimos. Entendiendo que una variación infinitesimal de los viajes de un par O-D no afecta al conjunto completo de caminos, dicho módulo se centrará únicamente en los pares O-D cuyos caminos se vean influidos. Estos caminos pueden conocerse a través de la matriz B*. 3.8.4.2 Metodología analítica Los dos siguientes algoritmos comparten los mismos pasos para el cálculo de la matriz ∂h∂g. Capítulo 3: PROBLEMA DE ESTIMACIÓN DE MATRICES ORIGEN – DESTINO 119 Paso 1. Inicialmente se selecciona un par O-D p para analizar su influencia sobre todos los caminos de la red. k p hkK g     (3.72) Paso 2. Se aporta un incremento infinitésimo al número de viajes del par O-D p que provoca un aumento infinitésimo en el flujo (y coste) de los caminos de dicho par O-D. Paso 3. Este pequeño aumento de flujo afectará a los demás caminos de la red con los que comparten arcos incrementando su coste. Dicho aumento de coste se calcula a través de la matriz B*. Paso 4. Llegado a este punto, mediante un módulo iterativo se alcanza una nueva situación de equilibrio de usuario. Así, se reconfigura el flujo de todos los caminos influenciados para que finalmente tengan igual coste mínimo dentro de cada par O-D. Las ecuaciones que intervienen en el paso 2 son las siguientes: j pp p j hg g jK     (3.73)   2 j jj kk p p kK k C CC hh O U jK h          (3.74) donde * j jk k CB h  . Inicialmente se parte de la situación en equilibrio de usuario alcanzada en la asignación anterior por lo que el coste de los caminos del par O-D p sólo se ven influidos por el flujo de ellos mismos. Así, considerando que se desea calcular únicamente los incrementos infinitésimos de flujo y que son despreciables los términos de segundo orden, las expresiones (3.73) y (3.74) pueden escribirse como sigue: p jp jK hg     (3.75) * p j ji i p p iK CBhU jK      (3.76) Una vez calculado Δh para todos los caminos del par O-D p, en el paso 3 se calcula el incremento de coste de los caminos que comparten arcos con dichos caminos, de la forma: 120 AJUSTE DE MATRICES O-D CON ASIGNACIÓN DE ALTA CONVERGENCIA * p kkjj jK CBh kK      (3.77) En el paso 4 se resuelve un módulo iterativo donde se van reconfigurando los costes de los caminos para cada par O-D q ≠ p. En este caso, la suma de los incrementos de los flujos para los caminos de un mismo par es cero puesto que no se ha modificado el valor de gq. Se han de tener en cuenta únicamente los pares O-D tales que el coste de alguno de sus caminos kKq haya sido modificado. Las expresiones que se emplean en este paso son las siguientes: 0 q j jK h    (3.78) ** q n jjiijkkq q iK kK CBhBhU jK        (3.79) En las ecuaciones anteriores se distinguen dos vectores de flujo. El primero es Δhn, en él están recogidos los incrementos de flujos de todos los caminos en la iteración anterior n (incluidos los del par O-D p). El segundo vector es Δh donde se recogen los nuevos incrementos de flujo, de los caminos del par O-D q, necesarios para que se alcance equilibrio de usuario en dicho par O- D. Una vez se resuelven las ecuaciones (3.78) y (3.79), la solución final será la suma de los dos vectores empleados, Δh y Δhn. 1nn hhh     (3.80) El algoritmo finaliza cuando se alcance la convergencia definida. Las expresiones expuestas en los pasos 2 y 4 pueden resolverse utilizando dos métodos diferentes. En el primer método se calculan los incrementos de flujo de cada camino evaluando expresiones, en el segundo dichos incrementos son obtenidos resolviendo sistemas de ecuaciones. 3.8.4.2.1 Primer método: equilibrado de los pares O‐D empleando la diagonal de la matrizdecostes Estudiando los elementos de la matriz B* se comprueba que los valores más importantes se encuentran en la diagonal. Esto es de esperar ya que el flujo que más influye sobre un camino es el propio. Un elemento * ii B de la diagonal de B* está formado por el coste marginal de todos los Capítulo 3: PROBLEMA DE ESTIMACIÓN DE MATRICES ORIGEN – DESTINO 121 arcos que forman el camino i. Cualquier elemento ik con i ≠ k fuera de la diagonal es menor, ya que sólo se suman los costes marginales de los arcos comunes entre los caminos i y k. Así, para el reparto inicial del flujo sobre los diferentes caminos de un mismo par O-D, se considerarán únicamente los valores de la diagonal. En el paso 2, para cada camino i dentro del par O-D, se resuelven las siguientes expresiones: p jp jK hg     (3.81) ** piii jjj p UBhBh jK  (3.82) De la expresión (3.82) se despeja Δh para cada camino del par O-D p: * * ii j ip jj B hh jK B    (3.83) Los valores obtenidos mediante la ecuación (3.83) se introducen en la ecuación (3.81), resultando la expresión: * * () 1 p ii ipp jK i jj B hgiK B            (3.84) quedando: * * * * () 1 p p pp ip ii ii jK jj jK i jj gg hiK B B B B               (3.85) En el paso 4 se agrega en las expresiones los valores de flujo de los demás caminos de la red. Partiendo de la ecuación (3.79) y considerando únicamente la diagonal de la matriz B *, la expresión para el camino i queda: **n ii i ik k p p kK B hBhU iK         (3.86) En la expresión anterior (3.86) se despeja Δhi dividiendo por * ii B todos los términos. * ** 11 n iikkp p kK ii ii hBhU iK BB       (3.87) 122 AJUSTE DE MATRICES O-D CON ASIGNACIÓN DE ALTA CONVERGENCIA Sumando las ecuaciones de todos los caminos del par O-D p, se obtiene: * ** 11 pp p n j jk k p jK jK kK jK jj jj hBhU BB            (3.88) Como 0 p j jK h    (expresión (3.78)), despejando el valor de Up: * * * 11 1p p n pjkk jK kK jj jK jj UBh B B          (3.89) Introduciendo el valor de Up en la expresión (3.87) se obtiene finalmente la ecuación buscada: * ** ** * 1 11 1p p nn ii ijkkikkp jK kK kK jj ii jK jj B hBhBhiK BB B                (3.90) Esta forma de calcular la matriz ∂h∂g reporta soluciones exactas ya que, aunque se utilicen inicialmente sólo los elementos de la diagonal de B*, es un método recursivo donde en cada iteración se tienen en cuenta las interacciones entre ellos al calcular los costes de los caminos (paso 3). 3.8.4.2.2 Segundométodo:equilibradosimultáneodelosparesO‐Dmediantesistemas deecuaciones En el paso 2 se resuelven las expresiones (3.75) y (3.76) mediante un sistema de ecuaciones que considera tanto los elementos de la diagonal de B* como los de fuera de la diagonal. Así, en forma matricial el sistema a resolver es el siguiente: 1 1 11 12 2 2 21 22 12 0 11 1 10 10 10 p n nip n p nn nn g h B BB h B BB hiK h U BB B                                     (3.91) En este método se calcula el reparto de flujo entre los caminos del par O-D considerando las diferentes influencias entre ellos. De esta forma no es necesario iterar dentro del mismo par Capítulo 3: PROBLEMA DE ESTIMACIÓN DE MATRICES ORIGEN – DESTINO 123 O-D. Para considerar las influencias indirectas entre los caminos de los demás pares O-D es necesario generar un algoritmo iterativo (paso 4). El sistema de ecuaciones que se resuelve en el paso 4 para cada par O-D es el siguiente: * 11 1 11 12 2* 2 2 21 22 * 12 0 0 11 1 1 1 1 n kk k nnip kk nn kkp n n p nn nn nk k k hBh B BB hhiK Bh B BB hkK h U BB B Bh                                                (3.92) La solución de este sistema es una reconfiguración del flujo de los caminos de un mismo par O- D que sumado a los flujos anteriores (expresión (3.80)) va convergiendo hasta obtener un vector de flujos en caminos que cumple equilibrio de usuario. Comparando las expresiones (3.91) y (3.92), se observa que las matrices de coeficientes coinciden en ambos casos. Es por esto que el método genera la matriz de coeficientes para cada par O-D una sola vez y luego la almacena para emplearla en las diferentes iteraciones. Una vez ensayados los algoritmos y contrastadas sus soluciones, puede concluirse que las matrices ∂v∂g encontradas en las tres metodologías anteriores son exactamente iguales a la definida por Tobin y Friesz (1988). Por tanto, es posible resolver de forma numérica la expresión del Jacobiano definida en (3.68) mientras que no es posible resolverla analíticamente con las ecuaciones que se presentan en los problemas de transporte. Con estas metodologías se evita el problema de singularidad que presenta la matriz B*. 3.9 ALGORITMOS IMPLEMENTADOS PARA EL CÁLCULO DEL JACOBIANO   a i vg g   Partiendo de la formulación propuesta en el apartado 3.8, se han llevado a cabo varias implementaciones con el fin de encontrar un algoritmo que calcule el Jacobiano de un problema de tamaño real en un tiempo aceptable. El principal inconveniente encontrado en las diferentes implementaciones es la dimensión del Jacobiano. Éste se compone de tantas columnas como pares O-D tiene el problema. En la 124 AJUSTE DE MATRICES O-D CON ASIGNACIÓN DE ALTA CONVERGENCIA descripción del cálculo del Jacobiano, apartado 3.8.4, se comenta que la obtención de cada una de sus columnas supone la resolución de un problema de asignación de tráfico. Luego se resolverán del orden de P problemas de asignación en el cálculo de cada dirección de descenso. Por otro lado, la forma de proceder de los algoritmos implementados es aplicar un incremento infinitésimo de los viajes de cada par O-D y volver a encontrar equilibrio de usuario en el sistema de transporte. Al ser un incremento ínfimo de los viajes de cada par O-D el estado hacia el que se mueve el sistema estará muy cerca del equilibrio por lo que el tiempo de cada asignación será pequeño. El inconveniente radica en que al tener un problema de orden O(P) los tiempos de asignación deben ser realmente pequeños para que la metodología sea factible. Poniendo un ejemplo, si se tiene una red ficticia con 400 centroides con un tiempo estimado para el problema de asignación de 100 segundos, para que el tiempo de cálculo del Jacobiano sea del mismo orden que el de asignación cada columna debe obtenerse en un tiempo de 100 4002 = 0,000625 segundos. Gracias al avance computacional experimentado en la última década se destaca una ventaja en el problema de cálculo del Jacobiano como es la independencia en el cálculo de cada columna. De esta forma es posible lanzar de forma paralela el cálculo de tantas columnas como procesadores incorpore la computadora. Para el desarrollo de esta tesis se dispone de una computadora con 12 procesadores que serán empleados gracias a la parallel computing toolbox de Matlab. Así, los resultados que se muestran en los siguientes apartados presentarán unos tiempos de computación del orden de unas 12 veces inferiores a la ejecución en serie con un solo procesador. Inicialmente se analizan los algoritmos implementados empleando la red de transporte de Tiergarten presentada en el apartado 2.8.1. Los tiempos de cálculo para esta red de pequeño tamaño suelen ser bajos por lo que se emplea además la red de transporte de Chicago Sketch. Esta red es de tamaño medio y se hace más costoso su análisis. Para los algoritmos que superan con tiempos razonables los cálculos de las redes de Tiergarten y Chicago Sketch, se realiza un análisis de la red de transporte de la comunidad de Madrid. Uno de los principales objetivos de la tesis es ajustar matrices O-D con escala semejante a esta última red. En la Tabla 3-10 se detallan las dimensiones de las redes empleadas. Capít u Tabla En t o desc r 3.9. 1 En e l modi el a n impl e calc u mis m Al c o La d i méto d los d i de e c más c cada Com p dos m encu e modi por l méto d inter n El es q u lo 3: PROBL E Car a Arc o Nod o Cen t Par e 3-10. Caracte o tal se han i m r iben a conti n Algorit 1 l apartado 2 ficada. Con n álisis de lo e mentacione u la el Jacob i m o resultado p o mparar los m i ferencia se e d o equilibra i ferentes ca m c uaciones q u c ostoso nu m par O-D. p arando los m étodos se e e ntra en la e ficada. La e o que es n e d o, en cam b n as que emp l q uema algo r E MA DE ESTI M a cterísticas o s o s t roides e s O-D rísticas de las m plementad o n uación. mo 1. Asi g .7 se lleva a las variable s s tres tipos s descritas, i ano resolvi e p ero emplea n m étodos 3.8. e ncuentra en el coste me d m inos de for m u e considera m éricamente métodos 3. 8 e quilibran lo e structura a l structura de e cesario trat a b io, se diseñ a l ea se diseñ a r ítmico que s M ACIÓN DE M Tierga r 74 34 2 65 redes de trans o cuatro alg o g nación b a a cabo una i m s de salida d e de formul a se destaca e e ndo sistem a n tiempos d e 4.2.1 y 3.8. 4 el equilibra d d iante un mé m a indirect a todas las in f respecto de l 8 .4.1 y 3.8. 4 s pares O- D l gorítmica. E este proced i a r sus varia b a expresame n a n para agili z e implemen t M ATRICES O R r ten C h 4 7 4 4 2 6 0 s porte emplea d o ritmos para a sada en c m plementac i e este algorit m a ciones pro p e l método d e a s de ecuac i e computaci ó 4 .2.2, se obs e d o del coste é todo recursi v a , y el segun f luencias en l método 3. 8 4 .2.2 se apr e D resolviend o E l primer m imiento es s b les de sali d nte para qu e z ar el proces o t a es el sigui e R IGEN – DES T h icago Sket c 2.950 933 387 149.382 d as. ob t ener el J a c aminos. i ón del algo m o, basado e p ues t os en e e finido en e i ones. Las r e ó n superiore s e rva que tie n de los cami n v o que tiene d o método l o un solo pas o 8 .4.2.2 al ne e cia igualme n o sistemas d e m étodo resue s emejante a l d a para gen e e la salida s e o . e nte: T INO h Ma d 1 7 7 1.39 a cobiano de l r itmo de Fl o e n caminos, l apartado 3 l apartado 3 e stantes op c s . en una estru c n os de cada p en cuenta la o hace resol v o . El métod o cesitar vari a n te una gra n e ecuacione s l ve la opci ó l a del probl e e rar el Jaco b e a el Jacobi a d rid 7.544 7.966 1.180 1.220 l problema, q o rian et al. ( es posible a b 3 .8.4. De l a 3 .8.4.2.2 do n c iones alcan z u ctura muy s i p ar O-D. El p a s influencia s v iendo un s i o 3.8.4.2.1 s e a s iteracione n similitud, e s . La difere n ó n de War m e ma de asig n b iano. El se g a no y las va r 125 q ue se ( 2009) b ordar a s tres n de se z an el i milar. p rimer s entre i stema e hace s para e n los n cia se m Start n ación g undo r iables 126 AJUSTE DE MATRICES O-D CON ASIGNACIÓN DE ALTA CONVERGENCIA  Crear la matriz v g   que será la salida del algoritmo.  Calcular B siguiendo la expresión (3.59).  Para cada par O-D p: o Crear un vector p h g  . o Crear el vector Δh que incluye todos los caminos del problema, inicialmente todos sus elementos son nulos. o Repartir un incremento infinitésimo de viajes entre los caminos del par O-D p.   p hk g k p    o Mientras Rel. Gap  Rel. Gap objetivo:  Actualizar el coste de los caminos de todos los pares O-D. CBh    Enumerar los pares O-D desequilibrados, almacenar en Pdesq.  Para cada par O-D i en Pdesq:  Extraer de B la matriz bloque kk B  perteneciente a los caminos del par O-D i.  Resolver el siguiente sistema: kk k i B xC kK    donde x es la dirección del par O-D i y Ck es el coste de cada camino,   ,: ki CBk h kK     .  Comprobar si 0 kk i khx kK   . En ese caso, buscar   min i kk jj jK khx hx    . La nueva dirección se calcula como: k k h x x x   Actualizar el vector     i hk hk x k K      . Capítulo 3: PROBLEMA DE ESTIMACIÓN DE MATRICES ORIGEN – DESTINO 127  Asignar p hh g    .  Asignar pp vh g g    . La principal propiedad de los algoritmos diseñados que se analiza en este apartado es la factibilidad de su aplicación en problemas de tamaño real. Para ello se medirán tiempos de ejecución en las diferentes redes. En la Tabla 3-11 se muestran los tiempos de ejecución del cálculo del Jacobiano en segundos. Red Transporte Cálculo del Jacobiano (RGap=1e-10) Cálculo del Jacobiano (RGap=1e-6) Problema de Asignación (RGap=1e-10) Tiergarten 12,36 - 2,60 Chicago Sketch >15.000 8.159 57,40 Tabla 3-11. Tiempos de computación (segundos) correspondientes al algoritmo 1. Se ha agregado una columna con los tiempos de ejecución del problema de asignación de tráfico. En la red de Tiergarten se observa que los tiempos de computación del cálculo del Jacobiano y del problema de asignación de tráfico tienen el mismo orden para un nivel de convergencia exigente, con un relative gap de 10-10. No ocurre lo mismo para la red de Chicago Sketch. El tiempo de cálculo del Jacobiano se dispara cuando se exige una alta convergencia. Exigir un relative gap mayor reduce el tiempo de cálculo y hace posible llevar a cabo un proceso de ajuste aunque estos tiempos pueden ser inviables para redes de mayor tamaño. Por ello, se relaja el relative gap del cálculo del Jacobiano hasta 10-6 para la red de Chicago Sketch. Para niveles de convergencia con relative gap inferiores a 10-6 las diferencias entre los Jacobianos son pequeñas. Los gradientes calculados con los diferentes Jacobianos serán similares aunque menos exactos cuanto menos convergencia se le exija al algoritmo. Una vez medidos los tiempos de cálculo del Jacobiano, se lleva a cabo un análisis de la solución encontrada al incluir dicho Jacobiano en un proceso general de ajuste de matrices O-D. En este caso se comprueba que el programa alcance una matriz de viajes que estime bien el volumen en los arcos aforados. El objetivo es evaluar la eficiencia de la dirección de búsqueda propuesta comprobando que el algoritmo global de ajuste minimiza la discrepancia de los aforos. Para ello se realiza un proceso de ajuste completo en la red de Tiergarten. La metodología de ajuste que se sigue es la descrita en la primera columna de la Tabla 3-1. Se realiza un total de 200 iteraciones y se exige tanto a la solución del problema de asignación como a la salida del Jacobiano una convergencia de relative gap = 10-10. 134 Figur a 3.9. 4 Este susti t siste m El si s dond e sien d seg m a 3-9. Algorit m Algorit 4 simult á algoritmo s e t uye el méto m a de ecuac i s tema de ec u e: d o 1 S B y S B m entos altern a Matrizdedemandaajustada m o 3 - Matriz d mo 4. A á neo del c o e presenta c o do recursiv o i ones. De es t u aciones que C  C C 2 S los subco n a tivos S1 y S 2 0 100 200 300 400 0 A J d esactualizada A signació n o njunto d e o mo una mej o de equilib r t e modo, se e se plantea e s 12 12 SS SS hh C C    11 22 0 0 SS SS C C B C C B   n juntos de l a 2 . 100 Matriz J USTE DE M AT R a frente a ajust n basada e PAS. ora del algo r ado de seg m e quilibra en u s el siguient e S S S S   11 22 SS SS B h B h C    a matriz B c y 200 dedemanda R ICES O-D CON A a da. en orí g ritmo 3. En m entos PAS u n solo paso e : S egmentos P A S egmentos P A 22 0 SS S C Bh orrespondie n y =1,0961x+ R²=0,98 3 0 desactualiza A SIGNACIÓN DE g enes co n esta nueva i m por la resol u todo el conj u A S A S 1 S n te a los arc o 1,926 7 0 0 d a E A LTA C ONVE R n equili b mplementac u ción de un unto de PA S os que for m 400 R GENCIA b rado ión se único S . (3.93) (3.94) an los Capítulo 3: PROBLEMA DE ESTIMACIÓN DE MATRICES ORIGEN – DESTINO 135 Sustituyendo las ecuaciones (3.94) en (3.93) se tiene: 111 2 2 1 00 SSS SS S CBhCB h  (3.95) De forma genérica el sistema de ecuaciones propuesto se representa como 1 S Ah b  donde: 12 21 00 SS SS A BB bC C    (3.96) A lo largo de todo el proceso de cálculo del Jacobiano la matriz de coeficientes A permanece constante, ya que el conjunto PAS sigue siendo el resultante de la asignación previa sin verse alterado por pequeños incrementos del número de viajes. El incremento infinitesimal en los viajes del par O-D solo afecta a los valores de 1 0 S C y 2 0 S C. Luego para cada par O-D se actualiza el vector de términos independientes b y se resuelve el sistema de ecuaciones. El esquema algorítmico que se implementa es el siguiente:  Crear la matriz v g   que será la salida del algoritmo.  Definir el conjunto Q con todos los PAS resultantes de la asignación previa.  Calcular A según la expresión (3.96).  Calcular pinvA = pseudoinversa(A).  Para cada origen i: o Resolver un algoritmo de ruta mínima desde i hacia todos los destinos. o Para cada destino j diferente de i:  Definir el par O-D p correspondiente al origen i y destino j.  Crear el vector Δv que incluye todos los arcos del problema, inicialmente todos sus elementos son nulos.  Aplicar un incremento infinitésimo de viajes al camino de coste mínimo que conecta el par O-D p.  Actualizar el coste de los arcos que han aumentado su flujo.  Para cada PAS q  Calcular el coste de los segmentos     12 ,PAS Sa q aS CsvSSS     Calcular el vector independiente b según la expresión (3.96). 136 AJUSTE DE MATRICES O-D CON ASIGNACIÓN DE ALTA CONVERGENCIA  Calcular para el conjunto PAS   pinvhAb    Calcular 11 2 2 SSSS vh h    Asignar p vv g   Los tiempos de cálculo del algoritmo se muestran en la Tabla 3-14. Red Transporte Cálculo del Jacobiano (RGap=1e-10) Problema de Asignación (RGap=1e-10) Tiergarten 0,30 0,54 Chicago Sketch 5,3 31,6 Madrid 4.196,6 4.049 Tabla 3-14. Tiempos de computación (segundos) correspondientes al algoritmo 4. En este caso la reducción de los tiempos en el cálculo del Jacobiano es extraordinaria. Los nuevos tiempos son muy inferiores, mejoran incluso los tiempos del problema de asignación. Así la aplicación de esta metodología en redes de tamaño medio es perfectamente plausible. Además, el algoritmo implementado incluso permite abordar un proceso de ajuste de una red de grandes dimensiones como es Madrid. Esta mejora se ha alcanzado gracias a que con un sistema de ecuaciones de dimensiones razonables se equilibran todos los segmentos en una misma iteración. Con los anteriores procedimientos, cada par O-D se equilibra de forma individual y al existir influencias entre los diferentes pares O-D es necesaria la implementación de algoritmos iterativos. En la Figura 3-10 se presenta la evolución de la función objetivo en el ajuste de la matriz de viajes para la red de Tiergarten. Las características del ajuste son las empleadas en el apartado 3.9.1. Capítulo 3: PROBLEMA DE ESTIMACIÓN DE MATRICES ORIGEN – DESTINO 137 Figura 3-10. Algoritmo 4 - Evolución función objetivo. Figura 3-11. Algoritmo 4 - Matriz desactualizada frente a ajustada. 100 1000 10000 100000 1000000 0 20406080100120 FunciónObjetivo(Z) Tiempo(seg) y=1,0959x+1,9314 R²=0,987 0 100 200 300 400 0 100 200 300 400 Matrizdedemandaajustada Matrizdedemandadesactualizada 138 3.9. 5 Se h a ajust e resul t La p r del J 3.8.4 Figu r cada Figur a Aun q los t i com p difer e FunciónOb j etivo ( Z ) Análisi s 5 a llevado a c e sobre la r t ados obteni d r incipal dife r J acobiano. C . Esto hace q r a 3-12 se o b ite r ación. a 3-12. Anális i q ue todos lo s i empos de e p utación de e ncias de un 400 4000 40000 400000 4000000 0 j() s de algor i c abo la imp l r ed de Tie r d os. r encia que p C ada metodo q ue todos l o b serva como i s algoritmos. F s algoritmos e jecución. E n los proceso 3000%. 0 A J i tmos imp l ementación garten con p resentan lo s logía obtie n o s algoritmo s todos los al g F unción objeti v son válidos ( n la Figura s de ajuste; 50 It e J USTE DE M AT R lementad o de cuatro a cada algori t s algoritmos n e de distint a s encuentre n g oritmos re p v o - iteracion e ( generan ig u 3-13 se m u ; entre el a l 100 eraciones R ICES O-D CON A o s a lgoritmos d i t mo. En es t entre sí es l a forma el m n similares d p iten la evol u e s. u al solución) u estran las d l goritmo m á 150 A SIGNACIÓN DE i ferentes y s t e apartado a metodolo g m ismo Jaco b i recciones d e u ción de la f u existen gra n d iferencias e á s lento y e l 200 E A LTA C ONVE R s e ha realiz a se compar a g ía para el c b iano defin i d e búsqueda. u nción objet i n des diferen c e n los tiem p l más rápi d Algorit m Algorit m Algorit m Algorit m R GENCIA a do un a n los álculo i do en En la i vo en c ias en p os de o hay m o1 m o2 m o3 m o4 Capítulo 3: PROBLEMA DE ESTIMACIÓN DE MATRICES ORIGEN – DESTINO 139 Figura 3-13. Análisis algoritmos. Función objetivo – tiempo de computación. El algoritmo 4 realiza 200 iteraciones en menor tiempo que los demás. A continuación se presenta la Tabla 3-15 donde se comparan las diferentes metodologías en cuanto a: tiempos de ejecución del problema de asignación, tiempos de cálculo de un Jacobiano y tiempos del proceso de ajuste. Las casillas que no presentan datos se deben a que no es necesario su cálculo o son tiempos excesivos. Método Red Transporte Problema de Asignación (RGap=1e-10) Cálculo del Jacobiano (RGap=1e-10) Cálculo del Jacobiano (RGap=1e-6) Proceso ajuste (200 iteraciones) Basado en caminos Tiergarten 2,60 12,36 - 3.414 Chicago Sketch 57,40 >15.000 8.159 - Algoritmo de Dial Tiergarten 1,23 9,63 - 2.366 Chicago Sketch 32,26 >15.000 7.869 - Bar-Gera Segmentos Tiergarten 0,54 4,66 - 662 Chicago Sketch 31,60 6.496 1.332,5 - Bar-Gera Sistema Tiergarten 0,54 0,30 - 127 Chicago Sketch 31,60 5,30 - 11.526 Madrid4.196,6 4.049 - - Tabla 3-15. Resumen del tiempo de ejecución (segundos) de los algoritmos implementados. En la última columna se muestran los tiempos que emplean los procesos de ajuste. Se destaca que la metodología nombrada como Bar-Gera Sistema reporta resultados en tiempos muy 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000 100000 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 FunciónObjetivo(Z) Tiempo(seg) Algoritmo1 Algoritmo2 Algoritmo3 Algoritmo4 140 AJUSTE DE MATRICES O-D CON ASIGNACIÓN DE ALTA CONVERGENCIA asequibles. Con este algoritmo es posible llevar a cabo procesos de ajuste para la red de Chicago Sketch y Madrid. Por tanto, puede concluirse que esta metodología es válida para redes de grandes dimensiones. Los tiempos de cálculo del Jacobiano en los algoritmos 1 y 2 no fueron los esperados. Inicialmente se tenía la idea de que al dar incrementos infinitésimos a cada par O-D el cálculo de cada columna sería muy rápido. Partiendo de la solución del problema de asignación con relative gap de 10-10, al dar un incremento infinitésimo de los viajes de un par O-D se obtiene una solución con relative gap de 10-5 que es necesario equilibrar para alcanzar el nivel de convergencia previo. En el apartado 6.5 de Bar-Gera (2010) se habla de acoplamiento extremo. El autor describe un comportamiento peculiar encontrado en las redes de gran escala. Este comportamiento se da cuando el nivel de convergencia es alto y, por tanto, las diferencias de coste entre las diferentes rutas que conectan un par O-D son pequeñas. En esta situación el equilibrado de los PAS se hace menos efectivo y es necesario aumentar considerablemente el número de iteraciones para mejorar los niveles de convergencia. Este comportamiento puede ser la explicación de por qué los algoritmos 1, 2 y 3 realizan una gran cantidad de iteraciones para cada columna del Jacobiano. Durante el desarrollo de esta tesis la implementación de cada nuevo algoritmo ha llevado a una mejora de los tiempos de ejecución del anterior. Cada algoritmo supera al anterior principalmente porque es más eficiente en el cálculo de cada columna del Jacobiano. Esta eficiencia se debe en gran medida a que cada algoritmo, aunque realiza aproximadamente el mismo número de iteraciones, implementa una gestión más optimizada de los datos que sus predecesores. Con el algoritmo 4 se ha conseguido evitar el equilibrado de cada columna del Jacobiano a través de métodos iterativos. Sin embargo, plantear y resolver un sistema de ecuaciones de grandes dimensiones consume muchos recursos. La principal característica del algoritmo 4 es que resuelve cada sistema de ecuaciones empleando la pseudoinversa, que es idéntica para todos los sistemas planteados. Así, obteniendo la pseudoinversa al inicio del algoritmo, el equilibrado de cada columna del Jacobiano se reduce al cálculo del vector independiente y su multiplicación por la pseudoinversa. 3.10 RESULTADOS/APLICACIONES Una vez analizada la eficiencia computacional de los diferentes algoritmos propuestos para el cálculo del Jacobiano, se selecciona como mejor solución algorítmica el denominado Bar-Gera Capít u Siste m resol v A co n la m e 3.10 En e s cálc u esta t La m una n Para caso, para e dond e objet i El v a sufic i obte n u lo 3: PROBL E m a, descrit o v er la formu l n tinuación s e todología d e Ejemp .1 s te apartado u lo de la dire t esis (aparta d m etodología d n ueva matriz el cálculo d e como se pa r e l cálculo d e e a v v g    i vo (3.97) d e a lor de Z g    i entemente p n e r la expr e E MA DE ESTI M o en el apar t l ación de di f e presentan v e resolución lo de apli c se resuelve cción de de s d o 3.8.4). La d e resolució n ajustada m e e l paso λ pu r te de una f u e l paso, com o 1nn vv      T a aa vvv g   e la expresió n Z g , es decir, p equeño pa r e sión del J a M ACIÓN DE M t ado 3.9.4. É f erencias fin i v arias aplic a que se prop o c ación 1: R el problem a s censo se e m función obj e   Z v g n lleva a cab o e diante la sig 1nn g g    ede implem e u nción objeti v o se desarrol l  1n vg g        . La expr e n genérica ( 3 el valor del r a que las h a cobiano ∂v M ATRICES O R É ste emplea i tas propues t a ciones en l a o ne en 3.6. R ed sencil l a analizado e m plea la for m e tivo que se     1 2 g v g  o un proces o g uiente expr e  T a a vv g     e ntarse un p r vo sencilla, la en los ap a  nn gv    2 aa a a a vv v     e sión (3.100 ) 3 .35). l desplazami h ipótesis d e ∂g conti n R IGEN – DES T los tiempos t a en 3.8.4. a s que se est u l a e n la secció n m ulación de d emplea es l a   2 g v o ite r ativo e n e sión:   n a gv r oceso de b ú e s posible a l a rtados 3.6.1 T a a vv g g       a v  ) es la par t ento global e linealizaci ó n úen siendo T INO de ejecuci ó u dian las bo n n 3.8.1.1 (E j d iferencias fi n a formulada p n el que cada ú squeda line a canzar una e y 3.6.2.  T a aa vv g  i cularizació n de la matriz ó n de coste válidas. E l ó n más bajo s ndades que o j emplo 1). P i nitas propu e p or Spiess ( 1 a iteración a p al aunque, e e xpresión an ( 3 n para la f u z O-D, debe e s necesaria s l empleo d 141 s para o frece P ara el e sta en 1 990) (3.97) p ortará (3.98) e n este alítica (3.99) 3 .100) u nción ser lo s para e una 142 AJUSTE DE MATRICES O-D CON ASIGNACIÓN DE ALTA CONVERGENCIA expresión analítica reduce el coste computacional del problema ya que, si se utiliza un método de búsqueda lineal, cada iteración de dicho método necesita resolver un problema de asignación. Primera iteración: 5 i v g   Valor i = A-C 0,681914 i = A-D -0,136383 i = B-C 0,784171 i = B-D -0,0240869 Tabla 3-16. Ejemplo de aplicación 1. 5 i v g  .   i Z g g   Valor i = A-C -163,66 i = A-D 32,732 i = B-C -188,2 i = B-D 5,781 Tabla 3-17. Ejemplo de aplicación 1.   i Z g g  . La nueva matriz de viajes es:  0 10 * 545 171 1169 295 g Zg gg g               Para resolver la expresión anterior es necesario calcular previamente 263,79 a v y *0,89  . Con la primera iteración se encuentra una solución óptima, recogida en la Tabla 3-18. Capítulo 3: PROBLEMA DE ESTIMACIÓN DE MATRICES ORIGEN – DESTINO 143 Par O-D Matriz Inicial Matriz Final A-C 400 545 A-D 200 171 B-C 0 169 B-D 300 295 Tabla 3-18. Ejemplo de aplicación 1. Solución inicial y final. La nueva situación en equilibrio de usuario es: 111 12 22233 33454 4 42345 5 6 5524 6635 76 Flujo caminos Flujo arcos Coste caminos 413 413 132 303 171 245 169 548 76 301 219 247 219 AC AD BC B D hvh CCU hvhhCU hvhhCU hvhhhhCCU hvhh hvhh vh             Se observa como el flujo de v5 es muy aproximado al volumen aforado. Además, puede observarse que el par gB-C es tenido en cuenta aún sin realizar una precarga inicial. Esta propiedad es muy importante ya que al no necesitar una precarga inicial de la matriz de viajes, no se satura innecesariamente la red de transporte. Generalmente es inevitable realizar más iteraciones; el hecho de que en este caso sólo sea necesaria una única iteración es porque el desplazamiento de la matriz de viajes no es excesivo y, por tanto, se cumple en todo momento la hipótesis de linealización de los costes en caminos realizada en el análisis de sensibilidad. En la Tabla 3-19 se comparan las soluciones obtenidas para este problema. Además se adhieren tres soluciones; dos casos en los que se emplea el método propuesto por Spiess (1990) precargados con uno y diez viajes las casillas de la matriz de partida con valor nulo, y un tercer caso en el que se emplea la formulación de diferencias finitas propuesta en esta tesis pero aplicando la función objetivo de tipo entrópico siguiente:      ln vg Z vg vg vg v v      (3.101)