Comportamiento a pandeo de puentes arco

[Título] Equation Chapter 1 Section 1 Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería Civil Comportamiento a pandeo de puentes arco Autor: Francisco José Pacheco Toledano Tutor: Antonio Martinez De La Concha Departamento de Mecánica de los Medios Continuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2016 Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería Civil Comportamiento a pandeo de puentes arco Autor: Francisco José Pacheco Toledano Tutor: Antonio Martinez De La Concha Departamento de Mecánica de los Medios Continuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2016 Trabajo Fin de Grado: Comportamiento a pandeo de puentes arco Autor: Francisco José Pacheco Toledano Tutor: Antonio Martínez De La Concha El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2016 El Secretario del Tribunal A mi familia A mis maestros Resumen En este proyecto se estudia el comportamiento a pandeo de puentes arco de diversa morfología, tanto de tablero superior como de tablero inferior. Se analiza, además, el mecanismo resistente frente a la inestabilidad de este tipo de estructuras realizando diversos estudios. Se calculan las cargas críticas de pandeo de diversos modelos de puentes arco en función de numerosos factores, tales como las condiciones de contorno, flecha, luz, inercia a torsión, inercia a flexión transversal, secciones variables….Estos cálculos se realizarán haciendo uso de los programas de cálculo Midas Civil y Midas NFX. Por último, señalar que además de los cálculos y resultados numéricos, el proyecto va a realizar un recorrido por las teorías generales de pandeo, tanto para elementos de directriz recta como para elementos de directriz curva, exponiendo las diferentes formas de inestabilidad que pueden presentar los elementos en arco. Así como, se introducirán previamente las características más importantes que presentan los puentes en arco, como su distinguida forma antifunicular y el complejo proceso constructivo que requieren. 3 Índice ge n e r a l Resumen 3 I ´ndice ge n e r a l 5 I ´ndice de fi g u r a s 8 I ´ndice de tablas 10 Motivación y objetivos generales 12 Estructuración del trabajo 13 1. Puentes arco 14 1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2. Tipos de puentes arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3. Proceso constructivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4. Antifunicularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5. Resistencia de Materiales. Directriz curva. . . . . . . . . . . . . + . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5.1. Hipótesis de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5.2. Ecuaciones de equilibrio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5.3. Arco triarticulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2. Pandeo 26 2.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2. Inestabilidad general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.1. Elementos de directriz recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.2. Elementos de directriz curva. Pandeo en el plano . . . . . . . . 28 2.2.3. Elementos de directriz curva. Pandeo fuera del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3. Tipos de inestabilidad del arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4. Tipos de análisis de pandeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4.1. Análisis lineal de pandeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4.2. Análisis no lineal de pandeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4.3. Justificación del análisis adoptado para el cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5 5 Indice General 6 3. Modelos de Cálculo 37 3.1. Introducción. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2. Geometría y sección. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2.1. Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2.2. Tablero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2.3. Pilas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2.4. Péndolas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3. Material. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4. Valores de las acciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4.1. Cargas permanentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4.2. Sobrecarga de uso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4.3. Acción del viento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.5. Modelos de cálculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4. Análisis estructural 43 4.1. Estudio del mecanismo resistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.1.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.1.2. Secciones y geometría. . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 43 4.1.3. Análisis y resultados. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 44 4.2. Estudio de la fuerza en las péndolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2.1. Introducción y geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2.2. Metodología. . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 46 4.2.3. Resultados. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 47 5. Arco exento 49 5.1. Influencia de las condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.2. Carga crítica lineal vs no lineal. . . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . 52 5.3. Efecto de la sección variable. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 53 5.4. Relación entre inercias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.5. Influencia de la discretización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.6. Carga no simétrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.7. Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . 61 6. Puente arco de tablero inferior 62 6.1. Relación flecha-luz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.2. Relación entre inercias. . . . . . . . .. . . .. . . .. . . . . . . . . . . . 64 6.3. Influencia del área de las péndolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 6.4. Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . 67 Estructuración del trabajo El documento se presenta organizado de la siguiente forma: • Capítulo I: Puentes arco Es un breve capítulo introductorio donde se expone la evolución que han experimentado los puentes arco a lo largo de la historia, así como se introduce su proceso constructivo y la forma antifunicular característica de este tipo de estructuras. También se realiza un breve desarrollo matemático sobre el cálculo de elementos de directriz curva. • Capítulo II: Pandeo Se desarrollan los aspectos teóricos del problema de inestabilidad tanto para elementos de directriz recta como para elementos de directriz curva. Se exponen además las características que presentan los análisis lineal y no lineal de pandeo, así como los tipos de inestabilidad que puede sufrir un arco. • Capítulo III: Modelos de Cálculo Se presentan los diferentes modelos que se utilizarán para realizar los diversos cálculos en este proyecto, así como las secciones y el material utilizado para cada elemento estructural. • Capítulo IV: Análisis estructural Se realiza un análisis sobre los diferentes mecanismos resistentes frente al pandeo que presentan los diversos modelos de puentes arco empleados. Además se elabora un estudio sobre la evolución de la fuerza en las péndolas para puentes arco atirantados. • Capítulos V al VII: Se presentan los resultados obtenidos sobre la evolución de la carga crítica de pandeo para cada uno de los modelos de puente utilizados en función de numerosos factores, tales como las condiciones de contorno, luz, flecha, inercia a torsión, inercia a flexión transversal, secciones variables, etc… 13 Capítulo 1 Puentes arco 1.1 Introducción A lo largo de la historia de la humanidad el ser humano se ha topado con la necesidad de salvar obstáculos naturales tales como ríos o valles. Como solución estructural a este problema surgen los puentes [1], que hoy día no solo se han convertido en un elemento muy básico para la sociedad, sino que representan un símbolo de su capacidad tecnológica. Los primeros puentes que se construyeron no eran más que plataformas horizontales sujetadas en sus extremos por elementos tales como piedras o troncos. Años más tarde este tipo de construcciones se fue modernizando pero seguían utilizando el mismo mecanismo resistente, plataformas horizontales elevadas a una cierta altura por sus extremos. Por ello el desarrollo del diseño de puentes arco (cuyos inicios datan entorno a los primeros siglos d.c.) fue un hito en la historia de la ingeniería estructural ya que permitía reducir la cantidad de material empleado y dar solución a las numerosas roturas de puentes que se estaban produciendo hasta la época. El mecanismo resistente de este nuevo diseño de puentes permite trabajar fundamentalmente mediante esfuerzos de compresión (debido a la disposición de su geometría), a diferencia de los diseños iniciales que trabajan mediante importantes esfuerzos de flexión. De la ecuación que permite obtener la tensión en función de los esfuerzos axil y flector: N M y A Izz σ = − (1.1) Se obtiene la distribución de tensiones en la sección para el caso de flexión simple y compresión pura. 14 Capítulo 1. Puentes arco 15 Figura 1.1 Distribución de tensiones en la sección De ahí que al aprovechar mucho más el material se pudieran salvar grandes luces incluso antes de la aparición de materiales más resistentes como el hormigón armado y el acero. Muy famosos son los numerosos puentes de piedra romanos cuyo diseño se basaba en este mecanismo de transmisión de tensiones. Figura 1.2: Puente romano de Alcántara El diseño del arco se extendió más allá de las construcciones de puentes, acueductos… Llegando a cobrar gran importancia en las construcciones arquitectónicas como palacios y catedrales, ya que además de ser un diseño muy efectivo para salvar distancias dotaba a la estructura de una imponente belleza visual. Dado que el arco es una estructura básicamente comprimida se puso en auge la utilización de materiales muy resistentes a compresión y con baja resistencia a tracción (madera, piedra y ladrillo). Por lo que se necesitaba adecuar perfectamente la forma del arco con el objetivo de reducir la flexión y evitar así las tracciones. El enorme éxito que tuvo la utilización de estos tipos de materiales para la estructura del arco, hizo que se retrasase durante siglos la aparición de nuevos materiales. Capítulo 1. Puentes arco 16 A finales del siglo XVIII se empezó a desarrollar una nueva tipología de puentes arco construidos mediante hierro fundido que posteriormente evolucionaría hacia materiales como el acero o el hormigón [2], que dotaban de una mayor calidad a las estructuras y permitían ampliar el rango de luces que se podía construir. Figura 1.3 Puente Bayonne. Construido con acero (el más largo del mundo en el momento de su construcción 1931 ) Figura 1.4 Puente Wanxian (China) Uno de los puentes arco de hormigón más grandes del mundo. En la actualidad el diseño de puentes arco convive con otros diseños también muy efectivos desde el punto de vista estructural como son los puentes atirantados, que incluso permiten Capítulo 1. Puentes arco 17 salvar mayores luces. Pero este hecho no ha impedido que se sigan desarrollando nuevos diseños de puentes arco cada vez más eficientes y de gran belleza visual. A continuación se muestra una tabla de los puentes arco construidos a lo largo de los últimos años que permiten salvar mayores distancias: Año de Servicio Puente Longitud(m) Longitud del vano (m) Material 2009 Chaotianmen (china) 1741 552 Acero 2003 Lupu (china) 3900 550 Acero/Hormigón 2012 Bosideng (china) 1739 530 Tubo de acero relleno de hormigón 1977 New River Gorge (EEUU) 924 518 Acero 1931 Bayonne (EEUU) 1761 504 Acero 1997 Wanxian (china) 864 420 Hormigón Tabla 1.1 Ejemplos de los puentes arcos más grandes del mundo Como se observa en la tabla anterior en la actualidad se han llegado a superar luces de hasta 550 metros demostrando el increíble potencial que han desarrollado este tipo de estructuras con la aparición de materiales más resistentes. 1.2 Tipos de puentes arco El puente arco se puede clasificar desde un punto de vista de: 1. La morfología • Puente arco con tablero superior • Puente arco con tablero intermedio • Puente arco con tablero inferior La situación relativa entre el arco y el tablero viene dada por una relación flecha-luz adecuada que permita solventar de manera eficiente la problemática en cada caso. 2. Material utilizado • Acero • Hormigón armado • Piedra, madera y ladrillo ( utilizados históricamente) Capítulo 1. Puentes arco 18 Como se observa los materiales utilizados a lo largo de la historia para la construcción de puentes arco se caracterizan por una elevada resistencia a compresión debido a su mecanismo resistente. 3. Condiciones de contorno • Arco biempotrado • Arco biarticulado • Arco triarticulado 4. La directriz del arco La directriz más efectiva será aquella con la cual el arco trabaje con los mínimos esfuerzos de flexión, es decir, aquella directriz que coincida o se aproxime lo mejor posible a la forma antifunicular de las cargas a las cuáles está sometida(véase el capítulo [1.4] ). Dicha forma será: • Forma parabólica • Forma circular • Forma de catenaria 5. Sección transversal De acuerdo a su sección transversal la clasificación de los arcos se divide en varios tipos: • Sección cajón de una o varias células. • Sección rectangular maciza. • Secciones tubulares • Celosías • Sección constante o variable 1.3. Proceso constructivo Uno de los principales motivos por el cual se ha limitado la longitud de los puentes arco a lo largo de la historia, ha sido por el tremendo grado de dificultad que presenta su construcción. El proceso constructivo de este tipo de puentes es uno de los más complejos y requiere técnicas muy avanzadas [3]. Parte de esta problemática se debe al hecho de que el mecanismo resistente del arco no puede funcionar como tal hasta que la estructura no se encuentra totalmente terminada, produciéndose importantes esfuerzos de flexión durante su construcción. Capítulo 1. Puentes arco 19 Los procesos constructivos más frecuentes son los siguientes: • Construcción por voladizos sucesivos: Éste es el método más frecuente donde se avanza desde los estribos [4]. Tiene numerosas variantes, una de ellas se representa en el siguiente esquema donde se muestra la construcción de un puente arco de tablero superior de hormigón utilizando atirantamientos provisionales. Figura 1.5 Proceso constructivo de arcos mediante voladizos sucesivos. • Construcción sobre cimbra: Se trata del sistema clásico donde las dovelas se apoyan en una estructura auxiliar hasta cerrar el arco. Para el caso de grandes luces, donde las condiciones de apoyo en el centro del vano son complicadas, este sistema de construcción prácticamente desaparece. • Abatimiento de los semiarcos: Consiste en construir los dos semiarcos en la vertical de los estribos y una vez concluidos abatirlos mediante un giro hasta cerrarlos en clave. Muy utilizado para arcos metálicos. Capítulo 1. Puentes arco 20 Figura 1.6 Proceso constructivo de arcos mediante abatimiento de los semiarcos • Basculamiento de arcos con giro horizontal: Éste método de construcción es muy similar al anterior pero el basculamiento del arco se realiza mediante un giro de eje horizontal. • Construcción mediante cable colgado: Se construyen torres provisionales en los estribos y se cuelgan cables de los cuales penden las dovelas que se empalman hasta cerrar el arco. Figura 1.7 Proceso constructivo de arcos mediante cable colgado • Traslación horizontal o vertical: Se utiliza para arcos de tablero inferior habitualmente. 1.4 Antifunicularidad El mecanismo resistente de la estructura del arco depende fuertemente de su geometría y por tanto han sido numerosos los estudios que se han realizado a lo largo del tiempo con el objetivo de encontrar la geometría más adecuada para cada tipo de carga. El concepto de arco está íntimamente ligado, en su forma más o menos perfecta, a la forma antifunicular de las cargas que sobre él actúan. Capítulo 1. Puentes arco 21 Intuitivamente se puede llegar al concepto de la estructura antifunicular a través de su comparación con un cable suspendido (que trabaja a tracción en todo su dominio) sometido a una serie de cargas puntuales. Figura 1.8 Comparación cable-arco forma antifunicular En el capítulo [1.5.3] se ha desarrollado matemáticamente el cálculo para obtener la forma antifunicular de las cargas de un arco triarticulado como apoyo y mejor comprensión para este apartado. Así mediante numerosos estudios se han obtenido diversas formas antifuniculares en función de la carga aplicada sobre la estructura: • Forma parabólica: para arcos sometidos a cargas uniformemente repartidas en proyección horizontal. • Forma circular: para arcos sometidos a cargas uniformemente repartidas y radiales. • Forma de catenaria: para arcos sometidos a cargas uniformemente repartidas sobre la directriz. También hay que destacar que aunque se diseñen los arcos con directrices cuya forma sea la antifunicular de las cargas, no hay que pensar que este tipo de estructuras trabaja solamente a esfuerzos de compresión. De hecho se encuentran sometidos a importantes esfuerzos de Capítulo 1. Puentes arco 22 flexión, que exigen que se dote a los arcos de cierta rigidez a flexión. Este hecho se debe principalmente por 2 motivos: • Aunque se dote de una directriz al arco cuya forma sea la antifunicular de las cargas permanentes consideradas, no hay que olvidar la presencia de cargas móviles sobre la estructura que provocará la aparición de esfuerzos de flexion. • Si el arco se encuentra sometido a cargas importantes, la compresión provocará un acortamiento de la directriz apareciendo giros de las secciones y por consecuente flexiones en el arco. Por tanto habría que considerar al arco como una estructura que trabaja siempre a flexocompresión independientemente de la forma que siga su directriz. 1.5 Resistencia de Materiales. Directriz curva 1.5.1 Hipótesis de cálculo Dado que para la mayoría de los arcos que se construyen su radio de curvatura es mucho mayor que las dimensiones transversales de su sección, se puede aceptar la simplificación de pequeña curvatura, lo que permite utilizar la teoría convencional de flexión de vigas considerando un dominio curvo para la estructura, en vez de utilizar una teoría especial para piezas curvas [5]. Dado la gran esbeltez que suelen presentar los arcos no se considera la energía debida al esfuerzo cortante ya que ésta suele ser despreciable. 1.5.2 Ecuaciones de equilibrio Para hallar las ecuaciones de equilibrio se aísla un elemento infinitesimal dS de la propia sección del arco que corresponde a un ángulo dθ. Capítulo 2. Pandeo 29 La ecuación anterior se puede reescribir como: 22 2 0 d w k w d s + = donde 2 2 1 P k R EI = + (2.8) Como se observa esta última ecuación es similar a la de Euler para barras rectas, añadiendo un nuevo término que tiene en cuenta el radio de curvatura del arco. Imponiendo las diversas condiciones de contorno se pueden obtener múltiples soluciones al problema de pandeo anterior. Es necesario indicar, además, que la propia geometría del arco le confiere una inestabilidad natural a su mecanismo resistente, ya que al acortarse por deformación se produce un aumento de los esfuerzos axiles. Pero este tipo de inestabilidad es menos severa que la producida en barras rectas, ya que el arco, debido a que sus apoyos se encuentran fijos, tiende a pandear de una forma más resistente que en el caso de una columna. De manera que se vuelve imprescindible el uso de modelos numéricos como el método de los elementos finitos para resolver el pandeo de elementos de directriz curva, debido a la no linealidad que presentan este tipo de estructuras. 2.2.3 Elementos de directriz curva (pandeo fuera del plano) Dados los actuales diseños basados en arcos cada vez más esbeltos, uno de los principales problemas que presentan este tipo de estructuras es la inestabilidad que se produce fuera del plano del arco, apareciendo flexión lateral y torsión en la sección. El planteamiento clásico de este problema fue desarrollado por Timoshenko [6], en el que se considera una barra de directriz curva con la siguiente configuración: Figura 2.3 Configuración geométrica de una barra de directriz curva Capítulo 2. Pandeo 30 La deformación del elemento de barra curvo se debe a la flexión en cada uno de los planos principales, así como la torsión alrededor del eje z. Siendo las ecuaciones diferenciales que gobiernan el problema: 2 2 2 2 1 x x y y z d y M EI R d s x d x M EI R d s d dy M GJ ds R ds φ φ   = −       = +       = +     (2.9) A partir de dichas ecuaciones se obtuvo la carga crítica para el pandeo de arcos bajo compresión uniforme (biarticulado): ( ) 2 2 2 22 2 2 x critica x EI PREI GJ π α α π α − =     +         (2.10) Como se observa a través de la carga crítica, la inestabilidad lateral del arco depende de la inercia a torsión, inercia a flexión lateral y del radio de curvatura del elemento. 2.3. Tipos de inestabilidad del arco a) Pandeo en el plano del arco Existen dos posibles tipos de pandeo del arco en su propio plano, que se produzca uno u otro depende fundamentalmente de la esbeltez del elemento y de la geometría adoptada en función de su directriz. • Pandeo simétrico Figura 2.4 Pandeo simétrico de un arco Capítulo 2. Pandeo 31 • Pandeo antisimétrico Figura 2.5 Pandeo antisimétrico de un arco b) Pando fuera del plano del arco Se produce debido a la aparición de torsión y flexión lateral en la sección. Ocurre en arcos estrechos con baja rigidez a flexión lateral. Figura 2.6 Pandeo fuera del plano de un arco c) Snap-through Es un problema de inestabilidad característico de los arcos debido a su especial geometría. Consiste en la inversión completa del arco, adoptando una nueva posición de equilibrio que le permite continuar con su labor resistente [7]. Capítulo 2. Pandeo 32 En la imagen siguiente se observa perfectamente el fenómeno descrito: Figura 2.7 fenómeno de snap-through Al aumentar la carga que actúa sobre el arco, éste se irá deformando y en consecuencia aumentarán los esfuerzos de compresión y las reacciones horizontales en los apoyos. Al llegar a una determinada posición (punto límite) el arco se vuelve inestable continuando su deformación hasta llegar a una posición de arco completamente invertido. Una vez alcanzada esta nueva configuración de equilibrio el arco se encuentra apto para admitir nuevos incrementos de carga. A continuación se muestra el gráfico carga-desplazamiento que describe este tipo de inestabilidad: Capítulo 2. Pandeo 33 Figura 2.8 Gráfico carga-desplazamiento snap-through Aunque la nueva configuración de equilibrio alcanzada por el arco le permita continuar con su labor resistente, éste se da por agotado ya que deja de cumplir los requisitos de servicio. 2.4. Tipos de análisis de pandeo 2.4.1 Análisis lineal de pandeo El método lineal de cálculo asume que el cambio de rigidez debido a la deformación de la estructura es despreciable y por tanto las propiedades no cambian durante todo el proceso de deformación, manteniendo la rigidez inicial de la estructura indeformada. Éste tipo de análisis permite calcular el valor de la carga crítica de pandeo usando teorías clásicas lineales como la de Euler (vista anteriormente [2.2]). Se aplica a estructuras en fase elástica con una geometría no muy compleja, o incluso a estructuras complejas cuando se considera que las diferencias producidas por un análisis más detallado son despreciables y asumibles. Para éste tipo de análisis no se pueden tener en cuenta las no linealidades reales del problema. El cálculo de las cargas críticas de pandeo se basa en la resolución del problema de autovalores y autovectores (implementado en los programas de cálculo de elementos finitos [8]) que se representa a continuación: Antes de que ocurra el pandeo, la estructura se encuentra en un estado de equilibrio lineal. El aumento de la fuerza aplicada sobre la estructura puede describirse consecuentemente como: [ ] [ ] ( ) { } { } G K K U R + ∆ = ∆ (2.11) Donde [ ] K representa la matriz de rigidez elástica, [ ] G K la matriz de rigidez geométrica, U ∆ representa el vector del incremento del desplazamiento y R ∆ el vector del incremento de la fuerza nodal aplicada. La matriz de rigidez geométrica modela el cambio de rigidez a flexión que se produce en la estructura debido a que existen compresiones (disminuye la rigidez) o tracciones (aumenta la rigidez). Capítulo 2. Pandeo 34 La formulación matricial de la matriz de rigidez geométrica usada para la resolución de este problema es una aproximación de la teoría clásica, en la cual se consideran funciones de estabilidad que relacionan las fuerzas aplicadas y las deformaciones. La matriz de rigidez geométrica para elementos de 6 grados de libertad viene dada por: [ ] 2 2 2 0 0 0 0 0 0 6 6 0 5 10 5 10 20 15 10 30 0 0 0 6 5 10 2 15 G L L L L L P KL L L       − − −       −   = −                 De acuerdo con la teoría lineal de algebra, se cumple: [ ] [ ] 0 G K K + = (2.12) Bajo la hipótesis de pequeñas deformaciones se tiene que G K es proporcional al esfuerzo y por tanto las cargas externas también están relacionadas de manera lineal. Como resultado asumiendo una relación lineal entre la carga crítica de pandeo y la carga aplicada. { } { } crítica P P λ = (2.13) y definiendo G K como la matriz de rigidez geométrica por unidad de carga, se llega a: [ ] G G K K λ   =   (2.14) Reescribiendo la eucuación 2.12 se obtiene: [ ] 0 G K K λ   + =   (2.15) Donde la resolución del problema de autovalores anterior permite determinar las distintas cargas críticas de pandeo de la estructura λ (factor por el que se deben multiplicar las cargas externas para que se desencadene el problema de pandeo) y sus correspondientes autovectores asociados a los modos de pandeo de la misma. Capítulo 2. Pandeo 35 2.4.2 Análisis no lineal de pandeo A diferencia del método lineal, sí se tendrá en cuenta el cambio de rigidez producido en la estructura como consecuencia de su deformación. Este método se basa en la aplicación de pequeños pasos de carga, en los cuáles se calculan las nuevas propiedades de la estructura como consecuencia del cambio de rigidez, hasta que se alcanza una configuración de equilibrio inestable. Este análisis permite incluir tanto la no linealidad geométrica de la estructura como la no linealidad del material, obteniendo por tanto mejores aproximaciones a la carga crítica de pandeo real. Además permite realizar un análisis post-pandeo de la estructura, siempre y cuando la aparición de la inestabilidad no suponga el fin de su capacidad portante. De ahí que sea muy utilizado para analizar el fenómeno de snap-through explicado anteriormente. A continuación se presenta el desarrollo para el cálculo no lineal implementado en el método de los elementos finitos [9]: La ecuación que gobierna el problema estructural puede ser descrita como: ( ) K u u P ∆ =∆ (2.16) Donde u ∆ representa el desplazamiento incremental desconocido , P ∆ la carga incremental aplicada y K la matriz de rigidez de la estructura que depende de la deformación de la misma. Para resolver este tipo de problemas no lineales la mayoría de programas de elementos finitos usan métodos muy efectivos como el método newton-raphson. Dicho método empieza con una solución inicial (arbitraria) u=u i para determinar la magnitud del siguiente incremento: ( ) 1 i i u K u P − ∆ = ∆ (2.17) y el vector de carga residual: ( ) i i i R P K u u ∆ =∆ − ∆ (2.18) que deberá ser 0 o como máximo el criterio de convergencia impuesto previamente. De manera que si no se satisface la hipótesis anterior se adoptará una nueva solución inicial desarrollando todo el proceso de nuevo. 1 i i i u u u + = + ∆ ( ) 1 1 1i i u K u P − + + ∆ = ∆ (2.19) ( ) 1 1 1 i i i R P K u u + + + ∆ =∆ − ∆ Capítulo 2. Pandeo 36 Este procedimiento se repite hasta que la convergencia sea lograda. 2.4.3 Justificación del análisis adoptado para el cálculo Debido a la geometría del arco y teniendo en cuenta que las deformaciones en su plano provocarán una variación importante de los esfuerzos axiles afectando consecuentemente a la carga de pandeo crítica, se adoptará un cálculo de pandeo no lineal teniendo en cuenta la no linealidad geométrica de la estructura. Sin embargo para mostrar las diferencias que podrían producirse al utilizar uno u otro análisis se realizará una comparativa de los resultados obtenidos. Capítulo 3 Modelos de cálculo 3.1 Introducción En el presente trabajo se ha empleado para todos los cálculos estructurales el programa de cálculo de puentes Midas Civil , excepto para ciertos modelos que ha sido necesario utilizar el programa de elementos finitos Midas NFX debido a restricciones de cálculo del primero. Así mismo, para la generación de gráficos se ha utilizado el programa Matlab. Ambos programas, Matlab y Midas han sido utilizados por el autor de este proyecto debido al amplio manejo y familiaridad que contaba con los mismos. Se han utilizado principalmente 2 tipologías de puentes arco que constan de los siguientes elementos: -Puente arco de tablero inferior: Formado por un tablero que transmite las cargas hacia el arco mediante una serie de péndolas que trabajan a tracción. -Puente arco de tablero superior: Consta de un tablero que transmite las cargas hacia el arco mediante elementos de compresión como son las pilas. 3.2 Geometría y sección Para cada uno de los elementos estructurales se utilizará la sección tipo que se detalla a continuación: 37 Capítulo 3. Modelos de Cálculo 38 3.2.1 Arco La sección del arco será rectangular hueca con la siguiente geometría: Figura 3.1 Sección tipo del arco Dado que las cargas impuestas sobre la estructura (para todos los cálculos) son cargas repartidas en proyección horizontal, se ha optado por una directriz parabólica para la forma del arco de manera que se asemeje lo mejor posible a la forma antifunicular de las cargas. 3.2.2 Tablero La sección del tablero será un perfil en cajón de pared vertical con la siguiente geometría: Figura 3.2 Sección tipo del tablero 3.2.3 Pilas Las pilas están constituidas por perfiles rectangulares macizos de dimensiones BxH Capítulo 4. Análisis estructural 45 Figura 4.1 Carga crítica y modo de pandeo de los diferentes modelos analizados Al comparar la inestabilidad del arco exento con la del puente arco atirantado se observa que aunque ambos modos de pandeo son similares (pandeo fuera del plano), la solicitación que desencadena la inestabilidad es mucho más alta, casi 4 veces superior. Esto se debe en parte debido a que la colaboración del arco con el tablero aporta mucha rigidez a la estructura y de ahí que las cargas de pandeo sean mucho más altas. Pero para el caso de pandeo fuera del plano, además del aumento de rigidez, existe una contribución muy eficaz de las péndolas que tienden a retener el arco conforme se va deformando, desarrollando una importante componente horizontal cuyo estudio detallado se expone en este mismo capítulo (4.2) Ocurre un mecanismo resistente totalmente diferente para el caso de puentes arco con tablero superior. El aumento considerable de la carga crítica de pandeo se debe en parte, como en el caso anterior, al aumento de rigidez al colaborar arco y tablero, pero fundamentalmente por la rigidez a torsión y flexión que aportan los pilares. Y es que si se dobla una de las dimensiones de estos pilares se consigue casi duplicar la carga crítica de pandeo (5116.2 KN/m). Cosa bien diferente ocurre si la coacción de los pilares con los demás elementos estructurales (arco y tablero) fuera libre con respecto al giro, es decir, si los pilares estuvieran biarticulados. En este caso se originaría una fuerza desestabilizadora procedente de la carga de los pilares cuya dirección sería la misma que la deformación del arco. En este caso la carga crítica de pandeo sería de 89.7 KN/m, incluso inferior que la del propio arco exento. 4.2. Estudio de la fuerza en las péndolas Para comprender de una manera más eficaz el comportamiento estructural de los puentes arco atirantados frente al pandeo y la contribución de las péndolas al mismo, se va a realizar un estudio de las fuerzas horizontales que aparecen en las péndolas a medida que se va produciendo el pandeo en la estructura. 4.2.1. Introducción y geometría Como se ha indicado en apartados anteriores, uno de los principales motivos por los que se aumenta considerablemente la carga de pandeo en puentes arco atirantados frente a la carga de pandeo del propio arco aislado, además de considerar el aumento de rigidez por colaboración del tablero, se debe a la presencia de las péndolas que unen el arco con el tablero. Al producirse el pandeo fuera del plano las péndolas tienden a retener al arco generando unas fuerzas horizontales [12] , que serán objeto de estudio. Capítulo 4. Análisis estructural 46 x y Figura 4.2 Dirección de la fuerza generada en las péndolas al retener el arco Este estudio se ha realizado para un puente de 120 metros de luz, 18 metros de flecha y con las dimensiones de tablero, arco y péndolas ya predefinidas anteriormente. 4.2.2. Metodología de estudio El pandeo es un fenómeno de inestabilidad que se produce en las estructuras cuando pierden toda su rigidez. Pero esto no ocurre de manera instantánea sino que se produce una pérdida progresiva de rigidez provocada por un aumento progresivo de la carga. Por lo que antes de que se produzca el fallo completo del puente atirantado, las péndolas habrán desarrollado una fuerza horizontal en función de la carga aplicada. Ese es por tanto el objetivo principal de este estudio, obtener la distribución de la fuerza horizontal (Fh) generada en las péndolas a lo largo de la luz de la estructura mientras se va produciendo el pandeo, y obtener la evolución de la carga en cada péndola a medida que se incrementa la fuerza aplicada. Para conseguir éste propósito ha sido necesario realizar un análisis de pandeo no lineal en el que se han establecido diferentes cargas máximas, de cada vez mayor valor, con el objetivo de ir provocando la inestabilidad en la estructura poco a poco e ir observando su evolución. La metodología a seguir consistirá en el cálculo de la fuerza horizontal generada en cada uno de las péndolas al aplicar sobre la estructura una determinada carga, siempre menor que la carga crítica de pandeo (que para este problema en concreto ya se calculó anteriormente.  λ 1 = 1263 KN/m) Para este análisis en concreto ha sido necesario utilizar el programa de elementos finitos Midas NFX. Capítulo 4. Análisis estructural 47 4.2.3. Resultados Figura 4.3 Evolución de la componente horizontal de la fuerza en las péndolas La grafica anterior muestra la distribución de la fuerza horizontal en las péndolas (14 en total con una separación de 9 metros) a medida que se va produciendo el pandeo en la estructura. Se aplica progresivamente una mayor carga desde 0.1 λ 1 a 0.94 λ 1 (considerándose éste último valor lo suficientemente cercano a la carga de pandeo como para no seguir aumentándose). La diferencia entre la péndola más cargada (la central) y la menos cargada (la del extremo) es mínima para una carga de 0.1 λ 1 , debido a que la inestabilidad producida es pequeña. En cambio para una carga cercana a la de pandeo 0.94 λ 1 se observa una gran inestabilidad en la estructura alcanzándose un pico de fuerza en la péndola central de 28.2 KN, aproximadamente unas 12 veces superior a la fuerza que experimenta la péndola menos cargada. De esto se deduce que mientras va evolucionando la estructura hacia el pandeo, la péndola central es la que desarrolla una mayor fuerza para retener al arco (lo que concuerda perfectamente con la geometría del puente), teniendo dicha fuerza un claro carácter no lineal, aumentando casi exponencialmente para cargas cercanas a la de pandeo. En el siguiente gráfico se puede apreciar perfectamente dicho fenómeno. Capítulo 4. Análisis estructural 48 Figura 4.4 Evolución de la fuerza horizontal en las péndolas Se observa como la evolución de la fuerza que desarrolla la primera péndola con respecto a la carga aplicada tiene una relación casi lineal, mientras que a medida que la péndola se aproxima al centro del puente dicha relación adquiere un carácter exponencial. Capítulo 5 Arco exento Realizar previamente el estudio de inestabilidad para el arco exento [13] ayudará mucho a comprender como es la evolución de la carga de pandeo al añadir elementos que aporten una mayor inercia y/o superficie, tales como el propio tablero del puente, las péndolas para el caso de puentes atirantados y las pilas para el caso de puentes con tablero superior. Es por ello que, antes de realizar el estudio para los diferentes tipos de puentes, se ha considerado muy necesario realizarlo previamente para la estructura esencial de éstos, como es el arco, con el objetivo de aislar su contribución . Se han utilizado para el arco las dimensiones establecidas en el capítulo 4 de análisis estructural, excepto para aquellos resultados en los que sea necesario modificar dichas dimensiones, que se presentarán en tablas contiguas a los gráficos obtenidos. 5.1 Influencia de las condiciones de contorno A continuación se presenta la distribución de la carga crítica de pandeo en función de la relación Flecha-Luz para arcos con diferentes tipos de coacción en los estribos [14] (arcos biempotrados y arcos biapoyados). Como ya se comentó en el capítulo 3 el valor de la carga crítica de pandeo será el correspondiente a la sobrecarga que produciría la inestabilidad en la estructura, al considerarse como única carga variable de importancia en el cálculo. Se han utilizado modelos de arco cuyas luces varían entre los 60 y 240 metros. El caso particular de arcos con una relación Flecha-Luz igual a 0 no se ha considerado en el cálculo, ya que sería el ejemplo correspondiente a una barra recta y por tanto no pertenece al objetivo considerado en este proyecto. 49 Capítulo 5. Arco exento 50 Figura 5.1 Relación Flecha-Luz para arco biapoyado Del gráfico se deduce que la carga crítica de pandeo aumenta hasta alcanzar un máximo para una relación Flecha-Luz aproximadamente de 0.15 y luego decrece hasta alcanzar un valor casi asintótico. Dicho máximo se mantiene prácticamente para cualquier rango de luz utilizado para el cálculo. Se puede observar perfectamente que a mayor luz , la carga crítica de pandeo se reduce drásticamente, deduciéndose de este hecho que cuánto más peraltado sea el arco, debido a su geometría, menores son los esfuerzos axiles que sufre y por consecuencia mayor será la carga crítica de pandeo. Capítulo 5. Arco exento 51 Figura 5.2 Relación Flecha-Luz para arco biempotrado Para el caso de arcos biempotrados el máximo de la carga crítica de pandeo se da para una relación Flecha-Luz entre 0.2 y 0.25. De aquí se puede deducir la primera conclusión sobre la influencia de las condiciones de contorno en la carga crítica de pandeo, ya que en éste último caso, debido a que se genera una forma de pandeo del arco más resistente, permite aumentar la relación Flecha-Luz para la cual dicha carga alcanza su máximo. Observando la magnitud de las cargas críticas de pandeo y comparando con el resultado anterior se puede deducir la enorme inestabilidad que se produce en este tipo de estructuras al permitir el libre giro en los estribos sin ningún tipo de coacción. Además el aumento de la carga crítica al reducir la luz del arco se acentúa mucho más para el caso de arcos biempotrados, donde la diferencia de carga máxima entre el arco de menor luz con respecto al de mayor es casi 10 veces superior. Capítulo 5. Arco exento 52 No es casualidad que los grandes puentes arco de hormigón se hayan diseñado para relaciones Flecha-Luz cercanas al máximo. Como es el caso del Viaducto de los Tilos, del cual ya se comentó en el capítulo 3 por ser el referente utilizado para la modelización del puente arco de tablero superior en este proyecto. 5.2 Carga crítica lineal vs No lineal Con el objetivo de observar la influencia que se produce en la carga crítica realizar los diferentes tipos de análisis de pandeo, se ha establecido un gráfico comparativo en el que se muestra la relación Flecha-Luz para diferentes modelos de arcos biempotrados, mediante cálculo lineal y cálculo no lineal. Figura 5.3 Comparación de carga crítica lineal y no lineal Como se aprecia en la figura las cargas críticas de pandeo calculadas mediante análisis no lineal son sensiblemente menores en todos los casos a las calculadas mediante análisis lineal. Capítulo 5. Arco exento 53 El cambio de rigidez provocado por la deformación del arco al acortarse, se deriva en un aumento de los esfuerzos axiles y los momentos. Debido a la propia geometría del arco, éste aumento de los axiles será menor cuanto más peraltado sea el mismo. De modo que cuanto más relación flecha-Luz presente el arco, menor diferencia de carga crítica se producirá entre los dos tipos de análisis. A continuación se presenta una tabla que muestra las diferencias porcentuales de la carga crítica con respecto a los dos tipos de análisis para los modelos calculados: Diferencia porcentual entre análisis lineal y no lineal Relación F/L L=60 m L=80 m L=120 m 0.1 8.75 8.55 8.59 0.15 8.4 8.32 8.39 0.25 8.12 8.033 8.24 0.33 7.63 7.66 7.7 0.5 7.1 6.92 7.03 0.66 6.55 6.71 6.1 1 4.5 4.7 4.8 Tabla 5.1 Diferencia porcentual entre análisis lineal y no lineal Como se puede observar en la tabla anterior, las diferencias entre los dos tipos de análisis disminuyen al aumentar la relación Flecha-Luz, tal y como se explicó previamente. 5.3 Efecto de la sección variable En la gran mayoría de los arcos de hormigón que se construyen, se suelen aumentar los espesores de la sección cerca de los estribos, debido al gran aumento de los esfuerzos de flexión que se producen en dicha zona. Por ello se ha querido estudiar la influencia que produce en la carga crítica de pandeo el aumento los espesores de la sección. Dicho aumento se ha modelado con una variación lineal desde el estribo (dimensiones máximas) hasta una tercera parte del semiarco considerado (dimensiones mínimas), tal y como se establece en las numerosas fichas técnicas de puentes arco de hormigón consultadas. Capítulo 5. Arco exento 54 Las dimensiones del arco a considerar serán: Dimensión estribo Dimensión estándar -H:1.5 m -H:1.5 m -B:2 m -B:2 m -th:0.25 m -th:0.15 m -tf:0.25 m -tf:0.15 m Carga crítica de pandeo Arco biempotrado con aumento de sección Relación F/L L=60 m L=80 m L=120 m L=240 m 0.1 2609.5 991.48 300.1 126.13 0.15 3062.8 1166 373.01 171.86 0.25 3145.02 1197.46 393.4 147.8 0.33 2708.7 1031.5 339.5 105.242 0.5 1707.5 649.4 213.46 53.8 0.66 1043.7 396.85 130.13 34.5 Tabla 5.2 Carga crítica para arco biempotrado con aumento de sección Diferencia porcentual entre secciones Relación F/L L=60 m L=80 m L=120 m L=240 m 0.1 4.87 4.4 4.23 3.85 0.15 4.91 4.64 4.41 3.94 0.25 4.96 4.71 4.63 4.07 0.33 5.1 4.86 4.71 4.2 0.5 5.34 4.96 4.87 4.35 0.66 5.5 5.1 4.96 4.67 Tabla 5.3 Diferencia porcentual de la carga crítica debido al aumento de sección Como se deduce de la tabla anterior el aumento de la carga crítica de pandeo se acentúa al aumentar la relación flecha-luz del arco, ya que como se explicó anteriormente, al ser más Capítulo 5. Arco exento 61 Por tanto podría concluirse que la aparición de los esfuerzos de flexión como consecuencia de directrices alejadas de la forma antifunicular, favorecen en gran medida el fenómeno de pandeo reduciendo consecuentemente la carga para la cual se alcanza. 5.7 Resumen - La evolución de la carga crítica de pandeo en función de la relación flecha-luz presenta un valor máximo, influenciado notablemente por las condiciones de contorno existentes en el arco. - El análisis no lineal proporciona unos valores de carga crítica siempre inferiores a los calculados mediante análisis lineal. Siendo esta diferencia menor con el aumento de la relación flecha-luz en el arco. - El aumento de sección que se diseña para el arco en la zona de arranques no tiene una influencia considerable en la inestabilidad de la estructura. En cambio este aumento si sería de consideración en la zona central del arco. - Una adecuada relación entre las rigideces a flexión y torsión del arco permite controlar el fenómeno de inestabilidad lateral en el mismo. La carga crítica de pandeo aumenta con la relación entre la inercia a torsión y flexión del arco. - La discretización en el dominio del modelo del arco no tiene una influencia considerable en la carga crítica de pandeo. - La aplicación de cargas no simétricas sobre el arco, originando importantes esfuerzos de flexión en el mismo, aumenta el riesgo de inestabilidad reduciendo la carga crítica para la cual se produce dicho fenómeno. Capítulo 6 Puente arco de tablero inferior La principal característica de esta tipología de puentes es que debido a su mecanismo resistente, el arco no transmite cargas horizontales a la cimentación al estar atirantado en el tablero. De acuerdo a la posición relativa de las péndolas con respecto al arco y tablero se pueden presentar diversas morfologías: Figura 6.1 Tipos de Péndolas Pero cuya influencia en la carga crítica de pandeo es despreciable y por tanto se utilizarán únicamente péndolas verticales por ser las más adecuadas para las cargas empleadas. La funcionalidad de este tipo de estructuras está sujeta a una adecuada relación de inercias entre el arco y el tablero que determina la respuesta resistente del conjunto. Así, se pueden encontrar puentes arco de tablero inferior con arcos flexibles y tableros rígidos y viceversa. Por otro lado la inercia horizontal y la rigidez a torsión del conjunto arco-tablero se enfrentan con el problema de la inestabilidad y las acciones de viento a resistir, que son factores muy a tener en cuenta a la hora de diseñar una adecuada relación entre las rigideces arco-tablero. Es muy común dotar de una gran inercia vertical al propio tablero con el objetivo de controlar el pandeo en el plano mediante la interacción arco-tablero. A su vez, la inestabilidad lateral se controla mediante arriostramientos transversales para el caso de puentes de doble arco, por lo que para el caso del modelo de estudio, de arco único, la inestabilidad lateral vendrá 62 Capítulo 6. Puente arco de tablero inferior 63 controlada por una adecuada relación de inercias arco-tablero, además de la componente transversal que producen las péndolas cuando el arco se empieza a salir del plano, como ya se ha estudiado en el capítulo 4. Las dimensiones de las secciones utilizadas a lo largo de este capítulo para la resolución de los diversos modelos son las presentadas en el capítulo 4, excepto para aquellos resultados en los que sea necesario modificar dichas dimensiones que se presentarán en tablas contiguas a los gráficos obtenidos. 6.1 Relación flecha-luz Figura 6.2 Relación Flecha-Luz puente arco de tablero inferior La distribución de la carga crítica de pandeo para puentes arco de tablero inferior sigue el mismo esquema que con respecto a la del arco exento, presentando un máximo y posteriormente decreciendo hasta un valor casi asintótico. Sin embargo la interacción del tablero provoca que dicho máximo sea menos acusado, presentando una distribución mucho más suave que para el caso del arco exento. Capítulo 6. Puente arco de tablero inferior 64 Se produce también un desplazamiento de la relación flecha-luz para el cual se alcanza el valor máximo de la carga crítica de pandeo, produciéndose en este caso para una relación de aproximadamente 0.35, difiriendo de los 0.25 para el cual se alcanzaba en el arco exento. También se puede observar, como ya ocurría para el arco exento, que a mayor luz de la estructura mayor esbeltez, y por tanto más riesgo de pandeo disminuyendo el valor de la carga crítica. 6.2 Relación de Inercias Como se ha comentado anteriormente, la inestabilidad lateral de puentes arco de tablero inferior depende fundamentalmente de una adecuada relación entre las inercias a torsión y flexión transversal, además de la inercia horizontal del conjunto arco-tablero. Es por ello que se van a estudiar las influencias que dichas relaciones tienen sobre la carga crítica de pandeo. A continuación se muestra una gráfica en la que se representa la evolución de la carga crítica de pandeo en función de la relación entre la inercia a torsión y la inercia a flexión transversal del arco x y GI EI . Figura 6.3 Relación inercia torsión-flexión para puente arco de tablero inferior Capítulo 6. Puente arco de tablero inferior 65 En la tabla siguiente se presentan las dimensiones del arco utilizadas para la resolución de los cálculos anteriores, así como sus propiedades de inercia a flexión y torsión: Carga crítica en función de la relación entre inercias de un Puente arco atirantado (Luz =120 m) Flecha (m) B (m) H (m) tf (m) th (m) I x (m 4 ) I y (m 4 ) GI X /EI y Carga crítica (KN/m) 6 2.75 2 0.15 0.15 1.35 0.77 0.708 1010.5 18 2.75 2 0.15 0.15 1.35 0.77 0.708 1001.2 30 2.75 2 0.15 0.15 1.35 0.77 0.708 933.5 60 2.75 2 0.15 0.15 1.35 0.77 0.708 690.6 80 2.75 2 0.15 0.15 1.35 0.77 0.708 610.7 120 2.75 2 0.15 0.15 1.35 0.77 0.708 506.9 6 3 2.5 0.25 0.25 1.98 0.92 0.901 1817.3 18 3 2.5 0.25 0.25 1.98 0.92 0.901 1796.9 30 3 2.5 0.25 0.25 1.98 0.92 0.901 1680.2 60 3 2.5 0.25 0.25 1.98 0.92 0.901 1242.9 80 3 2.5 0.25 0.25 1.98 0.92 0.901 1077.4 120 3 2.5 0.25 0.25 1.98 0.92 0.901 935.8 6 1.5 5 0.2 0.2 2.77 1.01 1.19 2727.04 18 1.5 5 0.2 0.2 2.77 1.01 1.19 2704.9 30 1.5 5 0.2 0.2 2.77 1.01 1.19 2520.5 60 1.5 5 0.2 0.2 2.77 1.01 1.19 1863.7 80 1.5 5 0.2 0.2 2.77 1.01 1.19 1620.65 120 1.5 5 0.2 0.2 2.77 1.01 1.19 1353.8 Tabla 6.1 Dimensiones del arco utilizadas para el cálculo de la carga crítica en un puente arco atirantado en función de la relación entre inercias. Como ya ocurría para el caso del arco exento, la carga crítica de pandeo aumenta con la relación entre la inercia a torsión y la inercia a flexión transversal, disminuyendo a su vez, a medida que aumenta la relación Flecha-Luz. Sin embargo la influencia de la interacción del tablero no produce un máximo de la carga crítica, como ocurría para el arco simple, si no que se produce un decrecimiento continuado de la carga en todo el rango de relación flecha-luz. La interacción entre las rigideces a torsión y flexión del arco y su influencia en la carga crítica para modelos de puentes arco de tablero inferior, ha sido un tema de interés que ha suscitado numerosos estudios. Uno de ellos fue realizado por Thompson, que fabricó un modelo a escala de un puente arco metálico de tablero inferior, estudiando posteriormente su inestabilidad lateral. Los resultados obtenidos se presentan a continuación: Capítulo 6. Puente arco de tablero inferior 66 Figura 6.4 Resultados obtenidos por Thompson Como se observa tanto los resultados obtenidos por Thompson como los conseguidos en este proyecto muestran una distribución muy similar de la carga crítica, a pesar de haber sido realizados para modelos muy diferentes con diferentes secciones transversales. 6.3 Influencia del área de las péndolas El área de las péndolas fue variada desde la mitad hasta 5 veces la magnitud del área de la péndola original para modelos de puentes de diferentes luces. Los resultados obtenidos se muestran a continuación: Capítulo 6. Puente arco de tablero inferior 67 Figura 6.5 Influencia del área de las péndolas Como se observa la variación del área de las péndolas prácticamente no varía el valor de la carga crítica de pandeo, por lo que el diseño de éstas se limita meramente a transmitir las cargas desde el tablero hacia el arco sin que se produzca la rotura de las mismas. 6.4 Resumen - La interacción del tablero con el arco permite aumentar el mecanismo resistente frente al pandeo de la estructura, aumentando la relación flecha-luz para el cual se alcanza el valor máximo de la carga crítica. - La distribución de la carga crítica en función de la relación entre la inercia a torsión y flexión difiere de la calculada previamente para el arco exento. Dicha diferencia se debe principalmente por la interacción del resto de elementos estructurales presentes (tablero y péndolas). - El área de las péndolas no influye en la carga crítica de pandeo. Capítulo 7 Puente arco de tablero superior Esta tipología de puentes arco es la que ha permitido desarrollar estructuras de mayores luces, debido tanto a su morfología como a su mecanismo resistente [12], en el cual, se distribuyen las cargas mediante compresiones en cada uno de los elementos estructurales existentes: las cargas del tablero se transmiten comprimiendo a los pilares y éstos a su vez lo hacen con respecto al arco. Generalmente los puentes arco de tablero superior presentan condiciones de borde biempotrados, ya que las articulaciones introducen una gran deformabilidad en el arco y son elementos muy costosos. Es por ello que todos los modelos utilizados para este tipo de estructuras presentan dichas condiciones de borde. La respuesta resistente de esta tipología de puentes está determinada fundamentalmente por una adecuada relación entre las rigideces del arco, tablero y los pilares que la componen. Siendo la colaboración de estos últimos fundamental a la hora de controlar el pandeo fuera del plano de la estructura, actuando de cara a la inestabilidad lateral como muelles transversales y de torsión dependientes de su propia rigidez y de la rigidez transversal y de torsión de arco y tablero. Es habitual en este tipo de construcciones reducir al mínimo la inercia vertical del arco, adjudicándosela al tablero, que controla a su vez el pandeo vertical, y así dotar al propio arco de una mayor inercia horizontal para controlar la inestabilidad fuera del plano. De manera que la mayoría de secciones utilizadas para el arco en esta tipología de puentes, presentan una dimensión horizontal mucho mayor que la vertical, permitiendo así acomodar los diversos pilares que conectan el arco con el tablero. Debido a que en este tipo de estructuras las cargas que solicitan al arco se transmiten directamente desde los pilares, existe un problema relativo entre la luz del arco y la adecuada distancia de separación entre los propios pilares. De manera que para que la directriz del arco presente la forma del antifunicular de las cargas permanentes, el número de pilares que componen el puente deberá estar comprendido entre 8 y 14. Es por ello que para los distintos modelos de puente arco de tablero superior utilizados, se dispondrá de un número de 10 pilares separados una distancia equidistante. 68 Capítulo 7. Puente arco de tablero superior 69 7.1 Relación flecha-luz Figura 7.1 Relación Flecha-Luz puente arco de tablero superior La distribución de la carga crítica de pandeo para puentes arco de tablero superior es muy similar a la del puente arco de tablero inferior, aunque presenta valores de carga crítica mucho más elevados, lo que demuestra que es una estructura mucho más resistente como ya se comentó en la introducción de este capítulo. A continuación se presenta una tabla comparativa de la carga crítica obtenida para modelos de luz=120 m en las diferentes estructuras analizadas. Modelo Relación Flecha-luz 0.15 0.25 0.5 0.67 Arco exento biapoyado 40.6 30.24 12.96 8.64 Arco exento biempotrado 357.2 376.09 203.5 123.9 Puente de tablero inferior 1263 1596.6 1480.8 1261.1 Puente de tablero superior 3060 3881.4 3396 2700.1 Capítulo 7. Puente arco de tablero superior 70 Tabla 7.1 Comparativa de la Carga crítica de los diferentes modelos analizados En la tabla anterior se puede observar perfectamente la influencia que tiene en la inestabilidad del arco la colaboración de los distintos elementos estructurales (tablero, pilas y péndolas) mejorando el mecanismo resistente frente al pandeo de la estructura y aumentando considerablemente la carga crítica. Como conclusión final para este tipo de análisis se podría destacar que al producirse una forma de pandeo más resistente en este tipo de estructuras, se produce un aumento de la relación flecha-luz para la cual se alcanza el valor máximo de la carga crítica de pandeo, como sucede al comparar los casos de arco exento biapoyado y biempotrado (de 0.15 a 0.25) y éste último con respecto a los diversos puentes arco (de 0.25 a 0.35). 7.2 Influencia de la inercia de los pilares Como se ha comentado anteriormente, la inestabilidad lateral de los puentes arco de tablero superior depende fundamentalmente de la inercia horizontal que aportan los pilares al conjunto de la estructura. A continuación se presenta la evolución de la carga crítica de pandeo en función de la inercia a flexión lateral de los pilares para modelos de diferentes luces. Figura 7.2 Carga crítica en función de la inercia a flexión lateral de los pilares Bibliografía 77 [11] Fernández Casado. 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