Elasticidad y acústica de los materiales a través de las figuras de Chladni

Elasticidad y Acústica de los Materiales a través de las Figuras de Chladni Autor: Mario Sabao Marcos Tutores: Victor Morales Flórez y Pedro Rivero Antúnez Universidad de Sevilla, España Departamento de Física de la Materia Condensada Índice Página Agradecimientos Resumen 1 1. Introducción 1 1.1. Motivaciones y objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2. Acústica a través de la historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3. Sonidoyacústica................................ 7 1.4. Vibración en los materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.1. Ondas .................................. 8 1.4.2. Fenómeno de interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.3. Ondas estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.4. Fenómeno de resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5. Ernst Chladni y las Figuras de Chladni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2. Descripción matemática 14 2.1. Modelo teórico para la ecuación de ondas general y patrones de Chladni . . 14 2.2. Resolución de la ecuación de ondas para una placa cuadrada . . . . . . . . 19 2.3. Potencia transferida de la fuente excitadora a nuestro sistema . . . . . . . 22 2.4. Relación de dispersión de una placa delgada en vibración . . . . . . . . . . 24 3. Metodología experimental 25 3.1. Material y procedimiento experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2. Precauciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4. Resultados y discusión 27 4.1. Modos resonantes teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.2. Figuras experimentales y frecuencias de resonancia . . . . . . . . . . . . . 30 4.3. Relación de dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5. Conclusiones 39 Referencias 42 Elasticidad y Acústica de los Materiales a través de las Figuras de Chladni Agradecimientos Quisiera expresar mi más profundo agradecimiento a todas las personas que han hecho posible la realización de este trabajo. En primer lugar, agradezco a mis tutores del trabajo, Victor Morales Flórez y Pedro Rivero Antúnez, por aventurarse a explorar junto a mi este mundo de la acústica y las Figuras de Chladni; así como por su constante guía y valiosos consejos a lo largo de todo este proceso. Quiero extender mi gratitud a Estefanía Ortiz Ariza, Fany, por su amabilidad y disposición a la hora de facilitarme el acceso a equipos necesarios para la experimentación durante todo este tiempo. Al profesor Pablo Maynar Blanco, quien generosamente dedicó su tiempo para revisar apartados del trabajo y orientarme para fortalecer la calidad y precisión del mismo. Agradezco también al Taller de la Facultad de Física de la Universidad de Sevilla, así como a sus integrantes, por brindarme los recursos solicitados y fabricarme aquellos de los que no disponía. A mis compañeros de piso, Pablo Barea y Alberto Almagro, por permitirme usar nuestro piso como "laboratorio" y soportar el molesto y continuo ruido de las frecuencias de la experiencia. Finalmente, quiero dedicar este trabajo a mi familia y a mi pareja, cuya inspiración y motivación han sido una fuente constante de fuerza para seguir siempre adelante. Gracias por vuestra comprensión y ánimo durante todos estos años de estudio. Gracias a todos. Mario Sabao Marcos. Elasticidad y Acústica de los Materiales a través de las Figuras de Chladni Resumen En el presente Trabajo de Fin de Grado, se aborda el estudio de la elasticidad y la acústica de los materiales mediante la observación de las figuras de Chladni. Se inicia con una descripción histórica y teórica de la propia acústica y de los patrones, destacando el el desarrollo de la experiencia por Ernst Chladni y el interés de figuras históricas como Napoleón o Sophie Germain. Se detalla el modelo matemático utilizado para describir las vibraciones en placas delgadas y la resolución de la ecuación de ondas específica para las mismas. En la fase experimental, se presentan los procedimientos y montajes experimentales para visualizar los patrones de Chladni, que reflejan los modos resonantes de la placa. Además, se llevó a cabo la experiencia para obtener y analizar las figuras de Chladni, confirmando los modelos teóricos previamente descritos. Los resultados permiten una mejor comprensión de las propiedades acústicas y el comportamiento vibracional de los materiales, proporcionando datos sobre el módulo de Young y otros parámetros relevantes. Finalmente, se discuten las implicaciones de los hallazgos y se proponen aplicaciones para futuras investigaciones en el campo de la acústica y la elasticidad de materiales. 1. Introducción ¿Es posible ver el sonido? Cuando hablamos de sonido, se nos viene a la mente un fenómeno audible que puede ser percibido por los seres vivos y que tiene un papel fundamental en la realización de procesos esenciales, como puede ser el habla. Desde una perspectiva más rigurosa, el sonido no es más que la propagación de ondas mecánicas a través de un medio elástico. Sea como fuere, relacionamos el sonido con un fenómeno auditivo. Pero, ¿y si realmente también pudiéramos ver el sonido? Para poder responder a esta pregunta, nos embarcamos en un viaje interdisciplinario que busca desvelar las maravillas ocultas del mundo acústico y su representación visual. Este fascinante mundo que ha sido objeto de estudio y asombro durante siglos también será ahora objeto de profundización de este trabajo. Para comenzar, expondremos las motivaciones y objetivos de este trabajo. Más adelante, daremos un paseo a lo largo de la historia en el que situaremos los posibles orígenes de la acústica y su evolución durante los siglos, hasta llegar a la actualidad. Definiremos también conceptos importantes, tanto físicos como musicales, que nos ayudarán a comprender mejor los temas a tratar en el trabajo. Por último, en este apartado se hablará de quien fue Ernst Chladni y su mayor aportación al mundo de la acústica, las conocidas como Figuras de Chladni, que tomarán el papel protagonista de este trabajo. 1 Elasticidad y Acústica de los Materiales a través de las Figuras de Chladni 1.1. Motivaciones y objetivos Los objetivos principales de este Trabajo Fin de Grado son encontrar una conexión entre modelos y teorías matemáticas de sistemas vibracionales, como son las placas delgadas, y su representación visual, con el objetivo de profundizar en la comprensión de propiedades elásticas y acústicas de los materiales. Mediante la implementación de procedimientos experimentales, se busca confirmar los modelos teóricos y obtener datos sobre el comportamiento vibracional de placas delgadas. Una de las motivaciones finales es proponer una investigación que pueda servir de modelo para una futura posible práctica de la asignatura Mecánica y Ondas, ya que es una experiencia muy visual en la que los alumnos podrán poner en práctica los conceptos aprendidos sobre ondas. 1.2. Acústica a través de la historia El inicio histórico de la acústica se remonta hasta la Edad Antigua, los años de Grecia y Roma. Ya en esta época se reconoció que, en un espacio abierto y en una superficie plana, el habla y el sonido solo se pueden escuchar y comprender a poca distancia. Los antiguos se dieron cuenta de que el sonido que se propagaba hacia arriba era más claro y se podía escuchar más lejos. Allí se edificaron teatros que, gracias a su estructura geométrica, proporcionaban una acústica, resonancia y claridad sonora notable. La búsqueda de un sonido envolvente apropiado para el espectador era también fundamental en el desarrollo de teatros antiguos. Estos teatros, que eran levantados al aire libre, contaban con una plataforma donde los intérpretes ejecutaban sus representaciones y, frente a esta, gradas donde los espectadores se congregaban para escuchar y disfrutar del evento. La calidad acústica de estos espectáculos al aire libre se veía beneficiada por las paredes de los edificios y estructuras circundantes que los rodeaban. Otro aspecto fundamental para la mejora de la calidad acústica fue la disposición semicircular y ascendente de los asientos, que también fue implementada en esta época. Además, un factor importante que también se descubrió fue que la inteligibilidad de la obra representada se ve afectada por la distancia a la que se situaran los espectadores. Todas las observaciones anteriores fueron utilizadas también en discursos públicos, para una mejora en el entendimiento por parte del oyente. Hoy en día, resulta impresionante la excelencia acústica de estas edificaciones antiguas, ya que, a pesar del poco conocimiento que poseía en aquella época sobre física y ondas sonoras, estas edificaciones se fundamentaban primordialmente en percepciones auditivas subjetivas. En el caso de los teatros griegos, el uso de materiales también era tenido en cuenta para conseguir una acústica óptima. La superficie para caminar sobre el escenario, en general, era de madera. Las paredes, hechas de piedra, también tenían un papel importante en la reflexión y la dispersión del sonido. Por ejemplo, la superficie de la orquesta, que era de piedra, usada como pista de baile o escenario coral, se roció con paja para reducir la reflexión del sonido [1]. La dirección y el alcance de la propagación del discurso humano fueron considerados meticulosamente durante la concepción de los auditorios antiguos. Con el fin de garantizar una claridad y amplitud sonoras óptimas, se evitó que los oyentes se 2 Elasticidad y Acústica de los Materiales a través de las Figuras de Chladni ubicaran en los costados y en la retaguardia del teatro. Por este motivo, se diseñó un auditorio de forma elíptica cuyo graderío tenía una inclinación aproximada de 25 a 30 grados [1]. El efecto escalonado de los asientos en los antiguos teatros griegos era parecido al de materiales absorbentes de sonido cortados a medida y utilizados para el aislamiento en un estudio de sonido moderno o laboratorio acústico. Con este método pudo ser posible que, por ejemplo, en el Epidauro (famoso teatro griego edificado en el siglo IV a.C) cuya capacidad era de 14.000 espectadores, la última línea a 70 metros del escenario también pudiera entender lo que decían los actores a la perfección [2]. Figura 1: Teatro griego de Epidauro, edificado en el siglo IV a.C. y Patrimonio de la Humanidad por la UNESCO. Situado en Peloponeso, Grecia. Considerado el teatro griego más perfecto acústicamente [3]. Tiempo después, los teatros romanos experimentaron transformaciones significativas con respecto a los griegos. La disposición, ya no solo del espacio para el público, sino también del escenario; adoptó una forma semicircular, acercando más a los espectadores al escenario. Esta configuración generó amplias áreas de proyección sonora, incrementando así la difusión del sonido. Además, la extensión y profundidad del escenario crecieron, lo que afectó la calidad acústica. Para contrarrestar este efecto, se erigió una estructura con arcadas detrás de las secciones superiores, aprovechando su capacidad para reflejar adecuadamente el sonido. 3 Elasticidad y Acústica de los Materiales a través de las Figuras de Chladni Figura 2: Teatro romano de Mérida, edificado en el siglo I a.C. en la colonia Augusta Emerita (actual Mérida) y Patrimonio de la Humanidad por la UNESCO [4]. Si se quisiera mencionar a una persona como el padre de la acústica, tal vez se pronunciaría el nombre de Pitágoras (siglo VI a.C.). Esta destacada figura histórica, más allá de sus contribuciones en geometría y matemáticas, también realizó investigaciones en el ámbito musical, ofreciendo aportes significativos a los fundamentos iniciales de la acústica musical. Conociendo cómo afectaban ciertas características a la vibración de las cuerdas y relacionando éstas con la escucha humana, definió los conceptos de octava y quinta musical; además, propuso una serie de combinaciones de longitudes de cuerdas que sonaban bien (armónicos) y otras que no sonaban agradable (inarmónicos) [5]. Pitágoras mantenía que, si tomamos una cuerda de doce unidades de longitud y su mitad de seis, la media armónica a o musical de esta iba a estar en ocho, ya que (12−8) es a (8−6) como 12 es a 6. Es decir, (12−8)/(8−6) = 2 y12/6 = 2, por lo que se establece que la media armónica entre doce y seis es el ocho. En este caso, la nota que suena al pulsar la cuerda de seis es la octava alta de la emitida al pulsar la cuerda de doce; entonces, el intervalo de octava es 12/6o2/1; el de quinta 12/8o3/2y el de cuarta 8/6o4/3[6]. Por lo tanto, se le adjudica a Pitágoras el descubrimiento de las leyes de los intervalos musicales regulares, es decir, las relaciones aritméticas de la escala musical. Esta mezcla de mística numérica y relaciones aritméticas convirtió a la música en el primer caso de estudio matemático de un dominio físico. Más adelante, Vitruvio, arquitecto romano del siglo I a.C, aportó en el campo de la acústica arquitectónica, creando el primer libro que habla sobre este campo, titulado De Arquitectura (15 a.C.) [7], donde sugería algunos factores a tener en cuenta para el diseño de teatros de la época [8]. A pesar de que la acústica siguió avanzando desde la antigüedad, no volvió a presentar grandes avances hasta el siglo XVII, donde se vuelve al estudio de las propiedades sonoras de varios objetos. En este siglo fue cuando apareció propiamente el término acústica. Galileo (físico italiano) y Marín Mersenne (matemático francés) estudiaron las vibraciones de las cuerdas largas, estableciendo la relación entre la frecuencia y las características físicas de las cuerdas: longitud, tensión y masa. El mismo Mersenne, en uno de sus muchos 4 Elasticidad y Acústica de los Materiales a través de las Figuras de Chladni experimentos analizando los ecos del sonido, intentó medir la velocidad del mismo aprovechándose del eco. Es por ello que fue pionero en realizar medidas de la velocidad del sonido [9]. Avanzamos en el tiempo hasta que aparece una de las figuras más importantes de la historia de la ciencia, Isaac Newton. Él retomó el trabajó de otros científicos anteriores del Renacimiento, quienes intentaron medir la velocidad de propagación del sonido, dándose cuenta de que esta medida dependía de ciertas variables características del fluido por el que se propagara y que su valor cambiaba según las condiciones en que se midiera. Newton presentó su teoría sobre el sonido en su obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687). En este texto describió cómo la manera en que el sonido se mueve a través de un fluido está determinada principalmente por características físicas específicas del propio fluido, como su elasticidad y densidad. De esta manera, Newton ofreció una aproximación teórica sobre el valor de la velocidad del sonido con mayor precisión que la de Mersenne [10]. Siguiendo adelante, nos encontramos con Jean le Rond D’Alembert quien es reconocido como el fundador de la teoría de ecuaciones diferenciales parciales por su método innovador de puesta en ecuación para los problemas de las cuerdas vibrantes, del movimiento de la atmósfera o de la resistencia y del flujo de los fluidos. Originalmente, enunció la ecuación en el año 1747 como una solución al problema de la cuerda vibrante, ecuación que recibió el nombre de ecuación de onda o la ecuación de D’Alembert, en honor a su creador. La ecuación original viene dada por: ∂2u(x, t) ∂t2−c2∂2u(x, t) ∂x2= 0 que es una ecuación diferencial en derivadas parciales, lineal y homogénea [11]. Tras Newton, Pierre Laplace (físico francés del siglo XVIII) fue el encargado de lograr establecer la relación adecuada entre las variables que influyen en la propagación del sonido. Como resultado de sus estudios, formuló una ecuación que permite calcular la velocidad del sonido según las características del medio, denominada ecuación de Newton-Laplace (ecuación 1): c=s∂p ∂ρ (1) Donde pes la presión de un medio comprimible y ρla densidad de dicho medio. Esta ecuación puede particularizarse para distintos medios y estados. Ejemplo de ello puede ser la ecuación de la velocidad del sonido para un gas ideal (ecuación 2a) y para un sólido (ecuación 2b): c=rKT mM (Ec. 2a) c=sE ρ(Ec. 2b) (2) 5 Elasticidad y Acústica de los Materiales a través de las Figuras de Chladni Durante el siglo XIX, la acústica experimentó un notable florecimiento. Es en este periodo cuando surge el nombre de John William Strutt, también conocido como Lord Rayleigh. Él, sentó las bases de la acústica moderna con su obra The Theory Of The Sound. En este libro, Rayleigh aborda profundamente los principios teóricos relacionados con la propagación del sonido en diversos medios, desde el aire hasta otros materiales. El texto se sumerge en aspectos como la naturaleza ondulatoria del sonido, las características de las ondas sonoras, la reflexión, la refracción, la difracción y la interferencia del sonido. Además, explora conceptos como la relación entre la velocidad del sonido y las propiedades del medio a través del cual se mueve, así como la influencia de la temperatura y la presión en dicha velocidad [12]. Lo más destacado del libro es que la magnitud "intensidad sonora" pasa a ocupar un lugar central. También durante el siglo XIX, figuras destacadas como Helmholtz se sumergieron en investigaciones profundas sobre cómo las frecuencias y tonalidades afectan la percepción auditiva humana, basándose en la resonancia y sonoridad de instrumentos, cuerdas y otros elementos. Su obra On the Sensations of Tone (1862) [13] detalla meticulosamente sus experimentos y presenta los hallazgos obtenidos. Además, personalidades como Alexander Graham Bell y Thomas Edison dejaron su huella en el ámbito acústico. Bell identificó que con ciertos materiales se podían convertir vibraciones sonoras en corrientes eléctricas, y viceversa, dando origen y patentando el innovador dispositivo que hoy denominamos teléfono (figura 3) [14]. Por otro lado, Edison aprovechó la capacidad de amplificación de las vibraciones utilizando un dispositivo en forma de cono que utiliza un sistema de grabación mecánica analógica, en el cual las ondas sonoras son transformadas en vibraciones mecánicas mediante lo que se conoce como un transductor acústico-mecánico. Estas vibraciones mueven un estilete que labra un surco helicoidal sobre un cilindro de fonógrafo (de cartón recubierto de estaño y más tarde de cera sólida). Para reproducir el sonido se invierte el proceso. Este invento revolucionario se conoce como el fonógrafo. El fonografo, es una herramienta esencial en la industria musical, conocido por ser el primer dispositivo capaz de reproducir música [15]. Figura 3: Teléfono de Bell, inventado en 1876, primer dispositivo de telecomunicación creado para transmitir señales acústicas a distancia por medio de señales eléctricas [16]. Figura 4: Fonógrafo de Edison, primer aparato común para grabar y reproducir sonido, inventado en 1870 [15]. 6 Elasticidad y Acústica de los Materiales a través de las Figuras de Chladni de un tornillo, fijó el centro de una placa de latón, y notó que al golpearla con un arco de violín, se producían diferentes sonidos que eran más fuertes y constantes que los obtenidos solo con golpes de mano [27]. Él era conocedor de los experimentos de Lichtenberg, quien había hecho visibles las huellas de descargas eléctricas en aislantes esparciendo polvo en los lugares correspondientes [28]. Esto le dio la idea de probar el procedimiento en su placa de latón vibrante. Esparció arena granulada sobre la placa, la golpeó con el arco de violín y en pocos segundos la arena adoptó la forma de una estrella con diez puntas. Según la inclinación del arco respecto a la placa, es decir, el ángulo, y la ubicación de las yemas de los dedos o el tornillo sobre dicha placa, al frotar el arco, la arena creaba patrones consistentes, como si estuviera siguiendo instrucciones del experimentador. Fue tal la repercusión de dicho experimento que, hasta el mismo Napoleón Bonaparte mostró interés en descubrir una demostración experimental de la experiencia. Fue así que invitó a Chladni a la corte francesa, mediante la mediación del matemático Laplace, en el año 1809 [27]. Napoleón, quien estaba formado en las cuestiones matemáticas de la época, se interesó en el experimento de las figuras y preguntó por su descripción matemática, la cual aún no había sido desarrollada. Esto es debido a que, aún en esa época, no se sabía aplicar un cálculo de áreas curvadas en más de una dirección. Además de la gratificación personal para Chladni, Napoleón ofreció un premio de 3000 francos por la teoría matemática que estudiara aquellas figuras formadas por los patrones del sonido. En 1816, este premio fue otorgado a Sophie Germain por un ensayo titulado Recherches sur la théorie des surfaces élastiques. Sophie Germain fue una matemática y física francesa, conocida por ser una de las pioneras en la teoría de la elasticidad, y por su trabajo en teoría de números, más concretamente en los números primos. Al ser mujer en aquella época se le negó la educación. Por lo tanto, tuvo que aprender y adquirir sus conocimientos mediante la autoinstrucción. Realizó importantes contribuciones a la teoría de números y a la teoría de la elasticidad; y mantuvo correspondencia científica con Gauss, al principio bajo un nombre masculino asumido, ya que temía que una mujer no fuera tomada en serio [29]. La explicación de Sophie Germain sobre los patrones de sonido estaba incompleta. Aun así, se le otorgó el premio, ya que se reconoció que su tratado representaba un progreso esencial. El problema resultó ser bastante obstinado. La explicación de dichos patrones y la resolución del problema serán el objeto principal de estudio de la siguiente sección. 13 Elasticidad y Acústica de los Materiales a través de las Figuras de Chladni 2. Descripción matemática En esta sección se presentará un análisis descriptivo de las matemáticas que rigen el comportamiento de la función de onda al poner en práctica el experimento de Chladni en placas delgadas en vibración. La primera solución completa, en este caso para placas circulares, fue encontrada por Robert Kirchhoff en el año 1850 [27]. Se estudiará, en primer lugar, la descripción matemática del modelo teórico general para el experimento de Chladni. Más adelante, particularizaremos el modelo general descrito para el caso concreto de una placa cuadrada delgada. 2.1. Modelo teórico para la ecuación de ondas general y patrones de Chladni Comenzamos con la resolución del modelo teórico general de las Figuras de Chladni. El experimento de Chladni es un sistema de oscilación forzada. Teniendo esto en cuenta, nuestro sistema vendrá descrito por la ecuación de ondas inhomogénea: ∂2u(r;r′, t) ∂t2=c2∇2u(r;r′, t)−H(r;r′, t)−β·∂u(r;r′, t) ∂t (5) donde ces una constante asociada a la velocidad de propagación de la onda, el término inhomogéneo H(r;r′, t)representa a la fuente que impulsa la vibración en nuestra placa, el término β·(∂u/∂t)representa la fricción presente en nuestro experimento, siendo βel coeficiente de fricción y r′representa la posición de la fuente externa respecto a la placa. Para simplificar la resolución de nuestro problema, tenemos que suponer nuestra placa vibratoria como una placa delgada. Para poder hacerlo, tenemos que considerar una de las tres dimensiones, en nuestro caso la coordenada perpendicular a la placa z, como mucho más pequeña que las otras dos. Esto permite usar un modelo bidimensional como una buena aproximación para obtener las ecuaciones de movimiento del modelo tridimensional de nuestra placa en vibración. Es decir, asumimos que el espesor es muy pequeño comparado con otras dimensiones de la placa, como pueden ser longitud, ancho, diámetro... Como convenio, para poder tener en consideración esta aproximación, se debe cumplir que la relación de aspecto entre el espesor y la dimensión lateral de la placa estudiada sea generalmente inferior a 0.02 [30]. Comenzamos con la resolución de la ecuación de ondas en dos dimensiones (ecuación 5), asumiendo una fuerza externa realizada por la fuente actuando sobre nuestra placa H(r;r′, t)de la forma: H(r;r′, t) = F(r;r′)·e−iωt (6) Una vez conocemos la fuerza excitadora de la fuente, proponemos una solución a nuestra ecuación de ondas del tipo: u(r;r′, t) = Ψ(r;r′)·e−iωt (7) 14 Elasticidad y Acústica de los Materiales a través de las Figuras de Chladni donde ωes la frecuencia angular de la onda. Calculamos las derivadas necesarias de la ecuación 7 para continuar con la resolución: ∂u(r;r′, t) ∂t =−iω ·e−iωt ·Ψ(r;r′)∂2u(r;r′, t) ∂t2=−ω2·e−iωt ·Ψ(r;r′)(8) ∇2u(r;r′, t) = ∇2Ψ(r;r′)·e−iωt Sustituimos las ecuaciones 6, 7 y 8 en la ecuación 5: −ω2·e−iωt ·Ψ(r;r′) = c2∇2Ψ(r;r′)·e−iωt −F(r;r′)·e−iωt +β·iω ·e−iωt ·Ψ(r;r′)(9) Como podemos observar en la ecuación 9, al estar multiplicados todos los términos de la ecuación por e−iωt podemos simplificar eliminando la dependencia temporal de nuestra ecuación de onda. Si simplificamos y ordenamos los términos, nos queda: ω2+c2∇2+iωβΨ(r;r′) = F(r;r′)(10) La velocidad de propagación de la onda cviene definida por c=ω k. Usando esta relación nos queda que βω c2=kβ c, y llamando F=F/c2, obtenemos: ∇2+k2+iβk cΨ(r;r′) = F(r;r′)(11) Operamos para desarrollar el término k2+iβk/c de la parte de la ecuación entre corchetes: k2+iβk c=k2+ 2ikγ ≈˜ k2(12) donde ˜ k=k+iγ,kes el número de onda y γ=β/2ces el coeficiente de amortiguamiento del sistema vibrante. La parte real de nuesto número de onda (k) representa la propagación espacial de la onda y la parte compleja (iγ) introduce una componente de amortiguamiento en la onda. Este último término aparece debido a que, a medida que la onda se propaga a lo largo del medio, se produce una disminución de la amplitud de la onda con la distancia recorrida debido a la disipación causada por el amortiguamiento de la propia placa, lo que se traduce en una pérdida de energía. Por último, la aproximación usada en la ecuación 12 viene de considerar que el valor del coeficiente de amortiguamiento es mucho menor que el número de onda γ << k: ˜ k2=k2+ 2ikγ −γ2≈k2+ 2ikγ (13) Considerando todo lo anterior, sustituimos la ecuación 12 en la ecuación 11 y obtenemos la ecuacion de ondas simplificada para describir nuestro sistema: (∇2+˜ k2) Ψ(r;r′,˜ k) = F(r;r′)(14) Esta ecuación, como ya mencionamos, representa solo la parte espacial de nuestra ecuación 15 Elasticidad y Acústica de los Materiales a través de las Figuras de Chladni de ondas general (ecuación 5), y viene dada por una ecuación de Helmholtz inhomogénea en dos dimensiones, como se justificó anteriormente. Su solución Ψ(r;r′,˜ k)nos dará la función de ondas de nuestro sistema, es decir, la distribución espacial del estado de perturbación de nuestra placa. Debido a que nuestra placa vibratoria tiene los bordes libres, la función de onda en el contorno ∂Ωdebe satisfacer una condición tipo Neumann. Las condiciones de contorno de Neumann implican que la derivada normal de la función de onda es cero en el borde de la placa. En nuestro caso, viene dada por ∂Ψ/∂n|∂Ω= 0 en el límite ∂Ωde la placa delgada, donde nrepresenta cada una de las variables espaciales de las que depende nuestra perturbación. En nuestro problema (placa cuadrada delgada) estas variables vendrán dadas por coordenadas cartesianas, n= (x, y). Esta condición es la expresión analítica de la característica de extremo libre de la placa, e implica que para n=∂Ωes decir, en el límite de la placa, exista un máximo en la coordenada n; local o absoluto. Figura 8: Esquema del montaje de la experiencia de las figuras de Chladni para una placa delgada de espesor dy lado a, con una fuente excitadora en el centro de la placa. Tomamos en consideración que la fuente de vibración es una fuente puntual ideal en r=r′, ya que, en nuestro sistema, la posición de la fuente no varía con respecto a la placa. Para la resolución de nuestro problema (ecuación 14) en una placa delgada, podemos usar el método de la función de Green [31]. Según este método, tenemos que buscar soluciones Ψ(r;r′,˜ k)que satisfagan: Ψ(r;r′,˜ k) = ZZR2 G(r;r′,˜ k)F(r;r′)d2r′(15) 16 Elasticidad y Acústica de los Materiales a través de las Figuras de Chladni donde G(r;r′,˜ k)es la llamada función de Green. Esta función debe cumplir que: (∇2+˜ k2)G(r;r′,˜ k) = δ(r−r′)(16) donde δ(r−r′) = 0 si r=r′; y δ(r−r′) = 1 si r=r′. Esto se cumple con las mismas condiciones de contorno que el problema original (ecuación 14). De esta manera, se tiene que: (∇2+˜ k2) Ψ(r;r′,˜ k) = (∇2+˜ k2)ZZR2 G(r;r′,˜ k)F(r;r′)d2r′=∗ =ZZR2 (∇2+˜ k2)G(r;r′,˜ k)F(r;r′)d2r′=ZZR2 δ(r−r′)F(r;r′)d2r′=F(r′) donde la igualdad marcada con ∗sigue el teorema de Leibniz, o teorema de derivación bajo el signo integral [32]. Se satisface así el problema original. Por otro lado, sean Φn(r)las soluciones del problema de Helmholtz homogéneo asociado a la ecuación 14, que forman una base ortogonal adecuadamente normalizada. Para poder obtener nuestra función de Green, la expresamos como una combinación lineal de estos autovectores del problema homogéneo: G(r;r′,˜ k) = X n Cn(r′,˜ k) Φn(r)(17) donde los Cn(r′,˜ k)son coeficientes a determinar. Φn(r)son los autovectores del problema homogéneo, que representan los modos de vibración; con sus autovalores asociados kn[30]. Volviendo a la expresión 16 y sustituyendo la ecuación 17 en ella: (∇2+˜ k2)G(r;r′,˜ k) = δ(r−r′)⇒ ⇒(∇2+˜ k2)X n Cn(r′,˜ k) Φn(r) = X n Cn(r′,˜ k)h∇2Φn(r) + ˜ k2Φn(r)i Al ser knlos autovalores asociados al problema homogéneo, se tiene que ∇2Φn(r) = −k2 nΦn(r), así que sustituyendo en la expresión anterior obtenemos: X n Cn(r′,˜ k)˜ k2−k2 nΦn(r) = δ(r−r′) Utilizamos la propiedad de ortonormalidad de las funciones propias para proyectar la función de onda original sobre cada una de sus funciones propias, y así poder obtener los coeficientes requeridos: ZZR2X n Cn(r′,˜ k)˜ k2−k2 nΦn(r)·Φ∗ m(r)d2r=ZZR2 δ(r−r′) Φ∗ m(r)d2r(18) 17 Elasticidad y Acústica de los Materiales a través de las Figuras de Chladni Por un lado, trabajamos primero la parte izquierda de la igualdad de la ecuación 18: X n Cn(r′,˜ k)˜ k2−k2 nZZR2 Φn(r)·Φ∗ m(r)d2r=X n Cn(r′,˜ k)˜ k2−k2 n donde hemos usado la propiedad de ortonormalidad de las funciones propias: ZZR2 Φn(r)·Φ∗ m(r)d2r=(0si n=m 1si n=m Por otro lado, tenemos en el término a la derecha de la igualdad en la ecuación 18: ZZR2 δ(r−r′) Φ∗ m(r)d2r=(0si r=r′ Φ∗ m(r′)si r=r′ Sustituyendo en la expresión 18, obtenemos los coeficientes: Cn(r′,˜ k)˜ k2−k2 n= Φ∗ n(r′)⇒Cn(r′,˜ k) = Φ∗ n(r′) ˜ k2−k2 n≈Φ∗ n(r′) (k2−k2 n)+2ikγ (19) Donde hemos tenido en cuenta la aproximación usada en la ecuación 13, γ << k, que nos indicaba que ˜ k2≈k2+ 2ikγ. Con todo esto, sustituyendo dichos coeficientes en la ecuación 17, obtenemos la función de Green asociada a nuestro problema como un desarrollo en autovectores, que resulta: G(r;r′,˜ k) = X n Φ∗ n(r′)·Φn(r) (k2−k2 n)+2ikγ (20) Una vez obtenida la función de Green, podemos expresar nuestra función de ondas excitada por la fuente armónica F(r′)y solución de la ecuación 14 en términos de dicha función (ecuación 15): Ψ(r;r′,˜ k) = ZV G(r;r′,˜ k)F(r′)d3r′(21) Sustituimos ahora la ecuación 20 en la ecuación 21 y normalizamos diviendo entre la norma. La función de onda Ψ(r;r′,˜ k)quedará entonces: Ψ(r;r′,˜ k) = X n an(r′,˜ k)Φn(r)(22) donde el coeficiente an(r′,˜ k)dado por la expresión: an(r′,˜ k) = An(r′,˜ k) rPnAn(r′,˜ k) 2(23) 18 Elasticidad y Acústica de los Materiales a través de las Figuras de Chladni y el coeficiente An(r′,˜ k)por la expresión siguiente: An(r′,˜ k) = RVΦ∗ n(r′)F(r′)d3r′ (k2−k2 n)+2iγk (24) Fijándonos en la ecuación 24 podemos ver que nuestra función de onda está formada por los modos propios Φn(r)con autovalores kn, que tienen valores cercanos a los números de onda k. Si ahora miramos el numerador de la misma ecuación (ecuación 24) vemos que la integral entre el autovector Φ∗ n(r′)y la fuente F(r’) tiene un papel importante en la descripción de la función de onda resultante. 2.2. Resolución de la ecuación de ondas para una placa cuadrada Una vez obtenida la solución general para la ecuación de ondas que rigen el comportamiento de las placas delgadas vibrantes que dan lugar a las figuras de Chladni, vamos a detallar como sería dicha solución para el caso concreto de una placa cuadrada, que será el sistema con el que trabajaremos posteriormente. Consideramos entonces una placa cuadrada delgada de lado a, como la del esquema de la figura 8. Como es de esperar, la región del espacio en dos dimensiones en la que trabajaremos será 0≤x≤ay0≤y≤a. Con las condiciones anteriores, resolvemos la ecuación de ondas planteada (ecuación 14). Para ello, primero debemos obtener los modos propios Φn(r)resolviendo el problema homogéneo asociado: (∇2+k2)Φn(r)=0 (25) En nuestro caso, Φn(r) = Φn1,n2(x, y), ya que cada uno de los coeficientes n1yn2irán atribuidos a una variable diferente cuando apliquemos el método de variables separadas (n1se asocia a la variable xyn2a la variable y). Como dijimos en el apartado 2.1. Modelo teórico para la ecuación de ondas general y patrones de Chladni, la función de onda en la región propuesta debe satisfacer las condiciones de contorno de Neumann: ∂Φn1,n2 ∂x (0, y) = ∂Φn1,n2 ∂x (a, y) = ∂Φn1,n2 ∂y (x, 0) = ∂Φn1,n2 ∂y (x, a)=0 (26) Vamos a resolver entonces por el método de separación de variables. Proponemos una solución en variables separadas: Φn1,n2(x, y) = fn1(x)·gn2(y)(27) Por simplicidad usaremos fn1(x) = f(x)ygn2(y) = g(y)en la notación a partir de ahora. Sustituimos dicha solución (ecuación 27) en la ecuación 25 y operamos: (∇2+k2)f(x)g(y) = 0 ⇒∂2f(x) ∂x2·g(y) + ∂2g(y) ∂y2·f(x) = −k2·f(x)g(y)⇒ 19 Elasticidad y Acústica de los Materiales a través de las Figuras de Chladni ⇒∂2f(x) ∂x2·1 f(x)+∂2g(y) ∂y2·1 g(y)=−k2⇒ −∂2f(x) ∂x2·1 f(x)=∂2g(y) ∂y2·1 g(y)+k2=λ Donde λserá una constante asociada al autovalor de nuestro problema de Sturm-Liouville (no es la longitud de onda). Tenemos entonces dos problemas de Sturm-Liouville regulares, uno para nuestra variable xy otro para nuestra variable y:      ∂2f(x) ∂x2=−λ·f(x) c.c. =⇒∂f(0) ∂x =∂f(a) ∂x = 0      ∂2g(y) ∂y2=−(k2−λ)·g(y) c.c. =⇒∂g(0) ∂y =∂g(a) ∂y = 0 (28) Primero resolveremos el problema de Sturm-Liouville regular para f(x). La solución general de la ecuación será: f(x) = A1·cos √λx+B1·sin √λx(29) Tomando las condiciones de contorno de la ecuación 28 sacamos el valor de nuestro autovalor λy de las constantes: df(x) dx =−A1√λ·sin √λx+B1√λ·cos √λx De la condición de contorno df(0)/dx = 0 obtenemos que B= 0. De la otra condición de contorno (df(a)/dx = 0), obtenemos el valor de λ: df(a) dx =−A1√λ·sin √λa= 0 −→ sin √λa= 0 −→ λn1=n1π a2 Sustituyendo en la ecuación 29, la solución para f(x)nos quedaría: fn1(x) = A1·cos n1π ax(30) Ahora pasamos a resolver el problema de Sturm-Liouville para g(y)en la derecha de la ecuación 28. La solución general para dicho problema será similar a la del problema de f(x)con la salvedad de que introduciremos un nuevo autovalor α=k2−λ: g(y) = A2·cos √αy+B2·sin √αy(31) Procedemos de igual manera que con f(x)y usamos las condiciones de contorno planteadas en la ecuación 28 para g(y), y obtenemos los valores de nuestro autovalor y de la constante: dg(y) dy =−A2√α·sin √αy+B2√α·cos √αy 20 Elasticidad y Acústica de los Materiales a través de las Figuras de Chladni dg(0) dy = 0 −→ B2= 0 dg(a) dy = 0 −→ αn2=n2π a2(32) Sustituyendo los valores de la ecuación 32 en la ecuación 29, la solución para g(y)nos quedaría: g(y) = A2·cos n2π ay(33) Una vez calculados ambos problemas por separado, sustituimos nuestras soluciones (ecuación 30 y ecuación 33) en la ecuación 27: Φn1,n2(x, y) = A·cos n1π ax·cos n2π ay(34) Ya solo nos queda sacar el valor de la constante Apara poder obtener nuestros modos propios. Para ello nos serviremos de la condición de normalización de nuestros modos R|Φn1,n2(r)|2dr= 1: Za 0Za 0 A2·cos2n1π ax·cos2n2π aydxdy =A2·Za 0 cos2n1π axdx · ·Za 0 cos2n2π aydy = 1 ⇒"Za 0 cos2n1π axdx =asin 2πn1 ax 4πn1 +x 2 x=a x=0 =a 2#⇒ ⇒A2·a 2·a 2= 1 ⇒A2=4 a2⇒A=2 a Una vez normalizados, ya tenemos el resultado final para nuestros modos propios de la ecuación 25. Vendrán dados por la expresión: Φn1,n2(x, y) = 2 a·cos n1π ax·cos n2π ay(35) Del autovalor αn2de la ecuación 32 y del valor λde la ecuación 30 podemos sacar los autovalores asociados a nuestros modos propios Φn1,n2(x, y), que vienen dados por: k2 n1,n2=λn1+αn2=n1π a2+n2π a2−→ kn1,n2=π a·pn12+n22(36) Con una fuente puntual de excitación en el centro de la placa cuadrada, la función fuente F(r′)vendrá dada por la expresión: F(r′) = F0·δ(x′−a/2) ·δ(y′−a/2) (37) donde F0es la amplitud de la función fuente de la placa. 21 Elasticidad y Acústica de los Materiales a través de las Figuras de Chladni De la ecuación general calculada en el apartado anterior (ecuación 22), sustituimos nuestros modos propios calculados en la ecuación 35 y la expresión de la fuente excitadora de la ecuación 37. Obtenemos así nuestra función de onda normalizada, que viene dada por la expresión: Ψ(x, y;˜ k) = X n1,n2 an1,n2(˜ k)Φn1,n2(x, y)(38) donde los coeficientes descritos en las ecuaciones 23 y 24 adecuados al problema serán: an1,n2(˜ k) = An1,n2(˜ k) rPn1,n2An1,n2(˜ k) 2(39) An1,n2(˜ k) = F0 Φn1,n2(a/2, a/2) (k2−k2 n1,n2)+2iγk (40) Entonces, si queremos calcular los patrones de onda |Ψ(x, y;˜ k)|2, basta con usar las ecuaciones 38 y 40 y diferentes valores para nuestro número de onda y un número fijo para el coeficiente de amortiguamiento. Usaremos como valor fijo para el coeficiente de amortiguamiento γ= 0.02 a−1[31]. Dicho valor se calcula experimentalmente: si representamos la impedancia eléctrica del motor frente a la frecuencia, podemos observar que se forman picos sobre cada frecuencia de resonancia del sistema (frecuencias a las que aparece una figura). Cuando el motor vibra con una de estas frecuencias, la amplitud de vibración debería irse a infinito, y por tanto la impedancia eléctrica del montaje debería también irse a infinito. Como el sistema no es ideal y existe amortiguamiento, en vez de una delta de Dirac sobre la frecuencia de resonancia, lo que observamos en la representación es un pico con una cierta altura y anchura. Si calculamos la anchura a media altura, FWHM (Full Width at Half Maximum), de cada pico y hacemos el valor medio de todos los valores, obtendríamos el valor fijo del coeficiente de amortiguamiento mencionado anteriormente, γ= 0.02 a−1. 2.3. Potencia transferida de la fuente excitadora a nuestro sistema Otra de las partes importantes de la descripción matemática de las figuras de Chladni es estudiar la eficiencia en la transferencia de potencia desde la fuente externa al sistema de nuestra placa vibrante. Gracias al estudio de esta potencia podemos estudiar la influencia de la fuente externa en nuestra placa y la trasmisión de energía a nuestro sistema. Según el libro Theoretical Acoustics, dicha potencia transferida desde la fuente de excitación al sistema vibratorio mecánico es proporcional al cuadrado absoluto de la derivada temporal de la función de respuesta [33], es decir, η∝ |∂u/∂t|2. Esto se puede entender así porque nuestra placa es un sistema con "resistencia interna" , equivalente a un problema de viscosidad en un fluido F=β v, donde ven nuestro contexto es la velocidad de propagación de nuestra onda v=|∂u/∂t|. Como sabemos, la potencia viene dada por 22 Elasticidad y Acústica de los Materiales a través de las Figuras de Chladni de la potencia transferida frente a los números de onda para la localización de los modos resonantes se encuentra en la figura 11. Los valores de los distintos números de onda resonantes se disponen en el cuadro 2. K′ 1K′ 2K′ 3+4 K′ 5K′ 6+7 11.46 a−116.20 a−118.23 a−121.32 a−124.31 a−1 K′ 8K′ 9K′ 10 K′ 11 K′ 12 26.33 a−127.34 a−129.76 a−131.73 a−132.98 a−1 Cuadro 2: Valores de los números de onda resonantes K′ npara n= 1,...,12 obtenidos de la figura 11. Figura 11: Segundo resultado de la función potencia transferida η(r′,˜ k)en función del número de onda para una placa cuadrada, donde aes el lado de dicha placa. Comparando nuestra gráfica (figura 11) con la presentada el artículo (figura 10), vemos que los valores numéricos de los modos resonantes son practicamente los mismos, sin embargo, el cambio más notable es la "desaparición" de algunos de estos modos resonantes, como el tercero (K3), el cuarto (K4) y el séptimo (K7). Desglosamos por partes para comparar ambas representaciones: El primer pico del artículo (K1) en la representación de MATLAB aparece como un pico más grande (K′ 1), con bastante más amplitud y centrado aproximadamente en 29 Elasticidad y Acústica de los Materiales a través de las Figuras de Chladni k∼3.67 π/a, es decir, se ha desplazado a la derecha. Es el pico que mayor variación de amplitud tiene. La variación de amplitud entre ambas gráficas del resto de picos es similar. Entre los valores k∼5.5π/a yk∼6.5π/a, en la figura 10 se identifican dos picos, que nombramos como K3yK4. Sin embargo, en nuestra representación solo aparece un pico centrado en k∼6π/a, (denotado por K′ 3+4), con mayor amplitud que los dos picos mencionados anteriormente. Esta variación puede deberse a la superposición de estos dos picos en uno solo con mayor amplitud. De hecho, puede observarse que la amplitud del pico de la figura 11 es la convolución de los dos picos de la figura 10. Exactamente lo mismo ocurre para el pico de la figura 10 denotado por K7. El pico de la figura 11 centrado en k∼7.75 π/a, denotado por K′ 6+7, es más alto que el centrado en k∼6.75 π/a, mientras que para la figura 10, K5yK6son aproximadamente iguales. Es posible que el pequeño pico que falta en nuestra representación (K7) esté absorbido en lo que la figura 10 llama K6, y estos se hayan solapado. Una posible explicación para estos cambios entre las dos representaciones es que puedan ser debidos a la precisión del programa usado. Para la representación del artículo, se ha podido usar un programa con mayor precisión que la de MATLAB y, por lo tanto, esto permite que se puedan resolver aquellos picos de menor amplitud. Como los valores de los modos resonantes son practicamente los mismos para ambas figuras, asumimos como referencia los del cuadro 1, es decir, los de la figura 10, ya que aparecen más picos resonantes y por lo tanto experimentalmente podremos trabajar con un mayor número de figuras. 4.2. Figuras experimentales y frecuencias de resonancia Una vez obtenidos los distintos valores de número de onda de los modos resonantes hay que asociarles a cada uno una frecuencia, a las que llamaremos frecuencias de resonancia, como nos indica la relación de dispersión de nuestro experimento f(k) = C·k2 (ecuación 42). Para encontrar estas frecuencias, realizamos el experimento de Chladni con el montaje descrito en el apartado 3.1 Material y procedimiento experimental. Vamos sintonizando la frecuencia de la fuente, partiendo de frecuencia nula, subiéndola muy poco a poco, hasta que la placa empiece a entrar en resonancia y la arena sobre la placa describa una figura completamente clara. Asociamos la frecuencia a la que se genera la primera figura con el primer máximo K1, y anotamos el valor de dicha frecuencia de resonancia f1; y así sucesivamente. A continuación se muestran las imágenes de las figuras obtenidas para cada modo resonante con las frecuencias experimentales a las que aparecen indicadas: 30 Elasticidad y Acústica de los Materiales a través de las Figuras de Chladni Patrón 1: f1= 520 Hz Patrón 2: f2= 906 Hz Figura 12: Patrones de Chladni para el modo K1con frecuencia f1= 520 Hz y para K2con frecuencia f2= 906 Hz. Patrón 3: f3= 1065 Hz Patrón 4: f4= 1175 Hz Figura 13: Patrones de Chladni para el modo K3con frecuencia f3= 1065 Hz y para K4con frecuencia f4= 1175 Hz. 31 Elasticidad y Acústica de los Materiales a través de las Figuras de Chladni Patrón 5: f5= 1555 Hz Patrón 6: f6= 1925 Hz Figura 14: Patrones de Chladni para el modo K5con frecuencia f5= 1555 Hz y para K6con frecuencia f6= 1925 Hz. Patrón 7: f7= 2096.8Hz Patrón 8: f8= 2344 Hz Figura 15: Patrones de Chladni para el modo K7con frecuencia f7= 2096.8Hz y para K8con frecuencia f8= 2344 Hz. 32 Elasticidad y Acústica de los Materiales a través de las Figuras de Chladni Patrón 9: f9= 2516 Hz Patrón 10: f10 = 3022.8Hz Figura 16: Patrones de Chladni para el modo K9con frecuencia f9= 2516 Hz y para K10 con frecuencia f10 = 3022.8Hz. Patrón 12: f12 = 3716.3Hz Figura 17: Patrones de Chladni para el modo K12 con frecuencia f12 = 3716.3Hz. Hay que puntualizar que, a frecuencias más altas, los patrones nodales se vuelven mucho más complejos, con más líneas y nodos. Esto se debe a que la longitud de onda asociada a la vibración es menor, resultando en un mayor número de nodos y antinodos en la misma área de la placa. Además, a estas frecuencias, hay que inducir una mayor amplitud (aumentar la diferencia de potencial en la fuente) para poder lograr el fenómeno de resonancia y que aparezca la figura, siendo bastante más complicado y necesitando también más tiempo 33 Elasticidad y Acústica de los Materiales a través de las Figuras de Chladni de respuesta para poder obtenerla. Es por esto que no se ha podido encontrar la figura asociada al modo K11. Como es una figura que se encuentra a una frecuencia muy alta, es más difícil de encontrar. Además, si observamos la figura 10, vemos que el pico asociado a este modo es el pico más bajo, por lo que habría que aumentar considerablemente la amplitud de la fuente para que la placa entre en resonancia. Por esto, nuestra fuente no es lo suficientemente potente como para encontrar dicha figura, ya que requiere de una diferencia de potencial mayor del que podemos suministrar a la fuente para poder ser observada (como máximo podemos proporcionar 20 V pp). Por último, es importante saber también que el montaje no es ideal, tratándose de material de carácter divulgativo, y por lo tanto en la formación de figuras también hay otros factores a tener en cuenta. Uno de los más notables es que nuestra placa de aluminio está un poco inclinada hacia un lado, haciendo que cuando la arena vibre, ésta tienda a ir hacia ese lado, cargándose de arena una parte de la placa más que la otra. Otro factor que influye es que la arena puede quedarse "pegada" a la placa, porque alguna parte de la misma pueda presentar alguna imperfección. Esto hace que, cuando se cambie de frecuencia buscando otra figura, esa arena se pueda quedar en el mismo sitio a pesar de la vibración. Para poder corregir esto, usamos la brocha mencionada en el apartado 3.1. Material y procedimiento experimental, y movemos la arena estancada en esa parte de la placa para que comience a vibrar. 4.3. Relación de dispersión Una vez obtenidos los valores de los números de onda resonantes y visualizado las diferentes figuras de Chladni asociadas a cada uno, así como las frecuencias a las que estas aparecen, comenzaremos a estudiar las propiedades del material del que está compuesta la placa mediante nuestra relación de dispersión (ecuación 42). Como se mencionó en el apartado 2.4. Relación de dispersión de una placa delgada en vibración, las frecuencias y los números de onda se relacionan mediante la expresión f(k) = C·k2, donde Ces una constante propia de cada material que nos proporciona información importante sobre este, como puede ser su densidad, módulo de Young o el coeficiente de Poisson. Nuestro objetivo en este apartado será encontrar el valor de la constante Cmediante la representación de las frecuencias de resonancia (fn) frente a los números de onda de los modos resonantes (Kn); y poder compararlo así con el valor teórico de la misma para el aluminio. Recordamos los valores obtenidos para los modos resonantes en los dos apartados anteriores: 34 Elasticidad y Acústica de los Materiales a través de las Figuras de Chladni Números de onda resonantes artículo (a−1) Números de onda resonantes calculados (a−1) Frecuencias resonantes experimentales (Hz) 13.60 11.46 520.0 16.16 16.20 906.0 18.20 18.73 1065.0 19.50 1175.0 21.30 21.32 1555.0 23.90 24.31 1925.0 25.60 2096.8 26.40 26.33 2334.0 27.40 27.34 2516.0 29.70 27.34 3022.8 31.70 31.73 ? 33.10 32.98 3716.3 Cuadro 3: Valores de los números de ondas (Kn) de los distintos modos resonantes para una placa de lado a= 0.24 cm, y frecuencias resonantes halladas experimentalmente. Realizamos una representación de los valores del cuadro 3. Representamos las frecuencias resonantes experimentales frente a los números de onda resonantes teóricos del artículo y otra frente a los calculados por MATLAB (divididos ambos por el lado de la placa, a). Al representar, tenemos que tener en cuenta los valores de las convoluciones mencionadas en el apartado 4.1. Modos resonantes teóricos y asociarlos a la frecuencia resonante más adecuada. En el caso del modo K′ 3+4 se asocia a la frecuencia f3, ya que, comparando las figuras 10 y 11, observamos que su valor se acerca más al pico K3; y además este tiene mayor amplitud, es decir, es más alto que K4. Siguiendo el mismo razonamiento, asociamos K′ 6+7 af6. Teniendo en cuenta todo lo anterior, obtenemos la siguiente gráfica 18: 35 Elasticidad y Acústica de los Materiales a través de las Figuras de Chladni Figura 18: Curva de dispersión determinada por las frecuencias de resonancia experimentales y los números de onda resonantes del artículo (azul) y los calculados (verdes) para una placa de aluminio de espesor d= 1 mm y lado a= 0.24 m En esta figura se han ajustado los valores descritos anteriormente mediante un ajuste polinómico de grado dos. En el caso de la curva de ajuste artículo, hemos obtenido una curva de ajuste parabólico con ecuación f= 0.1935 ·k2con coeficiente R2= 0.997. En el caso de la curva de ajuste calculada, hemos obtenido una curva de ajuste parabólico con ecuación f= 0.1947 ·k2con coeficiente R2= 0.998. Además, se ha añadido el punto (0,0) para calibrar la regresión. Comparando ambos ajustes, vemos que ambas regresiones son muy parecidas, casi indistinguibles a simple vista y además se ajustan muy bien a una parábola. Es posible extraer de la regresión de los datos experimentales del artículo de la figura 18 el valor de la constante del aluminio: Cexp1= 0.1935 ±0.0016 m2/s Cexp2= 0.1947 ±0.0017 m2/s Donde, por motivos de simplicidad, llamamos Cexp1yCexp2a la constante del aluminio obtenida usando los modos resonantes del artículo y los calculados por MATLAB, respectivamente. Calculamos ahora el valor esperado de dicha constante con intención de compararlo con uno de los obtenidos experimentalmente, ya que ambos son muy parecidos (en este caso compararemos con Cexp2). Para ello, necesitamos los datos bibliográficos del aluminio e introducirlos en la ecuación 43. El coeficiente de Poisson del aluminio es 36 Elasticidad y Acústica de los Materiales a través de las Figuras de Chladni ν= 0.33, el Módulo de Young es E= 69 GPa, la densidad de nuestra placa de aluminio es ρ= 2700 kg/m3y el espesor de la misma es d= 1 mm. Con todos estos datos y con ayuda de la ecuación 43, obtenemos el valor esperado de la constante: Cesperado = 0.246 m2/s Comparando ambos valores, vemos que nuestra constante obtenida a través del ajuste parabólico de los datos experimentales difiere del valor esperado, dando un error relativo entre la medida experimental y la teórica del 20.8 %. Este error relativo sugiere que, aunque el valor experimental está en el mismo orden de magnitud que el valor esperado, hay diferencias entre ambos que pueden explicarse por posibles diversas fuentes de error en el experimento. Una de ellas es la precisión humana a la hora de encontrar las frecuencias resonantes. Para localizar dichas frecuencias se ha tenido en cuenta aproximadamente aquella en la que aparecía la figura sobre la placa. Para cada figura, había un rango de frecuencias que mantenía el fenómeno de resonancia en la placa, por lo que la posible desviación de un valor riguroso ha podido influir en la variación del valor de C. Otra posible fuente de error puede ser la precisión de nuestros instrumentos de medida. Los instrumentos que utilizamos para medir las frecuencias resonantes deben estar bien calibrados. Cualquier desviación en la calibración introduce errores sistemáticos en las mediciones. También puede limitar la precisión del instrumental su propia resolución. Si se tiene una resolución baja, puede influir en el resultado final de nuestra constante. Más explicaciones de la desviación en el valor de la constante se encuentran en la placa de aluminio. Las condiciones ambientales pueden influir en el resultado obtenido, como por ejemplo la temperatura y su variación, que afecta a las propiedades del material. Otro ejemplo de condiciones ambientales que pueda afectar a la experiencia es la humedad, pudiendo afectar a la masa y la rigidez de la placa de aluminio. También es importante tener en cuenta que la suposición de que la placa de aluminio es homogénea y tiene propiedades uniformes en toda su superficie puede no ser completamente válida. Variaciones en el espesor, densidad, o composiciones locales pueden afectar al valor de la constante final; así como el tipo de aleación del aluminio con el que estemos trabajando. La placa puede presentar también imperfecciones en su superficie, como rayaduras, abolladuras o suciedad, que pueden alterar los modos de vibración y las frecuencias resonantes. Un último punto que puede llevar a la generación de fuentes de error en el experimen- to puede ser el propio montaje experimental. La fijación de la placa al excitador, por ejemplo, es crucial para que la experiencia induzca pocos errores. Por último, vamos a comentar también las diferencias entre nuestras frecuencias resonantes experimentales y las que han obtenido para el artículo [31]. Para nuestro experimento, intentamos reproducir las características de la placa cuadrada empleada por Tuan et al. [31] esto es, mismo material (aluminio), mismas dimensiones (lado a, espesor d). Los valores experimentales de nuestras frecuencias han sido sistemáticamente inferiores que los del artículo. Para realizar una comparativa consistente, representamos las frecuencias experimentales del artículo (a las que denominaremos frecuencias artículo) frente a las frecuencias obtenidas en este trabajo (a las que llamaremos frecuencias trabajo), quedando 37 Elasticidad y Acústica de los Materiales a través de las Figuras de Chladni la siguiente figura: Figura 19: Regresión lineal entre los valores de las frecuencias resonantes experimentales que obtienen en el artículo frente a las obtenidas en este trabajo. Como podemos observar en la figura 19, el ajuste nos da perfectamente una recta, cuya pendiente es 1.144 ±0.007 y su ordenada en el orígen es 18 ±14 Hz, con coeficiente de determinación R2= 0.9996. Esta representación da cuenta de la existencia de una relación lineal entre las frecuencias obtenidas en el trabajo y las del artículo. Como tanto en el artículo como en el trabajo se han usado los mismos números de onda resonantes teóricos para el cálculo de las constantes Crespectivas, la pendiente será igual a la relación entre las dos constantes. Comprobamos que esto se cumpla: Cart = 0.222 m2/s Cexp = 0.1947 m2/s ⇒Cart Cexp = 1.141 ≈pendiente 38