Elementos aleatorios en espacios normados. Propiedades. Las leyes de los grandes números

UNIVERSIDAD DE SEVILLA Facultad de Matem´aticas Grado en Matem´aticas Departamento de An´alisis Matem´atico Elementos aleatorios en espacios normados. Propiedades. Las leyes de los grandes n´umeros Trabajo Fin de Grado por Alicia P´erez Coronilla Director: Manuel Ord´o˜nez Cabrera Sevilla, junio 2017 ´ Indice general Resumen. Abstract III Introducci´on V 1. Elementos aleatorios en espacios lineales normados 1 1.1. Motivaci´on y definici´on de elemento aleatorio.............................. 1 1.2. Bases de Schauder. Resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Propiedades b´asicas de los elementos aleatorios ............................. 6 1.4. Propiedades topol´ogicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2. Propiedades probabil´ısticas. Valor esperado 13 2.1. Propiedades probabil´ısticas de los elementos aleatorios . . . . 14 2.2. Esperanza de un elemento aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . 19 3. Las leyes de los grandes n´umeros 25 3.1. LGN para elementos aleatorios id´enticamente distribuidos . . 25 3.2. LGN para elementos aleatorios tight . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3. Condiciones geom´etricas sobre losespacios ............................ 37 Ap´endice A: An´alisis Funcional 43 i ´ Indice general Ap´endice B: Variables Aleatorias 47 Bibliograf´ıa 51 ii Resumen. Abstract Resumen El objetivo de este trabajo es dar una introducci´on a los elementos aleatorios con el fin de extender las cl´asicas leyes de los grandes n´umeros m´as all´a de las variables aleatorias. Para ello, vemos algunas de sus propiedades m´as destacadas y definimos la esperanza a trav´es de la integral de Pettis. Posteriormente, probamos algunas leyes para elementos aleatorios, primero bajo hip´otesis de id´entica distribuci´on; despu´es para elementos aleatorios tight y, por ´ultimo, imponiendo condiciones geom´etricas sobre el espacio. Abstract The object of this work is to give an introduction to random elements in order to extend the classic laws of large numbers beyond random variables. For that, we will see some of its most important properties and define the expectation throught the Pettis integral. After that, we prove some laws for random elements, first under same distribution hypothesis; then for random elements tight and, by last, imposing geometric conditions in the space. iii Introducci´on Las leyes de los grandes n´umeros juegan un papel muy importante en la investigaci´on de la relaci´on entre los aspectos te´oricos y pr´acticos de la teor´ıa de la probabilidad cl´asica y la estad´ıstica. Las leyes de los grandes n´umeros se ocupan del estudio de la convergencia de la sucesi´on de medias aritm´eticas correspondiente a una sucesi´on de variables aleatorias, siendo el tipo de convergencia el que otorga el car´acter de ley fuerte o ley d´ebil. Si la convergencia es en probabilidad, entonces estaremos ante una ley d´ebil, mientras que si hay convergencia casi segura, ser´a una ley fuerte. La reciente consideraci´on de los procesos estoc´asticos como elementos aleatorios en espacios de funciones (es decir, variables aleatorias que toman valores en espacios de funciones cualesquiera) ha motivado el estudio de las leyes de los grandes n´umeros para elementos aleatorios. El concepto de elemento aleatorio fue introducido por el matem´atico franc´es Maurice Ren´e Fr´echet (1948), quien dijo ((el desarrollo de la teor´ıa de la probabilidad y la expansi´on de este ´area y de sus aplicaciones ha creado la necesidad de pasar de los esquemas donde los resultados (aleatorios) de los experimentos pueden ser descritos por un conjunto finito de n´umeros, a esquemas donde los resultados de experimentos representan, por ejemplo, vectores, v Introducci´on funciones, procesos, campos, series, transformaciones y tambi´en conjuntos o colecciones de conjuntos)). En los a˜nos 1953 y 1956, Mourier generalizar´ıa la ley fuerte para variables aleatorias independientes e id´enticamente distribuidas a elementos aleatorios en un espacio de Banach. Posteriormente, Beck (1963) conseguir´ıa probar una extensi´on de la ley fuerte para elementos independientes, aunque no necesariamente con igual distribuci´on, exigiendo condiciones de convexidad al espacio. Hay muchos teoremas l´ımite que pueden ser extendidos, con m´as o menos condiciones sobre los espacios, para elementos aleatorios. Sin embargo, no es el objetivo de este trabajo ser exhaustivo. M´as bien, se dar´a una introducci´on detallada a los elementos aleatorios y sus propiedades y trataremos de exponer las generalizaciones de las leyes de los grandes n´umeros cl´asicas, donde haremos notar la inexorable uni´on entre el An´alisis Matem´atico y la Teor´ıa de la Probabilidad. Para ello, en el cap´ıtulo 1 introducimos el concepto de elemento aleatorio y vemos algunas propiedades fundamentales y de tipo topol´ogico. En el segundo cap´ıtulo mostramos las propiedades probabil´ısticas m´as importantes e introducimos el concepto de valor esperado usando la integral de Pettis. Por ´ultimo, en el cap´ıtulo 3 generalizamos las leyes de los grandes n´umeros conocidas a espacios m´as generales bajo diferentes hip´otesis: id´entica distribuci´on, tightness y condiciones geom´etricas sobre el espacio. Tambi´en contaremos con dos ap´endices. En el Ap´endice A se encontrar´an las definiciones y los resultados b´asicos de An´alisis Funcional que usaremos a lo largo de las notas, mientras que el Ap´endice B ser´a un recordatorio de la teor´ıa ya conocida sobre variables aleatorias. vi Cap´ıtulo 1 Elementos aleatorios en espacios lineales normados 1.1. Motivaci´on y definici´on de elemento aleatorio Gerolamo Cardano (1501–1576) afirm´o, aunque sin proporcionar pruebas matem´aticas, que la precisi´on de las estad´ısticas emp´ıricas tienden a mejorar con el n´umero de intentos. Esta afirmaci´on del matem´atico italiano fue formalizada siglos m´as tarde y se conocer´ıa con el nombre de Ley de los Grandes N´umeros. A Jacob Bernouilli le llev´o m´as de 20 a˜nos desarrollar una prueba matem´atica suficientemente rigurosa de la ley para una variable aleatoria binaria. La prueba fue publicada en su Ars Conjectandi (El arte de la conjetura) en 1713 y Bernouilli le llam´o su ((Teorema dorado)). En 1837, Poisson la describi´o con m´as detalle bajo el nombre de La loi des grands nombres (la ley de los grandes n´umeros). A partir de entonces, 1 Cap´ıtulo 1. Elementos aleatorios en espacios lineales normados Proposici´on 1.3.3. Sea Xun e.l.n. separable. Una aplicaci´on V: Ω −→ X es un elemento aleatorio si, y solamente si, existe una sucesi´on {Vn}de elementos numerablemente valuados de forma que Vn−→ Vuniformemente. Demostraci´on. Ve´amoslo por doble implicaci´on. ⇐= Si Vn−→ V, ya sabemos por la proposici´on anterior que Ves un elemento aleatorio. =⇒ Supongamos que V: Ω −→ Xes un e.a. Como Xes un espacio separable, por la proposici´on 1.2.1 sabemos que para cada n≥1 existe una funci´on Tn:X−→ Xmedible-Borel y numerablemente valuada tal que d(Tn(x), x)<1 npara todo x∈X. Definamos Vn=Tn(V) = Tn◦V. Por el lema 1.3.1, sabemos que para cada n≥1Vn: Ω −→ Xes un elemento aleatorio. Adem´as, se tiene que kVn(ω)−V(ω)k=kTn(V(ω)) −V(ω)k<1 npara todo ω∈Ω. Luego, Vn−→ Vuniformemente. Proposici´on 1.3.4. Sea Vun elemento aleatorio en un espacio lineal normado Xy sea Auna variable aleatoria. Entonces, AV es un elemento aleatorio en X. Demostraci´on. Sea {An}una sucesi´on de variables aleatorias numerablemente valuadas tal que An−→ A(sabemos que tal sucesi´on existe por la proposici´on anterior, pues si Aes v.a. tambi´en es un e.a.). Por continuidad de la multiplicaci´on por escalares tenemos que, para cada n,AnVes un elemento aleatorio en X. Como AnV−→ AV , por la proposici´on anterior tenemos que AV es un elemento aleatorio en X. 8 Cap´ıtulo 1. Elementos aleatorios en espacios lineales normados 1.4. Propiedades topol´ogicas Hasta ahora hemos podido generalizar muchas caracter´ısticas de variables aleatorias a elementos aleatorios sin mucha dificultad. Sin embargo, no todas las propiedades pueden ser extendidas. Un claro ejemplo es que, trivialmente ten´ıamos que la suma de variables aleatorias era una nueva variable aleatoria pero, si Xno es lineal, la suma de elementos aleatorios puede que ni siquiera est´e definida. A continuaci´on, vamos a ver algunas de las propiedades topol´ogicas m´as importantes de los elementos aleatorios. Teorema 1.4.1. Sea Xun espacio lineal normado. Sea Vun elemento aleatorio en X. Entonces, se tiene que: a)kVkes una variable aleatoria. b)Si f∈X∗, f(V)es una variable aleatoria. Demostraci´on. La prueba es inmediata si tenemos en cuenta que las aplicaciones norma k·k: (X, k·k)−→ Ryf:X−→ Rson continuas y, en consecuencia, medibles-Borel. Luego, aplicando el lema 1.3.1 tenemos que kVkyf(V) son variables aleatorias. Este teorema ser´a muy utilizado ya que, muchos de los resultados que vamos a probar para elementos aleatorios dependen del hecho de que si Ves un elemento aleatorio, entonces kVkes una variable aleatoria. Tambi´en tiene gran importancia el siguiente resultado, pues nos da una caracterizaci´on de elemento aleatorio en espacios lineales normados y separables. Teorema 1.4.2. Sea Xun espacio lineal normado separable. Entonces, una funci´on V: Ω −→ Xes un elemento aleatorio si, y solamente si, para cada f∈X∗se tiene que f(V)es una variable aleatoria. 9 Cap´ıtulo 1. Elementos aleatorios en espacios lineales normados Demostraci´on. La condici´on necesaria la tenemos por el teorema 1.4.1. Veamos la condici´on suficiente. Consideremos el siguiente esquema. ΩV −→ Xf −→ R V−1(f−1(B)) V−1 ←− f−1(B)f−1 ←− B Sea B∈ B(R). Entonces se tiene que V−1(f−1(B)) ≡(f(V))−1(B)∈ A, pues suponemos que f(V) es una variable alatoria para toda f∈X∗. Luego, si consideramos B(C) = σ{f−1(B) : f∈X∗,B∈ B(R)}, para ver que Ves un elemento aleatorio bastar´a probar que B(C)≡ B(X). ⊆Es trivial, por definici´on de B(C). ⊇Como Xes separable, sabemos que existe un subconjunto denso numerable {xn}n∈N⊆X. Por el corolario del teorema de Hahn-Banach (ver ap´endice A), sabemos que existe una sucesi´on {fn}n∈N⊂Xtal que kfnk= 1 y fn(xn) = kxnk ∀n∈N. Sea r > 0. Definimos los conjuntos: C1={x∈X:kxk ≤ r}=B(0, r) C2= ∞ \ n=1 {x∈X:fn(x)≤r}=f−1 n(−∞, r] | {z } ∈B(R) ∈ B(C) Si x∈C1⇒ kxk ≤ r, por lo que |fn(x)|≤kfnkkxk=kxk ≤ r⇒x∈C2. Es decir, C1⊆C2. Sea ahora x∈X:kxk> r. Como {xn}es denso en X, entonces sabemos que existe xk:kx−xkk<1 2(kxk − r). As´ı: kxkk=kx−(x−xk)k≥kxk−kx−xkk>kxk − 1 2(kxk − r) = 1 2(kxk+r) Adem´as: 10 Cap´ıtulo 1. Elementos aleatorios en espacios lineales normados |fk(x)−kxkk| =|fk(x)−fk(xk)|=|fk(x−xk)|≤kfkkkx−xkk<1 2(kxk−r) Como consecuencia de estas dos desigualdades, tenemos que: fk(x) = kxkk−(kxkk−fk(x)) ≥ kxkk−|kxkk−fk(x)|>1 2(kxk+r)−1 2(kxk−r) = r Luego, hemos probado que si x /∈C1⇒x /∈C2. Es decir, C2⊆C1. Tenemos entonces que C2=C1. Como C2∈ B(C),tambi´en se tiene que C1∈ B(C). Es decir, para r > 0, B(0, r)∈ B(C). Como fes lineal (pues f∈X∗), B(C) es invariante por traslaciones, por lo que B(a, r)∈ B(C) para a∈Xyr > 0. Entonces, ya tenemos que B(X)⊆ B(C) pues, por definici´on, B(X) es la m´ınima σ-´algebra que contiene a tales bolas. Luego B(X) = B(C). La separabilidad del espacio Xha sido esencial a la hora de realizar la prueba. Veamos que, en la pr´actica, tambi´en es necesaria esta hip´otesis. Para ello, consideremos Xun espacio lineal, normado y separable, VyZdos elementos aleatorios en Xyf∈X∗. Por el teorema que acabamos de probar sabemos que f(V) y f(Z) son variables aleatorias ⇒f(V) + f(Z) tambi´en es una variable aleatoria. Si ahora usamos que fes una aplicaci´on lineal, entonces f(V) + f(Z) = f(V+Z) es una variable aleatoria. Aplicando el mismo teorema en la otra direcci´on tenemos que V+Zes un elemento aleatorio en X. Es decir, para espacios separables tenemos que la suma de dos elementos aleatorios es un nuevo elemento aleatorio. Sin embargo, la suma de dos elementos aleatorios en un espacio lineal normado no separable no tiene por qu´e estar definida, como se pone de manifiesto en Taylor [10]. 11 Cap´ıtulo 2 Propiedades probabil´ısticas. Valor esperado Un elemento aleatorio en un espacio topol´ogico induce una medida de probabilidad en sus subconjuntos de Borel de manera an´aloga a como se obten´ıa la probabilidad inducida por las variables aleatorias. En este cap´ıtulo diremos qu´e se entiende por elementos aleatorios independientes y con igual distribuci´on y veremos c´omo podemos extender las propiedades que se ten´ıan para variables aleatorias independientes y/o id´enticamente distribuidas a los elementos aleatorios con estas mismas caracter´ısticas. Finalmente, definiremos la esperanza matem´atica o valor esperado de un elemento aleatorio. Para ello, necesitaremos introducir un nuevo concepto de integral: la integral de Pettis. 13 Cap´ıtulo 2. Propiedades probabil´ısticas. Valor esperado 2.1. Propiedades probabil´ısticas de los elementos aleatorios Definici´on 2.1.1. Sean VyZdos elementos aleatorios sobre X. Diremos que VyZson id´enticamente distribuidos si P[V∈B] = P[Z∈B] para todo B∈ B(X). Es decir, si inducen la misma medida de probabilidad. Se dir´a que una familia de elementos aleatorios est´a id´enticamente distribuida si cada par de elementos aleatorios que la forman lo est´an. Definici´on 2.1.2. Dado un conjunto finito {V1, ..., Vn}de elementos aleatorios sobre X, diremos que son independientes si para cada B1, ..., Bn∈ B(X) se verifica que P[ n \ i=1 Vi∈Bi] = n Y i=1 P[Vi∈Bi]. Una familia de elementos aleatorios en Xse dir´a que es independiente si cada subconjunto finito de ella lo es. Definici´on 2.1.3. Sea Cuna subfamilia de B(X) y sean PyQdos medidas de probabilidad definidas sobre B(X). Se dice que Ces una familia de unicidad o clase determinante para B(X) si P[D] = Q[D] para todo D∈ C implica que P≡Qsobre B(X). En relaci´on a esta ´ultima definici´on se tienen dos resultados que no probaremos pero que nos ayudar´an a demostrar algunas propiedades probabil´ısticas de los elementos aleatorios. Lema 2.1.1. 1) Si Ces un ´algebra y σ(C) = B(X), entonces Ces una clase determinante para B(X).(Halmos [5]) 2) Si Xes un espacio lineal normado separable, entonces C={{x:f(x)< t}:f∈X∗, t ∈R} es una clase determinante para B(X).(Grenander [4]) 14 Cap´ıtulo 2. Propiedades probabil´ısticas. Valor esperado Proposici´on 2.1.1. a) Sean {Vα}α∈Auna familia de elementos aleatorios independientes en Xy{Tα}α∈Auna familia de funciones medibles-Borel del espacio topol´ogico Xen el espacio topol´ogico Y. Entonces, {Tα(Vα)}α∈Aes una familia de elementos aleatorios independientes en Y. b) Sean {Vα}α∈Auna familia de elementos aleatorios id´enticamente distribuidos en XyT:X−→ Yuna funci´on medible-Borel. Entonces {T(Vα)}α∈A es una familia de elementos aleatorios id´enticamente distribuidos en Y. Demostraci´on. Aplicando el lema 1.3.1 ya tenemos que Tα(Vα) es un elemen- to aleatorio en Y∀α∈A. a) Sean αi∈AyBi∈ B(Y), i∈ {1.., n}. Entonces: P[ n \ i=1 Tαi(Vαi)∈Bi] = P[ n \ i=1 (Vαi)∈T−1 αi(Bi)] = [ por la independencia de Vα] = n Y i=1 P[(Vαi)∈T−1 αi(Bi)] = n Y i=1 P[Tαi(Vαi)∈Bi] Luego ya tenemos la independencia para {Tα(Vα)}α∈A. b) An´alogamente, si consideramos B∈B(Y) y αi, αj∈Acon i6=j: P[T(Vαi)∈B] = P[Vαi∈T−1(B)] = P[Vαj∈T−1(B)] = P[T(Vαj)∈B] Con esto, probamos que {T(Vα)}α∈Aes una familia de elementos aleatorios id´enticamente distribuidos en Y. Proposici´on 2.1.2. Sea Xun espacio lineal normado separable. Se tiene que los elementos aleatorios VyZen Xson id´enticamente distribuidos si, y solamente si, f(V)yf(Z)son variables aleatorias id´enticamente distribuidas para toda f∈X∗. Demostraci´on. Por doble implicaci´on: =⇒Sean VyZdos elementos aleatorios con id´entica distribuci´on. Como f∈X∗, entonces fes continua y, por tanto, medible-Borel. As´ı, aplicando la proposici´on anterior tenemos que f(V) y f(Z) son variables aleatorias id´enticamente distribuidas. No necesita, por tanto, la hip´otesis de separabilidad. 15 Cap´ıtulo 2. Propiedades probabil´ısticas. Valor esperado ⇐=Supongamos que para cada f∈X∗se tiene que f(V) y f(Z) son variables aleatorias id´enticamente distribuidas, es decir, ∀B∈ B(R) y ∀f∈X∗ se verifica que P[f(V)∈B] = P[f(Z)∈B]. Se tiene que: PV[{x:f(x)< t}] = P[V∈ {x:f(x)< t}] = P[V∈f−1(−∞, t)] = =P[f(V)∈(−∞, t)] = P[f(Z)∈(−∞, t)] = P[Z∈f−1(−∞, t)] = =P[Z∈ {x:f(x)< t}] = PZ[{x:f(x)< t}] O sea, tenemos que PV=PZpara C={{x:f(x)< t}:f∈X∗, t ∈R}que, por el lema 2.1.1, sabemos que es clase determinante para B(X). Se sigue entonces que VyZson elementos aleatorios id´enticamente distribuidos en X. El resultado que acabamos de probar nos proporciona una caracterizaci´on de elementos aleatorios id´enticamente distribuidos para espacios separables mientras que, en el siguiente, la tendremos para elementos aleatorios independientes. Proposici´on 2.1.3. Sea Xun espacio lineal normado separable. Se tiene que los elementos aleatorios VyZen Xson independientes si, y solamente si, f(V)yg(Z)son variables aleatorias independientes para cada f, g ∈X∗. Demostraci´on. Lo vemos por doble implicaci´on: =⇒Es inmediata usando la proposici´on 2.1.1. En consecuencia, no precisa la hip´otesis de separabilidad. ⇐=Para cada B∈ B(X), fijamos f∈X∗yt∈Ry definimos: Pt,f (B) = P[[V∈ {x:f(x)< t}]\[Z∈B]] P[V∈ {x:f(x)< t}](si P[V∈ {x:f(x)< t}]>0) Si tomamos B={{x:g(x)< s}:g∈X∗, s ∈R}, al estar bajo la hip´otesis de independencia de f(V) y g(Z) para todos f, g ∈X∗, tendr´ıamos que: 16 Cap´ıtulo 2. Propiedades probabil´ısticas. Valor esperado Pt,f (B) = P[[V∈ {x:f(x)< t}]\[Z∈B]] P[V∈ {x:f(x)< t}]= =P[V∈ {x:f(x)< t}]\P[Z∈ {{x:g(x)< s}:g∈X∗, s ∈R}] P[V∈ {x:f(x)< t}]= =P[Z∈ { x:g(x)< s}:g∈X∗, s ∈R}}]≡PZsobre los conjuntos {{x:g(x)< s}:g∈X∗, s ∈R}que, al ser una clase determinante para B(X) (lema 2.1.1), nos permite concluir que Pt,f =PZsobre B(X). Por tanto, para cada B∈ B(X), f∈X∗yt∈R, se tiene que PZ[B]PV[{x:f(x)< t}] = P[V∈ {x:f(x)< t}]\P[Z∈B]. As´ı, la expresi´on es cierta tambi´en para el caso P[V∈ {x:f(x)< t}] = 0. Sea ahora B1∈ B(X) arbitrario pero fijo y definimos para cada B∈ B(X) P1[B] = P[[V∈B]\[Z∈B1]] P[Z∈B1](suponiendo P[Z∈B1]>0 ). Por la igualdad obtenidad anteriormente tenemos que: P1[{x:f(x)< t}] = P[V∈ {x:f(x)< t}]P[Z∈B1] PZ[B1]=PV[{x:f(x)< t}] Es decir, llegamos a que P1≡PVen B(X) (ya que coinciden para los conjuntos {x:f(x)< t}para todo f∈X∗y para todo t∈R). Luego, PV[B] = P[[V∈B]\[Z∈B1]] PZ[B1]para todo B, B1∈B(X) =⇒ PV[B]PZ[B1] = P[[V∈B]\[Z∈B1]] para todo B, B1∈B(X), pues B, B1∈ B(X) eran fijos pero arbitrarios. Por tanto, tenemos que VyZson elementos aleatorios independientes en X. Observaci´on 2.1.1. Aunque no se ha mencionado de forma expl´ıcita, en el teorema anterior es fundamental que Xsea separable para probar la condici´on suficiente, ya que es una hip´otesis del lema 2.1.1 y sin este resultado no tendr´ıamos que los conjuntos que tomamos son clase determinante. 17 Cap´ıtulo 3 Las leyes de los grandes n´umeros Una vez conocidas las propiedades m´as destacadas de los elementos aleatorios, en este cap´ıtulo veremos c´omo se conservan o no algunas de las leyes cl´asicas de los grandes n´umeros para variables aleatorias al intentar extenderlas a elementos aleatorios. En primer lugar, probamos las leyes para elementos aleatorios id´enticamente distribuidos. Luego, cambiamos esta condici´on y vemos qu´e ocurre si tenemos una sucesi´on de elementos aleatorios tight y, por ´ultimo, estudiamos el caso en que imponemos condiciones geom´etricas sobre el espacio topol´ogico X. 3.1. LGN para elementos aleatorios id´enticamente distribuidos Teorema 3.1.1. Ley fuerte de los grandes n´umeros de Mourier Sean Xun espacio de Banach separable y {Vn}n∈Nuna sucesi´on de elementos aleatorios independientes e id´enticamente distribuidos en Xde forma que 25 Cap´ıtulo 3. Las leyes de los grandes n´umeros E[kV1k]<∞. Entonces, se verifica que k1 n n X k=1 Vk−E[V1]kc−s −→ 0cuando n↑ ∞. Demostraci´on. Como suponemos que E[kV1k]<∞yXes un espacio completo y separable, tenemos que E[V1]∈Xexiste. Adem´as, por la id´entica distribuci´on, E[V1] = E[Vn] para todo n∈N. En primer lugar, veamos que el enunciado es cierto si los elementos aleatorios {Vn}n∈Ns´olo pueden tomar un conjunto numerable de valores x1, x2, ... Para cada t∈Ndefinimos Vt k= t X i=1 xiI[Vk=xi]para todo k∈N yRt k=Vk−Vt k= ∞ X i=t+1 xiI[Vk=xi]para todo k∈N. Observemos que, para cada i∈N, se tiene que {I[Vk=xi]}k∈Nes una suce- si´on de variables aleatorias independientes e id´enticamente distribuidas con E[I[Vk=xi]] = P[Vk=xi]. Adem´as, usando las propiedades de la esperanza vistas en el cap´ıtulo anterior: E[Vt k] = t X i=1 xiP[Vk=xi] = t X i=1 xiP[V1=xi] = E[Vt 1] para todo k∈N. Entonces: 0≤ k1 n n X k=1 Vt k−E[Vt 1]k=k1 n n X k=1 t X i=1 xiI[Vk=xi]− t X i=1 xiP[V1=xi]k= =k t X i=1 xi(1 n n X k=1 I[Vk=xi]−P[V1=xi])k ≤ ≤ t X i=1 kxik|1 n n X k=1 I[Vk=xi]−P[V1=xi])|c−s −→ 0 (1) ya que 1 n n X k=1 I[Vk=xi] c−s −→ P[V1=xi]) por la ley fuerte de los grandes n´umeros para variables aleatorias. Por otro lado, tenemos que para cada t∈N,{kRt nk} es tambi´en una sucesi´on de variables aleatorias independientes e id´enticamente distribuidas tal que E[kRt 1k]≤E[kV1k], pues E[kRt 1k] = ∞ X i=t+1 kxikI[V1=xi]≤ ∞ X i=1 kxikI[V1=xi]= 26 Cap´ıtulo 3. Las leyes de los grandes n´umeros E[kV1k], por lo que, actuando como antes: 1 n n X k=1 kRt kkc−s −→ E[kRt 1k] para cada t(2). Como kRt 1kn↑∞ −→ 0 puntualmente y kRt 1k ≤ kV1kpara cada t, con E[kV1k]< ∞, el teorema de la convergencia dominada implica que E[kRt 1k]n↑∞ −→ 0 (3). Sea Sel conjunto de medida nula para el que no se cumple (1) o (2). Sean ω /∈Syε > 0 dados. Escogemos t∈Ntal que E[kRt 1k]≤ε 4(sabemos que podemos por (3)). Por (1) y (2), existe un entero positivo N(ε, ω) tal que para todo n≥N(ε, ω) se tiene: k1 n n X k=1 Vt k(ω)−E[Vt 1]k<ε 4y1 n n X k=1 kRt k(ω)k< E[kRt 1k] + ε 4≤ε 2 Entonces, kE[Vt 1]−E[V1]k ≤ E[kVt 1−V1k] = E[kR1k]≤ε 4. En consecuencia, para ω /∈Sy para n≥N(ε, ω) se tiene que: k1 n n X k=1 Vk(ω)−E[V1]k=k1 n n X k=1 (Vt k(ω)−Vt k(ω) + Vk(ω)) −E[Vt 1] + E[Vt 1]− E[V1]k≤k1 n n X k=1 Vt k(ω)−E[Vt 1]k+1 nk n X k=1 (Vk(ω)−Vt k(ω)) | {z } Rt k(ω) k+kE[Vt 1]−E[V1]k< ε 4+ε 2+ε 4 Es decir, k1 n n X k=1 Vk−E[V1]kc−s −→ 0 si {Vn}n∈Nes una sucesi´on de elementos aleatorios numerablemente valuados. Veamos ahora el caso general. Como estamos en un espacio separable, sabemos que existe una funci´on medible-Borel numerablemente valuada Tm:X−→ Xtal que para todo m∈Nse tiene kTm(x)−xk<1 npara todo x∈X(proposici´on 1.2.1). En consecuencia, para cada m, n ∈N: k1 n n X k=1 Vk−E[V1]k ≤ 1 n n X k=1 kVk−Tm(Vk)k+k1 n n X k=1 Tm(Vk)−E[Tm(V1)]k+ +kE[Tm(V1)] −E[V1]k Primer sumando: 1 n n X k=1 kVk−Tm(Vk)k<1 nn1 m=1 m Segundo sumando: k1 n n X k=1 Tm(Vk)−E[Tm(V1)]kc−s −→ 0 si n↑ ∞ (4), pues los 27 Cap´ıtulo 3. Las leyes de los grandes n´umeros elementos aleatorios {T(Vn)}n∈Nson independientes e id´enticamente distribuidos numerablemente valuados con E[Tm(V1)] ≤E[V1] + 1 m<∞ Tercer sumando: kE[Tm(V1)] −E[V1]k ≤ E[kTm(V1)−V1k]≤1 m Por tanto, salvo en el conjunto de medida nula en el que no se verifica (4), se tiene la convergencia del segundo sumando y, por tanto, se verifica que k1 n n X k=1 Vk−E[V1]kc−s −→ 0 . Podemos relajar las hip´otesis del enunciado anterior si tenemos en cuenta que cada espacio lineal normado es isomorfo a un subconjunto denso de un espacio de Banach. As´ı, podemos extender el teorema anterior a espacios lineales normados separables si suponemos la existencia de E[V1]. Corolario 3.1.1. Sea Xun espacio lineal normado separable y {Vn}n∈Nuna sucesi´on de elementos aleatorios independientes e id´enticamente distribuidos en Xtal que existe E[V1]yE[kV1k]<∞. Entonces, k1 n n X k=1 Vk−E[V1]kc−s −→ 0 cuando n↑ ∞. Teorema 3.1.2. Ley d´ebil de los grandes n´umeros de Taylor Sea Xun espacio de Banach con base de Schauder {bn}n∈Ny{fk}k∈Nla sucesi´on de funcionales coordenada asociada. Sea {Xn}n∈Nuna sucesi´on de elementos aleatorios id´enticamente distribuidos en Xtal que E[kV1k]<∞. Entonces, la ley d´ebil de los grandes n´umeros se tiene para la sucesi´on de variables aleatorias {fk(Vn)}n∈Nsi, y solamente si, k1 n n X k=1 Vk−E[V1]kP −→ 0 cuando n↑ ∞. Demostraci´on. =⇒Se tiene directamente, ya que la convergencia en la topolog´ıa de la norma implica la convergencia en la topolog´ıa lineal d´ebil. Como Xes un espacio de Banach, entonces cada funcional coordenada es continuo, por lo que se tiene la convergencia en cada coordenada. 28 Cap´ıtulo 3. Las leyes de los grandes n´umeros ⇐=En primer lugar, observemos que, por el teorema 1.2.2, se tiene que Xes separable (pues posee base de Schauder). Como, adem´as, por hip´otesis tenemos que Xes completo y que E[kV1k]<∞, sabemos que existe E[V1]. Sin p´erdida de generalidad, podemos suponer que E[V1] = 0 (si no, bastar´ıa considerar la sucesi´on {Vn−E[V1]}n∈N). Tenemos que probar entonces que si para {fi(Vn)}n∈Nse verifica la ley d´ebil de los grandes n´umeros, entonces k1 n n X k=1 VkkP −→ 0, es decir, que dados ε > 0 yδ > 0, existe N(ε, δ)∈Ntal que P[k1 n n X k=1 Vkk> ε]< δ para todo n≥N(ε, δ). Sea m > 0 la constante base tal que kUtk ≤ mpara todo t∈N, donde recordamos que Ut(x) = t X k=1 fk(x)bk. Definimos ahora Qt(x) = x−Ut(x) para todo x∈X, por lo que: kQt(x)k=kx−Ut(x)k ≤ kUt(x)k+kxk≤kUtkkxk+kxk=kxk(1+kUtk)≤ ≤ kxk(1 + m) =⇒ kQtk ≤ m+ 1 para todo t∈N. Por definici´on de Qt, para todo x∈Xse tiene x=Qt(x) + Ut(x), por lo que para cada n, t ∈Npodemos escribir: 1 n n X k=1 Vk=1 n n X k=1 Ut(Vk) + 1 n n X k=1 Qt(Vk) Aplicando la desigualdad de Markov tenemos: P[k1 n n X k=1 Qt(Vk)k>ε 2]≤P[1 n n X k=1 kQt(Vk)k>ε 2]≤ n X k=1 E[kQt(Vk)k] nε 2 ≤ ≤2nE[kQt(V1)k] nε =2 εE[kQt(V1)k] Seg´un la definici´on de los funcionales Qt,kQt(V1)k −→ 0 puntualmente. Adem´as, kQt(V1)k ≤ (m+ 1)kV1kcon EkV1k<∞. Luego, aplicando el teorema de la convergencia dominada, tenemos que EkQt(V1)k −→ 0 cuando 29 Cap´ıtulo 3. Las leyes de los grandes n´umeros t−→ ∞. Sea entonces ttal que P[k1 n n X k=1 Qt(Vk)k>ε 2]<δ 2. Por otro lado, P[k1 n n X k=1 Ut(Vk)k>ε 2] = P[k t X i=1 fi(1 n n X k=1 Vk)bik>ε 2]≤P[ t X i=1 |fi(1 n n X k=1 Vk)|kbik]≤ ≤ t X i=1 P[|1 n n X k=1 fi(Vk)|>ε 2tkbik]. Puesto que, para cada i∈N, se verifica la ley d´ebil de los grandes n´umeros para la sucesi´on {fi(Vn)}n∈Ny dado que E[fi(V1)] = fi(E[V1]) = fi(0) = 0, se tiene que, para cada i∈N, P[|1 n n X k=1 fi(Vk)|>ε 2tkbik]−→ 0 cuando n↑ ∞ Existe, por tanto, N(ε, δ)∈Ntal que P[k1 n n X k=1 Ut(Vk)k>ε 2]<δ 2para todo n≥N(ε, δ). As´ı, para todo n≥N(ε, δ) tenemos que: P[k1 n n X k=1 Vkk> ε]≤P[k1 n n X k=1 Ut(Vk)k>ε 2]+P[k1 n n X k=1 Qt(Vk)k>ε 2]<δ 2+δ 2=δ. Es decir, k1 n n X k=1 VkkP −→ 0. Corolario 3.1.2. Sean Xun espacio de Banach con base de Schauder y {Vn}n∈Nuna sucesi´on de elementos aleatorios id´enticamente distribuidos en Xtal que E[V1]<∞. Entonces, para cada f∈X∗, la ley d´ebil de los grandes n´umeros se tiene para la sucesi´on {f(Vn)}n∈Nde variables aleatorias si, y solamente si, k1 n n X k=1 Vk−E[V1]kP −→ 0cuando n↑ ∞. 30 Cap´ıtulo 3. Las leyes de los grandes n´umeros Demostraci´on. La prueba es inmediata dado que cada funcional coordenada fkpertenece a X∗y por la equivalencia de la convergencia en probabilidad en la topolog´ıa fuerte y en la topolog´ıa d´ebil. Puede obtenerse un resultado similar al del corolario anterior para un espacio lineal normado X(no necesariamente con base de Schauder) haciendo la inmersi´on de Xen C[0,1] (espacio de Banach con base de Schauder). Para ello, se hace uso del hecho de que la completaci´on de Xes isom´etrico a un subespacio de C[0,1] (Marti [7]). El resultado es el que se muestra a continuaci´on. Teorema 3.1.3. Sea Xun espacio lineal normado separable y sea {Vn}n∈N una sucesi´on de elementos aleatorios id´enticamente distribuidos en Xde forma que existen E[V1]yE[kV1k]<∞. Entonces, para cada f∈X∗, la ley d´ebil de los grandes n´umeros se tiene para {f(Vn)}n∈Nsi, y solamente si, k1 n n X k=1 Vk−E[V1]kP −→ 0cuando n↑ ∞.(Taylor [9]) Beck y Wamen [2] pusieron de manifiesto en un ejemplo que no es posible obtener resultados de equivalencia para leyes fuertes similares a los que hemos visto para leyes d´ebiles. Definici´on 3.1.1. Sea Xun espacio de Banach separable. Una sucesi´on {Vn}n∈Nde elementos aleatorios en Xse dice incorrelados coordenada a coordenada si existe una base de Schauder {bn}n∈Ntal que para cada funcional coordenada fkse tienen que: a)E[fk(Vn)]2<∞para todo n∈N. b)E[fk(Vn)fk(Xm)] = E[fk(Vn)]E[fk(Xm)] para todo m, n ∈Ncon m6=n. Obs´ervese que si {Xn}n∈Nes una sucesi´on de elementos aleatorios independientes con varianzas finitas entonces es una sucesi´on de elementos aleatorios incorrelados coordenada a coordenada. Sin embargo, el rec´ıproco no es 31 Cap´ıtulo 3. Las leyes de los grandes n´umeros cierto, ya que el hecho de que E[fk(Vn)fk(Xm)] = E[fk(Vn)]E[fk(Xm)] para todo m, n ∈Nno implica la independencia. Corolario 3.1.3. Sea Xun espacio de Banach y sea {Vn}n∈Nuna sucesi´on de elementos aleatorios id´enticamente distribuidos e incorrelados coordenada a coordenada con E[V1]<∞. Entonces, k1 n n X k=1 Vk−E[V1]kP −→ 0cuando n↑ ∞. Durante todo este apartado hemos tenido como hip´otesis permanente la id´entica distribuci´on de los elementos aleatorios. Esto se debe a que, a diferencia de lo que ocurr´ıa para variables aleatorias reales, esta hip´otesis no puede ser sustituida por la de acotaci´on de los momentos de {kVnk}n∈N. Por eso, algunas leyes de los grandes n´umeros que se ten´ıan para variables aleatorias usando s´olo la hip´otesis de acotaci´on, no se pueden extender directamente a elementos aleatorios en espacios lineales normados separables. Ejemplo 3.1.1. Sea X=l1={x={xn} ∈ R∞:kxk= ∞ X n=1 |xn|<∞}.Xes un espacio de Banach con base de Schauder {bn}n∈N={(0, ..., 0,1 |{z} n ,0, ..., 0)}n∈N y, por tanto, separable. Definimos en l1la siguiente sucesi´on {Vn}n∈Nde elementos aleatorios que suponemos independientes: Vn=         (0, ..., 0,1 |{z} n ,0, ..., 0) con probabilidad 1/2 (0, ..., 0,−1 |{z} n ,0, ..., 0) con probabilidad 1/2 para todo n∈N Tenemos que kVnk= 1 y que E[Vn] = 0 para todo n∈Ny, por tanto, existe E[kVnkr] = 1 para todo n∈Ny para todo r > 0. Sin embargo, k1 n n X k=1 Vkk=k1 n(A1, ..., An,0, ...)k=1 n n X k=1 |Ak|=n n= 1 para todo n∈N, 32 Cap´ıtulo 3. Las leyes de los grandes n´umeros siendo {An}variables aleatorias dadas por An=   1 con probabilidad 1/2 −1 con probabilidad 1/2 En consecuencia, 1 n n X k=1 Vk90. 3.2. LGN para elementos aleatorios tight Definici´on. Sea Xen un espacio topol´ogico. Un elemento aleatorio Ven Xse dice que es tight si para cada ε > 0 existe un compacto Kε⊂X tal que P[V∈Kε]>1−ε. Una sucesi´on de elementos aleatorios {Vn}n∈N en Xes tight si para cada ε > 0 existe un compacto Kε⊂Xtal que P[Vn∈Kε]>1−εpara todo n∈N. En 1968, Billingsley ([3]) prob´o que si X es un espacio m´etrico completo separable, entonces cada elemento aleatorio en Xes tight. En consecuencia, cualquier sucesi´on {Vn}n∈Nde elementos aleatorios id´enticamente distribuidos en un espacio m´etrico completo separable es tight, pues el compacto Kεescogido para V1sirve tambi´en para todos los dem´as Vn. Sin embargo, el rec´ıproco no es cierto. Si tomamos Vn=1 ncon probabilidad 1 para todo n∈N. Es obvio que la sucesi´on {Vn}no es id´enticamente distribuida, pero es tight si tomamos como Kεel compacto [0,1] ⊂R. El siguiente lema (Taylor [10]) nos permitir´a considerar que E[Vn] = 0 para todo n∈Nsin que esto suponga p´erdida de generalidad alguna. Lema 3.2.1. Sea {Vn}n∈Nuna sucesi´on de elementos aleatorios tight en un espacio de Banach separable X. Si sup n∈N E[kVnkp]<∞para alg´un p > 1, entonces {Vn−E[Vn]}n∈Nes tight. 33 Cap´ıtulo 3. Las leyes de los grandes n´umeros Obtenemos, a partir de este teorema, el siguiente corolario, que nos permite caracterizar algunos espacios lpa trav´es de la ley fuerte de los grandes n´umeros. Corolario 3.3.1. En lp,1<p<∞, la convergencia de ∞ X n=1 E[kVnk1+α] n1+α,α∈ (0,1], implica la ley fuerte de los grandes n´umeros para elementos aleatorios independientes {Vn}n∈Ncon E[Vn]=0si, y solamente si, lpes gα, es decir, si, y solamente si, p≥1 + α. Definici´on 3.3.3. Una sucesi´on {εn}n∈Nde variables aleatorias se dice que es de Rademacher si son independientes y, para todo n∈Nse tiene que P[εn= 1] = P[εn=−1] = 1 2 A partir de ahora, consideraremos que {εn}n∈Nes una sucesi´on de Rademacher, notamos X∞= ∞ Y n=1 Xy definimos : C(X) = {{xn} ∈ X∞: ∞ X n=1 εnxnconverge en probabilidad }. Definici´on 3.3.4. Un espacio Xde Banach separable se dice que es de tipo p, 1 ≤p≤2, si existe una constante A > 0 tal que, para todo {xn} ∈ C(X), E[k ∞ X n=1 εnxnkp]≤A ∞ X n=1 kxnkp. Los dos siguientes resultados que enunciamos son debidos a Hoffman- Jorgensen y Pisier ([6]): Teorema 3.3.3. Sea 1≤p≤2. Son equivalentes: 1. El espacio de Banach Xes de tipo p. 2. Existe una constante A > 0tal que E‘[k n X k=1 Vkkp]≤A n X k=1 E[kVkkp]para todo V1, ..., Vn∈Xelementos aleatorios independientes con media nula y momentos de orden pfinitos. 3. La ley fuerte de los grandes n´umeros, k1 n n X k=1 Vkkc−s −→ 0, sigue para toda sucesi´on {Vn}de elementos aleatorios independientes en Xcon E[Vn] = 0 para 40 Cap´ıtulo 3. Las leyes de los grandes n´umeros todo n∈Ny que verifica la condici´on de Chung (es decir, ∞ X n=1 E[kVnkp] np<∞) 4. Si {Xn} ∈ X∞con ∞ X n=1 kxnkp np<∞y{εn}es una sucesi´on de Rademacher, entonces 1 n n X k=1 εkxk P −→ 0. Teorema 3.3.4. Sean Xun espacio de Banach separable y {Vn}n∈Nuna sucesi´on de elementos aleatorios independientes en Xcon E[Vn]=0para todo n∈Ny de forma que para cada ε > 0existe un compacto K⊂Xtal que E[kVnkI[Vn/∈K]]≤εpara todo n∈N. Entonces l´ım n→∞ E[1 nk n X k=1 Vkk]=0. Puesto que la convergencia en media implica la convergencia en probabilidad, este teorema nos lleva a una ley d´ebil de los grandes n´umeros en la que la condici´on impuesta sobre el compacto Knos recuerda a la condici´on tightness de {Vn}n∈Ndel cap´ıtulo anterior. 41 Ap´endice A An´alisis Funcional En esta secci´on veremos algunos de los resultados m´as importantes del an´alisis funcional y definiremos de forma precisa los conceptos propios de esta rama que utilizamos a lo largo de las notas. Definici´on. Un conjunto Xno vac´ıo se dice que es un espacio lineal (real) si en ´el se puede definir una operaci´on de adici´on que convierte a Xen un grupo conmutativo y una operaci´on de multiplicaci´on por escalares (n´umeros reales) que verifica la propiedad distributiva y las leyes de identidad, es decir: 1. Para cada par de elementos (x, y)∈(X, X) existe un elemento z∈ Xtal que z=x+y. 2. Para cada x∈Xy para cada t∈R, se tiene que tx ∈R. 3. Para cada x, y, z ∈Xys, t ∈R, las operaciones definidas anteriormente verifican: i)x+y=y+x ii) (x+y) + z=x+ (y+z) iii) Si x+y=x+z, entonces y=z. iv) 1x=x. v)s(tx) = s(tx). vi) (s+t)x=sx +tx vii)s(x+y) = sx +sy. 43 Ap´endice A: An´alisis Funcional Definici´on. Una funci´on d:M×M−→ Rse llama semim´etrica o semidistancia en Msi: i)d(x, y) = d(y, x) para todo (x, y)∈M×M ii)d(x, x) = 0 para todo x∈M iii)d(x, z)≤d(x, y) + d(y, z) para todo x, y, z ∈M iv)d(x, y)≥0 para todo x, y ∈M Cuando adem´as tenemos que: v)d(x, y) = 0 si, y solamente si, x=y, entonces se dice que ses una m´etrica o distancia en M. Definici´on. Un conjunto Mno vac´ıo se dice que es un espacio m´etrico (an´alogamente, semim´etrico) si tiene definida una m´etrica (semim´etrica) en ´el. Definici´on. Una sucesi´on {xn}en un espacio m´etrico Mse dice que es una sucesi´on de Cauchy si para cada ε > 0 existe un n´umero N∈Ntal que para todo n, m ≥Nse tiene que d(xn, xm)< ε. Definici´on. Un espacio m´etrico Mse dice que es completo si toda sucesi´on de Cauchy en Mconverge en M. Definici´on. Dado un espacio lineal X, una funci´on p:X−→ Rse dice que es una seminorma en Xsi para cada x, y, ∈Xy para cada t∈Rse tiene que: i)p(x)≥0 ii)p(x+y)≤p(x) + p(y) iii)p(tx) = |t|p(x) Cuando tambi´en se tiene que: iv)p(x) = 0 si, y solamente si, x= 0, entonces se dice que la funci´on pes una norma en X. 44 Ap´endice A: An´alisis Funcional Definici´on. Un espacio lineal Xse dice que es un espacio lineal normado si en ´el se puede definir una funci´on k·k:X−→ Rde forma que k·kes una norma. Definici´on. Sea Xun espacio lineal. Una aplicaci´on <·,·>:X×X−→ R es un producto escalar en Xsi: i)< x, x > > 0 si, y solamente si, x6= 0. ii)< tx, y >=t < x, y >. iii)< x, y > =< y, x > Definici´on. Un espacio Xcon producto escalar <·,·>que es completo para la norma kxk=< x, x >1/2, se dice que es un espacio de Hilbert. Definici´on. Sea Xun espacio topol´ogico.Un subconjunto D⊂Xse dice denso en Xsi D=X, es decir, si su clausura es el espacio total. Se dice que Xes separable cuando contiene un subconjunto denso y numerable. Definici´on. El espacio de aplicaciones lineales y continuas entre dos espacios normados XeYse denota por L(X;Y) Definici´on. Sea Xun espacio normado. Se define el espacio dual de X, denotado por X∗, como el conjunto de aplicaciones lineales y continuas de Xen R, es decir, L(X;R) = X∗={f:X−→ R/ f lineal y continua } Proposici´on. Si Yes de Banach, entonces L(X;Y)es un espacio de Banach. Si tenemos en cuenta que X∗=L(X;R) y que Respacio de Banach, la proposici´on anterior nos conduce de inmediato al siguiente resultado de gran utilidad: 45 Ap´endice A: An´alisis Funcional Corolario. X∗siempre es un espacio de Banach. Teorema. Teorema de Hahn-Banach Sea Sun subespacio de un espacio lineal X, y sea puna seminorma definida sobre S. Sea gun funcional lineal definido sobre Sde forma que kg(x)k ≤ p(x)para todo x∈S. Entonces, existe un funcional lineal fen Xtal que f(x) = g(x)para todo x∈Sykf(x)k ≤ p(x)para todo x∈X. Corolario. Sea Xun espacio lineal normado y sea x∈X, x 6= 0. Entonces, existe una funci´on f∈X∗tal que kfk= 1 yf(x) = kxk. 46 Ap´endice B Variables Aleatorias En este apartado mencionamos los conceptos esenciales para conocer qu´e es un espacio probabil´ıstico y a qu´e llamamos probabilidad. Asimismo, recordamos la definici´on de variable aleatoria y algunas de sus propiedades m´as destacadas. Por ´ultimo, exponemos los tres tipos de convergencia que usamos en las notas y establecemos las relaciones entre ellas. Definici´on. Sea Ω 6=∅un espacio muestral y sea Auna familia de subconjuntos de Ω. Se dir´a que Aes un σ-´algebra si verifica: a) Ω ⊂ A. b) Si A∈ A, entonces AC∈ A. c) Si A1, ..., An, ... ∈ A, entonces ∞ [ n=1 An∈ A. Definici´on. Sea Ω 6=∅un espacio muestral y sea Cuna familia de subconjuntos de Ω. Se dir´a que σ(C) es la m´ınima σ-´algebra construida sobre C si se verifica: a)C ⊂ σ(C). b) Para todo Aσ-´algebra con C ∈ A, entonces σ(C)∈ A. Proposici´on. Sea Ω6=∅un espacio muestral y sea Cuna familia de subconjuntos de Ω. Sea {Ai}i∈Iuna familia de σ-´algebras construidas sobre C. 47 Ap´endice B: Variables Aleatorias Entonces \ i∈I Ai∈ A es otro σ-´algebra. Corolario. Sea Ω6=∅un espacio muestral y sea Cuna familia de subconjuntos de Ω. Siempre es posible encontrar la menor σ-´algebra sobre C. Definici´on. Sea Ω = Ry consideramos C={(−∞, x] : x∈R}. Llamamos σ-´algebra de Borel aσ(C), es decir, a la m´ınima σ-´algebra construida sobre C. Se representa como σ(C) = B(R). Definici´on. Una funci´on P:A −→ R+∪ {0}sobre el espacio medible o probabilizable (Ω,A) se dice que es una medida de probabilidad si verifica la axiom´atica de Kolmogorov, es decir, si cumple que: b)P[Ω] = 1. a) Si A1, ..., An, ... ⊂ A, con Ai∩Aj=∅, entonces P[ ∞ [ n=1 An] = ∞ X n=1 P[An]. En el caso de que Psea una medida de probabilidad sobre (Ω,A), se dice que (Ω,A, P) es un espacio probabil´ıstico. Una vez conocemos qu´e es un espacio probabil´ıstico, podemos pasar a dar la definici´on de variable aleatoria. Definici´on. Sea (Ω,A, P) un espacio probabil´ıstico. Una funci´on X: Ω −→ Rse dice que es una variable aleatoria real si es una funci´on medible-Borel, es decir: X−1(B) = {ω∈Ω : X(w)∈B}∈Apara todo B∈ B(R) donde B(R) es la σ-´algebra de los conjuntos de Borel en R. Cuando en lugar de (R,B(R)) tenemos a (Rn,B(Rn)) como espacio de llegada, decimos que Xes un vector aleatorio. Tenemos el siguiente resultado de caracterizaci´on de variables aleatorias. Proposici´on. Sean (Ω,A)un espacio medible. X: Ω −→ Res una v.a. real si, y solamente si, X−1((−∞, x]) ∈ A para todo x∈R. 48 Ap´endice B: Variables Aleatorias Propiedades de las variables aleatorias Sean XeYdos variables aleatorias definidas sobre Ω, funa funci´on real continua y a∈R. Entonces: 1. f◦Xes una variable aleatoria real. 2. X+Yes una variable aleatoria real. 3. XY es una variable aleatoria real. 4.Toda variable aleatoria Xtiene asociada una funci´on de probabilidad, llamada probabilidad inducida (por la variable X). Viene dada por: PX[B] = P[X−1(B)] = P[{ω∈Ω : X(ω)∈B}] = P[X∈B] para todo B∈ B(R). Definici´on. Sea Xuna variable aleatoria definida en el espacio probabil´ıstico (Ω,A, P). Se define la esperanza matem´atica de Xcomo E[X] = ZΩ XdP. Definici´on. Sea Xuna variable aleatoria definida en el espacio probabil´ıstico (Ω,A, P). Definimos la varianza de Xcomo var[X] = E[X−E[X]]. Definici´on. Sea {Xn}n∈Nuna sucesi´on de variables aleatorias. Llamamos suma parcial n-´esima de las variables a Sn= n X k=1 Xk. Definici´on. Sea {Xn}una sucesi´on de variables aleatorias y Xuna variable aleatoria. Se tienen los siguientes conceptos de convergencia: 1. Convergencia Casi Segura Se dice que {Xn}converge con probabilidad 1 o de forma casi segura a Xsi P[ l´ım n→∞ |Xn−X|= 0] = 1. Se representa: Xn c−s −→ X. 2. Convergencia en Probabilidad Se dice que {Xn}converge en probabilidad a Xsi para cualquier ε > 0 se tiene l´ım n→∞ P[|Xn−X| ≤ ε] = 1. Se representa: Xn P −→ X. 3. Convergencia en r-media Se dice que {Xn}converge en r-media (para r > 0) a Xsi l´ım n→∞ E|Xn−X|r= 49