Modelización micromecánica de compuestos piezoeléctricos mediante MEF

-Equation Chapter 1 Section 1 Trabajo Fin de Máster Máster en Diseño Avanzado en Ingeniería Mecánica Modelización Micromecánica de Compuestos Piezoeléctricos mediante MEF Autor: Francisco Javier Cañamero Torres Tutor: Luis Rodríguez de Tembleque Solano Dpto. Mécanica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2019 iii Trabajo Fin de Máster Máster en Diseño Avanzado en Ingeniería Mecánica Modelización Micromecánica de Compuestos Piezoeléctricos mediante MEF Autor: Francisco Javier Cañamero Torres Tutor: Luis Rodríguez de Tembleque Solano Profesor Titular de Universidad Dpto. de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2019 v Trabajo Fin de Máster: Modelización Micromecánica de Compuestos Piezoeléctricos mediante MEF Autor: Francisco Javier Cañamero Torres Tutor: Luis Rodriguez de Tembleque Solano El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2019 El Secretario del Tribunal vii Agradecimientos A mi familia, por su apoyo incondicional, especialmente a mi mujer por ser el motor de mi vida. A mi tutor, por la atención y dedicación que me ha brindado en todo momento. Francisco Javier Cañamero Torres Sevilla, 2019 ix Resumen Este proyecto propone el desarrollo de una metodología de cálculo para obtener los coeficientes efectivos de un material compuesto piezoeléctrico mediante la modelización micromecánica del mismo. La modelización micromecánica se ha basado en la utilización del método del elemento de volumen representativo, y la resolución numérica del mismo se ha llevado a cabo mediante el programa de elementos finitos ANSYS. La metodología de cálculo desarrollada ha sido validada mediante un caso resuelto de compuesto piezoeléctrico periódico extraído de la literatura, y posteriormente se ha empleado para estudiar la influencia de distintos factores en los coeficientes efectivos de un compuesto piezoeléctrico, como son la relación de aspecto de las inclusiones piezoeléctricas, el tipo de matriz polímerica, la adición de nanotubos de carbono en la matriz polimérica, y la existencia de aglomeraciones de nanotubos en la matriz con adición de nanotubos. Figura 5-22. Coeficientes elásticos efectivos. Comparación entre valores del artículo de Berger [20] y resultados de nuestra metodología de cálculo. 37 Figura 5-23. Coeficientes piezoeléctricos efectivos. Comparación entre valores del artículo deBerger [20] y resultados de nuestra metodología de cálculo. 38 Figura 5-24. Coeficientes dieléctricos efectivos. Comparación entre valores del artículo de Berger [20] y resultados de nuestra metodología de cálculo. 39 Figura 5-25. Sección transversal del compuesto con inclusión de fibras continuas. Figura extraídade [21]. 41 Figura 5-26. Modelo geométrico del RVE en ANSYS. 42 Figura 5-27. Mallado para fracciones volumétricas vf = 0.111 (izquierda) y vf = 0.666 (derecha). 43 Figura 5-28. Estructura cúbica centrada en las caras. Figura extraída de [24]. 43 Figura 5-29. Modelo geométrico del RVE en ANSYS. 44 Figura 5-30. Mallado para fracciones volumétricas vf = 0.111 (izquierda) y vf = 0.666 (derecha). 45 Figura 5-31. Coeficientes elásticos efectivos en función de la fracción de volumen de BT. Comparación entre inclusiones de fibra continua e inclusiones de partículas esféricas y entre matriz PDMS y PVDF. 46 Figura 5-32. Coeficientes elásticos efectivos en función de la fracción de volumen de BT. Comparación entre inclusiones de fibra continua e inclusiones de partículas esféricas y entre matriz PDMS y PVDF. 47 Figura 5-33. Coeficientes piezoeléctricos efectivos en función de la fracción de volumen de BT. Comparación entre inclusiones de fibra continua e inclusiones de partículas esféricas y entre matriz PDMS y PVDF. 48 Figura 5-34. Coeficientes dieléctricos efectivos en función de la fracción de volumen de BT. Comparación entre inclusiones de fibra continua e inclusiones de partículas esféricas y entre matriz PDMS y PVDF. 49 Figura 5-35. Coeficientes elásticos efectivos de material BT/PDMS/CNT en función de la fracción de volumen de CNT. Comparación entre inclusiones de fibra continua e inclusiones de partículas esféricas para 6 valores distintos de vBT. 53 Figura 5-36. Coeficientes elásticos efectivos de material BT/PDMS/CNT en función de la fracción de volumen de CNT. Comparación entre inclusiones de fibra continua e inclusiones de partículas esféricas para 6 valores distintos de vBT. 54 Figura 5-37. Coeficientes piezoeléctricos efectivos de material BT/PDMS/CNT en función de la fracción de volumen de CNT. Comparación entre inclusiones de fibra continua e inclusiones de partículas esféricas para 6 valores distintos de vBT. 55 Figura 5-38. Coeficientes dieléctricos efectivos de material BT/PDMS/CNT en función de la fracción de volumen de CNT. Comparación entre inclusiones de fibra continua e inclusiones de partículas esféricas para 6 valores distintos de vBT. 56 Figura 5-39. Coeficientes elásticos efectivos de material BT/PVDF/CNT en función de la fracción de volumen de CNT. Comparación entre inclusiones de fibra continua e xvii inclusiones de partículas esféricas para 6 valores distintos de vBT. 57 Figura 5-40. Coeficientes elásticos efectivos de material BT/PVDF/CNT en función de la fracción de volumen de CNT. Comparación entre inclusiones de fibra continua e inclusiones de partículas esféricas para 6 valores distintos de vBT. 58 Figura 5-41. Coeficientes piezoeléctricos efectivos de material BT/PVDF/CNT en función de la fracción de volumen de CNT. Comparación entre inclusiones de fibra continua e inclusiones de partículas esféricas para 6 valores distintos de vBT. 59 Figura 5-42. Coeficientes dieléctricos efectivos de material BT/PVDF/CNT en función de la fracción de volumen de CNT. Comparación entre inclusiones de fibra continua e inclusiones de partículas esféricas para 6 valores distintos de vBT. 60 Figura 5-43. Coeficientes elásticos efectivos de material BT/PDMS/CNT con vBT=11.1% en función de la fracción de volumen de CNT. Comparación entre inclusiones de fibra continua e inclusiones de partículas esféricas para 4 valores de ζ. 64 Figura 5-44. Coeficientes elásticos efectivos de material BT/PDMS/CNT con vBT=11.1% en función de la fracción de volumen de CNT. Comparación entre inclusiones de fibra continua e inclusiones de partículas esféricas para 4 valores de ζ. 65 Figura 5-45. Coeficientes piezoeléctricos efectivos de material BT/PDMS/CNT con vBT=11.1% en función de la fracción de volumen de CNT. Comparación entre inclusiones de fibra continua e inclusiones de partículas esféricas para 4 valores de ζ. 66 Figura 5-46. Coeficientes dieléctricos efectivos de material BT/PDMS/CNT con vBT=11.1% en función de la fracción de volumen de CNT. Comparación entre inclusiones de fibra continua e inclusiones de partículas esféricas para 4 valores de ζ. 67 Figura 5-47. Coeficientes elásticos efectivos de material BT/PDMS/CNT con vBT=66.6% en función de la fracción de volumen de CNT. Comparación entre inclusiones de fibra continua e inclusiones de partículas esféricas para 4 valores de ζ. 68 Figura 5-48. Coeficientes elásticos efectivos de material BT/PDMS/CNT con vBT=66.6% en función de la fracción de volumen de CNT. Comparación entre inclusiones de fibra continua e inclusiones de partículas esféricas para 4 valores de ζ. 69 Figura 5-49. Coeficientes piezoeléctricos efectivos de material BT/PDMS/CNT con vBT=66.6% en función de la fracción de volumen de CNT. Comparación entre inclusiones de fibra continua e inclusiones de partículas esféricas para 4 valores de ζ. 70 Figura 5-50. Coeficientes dieléctricos efectivos de material BT/PDMS/CNT con vBT=66.6% en función de la fracción de volumen de CNT. Comparación entre inclusiones de fibra continua e inclusiones de partículas esféricas para 4 valores de ζ. 71 xix Notación PZT Titanato circonato de plomo BT Titanato de bario PDMS Polidimetilsiloxano PVDF Polifluoruro de vinilideno CNTs Nanotubos de carbono SWCNT Nanotubos de carbono de pared simple MWCNT Nanotubos de carbono de pared múltiple ζij Tensor de tensiones εij Tensor de deformaciones Di Vector de desplazamientos eléctricos Ei Vector de campos eléctricos 𝜎ij Tensor de tensiones media 𝜀ij Tensor de deformaciones media 𝐷i Vector de desplazamientos eléctricos medio 𝐸i Vector de campos eléctricos medio Cij Coeficientes elásticos eij Coeficientes piezoeléctricos ϵij Coeficientes dieléctricos 𝐶𝑖𝑗 𝑒𝑓𝑓 Coeficientes elásticos efectivos 𝑒𝑖𝑗 𝑒𝑓𝑓 Coeficientes piezoeléctricos efectivos 𝜖𝑖𝑗 𝑒𝑓𝑓 Coeficientes dieléctricos efectivos E Módulo de Young ν Coeficiente de Poisson G Módulo de cizalladura K Módulo de compresibilidad Eeff Módulo de Young efectivo νeff kr, lr, mr, nr, pr vf vBT fCNT ξ ζ fc ui vi Coeficiente de Poisson efectivo Módulos elásticos de Hill Fracción volumétrica de fibra Fracción volumétrica de inclusiones de Titanato de bario Fracción volumétrica de nanotubos de carbono Fracción volumétrica de aglomeraciones Fracción volumétrica de nanotubos aglomerados Límite de percolación Vector de desplazamientos Parte periódica de vector de desplazamientos 𝛷 V CC ai df dp 𝜖 𝜖0 Potencial eléctrico Volumen de RVE Grupo de condiciones de contorno Semilongitud del RVE en dirección i Diámetro de la fibra Diámetro de las partículas esféricas Coeficiente dieléctrico relativo 1 1 INTRODUCCIÓN a realización de este trabajo sobre la modelización de compuestos piezoeléctricos se ha debido a una serie de motivos que se expondrán a continuación. Seguidamente, se enumerarán los objetivos que se pretenden alcanzar con este trabajo, y se describirá brevemente el contenido de los capítulos que componen este documento. 1.1 Motivación Los materiales piezoeléctricos son un grupo de materiales pertenecientes al grupo de “materiales inteligentes” que han visto incrementada su investigación y utilización a lo largo de los últimos años [1]. Esto se ha debido a las características únicas que poseen, así como también a su gran aplicabilidad en todos los sectores donde ya se emplea los últimos desarrollos tecnológicos, hecho que irá creciendo dado que nos encontramos actualmente en un proceso de digitalización de la industria. Estos materiales han sido empleados ampliamente en sectores como aeronáutico, médico o automovilístico, para la fabricación de sensores, transductores, actuadores, o generadores de energía. Debido a este auge en el uso de los materiales piezoeléctricos, numerosas investigaciones sobre los mismos se han llevado a cabo para entender su comportamiento electromecánico y obtener mejoras de los mismos. Ante las limitaciones que presentan los métodos análiticos para abordar problemas complejos, se hace necesario el desarrollo de herramientas computacionales o virtuales que nos permitan caracterizar materiales heterogéneos, como son los compuestos piezoeléctricos, e incluso se tenga la posibilidad de diseñar un material en función de unos requerimientos para una potencial aplicación. En este sentido, existen diversos estudios con este objetivo como [2]. Estas herramientas computacionales se pueden basar en la modelización micromecánica de los materiales, mediante el uso del método del elemento de volumen representativo, y en la resolución numérica con el método de los elementos finitos, como se puede observar en [3] y [4]. Mediante estudios como [5] se demuestra que con el programa comercial de elementos finitos ANSYS se puede llevar a cabo el análisis de materiales piezoeléctricos, por lo que este programa puede ser usado en el desarrollo de nuestro problema. Por todo ello, se pretende en este trabajo desarrollar una herramienta computacional mediante el programa de elementos finitos ANSYS que nos permita analizar el comportamiento de los materiales piezoeléctricos. Figura 1-1. Aplicaciones de materiales piezoeléctricos. L Introducción 2 Actualmente, el sector de los piezoeléctricos está centrando sus esfuerzos en la fabricación escalable mediante procesos aditivos como la impresión 3D, y por otro lado en la sustitución de materiales por otros menos contaminantes, libres de plomo, que puedan tener un rendimiento similar a los que se han estado usando. Esto hecho se comprueba en estudios como [6] y [7]. En este sentido, se pretende estudiar un compuesto piezoeléctrico como el compuesto formado por inclusiones de BaTiO3 y una matriz polimérica, al tratarse de un material libre de plomo, respetuoso con el medio ambiente, y que puede ser fabricado de forma escalable mediante impresión 3D. Además, existen estudios como [8] en los que se demuestra que la adición de nanopartículas en la matriz del compuesto piezoeléctrico puede producir mejoras en el rendimiento de este, por lo que se pretende analizar como varía el comportamiento del compuesto BT/polímero frente a la adición de nanotubos de carbono, que dado sus características excepcionales [9], son un candidato ideal para este propósito. 1.2 Objetivos El principal objetivo de este trabajo es el desarrollo de una metodología de cálculo que nos permita obtener los coeficientes efectivos de un material piezoeléctrico periódico a partir de la modelización micromecánica de dicho material realizada mediante el software de los elementos finitos ANSYS. Una vez desarrollada la metología mencionada, se pretende validar la misma con un caso resuelto en la literatura, y emplearla para estudiar la influencia que pueden presentar distintos factores sobre los coeficientes efectivos de un compuesto piezoeléctrico periódico. Los factores a analizar serán la relación de aspecto de las inclusiones piezoeléctricas, el tipo de matriz polimérica empleada, la adición de CNTs en la matriz del compuesto, y la aparición de aglomeraciones de CNTs en este último caso. Los estudios que se pretenden realizar están basados en la modelización 2D del compuesto piezoeléctrico presentado en [10]. 1.3 Organización del documento El documento consta de 6 capítulos y un anexo donde se desarrollan los contenidos de este trabajo. A continuación se describe brevemente el contenido de cada capítulo y del anexo.  Capítulo 2. Compuestos piezoeléctricos En este capítulo se describirá los fundamentos de la piezoelectricidad, se relacionarán las clases de materiales piezoeléctricos existentes, entre ellos los compuestos piezoeléctricos, objeto de nuestro trabajo. Además, se desarrollarán las ecuaciones constitutivas del material piezoeléctrico, de las que se extraerán las constantes elásticas, piezoeléctricas y dieléctricas del material. Por último, se mostrarán las bondades de los nanotubos de carbono y su aplicación en los materiales compuestos, así como también se describirán sus propiedades mecánicas.  Capítulo 3. Modelos micromecánicos de compuestos piezoeléctricos En este capítulo se describirán el método del elemento de volumen representativo, en el cual están basados los modelos micromecánicos empleados en este trabajo, y la homogeneización numérica, técnica utilizada para predecir las propiedades efectivas del material. Además, se establecerán las consideraciones que se van a tener en cuenta para la modelización de los compuestos piezoeléctricos mediante modelos micromecánicos, así como para la modelización de la adición de CNTs en la matriz de compuestos piezoeléctricos.  Capítulo 4. Implementación numérica En este capítulo se describirá la metodología de cálculo propuesta para obtener los coeficientes efectivos del compuesto piezoeléctrico. 3 Para ello, se definirán las condiciones de contorno periódicas que se deben imponer sobre el modelo micromecánico del compuesto piezoeléctrico para poder llevar a cabo la resolución numérica del mismo. Además, se describirá la elaboración del modelo micromecánico con el método de los elementos finitos mediante el uso del programa comercial de elementos finitos ANSYS. Finalmente, se expondrá el procedimiento para calcular los distintos coeficientes efectivos del material.  Capítulo 5. Resultados En este capítulo se llevará a cabo una validación de la metodología de cálculo desarrollada en el capítulo anterior para lo que se comparará los resultados obtenidos con nuestra metodología con los resultados expuestos para un caso de compuesto piezoeléctrico periódico extraído de un artículo. Además, se empleará la metodología desarrollada para estudiar la influencia en los coeficientes efectivos de un compuesto piezoeléctrico periódico de distintos factores, como son la relación de aspecto de las inclusiones piezoeléctricas, considerando inclusiones de fibra continua e inclusiones de partículas esféricas; el tipo de matriz polímerica, teniendo en cuenta una matriz no piezoeléctrica y una piezoeléctrica; la adición de nanotubos de carbono en la matriz polimérica, y la existencia de aglomeraciones de nanotubos en la matriz con adición de nanotubos.  Capítulo 6. Resumen y conclusiones En este capítulo se resumirán las acciones llevadas a cabo en este trabajo, se expondrán las conclusiones extraídas a la vista de los resultados obtenidos, y se propondrán líneas futuras de trabajo encaminadas a mejorar las prestaciones de la metodología de cálculo, así como ampliar el alcance de la misma. Introducción 4 5 2 COMPUESTOS PIEZOELÉCTRICOS n este capítulo se describirá el efecto piezoeléctrico y los tipos de materiales piezoeléctricos existentes, así como su evolución desde su descubrimiento. Además, se expondrán las leyes constitutivas del material piezoeléctrico y las propiedades efectivas del material en base a las hipótesis consideradas en nuestro estudio. Finalmente, se describirán las características y propiedades de los nanotubos de carbono (CNTs), así como el interés de su adición en los compuestos piezoeléctricos. 2.1 Materiales piezoeléctricos Los materiales piezoeléctricos se encuadran dentro de los materiales inteligentes y están basados en el efecto piezoeléctrico, el cual se define como la capacidad que tienen algunos materiales para producir una carga eléctrica cuando se encuentran sometidos a un esfuerzo mécanico, y de igual modo, sufren una deformación mecánica cuando se les aplica un campo eléctrico. De acuerdo al esquema mostrado en la figura 2-1, en el efecto piezoeléctrico directo, el material sometido a esfuerzos de compresión y tracción produce cargas eléctricas opuestas sobre las caras respectivas de la muestra, mientras que en el efecto piezoeléctrico indirecto, la aplicación de un voltaje a dicho material genera una deformación. Figura 2-1. Efecto piezoeléctrico directo (a) e indirecto (b). Figura extraida de [6]. La piezoelectricidad fue descubierta por los hermanos Curie en 1880 cuando observaron que al aplicar una tensión a ciertos cristales como la turmalina, el cuarzo, el topacio y la sal Rochelle, aparecía una carga eléctrica, y su voltaje era proporcional a la tensión [1]. Existen dos grupos de materiales piezoeléctricos, los de naturaleza piezoeléctrica como el cuarzo y la turmalina, y por otro lado los materiales cerámicos y los polímeros, los cuales obtienen su carácter piezoeléctrico después de haber sido sometidos a una polarización artificial y que son los más usados actualmente. Los materiales piezocerámicos poseen altos coeficientes piezoeléctricos y tienen la propiedad de ser rígidos y dúctiles, por lo que son buenos candidatos para emplearlos como actuadores, debido a su gran módulo de elasticidad, lo cual facilita el acoplamiento mecánico con la estructura. Entre los materiales piezocerámicos más usados se encuentran el titanato circonato de plomo (PZT), el niobato magnesiato de plomo (PMN), y el titanato de bario (BT). El material PZT ha sido la referencia del sector durante décadas por su elevado coeficiente piezoeléctrico, pero se está estudiando su reemplazo por otros materiales debido a la toxicidad que presenta su uso y la eliminación que se está llevando a cabo de materiales cerámicos a base de plomo. E Modelos micromecánicos de compuestos piezoeléctricos 12 3.2 Homogeneización numérica Como ya se ha apuntado, con el empleo de un modelo micromecánico se pretende obtener unas propiedades homogéneas del material compuesto a partir de una microestructura heterogénea en la que intervienen fases con distintas propiedades. A estas propiedades del compuesto se les denomina propiedades efectivas del material, y para ser obtenidas, las variables generales del problema electromecánico acoplado (2‒2) son reemplazadas por los siguientes valores para una estructura homogeneizada: 0𝜎𝐷1=[𝐶𝑒𝑓𝑓 −𝑒𝑒𝑓𝑓𝑇 𝑒𝑒𝑓𝑓 𝜖𝑒𝑓𝑓 ]0𝜀𝐸1 (3–1) Donde Ceff, eeff, ϵeff son los coeficientes efectivos del material y 𝜎, 𝐷, 𝜀, 𝐸 representan valores promedios. Para predecir las propiedades efectivas de un material compuesto en función de las propiedades de sus constituyentes se utilizan las técnicas de homogeneización. Estas técnicas se presentan como una alternativa o complemento a la determinación de las propiedades mediante experimentación, y están fundamentadas en un enfoque multiescala del material, de tal forma que el material se analiza según dos escalas, una escala microscópica en la que se tienen en cuenta las inhomogeneidades del material, y una escala macroscópica en la que el material se considera homogéneo. Diferentes técnicas analíticas y numéricas han sido desarrolladas para evaluar las propiedades efectivas de los compuestos. En este trabajo nos centraremos en la homogeneización numérica, cuyo método para predecir las propiedades del material se basa en un análisis local-global que se apoya en el método RVE. Este procedimiento se compone de un análisis local, donde un punto del material considerado homogéneo a escala macroscópica se representa mediante un RVE que modele la microestructura y con la aplicación de las condiciones de contorno apropiadas a dicho modelado se calculan las variables del problema electromecánico a escala microscópica; y de un análisis global donde se establece a escala macroscópica una relación entre las variables promedio obtenidas de acuerdo a (3‒1), pudiendo obtenerse las propiedades efectivas del material. Figura 3-2. Análisis local-global usando RVE. Figura extraída de [18]. Para la resolución del problema por medio de la homogeneización numérica se utilizará el método de los elementos finitos (MEF). Este método numérico se basa en la discretización de un modelo, es decir, consiste en dividir el dominio (medio continuo) en un número finito de subdominios denominados elementos que se interconectan entre sí a través de puntos denominados nodos. El comportamiento en el interior de cada elemento queda definido a partir del comportamiento de los nodos mediante las adecuadas funciones de interpolación o funciones de forma [19]. 13 Por tanto, el MEF es capaz de resolver las ecuaciones diferenciales que caracterizan el comportamiento físico del problema en los elementos discretos definidos, teniendo en cuenta las propiedades físicas de los materiales empleados, las condiciones de contorno y la geometría del dominio, y proporcionar una solución del problema analizado, en el caso que nos ocupa los valores medios de las variables del problema electromecánico en el dominio del RVE. Los cálculos realizados mediante MEF se han llevado a cabo con el software comercial de elementos finitos ANSYS. 3.3 Modelización de compuesto piezoeléctrico En este trabajo se va a considerar el material compuesto piezoeléctrico como una estructura periódica, compuesta por una matriz polimérica en la que se encuentran embebidas inclusiones piezoeléctricas atendiendo a una distribución determinada. La unión entre matriz e inclusiones se supondrán como perfectamente pegadas, y las inclusiones estarán alineadas y polarizadas en el eje X3. Debido a estas consideraciones el compuesto puede ser analizado usando una celda unitaria o RVE extraída del mismo. La celda unitaria se define teniendo en cuenta que represente la dimensión más pequeña del compuesto que contenga las mismas propiedades y fracción de inclusiones que el compuesto. En la figura 3-3 se muestra un ejemplo de compuesto periódico y un esquema de RVE extraído del mismo, donde se pueden observar características del RVE como la forma hexaédrica, las caras y los ejes, las cuales van a ser utilizadas en nuestros análisis. Figura 3-3. Esquema de celda unitaria extraída de un compuesto periódico. Figura extraída de [20]. Respecto a los materiales que conforman el compuesto, las inclusiones piezoeléctricas se supondrán transversalmente isótropas, por tanto quedarán definidas mediante 11 coeficientes electro-elásticos (c11, c12, c13, c33, c44, c66, e13, e33, e15, ϵ11, ϵ33). Por otro lado, la matriz polimérica se considerará isótropa en su comportamiento mecánico y dieléctrico, definiéndose sus matrices elásticas y dieléctricas de la siguiente forma: 𝐶𝑚= [ 𝜆𝑚+2𝜇𝑚𝜆𝑚𝜆𝑚000 𝜆𝑚𝜆𝑚+2𝜇𝑚𝜆𝑚000 𝜆𝑚𝜆𝑚𝜆𝑚+2𝜇𝑚000 0 0 0 𝜇𝑚0 0 0 0 0 0 𝜇𝑚0 0 0 0 0 0 𝜇𝑚 ] (3–2) 𝜖𝑚=[𝜖𝑚0 0 0 𝜖𝑚0 0 0 𝜖𝑚] (3–3) Modelos micromecánicos de compuestos piezoeléctricos 14 Donde Cm representa la matriz de coeficientes elásticos de la matriz polimérica, y ϵm es el coeficiente dieléctrico de la matriz polimérica. Los parámetros λm y 𝜇𝑚 se calculan en función del módulo elástico (Em) y el coeficiente de Poisson (νm) del material polimérico de la siguiente forma: 𝜆𝑚=𝐸𝑚𝜈𝑚 (1+𝜈𝑚)(1−2𝜈𝑚) 𝜇𝑚=𝐸𝑚 2(1+𝜈𝑚) (3–4) En este trabajo también se considerarán matrices poliméricas con efecto piezoeléctrico, y la adición a las mismas de nanopartículas, lo que producirá una modificación de los coeficientes del material, como se verá en el siguiente apartado. 3.4 Modelización de adición de CNTs Una de las tareas que se pretende llevar a cabo en este trabajo es analizar como influye la adición de CNTs, cuyas características han sido descritras en el apartado 2.3, a la matriz polimérica en las propiedades del compuesto piezoeléctrico. La forma de modelar la presencia de CNTs en la matriz polimérica consiste en la modificación de las propiedades efectivas de dicha matriz. Se tendrán en cuenta modificaciones en las propiedades elásticas y dieléctricas, mientras las piezoeléctricas se supondrán que no varían. Para el cálculo de las propiedades de la matriz polimérica con adición de CNTs se tendrán en cuenta estos 2 aspectos, la fracción volumétrica de CNTs (fCNT) y las aglomeraciones de nanotubos. El efecto de este usual defecto en las adiciones de nanotubos se caracteriza mediante los parámetros ξ y ζ, con los cuales se modela la fracción volumétrica de aglomeraciones que se forman en la matriz polimérica y la fracción de nanotubos que están aglomerados respectivamente, de tal forma que cuando ambos parámetros son iguales no existen aglomeraciones y cuando ξ < ζ hay aglomeraciones. Figura 3-4. Esquema de RVE de un compuesto piezoeléctrico con la matriz modificada por la adición de CNTs, y la existencia de aglomeraciones de estos CNTs. Figura extraída de [10]. Las propiedades elásticas efectivas de la matriz polimérica con adición de CNTs se estimarán mediante el método de Mori-Tanaka [15]. A través de este método los módulos efectivos de compresibilidad Kin y Kout y de cizalladura Gin y Gout de las inclusiones de nanotubos y la matriz circundante serán obtenidos de la siguiente forma: 15 𝐾𝑖𝑛=𝐾𝑚+(𝛿𝑟−3𝐾𝑚𝛼𝑟)𝑐𝑟𝜁 3(𝜉−𝑐𝑟𝜁+𝑐𝑟𝜁𝛼𝑟) 𝐾𝑜𝑢𝑡=𝐾𝑚+𝑐𝑟(𝛿𝑟−3𝐾𝑚𝛼𝑟)(1−𝜁) 3,1−𝜉−𝑐𝑟(1−𝜁)+𝑐𝑟(1−𝜁)𝛼𝑟- 𝐺𝑖𝑛=𝐺𝑚+𝑐𝑟𝜁(𝜂𝑟−2𝐺𝑚𝛽𝑟) 2(𝜉−𝑐𝑟𝜁+𝑐𝑟𝜁𝛽𝑟) 𝐺𝑜𝑢𝑡=𝐺𝑚+𝑐𝑟(1−𝜁)(𝜂𝑟−2𝐺𝑚𝛽𝑟) 2,1−𝜉−𝑐𝑟(1−𝜁)+𝑐𝑟(1−𝜁)𝛽𝑟- (3–5) Donde cr es la fracción volumétrica de CNTs, Km y Gm son los módulos de compresibilidad y cizalladura de la matriz polimérica, y los parámetros αr, βr, δr, ηr serán calculados a partir de los módulos elásticos de Hill de los CNTs (2–8). Los módulos de compresibilidad y cizalladura del compuesto se obtendrán a partir de los módulos calculados en (3–5) tal que: 𝐾=𝐾𝑜𝑢𝑡[1+ 𝜉.𝐾𝑖𝑛 𝐾𝑜𝑢𝑡−1/ 1+𝛼(1−𝜉)(𝐾𝑖𝑛 𝐾𝑜𝑢𝑡−1)] 𝐺=𝐺𝑜𝑢𝑡[1+ 𝜉.𝐺𝑖𝑛 𝐺𝑜𝑢𝑡−1/ 1+𝛽(1−𝜉)(𝐺𝑖𝑛 𝐺𝑜𝑢𝑡−1)] 𝛼=(1+𝜈𝑜𝑢𝑡) 3(1−𝜈𝑜𝑢𝑡); 𝛽=2(4−5𝜈𝑜𝑢𝑡) 15(1−𝜈𝑜𝑢𝑡); 𝜈𝑜𝑢𝑡=(3𝐾𝑜𝑢𝑡−2𝐺𝑜𝑢𝑡) 2(3𝐾𝑜𝑢𝑡+𝐺𝑜𝑢𝑡) (3–6) Y a partir de (3–6) se calcularán el módulo de elasticidad y el coeficiente de Poisson efectivos: 𝐸𝑚 𝑒𝑓𝑓=9𝐾𝐺 3𝐾+𝐺 𝑣𝑚 𝑒𝑓𝑓=3𝐾−2𝐺 6𝐾+2𝐺 (3–7) Finalmente, se obtendrá la matriz elástica de la matriz con adición de CNTs de acuerdo a (3–2) y (3–4) teniendo en cuenta las 2 propiedades efectivas calculadas en (3–7). En cuanto a las propiedades dieléctricas, se considerará que varian con la fracción en volumen de CNTs (fCNT) de acuerdo al comportamiento de percolación [10]. La constante dieléctrica efectiva de la matriz con adición de CNTs será calculada mediante la siguiente ecuación: 𝜖𝑚 𝑒𝑓𝑓=𝜖𝑚(𝑓𝑐 𝑓𝑐−𝑓𝐶𝑁𝑇)𝑝 (3–8) Modelos micromecánicos de compuestos piezoeléctricos 16 Donde ϵm es la constante dieléctrica relativa de la matriz polimérica, fc es el límite de percolación de los nanotubos, y p es un exponente crítico que determina la variación percolativa de la constante dieléctrica efectiva. El límite de percolación y el exponente crítico p están basados principalmente en la relación de aspecto de los nanotubos y las características de las aglomeraciones según observaciones experimentales. 17 4 IMPLEMENTACIÓN NUMÉRICA n este capítulo se va a describir el proceso de resolución numérica apoyado en el método de los elementos finitos que se empleará para obtener los coeficientes efectivos del material compuesto piezoeléctrico, a partir de un modelo RVE de dicho material. Para ello, en primer lugar se definirán las condiciones de contorno periódicas que deben imponerse sobre el RVE, y posteriormente se detallará la elaboración del modelo de elementos finitos y la obtención de los coeficientes efectivos del material. 4.1 Condiciones de contorno periódicas Como se indicó en el apartado 3.3, el material compuesto piezoeléctrico se va a considerar como una estructura periódica, por lo que puede ser representada como una matriz periódica de celdas unitarias o RVEs (figura 3-3), y por ello deberán aplicarse condiciones de contorno periódicas sobre los mismos. Estas condiciones de contorno periódicas serán de la siguiente forma [20]: 𝑢𝑖=𝜀𝑖𝑗𝑥𝑗+𝑣𝑖 (4–1) Donde 𝜀𝑖𝑗 son las deformaciones medias y 𝑣𝑖 es la parte periódica de las componentes del desplazamiento que depende del estado global de cargas aplicado. Dado que se ha considerado condiciones de contorno periódicas en el RVE, la parte periódica 𝑣𝑖 será igual en dos caras opuestas del mismo. Por lo tanto, a partir de (4-1) se puede deducir la condición de contorno periódica a imponer en las caras del RVE, tanto para los desplazamientos como también puede ser aplicada para el potencial eléctrico: 𝑢𝑖𝐾+−𝑢𝑖𝐾−=𝜀𝑖𝑗(𝑥𝑗𝐾+−𝑥𝑗𝐾−) (4–2) 𝛷𝐾+−𝛷𝐾−=𝐸𝑖(𝑥𝑗𝐾+−𝑥𝑗𝐾−) (4–3) Donde 𝐾+ y 𝐾− está referido al par de caras opuestas con normales paralelas al eje j, es decir a los pares de caras 𝐴−/𝐴+, 𝐵−/𝐵+, 𝐶−/𝐶+ según la figura 3-3. Una vez definidas las condiciones de contorno periódicas que serán aplicadas sobre el RVE, y teniendo en cuenta (3‒1), se obtendrán las propiedades efectivas del material según el método expuesto en [21], por el cual mediante la imposición de una deformación media constante 𝜀𝑖𝑗 sobre el RVE, se obtienen los valores de tensión media. Analogamente, mediante la imposición de un campo eléctrico medio constante 𝐸𝑖 sobre el RVE, se obtienen los valores de desplazamiento eléctrico medio. Para ello, se considerarán las siguientes definiciones de tensión y deformación media en el RVE, así como de desplazamiento eléctrico y campo eléctrico medio: E Implementación numérica 18 𝜎𝑖𝑗=1𝑉∫𝜎𝑖𝑗𝑑𝑉 𝑉 (4–4) 𝜀𝑖𝑗=1𝑉∫𝜀𝑖𝑗𝑑𝑉 𝑉 (4–5) 𝐸𝑖=1𝑉∫𝐸𝑖𝑑𝑉 𝑉 (4–6) 𝐷𝑖=1𝑉∫𝐷𝑖𝑑𝑉 𝑉 (4–7) Donde V es el volumen del RVE periódico. 4.2 Modelo MEF (ANSYS) La resolución de las ecuaciones del problema electromecánico (3-1) sometido a las condiciones de contorno periódicas (4-2) y (4-3) se llevará a cabo mediante el método de los elementos finitos, y para ello se utilizará el software comercial de elementos finitos ANSYS. A continuación se describirá la metodología para modelar el RVE con el software de elementos finitos ANSYS. El primer paso para la elaboración de un modelo del RVE mediante elementos finitos será realizar un modelo 3D en ANSYS que represente la geometría del RVE. Este modelo geométrico será similar al representado en la figura 3-3, manteniendo la disposición de las caras y ejes. Seguidamente, se deberá indicar las propiedades del material. El material objeto de este estudio es el compuesto piezoeléctrico, el cual se compone de inclusiones de material piezoeléctrico embebidas en una matriz polimérica. Se considerará que las inclusiones y la matriz están perfectamente unidas y que las inclusiones están polarizadas en el eje X3. En base a ello, habrá que introducir en ANSYS los coeficientes elásticos, piezoeléctricos y dieléctricos de los materiales de las inclusiones y de la matriz. A continuación, se realizará el mallado del modelo geométrico del RVE. Para ello, habrá que seleccionar el tipo de elemento adecuado para el análisis electromecánico acoplado. Además, para poder aplicar las condiciones de contorno periódicas descritas en el apartado 4.1, el mallado deberá ejecutarse de tal forma que las mallas en las caras opuestas del RVE sean idénticas. Respecto al tamaño del elemento, se realizará un mallado fino para intentar obtener unos resultados más precisos. Una vez se haya creado el mallado del modelo RVE, se aplicarán las condiciones de contorno sobre el mismo y se llevará a cabo un análisis estático en ANSYS. Posteriormente, se extraerán los valores de tensiones, deformaciones, desplazamientos eléctricos y campo eléctrico de cada elemento, y se calcularán los valores medios en el RVE según (4-4), (4-5), (4-6), y (4-7) respectivamente, donde la integral es sustituida por el sumatorio de los valores promedio de los elementos multiplicados por el volumen del elemento respectivo. La obtención de los distintos coeficientes efectivos del material mediante el modelo de elementos finitos elaborado con ANSYS se describirá en el apartado 4.3. 4.3 Propiedades efectivas del material En este trabajo se ha considerado que el compuesto piezoeléctrico es transversalmente isótropo y por tanto queda definido mediante 11 constantes independientes. Por tanto, las ecuaciones constitutivas del material podrán escribirse de la siguiente forma matricial: 19 [ 𝜎11 𝜎22 𝜎33 𝜎23 𝜎31 𝜎12 𝐷1 𝐷2 𝐷3 ] = [ 𝐶11 𝑒𝑓𝑓 𝐶12 𝑒𝑓𝑓 𝐶13 𝑒𝑓𝑓 0 0 0 0 0 −𝑒13 𝑒𝑓𝑓 𝐶12 𝑒𝑓𝑓 𝐶11 𝑒𝑓𝑓 𝐶13 𝑒𝑓𝑓 0 0 0 0 0 −𝑒13 𝑒𝑓𝑓 𝐶13 𝑒𝑓𝑓 𝐶13 𝑒𝑓𝑓 𝐶33 𝑒𝑓𝑓 0 0 0 0 0 −𝑒33 𝑒𝑓𝑓 0 0 0 𝐶44 𝑒𝑓𝑓 0 0 0 −𝑒15 𝑒𝑓𝑓 0 0 0 0 0 𝐶44 𝑒𝑓𝑓 0 −𝑒15 𝑒𝑓𝑓 0 0 0 0 0 0 0 𝐶66 𝑒𝑓𝑓 0 0 0 0 0 0 0 𝑒15 𝑒𝑓𝑓 0 𝜖11 𝑒𝑓𝑓 0 0 0 0 0 𝑒15 𝑒𝑓𝑓 0 0 0 𝜖11 𝑒𝑓𝑓 0 𝑒13 𝑒𝑓𝑓 𝑒13 𝑒𝑓𝑓 𝑒33 𝑒𝑓𝑓 0 0 0 0 0 𝜖33 𝑒𝑓𝑓 ] [ 𝜀11 𝜀22 𝜀33 𝜀23 𝜀31 𝜀12 𝐸1 𝐸2 𝐸3 ] (4–8) Para obtener los coeficientes efectivos del material se impondrán valores constantes de deformación media o de campo eléctrico medio de acuerdo al método empleado en [21]. En base a este método se han desarrollado 6 grupos de condiciones de contorno (CC) que serán aplicados para calcular los 11 coeficientes efectivos independientes a partir de (4-8). Cada CC se ha definido a partir de (4-2) y (4-3) y la imposición de una deformación unitaria, o bien un campo eléctrico unitario. La metodología que se realizará para cada CC consistirá en aplicar las condiciones de contorno sobre el modelo de elementos finitos del RVE, obtener los valores medios de las variables del problema electromecánico en el RVE, y calcular los coefientes efectivos a partir de las relaciones entre las mismas según (4-8). A continuación se describirán las condiciones de contorno aplicadas y los coeficientes efectivos que se obtienen para cada CC. En este trabajo se empleará un modelo de RVE cuyas caras y ejes característicos se muestran en la figura 3-3 y con dimensiones 2ai, siendo ai la semilongitud del RVE en la dirección i.  CC1 Se impone la deformación 𝜀11=1 y el resto de componentes 𝜀𝑖𝑗=𝐸𝑖=0. Esto se consigue mediante la aplicación de un desplazamiento normal de valor 2a1 en la cara A+ y cero en el resto de caras, y de un potencial eléctrico cero en todas las caras. Además, se fija punto central de RVE para impedir movimientos como sólido rígido. Mediante CC1 se calculan los coeficientes 𝐶11 𝑒𝑓𝑓 y 𝐶12 𝑒𝑓𝑓 de la siguiente forma: 𝐶11 𝑒𝑓𝑓=𝜎11/𝜀11 (4–9) 𝐶12 𝑒𝑓𝑓=𝜎22/𝜀11 (4–10)  CC2 Se impone la deformación 𝜀33=1 y el resto de componentes 𝜀𝑖𝑗=𝐸𝑖=0. Esto se consigue mediante la aplicación de un desplazamiento normal de valor 2a1 en la cara C+ y cero en el resto de caras, y de un potencial eléctrico cero en todas las caras. Además se fija punto central de RVE para impedir movimientos como sólido rígido Mediante CC2 se calculan los coeficientes 𝐶13 𝑒𝑓𝑓 y 𝐶33 𝑒𝑓𝑓 de la siguiente forma: 𝐶13 𝑒𝑓𝑓=𝜎11/𝜀33 (4–11) 𝐶33 𝑒𝑓𝑓=𝜎33/𝜀33 (4–12) Implementación numérica 20  CC3 Se impone la deformación 𝜀23=1 y el resto de componentes 𝜀𝑖𝑗=𝐸𝑖=0. La aplicación de (4-2) teniendo en cuenta la deformación tangencial impuesta, se emplea una implementación desarrollada en [21]. Además, se aplica un potencial eléctrico cero en todas las caras y se fija punto central de RVE para impedir movimientos como sólido rígido. Mediante CC3 se calcula el coeficiente 𝐶44 𝑒𝑓𝑓 de la siguiente forma: 𝐶44 𝑒𝑓𝑓=𝜎23/𝜀23 (4–13)  CC4 Se impone la deformación 𝜀12=1 y el resto de componentes 𝜀𝑖𝑗=𝐸𝑖=0. La aplicación de (4-2) teniendo en cuenta la deformación tangencial impuesta, se emplea una implementación desarrollada en [21]. Además, se aplica un potencial eléctrico cero en todas las caras y se fija punto central de RVE para impedir movimientos como sólido rígido. Mediante CC4 se calcula el coeficiente 𝐶66 𝑒𝑓𝑓 de la siguiente forma: 𝐶66 𝑒𝑓𝑓=𝜎12/𝜀12 (4–14)  CC5 Se impone la deformación 𝐸3=1 y el resto de componentes 𝜀𝑖𝑗=𝐸𝑖=0. Esto se consigue mediante la aplicación de un potencial eléctrico de valor -2a3 en la cara C+ y cero en el resto de caras, y de un desplazamiento normal cero en todas las caras. Además se fija punto central de RVE para impedir movimientos como sólido rígido. Mediante CC5 se calculan los coeficientes 𝑒13 𝑒𝑓𝑓, 𝑒33 𝑒𝑓𝑓 y 𝜖33 𝑒𝑓𝑓 tal que: 𝑒13 𝑒𝑓𝑓=−𝜎11/𝐸3 (4–15) 𝑒33 𝑒𝑓𝑓=−𝜎33/𝐸3 (4–16) 𝜖33 𝑒𝑓𝑓=𝐷3/𝐸3 (4–17)  CC6 Se impone la deformación 𝐸2=1 y el resto de componentes 𝜀𝑖𝑗=𝐸𝑖=0. Esto se consigue mediante la aplicación de un potencial eléctrico de valor -2a2 en la cara B+ y cero en el resto de caras, y de un desplazamiento normal cero en todas las caras. Además se fija punto central de RVE para impedir movimientos como sólido rígido. Mediante CC6 se calculan los coeficientes 𝜖11 𝑒𝑓𝑓 y 𝑒15 𝑒𝑓𝑓 tal que: 𝜖11 𝑒𝑓𝑓=𝐷2/𝐸2 (4–18) 𝑒15 𝑒𝑓𝑓=−𝜎23/𝐸2 (4–19) 21 5 RESULTADOS n este capítulo se presentará una validación de la implementación numérica descrita en el capítulo 4 para obtener los coeficientes efectivos de un material compuesto piezoeléctrico. Para ello, se empleará la implementación numérica para resolver el caso expuesto por Berger [20], y posteriormente se compararán ambos resultados. Una vez validada la impletación numérica, se utilizará para analizar la influencia de distintos factores en los valores de los coeficientes efectivos de un material compuesto piezoeléctrico. Los factores que serán analizados son la relación de aspecto de las inclusiones piezoeléctricas, el tipo de matriz polimérica, la adición de CNTs en la matriz, y en relación con este último, la existencia de aglomeraciones de CNTs. 5.1 Validación de implementación numérica Con la finalidad de demostrar la validez de la implementación numérica desarrollada en este trabajo, se ha tomado un caso resuelto de compuesto piezoeléctrico extraído de Berger [20], se ha resuelto mediante nuestra metodología y se han comparado los resultados obtenidos con los del citado caso. El problema que se ha propuesto para la validación consiste en un material compuesto de fibras piezocerámicas (PZT-5) embebidas en un material blando no piezoeléctrico (polímero). Respecto a las fibras, considera que son rectas, de sección circular, paralelas al eje X3, y están perfectamente unidas a la matriz. En cuanto a la celda unitaria o RVE, considera que tiene una sección cuadrada con dimensiones igual a la unidad, semejante al mostrado en la figura 3-3. En lo que respecta a los materiales de los constituyentes, tiene en cuenta que las fibras están uniformemente polarizadas en la dirección X3. En la tabla 5-1 se muestran las propiedades de los materiales de los consituyentes del compuesto empleadas, donde las unidades de las propiedades elásticas, piezoeléctricas y dieléctricas son N/m2, C/m2 y F/m respectivamente. Tabla 5–1. Propiedades de los materiales de los constituyentes del compuesto piezoeléctrico extraídas de [20] C11 (1010) C12 (1010) C13 (1010) C33 (1010) C44 (1010) C66 (1010) e15 e13 e33 𝜖11 𝜖0 𝜖33 𝜖0 PZT-5 12.1 7.54 7.52 11.1 2.11 2.28 12.3 -5.4 15.8 916.38 830.51 Polímero 0.386 0.257 0.257 0.386 0.064 0.064 ‒ ‒ ‒ 9 9 Para las propiedades dieléctricas se indica el coeficiente dieléctrico relativo 𝜖 𝜖0 (adimensional) porque este es el valor que debe ser introducido en ANSYS. Por último, los coeficientes efectivos del material compuesto los ha obtenido para 6 valores distintos de la fracción volumétrica de fibra en el intervalo 0.111 a 0.666, con pasos de 0.111, para analizar la influencia de la fracción de volumen de fibra en el valor de los coeficientes. 5.1.1 Modelo RVE en ANSYS En base a los datos expuestos del problema propuesto, se ha elaborado un modelo geométrico del RVE en ANSYS, mostrado en la figura 5-1. El RVE posee sección cuadrada, con los lados paralelos a los 3 ejes característicos con dimensión la unidad, y representa la microestructura periódica formada por una fibra recta de sección circular, y paralela al eje X3, embebida en la matriz. El diámetro de la fibra (df) se ha definido en función de la fracción volumétrica de fibra (vf) tal que: E Resultados 28 5.1.2.3 Condición de contorno 3 En la tabla 5-4 se muestran los valores medios obtenidos para 𝜀23 y 𝜎23. Tabla 5–4. Resultados de 𝜀23 y 𝜎23 en función de vf para CC1 vf 𝜀23 𝜎23 0.111 0.98412E+00 0.78111E+09 0.222 0.98314E+00 0.97200E+09 0.333 0.98329E+00 0.12258E+10 0.444 0.98256E+00 0.15825E+10 0.555 0.98175E+00 0.21469E+10 0.666 0.98291E+00 0.32770E+10 En las figuras 5-10 y 5-11se pueden observar las distribuciones de la deformación 𝜀23, y de las tensiones 𝜎23 en el RVE para una fracción volumétrica de la fibra de vf = 0.111. Figura 5-10. Distribución de deformaciones 𝜀23 para vf = 0.111. 29 Figura 5-11. Distribución de tensiones 𝜎23 para vf = 0.111. 5.1.2.4 Condición de contorno 4 En la tabla 5-5 se muestran los valores medios obtenidos para 𝜀12 y 𝜎12. Tabla 5–5. Resultados de 𝜀12 y 𝜎12 en función de vf para CC1 vf 𝜀12 𝜎12 0.111 0.99245E+00 0.75280E+09 0.222 0.99245E+00 0.87845E+09 0.333 0.99245E+00 0.10281E+10 0.444 0.99244E+00 0.12299E+10 0.555 0.99244E+00 0.15478E+10 0.666 0.99242E+00 0.21994E+10 En las figuras 5-12 y 5-13 se pueden observar las distribuciones de la deformación 𝜀12, y de las tensiones 𝜎12 en el RVE para una fracción volumétrica de la fibra de vf = 0.111. Resultados 30 Figura 5-12. Distribución de deformaciones 𝜀12 para vf = 0.111. Figura 5-13. Distribución de tensiones 𝜎12 para vf = 0.111. 31 5.1.2.5 Condición de contorno 5 En la tabla 5-6 se muestran los valores medios obtenidos para 𝐸3,𝜎11,𝜎33 y 𝐷3. Tabla 5–6. Resultados de 𝐸3,𝜎11,𝜎33 y 𝐷3 en función de vf para CC1 vf 𝐸3 𝜎11 𝜎33 𝐷3 0.111 0.10000E+01 -0.26189E-01 0.21921E+01 0.91925E-09 0.222 0.10000E+01 -0.59502E-01 0.43788E+01 0.17584E-08 0.333 0.10000E+01 -0.10341E+00 0.65573E+01 0.25970E-08 0.444 0.10000E+01 -0.16453E+00 0.87227E+01 0.34346E-08 0.555 0.10000E+01 -0.25849E+00 0.10863E+02 0.42704E-08 0.666 0.10000E+01 -0.43965E+00 0.12937E+02 0.51012E-08 En las figuras 5-14, 5-15, 5-16 y 5-17 se pueden observar las distribuciones del campo eléctrico 𝐸3, de las tensiones 𝜎11 y 𝜎33, y del desplazamiento eléctrico 𝐷3 en el RVE para una fracción volumétrica de la fibra de vf = 0.111. Figura 5-14. Distribución de campo eléctrico 𝐸3 para vf = 0.111. Resultados 32 Figura 5-15. Distribución de tensiones 𝜎11 para vf = 0.111. Figura 5-16. Distribución de tensiones 𝜎33 para vf = 0.111. 33 Figura 5-17. Distribución de desplazamientos eléctricos 𝐷3 para vf = 0.111. 5.1.2.6 Condición de contorno 6 En la tabla 5-7 se muestran los valores medios obtenidos para 𝐸2,𝐷2 y 𝜎23. Tabla 5–7. Resultados de 𝐸2,𝐷2 y 𝜎23 en función de vf para CC1 vf 𝐸2 𝐷2 𝜎23 0.111 0.98500E+00 0.88851E-10 0.79906E-03 0.222 0.98500E+00 0.10257E-09 0.20986E-02 0.333 0.98500E+00 0.12083E-09 0.42170E-02 0.444 0.98500E+00 0.14681E-09 0.80428E-02 0.555 0.98500E+00 0.18870E-09 0.15976E-01 0.666 0.98500E+00 0.27669E-09 0.38545E-01 En las figuras 5-18, 5-19 y 5-20 se pueden observar las distribuciones del campo eléctrico 𝐸2, del desplazamiento eléctrico 𝐷2 y de las tensiones 𝜎23 en el RVE para una fracción volumétrica de la fibra de vf = 0.111. Resultados 34 Figura 5-18. Distribución de campo eléctrico 𝐸2 para vf = 0.111. Figura 5-19. Distribución de desplazamientos eléctricos 𝐷2 para vf = 0.111. 35 Figura 5-20. Distribución de tensiones 𝜎23 para vf = 0.111. 5.1.2.7 Comparación de resultados En este apartado se han comparado los valores de los coeficientes efectivos del material compuesto piezoeléctrico PZT-5/polímero, obtenidos mediante nuestra metodología de cálculo, con los valores expuestos en el artículo de Berger [20] para dicho material. Los coeficientes efectivos se han calculado según (4-9,…,4-19) a partir de los valores medios obtenidos de las variables del problema electromecánico presentadas en las tablas 5-2 a 5-7, y se han registrado en archivos de texto para poder ser procesados por MATLAB. Mediante una rutina de MATLAB se ha elaborado una gráfica para cada coeficiente efectivo en la que se representa los valores obtenidos del coeficiente efectivo (en ordenadas) para los 6 valores de vf definidos (en abcisas), y se representa igualmente los valores extraídos del artículo de Berger para dicho coeficiente, para poder ser comparados. Las figuras 5-21, 5-22, 5-23 y 5-24 muestran las gráficas con los resultados obtenidos mediante nuestra metodología y los resultados del artículo de Berger para los coeficientes elásticos, piezoeléctricos y dieléctricos. Resultados 36 Figura 5-21. Coeficientes elásticos efectivos. Comparación entre valores del artículo de Berger [20] y resultados de nuestra metodología de cálculo. 37 Figura 5-22. Coeficientes elásticos efectivos. Comparación entre valores del artículo de Berger [20] y resultados de nuestra metodología de cálculo. Resultados 44 Donde a1, a2 y a3 son las semilongitudes del RVE en los ejes X1, X2 y X3. En la figura 5-29 se muestra el modelo RVE elaborado para caracterizar el compuesto con inclusiones de partículas esféricas. Figura 5-29. Modelo geométrico del RVE en ANSYS. Seguidamente, se han introducido las propiedades del material BT para las inclusiones y de los materiales PDMS y PVDF para la matriz, recogidos en la tabla 5-7, y se han aplicado en el modelo a partículas esféricas y matriz respectivamente. Para realizar el mallado del modelo geométrico del RVE, se ha seleccionado el elemento SOLID226, el cual según la biblioteca de ANSYS es un elemento sólido 3D de 20 nodos diseñado para problemas de campos acoplados. El elemento posee 3 grados de libertad en desplazamientos y 1 grado de libertad adicional para el potencial eléctrico, lo que le permite ser usado para el problema electromecánico acoplado. Debido a las simetrías que presenta el modelo, se ha realizado el mallado con elementos tetraédricos de tipo SOLID226, con los que se consigue una mejor adaptación a la geometría del modelo, para un cuarto del modelo geométrico y posteriormente mediante la función de simetría para los 3 ejes característicos se ha completado el mallado para el modelo completo, consiguiendo de esta forma que la malla de nodos sea idéntica en las caras opuestas, lo cual es un requisito indispensable para poder aplicar las condiciones de contorno periódicas definidas en el capítulo anterior. En cuanto al tamaño del mallado, se ha indicado un nivel de tamaño de elemento global, y se ha especificado una división del mallado en la interfase entre partículas y matriz, para obtener un mallado refinado en las zonas donde se espera un mayor gradiente en la solución de elementos finitos. En la figura 5-30 puede observarse el mallado del modelo para los valores mínimo y máximo de la fracción volumétrica de inclusiones que han sido calculadas. 45 Figura 5-30. Mallado para fracciones volumétricas vf = 0.111 (izquierda) y vf = 0.666 (derecha). 5.2.3 Comparación de resultados Los modelos RVE elaborados en ANSYS para el material compuesto piezoeléctrico BT/polímero, uno con inclusiones de fibra continua y otro con partículas esféricas, se han utilizado para obtener mediante nuestra metodología de cálculo los coeficientes efectivos para 6 valores distintos de fracción volumétrica de inclusiones vBT para cada una de las combinaciones de constituyentes del material siguientes:  Inclusiones de fibra continua de BT y matriz PDMS  Inclusiones de fibra continua de BT y matriz PVDF  Inclusiones de partículas esféricas de BT y matriz PDMS  Inclusiones de partículas esféricas de BT y matriz PVDF Los coeficientes efectivos que se han obtenido se han registrado en archivos de texto para poder ser procesados por MATLAB. Mediante una rutina de MATLAB se ha elaborado una gráfica para cada coeficiente efectivo y tipo de inclusión en la que se representan los valores obtenidos del coeficiente efectivo con los dos tipos de matriz (en ordenadas), para los 6 valores de vBT definidos (en abcisas). Las figuras 5-31, 5-32, 5-33 y 5-34 muestran las gráficas con los resultados obtenidos mediante nuestra metodología para cada coeficiente efectivo elástico, piezoeléctrico y dieléctrico, pudiéndose comparar en una misma gráfica los valores obtenidos del coeficiente para los dos tipos de matriz considerados, y a la vez comparar mediante las dos gráficas de cada fila los valores del coeficiente para los dos tipos de inclusiones. Resultados 46 Figura 5-31. Coeficientes elásticos efectivos en función de la fracción de volumen de BT. Comparación entre inclusiones de fibra continua e inclusiones de partículas esféricas y entre matriz PDMS y PVDF. 47 Figura 5-32. Coeficientes elásticos efectivos en función de la fracción de volumen de BT. Comparación entre inclusiones de fibra continua e inclusiones de partículas esféricas y entre matriz PDMS y PVDF. Resultados 48 Figura 5-33. Coeficientes piezoeléctricos efectivos en función de la fracción de volumen de BT. Comparación entre inclusiones de fibra continua e inclusiones de partículas esféricas y entre matriz PDMS y PVDF. 49 Figura 5-34. Coeficientes dieléctricos efectivos en función de la fracción de volumen de BT. Comparación entre inclusiones de fibra continua e inclusiones de partículas esféricas y entre matriz PDMS y PVDF. Si analizamos los gráficos con los resultados obtenidos, se han observado los siguientes aspectos para los distintos coeficientes efectivos.  Coeficientes elásticos Los coeficientes 𝐶11 𝑒𝑓𝑓,𝐶12 𝑒𝑓𝑓,𝐶13 𝑒𝑓𝑓 aumentan su valor al aumentar vBT, ligeramente para el tipo de matriz PDMS y exponencialmente para el tipo de matriz PVDF. Comparando los dos tipos de inclusiones, presentan comportamiento similar, obteniéndose mayores valores para las inclusiones de tipo partículas esféricas para los valores de vBT calculados. El coeficiente 𝐶33 𝑒𝑓𝑓 presenta distinto comportamiento según el tipo de inclusión. Para el tipo de fibra continua aumenta aproximadamente de forma lineal con respecto a vBT con valores similares para los dos tipos de matriz obteniéndose mayores valores con este tipo de inclusión para vBT calculados. Resultados 50 Por otro lado, para el tipo de partículas esféricas, aumenta de forma exponencial para el tipo de matriz PVDF y apenas varía para el tipo PDMS. Los coeficientes 𝐶44 𝑒𝑓𝑓,𝐶66 𝑒𝑓𝑓 aumentan su valor al incrementarse vBT para el tipo de matriz PVDF, sin embargo para el tipo PDMS apenas varían. Comparando los dos tipos de inclusiones, presentan comportamiento similar, obteniéndose mayores valores para las inclusiones de tipo partículas esféricas para los valores de vBT calculados.  Coeficientes piezoeléctricos El coeficiente 𝑒13 𝑒𝑓𝑓 aumenta su valor al aumentar vBT, ligeramente para el tipo de matriz PDMS y exponencialmente para el tipo de matriz PVDF. Comparando los dos tipos de inclusiones, presentan comportamiento similar, obteniéndose mayores valores para las inclusiones de tipo partículas esféricas para los valores de vBT calculados. El coeficiente 𝑒33 𝑒𝑓𝑓 presenta distinto comportamiento para cada tipo de inclusión. Para el tipo de fibra continua aumenta aproximadamente de forma lineal con respecto a vBT con valores similares para los dos tipos de matriz, mientras que para el tipo de partículas esféricas, aumenta de forma exponencial para el tipo de matriz PVDF y apenas varía para el tipo PDMS. Comparando ambos tipos de inclusiones, se obtienen mayores valores para las inclusiones de tipo fibra continua para los valores de vBT calculados. El coeficiente 𝑒15 𝑒𝑓𝑓 presenta comportamiento similar si comparamos los dos tipos de inclusiones y los dos tipos de matriz, en todos los casos aumenta de forma aproximadamente lineal al aumentar vBT. Se obtienen valores algo mayores para el tipo de fibra continua.  Coeficientes dieléctricos Los coeficientes 𝜖11 𝑒𝑓𝑓,𝜖33 𝑒𝑓𝑓presentan comportamiento similar si comparamos los dos tipos de inclusiones y los dos tipos de matriz, en todos los casos aumentan de forma aproximadamente lineal al aumentar vBT. Se obtienen valores mayores para el tipo de fibra continua para los valores de vBT calculados. 5.3 Influencia de matriz con CNT En este apartado se va a analizar la influencia de la adición de CNTs en la matriz del material compuesto piezoeléctrico sobre los coeficientes efectivos de dicho material. Para ello, se va a considerar el material compuesto de inclusiones de BT embebidas en una matriz polimérica con una adición en su matriz de CNTs del tipo MWCNT (15,15) y sin aglomeraciones, es decir ξ=ζ. En este caso, se van a estudiar las siguientes configuraciones del material todas ellas con adición de CNTs en la matriz polimérica:  Material con inclusiones BT de fibra continua y matriz PDMS  Material con inclusiones BT de fibra continua y matriz PVDF  Material con inclusiones BT de partículas esféricas y matriz PDMS  Material con inclusiones BT de partículas esféricas y matriz PVDF Como se ha descrito en el apartado 3.4, la adición de CNTs en la matriz polimérica se ha modelado mediante la modificación de las propiedades efectivas de dicha matriz. Se ha considerado que se producen modificaciones en las propiedades elásticas y dieléctricas, mientras que las piezoeléctricas no varían. Además, se indicó que la variación de las propiedades dieléctricas con la fracción en volumen de CNTs (fCNT) se produce de acuerdo al comportamiento de percolación. Por ello, se van a calcular los coeficientes efectivos para 3 valores de fCNT relativas al límite de percolación fc: 51 𝑓𝐶𝑁𝑇=*0.1𝑓𝑐,0.5𝑓𝑐,0.99𝑓𝑐+ (5–4) Para el caso de adición de CNTs sin aglomeraciones (ξ=ζ) el valor del límite de percolación es fc = 0.608 según [15], por lo que los coeficientes se han calculado para los 3 valores de fracción volumétrica de CNTs fCNT = {0.061, 0.304, 0.602}. Para cada valor de fCNT se han calculado las propiedades elásticas y dieléctricas de las matrices PDMS y PVDF con adición de CNTs. Las propiedades elásticas modificadas de la matriz se han calculado mediante una rutina de MATLAB, en la que se ha implementado las ecuaciones (3-5), (3-6) y (3-7) para obtener las constantes efectivas 𝐸𝑚 𝑒𝑓𝑓,𝜈𝑚 𝑒𝑓𝑓 de la matriz con adición de CNT a partir de las constantes de la matriz y los módulos elásticos de Hill de los CNT. Los módulos de Hill se obtuvieron con anterioridad mediante una rutina de MATLAB a partir de las constantes elásticas de los CNT obtenidas de [14] según sus índices (15,15). A partir de las constantes efectivas calculadas 𝐸𝑚 𝑒𝑓𝑓,𝜈𝑚 𝑒𝑓𝑓 para un valor de fCNT se obtienen las propiedades efectivas de la matriz con adición de CNTs según (3-2) y (3-4). Las rutinas de MATLAB serán descritas en el Anexo. Las propiedades dieléctricas modificadas de la matriz se han calculado según (3-8) para cada valor de fCNT, teniendo en cuenta que para adición de CNTs sin aglomeraciones (ξ=ζ) el límite de percolación es fc = 0.608, y tomando un valor del exponente crítico p=1.2 [10]. En la tabla 5-9, 5-10 y 5-11 se muestran las propiedades efectivas de las matrices PDMS y PVDF calculadas para los 3 valores de fCNT, donde las unidades de las propiedades elásticas, piezoeléctricas y dieléctricas son N/m2, C/m2 y F/m respectivamente. Para las propiedades dieléctricas se indica el coeficiente dieléctrico relativo 𝜖 𝜖0 (adimensional) porque este es el valor que debe ser introducido en ANSYS. Las propiedades de las inclusiones de BT son tomadas de la tabla 5-7. Tabla 5–9. Propiedades efectivas de las matrices PDMS y PVDF para fCNT = 0.061 C11 (109) C12 (109) C13 (109) C33 (109) C44 (109) C66 (109) e15 e13 e33 𝜖11 𝜖0 𝜖33 𝜖0 PDMS 0.5058 0.3894 0.3894 0.5058 0.05819 0.05819 ‒ ‒ ‒ 3.09 3.09 PVDF 2.798 1.132 1.132 2.798 0.8331 0.8331 0 0.024 -0.027 9.08 9.08 Tabla 5–10. Propiedades efectivas de las matrices PDMS y PVDF para fCNT = 0.304 C11 (109) C12 (109) C13 (109) C33 (109) C44 (109) C66 (109) e15 e13 e33 𝜖11 𝜖0 𝜖33 𝜖0 PDMS 1.196 0.6218 0.6218 1.196 0.2873 0.2873 ‒ ‒ ‒ 6.25 6.25 PVDF 3.485 1.355 1.355 3.485 1.065 1.065 0 0.024 -0.027 18.38 18.38 Tabla 5–11. Propiedades efectivas de las matrices PDMS y PVDF para fCNT = 0.602 C11 (109) C12 (109) C13 (109) C33 (109) C44 (109) C66 (109) e15 e13 e33 𝜖11 𝜖0 𝜖33 𝜖0 PDMS 2.044 0.9055 0.9055 2.044 0.5692 0.5692 ‒ ‒ ‒ 694.18 694.18 PVDF 4.337 1.637 1.637 4.337 1.350 1.350 0 0.024 -0.027 2041.70 2041.70 Resultados 52 Nuevamente, los modelos RVE descritos en los apartados 5.2.1 y 5.2.2 para el material compuesto piezoeléctrico BT/polímero, uno con inclusiones de fibra continua y otro con partículas esféricas, se han utilizado para obtener mediante nuestra metodología de cálculo los coeficientes efectivos para 6 valores distintos de fracción volumétrica de inclusiones vBT (igual que en apartado 5.2), para un valor dado de fracción volumétrica de nanotubos. Este proceso se ha realizado para 3 valores distintos de fCNT (0.061, 0.304, 0.602), para cada una de las siguientes combinaciones de constituyentes del material con adición de CNTs sin aglomeraciones:  Inclusiones de fibra continua de BT y matriz PDMS  Inclusiones de fibra continua de BT y matriz PVDF  Inclusiones de partículas esféricas de BT y matriz PDMS  Inclusiones de partículas esféricas de BT y matriz PVDF Los coeficientes efectivos que se han obtenido se han registrado en archivos de texto para poder ser procesados por MATLAB. Mediante una rutina de MATLAB se ha elaborado una gráfica para cada coeficiente efectivo, tipo de inclusión y de matriz, en la que se representan los valores obtenidos del coeficiente efectivo para cada valor de vBT (en ordenadas), para los 3 valores de fCNT definidos (en abcisas). Las figuras 5-35, 5-36, 5-37 y 5-38 muestran las gráficas con los resultados obtenidos mediante nuestra metodología para cada coeficiente efectivo elástico, piezoeléctrico y dieléctrico para el tipo de matriz PDMS, pudiéndose comparar en una misma gráfica los valores obtenidos del coeficiente para los 6 valores de vBT considerados, y a la vez comparar mediante las dos gráficas de cada fila los valores del coeficiente para los dos tipos de inclusiones. 53 Figura 5-35. Coeficientes elásticos efectivos de material BT/PDMS/CNT en función de la fracción de volumen de CNT. Comparación entre inclusiones de fibra continua e inclusiones de partículas esféricas para 6 valores distintos de vBT. (%) (%) (%) (%) (%) (%) Resultados 60 Figura 5-42. Coeficientes dieléctricos efectivos de material BT/PVDF/CNT en función de la fracción de volumen de CNT. Comparación entre inclusiones de fibra continua e inclusiones de partículas esféricas para 6 valores distintos de vBT. Si analizamos los gráficos con los resultados obtenidos, se han observado los siguientes aspectos para los distintos coeficientes efectivos.  Coeficientes elásticos Los coeficientes 𝐶11 𝑒𝑓𝑓,𝐶12 𝑒𝑓𝑓,𝐶13 𝑒𝑓𝑓 aumentan su valor de forma aproximadamente lineal al aumentar fCNT, siendo mayor este incremento para valores mayores de vBT. Comparando los dos tipos de inclusiones, presentan comportamiento similar, obteniéndose mayores valores para las inclusiones de tipo partículas esféricas. Respecto al tipo de matriz, los aumentos de valor son más acusados para el tipo PDMS, pero el tipo PVDF presenta valores mayores. El coeficiente 𝐶33 𝑒𝑓𝑓 presenta distinto comportamiento según el tipo de inclusión. Para el tipo de fibra continua se mantiene constante respecto a fCNT y vBT, mientras que para el tipo partículas esféricas aumenta aproximadamente de forma lineal, obteniéndose valores mayores al aumentar fCNT y vBT. Si comparamos el tipo de matriz el comportamiento es similar observándose mayores valores para el tipo PVDF para fCNT y vBT calculados. (%) (%) (%) (%) 61 Los coeficientes 𝐶44 𝑒𝑓𝑓,𝐶66 𝑒𝑓𝑓 aumentan su valor de forma aproximadamente lineal al aumentar fCNT, siendo mayor este incremento para valores mayores de vBT. Comparando los dos tipos de inclusiones, presentan comportamiento similar, obteniéndose mayores valores para las inclusiones de tipo partículas esféricas. Respecto al tipo de matriz, los aumentos de valor son más acusados para el tipo PDMS, pero el tipo PVDF presenta valores mayores.  Coeficientes piezoeléctricos El coeficiente 𝑒13 𝑒𝑓𝑓 aumenta su valor al aumentar fCNT, de forma más acusada cuanto mayor es vBT. Comparando los dos tipos de inclusiones, presentan comportamiento similar, obteniéndose mayores valores para las inclusiones de tipo partículas esféricas para los valores de vBT calculados. Respecto a los dos tipos de matriz, las variaciones son más acusadas para el tipo PDMS, pero el tipo PVDF presenta valores mayores. El coeficiente 𝑒33 𝑒𝑓𝑓 presenta distinto comportamiento según el tipo de inclusión. Para el tipo de fibra continua se mantiene constante respecto a fCNT y vBT, mientras que para el tipo partículas esféricas aumenta, siendo este incremento más acusado al aumentar vBT, no obstante se obtienen mayores valores con el tipo fibra. Si comparamos el tipo de matriz, el comportamiento es similar observándose mayores valores para el tipo PVDF. El coeficiente 𝑒15 𝑒𝑓𝑓 presenta comportamiento similar para los dos tipos de inclusión y matriz, aumenta su valor ligeramente al aumentar fCNT y vBT. Si comparamos el tipo de matriz, se observan mayores valores para el tipo PVDF, igualmente ocurre con la fibra si comparamos tipo de inclusión.  Coeficientes dieléctricos El coeficiente 𝜖11 𝑒𝑓𝑓 presenta comportamiento similar si comparamos los dos tipos de inclusiones, se mantiene constante y empieza a aumentar para valores de fCNT mayores a 0.3, mientras que para vBT aumentan ligeramente con el incremento de este. Se obtienen valores ligeramente mayores para el tipo fibra contiuna. Respecto al tipo de matriz, los aumentos a partir de valores de fCNT mayores a 0.3 son mas acusados para el tipo PVDF y se obtienen mayores valores que para PDMS. El coeficiente 𝜖33 𝑒𝑓𝑓 presenta comportamiento similar si comparamos los dos tipos de inclusiones, se mantiene constante y empieza a aumentar para valores de fCNT mayores a 0.3 de forma acusada, mientras que para vBT disminuye con el incremento de este para valores de fCNT mayores a 0.3. Se obtienen valores similares para los dos tipos de inclusión. Respecto al tipo de matriz, se observa comportamiento similar y se obtienen mayores valores para el tipo PVDF. 5.4 Influencia de matriz con aglomeraciones de CNTs En este apartado se va a analizar la influencia de la adición de CNTs en la matriz del material compuesto piezoeléctrico sobre los coeficientes efectivos de dicho material cuando presenta aglomeraciones de CNTs. Para ello, se va a considerar el material compuesto de inclusiones de BT embebidas en una matriz polimérica con una adición en su matriz de CNTs del tipo MWCNT (15,15) y con aglomeraciones (ξ=0.5ζ). En este caso, se van a estudiar las siguientes configuraciones del material todas ellas con adición de CNTs en la matriz polimérica:  Material con inclusiones BT de fibra continua y matriz PDMS  Material con inclusiones BT de partículas esféricas y matriz PDMS La adición de CNTs con existencia de aglomeraciones se ha modelado de igual forma que en el apartado 5.3. Para el caso de adición de CNTs con aglomeraciones (ξ=0.5ζ) el valor del límite de percolación va a depender del parámetro ζ. En este caso, se va a hacer el estudio para 3 valores de ζ (0.15, 0.4, 0.57), por lo que se tendrá los siguientes límites de percolación: Resultados 62 Tabla 5–12. Parámetro de aglomeración ζ y su límite de percolación asociado. Extraído de [10]. fc 0.7 0.9 1.09 ζ 0.15 0.40 0.57 Los coeficientes efectivos se han analizado para los 3 valores de ζ indicados en la tabla 5-11, por lo que según (5-4) y dado que fc varía con ζ, para cada valor de ζ se han analizado 3 valores de fCNT . Por tanto, se han calculado las propiedades elásticas y dieléctricas de la matriz PDMS con adición de CNTs para 9 valores de fCNT. Tabla 5–13. Valores de fCNT para cada valor de ζ ζ 0.1fc 0.5fc 0.99fc 0.15 0.07 0.09 0.109 0.40 0.35 0.45 0.545 0.57 0.693 0.891 1.079 Las propiedades elásticas modificadas de la matriz se han calculado mediante una rutina de MATLAB, en la que se ha implementado las ecuaciones (3-5), (3-6) y (3-7) para obtener las constantes efectivas 𝐸𝑚 𝑒𝑓𝑓,𝜈𝑚 𝑒𝑓𝑓 de la matriz con adición de CNT a partir de las constantes de la matriz y los módulos elásticos de Hill de los CNT. Los módulos de Hill se obtuvieron con anterioridad mediante una rutina de MATLAB a partir de las constantes elásticas de los CNT obtenidas de [14] según sus índices (15,15). A partir de las constantes efectivas calculadas 𝐸𝑚 𝑒𝑓𝑓,𝜈𝑚 𝑒𝑓𝑓 para un valor de fCNT se obtienen las propiedades efectivas de la matriz con adición de CNTs según (3-2) y (3-4). Las rutinas de MATLAB serán descritas en el Anexo. Las propiedades dieléctricas modificadas de la matriz se han calculado según (3-8) para cada valor de fCNT, teniendo en cuenta los valores del límite de percolación de la tabla 5-11, y tomando un valor del exponente crítico p=1.2 [10]. En la tabla 5-14, 5-15 y 5-16 se muestran las propiedades efectivas de la matriz PDMS calculadas para los 3 valores de ζ, donde las unidades de las propiedades elásticas, piezoeléctricas y dieléctricas son N/m2, C/m2 y F/m respectivamente. Para las propiedades dieléctricas se indica el coeficiente dieléctrico relativo 𝜖 𝜖0 (adimensional) porque este es el valor que debe ser introducido en ANSYS. Las propiedades de las inclusiones de BT son tomadas de la tabla 5-7. Tabla 5–14. Propiedades efectivas de las matriz PDMS para ζ = 0.15 fCNT C11 (109) C12 (109) C13 (109) C33 (109) C44 (109) C66 (109) e15 e13 e33 𝜖11 𝜖0 𝜖33 𝜖0 0.07 0.5267 0.3974 0.3974 0.5267 0.06469 0.06469 ‒ ‒ ‒ 3.09 3.09 0.35 1.297 0.6532 0.6532 1.297 0.3217 0.3217 ‒ ‒ ‒ 6.25 6.25 0.693 2.249 0.9729 0.9729 2.249 0.6379 0.6379 ‒ ‒ ‒ 683.23 683.23 63 Tabla 5–15. Propiedades efectivas de las matriz PDMS para ζ = 0.40 fCNT C11 (109) C12 (109) C13 (109) C33 (109) C44 (109) C66 (109) e15 e13 e33 𝜖11 𝜖0 𝜖33 𝜖0 0.09 0.5699 0.4144 0.4144 0.5699 0.07776 0.07776 ‒ ‒ ‒ 3.09 3.09 0.45 1.490 0.7206 0.7206 1.490 0.3846 0.3846 ‒ ‒ ‒ 6.25 6.25 0.891 2.622 1.097 1.097 2.622 0.7625 0.7625 ‒ ‒ ‒ 683.23 683.23 Tabla 5–16. Propiedades efectivas de las matriz PDMS para ζ = 0.57 fCNT C11 (109) C12 (109) C13 (109) C33 (109) C44 (109) C66 (109) e15 e13 e33 𝜖11 𝜖0 𝜖33 𝜖0 0.109 0.5990 0.4267 0.4267 0.5990 0.08616 0.08616 ‒ ‒ ‒ 3.09 3.09 0.545 1.622 0.7704 0.7704 1.622 0.4259 0.4259 ‒ ‒ ‒ 6.25 6.25 1.079 2.863 1.175 1.175 2.863 0.8439 0.8439 ‒ ‒ ‒ 675.79 675.79 Nuevamente, los modelos RVE descritos en los apartados 5.2.1 y 5.2.2 para el material compuesto piezoeléctrico BT/polímero, uno con inclusiones de fibra continua y otro con partículas esféricas, se han utilizado para obtener mediante nuestra metodología de cálculo los coeficientes efectivos para 6 valores distintos de fracción volumétrica de inclusiones vBT (igual que en apartado 5.2), para un valor dado de fracción volumétrica de nanotubos. Este proceso se ha realizado para 9 valores distintos de fCNT (3 valores de fCNT por cada valor de ζ), para cada una de las siguientes combinaciones de constituyentes del material con adición de CNTs con aglomeraciones:  Inclusiones de fibra continua de BT y matriz PDMS  Inclusiones de partículas esféricas de BT y matriz PDMS Los coeficientes efectivos que se han obtenido se han registrado en archivos de texto para poder ser procesados por MATLAB. Mediante una rutina de MATLAB se ha elaborado una gráfica para cada coeficiente efectivo y tipo de inclusión, en la que se representan los valores obtenidos del coeficiente efectivo para cada valor de ζ (en ordenadas), para los 3 valores de fCNT definidos para cada ζ (en abcisas). Las figuras 5-43, 5-44, 5-45 y 5-46 muestran las gráficas con los resultados obtenidos mediante nuestra metodología para cada coeficiente efectivo elástico, piezoeléctrico y dieléctrico para vTB = 0.111, pudiéndose comparar en una misma gráfica los valores obtenidos del coeficiente para los 4 valores de ζ considerados, y a la vez comparar mediante las dos gráficas de cada fila los valores del coeficiente para los dos tipos de inclusiones. Resultados 64 Figura 5-43. Coeficientes elásticos efectivos de material BT/PDMS/CNT con vBT=11.1% en función de la fracción de volumen de CNT. Comparación entre inclusiones de fibra continua e inclusiones de partículas esféricas para 4 valores de ζ. (%) (%) (%) (%) (%) (%) 65 Figura 5-44. Coeficientes elásticos efectivos de material BT/PDMS/CNT con vBT=11.1% en función de la fracción de volumen de CNT. Comparación entre inclusiones de fibra continua e inclusiones de partículas esféricas para 4 valores de ζ. (%) (%) (%) (%) (%) (%) Resultados 66 Figura 5-45. Coeficientes piezoeléctricos efectivos de material BT/PDMS/CNT con vBT=11.1% en función de la fracción de volumen de CNT. Comparación entre inclusiones de fibra continua e inclusiones de partículas esféricas para 4 valores de ζ. (%) (%) (%) (%) (%) (%) 67 Figura 5-46. Coeficientes dieléctricos efectivos de material BT/PDMS/CNT con vBT=11.1% en función de la fracción de volumen de CNT. Comparación entre inclusiones de fibra continua e inclusiones de partículas esféricas para 4 valores de ζ. Las figuras 5-47, 5-48, 5-49 y 5-50 muestran las gráficas con los resultados obtenidos mediante nuestra metodología para cada coeficiente efectivo elástico, piezoeléctrico y dieléctrico para vTB = 0.666, pudiéndose comparar en una misma gráfica los valores obtenidos del coeficiente para los 4 valores de ζ considerados, y a la vez comparar mediante las dos gráficas de cada fila los valores del coeficiente para los dos tipos de inclusiones. (%) (%) (%) (%) Resultados 68 Figura 5-47. Coeficientes elásticos efectivos de material BT/PDMS/CNT con vBT=66.6% en función de la fracción de volumen de CNT. Comparación entre inclusiones de fibra continua e inclusiones de partículas esféricas para 4 valores de ζ. (%) (%) (%) (%) (%) (%) 69 Figura 5-48. Coeficientes elásticos efectivos de material BT/PDMS/CNT con vBT=66.6% en función de la fracción de volumen de CNT. Comparación entre inclusiones de fibra continua e inclusiones de partículas esféricas para 4 valores de ζ. (%) (%) (%) (%) (%) (%) Resumen y conclusiones 76 77 REFERENCIAS [1] «Materiales piezoeléctricos», boletín, nº 3, 2010. [2] C. L. Tucker y E. Liang, «Stiffness predictions for unidirectional short-fiber composites: Review and evaluation», Composites science and technology, vol. 59, pp. 655-671, 1999. [3] K.P. Babu, P.M. Mohite y C.S. Upadhyay, «Development of an RVE and its stiffnes predictions based on mathematical homogenization theory for short fibre composites», International Journal of Solids and Structures, vol. 130-131, pp. 80-104, 2018. [4] A.A. Saputra, V. Sladek, J. Sladek y C. Song, «Micromechanics determination of effective material coefficients of cement-based piezoelectric ceramic composites», Journal of Intelligent Material Systems and Structures, vol. 29, nº 5, pp. 845-862, 2018. [5] F. Li y G. Li, «Application of ANSYS APDL in the Design of Piezoelectric Transducer», 5th International Conference on Advanced Engineering Materials and Technology, AEMT, 2015. [6] S. Bodkhe y P. Ermanni, «Challenges in 3D printing of piezoelectric materials», Multifunctional Materials, vol. 2, nº 2, 2019. [7] D. Maurya, M. Peddigari y M. Kang «Lead-free piezoelectric materials and composites for high power density energy harvesting», Journal of Material Research, vol. 33, nº 16, pp. 2235-2263, 2018. [8] J.A. Krishnaswamy, F.C. Buroni, F. García- Sanchez, R. Melnik, L. Rodriguez-Tembleque, A. Saez, « Improving the performance of lead-free piezoelectric composites by using polycrystalline inclusions and tuning the dielectric matrix enviroment», Smart Materials and Structures, vol. 28, nº 7, 2019. [9] R. Saito, G. Dresselhaus y M.S. Dresselhaus, Physical Properties of Carbon Nanotubes, Imperial College Press, London, 1998. [10] J.A. Krishnaswamy, F.C. Buroni, F. García- Sanchez, R. Melnik, L. Rodriguez-Tembleque, A. Saez, « Lead-free piezocomposites with CNT-modified matrices:Accounting for agglomerations and molecular defects», Composite Structures, vol. 224, 2019. [11] E.C.N. Silva, J.S.O. Fonseca y N. Kikuchi, «Optimal design of periodic piezocomposites», Comput. Methods Appl. Eng., vol. 159, pp. 49-77, 1998 [12] S. Iijima, «Helical microtubes of graphitic carbon», Nature, vol. 354, nº 6348, pp. 56-58, 1991. [13] A. Duarte, B.L. Ferreira, P. R.O. Nóvoa, A. T. Marques, «Multifunctional Material Systems: A state-of- the-art review», Composite Structures, vol. 151, pp. 3-35, 2016. [14] L. Shen y J. Li, «Transversely isotropic elastic properties of multiwalled carbon nanotubes», Physical Review B, vol. 71, 2005. Referencias 78 [15] D. Shi, X. Feng, Y.Y. Huang, K. Hwang y H. Gao, «The Effect of Nanotube Waviness and Agglomeration on the Elastic Property of Carbon Nanotube-Reinforced Composites», Journal of Engineering Materials and Technology, vol. 126, nº 3, pp. 250-257, 2004. [16] R. Qin, Y. Xiao y H. Lan, «Numerical Simulation of Effective Properties of 3D Piezoelectric Composites», Journal of Engineering, vol. 2014, 2014. [17] R. Hill, «Elastic Properties of Reinforced Solids: Some Theoretical Principles», J. Mech. Phys. Solids, vol. 11, pp. 357-372, 1963. [18] T. I. Zohdi, Computacional modeling and design of new random microheterogeneous materials, International Journal of Solids and Structures, CISM Course notes, 2002. [19] O. Zienkiewicz, El Método de los Elementos Finitos, Ed. Reverte, 1981. [20] H. Berger, S. Kari, U. Gabbert, R. Rodriguez-Ramos, R. Guinovart, J.A. Otero y J. Bravo-Castillero, «An analytical and numerical approach for calculating effective material coefficients of piezoelectric fiber composites», International Journal of Solids and Structures, vol. 42, nº 21-223, pp. 5692-5714, 2005. [21] E.J. Barbero, Finite Element Analysis of Composite Materials Using ANSYS®, Second ed., Boca Raton: CRC Press, Taylor & Francis Group, 2014. [22] J.Y. Li, «The effective electroelastic moduli of textured piezoelectric polycrystallline aggregates», Journal of the Mechanics and Physics Solids, vol. 48, nº 3, pp. 529-5552, 2000. [23] J.A. Krishnaswamy, F.C. Buroni, E. García-Macías, R. Melnik, L. Rodriguez-Tembleque y A. Saez, «Design of 3D printable lead-free PVDF/CNT/BaTiO3 piezoelectric composites for sensing and energy harvesting», Smart Materials and Structures, 2019. [24] Antonio Castro Sanchez, Modelización micromecánica de materiales compuestos: comparativa entre modelos analíticos y numéricos (MEF), Universidad de Sevilla, 2018. 79 ANEXO En este anexo se van a describir brevemente las rutinas de los programas comerciales ANSYS y MATLAB empleadas en este trabajo. A. Rutinas de ANSYS  SRECOVER.mac Rutina extraída de [13] con la que se obtiene las componentes de la tensión media del modelo RVE  EPELRECOVER.mac Rutina análoga a SRECOVER.mac con la que se obtiene las componentes de la deformación media del modelo RVE.  VALIDACION_CC1.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para la validación de la metodología de cálculo desarrollada, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC1, calcula los coeficientes C11, C12 para distintos valores de vf, y los guarda en un archivo de texto.  VALIDACION_CC2.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para la validación de la metodología de cálculo desarrollada, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC2, calcula los coeficientes C13, C33 para distintos valores de vf, y los guarda en un archivo de texto.  VALIDACION_CC3.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para la validación de la metodología de cálculo desarrollada, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC3, calcula los coeficientes C44 para distintos valores de vf, y los guarda en un archivo de texto.  VALIDACION_CC4.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para la validación de la metodología de cálculo desarrollada, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC4, calcula los coeficientes C66 para distintos valores de vf, y los guarda en un archivo de texto.  VALIDACION_CC5.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para la validación de la metodología de Anexo 80 cálculo desarrollada, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC5, calcula los coeficientes e13, e33, ϵ33 para distintos valores de vf, y los guarda en un archivo de texto.  VALIDACION_CC6.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para la validación de la metodología de cálculo desarrollada, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC6, calcula los coeficientes ϵ11, e15 para distintos valores de vf, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+PDMS_CC1.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PDMS, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC1, calcula los coeficientes C11, C12 para distintos valores de vf, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+PDMS_CC2.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PDMS, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC2, calcula los coeficientes C13, C33 para distintos valores de vf, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+PDMS_CC3.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PDMS, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC3, calcula los coeficientes C44 para distintos valores de vf, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+PDMS_CC4.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PDMS, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC4, calcula los coeficientes C66 para distintos valores de vf, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+PDMS_CC5.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PDMS, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC5, calcula los coeficientes e13, e33, ϵ33 para distintos valores de vf, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+PDMS_CC6.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PDMS, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC6, calcula los coeficientes ϵ11, e15 para distintos valores de vf, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+PVDF_CC1.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PVDF, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones 81 de contorno CC1, calcula los coeficientes C11, C12 para distintos valores de vf, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+PVDF_CC2.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PVDF, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC2, calcula los coeficientes C13, C33 para distintos valores de vf, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+PVDF_CC3.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PVDF, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC3, calcula los coeficientes C44 para distintos valores de vf, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+PVDF_CC4.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PVDF, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC4, calcula los coeficientes C66 para distintos valores de vf, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+PVDF_CC5.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PVDF, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC5, calcula los coeficientes e13, e33, ϵ33 para distintos valores de vf, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+PVDF_CC6.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PVDF, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC6, calcula los coeficientes ϵ11, e15 para distintos valores de vf, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+PDMS+CNT_CC1.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PDMS con adición de CNTs, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC1, calcula los coeficientes C11, C12 para distintos valores de vf y fCNT, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+PDMS+CNT _CC2.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PDMS con adición de CNTs, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC2, calcula los coeficientes C13, C33 para distintos valores de vf y fCNT, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+PDMS+CNT _CC3.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con Anexo 82 inclusiones de fibra continua y matriz PDMS con adición de CNTs, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC3, calcula los coeficientes C44 para distintos valores de vf y fCNT, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+PDMS+CNT _CC4.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PDMS con adición de CNTs, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC4, calcula los coeficientes C66 para distintos valores de vf y fCNT, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+PDMS+CNT _CC5.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PDMS con adición de CNTs, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC5, calcula los coeficientes e13, e33, ϵ33 para distintos valores de vf y fCNT, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+PDMS+CNT _CC6.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PDMS con adición de CNTs, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC6, calcula los coeficientes ϵ11, e15 para distintos valores de vf y fCNT, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+PVDF+CNT_CC1.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PVDF con adición de CNTs, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC1, calcula los coeficientes C11, C12 para distintos valores de vf y fCNT, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+ PVDF +CNT _CC2.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PVDF con adición de CNTs, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC2, calcula los coeficientes C13, C33 para distintos valores de vf y fCNT, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+ PVDF +CNT _CC3.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PVDF con adición de CNTs, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC3, calcula los coeficientes C44 para distintos valores de vf y fCNT, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+ PVDF +CNT _CC4.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PVDF con adición de CNTs, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC4, calcula los coeficientes C66 para distintos valores de vf y fCNT, y los guarda en un archivo de texto. 83  FIBRA+ PVDF +CNT _CC5.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PVDF con adición de CNTs, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC5, calcula los coeficientes e13, e33, ϵ33 para distintos valores de vf y fCNT, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+ PVDF +CNT _CC6.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PVDF con adición de CNTs, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC6, calcula los coeficientes ϵ11, e15 para distintos valores de vf y fCNT, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+PDMS+CNTaglo(z_0.15)_CC1.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PDMS con adición de CNTs con aglomeraciones, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC1, calcula los coeficientes C11, C12 para distintos valores de vf y fCNT, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+PDMS+ CNTaglo(z_0.15)_CC2.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PDMS con adición de CNTs con aglomeraciones, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC2, calcula los coeficientes C13, C33 para distintos valores de vf y fCNT, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+PDMS+CNTaglo(z_0.15)_CC3.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PDMS con adición de CNTs con aglomeraciones, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC3, calcula los coeficientes C44 para distintos valores de vf y fCNT, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+PDMS+ CNTaglo(z_0.15)_CC4.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PDMS con adición de CNTs con aglomeraciones, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC4, calcula los coeficientes C66 para distintos valores de vf y fCNT, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+PDMS+ CNTaglo(z_0.15)_CC5.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PDMS con adición de CNTs con aglomeraciones, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC5, calcula los coeficientes e13, e33, ϵ33 para distintos valores de vf y fCNT, y los guarda en un archivo de texto. Anexo 84  FIBRA+PDMS+ CNTaglo(z_0.15)_CC6.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PDMS con adición de CNTs con aglomeraciones, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC6, calcula los coeficientes ϵ11, e15 para distintos valores de vf y fCNT, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+PDMS+CNTaglo(z_0.40)_CC1.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PDMS con adición de CNTs con aglomeraciones, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC1, calcula los coeficientes C11, C12 para distintos valores de vf y fCNT, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+PDMS+ CNTaglo(z_0.40)_CC2.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PDMS con adición de CNTs con aglomeraciones, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC2, calcula los coeficientes C13, C33 para distintos valores de vf y fCNT, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+PDMS+CNTaglo(z_0.40)_CC3.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PDMS con adición de CNTs con aglomeraciones, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC3, calcula los coeficientes C44 para distintos valores de vf y fCNT, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+PDMS+ CNTaglo(z_0.40)_CC4.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PDMS con adición de CNTs con aglomeraciones, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC4, calcula los coeficientes C66 para distintos valores de vf y fCNT, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+PDMS+ CNTaglo(z_0.40)_CC5.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PDMS con adición de CNTs con aglomeraciones, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC5, calcula los coeficientes e13, e33, ϵ33 para distintos valores de vf y fCNT, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+PDMS+ CNTaglo(z_0.40)_CC6.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PDMS con adición de CNTs con aglomeraciones, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC6, calcula los coeficientes ϵ11, e15 para distintos valores de vf y fCNT, y los guarda en un archivo de texto. 85  FIBRA+PDMS+CNTaglo(z_0.57)_CC1.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PDMS con adición de CNTs con aglomeraciones, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC1, calcula los coeficientes C11, C12 para distintos valores de vf y fCNT, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+PDMS+ CNTaglo(z_0.57)_CC2.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PDMS con adición de CNTs con aglomeraciones, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC2, calcula los coeficientes C13, C33 para distintos valores de vf y fCNT, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+PDMS+CNTaglo(z_0.57)_CC3.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PDMS con adición de CNTs con aglomeraciones, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC3, calcula los coeficientes C44 para distintos valores de vf y fCNT, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+PDMS+ CNTaglo(z_0.57)_CC4.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PDMS con adición de CNTs con aglomeraciones, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC4, calcula los coeficientes C66 para distintos valores de vf y fCNT, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+PDMS+ CNTaglo(z_0.57)_CC5.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PDMS con adición de CNTs con aglomeraciones, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC5, calcula los coeficientes e13, e33, ϵ33 para distintos valores de vf y fCNT, y los guarda en un archivo de texto.  FIBRA+PDMS+ CNTaglo(z_0.57)_CC6.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de fibra continua y matriz PDMS con adición de CNTs con aglomeraciones, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC6, calcula los coeficientes ϵ11, e15 para distintos valores de vf y fCNT, y los guarda en un archivo de texto.  INCLUSION+PDMS_CC1.mac Crea el modelo de elementos finitos del modelo RVE propuesto para compuesto piezoeléctrico con inclusiones de partículas esféricas y matriz PDMS, le aplica las condiciones de contorno del grupo de condiciones de contorno CC1, calcula los coeficientes C11, C12 para distintos valores de vf, y los guarda en un archivo de texto. Anexo 92 B. Rutinas de MATLAB  ResultadosANSYS.m Extrae los resultados almacenados en los archivos de textos generados por ANSYS y crea una gráfica por cada coeficiente efectivo donde se representa los valores del coeficiente para distintos valores de vBT y fCNT.  HillsCoef.m Obtiene los módulos elásticos de Hill a partir de las propiedades mecánicas de los nanotubos de carbono.  CNT_MATRIZ.m Obtiene las propiedades mecánicas efectivas de la matriz con adición de CNTs sin aglomeraciones, a partir de las propiedades mecánicas de la matriz y los módulos de Hill de los CNTs.  CNTAgglo_MATRIZ.m Obtiene las propiedades mecánicas efectivas de la matriz con adición de CNTs con aglomeraciones, a partir de las propiedades mecánicas de la matriz, los módulos de Hill de los CNTs y el parámetro ζ.