Curvas rectificantes

UNIVERSIDAD DE SEVILLA Facultad de Matemáticas Grado en Matemáticas Departamento de Geometría y Topología Curvas Rectificantes Trabajo Fin de Grado por Francisco Jácome Maura Sevilla, Junio de 2017 Índice general Abstract III Resumen IV Introducción V 1. Conceptos Previos 1 1.1. Ecuaciones de Frenet-Serret. Vector de Darboux. . . . . . . . . . . . . . 3 2. Curvas Rectificantes 6 2.1. Primerospasos................................ 6 2.2. Caracterización de Curvas Rectificantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3. Curvas Rectificantes como Centroides. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4. Curvas rectificantes como curvas extremales. . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5. Otras propiedades de las curvas rectificantes. . . . . . . . . . . . . . . . 25 Anexo: Códigos de Maple 28 Bibliografía 32 i Abstract Rectifying curves are curves whose position vector always lies in their rectifying plane. In this dissertation, we present several equivalent conditions for a curve to be rectifying, giving a characterization formula that will allow us to find examples. In addition, we will expose the relationship betweem the Darboux vector and the rectifying curves and we will prove they are extremal curves. Finally, we define the reciprocal and the dual of a given curve and link them with both the Gauss map and rectifying curves. iii Resumen Las curvas rectificantes son las curvas cuyo vector posición siempre está contenido en su plano rectificante. En este texto se presentan varias condiciones equivalentes a que una curva sea rectificante, dando una fórmula que las caracteriza y permite encontrar ejemplos de las mismas. Además, se pone en relación el vector de Darboux con las curvas rectificantes y se demuestra que éstas son curvas extremales. Por último, se definen la curva recíproca y la curva dual de una curva dada y se vinculan con la aplicación de Gauss y las curvas rectificantes. iv Introducción Dentro de la Geometría Local de Curvas Diferenciables resulta fundamental la construcción del triedro de Frenet-Serret asociado a cada punto de una curva alabeada. Surgen de manera natural los conceptos de plano osculador, normal y rectificante tomando dos a dos los vectores del triedro. A partir de la teoría clásica ya era sabido que el vector posición de una curva diferenciable está contenido en su plano osculador si y sólo si la curva es plana, y también era conocido que esto sucede con su plano normal si y sólo si la curva está contenida en la esfera unitaria S2. Sin embargo, no se sabía cuándo sucedía lo mismo con el plano rectificante. Fue Bang-Yen Chen, profesor e investigador de la Universidad de Michigan, el primero en referirse a este tipo de curvas como Curvas Rectificantes en un artículo de 2003, [1] en la Bibliografía. Éste fue el punto de partida de una serie de artículos, algunos del mismo autor, que se centran en las propiedades de estas curvas. Se han llegado incluso a estudiar en el espacio de Minkowski 3-dimensional y en R4, como puede verse en [6] y [5]. No obstante, si bien Chen fue el primero en darles nombre a las curvas rectificantes, el propio autor menciona en [2] que ya se habían tratado estas curvas en [7]. De hecho, en este artículo de 1993 se demuestra en el Teorema B una condición equivalente a que una curva sea congruente a una curva rectificante, aunque no se le dé tal denominación. Este trabajo se basa principalmente en [1] y [3], los dos primeros artículos que escribió Chen sobre curvas rectificantes. El Capítulo 1 aúna algunos conceptos y resultados clásicos de geometría local de curvas, como son la parametrización natural, la definición de curvatura y torsión, las ecuaciones de Frenet-Serret, el Teorema Fundamental de Curvas Alabeadas y la definición de curvatura normal y geodésica de una curva en una superficie simple. Se define además el vector de Darboux como el vector velocidad areolar del Triedro de Frenet. Se asienta así la teoría necesaria para el desarrollo del Capítulo 2. En este capítulo, dividido en cinco secciones, se trata de dar una visión general de las curvas rectificantes, acompañando el texto de algunas gráficas para hacer la lectura más amena y comprensible. v En la primera sección se demuestran los resultados mencionados anteriormente sobre cuándo una curva tiene su vector posición contenido en su plano osculador o rectificante. Se da un primer teorema donde se muestran propiedades equivalentes a que una curva sea rectificante. Asimismo se obtiene como corolario que si una curva rectificante está parametrizada naturalmente su vector posición tiene la misma dirección que su vector de Darboux. La sección termina probando que una curva cumple τ/k = (s+b)/a si y sólo si es congruente a una curva rectificante (esta es la condición equivalente mencionada antes). En la segunda se caracterizan las curvas rectificantes como aquellas que vienen dadas por α(t) = a sec(t+t0)y(t), donde y(t)es una curva regular parametrizada naturalmente contenida en la esfera unidad y t0yason constantes con a6= 0. Además, se dan dos pruebas distintas de este resultado, que se usa constantemente en las secciones tres y cuatro. La sección cierra con las Figuras 2.3 y 2.4, donde se da un ejemplo de curva rectificante construida mediante la caracterización dada. En la sección tercera se estudia en primer lugar cuándo es el centroide de una curva regular parametrizada naturalmente una curva rectificante, siendo el centroide la curva dada por el vector de Darboux en cada instante. Se definen posteriormente sus cocentroides, que también serán curvas rectificantes en las condiciones del teorema anterior. En la cuarta sección se muestra que todas las curvas con la misma proyección esférica ρsatisfacen k2 g≤v4k2/ρ2, siendo las curvas rectificantes las únicas de entre todas ellas donde se alcanza la igualdad. Como corolario, se establece una caracterización de las curvas con curvatura constante no nula y torsión lineal. En la quinta y última se definen la curva recíproca y la curva dual de una curva dada, presentando un teorema con nuevas condiciones equivalentes a que una curva sea rectificante. Se añade finalmente un anexo donde se encuentra el código que se ha usado para generar las gráficas del capítulo anterior con el programa Maple. vi Capítulo 1 Conceptos Previos Sea una curva α: (a, b)⊆R−→ R3suficientemente diferenciable1yregular, es decir, tal que α0(s)6= 0 para todo s∈(a, b).2Diremos además que αestá parametrizada naturalmente, es decir, que para todo s∈(a, b)cumple |α0(s)|= 1. Abreviando, nos referiremos a una curva con las propiedades anteriores como una c.r.p.n. Debe aclararse que podemos asumir que la curva αestá parametrizada naturalmente porque en caso contrario siempre podría reparametrizarse regularmente mediante su longitud de arco para que su velocidad |α0(s)|sea unitaria. Veamos esto más detenidamente: Definición 1.0.1. Sea una curva regular α: (a, b)−→ R3. Una reparametrización regular de αes una función biyectiva f: (c, d)−→ (a, b) : r7−→ f(r)suficientemente diferenciable y regular, es decir, tal que f0(r)6= 0 en todo punto r∈(c, d). En estas condiciones, la curva β=α◦ftiene el mismo conjunto imagen que αy también es regular, ya que β0(r) = dβ dr =dα dt dt dr =α0(t)df dr 6= 0. Definición 1.0.2. Dada una curva regular α: (a, b)−→ R3, se define su longitud de arco entre t0ytcomo Rt t0|α0(σ)|dσ. 1En este texto bastará suponer que α∈C3. 2Esta condición es necesaria porque evita que las curvas tengan puntos ’angulosos’, donde el vector tangente no estaría bien definido. Por ejemplo, la curva g(t)=(t2, t3)no es regular porque su derivada se anula en t= 0, dejando una forma picuda en la curva. 1 Capítulo 2. Curvas Rectificantes Sin embargo, el caso para el plano rectificante vectorial era desconocido en la literatura clásica y resulta más complicado de abordar e interpretar. Bang-Yen Chen encuentra la solución de este problema en [1], que de hecho se titula "When Does the Position Vector of a Space Curve Always Lie in Its Rectifying Plane?", traducido literalmente como "¿Cuándo está el vector posición de una curva espacial contenido en su plano rectificante?"1. A las curvas que cumplen esta propiedad en todo punto Chen las denominó curvas rectificantes y, de ahora en adelante, nos centraremos en su estudio. Observación 2.1.3. En virtud de la Proposición 1.0.5, una curva rectificante αes una curva tal que el vector nulo está contenido en el plano recificante afin asociado a α(s)para todo s. Observación 2.1.4. Por definición, una curva rectificante es una curva regular α: (a, b)⊆R−→ R3tal que su vector posición α(s)∈ ht(s),b(s)ipara todo s, así que toda curva rectificante es de la forma α(s) = λ(s)t(s) + µ(s)b(s).(2.1) Damos a continuación un primer teorema que nos ayuda a caracterizar las curvas rectificantes: Teorema 2.1.5. Sea α: (a, b)⊆R−→ R3una c.r.p.n con curvatura k>0. Entonces son equivalentes: (i). La curva αes rectificante. (ii). La componente tangencial del vector posición de la curva viene dada por α·t= s+bpara alguna constante b. (iii). La funcion ρ=|α|satisface ρ2=s2+c1s+c2para ciertas constantes c1yc2. (iv). La función ρno es constante mientras que el vector αN(s) = α(s)−(α(s)·t(s))t(s) tiene longitud constante para todo s. (v). La componente binormal del vector posición de la curva, α·b, es constante y la torsión τno es nula. Demostración. El esquema de la prueba es el siguiente: primero se demuestra que (i) implica cualquiera de los demás enunciados y después que cualquiera de éstos implica (i). Comencemos pues asumiendo (i). Entonces α(s) = λ(s)t(s)+µ(s)b(s). Como viene siendo habitual, derivamos y usamos las ecuaciones de Frenet-Serret para obtener que t=λ0t+λt0+µ0b+µb0=λ0t+ (λk−µτ)n+µ0b. Se tienen así las igualdades λ0= 1, λk =µτ, µ0= 0.(2.2) 1Conviene aclarar que con plano rectificante Chen se refiere a lo que nosotros hemos definido como plano rectificante vectorial. 8 Capítulo 2. Curvas Rectificantes De la primera llegamos a que λ(s) = s+bpara una cierta constante b, por lo que ya tenemos (ii). Además, como ρ2=α·α, su derivada (ρ2)0= (α·α)0= 2(α·t) = 2(s+b). Considerando c1=b/2, si integramos (ρ2)0vemos que (ii)y(iii)son equivalentes y tenemos (iii). Con esto ya sabemos que ρno es constante y, por la tercera igualdad de (2.2), que µes constante. Al ser αN(s) = µb(s)(ya que la componente normal de αes nula) llegamos a (iv). Ya hemos visto que la componente binormal µes constante. Además, podemos asumir que µ= 0.2Por la segunda igualdad de (2.2) se verifica τ(s) = (s+b)k(s)/µ, así que se tiene (v). Veamos que partiendo de cualquiera de los otros puntos se tiene que la curva αes rectificante: Supongamos que se tiene (ii). Derivando α·t=s+b, obtenemos t·t+k(α·n)=1. Al ser |t|=1, la igualdad queda como k(α·n) = 0. Dado que asumimos que k(s)>0, esto implica que α·n= 0, que es lo mismo que decir que la curva es rectificante. Asimismo, al ser (ii)equivalente a (iii), también hemos probado que una curva en las condiciones de (iii)es rectificante. Si partimos de (iv), sabemos que la curva puede escribirse como α= (α·t)t+αN, cumpliéndose que |αN(s)|=Cpara todo spor tener longitud constante en todo momento. En consecuencia, teniendo en cuenta que t⊥αN, se cumple α·α= (α·t)2+ 2(α·t)(α·αN) + C2= (α·t)2+C2.(2.3) Derivando la última expresión, queda 2(α·t) = 2(α·t)[(t·t)+(α·kn)], por lo que simplificando se obtiene α·t= (α·t)(1 + k(α·n)).(2.4) Como hemos asumido que la función ρno es constante y ρ2=α·α, (2.3) implica α·t6= 0. Al ser k > 0, se tiene como en el apartado anterior que α·n= 0, luego a curva es rectificante. Por último, si partimos de (v), tenemos que α(s)·b(s) = cte para todo s. Derivando, queda t·b+α·b0= 0. Como t⊥b, por la tercera ecuación de Frenet Serret queda −τ(α·n) = 0. Como τ6= 0 por (iv), queda α·ny la curva es rectificante. 2Las curvas rectificantes con µ= 0 quedan perfectamente clasificadas, quedando sin interés el teorema en este caso. En efecto, en este caso se tendría que la curva αverificaría la ecuación diferencial α(s) = λ(s)α0(s). Por tanto, componente a componente queda la misma ecuación diferencial αi(s) = λ(s)α0 i(s), que es separable y fácil de resolver. Así, α(s) = (c1, c2, c3)exp(Rs adσ/λ(σ)) para ciertas constantes c1,c2yc3. 9 Capítulo 2. Curvas Rectificantes Corolario 2.1.6. El vector posición de una curva rectificante parametrizada naturalmente α=λt+µbtiene en todo momento la misma dirección que el vector de Darboux d=τt+kbde la curva. Demostración. Sabemos que en una curva rectificante parametrizada naturalmente se verifica la segunda igualdad de (2.2), esto es, λk =µτ. Despejando, τ= (λ/µ)k. Por tanto, en una curva rectificante el vector de Darboux es d= (λ/µ)kt+kb= (k/µ)(λt+µb)=(k/µ)α. También como consecuencia del Teorema 2.1.5 puede obtenerse un resultado importante. Antes necesitamos otra definición. Definición 2.1.7. Se dice que dos curvas αyβson congruentes si existe un vector vtal que α(s) = v+β(s)para todo s. Es decir, dos curvas son congruentes si y solo si son la misma salvo traslación. Teorema 2.1.8. Sea α: (a, b)⊆R−→ R3una c.r.p.n con curvatura k>0. Entonces αes congruente a una curva rectificante si y solo si τ/k = (s+b)/a para algunas constantes ayb, con a6= 0 y siendo sel parámetro longitud de arco. Demostración. Si αes congruente a una curva rectificante, α=v+β, donde βes una curva rectificante y vun vector constante. Se sigue verificando (2.2) porque v desaparece al derivar. Por la segunda de estas igualdades, sabemos que τ/k =λ/µ = (s+b)/a, luego ya está. Veamos ahora la implicación recíproca. Sea αuna curva con τ/k = (s+b)/a. Vamos a probar que αes congruente a la curva (s+b)t(s) + ab(s), que obviamente es rectificante. Para ello tenemos que ver que α(s)−(s+b)t(s)−ab(s) = w, o lo que es lo mismo, que [α(s)−(s+b)t(s)−ab(s)]0=0. [α(s)−(s+b)t(s)−ab(s)]0=t(s)−t(s)−(s+b)k(s)n(s) + aτ(s)n(s) = = [aτ(s)−(s+b)k(s)]n(s) = 0, porque hemos supuesto τ/k = (s+b)/a. Observación 2.1.9. Por la Observación 2.1.3, una curva α(s)es congruente a una curva rectificante mediante un vector vsi y solo si vestá contenido en el plano rectificante afin de α(s)para todo s. Teniendo eso en cuenta, el Teorema B de [7] proporciona una prueba alternativa del Teorema 2.1.8. 10 Capítulo 2. Curvas Rectificantes 2.2. Caracterización de Curvas Rectificantes. Damos a en esta sección un teorema que caracteriza a las curvas rectificantes. Este será el resultado más importante del texto, pues nos permitirá encontrar ejemplos de las mismas. Teorema 2.2.1. Caracterización de las curvas rectificantes. Sea α: (a, b)⊆R−→ R3una curva con curvatura k > 0. Entonces, αes una curva rectificante si y solo si viene dada (salvo reparametrización) por α(t) = a sec(t)y(t),(2.5) donde aes constante, a6= 0, e y(t)es una c.r.p.n. contenida en la esfera unidad S2. Demostración. Supongamos que αviene dada por α(t) = a sec(t)y(t). Tenemos entonces α0(t) = a sec(t)[tan(t)y(t) + y0(t)].(2.6) pues sec(x) = 1 cos(x)y por tanto d dxsec(x) = sen(x) cos2(x)=sec(x)tan(x). Al ser yuna c.r.p.n. contenida en S2, está claro que y(t)es ortonormal a y0(t) para cada t. Así pues, por (2.6) se tiene |α0(t)|=qa2sec2(t)[tan2(t) + 1] = qa2sec4(t) = a sec2(t).(2.7) Llamando ρ(t) = |α(t)|y recordando que tan2(x) = sec2(x)−1, de los resultados anteriores puede deducirse3 αN·αN=ρ2(t)−(α(t)·α0(t))2 |α0(t)|2=a2sec2(t)−a4sec4(t)tan2(t) a2sec4(t)= =a2[sec2(t)−tan2(t)] = a2, lo que significa que el vector αNtiene longitud constante en todo momento. Por el Teorema 2.1.5 esto último implica que la curva es rectificante. Falta ver el recíproco. Sea α: (a, b)⊆R−→ R3una curva rectificante con curvatura k > 0. Sin perdida de generalidad, supondremos que αestá parametrizada naturalmente y que 0∈(a, b). Por el Teorema 2.1.5, la función ρ(s) = |α(s)|satisface ρ2(s) = s2+c1s+c2. Como hemos supuesto que 0∈(a, b), necesariamente c2≥0. Reparametrizando la función con s=r+r0, 3Es conveniente tener en cuenta que en la primera igualdad no aparecen más terminos porque la base de Frenet es ortogonal y el vector tangente de αviene dado por α0(t)/|α0| 11 Capítulo 2. Curvas Rectificantes ρ2(s) = s2+c1s+c2=r2+ 2rr0+r2 0+c1s+c2= r2+ 2sr0−2r2 0+r2 0+c1s+c2=r2+ (2r0+c1)r+ (r2 0+c2), luego tomando c=r2 0+c2=a2yr0=−c1 2, escribimos ρ2(r) = r2+a2.(2.8) Ahora definimos la curva y=α/ρ, que por construcción está contenida en S2. Por tanto, tenemos αestá dada por α(r) = √r2+a2y(r).(2.9) Derivando, llegamos a α0(r) = r √r2+a2y(r) + √r2+a2y0(r).(2.10) Por estar ycontenida en S2, se tiene y·y= 1, luego al derivar el producto escalar obtenemos que y0(r)es perpendicular a y(r)para todo r. Por otro lado, α0(r)·α0(r)=1 ya que res un parámetro natural de α. Además, al ser ρ2(r) = α(r)·α(r) = r2+a2, derivando llegamos a que α(r)·α0(r) = r. Como y0(r) = α0(r)√r2+a2−α(r)r √r2+a2 r2+a2,(2.11) por los resultados del párrafo anterior llegamos a que v2=y0(r)·y0(r) = 1 (r2+a2)2"r2+a2+(r2+a2)r2 r2+a2−2r2#=a2 (r2+a2)2.(2.12) Tenemos que v=a/(r2+a2). Sea ahora t=Zr 0 adu u2+a2=arctg r a.(2.13) Tenemos r=a tan(t). Por construcción, tes el parámetro natural de y. Sustituyendo la expresión anterior en (2.9)4, llegamos a la expresión (2.5) sin más que tener en cuenta que √r2+a2=qa2tan2(t) + a2=qa2(tan2(t) + 1) = qa2sec2(t) = a sec(t). 4Aquí denotamos la curva y(r) = y(a tan(t)) directamente como y(t). 12 Capítulo 2. Curvas Rectificantes Dada la importancia del teorema, a continuación se presenta otra prueba del mismo, esta vez enunciado tal y como aparece en [3]. En esta prueba alternativa se usan la curvatura normal y geodésica de la curva y(t)en S2para llegar a una ecuación diferencial que será necesario resolver para obtener la fórmula que caracteriza a las curvas rectificantes. Teorema 2.2.2. Caracterización de las curvas rectificantes Sea α: (a, b)⊆R−→ R3una curva con curvatura k > 0. Entonces, αes una curva rectificante si y solo si viene dada por α(t) = a sec(t+t0)y(t),(2.14) donde ayt0son constantes, a6= 0, e y(t)es una c.r.p.n. contenida en la esfera unidad S2. Demostración. Sea una c.r.p.n. y=y(t)en S2y una función positiva ρ. Definimos la curva α=ρy. Se va a probar que αes una curva rectificante si y solo si ρ(t) = a sec(t+t0)para ciertas constantes ayt0con a6= 0. Tenemos que α0=ρ0y+ρy0, lo que implica que el campo de vectores tangentes unitarios asociado a αviene dado por t=ρ0 vy+ρ vy0, v =qρ2+ρ02. Aplicando la regla de la cadena y la primera ecuación de Frenet-Serret, sabemos si s es el parámetro natural de αque t0=dt dt =dt ds ds dt =k(t)n(t)ds dt =k(t)n(t)|α0(t)|.(2.15) Así, el campo vectorial normal de αes paralelo a t0= ρ0 v!0 y+ 2ρ0 v−ρρρ0+ρ0ρ00 v3!y0+ρ vy00.(2.16) Por otro lado, como y∈S2, tenemos por el resultado (1.4) que y00 =knN+kgS. Como N(t)es el vector perpendicular al punto de la superficie en la que se encuentra y en el instante t, se tiene que N=yporque la superficie con la que estamos trabajando es la esfera unidad. Por la misma razón y·y= 1 y si derivamos dos veces obtenemos que y00 ·y=−y0·y0=−1por ser yuna c.r.p.n.. Como kn=y00 ·N=y00 ·y,kn=−1. Tenemos además por ser N=yque S=y×y0, con lo que el resultado (1.4) en nuestro caso se escribe y00 =−y+kg(y×y0).(2.17) 13 Capítulo 2. Curvas Rectificantes Sustituyendo (2.15) y (2.17) en (2.16) y recordando que α/ρ =y: k|α0|n= ρ0 v!0 −ρ v!y+ 2ρ0 v−ρρρ0+ρ0ρ00 v3!y0+kg v(α×y0).(2.18) Por estar y∈S2, se tiene y·y0= 0. Como α=ρy,α·y0= 0. Está claro también que α·(α×y0)=0. Así pues, multiplicando escalarmente (2.18) por αqueda k|α0|(n·α) = ρ0 v!0 −ρ v!(y·α).(2.19) Sabemos que αserá rectificante si y solo si n·α= 0. En consecuencia, tenemos que αserá una curva rectificante si y solo si la función ρverifica la ecuación diferencial ρ0 v!0 =ρ v.(2.20) Teniendo en cuenta que v0=ρ0(ρ00 +ρ) √ρ2+ρ02, está claro que ρ0 v!0 =ρ00v−ρv0 v2= ρ00√ρ2+ρ02−ρ02(ρ00 +ρ) √ρ2+ρ02 ρ2+ρ02=ρ00 √ρ2+ρ02−ρ02(ρ00 +ρ) (ρ2+ρ02)3/2= =ρ00ρ2+ρ00ρ02−ρ02ρ00 −ρ02ρ (ρ2+ρ02)3/2=ρ00ρ2−ρ02ρ (ρ2+ρ02)3/2, luego la ecuación diferencial quedaría como ρ00ρ2−ρ02ρ (ρ2+ρ02)3/2=ρ √ρ2+ρ02. Vamos a tratar de simplificar la ecuación. Multiplicando el lado derecho de la igualdad por ρ2+ρ02 ρ2+ρ02, obtenemos ρ00ρ2−ρ02ρ (ρ2+ρ02)3/2=ρ(ρ2+ρ02) (ρ2+ρ02)3/2. Cancelando los denominadores y multiplicando la igualdad por 1/ρ, obtenemos la ecuación ρ00ρ−2ρ02−ρ2= 0.(2.21) 14 Capítulo 2. Curvas Rectificantes Ahora sólo falta probar que las soluciones de la ecuación diferencial anterior vienen dadas por funciones de la forma a sec(t+t0), siendo a6= 0 yt0constantes. La resolución será algo tediosa: transformaremos la ecuación en una ecuación de Bernoulli, haremos un cambio de variables para transformarla en una ecuación diferencial ordinaria lineal y finalmente resolveremos ésta última calculando primero la solución de la ecuación lineal homogénea asociada y después usando el método de variación de constantes. Sea w=w(ρ) = ρ0. Usando la regla de la cadena, ρ00 =dw(ρ) dt =dw(ρ) dρ dρ dt =dw(ρ) dρ ρ0=dw dρ w. Expresamos ahora la ecuación (2.21) en términos de w(ρ): dw(ρ) dρ w(ρ)ρ−2w(ρ)2−ρ2= 0.(2.22) Dividimos la igualdad por w(ρ)ρ(que no es 0puesto que ni ρni su derivada son nulas, ya que ρno tiene un valor constante), quedando dw(ρ) dρ −2w(ρ) ρ−ρ w(ρ)= 0,(2.23) que es una ecuación de Bernoulli para α0=−1. En consecuencia, hacemos un cambio de variables con z=z(ρ) = w1−α0=w2, cuya derivada es z0=z0(ρ)=2ww0.5 Expresando (2.22) en términos de zyz0, queda 1 2z0ρ−2z−ρ2= 0, que es equivalente a la ecuación diferencial ordinaria lineal z0−4z ρ−2ρ= 0.(2.24) Su ecuación lineal homogénea asociada es H0:z0−4z/ρ = 0, que es fácilmente resoluble al ser separable: z0 z=dz dρ 1 z=4 ρ⇒Zdz z=Z4dρ ρ⇒ln(z) = 4 ln(ρ) + C. Por tanto, la solución de H0será z0(ρ) = Cρ4. Aplicando el método de variación de constantes, se sigue que la solución de (2.24) tendrá la forma z=C(ρ)ρ4, siendo C(ρ) 5Para simplificar, vamos a denotar con un apóstrofe las derivadas con respecto a ρde las funciones w(ρ)yz(ρ). 15 Capítulo 2. Curvas Rectificantes una función a encontrar. Sustituyendo zy su derivada z0=C0(ρ)ρ4+ 4C(ρ)ρ3en la ecuación (2.24) queda C0(ρ)ρ4+ 4C(ρ)ρ3−4C(ρ)ρ4 ρ−2ρ=C0(ρ)ρ4−2ρ= 0. C(ρ)verificará entonces C0(ρ)=2ρ−3, luego integrando C(ρ) = 2ρ−2 −2+c1=−1 ρ2+c1. Queda entonces que z= (c1−ρ−2)ρ4=ρ2(c1ρ2−1). Deshaciendo el cambio de variables z=w2, llegamos a que w=±ρ√c1ρ2−1. Como teníamos que w=ρ0, podemos integrar para obtener una expresión implícita de ρ: ρ0=dρ(t) dt =±ρqc1ρ2−1⇒Zdρ ρ√c1ρ2−1=±Zdt. Usaremos un cambio de variables para resolver la integral de la izquierda: u=qc1ρ2−1, du =c1ρ √c1ρ2−1dρ. Como u2+ 1 = c1ρ2, es fácil ver que Zdρ ρ√c1ρ2−1=Z1 u2+ 1du =arctg(u) + c2=arctg(qc1ρ2−1) + c2. Hemos llegado por tanto a la siguiente ecuación implícita: arctg(qc1ρ(t)2−1) = ±t+c2.(2.25) Vamos a encontrar ahora una expresión explícita de ρ(t). Aplicamos la función tangente a ambos lados de la igualdad y después elevamos al cuadrado: qc1ρ(t)2−1 = tan(±t+c2), c1ρ(t)2−1 = tan2(±t+c2) = sec2(±t+c2)−1. Despejando ρ(t), obtenemos que las funciones ρ(t) = 1 √c1 sec(±t+c2),(2.26) son las soluciones que estábamos buscando. Sin más que renombrar a= 1/√c1y teniendo en cuenta que la función secante es par, reescribimos las soluciones como ρ(t) = a sec(t+t0). En conclusión, la curva αes rectificante si y solo si α(t) = ρ(t)y(t) = a sec(t+t0)y(t), con lo que ya hemos probado el teorema. 16 Capítulo 2. Curvas Rectificantes Figura 2.3: Representamos la c.r.p.n. y: (−π/2, π/2) 7−→ S2que a cada tle asigna (√2 2cos(2t √2),√2 2sen(2t √2),√2 2)y la curva rectificante α(t) = sec(t)y(t), esta última representada solo para t∈(−2π 5,2π 5). Figura 2.4: Representamos la curva αde la figura anterior, con el vector α(1/2) contenido en el plano rectificante de αpara t= 1/2. 17 Capítulo 2. Curvas Rectificantes Sabemos por la demostración del Teorema 2.2.2 que las soluciones de esta ecuación son las funciones ρ(t) = a sec(t+t0). Por este mismo teorema, α=ρyserá una curva rectificante si y solo si nes paralelo a y×y0. Además, si estos dos vectores son paralelos, por ser |y|=|y0|= 1,y×y0=±n. En consecuencia, las únicas curvas con las que se alcanza la igualdad en (2.31) son las curvas rectificantes. Ejemplo 2.4.2. Sea y: (−π/2, π/2) −→ R3:t7−→ (cos(t), sen(t),0). Evidentemente, yestá contenida en S2. Además, y0= (−sen(t), cos(t),0) = typorque está parametrizada naturalmente y, si expresamos y00 =knN+kgS, es evidente que y=Ny que y00 =−y, por lo que kn= 1 ykg= 010 y la desigualdad (2.31) queda como 0≤v4k2/ρ2para todas las curvas sobre y. Si tomamos la curva rectificante α(t) = sec(t)y(t) = (tan(t),1,0), su primera derivada es α0(t) = (sec2(t),0,0), así que v=sec2(t). Como sabemos que se tiene que alcanzar la igualdad en (2.31), k tendrá que ser idénticamente nula, pero esto es trivial al ser αuna recta. Figura 2.6: Están representadas la curva ysobre la esfera y la curva α, esta última para t∈ (−π/4, π/4). 10De hecho, toda circunferencia maximal en una esfera tiene curvatura geodésica nula. 24 Capítulo 2. Curvas Rectificantes Corolario 2.4.3. Una curva regular αen R3tiene curvatura constante distinta de cero y torsión lineal en términos de la longitud de arco ssi y solo si αes congruente con una curva rectificante sobre una c.r.p.n. yen S2con curvatura geodésica kg=csec3(t) para alguna constante cdistinta de cero. Demostración. Sea αuna c.r.p.n. con curvatura constante distinta de cero y torsión lineal en términos del parámetro natural s. Bajo estas condiciones, por el Teorema 2.1.8 sabemos que αes congruente a una curva rectificante. Por tanto, si le aplicamos una traslación a la curva αy también hacemos una traslación en su parametro t, queda -abusando de la notaciónα(t) = a sec(t)y(t)para alguna c.r.p.n. yen S2 por el Teorema de Caracterización de las Curvas Rectificantes 2.2.2. Sabemos que ρ(t) = a sec(t). Como α0(t) = a tan(t)sec(t)y+a sec(t)y0, v2=|α0(t)|2=a2tan2(t)sec2(t) + a2sec2(t) = a2sec2(t)tan2(t)+1=a2sec4(t), y por tanto v4/ρ2=a2sec6(t). Como αes rectificante, aplicando el Teorema (2.4.1.), k2 g=a2k2sec6(t), por lo que kg=c sec3(t)con c=ak o bien c=−ak. Recíprocamente, si αes una curva rectificante sobre una c.r.p.n. yen S2, entonces α(t) = a sec(t+t0)y(t)para alguna constante adistinta de cero. Con el mismo argumento que en la implicación anterior, se tiene v4/ρ2=a2sec6(t+t0). Partimos además de que la curvatura geodésica de yes kg=c sec3(t)con c6= 0. Como αes una curva rectificante, el Teorema 2.4.1 implica que kg=v4k2/ρ2. Igualando las dos expresiones de la curvatura geodésica de y, tenemos que k2=c2/a2. Esto implica por el Teorema 2.1.8 que la torsion de αes lineal en términos de la longitud de arco s. 2.5. Otras propiedades de las curvas rectificantes. Terminamos el capítulo con una proposición que establece varias condiciones que equivalen a que una curva sea rectificante. Hacen falta antes algunas definiciones. Definiciones 2.5.1. Dada una curva yen S2y una función positiva ρ, a la curva ˆα=y/ρ se denomina curva recíproca de α=ρy. Dada una curva γ, definimos γ∗=γ×tγcomo la curva dual de γ. Recordamos además que la indicatriz esférica de αno es más que la curva contenida en la esfera unidad definida por su campo vectorial tangente. También se le llama aplicación de Gauss, razón por la cual en el teorema se le denota como G. 25 Capítulo 2. Curvas Rectificantes Figura 2.7: La curva rectificante de la Figura 2.3, con su proyección esférica y su curva recíproca. Proposición 2.5.2. Sea y=y(t)una c.r.p.n. contenida en S2yρ=ρ(t)una función positiva no constante. Entonces, son equivalentes: (a). La curva α=ρyes rectificante. (b). La curva ˆαtiene velocidad constante. (c). La curva α∗es esférica, esto es, |α∗|es una constante no nula. (d). El campo vectorial normal de α,n, es paralelo al campo vectorial y×y0. (e). La velocidad vde αes proporcional a ρ2. (f). La curva y×y0es tangente a la indicatriz esférica de α. (g). La velocidad vde αy la velocidad vGde la indicatriz esférica de αsatisfacen vvG=ρkg. (h). La indicatriz esférica de αviene dada por G(t) = sen(t+t0)y)(t)+cos(t+t0)y0(t) para alguna constante t0. Demostración. Sea yuna c.r.p.n. en S2yρuna función positiva. Como la recíproca de α=ρyes ˆα=y/ρ, el vector velocidad de ˆαsatisface ˆα0=−ρ0 ρ2y+1 ρy0. Por tanto, ˆαtiene velocidad constante si y solo si ρsatisface ρ0 ρ!+1 ρ2=1 a2(2.37) 26 Capítulo 2. Curvas Rectificantes para alguna constante a6= 0. Como las soluciones de esta ecuación vienen dadas por ρ(t) = ±a sec(t+b)con bconstante, el Teorema de Caracterización de las Curvas Rectificantes 2.2.2 implica que (a)y(b)son equivalentes. La equivalencia de (a)y(d)ya se ha probado en la demostración del Teorema 2.4.1. Como α∗=α×t=ρy×(ρ0y+ρy0)1 √ρ02+ρ2=ρ2 √ρ02+ρ2(y×y0), se tiene que |α∗|=ρ2/v, que será igual a una constante no nula si y solo si ρ2yvson proporcionales. Por tanto (c)y(e)son equivalentes. Por otro lado v=√ρ2+ρ02será proporcional a ρ2si y solo si ρsatisface la ecuación ρ2=a√ρ2+ρ02para alguna constante a6= 0, Como esta ecuación es equivalente a la ecuación (2.37), ρ(t) = a sec(t+b)para alguna constante b. Por el Teorema de Caracterización de Curvas Rectificantes, (a)es equivalente a (e). Ya que G=t, tenemos por la regla de la cadena y las ecuaciones de Frenet-Serret que G0=vkn. Así, (d)y(f)son equivalentes. Además, vG=vk. En consecuencia, vvG=kgρsi y solo si v2k=kgρ. Por el Teorema 2.4.1, (a)y(g)son equivalentes. Como G=t, G0=ρ0 vy+ρ vy0,(2.38) lo que significa que se tiene (h)si y solo si ρsatisface el siguiente sistema: ρ=qρ2+ρ02cos(t+t0), ρ0=qρ2+ρ02sen(t+t0).(2.39) Es fácil verificar que las soluciones no triviales de este sistema están dadas por ρ(t) = a sec(t+t0)con a6= 0 yt0constantes. Consecuentemente, los enunciados (a)y(h) son equivalentes. 27 Anexo: Códigos de Maple Las siguientes líneas son necesarias para todas las figuras: restart: with(plots): with(linalg): Figura 2.1 x1 := t -> cos(t); y1 := t -> 1-(1-sin(t))^2; al := [x1(t), y1(t), 0]; alt := diff(al, t); alt2 := diff(alt, t); alt3 := diff(alt2, t); noralt := simplify(sqrt(alt[1]^2+alt[2]^2+alt[3]^2)); tg := evalm(alt/noralt); b1 := simplify(crossprod(alt, alt2)); norb1 := simplify(sqrt(b1[1]^2+b1[2]^2+b1[3]^2)); b := evalm(b1/norb1); n := simplify(crossprod(b, tg)); t0 := 1/2; al0 := evalf(simplify(subs(t = t0, al(t)))); p1t0 := simplify(det([[x1-x(t0), y1-y(t0), z1-z(t0)], evalf(simplify(subs(t = t0, alt(t)))), evalf(simplify(subs(t = t0, alt2(t))))])); A := implicitplot3d(p1t0, x1 = -2 .. 2, y1 = -3 .. 1, z1 = -1 .. 1, color = grey, scaling = constrained); vect := arrow(eval(al, t = 1/2), shape = arrow, color = blue); curva:=spacecurve(al(t),t=-Pi..Pi,thickness=3,color=red); origen := pointplot3d({[0, 0, 0]}, color = black, symbol = cross,axes=none); display([A,curva,vect,origen]); Figura 2.2 Para la primera imagen: x1:=t->sqrt(1-t^2)*cos(5*Pi*t); y1:=t->sqrt(1-t^2)*sin(5*Pi*t); 28 Capítulo 2. Curvas Rectificantes z1:=t->t; al:=[x1(t),y1(t),z1(t)]; A:=spacecurve(al(t),t=-1..1,thickness=3,color=black,numpoints=400,axes=none); B := plot3d([cos(y)*sin(x), sin(y)*sin(x), cos(x)], x = 0 .. Pi, y = 0 .. 2*Pi, style = line,axes=none); origen := pointplot3d({[0, 0, 0]}, color = black, symbol = cross,axes=none); display([A, B]); Para la segunda, usando el código anterior: B := plot3d([cos(y)*sin(x), sin(y)*sin(x), cos(x)], x = 0 .. Pi, y = 0 .. 2*Pi, style = surface,axes=none,transparency=0.95); alt:=diff(al,t); p2t0:=simplify(dotprod(evalf(simplify(subs(t=t0,alt(t)))), [x-x1(t0),y-y1(t0),z-z1(t0)],’orthogonal’)); planormal:=implicitplot3d( p2t0,x=-2..2,y=-1.5..2,z=-1.3..1.3, color=blue,scaling=constrained,style=surface,color="LightGoldenrodYellow", axes=none): vect := arrow(eval(0+al, t = 1/2), shape = arrow, color = red,axes=none); origen := pointplot3d({[0, 0, 0]}, color = black, symbol = cross,axes=none); display([planormal,A,B,vect,origen]); Figura 2.3 B := plot3d([cos(y)*sin(x), sin(y)*sin(x), cos(x)], x = 0 .. Pi, y = 0 .. 2*Pi, style = patch,axes=none); bfy := spacecurve([(1/2)*sqrt(2)*cos(2*x/sqrt(2)), (1/2)*sqrt(2), (1/2)*sqrt(2)*sin(2*x/sqrt(2))], x = -(1/2)*Pi .. (1/2)*Pi, color = black,axes=none); cr := spacecurve([(1/2)*sqrt(2)*cos(2*x/sqrt(2))/cos(x), sqrt(2)/(2*cos(x)), (1/2)*sqrt(2)*sin(2*x/sqrt(2))/cos(x)], x = -Pi/(2.5) .. Pi/(2.5), color = black, scaling = constrained); display([B, cr, bfy]); Figura 2.4 x1 := t -> (1/2)*sqrt(2)*cos(2*t/sqrt(2))/cos(t); y1 := t -> (1/2)*sqrt(2)/cos(t); z1 := t -> (1/2)*sqrt(2)*sin(2*t/sqrt(2))/cos(t); al := [x1(t), y1(t), z1(t)]; alt := diff(al, t); alt2 := diff(alt, t); alt3 := diff(alt2, t); noralt:=simplify(sqrt(alt[1]^2+alt[2]^2+alt[3]^2)); tg:=evalm(alt/noralt); b1:=simplify(crossprod(alt,alt2)); norb1:=simplify(sqrt(b1[1]^2+b1[2]^2+b1[3]^2)); b:=evalm(b1/norb1); n:=simplify(crossprod(b,tg)); t0:=1/2; al0:=evalf(simplify(subs(t=t0,al(t)))); 29 Capítulo 2. Curvas Rectificantes p3t0:=simplify(dotprod(evalf(simplify(subs(t=t0,n(t)))), [x-x1(t0),y-y1(t0),z-z1(t0)],’orthogonal’)); G:=implicitplot3d( p3t0,x=-3..3,y=-1..1,z=-1..1,style=surface, scaling=constrained,axes=none): vect := arrow(eval(al, t = 1/2), shape = arrow, color = red,axes=none); origen := pointplot3d({[0, 0, 0]}, color = black, symbol = cross,axes=none); display([G,cr,vect,origen]); Figura 2.5 B := plot3d([cos(y)*sin(x), sin(y)*sin(x), cos(x)], x = 0 .. Pi, y = 0 .. 2*Pi, style = surface, transparency = .7, axes = none); bfy := spacecurve([(1/2)*sqrt(2)*cos(2*x/sqrt(2)), (1/2)*sqrt(2), (1/2)*sqrt(2)*sin(2*x/sqrt(2))], x = -(1/2)*Pi .. (1/2)*Pi, color = black,axes=none); cr := spacecurve([(1/2)*sqrt(2)*cos(2*x/sqrt(2))/cos(x), sqrt(2)/(2*cos(x)), (1/2)*sqrt(2)*sin(2*x/sqrt(2))/cos(x)],x = -Pi/(2.5) .. Pi/(2.5), color = green, scaling = constrained,axes=none); Para esta parte hace falta haber cargado previamente el código de la Figura 2.4: k := norb1/noralt^3 tau := det([alt, alt2, alt3])/norb1^2; centroide := spacecurve(b*k+tau*tg, t = -(1/2)*Pi .. (1/2)*Pi, axes=none); cocentroide1 := spacecurve(Vector[row](3, {(1) = (1/2)*sqrt(2)*cos(2*t/sqrt(2))/cos(t)+cos(t)^3*(-(1/2)*cos(t)*sqrt(2)*cos(t*sqrt(2)) +2*sin(t*sqrt(2))*sin(t))-cos(t)^4*sin(t)*(sin(t*sqrt(2))^2+ cos(t*sqrt(2))^2)*(-sin(t*sqrt(2))/cos(t)+(1/2)*sqrt(2)*cos(t*sqrt(2))*sin(t)/cos(t)^2), (2) = (1/2)*sqrt(2)/cos(t)-(1/2)*cos(t)^4*sqrt(2) -(1/2)*cos(t)^2*sin(t)^2*(sin(t*sqrt(2))^2+cos(t*sqrt(2))^2)*sqrt(2), (3) = (1/2)*sqrt(2)*sin(2*t/sqrt(2))/cos(t)+cos(t)^3*( -(1/2)*sin(t*sqrt(2))*cos(t)*sqrt(2) -2*cos(t*sqrt(2))*sin(t))- cos(t)^4*sin(t)*(sin(t*sqrt(2))^2+cos(t*sqrt(2))^2)*(cos(t*sqrt(2))/cos(t)+ (1/2)*sqrt(2)*sin(t*sqrt(2))*sin(t)/cos(t)^2)}), t = -Pi/(2.5) .. Pi/(2.5), color = red, scaling = constrained,axes=none); cocentroide2 := spacecurve(Vector[row](3, {(1) = -(1/2)*sqrt(2)*cos(2*t/sqrt(2))/cos(t)+cos(t)^3*(-(1/2)*cos(t)*sqrt(2)*cos(t*sqrt(2)) +2*sin(t*sqrt(2))*sin(t))-cos(t)^4*sin(t)*(sin(t*sqrt(2))^2+ cos(t*sqrt(2))^2)*(-sin(t*sqrt(2))/cos(t)+(1/2)*sqrt(2)*cos(t*sqrt(2))*sin(t)/cos(t)^2), (2) = -(1/2)*sqrt(2)/cos(t)-(1/2)*cos(t)^4*sqrt(2) -(1/2)*cos(t)^2*sin(t)^2*(sin(t*sqrt(2))^2+cos(t*sqrt(2))^2)*sqrt(2), (3) = -(1/2)*sqrt(2)*sin(2*t/sqrt(2))/cos(t)+cos(t)^3*( -(1/2)*sin(t*sqrt(2))*cos(t)*sqrt(2)-2*cos(t*sqrt(2))*sin(t))- cos(t)^4*sin(t)*(sin(t*sqrt(2))^2+cos(t*sqrt(2))^2)*(cos(t*sqrt(2))/cos(t)+ (1/2)*sqrt(2)*sin(t*sqrt(2))*sin(t)/cos(t)^2)}), t = -Pi/(2.5) .. Pi/(2.5), color = blue, scaling = constrained,axes=none); display([B,bfy,cr,centroide,cocentroide1,cocentroide2]); Figura 2.6 A := spacecurve([cos(x), sin(x), 0], x = -(1/2)*Pi .. (1/2)*Pi, color = black); C := spacecurve([1, tan(x), 0], x = -(1/4)*Pi .. (1/4)*Pi, color = red); 30 Capítulo 2. Curvas Rectificantes B := plot3d([cos(y)*sin(x), sin(y)*sin(x), cos(x)], x = 0 .. Pi, y = 0 .. 2*Pi, style = patch); display([A,B,C]); Figura 2.7 B := plot3d([cos(y)*sin(x), sin(y)*sin(x), cos(x)], x = 0 .. Pi, y = 0 .. 2*Pi, style = line,axes=none); bfy := spacecurve([(1/2)*sqrt(2)*cos(2*x/sqrt(2)), (1/2)*sqrt(2), (1/2)*sqrt(2)*sin(2*x/sqrt(2))], x = -(1/2)*Pi .. (1/2)*Pi, color = black,axes=none); cr := spacecurve([(1/2)*sqrt(2)*cos(2*x/sqrt(2))/cos(x), sqrt(2)/(2*cos(x)), (1/2)*sqrt(2)*sin(2*x/sqrt(2))/cos(x)],x = -Pi/(2.5) .. Pi/(2.5), color = black, scaling = constrained,axes=none); crr := spacecurve([(1/2)*sqrt(2)*cos(2*x/sqrt(2))*cos(x), (1/2)*sqrt(2)*cos(x), (1/2)*sqrt(2)*sin(2*x/sqrt(2))*cos(x)], x = -(1/2)*Pi .. (1/2)*Pi, color = black, axes=none); display([B,bfy,cr,crr]); 31 Bibliografía [1] Chen BY, When does the position vector of a space curve always lie in itrs rectifying plane?, Amer. Math. Monthly 110 (2003), 145-152. 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