Geometría mudéjar en el Patio de las Doncellas, Real Alcazar de Sevilla

Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 1 María Gutiérrez Estudillo PROYECTO FIN DE GRADO GEOMETRÍA MUDÉJAR EN EL PATIO DE LAS DONCELLAS Autora: María Gutiérrez Estudillo Tutores: Dra. María José Chávez de Diego Dr. Raúl Falcón Ganfornina Junio 2017 Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 2 María Gutiérrez Estudillo GEOMETRÍA MUDÉJAR EN EL PATIO DE LAS DONCELLAS. Proyecto de Fin de Grado presentado por María Gutiérrez Estudillo, siendo los tutores del mismo la Doctora María José Chávez de Diego y el Doctor D. Raúl Manuel Falcón Ganfornina. Vº. Bº. de los Tutores: Dra. Dª. María José Chávez de Diego Dr. D. Raúl Manuel Falcón Ganfornina. Alumna: Dª. María Gutiérrez Estudillo. Sevilla, Junio 2017 Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 3 María Gutiérrez Estudillo Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 4 María Gutiérrez Estudillo Índice General AGRADECIMIENTOS 6 TRIBUNAL 7 SUPLENTES 7 RESUMEN 8 ABSTRACT 9 I. INTRODUCCIÓN 10 II. ESTADO DE LA CUESTION O ESTADO DEL ARTE 12 A. CONTEXTO HISTORICO: 12 B. PATRONES DECORATIVOS (LABOR DE LAZO) 16 III. MATERIALES DE LA DECORACIÓN DEL PATIO DE LAS DONCELLAS 24 A. LA CERÁMICA: ALICATADOS 24 B. LA YESERIA 26 C. LA MADERA 27 IV. JUSTIFICACIÓN Y OBJETIVO 29 A. JUSTIFICACIÓN 29 B. OBJETIVOS 29 C. COMPETENCIAS 30 V. METODOLOGÍA Y ESTUDIO DE CASOS 31 A. TEORÍA DE LA SIMETRIA 33 B. LAS ISOMETRÍAS DEL PLANO 34 C. TECNICAS COMPUTACIONALES: GEOGEBRA 85 CONCLUSIONES Y PROSPECTIVA 135 INDICE DE ILUSTRACIONES 136 ÍNDICE DE PLANOS 141 INDICE DE FOTOS 141 Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 5 María Gutiérrez Estudillo REFERENCIAS 142 CITADA 142 CONSULTADA 143 Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 6 María Gutiérrez Estudillo Agradecimientos A mi tutora: Doctora María José Chávez, por confiar en mí y por ser tan paciente. A mi familia por ayudarme a conseguir este gran objetivo en mi vida. Al Doctor. Raúl Falcón por sus enseñanzas con el programa GeoGebra. A Pilar López por su ayuda en campo y por motivarme durante todo este tiempo. Al Doctor Miguel Ángel Tabales por ayudarme a conocer un poco más el Real Alcázar desde otro punto de vista. A Esther Pineda por su ayudarme en el trabajo de campo. A Nacho García por su ayuda con el inglés. A Isabel Rodríguez por dejar la entrada al Real Alcázar para la investigación en campo y Manuel Hurtado por coordinarlo. Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 7 María Gutiérrez Estudillo Tribunal Juan Carlos Pérez Pedraza Humberto Ortega López Ana Márquez de la Plata Cuevas Suplentes Pedro Barreo Ortega Fernando Rico Delgado Rafael Llacer Pantion Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 8 María Gutiérrez Estudillo Resumen Desde hace varios siglos, Sevilla se caracteriza por sus patios llenos de zócalos de cerámica, lo que caracteriza su estética y arquitectura popular. Muchos de esos revestimientos tienen un diseño análogo a los paños de alicatados del Real Alcázar de Sevilla, en los que se observa la repetición armoniosa de un motivo mediante “traslaciones, rotaciones, reflexiones y deslizamientos”. Este trabajo se centra en el estudio de la ornamentación del Patio de las Doncellas situado en el Palacio mudéjar de Pedro I dentro del Real Alcázar de Sevilla, mediante el análisis de las estructuras geométricas que presenta. Este análisis requiere conocer la estructura y la clasificación de los Grupos de Simetría de una parte del plano: rosetones, frisos y mosaicos. La teoría matemática de la Simetría nos permite clasifica los paños decorativos, así como restaurarlos aunque se encuentre muy dañados, pues basta con tener una Región Mínima. En este trabajo se ha catalogado según los Grupos de Simetría la decoración mudéjar de la cerámica, madera y yeserías del Patio de las Doncellas. Algunos de ellos se han reproducido a través del programa GeoGebra. Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 9 María Gutiérrez Estudillo Abstract For several centuries, one of the main esthetics and popular architecture characteristics of Seville's building are their courtyards that are full of ceramic sockets. Many of these coatings have a design analogous to the tiling cloths of the Real Alcázar of Seville, in which the harmonious repetition of a motive is observed through "translations, rotations, reflections and slides". This study analyses the geometric structures of the ornamentation of the "Doncellas" courtyard located in the Mudéjar Palace of Pedro I inside the Real Alcázar of Seville. This analysis requires knowing the structure and classification of the symmetry groups of a part of the plane: rosettes, friezes and mosaics. The mathematical theory of the Symmetry allows us to classify the decorative cloths, as well as to restore them even if they are very damaged, as it is sufficient to have a Minimum Region of it. As a result, the Mudejar decoration of the ceramics, wood and plasterwork of the "Doncellas" Courtyard has been cataloged according to the symmetry groups. Some of them have been reproduced using the GeoGebra software. Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 16 María Gutiérrez Estudillo B. PATRONES DECORATIVOS (LABOR DE LAZO) Según Carpintería de lo Blanco (Albendea Ruz, 2011) en el arte islámico no se copia a la naturaleza totalmente, ya que se piensa que es un acto de infidelidad a su Dios. Los patrones decorativos se obtienen repitiendo elementos simples, en mucha ocasiones superpuestos o entrelazados. Estos patrones sometidos al orden de la geometría y Simetría provocan un efecto dinámico y armonioso. Existe mucho equilibrio entre los motivos y muchas reiteraciones. Cada pieza se debe al conjunto y este se genera por repetición modular. La geometría es más intelectual que emocional por su base matemática. Se utiliza aplicándola a un patrón que permite crear otros motivos por medio de repetición simétrica, multiplicación o subdivisión. Por eso, más importante que la propia lacería de estrellas, son las ruedas que engendran el desarrollo de éstas. Las estrellas se pueden generar a partir de un primer sistema de cruces de líneas, de un segundo cruce o bien de un tercero, dando lugar en este caso ultimo a la rueda o flor de lazo. El “lazo“ es la cinta que dibuja los trazos geométricos, y a partir de ahí se sacan las diferentes formas geométricas. La labor de lazo consiste en un entrelazado geométrico realizado mediante cintas o lazos que van pasando alternativamente unas encima de otras, formando determinados trazados geométricos, sin aparente solución de continuidad, siempre describiendo líneas rectas, y con la particularidad que los quiebros de las cintas no coinciden nunca con las puntas de entrecruzamiento de las mismas. El trazado de lacería es muy particular de la ornamentación musulmana y muy apreciado por los artesanos, dadas las posibilidades de formas que se obtienen y la gran variedad de dibujos2. Véase Ilustración 2. 2 BOQUILLA: caja, hueco o abertura con forma de boca, que se abre en una pieza de madera, rebajándola, para ensamblar o clavar en ella la pieza o piezas correspondientes. (en alicatados no hay boquilla). HALIBA: En labor de lacería, una de las piezas componentes de la rueda de lazo, contigua a signos, azafates y almendrillas. Su forma recuerda la del pez halibut. COSTADILLOS: son los lados paralelos del azafate inmediatos a la aspilla y que limitan por el otro extremo con los que forman la punta del azafate. ASPILLA: Es una pieza en forma de cruz de San Andrés que remata la cabeza de los azafates en una rueda de lazo. El cruce oblicuo de las dos piezas que rematan por la parte exterior el azafate. SINO, SINOS O SIGNOS: Polígono regular estrellado con distinto número de puntas que da nombre a cada tipo de lazo. Centro y origen de cada rueda. La estrella es una de las figuras con geometría polar más fáciles de crear. Posee un claro significado de unidad y es susceptible de relacionarse con otras estrellas, situadas sobre una trama preestablecida mediante prolongación de sus bazos, construyendo una suma de pequeñas unidades. La pieza que conforma el sino es por lo general una estrella cóncava y gallonada, que en muchas ocasiones se ve sustituida por piñas o cubos mocárabes. ALMEDRILLA: figura plana con forma romboidal que en la labor de laceria se forma entre las puntas del sino y los costadillos de los azafates. AZAFATE O ZAFATE: figura que se forma alrededor del sino en las labores de lazo, limitada por los costadillos y las aspillas. Pueden ser: redondos, si tienen forma hexagonal irregular; harpados, si modifican esta figura para tomar la forma de arpón que les da nombre. Legítimos, cuando la longitud del costadillo es igual a la de la mitad del brazo de la aspilla; y no legítimos, cuando el costadillo y la mitad del brazo de la aspilla tienen longitudes diferentes. La tarabea es el conjunto de dos azafates de estrellas Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 17 María Gutiérrez Estudillo Ejemplo de lazo y partes que lo forman. Ilustración 2. Izq. Miembros de la rueda de lazo; Dcha. Taujeles de la labor del lazo. (Albendea Ruz, 2011) La decoración del lazo, además del agramilado, consiste en la policromía con colores planos de los diferentes filetes.3 El colorido es muy básico, y se alternan el rojo, azul, amarillo y blanco. Siendo siempre el blanco el color del filete central que destaca el entretejido del lazo. CARTABONES DE LAZO Históricamente las técnicas empleadas para su construcción era los cartabones de lazo, conocimiento de las propiedades geométricas del triángulo, el método requería mucho trabajo y era muy lento. A lo largo de la historia y las tecnologías cambian y facilitan gradualmente el proceso. Con el fin de contrastar eso, se explica en los siguientes párrafos la antigua técnica: el uso de los cartabones, para que se vea que con una metodología como la que se usa en este trabajo, es más rápido y eficaz, pero siempre por la mediación de la matemática aplicada a la geometría. Una vez adoptadas las trazas islámicas, se produce el verdadero esplendor del arte mudéjar con la adopción de la rueda de lazo como tema regulador. La gran virtud de la rueda de lazo es que sean cuantos sean su número de brazos, la forma de trazarla siempre es la misma. Cada rueda genera otra dependiente de ella con la que se pueden realizar trazas, que aunque en un principio parecería monótono, pero permite variaciones que dan bastante riqueza a los trazados. (Albendea Ruz, 2011). El trazado resulta de la división de la semicircunferencia en partes iguales siendo trazados geométricamente. El único útil necesario para trazar distintos tipos de ruedas de lazo son los juegos de cartabones que no necesitan estar a una escala determinada por que no transportan medidas, simplemente transportan ángulos. Los lazos más comunes son de 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 20. distintas que se reúnen por una aspilla común. La tarabea solemos encontrarla como elemento de enlace entre ruedas diferentes. CANDILEJO: estrella de cinco puntas, generalmente irregular que en la labor de lacería se forma ente las aspillas y cabezas de los azafates. 3 Un filete es cada una de las partes separadas por las canaladuras Realizadas por el gramil. Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 18 María Gutiérrez Estudillo Diferentes tipos de cartabones usados para realizar la lacería típica de la ornamentación del Real Alcázar. Véase Ilustración 3. Ilustración 3. Juego de cartabones de lazo. (Albendea Ruz, 2011) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 19 María Gutiérrez Estudillo LOS CARTABONES PARA LAS RUEDAS DE 8 Para trazar ruedas de 8 se necesita el cartabón de ocho, el cuadrado y el blanquillo. Véase Ilustración 4. El trazado del cartabón cuadrado es muy sencillo. Basta con unir los extremos de la cambija con el punto donde la circunferencia corta la perpendicular al centro. El cartabón de ocho se halla trazando la bisectriz de la cola de cuadrado. El cartabón blanquillo sale trazando la bisectriz de la cabeza del de ocho. Ilustración 4. Cartabones para las ruedas de 8. (Albendea Ruz, 2011) LOS CARTABONES PARA LAS RUEDAS DE 9 Para la estrellas de 9 son necesarios los cartabones de cuatro y medio, el nueve y el negrillo. Véase Ilustración 5. El cartabón de cuatro y medio es ligeramente incorrecto y hay que ajustarlo mediante cepillado. El cartabón de nueve se obtiene a partir de la bisectriz de la cola del cartabón de cuatro y medio. El cartabón negrillo se obtiene hallando la bisectriz de la cabeza de 9. Ilustración 5. Cartabones para las rueda de 9. (Albendea Ruz, 2011) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 20 María Gutiérrez Estudillo LOS CARTABONES PARA LAS RUEDAS DE 10 Para la rueda de 10 se precisan dos cartabones, el de cinco y el de diez, dado que su ataperfiles coincide con el cartabón de cinco, véase Ilustración 6. El cartabón de diez se saca por la cola del cartabón de cinco. Ilustración 6. Cartabones para las rueda de 10. (Albendea Ruz, 2011) LOS CARTABONES PARA LAS RUEDAS DE 12 El cartabón de doce sale por la cola del cartabón de seis, véase Ilustración 7. Las ruedas de 12 desculatan en las de 9, por ello, para su traza y construcción se necesita el cartabón de seis como primer cartabón y el de doce como segundo cartabón, cuyo trazado resulta muy sencillo. Para el trazado de la aspilla de la rueda de 12 nos servimos del cartabón de nueve y el negrillo. Ilustración 7. Cartabones para la rueda de 12. (Albendea Ruz, 2011) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 21 María Gutiérrez Estudillo LOS CARTABONES PARA LAS RUEDAS DE 16 El cartabón de dieciséis se halla trazando la bisectriz de la cola de ocho, véase Ilustración 8. Para la rueda de 16, son necesarios el cartabón de ocho y el de dieciséis y para su aspilla se toman prestados los de la rueda de 8, el cuadrado y el blanquillo. Ilustración 8. Cartabones para la rueda de 16. (Albendea Ruz, 2011) DESARROLLO GRÁFICO DE LA RUEDA DE LAZO En la Ilustración 9 se muestra el desarrollo tan minucioso de la rueda de 8, para formar azafate la de pasos a seguir hasta formar la rueda con su estrella. Ilustración 9. Desarrollo de rueda de 8. (Albendea Ruz, 2011) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 22 María Gutiérrez Estudillo DESARROLLO GRÁFICO DE LA RUEDA DE 9 En la Ilustración 10 se muestra el desarrollo tan minucioso de la rueda de 9, para formar azafate la de pasos a seguir hasta formar la rueda con su estrella. Ilustración 10. Desarrollo de la rueda de 9. (Albendea Ruz, 2011) PECULIARIDADES EN LAS RUEDAS DE LAZO Unas de la peculiaridades de la ruedas de lazo es que se pueden hacer fuera de calle y cuerda o a calle y cuerda, véase Ilustración 11. Esta manera de ejecutar los lazos le hacen parecer distintos, poder jugar con luces y sombra y diferentes colores, así aunque la rueda sea de 8, al tener el lazo diferente, serían muy similares pero con esta pequeña diferencia que a la vista se hace diferente. Ilustración 11. Izq. Rueda de 10 fuera de calle y cuerda; Dcha. Rueda de 10 a calle y cuerda Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 23 María Gutiérrez Estudillo Otra de sus peculiaridades es formar una rueda de 9 y unirse con una de 12. Véase Ilustración 12, esto no da mucho juego a la hora de que no sea tan repetitiva la misma rueda, y aunque siga siendo ruedas, poder formar otras estrellas, incluso poder cambiar de forma del lazo. Véase Ilustración 11. Ilustración 12. Descúlate de rueda de 9 en otra de 12. (Albendea Ruz, 2011) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 24 María Gutiérrez Estudillo III. MATERIALES DE LA DECORACIÓN DEL PATIO DE LAS DONCELLAS A. LA CERÁMICA: Alicatados La cerámica tan importante en la ciudad de Sevilla, empieza a usarse en el siglo III a.C por los Partos al este de Siria losetas de barro cocido vidriadas4 verdes que se incrustaban en las paredes. Esta costumbre procedente Persia y Mesopotamia, llega a España entre el siglo X hasta mediados de siglo XII, y es en este siglo cuando tiene su mayor uso, se empiezan a incrustar trozos de cerámica en la pared formando dibujos geométricos. El uso del vidriado en la cara vista de la pieza, que permite decorar los materiales cerámicos, debió conocerse desde época califal, aunque los ejemplos más antiguos en Sevilla datan de los siglos XII y XIII. Según Gestoso (Pérez, 1995) “la Torre del Oro y la Giralda entre los primeros conservados. Las Torres de Santa Catalina, San Marco y las Cúpulas de Santa Marina o San Esteban, serían el correlato mudéjar de esta tradición islámica” La producción Mudéjar y Nazarí se desarrolla simultáneamente. La cerámica arquitectónica mudéjar responde a tres tipos según Torres Baldás: el andaluz que afecta también a Castilla y que emplea como técnica preferente el alicatado; el aragonés, donde la técnica del alicatado es pobre, cuya aportación principal es el empleo de discos circulares empotrados en los muros y finalmente el valenciano con centro en Manises donde predomina la técnica del azulejo pintado empleado en solería y zócalos. (Torres Balbás, 1949) En el que nos vamos a centrar es en el primero de estos que es el más aplicado en Sevilla y por supuesto en el Real Alcázar. Toman mucho el color de las obras Nazarís donde aparecen el blanco, verde, melado 5 y negro. La gran variedad de producción de barros vidriados sevillanos utilizados en los revestimientos de zócalos nos hace confundir alicatado y azulejo. El alicatado o mosaico es un conjunto de piezas que forman un dibujo, la utilización de pequeñas piezas de distintas formas y colores, mientras que el azulejo es una baldosa vidriada de mayor dimensión – normalmente decorada – de forma cuadrada o rectangular y con motivos repetitivos. LA TÉCNICA DEL ALICATADO La técnica del alicatado consiste en cortar de piezas mayores, unas pequeñas piezas con una técnica llamado “a pico”, para así formar mosaicos en las paredes. La fabricación de las piezas grandes se Realiza aplicando un barniz de plomo más el óxido colorante elegido al barro previamente cocido. Estas piezas o alizares reciben después una segunda cocción y finalmente son recortadas y encajadas unas con otras sobre el muro o pavimento. Según las Ordenanzas del Gremio de Sevilla de 1527 cada alarife debía conocer los cartabones, véase Ilustración 3 y su manejo para el corte de las distintas piezas. (Ramírez, 1995) El proceso de elaboración de un alicatado consistía en colocar las piezas, una vez cortadas, sobre un panel donde previamente se había dibujado la composición, con la superficie barnizada hacia abajo. Si la superficie era grande la operación se efectuaba por partes en superficies equivalentes a medio metro cuadrado. Luego se vertía por encima de las piezas una 4 El vidriado plúmbeo transparente, verde o melado “Vidrio” es una de las innovaciones del islam (S.VIII) con la que se conseguía la impermeabilización de los objetos cerámicos. 5 Adj. Dicho de un color: Amarillo como el de la miel. Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 25 María Gutiérrez Estudillo capa de mortero de cal, si el alicatado había asentarse en pavimento; y de yeso, si se había de fijar en pared. Para aumentar la consistencia de los paneles y facilitar su transporte hasta el lugar de su colocación se adhería al mortero de yeso todavía blanco unas cañas dispuestas en forma de cruz. Por último se colocaba mortero de cal en el hueco previsto para su instalación y sobre éste se asentaba el panel del alicatado. La dificultad de esta técnica hizo que a partir del siglo XV se empleasen moldes para fabricarlas pero la calidad de estos alicatados no es comparable a la de los anteriores porque destacan las aristas de unión entre las piezas. (Pérez, 1995), (Fuentes, 2015). En la Ilustración 13 se muestra el interfaz del programa GeoGebra con un despiece de una roseta de alicatados. Ilustración 13. Despiece de los alicatados con GeoGebra. (Gutiérrez, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 32 María Gutiérrez Estudillo fotos pero no con mucha calidad, pero suficiente para poder empezar a estudiar los paños de mosaicos según su grupo de Simetría. o Una vez estudiada la relación entre Simetría y arquitectura y aplicado los algoritmos que permiten la catalogación, nos hemos vuelto ha dirigir al Real Alcázar para una nueva sección fotográfica con una maquina de fotografia FujiFilm 16 megapixel y acompañada por Pilar López. Siempre antes del trabajo de campo hay que llevar un trabajo realizado, en este caso ha sido un plano donde estaban se encuentra con detalle los paños estudiados. El procedimiento: localizar el paño, coger la mejor posición y esperar que no pasara nadie, ya que el Real Alcázar está muy concurrido. Posteriormente, se una vez descargadas, poner el nombre a cada una de ellas, recortar, dar ilumnación y mejoras de la imagen.  Fase de catalogación y reproducción de cada uno de cada uno de los paneles decorativos. o Identificación del grupo de Simetría mediante la aplicación de los algoritmos de clasificación. Véase Ilustración 24.  Primero se identifica si es Grupo Plano, Grupo de friso o Grupo Puntual, depende solo de las traslaciones.  Segundo, Identificación de la Región Unidad.  Tercero se hace las preguntas del algoritmo y se llega a la denotación exacta. o Importación foto al GeoGebra  Se importa la foto  Se marca en el GeoGebra la Región Unidad.  Según la denotación se seguirá una serie de pasos, como: rotaciones, simetrías, deslizamientos y traslaciones. Véase en el apartado Técnicas Computacionales. Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 33 María Gutiérrez Estudillo A. Teoría de LA SIMETRIA SIMETRÍA: f. Correspondencia exacta en forma, tamaño y posición de las partes de un todo. f. Geom. Correspondencia exacta en la disposición regular de las partes o puntos de un cuerpo o figura con relación a un centro, un eje o un plano. (RAE) La Simetría nos da una sensación de equilibrio y armonía allá donde se use. La podemos encontrar en la naturaleza, sin nosotros crearla, como por ejemplo una banda de pájaros volando nuestro cielo, en los cuerpos humanos, en los anfibios, en las aves, etc. Todos ellos poseen Simetría bilateral. La Simetría con sus formas conecta muchos edificios patrimoniales, entre otros La Alhambra de Granada con el Real Alcázar de Sevilla. La Simetría es necesaria en el diseño y representación de los elementos arquitectónicos: Diseños de plantas, alzados, perfiles, techos… de edificios de ahora y antes. También figuras geométricas decorativas recubren muchos muros los cuales empiezan con una figura principal y se va repitiendo según las reglas de la Simetría, así ocurre en la Alhambra de Granada, Alcázar de Sevilla y en otros muchos de edificios mudéjares, (Navarro, 2011). Estas figuras geométricas decorativas se pueden diferenciar según sus Simetrías, por ello hay 17 clases o grupos de mosaicos periódicos planos y 7 grupos de friso. La Teoría de la Simetría se encuentra en pleno desarrollo, practicándose en diferentes campos, física, química, bilogía etc. siendo la Simetría el nexo de unión entre ellos. Cada día se hace más estudios sobre la misma, que puede corroborarse mediante el Premio Abel 2008, de la Academia Noruega de las Matemáticas. (Livio, 2016) Cuando se intenta diferenciar los objetos simétricos, nace el problema de cómo medir el grado de Simetría que presenta. Las figuras regulares tienen más Simetrías, por el contrario, una figura irregular no tiene ni Simetría bilateral, ni rotaciones parciales, solo admiten giros completos de 360º. La manera de reconocer que nivel Simetría posee una figura está relacionada con el número de movimientos (traslaciones, Simetría bilateral, rotaciones y deslizamientos) que la dejan invariable. Para este trabajo se utilizara la clasificación de patrones del plano generados por una figura que se repite regularmente siguiendo unas pautas. Los cristales en la naturaleza presenta una peculiaridad y por ello se hizo una clasificación de los grupos cristalográficos. Otra aportación a la teoría de la Simetría en base a la matemática fue en 1848 por el matemático francés Evariste Galois. La identificación de 230 Grupos de Simetría en el espacio de tres dimensiones se atribuye a Fedorov y Shonflies en 1891, anterior al reconocimiento de los 17 grupos del plano, por parte de Polya y Niggli en 1924. La primera lista completa de los 7 grupos de frisos fue dada por Polya, en 1924. (Gilsanz Mayor, 2010) Un estudio a finales del siglo XX demostró que la Alhambra de Granada contiene mosaicos de todos los posibles Grupos de Simetría. Es el único complejo arquitectónico en el mundo del que se haya publicado que contiene modelos de los 17 Grupos de Simetría. También hay un estudio del Alcázar de Sevilla, pero se reconoció 14 Grupos de Simetría. Este estudio Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 34 María Gutiérrez Estudillo realizado por un grupo de personas entre ellas la doctora María José Chávez de Diego. Por ello el interés que me despierta el estudio de la Simetrías del Alcázar de Sevilla. (Chávez de Diego, 2006) B. LAS ISOMETRÍAS DEL PLANO Las isometrías cuando se aplican contiguas se denominan composición de isometrías. “Aplicación o transformación geométrica que conserva las distancias existentes entre rectas, longitudes y ángulos. “ Según la Rae. (RAE) Las isometrías del plano se clasifican en los siguientes tipos: Traslación: determinada por un vector Reflexión (o Simetría Axial): definida por su eje. Rotaciones: definido por su centro y ángulo. Deslizamiento: dado por su eje y un vector. La composición de traslaciones se hace con varias traslaciones en el mismo plano cartesiano. La composición de dos giros con un mismo centro O es otro giro del mismo centro O y cuyo ángulo es la suma de los ángulos. La composición de dos giros con distinto centros es una traslación si la suma de los ángulos es múltiplo de 360º y, en otro caso, un giro cuyo ángulo es la suma de los ángulos. La composición de dos reflexiones de ejes paralelos es una traslación cuyo vector es perpendicular a los ejes y tiene doble longitud que la distancia entre ellos. Un deslizamiento es la composición de una reflexión y una traslación paralelas. La composición de isometrías es siempre una isometría y, además, verifica varias propiedades que pueden resumirse diciendo que las isometrías del plano forman un grupo. La composición de isometrías es importante en el estudio de las Simetrías de los frisos y mosaicos. Algunos grupos son fáciles de obtener, pero otros tienen más procedimientos y por ello se complican. Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 35 María Gutiérrez Estudillo Paridad de las isometrías Cualquier isometría o bien es una reflexión o bien puede expresarse como composición de 2 ó 3 reflexiones. En efecto:  Una traslación es composición de dos reflexiones de ejes perpendiculares al vector de la traslación, con los ejes situados a una distancia igual a la mitad de la longitud de la traslación.  Un giro puede expresarse como composición de dos reflexiones cuyos ejes pasen por el centro de giro, formando un ángulo igual a la mitad del ángulo de giro.  Un deslizamiento es composición de una reflexión y una traslación; al expresar la traslación como composición de dos reflexiones, se obtiene el deslizamiento como composición de tres reflexiones. Grupo de Simetría de una figura El grupo de transformaciones que dejan invariante (no cambiada) una figura plana es el conjunto de todos los movimientos que dejarían invariante a dicha figura, y contiene al menos el movimiento identidad. Un conjunto de puntos de un plano se dice que es invariante por un movimiento cuando mediante dicho movimiento de transformación se obtiene el mismo conjunto. Por ejemplo a un triángulo equilátero8 120, 240 ó 360 grados, obteniéndose el mismo triángulo. Al movimiento que deja los puntos en la misma posición inicial se le llama movimiento identidad, en el ejemplo dado sería el giro de 360 grados. 8 m. Geom. triángulo que tiene sus tres lados iguales Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 36 María Gutiérrez Estudillo 1. Grupos puntuales o de Leonardo Unos Grupos de Simetría que han tenido aplicación ampliamente en la arquitectura desde el Renacimiento son los grupos puntuales de Simetría o de Leonardo, en honor a Leonardo da Vinci quien los estudió y aplicó en el diseño de plantas de capillas. Estos grupos, aparte de ser utilizados en el diseño arquitectónico o urbanístico, también son ampliamente utilizados para la generación de rosetones y elementos decorativos en general. Una figura plana se dice que presenta un Grupo de Simetría de Leonardo si todos los movimientos que la transforman en sí misma tienen un mismo punto fijo, al que se le llama centro de la figura O, de ahí su nombre. Grupos diedrales El Grupo de Simetría de un polígono regular de n lados, para n>=3, se denomina grupo diedral Dn.. Está formado por 2n isometrías, de las cuales n son reflexiones y otras n son giros. Los ejes de reflexión se cortan en un mismo punto, que coincide con el centro de los giros. El grupo diedral Dn está generado por dos reflexiones. Por ejemplo, en el caso particular en que n=3, el grupo diedral D3 es el Grupo de Simetría del triángulo equilátero, constituido por 6 isometrías, de las cuales 3 son reflexiones y 3 son giros, véase Ilustración 14. Ilustración 14. Grupo diedral D3. (Moratalla) Para n < 3 resultan los siguientes grupos: El grupo diedral D1 está constituido por la Simetría identidad y una reflexión. Corresponde a las figuras con Simetría bilateral. El grupo diedral D2 consta de 4 Isometrías: la Simetría identidad, dos reflexiones de ejes perpendiculares y un giro de centro situado en la intersección de los ejes de reflexión y con ángulo de 180º, véase Ilustración 15. Ilustración 15. Grupo diedral D2 (Moratalla) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 37 María Gutiérrez Estudillo Grupos Cíclicos. Los giros o rotaciones que contiene el grupo diedral Dn forman un subgrupo del mismo denominado grupo cíclico con n elementos, que se denota Cn. En el caso n=3, el subgrupo C3 está formado por 3 giros, uno de ellos el giro G de 120º, de orden 3, que es generador del subgrupo, puesto que cualquiera de los giros puede expresarse como composición de ese giro consigo mismo. En efecto, el giro de ángulo 240º es igual a la composición GG, y el giro de ángulo 0º es igual a la composición GGG. Por esa razón, el subgrupo se denomina grupo cíclico, véase Ilustración 16. Ilustración 16: Grupo cíclico C3 (Moratalla) Grupos puntuales Los grupos diedrales y cíclicos son llamados también grupos puntuales. Las Rosetas Ornamentales. Una figura cuyo Grupo de Simetría es un Grupo Puntual Cn o Dn se denomina roseta. Una modulo mínimo de un grupo cíclico Cn es un sector del plano limitado por dos semirrectas que pasan por el centro de los giros formando un ángulo de 360º/n. Un Región Mínima de un grupo diedral Dn es un sector del plano limitado por dos semirrectas que pasan por el centro de los giros formando un ángulo de 180º/n. Una roseta cuyo Grupo de Simetría es el grupo cíclico Cn puede obtenerse a partir del Región Mínima de su Grupo de Simetría. La parte de figura contenida en un Región Mínima se denomina Región Unidad. Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 38 María Gutiérrez Estudillo 2. Grupos de Frisos Los frisos en la ornamentación Los frisos están muy presentes en la ornamentación desde hace miles de años. En el paleolítico y el neolítico ya existían y nos dejaron constancia en las Cuevas de Altamira. (Google.es, 2017) Un friso nace de una figura que se repite a la largo de una recta. En nuestra cultura se han creado en diferentes ámbitos, desde una vasija hasta elementos arquitectónicos. En este trabajo nos interesa estudiar las isometrías que generan la totalidad del friso a partir de una región pequeña del mismo. Matemáticamente hablando, se llama “friso” a las figuras del plano que presentan una distribución unidimensional continua, ordenada y periódica (en una dirección) de una celda unidad que constituye, sin dejar huecos, una cenefa o greca. En ellos se repite un motivo periódicamente, con un espaciado constante, lo largo de una dirección. A partir de un motivo simple, se puede generar un friso por simple traslación de dicho motivo de modo repetitivo y periódico en una dirección. Además de la familia de traslaciones, el Grupo de Simetría de un friso puede contener otras isometrías: reflexiones, rotaciones o deslizamientos.  Reflexiones de eje coincidente con el eje longitudinal del friso.  Reflexiones de eje transversal –perpendicular al eje longitudinal-.  Si hay reflexión transversal y longitudinal a la vez, también existirá rotación (giro) binaria “2”.  Si hay rotaciones distintas de la identidad “1” (360º), serán rotaciones binarias “2” (180º).  Si hay reflexión transversal y deslizamiento longitudinal también contendrá los giros que resultan de su composición. Existen 7 Grupos de Simetría de los frisos que según la nomenclatura general, se antepone la letra F mayúscula –identificativa de sistemas de una dimensión, frisosse denotan: F11, F12, Fm1, F1m, F1g, Fmg, Fmm. La letra F, de friso, va seguida de dos símbolos que corresponden a la notación internacional. El primer símbolo indica las Simetrías de eje transversal, y puede tomar valores “1” si no hay reflexión y “m” si hay reflexiones (del inglés “mirrors”). El segundo símbolo indica las Simetrías de eje longitudinal y puede tomar los valores “1” si no hay reflexión, “2” si solo hay giros, “m” si hay reflexiones y “g” si no hay reflexiones pero si deslizamientos (del inglés “glides”). A continuación se muestra el proceso para conseguir de cada uno de los 7 grupos mediante el programa GeoGebra. Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 39 María Gutiérrez Estudillo o Pasos a seguir para obtener los diferentes frisos.  Entrar en el programa GeoGebra, recuérdese que no es necesario descargar el programa, porque se puede acceder online.  En la barra superior de Herramientas se crea con la casilla de entrada: o Simetría axial vertical: contiene dos opciones “1” y “m” o Simetría axial horizontal: contiene “g”, “1” y “m” o Giro: tercera connotación le doy dos opciones “1” o “2”.  Usando polígono de las Herramientas se elige un polígono. Para ilustrar el proceso se construye un triángulo a modo de ejemplo.  F11: Pasos a seguir para obtener un F11. o Pulso la casilla Simetría vertical: 1 (quiere decir que no tiene reflexión transversal) o Pulso la casilla Simetría horizontal: 1 (no tiene reflexión longitudinal) o Pulso la casilla Giro: 1 (no tiene giro), por tanto se considera friso porque si tiene una traslación. o Se aplica una traslación horizontal. o Solución en el interfaz del programa GeoGebra. Véase o Ilustración 17. Ilustración 17. Friso grupo F11, imagen generada con GeoGebra. (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 40 María Gutiérrez Estudillo  F12: Pasos a seguir para obtener un F12. o Ya tengo todas las casillas de control hechas, cada polígono interaccionado para cada número, pues ahora solo tengo que ir pulsando las opciones. o Llega el turno de crear el friso, pulso la casilla de control primera y pincho sobre ella y en este caso es 1 quiere decir que no tiene reflexión o simetría transversal, pulso la segunda casilla de control y pincho sobre el 1 no tiene simetría longitudinal, por ultimo pulso la tercera casilla de control y pincho sobre el 2 que quiere decir que tiene giro. o Solución en la imagen del programa GeoGebra. Véase Ilustración 18. Ilustración 18. Friso grupo f12, imagen generada con GeoGebra. (La autora, 2017)  Fm1: Pasos a seguir para obtener un Fm1. o Ya tengo todas las casillas de control hechas, cada polígono interaccionado para cada número, pues ahora solo tengo que ir pulsando las opciones. o Llega el turno de crear el friso, pulso la casilla de control primera y pincho sobre ella y en este caso es m quiere decir que tiene simetría transversal, pulso la segunda casilla de control y pincho sobre el 1 que quiere decir que no tiene simetría longitudinal, por ultimo pulso la tercera casilla de control y pincho sobre el 1 que quiere decir que no tiene giro. o Solución en la imagen del programa GeoGebra. Véase Ilustración 19. Ilustración 19. Friso grupo Fm1, imagen generada con GeoGebra. (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 41 María Gutiérrez Estudillo  F1m: Pasos a seguir para obtener un F1m. o Ya tengo todas las casillas de control hechas, cada polígono interaccionado para cada número, pues ahora solo tengo que ir pulsando las opciones. o Llega el turno de crear el friso, pulso la casilla de control primera y pincho sobre ella y en este caso es 1 quiere decir que no tiene simetría transversal, pulso la segunda casilla de control y pincho sobre la m que quiere decir que tiene simetría longitudinal, por ultimo pulso la tercera casilla de control y pincho sobre el 1 que quiere decir que no tiene giro. o Solución en la imagen del programa GeoGebra. Véase Ilustración 20. Ilustración 20. Friso grupo F1m, imagen generada con GeoGebra. (La autora, 2017)  F1g: Pasos a seguir para obtener un F1g. o Ya tengo todas las casillas de control hechas, cada polígono interaccionado para cada número, pues ahora solo tengo que ir pulsando las opciones. o Llega el turno de crear el friso, pulso la casilla de control primera y pincho sobre ella y en este caso es 1 quiere decir que no tiene simetría transversal, pulso la segunda casilla de control y pincho sobre el a quiere decir que tiene simetría longitudinal con deslizamiento, por ultimo pulso la tercera casilla de control y pincho sobre el 1 que quiere decir que no tiene giro. o Solución en la imagen del programa GeoGebra. Véase Ilustración 21. Ilustración 21. Friso grupo F1g, imagen generada con GeoGebra. (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 48 María Gutiérrez Estudillo Ilustración 27. Se crea la casilla de control. (La autora, 2017) Ilustración 28. Polígono 2. (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 49 María Gutiérrez Estudillo Ilustración 29. Casilla de control: ocultar figura. (La autora, 2017) Ilustración 30. Herramienta vector. (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 50 María Gutiérrez Estudillo Ilustración 31. Vectores. (La autora, 2017) Ilustración 32. Herramienta traslación. (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 51 María Gutiérrez Estudillo Ilustración 33. Mosaico: Grupo Plano p1. (La autora, 2017)  pg: El paralelogramo fundamental del grupo pg es un rectángulo y los ejes de Simetría con deslizamiento son paralelos a uno de los lados del rectángulo. Está generado por dos traslaciones y un deslizamiento. o pasos a seguir para crear un pg:  Se selecciona polígono y se crea un rectángulo, que en es la Región Unidad de un pg. Véase Ilustración 34.  Se crea una figura dentro del paralelogramo, que es la Región Mínima. Véase Ilustración 36.  Con la Herramienta Recta, se crea los ejes de simetría. Véase Ilustración 35.  Con la Herramienta Simetría axial, se pulsa la Región Mínima y se elige un eje de Simetría. Véase Ilustración 37.  Se crea un vector de deslizamiento y aplicamos la traslación a la Región Mínima simétrica. Véase Ilustración 38.  Creo dos vectores de traslación paralelos al polígono paralelogramo.  Se hace las traslaciones.  Solución en el interfaz del programa GeoGebra. Véase Ilustración 39. Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 52 María Gutiérrez Estudillo Ilustración 34. Crear Región Unidad (rectángulo). (La autora, 2017) Ilustración 35. Ejes de Simetría. (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 53 María Gutiérrez Estudillo Ilustración 36. Región Unidad y Región Mínima. (La autora, 2017) Ilustración 37. Reflexión al eje horizontal. (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 54 María Gutiérrez Estudillo Ilustración 38. Deslizamiento eje horizontal. (La autora, 2017) Ilustración 39. Mosaico Grupo Plano pg. (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 55 María Gutiérrez Estudillo  pm: El grupo cristalográfico pm contiene reflexiones (simetrías axiales). Los ejes de simetría son paralelos a un vector de traslación y perpendiculares al otro vector de traslación. No hay movimientos de rotación, giros de orden uno, ni simetrías con deslizamiento. El paralelogramo fundamental es un rectángulo. Los ejes de simetría son necesariamente paralelos a uno de los lados del rectángulo. o pasos a seguir para crear un pm:  Se selecciona polígono y se crea un rectángulo, que en es la Región Unidad de un pm. Véase Ilustración 40.  Se crea una figura dentro del paralelogramo, que es la Región Mínima. Véase Ilustración 42  Con la Herramienta Recta, se crea los ejes de simetría. Ilustración 41.  Con la Herramienta Simetría axial, se pulsa la Región Mínima y se elige un eje de Simetría en este caso vertical. Véase Ilustración 43.  Creo dos vectores de traslación paralelos al polígono paralelogramo. Véase Ilustración 44.  Se hace las traslaciones.  Solución en el interfaz del programa GeoGebra. Véase Ilustración 45. Ilustración 40. Región Unidad (rectángulo). (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 56 María Gutiérrez Estudillo Ilustración 41. Eje de Simetría vertical. (La autora, 2017) Ilustración 42. Región Mínima. (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 57 María Gutiérrez Estudillo Ilustración 43. Simetría de Región Mínima. (La autora, 2017) Ilustración 44. Vectores de traslación. (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 64 María Gutiérrez Estudillo  pgg: El grupo pgg queda determinado por contener giros de orden dos y no de orden mayor. No hay ejes de simetría axiales, pero sí aparecen ejes de simetría con deslizamiento. Los centros de giro no están sobre dichos ejes. En este caso el paralelogramo fundamental ha de ser un rectángulo, como el de la figura siguiente donde se representa junto con los ejes de Simetría con deslizamiento. o pasos a seguir para crear un pgg: o  se crea un rectángulo (Región Unidad), se crea una figura dentro del paralelogramo, que es la Región Mínima (1/4 de rectángulo) y los ejes de Simetría. Véanse Ilustración 55.  se crea los centros posibles de giro, que son los siguientes: en el centro del polígono, en los vértices del polígono o en el centro de las caras del polígono. Se hace el giro: se pulsa la Región Mínima y se elige un centro de giro Véase Ilustración 56.  Creo dos vectores de traslación paralelos al polígono paralelogramo y se hace las traslaciones.  Solución en el interfaz del programa GeoGebra. Véase Ilustración 57. Ilustración 55. Región Unidad (rectángulo), Región Mínima (1/4 rectángulo). (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 65 María Gutiérrez Estudillo Ilustración 56. Rotación en el centro de la Región Unidad. (La autora, 2017) Ilustración 57. Mosaico pgg. (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 66 María Gutiérrez Estudillo  pmg: Este grupo cristalográfico contiene giros de orden dos y no hay giros de orden mayor. Hay ejes de Simetría, pero son todos paralelos entre sí y ejes de simetría con deslizamiento, también paralelos entre sí y perpendiculares a los anteriores. Los centros de giro no están en los ejes de simetría, pero sí sobre ejes de deslizamiento, perpendiculares a los de simetría. En este caso el paralelogramo fundamental ha de ser un rectángulo. (Rodríguez, 2009-2010) o pasos a seguir para crear un pmg: o  Se crea un rectángulo (Región Unidad), se crea una figura dentro del paralelogramo, que es la Región Mínima (1/4 de rectángulo) y los ejes de simetría. Se crea los centros posibles centros de giro, que son los siguientes: en el centro del polígono, en los vértices del polígono o en el centro de las caras del polígono, en este caso en la mitad de nuestra Región Unidad se crea ejes de simetría y se les pone centro de giro. Véase Ilustración 58.  Se hace el giro: se pulsa la Región Mínima y se elige un centro de giro Véase Ilustración 59.  Se hace una Simetría a la otra mitad que nos queda libre del rectángulo Véase Ilustración 60.  Creo dos vectores de traslación paralelos al polígono paralelogramo y se hace las traslaciones.  Solución en el interfaz del programa GeoGebra. Véanse Ilustración 61. Ilustración 58. Región Unidad, Región Mínima, Ejes de Simetría y Centro de rotación. (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 67 María Gutiérrez Estudillo Ilustración 59. Rotación de Región Mínima (1/8 de la Región Unidad). (La autora, 2017) Ilustración 60. Simetría vertical. (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 68 María Gutiérrez Estudillo Ilustración 61. Mosaico pmg. (La autora, 2017)  cmm: Este grupo contiene ejes de Simetría que son perpendiculares entre sí y también giros de orden dos. Los centros de giro que lo generan no están sobre los ejes de Simetría, sino sobre ejes de deslizamiento, que también existen (paralelos a los de Simetría de ahí la "c" de su nombre). Hay también centros de giro (de orden 2) sobre los ejes de Simetría. El paralelogramo fundamental en este caso es un rombo. Se observan que por los centros de orden dos que están en los vértices del rombo y el que está en el centro del rombo pasan ejes de simetría. Pero por los centros de orden dos que están en los puntos medios de los lados del rombo no pasan ningún eje de simetría. Por éstos últimos centros sí pasan ejes de simetría con deslizamiento. (Rodríguez, 2009-2010). o pasos a seguir para crear un cmm:  Se crea un rombo (Región Unidad), se crea una figura dentro del paralelogramo, que es la Región Mínima (1/4 de rombo) y los ejes de simetría. Se crea los centros posibles centros de giro, que son los siguientes: en el centro del polígono, en los vértices del polígono y en el centro de las caras del polígono. Véanse Ilustración 66.  Se hace la rotación: se pulsa la Región Mínima, se elige el centro de rotación. Véase Ilustración 63.  Se hace las simetrías: se pulsa la Región Mínima y se elige el eje de simetría horizontal y se repite con la vertical. Véase Ilustración 64.  Creo dos vectores de traslación incidentes al rombo y se hace las traslaciones.  Solución en el interfaz del programa GeoGebra. Véase Ilustración 69. Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 69 María Gutiérrez Estudillo Ilustración 62. Región Unidad, Región Mínima, centro de rotaciones y ejes de Simetría. (La autora, 2017) Ilustración 63. Rotación de 180º. (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 70 María Gutiérrez Estudillo Ilustración 64. Reflexión horizontal y vertical. (La autora, 2017) Ilustración 65. Mosaico cmm. (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 71 María Gutiérrez Estudillo  pmm: Este grupo cristalográfico cuenta con giros de orden dos y no de orden mayor. Contiene dos ejes de simetría perpendiculares entre sí. Todos los centros de orden dos pertenecen a algún eje de simetría. Estos centros de los giros de 180º están en las intersecciones de los ejes de simetría. No se encuentran en este grupo ejes de simetría con deslizamiento. El paralelogramo fundamental en este caso es un rectángulo. Se puede generar por dos traslaciones, una simetría y un giro de orden 2. o pasos a seguir para crear un pmm:  Se crea un rectángulo (Región Unidad), se crea una figura dentro del paralelogramo, que es la Región Mínima (1/4 de rectángulo) y los ejes de Simetría. Se crea los centros posibles centros de giro, que son los siguientes: en el centro del polígono, en los vértices del polígono o en el centro de las caras del polígono, en este caso en la mitad de nuestra Región Unidad se crea ejes de Simetría y se les pone centro de giro. Véanse Ilustración 66.  Se hace la Simetría: se pulsa la Región Mínima y se elige el eje de simetría. Véase Ilustración 67.  Se hace la rotación: se pulsa la Región Mínima, la Simetría y se elige el centro de rotación. Véase Ilustración 68.  Creo dos vectores de traslación paralelos al polígono rectángulo y se hace las traslaciones.  Solución en el interfaz del programa GeoGebra. Véanse Ilustración 69. Ilustración 66. Región Unidad (rectángulo), Región Mínima (1/4 Región Unidad) y ejes de Simetría. (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 72 María Gutiérrez Estudillo Ilustración 67. Simetría Región Mínima. (La autora, 2017) Ilustración 68. Rotación 180º. (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 73 María Gutiérrez Estudillo Ilustración 69. Mosaico pmm. (La autora, 2017) Grupos con giros de orden 3: p3, p3m1 y p31m. El mayor número de giros de estos grupos es 3, todos sus giros de 120 grados. Junto a las traslaciones, pueden existir reflexiones y deslizamientos, cuyos ejes se cortan formando un ángulo de 60º.  p3: Este es el grupo cristalográfico más simple con orden máximo de giro de orden tres. Esto implica movimientos de rotación de 120º, no aparecen ejes de simetrías ni ejes de simetrías con deslizamiento. El paralelogramo fundamental es un rombo formado por dos triángulos equiláteros. Está generado por dos traslaciones y un giro de orden 2. o pasos a seguir para crear un p3:  Se crea un rombo creado por dos triángulos equiláteros (Región Unidad), se crea una figura dentro del paralelogramo, que es la Región Mínima (1/3 del rombo). Se crea los centros de rotación posibles, que son los siguientes: en el centro del polígono, en los vértices del polígono o en el centro de las caras del polígono, en este caso situados en los vértices del rombo y en los centros de los triángulos. Véanse Ilustración 70.  Se hace la rotación: se pulsa la Región Mínima y Región Unidad, se elige el centro de rotación. Véase Ilustración 71.  Creo dos vectores por dos lados incidentes del rombo y se hace las traslaciones.  Solución en el interfaz del programa GeoGebra. Véanse Ilustración 72. Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 80 María Gutiérrez Estudillo Ilustración 79.Región Unidad (cuadrado), Región Mínima (1/8 parte de Región Unidad), centro de rotación y ejes de reflexión. (La autora, 2017) Ilustración 80. Mosaico p4g. (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 81 María Gutiérrez Estudillo  p4m: Este Grupo de Simetría está determinado por las siguientes características: Este grupo contiene giros de orden cuatro (giros de 90º). Tiene simetrías de tal forma que los ejes de Simetría forma un ángulo de 45º entre sí. Así cuatro ejes de simetría pasan por los centros de giro de orden cuatro. Todos los centros de giro están sobre ejes de simetría. No contiene ejes de simetría con deslizamiento. o Pasos a seguir para crear un p4m:  Se crea un cuadrado, se crea una Región Mínima (triangulo), en cada Región Mínima se le hace una reflexión y se hace rotaciones de orden 4 a cada dos Región Mínima con su reflexión. Véase Ilustración 81.  Se crea dos vectores y se hacen traslaciones.  Solución en el interfaz del programa GeoGebra. Véase Ilustración 82. Ilustración 81.Región Unidad, Región Mínima, ejes de Simetría y centro de rotación. (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 82 María Gutiérrez Estudillo Ilustración 82.Mosaico p4m. (La autora, 2017) Grupos con giros de orden 6: p6 y p6m. El mayor número de giros de estos grupos son de 60 grados. También existen giros de orden 3, con ángulo igual 120 grados, giros de orden 2, con ángulo de 180 grados y giros triviales, pero no puede haber giros de orden 4. Las reflexiones y deslizamientos pueden tener ejes paralelos, perpendiculares o formando ángulos de 30º y 60º.  P6: Este grupo es el más sencillo con giros de orden seis. Contiene giros de 60º, también posee giros de 120º (orden 3) y de 180º (orden 2), pero no contiene Simetrías ni Simetrías con deslizamientos. El paralelogramo fundamental es un rombo formado por dos triángulos equiláteros y los centros de giro esta como en la figura. Está generado por dos traslaciones y un giro de orden. Figura 1. Región Unidad, Región Mínima, vector de traslación y mosaico p6. (Rodríguez, 2009-2010) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 83 María Gutiérrez Estudillo  p6m: Este grupo de Simetría está determinado por las siguientes características: En este grupo aparecen giros de 60º (orden 6), de 120º (orden 3) y de 180º (orden 2) Contiene Simetrías. Los ejes de Simetría pasan por todos los centros de giro. En todos los centros de giro de orden 6 se cortan seis ejes de Simetría. También hay deslizamientos en este grupo. Estos ejes de deslizamiento pasan por los puntos medios entre dos ejes de Simetría paralelos, es decir, pasan por los centros de las medias vueltas (centros de giro de 180º). Tales ejes son paralelos a seis direcciones como los ejes de Simetría. Está generado por dos traslaciones, una Simetría y un giro de orden 6. Figura 2. Región Unidad, Región Mínima, vector de traslación y mosaico p6m. (Rodríguez, 2009-2010) Identificación del Grupo de Simetría de un mosaico. Lo primero que hay que hacer es buscar el módulo, para saber si es un mosaico periódico, con dos traslaciones de mínima longitud y distinta dirección. El mosaico deberá poder generarse a partir del módulo, mediante la familia de traslaciones obtenidas como composición de las dos traslaciones elegidas. Se hace las retículas anteriormente dibujadas: oblicua, rectangular, cuadrada, hexagonal. A continuación se selecciona un módulo y las traslaciones determinadas. Manualmente hay un truco para saber si está bien el mosaico o no, y es copiar el módulo en un acetato, aplicarle los giros correspondientes y traslaciones y volver a poner encima del mosaico para saber si coincide. Pero hoy en día existen programas tecnológicos avanzados para ello, como el GeoGebra. Los pasos son subir una foto a GeoGebra, buscar el módulo del mosaico, dibujar todos sus puntos, y aplicarles sus giros, reflexiones y traslaciones. Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 84 María Gutiérrez Estudillo Ilustración 83. Resumen de los Grupos Planos de Simetría. (Gilsanz Mayor, 2010) El cuadro de la Ilustración 83 resume cada isometría por grupo, así es más fácil de poder identificarlos. Los casos que se repiten se resuelven de la siguiente manera:  En el grupo cmm hay reflexiones de ejes perpendiculares, mientras que en el grupo pmg todas las reflexiones son paralelas.  En el grupo p3m1 todos los centros de giro están situado en los ejes de reflexión, mientras que en el grupo p31m hay algunos centros de giro por los que no pasa ningún eje de reflexión.  En el grupo p4m todos los centros de giro están situados en ejes de reflexión, mientras que en el grupo p4g hay algunos centros de giro por los que no pasa ningún eje de reflexión. También hay estos algoritmos que te llevan justo al grupo que es, a partir de preguntas concretas y claras. Ilustración 84.Algoritmo de identificación del Grupo de Simetría de un mosaico. (Gilsanz Mayor, 2010) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 85 María Gutiérrez Estudillo C. TECNICAS COMPUTACIONALES: GEOGEBRA ESTUDIO DE CASOS A continuación se clasificaran los elementos ornamentales del Patio de las Doncellas mediante los Grupos de Simetrías descritos. Para ello utilizaremos el Plano 1,Plano 2 y Plano 3. Donde queda recogido la situación de cada uno de los elementos. 1. ALICATADOS A continuación se catalogan los diferentes alicatados que decoran el Patio de las Doncellas según la clasificación de los grupos cristalográficos planos, usándose la notación internacional. Para su ubicación en el patio se tomará la señalización dada por la Dra. María Isabel González Ramírez en (Ramírez, 1995), véase Plano 1 y para identificar el grupo se usará los algoritmos descritos anteriormente. Primeramente se estudian los paneles centrales de los alicatados y posteriormente las cenefas o frisos que enmarcan los mismos. Plano 1. Patio de las Doncellas, con Referencias de paños de Alicatados. (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 86 María Gutiérrez Estudillo a) Estudio de los paneles centrales Alicatado tipo L Foto 1. Panel tipo L. (La autora, 2017) 1. Ubicación: lado este del Patio de las Doncellas. 2. Presentan decoración geométrica lazo de ocho occidental, en el que se combina 3 estrellas diferentes dependiendo del lazo interior o exterior, su gama de colores es completa, el negro y el blanco es el más usado, combinando azul, verde rodeando las ruedas de lazo. 3. Grupo de Simetría plano: a. ¿Presenta dos traslaciones no paralelas? Si b. ¿Cuál es el mayor orden de giro? 4 c. ¿Presenta reflexiones? No Según el algoritmo llegamos a la conclusión que este panel es un p4. Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 87 María Gutiérrez Estudillo Su módulo unidad o “paralelogramo fundamental “es un cuadrado. Véase Ilustración 85. Ilustración 85. Región Unidad (cuadrado). (La autora, 2017) Su “región generatriz” o Región Mínima también es un cuadrado (la cuarta parte del módulo unidad). Véase Ilustración 86. Ilustración 86.Región Mínima (1/4 parte de la Región Unidad). (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 88 María Gutiérrez Estudillo Si no tuviese lacería, obtendríamos un p4m, su Región Mínima tendría una simetría. Ilustración 87. Región Mínima (1/8 parte de la Región Unidad). (La autora, 2017) Reproducción con GeoGebra:  Se identifica al Región Mínima: un cuadrado, en este caso lo detallamos totalmente punto por punto. Véase Ilustración 88. Ilustración 88. Región Mínima con lacería detallada. (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 89 María Gutiérrez Estudillo  Se aplica en uno de los dos vértices de rotación de orden cuatro, un giro de 90º. Véase Ilustración 89. Ilustración 89. Región Mínima con un giro aplicado de 90º. (La autora, 2017)  Segundo giro de 90º. Véase Ilustración 90. Ilustración 90. Región Mínima segundo giro aplicado. (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 96 María Gutiérrez Estudillo Alicatado tipo P Foto 3. Panel tipo P. (La autora, 2017) 1. Ubicación: Jambas entre el Patio de las Doncellas y Salón de Embajadores. 2. Presentan decoración geométrica lazo de diez occidental, sus colores son el azul el relleno de las ruedas de lazo, las estrellas negreas y el lazo blanco. 3. Grupo de Simetría plano: a. ¿Presenta dos traslaciones no paralelas? Si b. ¿Cuál es el mayor orden de giro? 2 c. ¿Presenta reflexiones? No Según el algoritmo llegamos a la conclusión que este panel es un p2. Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 97 María Gutiérrez Estudillo GeoGebra, reproducción: Su Región Unidad o “paralelogramo fundamental “es un paralelogramo. Ilustración 99. Región Unidad paralelogramo. (La autora, 2017) 1. Su “región generatriz” o Región Mínima es un ½ del paralelogramo. Véase Ilustración 100. Ilustración 100. Región Mínima con centro de giro. (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 98 María Gutiérrez Estudillo 2. Traslaciones del paralelogramo, paralelos a dos de sus lados. Véase Ilustración 101. Ilustración 101. Traslación de paralelogramo y formación del mosaico. (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 99 María Gutiérrez Estudillo Alicatado tipo R Foto 4. Panel tipo R. (La autora, 2017) 1. Ubicación: lado este del Patio de las Doncellas. 2. Presentan decoración geométrica con lacería sus colores dominantes verde, negro y azul y sus lazos blancos. 3. Grupo de Simetría plano: a. ¿Presenta dos traslaciones no paralelas? Si b. ¿Cuál es el mayor orden de giro? 1 c. ¿Presenta reflexiones? No d. ¿presenta deslizamiento? No Según el algoritmo llegamos a la conclusión que este panel es un p1. Nota.- Si no se tiene en cuenta la lacería que contiene e impide las reflexiones deslizamiento, se cataloga como pm. Véase la catalogación que hace del el Prof. José Antonio Mora (Mora, s.f.) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 100 María Gutiérrez Estudillo Alicatado tipo A1 Foto 5. Panel tipo A1. (La autora, 2017) 1. Ubicación: este tipo de panel esta repetido por casi todo el patio con diferentes colores y esto hace que se perciban como diferentes tipos de alicatados. 2. Presentan decoración geométrica lazo de ocho occidental. 3. Grupo de Simetría plano: a. ¿Presenta dos traslaciones no paralelas? No. No es un Grupo Plano b. ¿Presenta unas traslaciones? No. No es un friso (grupo lineal). c. ¿Cuál es el mayor orden de giro? 4 d. ¿Presenta reflexiones? No Por tanto es un grupo cíclico que pertenece a los Grupos de Leonardo C4. Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 101 María Gutiérrez Estudillo GeoGebra, reproducción:  Región Unidad y Región Mínima es la misma unidad en los grupos puntuales. Véase Ilustración 102. Ilustración 102. Mosaico A1 con clasificación simétrica C4. (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 102 María Gutiérrez Estudillo Alicatado tipo A2 Foto 6. Panel tipo A2. (La autora, 2017) 1. Ubicación: este tipo de panel esta repetido por casi todo el patio con diferentes colores y esto hace que se perciban como diferentes tipos de alicatados. 2. Presentan decoración geométrica lazo de ocho occidental con lazo a la calle arriba. 3. Grupo de Simetría plano: a. ¿Presenta dos traslaciones no paralelas? No. No es un Grupo Plano b. ¿Presenta una traslación? No. No es un friso (grupo lineal). c. ¿Cuál es el mayor orden de giro? 4 d. ¿Presenta reflexiones? No Por tanto es un grupo cíclico que pertenece a los Grupos de Leonardo C4. Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 103 María Gutiérrez Estudillo GeoGebra, reproducción:  Región Unidad y Región Mínima es la misma unidad en los grupos puntuales. Véase Ilustración 103. Ilustración 103. Mosaico A2 con clasificación simétrica C4. (La autora, 2017) Alicatado tipo B Página 201 (Ramírez,1995) 1. Ubicación: este tipo de panel esta repetido por casi todo el patio con diferentes colores y esto hace que se perciban como diferentes tipos de alicatados 2. Presentan decoración geométrica lazo de ocho occidental. 3. Grupo de Simetría plano: a. ¿Presenta dos traslaciones no paralelas? No. No es un Grupo Plano b. ¿Presenta unas traslaciones? No. No es un friso (grupo lineal). c. ¿Cuál es el mayor orden de giro? 4 d. ¿Presenta reflexiones? No Por tanto es un grupo cíclico que pertenece a los Grupos de Leonardo C4. Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 104 María Gutiérrez Estudillo Alicatado tipo C Foto 7. Panel tipo C. (La autora, 2017) 1. Ubicación: este tipo de panel esta repetido por casi todo el patio con diferentes colores y esto hace que se perciban como diferentes tipos de alicatados, presenta pérdida de material. 2. Presentan decoración geométrica lazo de ocho occidental. 3. Grupo de Simetría plano: a. ¿Presenta dos traslaciones no paralelas? No. No es un Grupo Plano b. ¿Presenta unas traslaciones? No. No es un friso (grupo lineal). c. ¿Cuál es el mayor orden de giro? 4 d. ¿Presenta reflexiones? No Por tanto es un grupo cíclico que pertenece a los Grupos de Leonardo C4.  Región Unidad y Región Mínima es la misma unidad en los grupos puntuales. Véase Ilustración 104. Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 105 María Gutiérrez Estudillo Ilustración 104. Mosaico C con clasificación simétrica C4. (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 112 María Gutiérrez Estudillo  Reflexión transversal. Véase Ilustración 109. Ilustración 109.Reflexión vertical cenefa inferior que rodea Patio de las Doncellas. (Gutierrez, 2017)  Reflexión longitudinal. Véase Ilustración 110. Ilustración 110. Reflexión longitudinal cenefa inferior que rodea Patio de las Doncellas. (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 113 María Gutiérrez Estudillo  Traslación longitudinal. Véase Ilustración 111. Ilustración 111. Traslación y formación del friso inferior del Patio de las Doncellas. (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 114 María Gutiérrez Estudillo Cenefa inferior lado este Patio de las Doncellas Foto 13. Cenefa inferior lado este del Patio de las Doncellas. (La autora, 2017) Modulo 1. Ubicación: lado este del Patio de las Doncellas. 2. Presentan decoración geométrica en forma de rombo, combina el color negro, verde y blanco. 3. Grupo de Simetría lineal: a. ¿Presenta una traslación? Si b. ¿Presenta reflexiones transversales? No c. ¿Presenta reflexiones longitudinales? Si Según el algoritmo de identificación del friso pertenece a F1m. Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 115 María Gutiérrez Estudillo GeoGebra, reproducción:  Región Mínima. Véase Ilustración 112. Ilustración 112. Región Mínima cenefa inferior. (La autoraz, 2017)  Reflexión longitudinal. Véase Ilustración 113. Ilustración 113.Reflexión horizontal. (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 116 María Gutiérrez Estudillo  Traslación longitudinal. Véase Ilustración 114. Ilustración 114. Traslación de Región Mínima con su reflexión longitudinal. (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 117 María Gutiérrez Estudillo Cenefa superior entre el Patio de las Doncellas y Salón de Embajadores Foto 14. Cenefa superior entre el Patio de las Doncellas y el Salón de Embajadores. (La autora, 2017) 1. Ubicación: Jambas entre el Patio de las Doncellas y Salón de Embajadores. 2. Presentan decoración geométrica bicolor. 3. Grupo de Simetría lineal: a. ¿Presenta una traslación? Si b. ¿Presenta reflexiones transversales? Si c. ¿Presenta reflexiones longitudinales? Si Según el algoritmo de identificación del friso pertenece a Fmm. GeoGebra, reproducción:  Región Mínima con sus ejes de reflexión y vector de traslación longitudinal. Ilustración 115 Ilustración 115.Ejes de Reflexiones y vector de traslación. (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 118 María Gutiérrez Estudillo Cenefa inferior lado este Patio de las Doncellas en el Panel R 15. Cenefa inferior lodo este Patio de las Doncellas en el panel R.. (La autora, 2017) 1. Ubicación: lado este del Patio de las Doncellas. 2. Presentan decoración geométrica 3. Grupo de Simetría lineal: a. ¿Presenta una traslación? Si b. ¿Presenta reflexiones transversales? No c. ¿Presenta reflexiones longitudinales? No d. ¿Presenta deslizamiento longitudinal? No e. ¿Presenta giro? No Según el algoritmo de identificación del friso pertenece a F11. GeoGebra, reproducción:  Región Mínima, eje reflexión y vector de traslación. Véase Ilustración 117. Ilustración 116. Eje de Reflexión longitudinal y vector de traslación. (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 119 María Gutiérrez Estudillo Cenefa inferior lado este Patio de las Doncellas en el panel N1 Foto 16. Cenefa inferior lado este Patio de las Doncellas en el panel N1. (La autora, 2017) 1. Ubicación: lado este del Patio de las Doncellas. 2. Presentan decoración geométrica 3. Grupo de Simetría lineal: a. ¿Presenta una traslación? Si b. ¿Presenta reflexiones transversales? Si c. ¿Presenta reflexiones longitudinales? No d. ¿Presenta deslizamiento longitudinal? No e. ¿Presenta giro? No Según el algoritmo de identificación del friso pertenece a Fm1. GeoGebra, reproducción:  Región Mínima. Véase Ilustración 118. Ilustración 117. Región Mínima de la cenefa inferior del lado este. (La autoraz, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 120 María Gutiérrez Estudillo  Reflexión trasversal. Véase Ilustración 119. Ilustración 118. Reflexión vertical cenefa inferior del lado este. (La autora, 2017)  Traslación longitudinal. Véase Ilustración 120. Ilustración 119. Traslación y formación de la cenefa inferior del lado este. (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 121 María Gutiérrez Estudillo 2. YESERÍAS En este apartado se estudian las yeserías, incluyendo las celosías, del Patio de La Doncellas que tienen trazado geométrico. No se estudian las de temas epigráficos. En general las Simetrías que presenta la decoración de las yeserías y celosías son muy similares a los alicatados, suelen ser trazados de lacería. Aunque sean trazados de lacería, se omiten los lazos por la dificultad de hacer con yeso los trazados. Por lo tanto si contienes reflexiones y deslizamientos y los grupos son más complejos. Plano 2. Ubicación de Yesería y Celosías. (La autora, 2017) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 128 María Gutiérrez Estudillo Puertas de la Antigua Capilla P2 Se trata de otra gran puerta también de técnica apeinazada9 y de dos hojas, que miden 458 x 160 x 9 cm. cada una. Presenta una decoración unitaria en toda su altura, con los postigos acogidos dentro de la misma. Estos postigos son también de dos hojas, midiendo 156 x 36 x 4, 6 cm. cada una. La decoración de laceria que muestra esta generada por ruedas de lazo de ocho occidental. Parte superior: 1. ¿Hay reflexiones transversales? No 2. ¿Hay reflexión longitudinal? No 3. ¿Hay deslizamiento longitudinal? No 4. ¿Hay giros? Si Según el algoritmo de identificación del friso pertenece a F12. Puertas de la Alcoba Real P3 La tercera puerta de grandes dimensiones, apeinada como las anteriores, es la correspondiente a la Alcoba Real, en el lado norte del mismo patio principal, siendo las dimensiones de cada una de las dos hojas principales de 162 x 46 x 8,5 cm, y las del postigo, también de dos hojas, 166 x 33 x 4.6 cm. La decoración esta generada por estrellas de seis puntas, haciendo un hexágono central en el plano de cada hoja. 1. ¿Hay reflexiones transversales? No 2. ¿Hay reflexión longitudinal? No 3. ¿Hay deslizamiento longitudinal? No 4. ¿Hay giros? Si Según el algoritmo de identificación del friso pertenece a F1 . 9 APEINAZADA: Armadura de madera en la que la ornamentación a base de lazos se forma ensamblando los peinazos, sin clavarlos. (RAE) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 129 María Gutiérrez Estudillo Puerta de salida al Palacio Gótico P4 Este portalón esta realizado en técnica ataujerada10 y es de una sola hoja de 173 x 380 x 7 cm, que cuenta con postigo, también de batiente único, de 82,5 x 171 x 5cm. Un travesaño intermedio divide la superficie en dos mitades, siendo el cuerpo superior donde se desarrolla la geometría de lazo en su mayor extensión y el cuerpo inferior, destinado al emplazamiento del postigo, que queda enmarcado entre dos bandas verticales de lazo. Parte superior No pertenece al grupo de mosaicos, ni al de frisos, porque no tienen traslaciones mínimas, por tanto es un grupo de Rosetas de Leonardo. Por tanto es un grupo cíclico que pertenece a los Grupos de Leonardo. 1. ¿Orden de giro? 4 Según la identificación de Grupos de Leonardo es un C4. Parte inferior se distribuye en tres zonas una central y dos laterales. Central 1. ¿Hay reflexiones transversales? No 2. ¿Hay reflexión longitudinal? No 3. ¿Hay deslizamiento longitudinal? No 4. ¿Hay giros? Si Según el algoritmo de identificación del friso pertenece a F12. Laterales 5. ¿Hay reflexiones transversales? No 6. ¿Hay reflexión longitudinal? No 7. ¿Hay deslizamiento longitudinal? No 8. ¿Hay giros? Si Según el algoritmo de identificación del friso pertenece a F12. Presenta decoración de lazo de ruedas de ocho y doce en el cuerpo del portalón, mientras que en el postigo es un lazo de diez lefe. 10 ARMADURA ATAUJERADA: Armadura de madera en la que la ornamentación de lazos, al colocarse por el intradós, oculta la estructura. (RAE) Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 130 María Gutiérrez Estudillo Portalón de acceso desde el vestíbulo P5 Se trata de otro portalón de una sola hoja realizado en la técnica ataujerada, de 164 x 344 x 7 cm, que cuenta con un postigo, también de un batiente, de 82 x 171 x 5 cm. la estructura o bastidor queda conformada de mismo modo que en la puerta descrita anteriormente. También presentado la misma decoración geométrica. Parte superior No pertenece al grupo de mosaicos, ni al de frisos, porque no tienen traslaciones mínimas, por tanto es un grupo de Rosetas de Leonardo. Por tanto es un grupo cíclico que pertenece a los Grupos de Leonardo. 1. ¿Orden de giro? 4 Según la identificación de Grupos de Leonardo es un C4. Parte inferior se distribuye en tres zonas una central y dos laterales. Central 1. ¿Hay reflexiones transversales? No 2. ¿Hay reflexión longitudinal? No 3. ¿Hay deslizamiento longitudinal? No 4. ¿Hay giros? Si Según el algoritmo de identificación del friso pertenece a F12. Laterales 1. ¿Hay reflexiones transversales? No 2. ¿Hay reflexión longitudinal? No 3. ¿Hay deslizamiento longitudinal? No 4. Hay giros Según el algoritmo de identificación del friso pertenece a F12. Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 131 María Gutiérrez Estudillo Ventana del salón de Toledanos V1 Esta Realizada en técnica ataujerada, de dos hojas articuladas, siendo los dos tramos menores de 25,5 x 236 x 5,5 cm. a estos tramos se unen mediante bisagras de hembrillas engarzadas, el cuerpo principal de cada hoja que mide 50 x 236 x 5,5 cm. La decoración geométrica que presenta en su cara externa desarrolla una rueda de lazo de diez lefe ocupando las dos hojas principales, con su centro y eje en la línea de batientes entre ambas hojas. 1. ¿Hay reflexiones transversales? No 2. ¿Hay reflexión longitudinal? No 3. ¿Hay deslizamiento longitudinal? No 4. ¿Hay giros? Si Según el algoritmo de identificación del friso pertenece a F12. Ventana de la sala de Sevillanos V2 Es prácticamente idéntica a la anterior ventana de Toledanos, en cuanto a su estructura, también Realizada en técnica ataujerada, de dos hojas articuladas, siendo los dos tramos menores de 18,75 x236 x 5,5 cm cada uno. A estos tramos se unen mediante bisagras de hembrillas, el cuerpo principal de cada hoja, que mide cada una también, 49 x 236 x 5,5 cm. La decoración es de lazo de diez lefe al exterior. 1. ¿Hay reflexiones transversales? No 2. ¿Hay reflexión longitudinal? No 3. ¿Hay deslizamiento longitudinal? No 4. ¿Hay giros? Si Según el algoritmo de identificación del friso pertenece a F12. Ventana oriental de la antigua Capilla V3 y Ventana occidental de la Antigua Capilla V4 Las dos ventanas son iguales entre sí, de dos hojas cada una, con dimensiones de 75 x 253 x 5,5 cm, cada hoja, y Realizadas en técnica ataujerada. La decoración geometría de lacería compuesta por ruedas de lazo de estrellas de seis puntas, alineadas en el eje de cada hoja, enlazando con otras de ocho puntas que se alinean en los bordes, otras de cuatro puntas que se generan en el eje entre las de seis. 1. ¿Hay reflexiones transversales? No 2. ¿Hay reflexión longitudinal? No 3. ¿Hay deslizamiento longitudinal? No 4. ¿Hay giros? Si Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 132 María Gutiérrez Estudillo Según el algoritmo de identificación del friso pertenece a F12. Ventana occidental de la Alcoba Real V5 y Ventana oriental de la Alcoba Real V6 Las dos ventanas son iguales entre sí, de dos hojas, midiendo 74 x 254 x 5,5 cm. cada hoja. Realizadas con la técnica ataujerada. Al exterior presenta una laceria generada por ruedas de lazo de ocho occidental, que se alinean en número de cinco en el eje de cada hoja, y otras tantas alineadas en cada uno de los borde de las mismas y de modo alterno. 1. ¿Hay reflexiones transversales? No 2. ¿Hay reflexión longitudinal? No 3. ¿Hay deslizamiento longitudinal? No 4. ¿Hay giros? Si Según el algoritmo de identificación del friso pertenece a F12. Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 133 María Gutiérrez Estudillo b) Alfarjes Normalmente lo alfarjes van lisos, con un simple agramilado en la cara inferior de sus piezas. Otras veces van adornado con lazo formado por las propias alfarjías, peinazos intermedios y tablillas. Cuando el lazo elegido es complicado no se aviene con la disposición estructura; en lugar de esta labor apeinazada se emplea el ataujerada: el lazo se compone con taujeles sobre un tablero que luego se fija por debajo del alfarje. Otra modalidad ornamental es el menado, adorno de tablas o listones recortado y fijados en esa tablazón del fondo. También puede verse alfarjes con jaldetas, unas piezas trasversales entre las alfarjías, que dividen las calles en cuadrado o rectángulos. Cunando las jaldetas tiene la misma sección que las alfarjías, el aspecto de la obra es de una cuadricula de casetones y se llama artesonado. Es esta una técnica más renacentista que musulmana. ALFARJE DE LA GALERÍA BAJA DEL PATIO DE LAS DONCELLAS Las cuatro galería que rodean el Patio de las Doncellas están cubiertas por un alfarje en el que se repite un sencillo tema de lazo a base de tres estrellas de ocho dos hexágonos alargado o alfardones más dos calles de más estrechas. Este tema se interrumpe en las esquinas y aproximadamente en el centro de cada galería para encajar una laceria más complicado resolviendo el encuentro de dos galerías perpendiculares o precediendo las puestas desde el patio dan paso a las salas aproximadamente a eje con él. El decorado de las galerías este y norte formado por cinco estrellas de ocho y cuatro lacillos intercalados más dos calles perimetrales más estrechas, lo que suma un total de 32 gruesos. También las dos esquinas de la galería norte presenta este tema. También observándolo me doy cuenta que no tiene traslaciones y por tanto no puede ser un mosaico, ni un friso. Por tanto es un grupo cíclico que pertenece a los Grupos de Leonardo. ¿Orden de giro? 4 C4 En las esquina suroeste está formado por un cuadrado central con lazo de ocho en su vértices dejando, un octógono central decorado con cubo de mocárabe. Este cuadrado tiene un total de 12 gruesos de eje a eje; está rodeado por dos calles más y finalmente la calle perimetral más estrecha sumando un total de 32 gruesos de borde a borde. También observándolo me doy cuenta que no tiene traslaciones y por tanto no puede ser un mosaico, ni un friso. Por tanto es un grupo cíclico que pertenece a los Grupos de Leonardo. ¿Orden de giro? 2 C2 Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 134 María Gutiérrez Estudillo En la esquina sureste es un cuadrado definido por los ejes de la calle perimetral que en este caso forma parte del propio dibujo, interrumpiéndose la más estrecha que bordea toda la galería, tiene 29 gruesos de lado lo que obliga a que una de la calles interiores sea más ancha de lo que correspondería con el trazado exacto. También observándolo me doy cuenta que no tiene traslaciones y por tanto no puede ser un mosaico, ni un friso. Por tanto es un grupo cíclico que pertenece a los Grupos de Leonardo. ¿Orden de giro? 4 C4 En el centro de la galería oeste es igual al sureste pero con 28 gruesos. También observándolo me doy cuenta que no tiene traslaciones y por tanto no puede ser un mosaico, ni un friso. Por tanto es un grupo cíclico que pertenece a los Grupos de Leonardo. ¿Orden de giro? 4 C4 Por último la galería sur. El cuadrado a ejes de las calles de borde tiene 28 gruesos como es obligado por el ancho de la galería. Este cuadrado se subdivide en cuatro más pequeños de 14 gruesos d lado. También observándolo me doy cuenta que no tiene traslaciones y por tanto no puede ser un mosaico, ni un friso. Por tanto es un grupo cíclico que pertenece a los Grupos de Leonardo. ¿Orden de giro? 4 C4 Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 135 María Gutiérrez Estudillo CONCLUSIONES Y PROSPECTIVA A lo largo de los capítulos de esta memoria se ha recogido la catalogación y reproducción, mediante una aplicación desarrollada, de la ornamentación del Patio de las Doncellas del Real Alcázar de Sevilla según las técnicas de la Geometría MudéjarPara ello, no sólo se ha explicado el uso de la aplicación creada en GeoGebra, sino su fundamentación matemática. Echando la vista atrás a capítulos anteriores se considera alcanzado este objetivo en gran medida gracias a las imágenes y dibujos explicativos que completan los esquemas, algoritmos y descripciones. En la introducción de este trabajo se han descrito cuatro objetivos principales del proyecto que se ven cumplidos gracias a los resultados obtenidos. La aplicación final resultante es capaz, a partir de varios polígonos, de generar 7 Grupos lineales, 17 Grupos Planos y los Grupos de Leonardo más importantes. Y estos ser aplicados a casos reales como el Patio de las Doncellas. Además, permite al usuario ver los diferentes pasos intermedios del algoritmo utilizado en cada uno de ellos hasta la obtención del mosaico resultado final. Una de las prioridades era conseguir una interfaz fácil e intuitiva enfocada a un usuario no familiarizado con la informática, lo que se ha conseguido a través de una interfaz amigable con iconos en los botones de mosaicos representando cada uno de los grupos cristalográficos, para que sean fácilmente diferenciables, funcionalidades básicas resaltadas, etc. En resumen una interfaz sencilla pero con una serie de características que hacen que la aplicación sea atractiva y fácil de usar. Otro de los objetivos más importantes es que el tiempo de generación fuera lo más reducido posible. Objetivo que se considera cumplido con unos tiempos de generación de mosaicos más que aceptables, pudiendo saltar de un mosaico a otro casi en el acto, al “clic” de un botón. Es interesante observar que la aplicación creada permite reproducir paños decorativos mudéjares completos a partir de pequeñas porciones, por lo que consideramos de gran utilidad en la restauración de edificios monumentales mudéjares. Así mismo, es posibles su uso para crear nuevos diseños de lienzos decorativos con la regularidad y armonía que imprime los grupos cristalográficos de la geometría. Por último al ser construido bajo el marco de un applet firmado, la aplicación podrá ser ejecutada por Internet sin ningún tipo de problema, estando a disposición de cualquier persona a través de la Web. La línea iniciada en este TFG puede ser fácilmente continuada con el estudio de otros recintos del Real Alcázar de Sevilla. Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 136 María Gutiérrez Estudillo INDICE DE ILUSTRACIONES Ilustración 1. Ejemplo de Región Mínima. (La autora, 2017) ...................................................... 10 Ilustración 2. Izq. Miembros de la rueda de lazo; Dcha. Taujeles de la labor del lazo. (Albendea Ruz, 2011) .................................................................................................................................... 17 Ilustración 3. Juego de cartabones de lazo. (Albendea Ruz, 2011) ............................................. 18 Ilustración 4. Cartabones para las ruedas de 8. (Albendea Ruz, 2011) ....................................... 19 Ilustración 5. Cartabones para las rueda de 9. (Albendea Ruz, 2011) ......................................... 19 Ilustración 6. Cartabones para las rueda de 10. (Albendea Ruz, 2011) ...................................... 20 Ilustración 7. Cartabones para la rueda de 12. (Albendea Ruz, 2011) ........................................ 20 Ilustración 8. Cartabones para la rueda de 16. (Albendea Ruz, 2011) ........................................ 21 Ilustración 9. Desarrollo de rueda de 8. (Albendea Ruz, 2011) ................................................... 21 Ilustración 10. Desarrollo de la rueda de 9. (Albendea Ruz, 2011) .............................................. 22 Ilustración 11. Izq. Rueda de 10 fuera de calle y cuerda; Dcha. Rueda de 10 a calle y cuerda .. 22 Ilustración 12. Descúlate de rueda de 9 en otra de 12. (Albendea Ruz, 2011) ............................ 23 Ilustración 13. Despiece de los alicatados con GeoGebra. (Gutiérrez, 2017) ............................. 25 Ilustración 14. Grupo diedral D3. (Moratalla) .............................................................................. 36 Ilustración 15. Grupo diedral D2 (Moratalla) ............................................................................... 36 Ilustración 16: Grupo cíclico C3 (Moratalla) ............................................................................... 37 Ilustración 17. Friso grupo F11, imagen generada con GeoGebra. (La autora, 2017) ................ 39 Ilustración 18. Friso grupo f12, imagen generada con GeoGebra. (La autora, 2017) ................ 40 Ilustración 19. Friso grupo Fm1, imagen generada con GeoGebra. (La autora, 2017) .............. 40 Ilustración 20. Friso grupo F1m, imagen generada con GeoGebra. (La autora, 2017) ............... 41 Ilustración 21. Friso grupo F1g, imagen generada con GeoGebra. (La autora, 2017) ................. 41 Ilustración 22. Friso grupo Fmg, imagen generada con GeoGebra. (La autora, 2017) .............. 42 Ilustración 23. Friso grupo Fmm, imagen generada con GeoGebra. (La autora, 2017) .............. 42 Ilustración 24. Algoritmo, identificación de un friso. (Gilsanz Mayor, 2010) .............................. 43 Ilustración 25. Frisos más repetitivos del Real Alcázar. (La autora, 2017) .................................. 44 Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 137 María Gutiérrez Estudillo Ilustración 26. Rectángulo: paralelogramo fundamental. (La autora, 2017) .............................. 47 Ilustración 27. Se crea la casilla de control. (La autora, 2017) .................................................... 48 Ilustración 28. Polígono 2. (La autora, 2017) .............................................................................. 48 Ilustración 29. Casilla de control: ocultar figura. (La autora, 2017) ............................................ 49 Ilustración 30. Herramienta vector. (La autora, 2017)................................................................ 49 Ilustración 31. Vectores. (La autora, 2017) ................................................................................. 50 Ilustración 32. Herramienta traslación. (La autora, 2017) .......................................................... 50 Ilustración 33. Mosaico: Grupo Plano p1. (La autora, 2017)....................................................... 51 Ilustración 34. Crear Región Unidad (rectángulo). (La autora, 2017) ......................................... 52 Ilustración 35. Ejes de Simetría. (La autora, 2017)...................................................................... 52 Ilustración 36. Región Unidad y Región Mínima. (La autora, 2017)............................................ 53 Ilustración 37. Reflexión al eje horizontal. (La autora, 2017) ..................................................... 53 Ilustración 38. Deslizamiento eje horizontal. (La autora, 2017) ................................................. 54 Ilustración 39. Mosaico Grupo Plano pg. (La autora, 2017) ........................................................ 54 Ilustración 40. Región Unidad (rectángulo). (La autora, 2017) ................................................... 55 Ilustración 41. Eje de Simetría vertical. (La autora, 2017) .......................................................... 56 Ilustración 42. Región Mínima. (La autora, 2017) ....................................................................... 56 Ilustración 43. Simetría de Región Mínima. (La autora, 2017) .................................................... 57 Ilustración 44. Vectores de traslación. (La autora, 2017) ........................................................... 57 Ilustración 45. Mosaico pm. (La autora z, 2017) ......................................................................... 58 Ilustración 46. Región Unidad (rombo). (La autora, 2017) ......................................................... 59 Ilustración 47. Región Unidad, Región Mínima y eje de Simetría. (La autora, 2017) ................. 59 Ilustración 48. Simetría Región Mínima. (La autora, 2017)......................................................... 60 Ilustración 49. Vectores y primera traslación. (La autora, 2017) ................................................ 60 Ilustración 50. Mosaico cm. (La autora, 2017) ............................................................................ 61 Ilustración 51. Región Unidad y recta para el giro. (La autora, 2017)......................................... 62 Ilustración 52. Región Mínima. (La autora, 2017) ....................................................................... 62 Geometría Mudéjar en el Patio de las Doncellas 144 María Gutiérrez Estudillo