Curvas planas con curvatura dependiendo de su posición

FACULTAD DE MATEM´ ATICAS DEPARTAMENTO DE GEOMETR´ IA Y TOPOLOG´ IA CURVAS PLANAS CON CURVATURA DEPENDIENDO DE LA POSICI ´ ON Memoria realizada por Ana Rodr´ıguez Talaver´on Dirigido por: VoBo D. Alfonso Carriazo Rubio D˜na. M. Carmen M´arquez Garc´ıa Resumen En este trabajo se exponen curvas en las que su curvatura depende de la distancia a un punto o a una recta. En el primer cap´ıtulo se recuerdan conceptos y resultados sobre curvas planas y curvas alabeadas y tambi´en se introduce el concepto de funciones el´ıpticas de Jacobi. En el segundo cap´ıtulo buscamos curvas cuya curvatura depende de la distancia a un punto, en concreto, el origen. Este cap´ıtulo se basa en fundamentos f´ısicos. Por ´ultimo, en el tercer cap´ıtulo se estudian diversas curvas cuya curvatura dependen de la distancia a una recta, el eje OX. Abstract In this work curves are exposed in which their curvature depends on the distance to a point or a straight line. In the first chapter concepts and results about plane curves and space curves are recalled and the concept of Jacobi’s elliptical functions is also introduced. In the second chapter we look for curves whose curvature depends on the distance to a specific point, the origin. This chapter is based on physical foundations. Finally, in the third chapter we study several curves whose curvature depends on the distance to a straight line, the OX axis. ´ Indice general Introducci´on 7 1. Preliminares 9 1.1. Definiciones previas y resultados de curvas planas . . . . . . . 9 1.2. Definiciones y resultados sobre curvas alabeadas . . . . . . . . 12 1.3. Funciones el´ıpticas de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2. Curvas cuya curvatura depende de la distancia al origen 15 2.1. Movimiento bajo fuerza gravitacional . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2. Caso k(r) = r........................... 20 3. Curvas con curvatura de la forma k=k(y)25 3.1. Curvatura k=k(y)........................ 27 3.2. Curvas el´asticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3. Curvas cuya curvatura es k(y) = λ/y2.............. 32 3.3.1. Caso λ= 1 y c=0 .................... 33 3.3.2. Caso λ= 1 y c=1 .................... 35 3.4. Curvas cuya curvatura es k(y) = λcos y ............. 36 3.4.1. Caso c= 0, 0 < λ < 1 .................. 37 3.4.2. Caso c= 0, λ=1..................... 38 3.4.3. Caso c= 0, λ > 1..................... 39 3.5. Curvas cuya curvatura es k(y) = λcosh y ............ 39 3.6. Curvas cuya curvatura es k(y) = λ/ey.............. 41 3.6.1. Caso −1<c<1 ..................... 43 3.6.2. Caso c=1......................... 43 3.6.3. Caso c > 1......................... 44 3.7. Curvas cuya curvatura es k(y) = λ/cos2y............ 46 3.8. Curvas cuya curvatura es k(y) = λ/cosh2y........... 47 5 6´ Indice general 3.8.1. Caso c= 0, 0 < λ < 1 .................. 48 3.8.2. Caso c= 0, λ=1..................... 49 3.8.3. Caso c= 0, λ > 1..................... 50 Bibliograf´ıa 53 Introducci´on El objetivo de este trabajo es el de buscar curvas a trav´es de su curvatura. La curvatura es un concepto fundamental en geometr´ıa diferencial. Tal y como dijo Marcel Berger “la curvatura es el invariante Riemanniano n´umero 1 y el m´as natural. Gauss y Riemann lo vieron al instante”. Todos tenemos una idea intuitiva de lo que es la curvatura y de que algo est´e mas o menos curvado. Sin embargo, la definici´on matem´atica no es algo tan inmediato y se necesit´o de varias aproximaciones antes de llegar al concepto actual que tenemos de curvatura. A finales del siglo XV Gottfried Leibniz defini´o aproximadamente el concepto de curvatura y m´as tarde fue Leonhard Euler quien comenz´o con el estudio de la geometr´ıa intr´ınseca introduciendo el concepto de curvatura. Tan importante es la curvatura que gracias a ella tenemos el Teorema Fundamental de curvas planas, el cual, como su propio nombre indica, es fundamental para determinar una curva a trav´es de su curvatura. Estos conceptos los definimos en el cap´ıtulo uno, en el cual tambi´en introducimos el concepto de funciones el´ıpticas de Jacobi, muy ´utiles para realizar c´alculos de integraci´on. El estudio de estas funciones se origin´o en el siglo XVIII cuando se estudiaban integrales de la forma Zt 0 p(x) pq(x)dx donde p(x) y q(x) son polinomios de grado 3 ´o 4. Estas integrales surgen, por ejemplo, para dar una expresi´on de la longitud de arco de una elipse. De ah´ı proviene su nombre. Fueron muy estudiadas por Adrien-Marie Legendre, quien consigui´o calcular tablas de valores para estas integrales en funci´on de su l´ımite superior de integraci´on. El estudio de estas funciones avanz´o cuando 7 8Introducci´on en 1820, Carl Jacobi y Niels Henrik Abel, consiguieron hacer avances significativos en su estudio y las definieron tal y como las vemos en el cap´ıtulo uno. En este trabajo, basado en los art´ıculos de David Singer e Ildefonso Castro ([4], [6]), nos proponemos la siguiente cuesti´on: normalmente definimos la curvatura por la longitud de arco, pero ¿qu´e ocurre cuando mediante esta elecci´on no conseguimos obtener la expresi´on de la curvatura? Por ello, en los cap´ıtulos dos y tres estudiamos curvas planas cuya curvatura depende de la posici´on. En estos cap´ıtulos, a partir de la funci´on curvatura se obtienen las ecuaciones param´etricas de las curvas dependiendo de su posici´on mediante integraci´on y siguiendo un procedimiento similar al del Teorema Fundamental de curvas planas. En el cap´ıtulo dos estudiamos curvas cuya curvatura depende de la distancia al origen. Este estudio est´a motivado por el movimiento de un objeto en ´orbita sometido a la Fuerza Gravitatoria y por la Segunda Ley de Kepler. En este cap´ıtulo veremos que si partimos de las ecuaciones del movimiento de Newton y de la hip´otesis de que el objeto se mueve bajo una fuerza central somos capaces de obtener una relaci´on con la curvatura y as´ı obtener las curvas que verifican estas hip´otesis. Un ejemplo de ello es la Lemniscata de Bernoulli, la cual le da forma al s´ımbolo de infinito que tanto usamos. En el ´ultimo cap´ıtulo de este trabajo, el cap´ıtulo tres, veremos curvas cuya curvatura depende de la distancia a una recta, el eje OX. En primer lugar buscamos la expresi´on general de las curvas planas parametrizadas naturalmente cuya curvatura es k=k(y). Tambi´en definimos lo que son las curvas el´asticas, un concepto muy ´util para algunas de las curvas que veremos en este cap´ıtulo. Bas´andonos en estos dos conceptos m´as generales pasamos a mostrar curvas cuya curvatura depende de la distancia al eje OX. Son curvaturas de la forma: k(y) = λ/y2,k(y) = λcos y,k(y) = λcosh y,k(y) = λ/ey, k(y) = λ/cos2yyk(y) = λ/cosh2y. En el estudio de estas curvaturas encontraremos curvas conocidas como la catenaria. No quisiera terminar sin agradecerle a mis profesores por su trabajo, dedicaci´on e implicaci´on en este Trabajo de Fin de Grado, sin el cual no hubiese conseguido llegar hasta aqu´ı. Cap´ıtulo 1 Preliminares En este trabajo vamos a describir curvas planas cuya curvatura depende de la distancia a una recta o a un punto. Para ello, vamos a dar unos conceptos previos que usaremos a lo largo del trabajo, los cuales los podemos encontrar en [1] y [2]. 1.1. Definiciones previas y resultados de curvas planas En esta secci´on recordaremos algunas definiciones y resultados que verifican las curvas planas, que se pueden encontrar en [1] y [2]. Definici´on 1.1.1 Una Curva Parametrizada Regular en R2es una aplicaci´on α: (a, b)⊆R−→ R2 t7−→ α(t) = (x(t), y(t)) tal que: 1. α∈ Ck,k≥1 (Condici´on de Diferenciabilidad) 2. α0(t) = dα dt 6= 0 , ∀t∈(a, b) (Condici´on de Regularidad). Si adem´as kα0(t)k= 1, entonces diremos que la curva regular est´a parametrizada naturalmente (c.r.p.n). 9 16 Cap´ıtulo 2. Curvas cuya curvatura depende de la distancia al origen otro vector Sol-Planeta en el mismo intervalo de tiempo. Figura 2.1: Segunda Ley de Kepler. 2.1. Movimiento bajo fuerza gravitacional Supongamos que tenemos un objeto en ´orbita. Las ecuaciones del movimiento de Newton son: F(X) = mX00, donde Xes la posici´on, X0la velocidad y X00 la aceleraci´on del objeto. El objeto se mueve a trav´es del espacio bajo una fuerza central, ya que dicho objeto est´a en ´orbita. Luego, la fuerza tambi´en puede expresarse como: F(X) = −f(r)X(2.1.1) donde r=kXkes la distancia al origen y f(r) es una funci´on continua. Por tanto, el movimiento satisface la ecuaci´on: X00 =−1 mf(r)X, (2.1.2) 2.1. Movimiento bajo fuerza gravitacional 17 y la Segunda Ley de Kepler (Conservaci´on del momento angular): X×X0=C, con Cun vector constante. El movimiento se encuentra en un plano, as´ı que podemos asumir, sin p´erdida de generalidad, que es el plano OXY y si ponemos la curva en coordenadas polares, tenemos que el momento angular lo podemos calcular a partir de la posici´on y la velocidad: X= (r(t)cosφ(t), r(t)senφ(t),0), X0= (r0(t)cosφ(t)−r(t)φ0(t)senφ(t), r0(t)senφ(t) + r(t)φ0(t)cosφ(t),0), kX×X0k=r(t)2φ0(t)cos2φ(t) + r(t)2φ0(t)sen2φ(t) = r(t)2φ0(t). Por tanto, obtenemos: r2dφ dt =kX×X0k=c, (2.1.3) donde c=kCkes constante. Ahora definimos una funci´on Φ(r) como: dΦ dr =rf(r),(2.1.4) y V(x, y, z) = Φ(px2+y2+z2). Con estas funciones obtenemos: ∇V(x, y, z) = (∂Φ ∂x ,∂Φ ∂y ,∂Φ ∂z ) =∂Φ ∂r ∂r ∂x,∂Φ ∂r ∂r ∂y,∂Φ ∂r ∂r ∂z =px2+y2+z2f(px2+y2+z2)x px2+y2+z2, px2+y2+z2f(px2+y2+z2)y px2+y2+z2, px2+y2+z2f(px2+y2+z2)z px2+y2+z2 =f(px2+y2+z2)x, f(px2+y2+z2)y, f(px2+y2+z2)z =f(r)X. 18 Cap´ıtulo 2. Curvas cuya curvatura depende de la distancia al origen Por tanto, seg´un (2.1.1), F(X) = −∇V. Con esto hemos probado que V es la energ´ıa potencial del movimiento. Luego, el movimiento satisface la conservaci´on de la energ´ıa, es decir, la energ´ıa mec´anica, E=Ec+V, se conserva. Por tanto: E=Ec+V=1 2mkX0k2+V=E0, con Ecla energ´ıa cin´etica, Vla energ´ıa potencial y E0constante. Calculamos: kX0k2=r02cos2φ+r2φ02sen2φ−2r0rφ0cosφsenφ +r02sen2φ+r2φ02cos2φ+ 2r0rφ0cosφsenφ =r02+r2φ02. Obtenemos que: E0=1 2mhdr dt 2+r2dφ dt 2i+ Φ(r).(2.1.5) Ahora, usando (2.1.3) y (2.1.5) vamos a calcular la expresi´on de r: E0=1 2mhdr dt 2+r2c r22i+ Φ(r), 1 2mdr dt 2=−E0+1 2mc2 r2+ Φ(r), dr dt 2=−E0+1 2mc2 r2+ Φ(r) 1 2m , luego r(t) debe verificar la ecuaci´on: dr dt =v u u t−2E0+mc2 r2+ 2Φ(r) m.(2.1.6) 2.1. Movimiento bajo fuerza gravitacional 19 Ahora vamos a calcular la curvatura de las soluciones. Para ello, necesitamos la f´ormula general de la curvatura de la Proposici´on 1.3.3: k(t) = kX0×X00k kX0k3. Calculamos el numerador usando (2.1.2) y (2.1.3): kX0×X00k=kX0×−f(r) mXk =f(r)c m. Nos queda la curvatura: k(t) = cf(r) mkX0k3.(2.1.7) Calculamos el denominador usando la conservaci´on de la energ´ıa y as´ı obtenemos: kX0k2= 2E0−V m, kX0k=√2 √m√E0−V , kX0k3=√8 m√m(E0−V)3/2. Sustituyendo la expresi´on de kX0k3en (2.1.7) y usando (2.1.4): k(t) = cf(r) m√8 m√m (E0−V)3/2=cΦ0(r)√m r√8(E0−Φ(r))3/2.(2.1.8) Observamos que ks´olo depende de r. Luego, si denotamos: µ(r)=(E0−Φ(r))−1/2,(2.1.9) de (2.1.8) obtenemos: dµ dr =Φ0(r) 2pEo −Φ(r)3=√2 c√mrk(r).(2.1.10) 20 Cap´ıtulo 2. Curvas cuya curvatura depende de la distancia al origen Si k(r) es una funci´on tal que rk(r) es continua, entonces podemos resolver (2.1.10) para µ. Sustituyendo E0= 0 en (2.1.9), tenemos que Φ(r) = −1/µ(r)2, y de la conservaci´on de la energ´ıa e integrando obtenemos φ, con lo cual ya tenemos la curva X. En resumen, obs´ervese que mediante este procedimiento, lo que conseguimos es que si conocemos la curvatura, k, podemos encontrar la ecuaci´on de la curva, X. Esto es parte de la prueba del resultado: Teorema 2.1.1 Sea k(r)una funci´on tal que rk(r)es continua. Entonces el problema de determinar la curva cuya curvatura es k(r), donde r es la distancia al origen, se puede resolver mediante integraci´on. 2.2. Caso k(r) = r Nuestro objetivo es encontrar la expresi´on anal´ıtica de las curvas que verifican k(r) = r. Para ello necesitamos encontrar la expresi´on de φ. El primer paso es resolver (2.1.10), sustituyendo k(r) = r: dµ dr =√2 c0√mr2, integrando, µ(r) = √2 c0√mr3 3+a, donde aes una constante de integraci´on. Con E0= 0 de (2.1.9) tenemos que: Φ(r) = −1 µ(r)2=−9mc2 0 2(r3+a)2,(2.2.1) dΦ dr =27mr2c2 0 (r3+a)3. Vamos a comprobar que la fuerza F(X) es proporcional a r2/(r3+a)3. Para ello de (2.1.4) tenemos que: 2.2. Caso k(r) = r21 f(r) = 1 r dΦ dr =27mrc2 0 (r3+a)3.(2.2.2) Sabemos de (2.1.1) que: F(X) = −f(r)X. Calculando su m´odulo, se tiene que: kF(X)k=|f(r)|kXk= 27mc2 0 r2 (r3+a)3. Como podemos observar, hemos probado que es proporcional a r2/(r3+a)3. Aplicando (2.1.5), para E0= 0, y (2.2.1), obtenemos: 1 2mh(r0)2+r2(φ0)2i=−Φ(r) = 9mc2 0 2(r3+a)2 luego (r0)2+r2(φ0)2=9c2 0 (r3+a)2. Sustituyendo el valor de c0de (2.1.3) se tiene: (r0)2+r2(φ0)2=9r4(φ0)2 (r3+a)2.(2.2.3) Una de las curvas que verifican estas condiciones es X(t) = (r0cos (αt), r0sen (αt)), donde (r(t) = r0 α=dφ dt = 3c0/r0(r3 0+a)(2.2.4) con r0constante. De (2.1.3) se tiene que esta curva ha de verificar: r2 0 dφ dt =r2 0α=c0. 22 Cap´ıtulo 2. Curvas cuya curvatura depende de la distancia al origen Si en esta ´ultima expresi´on sustituimos el valor de αobtenemos: r2 0 3c0 r0(r3 0+a)=c0, 3r0=r3 0+a, a= 3r0−r3 0. Derivando obtenemos que: X00(t) = (−α2r0cos (αt),−α2r0sen (αt)), X00(t) = −α2X(t). Para que X(t) sea soluci´on de (2.1.2) debe verificar que: α2=1 mf(r). Sustituyendo f(r) de (2.2.3) nos queda: α2=27r0c2 0 (r3 0+a)3. De (2.2.4) tenemos tambi´en que: α2=9c2 0 r2 0(r3 0+a)2. Igualando estas dos ´ultimas expresiones de α2nos queda que: r3 0+a= 3r3 0, a= 2r3 0, 3r0−r3 0= 2r3 0, r2 0= 1, r0=±1. Por tanto, tenemos que r0= 1, ya que una distancia no puede ser negativa. Otras soluciones que puedan tener r(t) constante son s´olo puntos aislados. 2.2. Caso k(r) = r23 Otra forma de abordar el problema es buscar soluciones donde r0no sea constante y encontrar φ=φ(r). Usando (2.2.3) nos queda: 1 + r2(φ0)2=9r4 (r3+a)2(φ0)2, h9r4 (r3+a)2−r2i(φ0)2= 1, 9r4−r2(r3+a)2 (r3+a)2(φ0)2= 1, (φ0)2=(r3+a)2 9r4−r2(r3+a)2, φ0=r3+a rp9r2−(r3+a)2. Luego, resulta que φes: φ=Zr3+a rp9r2−(r3+a)2dr. (2.2.5) Esta integral no es f´acil de resolver. Un caso especial es aqu´el en el que a= 0. En este caso nos queda: φ−φ0=1 2arcsenr2 3,r2= 3sen2(φ−φ0) Esta curva es la Lemniscata de Bernoulli que se muestra en la Figura 2.2: 24 Cap´ıtulo 2. Curvas cuya curvatura depende de la distancia al origen Figura 2.2: Lemnniscata de Bernoulli. Cap´ıtulo 3 Curvas con curvatura de la forma k=k(y) Las curvas que tienen como par´ametro la distancia signada al eje OX pueden parametrizarse mediante la expresi´on: α(y) = (f(y), y). Seg´un la Proposici´on 1.1.4, la curvatura de estas curvas verifica la ecuaci´on: k(x, y) = −f00(y) (1 + f0(y)2)3/2=k(y). Si hacemos el cambio: f0(y) = g(y) f00(y) = g0(y), nos queda: k(y) = f00(y) (1 + f0(y)2)3/2=g0(y) (p1 + g(y)2)3. Integrando: Zk(y)dy =Zg0(y) (p1 + g(y)2)3dy. 25 32 Cap´ıtulo 3. Curvas con curvatura de la forma k=k(y) E=˙ k2+1 4k4−σ 2k2, = (2λ˙y)2+ 4λ4+ 8cλ3y2, = 4λ2(1 + c+λy2)(1 −c−λy2)+4λ4+ 8cλ3y2, =λ2(4 −4λ2y4−4c2−8cλy2+ 4λ2y4+ 8cλy2), = 4λ2(1 −c2). Con esto concluye la demostraci´on.  Por otra parte, tenemos que (3.2.4) implica que −1≤λy2+c≤1, es decir: −1−λy2≤c≤1−λy2,y como λy2≥0 nos queda que: c≤1−λy2≤1. Si c= 1, entonces nos queda 1 ≤1−λy2≤1. Por tanto, en este caso, la ´unica soluci´on es y= 0. Estudiemos el caso en el que c < 1. Ahora, siguiendo la estrategia descrita en el Teorema 3.1.2, nos queda de (3.2.4): s=Zdy p(1 + c+λy2)(1 −c−λy2),(3.2.5) y por (3.1.2) x(s) = −cs +λZy(s)2ds(3.2.6) donde c < 1 es constante. 3.3. Curvas cuya curvatura es k(y) = λ/y2 En esta secci´on vamos a estudiar curvas cuya curvatura es de la forma: k(y) = λ y2,con λ > 0.(3.3.1) 3.3. Curvas cuya curvatura es k(y) = λ/y233 Para que (3.3.1) est´e bien definida, podemos suponer, sin p´erdida de generalidad, que y > 0. Se sigue del Teorema 3.1.2, en el caso F(y) = −λ/y y la ecuaci´on diferencial de y=y(s) dada por (3.1.3), que: ˙y2= 1 −(c−λ/y)2= (1 + c−λ/y)(1 −c+λ/y) (3.3.2) con cconstante. De la ecuaci´on anterior se tiene que −1≤c−λ/y ≤1 y como tenemos que λ/y > 0 se deduce que c > −1. Por lo tanto, las curvas que cumplen (3.3.1) verifican, usando (3.1.4) y (3.1.2), que: s=Zdy r1 + c−λ yr1−c+λ y =Zydy p(1 + c)y−λp(1 −c)y+λ(3.3.3) y x(s) = −cs +λZds y(s).(3.3.4) Vamos a considerar distintos casos para λycpara que la integraci´on de (3.3.3) sea f´acil de realizar. 3.3.1. Caso λ= 1 yc= 0 Usando (3.3.3) tenemos que: s=Zydy py2−1=py2−1. Despejando yde la expresi´on anterior obtenemos: y(s) = √s2+ 1. Ahora, de (3.3.4) tenemos: x(s) = Zds √s2+ 1 =log(s+√s2+ 1). Por tanto, tenemos que nuestra curva es (x(s), y(s)) = (log(s+√s2+ 1),√s2+ 1),con s∈R(3.3.5) 34 Cap´ıtulo 3. Curvas con curvatura de la forma k=k(y) Figura 3.1: Curva con k(y) = λ/y2,λ= 1, c= 0: Catenaria. cuya curvatura viene dada por: k(s) = 1 s2+ 1,con s∈R. Esta curva no es otra que la catenaria y=cosh(x), la cual podemos verla en la Figura 3.1. Vamos a probarlo: sabemos que cosh(x)=(ex+e−x)/2. Tenemos que ver que: x(y) = log(py2+ 1 + y). Sustituyendo y=cosh(x) obtenemos que: log(py2+1+y) = logre2x+e−2x+ 2exe−x−4 4+ex+e−x 2, =logre2x+e−2x−2 4+ex+e−x 2, =logr(ex−e−x)2 4+ex+e−x 2, =logex−e−x 2+ex+e−x 2, =log(ex), =x. Por tanto, tenemos que nuestra curva es la catenaria. 3.3. Curvas cuya curvatura es k(y) = λ/y235 En resumen, hemos demostrado el siguiente resultado: Corolario 3.3.1 La catenaria y=cosh(x),x∈R(ver (3.3.5)) es la ´unica curva plana, salvo traslaciones en el eje OX, cuya cuvatura es k(y)=1/y2 y la primitiva de su curvatura F(y) = −1/y. 3.3.2. Caso λ= 1 yc= 1 Para calcular las expresiones expl´ıcitas de este caso, nos hemos ayudado del programa MAPLE. Usando (3.3.3) tenemos que: s=Zydy √2y−1=(y+ 1)√2y−1 3=⇒9s2= (y+ 1)2(2y−1) y esto implica que: y(s) = 1 2(1 + 18s2+ 6s√1+9s2)1/3+1 (1 + 18s2+ 6s√1+9s2)1/3−1. (3.3.6) Por otra parte, usando (3.3.4) y (3.3.6) obtenemos, usando el programa Maple, que: x(s) = −s+p(s) q(s)(3.3.7) donde: p(s) = −1 + (1 + 18s2+ 6s√1+9s2)1/3· ·1944s6+s√1+9s2+ 324s4(1 + 2s√1+9s2+ 12s2(1 + 6s√1+9s2)), q(s) = s1 + 18s2+ 6s√1+9s22/3· ·1 + 324s4+ 9s√1+9s2+ 9s2(5 + 12s√1+9s2). Por tanto nuestra curva es (x(s), y(s)) cuya curvatura es k(y) = 4 (1 + 18s2+ 6s√1+9s2)1/3+1 (1 + 18s2+ 6s√1+9s2)1/3−12 con s∈R, representada en la Figura 3.2. 36 Cap´ıtulo 3. Curvas con curvatura de la forma k=k(y) Figura 3.2: Curva con k(y) = λ/y2,λ= 1, c= 1. Corolario 3.3.2 La curva (x(s), y(s)),s∈R, dada por (3.3.7) y (3.3.6) es la ´unica curva plana (salvo traslaciones en el eje OX) cuya curvatura es k= 1/y2y la primitiva de su curvatura F(y)=1−1/y. 3.4. Curvas cuya curvatura es k(y) = λcos y El prop´osito de esta secci´on es estudiar curvas planas que satisfacen k(y) = λcos y, λ > 0.(3.4.1) Las soluciones triviales de (3.4.1) son las rectas horizontales y= (2m+ 1)π/2, m∈Z. Para estudiar las soluciones no triviales usamos el Teorema 3.1.2 con F(y) = λsen y y obtenemos: ˙y2= 1 −(λsen y +c) (3.4.2) con cconstante. De (3.4.2) tenemos que se tiene que verificar que −1≤ λsen y +c≤1 y esto implica que −(1 + λ)≤c≤1 + λ. 3.4. Curvas cuya curvatura es k(y) = λcos y 37 Por tanto, tenemos que las curvas que satisfacen (3.4.1) vienen dadas por: s=Zdy p(1 −(λsen y +c)2),x(s) = −cs −λZsen y(s)ds con c∈(−1−λ, 1 + λ). En general no es f´acil integrar estas expresiones y despejar expl´ıcitamente y=y(s) ya que esto implica integrales el´ıpticas y trigonom´etricas. El caso en el que s´ı podemos obtener dichas ecuaciones es cuando c= 0. Es importante el caso en el que k(y) verifica la siguiente ecuaci´on diferencial, similar a (3.2.2): ˙ k2+k4+ (1 −2λ2)k2=λ2(λ2−1) Tenemos que distinguir tres casos seg´un los valores de λ. 3.4.1. Caso c= 0,0< λ < 1 Usando la integral el´ıptica de primera clase F(., λ) y las funciones el´ıpticas elementales de Jacobi de m´odulo λ, definidas en el Cap´ıtulo 1, obtenemos que s=Zdy p(1 −λ2sen2y)=F(y, λ) =⇒y(s) = am(s, λ), luego, usando la Proposici´on 1.3.3, obtenemos: x(s) = −λZsen y(s)ds =−λZsn(s, λ)ds =−log(dn(s, λ)−λcn(s, λ)). Por tanto, tenemos que la curva es (x(s), y(s)) = (−log(dn(s, λ)−λcn(s, λ)), am(s, λ)) (3.4.3) cuya curvatura es k(s) = λcn(s, λ) con s∈R. Podemos verla en la Figura 3.3. 38 Cap´ıtulo 3. Curvas con curvatura de la forma k=k(y) Figura 3.3: Curva con k(y) = λcos y,c= 0, 0 < λ < 1. 3.4.2. Caso c= 0,λ= 1 En este caso solo necesitamos las siguientes funciones elementales: s=Zdy cos y = 2arctanh(tan y/2) =⇒y(s) = 2arctan(tanh s/2) y entonces, nos queda: x(s) = −Zsen y(s)ds =−Ztanh s ds =−log(cosh s). Luego, nuestra curva es (x(s), y(s)) = (−log(cosh s),2arctan(tanh s/2)) (3.4.4) cuya curvatura viene dada por k(s) = cos(2arctan(tanh s/2)) con s∈R. Podemos verla en la Figura 3.4. 3.5. Curvas cuya curvatura es k(y) = λcosh y 39 Figura 3.4: Curva con k(y) = λcos y,c= 0, λ= 1. 3.4.3. Caso c= 0,λ > 1 La resoluci´on de este caso es similar a la del caso c= 0 , 0 <λ<1. Usando la Proposici´on 1.3.2, tenemos que nuestra curva es: (x(s), y(s)) = −logdn(λs, 1 λ)−1 λcn(λs, 1 λ), arcsen1 λsn(λs, 1 λ) (3.4.5) Esta curva est´a representada en la Figura 3.5. Concluimos esta secci´on con el siguiente resultado. Corolario 3.4.1 La curva (x(s), y(s)),s∈R, dada por (3.4.3) si 0< λ < 1, por (3.4.4) si λ= 1 y por (3.4.5) si λ > 1es la ´unica curva plana (salvo traslaciones en el eje OX) cuya curvatura es k(y) = λcos y,λ > 0, con curvatura primitiva F(y) = λsen y. 3.5. Curvas cuya curvatura es k(y) = λcosh y En esta secci´on vamos a estudiar curvas planas cuya curvatura es k(y) = λcosh y, λ > 0.(3.5.1) 40 Cap´ıtulo 3. Curvas con curvatura de la forma k=k(y) Figura 3.5: Curva con k(y) = λcos y,c= 0, λ > 1. Usando el Teorema 3.1.2 tenemos que F(y) = λsenh y, y usando (3.1.3) obtenemos la siguiente EDO: ˙y2= 1 −(λsenh y +c)2(3.5.2) con cconstante. Entonces, podemos determinar las curvas planas (x(s), y(s)) que satisfacen (3.5.1) mediante: s=Zdy p1−(λsenh y +c)2, x(s) = −cs −λZsenh y(s)ds con c∈R. Si c6= 0, la integraci´on para obtener sno nos permite obtener expl´ıcitamente y=y(s) ya que son funciones el´ıpticas e hiperb´olicas donde yes dif´ıcil de despejar. Si c= 0, tenemos que la curvatura satisface la siguiente ecuaci´on diferencial, que es similar a la energ´ıa de la el´astica dada por (3.2.2): ˙ k2+k4−(1 + 2λ2)k2=−λ2(λ2+ 1). Usando la Proposici´on 1.3.3 y las funciones el´ıpticas de Jacobi, obtenemos 3.6. Curvas cuya curvatura es k(y) = λ/ey41 que: s=Zdy p1 + λ2−λ2cosh2y=1 √1 + λ21 dn(cosh y, p)−1,con p2=1 1 + λ2 y despejando nos queda que: y(s) = arccosh1 dn(√1 + λ2s, p),con p2=1 1 + λ2.(3.5.3) Por otro lado, por las propiedades de las funciones hiperb´olicas y el´ıpticas tenemos que senh y(s) = sn(√1 + λ2s, p) √1 + λ2dn(√1 + λ2s, p) y usando la Proposici´on 1.3.3, obtenemos que: x(s) = −arctanλ(1 + cn(√1 + λ2s, p)) cn(√1 + λ2s, p)−λ2, p2=1 1 + λ2.(3.5.4) Por tanto, nuestra curva es α(s)=(x(s), y(s)) donde x(s) e y(s) vienen dadas por (3.5.4) y (3.5.3), respectivamente, y se pueden ver en la Figura 3.6. Todo esto prueba el siguiente resultado. Corolario 3.5.1 La curva α(s) = (x(s), y(s)) con s∈R, dada por (3.5.3) y (3.5.4) , con λ > 0, es la ´unica curva plana, salvo traslaciones en el eje OX, cuya curvatura es k(y) = λcosh y y la primitiva de su curvatura F(y) = λsenh y. 3.6. Curvas cuya curvatura es k(y) = λ/ey En esta secci´on vamos a ver curvas cuya curvatura es: k(y) = λ/ey=λe−y, λ > 0. Mediante una traslaci´on en el eje OY podemos considerar: k(y) = e−y. 48 Cap´ıtulo 3. Curvas con curvatura de la forma k=k(y) Aplicando el Teorema 3.1.2, con F(y) = λtanh y, obtenemos la siguiente ecuaci´on diferencial ˙y2= 1 −(λtanh y +c)2, con cconstante y debiendo satisfacer que −1< λtanh y +c < 1. Esto implica que −(1 + λ)<c<1 + λ. Para determinar las curvas planas (x(s), y(s)) que satisfacen k(y) = λ/cosh2y, debemos calcular las siguientes integrales: s=Zdy p1−(tanh y +c)2 y x(s) = −cs −λZtanh y(s)ds (3.8.1) con c∈(−(1 + λ),1 + λ). En el caso c6= 0 nos encontramos de nuevo con los problemas mencionados en la Observaci´on 3.1.3. Para c= 0, vamos a realizar el cambio de variable u=senh y y nos queda que: s=Zdu p1 + (1 −λ2)u2. Distinguimos 3 casos dependiendo de los valores de λ. 3.8.1. Caso c= 0,0<λ<1 En este caso, nos queda que: s=Zdu p1 + (1 −λ2)u2=1 √1−λ2arcsenh(√1−λ2u) y despejando obtenemos, f´acilmente, que y(s) = arcsenh1 √1−λ2senh(√1−λ2s).(3.8.2) 3.8. Curvas cuya curvatura es k(y) = λ/cosh2y49 Usando (3.8.1) nos queda que: x(s) = −λ √1−λ2logcosh(√1−λ2s) + qcosh2(√1−λ2s)−λ2.(3.8.3) Por tanto, tenemos que la curva es (x(s), y(s)), con x(s) e y(s) las expresiones calculadas anteriormente. Podemos verla en la Figura 3.11. Figura 3.11: Curvas con k(y) = λ/cosh2y,c= 0, 0 <λ<1 . 3.8.2. Caso c= 0,λ= 1 En este caso, tenemos s=Zdu √1 + u2=senh(y). Despejando, obtenemos que y=arcsenh(s). Usando (3.8.1) nos queda que: x(s) = −√1 + s2. Por tanto, la curva es (x(s), y(s)) = (arcsenh(s),−√1 + s2) (3.8.4) cuya curvatura es k(s) = 1 1 + s2. 50 Cap´ıtulo 3. Curvas con curvatura de la forma k=k(y) Por el Teorema Fundamental de Curvas Planas sabemos que la curvatura determina una ´unica curva (salvo movimientos r´ıgidos). Por tanto, esta curva no es otra que la catenaria (obtenida en la Secci´on 3.3). 3.8.3. Caso c= 0,λ > 1 En este caso, nos queda que: s=Zdu p1 + (1 −λ2)u2=1 √λ2−1arcsen(√λ2−1u) y despejando obtenemos, f´acilmente, que y(s) = arcsenh1 √λ2−1sen(√λ2−1s).(3.8.5) Usando (3.8.1) nos queda que: x(s) = λ √λ2−1arcsencos(√λ2−1s) λ.(3.8.6) Figura 3.12: Curvas con k(y) = λ/cosh2y,c= 0, λ > 1. 3.8. Curvas cuya curvatura es k(y) = λ/cosh2y51 Por tanto, tenemos que la curva es (x(s), y(s)), con x(s) e y(s) dadas en (3.8.6) y (3.8.5), respectivamente. La representaci´on de esta curva est´a dada en la Figura 3.12. Con estos tres casos tenemos el siguiente resultado de unicidad. Corolario 3.8.1 La curva (x(s), y(s)) dada por (3.8.2) y (3.8.3) si 0< λ < 1, por (3.8.4) si λ= 1 y por (3.8.5) y (3.8.6) si λ > 1, con c= 0, es la ´unica curva plana (salvo traslaciones en el eje OX) cuya curvatura es k(y) = λ cosh2y,λ > 0, con curvatura primitiva F(y) = λtanh y. 52 Cap´ıtulo 3. Curvas con curvatura de la forma k=k(y) Bibliograf´ıa [1] Manfredo P. do Carmo. Geometr´ıa diferencial de curvas y superficies. Alianza, Madrid, 1990. [2] M.A. Hern´andez Cifre, J.A. Pastor Gonz´alez Un curso de Geometr´ıa Diferencial. CSIC, Madrid, 2010. [3] P.F. Byrd, M.D. Friedman. Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Scientists. Springer-Verlag, New York, 1971. [4] D. Singer. Curves whose curvature depends on distance from the origin. Am. Math. Mon. 106 (1999), 835-841. [5] Segunda Ley de Kepler: http://www.astrosurf.com/astronosur/docs/Kepler.pdf [6] I. Castro, I. Castro-Infantes. Plane curves with curvature depending on distance to a line. Elsevier B.V. [7] J. Langer, D. Singer. The total squared curvature of closed curves. J. Differ. Geom. 20 (1984), 1-22.