Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento energético de las vibraciones ambientales

Equation Chapter 1 Section 1 Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería de las Tecnologías Industriales Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento energético de las vibraciones ambientales A utora: Macarena Gómez Acebal Tutor: Antonio Romero Ordóñez Dpto. Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2019 iii Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería de las Tecnologías Industriales Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento energético de las vibraciones ambientales Autor: Macarena Gómez Acebal Tutor: Antonio Romero Ordónez Profesor Titular Dpto. Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2019 v Trabjo Fin de Grado: Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento energético de las vibraciones ambientales Autor: Macarena Gómez Acebal Tutor: Antonio Romero Ordónez El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2019 El Secretario del Tribunal vii A mi familia y amigas A mis profesores ix ÍNDICE ÍNDICE DE FIGURAS ................................................................................... xi ÍNDICE DE TABLAS .................................................................................. xvii 1. INTRODUCCIÓN .................................................................................. 1 1.1. Motivación .................................................................................................. 1 1.2. Revisión bibliográfica .................................................................................. 1 1.3. Objetivos .................................................................................................... 3 1.4. Estructura del documento .......................................................................... 3 1.5. Contribuciones originales ........................................................................... 4 2. MICROGENERACIÓN DE ENERGÍA DE LAS VIBRACIONES AMBIENTALES ............................................................................................ 6 2.1. Introducción ............................................................................................... 6 2.2. Propiedades ................................................................................................ 7 2.3. Historia del modelo de recolector de energía ........................................... 11 2.4. Modelo de recolector en ANSYS ............................................................... 13 3. COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE UN RECOLECTOR DE ENERGÍA .. 26 3.1. Sistema de un grado de libertad ............................................................... 26 3.2. Solución analítica de una viga en voladizo ................................................ 31 4. MODELO NUMÉRICO DE UN MICRORECOLECTOR DE ENERGÍA ....... 43 4.1. Análisis modal ........................................................................................... 43 4.1.1. Modelo tipo viga. Comparación con la solución analítica .................. 44 4.1.2. Modelo tipo pletina. Comparación con la solución analítica ............. 49 4.1.3. Efecto masa sísmica ............................................................................. 54 4.1.3.1. Modelo con masa puntual centrada ............................................................. 55 4.1.3.2. Modelo con masa puntual en los extremos .................................................. 60 4.1.3.3. Modelo con masa lineal ................................................................................. 64 4.2. Análisis armónico ...................................................................................... 71 4.2.1. Comparación de modelos sin masa sísmica ........................................ 72 xvii ÍNDICE DE TABLAS Tabla 2–1 Nomenclatura empleada en las ecuaciones de materiales piezoeléctricos. 8 Tabla 3–1 Nomenclatura empleada en el código de MATLAB para la realización del modelo ...................................................................................................................................... 32 Tabla 3–2 Valores y unidades empleados en el código de MATLAB para la realización del modelo ........................................................................................................... 33 Tabla 4–1 Comparativa de frecuencias naturales entre la solución análitica y el modelo numérico con elemento BEAM3, señalando el error entre ambos. ............... 46 Tabla 4–2 Frecuencias y contribución modal para cada modo de vibración del modelo de ANSYS con elemento SHELL181 .................................................................... 50 Tabla 4–3 Comparativa de frecuencias naturales entre el cálculo analítico con MATLAB y el modelo de ANSYS que emplea un elemento SHELL181 .................... 54 Tabla 4–4 Frecuencias y contribución modal para cada modo de vibración del modelo de ANSYS para el elemento SHELL181 con MASS21 centrada .................... 56 Tabla 4–5 Frecuencias y contribución modal para cada modo de vibración del modelo de ANSYS para el elemento SHELL181 con MASS21 en extremos .............. 61 Tabla 4–6 Frecuencias y contribución modal para cada modo de vibración del modelo de ANSYS para el elemento SHELL181 con masa lineal (BEAM188) .......... 67 Tabla 4–7 Comparación de frecuencias naturales de los modos de vibración contribuyentes, para el modelo de pletina sin masa sísmica y para los tres modelos que sí la incluyen ..................................................................................................................... 70 Tabla 4–8 Frecuencias y contribución modal para cada modo de vibración del modelo de configuración bimorfa sin masa y sin considerar diferencia de potencial ..................................................................................................................................................... 78 Tabla 4–9 Frecuencias y contribución modal para cada modo de vibración del modelo numérico en ANSYS del sistema con configuración bimorfa sin masa sísmica, considerando una diferencia de potencial de valor unidad (1 V) ................. 81 Tabla 4–10 Frecuencias y contribución modal para cada modo de vibración del modelo numérico en ANSYS del sistema con configuración bimorfa con masa puntual, sin considerar diferencia de potencial ................................................................ 83 Tabla 5–1 Velocidad a la cual circula cada modelo de tren por el Viaducto sobre el Arroyo Bracea I. ....................................................................................................................... 91 1 1. INTRODUCCIÓN 1.1. Motivación La recolección de energía se basa en almacenar energía eléctrica proveniente de otras fuentes de energía como la mecánica, solar, térmica…, para su posterior utilización. Aunque es un tema de actualidad, este método se remonta mucho tiempo atrás, ya que la humanidad siempre ha buscado formas de poder almacenar energía, y no tener la necesidad de consumirla en el momento que se produce. Energy Harvesting aplica esta táctica en pequeños dispositivos, principalmente elementos electrónicos portátiles y sensores inalámbricos. La motivación de investigar en este campo reside en la reducida potencia que requieren los componentes electrónicos. La meta principal es conseguir que dichos dispositivos sean capaces de alimentarse con la energía procedente de las vibraciones disponible en el ambiente. De esta forma se podría eliminar, o al menos reducir, la necesitad de una fuente de alimentación externa y contaminante. Concretamente, se pretenden colocar estos instrumentos cercas de las vías del tren, para así poder aprovechar el movimiento que generan a su paso. 1.2. Revisión bibliográfica En los últimos años, las tecnologías para el almacenamiento de energía han adquirido cada vez más importancia e interés entre los investigadores. Priya e Inman (Kim, Tadesse, & Priya, 2008) recogen en los capítulos de su libro, diferentes revisiones técnicas, discusiones y conocimientos básicos del diseño y fabricación de estos sistemas de captación de energía. Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento 2 energético de las vibraciones ambientales Dependiendo de la fuente, se obtiene más o menos potencia de energía almacenada. La energía solar tiene la capacidad de proporcionar la mayor densidad de potencia, 15000 µW / cm' , aproximadamente el doble que las otras fuentes posibles. Sin embargo, este tipo de origen no es conveniente en emplazamientos de interior, ya que la densidad disminuye hasta alcanzar los 10 - 20 µW / cm' . Las otras fuentes interesantes son las vibraciones mecánicas (300 𝜇𝑊 / 𝑐𝑚' ) y el flujo o corriente de aire (360 𝜇𝑊 / 𝑐𝑚' ). Toda esta información la estudiaron investigadores como Roundy et al. (Roundy, et al., 2005). Sin embargo, la transducción que ha recibido más atención en las últimas décadas ha sido la conversión de vibraciones a electricidad, como muestran numerosos artículos (Sodano, Inman, & Park, 2004) (Priya, 2007). Principalmente, se encuentran tres mecanismos básicos de conversión: electromagnetismo, electroestática y piezoelectricidad. Siendo esta última es la que ha despertado más interés (Sodano, Inman, & Park, 2005) (Jeon, Sood, Jeong, & Kim, 2005). La vibración de un sólido rígido puede estar causada por diferentes factores, como por ejemplo el desequilibrio producido por una masa en un sistema. El comportamiento característico es único dependiendo del sistema estudiado, el cual puede estar simplemente definido por la constante de amortiguamiento y la frecuencia natural (Laura, Pombo, & Susemihl, 1974). Lo más común es estudiar el comportamiento dinámico de las vibraciones del sólido empleando un modelo tipo viga, con el fin de simplificar el problema y poder prever cómo actuará un sistema más complejo. Normalmente, el recolector de energía mediante piezoelectricidad consiste en una pletina en voladizo con una o dos capas piezocerámicas. Éste se coloca sobre una base vibratoria para generar un voltaje de salida a través de los electrodos del material de cubrición (Ottman, Hofmann, Bhatt, & Lesieutre, 2002). En el circuito eléctrico se incluye una carga resistiva para predecir la respuesta eléctrica del conjunto, teniendo como dato de entrada el movimiento de la base. INTRODUCCIÓN 3 3 1.3. Objetivos El objetivo de este trabajo es el estudio de la producción de energía a través de las vibraciones, es decir, investigar el voltaje generado al excitar un sistema mediante oscilaciones. Para ello, se modelará mediante el Método de los Elementos Finitos un recolector de energía, y se estudiará su comportamiento dinámico frente a una excitación debida a una aceleración en su base. Para alcanzar ese fin, en primer lugar, se implemetará una solución analítica de un modelo aproximado propuesto por Erturk e Inman (Erturk & Inman, A distributed parameter electromechanical model for cantilevered piezoelectric energy harvesters, 2008a), con la finalidad de comprender cómo funciona el recolector. Posteriormente, se simularán modelos numéricos con diversas configuraciones empleando el MEF, de forma que se logre asimilar lo máximo posible al prototipo habitual de recolector. Estudiando la respuesta lograda para cada uno de los modelos, se busca determinar la configuración óptima que porporcione la mayor generación de energía. El principal fin de este trabajo, es investigar la energía que es capaz de extraerse excitando a un sistema mediante vibraciones en su base. Por ello, se desea implemetar una excitación tomada en el Viaducto sobre el Arroyo Bracea I por Galvín et al. (Galvín, Romero, Moliner, & Martínez-Rodrigo, 2018) en el modelo concluyente. La idea consistiría en situar los recolectores en viaductos de fácil acceso por los cuales haya tránsito ferroviario. De ese modo, los recolectores estarán excitados con vibraciones de origen no artificial, y serán capaces de almacenar energía sin perjudicar el medio ambiente. 1.4. Estructura del documento El escrito lo forman 6 capítulos más un anexo, divididos en subcapítulos y subapartados para facilitar la comprensión y el desarrollo de la información. Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento 4 energético de las vibraciones ambientales En el capítulo 2 se expone la información teórica de utilidad en el progreso del documento. Se trata el tema de la conversión de energía mecánica a eléctrica, se introducen los conceptos generales de los materiales piezoeléctricos, se explican los diferentes modelos con los cuales se han modelado a lo largo de la historia los recolectores y para concluir, se muestra la forma de implementar en ANSYS los materiales piezoeéctricos. En el siguiente capítulo, el número 3, se ejecuta la solución análitica propuesta por Erturk e Inman (Erturk & Inman, A distributed parameter electromechanical model for cantilevered piezoelectric energy harvesters, 2008a) para un modelo determinado de recolector. De esa forma, se obtiene una primera aproximación de la respuesta del sistema. La sección principal y la más importante del trabajo realizado corresponde al capítulo cuatro. En él, se presentan dos modelos numéricos (tipo viga y tipo pletina), implementados con ayuda de ANSYS, y su comparación con la solución analítica. Finalmente, se modifica el sistema anterior considerando el efecto de masa sísmica y el acoplamiento piezoeléctrico. En el quinto capítulo, se excita al modelo que se adapta mejor al sistema de recolector, mediante aceleraciones en su base debidas a la circulación ferroviaria. El escrito lo cierran las conclusiones y las posibles líneas de trabajo futuro, junto con un anexo donde se incluyen los códigos implementados en ANSYS para los modelos numéricos realizados. 1.5. Contribuciones originales En la elaboración de este trabajo, se implementan soluciones analíticas obtenidas por Erturk e Inman (Erturk & Inman, 2008c) (Erturk & Inman, 2007). Por un lado, los modelos numéricos analizados se elaboran teniendo en consideración la configuración más habitual de simular un recolector piezoeléctrico (Ottman, Hofmann, Bhatt, & Lesieutre, 2002). Por otro lado, a la hora de excitar los modelos mediante aceleraciones, se emplean los resultados de un ensayo realizado por Galvín et al. (Galvín, Romero, Moliner, & Martínez-Rodrigo, 2018). INTRODUCCIÓN 5 5 Finalmente, los aspectos a destacar en el escrito son los siguientes: • Implementación de una solución analítica basada en el modelo de Erturk e Inman, empleando el programa MATLAB. • Definición y creación de diferentes modelos mediante el Método de los Elementos Finitos con ayuda de ANSYS: modelo tipo viga y modelos tipo pletina con diferentes configuraciones, como el efecto de una masa sísmica o el efecto del acoplamiento piezoeléctrico. • Resolución mediante análisis modal, armónico y transitorio implementado en los diferentes prototipos planteados. • Excitación del modelo mediante medidas experimentales tomadas en el puente del arroyo Bracea I por Galvín et al. (Galvín, Romero, Moliner, & Martínez-Rodrigo, 2018). • Recopilación de las conclusiones obtenidas en la investigación, que pueden servir de base en futuros estudios. Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento 6 energético de las vibraciones ambientales 2. MICROGENERACIÓN DE ENERGÍA DE LAS VIBRACIONES AMBIENTALES 2.1. Introducción La piezoelectricidad es un fenómeno que afecta a ciertos cristales de forma que, al ser sometidos a tensiones mecánicas, su masa adquiere una polarización eléctrica provocando que aparezca una diferencia de potencial entre sus superficies enfrentadas. El efecto piezoeléctrico es normalmente reversible, es decir, al dejar de someter a los cristales a un voltaje exterior, recuperan su forma original. Los materiales más comunes son: Cuarzo, Rubidio, sal de Seignette, cerámicas, cerámica piezoeléctrica y cerámica técnica. Se dividen en dos grupos: los que presentan las propiedades de forma natural, y los que necesitan ser polarizados (es el caso de los cerámicos). Como los primeros tienen un efecto pequeño, surge la necesidad de crear los segundos. Las cerámicas piezoeléctricas pertenecen a la categoría que aporta mayor flexibilidad de formato y propiedades, siendo ampliamente utilizadas en la fabricación de equipos industriales, especialmente en sistemas de limpieza, equipos de soldadura por ultrasonido, para ensayos no destructivos y para monitorear vibraciones. Los más usados en la industria son el titaniato de bario (BaOTiO2), y una combinación de zirconato de plomo (PbZrO3) y titanato de plomo (PbTiO3) (Kim, Tadesse, & Priya, 2008). A esta combinación se le denomina PZT (zirconato titanato de plomo) y son fabricados por compresión de polvo a alta temperatura, moldeados y cocidos en un horno. Wolf y Troiler-McKinstry (Troiler-Mckinstry & MICROGENERACIÓN DE ENERGÍA DE LAS VIBRACIONES AMBIENTALES 7 7 Muralt, 2004) propusieron el proceso de deposición química para láminas PZT. El PZT fue desarrollado en 1952 en el instituto tecnológico de Tokio. Es una solución sólida sintetizada de titaniato de plomo con zinconato de plomo, como se ha indicado anteriormente, y son las cerámicas piezoeléctricas más demandadas debido a su temperatura crítica, su coeficiente piezoeléctrico y su relativamente baja temperatura de funcionamiento (200 °C). Posee las siguientes ventajas: se puede fabricar a un precio muy bajo, físicamente es resistente, es químicamente inerte y se ha demostrado que tiene más sensibilidad piezoeléctrica que otras cerámicas (se comprueba observando su coeficiente piezoeléctrico). Finalmente, el piezocerámico empleado durante este trabajo corresponde al tipo PZT-5H (Navy Type VI). Este modelo es adecuado para aplicaciones que requieren grandes deformaciones mecánicas. Sus propiedades más destacadas son las constantes d33 y K33. La creación de actuadores y posicionadores son las principales aplicaciones de este tipo de PZT. Tras esta breve introducción sobre la piezoelectricidad, se procede, en primer lugar, a definir las propiedades de los elementos piezoeléctricos. Una vez aclaradas dichas propiedades, se explica la evolución de las diversas investigaciones que han tratado de explicar y modelar el comportamiento dinámico de un recolector de energía. Para finalizar, se muestra el método para implemetar dicho modelo en un programa de Elementos Finitos. 2.2. Propiedades Para comenzar, se adjunta una tabla aclaratoria con los símbolos empleados en este apartado junto con su descripción. Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento 14 energético de las vibraciones ambientales emplea el latón) modelado mediante un elemento SHELL181, acoplado a dos láminas piezoeléctricas definidas en el programa como elementos SOLID5. Para comenzar, se introducen estos dos tipos de elementos. • Elemento SHELL181 En primer lugar, hay que señalar que el elemento SHELL181 se utilizará a lo largo de este escrito para la modelización de la pletina de latón. Éste es adecuado para analizar estructuras de cáscara o cubierta delgada pero también moderadamente gruesas (ANSYS, ANSYS Help SHELL181). Posee cuatro nodos con seis grados de libertad cada uno (traslaciones y rotaciones alrededor de los ejes X, Y y Z). En la figura 2-1 se muestra la geometría, la ubicación de los nodos y el sistema de coordenadas definido para este elemento. Figura 2-1 – Geometría del elemento SHELL181 de ANSYS. Imagen obtenida del manual del programa (ANSYS, ANSYS Help SHELL181). Para la definición del elemento, se debe indicar el valor del espesor de la lámina. En ANSYS se introduce mediante el siguiente comando: SECDATA, valor_espesor. Por otro lado, se debe indicar la densidad (Kg/m3), el coeficiente de Poisson y el módulo de elasticidad (N/m2) del material empleado. MICROGENERACIÓN DE ENERGÍA DE LAS VIBRACIONES AMBIENTALES 15 15 • Elemento SOLID5 Dicho elemento es adecuado en diversos ámbitos como en campos eléctricos, térmicos, magnéticos, piezoeléctricos y estructurales en tres dimensiones. Posee ocho nodos con seis grados de libertad cada uno de ellos (traslación y rotación en los ejes X, Y y Z). En análisis estructurales y piezoeléctricos, adquiere gran capacidad de desviación y rigidez frente a la tensión (ANSYS, ANSYS Help SOLID5). A continuación, en la figura 2-2, se observa análogamente al elemento anterior, la geometría, la ubicación de los nodos y el sistema de coordenadas para el elemento SOLID5. Figura 2-2 – Configuración y geometría del elemento SOLID5 de ANSYS. Imagen extraída del manual del programa (ANSYS, ANSYS Help SOLID5). La elección de emplear un elemento SOLID en lugar de un SHELL, reside en que éste último no permite incluir el efecto piezoeléctrico. Las propiedades a definir en el elemento tipo SOLID5 para que funcione como un material piezoeléctrico, son: • Densidad del material (Kg/m3). • Matriz de permititividad (en forma 𝜀/𝜀0 ). • Matriz de carga piezoeléctrica (d). Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento 16 energético de las vibraciones ambientales • Matriz de compliancia (s). Dichas matrices tienen la siguiente configuración: / (2–4) / (2–5) / (2–6) Es fundamental el procedimiento a seguir cuando se introducen estas matrices en el programa, ya que dependiendo de ello se definirá una dirección de polarización u otra. Precedentemente a la explicación de la polarización en el material piezoeléctrico, se deben comprender los cuatro efectos principales que afectan a un sistema = 0 ε ε T 11 K0 0 011 K0 0 0 33 K = E s s11 s12 s13 0 0 0 s12 s11 s13 0 0 0 s13 s13 s33 0 0 0 0 0 0 s44 0 0 0000s44 0 000002(s11-s12) = d 0 0 0 0 d15 0 0 0 0 d15 0 0 d31 d31 d33 0 0 0 When three equations (5),(7), an MICROGENERACIÓN DE ENERGÍA DE LAS VIBRACIONES AMBIENTALES 17 17 piezeléctrico: efecto voltaico, gravitatorio, geométrico y polarización. Los efectos tratados en este escrito serán el primero y el último, ya que la geometría se considera impuesta al basarse el análisis en un ejemplo concreto (Kim, Tadesse, & Priya, 2008). En la figura 2-3 se muestra la idea del modelo de recolector que se pretende realizar en este trabajo. Se tienen dos láminas piezoeléctricas paralelas al plano XZ y, entre ambas, un material de otra naturaleza (en color amarillo). Figura 2-3 – Modelo de dos láminas piezoeléctricas entre un material diferente, en voladizo, empotrada en X=0 y perpendicular al eje Y. La imagen se obtiene de la referencia (Po-Shiun, 2006). Se procede, por tanto, a explicar los dos efectos mencionados con anterioridad: • Efecto voltaico En la figura 2-4, se muestra cómo sería la configuración del circuito eléctrico con piezoelectricidad. Las pletinas funcionan como electrodos, cuya definición es: extremo de un conductor en contacto con un medio, al que lleva o del que recibe una corriente eléctrica. Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento 18 energético de las vibraciones ambientales Figura 2-4 – Ejemplo de configuración con pletinas piezoeléctricas, donde se observa la conexión con el circuito eléctrico. Imagen extraída de la tesis realizada por Chen (Po-Shiun, 2006). Modificando el valor de V, es decir, de la diferencia de potencial, se analizará el comportamiento del recolector. Diversos estudios (Po-Shiun, 2006) han llegado a la conclusión de que un incremento en el voltaje aplicado al sistema produce un mayor desplazamiento de la pletina e incrementa la tensión, con una variación de tipo lineal. Esto constituye una propiedad básica en los cerámicos piezoeléctricos. Cuando se modelice el recolector de energía en el apartado 4.3 de este trabajo, se estudiará el efecto que provoca en la pletina una variación en la diferencia de potencial. Además, se analizará el comportamiento del sistema cuando no se aplica dicho voltaje, y tras realizar un cortocircuito. • Efecto de la polarización La polarización eléctrica es el campo vectorial que expresa la densidad de los momentos eléctricos dipolares permanentes o inducidos en un material dieléctrico. Polarizar es el efecto de orientar en dos direcciones contrapuestas. En la figura 2-5 se observa, a la izquierda, un grupo de moléculas distribuidas al azar, sin orden, ya que no están polarizadas. Posteriormente, a la derecha, se advierte cómo dichas moléculas se alinean y se orientan en una determinada MICROGENERACIÓN DE ENERGÍA DE LAS VIBRACIONES AMBIENTALES 19 19 posición al acercar, por ejemplo, una carga positiva. Figura 2-5 – Ejemplo de polarización en moléculas. Figura extraída de la referencia (Aragonesa). Originalmente, en una pletina, el voltaje se aplica a lo largo de la dirección de polarización. Cuando las direcciones de polarización y voltaje coinciden, la estructura se contraerá o se expandirá, dependiendo del sentido de aplicación. Para visualizar este comportamiento, se realizar un modelo en ANSYS siguiendo el ejemplo de la figura 2-3. Se definirá, en ese caso, la dirección de polarización a lo largo del eje Y. Retomando el modo de introducir las propiedades en ANSYS, para la dirección de polarización deseada sólo se modifica la forma de la matriz (2-6) descrita anteriormente, quedando del siguiente modo: d = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 0 0 𝑑15 0 0 𝑑31 𝑑33 𝑑31 0 0 0 0 0 0 0 𝑑15 0⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ / (2–7) El orden de entrada respecto al sistema de coordenadas en ANSYS es [x, y, z, xy, yz, xz]. Para el piezoeléctrico seleccionado, el PZT-5H, se definen sus propiedades sobre las matrices (2-4), (2-5) y (2-7). Los valores de sus constantes son los siguientes: Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento 20 energético de las vibraciones ambientales s = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 16.5 −8.45 −4.78 0 0 0 −8.45 20.7 −8.45 0 0 0 −4.78 −8.45 16.5 0 0 0 0 0 0 43.5 0 0 0 0 0 0 43.5 0 0 0 0 0 0 42.56 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ·10NOP / (2–8) d = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 0 0 7.41 0 0 −2.74 5.93 −2.74 0 0 0 0 0 0 0 7.41 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ·10NOR / (2–9) K = S 3130 0 0 03400 0 0 0 3130 T (2–10) Los comandos para introducir dichos valores en ANSYS, en la dirección especificada y según el modelo de la figura 2-3, se recogen en el apartado 8.5 del anexo. Por otro lado, la densidad del material es de 7500 Kg/m3. Una vez introducidas todas las propiedades, se define la geometría de la lámina y se realizar el mallado. Para la geometría, como se ha indicado con anterioridad, se emplean los datos de un ensayo. Las medidas son las siguientes, teniendo en cuenta que tanto la lámina de platón como la de PZT-5H tienen la misma superficie de acoplamiento: • Largo: 50.8 mm. • Ancho: 31.8 mm. • Espesor pletina de latón: 0.14 mm. • Espesor pletina piezoeléctrica: 0.26 mm. Para realizar el mallado del sistema, se emplea el comando SMRTSIZE,1 de forma que ANSYS divide automáticamente la geometría definida de la óptima forma posible. MICROGENERACIÓN DE ENERGÍA DE LAS VIBRACIONES AMBIENTALES 21 21 En la figura 2-6 se muestra tanto la geometría del modelo como la malla que proporciona el programa. Figura 2-6 – Geometría y malla del modelo en ANSYS de las láminas de PZT-5H acopladas a la pletina de latón. Vista general y detalle. El siguiente paso consiste en definir las condiciones de contorno en voltaje. Para el modelo de la figura 2-3, se definen tres condiciones: una en la lámina piezoeléctrica superior, otra en la inferior y la última en el material intermedio. Aparecerá así, una diferencia de potencial en el eje Y entre la capa superior y la infereior, dependiendo del signo definido. El comando empleado para estas condiciones en voltaje es: CP,,VOLT, para indicar que la superficie será un electrodo Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento 22 energético de las vibraciones ambientales que tendrá el mismo voltaje a lo largo de su área, y D,nombre_superficie,VOLT,valor_voltaje para definir el valor del voltaje en la superficie seleccionada. De ese modo, se selecciona la superficie superior de la lámina situada por encima de la pletina de latón y se define un voltaje positivo. Para la superficie inferior de la lámina situada por debajo, se define igualmente un voltaje positivo. Por ejemplo, un valor unidad para ambas áreas. A continuación, para la pletina intermedia se define un voltaje nulo, de esa forma las superficies exteriores del sistema serán electrodos positivos, y la interior negativa. En las imágenes de la figura 2-7 se muestra un ejemplo para configuración unimorfa y bimorfa. En este caso, en la bimorfa se tienen dos superficies intermedias, y por ello varía la conexión de la resistencia. Figura 2-7 – Ejemplo de configuración unimorfa y bimorfa: soporte, láminas piezoeléctricas, definición de electrodos y conexión eléctrica. Imagen obtenida de la referencia (González Díaz, 2017). MICROGENERACIÓN DE ENERGÍA DE LAS VIBRACIONES AMBIENTALES 23 23 Tras definir las propiedades y las condiciones de contorno, ya estaría completo el modelo del recolector de energía y, por tanto, se procedería a estudiar el sistema con los análisis correspondientes. Para finalizar este capítulo, se modela en ANSYS una pequeña pletina piezocerámica para comprobar que el comportamiento de su deformada al variar el sentido de la dirección de polarización y la diferencia de potencial se corresponde con la teoría expuesta anteriormente. Para llevarlo a cabo, se utiliza el mismo código que para el modelo del recolector, sin embargo, sólo se actúa sobre una de las pletinas piezoeléctricas. Es decir, se modela simplemente una lámina de tipo SOLID5. Aplicando una diferencia de potencial, en este caso definida como 1 V, en una dirección determinada, se procede a representar la deformada tras un análisis estático. La dirección de polarización, como se ha comentado, es positiva en el eje Y. En primer lugar, se realiza para sentidos opuestos de la dirección de polarización y la diferencia de potencial. Para ello, se define un voltaje igual a 1 V en la cara inferior de la pletina, y de 0 V en la superior, obteniéndose una expansión de la pletina. En la figura 2-8 se observa el contorno de la pletina indeformada, y el alargamiento que sufre tras ejecutar el análisis estático. Figura 2-8 – Efecto sobre la pletina piezocerámica cuando la dirección de polarización y la diferencia de potencial tienen sentido opuesto: la pletina se expande. Vista de perfil en detalle, con la deformada e indeformada. A continuación, en la figura 2-9, se representa lo contrario. Se define el voltaje a la inversa para así conseguir que ambas direcciones tengan el mismo sentido. En este caso, se obtiene una contracción de la pletina: Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento 30 energético de las vibraciones ambientales Figura 3-2 – Potencia adimensional frente a beta (relación entre frecuencia de extitación y frecuencia natural), para diferentes valores de amortiguamiento. Se obtiene un comportamiento similar al de la figura 3-1. El máximo valor se da para β =1 y el mínimo factor de amortiguamiento. Hay que tener en cuenta que, si el valor del factor de amortiguamiento es cero, la gráfica tiende a infinito en β =1 y, por lo tanto, se obtendría que el máximo valor corresponde a infinito. Como conclusión, se comprueba que cuanto menor sea el amortiguamiento del sistema, mayor será la amplitud y la potencia obtenida. COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE UN RECOLECTOR DE ENERGÍA 31 31 3.2. Solución analítica de una viga en voladizo Continuando con la investigación de Erturk e Inman, el siguiente paso es relacionar la excitación armónica de la base del recolector con los modos de vibración y la respuesta eléctrica del sistema. Para entender el sistema propuesto por estos autores, en la figura 3-3 se muestra la configuración básica de un recolector de energía en voladizo, basado en el modelo sin acoplamiento de parámetros distribuidos, y para excitaciones en la base. Figura 3-3 –Configuración básica de la viga en voladizo para el modelo sin acoplamiento con parámetro distribuido y vibraciones en la base. Con el fin de facilitar la comprensión de la nomenclatura y recopilar los datos implemetados en este modelo, se muestran las tablas 3-1 y 3-2: y x = 0x = L x wb(t) tilevered beam excited by the motion of its base in the transverse directio Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento 32 energético de las vibraciones ambientales Tabla 3–1 Nomenclatura empleada en el código de MATLAB para la realización del modelo Parámetro Definición wrel Desplazamiento transversal ϕ˜ Modo de vibración η˜ Respuesta modal en rég. permanente m Masa L Longitud λ˜ Frecuencia adimensional x Vector posición 𝜔 r Frecuencia de natural E Módulo de elasticidad I Inercia 𝜔 Frecuencia de excitación ca Amortiguamiento del aire ζ˜ Amortiguamiento modal Y0 Amplitud t Tiempo de evaluación cS Amortiguamiento estructural COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE UN RECOLECTOR DE ENERGÍA 33 33 Tabla 3–2 Valores y unidades empleados en el código de MATLAB para la realización del modelo Parámetro Valor L, Lb 50.8 · 10-3 m b 31.8 · 10-3 m h 0.14 · 10-3 m ro 9000 kg/m3 E 105 · 109 Pa (N/m2) cS 0 ca 0 𝜔 188 rad/s g31 0.011 V·m/N RL 1000 Ohmio (V/A) nx 50 Nt 1000 Y0 1 m Para comenzar, se calcula el desplazamiento relativo de la base, al excitar la viga mediante una vibración libre. Wrel/(x,/t)/=/ ∑ /𝜙œ ( 𝑥 ) ·/𝜂œ(𝑡) ž œ|O / (3–14) donde ϕ˜ es el modo de vibración. El cálculo del modo de vibración se resuelve de la siguiente forma: 𝜙œ(𝑥) /=/ ŸO h /[/cosh/( /¢£ 𝑥 )/-/cos/( /¢£ 𝑥 )/-/ 𝜎œ (sinh/( /¢£ 𝑥 )/-/sin/( /¢£ 𝑥 ))]/ (3–15) donde m (masa) y x (vector de posición entre 0 y L) son datos. Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento 34 energético de las vibraciones ambientales Para su resolución, se definen los parámetros λ˜ y σ˜ : λ˜ son números de frecuencia adimensionales, obtenidos mediante la siguiente ecuación característica: 1/+/cos 𝜆 /·/cosh 𝜆 /=/0 / (3–16) Resolviéndola, se logran los valores de sus raíces. A partir de ellas, el parámetro σ˜ se calcula como: 𝜎œ /=/ {z-§¢£N/{z-¢£ t¨{§¢£s/t¨{¢£ / (3–17) Tras resolver todas las ecuaciones, se representan gráficamente los modos de vibración ( ϕ ) frente al vector de posición (x) de la barra en la figura 3-4. Figura 3-4 – Variación de la función ϕ con el vector posición de la barra, para diferentes valores de frecuencia adimensional ( λ ); de este modo, se representan los seis primeros modos de vibración de la viga. COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE UN RECOLECTOR DE ENERGÍA 35 35 De esta forma, habiendo calculado previamente seis raíces de la ecuación (3-16), se visualizan los seis primeros modos de vibración del sistema. Por otra parte, se define la frecuencia natural como: 𝜔œ /=/ 𝜆œ P /·/ Ÿ2·© h·/ ª / (3–18) donde E·I es la rigidez a flexión (módulo elástico por inercia) y es un dato del problema. A continuación, se calcula la respuesta modal en régimen permanente del sistema mediante la siguiente ecuación: 𝜂œ(𝑡) /=/ h·ŽjN«·Ž·t¬ Ž£ jN/Žjs«·P·•£·Ž£·Ž·𝑌R·/𝑒«Ž7·∫𝜙œ(𝑥)𝑑𝑥 R / (3–19) Se incluyen deben incluir los siguientes datos: 𝜔 (frecuencia de excitación), ca (amortiguamiento del aire), Y0 (amplitud) y t (tiempo de evaluación). El valor del amortiguamiento modal ζ˜ se define como: 𝜁œ /=/ t¯·2·/Ž£ P·2·© /+ /t¬ P·h·Ž£ /// (3–20) Donde cs es dato y corresponde al amortiguamiento estructural. Éste se define como la capacidad de un sistema para disipar energía cinética en otro tipo de energía. Por otro lado, ca es despreciable frente al amortiguamiento estructural. Por otro lado, el factor t¯·2·/Ž£ P·2·© se tomará igual a 0.05 como simplificación, debido a que el cálculo del amortiguamiento estructural de un sistema no es inmediato. A continuación, en la figura 3-5, se muestra el desplazamiento transversal (Wrel), en el extremo de la viga, adimensionalizado con la amplitud inicial (Y0) de valor un metro, frente al vector tiempo: Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento 36 energético de las vibraciones ambientales Figura 3-5 – Desplazamiento relativo del extremo de la viga (x=L) frente al tiempo, al excitar el sistema con un desplazamiento unidad (en metros) y una frecuencia de excitación de 188 rad/s. Se observa un comportamiento sinusoidal con una amplitud de onda de aproximadamente 15 m. Esto significa que, para una excitación de un metro, se obtiene una amplitud de 15 metros. Este resultado tiene como fin mostrar la relación existente entre la excitación inicial y la respuesta provocada en el sistema. Debido a las dimensiones milimétricas de la pletina estudiada, no sería posible alcanzar dicho desplazamiento en el extremo de la viga. El método citado finalizaría con la ecuación (3-20). Sin embargo, el propósito de implementarlo era dar respuesta al problema eléctrico. Con tal fin, se define la deformación en la superficie de la viga, a una determinada distancia del empotramiento, calculando la derivada segunda del desplazamiento transversal (3-14). De dicha resolución, se obtiene lo siguiente: COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE UN RECOLECTOR DE ENERGÍA 37 37 𝜀 /=/ −𝑦·/gjŽ gij / (3–21) En la figura 3-6 se representa la deformación en el extremo de la viga en voladizo, adimensionada con una amplitud inicial (Y0) de un metro, frente al tiempo: Figura 3-6 – Deformación adimensional del extremo de la viga (x=L) frente al tiempo, al excitar el sistema con un desplazamiento unidad (en metros) y una frecuencia de excitación de 188 rad/s. Análogo al resultado del desplazamiento transversal (figura 3-5), se obtiene un comportamiento de onda sinusoidal. El valor de la deformación en el extremo de la viga es de 1.45 metros, respecto a un desplazamiento de entrada de un metro. El siguiente paso consiste en definir la tensión en función de la distancia. Mediante la ley de Hooke se obtiene una definición aproximada de ésta. 𝜎=𝐸·𝜀 / (3–22) Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento 38 energético de las vibraciones ambientales donde E es el módulo elástico del material de la viga. En caso de que la viga tenga acoplada placas piezoeléctricas, el voltaje de salida se estima multiplicando la tensión anterior (3-22), por la constante piezoeléctrica g31 y la longitud de la lámina piezocerámica Lb. Se supone, además, que el material es lineal, elástico e isótropo, con una tensión aplicada en la dirección 1-1, paralela al eje x definido en la figura 3-3. El voltaje, por consiguiente, será: 𝑉=/𝑔'O·𝐸·𝜀·𝐿µ //// (3–23) Equivalentemente a las gráficas anteriores, en la figura 3-7 se representa la respuesta en voltaje partido por la amplitud inicial de un metro frente al tiempo. La solución corresponde al punto extremo de la viga: Figura 3-7 – Voltaje partido por amplitud del extremo de la viga (x=L) frente al tiempo, al excitar el sistema con un desplazamiento unidad (en metros) y una frecuencia de excitación de 188 rad/s. COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE UN RECOLECTOR DE ENERGÍA 39 39 Se reitera la onda sinusoidal, obteniendo un voltaje de 7.4 · 104 V al excitar al sistema mediante el procedimiento indicado. Para finalizar el estudio analítico de la viga en voladizo, se calculará la variación en el voltaje, respecto a una amplitud inicial de un metro, al modificar los valores de la frecuencia de excitación. Se recuerda que para las operaciones anteriores, dicha frecuencia se ha mantenido constante en 188 rad/s. En la figura 3-8, se representa la gráfica en escala logarítmica para poder apreciarla con mayor claridad. Concretamente, es de bastante utilidad para visualizar la respuesta en la primera frecuencia natural. Figura 3-8 – Valores de voltaje partido por amplitud frente a la frecuencia de excitación, al excitar al sistema con un desplazamiento de un metro; en escala logarítmica y para todos los trozos de la viga. Cada color representa el voltaje frente a la frecuencia de excitación a una distancia concreta del empotramiento. En este caso, se discretiza una viga de L metros en nx divisiones, mostrándose cada una de esas particiones en un color dispar. Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento 46 energético de las vibraciones ambientales Tabla 4–1 Comparativa de frecuencias naturales entre la solución análitica y el modelo numérico con elemento BEAM3, señalando el error entre ambos. MODO SOL. ANALÍTICA (Hz) MODELO BEAM3 (Hz) ERROR 1 29.933 29.933 0.001 % 2 187.59 187.59 0.0007 % 3 525.24 525.24 0.0026 % 4 1 029.2 1 029.2 0.0085 % 5 1 701.4 1 701.4 0.005 % 6 2 541.5 2 541.5 0.0089 % Para las seis primeras frecuencias naturales resultantes de la solución de Erturk e Inman, la solución numérica coincide, obteniéndose un error prácticamente nulo. A continuación, se compara la forma de los modos de vibración obtenidos. Figura 4-2 – Primer modo de vibración obtenido de forma analítica y por el modelo BEAM3 de ANSYS MODELO NUMÉRICO DE UN MICRORECOLECTOR DE ENERGÍA 47 47 Figura 4-3 – Segundo modo de vibración obtenido de forma analítica y por el modelo BEAM3 de ANSYS Figura 4-4 – Tercer modo de vibración obtenido de forma analítica y por el modelo BEAM3 de ANSYS Figura 4-5 – Cuarto modo de vibración obtenido de forma analítica y por el modelo BEAM3 de ANSYS Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento 48 energético de las vibraciones ambientales Figura 4-6 – Quinto modo de vibración obtenido de forma analítica y por el modelo BEAM3 de ANSYS Figura 4-7 – Sexto modo de vibración obtenido de forma analítica y por el modelo BEAM3 de ANSYS La forma de los modos coincide (el signo es indiferente) y la amplitud es similar. En ambos casos, las gráficas quedan adimensionalizadas a la matriz de masa, variando la escala a la hora de representarlas. Los modos se representan de forma equivalente, demostrándose por tanto, que el modelo numérico de un elemento tipo viga se ajusta adecuadamente a la solución analítica. El siguiente paso, será modelar el sistema descrito en forma de pletina. MODELO NUMÉRICO DE UN MICRORECOLECTOR DE ENERGÍA 49 49 4.1.2. Modelo tipo pletina. Comparación con la solución analítica El modelo numérico se realiza, en este supuesto, empleándose un elemento SHELL181, definido anteriormente en el apartado 2.3. Tras definir el elemento y las propiedades de la pletina y mallar el modelo, se obtiene el modelo de la figura 4-8. Asimismo, el código se expone en el anexo 8.2. Figura 4-8 -Modelo de pletina en ANSYS empleando un elemento de tipo SHELL181 Se advierte que la malla lograda para la pletina sin acoplamiento es más fina que la obtenida en el sistema acoplado, mostrado en la figura 2-6. Esto se debe a que el mallado se implementa en ANSYS de forma automática, y no manualmente. Es decir, en lugar de introducir un número de divisiones determinado, es el programa el que resuelve el sistema utilizando el mallado óptimo. Debido a que la geometría y modelo del sistema sin láminas piezoeléctricas es más simple, se logra una malla más fina, lo que no indica que los resultados del modelo con acoplamiento estén distorsionados. Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento 50 energético de las vibraciones ambientales Una vez ejecutado el análisis modal, se obtienen las frecuencias naturales para los diez primeros modos de vibración del sistema. Éstas se listan en la tabla 4-2 a continuación. Tabla 4–2 Frecuencias y contribución modal para cada modo de vibración del modelo de ANSYS con elemento SHELL181 MODO FREQ (Hz) RATIO MASA EFECTIVA FRACCIÓN MASA ACUMULADA 1 31.514 1.000 0.123740E-02 0.677406 2 106.94 0.000003 0.137684E-13 0.677406 3 194.93 0.558080 0.385392E-03 0.888386 4 361.62 0.000003 0.120898E-13 0.888386 5 522.16 0.257599 0.821103E-04 0.933336 6 592.80 0.207801 0.534324E-04 0.962588 7 737.84 0.000002 0.348807E-14 0.962588 8 831.32 0.064120 0.508736E-05 0.965373 9 1 106.8 0.226092 0.632530E-04 1.00000 10 1 272.5 0.000114 0.160461E-10 1.00000 Se señalan en la tabla los modos que más masa movilizan, siendo éstos los números 1, 3 y 5. Con ellos se alcanza un 93%, aproximadamente, de masa acumulada. A continuación, se representan dichos modos y se procede a describir brevemente el comportamiento de la pletina en cada uno de ellos, comparándolos con los resultados obtenidos en el apartado 4.1.1. MODELO NUMÉRICO DE UN MICRORECOLECTOR DE ENERGÍA 51 51 Figura 4-9 - Modo de vibración uno para el modelo de ANSYS que emplea un elemento SHELL181 El primer modo se representa de forma idéndica al mostrado en la figura 4-2, demostrándose de esta forma, que el modelo con elemento SHELL181 se adecúa al cálculo analítico y al modelo tipo viga, para el primer modo de vibración. Por otro lado, se observa un ligero aumento en la frecuencia natural. En los cálculos anteriores se obtuvieron 29.933 Hz frente a los 31.514 Hz alcanzados con el modelo tipo SHELL181. Como se ha señalado en ocasiones anteriores, la solución que tomada como correcta es la analítica lograda por Erturk e Inman. Siguiendo con este criterio, es inmediato advertir que los resultados del modelo tipo viga son más cercanos a la solución analítica frente al modelo tipo pletina. Sin embargo, el modelo con SHELL181, al tener en consideración la geometría del recolector (espesor, largo y ancho), frente al elemento BEAM3 donde únicamente se definía la longitud, sería capaz de asemejarse más fidedignamente al comportamiento de un modelo experimental. Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento 52 energético de las vibraciones ambientales Tras esta reflexión, a continuación, en la figura 4-10, se representa el tercer modo de vibración. Figura 4-10 - Modo de vibración tres para el modelo de ANSYS que emplea un elemento SHELL181 En esta ocasión, se obtiene un modo de flexión con una frecuencia natural de 194.93 Hz. Su forma se corresponde con el modo número dos del aparatado anterior, donde se obtuvo una frecuencia de 187.59 Hz. Finalmente, el último modo considerado es el número cinco, mostrado seguidamente en la figura 4-11. MODELO NUMÉRICO DE UN MICRORECOLECTOR DE ENERGÍA 53 53 Figura 4-11- Modo de vibración cinco para el modelo de ANSYS que emplea un elemento SHELL181 La forma de este modo se asemeja a la figura 4-4, donde la viga sufría un cambio de curvatura. Las frecuencias naturales son 522.16 Hz para el caso actual, frente a los 525.24 Hz anteriores. Por último, en la tabla 4-3 se comparan las frecuencias naturales obtenidas con el modelo tipo pletina resuelto y la solución del cálculo analítico. Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento 54 energético de las vibraciones ambientales Tabla 4–3 Comparativa de frecuencias naturales entre el cálculo analítico con MATLAB y el modelo de ANSYS que emplea un elemento SHELL181 SOL. ANALÍTICA (Hz) MODELO SHELL181 (Hz) 29.9333 (modo 1) 31.514 (modo 1) 187.5886 (modo 2) 194.93 (modo 3) 525.2536 (modo 3) 522.16 (modo 5) Como conclusión, señalar que el modelo de la pletina funciona correctamente ya que la solución lograda es similar a la anterior. En este modelo aparecen nuevos modos de vibración correspondientes a la torsión, lo cual es interesante de analizar debido a que el recolector, en cualquier validación experimental que se realice, estará expuesto a ellos. Análogamente a las investigaciones mencionadas en el apartado 2.3, el modelo más habitual de recolector incluye, además de láminas piezoeléctricas que aún no se han considerado, una masa puntual. La finalidad de incluir dicha masa es lograr que el sistema en voladizo vibre con una frecuencia de resonancia diferente, proporcionando una respuesta de voltaje en un rango de frecuencias más amplio. (Erturk & Inman, 2008c). Es decir, el objetivo es lograr que las frecuencias de la tabla 4-2 se reduzcan. 4.1.3. Efecto masa sísmica Empleando los datos del ejemplo de recolector, la masa sísmica a incluir es de 0.012 kg. Se estudia qué configuración es la que aporta una mayor amplitud. Las opciones son insertar: • Una masa puntual situada en el extremo voladizo de la placa y centrada. MODELO NUMÉRICO DE UN MICRORECOLECTOR DE ENERGÍA 55 55 • Dos masas puntuales situadas en cada extremo del final de la placa. • Una masa lineal en el borde voladizo de la placa. A continuación, se realiza el modelo para cada opción y se analiza su comportamiento mediante los resultados obtenidos para el análisis modal. 4.1.3.1. Modelo con masa puntual centrada Se emplea el código anterior, pero añadiendo una masa puntual de 0.012 kg modelada mediante un elemento MASS21 en ANSYS. Éste corresponde a un elemento puntual que posee seis grados de libertad: traslaciones en las direcciones X, Y y Z, y rotaciones. Se define mediante un único nodo y, en el caso del modelo tratado, se debe definir su masa. En el anexo 8.3, se muestran los códigos empleados en este apartado y en el siguiente, ya que simplemente varía la posición de la masa puntual. En la figura 4-12 se representa la pletina (idéntica al apartado 4.1.2) incluyendo una masa puntual en el centro del extremo voladizo. Figura 4-12 -Modelo de pletina en ANSYS empleando un elemento de tipo SHELL181, añadiendo una masa sísmica en el centro del voladizo de tipo MASS21 Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento 62 energético de las vibraciones ambientales Para el primer modo se obtiene lo siguiente. Figura 4-17 - Modo de vibración uno para el modelo de ANSYS que emplea un elemento SHELL181 con MASS21 en las esquinas del extremo del voladizo Se repara en que tanto, el valor de la frecuencia natural como la forma del modo de vibración, se mantienen respecto a los modelos realizados precedentemente. Análogamente al estudio del subapartado 4.1.3.2, en esta ocasión, para el modo número dos, sí se advierte una disminución notable en la frecuencia respecto al modelo SHELL181 sin masa sísmica, el cuál atesoraba 106.94 Hz frente a los 14.508 Hz proporcionados por la pletina con masa puntual en los extremos. Esto se debe a que, en esta configuración, en el segundo modo sí se movilizan las masas puntuales, como se puede ver seguidamente. MODELO NUMÉRICO DE UN MICRORECOLECTOR DE ENERGÍA 63 63 Figura 4-18 - Modo de vibración dos para el modelo de ANSYS que emplea un elemento SHELL181 con MASS21 en las esquinas del extremo del voladizo Finalmente, se representa el tercer modo en la figura 4-19. Figura 4-19 - Modo de vibración tres para el modelo de ANSYS que emplea un elemento SHELL181 con MASS21 en las esquinas del extremo del voladizo Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento 64 energético de las vibraciones ambientales A diferencia del modelo anterior y en consonancia con la pletina sin masa sísmica, se advierte simetría en el desplazamiento provocado en el modo tres. De igual forma, se advierte una disminución en la frecuencia natural. Finalmente, se procede a modelar la pletina de latón incluyendo una masa lineal, en lugar de una masa puntual como hasta este momento. 4.1.3.3. Modelo con masa lineal Para finalizar este apartado relacionado con la masa sísmica, se estudiará cómo afecta al modelo el añadir la masa linealmente. Dicha masa lineal se modela en ANSYS por medio de un elemento tipo BEAM188 (ANSYS, ANSYS Help BEAM188) El elemento BEAM188 es adecuado para analizar estructuras de tipo viga, basándose en la teoría de Timoshenko que incluye efectos de deformación por cortante. Posee seis grados de libertad en cada nodo, incluyendo traslaciones en las direcciones X, Y y Z, y rotaciones alrededor de los ejes X, Y y Z. Además, es posible añadir un séptimo grado de libertad (magnitud de deformación). Dicho elemento es adecuado para aplicaciones lineales, con gran rotación y/o de gran deformación no lineal. Los términos de rigidez y tensión proporcionados permiten que los elementos se vean afectados por los problemas de estabilidad de flexión, lateral y torsional. Analogamente a los elementos explicados con anterioridad, en la figura 4-20 se muestra la configuración del BEAM188. MODELO NUMÉRICO DE UN MICRORECOLECTOR DE ENERGÍA 65 65 Figura 4-20 – Configuración y geometría del elemento BEAM188 de ANSYS. Imagen extraída del manual del programa (ANSYS, ANSYS Help BEAM188). Para introducir la masa en la viga incorporada, se calcula el ancho que debería podeer (ya que el largo de la barra coincidirá con ancho de la pletina) para garantizar que el peso total no varíe. La masa total debe cumplir, suponiendo una sección cuadrada: M½=/ρ·A·b=m//donde/A/=/l2/ (4–2) Despejando l: 𝑙=/ŸÂ ÷Ä/=/Ÿ R.ROP ÅRRR·R.R'O/=/0.0065/m / (4–3) Teniendo en cuenta las dimensiones de la sección del elemento BEAM188, se procede a realizar el modelo, cuyo esquema se observa a continuación. Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento 66 energético de las vibraciones ambientales Figura 4-21 - Modelo de pletina en ANSYS empleando un elemento de tipo SHELL181, añadiendo una masa lineal en el voladizo de tipo BEAM188 Se advierte que las dimensiones de la masa lineal son considerablemente mayores a la pletina. Por otro lado, el código empleado para este modelo, se recoge en el anexo 8.4. Tras ejecutar el análisis modal, las frecuencias producidas se listan seguidamente en la tabla 4-6: MODELO NUMÉRICO DE UN MICRORECOLECTOR DE ENERGÍA 67 67 Tabla 4–6 Frecuencias y contribución modal para cada modo de vibración del modelo de ANSYS para el elemento SHELL181 con masa lineal (BEAM188) MODO FREQ (Hz) RATIO MASA EFECTIVA FRACCIÓN MASA ACUMULADA 1 6.2227 1.000000 0.129661E-01 0.937577 2 26.829 0.000000 0.108638E-14 0.937577 3 106.25 0.193100 0.483476E-03 0.972537 4 260.84 0.121956 0.192847E-03 0.986481 5 286.82 0.000000 0.160163E-14 0.986481 6 585.00 0.096201 0.119996E-03 0.995158 7 684.07 0.000001 0.143135E-13 0.995158 8 708.24 0.006848 0.608030E-06 0.995202 9 1 122.1 0.071502 0.662896E-04 0.999996 10 1 136.2 0.002142 0.594943E-07 1.00000 En línea con los modelos precedentes, se vuelve a conseguir para el primer modo de vibración, una frecuencia natural de aproximadamente 6 Hz y se alcanza un acumulado del 94% en la fracción de masa movilizada. En la página siguiente se representan tanto el primer modo de vibración como el tercero. Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento 68 energético de las vibraciones ambientales Figura 4-22 - Modo de vibración uno para el modelo de ANSYS que emplea un elemento SHELL181 e incluye un BEAM188 como masa lineal Se repite la misma configuración obtenidas en el modo de vibración uno de los demás modelos estudiados. De forma similar al modelo con masa sísmica en los extremos, en el segundo modo de vibración se produce una disminución importante de la frecuencia, producida, análogamente, por ocasionar la movilización del elemento masa. MODELO NUMÉRICO DE UN MICRORECOLECTOR DE ENERGÍA 69 69 Figura 4-23 - Modo de vibración tres para el modelo de ANSYS que emplea un elemento SHELL181 e incluye un BEAM188 como masa lineal En el tercer modo, reaparece también la misma conformación del modo de vibración que en la figura 4-15. Como conclusión para este análisis modal, se proceden a recopilar las frecuencias naturales de los modos de vibración que contribuyen a movilizar masa y las ideas principales. Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento 70 energético de las vibraciones ambientales Tabla 4–7 Comparación de frecuencias naturales de los modos de vibración contribuyentes, para el modelo de pletina sin masa sísmica y para los tres modelos que sí la incluyen MODO PLETINA SIN MASA (Hz) PLETINA MASA CENTRO (Hz) PLETINA MASA EXTREMOS (Hz) PLETINA MASA LINEAL (Hz) 1 31.514 6.172 6.224 6.223 2 106.94 106.72 14.508 26.83 3 194.93 129.18 133.18 106.25 5 522.16 363.40 311.46 286.82 Para el primer modo de vibración de todos los modelos que consideran masa sísmica, se advierte una disminuye de la frecuencia del sistema, alcanzándose un valor de 6 Hz aproximadamente en los tres. En el segundo modo, para el modelo de pletina con masa en el centro no se aprecia una variación en la frecuencia ya que dicho modo no moviliza la masa sísmica. Sin embargo, los otros dos modelos sí consiguen que ésta se desplace, y por ello se obtiene una frecuencia natural menor. Posteriormente, para los modos tercero y quinto, se logra que disminuyan las frecuencias para las tres configuraciones de la pletina con masa. De esta forma, queda demostrado que al considerar una masa sísmica en el recolector, las frecuencias naturales disminuyen. El siguiente paso será calcular la respuesta en voltaje para ese rango de frecuencias. En primer lugar, ya que para calcular el voltaje se deben introducir las láminas de PZT, se implementa un análisis armónico con el fin de obtener la amplitud de la masa sísmica lograda en cada uno de los modelos, y determinar qué configuración de las tres presentadas es la óptima. MODELO NUMÉRICO DE UN MICRORECOLECTOR DE ENERGÍA 71 71 4.2. Análisis armónico Para comenzar, se representará la amplitud del movimiento frente a la frecuencia, comparando el resultado analítico de Erturk e Inman con los modelos numéricos tipo viga y tipo pletina resueltos empleando ANSYS. Posteriormente, se calculará la gráfica equivalente comparando el modelo de pletina sin incluir masa con las tres configuraciones posibles del modelo de pletina que considera masa sísmica. La solución en desplazamiento se define para un punto concreto del modelo. Por ello, tanto en la solución analítica como en el modelo tipo viga, se representa la respuesta del extremo voladizo de la viga. Para el modelo tipo pletina, el desplazamiento se mide en el nodo central del extremo voladizo. Cuando modelo considera masa sísmica, los nodos en los cuales se medirá el desplazamiento son aquellos en los que se encuentra la masa sísmica. Por lo tanto, para el sistema con masa puntual centrada y para el de masa lineal, se tomará el punto central del borde del voladizo, mientras que, en el modelo con masa puntual en los extremos, se calculará en uno de esos dos nodos extremos. Por otro lado, cabe señalar que dicho análisis se realizará para un rango de frecuencias entre 0 y 1500 Hz, asegurando así la aparición de los cuatro primeros modos de los modelos de un grado de libertad. Finalmente, es necesario resaltar dos aspectos fundamentales: • En todos los modelos se incluye un amortiguamiento del sistema del 5%. Análogo al amortiguamiento considerado en la resolución analítica en el apartado 3.2. • Los sistemas se excitan mediante un desplazamiento de un metro en la dirección de la gravedad. Se procede a realizar las dos comparaciones descritas. Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento 78 energético de las vibraciones ambientales Tabla 4–8 Frecuencias y contribución modal para cada modo de vibración del modelo de configuración bimorfa sin masa y sin considerar diferencia de potencial MODO FREQ (Hz) RATIO MASA EFECTIVA FRACCIÓN MASA ACUMULADA 1 93.823 1.000000 0.504340E-02 0.671472 2 323.83 0.000000 0.000000 0.671472 3 590.936 0.560327 0.158346E-02 0.882291 4 1164.63 0.000000 0.000000 0.882291 5 1619.55 0.233225 0.274330E-03 0.918816 6 1884.18 0.247187 0.308159E-03 0.959843 7 2619.78 0.000000 0.000000 0.959843 8 2883.78 0.055769 0.156861E-04 0.961932 9 3845.88 0.238104 0.285928E-03 1.00000 10 4833.34 0.000000 0.000000 1.00000 Teniendo en cuenta los tres primeros modos de vibración más contribuyentes (números 1, 3 y 5), se alcanza un 92% de masa movilizada. Por otro lado, como era de esperar ya que al añadir el material piezocerámico la pletina tiene mayor rigidez, las frecuencias naturales aumentan respecto al modelo estudiado en el apartado 4.1.2, donde no se consideraba el acoplamiento. Además, se comprueba que los modos contribuyentes son los mismos que para dicha configuración. Asimismo, los modos que no movilizan masa corresponden a aquellos en los que el nodo central del extremo voladizo de la pletina no se desplaza de su posición indeformada, como sucede, por ejemplo, en el modo 2 representado en la figura 4- 27 a continuación. MODELO NUMÉRICO DE UN MICRORECOLECTOR DE ENERGÍA 79 79 Figura 4-27 - Modo de vibración dos para el modelo numérico en ANSYS del sistema con configuración bimorfa sin masa sísmica, sin considerar diferencia de potencial La forma modal es idéntica al modelo sin acoplamiento piezoeléctrico. Debido a que no se considera diferencia de potencial, el único cambio respecto al modelo desacoplado es el aumento en el espesor de la pletina. Esto no modifica el modo de vibración del sistema, simplemente afecta a la frecuencia natural. Finalmente, en la figura 4-28, se procede a representar los tres modos contribuyentes indicados. Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento 80 energético de las vibraciones ambientales Figura 4-28 - Modos de vibración uno, tres y cinco para el modelo numérico en ANSYS del sistema con configuración bimorfa sin masa sísmica, sin considerar diferencia de potencial Igualmente, para los tres modos representados se obtiene el mismo comportamiento que en los correspondientes al apartado 4.1.2. La variación reside en el aumento de la frecuencia natural. Este modelo aporta los mismos resultados, en cuanto a valores de la frecuencia se refiere, que en el hipotético caso de que el sistema fuese cortocircuitado. Es decir, si se define el mismo valor en las condiciones de contorno (explicadas en el apartado 2.4) para ambas láminas piezoeléctricas. MODELO NUMÉRICO DE UN MICRORECOLECTOR DE ENERGÍA 81 81 A continuación, se analiza el mismo modelo pero definiendo una diferencia de potencial entre las láminas de PZT-5H. La finalidad de añadir esta condición, es estudiar el impacto que provoca en el sistema acoplado el efecto voltaico. Para ello, análogamente a la comprobación realizada en el apartado 2.4, se define un voltaje unidad en la superficie superior del piezoeléctrico situado sobre la pletina de latón, y se sigue el mismo procedimiento para la lámina PZT ubicada bajo ésta. Los resultados obtenidos se recogen en la tabla 4-9. Tabla 4–9 Frecuencias y contribución modal para cada modo de vibración del modelo numérico en ANSYS del sistema con configuración bimorfa sin masa sísmica, considerando una diferencia de potencial de valor unidad (1 V) MODO FREQ (Hz) RATIO MASA EFECTIVA FRACCIÓN MASA ACUMULADA 1 88.485 1.000000 0.505357E-02 0.673595 2 320.73 0.000000 0.000000 0.673595 3 562.03 0.558612 0.157695E-02 0.883788 4 1 144.0 0.000000 0.000000 0.883788 5 1 559.4 0.220760 0.246285E-03 0.916616 6 1 748.6 0.254119 0.326341E-03 0.960114 7 2 546.7 0.000000 0.000000 0.960114 8 2 803.7 0.042389 0.908054E-05 0.961325 9 3 605.0 0.239617 0.290158E-03 1.000000 10 4 603.9 0.000000 0.000000 1.000000 Al igual que antes, en el quinto modo de vibración se alcanza un porcentaje de masa acumulada igual al 92%. Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento 82 energético de las vibraciones ambientales Comparando esta tabla con la anterior, se aprecia una disminución en los valores de la frecuencia natural. No se representarán dichos modos ya que son análogos a la configuración sin diferencia de potencial. Por otra parte, se analizó si variando el valor de dicha condición de contorno en volaje, se modificaban las frecuencias naturales. Comprobándolo para diferentes cifras, se concluyó que esto no afectaba en absoluto a las frecuencias naturales. Como conclusión, señalar que la presencia de una diferencia de potencial entre las láminas piezoeléctricas, únicamente hizo disminuir las frecuencias naturales del sistema. El siguiente paso, será incluir el efecto de una masa sísmica, ya que los recolectores la llevan incorporada para ampliar el rango de frecuencias en la respuesta eléctrica. 4.3.1.2. Modelo PZT con masa sísmica central En este subapartado, se renueva el modelo anterior incluyendo una masa sísmica puntual. Únicamente se realizará la modelización para el sistema bimorfo con masa puntual centrada en el extremo del voladizo y sin considerar diferencia de potencial piezoeléctrica. Las frecuencias naturales obtenidas para dicho sistema son las siguientes: MODELO NUMÉRICO DE UN MICRORECOLECTOR DE ENERGÍA 83 83 Tabla 4–10 Frecuencias y contribución modal para cada modo de vibración del modelo numérico en ANSYS del sistema con configuración bimorfa con masa puntual, sin considerar diferencia de potencial MODO FREQ (Hz) RATIO MASA EFECTIVA FRACCIÓN MASA ACUMULADA 1 35.024 1.000000 0.162952E-01 0.839333 2 314.11 0.108261 0.190987E-03 0.849170 3 414.63 0.334746 0.182597E-02 0.943221 4 1 094.7 0.136778 0.304855E-03 0.958924 5 1 227.8 0.125992 0.258669E-03 0.972247 6 1 878.0 0.118677 0.229504E-03 0.984069 7 2 014.9 0.000000 0.000000 0.984069 8 2 437.3 0.084995 0.117718E-03 0.990132 9 2 653.8 0.033085 0.178374E-04 0.991051 10 3 589.2 0.103258 0.173744E-03 1.00000 A diferencia de los resultados obtenidos en el modelo sin acoplamiento, con los modos primero y tercero, ya se alcanza un porcentaje elevado de movilización de masa (un 94%). Por consiguiente, también disminuyen considerablemente las frecuencias naturales al añadir una masa sísmica salvo, igual que anteriormente, en el modo dos debido a que no moviliza la masa puntual. Tampoco se incluirán los correspondientes modos de vibración por ser semejantes a los anteriormente representados. Como conclusión, simplemente resaltar el aumento notificado en las frecuencias naturales al acoplar las láminas piezoeléctricas en el sistema. Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento 84 energético de las vibraciones ambientales Finalmente, para concluir este capítulo, se implements un análisis armónico en ambos sistemas para determinar su función de respuesta en frecuencia para la amplitud y el voltaje resultante. La finalidad de este análisis es lograr calcular la respuesta eléctrica de un recolector de energía piezoeléctrica para el sistema óptimo, cuya modelización corresponde a un sistema de parámetros distribuidos con configuración bimorfa, considerando el acoplamiento piezoeléctrico y una masa sísmica puntual. 4.3.2. Análisis armónico Interesa realizar un análisis armónico para estudiar la respuesta de los dos modelos estudiados en el apartado 4.3.1, frente a una excitación de aceleración de valor 1 m/s2 en la dirección vertical (eje Y en esta ocasión). Dicha excitación deja de ser un desplazamiento debido a que cuando se introduzcan en el sistema datos tomados en un ensayo real, éstos se incluyen en forma de aceleración. Por otro lado, en este caso, el voltaje será la salida del sistema y, por tanto, no será una condición de contorno impuesta, ya que el objetivo es estudiar el comportamiento del sistema como generador. Se representara tanto la amplitud (desplazamiento en el eje Y) partida de la excitación de entrada del sistema (aceleración), como el voltaje dividido entre dicha excitación, frente a la frecuencia (en Hz). Se representa en escala logarítmica, como en las ocasiones anteriores, para apreciarlo mejor. El análisis se realiza para un rango de frecuencias entre 0 y 6000 Hz, y se considera un amortiguamiento del sistema del 5%. Los resultados obtenidos se muestran en las figuras 4-29 y 4-30. 85 Figura 4-29 - Amplitud frente a frecuencia, como resultado de excitar a los sistemas (pletina con PZT sin masa y pletina con PZT y masa puntual centrada) con una aceleración vertical de valor 1 m/s2. Se observa que, únicamente para la primera frecuencia natural de cada modelo, el sistema que considera masa sísmica (gráfica en color negro) proporciona una mayor amplitud. Sin embargo, conforme va aumentando la frecuencia de excitación, esta respuesta se va atenuando debido al amortiguamiento del sistema. El resultado obtenido es de 0.00046 metros (0.46 mm) por m/s2 de aceleración para el primer modo de vibración. En esta ocasión, sí se obtiene un resultado razonable respecto a las medidas de la pletina, las cuales eran 50.8 mm de largo por 31.8 mm de ancho y 0.66 mm de espesor (0.14 mm la pletina de latón más dos capas PZT de 0.26 mm). El siguiente paso es representar la respuesta en voltaje. Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento 86 energético de las vibraciones ambientales Figura 4-30 - Voltaje frente a frecuencia, como resultado de excitar a los sistemas (pletina con PZT sin masa y pletina con PZT y masa puntual centrada) con una aceleración vertical de valor 1 m/s2. Para la solución en voltaje, se observa una simulitud en la forma de las gráficas en ambos sistemas, a diferencia del resultado en la figura anterior. Para la primera frecuencia natural, reaparece la pauta precedende obteniéndose un valor de voltaje de 4.296 V/m/s2, frente a los 0.9006 V/m/s2 que proporciona el modelo sin considerar masa sísmica. Se demuestra, mediante las gráficas de la figura 4-30, que la consideración de una masa puntual en el recolector afecta positivamente a la respuesta eléctrica del sistema. Lográndose un mayor voltaje, lo cual generará un mayor almacenamiento de energía. De esta forma, se da por concluido el modelo numérico. Se concluye que el modelo más apropiado para simular un recolector es un modelo de parámetros agrupados con configuración bimorfa, considerando el acoplamiento piezoeléctrico, debido a que es fundamental para la generación de energía, e incorporando una masa puntual en el centro del extremo voladizo de la pletina. En la figura 4-31 se observa un esquema de la configuración del recolector, exceptuando que la masa sísmica es lineal en lugar de ser puntual. MODELO NUMÉRICO DE UN MICRORECOLECTOR DE ENERGÍA 87 87 Figura 4-31 – Ejemplo de configuración para un recolector de energía. Imagen obtenida de la ref. (Erturk & Inman, 2008c). Tras estos resultados, se cierra el capítulo con una recapitulación de los pasos ejecutados en la modelización de un recolector de energía. En primer lugar, se modela una viga y una pletina mediante el MEF para comparar los resultados obtenidos con la solución analítica de Erturk e Inman, expuesta en el capítulo 3. Posteriormente, se incluye el efecto de una masa sísmica con la finalidad de ampliar el rango de frecuencias del sistema. Para ello se estudian tres configuraciones distintas, concluyendo que lo óptimo es añadir una masa puntual en el centro del extremo voladizo de la pletina. Finalmente, se estudia el sistema con acoplamiento piezoeléctrico, con el fin de calcular la respuesta eléctrica del recolector. Piezoelectric Layers Poling Direction Strain u(t) Z(t) Vp h L S t t Base + - ma Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento 94 energético de las vibraciones ambientales Figura 5-5 - Aceleración frente a tiempo y a frecuencia del acelerómetro cinco, para los modelos de tren, a su paso por el Viaducto del Arroyo Bracea I. Galvín et al. (Galvín, Romero, Moliner, & Martínez-Rodrigo, 2018) adviertieron, a partir de los resultados de la figura 5-5, que los modelos S100, S102 y S104 no inducen resonancia en la plataforma del puente, detectándose la contribución de varias participaciones modales. A diferencia del modelo S103 que induce una tercera resonancia en el puente. Por otro lado, el pico asociado al modo de vibración fundamental es el predominante, en comparación con los otros modos contribuyentes. Sin embargo, para el modelo S103, se obsrva claramente que el valor para la segunda frecuencia natural excede al modo fundamental, lo cual se debe a la amplificación de la respuesta torsional en la plataforma en el paso de ese tipo de tren. EJEMPLO NUMÉRICO. VIADUCTO ARROYO BRACEA I 95 95 Por otra parte, las máximas aceleraciones se producen entorno a 1 m/s2 en el dominio temporal para el paso de los trenes S103 y S130. En la representación en frecuencias, los picos se obtienen en el rango de 3 a 17 Hz. Éstos se producen en las frecuencias características, como por ejemplo en la frecuencia de paso por bogie, definida como 𝑓µ=𝑣𝐿µ Ñ donde 𝐿µ es la distancia característica entre dos bogies (Galvín, Romero, Moliner, & Martínez-Rodrigo, 2018). El modelo que alcanza mayor aceleración, aproximadamente 0.8 m/s2/Hz, es el S103 para la segunda frecuencia. A continuación, en la figura 5-6, se representan las respuestas temporales del desplazamiento de la masa sísmica y del voltaje de la pletina, obtenido en el modelo numérico del capítulo 4, para las excitaciones de los diversos modelos de tren. Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento 96 energético de las vibraciones ambientales Figura 5-6 - Amplitud de la masa sísmica y voltaje de la pletina frente a tiempo, para distintos modelos de tren, a su paso por el Viaducto del Arroyo Bracea I. EJEMPLO NUMÉRICO. VIADUCTO ARROYO BRACEA I 97 97 Los mejores resultados se obtienen para el modelo S103, el cual logra una amplitud de 3 · 10-5 m y 0.3 V. El siguiente paso es calcular el contenido en frecuencia de estos parámetros, con la finalidad de comparar las gráficas obtenida con las resultantes del análisis armónico implementado en el modelo numérico. Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento 98 energético de las vibraciones ambientales Figura 5-7 - Amplitud de la masa sísmica y voltaje de la pletina frente a frecuencia, para distintos modelos de tren, a su paso por el Viaducto del Arroyo Bracea I. Dependiendo del modelo de tren, se logra un voltaje máximo y para una frecuencia determinada: EJEMPLO NUMÉRICO. VIADUCTO ARROYO BRACEA I 99 99 • Tren S100: 0.065 V/Hz para la 1ª frecuencia. • Tren S102: 0.09 V/Hz para la 2ª frecuencia. • Tren S103: 0.18 V/Hz para la 2ª frecuencia. • Tren S104: 0.11 V/Hz para la 3ª frecuencia. • Tren S130: 0.12 V/Hz para la 2ª frecuencia. Se obtienen resultados acordes a las gráficas de la segunda columna de la figura 5-5, excepto para el modelo S104, donde se obtenía que la aceleración máxima se daba para la segunda frecuencia. Por otra parte, el mejor resultado es el generado por el modelo de tren S103 cuando vibra a la segunda frecuencia de resonancia. Finalmente, se representa la comparación entre las soluciones de contenido en frecuencia obtenidas mediante dos métodos: • Solución 1: resultado del análisis armónico realizado en el modelo de pletina con piezoeléctrico y masa puntual en el centro del extremo voladizo multiplicado por el resultado de la transformada de Fourier (utilizada para pasar del dominio temporal al frecuencial). • Solución 2: resultado obtenido al excitar el modelo anterior con los datos del ensayo experimental del Viaducto del Arroyo Bracea I. Es decir, la respuesta de la figura 5-7. S100 Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento 100 energético de las vibraciones ambientales S102 S103 S104 EJEMPLO NUMÉRICO. VIADUCTO ARROYO BRACEA I 101 101 S130 Figura 5-8 - Comparación de amplitud y voltaje de la pletina frente a frecuencia, para distintos modelos de tren, a su paso por el Viaducto del Arroyo Bracea I. Se advierte una buena aproximación entre los 0 y 25 Hz. Es decir, para el primer y segundo modo de vibración, la solución se considera válida. A partir de la tercera frecuencia de resonancia, en la solución 1 (resultado del análisis armónico por la transformada de Fourier), excepto para el modelo S130, alcanza un valor menor de la respuesta en voltaje respecto a la solución 2. Finalmente, se divide el voltaje entre el desplazamiento para cada frecuencia, con la finalidad de estudiar la relación entre ambos parámetros: Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento 102 energético de las vibraciones ambientales Figura 5-9 - Factor voltaje entre desplazamiento frente a frecuencia, para distintos modelos de tren, a su paso por el Viaducto del Arroyo Bracea I. Se comprueba que el modelo de tren que provoca una respuesta eléctrica mayor corresponde al S103, seguido del modelo S104. En ambos se obtiene un resultado similar, sin embargo, la diferencia reside en que el primero lo logra para la segunda frecuencia de resonancia, y el S104 para la tercera. EJEMPLO NUMÉRICO. VIADUCTO ARROYO BRACEA I 103 103 5.3. Conclusiones Como conclusión, se finaliza el capítulo tratando el caso en el cual es sistema estuviera sintonizado a la primera frecuencia natural del puente. Según la tabla 4-10 de la sección anterior, en la cual se recogían las frecuencias naturales de los modos contribuyentes en el modelo de pletina con acoplamiento piezoeléctrico y masa puntual, la primera frecuencia del sistema era de 35.024 Hz. Como se ha señalado en las gráficas de la figura 5-5, la primera frecuencia natural del puente era aproximandamente 10 Hz. Ajustanto el sistema receptor (recolector) para que su frecuencia resonante coincida con la frecuencia emitida por la plataforma, se conseguiría maximizar la energía recolectada. Para ello, se deberá optimizar el valor de las variables mecánicas del modelo, es decir, de la masa, la rigidez y el amortiguamiento. Para ello, se calculan las variables óptimas en un rango determinado y acorde a la geometría del sensor (es decir, con sentido físico), y la energía generada. Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento 110 energético de las vibraciones ambientales ANEXO. CÓDIGOS MODELOS ANSYS 6.1. Modelo tipo viga /PREP7 !DEFINICIÓN DE CONSTANTES ndiv=100 ! Espesor, largo y ancho de pletina h=0.14e-3 L=50.8e-3 b=31.8e-3 ! Área transversal e inercia A=b*h I=(b*h*h*h)/12 ! Módulo elasticidad, coef. de Poisson ! y densidad del latón MP,EX,1,105e9 MP,NUXY,1,0.4 MP,DENS,1,9000 ! TIPO DE ELEMENTO EMPLEADO ET,1,BEAM3 ! GEOMETRIA DE LA PLETINA R,1,A,I ! Ctes reales K,1,0,0 K,2,L,0 L,1,2 ! DISCRETIZACIÓN Y MALLA LESIZE,ALL, , ,ndiv, ,1, , ,1, LMESH,ALL ! EMPOTRAMIENTO DE LA BASE EN X=0 NSEL,S,LOC,X,0 D,ALL,ALL ANEXO. CÓDIGOS MODELOS ANSYS 111 111 6.2. Modelo pletina de latón /PREP7 !DEFINICIÓN DE CONSTANTES ! Espesor, largo y ancho de pletina h=0.14e-3 L=50.8e-3 b=31.8e-3 ! Módulo elasticidad, coef. de Poisson ! y densidad del latón MP,EX,1,105e9 MP,NUXY,1,0.4 MP,DENS,1,9000 ! TIPO DE ELEMENTO ET,1,SHELL181 ! GEOMETRIA RECTNG,0,L,0,b SECTYPE,1,SHELL SECDATA,h,1 ! DISCRETIZACIÓN Y MALLA SMRTSIZ,1 MSHAPE,0,2D AMESH,ALL ! EMPOTRAMIENTO DE LA BASE EN X=0 NSEL,S,LOC,X,0 D,ALL,ALL Desarrollo de un modelo de elementos finitos para el aprovechamiento 112 energético de las vibraciones ambientales 6.3. Modelo pletina de latón con masa sísmica puntual (centrada o en extremos) /PREP7 !DEFINICIÓN DE CONSTANTES ! Espesor, largo y ancho de pletina h=0.14e-3 L=50.8e-3 b=31.8e-3 M=0.012 ! Kg masa puntual ! TIPOS DE ELEMENTOS ET,1,SHELL181 SECTYPE,1,SHELL SECDATA,h,1 ET,2,MASS21 KEYOPT,2,3,2 ! MODELO DE MASA CENTRADA R,2,M !MODELO MASA EN EXTREMOS R,2,M*0.5 ! Módulo elasticidad, coef. de Poisson ! y densidad del latón MP,EX,1,105e9 MP,PRXY,1,0.4 MP,DENS,1,9000 ! GEOMETRÍA RECTNG,0,L,0,b ! MALLADO TYPE,1 SMRTSIZ,1 MSHAPE,0,2D AMESH,ALL ASEL,ALL TYPE,2 REAL,2 ! MODELO DE MASA CENTRADA n=node(L,b/2,0) e,n !MODELO MASA EN EXTRMEOS n=node(L,0,0) e,n n=node(L,b,0) e,n ! EMPOTRAMIENTO DE LA BASE EN X=0 NSEL,S,LOC,X,0 D,ALL,ALL ANEXO. CÓDIGOS MODELOS ANSYS 113 113 6.4. Modelo pletina de latón con masa sísmica lineal /PREP7 !DEFINICIÓN DE CONSTANTES ! Espesor, largo y ancho de pletina h=0.14e-3 L=50.8e-3 b=31.8e-3 M=0.012 ! Kg masa puntual ! Longitud para M kg lineales leng=0.006475 NDIV=L/10 ! TIPO DE ELEMENTO ET,1,SHELL181 SECTYPE,1,SHELL SECDATA,h,1 ET,2,BEAM188 SECTYPE,2,BEAM,RECT SECDATA,leng,leng ! Módulo elasticidad, coef. de Poisson ! y densidad del latón MP,EX,1,105e9 MP,PRXY,1,0.4 MP,DENS,1,9000 ! GEOMETRÍA RECTNG,0,L,0,b ! MALLADO TYPE,1 MAT,1 SMRTSIZ,1 MSHAPE,0,2D AMESH,ALL ASEL,ALL TYPE,2 LSEL,S,LINE,,2 LATT,1,,2,,,,2 LESIZE,ALL,,,NDIV LMESH,ALL ! EMPOTRAMIENTO DE LA BASE EN X=0 NSEL,S,LOC,X,0 D,ALL,ALL 114 6.5. Modelo pletina de latón con PZT-5H /PREP7 ! DATOS s11=16.5e-12 s12=-4.78e-12 s13=-8.45e-12 s33=20.7e-12 s44=43.5e-12 s66=2*(s11-s12) d15=7.41e-10 d31=-2.74e-10 d33=5.93e-10 k11=3130 k33=3400 h=0.14e-3 ! Espesor hpzt=0.26e-3 ! Espesor PZT L=50.8e-3 ! Largo B=31.8e-3 ! Ancho NDIV=L/10 ! ELEMENTOS ET,1,solid5,3 ET,2,SHELL181 ! PROPIEDADES PARA PZT MP,DENS,1,7500 tb,anel,1,,,1 tbda,1,s11,s13,s12 tbda,7,s33,s13 tbda,12,s11 tbda,16,s44 tbda,19,s44 tbda,21,s66 tb,piez,1,,,1 tbda,2,d31 tbda,5,d33 tbda,8,d31 tbda,10,d15 tbda,15,d15 mp,pery,1,k33 mp,perz,1,k11 mp,perx,1,k11 ! PROPIEDADES PARA SHELL SECTYPE,1,SHELL SECDATA,h MP,EX,2,105e9 MP,PRXY,2,0.4 MP,DENS,2,9000 ! GEOMETRÍA ANEXO. CÓDIGOS MODELOS ANSYS 115 115 BLOCK,0,B,0,hpzt,0,L BLOCK,0,B,0,-hpzt,0,L VGLUE,ALL ! MALLADO SMRTSIZ,1 MSHA,0,3D MAT,1 VSWEEP,All ASEL,S,LOC,Y,0 MAT,2 TYPE,2 SECNUM,1 AMESH,ALL ALLSEL ! CONDICIONES DE CONTORNO NSEL,S,LOC,Z,0 D,ALL,UX,,,,,UY,UZ NSEL,S,LOC,Y,0 CP,1,VOLT,ALL *GET,NMID,NODE,0,NUM,MIN NSEL,S,LOC,Y,hpzt CP,2,VOLT,ALL *GET,NTOP,NODE,0,NUM,MIN NSEL,S,LOC,Y,-hpzt CP,3,VOLT,ALL *GET,NBOT,NODE,0,NUM,MIN ALLSEL D,NMID,VOLT,0 D,NBOT,VOLT,1 D,NTOP,VOLT,1