Análisis modal de un álabe de turbocompresor mediante el método de los elementos finitos

Proyecto Fin de Carrera Ingeniería de Telecomunicación Formato de Publicación de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Autor: F. Javier Payán Somet Tutor: Juan José Murillo Fuentes Dep. Teoría de la Señal y Comunicaciones Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2013 Trabajo Fin Máster Ingeniería Industrial Análisis modal de un álabe de turbocompresor mediante el método de los elementos finitos Autor: Carlos Tello Castillo Tutor: Daniel García Vallejo Dpto. Ingeniería Mecánica y Fabricación Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2021 Trabajo Fin Máster Ingeniería Industrial Análisis modal de un álabe de turbocompresor mediante el método de los elementos finitos Autor: Carlos Tello Castillo Tutor: Daniel García Vallejo Doctor Dpto. Ingeniería Mecánica y Fabricación Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2021 Trabajo Fin Máster: Análisis modal de un álabe de turbocompresor mediante el método de los elementos finitos Autor: Carlos Tello Castillo Tutor: Daniel García Vallejo El tribunal nombrado para juzgar el trabajo arriba indicado, compuesto por los siguientes profesores: Presidente: Vocal/es: Secretario: acuerdan otorgarle la calificación de: El Secretario del Tribunal Fecha: Agradecimientos Tras 7 años y medio de carrera, este trabajo supone la finalización de una etapa dura, pero que ha merecido la pena. Quiero agradecer este trabajo en primer luegar a mis padres, por su preocupación en que recibiera siempre la mejor educación posible y por ayudarme a apuntar siempre al mejor futuro posible. A mis hermanos por haberme ayudado siempre que se lo he pedido. A mis abuelos, por su apoyo y su ilusión cada vez que les cuento un logro, en la vida personal y profesional. A mis amigos, por compartir los buenos y malos momentos en esta carrera de fondo, ellos son lo mejor que me ha dado esta carrera. Por último, a los profesores que sienten pasión por su oficio y se preocupan por dar una enseñanza de calidad, espero que inspiren a futuras generaciones para dar lo mejor de sí, pues en mi opinión es la mejor enseñanza que pueden dar. Carlos Tello Castillo Sevilla, 2021 I Resumen En la indutria de las turbomáquinas, quizá el elemento más importante y crítico en cuanto a diseño son los álabes. Su compleja distribución de espesores, la cual se utiliza para conferir al fluido que atraviesa la máquina las propiedades deseadas, así como la tridimensionalidad del flujo debido a la velocidad de rotación de los álabes, hacen que la geometría de estos elementos continúe a día de hoy bajo un profundo estudio que consiga mejorar las especificaciones de las turbomáquinas. Al margen del estudio termofluidodinámico de estos elementos, es también importante conocer cómo se comportarán mecánicamente en condiciones de funcionamiento. Desde este punto de vista, el análisis modal es uno de los más importantes dado que las fuerzas a las que está sometido un álabe son de naturaleza oscilatoria, y por tanto la respuesta del sistema también lo será. Este trabajo ha sido un proceso de diseño y ensayo de principio a fin en el entorno de los elementos finitos de un álabe tridimensional con rotación. A lo largo del trabajo se comenzará con una breve introducción tanto al estudio de las vibraciones como a la construcción bidimensional y tridimensional de un álabe, se dividirá esta geometría en un numero de elementos finito mediante su mallado y se procederá al análisis modal, que constará de dos fases. Por un lado, se analizará el comportamiento del álabe sin excitación alguna, centrando la atención en los 10 primeros modos de vibración del sistema, y realizando un análisis de sensibilidad de los parámetros fundamentales de diseño. En segundo lugar, se añadirá la excitación de carácter rotativo y se analizará de nuevo el comportamiento del sistema, así como sus diferencias y similitudes con el sistema sin excitación. III 2Capítulo 1. Introducción y esquema general del trabajo • Generación de la geometría para el estudio: se agrupan los conceptos tratados en los anteriores subapartados y se llega a la geometría final que será objeto de estudio. El capítulo 4 se encarga de preparar la geometría para el cálculo de las matrices de masa y rigidez necesarias para realizar el estudio utilizando el programa ANSYS. Para ello, es necesario converitir una geometría contínua en otra discreta generando así la malla. A lo largo del capítulo se muestra el estudio de convergencia de la malla, que se asegura de que los elementos son lo suficientemente pequeños como para garantizar una solución parecida a la real, pero también lo suficientemente grandes como para obtener unos tiempos de computación asumibles con los recursos de los que se disponen. En el capítulo 5 se presenta el primer resultado relevnate: las frecuencias de vibración para los 10 primeros modos de vibración del sistema. Además, se exponen también las amplitudes del movimiento y la naturaleza de los modos en cuanto a si son de flexión o de torsión. Posteriormente se seleccionan los parámetros más relevantes desde el punto de vista del diseño de los álabes y se hace un análisis de sensibilidad, para comprobar como la variación de los mismos, tanto de forma aislada como combinada puede cambiar las frecuencias o incluso, según lo visto, el orden en que los distintos modos de vibración aparecen en el álabe, resultado que sin duda es interesante desde el punto de vista del diseño de los mismos. Por último el capítulo 6 introduce la rotación en el sistema estudiado, y con ella vienen las fuerzas centrífugas, responsables que cierta rigidización del sistema. En primer lugar se muestra como los efectos no lineales de las fuerzas centrifugas pueden actuar en un sentido u otro dependiendo de cómo se traten: si se tienen en cuenta los efectos no lineales que producen o no. Esta rigidización puede, y de hecho se observa que contribuye a un cambio en el comportamiento del álabe, que se vuelve más estable: las frecuencias de excitación de los modos aumentan, y la amplitud de las deformaciones disminuye. Por último, se vuelve a comporbar si lo dicho en el estudio de sensibilidad de los parámetros fundamentales sigue siendo de aplicación tras la inclusión de la velocidad de rotación. 2 Introducción al fenómeno de las vibraciones El fenómeno de la vibración puede definirse como un movimiento oscilatorio de un cuerpo provocado por la oscilación de las partículas que lo forman, respecto a una posición de equilibrio. El fenómeno de las vibraciones es uno particularmente interesante en el estudio mecánico de los sistemas por varias razones. En primer lugar, todos los sistemas mecánicos reales son susceptibles de sufrir este fenómeno, ya que no existe ningún sistema en la realidad infinitamente rígido. En segundo lugar, y de acuerdo con la definición presentada, la vibración supone un desplazamiento del sistema estudiado con respecto a su punto de equilibrio, o dicho de otra forma, con respecto a su punto de diseño en términos de posición. Por último, y tal vez la razón más importante de su estudio, las vibraciones alteran cualidades de los sistemas tan importantes como su resitencia a fractura, lo que hace que materiales sometidos a cargas a cargas leves pero con naturaleza oscilatoria terminen por colapsar. Atendiendo a diferentes criterios, se pueden clasificar las vibraciones de las siguientes formas: • Periódicos y aperiódicos: Los primeros se caracterizan por tener un ciclo y una frecuencia, mientras que los segundos no se produce ninguna repetición de estados. • En funcion de la evolución de la respuesta con el tiempo se puede diferenciar entre: amortiguados, cuando la amplitud decrece con el tiempo, amplificados cuando la amplitud crece con el tiepo, o constantes. • En función de la existencia o no de una fuerza aplicada: libres, provicados por una alteración inicial, o forzadas, provocadas por la aplicación de una fuerza al sistema. • En función la duración en el tiempo se tiene: transitorias, si desaparece en un periodo corto de tiempo, o permanente ,si la duración es lo suficientemente larga. • En función del comportamineto de la respuesta se tienen: lineales, si la ecuación que la define es lineal, o no lineal, en caso contrario. 2.0.1 Grados de libertad del sistema Un concepto importante a tener en cuenta en este trabajo es el de los grados de libertad del sistema, el cual se puede definir como el número de parámetros necesarios para definir su configuración en cualquier instante. A continuación se muestran varios ejemplos de sistemas con diferente número de grados de libertad. En la primera imagen se muestra un sistema de un solo GDL, donde se puede ver que la coordenada "x" define por completo la configuración del sistema, que en este caso es la posición de la masa colgante. La segunda figura muestra 2 masas unidas por muelles capaces de moverse con independiencia, por lo que hará falta una coordenada para cada masa. Por último, en la ultima figura se muestra un medio contínuo, que puede entenderse como un número infinito de puntos con masa y que por tanto requiere de una función y(x) que 3 4Capítulo 2. Introducción al fenómeno de las vibraciones defina la posición de cualquiera que sea el punto "x". (a) Sistema de un solo Grado de Libertad. (b) Sistema con dos Grados de Libertad. (c) Sistema contínuo con infinitos Grados de Libertad. Figura 2.1 Ejemplos de sistemas con diferente número de grados de libertad. 2.0.2 Parámetros mecánicos asociados a las vibraciones Existen fundamentalmente cuatro parámetros que intervienen en el fenómeno vibratorio: masa, rigidez, amortiguamiento y fuerzas aplicadas. Se introducirán a continuación todos estos conceptos. Masa Se trata de la causante de las fuerzas de inercia, por lo que es un término que se opone al cambio al cambio de la velocidad del sistema. Tiene la siguiente expresión: Fm=−m¨r(2.1) En caso de que el movimiento del sistema sea de rotación y no lineal, se expresarán las fuerzas de inercia utilizando el momento de inercia y la aceleración angular según la siguiente expresión: MI=−IG¨ θ(2.2) Rigidez La rigidez del sistema es el término que se opone a la deformación del mismo. En el caso de sistemas elásticos, la energía que se absorbe con la deformación se devuelve al sistema al dejar de aplicarse la fuerza que la provocó. Se puede expresar de la siguiente forma: F=−kδ(2.3) Amortiguamiento Se trata del término de disipación de energía del sistema. Los hay de varias naturalezas: amortiguamiento por rozamiento, amortiguamiento fluido o amortiguamiento estructural. Cabe destacar que en este trabajo no se hablará demasiado de términos disipadores ya que el único que actuaría en el sistema de estudio sería el 5 rozamiento con el aire, el cual se va a considerar despreciable. Excitación externa Perurbación necesaria para que se de la vibración. Puede tratarse de una excitación inicial o una fuerza aplicada. 2.0.3 Vibraciones en sistemas de 1 GDL Los sistemas de 1 GDL son los más sencillos de estudiar. Son sistemas en los que con un sólo parámetro se puede definir la configuración completa del sistema. Ejemplo clásicos de sistemas de 1GDL se presentan en la figura 2.1. La ecuación que describe el movimiento vibratorio de un sistema de estas características es la llamada Ecuación del Movimiento. La cual se escribe: F(t) = m¨x+c˙x+kx (2.4) Donde las variables x,˙xy¨xdescriben respectivamente la posición, velocidad y aceleración del sistema. Dado que en este trabajo se trabajará con un sistema sin amortiguamiento, se procede a continuación a desarrollar los casos de estudio para un sistema en vibración libre y forzada sin amortiguemiento. Vibración libre sin amortiguamiento Si se supone que el amortiguamiento es nulo ( c=0 ), y que la fuerza a aplicada también lo es ( F=0 ), la ecuación del movimiento queda: 0=m¨x+kx (2.5) Al tratarse de un moviemiento oscilatorio, se puede suponer que la solución general es de la forma Xeiωt . Si se sustituye la variable "x" con esta expresión, se llega a lo siguiente: 0= (−ω2m+k)Xeiωt(2.6) Desarrolando la expresión: 0= (−ω2m+k)(2.7) ω0=rm k(2.8) Esta es la llamada frecuencia natural del sistema, y representa la frecuencia a la cual las fuerzas de rigidez y de inercia se anulan entre sí. También representa la frecuencia a la que un sistema vibra cuando está sometido a una vibración libre, es decir, cuando la excitación sobre el sistema se da de forma puntual. Quedando la expresión de la solución de la forma: 6Capítulo 2. Introducción al fenómeno de las vibraciones x(t) = Xei√m kt(2.9) Vibración forzada sin amortiguamiento Cuando la fuerza aplicada es de naturaleza oscilatoria, puede expresarse de la forma F(t) = Feiωt . Además, puede aplicarse que ante una excitación de naturaleza oscilatoria, la respuesta del sistema será también oscilatoria, de modo que la expresión de la respuesta puede mantenerse como la de la sección anterior. Si se hace un desarrollo análogo al anterior, es posible llegar a la siguiente conclusión: Feiωt= (−ω2m+k)Xeiωt(2.10) F= (−ω2m+k)X(2.11) H(ω) = X F=1 (−ω2m+k)(2.12) Donde H(ω)es la llamada Respuesta en Frecuencia del sistema. 2.0.4 Vibraciones en sistemas de N GDL Muchos sistemas reales pueden aproximarse mediante modelos de un solo grado de libertad, lo cual facilita su estudio en gran medida ya que en realidad, todos los sistemas reales poseen infinitos grados de libertad. Sin embargo, hay ocasiones en las que esta simplificación no es posible, como puede ser por ejemplo el sistema representado en la figura 2.2. Figura 2.2 Ejemplos de sistema con dos grados de libertad. Para casos como este, es necesario modelar el sistema con más de una ecuación. Para sistemas lineales con un numero finito de grados de libertad es posible representar su comportamiento mediante tantas ecuaciones diferenciales lineales como grados de libertad tenga el sistema. Se puede representar este sistema de ecuaciones lineales como: f(t) = M¨x(t)+C˙x(t) +Kx(t)(2.13) Donde M , C y K representan las matrices de masa, coeficiente de amortiguemiento y rigidez del sistema respectivamente, y donde xyfson vectores de posición y fuerza. 7 Para el ejemplo ilustrado en la figura 2.2, el sistema de ecuaciones resultante sería: m10 0m2¨x1 ¨x2+c1+c2−c2 −c2c2+c3˙x1 ˙x2+k1+k2−k2 −k2k2+k3x1 x2=F1 F2(2.14) Análogamente a lo expuesto en el caso de 1 GDL, se presentan a continuación los casos de vibración libre y forzada para un sistema sin amortiguemiento: Vibración libre sin amortiguamiento Al igual que para el caso de un solo GDL, se puede suponer que la solución general es de la forma Xeiωt , donde X será un vector compuesto columna con Namplitudes, siendo Nel número de grados de libertad del sistema. La ecuación del movimiento es: 0=M¨x(t)+Kx(t)(2.15) Si se sustituye en esta ecuación la expresión de la solución general se llega a la siguiente expresión: 0= (−ω2M+K)Xeiωt(2.16) Desarrollando: 0= (−ω2M+K)X(2.17) 0= (M−1K−ω2I)X(2.18) Donde la ecuación (2.18) representa un problema de autovalores con un número de autovalores ωj igual a dos veces número de ecuaciones del sistema (2N), y un autovector Xjasociado a cada autovalor. Vibración forzada sin amortiguamiento De nuevo como en el apartado anterior, puede suponerse que la forma de la excitación y la respuesta son respectivamente f(t) = FeiωtyXeiωt. En este caso, la ecuación del movimiento vuelva a ser: f(t) = M¨x(t)+Kx(t)(2.19) Análogamente a lo deducido en el apartado de un solo GDL, es posible llegar a la expresión de la Función de Respuesta en Frecuencia como se indica a continuación. Feiωt= (−ω2M+K)Xeiωt(2.20) F= (−ω2M+K)X(2.21) 8Capítulo 2. Introducción al fenómeno de las vibraciones H(ω) = XF−1= (−ω2M+K)−1(2.22) 2.1 Conclusiones del calpítulo En este capítulo se han introducido alguno conceptos teóricos del campo de las vibraciones que son de aplicación desde el punto de vista teórico en los problemas de análisis modal. Una barrera que presenta el método expuesto es la determinación de la matriz de masa y de rigidez para los sistemas reales, especialemente si el sistema a estudiar se trata de un medio contínuo como el sistema objeto de estudio de este trabajo. Es por ello por lo que en la realidad se recurre con frecuencia a los programas informáticos de elementos finitos, que son capaces de discretizar sistemas continuos y generar las matrices necesarias para realizar los cálculos en función de la división que se haga del sistema. Este es el método que se va a emplear en este trabajo, para lo cual se recurrirá al programa ANSYS, se elaborará la geometría de estudio y se dividirá en un número finito de elementos a partir del cual se aproximará la función continua con la discreta, dado un número de divisiones lo suficientemente grande como para que las respuestas se parezcan. 3 Generación de la geometría para los casos de estudio La geometría de los álabes de un turbocompresor es una ciencia en sí misma: de ella depende en gran medida la eficiencia de la turbomáquina completa. Ello se debe a que la estabilidad del flujo es más delicada en la etapa de compresión, lo que hace posible que se den fenómenos como el desprendimiento de la capa límite o la inversión del flujo dentro de la turbomáquina. Si estos fenómenos ocurren, la eficiencia de la turbomáquina se vería gravemente afectada, con consecuencias desastrosas para su desempeño. En este sentido, el diseño de los álabes del turbocompresor tiene una gran influencia, puesto que son los encargados de dirigir el flujo adecuadamente desde su entrada en el turbocompresor hasta su salida. Es aquí donde cobra sentido el análisis de las vibraciones de estos componentes que, dada su naturaleza, están sometidos a altas velocidades de giro y muy elevadas temperaturas, por lo que es importante conocer su comportamiento a la hora de hacer un buen diseño de los mismos. Por lo dicho en el primer párrafo de este capítulo, no se pretende en este trabajo replicar la precisión debida para hacer un buen diseño de este tipo de componente, sino más bien empezar a entender el comportamiento vibratorio de los mismos: cuáles son los parámetros que afectan en mayor medida a las frecuecias naturales, o los modos de vibración que deriban de su particular geometría. La geometría que se va a utilizar en este estudio es la propia de un álabe tridimensional, viene definida por cuatro parámetros fundamentales: la distribución de espesores del perfil (álabe bidimensional), la longitud de la cuerda, la longitud del álabe y la torsión del mismo. Para comprender la forma en que se han elaborado los álabes para este estudio, se va a comenzar explicando algunas nociones básicas para el diseño bidimensional, y posteriormente se añadirá la tercera dimensión. 3.1 Álabes bidimensionales 3.1.1 Partes fundamentales del álabe bidimensional Antes de poder hablar extensamente de cómo se dibujan los álabes es necesario establecer un lenguaje básico dentro del ámbito del los perfiles de ala. En este sentido, resulta conveniente empezar a definir algunas de sus partes, reflejadas en la figura 3.1. En esta figura se pueden distinguir cinco elementos que a continuación se definen: •Borde de ataque: Se trata del primer punto de contacto entre el fluido y el álabe. Es el encargado de dividir el flujo entre las caras de succión y presión •Cara de succión: Es la cara superior de álabe. Es la cara encargada de acelerar el flujo, creando presiones relativas negativas (succión). 9 10 Capítulo 3. Generación de la geometría para los casos de estudio •Cara de presión: Es la cara inferior de álabe. La mayor presión del fluido en esta cara, combinada con la menor presión en la cara de succión es la responsable de la fuerza de sustentación en el álabe, que tiende a levantarlo. •Borde de estela: Último punto físico del álabe. Es la zona donde se encuentran los flujos de las caras de presión y succión que, al tener distinta presión, se combinan dando lugar a turbulencias que se traducen en una pérdida de presión de remanso y, por tanto, de energía. •Cuerda Línea ficticia que une los bordes de ataque y estela. Representa la longitud característica del álabe, y se utiliza como referencia para la construcción geométrica del mismo. Figura 3.1 Partes básicas de álabe bidimensional. 3.1.2 Otros parámetros de interés. La distribución de espesores Además de las cinco partes ya definidas, existen otros parámetros que conviene conocer cuando se trabaja con álabes. Aunque en esta sección seguramente se podría entrar en bastante detalle, no conviene perder de vista el objetivo de este capítulo, por lo que pondrá el foco únicamente en los que pueden contribuir a un mejor entendimiento de la geometría de los álabes de cara a su generación: •Línea media: No se debe confundir con la cuerda del álabe, aunque coincide con esta cuando la curvatura del álabe es nula. Se trata de una linea que, al igual que la cuerda, une los bordes de ataque y estela, pero que, a diferencia de ella, no es recta, sino que sigue una trayectoria por lo general curva. Se puede asemejar esta línea a la espina dorsal de un pez, ya que forma parte de la estructura fundamental del álabe de cara a su construcción. Aunque esta línea puede tener diversas naturalezas, lo normal es que se trate de un arco circular o con forma de parábola. •Distribución de espesores: Como su propio nombre indica, se trata de una serie de puntos que definen el espesor del álabe en función de la posición a lo largo de la cuerda. Este espesor luego se proyecta sobre la línea media, para formar así el perfil del álabe, tal y como se muestra en la figura 3.2. •Curvatura del álabe: Por último, merece la pena mencionar aquí la curvatura del álabe, la cual nos marca, dada una referencia, la diferencia entre los ángulos de entrada y salida del borde de ataque y borde de estela respectivamente. Es interesante comentar que, aunque esta es una medida que geométricamente tiene mucho sentido, el objetivo de los álabes es general una fuerza que los "levante" conocida como fuerza de sustentación. Esta fuerza de sustentación está estrechamente ligada a la curvatura de álabe, y por ello, es habitual en la literatura expresar la misma en función del llamado coeficiente de sustentación, y que se define como indica la ecuación (3.1). CL=L 1 2ρc2 ml(3.1) De estos últimos elementos, el más complejo sin duda es la distribución de espesores, cuyo estudio comenzó en tiempos de la Segunda Guerra Mundial y continúa aun en la actualidad. La distribución de espesores es la encargada de definir la forma conducto por el que pasará el fluido de trabajo, por lo que es responsable del proceso de compresión o expansión según el tipo de turbomáquina. Además, la distribución 3.1 Álabes bidimensionales 11 de velocidades a lo largo de las paredes del álabe también condiciona efectos tan indeseados como el bloqueo o la inversión del flujo, así como el rango de incidencias en el que el álabe tiene un rendimiento adecuado. Dada su importancia, es los siguiente apartados se va a hacer una pequeña introducción acerca de la distribución de espesores elegida para este trabajo: los perfiles de la serie NACA 65. Figura 3.2 Distribución de espesores, línea media y cuerda en un álabe de turbina. Perfiles de la serie NACA El desarrollo de los comúnmente utilizados perfiles de la serie NACA comenzó en 1929, con un análisis sistemático de una familia de álabes en el túnel de densidad variable Langley. Los álabes de esta familia se caracterizaron mediante 4 dígitos, y se produjeron utilizando siempre la misma distribución de espesores superpuesta sobre diferentes tipos de línea media y cuerdas de diferente longitud. Esta investigación, llevada a cabo por la NACA, consiguió producir perfiles con un mayor coeficiente de sustentación y un menor coeficiente de arrastre (fuerza perpendicular a la sustentación) que todas las secciones que se usaban hasta ese momento. Visto el éxito de estas investigaciones, el estudio se amplió para incluir, en primer lugar, modificaciones en la línea media, y más tarde distintas distribuciones de espesor, dando lugar a perfiles definidos por 5 dígitos, y revelando que la principal contribución a la denominada fuerza de arrastre provenía de la fricción producida por la superficie de los álabes, de modo que, si se quería conseguir un menor coeficiente de arrastre, de debía disminuir este coeficiente de fricción. El siguiente paso en el desarrollo de la teoría de los perfiles de ala suspuso un salto cualitativo: se pasó de probar las diferentes configuraciones y anotar los resultados, al diseño a conciencia de una distribución de presiones adecuada a lo largo del álabe. Sin embargo, la teoría que se tenía hasta ese momento sobre este tema demostró ser insuficiente: el método Theodorsen, utilizado para calcular distribuciones de presión en los álabes, no era lo suficientemente preciso en el borde de ataque como para predecir los gradientes de presiones que se producirían. Así que, en ausencia de un método teórico, se decidió obtener la nueva familia de álabes mediante una modificación empírica de las distribuciones de espesor anteriores, dando así lugar a los perfiles de la serie NACA 16, que constituyen la primera familia de perfiles de bajo coeficiente de arrastre y elevada velocidad. Los perfiles NACA 65 Dentro de la amplia variedad de perfiles NACA existentes, la serie NACA 65 ha sido ampliamente estudiada a lo largo de la historia: fue utilizada en las alas del caza norteamericano Mutang P-51 para conseguir un avión de alto rendimiento (fluid machinery: application, selection and design; Terry Wright), Erwin y Emery utilizaron este álabe en su "estudio sistemático de cascadas de álabe de compresor" para demostrar que las características bidimensionales del flujo en los álabes pueden considerarse independientes de las 18 Capítulo 3. Generación de la geometría para los casos de estudio Wesp =W m(3.16) Wesp =ucy2−cy1(3.17) W=mcp∆Tesc (3.18) u=cy1+cy2(3.19) c1=qc2 x+c2 y1(3.20) c2=qc2 x+c2 y2(3.21) T01comp =T1comp +c2 1 2cp (3.22) M01 =c1 pRcteT1compγ(3.23) α1=arctan cy1 cx (3.24) α2=arctan cy2 cx (3.25) w1=c2(3.26) w2=c1(3.27) α1=β2(3.28) α2=β1(3.29) Así mismo, es necesario determinar la altura del álabe (b1), para lo que se deberá emplear otro sistema: m=πDmρ1cxb1(3.30) ρ1=p1comp RcteT1comp (3.31) u=ωDm 2(3.32) Rm=Dm 2(3.33) p01comp p1comp = T01comp T1comp !γ γ−1 (3.34) 3.4 Generación de la geometría 19 Por último, se pueden calcular los ángulos de entrada de flujo para cada radio del álabe utilizando las condiciones de la ley de torsión de flujo libre de torbellino, visto en el apartado anterior. Con todo esto, la evolución del ángulo de entrada del álabe con el radio puede ser determinada, y se muestra en la siguiente tabla. Radio β1 0.7535 33.96 0.7982 38.44 0.8429 42.29 0.8877 45.62 0.9324 48.52 0.9771 51.07 1.022 53.32 1.067 55.32 1.111 57.1 1.156 58.71 En el último apartado de este capítulo se mostrará la generación de esta geometría utilizando los programas de MATLAB y SolidWorks. 3.4 Generación de la geometría El procedimiento que se seguirá para la generación de la geometría consiste en: primero, dibujar la base del álabe como se describió en el apartado de álabes bidimensionales y, en segundo lugar, determinar la trayectoria de los bordes de ataque y estela del álabe para cumplir con la torsión calculada. La razón por la que esto se ha decidido hacer así es porque SolidWorks cuenta con una herramienta llamada Barrido, que es capaz de "extruir" una base a lo largo de una trayectoria determinada, por lo que el objetivo debe ser determinar esta trayectoria a seguir. Como es intención en este trabajo hacer ligeras variaciones a la geometría para comprobar si el comportamiento vibratorio también varía, es importante poder parametrizar la geometría con el fin de poder definirla completamente a partir de los parametros que se quieren variar. Para reducir el tiempo de creación de estas nuevas geometrías, se hará un pequeño programa en MATLAB, encargado de generar una nube de puntos que sirva para la generación completa del álabe. La parametrización de la base, de hecho,se toma de las referencias [ 11 ]y[ 7 ], por lo que solo resta definir los parámetros que van a definir la tercera dimensión del álabe, las cuales no es difícil deducir que deben ser la longitud del álabe y la torsión del mismo. Mientras que el primero de estos parámetros es fácil de implementar, el segundo depende, según lo visto de la velocidad de rotación de la turbomáquina, por lo que el segundo parámetro debe ser en realidad dicha velocidad. En la figura 3.10 puede verse el resultado del código creado. En ellas puede observarse la base del álabe (en verde) y las mencionadas trayectorias de los bordes de ataque y estela (en amarillo y morado respectivamente). El próximo paso consiste en trasladar estos puntos a SolidWorks, y desde ahí generar la geometría. Para ello, SolidWorks cuenta con una herramienta capaz de leer un fichero de texto que, ordenado de una forma adecuada, es capaz de interpretar como puntos en el espacio. Seguidamente, será necesario convertir estos puntos en una boceto (base del álabe) y dos curvas guía para llevar a cabo la operación de barrido. Estos elementos se representan en la figura 3.11. Seguidamente, en la figura 3.12 se puede observar la pieza final, a la que se le ha añadido una base de geomatría simplificada para poder estudiar las tensiones que aparezcan en la base del álabe. 20 Capítulo 3. Generación de la geometría para los casos de estudio (a) Vista en planta de la nube de puntos generada por MATLAB. (b) Vista en 3D de la nube de puntos generada por MATLAB. Figura 3.10 Nube de puntos generada por MATLAB. (a) Vista en planta de la nube de puntos trasladada a Solid- Works. (b) Vista en 3D de la nube de puntos trasladada a SolidWorks. Figura 3.11 Nube de puntos trasladada a SolidWorks. (a) Vista en planta de la la pieza final. (b) Vista en perfil de la pieza final. (c) Vista en 3D de la pieza final. Figura 3.12 Pieza final generada mediante la operación de Barrido en SolidWorks. 3.5 Conclusiones del capítulo En este capítulo se ha hecho una descripción detallada del proceso seguido para la generación de la geometría que se utilizará en los posteriores capítulos. Como se ha mencionado con anterioridad, es claro que esta geometría no es perfecta, pero tiene en consideración factores que hacen su diseño interesante no sólo desde el punto de vista mecánico, sino también fluidodinámico. 3.5 Conclusiones del capítulo 21 Así, el proceso de creación de la geometría ha constando de los siguientes pasos: • Definición de los parámetros físicos para el diseño del álabe bidimensional: Por un lado se ha optado por una distribución de espesores frecuentemente utilizada en la literatura, la serie NACA65, cuya tabla de espesores relativos se muestra en las figuras 3.3 y 3.4. Además, se han definido también otros parámetros fundamentales de diseño como el coeficiente de sustentación del perfil y la longitud del mismo. • Se han definido los parámetros termodinámicos que ayudan a definir las curvas guías para transformar el perfil bidimensional en uno tridimensional: estos parámetros son principalmente presión y temperatura a la entrada y a la salida de la cascada, así como velocidad de rotación de la misma. • Se ha dibujado este perfil bidimensional y las curvas guía con ayuda del programa MATLAB, y esta nube de puntos se ha trasladado al programa SOLIDWORKS. • Por último, con ayuda del programa SOLIDWORKD se ha transformado la nube de puntos en una geometría sólida y se le ha añadido una base que sirva de ayuda para localizar las condiciones de contorno en futuros capítulos. Puede encontrarse más información sobre la generación de los perfiles bidimensionales en las referencias [11] y [7], así como de las leyes de torsión y su deducción matemática en [5]. En el próximo capítulo se estudiará la discretización de geometría en un número dado de elementos (mallado) para poder aplicar la metodología de los elementos finitos con el programa ANSYS, y así comenzar con el análisis modal. 4 Mallado La geometría generada en el capítulo anterior constituye el volumen de control a estudiar en el transcurso de este trabajo. Sin embargo, se ha de tener en cuenta que esta geometría es un volumen contínuo, y por consiguiente el número de grados de libertad será infinito, lo cual significa que este problema es imposible de resolver para cualquier ordenador. Para solventar este problema, existe el llamado Método de los Elementos Finitos. Este método consiste en dividir un volumen de control dado en un conjunto de elementos discretos (tantos como se quiera), a partir de los cuales se realizarán interpolaciones en el resto de volumen de control para extender el estudio al resto de la geometría. La principal ventaja de este método es que se pasa de un problema que es inabordable a otro que la gran mayoría de ordenadores de la actualidad pueden resolver si demasiados problemas. Como contra partida, se ha de tener en cuanta que se está extendiendo el comportamiento de una serie de puntos a la geometría completa, y esto significa que el resultado no coincidirá con la realidad. Resulta evidente que cuanto mayor sea el número de elementos usados, más se aproximará la solución a la real, de modo que un paso crucial a la hora de utilizar este método es decidir el número de elementos que se utilizará en el estudio. Al proceso mediante el cual se discretiza un volumen contínuo en un número finito de elementos se le denomina mallado. En este capítulo se hará una breve introducción sobre algunos conceptos básicos del mallado, y posteriormente se presentará el proceso por el cual se ha llegado al mallado definitivo de la geometría de estudio. Por lo dicho anteriormente, la geometría generada durante el capítulo anterior debe descomponerse en un número finito de elementos. Esta tarea sería tremendamente tediosa si no fuera porque hoy en día existen multitud de programas que pueden ayudar en esta labor. Concretamente, para la realización de este trabajo se va a emplear el módulo de mallado implementado en ANSYS. Haciendo uso de esta herramienta, la función del usuario se limita a específicar una serie de parámetros sencillos de comprender tras un estudio superficial de la materia. El programa de mallado que se va a utilizar solo necesita que el volumen de estudio esté bien definido y un tamaño de los elementos para generar una malla de la geometría. Importada la misma y ejecutando el programa, nos devuelve la malla que se muestra en la figura 4.1. La principal ventaja de esta malla es el poco tiempo que ha llevado generarla y la sencillez de su generación. Sin embargo, existen algunos aspectos negativos en esta malla que pueden solucionarse si se hace un estudio un poco más detenido de la geomatría. Por ejemplo, parece claro que la base del álabe se va a tratar de una forma totalmente diferente al cuerpo del álabe en el análisis modal, puesto que esta parte actuará como fija, haciendo que su contribución a la vibración sea ínfima. Es por esto que carece de sentido darle la misma importancia al mallado de esta zona que a la del cuerpo de álabe, que es donde realmente deben centrarse los esfuerzos por conseguir una malla de calidad. Así pues, se puede aligerar un poco el mallado del soporte del álabe, e intentar refinar las partes más importantes. El primer paso para conseguir esto es hacer una descomposición de la geometría en partes más sencillas, puesto que ANSYS no permite utilizar diferentes tecnicas de mallado en un mismo sólido. 23 24 Capítulo 4. Mallado Figura 4.1 Mallado básico proporcionado por ANSYS. 4.1 Descomposición de la geometría Existen tres partes diferenciadas en la geomtría a estudiar: la base o soporte del álabe, el cuerpo de álabe y la zona de unión entre ambas, de modo que lo primero que se puede hacer es separar estas tres partes para, a continuación, tratarlas por separado. En un principio se va a separar la geometría en tan solo dos partes representadas en la figura 4.2, ya que, como porteriormente se verá, la división restante aparecerá de forma natural durante el tratamiento de la geometría de la base. Figura 4.2 División inicial de la geormetría de estudio. Cabe destacar que el cuerpo de álabe no necesitará mayor tratamiento, por lo que se pasará a tratar la base del mismo, y es que, de poco habría servido esta división si llegados a este punto no se hace una mayor división de esta segunda parte para convertir la compleja geometría de la misma en la suma de otras partes más sencillas. Para hacer esto, hay que caer en la cuenta de que la forma primaria de la base es la de un prisma pentagonal, algo que se hizo de forma consciente pensando en este paso. De ahí que se vaya a tomar un núcleo en forma de prisma pentagonal rodeado por otras partes menos regulares, pero parecidas lo más posible a prismas cuadrangulares o triangulares, tal y como se muestra en la figura 4.3. Como se puede observar en esta figura, la división que faltaba por realizar ya ha aparecido, al realizar las correspondientes subdivisiones de la base. Un aspecto importante a la hora de mallar esta geometría es que, al haberse dividido en múltiples partes, el programa de mallado interpretará cada una de estas como un sólido diferente, lo que supondrá que los 4.1 Descomposición de la geometría 25 Figura 4.3 División de la base en partes más sencillas. nodos no coincidirán en las caras adyacentes de cada una de las partes, haciendo que la geometría pierda su continuidad. Para evitar que esto ocurra, es necesario indicarle al programa que debe tratar todo como un mismo sólido. Esto de hace seleccionando la opción Share Topology. En cuanto a la malla de este nuevo acercamiento al mallado, se va a tratar que, en la medida de lo posible, los elementos utilizados sean de tipo hexaédrico. Esto es debido a que este tipo de elementos suponen una menor carga computacional y proporcionan un mayor control sobre la forma del mallado en sí. Para conseguir este tipo de malla, es importante que se le indique al programa que las aristas opuestas de las caras que se quieren mallar mediante este método tengan mismo número de divisiones, tal y como se muestra en la figura 4.4. Figura 4.4 División de las caras de la base en partes iguales para conseguir elementos hexaédricos. En cuanto al cuerpo del álabe, se sigue una estrategia similar para conseguir elementos hexaédricos, aunque en este caso existe una dificultad añadida: el borde de estela. El problema es que esta parte del álabe es tan delgada, que para que una malla hexaédrica sea capaz de reproducirla con cierta exactitud, los elementos de esta zona deben ser extremedamente pequeños. Tal y como se ha indicado antes, para conseguir una malla hexaédrica es preciso que las aritas opuestas de las caras involucradas tengan las mismas divisiones, de modo que, pese a que el resto de la geometría no precisa de elementos tan pequeños, este método obliga a utilizar una cantidad desproporcionada de ellos. Para aliviar en la medida de lo posible este problema, pero continuar utilizando elementos con la mayor 26 Capítulo 4. Mallado Figura 4.5 Malla derivada de la división realizada. calidad posible, se hará uso de elementros tetraédricos pero estructurados, de modo que a efectos reales, los elementos finales son muy parecidos a los hexaédricos, tal y como se puede apreciar en las figuras 4.6. Con esta composición de la malla, se puede pasar a la fase más importante del capítulo: el test de convergencia de la malla, el cual permitirá conocer el tamaño necesario de los elementos que asegura que los resultados serán similares a los observados en la realidad. (a) Malla estructurada de elementos tetraédricos para el cuerpo del álabe. (b) Detalle de la malla para el cuerpo del álabe. Figura 4.6 Mallado del cuerpo del álabe. 4.2 Test de convergencia de la malla 27 4.2 Test de convergencia de la malla Como se explicó al comienzo del capítulo, el método de los elementos finitos supone una discrtización del volumen que se va a estudiar de forma que se pierde la continuidad y esta pasa a aproximarse mediante extrapolaciones a partir de los datos calculados. Aunque esto permite abordar problemas que de otra forma resultarían inabordables, también implica una pérdida de resolución en los resultados, que si no se tratan con cuidado pueden diferir mucho de la respuesta real del sistema. Por ello, es importante hacer comprobaciones antes de dar por válidas las soluciones de este método, estas comprobaciones se conocen como test de convergencia de la malla, y se basan en el hecho conocido de que a menor tamaño de los elementos de la malla, más se aproximará la solución a la real. Así, el procedimiento a seguir será reducir progresivamente el tamaño de los elementos y observar como evoluciona la solución, hasta llegar a un punto en que se considere que esta ha convergido. Habrá que tener en cuenta que a menor número de elementos, mayor carga computacional, de modo que al final será necesario llegar a una solución de compromiso que suponga encontrar una solución válida que no tarde demasiado en ser calculada. 4.2.1 Convergencia de modos de vibración El objetivo principal de este trabajo es el análisis modal de un álabe de rotor en funcionamiento. Por ello, el primer test de convergencia que se hará será el correspondiente a la respuesta vibratoria, donde la función objetivo serán las frecuencias de vibración de cada modo, y el parámetro de entrada será la resolución de la malla. Como es razonable, la resolución de la malla se hará solo en el cuerpo del álabe, ya que la base no tiene efecto sobre la respuesta modal del mismo. Como medida de este refinamiento se va a utilizar el número de elementos en que se van a dividir las superficies superior e inferior, pero no debe perderse de vista que esto es solo una medida indirecta, y de que el número real de elementos es superior. En cuanto a los parámetros utilizados para el análisis modal, van a utilizarse unos parecidos a los que usarán posteriormente, pero se harán ciertos redondeos para facilitar este paso previo al análisis profundo. Además, se ha decidido que el análisis modal va a comprender 10 modos de vibración, aunque teoricamente estos son infinitos. Realizados los cálculos pertinentes en ANSYS, que se detallarán con mayor extensión en el siguiente capítulo, la tabla que muestra la evolución de las frecuencias modales en función de la resolución de la malla se muestra a continuación: Tabla 4.1 Test de convergencia de la malla. Resolución Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5 Modo 6 Modo 7 Modo 8 Modo 9 Modo 10 300 elementos 138,43 601,92 1053,1 1705,7 2351,1 3512,4 4440,2 5869,7 6171,3 7230 450 elementos 138,19 600,83 1051,7 1705,7 2345,5 3508,5 4424,9 5845 6156,8 7184,9 1000 elementos 138,13 600,26 1050,9 1705,1 2340,3 3502 4404,7 5820,6 6144,9 7126,7 1344 elementos 137,98 599,57 1050,3 1705 2338,2 3503,4 4401,7 5821,9 6142,1 7124,3 1800 elementos 137,9 599,17 1049,8 1704,5 2336,3 3501,4 4397 5817 6139,5 7112,5 1836 elementos 137,96 599,46 1050,1 1704,9 2337,4 3502,4 4399 5818,6 6140,6 7116,4 2400 elementos 137,96 599,43 1050,1 1705 2337,3 3502,6 4398,8 5819,2 6140,6 7116,2 3000 elementos 137,88 599,07 1049,8 1704,6 2335,8 3501,5 4395,7 5816,9 6138,8 7109,7 3500 elementos 137,88 599,06 1049,7 1704,6 2335,7 3501,3 4395,3 5816,4 6138,6 7108,5 4000 elementos 137,88 599,05 1049,7 1704,5 2335,6 3501,2 4395,1 5816,1 6138,5 7107,8 A continuación, se muestran además dos imágenes de la malla más gruesa y más fina en las figuras 4.7 y 4.8 respectivamente. 34 Capítulo 5. Estudio de los modos de vibración del álabe sin considerar la rotación (a) Primer paso para la definición del sólido: Elección del material. (b) Biblioeca de materiales ANSYS WORKBENCH. Figura 5.1 Elección del material en ANSYS WORKBENCH. 5.1 Análisis Modal del caso de Estudio A continuación, y una vez decidido el material, el siguiente paso será especificar la geometría de trabajo y, a continuación dividirla en un número finito de elementos a través de la malla. Todos estos pasos se han llevado a cabo tal y como describen los capítulos 3 y 4 respectivamente. De este modo, ya se puede comenzar con análisis modal del caso de estudio planteado, lo cual implica añadir el módulo de análisis modal en el escritorio de ANSYS, como muestra la figura 5.2. Figura 5.2 Inclusión del módulo de analisis modal en el escritorio de ANSYS, e implementación de geometría y malla. Como se ha mencionado, en este capítulo no se tendrán en cuenta más restricciones que el empotramieto de la base dentro de la corona de álabes. Esta condición se implementa en el programa mediante lo opción de ”fixed support”, la cual permite seleccionar las superficies que quedarán fijadas, tal y como muestra la figura 5.3. Aunque no es cierto que la corona de álabes no vibre cuando es exitada, si que se puede suponer que el efecto de esta vibración será despreciable en comparación con la vibración de los álabes, ya que estos son figuras esbeltas en comparación con la corona que se trata de una figura simétrica con una rotación en su eje de momento de inercia. 5.1 Análisis Modal del caso de Estudio 35 Figura 5.3 Segundo paso para la definición del sólido: Establecer las condiciones de contorno. Se calcularán, como en los capítulos anteriores, los 10 primeros modos de vibración, los cuales resultan tener las frecuencias representadas en la figura 5.4. Figura 5.4 Frecuencia en Hz de los modos de vibración del caso de estudio. A continuación, se analizarán brevemente cada uno de estos modos, clasificándose en modos de flexión o torsión, su frecuencia de activación y la deformación total de la pieza. Los resultados obtenidos se resumen en la tabla 6.3: 36 Capítulo 5. Estudio de los modos de vibración del álabe sin considerar la rotación Tabla 5.2 Frecuencia en Hz de los modos de vibración del caso de estudio. Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5 Modo 6 Modo 7 Modo 8 Modo 9 Modo 10 Tipo Flexión Flexión Torsión Flexión Flexión Torsión Flexión Torsión Flexión Torisón Frecuencia [Hz] 58.141 297.34 474.21 566.76 982.24 1480 1843.6 2477.2 2539 2989.1 Def máx [mm] 86.98 111.26 181.13 90.26 117.44 205.64 187.81 272 101.54 355.8 (a) Posición inicial del modo de vibración 1. (b) Posición final del modo de vibración 1. (c) Posición inicial del modo de vibración 2. (d) Posición final del modo de vibración 2. (e) Posición inicial del modo de vibración 3. (f) Posición final del modo de vibración 3. (g) Posición inicial del modo de vibración 4. (h) Posición final del modo de vibración 4. (i) Posición inicial del modo de vibración 5. (j) Posición final del modo de vibración 5. Figura 5.5 Representación gráfica de la deformación para cada modo de vibración. 5.1 Análisis Modal del caso de Estudio 37 (a) Posición inicial del modo de vibración 6. (b) Posición final del modo de vibración 6. (c) Posición inicial del modo de vibración 7. (d) Posición final del modo de vibración 7. (e) Posición inicial del modo de vibración 8. (f) Posición final del modo de vibración 8. (g) Posición inicial del modo de vibración 9. (h) Posición final del modo de vibración 9. (i) Posición inicial del modo de vibración 10. (j) Posición final del modo de vibración 10. Figura 5.6 Representación gráfica de la deformación para cada modo de vibración. De estos resultados se pueden extraer algunas conclusiones interesantes: • Existe un mayor número de modos de vibración a flexión que ha torsión (6 a flexión frente a 4 a torsión). A bajas frecuencias, parece que el modo preferente de vibración del álabe es el de flexión, y conforme la frecuencia aumenta, van apareciendo un mayor número de modos de vibración de torsión. • Las mayores deformaciones se producen para los modos de vibración con naturaleza de torsión, lo cual puede comprobarse mirando la tabla 6.3. • Tanto para los modos de torsión como de flexión se cumle un patrón reconocible: los modos mayores se parecen a los menores pero con un mayor número de nodos y valles. Así, los modos 7, 5 y 1 solo se diferencian en el número de nodos, al igual que los modos 10, 8, 6 y 3. 38 Capítulo 5. Estudio de los modos de vibración del álabe sin considerar la rotación • Los modos 9, 4 y 2 parecen los más diferentes, ya que conllevan una flexión pero en la dirección horizontal. 5.2 Análisis de sensibilidad de los parámetros fundamentales de la geometría Aunque estos resultados ya aportan algo de información a la pregunta fundamental que ha inspirado el trabajo (el comportamiento de una geometría tan compleja desde el punto de vista de las vibraciones), sería posible comprender la influencia de geometría en las frecuecias y los modos de vibración mediante un estudio de sensibilidad de los parámetros de diseño fundamentales del álabe, que por otra parte son también los que dan a la geometría su complejidad. Por tanto, se ha considerado interesante realizar este análisis, que estudiará la variación de la frecuencia de vibración del sistema en función de los siguientes 3 parámetros: Coeficiente de sustentación, grado de torsión y longitud del álabe. Cabe destacar que no se incluye en este análisis la variación de la distribución de espesores, debido a que cada distribución es, o completamente diferente al resto, o muy parecida a las de su propia familia (variando tan solo la magnitud del espesor en algunas zonas del álabe), lo cual supondría tener que estudiar una cantidad muy grande de álabes para poder comenzar a extraer conclusiones generales como las que pretende este trabajo. La combinatoria de los parámetros elegidos crece exponencialmente con el número de variaciones que se haga de cada parámetro. Con el objetivo principal de llegar a una situación de compromiso entre la extracción de resultados interesantes y el tiempo que consume el análisis de cada variación (reelaboración de todas las geometrías, con su correspondiente malla), se ha decidido estudiar la siguiente serie de variaciones, que resultan en un total de 90 geometrías: Tabla 5.3 Variación de los parámetros fundamentales del álabe. Coeficiente de Sustentación [-] Grado de Torsión [º] Lóngitud del álabe [cm] 1.2-1-0.8 Libre-30-20-10-0 35-30-25-20-15-10 En las siguientes figuras se muestra el resultado de este análisis de sensibilidad: Figura 5.7 Frecuencias en Hz de los modos de vibración del estudio de sensibilidad. 5.2 Análisis de sensibilidad de los parámetros fundamentales de la geometría 39 Figura 5.8 Frecuencias en Hz de los modos de vibración del estudio de sensibilidad. Figura 5.9 Frecuencias en Hz de los modos de vibración del estudio de sensibilidad. 5.2.1 Influencia de la longitud en la frecuencia de vibración El efecto que se espera apreciar más sensiblemente es el de la longitud del álabe ya que es bien sabido que cuanto menor sea esta, más rigido será el álabe y por tanto se deben esperar unas mayores frecuencias de vibración para cada modo. Si observamos la figura 5.10, que representa la variación de la frecuencia del modo 1 respecto de la longitud del álabe, se puede ver que este efecto es el que se observa: 40 Capítulo 5. Estudio de los modos de vibración del álabe sin considerar la rotación Figura 5.10 Frecuencias en Hz del modo 1 frente a longitud del álabe. Si se observa al comportamiento en el resto de modos, puede observarse que la tendencia es similar, de forma que frecuencia del modo resulta inversamente proporcional a la longitud del álabe, formándose así una asíntota vertical conforme la longitud del álabe disminuye, y otra horizontal para las longitudes cada vez mayores. Figura 5.11 Frecuencias en Hz del modo 2 frente a longitud del álabe. 5.2 Análisis de sensibilidad de los parámetros fundamentales de la geometría 41 Un comportamiento interesante que puede extraerse del estudio ligado a la influencia de la longitud es el que acontece en el nodo de la vibración al variar dicha longitud, puesto que al ser de mayor o menor longitud, el grado de torsión de la cabeza de álabe varía y con él la asimetría de las fuerzas en cada extremo de la sección del álabe. El efecto puede apreciarse bien el modo de vibración 2, donde debido a la variación de la dirección del nodo de la vibración, este pasa de tener una naturaleza de flexión a más bien una de torsión a partir de los 25cm de longitud: (a) Modo de vibración 2 con L=35cm. (b) Modo de vibración 2 con L=30cm. (c) Modo de vibración 2 con L=25cm. (d) Modo de vibración 2 con L=20cm. (e) Modo de vibración 2 con L=15cm. (f) Modo de vibración 2 con L=10cm. Figura 5.12 Variación del modo de vibración 2 con la longitud del álabe. 5.2.2 Influencia del coeficiente de sustentación en la frecuencia de vibración Se analizará seguidamente la influencia del coeficiente de sustentación en la frecuencia de los modos de vibración, el cual es una medida indirecta de la curvatura del álabe (no confundir con la torsión). Para ilustrar la influencia del coeficiente de sustentación en la geometría se representan los tres casos estudiados en la figura 5.13. Puede apreciarse que, cuanto mayor coeficiente de sustentación, mayor es la curvatura del álabe, la cual llevará al aire que fluye alrededor de la cara de succión a acelerarse más y por tanto disminuir su presión dinámica, aumentando las fuerzas de sustentación que sufre el álabe. Aunque la diferencia entre las 3 figuras no sea muy acusada, se han utilizado valores realistas del coeficiente CL. Puesto que en este caso solo se disponen de 3 valores de coeficientes de sustentación, se ha decidido estudiar la influencia conjunta de dicho coeficiente junto con la longitud del álabe, dando lugar a la gráfica 5.14: 42 Capítulo 5. Estudio de los modos de vibración del álabe sin considerar la rotación (a) Álabe con CL=1.2. (b) Álabe con CL=1. (c) Álabe con CL=0.8. Figura 5.13 Variación de la geomatría con el coeficiente de sustentación. 5.2 Análisis de sensibilidad de los parámetros fundamentales de la geometría 43 (a) Variación de la Frecuencia del Modo 1 con la longitud y el CL. (b) Variación de la Frecuencia del Modo 1 con la longitud y el CL. Figura 5.14 Variación de la Frecuencia del Modo 1 con la longitud y el CL. Como puede observarse, la influencia del coeficiente de sustentación, pese a ser mínima, puede decirse de forma general que sigue una tendencia clara: A menor coeficiente de sustentación. menores serán las frecuencias de vibración y por tanto, menos rígido el álabe. 5.2.3 Influencia del grado de torsión en la frecuencia de los modos de vibración de la geometría Es dificil hacer un estudio de la influencia del grado de torsión del álabe en las frecuencias de vibración del mismo cuando hasta ahora se ha trabajado con la llamada ley de torsión “Libre de torbellino”, que se basa en la propiedades físicas del fluido y los triángulos de velocidades definidos en el capítulo 3 para definir el ángulo de ataque del álabe, puesto que esto hace que para una áltura y una velocidad de giro dadas, el ángulo de torsión sea uno definido por las ecuaciones vistas. Para saltar este obstáculo, se ha observado que la torsión en el radio de cabeza del álabe es de entorno a 30 º , y por ello se va a aproximar la ley de torsión de torbellino libre por una ley de torsión que avance de forma lineal con el radio del álabe. En la figura 5.14 de la sección anterior puede verse una comparación del comportamiento de las frecuencias con la ley de torsión de torbellino libre y la lineal frente a longitud y longitud, y puede observarse que se comportamente de forma razonablemente similar. Una vez se tiene la ley de torsión lineal, es posible variar esta torsión de forma gradual y ver cual es su influencia. Para el caso de estudio, en las figuras 5.15 y 5.16 se presentan las gráficas de comportamieto de los 10 primeros modos de vibración: Puede observarse que, de los diez modos de vibración estudiados, la mitad de ellos son directamente proporcionales al grado de torsión y la otra mitad inversamente proporcionales. Si se observa las figuras 5.5 y 5.6, puede apreciarse que los modos directamente proporcionales son precisamente aquellos de naturaleza de torsión y los inversamente proporcionales los de naturaleza de flexión (recuérdese que el eje de abcisas va desde 30ºa 0º). Cabe destacar el comportamiento del modo de vibración 9, que pese a ser una flexión en el eje perpendicular a las caras de presión y succión del álabe, tiene un comportamiento muy parecido al de los modos de torsión. 50 Capítulo 5. Estudio de los modos de vibración del álabe sin considerar la rotación (a) Variación combinada de la frecuencia para CL=1.2. (b) Variación combinada de la frecuencia para CL=1. (c) Variación combinada de la frecuencia para CL=0.8. Figura 5.24 Variación de la frecuencia del modo 6 con los tres parámetros fundamentales. (a) Variación combinada de la frecuencia para CL=1.2. (b) Variación combinada de la frecuencia para CL=1. (c) Variación combinada de la frecuencia para CL=0.8. Figura 5.25 Variación de la frecuencia del modo 7 con los tres parámetros fundamentales. 5.2 Análisis de sensibilidad de los parámetros fundamentales de la geometría 51 (a) Variación combinada de la frecuencia para CL=1.2. (b) Variación combinada de la frecuencia para CL=1. (c) Variación combinada de la frecuencia para CL=0.8. Figura 5.26 Variación de la frecuencia del modo 8 con los tres parámetros fundamentales. (a) Variación combinada de la frecuencia para CL=1.2. (b) Variación combinada de la frecuencia para CL=1. (c) Variación combinada de la frecuencia para CL=0.8. Figura 5.27 Variación de la frecuencia del modo 9 con los tres parámetros fundamentales. 52 Capítulo 5. Estudio de los modos de vibración del álabe sin considerar la rotación (a) Variación combinada de la frecuencia para CL=1.2. (b) Variación combinada de la frecuencia para CL=1. (c) Variación combinada de la frecuencia para CL=0.8. Figura 5.28 Variación de la frecuencia del modo 10 con los tres parámetros fundamentales. Figura 5.29 Modo de vibración “nuevo” que aparece en álabes de longitud menor a 20cm para los nodos superiores a 4. 5.3 Conclusiones del capítulo En este capítulo se han estudiado los 10 primeros modos de vibración de la geometría producida en el capítulo anterior. No se ha tenido en cuenta en este análisis ningún tipo de fuerza sobre el álabe, lo que significa que lo observado aquí son las frecuencias naturales del sistema. Se ha observado que la mitad de los modos de vibración que se excitan son de naturaleza torsional y la otra mitad de flexión así como la deformación que uno u otro producen sobre la geometría. Además, puede apreciarse en las figuras 5.5 y 5.6 que los modos de vibración son esencialmente el mismo, pero con un número mayor de nodos y valles. 5.3 Conclusiones del capítulo 53 Además, se ha llevado a cabo un análisis de sensibilidad de los parámetros de diseño fundamentales (longitud, grado de torsión y coeficiente de sustentación del álabe), analizándose un total de 90 geometrías y observando la variación en las tendencias de las frecuencias en función del parámetro variado. En este sentido se ha descubierto que el parámetro que más influencia tiene es el de la longitud, seguido por el grado de torsión y finalmente el coeficiente de sustentación. Además la influencia del grado de torsión depende de la naturaleza del modo de vibración (flexión o torsión) y debido a ello el orden en que estos modos se excitan puede variar cuando las longitudes del álabe son progresivamente menores. Por último, también cabe destacar que para longitudes menores de 20 cm los modos que se excitan a partir del número 5 difieren mucho de los excitados en las longitudes mayores, lo que los hace dificilmente comparables y las frecuencias resultan muy dispares, lo cual explica la falta de tendencias en las graficas mostradas. En el capítulo 6 se analizarán los efectos de las fuerzas centrífugas en el álabe y se compararán con los resultados vistos en este capítulo. 6 Estudio de los modos de vibración del álabe considerando la rotación. Rigidización y efectos no lineales. En este capítulo se analizará la respuesta del sistema añadiendo una velocidad de rotación. Este estudio es de interés puesto que es el estado en que los álabes están diseñados, y las principales fuerzas y vibraciones que aparecen se deben a este. Con la velocidad de rotación, la principal novedad que se introduce en este capítulo es la aparición las fuerzas centrífugas y su efecto rigidizador, que actuarán en la masa del álabe alineandolo y aumentando su ridigidez. Sin embargo, es destacable que la aparición de este efecto rigidizador depende la forma en que se trate el sistema. Un modelo erróneo, como se verá a lo largo del capítulo, puede hacer que el efecto de la rotación sea precisamente el contrario al que encontramos en la realidad. A continuación se expone un ejemplo que ayuda a ilustrar este efecto, sacado que la referencia [3]. 6.1 Presentación del caso de estudio con velocidad de rotación Hasta el momento, el sistema que se ha sometido a estudio consistía en uno estático, sin fuerzas aplicadas, y del cual tan solo se han estudiado las frecuencias naturales sin excitación. Sin embargo, no es este el caso más interesante que se puede estudiar, puesto que una corona de álabes está diseñada más bien para soportar una velocidad de rotación, por lo general bastante grande. Es por ello por lo que es este capítulo se incluirá dicha velocidad al sistema y se estudiarán los efectos ligados a ella, que son de dos naturalezas diferentes: • Por un lado, es de interés conocer qué efectos tiene la velocidad de rotación en las frecuencias de los modos de vibración, puesto que al tratarse de una velocidad de rotación se puede decir que aparecen fuerzas centrifugas en el álabe, si se observa desde un sistema de referencia no inercial, que se espera que tiendan a rigidizar el sistema. • Por otro lado, también será interesante comprobar si los modos de vibración estudiados hasta el momento se mantienen, o si varían tanto en frecuencia como en naturaleza (flexión o torsión). A continuación se muestra una foto del sistema de estudio con la velocidad de rotación incorporada: 55 56 Capítulo 6. Estudio de los modos de vibración del álabe considerando la rotación. Rigidización y efectos no lineales. Figura 6.1 Sistema de estudio con la velocidad de rotación incorporada.. Figura 6.2 Sistema de estudio con la velocidad de rotación incorporada.. En lo referido a comprobar los efectos de la velocidad de rotación, se ha decidido comprobar una serie de valores para misma, los cuales se presentan en la siguiente tabla: Tabla 6.1 Velocidades de rotación consideradas. Velocidad de Rotación [rad/s] 100 200 300 400 500 600 6.2 Problema ilustrativo de la aparición de efectos rigidizadores Obtener una estimación de la primera frecuencia natural de una viga girando a velocidad constante respecto a un eje perpendicular que pasa por un extremo a partir de un grado de libertad []. Para discretizar la viga use el método de Rayleigh utilizando dos funciones de forma diferentes: 1) deformada estática debida a carga concentrada en el extremo y 2) deformada estática debida a carga uniforme. 6.2 Problema ilustrativo de la aparición de efectos rigidizadores 57 Figura 6.3 Viga en voladizo girando en el plano a velocidad angular constante respecto a un extremo.. Si se llama “s” a la variable que recorre la dirección longitudinal de la barra, se puede aproximar su longitud para deformaciones infinitesimales como: ds =q(1+u0)2+(v0)2dη(6.1) donde se denota como uyva las deformaciones longitudinal y trasversal de la barra respectivamente, y u’ yv’ a sus derivabas con respecto a la variable η. Desarrollando la expresión llegamos a: s0=q1+2u0+(u0)2+ (v0)2(6.2) s0=√1+x(6.3) donde x=2u0+(u0)2+ (v0)2 Haciendo el desarrollo en serie de Taylor de la ecuación (6.3) , y despreciando los términos de tercer orden y superior, se puede llegar a la siguiente expresión. s0=√1+x=1+1 2x−1 2! 1 4x2+... =1+u0+v02 2(6.4) Si se supone que la línea media no se estira: ds −dη≃0(6.5) s0−1≃0=−u0−v02 2(6.6) u0=−v02 2(6.7) Usando el método de Rayleigh para calcular la deformación trasversal y la ecuación (6.7) es posible también determinar la deformación longitudinal: 58 Capítulo 6. Estudio de los modos de vibración del álabe considerando la rotación. Rigidización y efectos no lineales. v(η,t) = φv(η)q(t);u0=−v02 2(6.8) du dξ=−1 2dv dξq(t)2 ⇒u=Zη 0−1 2dv dξq(t)2 dξ=φuq2(t)(6.9) φu=Zη 0−1 2φv(ξ) dξq(t)2 dξ(6.10) Una vez deducidas estas expresiones, se pasará a realizar los apartados 2 y 4 del problema propuesto, que tienen en cuenta una función de forma para el caso en que la masa de la viga está uniformemente distribuida, como es el caso del sistema estudiado. 6.2.1 Estimación sin incluir el desplazamiento axial por flexión (masa uniformemente distribuida) φv(η) = 2η2 L2−4η3 3L3+η4 3L4(6.11) s=sxi+syj=ηi+φv(η)qj(6.12) rx=η(6.13) ry=η2q6L2−4Lη+η2 3L4(6.14) Si al realizar las derivadas temporales se tiene en cuenta que los vectores i y j dependen del tiempo, y se aplica la regla de derivación de Poisson, se obtienen las siguientes expresiones: ˙rx=−η2qω6L2−4Lη+η2 3L4(6.15) ˙ry=−η23ωL4+6 ˙qL2η−4L˙qη2+˙qη3 3L4(6.16) T=1 2ZL 0 m L˙r2 x+˙r2 y2dη=m135L2ω2+234L˙qω+104q2ω2+104 ˙q2 810 (6.17) V=1 2ZL 0 EI ∂2φv(η)q ∂η2˙r2 x+˙r2 y2 dη=8EIq2 5L3(6.18) Así, la ecuación del movimiento queda: d dt ∂T ∂˙q−∂T ∂q=104m¨q 405 −104mqω2 405 (6.19) ∂V ∂q=16EIq 5L3(6.20) 6.3 Efecto rigidizador en el caso de estudio 59 104m 405 ¨q+104mω2 405 −16EI 5L3q=0 ; ωn=v u u t 16EIq 5L3−104mqω2 405 104m 405 (6.21) 6.2.2 Estimación incluyendo el desplazamiento axial por flexión (masa uniformemente distribuida) Siguiendo un razonamiento análogo para el apartado 4, y utilizando la relación entre las funciones de forma de la ecuación (6.10) se puede llegar a la siguiente ecuación del movimiento: 104m 405 ¨q+16EI 5L3q+2mω2 45 q−176mω2 1215L2q3+352m 1215L2q˙q2+352m 1215L2q2˙q=0(6.22) ωn=v u u t 16EIq 5L3+2mω2 45 104m 405 (6.23) Como puede observarse, el interés de este problema reside, si se observan las ecuaciones (6.21) y (6.23) , en que en función de qué deformaciones se consideren en el caso de estudio, el efecto de la velocidad de rotación del sistema es uno u otro: • Para la ecuación (6.21) puede observarse que la velocidad de rotación es un término que aparece restando, y por tanto las frecuencias naturales serán menores conforme la velocidad de rotación aunmente. • Para la ecuación (6.23) , sin embargo, la velocidad de rotación es un término que aparece sumando, lo que supondrá que las frecuencias naturales serán mayores conforme la velocidad de rotación aunmente. Se dice en este caso que la velocidad de rotación tiene un efecto rigidizador. Este último caso en realidad es en realidad el que se observa en un sistema real, y por tanto se puede llegar a la conclusión de que el segundo es el planteamiento correcto, mientras que el primero conlleva una simplificación que desvirtúa el modelo de la realidad. 6.3 Efecto rigidizador en el caso de estudio Al igual que se ha visto en el problema anterior, la influencia de la rotación en el sistema estudiado en este trabajo dependerá de los efectos que se tengan en cuenta a la hora de modelarlo. Se verá a continuación el comportamiento del sistema para uno y otro caso, y se compararán los resultados con los esperados. 6.3.1 Comportamiento del sistema para pequeñas deformaciones. Modelo sin efectos rigidizadores. En este caso, se ha simulado el sistema sin tener en cuenta el efecto de las no linealidades. Es decir, se asemeja al primero de los casos estudiados en el problema del apartado anterior. Si, por ejemplo, se representa la evolución de la frecuencia para los Modos de vibración 1, 2 y 3; se obtienen las siguientes figuras: 66 Capítulo 7. Conclusiones finales y propuestas de mejora 4.1 es poco deseable pues no se trata de un mallado estructurado, y el tamaño de los elementos varía de forma poco controlada. Así, se ha pasado a elaborar un mallado de forma manual mediante una técnica de descomposición de la geometría en partes más sencillas, lo que ha facilitado a su vez el uso del mallado estructurado. Por último en lo referente a la generación de la malla, es importante no solo que la malla se genere sin problemas, sino que los resultados que proporciona sean lo suficientemente parecidos a los de la realidad, es decir, que la solución obtenida mediante la división de la geometría en un número finito de elementos haya convergido. Para verificar esto se ha llevado a cabo un test de convergencia de la malla, en el que se ha estudiado, el número de divisiones de la misma, la calidad de los elementos utilizados para las divisiones, y el tiempo de computación requerido para alcanzar una solución. Esta información se recoge en la tabla 4.1. Tras tener en cuenta los tres parámetros seleccionados, se decide al final del capítulo 4 que la mejor malla es la que utiliza los 1800 elementos en el cuerpo del álabe (30x60), dado que es la que mejor comportamiento tiene en cuanto a relación calidad de resultados-tiempo de computación. 7.2 Análisis modal del sistema Conseguida una malla con la suficiente calidad, se ha procedido al análsis modal del sistema, el cual se ha dividido a su vez en dos partes: por un lado, se ha estudiado la respuesta del sistema sin excitación, comprobando cuáles son las frecuencias naturales del álabe para cada uno de los 10 modos de vibración contemplados, observando además si los modos son de naturaleza de flexión o torsional, así como la amplitud de las vibraciones. Un resumen de esta información puede encontrarse en la tabla 6.3. De esta tabla pueden extraerse las siguientes conclusiones: • Existe un mayor número de modos de vibración a flexión que ha torsión (6 a flexión frente a 4 a torsión). A bajas frecuencias, parece que el modo preferente de vibración del álabe es el de flexión, y conforme la frecuencia aumenta, van apareciendo un mayor número de modos de vibración de torsión. • Las mayores deformaciones se producen para los modos de vibración con naturaleza de torsión, lo cual puede comprobarse mirando la tabla 6.3. • Tanto para los modos de torsión como de flexión se cumle un patrón reconocible: los modos mayores se parecen a los menores pero con un mayor número de nodos y valles. Así, los modos 7, 5 y 1 solo se diferencian en el número de nodos, al igual que los modos 10, 8, 6 y 3. • Los modos 9, 4 y 2 parecen los más diferentes, ya que conllevan una flexión pero en la dirección horizontal. Extraídas estas primeras conclusiones, se ha pasado ha llevar a cabo un estudio de sensibilidad de los parámetros fundamentales de la geometría. El interés de este estudio consiste en reconocer cuál es la influencia que tiene la variación de los parámetros de diseño en la respuesta del sistema. La combinatoria de tres parámetros de diseño (longitud, coeficiente de sustentación y grado de torsión de álabe) ha llevado al estudio de un total de 90 variaciones de las geometría inicial. De su estudio, podemos extraer las siguientes conclusiones: • La influencia de longitud, como cabe esperar, es la más acusada de todas. Por un lado a menor longitud, mayores serán las frecuencias de los modos de vibración de álabe, es decir, acortar el álabe tiene un efecto rigidizador en el sistema. Por otro lado, conforme se acorta el álabe, la flexión se hace más complicada y aparecen modos de torsión antes de lo que aparecían en los casos de mayor longitud. • La influencia del coeficiente de sustentación es bastante leve, al menos en el rango de valores aquí estudiados. En general puede afirmarse que, a menor coeficiente de sustentación, el álabe se vuelve menos rígido. • El grado de torsión tiene una influencia u otra en función del modo de vibración del que se esté hablando. Si el modo es de flexión, se puede afirmar que el grado de torsión es inversamente proporcional a la frecuencia del modo, mientras que si es de torsión la proporcionalidad será directa. Por otra lado, la influencia está a mitad de camino entre la de la longitud y la del coeficiente de sustentación. 7.3 Propuestas de mejora 67 • En general, las tendencias observadas se mantienen con la variación de la longitud, pero una vez se sobrepasa cierta longitud crítica, los modos de vibración se desordenan con respecto a los del caso inicial, e incluso aparecen nuevos modos, por lo que la comparación deja de tener sentido. Por último, en el capítulo 6 se añade la excitación a la que normalmente se ven sometidos los álabes: la velocidad de rotación. esta influencia resulta de interés en el sentido en que aparecen en el sistema fuerzas centrífugas, que tienen un efecto rigidizador en el mismo. Se demuestra en el capítulo, en primer lugar, que el resultado de unas condiciones de estas características depende del tratamiento que se de, puesto que las fuerzas centrífugas son un efecto no lineal y que por tanto no aparecen si no se trata el sistema como tal. En caso de no modelarse correctamente, las fuerzas centrífugas puedn tener un efecto contrario al que de verdad se observa en la realidad, es decir, harían que el álabe fueran menos rigido. Comprobado este fenómeno tanto de forma teórica como en el sistema estudiado, se pasa a comprobar si el análisis de sensibilidad realizado en el capítulo 5 sigue siendo válido una vez incluidas las fuerzas centrífugas. Las conclusiones más relevante de este último análisis son: • La velocidad de rotación influye, aunque no en gran medida, a la naturaleza de los modos de vibración, pudiendo hacer que los modos que flexión pasen a ser de torsión o viceversa, como en el caso del modo de vibración 10 en este sistema. Sí que puede apreciarse que la máxima deformación que de estos modos en menor, y por tanto que el sistema se ha rigidizado como se ha estado viendo a lo largo de todo el capítulo. • El efecto de los parámetros fundamentales de diseño del álabe en las frecuencias de los modos de vibración se mantiene tal y como se describieron en el capítulo 5, siendo el más reseñable el efecto de la velocidad de rotación en conjunto con la longitud del álabe, ya que a menor longitud, menor será la influencia de la velocidad. Para los otros dos parámetros puede decirse que la velocidad de rotación añade una rigidez independiente al efecto de los parámetros mencionados. 7.3 Propuestas de mejora Si se quisiera hacer un análisis más complejo de lo aquí expuesto, existen varias líneas que se pueden explorar: • En primer lugar, cuando un álabe actúa no lo hace solo, sino que en realidad está incluido en lo que se llama una corona de álabes. En este sentido, sería interesante comprobar si la vibración del sistema completo difiere de la del elemento aislado. Este estudio ha sido descartado en esta memoria ya que requiere hacer un nuevo modelo mucho más complejo que el anterior y con un coste computacional inasumible para los recurso de los que se disponen. • En segundo lugar, se propone también incluir en el análisis de sensibilidad un nuevo parámetro, que sin duda tendrá una gran influencia en el comportamiento vibratorio del sistema: la distribución de espesores del álabe. • Por último, un análisis muy interesante sería incluir el sistema en un medio fluido, y estudiar el comportamiento vibratorio del mismo en el seno del fluido, que actuará como medio dispador, y por tanto entran en juego efectos de amortiguamiento por fricción en el sistema, lo cual sin duda también tendrá un efecto en la respuesta del mismo. Índice de Figuras 2.1 Ejemplos de sistemas con diferente número de grados de libertad 4 2.2 Ejemplos de sistema con dos grados de libertad 6 3.1 Partes básicas de álabe bidimensional 10 3.2 Distribución de espesores, línea media y cuerda en un álabe de turbina 11 3.3 Tabla de distribución de espesores para perfiles NACA 65 12 3.4 Superposición de línea media y distribución de espesores NACA 65 para curvatura igual a cero 12 3.5 Puntos de la línea media proporcionados por la expresión (3.2) 13 3.6 Perfil de la serie NACA 65 para CL=1.213 3.7 Flujo a través de un ala/álabe y fuerza de sustentación. 14 3.8 Triángulo de velocidades para un escalonamiento de compresor axial. 14 3.9 Triángulos de velocidades para los radios de raíz y cabeza de un álabe. 15 3.10 Nube de puntos generada por MATLAB 20 3.11 Nube de puntos trasladada a SolidWorks 20 3.12 Pieza final generada mediante la operación de Barrido en SolidWorks 20 4.1 Mallado básico proporcionado por ANSYS 24 4.2 División inicial de la geormetría de estudio 24 4.3 División de la base en partes más sencillas 25 4.4 División de las caras de la base en partes iguales para conseguir elementos hexaédricos 25 4.5 Malla derivada de la división realizada 26 4.6 Mallado del cuerpo del álabe 26 4.7 Malla más gruesa utilizada en el test de convergencia de la malla 28 4.8 Malla más fina utilizada en el test de convergencia de la malla 28 4.9 Evolución del tiempo de computación en función de la resolución de la malla 29 4.10 Distribución de la calidad de los elementos para el punto 5 de la gráfica 4.9 30 4.11 Distribución de la calidad de los elementos para el punto 7 de la gráfica 4.9 30 4.12 Evolución de la frecuencia los distintos modos con la resolución de la malla 31 4.13 Evolución de la frecuencia los distintos modos con la resolución de la malla 32 5.1 Elección del material en ANSYS WORKBENCH 34 5.2 Inclusión del módulo de analisis modal en el escritorio de ANSYS, e implementación de geometría y malla 34 5.3 Segundo paso para la definición del sólido: Establecer las condiciones de contorno 35 5.4 Frecuencia en Hz de los modos de vibración del caso de estudio 35 5.5 Representación gráfica de la deformación para cada modo de vibración 36 5.6 Representación gráfica de la deformación para cada modo de vibración 37 5.7 Frecuencias en Hz de los modos de vibración del estudio de sensibilidad 38 5.8 Frecuencias en Hz de los modos de vibración del estudio de sensibilidad 39 69 70 Índice de Figuras 5.9 Frecuencias en Hz de los modos de vibración del estudio de sensibilidad 39 5.10 Frecuencias en Hz del modo 1 frente a longitud del álabe 40 5.11 Frecuencias en Hz del modo 2 frente a longitud del álabe 40 5.12 Variación del modo de vibración 2 con la longitud del álabe 41 5.13 Variación de la geomatría con el coeficiente de sustentación 42 5.14 Variación de la Frecuencia del Modo 1 con la longitud y el CL 43 5.15 Variación de la frecuencia con el grado de torsión para el caso de estudio 44 5.16 Variación de la frecuencia con el grado de torsión para el caso de estudio 45 5.17 Variación de la frecuencia del modo 1 con los tres parámetros fundamentales 45 5.18 Variación de la frecuencia del modo 2 con los tres parámetros fundamentales 46 5.19 Variación de la frecuencia del modo 3 con los tres parámetros fundamentales 47 5.20 47 5.21 Variación de la frecuencia del modo 3 con los tres parámetros fundamentales 48 5.22 Variación de la frecuencia del modo 4 con los tres parámetros fundamentales 49 5.23 Variación de la frecuencia del modo 5 con los tres parámetros fundamentales 49 5.24 Variación de la frecuencia del modo 6 con los tres parámetros fundamentales 50 5.25 Variación de la frecuencia del modo 7 con los tres parámetros fundamentales 50 5.26 Variación de la frecuencia del modo 8 con los tres parámetros fundamentales 51 5.27 Variación de la frecuencia del modo 9 con los tres parámetros fundamentales 51 5.28 Variación de la frecuencia del modo 10 con los tres parámetros fundamentales 52 5.29 Modo de vibración “nuevo” que aparece en álabes de longitud menor a 20cm para los nodos superiores a 4 52 6.1 Sistema de estudio con la velocidad de rotación incorporada. 56 6.2 Sistema de estudio con la velocidad de rotación incorporada. 56 6.3 Viga en voladizo girando en el plano a velocidad angular constante respecto a un extremo. 57 6.4 Frecuencia del sistema en función de la velocidad de rotación 60 6.5 Frecuencia del sistema en función de la velocidad de rotación 60 6.6 Representación gráfica de la deformación para cada modo de vibración 61 6.7 Influencia conjunta de la variación de longitud y velocidad de rotación en la frecuencia de los modos del sistema. 62 6.8 Influencia conjunta de la variación de longitud y velocidad de rotación en la frecuencia de los modos del sistema. 63 6.9 Influencia conjunta de la variación de longitud y velocidad de rotación en la frecuencia de los modos del sistema. 63 Índice de Tablas 4.1 Test de convergencia de la malla 27 5.1 Propiedades del aluminio 2024 33 5.2 Frecuencia en Hz de los modos de vibración del caso de estudio 36 5.3 Variación de los parámetros fundamentales del álabe 38 6.1 Velocidades de rotación consideradas 56 6.2 Variación de Parámetros Fundamentales considerados 61 6.3 Frecuencia en Hz de los modos de vibración del caso de estudio 62 71 Bibliografía [1] S Larry Dixon and Cesare Hall, Fluid mechanics and thermodynamics of turbomachinery , Butterworth- Heinemann, 2013. [2] Ralston Fernandes, Sami El-Borgi, Khaled Ahmed, Michael I Friswell, and Nidhal Jamia, Static fracture and modal analysis simulation of a gas turbine compressor blade and bladed disk system , Advanced Modeling and Simulation in Engineering Sciences 3(2016), no. 1, 1–23. [3] Daniel García Vallejo Jaime Dominguez Abascal, Problemas resueltos de vibraciones mecánicas. [4] Juana Mayo Núñez Jaime Dominguez Abascal, Apuntes de máquinas: Teoría. [5] Tomás Sánchez Lencero, Antonio Muñoz Blanco, and Francisco José Jiménez-Espadafor Aguilar, Turbomáquinas térmicas, Síntesis, 2004. [6] Carlos Lobo y Gómez de Celis, Diseño de un compresor axial de relación de compresión 18.5 para una turbina de gas de 270 mw, Master’s thesis, 2009. [7] José María Rodríguez Muñoz, Estudio numérico de los límites de difusión en cascadas de álabes de compresor naca65. [8] Steven J Owen, A survey of unstructured mesh generation technology., IMR 239 (1998), 267. [9] Gorur N Shrinivas, Three-dimensional design methods for turbomachinery applications , Ph.D. thesis, University of Oxford, 1996. [10] W Tabakoff, A Hamed, and DM Murugan, Effect of target materials on the particle restitution characteristics for turbomachinery application , Journal of propulsion and power 12 (1996), no. 2, 260– 266. [11] Carlos Tello Castillo, Automatización del estudio de cascadas de álabes de compresor en entorno cfd , (2018). 73