Una Aplicación del método de Zubov para control de Robots Manipuladores

Una Aplicaci´on del m´etodo de Zubov para control de Robots Manipuladores Carlos Vivas Venegas Francisco R. Rubio Dept. Ingenier´ıa de Sistemas y Autom´atica. Escuela Superior de Ingenieros Universidad de Sevilla. Camino de los Descubrimientos s/n. 41092-Sevilla. SPAIN e-mail:viv[email protected], [email protected] Resumen Este art´ıculo presenta una metodolog´ıa para el dise˜no de un control no lineal de robots manipuladores basada en los principios de dise˜no no lineal de Zubov. En particular, la estrategia de control propuesta consiste en regular el ratio de disipaci´on energ´etica del robot a lazo cerrado, ajust´andola a una determinada din´amica estable deseada. Para ello se formulan las ecuaciones mec´anicas del robot en un marco apropiado y se propone una forma cerrada para la funci´on de Lyapunov soluci´on de la ecuaci´on de Zubov del sistema. De este modo es posible obtener una expresi´on expl´ıcita para la ley de control del sistema. Para ejemplificar el desempe˜no del control propuesto, se presentan resultados de simulaci´on sobre un robot plano de dos grados de libertad. Palabras clave: Robots Manipuladores, Control de Lyapunov, Zubov. 1 INTRODUCCI ´ ON El prop´osito del control de trayectorias de robots manipuladores es lograr que las articulaciones del robot se muevan de acuerdo con trayectorias prestablecidas aplicando los pares y/o fuerzas correctivas necesarias. En el caso de un robot manipulador, esta tarea se ve dificultada por la din´amica no lineal que gobierna el comportamiento del mismo as´ı como la influencia de perturbaciones externas al sistemas o din´amicas no modeladas. Diversas estrategias de control se han formulado en la literatura para este problema en particular. Dejando a un lado las t´ecnicas cl´asicas de control articular lineal descentralizado, las t´ecnicas de ”Linealizaci´on exacta” y su aplicaci´on a robots manipuladores despertaron un considerable inter´es tanto en los campos te´oricos ([7] y [9]) como en sus aplicaciones pr´acticas ([6]). Debido a que estos m´etodos se basan en la cancelaci´on de t´erminos no lineales mediante realimentaci´on de estados, presentan problemas ante la incertidumbres de modelado siempre presentes en todo sistema real. Otros enfoques m´as exitosos se derivaron de la aplicaci´on de t´ecnicas de control adaptativo ([5],[14],[2] y [3]), para ajustar en l´ınea los par´ametros del controlador en funci´on del comportamiento observado del robot, o t´ecnicas de control Robusto como las presentadas en el contexto lineal en [10] o [13]. M´as recientemente enfoques robustos no lineales han sido tambi´en presentados en [4], donde se adapt´o el problema de control de robots manipuladores al marco te´orico del control H∞no lineal. En este art´ıculo presentamos un enfoque para el control articular de robots manipuladores basado en la teor´ıa de an´alisis de estabilidad de Lyapunov. En la literatura pertinente al respecto pueden encontrarse dos enfoques diferenciados: Por un lado, un estrategia consiste en dise˜nar una ley de control apropiada para el sistema no lineal de modo que satisfaga ciertos requerimientos de desempe˜no, para posteriormente determinar la estabilidad del sistema construyendo un funci´on de Lyapunov del sistema ([8]). Un segundo enfoque consiste en determinar en primer lugar una funci´on de Lyapunov para el sistema a lazo cerrado para garantizar la estabilidad del sistema, para posteriormente dise˜nar una ley de control apropiada que incorpore los requerimientos de desempe˜no fijados. Trabajos relevantes en este sentido pueden encontrarse en [1], [11] o [12]. La filosof´ıa de control presentada en este trabajo se enmarca dentro del segundo de estos enfoques. En primer lugar planteamos la construcci´on de una funci´on de Lyapunov a lazo cerrado para el seguimiento de trayectorias basada en argumentos energ´eticos, que satisfaga la ecuaci´on de Zubov del sistema. En segundo lugar, y aqu´ı reside la principal contribuci´on de este trabajo, formulamos el c´alculo de una ley de control expl´ıcita no lineal bas´andonos en el control del ratio de disipaci´on de energ´ıa a lazo cerrado del robot. De este modo se obtiene una ley disipaci´on de energ´ıa exponencialmente decreciente que garantiza estabilidad asint´otica global del sistema. El art´ıculo est´a organizado como sigue: En el apartado 2 se presenta el planteamiento del problema donde se introduce un descripci´on apropiada de espacio de estados de la din´amica de un robot manipulador. En este mismo apartado se recuerda brevemente el principio de control de Zubov y la ecuaci´on que lo define, as´ı como la forma que adoptamos para la funci´on de Lyapunov del sistema que proponemos como soluci´on de la misma. En el apartado 3 se plantea el dise˜no de la ley de control donde se proporciona una expresi´on expl´ıcita para la misma acorde con los planteamientos previos de control. El art´ıculo finaliza presentando en el apartado 4 resultados simulaci´on para el desempe˜no de la estrategia propuesta sobre un robot t´ıpico de dos grados de libertad, as´ı como ciertas conclusiones y comentarios. 2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Modelaremos un robot manipulador aplicando los principios mec´anicos de Lagrange, para obtener las ecuaciones din´amicas est´andar τ=M(q)¨q+C(q, ˙q) ˙q+G(q) (1) donde como es habitual q∈Rnrepresenta las coordenadas generalizadas del robot, M(q)∈Rn×n es la matriz sim´etrica definida positiva de t´erminos de inercia, C(q, ˙q)∈Rn×nes la matriz de t´erminos de Coriolis y Centr´ıfugos, y G(q)∈Rn es la matriz de t´erminos gravitatorios. En lo que sigue, asumiremos que tenemos medidas de las posiciones, qy velocidades articulares ˙q, no as´ı de las aceleraciones, ¨q. Asimismo, asumiremos que el par articular, τ, est´a disponible como se˜nal de control y las matrices M,CyGse supondr´an de estructura conocida, conteniendo par´ametros constantes. Adicionalmente, podemos definir un trayectoria de referencia qr(t)∈C1, que podemos asumir se encuentra dentro de los l´ımites f´ısicos y cinem´aticos alcanzables por robot en particular. Las variables ¨qr(t), ˙qr(t) y qr(t) pueden t´ıpicamente generarse mediante un modelo de referencia de la forma ¨qr+Kd˙qr+Kpqr=Krr(t) (2) donde r(t) es una se˜nal acotada gen´erica. De este modo podemos definir las variables de error como   ¨ ˜q ˙ ˜q ˜q  =  ¨q−¨qr ˙q−˙qr q−qr  ; ˜x=x−xr=µ˙q−˙qr q−qr¶ (3) El objetivo de control ser´a por tanto encontrar una ley de realiementaci´on de estados u(x) que permita seguir de forma estable una determinada trayectoria de referencia qr(t), ˙qr(t). 2.1 Descripci´on de espacio de estados Para formular el control propuesto dentro del marco est´andar de la teor´ıa de control de Lyapunov, es necesario formular una descripci´on de espacio de estados para las ecuaciones din´amicas del robot. Es inmediato obtener ˙ ˜x(t) = µ−M−1(q)C(q, ˙q) 0n×n In×n0n×n¶˜x(t) +µ−¨qr−M−1(q)(G(q) + C(q, ˙q) ˙qr) 0n×n¶ +µIn×n 0n×n¶M−1(q)τ(4) O en notaci´on compacta ˙ ˜x(t) = A0(q, ˙q)˜x+B0(¨qr,˙qr,¨q, ˙q) + BM−1(q)τ (5) Con definiciones obvias para las matrices, A0,B0 yB. Con el objeto de plantear una funci´on de Lyapunov para el sistema a bucle cerrado, es interesante sin embargo transformar las ecuaciones (4) para que adopten una forma m´as conveniente. Aplicando el siguiente cambio de coordenadas inspirado en los resultados de ([4]). ˜z=T0˜x=µT11 T12 0In×n¶µ ˙ ˜q ˜q¶(6) Donde T11 ,T12 ∈Rn, son, en principio, matrices invertibles arbitrarias. Con este cambio podemos expresar el sistema (4) como ˙ ˜x(t) = T−1 0µ−M−1(q)(1 2˙ M(q) + N(q, ˙q)) 0n×n −T−1 11 −T−1 11 T12 ¶ ·T0˜x(t) + T−1 0µ−M(q)−1 0n×n¶u(7) donde N(q, ˙q) es la matriz antisim´etrica definida a partir de los t´erminos de M(q) como nij =1 2 n X k=1 µ∂mik(q) ∂qj −∂mjk(q) ∂qi¶˙qk(8) donde la relaci´on entre uyτviene impl´ıcitamente definida a partir del cambio de acci´on de control u=¡M(q)1 2˙ M(q, ˙q) + N(q, ˙q)¢µ˙ ˜z ˜z¶(9) siendo ˜zdefinidida como en (6). La ecuaci´on (7) podemos escribirla en forma compacta como ˙ ˜x(t) = A1(q, ˙q)˜x+B1(q)u(10) Con las definiciones correspondientes para las matrices, A1yB1. Una vez obtenida la representaci´on de espacio de estados del sistema, podemos formular una funci´on de Lyapunov que garantice la estabilidad global del sistema y formular la ley de control apropiada. 2.2 M´etodo de Zubov Consideremos la siguiente ecuaci´on diferencial en derivadas parciales de primer orden ∂V (˜x) ∂˜x(A1(q, ˙q)˜x+B1(q)u) = −Q(˜x) (11) Donde V(˜x) es la soluci´on, en principio desconocida, de la ecuaci´on (11), y Q(˜x) es una funci´on escalar definida positiva en RnyQ(0) = 0. Es interesante destacar que si la ecuaci´on (11) admite una soluci´on V(˜x) definida positiva, entonces V(˜x) es una funci´on de Lyapunov del sistema (10). Como se mostrar´a en la secci´on (3) el enfoque propuesto en este trabajo se basa en estos resultados, proponiendo una forma cerrada para soluci´on para la ecuaci´on (11), en la cual se toma Q(˜x) = a(˜x)V(˜x), con a(˜x) definida positiva. Esto equivale a plantear una din´amica deseada estable para la evoluci´on temporal de la funci´on de Lyapunov V(˜x). 2.3 Funci´on de Lyapunov para el sistema Para el sistema expresado en (11) podemos postular una funci´on de Lyapunov de lazo cerrado del sistema como V(˜x(t), t) = 1 2˜xTTT 0µM(q) 0 0K¶T0˜x(12) funci´on que es definida positiva siempre y cuando la matriz de ponderaci´on Klo sea. La estabilidad del sistema a lazo cerrado estar´a garantizada si podemos asegurar que ˙ V(t)<0 ∀t. Calculando esta derivada temporal podemos expresar dV (˜x(t), t) dt =∂V (˜x(t), t) ∂t + +∂V (˜x(t), t) ∂˜x(A1(q, ˙q)˜x+B1(q)u) (13) Nuestro objetivo es determinar la ley de control u(˜x) que garantice la estabilidad del sistema, cumpliendo con unas especificaciones de desempe˜no determinadas. 3 Determinaci´on de la ley de control Para determinar la ley de control del sistema, planteamos una din´amica deseada a lazo cerrado para la evoluci´on temporal de la funci´on de Lyapunov V(˜x) de la forma dV (˜x(t), t) dt +a(˜x)V(˜x(t) = 0 (14) donde a(˜x)>0∀˜x6= 0. Esto es equivalente a imponer una funci´on Q(˜x) = a(˜x)V(˜x) en la ecuaci´on (11). La ecuaci´on (14) puede resolverse de forma expl´ıcita mostrando una evoluci´on temporal de V(˜x(t) de la forma V(˜x(t) = V(˜x(t0))e−Rt t0 a(˜x(τ))dτ (15) Evoluci´on que es mon´otona no creciente para a(˜x(t)) >0 y por tanto una din´amica estabilizante para el sistema a lazo cerrado. De este modo, y partiendo de la soluci´on gen´erica propuesta para V(˜x) en (12), podemos desarrollar los t´erminos de (14) como dV (˜x(t), t) dt =∂V (˜x(t), t) ∂t +∂V (˜x(t), t) ∂˜x˙ ˜x(17) El primer t´ermino de esta expresi´on puede calcularse como ∂V (˜x(t), t) ∂t =1 2˜xTTT 0µ(∂M(˜x,t) ∂t 0 0 0 ¶T0˜x (18) Por otro lado tenemos Γ(˜x, t) = ˜xTµa(˜x)TT 11M(q)T11 K+a(˜x)TT 11M(q)T12 K+a(˜x)TT 11M(q)T12 a(˜x)[K+TT 12M(q)T12]¶˜x ˜xTµTT 11T11 TT 11T12 TT 12T11 TT 12T12 ¶˜x (16) dM(q) dt =dM(˜q+qr(t)) dt =dM(˜x+xr(t)) dt = 2n X k=1 ∂M(˜x, t) ∂˜x˙ ˜xk+∂M(˜x, t) ∂t (19) Luego podremos expandir (18) como ∂V (˜x(t), t) ∂t = (20) 1 2˜xTTT 0µ˙ M(˜x, t)−P2n k=1 ∂M(˜x,t) ∂˜x˙ ˜xk0 0 0 ¶T0˜x Para el segundo t´ermino de (17) podemos escribir ∂V (˜x(t), t) ∂˜x˙ ˜x= ˜xTTT 0µM(˜x, t) 0 0K¶T0˙ ˜x +1 2 2n X k=1 ˜xTTT 0µ∂M(˜x,t) ∂˜xk ˙ ˜xk0 0 0 ¶T0˜x(21) Agrupando t´erminos en (18) y (21) podemos expresar dV (˜x(t), t) dt = ˜xTTT 0µM(q) 0 0K¶T0˙ ˜x +1 2 2n X k=1 ˜xTTT 0µ˙ M(q, ˙q) 0 0 0 ¶T0˜x(22) donde sustituyendo en (22) la expresi´on para ˙ ˜xen (7) tenemos dV (˜x(t), t) dt = ˜xTµ0 0 K0¶˜x −˜xTTT 0BN(q, ˙q)BTT0˜x+ ˜xTTT 0Bu (23) En esta ´ultima expresi´on podemos eliminar el segundo t´ermino en virtud de la antisimetr´ıa de la matriz N(q, ˙q) para obtener dV (˜x(t), t) dt = ˜xTµ0 0 K0¶˜x+ ˜xTTT 0Bu (24) De este modo, y sustituyendo la expresi´on en (24) en la ecuaci´on de din´amica deseada para V(˜x) en (14) tendremos ˜xTµ0 0 K0¶˜x+ ˜xTTT 0Bu +˜xTTT 0µM(q) 0 0K¶T0˜x= 0 (25) Ecuaci´on que proporciona impl´ıcitamente la expresi´on de u(˜x) para la ley de control. En notaci´on compacta para (25) podemos escribir X(˜x)u+ Y(˜x, t) = 0. De esta igualdad podemos obtener una expresi´on expl´ıcita para u(˜x) como u(˜x) = X(˜x)+Y(˜x, t) = X(˜x)T(X(˜x)·X(˜x)T)−1Y(˜x, t) (26) donde X(˜x)+es la pseudo-inversa o inversa de Moore-Penrose de X(˜x). desarrollando la expresi´on en (26) obtenemos la expresi´on para u(˜x) como u(˜x) = −8Γ(˜x, t)[T11T12]˜x(27) donde Γ(˜x, t) es la funci´on escalar dada en (16). Es interesante resaltar que la expresi´on as´ı obtenida mediante la aplicaci´on de la matriz pseudo-inversa presenta la m´ınima norma 2 para u(˜x) soluci´on de (14), y por tanto ser´a la ”menor” se˜nal de control aplicable para obtener el comportamiento deseado a lazo cerrado. 3.1 Propiedades de la ley de control La forma gen´erica de la ley de control en (27) admite particularizaciones notables, como la que se obtiene en el caso de tomar T11 =KV=1 8diag{kvi}(28) T12 =KP=1 8diag{kpi}(29) donde kvi ykpi son ganancias positivas. En este caso, podemos expresar u(˜x) = −Γ(˜x, t)(KP˜q+KV˙ ˜q) (30) ley de control que puede identificarse como un control PD no lineal de ganancias variables moduladas por el t´ermino Γ(˜x, t), que fija el ratio de decrecimiento de la energ´ıa del sistema. La ley de control as´ı formulada tiene un clara interpretaci´on en t´erminos f´ısicos al proporcionar a diferencia de otras estrategias de control al uso, un ratio de disipaci´on de energ´ıa variable en funci´on de la lejan´ıa del sistema a la situaci´on de equilibrio deseada. Este ratio puede adem´as modularse incorporando funciones a(˜x)>0 apropiada (Ej: valores constantes, formas cuadr´aticas, etc). Es interesante comentar sin embargo que la ganancia no lineal Γ(˜x, t) es un valor indefinido para ˜x= 0. Esta indeterminaci´on puntual puede ser f´acilmente solventada sin embargo en la implementaci´on del controlador, conmutando a control u(˜x) = 0 en las proximidades del punto de equilibrio. En el apartado siguiente se muestran resultados de la aplicaci´on de esta estrategia de control a robot simple de dos grados de libertad. 4 Una aplicaci´on de simulaci´on Consideramos en este ejemplo de simulaci´on el problema de seguimiento de trayectorias para un robot plano de dos grados de libertad como se representa en la figura 1. El robot est´a compuesto por dos masas puntuales m1ym2en los extremos de las articulaciones de longitudes l1yl2. La configuraci´on del robot vendr´a dada por las variables articulares q1yq2. El robot est´a actuado mediante dos pares aplicados en sendas articulaciones, τ1yτ2. Las ecuaciones de movimiento para este robot se pueden obtener mediante la formulaci´on de EulerLagrange teniendo en cuenta las expresiones de la energ´ıa cin´etica y potencial T(q, ˙q) = 1 2˙qTM(q)q U(q)=(m1+m2)gl1c1+m2gl2c2(31) expresiones en las que se ha empleado la notaci´on compacta c2=cos(q2), s1=sin(q1), etc. Adicionalmente la matriz de inercias, M(q), puede calcularse como M(q) = µ(m1+m2)l2 1m2l1l2(s1s2+c1c2) m2l1l2(s1s2+c1c2)m2l2 2¶ (32) τ1 τ2 q2 q1 m1 m2 l2 l1 Figura 1: Robot de dos grados de libertad como ejemplo de aplicaci´on Con esta configuraci´on puede dise˜narse una ley de control para el sistema siguiendo el procedimiento expuesto en el apartado 3. Para simplificar, consideraremos a(˜x) = a. Es decir, un valor constante que inducir´a un ratio de disipaci´on exponencial la la funci´on de Lyapunov V(˜x). De este modo, para un conjunto de valores t´ıpicos de los par´ametros f´ısicos de este robot puede obtenerse un comportamiento como se muestra en la figura 2. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 50 100 150 Posición (grados) Articulación 1 Articulación 2 Tiempo (s) Figura 2: Resultado de simulaci´on del control propuesto sobre un robot de dos grados de libertad Es resultado es acorde con lo que cabr´ıa esperar teniendo en cuenta que la estructura de control propuesta no considera incertidumbres de modelado e incluye impl´ıcitamente en su planteamiento un linealizaci´on parcial por realimentaci´on de la estructura de control. 5 Conclusiones Este trabajo presenta una aplicaci´on de los principios de control de Zubov, ´ıntimamente relacionados con las t´ecnicas de control de Lyapunov, a un robot manipulador gen´erico. El m´etodo de dise˜no se basa en la construcci´on de un funci´on de Lyapunov, V(˜x), soluci´on de la ecuaci´on de Zubov para un robot manipulador, imponiendo una din´amica para el ratio de decrecimiento de dicha funci´on. El control as´ı planteado para un robot sin incertidumbres de modelado, permite obtener una soluci´on expl´ıcita para la ley de control que garantice el desempe˜no descrito en t´erminos de din´amica de lazo cerrado de V(˜x). Adicionalmente, se muestra que la estructura del control puede particularizarse, mostrando que el control resultante presenta una estructura PD cl´asica, de ganancias variables no lineales. El desempe˜no de esta estrategia de control, se muestra en resultados de simulaci´on sobre un robot t´ıpico de dos grados de libertad. Agradecimientos Los autores quieren agradecer a la CICYT por financiar este trabajo bajo el proyecto DPI20012424-C02-01. Referencias [1] Z. Artstein, ”Stabilization with relaxed controls”, (1983), Nonlinear Analysis. Theory, Methods and Applications, 7, pp. 1163-1173 [2] D.S. Bayard, J.T. Wen, ”New class of control laws for robotic manipulators, Part 2: Adaptive Case”, Int. Journal of Control, vol 47, pp.1387-1406. [3] J.J. Craig, P. Hsu, S.S. Sastry, ”Adaptive Control of Mechanical Manipulators”, (1987), Int. Journal of Robotic Research. vol. 6, no. 2, pp. 16-28. [4] W. Feng, I. Postlethwaite, ”Robust nonlinear H∞/Adaptive control of robot manipulator motion”,(1994), Proc. Instn. Mech. Engrs. Part I: J. Systems Contr. Eng., vol 208, pp. 221-230 [5] G.C. Goodwin, K.S. Sin,(1984) Adaptive Filtering, Prediction and Control. Englewoods Cliffs, NJ Prentice-Hall, ch. 6 [6] A. Isidori, A. Krener, C. Gori Giorgi, S. Monaco, ”Nonlinear decoupling via feedback: A differential geometric approach”, (1981),IEEE Transactions on Automatic Control, vol AC. 26, pp.331-345 [7] L.R. Hunt, R. Su, G. Meyer, (1983), ”Global transformations of nonlinear systems”IEEE Transactions on Automatic Control, vol AC. 28, pp.24-31 [8] H. K. Khalil, (1991) ”Nonlinear Systems”. Englewood Cliffs: Prentice-Hall. [9] W. A. Porter,(1970), ”Diagonalization and Inverses of Nonlinear Systems”. Int. Journal of Control, vol. 21, pp. 67-76. [10] J. Slotine, (1985) ”The Robust Control of Robot Manipulators”, (1985), Robotics Research, 4(2.) [11] E.D. Sontag, ”A Universal Construction of Artstein’s Theorem on nonlinear stabilization”, (1989), Systems & Control Letters, 13, pp. 117-123. [12] Y. Lin, E.D. Sontag, ”A Universal formula for stabilization with bounded controls”, (1991),Systems & Control Letters, 16, pp. 393-397. [13] M. W. Spong, M. Vidyasagar, ”Robust Linear Compensator Design for nonlinear Robotic Control”. (1987) IEEE J. Robotics Automat., RA-e(4), pp. 345-351. [14] M. Tomizuka, A. Jabbarai, R. Horowitz, D.M. Auslander, M. Denome, (1985), ”Modelling and Identification of mechanical systems with nonlinearities” Proc. 7th IFAC/IFORS Symp. Identification, York, U.K., pp. 845-850