Estudio del funcionamiento de los métodos ITD y LSCEM para estimación de parámetros dinámicos y aplicación a una viga en voladizo

fEquation Chapter 1 Section 1 Trabajo de Fin de Grado Ingeniería de las Tecnologías Industriales ESTUDIO DEL FUNCIONAMIENTO DE LOS MÉTODOS ITD Y LSCEM PARA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DINÁMICOS Y APLICACIÓN A UNA VIGA EN VOLADIZO Autor: Ana Collín Morales Tutor: Daniel García Vallejo Dep. Ingeniería Mecánica y Fabricación Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2017 iii Trabajo de Fin de Grado Ingeniería de las Tecnologías Industriales ESTUDIO DEL FUNCIONAMIENTO DE LOS MÉTODOS ITD Y LSCEM PARA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DINÁMICOS Y APLICACIÓN A UNA VIGA EN VOLADIZO Autor: Ana Collín Morales Tutor: Daniel García Vallejo Profesor titular Dep. de Ingeniería Mecánica y Fabricación Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2017 v Trabajo de Fin de Grado: ESTUDIO DEL FUNCIONAMIENTO DE LOS MÉTODOS ITD Y LSCEM PARA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DINÁMICOS Y APLICACIÓN A UNA VIGA EN VOLADIZO Autor: Ana Collín Morales Tutor: Daniel García Vallejo El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2017 El Secretario del Tribunal vii A mi familia A mis amigos ix Resumen En este proyecto se estudia el funcionamiento de dos métodos analíticos para el análisis modal cambiando diferentes parámetros para ver cómo mejoran o empeoran. Inicialmente se parte de una respuesta de un sistema aleatorio con tres masas, cuatro amortiguadores y cuatro muelles, la cual se va a ensuciar introduciéndole un ruido. En la segunda parte del proyecto se ha excitado un modelo de viga empotrada en el laboratorio y se ha procedido a realizar el mismo análisis que anteriormente, pero con la respuesta del modelo nuevo. Finalmente se ha hecho una comparación de los dos métodos estudiados y de cómo funcionan analítica y experimentalmente. Figura 27: Cambios en la segunda frecuencia natural variando el porcentaje de ruido. Método de Ibrahim 26 Figura 28: Cambios en la tercera frecuencia natural variando el porcentaje de ruido. Método de Ibrahim 27 Figura 29: Variación del error en las frecuencias naturales en tanto por uno con el porcentaje de ruido. Método de Ibrahim 27 Figura 30: Cambios en la primera relación de amortiguamiento variando el porcentaje de ruido. Método de Ibrahim 28 Figura 31: Cambios en la segunda relación de amortiguamiento variando el porcentaje de ruido. Método de Ibrahim 29 Figura 32: Cambios en la tercera relación de amortiguamiento variando el porcentaje de ruido. Método de Ibrahim 29 Figura 33: Variación del error en las relaciones de amortiguamiento en tanto por uno con el porcentaje de ruido. Método de Ibrahim 30 Figura 34: Cambios en la primera frecuencia natural variando el tiempo de integración. Método de Ibrahim 31 Figura 35: Cambios en la segunda frecuencia natural variando el tiempo de integración. Método de Ibrahim 31 Figura 36: Cambios en la tercera frecuencia natural variando el tiempo de integración. Método de Ibrahim 32 Figura 37: Variación del error en las frecuencias naturales en tanto por uno con el tiempo de integración. Método de Ibrahim 32 Figura 38: Cambios en la primera relación de amortiguamiento variando el porcentaje de ruido. Método de LSCEM 33 Figura 39: Cambios en la segunda relación de amortiguamiento variando el porcentaje de ruido. Método de LSCEM 34 Figura 40: Cambios en la tercera relación de amortiguamiento variando el porcentaje de ruido. Método de LSCEM 34 Figura 41: Variación del error en las relaciones de amortiguamiento en tanto por uno con el tiempo de integración. Método de Ibrahim 35 Figura 42: Toma de puntos primera 36 Figura 43: Toma de puntos segunda 37 Figura 44: Toma de puntos tercera 38 Figura 45: Cambios en la primera frecuencia natural variando Δt. Método de LSCEM 40 Figura 46: Cambios en la segunda frecuencia natural variando Δt. Método de LSCEM 40 Figura 47: Cambios en la tercera frecuencia natural variando Δt. Método de LSCEM 41 Figura 48: Variación del error en las frecuencias naturales con Δt en tanto por uno. Método de LSCEM 41 Figura 49: Variación del error en las frecuencias naturales con Δt en tanto por uno ampliado. Método de LSCEM 42 Figura 50: Cambios en la primera relación de amortiguamiento variando Δt. Método de LSCEM 43 Figura 51: Cambios en la segunda relación de amortiguamiento variando Δt. Método de LSCEM 43 Figura 52: Cambios en la tercera relación de amortiguamiento variando Δt. Método de LSCEM 44 Figura 53: Variación del error en las relaciones de amortiguamiento con Δt en tanto por uno. Método de LSCEM 44 Figura 54: Cambios en la primera frecuencia natural variando el porcentaje de ruido. Método de LSCEM 45 xvii Figura 55: Cambios en la segunda frecuencia natural variando el porcentaje de ruido. Método de LSCEM 46 Figura 56: Cambios en la tercera frecuencia natural variando el porcentaje de ruido. Método de LSCEM 46 Figura 57: Variación del error en las frecuencias naturales en tanto por uno con el porcentaje de ruido. Método LSCEM 47 Figura 58: Variación del error en las frecuencias naturales en tanto por uno con el porcentaje de ruido ampliado. Método LSCEM 47 Figura 59: Cambios en la primera relación de amortiguamiento variando el porcentaje de ruido. Método LSCEM 48 Figura 60: Cambios en la segunda relación de amortiguamiento variando el porcentaje de ruido. Método LSCEM 49 Figura 61: Cambios en la tercera relación de amortiguamiento variando el porcentaje de ruido. Método LSCEM 49 Figura 62: Variación del error en las relaciones de amortiguamiento en tanto por uno con el porcentaje de ruido. Método LSCEM 50 Figura 63: Variación del error en las relaciones de amortiguamiento en tanto por uno con el porcentaje de ruido ampliado. Método LSCEM 50 Figura 64: Toma de puntos primera 51 Figura 65: Toma de puntos segunda 52 Figura 66: Sistema a estudiar 53 Figura 67: Viga a estudiar 53 Figura 68: Posiciones acelerómetros 53 Figura 69: Acelerómetro ADXL335 54 Figura 70: Microcontrolador Arduino UNO R2 54 Figura 71: Respuesta en aceleración del sistema 55 Figura 72: Respuesta en aceleración del sistema ampliada 55 Figura 73: Resultado tras interpolar en azul, original en rojo 56 Figura 74: Resultado ampliado tras interpolar en azul, original en rojo 56 Figura 75: Representación primer modo 59 Figura 76: Representación segundo modo 59 Figura 77: Representación tercer modo. 60 Figura 78: Representación primer modo 61 Figura 79: Representación segundo modo 62 Figura 80: Representación tercer modo 62 Figura 81: Ampliación de un periodo completo 63 Figura 82: Ampliación de un periodo completo 63 Figura 83: Aceleración (m/s2), velocidad (m/s) y posición (m) en función de t (s) tras integrar. 66 Figura 84: Aceleración (m/s2), velocidad (m/s) y posición (m) en función de t (s) tras aplicar un filtro de bajas frecuencias. 66 Figura 85: Aceleración (m/s2), velocidad (m/s) y posición (m) en función de t (s) tras restar la media a la velocidad. 67 Figura 86: Aceleración (m/s2), velocidad (m/s) y posición (m) en función de t (s) tras restar la media a la posición. 67 Figura 87: Errores relativos con Δt en tanto por uno. ITD 69 Figura 88: Errores relativos con el número de puntos en tanto por uno. ITD 69 Figura 89: Elección de 6 puntos. ITD 70 Figura 90: Elección de 20 puntos. ITD 70 Figura 91: Errores relativos con el ruido en tanto por uno. ITD. 71 Figura 92: Errores relativos con el tintegración en tanto por uno. ITD. 71 Figura 93: Errores relativos con el Δt en tanto por uno. LSCEM. 72 Figura 94: Errores relativos con el Δt en tanto por uno. LSCEM. 72 xix Notación FFT Fast Fourier Transform (Transformada rápida de Fourier) FRF Frequency Response Function (Función de respuesta en frecuencia) g.d.l. Grados de libertad ITD Ibrahim Time Domain (Método de Ibrahim en el dominio del tiempo) LSCEM Least Square Complex Exponential Method (Método de ajuste por mínimos cuadrados de exponencial compleja) LSFD Least Square Frequency Domain (Método de mínimos cuadrados en el dominio de la frecuencia) MDOF Multiple Degree of Freedom (Modelo con múltiples grados de libertad) SDOF Single Degree of Freedom (Modelo de un grado de libertad) 1 1 INTRODUCCIÓN 1.1 Contexto El estudio de las vibraciones es algo muy necesario a la hora de poner en pie cualquier tipo de estructura, se debe siempre tener en cuenta cómo se va a enfrentar ésta a dichas vibraciones y para ello se debe conocer ciertos parámetros que describirán el comportamiento dinámico de cualquier estructura mecánica lineal, los que describen su resonancia estructural. Estos parámetros modales son: la frecuencia natural, el amortiguamiento y los modos de vibración. Para conocer ese comportamiento se hace uso de lo que se llama análisis modal que no es más que un estudio para llegar a conocer estos parámetros. Si se quiere dar una definición simplificada del análisis modal se puede decir que este descompone una deformación compleja de una estructura en diferentes modos de vibración, que dependen de la masa y de la rigidez de la estructura. Debido a esta necesidad se plantea en este proyecto la posibilidad de realizar este análisis modal de formas alternativas que serán estudiadas con detenimiento viendo como de buenos son los resultados obtenidos. 1.2 Aplicación El análisis modal es muy útil para solucionar diferentes problemas del día a día como pueden ser: • Problemas de ruido y vibración: Tras encontrar la fuente del problema mediante mediciones de vibración se sabrá si el problema es causado por la resonancia de la estructura y se procederá a hacer variaciones en ésta para remediar el problema. • Mejoras en el diseño: Analizando prototipos se puede llegar al diseño óptimo de una estructura y modificar el modelo para que se asemeje a ese óptimo. • Monitoreo estructural: Se puede hacer uso de los parámetros modales para controlar las condiciones de las estructuras como pueden ser las imperfecciones que se produzcan en éstas, por ejemplo, el conocimiento del amortiguamiento modal es muy útil para predecir la vida a fatiga y reducir las respuestas en resonancia. • Verificar modelos analíticos: Gracias al análisis modal se pueden comparar modelos analíticos con la respuesta del análisis para así verificar que este primer estudio era correcto. Cada vez se usan más los ensayos dinámicos combinados con los análisis de elementos finitos para mejorar los métodos analíticos. • Comprobar el estado de estructuras después de sufrir daños: por ejemplo, tras un terremoto con el análisis modal podemos comprobar cómo se encuentra la estructura. • Estimar las fuerzas que actúan sobre la estructura. • Analizar el ensamblaje de estructuras. 1.3 Resumen Este proyecto recogerá el estudio de los métodos ITD y LSCEM aplicados primeramente a un sistema inventado y a continuación aplicados a la respuesta a una excitación de una barra en voladizo. En el segundo capítulo se hará una explicación teórica de qué es el análisis modal y cómo funciona y se procederá a continuación a explicar cuáles son los métodos usados y su funcionamiento. Introducción 2 En el tercer capítulo se hace el estudio del sistema inventado dando primeramente sus características reales y después se han aplicado los dos métodos y calculado los parámetros dinámicos comparándolos con los originales ya calculados. Además, se han ido haciendo variaciones en los métodos y comparando la mejoría del método con estos cambios. En el cuarto capítulo se aplica el método a una viga empotrada, se explican las condiciones de la viga y aparatos de medida, acelerómetros y microcontrolador, se explica el procedimiento seguido y se hace un cálculo de las frecuencias naturales de la viga analíticamente para después compararlas con las calculadas mediante los dos métodos estudiados. 3 2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS El estudio que se va a realizar a lo largo de este proyecto se basa en el análisis modal. En un inicio se ha hecho un estudio de cómo funcionan diferentes métodos, que se explicarán en este capítulo, de forma analítica mediante el uso del programa informático Matlab y a continuación de forma experimental. 2.1 Análisis modal El análisis modal se basa en el estudio dinámico de estructuras para estimar propiedades de éstas como las frecuencias y los modos naturales, además del amortiguamiento. El modelo matemático basado en estos parámetros es un modelo lineal que da una descripción completa del comportamiento de la estructura. Con el modelo matemático, obtenido tras el estudio de una estructura, se puede simular su respuesta ante la acción de diferentes fuerzas a las que podría estar sometida ésta en su día a día para así saber si es capaz de soportarlas o si se necesita cambiar la forma, el tamaño o incluso incluir refuerzos a ésta. 2.1.1 Análisis modal teórico Para realizar este análisis se ha de plantear la ecuación de movimiento del sistema a estudiar y calcular su respuesta teniendo en cuenta unas condiciones iniciales establecidas. Esto supone resolver un problema de autovalores y autovectores los cuales permiten obtener los parámetros del sistema que se buscaban. 2.1.2 Análisis modal experimental El método experimental se basará en ensayos siguiendo cuatro pasos fundamentales: • Excitación de la estructura • Medición mediante acelerómetros • Tratamiento digital • Análisis de las señales Así pues, tras adquirir los datos y tratarlos se analizarán viendo qué modelos cumplen y obteniendo finalmente los parámetros buscados. La diferencia entre el modelo teórico y experimental al final se basa en la forma de obtener la señal a estudiar, en el teórico dando los datos de la estructura se obtiene una respuesta, mediante cálculos matemáticos, ideal del sistema. A su vez, en el modelo experimental se obtiene la respuesta mediante los acelerómetros antes citados, ésta también puede estar sujeta a errores que serán mayores cuánto peor sea el sistema de medida. 2.2 Características de los métodos de análisis Los métodos de análisis utilizados son infinitos y si se estudian se puede ver que dependiendo de lo que se busque funcionarán mejor unos u otros. 2.2.1 SDOF y MDOF La primera diferenciación que habría que hacer sería entre métodos SDOF y MDOF. Los métodos SDOF son simplificaciones que se usan cuando únicamente uno de los modos es importante para el estudio. Éstos son Fundamentos teóricos 4 más rápidos y eficientes, pero sólo son útiles cuando los modos están bien desacoplados, en caso de que no sea así habría que acudir a los MDOF. 2.2.2 Estimaciones locales y globales Otra característica que señala a los métodos es la forma de identificar los valores, pueden ser estimaciones locales o globales. Cuando se observa una respuesta en i excitando en j si: • los polos del sistema no dependen de la entrada ni de la salida • los coeficientes de los modos no dependen del punto de excitación y • los factores de participación modal no dependen de donde se observe se habla de estimaciones globales. Cuando no se cumple algo de lo citado anteriormente se tratan de estimaciones locales que tienen el inconveniente de que generan varias aproximaciones de cada parámetro. 2.2.3 Una entrada o varias Cuando se usan varias entradas se consigue identificar polos muy cercanos o incluso dobles además de obtener estimaciones globales de los coeficientes de los modos, algo imposible con una sola entrada. 2.2.4 Identificación directa o mediante modelo modal Con la identificación directa se hace uso de las ecuaciones diferenciales del modelo bajo estudio, con ellas se identifican los parámetros de éstas y a partir de ellos se calculan los parámetros modales mediante el análisis modal. En cambio, con el modelo modal se describe la respuesta como combinación lineal de soluciones características, también llamadas modos del sistema. La identificación se basa en estimar modos y frecuencias de un modelo conocido. 2.2.5 MDOF en el dominio del tiempo o de la frecuencia Los métodos en el dominio del tiempo no hacen uso de la transformada de Fourier lo cual presenta una gran ventaja ante los métodos en el dominio de la frecuencia ya que no solo se ahorra el cálculo de ésta si no que no se cometen errores de leakage, aliasing, etc. Cuando se tratan problemas en los que los datos presentan mucho ruido es más adecuado el uso de métodos en el dominio del tiempo ya que suelen estar mejor condicionados que los definidos en el dominio de la frecuencia. Suelen ser más útiles los métodos en el dominio del tiempo cuando la banda de interés es muy grande. En sistemas muy amortiguados es preferible el dominio de la frecuencia porque se suelen tener pocos resultados útiles, en cambio cuando los sistemas presentan poco amortiguamiento son más útiles los métodos en el dominio del tiempo. Figura 1: Sistema muy amortiguado 5 ESTUDIO DEL FUNCIONAMIENTO DE LOS MÉTODOS ITD Y LSCEM PARA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DINÁMICOS Y APLICACIÓN A UNA VIGA EN VOLADIZO Figura 2: Sistema muy poco amortiguado En el dominio de la frecuencia no hace falta que las frecuencias de análisis estén equiespaciadas, en cambio, al pasar al dominio del tiempo se requieren frecuencias equiespaciadas y múltiplos de dos para aprovechar la velocidad de la FFT. 2.3 Método de Ibrahim (ITD) Este método en el dominio del tiempo utiliza la respuesta en vibración libre para obtener polos y modos. Las características de este son: • Es un método MDOF que puede ofrecer tanto estimaciones locales como globales y que permite varias entradas. • Es capaz de obtener modos y polos en un solo análisis. • Puede usarse el método con la respuesta que sea, ya sea posición, velocidad o aceleración. • No trabaja con el modelo matemático del sistema. • No necesita conocer la excitación, funciona con el sistema en vibración libre, por lo que conociendo la respuesta instantes después de eliminar la fuerza de excitación basta. El funcionamiento del método se basa en, haciendo uso de la respuesta original, desfasada cierto incremento de tiempo y doblemente desfasada este mismo incremento, llegar a montar un problema de autovalores y autovectores. Con estos se es capaz de sacar los parámetros modales del sistema. 2.3.1 Funcionamiento del método Se sabe que la respuesta de un sistema en vibración libre de N grados de libertad puede obtenerse del sistema de ecuaciones 𝑚𝑥󰇘+𝑐𝑥󰇗+𝑘𝑥=0, 𝑥∈ℝ𝑁 este se puede transformar en uno de primer orden haciendo el cambio de variables siguiente introduciendo la resta m-m=0 (0 𝑚 𝑚 𝑐)(𝑥󰇘𝑥󰇗)+(−𝑚 0 0 𝑘)(𝑥󰇗𝑥)=(00) (𝑥󰇘𝑥󰇗)=𝑦󰇗 (𝑥󰇗𝑥)=𝑦 Estudio de características numéricas mediante diferentes métodos 12 12 𝑀=(𝑚10 0 0 𝑚20 0 0 𝑚3)=(5 0 0 0 3 0 0 0 7) 𝐾=(𝑘1+𝑘2−𝑘20 −𝑘2𝑘2+𝑘3−𝑘3 0 −𝑘3𝑘3+𝑘4)=(9000 −2000 0 −2000 3000 −1000 0 −1000 5000) 𝐶=(𝑐1+𝑐2−𝑐20 −𝑐2𝑐2+𝑐3−𝑐3 0 −𝑐3𝑐3+𝑐4)=(40 −20 0 −20 30 −10 0 −10 30) Transformando el sistema a uno de primer orden de la forma: (0 𝑀 𝑀 𝐶)(𝑥󰇘𝑥󰇗)+(−𝑀 0 0 𝐾)(𝑥󰇗𝑥)=(00) (𝑥󰇘𝑥󰇗)=𝑦󰇗 (𝑥󰇗𝑥)=𝑦 Con el nuevo sistema calculamos autovalores y autovectores Autovalores -1.5457 -23.0326i -1.5457 +23.0326i -3.2809 -30.3487i -3.2809 +30.3487i -6.3163 -44.645i -6.3163 +44.645i Autovectores 0.2425 +0.0125i 0.2425 -0.0125i -0.3281 -0.1605i -0.3281 +0.1605i 0.8024 -0.1577i 0.8024 +0.1577i 0.7563 -0.0675i 0.7563 +0.0675i -0.7630 -0.1559i -0.7630 +0.1559i -0.5652 -0.0877i -0.5652 +0.0877i 0.6037 -0.0068i 0.6037 -0.0068i 0.5010 +0.0953i 0.5010 -0.0953i 0.0611 +0.0198i 0.0611 -0.0198i Tabla 2: Autovalores y autovectores del sistema analítico Haciendo uso de la función ode45 de Matlab se integra el sistema consiguiendo así la respuesta del modelo planteado: 13 ESTUDIO DEL FUNCIONAMIENTO DE LOS MÉTODOS ITD Y LSCEM PARA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DINÁMICOS Y APLICACIÓN A UNA VIGA EN VOLADIZO Figura 4: Respuesta en vibración libre del sistema planteado Para ensuciar la información obtenida se le ha introducido un ruido a la respuesta del sistema en un principio del 5% de la amplitud máxima de éste como se observa en las siguientes imágenes: Figura 5: Respuesta en vibración libre y ruido del 5% Estudio de características numéricas mediante diferentes métodos 14 14 Figura 6: Respuesta en vibración libre con ruido del 5% A continuación, se va a proceder a explicar los dos métodos y a comprobar como varían los resultados de estos si se cambian ciertos parámetros. Si no se dice lo contrario la respuesta llevará introducida un ruido del 5% y el intervalo de integración usado para obtener la respuesta inicial será de 10-3 segundos. 3.3 Método de Ibrahim Inicialmente para ver cómo funcionaba este método se ha planteado con unos parámetros iniciales que luego se han ido variando y comprobando cómo afectaban estos cambios. Como se ha explicado antes el método se puede plantear tomando información en 2N instantes o en más por lo que se va a hacer una primera aproximación tomando datos de toda la respuesta con un Δt de 0.03 segundos. Autovalores -1.5009 ± 23.0586i -3.2709 ± 30.4137i -6.8314 ± 45.0040i Autovectores 0.2401 ± 0.0342i -0.3495 ± 0.1100i 0.8715 0.7591 -0.8014 -0.4545 ± 0.0903i 0.6022 ± 0.0467i 0.4635 ± 0.0930i 0.1366 ± 0.0839i Tabla 3: Autovalores y autovectores mediante el método de Ibrahim en todo t con Δt de 0.03s 15 ESTUDIO DEL FUNCIONAMIENTO DE LOS MÉTODOS ITD Y LSCEM PARA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DINÁMICOS Y APLICACIÓN A UNA VIGA EN VOLADIZO Error Autovalores 7.5801 7.5043 0.6278 Error Autovectores 0.6046 0.6006 0.1722 1.5591 1.5301 0.1108 0.1721 0.1123 0.0991 Tabla 4: Error absoluto al calcular los autovalores y autovectores mediante el método de Ibrahim en todo t con Δt de 0.03s Como se ve en las tablas adjuntas el método consigue soluciones bastante bien aproximadas al menos con estas condiciones, se irá viendo como varia esto al cambiar las condiciones. 3.3.1 Variación del Δt La primera comparación que se va a hacer será ir viendo como varía la exactitud del método si variamos el Δt. Cómo era de esperar el funcionamiento del método es óptimo cuando se toman valores para Δt intermedios, ni muy grande ni muy pequeños. Al coger un Δt demasiado grande la información está muy espaciada por lo que no se tienen suficientes datos de un periodo completo en cambio si el Δt es muy pequeño los puntos de los que se coge información están prácticamente solapados por lo que de nuevo no es suficiente. Figura 7: Cambios en la primera frecuencia natural variando Δt. Método de Ibrahim Estudio de características numéricas mediante diferentes métodos 16 16 Figura 8: Cambios en la segunda frecuencia natural variando Δt. Método de Ibrahim Figura 9: Cambios en la tercera frecuencia natural variando Δt. Método de Ibrahim 17 ESTUDIO DEL FUNCIONAMIENTO DE LOS MÉTODOS ITD Y LSCEM PARA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DINÁMICOS Y APLICACIÓN A UNA VIGA EN VOLADIZO Figura 10: Variación del error en las frecuencias naturales con Δt en tanto por uno. Método de Ibrahim Figura 11: Variación del error en las frecuencias naturales con Δt en tanto por uno ampliado. Método de Ibrahim Si se observan estas 5 primeras graficas se ve que el método llega al óptimo cuando Δt es del orden de 0.035 segundos. También se puede ver que con la primera y segunda frecuencia natural, incluso más con la primera, Estudio de características numéricas mediante diferentes métodos 18 18 el método da mucho mejores resultados que con la tercera. Con la tercera el cálculo colapsa cuando Δt es del orden de 0.06, en cambio con la segunda llega hasta 0.1 y la primera casi a 0.15 segundos. Figura 12: Cambios en la primera relación de amortiguamiento variando Δt. Método de Ibrahim Figura 13: Cambios en la segunda relación de amortiguamiento variando Δt. Método de Ibrahim 19 ESTUDIO DEL FUNCIONAMIENTO DE LOS MÉTODOS ITD Y LSCEM PARA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DINÁMICOS Y APLICACIÓN A UNA VIGA EN VOLADIZO Figura 14: Cambios en la tercera relación de amortiguamiento variando Δt. Método de Ibrahim Figura 15: Variación del error en las relaciones de amortiguamiento con Δt en tanto por uno. Método de Ibrahim Con las relaciones de amortiguamiento pasa lo mismo, el funcionamiento es casi perfecto cuando Δt es 0.35 Estudio de características numéricas mediante diferentes métodos 20 20 segundos, pero al aumentar van colapsando en el mismo orden que las frecuencias naturales. 3.3.2 Variación del número de puntos Lo segundo que se va a comparar es cómo varían los resultados al tomar más o menos puntos tomando un Δt de 0.35 segundos. Se puede ver cómo al aumentar los puntos que se toman, al tener más información, los datos son mejores, de hecho, basta con tomar unos 200 puntos para que los resultados sean perfectos. Hay que decir que, se está trabajando con unas condiciones en la que se ha tomado como punto inicial el cero y se han tomado todos los puntos sin ningún tipo de separación, es decir, si se cogen pocos puntos y todos seguidos por lo que no se llega a coger información de un periodo entero, en cambio cómo se verá más adelante cogiendo tan sólo seis puntos bien situados podemos conseguir información no demasiado mala. Figura 16: Cambios en la primera frecuencia natural variando el número de puntos. Método de Ibrahim 21 ESTUDIO DEL FUNCIONAMIENTO DE LOS MÉTODOS ITD Y LSCEM PARA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DINÁMICOS Y APLICACIÓN A UNA VIGA EN VOLADIZO Figura 17: Cambios en la segunda frecuencia natural variando el número de puntos. Método de Ibrahim Figura 18: Cambios en la tercera frecuencia natural variando el número de puntos. Método de Ibrahim Estudio de características numéricas mediante diferentes métodos 28 28 natural que a las otras dos, hasta el punto de que en esta primera llegamos a errores de hasta el 25% mientras que en las dos otras no pasamos del 5% aun así, se puede decir que los resultados obtenidos con un ruido de hasta el 70% son bastante buenos para el error que se está introduciendo. Figura 30: Cambios en la primera relación de amortiguamiento variando el porcentaje de ruido. Método de Ibrahim 29 ESTUDIO DEL FUNCIONAMIENTO DE LOS MÉTODOS ITD Y LSCEM PARA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DINÁMICOS Y APLICACIÓN A UNA VIGA EN VOLADIZO Figura 31: Cambios en la segunda relación de amortiguamiento variando el porcentaje de ruido. Método de Ibrahim Figura 32: Cambios en la tercera relación de amortiguamiento variando el porcentaje de ruido. Método de Ibrahim Estudio de características numéricas mediante diferentes métodos 30 30 Figura 33: Variación del error en las relaciones de amortiguamiento en tanto por uno con el porcentaje de ruido. Método de Ibrahim Vuelve a ocurrir que el error en términos de amortiguamiento es mucho mayor que cuando se habla de frecuencias naturales llegando a más del 200% en el caso de la tercera relación de amortiguamiento y quedándose por debajo del 50% en la primera y segunda, que sigue siendo un error enorme. 3.3.4 Variación del tiempo de integración Se ha probado a cambiar el tiempo de integración del sistema original para obtener la respuesta manteniendo el ruido posteriormente introducido en un 5%, el Δt de 0.03 segundos y tomando los puntos de todo t. El tiempo de integración se ha ido variando hasta un máximo que hemos impuesto como: 𝑇𝑚=1 10∙1 𝑓𝑚á𝑥 Si llegamos a tiempos de integración mucho mayores nos arriesgamos a que se produzca aliasing. 31 ESTUDIO DEL FUNCIONAMIENTO DE LOS MÉTODOS ITD Y LSCEM PARA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DINÁMICOS Y APLICACIÓN A UNA VIGA EN VOLADIZO Figura 34: Cambios en la primera frecuencia natural variando el tiempo de integración. Método de Ibrahim Figura 35: Cambios en la segunda frecuencia natural variando el tiempo de integración. Método de Ibrahim Estudio de características numéricas mediante diferentes métodos 32 32 Figura 36: Cambios en la tercera frecuencia natural variando el tiempo de integración. Método de Ibrahim Figura 37: Variación del error en las frecuencias naturales en tanto por uno con el tiempo de integración. Método de Ibrahim 33 ESTUDIO DEL FUNCIONAMIENTO DE LOS MÉTODOS ITD Y LSCEM PARA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DINÁMICOS Y APLICACIÓN A UNA VIGA EN VOLADIZO El tiempo de integración afecta muchísimo en la obtención de unos buenos resultados, con 10-3 segundos los resultados son óptimos y a medida que disminuimos o aumentamos el tiempo los resultados empeoran muchísimo y de la misma forma para las tres frecuencias naturales. Figura 38: Cambios en la primera relación de amortiguamiento variando el porcentaje de ruido. Método de LSCEM Estudio de características numéricas mediante diferentes métodos 34 34 Figura 39: Cambios en la segunda relación de amortiguamiento variando el porcentaje de ruido. Método de LSCEM Figura 40: Cambios en la tercera relación de amortiguamiento variando el porcentaje de ruido. Método de 35 ESTUDIO DEL FUNCIONAMIENTO DE LOS MÉTODOS ITD Y LSCEM PARA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DINÁMICOS Y APLICACIÓN A UNA VIGA EN VOLADIZO LSCEM Figura 41: Variación del error en las relaciones de amortiguamiento en tanto por uno con el tiempo de integración. Método de Ibrahim En las relaciones de amortiguamiento los resultados son del orden para la primera y segunda pareja de autovalores, pero los errores en la tercera se disparan superando errores del 100%. Al igual que con las frecuencias el punto óptimo está en 10-3. 3.3.5 Elección de puntos Como se ha comentado al principio, el método se puede plantear también en 2N puntos y funcionará tan bien como se haya sido capaz de elegir los puntos. Estudio de características numéricas mediante diferentes métodos 36 36 Figura 42: Toma de puntos primera Si se toman los puntos como los elegidos en la figura anterior obviamente los resultados van a ser pésimos. Comparando solo autovalores: Autovalores 84.71 ± 104.72i -3.35 ± 35.03i -8.62 ± 32.69i Tabla 5: Autovalores comparando por parejas de complejos primera toma de puntos Error Autovalores 109.07 56.17 65.38 Tabla 6: Error absoluto autovalores comparando por parejas de complejos primera toma de puntos De hecho, los resultados son tan malos que, al dar Matlab los autovalores desordenados, no se es capaz ni de saber qué autovalor corresponde a cuál de los calculados. En cambio, si se va cogiendo los puntos más espaciados y que abarquen una onda entera se puede ir mejorando, aunque nunca se llegará a una respuesta tan buena como abarcando todo t con tan solo 6 puntos. Se hace una segunda toma de puntos: 37 ESTUDIO DEL FUNCIONAMIENTO DE LOS MÉTODOS ITD Y LSCEM PARA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DINÁMICOS Y APLICACIÓN A UNA VIGA EN VOLADIZO Figura 43: Toma de puntos segunda Autovalores -1.53 ± 22.75i 21.67 ± 12.67i -6.48 ± 29.97i Tabla 7: Autovalores comparando por parejas de complejos segunda toma de puntos Error Autovalores 0.28 30.56 14.67 Tabla 8: Error absoluto autovalores comparando por parejas de complejos segunda toma de puntos Como se ve al coger una onda entera el resultado es mucho mejor sobre todo para el primer y tercer autovalor, pero esto puede seguir variando, si se cogen otros puntos también puede ser que salga mejor el segundo que los otros dos. Estudio de características numéricas mediante diferentes métodos 44 44 Figura 52: Cambios en la tercera relación de amortiguamiento variando Δt. Método de LSCEM Figura 53: Variación del error en las relaciones de amortiguamiento con Δt en tanto por uno. Método de LSCEM 45 ESTUDIO DEL FUNCIONAMIENTO DE LOS MÉTODOS ITD Y LSCEM PARA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DINÁMICOS Y APLICACIÓN A UNA VIGA EN VOLADIZO El error en término de relaciones de amortiguamiento es mucho mayor que con las frecuencias naturales, esto es porque si se ven los autovalores calculados, lo que va empeorando más es la parte imaginaria, que en el cálculo de frecuencias naturales se suaviza por el efecto de la parte real, pero aquí afecta más la parte imaginaria que la real. Como se ve los resultados obtenidos esta vez son malísimos, no se puede siquiera identificar un tramo donde se diga que funciona más o menos bien. 3.4.2 Variación del ruido Se ha ido variando el ruido hasta un 70% tomando como Δt 0.05 segundos los resultados obtenidos son los siguientes: Figura 54: Cambios en la primera frecuencia natural variando el porcentaje de ruido. Método de LSCEM Estudio de características numéricas mediante diferentes métodos 46 46 Figura 55: Cambios en la segunda frecuencia natural variando el porcentaje de ruido. Método de LSCEM Figura 56: Cambios en la tercera frecuencia natural variando el porcentaje de ruido. Método de LSCEM 47 ESTUDIO DEL FUNCIONAMIENTO DE LOS MÉTODOS ITD Y LSCEM PARA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DINÁMICOS Y APLICACIÓN A UNA VIGA EN VOLADIZO Figura 57: Variación del error en las frecuencias naturales en tanto por uno con el porcentaje de ruido. Método LSCEM Figura 58: Variación del error en las frecuencias naturales en tanto por uno con el porcentaje de ruido ampliado. Método LSCEM El error se puede ver que, si el ruido es menor del 10%, es mínimo, no supera el 10% en ninguna de las Estudio de características numéricas mediante diferentes métodos 48 48 frecuencias naturales, a medida que aumenta el porcentaje aumenta el error hasta un punto en el que oscila entre valores parecidos para cada frecuencia natural. Para la tercera los errores llegan a ser de hasta el 100% o incluso algo más, pero es destacable que con la primera y segunda frecuencia los errores no superan el 50%, de hecho con la primera el máximo que se alcanza es del 30%. Figura 59: Cambios en la primera relación de amortiguamiento variando el porcentaje de ruido. Método LSCEM 49 ESTUDIO DEL FUNCIONAMIENTO DE LOS MÉTODOS ITD Y LSCEM PARA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DINÁMICOS Y APLICACIÓN A UNA VIGA EN VOLADIZO Figura 60: Cambios en la segunda relación de amortiguamiento variando el porcentaje de ruido. Método LSCEM Figura 61: Cambios en la tercera relación de amortiguamiento variando el porcentaje de ruido. Método LSCEM Estudio de características numéricas mediante diferentes métodos 50 50 Figura 62: Variación del error en las relaciones de amortiguamiento en tanto por uno con el porcentaje de ruido. Método LSCEM Figura 63: Variación del error en las relaciones de amortiguamiento en tanto por uno con el porcentaje de ruido ampliado. Método LSCEM 51 ESTUDIO DEL FUNCIONAMIENTO DE LOS MÉTODOS ITD Y LSCEM PARA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DINÁMICOS Y APLICACIÓN A UNA VIGA EN VOLADIZO Con las relaciones de amortiguamiento una vez más los errores son bastante mayores. Si no se supera el 5% de ruido los errores están por debajo del 20%, que no es poco, pero a medida que crece el porcentaje de ruido el error en las relaciones de amortiguamiento crece enormemente, en el caso de la tercera relación llegamos a errores de hasta el 600%. Por esto, para tener valores adecuados en términos de relaciones de amortiguamiento el ruido no debe superar el 5%. 3.4.3 Elección de puntos Al igual que con el método de Ibrahim, si se aplica el método en su forma sencilla, tomando solo 2nq-1, que en este caso son 11, si se es capaz de elegir bien estos puntos se pueden obtener resultados bastante buenos. Como se ha dicho antes, si se es capaz de coger los puntos que incluyan justo un periodo entero los resultados serán muy buenos, en cambio, si los puntos no están bien tomados iremos perdiendo información de los autovalores. Figura 64: Toma de puntos primera Autovalores 4.22 ± 21.22i No salen parejas -6.47 ± 42.62i Tabla 15: Autovalores comparando por parejas de complejos primera toma de puntos Error Autovalores 3.23 No salen parejas 2.03 Tabla 16: Error absoluto autovalores comparando por parejas de complejos primera toma de puntos Como se ve al no coger un periodo completo los errores son grandes sobre todo en el caso de la segunda pareja de autovalores en la que no sale un complejo conjugado. A continuación, se coge algo más de un periodo entero y se ve la exactitud que permite obtener el método. Estudio de características numéricas mediante diferentes métodos 52 52 Figura 65: Toma de puntos segunda Autovalores 1.25 ± 23.04i -3.50 ± 30.23i -6.99 ± 44.84i Tabla 17: Autovalores comparando por parejas de complejos segunda toma de puntos Error Autovalores 0.30 0.24 0.70 Tabla 18: Error absoluto autovalores comparando por parejas de complejos segunda toma de puntos Con estos resultados se demuestra que se pueden obtener los valores prácticamente exactos tomando únicamente 11 puntos si se eligen bien y sin necesidad de hacer tantos cálculos. De hecho, si se comparan con los valores sacados de aplicar el método a todo t los resultados aquí son incluso mejores. 53 ESTUDIO DEL FUNCIONAMIENTO DE LOS MÉTODOS ITD Y LSCEM PARA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DINÁMICOS Y APLICACIÓN A UNA VIGA EN VOLADIZO 4 APLICACIÓN EN UN SISTEMA MECÁNICO Tras hacer un primer análisis a un sistema inventado se ha hecho lo mismo con un sistema real comprobando así cómo funcionan realmente los métodos estudiados. 4.1 Sistema a estudiar El sistema planteado es una viga empotrada por uno de sus extremos a la cual se le han puesto cinco acelerómetros conectados a una placa y ésta a su vez al ordenador. Para sacar nuestras respuestas se han colocado los acelerómetros de dos formas distintas y se ha golpeado la barra con un martillo, de la respuesta recogida quitamos los primeros segundos para no tener en cuenta el impacto ni el tiempo en el que la biga está estática. 4.1.1 La viga La viga utilizada es una viga de acero, es decir, Modulo de Young de 210 GPa y densidad 7850 kg/m3, cuyas dimensiones son: • Longitud, 0.9m • Sección, 0.02x0.015m Las posiciones en las que se han colocado los acelerómetros son las siguientes, sabiendo que entre los puntos Figura 66: Sistema a estudiar Figura 67: Viga a estudiar Figura 68: Posiciones acelerómetros Aplicación en un sistema mecánico 60 60 Figura 77: Representación tercer modo. Se ha mostrado la representación de los modos cuando golpeamos en el punto más alto, ya que los resultados son muy parecidos y así no se repiten imágenes prácticamente idénticas. Se ve claramente que el modo que da la frecuencia que ronda por 18 es el primero por lo que esta será la primera frecuencia como era de esperar. Se ve que el segundo modo corresponde al que se obtiene de representar el correspondiente a la frecuencia que ronda por 118 y, por último, la de 270, que parecía ser la tercera ya que se asemeja a la real calculada, no lo es porque el modo no tiene nada que ver con el que debería ser realmente, así que la respuesta obtenida por los acelerómetros debe tener unos fallos que no permiten calcular esta frecuencia. 4.4.2 Posición 2 De nuevo se prueba golpeando entre los puntos 8 y 9 y entre el 3 y 4. Frecuencias Naturales (Hz) 18.89 79.60 82.40 118.05 272.55 Tabla 23: Frecuencias naturales de la viga golpeando entre el punto 8 y 9 61 ESTUDIO DEL FUNCIONAMIENTO DE LOS MÉTODOS ITD Y LSCEM PARA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DINÁMICOS Y APLICACIÓN A UNA VIGA EN VOLADIZO Frecuencias Naturales (Hz) 18.86 81.94 86.91 117.93 271.53 Tabla 24: Frecuencias naturales de la viga golpeando debajo del punto 4 Los resultados de nuevo muestran una frecuencia muy parecida a la primera, otra muy parecida a la tercera y tres que podrían ser la segunda. Si se comparan los modos: Figura 78: Representación primer modo Aplicación en un sistema mecánico 62 62 Figura 79: Representación segundo modo Figura 80: Representación tercer modo Vuelve a pasar lo mismo que antes, queda claro que la frecuencia de 18 corresponde a la primera, la de 118 a 63 ESTUDIO DEL FUNCIONAMIENTO DE LOS MÉTODOS ITD Y LSCEM PARA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DINÁMICOS Y APLICACIÓN A UNA VIGA EN VOLADIZO la segunda y de nuevo la que parecía aparentar ser la tercera no lo es. Habría que comentar que, aunque las frecuencias calculadas no sean exactamente las obtenidas, éstas son siempre similares lo que lleva a pensar que puede haber ciertas imperfecciones en la viga que haga que las frecuencias naturales reales de esta sean las obtenidas y no las calculadas. De hecho, si se amplia un periodo completo y calculamos la primera frecuencia natural: Figura 81: Ampliación de un periodo completo Figura 82: Ampliación de un periodo completo Aplicación en un sistema mecánico 64 64 𝑓1=1 6.223−6.171=19.23𝐻𝑧 Por lo que el resultado del método parece parecerse más a esta primera frecuencia que lo calculado analíticamente. 4.5 Método de ajuste por mínimos cuadrados de exponencial compleja De nuevo se ha introducido la respuesta, esta vez en el método LSCEM, obteniendo los siguientes resultados colocando los acelerómetros en las dos posiciones indicadas anteriormente: 4.5.1 Posición 1 Se vuelven a diferenciar los dos puntos donde se golpea la viga. Frecuencias Naturales (Hz) 17.56 44.86 73.66 114.11 134.73 Tabla 25: Frecuencias naturales de la viga golpeando entre los puntos 8 y 9 Frecuencias Naturales (Hz) 17.82 54.69 76.26 112.48 131.48 Tabla 26: Frecuencias naturales de la viga golpeando debajo del punto 4 65 ESTUDIO DEL FUNCIONAMIENTO DE LOS MÉTODOS ITD Y LSCEM PARA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DINÁMICOS Y APLICACIÓN A UNA VIGA EN VOLADIZO 4.5.2 Posición 2 Frecuencias Naturales (Hz) 17.94 44.48 79.22 113.05 132.45 Tabla 27: Frecuencias naturales de la viga golpeando entre el punto 8 y 9 Frecuencias Naturales (Hz) 17.95 45.92 79.79 113.06 141.73 Tabla 28: Frecuencias naturales de la viga golpeando debajo del punto 4 Esta vez, el método ofrece una primera frecuencia natural, que se parece bastante a la que debería ser y entre la tercera y cuarta se sabe que una de las dos podría corresponder a la segunda. Como este método no ofrece autovectores no se es capaz de diferenciar cuál de las frecuencias calculadas equivale al segundo modo y cuáles son las de descarte, aunque por semejanza con el método de Ibrahim se podría optar por la de 113. También hay que decir que con este método los resultados para la tercera frecuencia natural son malísimos siendo irreconocible esta entre las frecuencias obtenidas. 4.6 Paso a posición Para tener más información de cómo funciona la señal se coge una de las respuestas por separado y se integra para obtener velocidad y posición en función de t. Aplicación en un sistema mecánico 66 66 Figura 83: Aceleración (m/s2), velocidad (m/s) y posición (m) en función de t (s) tras integrar. Tras integrar la señal se observa que la velocidad no tiene la forma típica de una vibración si no que está superpuesta a una curva. Esto se debe a que la señal recogida por los acelerómetros no es lo suficientemente buena y va aportando un error que varía con la amplitud de la aceleración, por lo que se procede a pasarle un filtro de bajas frecuencias a la onda para eliminar estos errores. Figura 84: Aceleración (m/s2), velocidad (m/s) y posición (m) en función de t (s) tras aplicar un filtro de bajas frecuencias. 67 ESTUDIO DEL FUNCIONAMIENTO DE LOS MÉTODOS ITD Y LSCEM PARA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DINÁMICOS Y APLICACIÓN A UNA VIGA EN VOLADIZO Teniendo ya la onda de velocidades con la forma que debería tener, se le resta la media de ésta para centrarla y obtener la onda de posiciones correctamente. Figura 85: Aceleración (m/s2), velocidad (m/s) y posición (m) en función de t (s) tras restar la media a la velocidad. Finalmente obtenemos las tres respuestas reales a falta de centrar las posiciones. Figura 86: Aceleración (m/s2), velocidad (m/s) y posición (m) en función de t (s) tras restar la media a la posición. Con la media ya restada se tienen las tres respuestas originales del sistema. Aplicación en un sistema mecánico 68 68 Con todo esto se quiere demostrar que la respuesta obtenida en términos de aceleraciones no es demasiado buena por lo que los resultados sacados en términos de frecuencias naturales y modos de vibración son bastante buenos para la cantidad de errores a los que está sujeto el sistema. De hecho, ésta podría ser una de las razones por las cuales no se es capaz de captar la tercera frecuencia natural, aunque el criterio de Nyquist diga que está dentro del rango. Estos errores pueden venir del sistema de medida que se ha usado que era bastante básico, constando de una única placa base que ha recogido y procesado toda la información para después transmitirla al ordenador. 69 ESTUDIO DEL FUNCIONAMIENTO DE LOS MÉTODOS ITD Y LSCEM PARA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DINÁMICOS Y APLICACIÓN A UNA VIGA EN VOLADIZO 5 CONCLUSIÓN Finalmente, con todo lo explicado, se puede hacer un análisis del funcionamiento de ambos métodos y ver cual da mejores resultados. El método de Ibrahim ha demostrado ser capaz de obtener muy buenos resultados. Si se toma un Δt comprendido entre 0.03 y 0.045 segundos el resultado será óptimo, pero incluso se pueden obtener buenos resultados con un Δt algo mayor, hasta 0.06 segundos. Figura 87: Errores relativos con Δt en tanto por uno. ITD Cuando se han ido variando los puntos tomados, obviamente los resultados son malísimos ya que los puntos han sido tomados aleatoriamente, pero a partir de unos 150 puntos los resultados son buenísimos, algo que como ya se ha visto se puede conseguir con muchos menos puntos si se eligen correctamente. Figura 88: Errores relativos con el número de puntos en tanto por uno. ITD Con esta elección de puntos arbitraria se ha visto que se pueden conseguir errores del 0.5% en términos de frecuencias naturales con unos 200 puntos. Si se eligen bien los puntos: Anexos 76 76 ANEXOS Para que no haya un exceso de código sólo se ha incluido los códigos originales de cada método sin las variaciones estudiadas. Función por integrar: function f= funcion1(t,z) %Sistema 3gdl m1=5; m2=3; m3=7; k1=1000*7; k2=1000*2; k3=1000*1; k4=1000*4; c1=10*2; c2=10*2; c3=10*1; c4=10*2; %%simulacion respuesta M=[m1 0 0;0 m2 0;0 0 m3]; K=[k1+k2 -k2 0;-k2 k2+k3 -k3;0 -k3 k3+k4]; C=[c1+c2 -c2 0;-c2 c2+c3 -c3;0 -c3 c3+c4]; %transformación primer orden A=[zeros(3,3) M; M C]; B=[-M zeros(3,3);zeros(3,3) K]; C=inv(A)*(-B); for i=1:6 f(i,1)=C(i,1)*z(1)+C(i,2)*z(2)+C(i,3)*z(3)+C(i,4)*z(4)+C(i,5)*z(5)+C(i,6)*z(6); end end Método de Ibrahim sin variaciones: clear all; clc; 77 ESTUDIO DEL FUNCIONAMIENTO DE LOS MÉTODOS ITD Y LSCEM PARA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DINÁMICOS Y APLICACIÓN A UNA VIGA EN VOLADIZO close all; %Método de Ibrahim %Sistema 3gdl m1=5; m2=3; m3=7; k1=1000*7; k2=1000*2; k3=1000*1; k4=1000*4; c1=10*2; c2=10*2; c3=10*1; c4=10*2; %%simulacion respuesta M=[m1 0 0;0 m2 0;0 0 m3]; K=[k1+k2 -k2 0;-k2 k2+k3 -k3;0 -k3 k3+k4]; C=[c1+c2 -c2 0;-c2 c2+c3 -c3;0 -c3 c3+c4]; %transformación primer orden A=[zeros(3,3) M; M C]; B=[-M zeros(3,3);zeros(3,3) K]; %calculo autoval y autovec [Vec, Val]=eig(-B,A); comp=B*Vec+A*Vec*Val; for i=1:3 for j=1:6 autovec(i,j)=Vec(i,j); end end for i=1:3 for j=1:6 modvec(j)=norm(autovec(:,j)); Vecnorm(i,j)=autovec(i,j)/modvec(j); modulovec(i,j)=norm(Vecnorm(i,j)); Anexos 78 78 end end autov=[Val(1,1),Val(2,2),Val(3,3),Val(4,4),Val(5,5),Val(6,6)]'; y0=[0 0 0 10 20 10];%ci t=0:0.001:4; [t,y]=ode45(@funcion1,t,y0); x1=y(:,4)'; x2=y(:,5)'; x3=y(:,6)'; figure (1) plot(t,x1,'r',t,x2,'b',t,x3,'m') xlabel('tiempo (s)') ylabel('Desplazamiento (m)') title('Respuesta en vibración libre del sistema') legend('Desplazamiento de la masa 1','Desplazamiento de la masa 2','Desplazamiento de la masa 3') %ruido z=length(x1); ruido=randn(1,z); amp=max(x1)+10; while amp>0.05*max(x1) amp=max(ruido)-min(ruido); ruido=ruido*0.5; end figure (2) plot(t,x1,'r',t,x2,'b',t,x3,'m',t,ruido,'g') xlabel('tiempo (s)') ylabel('Desplazamiento (m)') title('Respuesta en vibración libre del sistema') legend('Desplazamiento de la masa 1','Desplazamiento de la masa 2','Desplazamiento de la masa 3','Ruido') x11=x1+ruido; x22=x2+ruido; 79 ESTUDIO DEL FUNCIONAMIENTO DE LOS MÉTODOS ITD Y LSCEM PARA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DINÁMICOS Y APLICACIÓN A UNA VIGA EN VOLADIZO x33=x3+ruido; xsum=x11+x22+x33; figure (3) plot(t,x11,'r',t,x22,'b',t,x33,'m') xlabel('tiempo (s)') ylabel('Desplazamiento(m)') title('Respuesta en vibración libre del sistema con ruido') legend('Desplazamiento de la masa 1','Desplazamiento de la masa 2','Desplazamiento de la masa 3') %Metodo ibrahim deltt=50; inc=3; inct=30; %2N for i=1:6 Xs(:,i)=[x11((i+inc)*deltt);x22((i+inc)*deltt);x33((i+inc)*deltt)]; Xts(:,i)=[x11((i+inc)*deltt+inct);x22((i+inc)*deltt+inct);x33((i+inc)*deltt+inct)]; Xtts(:,i)=[x11((i+inc)*deltt+2*inct);x22((i+inc)*deltt+2*inct);x33((i+inc)*deltt+2*inct)]; end Xincrs=[Xs;Xts]; Xdoblincrs=[Xts;Xtts]; Xibs=Xdoblincrs*inv(Xincrs); [Vecibs,Valibexps]=eig(Xibs); Valibs=(1/(inct*0.001))*log(Valibexps); autovibs=[Valibs(1,1),Valibs(2,2),Valibs(3,3),Valibs(4,4),Valibs(5,5),Valibs(6,6)]'; for i=1:3 for j=1:6 autovecibs(i,j)=Vecibs(i,j); end end for i=1:3 Anexos 80 80 for j=1:6 modvecibs(j)=norm(autovecibs(:,j)); Vecnormibs(i,j)=autovecibs(i,j)/modvecibs(j); end end figure (4) plot(t,x11,'r',t,x22,'b',t,x33,'m') xlabel('tiempo (s)') ylabel('Desplazamiento(m)') title('Respuesta en vibración libre del sistema con ruido') legend('Desplazamiento de la masa 1','Desplazamiento de la masa 2','Desplazamiento de la masa 3') for i=1:6 hold on plot (t((i+inc)*deltt),Xs(1,i),'r*',t((i+inc)*deltt),Xs(2,i),'b*',t((i+inc)*deltt),Xs(3,i),'m*') end %todo t for i=1:3940 X(:,i)=[x11(i);x22(i);x33(i)]; Xt(:,i)=[x11(i+inct);x22(i+inct);x33(i+inct)]; Xtt(:,i)=[x11(i+2*inct);x22(i+2*inct);x33(i+2*inct)]; end Xincr=[X;Xt]; Xdoblincr=[Xt;Xtt]; Xib=(Xdoblincr*(Xincr'))*inv(Xincr*(Xincr')); [Vecib,Valibexp]=eig(Xib); Valib=(1/(inct*0.001))*log(Valibexp); autovib=[Valib(1,1),Valib(2,2),Valib(3,3),Valib(4,4),Valib(5,5),Valib(6,6)]'; for i=1:3 for j=1:6 autovecib(i,j)=Vecib(i,j); end 81 ESTUDIO DEL FUNCIONAMIENTO DE LOS MÉTODOS ITD Y LSCEM PARA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DINÁMICOS Y APLICACIÓN A UNA VIGA EN VOLADIZO end for i=1:3 for j=1:6 modvecib(j)=norm(autovecib(:,j)); Vecnormib(i,j)=autovecib(i,j)/modvecib(j); end end Método de LSCEM sin variaciones: clear all; clc; close all; %Método de LSCEM %Sistema 3gdl m1=5; m2=3; m3=7; k1=1000*7; k2=1000*2; k3=1000*1; k4=1000*4; c1=10*2; c2=10*2; c3=10*1; c4=10*2; %%simulacion respuesta M=[m1 0 0;0 m2 0;0 0 m3]; K=[k1+k2 -k2 0;-k2 k2+k3 -k3;0 -k3 k3+k4]; C=[c1+c2 -c2 0;-c2 c2+c3 -c3;0 -c3 c3+c4]; %transformación primer orden A=[zeros(3,3) M; M C]; B=[-M zeros(3,3);zeros(3,3) K]; %calculo autoval y autovec [Vec, Val]=eig(-B,A); Anexos 82 82 autov=[Val(1,1),Val(2,2),Val(3,3),Val(4,4),Val(5,5),Val(6,6)]'; %respuesta del sistema y0=[0 0 0 10 20 10];%ci t=0:0.001:4; [t,y]=ode45(@funcion1,t,y0); x1=y(:,4)'; x2=y(:,5)'; x3=y(:,6)'; %ruido z=length(x1); ruido=randn(1,z); amp=max(x1)+10; while amp>0.05*max(x1) amp=max(ruido)-min(ruido); ruido=ruido*0.5; end figure (2) plot(t,x1,'r',t,x2,'b',t,x3,'m',t,ruido,'g') xlabel('tiempo (s)') ylabel('Desplazamiento (m)') title('Respuesta en vibración libre del sistema') legend('Desplazamiento de la masa 1','Desplazamiento de la masa 2','Desplazamiento de la masa 3','Ruido') x11=x1+ruido; x22=x2+ruido; x33=x3+ruido; xsum=x11+x22+x33; figure (3) plot(t,x11,'r',t,x22,'b',t,x33,'m') xlabel('tiempo (s)') ylabel('Desplazamiento(m)') title('Respuesta en vibración libre del sistema con ruido') legend('Desplazamiento de la masa 1','Desplazamiento de la masa 2','Desplazamiento de la masa 3') 83 ESTUDIO DEL FUNCIONAMIENTO DE LOS MÉTODOS ITD Y LSCEM PARA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DINÁMICOS Y APLICACIÓN A UNA VIGA EN VOLADIZO %Metodo LSCEM inc=35; for nq=0:5 for nt=0:((length(t)-1)/inc)-6; M1(nt+1,nq+1)=x11((nq+nt)*inc+1); M2(nt+1,nq+1)=x22((nq+nt)*inc+1); M3(nt+1,nq+1)=x33((nq+nt)*inc+1); V1(nt+1)=-x11((6+nt)*inc); V2(nt+1)=-x22((6+nt)*inc); V3(nt+1)=-x33((6+nt)*inc); end end M=[M1;M2;M3]; V=[V1';V2';V3']; Beta=M\V; Beta=Beta(6:-1:1); Beta=[1;Beta]; sol=roots(Beta); polos=log(sol)/(inc*0.001); Beta1=M1\V1'; Beta2=M2\V2'; Beta3=M3\V3'; Beta1=Beta1(6:-1:1); Beta2=Beta2(6:-1:1); Beta3=Beta3(6:-1:1); Beta1=[1;Beta1]; Beta2=[1;Beta2]; Beta3=[1;Beta3]; sol1=roots(Beta1); polos1=log(sol1)/(inc*0.001); sol2=roots(Beta2); Anexos 84 84 polos2=log(sol2)/(inc*0.001); sol3=roots(Beta3); polos3=log(sol3)/(inc*0.001); Método de Ibrahim en la viga: clear all; clc; close all; load experimento.txt; acel = experimento; mvol_ms2 = 0.1405; figure(1); hold on; grid on; t1 = (acel(:,1)-acel(1,1))/1000000; for acc = 1:5 aZ(:,acc)=(acel(:,acc+1)-mean(acel(1:200,acc+1)))*mvol_ms2; plot(t1,aZ,'r'); end %interpolacion t=0:0.0016:8; t=t'; for j=1:5 for i=1:length(t) c=1; while t1(c)<t(i) || abs(t1(c)-t(i))<0.0001 c=c+1; end c=c-1; if abs(t1(c)-t(i))<0.0001 az(i,j)=aZ(c,j); 85 ESTUDIO DEL FUNCIONAMIENTO DE LOS MÉTODOS ITD Y LSCEM PARA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DINÁMICOS Y APLICACIÓN A UNA VIGA EN VOLADIZO else az(i,j)=aZ(c,j)+((aZ(c+1,j)-aZ(c,j))*(t(i)-t1(c)))/(t1(c+1)-t1(c)); end end end x1=az(:,1); x2=az(:,2); x3=az(:,3); x4=az(:,4); x5=az(:,5); in=floor(5/0.0016); final=length(x1); x1=x1(in:final); x2=x2(in:final); x3=x3(in:final); x4=x4(in:final); x5=x5(in:final); %Metodo ibrahim inct=1; fin=final-in-2*inct-1; for i=1:fin X(:,i)=[x1(i);x2(i);x3(i);x4(i);x5(i)]; Xt(:,i)=[x1(i+inct);x2(i+inct);x3(i+inct);x4(i+inct);x5(i+inct)]; Xtt(:,i)=[x1(i+2*inct);x2(i+2*inct);x3(i+2*inct);x4(i+2*inct);x5(i+2*inct)]; end Xincr=[X;Xt]; Xdoblincr=[Xt;Xtt]; Xib=(Xdoblincr*(Xincr'))*inv(Xincr*(Xincr'));