Una Introducción a la pretopología

FACULTAD DE MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA Trabajo Fin de Grado: Una Introducción a la Pretopología Autora: Elena Velaure Valera Tutores: Rafael Ayala Gómez José Antonio Vilches Alarcón Índice general English Abstract 1 Introducción 3 1. Introducción a la pretopología 7 1.1. Espacios pretopológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1. Operador pseudoclausura y espacios pretopológicos . . . . . 7 1.1.2. Conjuntos 𝑎-cerrados....................... 10 1.1.3. Conjunto 𝑎-clausura ....................... 13 1.1.4. Conjuntos 𝑎-cerrados minimales y elementales . . . . . . . . 15 1.1.5. Operador pseudointerior, conjuntos 𝑎-abiertos y conjunto 𝑎-apertura............................. 16 1.2. Tipos de espacios pretopológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.2.1. Espacios pretopológicos de tipo ............... 21 1.2.2. Espacios pretopológicos de tipo ............... 26 1.2.3. Espacios pretopológicos de tipo ............... 29 1.2.4. Espacios topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ii ÍNDICE GENERAL 2. Propiedades generales de los espacios pretopológicos 33 2.1. Relaciones entre estructuras pretopológicas . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.1. Aproximación por -espacios.................. 35 2.2. Continuidad ................................ 36 2.3. Subconjuntos y subespacios pretopológicos . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.4. Pseudoclausura inducida por relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3. Propiedades de separación 49 3.1. Axiomas de separación en espacios topológicos . . . . . . . . . . . . 49 3.2. Separación por puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3. Separación superior en -espacios.................... 56 3.4. Separación en los espacios topológicos asociados . . . . . . . . . . . . 64 4. Conexión 67 4.1. Conexión y separación de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.2. 𝑍-conexión ................................ 71 4.3. Conexiónengrafos ............................ 72 4.4. Conexión por caminos en términos de relaciones . . . . . . . . . . . . 78 Bibliografía 81 English Abstract The main goal of this Final Degree Project is the study of pretopological spaces. Being more precise, certain properties of general topology will be presented: separation axioms and the different notions of connectedness in the context of pretopological spaces. Introducción En este trabajo se presentan las propiedades básicas de los espacios pretopológicos, centrándose en dos aspectos fundamentales relacionados entre sí, los axiomas de separación y las distintas nociones de conexión. Aunque los orígenes de la pretopología, rama poco conocida de la topología, se remontan a los trabajos de  𝐶ech [3], su desarrollo y numerosas aplicaciones a los más variados campos científicos (análisis de datos, análisis de imagen, modelos económicos, biología, genética, análisis molecular, etc.), son el resultado de los trabajos de un gran grupo de matemáticos franceses, reunidos bajo el seudónimo de Z. Belmandt. Sus primeros artículos, allá por los años 70, se centran sobre todo, en problemas de economía, más precisamente en el análisis de la influencia mutua de los distintos sectores de la producción. Pero pronto se percataron de que las técnicas y métodos empleados se podían adaptar a otros problemas que compartían con ellos el hecho de partir de un conjunto de elementos entre los que cabía establecer una relación de influencia o dominación de unos sobre otros, pero carentes de una noción de arbitrariamente próximos. De ello surge la idea de aplicar las nuevas técnicas al estudio de las redes complejas, entre los que cabe citar las siguientes cuatro categorías: redes sociales, informáticas, tecnológicas y biológicas [11]. La razón del éxito de esta variante de la topología como herramienta adecuada para tratar problemas, que en última instancia consiste en el análisis de conjuntos discretos, es el hecho de que todos comparten una característica común: se pueden traducir al análisis de la evolución y la dinámica de ciertas redes complejas. En ellas, lo relevante no es la posición de cada elemento en relación a sus vecinos, como ocurre en la Teoría de Grafos, si no más bien el estudio de un proceso evolutivo entre los elementos. 4ÍNDICE GENERAL En todos estos procesos surge la necesidad de comparar la evolución de sus estados a lo largo del tiempo, por lo que es conveniente disponer de una noción de proximidad entre ellos, pero esta noción no está ligada de manera natural a una distancia. El concepto de proximidad es de naturaleza topológica pero ha de ser aplicada a un mundo discreto. Otro de los problemas que surgía de la definición de topología era la dificultad que tenía para ser entendida a simple vista. Consistía en una familia de abiertos, un concepto que no es nada intuitivo y que guarda poca relación con el mundo real. En 1966, el matemático K. Kuratowski, publicaba [10], en donde, por primera vez, se define la noción de topología mediante el concepto de punto próximo a un conjunto. Este nos permite definir la clausura o adherencia de un conjunto en el espacio mediante un proceso de ampliación, que consiste en añadir a un conjunto sus puntos adherentes. Sin embargo, a pesar de ello, la idempotencia de la clausura seguía siendo un obstáculo para poder utilizar la topología para el estudio de un proceso evolutivo como pueden ser, por ejemplo, propagación de enfermedades, de epidemias o fenómenos de difusión. Por este motivo, se dio la necesidad de introducir un nuevo concepto de clausura que pudiera ser usada para un proceso iterativo, en el que el conjunto de partida fuera expandiéndose a lo largo de sucesivas etapas. Surge la idea de crear espacios que siguieran manteniendo propiedades topológicas pero cuyas clausuras no verificaran todos los axiomas de Kuratowski, si no que tan solo se les pidieran el axioma de extensión (𝐾2). Fue así como surgió la Pretopología, una rama de la matemática que estudiaba un nuevo tipo de espacios, los espacios pretopológicos. El primero en definir espacios de este tipo fue E.  𝐶ech en [3], introduciendo el concepto de espacios de clausuras, que verificaban además la monotonía (𝐾1) y la aditividad (𝐾3). El objetivo principal de este Trabajo de Fin de Grado es presentar ciertas propiedades esenciales de la topología general como son los axiomas de separación, 𝑇𝑖, y las diferentes versiones del concepto de conexión en el contexto de los espacios pretopológicos. En el Capítulo 1 se introducen las nociones básicas de pretopología y los distintos tipos de espacios pretopológicos. En este estudio juega un papel clave el operador pseudoclausura al que inicialmente solo se le exige el axioma de extensión. A medida que se dota a este operador de propiedades adicionales se van obteniendo los distintos tipos de espacios pretopológicos, hasta llegar al concepto de espacios topológicos. Introducción 5 En el Capítulo 2 se tratan operaciones habituales en topología como son la restricción y comparación, la noción de transformación continua y se estudia con detalle un tipo concreto de pseudoclausura inducida por relaciones binarias. El Capítulo 3 está dedicado a presentar las distintas nociones de separación en el contexto de la pretopología. Es interesante destacar que esta adaptación no es inmediata, ya que la existencia de un operador pseudoclausura y una noción de cierre, da lugar a nuevas situaciones que no existían en el caso topológico. Finalmente, el Capítulo 4 se centra en el estudio de la conexión en espacios pretopológicos. Esta noción se presentan desde dos puntas de vista. Por un lado, la que viene dada por el operador pseudoclausura, siguiendo la idea de  𝐶ech para espacios de clausura, que se apoya en los axiomas de separación superior. Por otra parte, se consideran diversos tipos de conexión ligados a los distintos tipos de conexión de digrafos. 12 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA PRETOPOLOGÍA Ejemplo 1.1.6 Sea (𝐸, 𝑎∗)el espacio pretopológico donde 𝐸es el conjunto de vértices del siguiente grafo no dirigido: 3 1 4 2 5 6 78 10 9 Sea 𝐴= {1,2,3,4},𝐵= {5,6,7,8} y𝐶= {9,10}, con 𝐸=𝐴∪𝐵∪𝐶. Veamos cuáles son los 𝑎∗- cerrados de (𝐸, 𝑎∗): 𝑎2 ∗({𝑥}) = 𝐴, para todo 𝑥∈𝐴 𝑎2 ∗({5}) = 𝑎2 ∗({7}) = 𝐵,𝑎3 ∗({6}) = 𝑎3 ∗({8}) = 𝐵 𝑎∗({9}) = 𝑎∗({10}) = 𝐶 𝑎∗({1,2}) = 𝑎∗({1,3}) = 𝑎∗({1,4}) = 𝑎∗({2,3}) = 𝑎∗({2,4}) = 𝑎∗({3,4}) = 𝐴 𝑎2 ∗({5,6}) = 𝑎∗({5,7}) = 𝑎∗({5,8}) = 𝑎∗({6,7}) = 𝑎∗({6,8}) = 𝑎2 ∗({7,8}) = 𝐵 𝑎0 ∗({9,10}) = {9,10} = 𝐶 𝑎2 ∗({1,5}) = 𝐴∪𝐵,𝑎3 ∗({1,6}) = 𝐴∪𝐵,𝑎2 ∗({1,9}) = 𝐴∪𝐶 𝑎2 ∗({1,5,9}) = 𝐴∪𝐵∪𝐶=𝐸 Este ejemplo nos lleva a ver el siguiente resultado acerca de los 𝑎-cerrados de un grafo no dirigido. Proposición 1.1.1 Sea (𝐸, 𝑎∗)un espacio pretopológico donde 𝐸es el conjunto de vértices de un grafo no dirigido y 𝑎∗la aplicación que a cada vértice le asigna él mismo y los vértices adyacentes a él. Se tiene que los conjuntos 𝑎∗-cerrados de (𝐸, 𝑎∗) son las uniones de los conjuntos de vértices de las componentes conexas del grafo. Demostración Sin pérdida de generalidad nos vamos a restringir al caso de una sola componente conexa. Tenemos que probar por tanto que un conjunto 𝐴⊆𝐸es 𝑎∗- cerrado si y solo si es una componente conexa. Si 𝐴es una componente conexa, todos sus puntos están conectados entre sí, por lo que para cada 𝑥∈𝐴,𝐴 ⊆ 𝑎∗(𝑥). Además, como ningún 𝑦∈𝐸−𝐴es adyacente a algún elemento de 𝐴, entonces 𝑎∗(𝐴) = 𝐴. Recíprocamente, si 𝐴es un 𝑎∗-cerrado, entonces 𝑎∗(𝐴) = 𝐴, por lo que ningún elemento de 𝐴es adyacente a algún elemento de 𝐸−𝐴, así que 𝐴y𝐸−𝐴son componentes conexas distintas. 1.1. ESPACIOS PRETOPOLÓGICOS 13 Observación 1.1.4 Si en vez de considerar 𝐺un grado no dirigido, lo consideramos dirigido, la proposición anterior no es cierta en general. Ejemplo 1.1.7 Volviendo al Ejemplo 1.1.4, tenemos el siguiente grafo dirigido: 3 1 4 2 5 6 78 Vemos a continuación cómo los 𝑎∗- cerrados de (𝐸, 𝑎∗), no corresponden con la única componente conexa del grafo no dirigido, 𝐸. 𝑎5 ∗({1}) = {1,2,4,5,6,7,8} = 𝑎𝑘 ∗({1}),∀𝑘≥5 𝑎4 ∗({2}) = {2,4,5,6,7,8} = 𝑎𝑘 ∗({2}),∀𝑘≥4 𝑎4 ∗({3}) = 𝐸=𝑎𝑘 ∗({3}),∀𝑘≥4 𝑎3 ∗({4}) = {4,5,6,7,8} = 𝑎𝑘 ∗({4}),∀𝑘≥3 𝑎2 ∗({5}) = {5,6,7,8} = 𝑎𝑘 ∗({5}),∀𝑘≥2 𝑎3 ∗({6}) = {5,6,7,8} = 𝑎𝑘 ∗({6}),∀𝑘≥3 𝑎∗({7}) = {7,8} = 𝑎𝑘 ∗({7}),∀𝑘≥1 𝑎0 ∗({8}) = {8} = 𝑎𝑘 ∗({8}),∀𝑘≥0 Este es el conjunto de todos los 𝑎∗- cerrados de (𝐸, 𝑎∗): {∅, 𝐸, {1,2,4,5,6,7,8},{2,4,5,6,7,8},{4,5,6,7,8},{5,6,7,8},{7,8},{8}} 1.1.3 Conjunto 𝑎-clausura A continuación vamos a introducir el concepto de 𝑎-clausura. Este concepto es análogo al concepto de clausura en espacios topológicos, ya que, como veremos, guardan mucha más relación que con el operador pseudoclausura. Sin embargo, en espacios pretopológicos no podemos asegurar siempre la existencia de la 𝑎-clausura de un cierto conjunto. El siguiente teorema nos va a dar una condición necesaria y suficiente para su existencia. Teorema 1.1.2 Sea (𝐸, 𝑎)un espacio pretopológico. Para todo 𝐴⊆𝐸existe un único 𝑎-cerrado, denotado por (𝐴), que contenga a 𝐴y que esté contenido en cada conjunto 𝑎-cerrado de 𝐴si y solo si la intersección de cualquier familia de 𝑎-cerrados en 𝐸es también 𝑎-cerrado en 𝐸. 14 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA PRETOPOLOGÍA Demostración Supongamos que existe el menor 𝑎-cerrado conteniendo a 𝐴y sea 𝛿 una familia de conjuntos 𝑎-cerrados en E. Denotamos por 𝐻a la intersección de todos los conjuntos de 𝛿y debemos probar que 𝐻es un conjunto 𝑎-cerrado. Para ello consideremos (𝐻), el menor 𝑎-cerrado conteniendo a 𝐻. Entonces, por definición 𝐻 ⊆ ()y además, como cada 𝑋de 𝛿es 𝑎-cerrado y contiene a 𝐻, resulta que (𝐻)⊆ 𝑋 para cada 𝑋de 𝛿. En consecuencia, (𝐻)está contenido en la intersección de los conjuntos de 𝛿, que es 𝐻. Así, como tenemos 𝐻 ⊆ (𝐻)y(𝐻)⊆ 𝐻,𝐻=()y por lo tanto, por definición de (𝐻)es un conjunto 𝑎-cerrado. Recíprocamente, asumimos que la intersección de cualquier familia de 𝑎-cerrados en E es también un 𝑎-cerrado. Sea 𝐴⊆𝐸y𝛿𝐴la familia de todos los conjuntos 𝑎-cerrados en 𝐸que contienen a 𝐴. Como 𝐴 ⊆ 𝐸 y𝐸es un conjunto 𝑎-cerrado, 𝛿𝐴es un conjunto no vacío. Entonces, si definimos (𝐴)como la intersección de todos los conjuntos de 𝛿𝐴resulta por que (𝐴)es un conjunto 𝑎-cerrado tal que 𝐴 ⊆ (𝐴)y, por definición, (𝐴)está contenido en cada conjunto 𝑎-cerrado que contiene a 𝐴. Además esta construcción nos da la unicidad de (𝐴). Definición 1.1.7 Sea (𝐸, 𝑎)un espacio pretopológico. Se dice que la 𝑎-clausura, o 𝑎-cierre, de 𝐴⊆𝐸es, si existe, el menor subconjunto 𝑎-cerrado conteniendo a 𝐴y se denota por (𝐴). Ejemplo 1.1.8 En el Ejemplo 1.1.2, observando el comportamiento de la pseudoclausura 𝑎∗vemos que para cada 𝐴⊆𝐸, existe un 𝑘∈ℕtal que 𝑎𝑘 ∗(𝐴) = 𝐸. Como 𝐸es el menor 𝑎∗- cerrado que contiene a 𝐴⊆𝐸no vacío, entonces (𝐴) = 𝐸y(∅) = ∅. Sin embargo, si observamos ahora el Ejemplo 1.1.7, se tenía que el conjunto de todos los 𝑎∗- cerrados de (𝐸, 𝑎∗)era: {∅, 𝐸, {1,2,4,5,6,7,8},{2,4,5,6,7,8},{4,5,6,7,8},{5,6,7,8},{7,8},{8}} Si tomamos por ejemplo 𝐴= {6},𝐴está contenido en varios 𝑎∗- cerrados. Sin embargo, el menor de ellos es el 𝑎∗- cerrado {5,6,7,8}, por ello ({6}) = {5,6,7,8}. En consecuencia, se tiene que: ({1}) = 𝑎5 ∗({1}) = {1,2,4,5,6,7,8},({2}) = 𝑎4 ∗({2}) = {2,4,5,6,7,8} ({3}) = 𝑎4 ∗({3}) = 𝐸,({4}) = 𝑎3 ∗({4}) = {4,5,6,7,8} ({5}) = 𝑎2 ∗({5}) = {5,6,7,8},({6}) = 𝑎3 ∗({6}) = {5,6,7,8} ({7}) = 𝑎∗({7}) = {7,8},({8}) = 𝑎0 ∗({8}) = {8} 1.1. ESPACIOS PRETOPOLÓGICOS 15 Observación 1.1.5 Todo 𝐴⊆𝐸está contenido en algún 𝑎-cerrado, ya que de hecho 𝐸 es un 𝑎-cerrado, sin embargo sin la condición del Teorema 2.2 no podemos garantizar que exista el menor 𝑎-cerrado, ya que no podremos distinguir cuál es el minimal. Ejemplo 1.1.9 Volviendo al Ejemplo 1.1.5, en el que 𝐸= {𝑥∈ℕ∶ 1 ≤𝑥≤100} y 𝑎(𝐴) = 𝐴∪ #𝐴si 𝐴⊆𝐸es no vacío y 𝑎(∅) = ∅, donde #𝐴es el cardinal de 𝐴. Si consideramos 𝐴= {3,5},𝐵= {3,4,5} y𝐶= {2,3,5}, entonces como 𝐵y𝐶son 𝑎-cerrados tales que 𝐵∩𝐶=𝐴no es un 𝑎cerrado, por el Teorema 1.1.2 se tiene que no existe la 𝑎clausura para todo subconjunto de 𝐸. Si nos preguntamos por los 𝑎-cerrados que contienen a 𝐴, vemos que sería cualquier conjunto de la forma {3,5, 𝑥}con 𝑥∈𝐸o de la forma {3,4,5, 𝑥}con 𝑥∈𝐸o {3,5, 𝑥, 𝑦, 𝑧}con 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈𝐸, y podríamos seguir hasta llegar a 𝐸. Si nos preguntamos ahora por el menor de todos ellos, serían los 𝑎cerrados de la forma {3,5, 𝑥}con 𝑥∈𝐸y obviamente no es único, por lo que no existe (). Proposición 1.1.2 Sea (𝐸, 𝑎)un espacio pretopológico, 𝐴⊆𝐸es un 𝑎-cerrado si y solo si (𝐴) = 𝐴. Demostración Si 𝐴es un 𝑎-cerrado entonces el menor 𝑎-cerrado que contiene a 𝐴 es él mismo, es decir, (𝐴) = 𝐴. Recíprocamente, si (𝐴) = 𝐴entonces 𝐴es un 𝑎-cerrado, por definición de 𝑎-clausura. 1.1.4 Conjuntos 𝑎-cerrados minimales y elementales En esta sección se definen dos tipos de conjuntos 𝑎-cerrados que nos serán de gran interés. Definición 1.1.8 Sea (𝐸, 𝑎)un espacio pretopológico y 𝐴 ⊆ 𝐸 un 𝑎-cerrado. Se dice que 𝐴es minimal si el único subconjunto 𝑎-cerrado no vacío contenido en 𝐴es el propio 𝐴. Al conjunto de 𝑎-cerrados minimales de 𝐸se le denota por 𝑚(𝐸, 𝑎)o𝑚. Definición 1.1.9 Sea (𝐸, 𝑎)un espacio pretopológico donde está definida la 𝑎clausura de cada subconjunto de 𝐸. Un 𝑎-cerrado 𝐴⊆𝐸se dice que es elemental si 𝐴es la 𝑎-clausura de un conjunto unitario 𝑧∈𝐸,𝐴=(𝑧), y se denota por 𝑧. Al conjunto de 𝑎-cerrados elementales de 𝐸se le denota por 𝑒𝑙(𝐸, 𝑎)o𝑒𝑙 y se tiene que 𝑒𝑙 = {𝑧, 𝑧 ∈𝐸}. 16 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA PRETOPOLOGÍA Ejemplo 1.1.10 Sea 𝐸= {1,2,3,4} y𝑎la pseudoclausura definida por la siguiente tabla: 𝐴 𝑎(𝐴) ∅ ∅ {1} {1} {2} {1,2} {3} {3,4} {4} {1,2,4} {1,2} {1,2} {1,3} {1,3,4} {1,4} {1,2,4} 𝐴 𝑎(𝐴) {2,3} 𝐸 {2,4} {1,2,4} {3,4} 𝐸 {1,2,3} 𝐸 {1,2,4} {1,2,4} {1,3,4} 𝐸 {2,3,4} 𝐸 𝐸 𝐸 Se tiene que 𝑒𝑙 = {𝑧, 𝑧 ∈𝐸} = {{1},{1,2},{1,2,4}, 𝐸}y𝑚= {{1}}. Proposición 1.1.3 Todo conjunto 𝑎-cerrado minimal, también es un 𝑎-cerrado elemental. Demostración Si 𝐴⊆𝐸es un conjunto 𝑎-cerrado minimal y 𝑧∈𝐴, entonces {𝑧}⊆ 𝐴y por tanto, ({𝑧}) ⊆(𝐴). Sin embargo, como 𝐴es el 𝑎-cerrado minimal, se tiene que ({𝑧}) = 𝐴, por lo que es también un 𝑎-cerrado elemental. Observación 1.1.6 La implicación contraria no es cierta en general, como pudimos ver en el Ejemplo 1.1.10. 1.1.5 Operador pseudointerior, conjuntos 𝑎-abiertos y conjunto 𝑎-apertura Al igual que en topología, existe un análogo al concepto de interior, el operador pseudointerior. Definición 1.1.10 Sea 𝐸un conjunto no vacío, se define el operador pseudointerior como la aplicación 𝑖∶𝑃(𝐸)←→ 𝑃(𝐸)tal que: 1) 𝑖(𝐸) = 𝐸 2) 𝑖(𝐴)⊆ 𝐴, para todo 𝐴⊆𝐸 En topología existe una dualidad entre el interior de un conjunto y su clausura, sin embargo, en un espacio pretopológico es posible definir un operador pseudointerior independiente de la pseudoclausura. Esto es algo poco habitual y en tal caso, se deja claro cómo está definido el pseudointerior. 1.1. ESPACIOS PRETOPOLÓGICOS 17 Un ejemplo sencillo donde existe independencia entre 𝑖y𝑎es el siguiente. Ejemplo 1.1.11 Sea (𝐸, 𝑎∗)un espacio pretopológico con 𝐸el conjunto de vértices de un grafo no dirigido. Definimos el operador 𝑖(𝐴) = {m ın{𝑥∶𝑥∈𝐴}} para 𝐴 ⊂ 𝐸 e𝑖(𝐸) = 𝐸. Dado que 𝑖(𝐸) = 𝐸y además 𝑖(𝐴)⊆ 𝐴 para todo 𝐴⊆𝐸, se tiene entonces que 𝑖 actúa como un operador pseudointerior. Sin embargo, tal como lo hemos definido no guarda ninguna relación con la pseudoclausura 𝑎. En tal caso, denotamos al espacio pretopológico como (𝐸, 𝑎∗, 𝑖). Sin embargo, es habitual tomar 𝑖asociado a la pseudoclausura 𝑎mediante dualidad. Por lo que, el operador pseudointerior cumplirá además la siguiente condición: 𝑖(𝐴) = 𝑎(𝐴𝑐)𝑐=𝐸−𝑎(𝐸−𝐴), para todo 𝐴⊆𝐸. Por la dualidad de entre ambos operadores, es usual omitir 𝑖y denotar simplemente al espacio pretopológico por (𝐸, 𝑎). A partir de ahora vamos a considerar que 𝑎e𝑖son duales, salvo que se indique lo contrario. Ejemplo 1.1.12 Sea (𝐸, 𝑎∗)el espacio pretopológico con 𝐸el conjunto de vértices del siguiente grafo no dirigido. 3 1 4 2 5 6 78 9 El pseudointerior asociado a 𝑎∗vendría dado por 𝑖∗(𝐴) = 𝐸−𝑎∗(𝐸−𝐴). Veamos el comportamiento de 𝑖∗: 𝑖∗({𝑥}) = 𝐸−𝑎∗(𝐸− {𝑥}) = 𝐸−𝐸= ∅, para todo 𝑥∈𝐸− {9} 𝑖∗({9}) = 𝐸−𝑎∗(𝐸− {9}) = 𝐸− (𝐸− {9}) = {9} 𝑖∗({𝐸− {8}}) = 𝐸−𝑎∗({8}) = 𝐸− {7,8} = {1,2,3,4,5,6} 𝑖2 ∗({𝐸− {8}}) = 𝑖∗({1,2,3,4,5,6}) = 𝐸−𝑎∗({7,8}) = 𝐸− {5,7,8} = {1,2,3,4,6} 𝑖3 ∗({𝐸− {8}}) = 𝑖∗({1,2,3,4,6}) = 𝐸−𝑎∗({5,7,8}) = 𝐸− {4,5,6,7,8} = {1,2,3} 𝑖4 ∗({𝐸− {8}}) = 𝑖∗({1,2,3}) = 𝐸−𝑎∗({4,5,6,7,8}) = 𝐸− {2,3,4,5,6,7,8} = {1} 𝑖4 ∗({𝐸− {8}}) = 𝑖∗({1}) = 𝐸−𝑎∗(𝐸− {1}) = 𝐸−𝐸= ∅ 18 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA PRETOPOLOGÍA Al igual que la reiteración de la pseudoclausura genera una ampliación conjuntista, podemos ver que la reiteración del operador pseudointerior hace que vaya disminuyendo el conjunto de partida, como ocurre en el ejemplo anterior. Este proceso cesa en un determinado momento, de ahí que se introduzca la siguiente definición. Definición 1.1.11 Sea (𝐸, 𝑎)un espacio pretopológico. Un conjunto 𝐴⊆𝐸se dice 𝑎-abierto si 𝐴=𝑖(𝐴). Los conjuntos ∅y𝐸son conjuntos 𝑎-cerrados. Proposición 1.1.4 Sea (𝐸, 𝑎)un espacio pretopológico, entonces 𝐴⊆𝐸es 𝑎abierto si y solo si su complementario 𝐴𝑐=𝐸−𝐴es 𝑎-cerrado. Demostración Sea 𝐴⊆𝐸, se tiene que: 𝐴es 𝑎-abierto ⇐⇒ 𝐴=𝑖(𝐴) = 𝐸−𝑎(𝐸−𝐴) ⇐⇒ 𝐸−𝐴=𝑎(𝐸−𝐴) ⇐⇒ 𝐸−𝐴es 𝑎-cerrado. Ejemplo 1.1.13 Sea (𝐸, 𝑎∗)el espacio pretopológico dado por el siguiente grafo no dirigido, con 𝐴= {1,2,3,4},𝐵= {5,6,7,8},𝐶= {9,10} y𝐸=𝐴∪𝐵∪𝐶. 3 1 4 2 5 6 78 10 9 Veamos cuáles son los 𝑎∗- abiertos de (𝐸, 𝑎∗): 𝑖∗(𝐴) = 𝐸−𝑎∗(𝐸−𝐴) = 𝐸− (𝐵∪𝐶) = 𝐸− (𝐵∪𝐶) = 𝐴 𝑖∗(𝐵) = 𝐸−𝑎∗(𝐸−𝐵) = 𝐸− (𝐴∪𝐶) = 𝐸− (𝐴∪𝐶) = 𝐵 𝑖∗(𝐶) = 𝐸−𝑎∗(𝐸−𝐶) = 𝐸− (𝐴∪𝐵) = 𝐸− (𝐴∪𝐵) = 𝐶 𝑖∗(𝐴∪𝐵) = 𝐸−𝑎∗(𝐸− (𝐴∪𝐵)) = 𝐸−𝑎∗(𝐶) = 𝐸−𝐶=𝐴∪𝐵 𝑖∗(𝐴∪𝐶) = 𝐸−𝑎∗(𝐸− (𝐴∪𝐶)) = 𝐸−𝑎∗(𝐵) = 𝐸−𝐵=𝐴∪𝐶 𝑖∗(𝐵∪𝐶) = 𝐸−𝑎∗(𝐸− (𝐵∪𝐶)) = 𝐸−𝑎∗(𝐴) = 𝐸−𝐴=𝐵∪𝐶 Para el resto de subconjuntos de 𝐸, su interior es el vacío, como por ejemplo: 𝑖∗({1,5,9}) = 𝐸−𝑎∗({2,3,4} ∪ {6,7,8} ∪ {10}) = 𝐸− (𝐴∪𝐵∪𝐶)=∅ Por lo que el conjunto de 𝑎∗- abiertos es: {∅, 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐴 ∪𝐵, 𝐴 ∪𝐶, 𝐵 ∪𝐶, 𝐸} 1.1. ESPACIOS PRETOPOLÓGICOS 19 Este ejemplo nos lleva a ver el siguiente resultado acerca de los 𝑎-abiertos de un grafo no dirigido. Proposición 1.1.5 Sea (𝐸, 𝑎∗)un espacio pretopológico donde 𝐸es el conjunto de vértices de un grafo no dirigido y 𝑎∗la aplicación que a cada vértice le asigna él mismo y los vértices adyacentes a él. Al igual que los conjuntos 𝑎∗-cerrados, los conjuntos 𝑎∗-abiertos de (𝐸, 𝑎∗)son las uniones de los conjuntos de vértices de las componentes conexas del grafo. Demostración Dado que 𝐴es 𝑎∗-cerrado si y solo si 𝐸−𝐴es 𝑎∗-abierto, se tiene que los conjuntos 𝑎∗- abiertos de (𝐸, 𝑎∗)se corresponden también a vértices de las uniones de componentes conexas. Observación 1.1.7 Igualmente, si en vez de considerar un grado no dirigido, lo consideramos dirigido, la proposición anterior no es cierta en general. Al igual que hemos definido la 𝑎-clausura de un conjunto, para el pseudointerior existe el siguiente concepto. Definición 1.1.12 Sea (𝐸, 𝑎)un espacio pretopológico y 𝐴⊆𝐸. Se define como la 𝑎-apertura de 𝐴al mayor subconjunto 𝑎-abierto contenido en A, si existe, y se denota por (𝐴). Observación 1.1.8 Tampoco podemos garantizar la existencia de (𝐴)en un espacio pretopológico (𝐸, 𝑎), con 𝐴⊆𝐸. Sin embargo, existe una versión dual al Teorema 1.1.2 que nos asegura la existencia si y solo si la unión de cualquier familia de conjuntos 𝑎-abiertos en 𝐸es un conjunto 𝑎-abierto en 𝐸. Veamos en el siguiente ejemplo cómo existen espacios pretopológicos en los que no existe la 𝑎apertura para todos los subconjuntos. Ejemplo 1.1.14 Volviendo al Ejemplo 1.1.5, en el que 𝐸= {𝑥∈ℕ∶ 1 ≤𝑥≤100} y 𝑎(𝐴) = 𝐴∪ #𝐴si 𝐴⊆𝐸es no vacío y 𝑎(∅) = ∅, donde #𝐴es el cardinal de 𝐴. Si consideramos 𝐴=𝐸− {3,5}, cualquier conjunto de la forma 𝐹𝑥=𝐸− {3,5, 𝑥} con 𝑥∈𝐸es un 𝑎abierto contenido en 𝐴. Además se tiene que no existe ninguno mayor que ellos contenido también en 𝐴. Por tanto, como no existe un único conjunto que sea el mayor 𝑎abierto contenido en 𝐴, no existe la 𝑎apertura de 𝐴,(). A continuación, aparecen algunos espacios pretopológicos que sí garantizan la existencia de la 𝑎apertura para todos los subconjuntos. 20 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA PRETOPOLOGÍA Ejemplo 1.1.15 Sea (𝐸, 𝑎∗, 𝑖)el espacio pretopológico definido en el Ejemplo 1.1.11 con 𝑎∗e𝑖independientes. Como 𝑖es un operador idempotente, entonces 𝑖(𝐴) = {m ın{𝑥∶𝑥∈𝐴}} = (), para todo 𝐴⊆𝐸. Ejemplo 1.1.16 Como pudimos ver en el Ejemplo 1.1.13, se tiene que (𝑋)=∅, para todo 𝑋 ⊆ 𝐸 que no sea unión de componentes conexas. En el caso contrario, (𝑋) = 𝑋, para todo 𝑋 ⊆ 𝐸 que sea unión de componentes conexas. Finalmente, vamos a introducir la definición de familia de 𝑎-entornos de un punto. Definición 1.1.13 Sea (𝐸, 𝑎)un espacio pretopológico y 𝑥∈𝐸, se dice que 𝑁 ⊆ 𝐸es un 𝑎-entorno de 𝑥si 𝑥∈𝑖(𝑁). Denotamos por (𝑥) = {𝑁 ⊆ 𝐸 ∶𝑥∈𝑖(𝑁)} a la familia de 𝑎-entornos de 𝑥∈𝐸. Proposición 1.1.6 Sea (𝐸, 𝑎)un espacio pretopológico. Se tiene que 𝐴⊆𝐸es un 𝑎-abierto si y solo si 𝐴es 𝑎-entorno de cada 𝑥∈𝐴. Demostración Si 𝐴es un 𝑎-abierto, 𝐴=𝑖(𝐴). Lo que implica que ∀𝑥∈𝐴,𝑥∈𝑖(𝐴) y por tanto, 𝐴∈(𝑥). Recíprocamente, si ∀𝑥∈𝐴,𝐴∈(𝑥), entonces 𝑥∈𝑖(𝐴)∀𝑥∈𝐴, por lo que 𝐴⊆𝑖(𝐴). Pero como siempre se tiene que 𝑖(𝐴)⊆ 𝐴, entonces 𝐴=𝑖(𝐴)y por lo tanto, 𝐴es un 𝑎-abierto. Sin embargo, para un espacio pretopológico (𝐸, 𝑎)cualquiera, los 𝑎-entornos no verifican las mismas propiedades que los entornos definidos en un espacio topológico. Por ejemplo, si 𝑈es un 𝑎-entorno de 𝑥∈𝐸y𝑈 ⊆ 𝑉 ⊆ 𝐸, no se tiene que 𝑉sea un 𝑎-entorno de 𝑥. Esto nos lleva a definir distintos tipos de espacios pretopológicos, menos generales que los básicos pero que tienen buenas propiedades para los 𝑎-entornos. Además podremos ver como garantizan la existencia de la 𝑎-clausura y la 𝑎-apertura. 1.2. TIPOS DE ESPACIOS PRETOPOLÓGICOS 21 1.2 Tipos de espacios pretopológicos En la siguiente sección vamos a estudiar una serie de resultados sobre los espacios pretopológicos (𝑃 𝑟𝑒𝑡𝑜𝑝) dependiendo en cada caso, de las distintas propiedades que les impongamos a la pseudoclausura. Para ello vamos a definir tres tipos de espacios pretopológicos: los de tipo (con la pseudoclausura 𝑎isótona), los de tipo (con 𝑎 aditiva) y los de tipo (con 𝑎completamente aditiva). Si estos dos últimos tipos además verifican que la pseudoclausura sea idempotente, veremos más adelante que se tratan de espacios topológicos (𝑇 𝑜𝑝). Por ello al terminar esta sección habremos demostrado las siguientes implicaciones: 𝑇 𝑜𝑝 𝑆𝐷𝑃 𝑟𝑒𝑡𝑜𝑝 1.2.1 Espacios pretopológicos de tipo  Definición 1.2.1 Sea (𝐸, 𝑎)un espacio pretopológico, se dice que es de tipo , o un -espacio, si ∀𝐴, 𝐵 ⊆ 𝐸 con 𝐴⊆𝐵entonces 𝑎(𝐴)⊆ 𝑎(𝐵), es decir, 𝑎es isótona. Proposición 1.2.1 En un -espacio (𝐸, 𝑎)se cumple que ∀𝐴, 𝐵 ⊆ 𝐸 con 𝐴 ⊆ 𝐵 entonces se tiene también que 𝑖(𝐴)⊆ 𝑖(𝐵). Demostración Como 𝑎es isótona, ∀𝐴, 𝐵 ⊆ 𝐸 con 𝐴⊆𝐵se tiene que 𝑎(𝐴)⊆ 𝑎(𝐵). En consecuencia, se tiene que 𝑎(𝐵𝑐)⊆ 𝑎(𝐴𝑐)y que (𝑎(𝐴𝑐))𝑐⊆(𝑎(𝐵𝑐))𝑐y como 𝑎e𝑖 son duales, esto implica que 𝑖(𝐴)⊆ 𝑖(𝐵). El siguiente ejemplo muestra cómo un espacio pretopológico puede no ser un - espacio. Ejemplo 1.2.1 Volviendo al Ejemplo 1.1.5, con 𝐸= {𝑥∈ℕ∶ 1 ≤𝑥≤100} y con 𝑎(𝐴) = 𝐴∪ {#𝐴}si 𝐴≠∅, donde #𝐴es el cardinal de 𝐴⊆𝐸, y 𝑎(∅) = ∅. En este caso, (𝐸, 𝑎)no es un -espacio ya que 𝑎no es isótona: Se tiene que {3,4} ⊂{3,4,5} pero sin embargo, 𝑎({3,4}) = {2,3,4} ⊈ 𝑎({3,4,5}) = {3,4,5}. En primer lugar, veamos algunas propiedades de los 𝑎-abiertos y 𝑎-cerrados que nos van a garantizar la existencia de la 𝑎-clausura y la 𝑎-apertura para los -espacios. 28 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA PRETOPOLOGÍA Proposición 1.2.11 Sea (𝐸, 𝑎)un -espacio se tiene: i) Si 𝐴y𝐵son 𝑎-cerrados, 𝐴∪𝐵también lo es. ii) Si 𝐴𝑖es un 𝑎-cerrado para todo 𝑖∈𝐼, entonces ⋂𝑖∈𝐼𝐴𝑖también lo es. iii) Para todo 𝐴, 𝐵 ⊆ 𝐸, se tiene que (𝐴∪𝐵) = (𝐴) ∪ (𝐵). Demostración i) Al ser 𝐴y𝐵 𝑎-cerrados, 𝑎(𝐴) = 𝐴y𝑎(𝐵) = 𝐵, por lo que 𝐴∪𝐵= 𝑎(𝐴) ∪ 𝑎(𝐵) = 𝑎(𝐴∪𝐵)y en consecuencia, 𝐴∪𝐵es un 𝑎-cerrado. ii) Dado que 𝑎(𝐴𝑖) = 𝐴𝑖∀𝑖∈𝐼, se tiene que ⋂𝑖∈𝐼𝑎(𝐴𝑖) = ⋂𝑖∈𝐼𝐴𝑖⊆ 𝑎(⋂𝑖∈𝐼𝐴𝑖). Por un lado, como ⋂𝑖∈𝐼𝐴𝑖⊆ 𝐴𝑖∀𝑖∈𝐼, al ser 𝑎isótona, 𝑎(⋂𝑖∈𝐼𝐴𝑖)⊆ 𝑎(𝐴𝑖) ∀𝑖∈𝐼 y en consecuencia, 𝑎(⋂𝑖∈𝐼𝐴𝑖)⊆⋂𝑖∈𝐼𝑎(𝐴𝑖). Al haber probado que 𝑎(⋂𝑖∈𝐼𝐴𝑖) = ⋂𝑖∈𝐼𝐴𝑖hemos demostrado que ⋂𝑖∈𝐼𝐴𝑖es un 𝑎-cerrado. iii) Dado que 𝐴, 𝐵 ⊆ 𝐴 ∪𝐵, para -espacios ya demostramos que, entonces (𝐴),(𝐵)⊆(𝐴∪𝐵)y por tanto (𝐴) ∪ (𝐵)⊆(𝐴∪𝐵). Recíprocamente, como (𝐴)y(𝐵)son 𝑎-cerrados, (𝐴) ∪ (𝐵)también lo es. Por tanto, (𝐴) ∪ (𝐵)es un 𝑎-cerrado que contiene a 𝐴∪𝐵, lo que implica que (𝐴∪𝐵)⊆(𝐴) ∪ (𝐵). Proposición 1.2.12 Sea (𝐸, 𝑎)un -espacio se tiene: i) Si 𝐴y𝐵son 𝑎-abiertos, 𝐴∩𝐵también lo es. ii) Si 𝐴𝑖es un 𝑎-abierto para todo 𝑖∈𝐼, entonces ⋃𝑖∈𝐼𝐴𝑖también lo es. iii) Para todo 𝐴, 𝐵 ⊆ 𝐸, se tiene que (𝐴∩𝐵) = (𝐴) ∩ (𝐵) Demostración Análoga a la demostración anterior, por dualidad entre 𝑎e𝑖. Dado que se verifica (i) y (ii) y además ∅y𝐸son 𝑎-abiertos, podemos definir la topología asociada a una pseudoclausura sobre el conjunto 𝐸. Definición 1.2.5 Sea (𝐸, 𝑎)un 𝐷-espacio, definimos la topología asociada a 𝑎 sobre 𝐸como 𝑎= {𝐴 ⊆ 𝐸 ∶𝑖(𝐴) = 𝐴}. Se dirá que (𝐸, 𝑎)es el espacio topológico asociado a (𝐸, 𝑎). Observación 1.2.4 Si nos preguntamos por la clausura topológica del espacio (𝐸, 𝑎), podríamos pensar que se trata de la pseudoclausura 𝑎, sin embargo, 𝑎no tiene por qué ser idempotente, por lo tanto, no puede ser la clausura de (𝐸, 𝑎). Es fácil ver que, por definición, la clausura de (𝐸, 𝑎)es realmente la 𝑎-clausura de (𝐸, 𝑎), el operador . 1.2. TIPOS DE ESPACIOS PRETOPOLÓGICOS 29 1.2.3 Espacios pretopológicos de tipo  Definición 1.2.6 Sea (𝐸, 𝑎)un espacio pretopológico, se dice que es de tipo o un -espacio si 𝑎es completamente aditiva, es decir, si se tiene que 𝑎(𝐴) = ⋃ 𝑥∈𝐴 𝑎({𝑥}), para todo 𝐴⊆𝐸. Observación 1.2.5 Podríamos pensar que en consecuencia se tiene que 𝑖(𝐴) = ⋂ 𝑥∈𝐴 𝑖(𝑥). Sin embargo, vamos a demostrar que esto no puede ser cierto. Es fácil ver que el pseudointerior de un elemento 𝑥∈𝐸es él mismo o el vacío. En consecuencia, la intersección del pseudointerior de los elementos de un conjunto, va a ser la intersección de elementos distintos o el vacío. Pero realmente, la intersección de elementos distintos también es el vacío, por lo que ⋂ 𝑥∈𝐴 𝑖(𝑥)=∅ para cada 𝐴⊆𝐸. Como pasaba con los 𝑉-espacios, veremos que los -espacios son una generalización de los -espacios. Proposición 1.2.13 Todo -espacio es un -espacio. Demostración Sea (𝐸, 𝑎)un -espacio, se tiene que 𝑎es completamente aditiva y por tanto es aditiva, lo que implica que (𝐸, 𝑎)es un -espacio. Hasta ahora hemos visto que un espacio pretopológico es de tipo 𝑆si la pseudoclausura es completamente aditiva. Sin embargo, en el siguiente resultado vamos a ver que basta pedirle una condición a la familia de 𝑎-entornos para que sea un 𝑆-espacio. Proposición 1.2.14 Un espacio pretopológico (𝐸, 𝑎)es un -espacio si y solo si para todo 𝑥∈𝐸, se tiene que ⋂𝑁 𝑁∈(𝑥) ∈(𝑥). Demostración En primer lugar, denotamos 𝐺(𝑥) = ⋂𝑁∈(𝑥)𝑁. Por reducción al absurdo, suponemos que 𝑥∉𝑖(𝐺(𝑥)) entonces 𝑥∈𝑖(𝐺(𝑥))𝑐, lo que implica que 𝑥∈𝑎(𝐺(𝑥)𝑐). Por tanto, ∃𝑁∗∈(𝑥)y∃𝑦∈𝑁∗tal que 𝑥∈𝑎({𝑥}) ⊆ 𝑎(𝑁∗). Esto implica que 𝑥∉𝑖(𝑁∗), por lo que hemos llegado a una contradicción. Como entonces 𝑥∈𝑖(𝐺(𝑥)), se tiene que 𝐺(𝑥) ∈ (𝑥). Recíprocamente, basta probar que ∀𝐴 ⊆ 𝐸,𝑎(𝐴) = ⋃𝑥∈𝐴𝑎({𝑥}) . Se tiene que ∀𝑥∈ 𝐴,𝑎({𝑥}) ⊆ 𝑎(𝐴), por lo que ⋃𝑥∈𝐴𝑎({𝑥}) ⊆ 𝑎(𝐴). Consideramos ahora 𝑦∈𝑎(𝐴)y como 𝐺(𝑦) ∩ 𝐴≠∅, entonces ∃𝑥∈𝐺(𝑦) ∩ 𝐴. Así que ∃𝑥∈𝐴tal que 𝑥∈𝑁para todo 𝑁∈(𝑥). Obtenemos por tanto que 𝑦∈𝑎({𝑥}) ⊆⋃𝑥∈𝐴𝑎({𝑥}) ∀𝑥∈𝐴y esto implica que 𝑎(𝐴)⊆⋃𝑥∈𝐴𝑎({𝑥}). 30 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA PRETOPOLOGÍA Observación 1.2.6 Se tiene que el espacio pretopológico (𝐸, 𝑎)es un -espacio si para cada 𝑥∈𝐸la familia de 𝑎-entornos (𝑥)es un prefiltro generado por una base (𝑥)reducida a un solo elemento. Proposición 1.2.15 Sea (𝐸, 𝑎)un -espacio, entonces 𝐴⊆𝐸es un 𝑎-cerrado si y solo si para todo 𝑥∈𝐴, se tiene que 𝑎({𝑥}) ⊆ 𝐴. Demostración Por definición, se tiene que ∀𝐴⊆𝐸,𝑎(𝐴) = ⋃ 𝑥∈𝐴 𝑎({𝑥}). En consecuencia, 𝐴es 𝑎-cerrado si y solo si 𝐴=𝑎(𝐴) = ⋃ 𝑥∈𝐴 𝑎({𝑥}), es decir, si 𝑎({𝑥}) ⊆ 𝐴 ∀𝑥∈𝐴. Observación 1.2.7 Es obvio que cualquier espacio pretopológico (𝐸, 𝑎), con 𝐸el conjunto de vértices de un grafo y 𝑎=𝑎∗, la pseudoclausura ya definida para los grafos, es un 𝑆-espacio, por la propia definición. Otro ejemplo de 𝑆-espacio es el siguiente. Ejemplo 1.2.5 Sea (𝐸, 𝑎)un espacio pretopológico con 𝐸=ℤ2. Definimos para cada par (𝑥, 𝑦) ∈ ℤ2la base que genera la familia de los 𝑎-entornos de (𝑥, 𝑦)como 𝐵(𝑥, 𝑦) = {(𝑥, 𝑦),(𝑥− 1, 𝑦),(𝑥+ 1, 𝑦),(𝑥, 𝑦 − 1),(𝑥, 𝑦 + 1)} y definimos la pseudoclausura como 𝑎(𝐴) = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℤ2∶𝐵(𝑥, 𝑦) ∩ 𝐴≠∅}, para cada 𝐴⊆𝐸. ∈𝐴 ∈𝑎(𝐴) Como podemos ver en el diagrama, se tiene que 𝑎(𝐴) = ⋃ 𝑥∈𝐴 𝑎({𝑥}) para todo 𝐴⊆𝐸. Por lo que (𝐸, 𝑎)es un 𝑆-espacio. 1.2. TIPOS DE ESPACIOS PRETOPOLÓGICOS 31 1.2.4 Espacios topológicos Finalmente, el último tipo de espacios pretopológicos son los espacios topológicos. Definición 1.2.7 Dado un conjunto 𝐸no vacío, una topología sobre 𝐸es una familia ⊆(𝐸)que verifica: ∙ ∅, 𝐸 ∈ ∙Si 𝐴1,…, 𝐴𝑛∈, entonces 𝑛 ⋂ 𝑖=1 𝐴𝑖∈ ∙Si {𝐴𝑖}𝑖∈𝐼está formada por conjuntos en , entonces ⋃ 𝑖∈𝐼 𝐴𝑖∈ Al par (𝐸, )se le llama espacio topológico. Proposición 1.2.16 Sea (𝐸, 𝑎)un espacio pretopológico, se dice que es un espacio topológico si y solo si es un -espacio y para todo 𝐴⊆𝐸,𝑎(𝐴) = 𝑎2(𝐴), es decir, si la pseudoclausura 𝑎es aditiva e idempotente. Demostración En primer lugar, suponemos que (𝐸, 𝑎)es un espacio topológico, lo que implica que 𝑎(𝐴) = (𝐴). Entonces, 𝑎2(𝐴) = 𝑎((𝐴)) = (𝐴) = 𝑎(𝐴). Recíprocamente, si 𝑎2(𝐴) = 𝑎(𝐴), entonces 𝑎(𝐴)es un 𝑎-cerrado conteniendo a 𝐴 y a (𝐴), por la definición de 𝑎-clausura. Sin embargo, como 𝑎(𝐴)⊆(𝐴), se tiene que 𝑎(𝐴) = (𝐴), lo que implica que (𝐸, 𝑎)es un espacio topológico. Observación 1.2.8 Dado un (𝐸, 𝑎)espacio pretopológico cuya pseudoclausura es aditiva e idempotente, es decir, dado un espacio topológico, podemos hallar la familia de 𝑎-abiertos de 𝐸. Esta familia corresponde a una topología sobre 𝐸y la denotaremos por 𝑎. De este modo, podemos expresar el espacio topológico como (𝐸, 𝑎). 2 Propiedades generales de los espacios pretopológicos 2.1 Relaciones entre estructuras pretopológicas En esta sección, denotamos por (𝐸)al conjunto de los espacios pretopológicos definidos en el conjunto 𝐸. Vamos a definir relaciones comparativas entre estructuras pretopológicas. Definición 2.1.1 Sean (𝐸, 𝑎)y(𝐸, 𝑎∗)dos espacios pretopológicos. Se dice que (𝐸, 𝑎∗)es más fino que (𝐸, 𝑎)si para todo 𝐴 ⊆ 𝐸 se tiene que 𝐴 ⊆ 𝑎∗(𝐴)⊆ 𝑎(𝐴), o equivalentemente, 𝑖(𝐴)⊆ 𝑖∗(𝐴)⊆ 𝐴. A su vez, se dice que la estructura pretopológica (𝑎∗, 𝑖∗)es más fina que (𝑎, 𝑖). Observación 2.1.1 Si la estructura pretopológica (𝑎∗, 𝑖∗)es más fina que (𝑎, 𝑖), se dice que (𝑎, 𝑖)es menos fina o que es más gruesa que (𝑎∗, 𝑖∗). Ejemplo 2.1.1 Supongamos que se tiene que 𝑎(𝐴) = 𝐸, para todo 𝐴⊆𝐸. Esta es la topología menos fina en (𝐸), que es la topología indiscreta, o la trivial, y que verifica que (𝑥) = 𝐸, para todo 𝑥∈𝐸. Ejemplo 2.1.2 Si suponemos ahora que 𝑎(𝐴) = 𝐴, para todo 𝐴 ⊆ 𝐸, se tiene que ésta es la topología más fina en (𝐸), que es la topología discreta y que verifica que (𝑥)={𝐴⊆𝐸∶𝑥∈𝐴}, para todo 𝑥∈𝐸. Sea 𝐽= {(𝐸, 𝑎𝑗) ∶ 𝑗∈𝐽}una familia de espacios pretopológicos. Denotamos por 𝐽la familia de espacios pretopológicos menos finos que cualquier espacio de 𝐽. Esta familia no es vacía ya que pertenece a ella la topología indiscreta. En 𝐽 podemos encontrar un espacio pretopológico que sea el más fino que el resto. 34 CAPÍTULO 2. PROPIEDADES GENERALES DE LOS ESPACIOS PRETOPOLÓGICOS Consideramos entonces el espacio (𝐸, 𝑎)definido por: 𝑎(𝐴) = ⋃ 𝑗∈𝐽 𝑎𝑗(𝐴), o por, 𝑖(𝐴) = ⋂ 𝑗∈𝐽 𝑖𝑗(𝐴), para todo 𝐴⊆𝐸. El espacio (𝐸, 𝑎)es el ínfimo en (𝐸)de la familia 𝐽. Denotamos ahora por 𝐽la familia de espacios pretopológicos más finos que cualquier espacio de 𝐽. Esta familia no es vacía ya que pertenece a ella la topología discreta. En 𝐽podemos encontrar un espacio pretopológico que sea el menos fino que el resto. Consideramos entonces el espacio (𝐸, 𝑎)definido por: 𝑎(𝐴) = ⋂ 𝑗∈𝐽 𝑎𝑗(𝐴), o por, 𝑖(𝐴) = ⋃ 𝑗∈𝐽 𝑖𝑗(𝐴), para todo 𝐴⊆𝐸. El espacio (𝐸, 𝑎)es el supremo en (𝐸)de la familia 𝐽. El siguiente diagrama resume lo que sucede en términos de comparación: Topología indiscreta (𝐸, 𝑎) (𝐸, 𝑎𝑖)𝑖∈𝐽 (𝐸, 𝑎)Topología discreta (𝐸, 𝑎𝑗)𝑗∈𝐽 Definición 2.1.2 Sean ydos prefiltros definidos en el conjunto 𝐸. Se dice que es más fino que si ⊆, i.e. si 𝐹∈,∀𝐹∈. Proposición 2.1.1 Sean (𝐸, 𝑎)y(𝐸, 𝑎∗)dos -espacios. Se tiene que 𝑎∗es más fino que 𝑎si y solo si para cada 𝑥∈𝐸, el prefiltro de los 𝑎∗-entornos de 𝑥es más fino que el prefiltro de los 𝑎-entornos de 𝑥. Demostración Para cada 𝑥∈𝐸, sea (𝑥)el 𝑎-entornos de 𝑥y∗(𝑥)el 𝑎∗-entornos de 𝑥. Como 𝑖∗es más fino que 𝑖,∀𝐴 ⊆ 𝐸,𝑖(𝐴)⊆ 𝑖∗(𝐴). Entonces, si 𝑉∈(𝑥), 𝑥∈𝑖(𝑉)y en consecuencia, 𝑥∈𝑖∗(𝑉), por lo que 𝑥∈∗(𝑥). Tenemos así que (𝑥)⊆∗(𝑥), es decir, que ∗(𝑥)es más fino que (𝑥). Recíprocamente, si (𝑥)⊆∗(𝑥)se tiene que 𝑖(𝐴)⊆ 𝑖∗(𝐴),∀𝐴⊆𝐸, por la definición de 𝑖e𝑖∗en los -espacios. 2.1. RELACIONES ENTRE ESTRUCTURAS PRETOPOLÓGICAS 35 Ejemplo 2.1.3 Sea 𝐸=ℤ2. Para cada (𝑥, 𝑦) ∈ ℤ2, consideramos las dos siguientes bases de 𝑎-entornos de (𝑥, 𝑦): (𝑥, 𝑦) = {(𝑥− 1, 𝑦),(𝑥, 𝑦),(𝑥+ 1, 𝑦),(𝑥, 𝑦 − 1),(𝑥, 𝑦 + 1)} y (𝑥, 𝑦) = {{(𝑥− 1, 𝑦),(𝑥, 𝑦),(𝑥+ 1, 𝑦)},{(𝑥, 𝑦 − 1),(𝑥, 𝑦),(𝑥, 𝑦 + 1)}} Entonces, el espacio pretopológico generado sobre ℤ2por (𝑥, 𝑦)es más fino que el generado por (𝑥, 𝑦). 2.1.1 Aproximación por -espacios En esta sección respondemos la cuestión de que si dado un espacio pretopológico (𝐸, 𝑎)es posible encontrar el -espacio más fino de todos los -espacios que son menos finos que (𝐸, 𝑎)y recíprocamente, si es posible encontrar el -espacio menos fino de todos los -espacios que son más finos que (𝐸, 𝑎). Es decir, si existen (𝐸, 𝑎0) y(𝐸, 𝑎0)tales que: Topología indiscreta (𝐸, 𝑎0) (𝐸, 𝑎) (𝐸, 𝑎0)Topología discreta Proposición 2.1.2 Sea (𝐸, 𝑎)un espacio pretopológico. Existe un único -espacio (𝐸, 𝑎0)que es el más fino de todos los -espacios que son menos finos que (𝐸, 𝑎). Se tiene que 𝑎0(𝐴) = ⋂ 𝐵⊆𝐴 𝑎(𝐵)y que 𝑖0(𝐴) = ⋃ 𝐴⊆𝐵 𝑖(𝐵). Demostración Obviamente, 𝑎es más fina que 𝑎0, ya que ∀𝐴 ⊆ 𝐸, 𝑎(𝐴)⊆ 𝑎0(𝐴). Consideramos 𝐴y𝐵dos subconjuntos de 𝐸tales que 𝐴⊆𝐵. Entonces: 𝑎0(𝐴) = ⋃ 𝐶⊆𝐴 𝑎(𝐶)⊆⋃ 𝐶⊆𝐵 𝑎(𝐶) = 𝑎0(𝐵) Por consiguiente, (𝐸, 𝑎0)es un -espacio. Supongamos que existe un -espacio (𝐸, 𝑎′)menos fino que (𝐸, 𝑎)pero más fino que (𝐸, 𝑎0). En tal caso, si 𝑥∈𝑎0(𝐴)entonces existe 𝐵∗⊆ 𝐴 tal que 𝑥∈𝑎(𝐵∗). Como 𝑎′es menos fina que 𝑎,𝑎(𝐵∗)⊆ 𝑎′(𝐵∗). Entonces 𝑥∈𝑎′(𝐵∗)⊆ 𝑎′(𝐴), lo que implica que 𝑎0(𝐴)⊆ 𝑎′(𝐴), llegando así a una contradicción. 36 CAPÍTULO 2. PROPIEDADES GENERALES DE LOS ESPACIOS PRETOPOLÓGICOS Proposición 2.1.3 Sea (𝐸, 𝑎)un espacio pretopológico. Existe un único -espacio (𝐸, 𝑎0)que es el menos fino de todos los -espacios que son más finos que (𝐸, 𝑎). Se tiene que 𝑎0(𝐴) = ⋂ 𝐴⊆𝐵 𝑎(𝐵)y que 𝑖0(𝐴) = ⋃ 𝐵⊆𝐴 𝑖(𝐵). Demostración Análogamente a la demostración anterior, se tiene que 𝑎0es más fina que 𝑎y que (𝐸, 𝑎0)es un -espacio. Igualmente, si existe un -espacio (𝐸, 𝑎′)más fino que (𝐸, 𝑎)pero menos fino que (𝐸, 𝑎0), llegamos a que (𝐸, 𝑎′)=(𝐸, 𝑎0). Proposición 2.1.4 Sea (𝐸, 𝑎)un espacio pretopológico con (𝐸, 𝑎0)y(𝐸, 𝑎0)los -espacios antes definidos. Entonces: 1) Para todo 𝑥∈𝐸,0(𝑥)={𝑁 ⊆ 𝐸 ∶ ∀𝐴, 𝑁 ⊆ 𝐴, 𝑥 ∈𝑖(𝐴)}. 2) para todo 𝑥∈𝐸,0(𝑥)={𝑁 ⊆ 𝐸 ∶ ∃𝐴 ⊆ 𝑁, 𝑥 ∈𝑖(𝐴)}. Demostración 1) Sea 𝑁∈0(𝑥), entonces como 𝑥∈𝑖0(𝑁),∀𝐴⊆𝐸tal que 𝑁 ⊆ 𝐴 se tiene que 𝑥∈𝑖(𝐴). 2) Sea 𝑁∈0(𝑥), entonces como 𝑥∈𝑖0(𝑁) = ⋃𝐴⊆𝑁 𝑖(𝐴), se tiene que existe 𝐴⊆𝐸 con 𝑉 ⊆ 𝐴 tal que 𝑥∈𝑖(𝐴). 2.2 Continuidad El objetivo de esta sección es definir funciones continuas en espacios pretopológicos y funciones que preservan la pseudoclausura, dos conceptos que parecen equivalentes y que veremos que no es así, a no ser que los espacios verifiquen una condición necesaria, ser de tipo . Definición 2.2.1 Sean (𝐸, 𝑎𝐸)y(𝐹 , 𝑎𝐹)dos espacios pretopológicos. Se dice que la función 𝑓∶ (𝐸, 𝑎𝐸)←→ (𝐹 , 𝑎𝐹)es continua en 𝑥∈𝐸si para todo 𝐵 ⊆ 𝐹 tal que 𝐵∈(𝑓(𝑥)) se tiene que 𝑓−1(𝐵) ∈ (𝑥). Definición 2.2.2 Sean (𝐸, 𝑎𝐸)y(𝐹 , 𝑎𝐹)dos espacios pretopológicos. Se dice que la función 𝑓∶ (𝐸, 𝑎𝐸)←→ (𝐹 , 𝑎𝐹)es continua si es continua en 𝑥para todo 𝑥∈𝐸. Teorema 2.2.1 Sean (𝐸, 𝑎𝐸)y(𝐹 , 𝑎𝐹)dos espacios pretopológicos y la función 𝑓∶ (𝐸, 𝑎𝐸)←→ (𝐹 , 𝑎𝐹). Entonces las siguientes condiciones son equivalentes: 1) 𝑓es continua. 2) 𝑓−1(𝑖𝐹(𝐵)) ⊆ 𝑖𝐸(𝑓−1(𝐵)) para todo 𝐵 ⊆ 𝐹 . 3) 𝑎𝐸(𝑓−1(𝐵)) ⊆ 𝑓−1(𝑎𝐹(𝐵)) para todo 𝐵 ⊆ 𝐹 . 2.2. CONTINUIDAD 37 Demostración En primer lugar vamos a ver que las dos últimas condiciones son equivalentes. Para todo 𝐵 ⊆ 𝐹 , se tiene que: 𝑓−1(𝑖𝐹(𝐵)) = (𝑓−1(𝑖𝐹(𝐵)𝑐))𝑐= (𝑓−1(𝑎𝐹(𝐵𝑐)))𝑐⊆(𝑎𝐸(𝑓−1(𝐵𝑐)))𝑐 = (𝑎𝐸(𝑓−1(𝐵)𝑐))𝑐=𝑖𝐸(𝑓−1(𝐵)) 𝑎𝐸(𝑓−1(𝐵)) = ((𝑎𝐸(𝑓−1(𝐵)))𝑐)𝑐= (𝑖𝐸(𝑓−1(𝐵)𝑐))𝑐= (𝑖𝐸(𝑓−1(𝐵𝑐)))𝑐 ⊆(𝑓−1(𝑖𝐹(𝐵𝑐)))𝑐= (𝑓−1(𝑎𝐹(𝐵)𝑐))𝑐=𝑓−1(𝑎𝐹(𝐵)) Por otro lado, se tiene por definición que 𝑓−1(𝑖𝐹(𝐵)) = {𝑥∈𝐸∶𝐵∈(𝑓(𝑥))} y que 𝑖𝐸(𝑓−1(𝐵)) = {𝑥∈𝐸∶𝑓−1(𝐵) ∈ (𝑥)}, veamos entonces ahora que las dos primeras condiciones son equivalentes. Como 𝑓−1(𝑖𝐹(𝐵)) ⊆ 𝑖𝐸(𝑓−1(𝐵)) para todo 𝐵 ⊆ 𝐹 por las igualdades de arriba, se tiene que esto es equivalente a que para todo 𝑥∈𝑓−1(𝑖𝐹(𝐵)) se tenga que 𝐵∈(𝑓(𝑥)) implica 𝑓−1(𝐵) ∈ (𝑥), es decir, que 𝑓es continua. Además de estas tres equivalencias, se tiene el siguiente resultado. Proposición 2.2.1 Sean (𝐸, 𝑎𝐸)y(𝐹 , 𝑎𝐹)dos espacios pretopológicos, entonces una función 𝑓∶ (𝐸, 𝑎𝐸)←→ (𝐹 , 𝑎𝐹)es continua si y solo si para todo 𝑎𝐹-abierto 𝐵 ⊆ 𝐹 , se tiene que 𝑓−1(𝐵)es un 𝑎𝐸-abierto. Demostración Supongamos que 𝑓es continua. Si 𝐵 ⊆ 𝐹 es un 𝑎𝐹-abierto, entonces 𝑖𝐹(𝐵) = 𝐵. Por el teorema anterior, se tiene que 𝑓−1(𝐵) = 𝑓−1(𝑖𝐹(𝐵)) ⊆ 𝑖𝐸(𝑓−1(𝐹)). Como para todo 𝐴⊆𝐸se tiene que 𝑖𝐸(𝐴)⊆ 𝐴, entonces 𝑓−1(𝐵) = 𝑖𝐸(𝑓−1(𝐵)), por lo que 𝑓−1(𝐵)es un 𝑎𝐸-abierto. Recíprocamente, como ∀𝐵 ⊆ 𝐹 ,𝑖(𝐵)es un 𝑎𝐹-abierto, entonces por hipótesis 𝑓−1(𝑖(𝐵)) es un 𝑎𝐸-abierto. Además, como 𝑖(𝐵)⊆ 𝐵 se tiene que 𝑓−1(𝑖(𝐵)) ⊆ 𝑓−1(𝐵), siendo 𝑓−1(𝑖(𝐵)) un 𝑎𝐸-abierto. Sin embargo, sabemos que existe algún 𝑎𝐸-abierto 𝐴 tal que 𝐴=𝑖𝑘(𝑓−1(𝐵)) para algún 𝑘∈ℕ, que verifica que 𝑓−1(𝐵)⊆ 𝐴. Pero como 𝑖𝑘(𝑓−1(𝐵)) ⊆ 𝑖(𝑓−1(𝐵)) para todo 𝑘∈ℕ, entonces 𝑓−1(𝑖(𝐵)) ⊆ 𝐴 ⊆ 𝑖(𝑓−1(𝐵)). En consecuencia, 𝑓es continua. A continuación introducimos la propiedad de preservar la pseudoclausura, que a simple vista parece equivalente a la continuidad pero que veremos que no. Definición 2.2.3 Sean (𝐸, 𝑎𝐸)y(𝐹 , 𝑎𝐹)dos espacios pretopológicos. Se dice que 𝑓∶ (𝐸, 𝑎𝐸)←→ (𝐹 , 𝑎𝐹)preserva la pseudoclausura si para todo 𝐴⊆𝐸se tiene que 𝑓(𝑎𝐸(𝐴)) ⊆ 𝑎𝐹(𝑓(𝐴)). 44 CAPÍTULO 2. PROPIEDADES GENERALES DE LOS ESPACIOS PRETOPOLÓGICOS Además, este ejemplo también nos sirve para mostrar que en la pretopología inducida la 𝑎|𝐴-clausura no se obtiene mediante la iteración del operador 𝑎|𝐴. De hecho, si miramos ({𝑏}), nos damos cuenta que ({𝑏}) = {𝑎, 𝑏, 𝑐}, por lo que ({𝑏}) ∩ 𝐴= {𝑎, 𝑏}, mientras que |𝐴({𝑏}) = {𝑏}pues 𝑎|𝐴({𝑏}) = 𝑎({𝑏}) ∩ 𝐴= {𝑏}. Por tan- to, la intersección de la 𝑎-clausura con 𝐴no se obtiene a partir de la iteración de la pseudoclausura inducida 𝑎|𝐴. Pretopología restringida El concepto de pretopología restringida es bastante diferente al de pretopología inducida. Dado un subconjunto 𝐴⊆𝐸, consiste en mantener el mismo proceso para definir la pseudoclausura 𝑎en 𝐴como en 𝐸mientras que nos "olvidamos" de 𝐸−𝐴. De esta manera para restringir una estructura pretopológica (𝑎, 𝑖)en un subconjunto 𝐴de 𝐸podemos fijarnos en el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.3.3 Sea (𝐸, 𝑎)el espacio pretopológico que aparece en la siguiente figura. 𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑢 𝑥𝑡𝑧1 𝑧2 𝑧3 𝑧4 𝐴 𝐸 La familia de 𝑎-entornos de 𝑥∈𝐸está definida por la siguiente base en 𝐸: (𝑥) = {{𝑥, 𝑦1, 𝑦2, 𝑦3},{𝑥, 𝑧1, 𝑧2, 𝑧3, 𝑧4}} Consideramos 𝐴= {𝑥, 𝑦1, 𝑦2, 𝑡, 𝑧3, 𝑧4}⊆ 𝐸 y(𝐴, 𝑎|𝐴)el subespacio inducido por (𝐸, 𝑎)en 𝐴. La familia de 𝑎|𝐴-entornos de 𝑥está definida por la siguiente base en 𝐴: |𝐴(𝑥) = {{𝑥, 𝑦1, 𝑦3},{𝑥, 𝑧3, 𝑧4}} Sin embargo, cuando consideramos el espacio pretopológico restringido a 𝐴,(𝐴, 𝑎′), tenemos que olvidarnos de los elementos de 𝐸−𝐴. Como 𝑢∉𝐴entonces {𝑥, 𝑦1, 𝑦2, 𝑦3} no aparece, así como 𝑧1y𝑧2. En consecuencia, la familia de 𝑎′-entornos de 𝑥está definida por la siguiente base en 𝐴: ′ |𝐴(𝑥) = {{𝑥, 𝑧3, 𝑧4}}. 2.4. PSEUDOCLAUSURA INDUCIDA POR RELACIONES 45 2.4 Pseudoclausura inducida por relaciones Definición 2.4.1 Una relación binaria 𝑅en un conjunto 𝐸es un subconjunto del producto 𝐸×𝐸. Se usa la notación 𝑥𝑅𝑦 para referirnos a que el par (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅. Definición 2.4.2 Se dice que la relación 𝑅en 𝐸es reflexiva si para cada 𝑥∈𝐸, se tiene que 𝑥𝑅𝑥, o equivalentemente que Δ = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸×𝐸∶𝑥=𝑦}⊆ 𝑅. 𝑅es simétrica si 𝑥𝑅𝑦 implica 𝑦𝑅𝑥 y es asimétrica si 𝑥𝑅𝑦 implica (𝑦, 𝑥) ∉ 𝑅. 𝑅es transitiva si 𝑥𝑅𝑦 e𝑦𝑅𝑧 implican 𝑥𝑅𝑧. Definición 2.4.3 Sea 𝐸un conjunto, 𝑅una relación en 𝐸y𝐴 ⊆ 𝐸, se define la imagen de 𝐴por 𝑅y la imagen inversa de 𝐴por 𝑅como: 𝑅(𝐴)={𝑦∈𝐸∶ ∃𝑥∈𝐴;𝑥𝑅𝑦}={𝑦∈𝐸∶𝑅−1({𝑦}) ∩ 𝐴≠∅} = ⋃ 𝑧∈𝐴 𝑅({𝑧}) 𝑅−1(𝐴)={𝑥∈𝐸∶ ∃𝑦∈𝐴;𝑥𝑅𝑦}={𝑥∈𝐸∶𝑅({𝑥}) ∩ 𝐴≠∅} = ⋃ 𝑧∈𝐴 𝑅−1({𝑧}) Definición 2.4.4 Sea 𝑅una relación en 𝐸, se define la pseudoclausura de sucesores inducida por 𝑅en 𝐸como la aplicación 𝑎𝑅∶(𝐸)←→ (𝐸)dada por: 𝑎𝑅(𝐴) = 𝐴∪𝑅(𝐴), para cada 𝐴⊆𝐸. Dado que 𝑎𝑅verifica las condiciones para ser un operador de pseudoclausura en 𝐸, se dice que (𝐸, 𝑎𝑅)es un espacio pretopológico de sucesores. Definición 2.4.5 Sea 𝑅una relación binaria en 𝐸, se define la pseudoclausura de predecesores inducida por 𝑅en 𝐸como la aplicación 𝑎∗ 𝑅∶(𝐸)←→ (𝐸)dada por: 𝑎∗ 𝑅(𝐴) = 𝐴∪𝑅−1(𝐴), para cada 𝐴⊆𝐸. Dado que 𝑎∗ 𝑅verifica las condiciones para ser un operador de pseudoclausura en 𝐸, se dice que (𝐸, 𝑎∗ 𝑅)es un espacio pretopológico de predecesores. Observación 2.4.1 Es fácil ver que podemos asociar a cada espacio (𝐸, 𝑎𝑅)un grafo tal que 𝐸se representa mediante los vértices del grafo y para cada 𝐴⊆𝐸,𝑎𝑅(𝐴) = 𝑎∗(𝐴) = 𝐴∪(𝐴), donde ({𝑥}) es el conjunto se vértices a los que llega 𝑥, es decir, los sucesores de 𝑥. Por otro lado, se tiene que 𝑎∗ 𝑅(𝐴) = 𝐴∪−1(𝐴), donde −1({𝑥}) es el conjunto de vértices que llegan a 𝑥, es decir, los predecesores de 𝑥. 46 CAPÍTULO 2. PROPIEDADES GENERALES DE LOS ESPACIOS PRETOPOLÓGICOS Observación 2.4.2 Si la relación 𝑅es simétrica, se tiene que 𝑎𝑅=𝑎∗ 𝑅. Además, si 𝑅 es reflexiva se tiene que 𝑎𝑅=𝑅y𝑎∗ 𝑅=𝑅−1, dado que, en tal caso, 𝐴⊆𝑅(𝐴)y 𝐴⊆𝑅−1(𝐴), para todo 𝐴⊆𝐸. Proposición 2.4.1 Sea 𝑅una relación en un conjunto 𝐸, los pseudointeriores asociados a 𝑎𝑅y a 𝑎∗ 𝑅es: 𝑖𝑅(𝐴)={𝑦∈𝐴∶si 𝑥𝑅𝑦, entonces 𝑥∈𝐴}, para cada 𝐴⊆𝐸. 𝑖∗ 𝑅(𝐴)={𝑥∈𝐴∶si 𝑥𝑅𝑦, entonces 𝑦∈𝐴}, para cada 𝐴⊆𝐸. Por tanto, 𝑖𝑅(𝐴)lo forman aquellos elementos de 𝐴con los que no están relacionados los elementos de 𝐸−𝐴mediante 𝑅e𝑖∗ 𝑅(𝐴)lo forman aquellos elementos de 𝐴que no están relacionados con ningún elemento de 𝐸−𝐴mediante 𝑅. 𝑖𝑅(𝐴) 𝐴 𝐸 𝑖∗ 𝑅(𝐴) 𝐴 𝐸 Demostración Por la dualidad entre la pseudoclausura y el pseudointerior: 𝑖𝑅(𝐴) = 𝐸−𝑎𝑅(𝐸−𝐴)=(𝑎𝑅(𝐴𝑐))𝑐= (𝐴𝑐∪ {𝑦∈𝐸∶ ∃𝑥∈𝐴𝑐∶𝑥𝑅𝑦})𝑐= =𝐴∩ {𝑦∈𝐸∶ ∃𝑥∈𝐴𝑐∶𝑥𝑅𝑦}𝑐=𝐴∩ {𝑦∈𝐸∶ ∀𝑥∈𝐴𝑐∶ (𝑥, 𝑦) ∉ 𝑅} = = {𝑦∈𝐴∶si 𝑥𝑅𝑦, entonces 𝑥∈𝐴} 𝑖∗ 𝑅(𝐴) = 𝐸−𝑎∗ 𝑅(𝐸−𝐴)=(𝑎∗ 𝑅(𝐴𝑐))𝑐= (𝐴𝑐∪ {𝑥∈𝐸∶ ∃𝑦∈𝐴𝑐∶𝑥𝑅𝑦})𝑐= =𝐴∩ {𝑥∈𝐸∶ ∃𝑦∈𝐴𝑐∶𝑥𝑅𝑦}𝑐=𝐴∩ {𝑥∈𝐸∶ ∀𝑦∈𝐴𝑐∶ (𝑥, 𝑦) ∉ 𝑅} = = {𝑥∈𝐴∶si 𝑥𝑅𝑦, entonces 𝑦∈𝐴} 2.4. PSEUDOCLAUSURA INDUCIDA POR RELACIONES 47 Proposición 2.4.2 Un espacio pretopológico (𝐸, 𝑎)es de tipo 𝑆si y solo si existe una relación 𝑅tal que 𝑎=𝑎𝑅. Demostración Supongamos que (𝐸, 𝑎)es un -espacio, 𝐴⊆𝐸y𝑅una relación en 𝐸tal que 𝑥𝑅𝑦 si 𝑦∈𝑎({𝑥}). Se tiene que: 𝑦∈𝑎𝑅(𝐴)⇐⇒ ∃𝑥∈𝐴tal que 𝑥=𝑦ó𝑥𝑅𝑦 ⇐⇒ ∃𝑥∈𝐴tal que 𝑥=𝑦ó𝑦∈𝑎({𝑥}) ⇐⇒ ∃𝑥∈𝐴tal que 𝑦∈𝑎({𝑥}) ⇐⇒ 𝑦∈⋃ 𝑥∈𝐴 𝑎({𝑥}) ⇐⇒ 𝑦∈𝑎(𝐴) Por consiguiente, se tiene que 𝑎=𝑎𝑅. Recíprocamente, si 𝐴⊆𝐸, se tiene que: 𝑎𝑅(𝐴) = 𝑅(𝐴) ∪ 𝐴= ( ⋃𝑥∈𝐴𝑅({𝑥}) ) ∪ ( ⋃𝑥∈𝐴{𝑥} ) = =⋃𝑥∈𝐴(𝑅({𝑥}) ∪ {𝑥}) = ⋃𝑥∈𝐴𝑎𝑅({𝑥}) En consecuencia, se tiene que 𝑎𝑅es completamente aditiva, por lo que (𝐸, 𝑎𝑅)es un 𝑆-espacio. Además, si le pedimos ciertas propiedades a la relación 𝑅se tiene que (𝐸, 𝑎𝑅)puede llegar a ser un espacio topológico, un espacio 𝑇0e incluso un 𝑇1. Proposición 2.4.3 Sea 𝑅una relación en un conjunto 𝐸, entonces 𝑅es una relación transitiva si y solo si 𝑎𝑅es idempotente, es decir, (𝐸, 𝑎𝑅)es un espacio topológico. Demostración Sea 𝑅una relación transitiva en 𝐸y𝐴⊆𝐸. Se tiene que: 𝑎2 𝑅(𝐴) = 𝑎𝑅(𝐴) ∩ 𝑅(𝑎𝑅(𝐴)) = 𝐴∩𝑅(𝐴) ∩ 𝑅(𝑅(𝐴)) Entonces para probar que 𝑎2 𝑅=𝑎𝑅, basta ver que 𝑅2(𝐴)⊆ 𝑅(𝐴). Sabemos que 𝑧∈ 𝑅2(𝐴)si y solo si ∃𝑦∈𝑅(𝐴)tal que 𝑦𝑅𝑧. Además, 𝑦∈𝑅(𝐴)si y solo si ∃𝑥∈𝐴 tal que 𝑥𝑅𝑦. Como 𝑅es transitiva, 𝑥𝑅𝑧, por lo que 𝑧∈𝑅(𝐴)y en consecuencia, 𝑎2 𝑅=𝑎𝑅. Recíprocamente, sea 𝑎2 𝑅=𝑎𝑅. Si 𝑥𝑅𝑦 e𝑦𝑅𝑧, entonces 𝑦∈𝑎𝑅(𝑥)e𝑧∈𝑎𝑅(𝑥), luego 𝑧∈𝑎𝑅(𝑦)⊆ 𝑎2 𝑅(𝑥) = 𝑎𝑅(𝑥). Por lo tanto, 𝑧∈𝑎𝑅(𝑥), lo que implica que 𝑥𝑅𝑧. 48 CAPÍTULO 2. PROPIEDADES GENERALES DE LOS ESPACIOS PRETOPOLÓGICOS Proposición 2.4.4 Sea 𝑅una relación en 𝐸transitiva y asimétrica, entonces (𝐸, 𝑎𝑅) es un espacio topológico 𝑇0. Demostración Dado que 𝑅es un relación transitiva, (𝐸, 𝑎𝑅)es un espacio topológico. Sean 𝑥, 𝑦 ∈𝐸con 𝑥≠𝑦. Como 𝑅es asimétrica, no se puede tener a la vez que 𝑥𝑅𝑦 e𝑦𝑅𝑥. Supongamos que (𝑥, 𝑦) ∉ 𝑅y como 𝑥≠𝑦, entonces 𝑦∉𝑁𝑥con 𝑁𝑥∈(𝑥). Por tanto 𝑁𝑥es un 𝑎𝑅-abierto que contiene a 𝑥pero no a 𝑦. Recíprocamente, si (𝑦, 𝑥) ∉ 𝑅, existe un 𝑎𝑅- abierto 𝑁𝑦∈(𝑦)que contiene a 𝑦y no a 𝑥. Como uno de los dos casos se debe cumplir, se tiene que (𝐸, 𝑎𝑅)es un 𝑇0. Proposición 2.4.5 Si el espacio topológico (𝐸, 𝑎𝑅)es 𝑇1entonces la relación 𝑅= Δ = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸×𝐸∶𝑥=𝑦}. Demostración Veamos que si existe al menos un par (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅con 𝑥≠𝑦, entonces (𝐸, 𝑎𝑅)no es un espacio topológico 𝑇1. Como 𝑥𝑅𝑦 con 𝑥≠𝑦, entonces 𝑦∈𝑁𝑥, con 𝑁𝑥∈(𝑥). Pero 𝑁𝑥es un subconjun- to de todos los 𝑎𝑅-abiertos conteniendo a 𝑥. Por tanto, no existe ningún 𝑎𝑅-abierto conteniendo a 𝑥pero no a 𝑦, por lo que el espacio no puede ser 𝑇1. Sea 𝐸un conjunto y (𝑅𝑖)𝑖∈𝐼un conjunto de relaciones en 𝐸, entonces cada 𝑅𝑖 induce una pseudoclausura en 𝐸,𝑎𝑅𝑖. Sin embargo, podemos definir una nueva pseudoclausura inducida por el conjunto de relaciones. Definición 2.4.6 Sea (𝑅𝑖)𝑖∈𝐼un conjunto de relaciones en un conjunto 𝐸. Se define la pseudoclausura inducida por (𝑅𝑖)𝑖∈𝐼en 𝐸como la intersección de las pseudoclausuras 𝑎𝑅𝑖, es decir: 𝑎𝑅𝐼(𝐴) = ⋂ 𝑖∈𝐼 𝑎𝑅𝑖(𝐴) = 𝐴∪ {𝑥∈𝐸∶𝑅𝑖(𝑥) ∩ 𝐴≠∅,∀𝑖∈𝐼}. Observación 2.4.3 Como cada 𝑎𝑅𝑖es isótona, 𝑎𝑅𝐼también lo es. Sin embargo, aunque cada 𝑎𝑅𝑖sea completamente aditiva, no se puede asegurar que 𝑎𝑅𝐼sea ni tan siquiera aditiva. Por ello, solo se puede garantizar que (𝐸, 𝑎𝑅𝐼)es un -espacio. 3 Propiedades de separación En esta sección vamos a estudiar las propiedades de separación de los -espacios. En primer lugar, haremos un recordatorio de los axiomas de separación para espacios topológicos y a continuación estudiaremos las definiciones análogas a los -espacios. 3.1 Axiomas de separación en espacios topológicos Definición 3.1.1 Un espacio topológico (𝐸, )se llama 𝑇0si para cualquier par de puntos 𝑥, 𝑦 ∈𝐸existe un abierto 𝑈 ⊂ 𝐸 que contiene uno de los puntos y no contiene el otro punto. Equivalentemente, (𝐸, )es 𝑇0si 𝑥, 𝑦 son elementos del espacio 𝐸tales que la clausura de 𝑥y la clausura de 𝑦sean iguales entonces 𝑥=𝑦. 𝑈 𝑥 𝑦 Definición 3.1.2 Un espacio topológico (𝐸, )se dice 𝑇1si para cualquier par de puntos 𝑥, 𝑦 de 𝐸hay un par de conjuntos abiertos 𝑈,𝑉tal que 𝑥∈𝑈pero 𝑥∉𝑉, y además 𝑦∈𝑉pero 𝑦∉𝑈. Una equivalencia importante es que (𝐸, )es 𝑇1si y solo si los subconjuntos de 𝐸formados por un único punto son cerrados. 50 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES DE SEPARACIÓN 𝑈𝑉 𝑥 𝑦 Definición 3.1.3 Un espacio topológico (𝐸, )es de Hausdorff o 𝑇2si para cualquier par de puntos 𝑥, 𝑦 en 𝐸existe un par de abiertos disjuntos que contiene uno a 𝑥y el otro a 𝑦. 𝑈 𝑉 𝑥 𝑦 Definición 3.1.4 Un espacio topológico (𝐸, )es de Urysohn si para cualquier par de puntos 𝑥, 𝑦 en 𝐸existen un par de abiertos disjuntos que contiene uno a 𝑥y otro a 𝑦tales que la intersección de sus clausuras es vacía. 𝑈 𝑉 𝑥 𝑦 Definición 3.1.5 Un espacio topológico (𝐸, )es regular si para cada punto 𝑥∈ 𝐸y cualquier cerrado 𝐹 ⊂ 𝐸 tal que 𝑥∉𝐹. Entonces existen entornos 𝑈𝑥y𝑈𝐹tales que su intersección es vacía. Un espacio topológico (𝐸, )es 𝑇3si es 𝑇1y regular, es decir, podemos separar puntos de cerrados. 3.1. AXIOMAS DE SEPARACIÓN EN ESPACIOS TOPOLÓGICOS 51 𝑈𝑥 𝐹 𝑈𝐹 𝑥 Definición 3.1.6 Un espacio topológico (𝐸, )es completamente regular si para cada punto 𝑥∈𝐸y cualquier cerrado 𝐹 ⊂ 𝐸 tal que 𝑥∉𝐹existe una función continua 𝑓∶𝐸→[0,1] tal que 𝑓(𝑥)=0y𝑓(𝐹)=1. 𝑓(𝑥)=0 𝑓(𝐹)=1 𝐹 𝑥 Un espacio topológico (𝐸, )es 𝑇31 2 si es 𝑇1y completamente regular. Definición 3.1.7 Un espacio topológico (𝐸, )es normal si para cada par de cerrados 𝐹 , 𝐺 ⊂ 𝐸 con intersección vacía existen unos entornos que los contengan 𝑈𝐹 y𝑈𝐺tal que su intersección sea vacía. F 𝑈𝐹 𝐺 𝑈𝐺 Un espacio topológico (𝐸, )es 𝑇4si es 𝑇1y es normal, es decir, podemos separar todos los cerrados del espacio. 52 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES DE SEPARACIÓN Definición 3.1.8 Un espacio topológico (𝐸, )es completamente normal si para cada par de cerrados 𝐹 , 𝐺 ⊂ 𝐸 con intersección vacía, existen unos entornos que los contengan 𝑈𝐹y𝑈𝐺con 𝑈𝐹∩𝑈𝐺= ∅. FG 𝑈𝐹𝑈𝐺 Un espacio topológico (𝐸, )es 𝑇5si es 𝑇1y es completamente normal. Proposición 3.1.1 Sea (𝐸, )un espacio topológico, entonces se tienen las siguientes implicaciones: 𝑇5(𝐶𝑁 +𝑇1)⇒𝑇4(𝑁+𝑇1)⇒𝑇31 2 (𝐶𝑅+𝑇1)⇒𝑇3(𝑅+𝑇0)⇒𝑇21 2 ⇒𝑇2⇒𝑇1⇒𝑇0 Demostración Las demostraciones de cada una de estas implicaciones aparecen detalladas en [16]. 3.2 Separación por puntos Hemos de tener en cuenta que a pesar de que utilicemos la misma notación, las definiciones no son equivalentes a las que acabamos de estudiar en la sección anterior, tan solo serán equivalentes cuando el espacio sea topológico. Espacios 𝑇0y𝑇1 Definición 3.2.1 Un -espacio (𝐸, 𝑎)se dice 𝑇0si para todo par de puntos distintos 𝑥, 𝑦 ∈𝐸, se tiene que 𝑥∉𝑎({𝑦}) o𝑦∉𝑎({𝑥}). Definición 3.2.2 Un -espacio (𝐸, 𝑎)se dice 𝑇1si para todo par de puntos distintos 𝑥, 𝑦 ∈𝐸se tiene que 𝑥∉𝑎({𝑦}) y que 𝑦∉𝑎({𝑥}). 3.2. SEPARACIÓN POR PUNTOS 53 Proposición 3.2.1 Un -espacio (𝐸, 𝑎)es 𝑇1si y solo si para todo 𝑥∈𝐸se tiene que 𝑎({𝑥}) = {𝑥}, es decir, si {𝑥}es un 𝑎-cerrado. Demostración Sea (𝐸, 𝑎)𝑇1y supongamos que {𝑥}no es un 𝑎-cerrado, es decir, 𝑎({𝑥}) = {𝑥}. En tal caso, ∃𝑦∈𝐸tal que 𝑦∈𝑎({𝑥}) y esto es una contradicción. Recíprocamente, si ∀𝑥∈𝐸,{𝑥}es un 𝑎-cerrado, entonces para todo 𝑥, 𝑦 ∈𝐸, 𝑎({𝑥}) = {𝑥}y𝑎({𝑦}) = {𝑦}, por lo que 𝑦∉𝑎({𝑥}) y𝑥∉𝑎({𝑦}), lo que implica que (𝐸, 𝑎)es 𝑇1. Observación 3.2.1 Obviamente, si (𝐸, 𝑎)es 𝑇1, entonces es 𝑇0. La otra implicación no es cierta en general, como vemos en el siguiente ejemplo. Ejemplo 3.2.1 Sea (𝐸, 𝑎)un espacio pretopológico con 𝐸= {𝑥, 𝑦, 𝑧}y𝑎definida por: 𝐴∅ {𝑥} {𝑦} {𝑧} {𝑥, 𝑦} {𝑥, 𝑧} {𝑦, 𝑧}𝐸 𝑎(𝐴) ∅ {𝑥, 𝑦} {𝑦, 𝑧} {𝑥, 𝑧}𝐸 𝐸 𝐸 𝐸 En este caso, el espacio es 𝑇0pero no 𝑇1ya que por ejemplo, 𝑥∉𝑎(𝑦)pero 𝑦∈𝑎(𝑥). Espacios 𝑇2o de Hausdorff Definición 3.2.3 Un -espacio (𝐸, 𝑎)se dice 𝑇2o de Hausdorff si para cada par de puntos distintos 𝑥, 𝑦 ∈𝐸, existe 𝑈∈(𝑥)tal que 𝑦∉𝑎(𝑈). Lema 3.2.1 Sea (𝐸, 𝑎)un espacio pretopológico, 𝑥∈𝐸y𝐴 ⊆ 𝐸. Entonces 𝑥∈ 𝑎(𝐴)si y solo si 𝐴𝑐∉(𝑥). Demostración Se tiene que 𝑥∈𝑎(𝐴) = 𝑎((𝐴𝑐)𝑐)si y solo si 𝐴𝑐∈ {𝑁∶𝑥∈𝑎(𝑁𝑐)} y esto es equivalente a decir: 𝐴𝑐∉ {𝑁∶𝑥∉𝑎(𝐴𝑐)} = {𝑁∶𝑥∈ (𝑁𝑐)𝑐}={𝑁∶𝑥∈𝑖(𝑁)} = (𝑥) Proposición 3.2.2 Un -espacio (𝐸, 𝑎)es 𝑇2si para cada par de puntos distintos 𝑥, 𝑦 ∈𝐸, existen 𝑈∈(𝑥)y𝑉∈(𝑦)tales que 𝑈∩𝑉= ∅. 60 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES DE SEPARACIÓN Proposición 3.3.8 Si (𝐸, 𝑎)es completamente regular, entonces todo subespacio de (𝐸, 𝑎)es completamente regular. Demostración Sea 𝐴 ⊆ 𝐸 y𝑥∈𝐴. Se tiene que para todo 𝑎-cerrado 𝐹que no contiene a 𝑥,𝐴∩𝐹es un 𝑎|𝐴-cerrado que tampoco contiene a 𝑥. Como existe una función continua 𝑓∶𝐸←→ [0,1] tal que 𝑓(𝑥)=0y𝑓(𝑦)=1, para todo 𝑦∈𝐹, entonces también existe una función continua 𝑓|𝐴∶𝐴←→ [0,1] tal que 𝑓(𝑥) = 0 y 𝑓(𝑦)=1, para todo 𝑦∈𝐴∩𝐹. Definición 3.3.10 Un -espacio (𝐸, 𝑎)se dice que es 𝑇31 2 si es 𝑇1y completamente regular. Proposición 3.3.9 Todo espacio completamente regular es regular, lo que implica que todo espacio 𝑇31 2 es 𝑇3. Demostración Sea (𝐸, 𝑎)un -espacio completamente regular y sea 𝑥∈𝐸. entonces, para todo 𝑁∈(𝑥), existe 𝑈∈(𝑥)tal que 𝑈⋐𝑁. Por el Teorema 3.3.1, se tiene que 𝑈∪𝑎(𝑈)⋐𝑖(𝑁) ∩ 𝑁y por la Proposición 3.3.6, 𝑈∪𝑎(𝑈)⊆ 𝑖(𝑁) ∩ 𝑁. Esto implica que 𝑎(𝑈)⊆ 𝑁, por lo que (𝐸, 𝑎)es regular. Proposición 3.3.10 La regularidad, ser completamente regular y los axiomas 𝑇3 y𝑇31 2 son propiedades topológicas para cualquier -espacio. Demostración Sean (𝐸, 𝑎𝐸)y(𝐹 , 𝑎𝐹)dos -espacios y 𝑓∶ (𝐸, 𝑎𝐸)←→ (𝐹 , 𝑎𝐹)un homeomorfismo. ∙Sea (𝐸, 𝑎𝐸)un espacio regular, 𝑦∈𝐹y𝐴 ⊆ 𝐹 tal que 𝑦∉𝑎𝐹(𝐴). Entonces 𝑓−1(𝑦) ∉ 𝑓−1(𝑎𝐹(𝐴)) = 𝑎𝐸(𝑓−1(𝐴)) y por la regularidad en 𝐸, existen 𝑈∈(𝑓−1(𝑦)) y𝑉∈(𝑓−1(𝐴)) tales que 𝑈∩𝑉= ∅. Como además 𝑓(𝑈) ∈ (𝑦)y𝑓(𝑉) ∈ (𝐴), entonces 𝑓(𝑈) ∩ 𝑓(𝑉)=∅, lo que implica que (𝐹 , 𝑎𝐹). ∙Sea (𝐸, 𝑎𝐸)un 𝑇3-espacio, como 𝑇1y la regularidad son propiedades topológicas, entonces ser 𝑇3también lo es. ∙Sea (𝐸, 𝑎𝐸)un espacio completamente regular, 𝑦∈𝐹y𝑁∈(𝑦). Entonces 𝑓−1(𝑁) ∈ (𝑓−1(𝑦)), lo que implica que exista 𝑈∈(𝑓−1(𝑦)) tal que 𝑈⋐𝑓−1(𝑁). En consecuencia, 𝑓(𝑈) ∈ (𝑦)y𝑓(𝑈)⋐𝑁, lo que implica que (𝐹 , 𝑎𝐹)es completamente regular. ∙Sea (𝐸, 𝑎𝐸)un 𝑇31 2 -espacio, como 𝑇1y la regularidad completa son propiedades topológicas, entonces ser 𝑇31 2 también lo es. 3.3. SEPARACIÓN SUPERIOR EN -ESPACIOS 61 Espacios normales y 𝑇4 Definición 3.3.11 Un -espacio (𝐸, 𝑎)se dice que es 𝑡-normal (𝑡N) si todo par de conjuntos 𝑎-cerrados disjuntos son débilmente separados. Definición 3.3.12 Un -espacio (𝐸, 𝑎)se dice que es quasi-normal (QN) si todo par de conjuntos 𝐴, 𝐵 ⊆ 𝐸 tales que 𝑎(𝐴) ∩ 𝑎(𝐵)=∅, son débilmente separados. Definición 3.3.13 Un -espacio (𝐸, 𝑎)se dice que es normal (N) si para todo par de conjuntos 𝐴, 𝐵 ⊆ 𝐸 con 𝑎(𝐴) ∩ 𝑎(𝐵) = ∅, se tiene que 𝑎(𝐴)y𝑎(𝐵)son débilmente separados. Es decir, que existen 𝑈∈(𝑎(𝐴)) y𝑉∈(𝑎(𝐵)) tales que 𝑈∩𝑉= ∅. Proposición 3.3.11 Si un -espacio es normal o quasi-normal entonces es 𝑡-normal. Si el espacio es de tipo 𝐷entonces ser normal implica ser quasi-normal y ser quasinormal implica ser normal. Y además, si es un espacio topológico, las tres propiedades son equivalentes. -espacios (N) ⇒(𝑡N) y (QN) ⇒(𝑡N) 𝐷-espacios (N) ⇒(QN) ⇒(𝑡N) Espacios topológicos (N) ⇔(QN) ⇔(𝑡N) Demostración Las dos primeras implicaciones son triviales. Sea ahora (𝐸, 𝑎)un 𝐷-espacio normal, es decir, que para todo par de 𝑎-cerrados 𝐴, 𝐵 ⊆ 𝐸 con 𝑎(𝐴) ∩ 𝑎(𝐵) = ∅, existen 𝑈∈(𝑎(𝐴)) y𝑉∈(𝑎(𝐵)) tales que 𝑈∩𝑉= ∅. Se tiene que 𝑈∈(𝑎(𝐴)) si y solo si 𝑎(𝐴)⊆ 𝑖(𝑈). En consecuencia, 𝐴⊆𝑎(𝐴)⊆ 𝑖(𝑈), por lo que 𝑈∈(𝐴), llegando así a que (𝐸, 𝑎)es quasi-normal. Si además le pedimos la idempotencia a la pseudoclausura es obvio que las tres propiedades son equivalentes. Definición 3.3.14 Un -espacio (𝐸, 𝑎)se dice que es 𝑇4si es 𝑇1y quasi-normal. Observación 3.3.3 Es obvio que si (𝐸, 𝑎)es un 𝐷-espacio, entonces es 𝑇4si es 𝑇1y normal. 62 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES DE SEPARACIÓN Proposición 3.3.12 Sea (𝐸, 𝑎)un 𝐷-espacio, entonces 𝑇4implica 𝑇3. Demostración Sea 𝑥∈𝐸y𝐴⊆𝐸tal que 𝑥∉𝑎(𝐴). Como (𝐸, 𝑎)es 𝑇1, se tiene que 𝑎(𝑥)={𝑥}, por lo que 𝑎(𝑥) ∩ 𝑎(𝐴)=∅. Al ser (QN), existen 𝑈∈(𝑥)y𝑉∈(𝐴) tales que 𝑈∩𝑉= ∅, por lo que (𝐸, 𝑎)es 𝑇3. Espacios completamente normales y 𝑇5 Definición 3.3.15 Un -espacio (𝐸, 𝑎)se dice que es completamente normal (CN) si todo par de conjuntos débilmente separados son separados, es decir, si para todo par de 𝑎-cerrados disjuntos 𝐴, 𝐵 ⊆ 𝐸, existen 𝑈∈(𝐴)y𝑉∈(𝐵)tales que 𝑎(𝑈) ∩ 𝑎(𝑉)=∅. Definición 3.3.16 Un -espacio se dice que es 𝑇5si es un espacio 𝑇1y completamente normal. Proposición 3.3.13 Sea (𝐸, 𝑎)un -espacio completamente normal, entonces es quasi-normal. En consecuencia 𝑇5implica 𝑇4. Demostración Sea 𝐴, 𝐵 ⊆ 𝐸 tales que 𝑎(𝐴) ∩ 𝑎(𝐵)=∅. Como 𝑎(𝐴) ∩ 𝐵=𝐴∩𝑎(𝐵)=∅, entonces están débilmente separados. Pero como (𝐸, 𝑎)es completamente normal, esto implica que 𝑈∈(𝐴)y𝑉∈(𝐵)tales que 𝑈∩𝑉= ∅, es decir, (𝐸, 𝑎)es (QN). Por lo que obviamente, 𝑇5implica 𝑇4. Proposición 3.3.14 Se tiene que (𝑡N), (QN), (N), (CN), y los axiomas 𝑇4y𝑇5son propiedades topológicas para cualquier -espacio. Demostración Sean (𝐸, 𝑎𝐸)y(𝐹 , 𝑎𝐹)dos -espacios y 𝑓∶ (𝐸, 𝑎𝐸)←→ (𝐹 , 𝑎𝐹)un homeomorfismo. ∙Sea (𝐸, 𝑎𝐸)un espacio 𝑡-normal y 𝐴y𝐵dos 𝑎𝐹-cerrados en 𝐹. Como 𝑓es un homeomorfismo, 𝑓−1(𝐴)y𝑓−1 son dos 𝑎𝐸-cerrados en 𝐸. Como (𝐸, 𝑎𝐸)es 𝑡-normal, existen 𝑈∈(𝑓−1(𝐴)) y𝑉∈(𝑓−1(𝐵)) tales que 𝑈∩𝑉= ∅. Por el Teorema 2.2.1, 𝑓(𝑈) ∈ (𝐴)y𝑓(𝑉) ∈ (𝐵)y en consecuencia 𝑓(𝑈) ∩ 𝑓(𝑉)=∅, lo que implica que (𝐹 , 𝑎𝐹)es 𝑡-normal. 3.3. SEPARACIÓN SUPERIOR EN -ESPACIOS 63 ∙Sea (𝐸, 𝑎𝐸)un espacio quasi-normal y 𝐴, 𝐵 ⊆ 𝐹 dos conjuntos no vacíos tales que 𝑎𝐹(𝐴)∩𝑎𝐹(𝐵)=∅. Por el Teorema 2.2.3, 𝑎𝐸(𝑓−1(𝐴))∩𝑎𝐸(𝑓−1(𝐵)) = ∅, al ser 𝑓un homeomorfismo. Como (𝐸, 𝑎𝐸)es (QN), existen 𝑈∈(𝑓−1(𝐴)) y𝑉∈(𝑓−1(𝐵)) tales que 𝑈∩𝑉= ∅. En consecuencia, 𝑓(𝑈) ∈ (𝐴)y𝑓(𝑉) ∈ (𝐵), y como 𝑓(𝑈) ∩ 𝑓(𝑉) ∅ llegamos a que (𝐹 , 𝑎𝐹)es un espacio quasi-normal. ∙Sea (𝐸, 𝑎𝐸)normal y 𝐴, 𝐵 ⊆ 𝐹 dos conjuntos no vacíos tales que 𝑎𝐹(𝐴)∩𝑎𝐹(𝐵)≠∅. Al ser 𝑓un homeomorfismo, 𝑎𝐸(𝑓−1(𝐴)) ∩ 𝑎𝐸(𝑓−1(𝐵)) = ∅. Como (𝐸, 𝑎𝐸)es normal, existen 𝑈∈(𝑎𝐸(𝑓−1(𝐴))) y𝑉∈(𝑎𝐸(𝑓−1(𝐵))) tales que 𝑈∩𝑉= ∅. En consecuencia, 𝑓(𝑈) ∈ (𝑓(𝑎𝐸(𝑓−1(𝐴)))) y𝑓(𝑉) ∈ (𝑓(𝑎𝐸(𝑓−1(𝐵)))). Por el Teorema 2.2.3 aplicado a 𝑓−1,𝑎𝐹(𝐴) = 𝑓(𝑎𝐸(𝑓−1(𝐴))) y𝑎𝐹(𝐵) = 𝑓(𝑎𝐸(𝑓−1(𝐵))). Por lo tanto, se tiene que 𝑓(𝑈) ∈ (𝑎𝐹(𝐴)) y𝑓(𝑉) ∈ (𝑎𝐹(𝐵)), es decir, 𝑓(𝑈) ∩ 𝑓(𝑉)=∅, lo que nos lleva a que (𝐹 , 𝑎𝐹)es un espacio normal. ∙Sea (𝐸, 𝑎𝐸)un espacio completamente normal y 𝐴, 𝐵 ⊆ 𝐹 dos conjuntos débilmente separados. Como 𝑓es continua, por la Proposición 3.3.2, 𝑓−1(𝐴)y𝑓−1(𝐵)también son débilmente separados en 𝐸. Entonces, como (𝐸, 𝑎𝐸)es (CN), 𝑓−1(𝐴)y𝑓−1(𝐵)están separados, por lo que existen 𝑈∈(𝑓−1(𝐴)) y𝑉∈(𝑓−1(𝐵)) tales que 𝑈∩𝑉= ∅. Ahora, por la continuidad de 𝑓−1, se tiene que 𝑓(𝑈) ∈ (𝐴)y𝑓(𝑉) ∈ (𝐵), es decir, 𝑓(𝑈) ∩ 𝑓(𝑉)=∅. En consecuencia, 𝐴y𝐵están separados por lo que (𝐹 , 𝑎𝐹) es un espacio completamente normal. ∙Sea (𝐸, 𝑎𝐸)un 𝑇4-espacio, como 𝑇1y (QN) son propiedades topológicas, entonces ser 𝑇4también lo es. ∙Sea (𝐸, 𝑎𝐸)un 𝑇5-espacio, como 𝑇1y (CN) son propiedades topológicas, entonces ser 𝑇5también lo es. A lo largo de esta sección han quedado demostradas las siguientes implicaciones: 𝑇5𝑇4𝑇31 2𝑇3𝑇21 2𝑇2𝑇1𝑇0 64 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES DE SEPARACIÓN 3.4 Separación en los espacios topológicos asociados Recordemos que a cada 𝐷-espacio (𝐸, 𝑎)se le puede asociar un espacio topológico (𝐸, 𝑎), cuya clausura es la 𝑎-clausura, o 𝑎-cierre, de (𝐸, 𝑎). En consecuencia, para todo 𝐴⊆𝐸,𝐴=(𝐴). En [14] se demuestra que si (𝐸, 𝑎)verifica cada una de las propiedades topológicas que acabamos de definir, entonces (𝐸, 𝑎)también la verifica. A continuación mostraremos algún ejemplo de estas implicaciones. Espacios 𝑇0 Proposición 3.4.1 Si (𝐸, 𝑎)es 𝑇0, entonces el 𝐷-espacio (𝐸, 𝑎)es 𝑇0. Demostración Como (𝐸, 𝑎)es 𝑇0, para cada par de puntos distintos 𝑥, 𝑦 ∈𝐸se tiene que o 𝑥∉({𝑦}) o𝑦∉({𝑥}). Pero como (𝐴)⊆ 𝑎(𝐴),∀𝐴⊆𝐸, por lo que o 𝑥∉𝑎({𝑦}) o𝑦∉𝑎({𝑥}). Observación 3.4.1 La otra implicación no es cierta en general. Ejemplo 3.4.1 Sea 𝐸= {𝑥, 𝑦, 𝑧}y definimos la pseudoclausura de la siguiente forma: 𝐴∅ {𝑎} {𝑏} {𝑐} {𝑎, 𝑏} {𝑎, 𝑐} {𝑐, 𝑏}𝐸 𝑎(𝐴) ∅ {𝑎, 𝑏} {𝑏, 𝑐} {𝑎, 𝑐}𝐸 𝐸 𝐸 𝐸 Vemos que 𝑎es aditiva y que (𝐸, 𝑎)es 𝑇0. Sin embargo, (𝐸, 𝑎)es la topología indiscreta, la cual no es 𝑇0. Espacios 𝑇1 Proposición 3.4.2 (𝐸, 𝑎)es 𝑇1si y solo si (𝐸, 𝑎)es 𝑇1. Demostración En la Proposición 3.2.1 hemos viso que (𝐸, 𝑎)es 𝑇1si y solo si {𝑥}es un 𝑎-cerrado, ∀𝑥∈𝐸. Esto es equivalente a decir que {𝑥}es un cerrado en (𝐸, 𝑎), ∀𝑥∈𝐸, es decir, que (𝐸, 𝑎)es 𝑇1. Observación 3.4.2 En consecuencia, si (𝐸, 𝑎)es 𝑇1, entonces (𝐸, 𝑎)es 𝑇0. 3.4. SEPARACIÓN EN LOS ESPACIOS TOPOLÓGICOS ASOCIADOS 65 Espacios 𝑇2 Proposición 3.4.3 Si (𝐸, 𝑎)es 𝑇2, entonces (𝐸, 𝑎)es 𝑇2. Demostración Sea (𝐸, 𝑎)es 𝑇2y𝑥, 𝑦 ∈𝐸. Entonces si 𝑥≠𝑦, existe un par de abiertos disjuntos 𝑈, 𝑉 ⊂ 𝐸 tales que 𝑥∈𝑈e𝑦∈𝑉. Como son disjuntos, 𝑦∉𝑈y 𝑥∉𝑉y como 𝑎(𝐴)⊆ 𝐴 para cada 𝐴⊆𝐸, entonces (𝐸, 𝑎)es 𝑇2. Observación 3.4.3 El recíproco no es cierto en general. Ejemplo 3.4.2 Sea 𝐸=ℕ×ℕ× {𝑥, 𝑦}∪{𝑟𝑖}𝑖∈ℕ∪ {𝑠𝑗}𝑗∈ℕ, donde los 𝑟𝑖, los 𝑠𝑖,𝑥e𝑦 son todos distintos y no pertenecen a ℕ×ℕ. Definimos la pseudoclausura sobre 𝐸como: Si 𝐴∈ℕ×ℕ,𝑎(𝐴) = 𝐴∪ {𝑠𝑖∶existe un número infinito de 𝑗tales que (𝑖, 𝑗) ∈ 𝐴} ∪ {𝑟𝑗∶existe un número infinito de 𝑖tales que (𝑖, 𝑗) ∈ 𝐴}. Si 𝐴contiene un número infinito de 𝑎𝑖y a lo sumo un gran número finito de 𝑏𝑗, entonces 𝑎(𝐴) = 𝑎(𝐴∩ℕ×ℕ) ∪ 𝐴∪ {𝑥}. Si 𝐴contiene un número infinito de 𝑏𝑗y a lo sumo un gran número finito de 𝑎𝑖, entonces 𝑎(𝐴) = 𝑎(𝐴∩ℕ×ℕ) ∪ 𝐴∪ {𝑦}. Si 𝐴contiene un número infinito de 𝑎𝑖y un número infinito de 𝑏𝑗, entonces 𝑎(𝐴) = 𝑎(𝐴∩ℕ×ℕ) ∪ 𝐴∪ {𝑥, 𝑦}. En tal caso, (𝐸, 𝑎)es 𝑇2. Sin embargo como 𝑥e𝑦no se pueden separar mediante dos abiertos disjuntos, se tiene que (𝐸, 𝑎)no es 𝑇2. 4 Conexión En esta sección vamos a estudiar distintos tipos de conexión en espacios pretopológicos. En la literatura, encontramos una gran variedad de definiciones para esta propiedad, algunas son equivalentes y otras, a pesar de utilizar la misma definición son conceptos distintos. En primer lugar vamos a introducir la noción de conexo que define Stadler en [12], así como algunos resultados interesantes relacionados con la conexión y el concepto de 𝑍-conexo, introducidos en [8]. A continuación estudiaremos la conexión en 𝑆- espacios asociados a grafos dando tres conceptos nuevos de conexión (fuertemente, unilateralmente y débilmente conexo), ver [5]. Finalmente introduciremos la noción de conexo por camino en términos de relaciones, que aparece en [7] y [5]. 4.1 Conexión y separación de conjuntos Definición 4.1.1 Sea (𝐸, 𝑎)un espacio pretopológico y 𝐴 ⊆ (𝐸). Se dice que 𝐴 es conexo si no es unión disjunta de dos conjuntos no triviales débilmente separados. Observación 4.1.1 Todos los conjuntos unitarios son conexos. Si tomamos 𝐴= {𝑥}⊂ 𝐸, es obvio que no es unión disjunta de dos conjuntos no triviales débilmente separados. Definición 4.1.2 Sea (𝐸, 𝑎)un espacio pretopológico, se dice que es conexo si 𝐸 es conexo en (𝐸, 𝑎). 68 CAPÍTULO 4. CONEXIÓN Proposición 4.1.1 [12] Sea (𝐸, 𝑎)un -espacio. Un conjunto 𝐴 ⊆ 𝐸 es conexo si y solo si cada subconjunto propio 𝐵 ⊆ 𝐴 verifica: [𝑎(𝐵)∩(𝐴⧵𝐵)] ∪ [𝑎(𝐴⧵𝐵) ∩ 𝐵]≠∅ Esta condición se la conoce como la condición de Hausdorff-Lennes. En topología se define la conexión mediante abiertos y cerrados. Esa definición es equivalente a la que acabamos de enunciar solo cuando el espacio es de tipo 𝐷. Teorema 4.1.1 Sea (𝐸, 𝑎)un 𝐷-espacio. El conjunto 𝐸es conexo si y solo si 𝐸 no es unión disjunta de dos conjuntos 𝑎-abiertos (o 𝑎-cerrados). Demostración Supongamos que 𝐸no es conexo, en tal caso, existen 𝐴, 𝐵 ⊆ 𝐸 débilmente separados y disjuntos tales que 𝐸=𝐴∪𝐵. Como 𝐴∩𝑎(𝐵) = ∅, se tiene 𝑎(𝐵)⊆ 𝐴𝑐⊆ 𝐵, por lo que 𝑎(𝐵) = 𝐵es un 𝑎-cerrado. Como 𝑎(𝐴) ∩ 𝐵= ∅, análogamente se tiene que 𝐴es 𝑎-cerrado. Recíprocamente, supongamos que 𝐴y𝐵son dos 𝑎-abiertos disjuntos tales que 𝐸=𝐴∩𝐵. Como 𝐴=𝐵𝑐es un 𝑎-abierto, 𝐵es un 𝑎-cerrado. En consecuencia, 𝐴∩𝑎(𝐵) = 𝐴∩𝐵= ∅. Análogamente, se tiene que 𝑎(𝐴)∩𝐵= ∅, por lo que 𝐴y𝐵son débilmente separados y por tanto 𝐸no es conexo, llegando así a una contradicción. Dugundji [6] introdujo una definición equivalente de conexión al demostrar que un espacio topológico 𝑋está conectado si y solo si alguna función continua desde 𝑋 al espacio discreto {0,1} es constante. El siguiente resultado muestra que podemos extender esta definición a -espacios asumiendo que {0,1} es un -espacio 𝑇1. Teorema 4.1.2 Un -espacio (𝐸, 𝑎)es conexo si y solo si para todo -espacio 𝑇1, (𝐹 , 𝑎𝐹), con 𝐹= {0,1}, se tiene que cualquier función continua 𝑓∶𝐸←→ 𝐹es constante. Demostración Sea 𝐸conexo y 𝑓∶𝐸←→ 𝐹continua. Supongamos que 𝑓no es constante. En tal caso, existe 𝐴⊆𝐸tal que 𝐴=𝑓−1(0) y𝐴𝑐=𝑓−1({1}). Ahora, por la continuidad y por ser (𝐹 , 𝑎𝐹)𝑇1, se tiene que 𝑎𝐸(𝐴) ∩ 𝐴𝑐= ∅. Análogamente, 𝐴∩𝑎𝐸(𝐴𝑐)=∅. Por lo que hemos llegado a una contradicción, ya que 𝐸es conexo. En consecuencia, 𝑓es una función constante. 4.1. CONEXIÓN Y SEPARACIÓN DE CONJUNTOS 69 Recíprocamente, supongamos que 𝐸no es conexo. En tal caso, existen 𝐴, 𝐵 ⊆ 𝐸 débilmente separados tales que 𝐴∪𝐵=𝐸, por lo que 𝑎(𝐴)⊆ 𝐴 y𝑎(𝐵)⊆ 𝐵. Como 𝐴∪𝐵=𝐸,𝐴𝑐⊆ 𝐵, lo que implica que 𝑎(𝐴𝑐)⊆ 𝑎(𝐵)⊆ 𝐴𝑐. Tomamos el (𝐹 , 𝑎)tal que 𝐹= {0,1},𝑎(∅) = ∅,𝑎({0}) = {0},𝑎({1}) = {1} y𝑎(𝐹) = 𝐹. Es obvio que (𝐹 , 𝑎)es un -espacio 𝑇1. El teorema anterior nos servirá de gran utilidad para demostrar algunos resultados que vienen a continuación. Teorema 4.1.3 Sean (𝐸, 𝑎)y(𝐹 , 𝑎)dos -espacios y 𝑓∶ (𝐸, 𝑎)←→ (𝐹 , 𝑎)una función continua, entonces si 𝐸es conexo, 𝑓(𝐸)es conexo en 𝐹. Demostración Sea 𝑔∶𝑓(𝐸)←→ {0,1} una función continua, donde {0,1} es un -espacio 𝑇1. Como 𝑓es continua, entonces 𝑔◦𝑓∶𝐸←→ {0,1} es continua y como (𝐸, 𝑎)es conexo, 𝑔◦𝑓es constante. En consecuencia, 𝑔es constante por el Teorema 4.1.2, por lo que 𝑓(𝐸)es conexo. Observación 4.1.2 Como cada 𝐷-espacio es un -espacio, el Teorema 4.1.3 es una generalización del Teorema 18 de [12]. Teorema 4.1.4 Sea (𝐸, 𝑎)un 𝐷-espacio y 𝐴⊆𝐸un subespacio conexo, entonces 𝑎(𝐴)es conexo también. Demostración Sea 𝑓∶𝑎(𝐴)←→ {0,1} una función continua, donde {0,1} es un -espacio 𝑇1. Por la Proposición 2.3.4, 𝑓|𝐴∶𝐴←→ {0,1} es continua. Como 𝐴es conexo, entonces por el Teorema 4.1.2, 𝑓|𝐴es constante. Sea entonces 𝑓(𝐴) = {𝑥}, con 𝑥∈ 0,1, entonces por el Teorema 2.2.1 y la Proposición 3.2.1, se tiene que: 𝑓(𝑎(𝐴)) ⊆ 𝑎|{0,1}(𝑓(𝐴)) = 𝑎|{0,1}({𝑥}) ⊆{𝑥} En consecuencia, 𝑓∶𝑎(𝐴)←→ {0,1} es constante y por el Teorema 4.1.2, 𝑎(𝐴)es conexo. Observación 4.1.3 El Teorema 4.1.4 es una generalización del Teorema 17 de [12]. Lema 4.1.1 Sea (𝐸, 𝑎)un -espacio y 𝐴, 𝐵 ⊆ 𝐸. Si 𝐴y𝐵son conexos y 𝐴∩𝐵≠∅, entonces 𝐴∪𝐵es conexo. 76 CAPÍTULO 4. CONEXIÓN Ejemplo 4.3.4 Sea (𝐸, 𝑎∗)un 𝑆-espacio con 𝐸=𝐴∪𝐵∪𝐶, donde 𝐴= {1,2,3,4}, 𝐵= {5,6,7,8} y𝐶= {9,10,11,12}. 3 1 4 2 78 5 6 11 9 12 10 Se tiene que (𝐴, 𝑎∗|𝐴)es fuertemente conexo, (𝐵, 𝑎∗|𝐵)es unilateralmente conexo y(𝐶, 𝑎∗|𝐶)es débilmente conexo. Definición 4.3.5 Sea (𝐸, 𝑎)un espacio pretopológico y 𝐴 ⊆ 𝐸. Se dice que 𝐴es una componente 𝑥-conexa si (𝐴, 𝑎|𝐴)es 𝑥-conexo y si todo 𝐵tal que 𝐵 ⊂ 𝐴 ⊆ 𝐸 no es 𝑥-conexo. Ejemplo 4.3.5 Sea (𝐸, 𝑎∗)un 𝑆-espacio con 𝐸= {1,2,3,4,5,6,7,8} y𝑎∗la pseudoclausura definida para grafos. 5 1 6 2 78 3 4 Como podemos ver a simple vista, (𝐸, 𝑎∗)es débilmente conexo, por lo que 𝐸 es la única componente débilmente conexa. Además, es fácil comprobar que también es unilateralmente conexo e igualmente, 𝐸es la única componente unilateralmente conexa. Sin embargo, (𝐸, 𝑎∗)no es fuertemente conexo ya que por ejemplo no existe un camino de {6} a{5}. En el siguiente grafo mostramos todas las componentes fuertemente conexas que tiene (𝐸, 𝑎∗). 4.3. CONEXIÓN EN GRAFOS 77 5 1 6 2 78 3 4 Recordemos que en la Sección 4.1 se había definido la componente conexa de un elemento como la unión de todos los subconjuntos conexos que contienen al elemen- to. Por analogía, intentemos buscar las componentes unilateralmente conexas del siguiente ejemplo. Ejemplo 4.3.6 Consideremos el 𝑆-espacio (𝐸, 𝑎∗)dado por el siguiente grafo: 123 A simple vista vemos que la componente unilateralmente de {1} sería el conjunto {1,2} y la de {3} sería {2,3}, y ambos subconjuntos son efectivamente unilateralmente conexos. Sin embargo, la componente de {2} sería la unión de los subconjuntos unilateralmente conexos que contienen a {3}, es decir {1,2} ∪ {2,3} = 𝐸, pero 𝐸no es unilateralmente conexo. Por este motivo tan solo podremos afirmar o negar que un subconjunto es unilateralmente conexo, pero no podemos hacer una partición del espacio en componentes unilateralmente como lo hicimos en el ejercicio anterior con las componentes fuertemente conexas. En consecuencia se tiene el siguiente resultado. Proposición 4.3.3 Sea (𝐸, 𝑎)un -espacio y sea {𝐶𝑖}𝑖∈𝐽la familia de componentes 𝑥-conexas de (𝐸, 𝑎). ∙La familia {𝐶𝑖}𝑖∈𝐽es una partición de 𝐸en el caso de las componentes fuertemente o débilmente conexas. ∙La familia {𝐶𝑖}𝑖∈𝐽no es una partición de 𝐸en el caso de las componentes unilateralmente conexas. 78 CAPÍTULO 4. CONEXIÓN Demostración En [2] se encuentra detallada la demostración de la primera implicación. En el Ejemplo 4.3.6 se tiene que los subconjuntos 𝐶1= {1,2} y𝐶2= {2,3} son unilateralmente conexos y sin embargo 𝐶1∩𝐶2≠∅, por lo que {𝐶1, 𝐶2}no puede ser una partición de 𝐸. 4.4 Conexión por caminos en términos de relaciones Definición 4.4.1 Sea (𝐸, 𝑎𝑅)un 𝑆-espacio y 𝑥, 𝑦 ∈𝐸. Se dice que hay una cadena entre 𝑥e𝑦si para un cierto 𝑛≥0existe una secuencia (𝑥𝑖)0≤𝑖≤𝑛tal que 𝑥=𝑥0, 𝑥1,…, 𝑥𝑛=𝑦, con 𝑥𝑖−1𝑅𝑥𝑖o𝑥𝑖𝑅𝑥𝑖−1, para cada 𝑖= 1,…, 𝑛. Definición 4.4.2 Sea (𝐸, 𝑎𝑅)un 𝑆-espacio y 𝑥, 𝑦 ∈𝐸. Se dice que existe un camino de 𝑥a𝑦están conectados si para un cierto 𝑛≥0existe una secuencia (𝑥𝑖)0≤𝑖≤𝑛 con 𝑥=𝑥0, 𝑥1,…, 𝑥𝑛=𝑦, tal que 𝑥𝑖−1𝑅𝑥𝑖, para todo 𝑖= 1,…, 𝑛. En tal caso, se dirá que 𝑥e𝑦están conectados y se denota por 𝑥∼𝑅𝑦. A la secuencia (𝑥𝑖)0≤𝑖≤𝑛se le llamará camino entre 𝑥e𝑦. Definición 4.4.3 Sea (𝐸, 𝑎𝑅)un 𝑆-espacio y sean 𝑥, 𝑦 ∈𝐸tales que 𝑥∼𝑅𝑦. Se dice que la longitud de un camino (𝑥𝑖)0≤𝑖≤𝑛entre 𝑥=𝑥0e𝑦=𝑥𝑛es el entero 𝑛. Se dice entonces, que 𝑑𝑅(𝑥, 𝑦)=m ın{𝑛∶𝑥=𝑥0,…, 𝑥𝑛=𝑦}es la distancia entre 𝑥e 𝑦en (𝐸, 𝑎𝑅). Definición 4.4.4 Sea (𝐸, 𝑎𝑅)un 𝑆-espacio. Se dirá que es conexo por caminos si para cada par 𝑥, 𝑦 ∈𝐸,𝑥∼𝑅𝑦. Observación 4.4.1 La relación ∼𝑅es una relación de equivalencia en 𝐸y las componentes conexas por caminos de (𝐸, 𝑎𝑅)coinciden con las clases de equivalencia de la relación. Proposición 4.4.1 Sea (𝐸, 𝑎𝑅)un 𝑆- espacio. Si para todo par 𝑥, 𝑦 ∈𝐸existe una cadena entre 𝑥e𝑦, entonces (𝐸, 𝑎𝑅)es débilmente conexo. 4.4. CONEXIÓN POR CAMINOS EN TÉRMINOS DE RELACIONES 79 Demostración En primer lugar, recordemos que a 𝑥𝑅𝑦 si y solo si 𝑦∈𝑎𝑅(𝑥). Además podemos tomar 𝑎𝑅=𝑎∗, la pseudoclausura asociada a grafos. Si existe una cadena entre 𝑥e𝑦, entonces existe una secuencia (𝑥𝑖)0≤𝑖≤𝑛tal que 𝑥=𝑥0, 𝑥1,…, 𝑥𝑛=𝑦, con 𝑥𝑖∈𝑎(𝑥𝑖−1)o𝑥𝑖−1 ∈𝑎(𝑥𝑖), para cada 𝑖= 1,…, 𝑛. Como existe una cadena para cada par de elementos de 𝐸, entonces el grafo no dirigido asociado a (𝐸, 𝑎∗)es conexo y en consecuencia (𝐸, 𝑎𝑅)es débilmente conexo. Proposición 4.4.2 Un 𝑆-espacio (𝐸, 𝑎𝑅)es conexo por caminos si y solo si es fuertemente conexo. Demostración El 𝑆-espacio (𝐸, 𝑎𝑅)es conexo por caminos si y solo para cada par 𝑥, 𝑦 ∈𝐸,𝑥∼𝑅𝑦, es decir, si para todo par de elementos de 𝐸existe un camino que los une y esto es equivalente a la definición de fuertemente conexo Observación 4.4.2 Ambas proposiciones aparecen también demostradas en [5]. Definición 4.4.5 Un 𝑆-espacio (𝐸, 𝑎𝑅)es conexo si y solo si 𝐸no es unión disjunta de dos conjuntos 𝑎𝑅-abiertos no vacíos. Demostración Es inmediata por el Teorema 4.1.1. Bibliografía [1] Belmandt, Z. (2011). Basics of pretopology. Hermann. [2] Belmandt, Z. (1993). Manuel de pr 𝑒topologie et ses applications, Herm 𝑒s, Paris. [3]  𝐶ech, E., Frolík, Z., Katetov, M. (1966). Topological spaces. Interscience Publishers, Revised edition. [4] Dalud-Vincent, M., Brissaud, M., Lamure, M. (2011). Connectivities and Partitions in a Pretopological Space. International Mathematical Forum, 6, 45, 2201-2215 [5] Dalud-Vincent, M., Brissaud, M., Lamure, M. (2011). Pretopology, Matro 𝑖des and Hypergraphs. International Journal of Pure and Applied Mathematics, 67 (4), 363–375. [6] Dugundji, J. (1989). Topology. Wm. C. Brown Publishers. [7] Galton, A. (2003). A generalized topological view of motion in discrete space. Theoretical Computer Science, 305 (1-3), 111-134. [8] Habil, E. D., Elzenati, K. A. (2016). Connectedness in isotonic space, Turk. J. Math., 30, 247-257. [9] Habil, E. D. and Elzenati, K. A. (2008). Topological properties in isotonic spaces. Islamic University Journal, 16, 2, 5-13. [10] Kuratowski, K. (1966). Topology Volume I, Academic Press, Warsaw. [11] Levorato, V. (2008). Contributions à la modélisation des réseaux complexes: prétopologie et applications. Doctoral dissertation, Université Paris VIII Vincennes- Saint Denis. 82 BIBLIOGRAFÍA [12] Stadler, B. M., Stadler, P. F. (2002). Basic properties of closure spaces. J. Chem. Inf. Comput. Sci, 42, 577-585. [13] Stadler, B. M., Stadler, P. F. (2003). Higher separation axioms in generalized closure spaces. Comment. Math. Prace Mat., Ser. I, 43, 257-273. [14] Sunitha, T. A. (1994). Some problems in topology a study of  𝐶ech closure spaces., Thesis, School of Mathematical Sciences, Cochin University of Science and Technology, Cochin. [15] Vu Bui, Q. (2018). Pretopology and Topic Modeling for Complex Systems Analysis : Application on Document Classification and Complex Network Analysis. Modeling and Simulation. PSL Research University. NNT: 2018PSLEP034. tel-02147578. [16] Willard, S. (1970). General topology. Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 0-486-43479-6.