Estudio del efecto de la fricción en el movimiento de proyectiles y osciladores

Universidad de Sevilla Escuela Polit´ ecnica Superior de Sevilla Trabajo Fin de Grado en Ingenier´ ıa Mec´ anica. Curso 2020/2021. Estudio del efecto de la fricci´ on en el movimiento de proyectiles y osciladores. Realizado por: Manuel Jes´ us Garc´ ıa Luna Supervisado por: Dr. Bernardo S´ anchez-Rey Dra. Niurka R. Quintero Mayo 2021 ´ Indice general 1. Introducci ´ on. 3 2. Estudio de la fuerza de rozamiento viscoso en el MAS. 7 3. La fuerza de rozamiento entre superficies. 17 4. Estudio del tiro parab ´ olico con rozamiento. 27 5. Aplicaci´ on pr´ actica del tiro parab ´ olico con rozamiento. 31 6. Conclusiones. 35 7. Ap´ endice. Programas. 37 Bibliograf´ ıa .................................. 40 1 2´ INDICE GENERAL Cap´ıtulo 1 Introducci´ on. El rozamiento es un fen´ omeno que si bien en la vida diaria pasa desapercibido, en la ingenier´ ıa es crucial. Desde elevar una carga usando poleas hasta el vuelo de un avi´ on, el rozamiento est´ a presente como forma de disipaci´ on de energ´ ıa condicionando y limitando cual es la soluci´ on ´ optima. Por tanto, su estudio no es trivial y se remonta varios siglos atr´ as. Es ya en el siglo XV, con Leonardo da Vinci, con quien vemos el primer escrito acerca de este fen´ omeno. Da Vinci ya dedujo las leyes que determinan el movimiento de un bloque rectangular que desliza sobre una superficie horizontal, sin embargo este estudi´ o pas´ o desapercibido. No es hasta dos siglos despu´ es, en 1699, cuando Guillaume Amontons enuncia sus conclusiones al respecto, a saber, que la fuerza de rozamiento se opone al movimiento, que la fuerza de rozamiento es proporcional a la fuerza normal que ejerce el plano sobre el cuerpo y que el rozamiento no depende del ´ area de contacto. Amontons realiz´ o varios experimentos en los que med´ ıa la fuerza necesaria para acercar dos cuerpos para distintos niveles de carga, forma y planos sobre los que se apoyaban. Algunos materiales sobre los que realiz´ o su estudio fueron el cobre, la madera y el hierro, para los que prob´ o distintas combinaciones de carga y a los que untaba con grasa de cerdo fundida, que por aquel entonces era el lubricante que se usaba para reducir la fricci´ on y el desgaste. Amontons descubri´ o que la resistencia debida a la fricci´ on cuando las superficies est´ an lubricadas con grasa de cerdo fundida es la misma para distintos materiales, llegando a reducirse como m´ aximo hasta un tercio de la fuerza normal. Defini´ o as´ ı la fuerza de rozamiento como la fuerza necesaria que hay que aplicar sobre un cuerpo para que este supere las rugosidades superficiales. Para superficies r´ ıgidas estipul´ o que la fuerza de rozamiento era proporcional al peso del objeto. Para el caso de las superficies no r´ ıgidas concluy´ o que el rozamiento que experimenta 3 4CAP´ ITULO 1. INTRODUCCI ´ ON. un cuerpo es proporcional al desplazamiento del mismo, similar al coeficiente de elasticidad de los muelles. M´ as tarde, en el siglo XVIII, Charles Augustin Coulomb llev´ o a cabo varios experimentos a petici´ on de la Acad´ emie Royale des Sciences con la premisa de encontrar leyes y datos sobre la fricci´ on en un entorno m´ as pr´ actico. Los materiales que estudi´ o fueron los empleados en las m´ aquinas de la ´ epoca como la madera de roble, pino y olmo, los metales, concretamente el hierro y el cobre, as´ ı como los contactos de materiales heterog´ eneos como el de madera-metal. Coulomb realiz´ o m´ as de cien experimentos, llegando a hacer mas de mil mediciones, entre las cuales a veces podr´ ıa haber dilatados tiempos de espera de semanas solo para obtener resultados v´ alidos. Dependiendo de los experimentos, algunos respaldaban las leyes de Amontons y en otros descubri´ o que por ejemplo, el coeficiente de rozamiento es independiente de la velocidad de deslizamiento para una amplia variedad de condiciones de deslizamiento. Estos ensayos le sirvieron para constatar que las leyes propuestas por Amontons eran insuficientes. Es por ello que propuso nuevas interpretaciones f´ ısicas como la dependencia de la fricci´ on de la cohesi´ on superficial, la deformaci´ on superficial o el entrelazamiento de las fibras de madera para explicar varios resultados. A pesar de todo esto, Coulomb no lleg´ o a introducir ning´ un coeficiente de fricci´ on te´ orico ni redact´ o ninguna ley universal en lo referente a la fricci´ on. La teor´ ıa que ´ el desarroll´ o se basaba en resultados emp´ ıricos, permitiendo as´ ı su discusi´ on sobre el uso de la relaci´ on entre la fuerza normal y la de rozamiento propuestos anteriormente. El primer enfoque matem´ atico relativo a la fricci´ on fue llevado a cabo por Bernard Forrest de B´ elidor en 1737 y m´ as tarde por Leonhard Euler en 1750. B´ elidor propone modelar las asperezas superficiales como esferas unidas a las dos superficies en contacto. A trav´ es de este planteamiento concluy´ o que la relaci´ on entre la fuerza de rozamiento y la normal es independiente del n´ umero de asperezas superficiales. Este modelo, gracias a su gran simplicidad, ha sido ampliamente usado en el campo de la tribolog´ ıa hasta hace poco. Euler, bas´ andose en la resistencia geom´ etrica te´ orica de las interacciones de las asperezas piramidales entre dos superficies, desarrolla un enfoque m´ as anal´ ıtico y acu˜ na los t´ erminos de fricci´ on est´ atica y fricci´ on din´ amica. De esta forma Euler fue el primero en establecer los t´ erminos de coeficiente de rozamiento y ´ angulo de rozamiento que usamos hoy en d´ ıa. Para m´ as informaci´ on cons´ ultese [4]. Tras este breve resumen de los fundamentos del rozamiento desde que se 5 concibieron hasta varios siglos despu´ es, es el objetivo de este trabajo fin de estudios ahondar en algunos aspectos m´ as concretos. De esta forma en el cap´ ıtulo 2 se estudiar´ a un tipo diferente de rozamiento al presentado a lo largo de esta introducci´ on, el viscoso, aplicado al movimiento de un oscilador arm´ onico simple. En el cap´ ıtulo 3 se retomar´ a el estudio del oscilador arm´ onico pero ahora sometido a la influencia del rozamiento superficial. Posteriormente, en el cap´ ıtulo 4, se ver´ a el efecto del rozamiento viscoso pero ahora aplicado a un proyectil. Finalmente en el cap´ ıtulo 5 se ilustrar´ a una aplicaci´ on pr´ actica de lo aprendido en el cap´ ıtulo anterior como es la influencia del rozamiento en la propagaci´ on de los virus. Tambi´ en se ha incluido un ap´ endice en el que se recogen todos los programas utilizados en las simulaciones num´ ericas a lo largo de esta memoria. 6CAP´ ITULO 1. INTRODUCCI ´ ON. Cap´ıtulo 2 Estudio de la fuerza de rozamiento viscoso en el MAS. En el movimiento Arm´ onico Simple (MAS) amortiguado contamos con una part´ ıcula de masa mque puede desplazarse a lo largo de un eje, sobre la que act´ uan una fuerza el´ astica y otra de rozamiento, adem´ as de la fuerza normal y la fuerza de gravedad. La fuerza de rozamiento considerada es la debida al contacto entre la part´ ıcula y el fluido circundante y la fuerza de rozamiento entre las superficies de contacto se desprecia. Definimos la constante el´ astica como k=mω0, siendo ω0la frecuencia natural del oscilador, y el coeficiente de amortiguaci´ on como 2 mγ, siendo γel grado de amortiguaci´ on. Mediante la aplicaci´ on de la segunda ley de Newton obtenemos la siguiente expresi´ on: md2x dt2=−2mγdx dt −mω2 0x(t). (2.1) Si la dividimos entre my reordenamos sus t´ erminos obtenemos: d2x dt2+ 2γdx dt +ω2 0x(t) = 0. (2.2) La expresi´ on (2.2) es la ecuaci´ on diferencial ordinaria (EDO) del MAS amortiguado. As´ ı, al ser una EDO lineal de segundo orden, la soluci´ on general contiene dos constantes que suelen expresarse en funci´ on de un desplazamiento y velocidad iniciales x0yv0(condiciones iniciales). Para obtener la soluci´ on x(t) de la ecuaci´ on (2.2) usaremos una variable compleja z(t) tal que x(t) es su parte real, x(t) = Re[z(t)]. A su vez z(t) tambi´ en 7 14CAP´ ITULO 2. ESTUDIO DE LA FUERZA DE ROZAMIENTO VISCOSO EN EL MAS. polinomio de grado uno: F(t) = At +B, (2.21) siendo AyBdos par´ ametros a determinar. Ahora s´ ı podemos escribir una soluci´ on general de la siguiente forma: z(t)=(At +B)e−γt. (2.22) Esta expresi´ on si contiene dos par´ ametros independientes y por tanto s´ ı es soluci´ on general. Observamos que el ratio de decaimiento es γ, que es el mismo que el del caso sub-amortiguado, pero mayor que el del decaimiento a tiempos largos del caso sobre-amortiguado γ−Γ. As´ ı podemos concluir que la soluci´ on del caso de amortiguamiento cr´ ıtico es la soluci´ on no oscilatoria que decae con mayor rapidez a cero. Esta caracter´ ıstica se aprecia en la figura 2.6, donde para un mismo valor de ω0y distintos de γlas curvas de los casos sub-amortiguado y sobre-amortiguado tienden a la del caso cr´ ıtico. Figura 2.6: Comparaci´ on de los distintos reg´ ımenes en el MAS amortiguado: subamortiguado (azul, γ= 0,6s−1yω0= 1), sobre-amortiguado (rojo, γ= 1,2s−1y ω0= 1) y cr´ ıtico (verde, γ= 1s−1yω0= 1). Para las condiciones iniciales x0= 1m, v0= 0,5m/s. Una vez analizados los distintos casos lo ´ unico que nos falta para definir la soluci´ on es determinar los par´ ametros independientes. Normalmente, en el campo de la mec´ anica, estos par´ ametros son calculados a trav´ es de las condiciones iniciales. De esta manera teniendo en cuenta la posici´ on y la velocidad iniciales, x(0), y v(0), respectivamente, en la soluci´ on (2.9) podemos plantear la siguiente 15 ecuaci´ on matricial: (A)(Ψ)=(B)→ 1 1 −iω+−iω−! ψ+ ψ−!= x0 v0!. (2.23) Siempre que no nos encontremos en el caso de amortiguamiento cr´ ıtico, o sea ω06=γ, la matriz (A) tiene inversa, lo que permite encontrar los par´ ametros ψ+yψ−. Su expresi´ on matricial es igual a: ψ+ ψ−!=1 i(ω+−ω−) −iω−x0−v0 iω+x0+v0!. (2.24) Finalmente, si 0 ≤γ < ω0, la soluci´ on x(t) = Re[z(t)] de la ecuaci´ on (2.2) puede ser expresada como: x(t) = e−γthx0cos(Ωt) + γx0+v0 Ωsin(Ωt)i, (2.25) donde Ω=qω2 0−γ2. Si γ= 0 estamos en el caso no amortiguado y las oscilaciones tienen una amplitud constante y una frecuencia Ω=ω0. Mientras que si 0< γ < ω0las oscilaciones de frecuencia Ωse aten´ uan debido al amortiguamiento. Para el caso sobre-amortiguado, o sea γ > ω0simplemente se realiza el cambio Ω→iΓ=iqγ2−ω2 0, se emplea las relaciones entre las funciones trigonom´ etricas y las hiperb´ olicas en la expresi´ on (2.25), y se obtiene la soluci´ on: x(t) = e−γthx0cosh(Γt) + γx0+v0 Γsinh(Γt)i. (2.26) Si se simplifica esta expresi´ on, obtenemos: x(t) = x0 2+γx0+v0 2Γe−(γ−Γ)t+x0 2−γx0+v0 2Γe−(γ+Γ)t. (2.27) Es con esta expresi´ on con la que, ahora s´ ı, podemos explicar porqu´ e en la gr´ afica del MAS sobre-amortiguado se puede dar un crecimiento inicial en la posici´ on (ver figura 2.4). Esto se debe a que, debido a las condiciones iniciales utilizadas en la figura 2.4, el primer t´ ermino en la expresi´ on (2.27) es una exponencial decreciente positiva, sin embargo el segundo es una exponencial creciente negativa, de modo que la superposici´ on de ambas funciones produce el crecimien- to inicial de la posici´ on hasta su valor m´ aximo. Evidentemente lo acusado que pueda llegar a ser el crecimiento es determinado por la velocidad inicial, siendo 16CAP´ ITULO 2. ESTUDIO DE LA FUERZA DE ROZAMIENTO VISCOSO EN EL MAS. inexistente para cuando esta es cero y pr´ acticamente vertical para valores elevados. De cualquier forma, siempre que se tomen valores reales de x0yv0, la soluci´ on exacta existe para todo t. Para m´ as detalle, cons´ ultese [5]. Cap´ıtulo 3 La fuerza de rozamiento entre superficies. En el cap´ ıtulo anterior se ha estudiado la influencia del rozamiento existente entre un cuerpo y el medio, sin embargo no se ha considerado el que se produce debido al contacto entre superficies, que es de gran importancia en la industria de la mec´ anica. Concretamente nos ce˜ niremos al caso del movimiento arm´ onico simple, del que ya se habl´ o en la introducci´ on de este documento. As´ ı, consideramos un bloque de masa m, que descansa sobre un plano inclinado que forma un ´ angulo θcon el plano horizontal, y que est´ a conectado a un muelle de constante el´ astica kcomo se muestra en la figura 3.1: Figura 3.1: Oscilador arm´ onico sobre una superficie rugosa inclinada. Tomando como positivo el sentido ascendente del plano inclinado aplicamos la segunda ley de Newton. Teniendo en cuenta el sentido del desplazamiento del bloque obtenemos las siguientes ecuaciones: md2x dt2=−kx −mg sin(θ)−µmg cos(θ), (3.1) md2x dt2=−kx −mg sin(θ) + µmg cos(θ), (3.2) 17 18 CAP´ ITULO 3. LA FUERZA DE ROZAMIENTO ENTRE SUPERFICIES. donde xes la distancia que hay entre el bloque y la longitud natural del muelle. En este sistema la expresi´ on (3.1) se corresponde al movimiento ascendente, la (3.2) al descendente y µes el coeficiente de rozamiento de la superficie. Con el fin de simplificar las expresiones anteriores definimos un nuevo par´ ametro α±o aceleraci´ on constante efectiva: α±=µgcos(θ)±gsin(θ). (3.3) De esta forma podemos reescribir las ecuaciones (3.1) y (3.2), obteniendo: md2x dt2+kx +mα+= 0, (3.4) md2x dt2+kx −mα−= 0. (3.5) Resolvemos estas ecuaciones realizando el cambio de variable X(t) = x(t) + mα± k y teniendo en cuenta que la soluci´ on para el MAS sin rozamiento es de la forma Acos(ω0t+δ): x(t) = Bcos(ω0t+δ1)−α+ ω2 0 , (3.6) x(t) = Ccos(ω0t+δ2) + α− ω2 0 , (3.7) donde B,C,δ1yδ2son constantes a determinar mediante la posici´ on y la velocidad al inicio de cada semi-ciclo. Uno de los resultados derivados de las expresiones (3.6) y (3.7) es que la frecuencia ω0no depende del coeficiente de rozamiento, siendo su valor ω0=qk m. Esto choca con lo que vimos en el cap´ ıtulo 2, donde al modelar la influencia de la resistencia viscosa comprobamos que el rozamiento si afecta a la frecuencia de oscilaci´ on. Por ejemplo para el caso subamortiguado esta toma el valor qω2 0−γ2. Esto se debe a que consideramos que la fuerza de rozamiento, en este caso, no es proporcional a la velocidad sino a la fuerza normal. Continuando con nuestro an´ alisis, ahora determinaremos los puntos en los que el cuerpo se detiene. Esto se produce cada vez que el bloque alcanza la distancia m´ axima en ambos sentidos. As´ ı la primera parada se produce al final de la primera semioscilaci´ on en t1=π ω0. Para nuestro caso suponemos que el muelle se encontraba comprimido una determinada distancia inicial x(0) = X0 respecto a la longitud natural del muelle por lo que el movimiento comenzar´ a en sentido descendente. Adem´ as consideramos que parte del reposo por lo que la velocidad inicial es cero, v(0) = 0. De esta forma la din´ amica est´ a definida por la ecuaci´ on de descenso (3.7). Deriv´ andola obtenemos la expresi´ on para la 19 velocidad con la que desciende el cuerpo: v1(t) = −Cω0sin(ω0t+δ2), (3.8) donde el sub´ ındice 1 indica que se trata del primer semi-ciclo. Teniendo en cuenta la condici´ on inicial de velocidad, v(0) = 0, determinamos el valor de δ2: δ2= 0. (3.9) Considerando ahora que x(t) = 0 en la ecuaci´ on (3.7) calculamos el valor de C: C=X0−α− ω2 0 . (3.10) Con estos datos podemos derivar la expresi´ on (3.8) para obtener la ecuaci´ on de la aceleraci´ on y as´ ı definir completamente la din´ amica del cuerpo en el primer semi-ciclo como: x1(t) = X0−α− ω2 0cos(ω0t) + α− ω2 0 , (3.11) v1(t) = −X0−α− ω2 0ω0sin(ω0t), (3.12) a1(t) = −X0−α− ω2 0ω2 0cos(ω0t), (3.13) para el intervalo de tiempo 0 ≤t≤t1, donde t1es el instante en el que la velocidad se vuelve cero indicando el cambio de sentido en el movimiento. A partir de ese instante el cuerpo comienza a ascender y se inicia la segunda semioscilaci´ on, π ω0≤t≤t2, por tanto usamos la expresi´ on (3.6). De forma similar a como hicimos anteriormente, derivamos la ecuaci´ on (3.6) para obtener la expresi´ on de la velocidad durante el ascenso: v2(t) = −Bω0sin(ω0t+δ1). (3.14) Para el inicio del segundo ciclo la velocidad inicial es cero pues es cuando se produce el cambio de sentido en el movimiento. De esta forma despejamos el valor de δ1: δ1= 0. (3.15) Para determinar el par´ ametro Bcalculamos la distancia al comienzo del segundo 20 CAP´ ITULO 3. LA FUERZA DE ROZAMIENTO ENTRE SUPERFICIES. semi-ciclo que determinamos tomando t=π ω0en la expresi´ on (3.7): x1π ω0=−X0−2α− ω2 0. (3.16) Igualando este resultado con la expresi´ on (3.6) obtenemos el valor de B: B=X0−2α− ω2 0−α+ ω2 0. (3.17) Con estos resultados podemos definir, del mismo modo a como se hizo durante el descenso, la din´ amica del cuerpo durante el ascenso de la segunda semioscilaci´ on: x2(t) = X0−2α− ω2 0−α+ ω2 0cos(ω0t)−α+ ω2 0 , (3.18) v2(t) = −X0−2α− ω2 0−α+ ω2 0ω0sin(ω0t), (3.19) a2(t) = −X0−2α− ω2 0−α+ ω2 0ω2 0cos(ω0t), (3.20) para el intervalo π ω0≤t≤2π ω0. Repitiendo este proceso varias veces para las siguientes semioscilaciones nos damos cuenta de que podemos expresar la din´ amica para el n-´ esimo medio ciclo como: xn(t) = X0−α− ω2 0−(n−1)α−+α+ ω2 0cos(ω0t+) + α−[1 −(−1)n]−α+[1 + (−1)n] 2ω2 0 , (3.21) vn(t) = −X0−α− ω2 0−(n−1)α−+α+ ω2 0ω0sin(ω0t), (3.22) an(t) = −X0−α− ω2 0−(n−1)α−+α+ ω2 0ω2 0cos(ω0t), (3.23) para un intervalo π(n−1) ω0<t<πn ω0, siendo n= 1,2,3,4... De forma similar, podemos establecer las expresiones para el n-´ esimo medio ciclo de un sistema que parta del reposo con el muelle elongado una cierta distancia X0. Obtenemos as´ ı las siguientes expresiones: xn(t) = −X0+α+ ω2 0 + (n−1)α−+α+ ω2 0cos(ω0t) + α−[1 + (−1)n]−α+[1 −(−1)n] 2ω2 0 , (3.24) 21 vn(t) = −−X0+α+ ω2 0 + (n−1)α−+α+ ω2 0ω0sin(ω0t), (3.25) an(t) = −−X0+α+ ω2 0 + (n−1)α−+α+ ω2 0ω2 0cos(ω0t). (3.26) Observando las ecuaciones (3.6) y (3.7) nos damos cuenta que el bloque se detiene en las posiciones para las que el coseno vale ±1. Dichas posiciones se pueden calcular con la siguiente expresi´ on: Xn=X0−2nµgcos(θ) ω2 0 +gsin(θ) ω2 0 [1 −(−1)n](−1)n, (3.27) Xn=−X0+2nµgcos(θ) ω2 0 +gsin(θ) ω2 0 [1 −(−1)n](−1)n. (3.28) Hay que tener en cuenta que las expresiones planteadas hasta ahora dependen del n´ umero de iteraciones n, pues cuando este alcanza cierto valor la trayectoria en vez de continuar decreciendo comienza a crecer. Esto es algo que sabemos que no es f´ ısicamente posible sin que apliquemos nuevas fuerzas sobre el cuerpo. Ello se debe a que, como se dijo al inicio de este cap´ ıtulo, la amplitud (en valor absoluto) disminuye a raz´ on constante por lo que a partir de cierto ciclo cuando estamos muy pr´ oximos a la posici´ on de equilibrio el papel de dicha disminuci´ on se invierte y comienza a aumentar la amplitud. Este comportamiento se corresponde con el que experimenta un objeto bajo los efectos de resonancia donde su amplitud crece indefinidamente. Es por esto que necesitamos definir los factores que hacen que el cuerpo se detenga definitivamente. Para ello debemos hacer una distinci´ on respecto al coeficiente de rozamiento, separ´ andolo en est´ atico y din´ amico. De esta forma, el coeficiente con el que hemos estado tratando hasta ahora se corresponde con el coeficiente din´ amico y ser´ a el est´ atico el que nos permitir´ a calcular cuando el cuerpo vuelve al reposo. Para ello debemos aplicar una condici´ on tal que nos permita determinar si el cuerpo permanece en reposo o no. Dicha condici´ on ser´ a la de fuerza de rozamiento m´ axima. Los puntos candidatos en los que debemos aplicarla son en aquellos en los que la velocidad es cero. De esta forma contamos con dos posibilidades, al final del movimiento de ascenso y al final del de descenso. As´ ı, establecemos las siguientes condiciones: µegcos(θ)≥ω2 0|x|+gsin(θ), (3.29) µegcos(θ)≥ω2 0|x|−gsin(θ), (3.30) 22 CAP´ ITULO 3. LA FUERZA DE ROZAMIENTO ENTRE SUPERFICIES. donde la expresi´ on (3.29) corresponde al inicio del descenso y la (3.30) al inicio del ascenso. Al comprobar que la inecuaci´ on correspondiente se cumple para el valor de xen el que se encuentre en reposo podemos saber si el cuerpo contin´ ua en reposo o si por el contrario vuelve a oscilar. De esta forma podemos representar las ecuaciones (3.21), (3.22) y (3.23) obteniendo las siguientes gr´ aficas: Figura 3.2: Trayectoria de un cuerpo de masa m= 4kg sobre una superficie inclinada θ=π 6rad, conectado a un resorte de constante el´ astica k= 500N/m, que se encuentra comprimido X0= 1m, con coeficiente de rozamiento din´ amico µ= 0,5 y coeficiente de rozamiento est´ atico µe= 0,55 para n= 14 iteraciones. Figura 3.3: Velocidad de un cuerpo de masa m= 4kg sobre una superficie inclinada θ=π 6rad, conectado a un resorte de constante el´ astica k= 500N/m, que se encuentra comprimido X0= 1m, con coeficiente de rozamiento din´ amico µ= 0,5 y coeficiente de rozamiento est´ atico µe= 0,55 para n= 14 iteraciones. Para la representaci´ on de estas gr´ aficas se ha implementado un programa que puede consultarse en el cap´ ıtulo 7. En la figura 3.2 observamos que el cuerpo se detiene finalmente a los 3,93spara una distancia x= 0,049mrespecto a 23 Figura 3.4: Aceleraci´ on de un cuerpo de masa m= 4kg sobre una superficie inclinada θ=π 6rad, conectado a un resorte de constante el´ astica k= 500N/m, que se encuentra comprimido X0= 1m, con coeficiente de rozamiento din´ amico µ= 0,5 y coeficiente de rozamiento est´ atico µe= 0,55 para n= 14 iteraciones. la longitud natural del resorte, es decir el muelle est´ a comprimido. Es interesante notar que en la gr´ afica 3.4 la aceleraci´ on experimenta unas discontinuidades de salto finito al final de cada semioscilaci´ on hasta que el cuerpo se detiene finalmente. Esto se debe a los cambios de sentido de la velocidad que provocan un gradiente de aceleraci´ on muy elevado. El an´ alisis realizado hasta ahora se puede abordar tambi´ en desde el punto de vista de la energ´ ıa. Para ello partimos del teorema de las fuerzas vivas, que establece la variaci´ on en la energ´ ıa cin´ etica como la suma del trabajo de las fuerzas que act´ uan sobre un cuerpo: ∆Ec=WFr +We+Wmg, (3.31) siendo ∆Ecla variaci´ on de la energ´ ıa cin´ etica, WFr el trabajo de la fuerza de rozamiento, Weel trabajo de la fuerza el´ astica y Wmg el trabajo del la fuerza gravitatoria. Sustituyendo el valor de cada t´ ermino obtenemos: 1 2mv2 n=−µmg cos(θ)|xn−x0n|−mg sin(θ)xn+mg sin(θ)x0n−1 2kx2 n+1 2kx2 0n, (3.32) donde el sub´ ındice 0nindica el valor del t´ ermino correspondiente al inicio de dicha semioscilaci´ on. El t´ ermino 1 2mv2 0nse ha obviado pues al inicio de cada semi-ciclo la velocidad es cero. Si consideramos que el cuerpo desciende y reor- 30 CAP´ ITULO 4. ESTUDIO DEL TIRO PARAB ´ OLICO CON ROZAMIENTO. masa obtenemos: vx(t)≈v0x1−bt m≈v0x, (4.10) vy(t)≈−mg b1−1 + bt m+v0y1−bt m≈ −gt +v0y, (4.11) que son las expresiones de la velocidad para un tiro parab´ olico sin rozamiento. De forma an´ aloga, podemos hacer lo mismo con las expresiones de la posici´ on: x(t)≈x0+m bv0x1−1 + bt m≈x0+v0xt, (4.12) y(t)≈y0+m bv0y+mg b1−1 + bt m−b2t2 2m2−gt≈ ≈y0+v0y1−b2t2 2m2−gt2 2≈y0+v0yt−gt2 2. (4.13) Como cab´ ıa de esperarse, las ecuaciones para la posici´ on tambi´ en son las mismas que las del caso sin rozamiento. Sin embargo, hay que resaltar que para periodos de tiempo largos el efecto previamente descrito empieza a equilibrarse dada la relaci´ on de cociente que tienen myt(ver figura 4.3). De esta forma podemos concluir que para valores elevados de masa se consigue obviar el efecto del rozamiento pero este vuelve cuando se alcanza un determinado tiempo cr´ ıtico, tc. Figura 4.3: Comparaci´ on de la trayectoria de un tiro parab´ olico con rozamien- to (rojo) y sin rozamiento (azul) para x0= 0m,y0= 0m,v0x= 7m/s,v0y= 12,124m/s,m= 1kg yb= 0,0033N·s/m. Esta trayectoria es la trazada durante los primeros 10sde vuelo. Cap´ıtulo 5 Aplicaci´ on pr´ actica del tiro parab´ olico con rozamiento. En el a˜ no de 2020 se dio una noticia que impact´ o a toda la comunidad internacional. Lo que empez´ o consider´ andose como una simple neumon´ ıa en Wuhan (China) resultar´ ıa ser un nuevo tipo coronavirus, el SARS-CoV-2, que comenzaba a propagarse por el resto de pa´ ıses. Ante el auge de contagios, los distintos pa´ ıses afectados empezaron a optar por diversas medidas, siendo una com´ un la del distanciamiento social. Esto se debe a la capacidad de los virus de transmitirse por el aire gracias a las gotitas de saliva que producimos al toser, estornudar, hablar etc. As´ ı, manteniendo una determinada distancia xentre personas se puede reducir el riesgo de contagio en la poblaci´ on. Es el objetivo de este cap´ ıtulo el c´ alculo de dicha distancia, haciendo uso del conocimiento del tiro parab´ olico y del efecto de la fricci´ on. En el cap´ ıtulo anterior se supuso que la fuerza de rozamiento es linealmente proporcional a la velocidad, no obstante esto no es cierto si el objeto alcanza velocidades elevadas. Existen diversos modelos, para nuestro caso usaremos uno que establece una relaci´ on con la velocidad algo m´ as compleja en la que adem´ as se considera el efecto del medio sobre el cuerpo con mayor detalle. De esta forma la expresamos como: ~ Fr =−πd2ρa 8Cd(v)v~ v, (5.1) donde v=qv2 x+v2 yyCdes el coeficiente de resistencia aerodin´ amica adimen- 31 32CAP´ ITULO 5. APLICACI ´ ON PR ´ ACTICA DEL TIRO PARAB ´ OLICO CON ROZAMIENTO. sional, el cual puede modelarse a trav´ es del n´ umero de Reynolds: Cd=24 Re(v) 1 + pRe(v) 9,06 !, (5.2) siendo Re el numero de Reynolds, que depende de la velocidad v, la densidad del aire ρa, el di´ ametro dy la viscosidad del medio η: Re =ρavd η. (5.3) De esta forma, aplicamos la segunda ley de Newton en los ejes x e y: mdvx dt =−πd2ρa 8Cd(v)vvx, (5.4) dx dt =vx, (5.5) mdvy dt =−mg −πd2ρa 8Cd(v)vvy, (5.6) dy dt =vy. (5.7) El sistema formado por las ecuaciones (5.4)-(5.7) no es lineal y tampoco resoluble anal´ ıticamente por lo que debe resolverse num´ ericamente. Es necesario definir las propiedades de las gotitas de saliva que transportan las infecciones respiratorias, para ello nos basamos en los resultados arrojados por el art´ ıculo Anatomy of sneeze ejecta [3]. En dicho art´ ıculo se establece que las gotitas son esf´ ericas y que su di´ ametro oscila entre 1mm y 160µmy que la velocidad inicial es de unos 14m/s, direcci´ on horizontal. Como datos de partida contamos con g= 9,8m/s2,v0= 14m/s,x(0) = 0m,y(0) = 2m,η= 1,85 · 10−5N·s/m2,ρa= 1,29kg/m3y la densidad de la saliva ρs= 1000kg/m3. Para la resoluci´ on del sistema de ecuaciones (5.4)-(5.7) se ha optado por utilizar el m´ etodo de Runge-Kutta de orden 4 (para m´ as detalle cons´ ultese el cap´ ıtulo 7). Una vez resuelto el sistema obtenemos que la gotita de 1mm tiene un alcance de 3,45my un tiempo de vuelo de 0,9smientras que la de 160µmtiene un alcance de 0,32my un tiempo de vuelo de 4,24s. Como se puede observar en la figura 5.1, la gotita de 160µmexperimenta un cambio muy brusco en su trayectoria. Con intenci´ on de observar como una trayectoria como la de la gotita de 1mm pasa a una como de la de 160µmse ha representado la soluci´ on para un di´ ametro de 500µma modo de caso intermedio. Para este nuevo di´ ametro, cuyo tiempo de vuelo de 1,23s, vemos que empieza a exhibir el mismo comportamien- 33 Figura 5.1: Representaci´ on de la soluci´ on del sistema 5.4 5.7 para unas gotitas de di´ ametros 1mm (rojo), 160µm(azul) y 500µm(naranja). to que la de 160µmsi bien el cambio en este caso no es tan brusco. Observando la evoluci´ on de la velocidad de la gotita de 160µmen la figura 5.2 vemos que tras pasar un determinado tiempo, 1,81spara vxy 1,48spara vy, estas se vuelven constantes con vx= 0m/syvy=−0,48m/s, lo que propicia el cambio tan dr´ astico en la evoluci´ on de su trayectoria. Para el caso de 500µmevidentemente estos tiempos ser´ an mayores por lo que si suponemos que contin´ uan con su descenso, vxse vuelve constante a los 2,4syvya los 1,67s. Figura 5.2: Representaci´ on de las velocidades de las gotitas de di´ ametro 1mm (rojo), 500µm(naranja) y 160µm(azul). A modo de peque˜ no inciso podemos modelar la trayectoria de las gotitas con las expresiones deducidas en el apartado del tiro parab´ olico del cap´ ıtulo anterior. Sin embargo solo con un r´ apido vistazo a la figura 5.3 observamos que el resultado es muy distinto. Las trayectorias para los dos di´ ametros son coincidentes, con un tiempo de vuelo de 0,66sy un alcance de 8,29m. Esto deja patente 34CAP´ ITULO 5. APLICACI ´ ON PR ´ ACTICA DEL TIRO PARAB ´ OLICO CON ROZAMIENTO. la importancia de elegir un modelo adecuado para las simulaciones, pues esta soluci´ on difiere bastante de la obtenida con la aproximaci´ on presentada en este cap´ ıtulo. Figura 5.3: Representaci´ on de la trayectoria de las gotita de di´ ametros 1mm y 160µm. Con estos resultados podemos ver que la distancia m´ ınima de seguridad entre personas ha de ser 3,45m. Si bien cuando el tama˜ no de la gotita es menor su alcance tambi´ en lo es, a partir de los 5µmentramos en la categor´ ıa de aerosoles, para los cueles las expresiones que se han desarrollado en este cap´ ıtulo dejan de ser correctas. Esto se debe a que entra en juego el comportamiento browniano de las part´ ıculas permitiendo que puedan mantenerse en el aire por largos periodos de tiempo, no obstante, los estornudos y toses no suelen generar una cantidad suficiente de estas como para que se pueda considerar un efecto importante. Cap´ıtulo 6 Conclusiones. Lo expuesto a lo largo de esta memoria permite arribar a las siguientes conclusiones: Relativo al estudio de la fuerza de rozamiento viscoso en el MAS. Se ha demostrado que al considerar la fuerza de rozamiento viscosa como dependiente de la velocidad nos podemos encontrar con tres posibilidades en el comportamiento del sistema, a saber, caso sub-amortiguado, sobreamortiguado y amortiguamiento cr´ ıtico, donde cada caso queda definido por el grado de amortiguamiento (γ) y la frecuencia natural del oscilador (ω0). Esto desemboca en una amplitud que decrece de forma exponencial y una frecuencia del sistema que depende del grado de amortiguaci´ on. Tambi´ en se ha mostrado que los n´ umeros complejos juegan un papel importante en la resoluci´ on de las ecuaciones que definen el movimiento arm´ onico aunque finalmente solo consideremos como soluci´ on su parte real. Un ejemplo de este tipo de sistemas oscilatorios es el de los amortiguadores en veh´ ıculos. Relativo a la fuerza de rozamiento entre superficies en el MAS. Se consider´ o la fuerza de rozamiento como proporcional a la fuerza normal que ejerce la superficie sobre el cuerpo. De esta forma, nos encontramos con un an´ alisis que result´ o estar lejos de ser trivial pues nos encontramos con un sistema de ecuaciones que debemos resolver por partes. En contraste con el caso del amortiguamiento viscoso se demostr´ o que para este tipo de sistemas la amplitud decrece de forma lineal y que su frecuencia no depende del coeficiente de rozamiento. Adem´ as se vio que para este an´ alisis es necesario determinar si en los puntos de retorno el cuerpo continua en reposo o vuelve a oscilar, esto se hizo considerando el coeficiente 35 36 CAP´ ITULO 6. CONCLUSIONES. de rozamiento tanto est´ atico como din´ amico pues de lo contrario el modelo matem´ atico no se corresponde con el comportamiento real. Este desarrollo tambi´ en es ´ util desde un punto de vista emp´ ırico, pues se puede emplear para el c´ alculo de coeficientes de fricci´ on entre superficies. Un ejemplo de este tipo de comportamiento es el que podemos encontrar en los pistones neum´ aticos. Relativo al estudio del tiro parab´ olico con rozamiento. Model´ andose la fuerza de rozamiento como viscosa, es decir, proporcional a la velocidad, se estudi´ o el comportamiento de proyectiles peque˜ nos dejando patente sus diferencias con el tiro parab´ olico sin rozamiento. As´ ı, se concluy´ o que despu´ es de cierto tiempo de vuelo la componente en xde la velocidad se vuelve constante y que su componente en ydisminuye de forma constante. De este hecho se deduce tambi´ en que en dicho instante la trayectoria del proyectil se convierte en un movimiento de ca´ ıda libre. Estudiando el efecto de la masa en la din´ amica del proyectil se lleg´ o a la conclusi´ on de que es posible hacer que el proyectil se comporte como si no sufriera los efectos del rozamiento durante cierto periodo de tiempo, tras el cual el efecto del rozamiento vuelve a hacerse patente. Relativo a la aplicaci´ on pr´ actica del tiro parab´ olico con rozamiento Con los conocimientos adquiridos sobre el rozamiento y los tiros parab´ olicos se decidi´ o aplicarlos a un tema de actualidad como es la pandemia del SARS-CoV-2. De esta forma se estudi´ o el alcance que tendr´ ıa una gotita de saliva expulsada por una persona, pues el virus las utiliza como medio de propagaci´ on. Se concluye as´ ı que la distancia de seguridad entre personas ha de ser de m´ ınimo 3,45m. En este an´ alisis no se consider´ o el comportamiento browniano de part´ ıculas de peque˜ no di´ ametro. Cap´ıtulo 7 Ap´ endice. Programas. El siguiente programa calcula la posici´ on, velocidad, aceleraci´ on y energ´ ıa mec´ anica de un cuerpo que describe un MAS donde la fuerza de rozamiento es superficial. Usado en el cap´ ıtulo 3. function [POS, VEL ,ACC,E]= dinamica ( g , mue, mud, teta ,m, k , x0 , T ,M) % g=gravedad , mue=coef . roz . est a t i c o , mud=coef . roz . dinamico , t e t a =angulo del plano , m=masa , k=constante e l s t i c a , x0= pos ic ion i n i c i a l , T=numero de i t e r a c i o n e s y M=numero de p a r t i c i o n e s en cada semi− c i c l o w=sqrt ( k /m) ; a1=mud*g*cos ( t e t a ) +g*sin ( t e t a ) ; a2=mud*g*cos ( t e t a ) −g*sin ( t e t a ) ; % D i s c r e t i z a e l tiempo tiempo = [ 0: pi /w/M: T*pi /w ] ; for n=1:T % Calcula la posicion pos ( ( n−1) *M+1:n*M) =(x0−a2 /wˆ2 −(n−1) *( a2+a1 ) /wˆ 2 ) *cos (w* tiempo ( ( n−1) *M+1:n*M) ) +(a2 *(1 −( −1) ˆ n ) −a1 *(1+( −1) ˆ n ) ) / ( 2 *wˆ 2 ) ; % Calcula la velocidad vel ( ( n−1) *M+1:n*M) =−(x0−a2 /wˆ2 −(n−1) *( a2+a1 ) /wˆ 2 ) *w*sin (w*tiempo ( ( n−1) *M+1:n*M) ) ; % Calcula la aceleracion acc ( ( n−1) *M+1:n*M) =−(x0−a2 /wˆ2 −(n−1) *( a2+a1 ) /wˆ 2 ) *wˆ 2* cos(w*tiempo ( ( n−1) *M+1:n*M) ) ; % Comprueba s i permanece en reposo a l f i n a l del descenso i f ( −1) ˆ n<0 i f abs ( pos ( n*M) ) <=((mue*g*cos ( t e t a ) +g*sin ( t e t a ) ) /wˆ 2 ) pos ( n*M+1:T*M) =pos ( n*M) ; vel ( n*M+1:T*M) =0; 37 38 CAP´ ITULO 7. AP ´ ENDICE. PROGRAMAS. acc ( n *M+1:T*M) =0; break end % Comprueba s i permanece en reposo a l f i n a l del ascenso else i f pos ( n*M) <=((mue*g*cos ( t e t a ) −g*sin( t e t a ) ) /w ˆ 2 ) pos ( n*M+1:T*M) =pos ( n*M) ; vel ( n*M+1:T*M) =0; acc ( n *M+1:T*M) =0; break end end end POS=[ x0 pos ] ; VEL=[0 vel ] ; ACC=[0 acc ] ; E= [1/2*k*x0ˆ2+m*g*sin( t e t a ) *x0 1/2*m*vel .ˆ2+1/2*k*pos .ˆ2 +m*g* sin( t e t a ) *pos ] ; end El siguiente programa expresa de forma impl´ ıcita la ecuaci´ on diferencial que modela la componente xde la velocidad de un proyectil. Usado en el cap´ ıtulo 5. function [ Vx]= rozraynoldsxmod ( d ,m, denair , ro , vx , vy ) % Ecuacion de la velocidad en el eje x % d=diametro , m=masa , den ai r=densidad de l air e , ro=v isc osi dad del a i r e v=sqrt ( vx ˆ2+ vy ˆ 2 ) ; Re=denair *v*d / ro ; Cd=(24/Re) *(1+ ( sqrt (Re) / 9 . 0 6 ) ) ˆ 2 ; Vx= −(( pi *d ˆ 2*denair ) / ( 8 *m) ) *Cd*vx *v ; end El siguiente programa expresa de forma impl´ ıcita la ecuaci´ on diferencial que modela la componente yde la velocidad de un proyectil. Usado en el cap´ ıtulo 5. function [ Vy]= rozraynoldsymod ( d ,m, denair , ro , vx , vy ) % Ecuacion de la velocidad en el eje y % d=diametro , m=masa , den ai r=densidad de l air e , ro=v isc osi dad del a i r e g =9 .8 ; v=sqrt ( vx ˆ2+ vy ˆ 2 ) ; Re=denair *v*d / ro ; Cd=(24/Re) *(1+ ( sqrt (Re) / 9 . 0 6 ) ) ˆ 2 ; Vy=−g −( ( pi *d ˆ2*denair ) / ( 8 *m) ) *Cd*vy *v ; 39 end El siguiente programa ejecuta el m´ etodo de Runge-Kutta de orden 4 para las ecuaciones diferenciales de la velocidad en los ejes xeyde un proyectil. Dichas EDO est´ an modeladas por los dos programas anteriores, representadas en los datos de entrada como FyGpara las componentes xeyrespectivamente. De esta forma los datos de salida son la posici´ on (XeY), velocidad (vX yvY )y tiempo (T) para el intervalo [a b]yn´ umero de nodos (Nk) dados. Usado en el cap´ ıtulo 5. function [X, Y, vX , vY , T]= rungekuttamod (F ,G, x0 , y0 , vx0 , vy0 , a , b , Nk) % Calculo del paso h=(b−a ) / Nk ; % Primeros terminos de los vectores solucion vX ( 1 ) =vx0 ; vY ( 1 ) =vy0 ; X( 1 ) =x0 ; Y( 1 ) =y0 ; T ( 1 ) =a ; h2=h / 2 ; h6=h / 6 ; for k =1:Nk−1 % Calculo de los c o e f i c i e n t e s % Primer paso f1x=vX ( k ) ; g1y=vY ( k ) ; f1 =F ( vX ( k ) ,vY ( k ) ) ; g1=G( vX ( k ) ,vY ( k ) ) ; % Segundo paso f2x=vX ( k ) +h2 *f1 ; g2y=vY ( k ) +h2 *g1 ; f2 =F ( vX ( k ) +h2 *f1 , vY ( k ) +h2 *g1 ) ; g2=G( vX ( k ) +h2 *f1 , vY ( k ) +h2 *g1 ) ; % Tercer paso f3x=vX ( k ) +h2 *f2 ; g3y=vY ( k ) +h2 *g2 ; f3 =F ( vX ( k ) +h2 *f2 , vY ( k ) +h2 *g2 ) ; g3=G( vX ( k ) +h2 *f2 , vY ( k ) +h2 *g2 ) ; % Cuarto paso f4x=vX ( k ) +h *f3 ; g4y=vY ( k ) +h *g3 ; f4 =F ( vX ( k ) +h*f3 , vY ( k ) +h *g3 ) ; g4=G( vX ( k ) +h *f3 , vY ( k )+h *g3 ) ; % Calculo de la solucion en el punto k X( k+1)=X( k ) +h6 *( f1x +2*f2x +2*f3x+f4x ) ;