Técnicas multivariantes de inferencia estadística simultánea

TÉCNICAS MULTIVARIANTES DE INFERENCIA ESTADÍSTICA SIMULTÁNEA Isabel María López Roldán Junio 2022 GRADO EN MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA TÉCNICAS MULTIVARIANTES DE INFERENCIA ESTADÍSTICA SIMULTÁNEA Trabajo Fin de Grado realizado por: Isabel María López Roldán Profesor tutor: Juan Manuel Muñoz Pichardo Dedicado a mi familia, por su paciencia infinita. A Jorge, mi mayor pilar en estos años. Y a mis amigas, por su apoyo incondicional. RESUMEN Este trabajo aborda el problema de la inferencia estadística simultánea en poblaciones multivariantes. El documento se estructura en seis capítulos, iniciándose con una introducción que incluye los objetivos de la inferencia simultánea así como sus orígenes y primeros resultados destacables. El segundo capítulo contiene una serie de resultados previos que serán de gran utilidad en algunas ocasiones a lo largo de este trabajo. Posteriormente, en los dos siguientes capítulos, se recoge el cuerpo central del trabajo con los contenidos teóricos sobre las distintas técnicas de inferencia simultánea, para una única población y para kpoblaciones, respectivamente. En el quinto capítulo y con objeto de ilustrar la necesidad y utilidad de estas técnicas se aplican a conjuntos de datos reales, para lo cual se recoge, adicionalmete, la implementación necesaria en R. Finalmente, se incluyen las conclusiones obtenidas tras la elaboración del trabajo. ABSTRACT This project is about simultaneous statistical inference on multivariate populations. The document is organized in five chapters, which begins with an introduction that includes the objectives of the simultaneous inference and its origin and firt important results. Chapter two contais a set of results which will be rather useful in some situations along this project. The following two chapters are about theorical results of different techniques of simultaneous inference, for an unique population and k popoulations, respectively. In chapter five, in order to ilustrate the need and utility of these techniques, they are applied to real data sets. For this, it is included the necessary implementation on R. Finally, last chapter contains the conclusions obtained after doing this project. 4técnicas multivariantes de inferencia estadística simultánea si y solo si d X 1 y2 i≤c2. Demostración. ⇐)Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz se tiene:  d X 1 aiyi≤ d X 1 y2 i!1 2 d X 1 a2 i!1 2 Aplicando que Pd 1y2 i≤c2se prueba la implicación. ⇒)Tomemos ai=yi,i= 1, ..., d. Entonces, la desigualdad Pd 1aiyi≤cPd 1a2 i1 2 se convierte en:  d X 1 y2 i≤c d X 1 y2 i!1 2 Es decir, d X 1 y2 i!1 2 ≤c Elevando al cuadrado ambos lados de la desigualdad obtenemos la otra implicación. De este modo, queda probado el lema. 2 Inferencia simultánea sobre una población multivariante 2.1 Covarianza escalar desconocida En primer lugar, destacaremos dos artículos importantes sobre intervalos de confianza simultáneos multivariados que se han utilizado en el contenido de este capítulo: Roy y Bose (1953) y Dunn (1958). La estructura seguida en la presentación de las técnicas se ha tomado del libro de Miller (1981). En este capítulo, consideraremos Yvector p-dimensional que sigue una distribución normal con vector de media µy matriz de covarianzas Σ, es decir, Y∼Np(µ, Σ). Usualmente, Σes o completamente desconocida o conocida salvo un factor escalar. Es decir, Σ = σ2Σ0con Σ0conocido y σ2desconocido. Nuestro interés se centra en los intervalos de confianza y en contrastes de hipótesis sobre µpara una única población y sobre µ1, ..., µkpara kpoblaciones. Para una única población, se buscan intervalos de confianza simultáneos para las combinaciones lineales l⊤µpara todo l∈ Llc. Donde Llc := {(l1, ..., lp) : l1, ..., lparbitrarios}. Es decir, denotamos Llc como un espacio p-dimensional de combinaciones lineales arbitrarias. 2.1.1 Método Sean Y1, ..., Ynnobservaciones independientes e idénticamente distribuidas según una Np(µ, σ2Σ0). Supondremos que la matriz Σ0es conocida y definida positiva. El escalar σ2y el vector µson desconocidos. 6técnicas multivariantes de inferencia estadística simultánea Buscamos intervalos de confianza simultáneos para las combinaciones lineales l⊤µpara todo l∈ Llc. Consideremos el siguiente contraste de hipótesis: H0:µ=µ0.(2.1) Se puede observar que el contraste incluido en (2.1) es equivalente a: H0:l⊤µ=l⊤µ0∀l∈ Llc. El vector de medias muestrales ˆµ=¯ Yes el estimador de máxima verosimilitud de µy el usado habitualmente en la práctica. La varianza σ2se estima por: s2=1 p(n−1) n X j=1 (Yj−¯ Y)⊤Σ−1 0(Yj−¯ Y) que es el estimador de máxima verosimilitud ajustado para que sea insesgado. La media muestral ¯ Ysigue una distribución Np(µ, (σ2/n)Σ0),s2se distribuye como σ2X2 p(n−1)/p(n−1). Además, ¯ Yys2son independientes. De este modo, la forma cuadrática n(¯ Y−µ)⊤Σ−1 0(¯ Y−µ) sigue una distribución σ2X2 p. Además, s2y la forma cuadrática anterior son independientes. Por lo tanto, n p (¯ Y−µ)⊤Σ−1 0(¯ Y−µ) s2(2.2) sigue una distribución F-Snedecor con pyp(n−1) grados de libertad. Cuando definimos el elipsoide de confianza centrado en ¯ Yy radio recogido en (2.2), aparecen los buscados intervalos de confianza simultáneos sobre µ. Con probabilidad 1−α, se verifica: l⊤µ∈l⊤¯ Y±(pFα p,p(n−1))1 2s2 nl⊤Σ0l1 2 ∀l∈ Llc (2.3) donde Fα p,p(n−1) es el percentil superior αde una distribución Fcon p, p(n−1) grados de libertad. 2. inferencia simultánea sobre una población multivariante 7 La prueba de la expresión incluida en (2.3) se sigue de Pr n p (¯ Y−µ)⊤Σ−1 0(¯ Y−µ) s2≤Fα p,p(n−1)= 1 −α y del Lema 1.1. Puesto que Σ0es definida positiva, existe una matriz no singular P tal que: PΣ0P⊤=I Sea Z=P¯ Y. Entonces, Z∼N(Pµ, (σ2/n)I), y (¯ Y−µ)⊤Σ−1 0(¯ Y−µ)=(Z−Pµ)⊤(Z−Pµ). Por el Lema 1.1, |λ⊤(Z−Pµ)| ≤ (pFα p,p(n−1))1 2s2 n1 2 (λ⊤λ)1 2∀λ∈ Llc (2.4) si y solo si (Z−Pµ)⊤(Z−Pµ)≤pFα p,p(n−1) s2 n.(2.5) Pero la desigualdad anterior ocurre con probabilidad 1−α, por lo que la obtenida en (2.4) se cumple con probabilidad 1−α. Sea l=P⊤λ. Puesto que Pes no singular, hay una correspondencia 1-1 entre λy l. En términos de l, la expresión en (2.4) se convierte en: |l⊤(¯ Y−µ)| ≤ (pFα p,p(n−1))1 2s2 n1 2 [l⊤(P−1)(P−1)⊤l]1 2∀l∈ Llc o, ya que Σ0= (P−1)(P−1)⊤, |l⊤(¯ Y−µ)| ≤ (pFα p,p(n−1))1 2s2 n1 2 (l⊤Σ0l)1 2∀l∈ Llc.(2.6) Así, se ha transformado la región de confianza elipsoidal (2.5) en infinitos intervalos de confianza que simultáneamente contienen un nivel de confianza de (1 −α)100 %. Observación 2.1.Podemos dar una interpretación geométrica de (2.3) puesto que los intervalos son proyecciones de Scheffé. El conjunto de µsatisfaciendo n p (¯ Y−µ)⊤Σ−1 0(¯ Y−µ) s2≤Fα p,p(n−1) 8técnicas multivariantes de inferencia estadística simultánea es un elipsoide centrado en ¯ Yen un espacio p-dimensional euclídeo. Los dos hiperplanos (p−1)-dimensionales que son tangentes al elipsoide y perpendiculares a la línea generada por lintersectan esta línea en los valores l⊤¯ Y±(pFα p,p(n−1))1 2s2 n1 2 (l⊤Σ0l)1 2.(2.7) Un punto µestá dentro del elipsoide si y solo si se encuentra entre todos los pares de planos tangentes perpendiculares a lcon lvariando en Llc, esto es, si y solo si l⊤µ está entre los valores del intervalo correspondiente reflejado en (2.7), ∀l∈ Llc. Si sustituimos µpor µ0en el radio expresado en (2.2), no excedemos Fα p,p(n−1) si y solo si l⊤µ0cae dentro del intervalo incluido en (2.3) para todo l∈ Llc. La hipótesis nula recogida en (2.1) se contrasta calculando la expresión (2.2) con µ=µ0y comparando el resultado con Fα p,p(n−1), en lugar de buscar las combinaciones lineales lque generan los valores l⊤µ0fuera de sus intervalos respectivos. Si rechazamos la hipótesis nula, cualquier combinación lineal con l⊤µ0fuera de su intervalo de confianza nos da información sobre cómo o dónde la población muestral puede diferir de la hipotética. Las expresiones de los intervalos de confianza obtenidos en (2.3) pueden parecer muy buenas, pero las amplitudes de los mismos son, en general, muy grandes. Es decir, para asegurar que se verifique la probabilidad simultánea de infinitos intervalos, dichos intervalos tienden a ser muy amplios. También, podemos expresarlos de la siguiente forma: l⊤µ∈l⊤¯ Y±[pFα p,p(n−1)]1 2[d V ar(l⊤ˆ Y)]1 2∀l∈ Llc. 2.1.2 Aplicaciones Si estamos interesados únicamente en una comparación coordenada a coordenada entre ¯ Yyµ0, o en intervalos de confianza para las medias µi,1 = 1, ..., p, los intervalos apropiados son: µi∈¯ Yi±(pFα p,p(n−1))1 2s √n√σ0ii i= 1, ..., p (2.8) donde σ0ii es el elemento diagonal i-ésimo de Σ0. Puesto que es un subconjunto de p intervalos del total de infinitos intervalos de confianza obtenidos, la probabilidad de que se cumpla para todo i= 1, ..., p es mayor que 1−α. 2. inferencia simultánea sobre una población multivariante 9 En lugar de la hipótesis p-dimensional en el contraste recogido en (2.1), puede interesarnos una hipótesis de menor dimensión, H0:µi=µi′.(2.9) Esta hipótesis es equivalente a H0:c⊤µ= 0 ∀c∈ Lc donde Lc={c= (c1, ..., cp) : Pp i=1 ci= 0}subespacio de Llc (colección de combinaciones lineales de contrastes). Podemos obtener los intervalos de confianza para c⊤µa partir de los intervalos incluidos en (2.3) puesto que los contrastes son combinaciones lineales especiales. Sin embargo, cuando sólo nos interesan los contrastes, podemos obtener intervalos más ajustados. Los intervalos apropiados son: c⊤µ∈c⊤¯ Y±[(p−1)Fα p,p(n−1)]1 2s2 nc⊤Σ0c1 2 ∀c∈ Lc.(2.10) La probabilidad de que se verifique simultáneamente la expresión anterior para todo c∈ Lces 1−α. La prueba de los intervalos expresados en (2.10) se sigue inmediatamente del resultado obtenido en (2.6). Sea Luna base de Lc. Entonces, para cualquier c∈ Lc existe una combinación lineal λde dimensión p−1tal que c⊤=λ⊤L, y cualquier combinación lineal λ,p−1-dimensional nos da un contraste c⊤=λ⊤L. El vector L¯ Y sigue una distribución Np(Lµ, (σ2/n)LΣ0L⊤)por lo que la desigualdad recogida en (2.6) aplicado a L¯ Ynos da: |λ⊤(L¯ Y−Lµ)| ≤ [(p−1)Fα p−1,p(n−1)]1 2s2 n1 2 [λ⊤(LΣ0L⊤)λ]1 2∀λ∈ Llc. Cuando escribimos la expresión anterior en términos de cmediante c⊤=λ⊤L, obtenemos el resultado recogido en (2.10). La hipótesis nula recogida en (2.9) puede contrastarse sin necesitad de examinar la infinidad de intervalos en la expresión (2.10). Sea L, matriz (p−1)×p, una base cualquiera para el contraste. El vector L¯ Ysigue una distribución Np(0,(σ2/n)LΣ0LT) bajo hipótesis nula. Rechazar la hipótesis nula cuando la forma cuadrática n p−1 (L¯ Y)⊤(LΣ0L⊤)−1(L¯ Y) s2(2.11) 10 técnicas multivariantes de inferencia estadística simultánea excede Fα p−1,p(n−1) es equivalente a examinar si todos los intervalos en (2.10) incluyen el cero. El valor de la forma cuadrática expresada en (2.11) es invariante bajo la elección de L, por lo tanto, tenemos la libertad de escoger la opción más conveniente. 2.1.3 Comparación Según recoge Miller (1981), si las únicas combinaciones de interés son los pintervalos de confianza recogidos en (2.8), entonces la técnica de Bonferroni probablemente nos de intervalos más pequeños. Con probabilidad 1−(α/p)se verifica: µi∈¯ Yi±[tα/2p p(n−1)]s √n√σ0ii (2.12) donde tα/2p p(n−1) es el percentil superior (α/2p)de una distribución t-Student con p(n−1) grados de libertad. Según el método de Bonferroni, la probabilidad de que se verifique simultáneamente los intervalos en (2.12) para todo i= 1, ..., p es al menos 1−α. Cuando además de estas combinaciones nos interesan otras, la técnica anterior es la mejor opción. Para un total de Kcomparaciones, la constante de Bonferroni es tα/2K p(n−1), mientras que (pFα p,p(n−1))1 2permanece fija para cualquier número de comparaciones. Para K > p, (pFα p,p(n−1))1 2es normalmente la constante más pequeña. 2.2 Matriz de covarianzas desconocida Esta técnica fue introducida por Roy y Bose (1953). Una aplicación importante del problema de análisis de la varianza para un modelo mixto se puede ver en Scheffé (1956). Además, esta aplicación también está recogida en Scheffé (1959). 2.2.1 Método Sean Y1, ..., Ynnobservaciones independientes e idénticamente distribuidas de una Np(µ, Σ). Supondremos desconocidos tanto el vector µcomo la matriz de covarianzas Σ. Supongamos n > p. 2. inferencia simultánea sobre una población multivariante 11 Podemos obtener intervalos de confianza simultáneos para las combinaciones lineales l⊤µ,∀l∈ Llc. Consideremos la hipótesis nula siguiente: H0:µ=µ0(2.13) frente a una hipótesis alternativa general. El contraste de hipótesis anterior es equivalente a la hipótesis simultánea: H0:l⊤µ=l⊤µ0∀l∈ Llc. El estimador de máxima verosimilitud de µes ˆµ=¯ Yy el estimador de máxima verosimilitud de Σ(ajustado para ser insesgado) es: S=1 n−1 n X i=1 (Yi−¯ Y)(Yi−¯ Y)⊤. La media muestral ¯ Ysigue una distribución Npµ, 1 nΣ. La matriz de covarianzas muestrales Ssigue una distribución de Wishart Wp1 n−1Σ, n −1. Además, el vector ¯ Yy la matriz Sson independientes; esto es una consecuencia del Teorema de Fisher aplicado al caso multivariante. Podemos ver una demostración de ello en el libro de Seber (1984). El test de razón de verosimilitud del contraste descrito en (2.13) frente a una alternativa general es una función monótona del estadístico T2de Hotelling: T2=n(¯ Y−µ0)⊤S−1(¯ Y−µ0).(2.14) Bajo hipótesis nula, se verifica: n−p p T2 n−1∼Fp,n−p y bajo hipótesis alternativa, la expresión anterior sigue una distribución F no centrada con parámetro de no centralidad δ2=n(µ−µ0)TΣ−1(µ−µ0). La hipótesis nula recogida en (2.13) se rechaza cuando: T2> Fα p,n−p p(n−1) n−p(2.15) donde Fα p,n−pes el percentil superior αde la distribución Fcon p, n −pgrados de libertad. 12 técnicas multivariantes de inferencia estadística simultánea Si en el estadístico T2descrito en (2.14) reemplazamos µ0por µ, podemos utilizarlo para construir intervalos de confianza simultáneos para l⊤µ, ∀l∈ Llc. Así, con probabilidad 1−α, se tiene: l⊤µ∈l⊤¯ Y±(pFα p,n−p))1 2n−1 n−p1 21 nl⊤Sl1 2 ∀l∈ Llc.(2.16) La prueba de los intervalos reflejados en (2.16) se obtiene a partir de la expresión (2.15) aplicando el Lema 1.1. Dados los estadísticos muestrales ¯ YyS, se verifica: |l⊤(¯ Y−µ)| ≤ (pFα p,n−p)1 2n−1 n−p1 21 nl⊤Sl1 2 (2.17) para todas las combinaciones lineales lsi y solo si n(¯ Y−µ)⊤S−1(¯ Y−µ)≤Fα p,n−p p(n−1) n−p.(2.18) Esto se sigue del Lema 1.1diagonalizando S; la prueba es la siguiente. Puesto que S es definida positiva (con probabilidad 1 puesto que n>p), existe una matriz Pno singular (que depende de S) tal que PSP⊤=I. Sea l=P⊤λ. Entonces, la desigualdad reflejada en (2.17) se verifica para todo lsi y solo si |λ⊤(P¯ Y−Pµ)| ≤ (pFα p,n−p)1 2n−1 n−p1 21 nλ⊤λ1 2 vale para todo l. Pero, por el Lema 1.1, la expresión anterior se verifica para todo λsi y solo si (P¯ Y−Pµ)⊤(P¯ Y−Pµ)≤Fα p,n−p p(n−1) n(n−p) que equivale a la desigualdad incluida en (2.18) puesto que S−1=PTP. Por lo tanto, las desigualdades recogidas en (2.17), ∀l∈ Lc,y(2.18) coinciden. Para ¯ YySarbitrarias, la probabilidad de que 2.18 ocurra es 1−α. Esto prueba los intervalos aportados en (2.16). La hipótesis nula expresada en (2.13) se acepta si y solo si l⊤µ0cae dentro del intervalo correspondiente incluido en (2.16) para cada combinación lineal l. 2. inferencia simultánea sobre una población multivariante 13 Además, estos intervalos tienen la interpretación usual en términos de proyecciones. El elipsoide de confianza para µdel 100(1 −α) % es: Eµ=µ:n(¯ Y−µ)⊤S−1(¯ Y−µ)≤pFα p,n−pn−1 n−p. En contrate con los elipsoides de confianza vistos previamente, este elipsoide tiene una forma y orientación aleatorias ya que la matriz Ses aleatoria. Sin embargo, para un l∈ Llc, el intervalo correspondiente en (2.16) es la proyección del elipsoide Eµ sobre la línea generada por l. 2.2.2 Aplicaciones Para las pcombinaciones lineales que nos dan las pmedias µ1, ..., µp, los intervalos incluidos en (2.16) se reducen a: µi∈¯ Yi±(pFα p,n−p)1 2n−1 n−p1 2s2 i n1 2 i= 1, ..., p donde s2 ies el estimador usual de la varianza para la i-ésima variable, es decir, s2 i=1 n−1 n X j=1 (Yij −¯ Yi)2. Si estamos interesados únicamente en combinaciones lineales de contrastes, la longitud de los intervalos de confianza puede reducirse. Los intervalos apropiados son: c⊤µ∈c⊤¯ Y±[(p−1)Fα p−1,n−p+1]1 2n−1 n−p+ 11 21 nc⊤Sc1 2 ∀c∈ Lc.(2.19) Los intervalos incluidos en (2.19) se obtienen de los expresados en (2.16) transformándolo en una base para Lc. La prueba es análoga a la del capítulo anterior. 2.2.3 Comparación Según recoge Miller (1981), esencialmente no hay técnicas que compitan con esta, a parte de los intervalos de Bonferroni. Si el número de intervalos de confianza necesarios es pequeño, el método de Bonferroni será más sencillo. Para una familia de K 20 técnicas multivariantes de inferencia estadística simultánea donde uα m´ax es el percentil αsuperior de la distribución del mayor autovalor de la ecuación: det(U∗−uU) = 0. Los intervalos expresados en (3.6) no son tan buenos como los de (3.3) a causa de √nh, pero son intervalos exactos. La prueba de los intervalos incluidos en (3.6) es idéntica a la anterior con √nh multiplicando a ¯ Yh−µhy eliminando 1/n de todas partes. Puesto que el espacio de combinaciones lineales arbitrarias es mayor que el espacio de contrastes, se puede reducir la longitud de los intervalos de confianza si restringimos la atención a los contrastes. Roy y Bose (1953) describen los intervalos apropiados. Cuando la matriz de covarianzas Σes conocida excepto por una constante multiplicativa (esto es, Σ = σ2Σ0;σ2desconocido y Σ0conocida), aparecen intervalos similares a los recogidos en (3.3) y (3.6). Para muestras del mismo tamaño, los intervalos son: k X h=1 bha⊤µh∈ k X h=1 bha⊤¯ Yh±(kλα k,kp(n−1))1 2 k X h=1 b2 h!1 2s2 na⊤Σ0a1 2 (3.7) donde s2=1 kp(n−1) k X h=1 n X j=1 (Yhj −¯ Yh)⊤(Yhj −¯ Yh)(3.8) yλα k,kp(n−1) es el percentil αdel máximo autovalor de det S∗−λ1 nΣ0= 0.(3.9) La prueba de los intervalos expresados en (3.7) es también idéntica a la anterior con Σ0reemplazando a Sys2λα k,ν reemplazando a λα m´ax. Sea Λkel máximo autovalor de la ecuación incluida en (3.9). Entonces, λα k,ν es el percentil superior αde la variable aleatoria Λk/s2donde νs2/σ2sigue una distribución X2con νgrados de libertad. Además, Λkys2son independientes. 3. inferencia simultánea sobre k poblaciones multivariantes 21 3.1.2 Aplicaciones Para una comparación coordenada a coordenada de kpoblaciones multivariantes, los intervalos recogidos en (3.3) se reducen a: µih −µih′∈¯ Yih −¯ Yih′±(kλα m´ax)1 2(2)1 2s2 i n1 2 i= 1, ..., p h, h′= 1, ..., k h =h′ donde s2 ies el estimador de la varianza de coordenada i(es decir, el elemento diagonal i-ésimo de S). Para una comparación por pares entre poblaciones de una combinación lineal a de las medias, los intervalos incluidos en (3.3) son: a⊤µh−a⊤µh′∈a⊤¯ Yh−a⊤¯ Yh′±(kλα m´ax)1 2(2)1 21 na⊤Sa1 2 h, h′= 1, ..., k h =h′. 3.1.3 Comparación La única alternativa a esta técnica es unir tintervalos por la desigualdad de Bonferroni. Para un total de Kcombinaciones de ayb, los intervalos de Bonferroni comparables a los recogidos en (3.3) son: k X h=1 bha⊤µh− k X h=1 bha⊤¯ Yh±tα/2K k(n−1) k X h=1 b2 h!1 21 na⊤Sa1 2 donde tα/2K k(n−1) es el percentil (α/2K)superior de la distribución t-Student con k(n−1) grados de libertad. En cualquier problema práctico, podemos determinar cuál de las constantes [(kλα m´ax)1 2 otα/2K k(n−1)] es más pequeña. Podemos aplicar comentarios similares a tamaños muestrales desiguales. Los intervalos de Bonferroni son aplicables en el caso de covarianza escalar desconocida. Para una familia de Kcombinaciones de ayb, los intervalos de Bonferroni 22 técnicas multivariantes de inferencia estadística simultánea son: k X h=1 bha⊤µh∈ k X h=1 bha⊤¯ Yh±tα/2K k(n−1) k X h=1 b2 h!1 2s2 na⊤Σ0a1 2 donde s2viene dado por la expresión dada en (3.8). 4 Aplicaciones en R En este capítulo vamos a utilizar el programa R versión 4.2.0 (R Core Team, 2022). Consideremos los siguientes ejemplos prácticos con datos generados, con el fin de implementar en dicho programa algunos de los resultados obtenidos en las secciones teóricas anteriores. Vamos a considerar dos poblaciones con datos generados mediante dos distribuciones normales multivariantes de tamaño 200 y dimensión 6. Para la generación de los datos y el análisis de los mismos se han utilizado las siguientes librerías: MASS (Venables y Ripley, 2022), ICSNP (Nordhausen y otros, 2018) y rootWishart (Turgeon, 2018). 4.1 Implementación de funciones para una población Sean Y1, ..., Y200,200 observaciones independientes e idénticamente distribuidas generadas mediante una población normal pvariante, de forma que Y∼Np(µ, Σ). Donde supondremos desconocidos tanto el vector µcomo la matriz de covarianzas Σ. library(MASS) Y<-mvrnorm(200,mu,S) n<-nrow(Y) n ## [1] 200 24 técnicas multivariantes de inferencia estadística simultánea p<-ncol(Y) p ## [1] 6 Consideremos la hipótesis nula siguiente: H0:µ=µ0 donde µ0= (12000,17000,15000,16000,17000,20000). Aplicando el test T2de Hotelling a nuestros datos, obtenemos el siguiente resultado. library(ICSNP) ## Loading required package: mvtnorm ## Loading required package: ICS HotellingsT2(Y,mu=c(12000,17000,15000,16000,17000,20000)) ## ## Hotelling ' s one sample T2-test ## ## data: Y1 ## T.2 = 626069, df1 = 6, df2 = 194, p-value < 2.2e-16 ## alternative hypothesis: true location is not equal ## to c(12000,17000,15000,16000,17000,20000) Por lo tanto, se rechaza la hipótesis nula. Así, debemos aplicar inferencia estadística simultánea para obtener cuál es la componente idel vector µtal que µi=µ0i. Para ello, vamos a implementar la función de lreflejada en (2.16) que nos permite obtener los infinitos intervalos que tienen simultáneamente un nivel de confianza de (1 −α)100 %. Puesto que estamos interesados en calcular los p= 6 intervalos de confianza para cada una de las 6componentes de µ, le daremos al vector llos valores l1, ..., l6siguientes: 4. aplicaciones en r 25 l1<-c(1,0,0,0,0,0) l2<-c(0,1,0,0,0,0) l3<-c(0,0,1,0,0,0) l4<-c(0,0,0,1,0,0) l5<-c(0,0,0,0,1,0) l6<-c(0,0,0,0,0,1) l1 ## [1] 1 0 0 0 0 0 l2 ## [1] 0 1 0 0 0 0 l3 ## [1] 0 0 1 0 0 0 l4 ## [1] 0 0 0 1 0 0 l5 ## [1] 0 0 0 0 1 0 l6 ## [1] 0 0 0 0 0 1 26 técnicas multivariantes de inferencia estadística simultánea Antes de implementar dicha función necesitamos definir previamente lo siguiente: ¯ Y: vector de medias muestrales Ymed1<-apply(Y1,2,mean) Ymed1 ## X0 X1 X2 X3 X4 X5 ## 12412.86 14605.73 16132.43 17124.43 18540.33 19836.84 Fα p,n−p: percentil superior α= 0.95 de la distribución Fcon p, n −pgrados de libertad alpha<-0.95 F<-qf(alpha,p,n-p) F ## [1] 2.145556 S: matriz de covarianzas muestrales S=1 n−1Pn i=1(Yi−¯ Y)(Yi−¯ Y)⊤ •En: matriz de unos de tamaño n×n •In: matriz identidad de tamaño n×n •Matriz e Y=Idn−1 nEnY unos<-matrix(1,n,n) id<-diag(1,n,n) Ygorro1<- (id-1/n*unos)%*%as.matrix(Y1) S1<-(1/(n-1))*t(Ygorro1)%*%as.matrix(Ygorro1) S1 4. aplicaciones en r 27 ## X0 X1 X2 X3 X4 X5 ## X0 19208588 21321297 23512704 25416148 26974214 27663622 ## X1 21321297 25356650 26100587 28974590 31351529 31705783 ## X2 23512704 26100587 29875835 32761442 34510921 35665055 ## X3 25416148 28974590 32761442 37409402 39242772 40144012 ## X4 26974214 31351529 34510921 39242772 41591754 42456409 ## X5 27663622 31705783 35665055 40144012 42456409 43640291 Por lo tanto, ya podemos escribir las funciones liminf ylimsup que calculan, respectivamente, los límites inferior y superior de los intervalos. liminf<- function (l) {resultado <- t(l)%*%Ymed1 - sqrt(p*F)*sqrt((n-1)/(n-p))*sqrt(1/n*t(l)%*%as.matrix(S1)%*%l) return(resultado) } liminf(l=l1) ## [,1] ## [1,] 11286.69 liminf(l=l2) ## [,1] ## [1,] 13311.82 liminf(l=l3) ## [,1] ## [1,] 14727.95 liminf(l=l4) ## [,1] ## [1,] 15552.82 28 técnicas multivariantes de inferencia estadística simultánea liminf(l=l5) ## [,1] ## [1,] 16883.18 liminf(l=l6) ## [,1] ## [1,] 18139.38 limsup<- function (l) {resultado <- t(l)%*%Ymed1 + sqrt(p*F)*sqrt((n-1)/(n-p))*sqrt(1/n*t(l)%*%as.matrix(S1)%*%l) return(resultado) } limsup(l=l1) ## [,1] ## [1,] 13539.03 limsup(l=l2) ## [,1] ## [1,] 15899.63 limsup(l=l3) ## [,1] ## [1,] 17536.91 limsup(l=l4) ## [,1] ## [1,] 18696.05 4. aplicaciones en r 29 limsup(l=l5) ## [,1] ## [1,] 20197.47 limsup(l=l6) ## [,1] ## [1,] 21534.3 De este modo, hemos obtenido los intervalos siguientes: I1=I1(Y, µ1) = (11286.69,13539.03) I2=I2(Y, µ2) = (13311.82,15899.63) I3=I3(Y, µ3) = (14727.95,17536.91) I4=I4(Y, µ4) = (15552.82,18696.05) I5=I5(Y, µ5) = (16883.18,20197.47) I6=I6(Y, µ6) = (18139.38,21534.3). Como podemos observar, µ02= 17000 no pertenece al intervalo I2y, por lo tanto, la segunda componente de µes la que provoca el rechazo de la hipótesis nula inicialmente planteada. 4.2 Implementación de funciones para k poblaciones En este caso, vamos a tomar k= 2 poblaciones. Sean Y11, ..., Y1200 las 200 observaciones del ejemplo anterior y sean Y21, ..., Y2200 otras 200 observaciones independientes e idénticamente distribuidas también generadas mediante una población normal p-dimensional. Así, ambas muestras verifican Y1∼N6(µ1,Σ) yY2∼N6(µ2,Σ), donde µ1, µ2yΣson desconocidos. 36 técnicas multivariantes de inferencia estadística simultánea ## [,1] ## [1,] 2818.39 liminf(a=l6) ## [,1] ## [1,] 4421.424 limsup<- function (a) {resultado<- b1*t(a)%*%Ymed1+b2*t(a)%*%Ymed2+ sqrt(k*ptocritico)*sqrt(b1^2+b2^2)* sqrt(1/n*t(a)%*%as.matrix(S)%*%a) return(resultado) } limsup(a=l1) ## [,1] ## [1,] 2683.689 limsup(a=l2) ## [,1] ## [1,] 5278.972 limsup(a=l3) ## [,1] ## [1,] 6631.445 limsup(a=l4) ## [,1] ## [1,] 9078.717 4. aplicaciones en r 37 limsup(a=l5) ## [,1] ## [1,] 10634.02 limsup(a=l6) ## [,1] ## [1,] 12430.06 Así, los intervalos obtenidos para las distintas componentes de µ1−µ2son: I1= (−2641.727,2683.689) I2= (−771.9503,5278.972) I3= (−37.1131,6631.445) I4= (1633.399,9078.717) I5= (2818.39,10634.02) I6= (4421.424,12430.06). Como podemos observar, el 0pertenece a los intervalos I1, I2eI3. Por lo tanto, las 3últimas componentes, son las que provocan el rechazo de la hipótesis nula inicialmente planteada. 5 Conclusiones Con este trabajo hemos profundidazo en el área de la inferencia estadística simultánea. Las técnicas propuestas para el estudio de la misma nos han permitido obtener resultados sobre el comportamiento de una determinada población. Es por ello, que estas técnicas se emplean de forma habitual en distintas áreas de la actualidad. Algunas como la medicina, necesitan de forma crucial de la inferencia simultánea para obtener conclusiones que permitan mejorar ciertos tratamientos médicos. Igualmente, puede ser de gran utilidad para la detección de enfermedades, donde las técnicas estudiadas nos permitirían arrojar concluciones por ejemplo, sobre cuál es el gen alterado dentro del estudio médico. Otras áreas destacables son entre otras, la economía o la agricultura. Mediante información empírica proporcionada por una muestra, somos capaces de obtener conclusiones sobre las distintas variables a estudiar, mediante contrastes de hipótesis con porcentaje de error conjunto controlado. Así, con la inferencia estadística simultánea podemos obtener conclusiones, de forma conjunta, que nos ayuden a tomar decisiones futuras. Es decir, podremos identificar con gran facilidad qué variable se aleja del resultado esperado o deseado. Esto será de gran utilidad para futuros análisis puesto que podremos saber en cuál/cuáles de las variables debemos poner mayor atención. Bibliografía [1] Dunn, O. J. (1958). Estimation of the means of dependent variables. The annals of mathematical statistics, 29, 1095-1111. [2] Härdle, W. K. y Simar, L. (2019). Applied multivariate statistical analysis (2.ªed.). Springer. [3] Miller, R. G., Jr. (1981). Simultaneos statistical inference (2.ªed.). Springer. [4] Nordhausen K., Sirkia S., Oja H. y Tyler D. E. (2018). 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