Técnicas de agregación y desagregación en problemas de optimización y en modelos de planificación de la producción. Estado de la cuestión

V Cong eso de Ingenie ía de O ganización Valladolid-Bu gos, 4-5 Sep iemb e 2003 ƒ Índice Técnicas de ag egación y desag egación en p oblemas de op imización y en modelos de plani icación de la p oducción. Es ado de la cues ión.∗ Miguel A. Muñoz1, José M. F amiñán2, Ra ael Ruiz-Usano3 y Ped o L. González4 1 Ingenie o Indus ial. E-mail: m[email p o ec ed] 2 D . Ingenie o Indus ial. E-mail: [email p o ec ed] 3 D . Ingenie o Indus ial. E-mail: [email p o ec ed] 4 Ingenie o de O ganización Indus ial. E-mail: [email p o ec ed]. G upo I+DT O ganización Indus ial. Escuela Supe io de Ingenie os de Se illa. Camino de los Descub imien os, s/n. 41092, Se illa. RESUMEN La plani icación de la p oducción es una impo an e unción emp esa ial cuyo p oceso se di ide, usualmen e, en a ios ni eles je á quicos, po lo que las écnicas de ag egación y desag egación apa ecen de o ma na u al en es e con ex o. En la ac ualidad exis en dos en oques pa a abo da los p oblemas de plani icación de la p oducción con écnicas de ag egación y desag egación: el adicional en oque basado en la Plani icación Je á quica de la P oducción –“Hie a chical P oduc ion Planning” (HPP), en e minología anglosajona– y el ecien e en oque explica i o del p oceso de ag egación median e la eo ía de la ag egación en p og amación ma emá ica. El p esen e abajo expone una isión gene al y una e isión bibliog á ica sob e las écnicas de ag egación y desag egación en p oblemas de op imización y en modelos de plani icación de la p oducción, haciendo especial hincapié en el segundo de los en oques comen ado con an e io idad. Palab as cla e: P og amación ma emá ica, Ag egación y desag egación, Plani icación de la p oducción. 1. In oducción. La plani icación de la p oducción es una impo an e unción emp esa ial cuyo obje i o es la de e minación de los ni eles de p oducción, de in en a io y de ue za de abajo de o ma que se sa is aga la demanda y de o ma que no se ulne en las es icciones de capacidad de las ins alaciones. No malmen e, los ecu sos ísicos de la emp esa se suponen ijos du an e el ho izon e de iempo conside ado. El es ue zo de plani icación se ealiza con el p opósi o de u iliza de la mejo mane a posible es os ecu sos. Usualmen e, el p oceso de plani icación de la p oducción se di ide en a ios ni eles je á quicos ( e , po ejemplo, [1], p. 307). Cada ni el iene sus p opias ca ac e ís icas de ho izon e de plani icación, ni el de de alle de la in o mación eque ida, alcance de las decisiones omadas, e c., po lo que las écnicas de ag egación y desag egación apa ecen de o ma na u al en es e con ex o. ∗ Es e abajo se enma ca den o del P oyec o DPI2001-3110, inanciado po el Minis e io de Ciencia y Tecnología y con co inanciación p o enien e del Fondo Eu opeo de Desa ollo Regional (FEDER). V Cong eso de Ingenie ía de O ganización Valladolid-Bu gos, 4-5 Sep iemb e 2003 (i) (ii) Las azones aducidas adicionalmen e pa a emplea p ocedimien os de ag egación y desag egación en un con ex o de plani icación de la p oducción son a ias: 1) Una azón pa a u iliza écnicas de ag egación y desag egación es que la ce eza de los da os necesa ios pa a plani ica la p oducción es discu ible. Un ejemplo ípico es á cons i uido po las p e isiones de la demanda de los p oduc os inales que o e a la emp esa al me cado. En e ec o, es un hecho admi ido el que la p e isión de la demanda ealizada pa a g upos de p oduc os da luga a esul ados con meno es e o es de p e isión que la p e isión de la demanda ealizada di ec amen e pa a a ículos o í ems indi iduales ( e , po ejemplo, [2], p. 744). Po lo an o, la en abilidad del es ue zo compu acional eque ido usualmen e po la esolución di ec a de un modelo desag egado y de allado puede y suele se pequeña desde una óp ica del ipo cos e-bene icios. 2) O a azón pa a u iliza écnicas de ag egación y desag egación en un con ex o de plani icación de la p oducción es la no disponibilidad de algunos da os ([3], p. 413). Po ejemplo, los da os de cos es necesa ios pa a ealiza la plani icación de la p oducción pueden es a disponibles sólo a ni el de g upos de p oduc os, pe o no a ni el de a ículos indi iduales. 3) En la plani icación de la p oducción, apa ecen con ecuencia en la p ác ica modelos de op imización de g an amaño. Una causa ípica que o igina modelos de g an amaño es que el núme o de í ems que se deben conside a en un p oblema eal es muy ele ado ([4], p. 419). 4) En la plani icación de la p oducción, apa ecen con ecuencia modelos de op imización de g an complejidad. Po ejemplo, cuando se incluyen cos es de pues a a pun o, su gen modelos de p og amación lineal con a iables bina ias y/o en e as ( e , po ejemplo, [5], p. 99). Es a complejidad hace que la esolución óp ima de los modelos en iempos de compu ación azonables sea in iable, incluso en p oblemas de amaño mode ado. 5) O a azón pa a emplea écnicas de ag egación y desag egación en un con ex o de plani icación de la p oducción es que pe mi e p esen a modelos con di e en es ni eles de de alle a deciso es de di e en es ni eles je á quicos ([5], p. 101). En la ac ualidad exis en dos en oques pa a abo da los p oblemas de plani icación de la p oducción con écnicas de ag egación y desag egación: En oque basado en la Plani icación Je á quica de la P oducción –“Hie a chical P oduc ion Planning” (HPP), en e minología anglosajona–. Es e en oque iene su o igen en el abajo de Hax y Meal [6]. Es os au o es p oponen educi la complejidad descomponiendo el p oceso de plani icación en p oblemas sepa ados, los cuales se pueden esol e median e modelos y mé odos de esolución ap opiados ([5], p. 99). En oque explica i o del p oceso de ag egación median e la eo ía de la ag egación en p og amación ma emá ica. Es e en oque ha sido p opues o ecien emen e po Leis en [3] y se basa en dos hechos: • La plani icación de la p oducción es una de las aplicaciones adicionales de la in es igación ope a i a ( e , po ejemplo, [5]). • Las écnicas de ag egación y desag egación se pueden u iliza pa a esol e p oblemas de op imización de g an amaño, como he amien a de esolución compe i i a con V Cong eso de Ingenie ía de O ganización Valladolid-Bu gos, 4-5 Sep iemb e 2003 o as como las me aheu ís icas o las heu ís icas ad-hoc. Es e uso de las écnicas de ag egación y desag egación iene su o igen en una g an pa e en el abajo de Zipkin [7]. Roge s, Plan e, Wong y E ans [8] p esen an una e isión bibliog á ica de las écnicas de ag egación y desag egación en p oblemas de op imización has a la echa de su publicación. En el ma co an e io men e desc i o, el p esen e abajo p esen a una isión gene al y una e isión bibliog á ica sob e las écnicas de ag egación y desag egación en p oblemas de op imización y en modelos de plani icación de la p oducción. La ci ada e isión bibliog á ica se cen a á undamen almen e en las con ibuciones pos e io es a la echa de publicación del abajo de Roge s, Plan e, Wong y E ans [8] de 1991. Po o a pa e, debido a la abundancia de ma e ial bibliog á ico y a la exis encia de abajos de e isión bibliog á ica sob e el en oque HPP ( e , po ejemplo, [9]), el abajo se ceñi á exclusi amen e al segundo de los en oques comen ado con an e io idad. El es o del abajo es á es uc u ado de la o ma siguien e: en el apa ado 2 se p esen an las e e encias básicas sob e écnicas de ag egación y desag egación en p oblemas de op imización, así como la e minología y no ación empleadas. Las secciones 3 y 4 p esen an los p incipales esul ados de la eo ía de la ag egación en p og amación lineal con inua y con a iables en e as, espec i amen e. Finalmen e, en la sección 5 se abo dan los p oblemas de ag egación y desag egación en con ex os de plani icación de la p oducción. 2. Técnicas de ag egación y desag egación en p oblemas de p og amación lineal. Las écnicas de ag egación y desag egación han sido p opues as en la li e a u a académica como he amien as pa a esol e p oblemas de op imización de g an amaño. Una e e encia clásica de ag egación y desag egación en p oblemas de op imización es la de Roge s, Plan e, Wong y E ans [8]. En es e a ículo, los au o es desa ollan un ma co de abajo gene al pa a la implan ación de las écnicas de ag egación y desag egación y ealizan una e isión bibliog á ica de las con ibuciones has a el año de su publicación. También se han publicado algunos ex os sob e el ema, como los de Dudkin, Rabino ich y Vakhu insky [10], Leis en [11] y S uh [12]. De igual o ma, se han ealizado a ias esis doc o ales o de habili ación como las de F ancis [13], Ka hu ia [14], Liesegang [15], Taylo [16] y Zipkin [7]. En is a del ma e ial bibliog á ico an e io , que ecopila en buena medida las con ibuciones ealizadas, aquí se p esen an sólo los esul ados undamen ales de las écnicas de ag egación y desag egación en p oblemas de op imización, indicando la(s) e e encia(s) en la(s) que se sus en an dichos esul ados. Además, se ecopilan las con ibuciones apa ecidas en es e con ex o con pos e io idad a la e e encia de Roge s, Plan e, Wong y E ans [8]. El es udio se es inge a p oblemas de p og amación lineal, habida cuen a que la complejidad en los modelos de plani icación de la p oducción no suele se aconsejable ([17], p. 540). Considé ese el siguien e p oblema de p og amación lineal con inua de g an amaño: V Cong eso de Ingenie ía de O ganización Valladolid-Bu gos, 4-5 Sep iemb e 2003 P oblema P1 0 a suje o max * ≥ ≤ = x bax cxz (1) donde c = (cj) = ec o de coe icien es, de n componen es. b = (bi) = ec o de capacidades, de m componen es. a = (aij) = ma iz ecnológica de amaño m x n. x = (xj) = ec o de a iables de decisión, de n componen es. Pa a ob ene el p oblema ag egado (los componen es gene ales de las écnicas de ag egación y desag egación pueden consul a se en [8]) es necesa io oma dos ipos de decisiones: 1) Escoge dos pa iciones “adecuadas”, una pa a el conjun o de índices de las a iables σ = {Sk: k=1,…,K} y o a pa a el conjun o de índices de las es icciones ρ = {Rl: l=1,…,L}. El p oblema ag egado cons a, po an o, de K a iables y L es icciones. En ocasiones, sólo se ag egan a iables y ambién pueden ag ega se sólo es icciones. 2) Escoge dos ec o es de pesos “adecuados”, uno pa a las a iables g = (gj) y o o pa a las es icciones h = (hi), no malizados po g upos: .,...,1 1, .,...,1 1, Llh Kkg l k Ri i Sj j == == ∑ ∑ ∈ ∈ (2) (3) Una ez omadas las dos decisiones an e io es, el p oblema ag egado queda en la o ma: P oblema 2 0 a suje o max * ≥ ≤ = X BAX CXZ (4) donde C = (Ck) = Vec o de coe icien es ag egado, de K componen es, con C ∑ ∈ = k Sj jjk gc A = (Alk) = Ma iz ecnológica ag egada, de dimensiones L x K, con ∑∑ ∈∈ = lk RiSj jijilk gahA B = (Bl) = Vec o de capacidades ag egado, de L componen es, con ∑ ∈ = l Ri iil bhB X = (Xk) = Vec o de a iables ag egadas de decisión, de K componen es. Una ez conocida la solución óp ima X* del p oblema ag egado, es p eciso de e mina una solución desag egada y de allada. El p ocedimien o más usual consis e en u iliza como pesos pa a desag ega los mismos que se usa on pa a ag ega (p ocedimien o de desag egación de pesos ijos): V Cong eso de Ingenie ía de O ganización Valladolid-Bu gos, 4-5 Sep iemb e 2003 a) b) c) d) − − − e) − kkjj SjKkXgx ∈∀== ,,...,1 pa a , * (5) O o p ocedimien o consis e en u iliza el mé odo de disección óp ima, p opues o po Zipkin [7]. Es e mé odo es, en gene al, más cos oso compu acionalmen e que el p ocedimien o de desag egación de pesos ijos ( éase, po ejemplo, [18], p. 125). 3. Resul ados undamen ales en p og amación lineal con inua. Cuando odas las a iables de decisión del p oblema P1 pueden oma alo es con inuos, los siguien es esul ados son acep ados en la li e a u a sob e ag egación y desag egación en p og amación lineal: Suponiendo ijadas las pa iciones σ y ρ , es á p obada la exis encia de unos pesos óp imos gj* y hi* pa a a iables y es icciones, espec i amen e. Es deci , si se u ilizan es os pesos pa a ag ega y ambién pa a desag ega según el p ocedimien o de desag egación de pesos ijos, la solución desag egada ob enida median e el p oceso de ag egación y desag egación es óp ima ( e , po ejemplo, [3], p. 420). Los pesos óp imos se calculan en unción de la solución óp ima del modelo o iginal ( e , po ejemplo, [3], p. 420). Es o es de escasa u ilidad p ác ica, ya que si conociésemos la solución óp ima del modelo o iginal a p io i, no se necesi a ía u iliza un p ocedimien o de ag egación y desag egación pa a esol e el modelo o iginal. Suponiendo ijadas las pa iciones σ y ρ y ijados unos pesos gj y hi pa a a iables y es icciones, espec i amen e, no hay, en gene al, ninguna ga an ía ni de admisibilidad ni de op imalidad al aplica el p ocedimien o de ag egación y desag egación ( e , po ejemplo, [3], p. 420). En el caso pa icula de que se ag eguen sólo a iables: Tan o el p ocedimien o de desag egación de pesos ijos como el p ocedimien o de disección óp ima p opo cionan siemp e soluciones admisibles pa a el modelo o iginal ( e , po ejemplo, [3], p. 418), independien emen e del conjun o de pesos seleccionados. El mé odo de disección óp ima p opo ciona una solución an buena o mejo que la p opo cionada po el p ocedimien o de desag egación de pesos ijos ( e , po ejemplo, [19], p. 620). Po el con a io, cuando se emplea el mé odo de disección óp ima en el caso de ag egación conjun a de a iables y es icciones no hay ga an ía ni siquie a de admisibilidad ( e , po ejemplo, [8], p. 563). Ni el p ocedimien o de desag egación de pesos ijos ni el p ocedimien o de disección óp ima ga an izan op imalidad en el p oceso de ag egación y desag egación. Los en oques i e a i os de ag egación y desag egación a an de ali ia los p oblemas de no admisibilidad y subop imalidad que se plan ean. La eo ía de la ag egación i e a i a ha sido es udiada de o ma monog á ica en los ex os de Dudkin, Rabino ich y Vakhu insky [10] y, más ecien emen e, de Leis en [11]. Los en oques i e a i os suge idos po la li e a u a son los siguien es: Man ene las pa iciones σ y ρ in a iables y ajus a i e a i amen e los pesos de las a iables y/o es icciones. El p ocedimien o es como sigue: se seleccionan unos pesos V Cong eso de Ingenie ía de O ganización Valladolid-Bu gos, 4-5 Sep iemb e 2003 − ) g) h) − − − i) − pa a ag ega , se ob iene el modelo ag egado y se esuel e. A con inuación se u ilizan los pesos elegidos pa a desag ega y se ob iene una solución desag egada pa a el modelo o iginal. Se ecalculan los pesos en unción de la solución desag egada ob enida y se uel e a i e a . Es e p ocedimien o se denomina de ac ualización de pesos (“weigh upda ing”, en e minología anglosajona). Man ene el núme o de g upos cons an e pe o cambia la asignación de a iables y/o es icciones a g upos en e i e ación e i e ación. Es e p ocedimien o se denomina eag upamien o (“ eclus e ing”, en e minología anglosajona). Es e p ocedimien o se puede combina o no con el an e io . Po ejemplo, Leis en ([3], p. 423) conside a sólo eag upamien o, mien as que Jö ns en, Leis en y S o øy [20] u ilizan ambas es a egias conjun amen e. En los p ocedimien os de ag egación y desag egación i e a i os se u iliza siemp e el p ocedimien o de desag egación de pesos ijos, ya que el mé odo de disección óp ima no pa ece p esen a ninguna en aja en en oques i e a i os ni en el caso de es a egias de ac ualización de pesos ni en el caso de es a egias de eag upamien o ([3], p. 422). Leis en [11] mues a un p ocedimien o i e a i o de ag egación y desag egación basado en es a egias de eag upamien o que con e ge ápidamen e al óp imo del p oblema o iginal en un núme o ini o de i e aciones bajo cie as hipó esis. En el caso pa icula de que se ag eguen sólo a iables y no se conside e la posibilidad de eag upamien o: Jö ns en, Leis en y S o øy [21] desa ollan a ias es a egias i e a i as de ag egación y desag egación basadas en conside aciones de ipo g adencial, e aluando la bondad de las dis in as es a egias con algunos ejemplos numé icos. S o øy [22] desa olla un p ocedimien o pa a mejo a el alo de la unción obje i o, cambiando los pesos de i e ación a i e ación. El p ocedimien o es heu ís ico, en el sen ido que puede no con e ge hacia el conjun o de pesos óp imos y no hay, po an o, ga an ía de op imalidad en el p oceso i e a i o de ag egación y desag egación. S o øy [23] enuncia y demues a un eo ema y un co ola io. El eo ema a i ma que la solución óp ima del p oblema ag egado usando los pesos óp imos es no degene ada si y sólo si la solución óp ima del p oblema o iginal es no degene ada y sus a iables básicas se ag egan en g upos sepa ados. El co ola io a i ma que cuando dos o más a iables básicas de la solución óp ima del p oblema o iginal son ag egadas en la misma a iable del p oblema ag egado usando los pesos óp imos, la solución óp ima del p oblema ag egado es degene ada. En el caso pa icula de que se ag eguen sólo a iables y se conside e la posibilidad de eag upamien o: Aboudi, Jö ns en y Leis en [24] desa ollan un conjun o de p ocedimien os de eag upamien o y de modi icación de pesos que ga an izan una secuencia de alo es de la unción obje i o no dec ecien e, aunque no se ga an iza la op imalidad del p oceso de ag egación y desag egación. Los esul ados de es os p ocedimien os se pueden mejo a con p ocedimien os heu ís icos de mejo a de pesos como los desc i os po Jö ns en, Leis en y S o øy [21]. Los esul ados ob enidos po los au o es en a ios ejemplos numé icos han sido muy buenos. V Cong eso de Ingenie ía de O ganización Valladolid-Bu gos, 4-5 Sep iemb e 2003 − a) b) c) Jö ns en, Leis en y S o øy [20] desa ollan un p ocedimien o en el que se pe mi e el eag upamien o y la modi icación de pesos. El p ocedimien o ga an iza la op imalidad del p oceso de ag egación y desag egación siemp e que la solución óp ima del modelo o iginal y las soluciones óp imas de cada uno de los p oblemas ag egados que apa ecen en las dis in as i e aciones sean no degene adas. 4. Resul ados undamen ales en p og amación lineal con a iables en e as. En el caso de que algunas o odas las a iables del p oblema P1 sean en e as, los siguien es esul ados undamen ales son aplicables: Los pesos óp imos ambién exis en en el caso de p oblemas de p og amación lineal con a iables en e as ([19], p. 620), pe o, al igual que en el caso con inuo, ampoco se pueden de e mina sin conoce la solución óp ima del modelo de allado. En el caso de ag ega sólo a iables, a di e encia del caso con inuo, ni el p ocedimien o de desag egación de pesos ijos ni el p ocedimien o de disección óp ima ga an izan soluciones admisibles pa a el p oblema o iginal. El p ocedimien o de desag egación pa a ob ene soluciones admisibles ha de se diseñado especí icamen e pa a cada ipo de p oblema ([19], p. 620). Aunque los pesos óp imos ambién exis en cuando se exige in eg idad, dichos pesos no se pueden de e mina po p ocedimien os i e a i os del ipo ac ualización de pesos o del ipo eag upamien o, pues o que no exis e una eo ía de la dualidad pa a p og amación lineal con a iables en e as ([3], p. 432). En la li e a u a académica han apa ecido en los úl imos años algunas implemen aciones de écnicas de ag egación y desag egación en p og amación lineal con a iables en e as ([25], [26], [27]), pe o no en un con ex o de plani icación de la p oducción (sal o la debida a Jö ns en y Leis en [28], que se comen a en el epíg a e siguien e). 5. En oque explica i o del p oceso de ag egación y desag egación en plani icación de la p oducción median e la eo ía de la ag egación. Recien emen e, Leis en [3] in e p e a y explica el p oceso de ag egación y desag egación en un con ex o de plani icación de la p oducción, haciendo uso de la eo ía de la ag egación en p og amación ma emá ica. Es e en oque es, cie amen e, no edoso, pues o que el en oque adicional basado en la HPP puede conside a se que se ealiza de o ma heu ís ica (o como caja neg a) y desde un pun o de is a modelado ([3], p. 414). En su a ículo, Leis en [3] es udia los p oblemas de admisibilidad y/o op imalidad que se pueden p esen a al ag ega y desag ega los p oblemas clásicos de plani icación de la p oducción. T adicionalmen e, los p oblemas de admisibilidad en HPP han sido es udiados bajo la denominación de “ag egación pe ec a” ( e , po ejemplo, [29]). La ag egación pe ec a signi ica que se cons uye el p oblema ag egado de o ma que se ga an ice que odo plan de allado admisible, al se ag egado, espe e las es icciones del p oblema ag egado. Sin emba go, (1) las condiciones pa a una ag egación pe ec a sólo se pueden alcanza bajo ci cuns ancias especiales, (2) la desag egación de un plan ag egado admisible no iene po qué V Cong eso de Ingenie ía de O ganización Valladolid-Bu gos, 4-5 Sep iemb e 2003 p opo ciona un plan de allado admisible y (3) el concep o de ag egación pe ec a no conside a p oblemas de op imalidad. Leis en [3] demues a que sólo es posible elimina los p oblemas de no admisibilidad y no op imalidad u ilizando p ocedimien os i e a i os de ag egación y desag egación, especialmen e los basados en es a egias de eag upamien o. En la línea de la e e encia an e io , Jö ns en y Leis en [28] u ilizan un p ocedimien o i e a i o de ag egación y desag egación pa a esol e un modelo de p og amación lineal en e a-mix a de plani icación de la p oducción. Median e el p ocedimien o i e a i o, los au o es gene an modelos in e p e ados como modelos de plani icación en un con ex o HPP. Apa e de las dos e e encias ci adas con an e io idad no se han encon ado o as aplicaciones de la eo ía de la p og amación ma emá ica a la plani icación de la p oducción, po lo que es a línea de in es igación pa ece se p ome edo a. 6. Conclusiones. La plani icación de la p oducción es una unción emp esa ial que, po di e sas azones, se abo da usualmen e u ilizando écnicas de ag egación y desag egación. T adicionalmen e, el en oque empleado es el denominado ab e iadamen e HPP (Plani icación de la P oducción Je a quizada o “Hie a chical P oduc ion Planning”, en e minología anglosajona). El en oque HPP no se basa en la eo ía de la ag egación y desag egación en p oblemas de op imización, po lo cual, ecien emen e, algunos au o es han mos ado in e és en abo da los p oblemas de plani icación de la p oducción desde es a óp ica al e na i a. En es e abajo se p esen a una isión gene al y una e isión bibliog á ica sob e las écnicas de ag egación y desag egación en p oblemas de op imización y en modelos de plani icación de la p oducción. Ag adecimien os Los au o es desean mos a su ag adecimien o al P o eso D . Raine Leis en, de la Uni e sidad de Duisbu go (Alemania), po su ines imable ayuda du an e la ealización de es e abajo. Re e encias [1] Zäp el, G. y Missbaue , H., (1993), “New concep s o p oduc ion planning and con ol”, Eu opean Jou nal o Ope a ional Resea ch, 67 (3), pp. 297-320. [2] Axsä e , S., (1981), “Agg ega ion o p oduc da a o hie a chical p oduc ion planning”, Ope a ions Resea ch, 29 (4), pp. 744-756. [3] Leis en, R., (1998), “An LP-agg ega ion iew on agg ega ion in mul i-le el p oduc ion planning”, Annals o Ope a ions Resea ch, 82, pp. 413-434. [4] Pienkosz, K. y Toczylowski, E., (1993), “On agg ega ion o i ems in single-s age p oduc ion sys ems wi h limi ed in en o y le els”, Ope a ions Resea ch, 41 (2), pp. 419-426. [5] Kis ne , K.P. y S e en, M., (1991), “Applica ions o ope a ions esea ch in hie a chical p oduc ion planning”, en Fandel, G. y Zäp el, G., (1991), Mode n p oduc ion concep s. Sp inge -Ve lag. Be lin, Ge many (Alemania), pp. 97-113. V Cong eso de Ingenie ía de O ganización Valladolid-Bu gos, 4-5 Sep iemb e 2003 [6] Hax, A.C. y Meal, H.C., (1975), “Hie a chical in eg a ion o p oduc ion planning and scheduling”, en Geisle , M.A., (1975), Logis ics TMS s udies in he managemen sciences. No h-Holland. Ams e dam, Ne he lands (Holanda), pp. 53-69. [7] Zipkin, P.H., (1977), Agg ega ion in linea p og amming. Ph.D., Uni e si y o Yale. New Ha en, U.S.A. [8] Roge s, D.F., Plan e, R.D., Wong, R.T. y E ans, J.R., (1991), “Agg ega ion and disagg ega ion echniques and me hodology in op imiza ion”, Ope a ions Resea ch, 39 (4), pp. 553-582. [9] Bi an, G.R. y Ti upa i, D., (1993), “Hie a chical p oduc ion planning”, en G a es, S.C., Rinnooy-Kan, A.H.G. y Zipkin, P.H., (1993), Logis ics o p oduc ion and in en o y, Handbooks in Ope a ions Resea ch and Managemen Science, 4. No h-Holland. Ams e dam, Ne he lands (Holanda), pp. 523-568. [10] Dudkin, L.M., Rabino ich, I. y Vakhu insky, I., (1987), I e a i e agg ega ion heo y, (New Yo k: Ma cel Dekke ). [11] Leis en, R., (1995), I e a i e agg ega ion und meh s u ige en scheidungsmodelle, (Heidelbe g: Physica). [12] S uh , K.P., (1987), Expe imen elle un e suchungen zu abschä zung des maximalen agg ega ions ehle s in linea en p og ammen, (München: VVF). [13] F ancis, V.E., (1985), Agg ega ion o ne wo k low p oblems. Ph.D., Uni e si y o Cali o nia. Los Angeles, U.S.A. [14] Ka hu ia, N.N., (1988), P edic i e accu acy o agg ega e planning LP models. Ph.D., Uni e si y o No h Ca oline. Chapel Hill, U.S.A. [15] Liesegang, D.C., (1980), Agg ega ion bei linea en op imie ungsmodellen. Habili a ionssch i , Uni e si ä zu Köln. Köln, Deu scheland (Alemania). [16] Taylo , R.W., (1983), Agg ega e p og amming in la ge scale linea sys ems. Ph.D., Geo gia Ins i u e o Technology. A lan a, U.S.A. [17] Hopp, W.J. y Spea man, M.L., (1996), Fac o y physics, (Chicago: I win). [18] Jö ns en, K. y Leis en, R., (1995), “Decomposi ion and i e a i e agg ega ion in hie a chical and decen alised planning s uc u es”, Eu opean Jou nal o Ope a ional Resea ch, 86 (1), pp. 120-141. [19] Halle jo d, A. y S o øy, S., (1990), “Agg ega ion and disagg ega ion in in ege p og amming p oblems”, Ope a ions Resea ch, 38 (4), pp. 619-623. [20] Jö ns en, K., Leis en, R. y S o øy, S., (1999), “Con e gence aspec s o adap i e clus e ing in a iable agg ega ion”, Comp. & Op. Resea ch, 26 (10-11), pp. 955-966. [21] Jö ns en, K., Leis en, R. y S o øy, S., (1994), “G adien schemes in i e a i e agg ega ion p ocedu es o a iable-agg ega ed LP-p oblems”, Op imiza ion, 30 (3), pp. 251-268. [22] S o øy, S., (1994), “Weigh s imp o emen in column agg ega ion”, Eu opean Jou nal o Ope a ional Resea ch, 73 (3), pp. 510-516. [23] S o øy, S., (1996), “Op imal weigh s and degene acy in a iable agg ega ed linea p og ams”, Ope a ions Resea ch Le e s, 19 (1), pp. 29-31.