Análisis matemático de la ecuaciones de los fluidos micropolares

An´alisis matem´atico de la ecuaciones de los fluidos micropolares Universidad de Sevilla Facultad de Matem´aticas Departamento de Ecuaciones Diferenciales y An´alisis Num´erico Trabajo Fin de Grado Grado en Matem´aticas Curso 2022-2023 Dirigido por : Francisco Javier Su´arez Grau Fdo : Manuel Jim´enez Casta˜neda Sevilla, Junio de 2023 . Resumen La teor´ıa de fluidos micropolares es una generalizaci´on importante y a la vez simple de la teor´ıa cl´asica de fluidos viscosos Newtonianos, cuyas ecuaciones de movimiento est´an dadas por las ecuaciones convencionales de Navier-Stokes. F´ısicamente, los fluidos micropolares representan fluidos consistentes en part´ıculas r´ıgidas orientadas de manera aleatoria que est´an suspendidas en un medio continuo. El modelo de fluidos micropolares tiene en cuenta tanto las interacciones mec´anicas como la microestructura de las mol´eculas dentro de un elemento de volumen de fluido. Este trabajo est´a dedicado al an´alisis de un caso simple de las ecuaciones de fluidos micropolares estudiando la existencia de soluci´on d´ebil, condiciones bajo las cuales hay unicidad de soluci´on y propiedades de regularidad. Abstract The theory of micropolar fluids is a significant and simple generalization of the theory of the classical Newtonian viscous fluid whose equations of motion are given by the conventional Navier-Stokes equations. Phisically this fluids represent fluids consisting of rigid randomly oriented particles suspended in a viscous medium. The micropolar fluid model takes into account both the mechanical interactions as well as the microstructure of molecules within a fluid volume element. The existence of solution is analyzed. Moreover, if kinematic viscosity is large enough, the uniqueness of solution is derived, as regularity conditions for the solution. . ´ Indice 1. Introducci´on 1 2. Preliminares matem´aticos 4 2.1. Espaciosnormados .............................. 4 2.1.1. Espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.1.2. Formas lineales, bilineales, continuas y coercivas. El espacio dual. 6 2.1.3. Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2. Los espacios R3yR3×3............................ 11 2.3. Espacios de Sobolev. La derivada d´ebil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4. Operadores sobre espacios vectoriales y notaciones sobre normas . . . . . 17 2.4.1. Operadores sobre espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4.2. Notaci´on sobre normas y productos escalares . . . . . . . . . . . . 18 2.5. Desigualdades y propiedades ´utiles en espacios normados . . . . . . . . . 20 2.6. Teoremasdepuntofijo............................ 23 2.7. SistemadeStokes............................... 24 3. Estudio del problema de Dirichlet homog´eneo 26 3.1. Introducci´on.................................. 26 3.2. Problema lineal auxiliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3. Existencia................................... 36 3.4. Unicidad.................................... 47 3.5. Regularidad.................................. 51 Bibliograf´ıa 58 . Cap´ıtulo 1 Introducci´on En el amplio terreno de la f´ısica y la matem´atica aplicada, las ecuaciones que describen el comportamiento de los fluidos han sido objeto de estudio durante d´ecadas. La compren- si´on y el an´alisis de los fen´omenos relacionados con el flujo de fluidos son fundamentales en diversas ´areas de la ciencia y la ingenier´ıa, desde la aerodin´amica y la hidrodin´amica hasta la biolog´ıa y la geof´ısica. En particular, el estudio de los fluidos micropolares, caracterizados por su gran viscosidad y su incompresibilidad, han sido objeto de inter´es dado a su relevancia en m´ultiples aplicaciones pr´acticas. Las ecuaciones de los fluidos micropolares constituyen un marco te´orico que busca describir el movimiento de fluidos con microestructura, pertenecientes a una clase de fluidos con tensor de tensi´on asim´etrico, llamados fluidos polares, y teniendo en cuenta la interacci´on de las componentes microrrotacionales presentes en el fluido. F´ısicamente, los fluidos micropolares representan fluidos formados por part´ıculas r´ıgidas orientadas aleatoriamente (o esf´ericas), suspendidas en un medio viscoso, donde la deformaci´on de las part´ıculas es ignorada. El modelo de los fluidos micropolares fue introducido A.C. Eringen1en la d´ecada de 1960, ver [3]. El sistema de ecuaciones que gobiernan los fluidos micropolares expresa el balance del momento, masa, y momento angular, ver el libro de G. Lukaszewicz [6], que en su 1A.C. Eringen (15 de Febrero, 1921 - 7 de Diciembre, 2009), Turqu´ıa. 1 r´egimen estacionario se expresa como sigue: −(ν+νr)∆u+ (u·∇)u+∇p= 2νrrot ω+f, div u= 0, −(ca+cd)∆ω+ (u·∇)ω−(c0+cd−ca)∇div ω+ 4νrω = 2νrrot u+g, en Ω, un dominio acotado suficientemente regular de R3. Se establecer´a el problema de contorno m´as b´asico, es decir, consideramos condiciones de Dirichlet homog´eneas en la frontera, para la velocidad y la microrrotaci´on: u= 0, ω= 0, sobre ∂Ω. Este modelo es una generalizaci´on del modelo cl´asico de Navier-Stokes, donde los t´erminos microrrotacionales se desprecian, cubriendo muchos m´as fen´omenos que el modelo cl´asico, como por ejemplo las suspensiones polim´ericas, los cristales l´ıquidos, los fluidos lodosos, o la sangre animal, entre otros. Theory of Micropolar Fluids A. CEMAL ERINGEN Communicated by T. Y. Thomas Abstract. Equations of motion, constitutive equations and boundary conditions are derived for a class of fluids named micropolar fluids. These fluids respond to micro-rotational motions and spin inertia and therefore, can support couple stress and distributed body couples. Thermodynamical restrictions are studied in detail and field equations are obtained for the density, velocity vector and micro-rotation vector. The system is solved for a channel flow exhibiting certain interesting phenomena. 1. Introduction. The theory of microfluids introduced by Eringen [1], [2] deals with a class of fluids which exhibit certain microscopic effects arising from the local structure and micro-motions of the fluid elements. These fluids can sup port stress moments and body moments and are influenced by the spin inertia. The theory of microfluids are, however, too complicated even in the case of con stitutively linear theory and the underlying mathematical problem is not easily amenable to the solution of non-trivial problems in this field. A subclass of these fluids is the micropolar fluids which exhibit the micro rotational effects and micro-rotational inertia. This class of fluids possesses certain simplicity and elegance in their mathematical formulation which should appeal to mathematicians. The micropolar fluids can support couple stress and body couples only. Physically they may represent adequately the fluids consisting of bar-like elements. Certain anisotropic fluids, e.g. liquid crystals which are made up of dumbbell molecules, are of this type. In fact, animal blood happens to fall into this category. Other polymeric fluids and fluids con taining certain additives may be represented by the mathematical model under lying micropolar fluids. Recent experiments [3], [4] with fluids containing extremely small amount of polymeric additives indicate that the skin friction near a rigid body in such fluids are considerably lower (up to 30-35%) than the same fluids without additives. The classical Navier-Stokes theory is incapable of predicting these findings since it contains no mechanism to explain this new physical phenomena. At the Naval Hydrodynamic Conference at Bergen last year, September 1964, the author [5] suggested that the microfluid theory may contain just the right mech 1 Journal of Mathematics and Mechanics, Vol. 16, No. 1 (1966). This content downloaded from 193.147.173.152 on Mon, 12 Jun 2023 09:08:45 +00:00 All use subject to https://about.jstor.org/terms Art´ıculo de A.C. Eringen sobre los fluidos micropolares, ver [3]. 2 En este trabajo, vamos a estudiar las ecuaciones de los fluidos micropolares estacionarios con viscosidad, e incompresibles. En el Cap´ıtulo 2, mostraremos una serie de preliminares matem´aticos, necesarios para la comprensi´on del desarrollo te´orico del trabajo, donde daremos definiciones y resultados vistos en asignaturas como An´alisis funcional, An´alisis funcional de ecuaciones en derivadas parciales, o An´alisis num´erico de ecuaciones diferenciales, del Grado en Matem´aticas, de la Universidad de Sevilla. En el Cap´ıtulo 3, introduciremos el modelo que queremos estudiar, sobre fluidos micropolares estacionarios con viscosidad e incompresibles, y probaremos la existencia de soluci´on d´ebil, la unicidad para una viscosidad cinem´atica suficientemente grande, y la regularidad suficiente de la soluci´on para que ´esta sea soluci´on fuerte del modelo. El trabajo culmina con un cap´ıtulo de referencias. 3 Definici´on 2.43 (Espacio de Hilbert) Sea (X, ⟨·,·⟩)un espacio prehilbertiano. Decimos que (X, ⟨·,·⟩)es un espacio de Hilbert (por abuso de lenguaje, diremos que Xlo es), si es un espacio de Banach para su norma cuadr´atica inducida. Proposici´on 2.44 Todo espacio de Hilbert es un espacio de Banach. Lema 2.45 Los productos escalares son formas bilineales y continuas en su espacio prehilbertiano. Definici´on 2.46 (Espacio topol´ogico separable) Sea Xun espacio topol´ogico. Decimos que Xes un espacio separable si contiene un subconjunto denso numerable. Lema 2.47 Un espacio de Hilbert es separable si y s´olo si admite una base ortonormal numerable. Teorema 2.48 (Teorema de Riesz-Fr´echet) Sea Xun espacio de Hilbert con producto escalar ⟨·,·⟩Xy norma ∥·∥Xy sea L∈X∗un funcional lineal y continuo en X. Entonces existe un ´unico elemento u∈Xtal que: ⟨u, v⟩X=L(v),∀v∈X, y∥u∥X=∥L∥X∗. Teorema 2.49 (Teorema de Lax-Milgram para espacios separables) Sea Xun espacio de Hilbert separable, L∈X∗un funcional lineal en X,a(u, v)una forma bilineal, continua y coercitiva en X×X, donde coerciva significa que existe α > 0tal que para todo u∈X, se tiene a(u, v)≥α∥u∥2. Entonces, existe un ´unico elemento u∈Xtal que: a(u, v) = L(v),∀v∈X. (2.1) Proposici´on 2.50 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Sea Xun espacio prehilbertiano, es decir, con producto escalar asociado, que denotaremos ⟨·,·⟩X, con norma cuadr´atica asociada ∥·∥X, y sean u, v ∈X, entonces, se tiene |⟨u, v⟩X| ≤ ∥u∥X∥v∥X. 10 2.2. Los espacios R3yR3×3 Definici´on 2.51 (Producto escalar en R3)Se define el producto escalar en R3, y se denota por ·, como la aplicaci´on, (·) : R3×R3→Rdada por: u·v=u1v1+u2v2+u3v3. Proposici´on 2.52 El producto antes definido es un producto escalar en R3. Definici´on 2.53 (Traza de una matriz) Se define la traza de una matriz en R3×3co- mo la aplicaci´on γ:R3×3→R, dada por: γ(A) = n X i=1 aii. Definici´on 2.54 (Producto escalar en R3×3)Se define el producto escalar en R3×3, y se denota por :, como la aplicaci´on (:) : R3×3×R3×3→R, dada por: A:B=γ(AtB) = X 1≤i,j≤3 aijbij, con A= (aij)1≤i,j≤3,B= (bij)1≤i,j≤3. Proposici´on 2.55 El producto antes definido es un producto escalar en R3×3. Definici´on 2.56 (M´odulo en R3)Se define el m´odulo en R3, y se denota por |·|, a la aplicaci´on |·|:R3→R, dada por: |u|=√u·u=qu2 1+u2 2+u2 3. Proposici´on 2.57 El m´odulo es la norma cuadr´atica inducida por el producto escalar en R3. Definici´on 2.58 (M´odulo en R3×3)Se define el m´odulo en R3×3, y se denota por |·|, a la aplicaci´on |·|:R3×3→R3, dada por: |A|=γ(AtA)1/2= X 1≤i,j≤3 a2 ij!1/2 . Proposici´on 2.59 El m´odulo es la norma cuadr´atica inducida por el producto escalar en R3×3. 11 Observaci´on 2.60 Podemos observar con todo esto que R3es un espacio prehilbertiano (de hecho es de Hilbert) para el producto escalar en R3, con norma cuadr´atica inducida, el m´odulo en R3. Igualmente, R3×3es un espacio prehilbertiano (de hecho es de Hilbert) para el producto escalar en R3×3, con norma cuadr´atica inducida, el m´odulo en R3×3. Vamos a ver ahora algunas propiedades de utilidad con estas aplicaciones: Lema 2.61 (Propiedad submultiplicativa para el m´odulo en R3)Sean u, v ∈R3, se tiene: |uv|≤|u||v|. Demostraci´on Basta aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz 2.50. □ Lema 2.62 (Propiedad submultiplicativa para el m´odulo en R3×3)Sean A, B ∈ R3×3, se tiene: |AB|≤|A||B|. Demostraci´on Basta aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz 2.50. □ Lema 2.63 (Propiedad submultiplicativa para los m´odulos en R3×3, y R3)Sean A∈R3×3, y u∈R3, se tiene: |Au|≤|A||u|. Demostraci´on En primer lugar, recordamos que sean a, b ∈R, se tiene que (a−b)2= a2−2ab +b2≥0, lo que implica que 2ab ≤a2+b2. Desarrollamos la expresi´on: |Au|2= (a11u1+a12u2+a13u3)2+ (a21u1+a22u2+a23u3)2 + (a31u1+a32u2+a33u3)2= (a11u1)2+ (a12u2)2+ (a13u3)2+ (a21u1)2 + (a22u2)2+ (a23u3)2+ (a31u1)2+ (a32u2)2+ (a33u3)2+ 2a11u1a12u2 + 2a11u1a13u3+ 2a12u2a13u3+ 2a21u1a22u2+ 2a21u1a23u3+ 2a22u2a23u3 + 2a31u1a32u2+ 2a31u1a33u3+ 2a32u2a33u3, 12 donde usando la desigualdad antes vista, se tiene: (a11u1)2+ (a12u2)2+ (a13u3)2+ (a21u1)2+ (a22u2)2+ (a23u3)2+ (a31u1)2 + (a32u2)2+ (a33u3)2+ 2a11u1a12u2+ 2a11u1a13u3+ 2a12u2a13u3 + 2a21u1a22u2+ 2a21u1a23u3+ 2a22u2a23u3+ 2a31u1a32u2+ 2a31u1a33u3 + 2a32u2a33u3≤(a11u1)2+ (a12u2)2+ (a13u3)2+ (a21u1)2+ (a22u2)2 + (a23u3)2+ (a31u1)2+ (a32u2)2+ (a33u3)2+ (a11u2)2+ (a12u1)2+ (a11u3)2 + (a13u1)2+ (a12u3)2+ (a13u2)2+ (a21u2)2+ (a22u1)2+ (a21u3)2+ (a23u1)2 + (a22u3)2+ (a23u2)2+ (a31u2)2+ (a32u1)2+ (a31u3)2+ (a33u1)2+ (a32u3)2 + (a33u2)2=(a11)2+ (a12)2+ (a13)2+ (a21)2+ (a22)2+ (a23)2+ (a31)2 + (a32)2+ (a33)2u2 1+(a11)2+ (a12)2+ (a13)2+ (a21)2+ (a22)2+ (a23)2 + (a31)2+ (a32)2+ (a33)2u2 2+(a11)2+ (a12)2+ (a13)2+ (a21)2+ (a22)2 + (a23)2+ (a31)2+ (a32)2+ (a33)2u2 3=(a11)2+ (a12)2+ (a13)2+ (a21)2 + (a22)2+ (a23)2+ (a31)2+ (a32)2+ (a33)2u2 1+u2 2+u2 3=|A|2|u|2, Basta tomar ra´ız cuadrada para obtener la desigualdad buscada. □ 2.3. Espacios de Sobolev. La derivada d´ebil De aqu´ı en adelante, consideraremos Ω ∈R3un dominio1, y f: Ω →C. Definici´on 2.64 (El espacio de funciones Lp(Ω))Sea p > 1, se define el espacio de funciones Lp(Ω) como el conjunto de clases de funciones fque verifican: ZΩ|f(x)|pdx < +∞. Las clases de funciones del espacio vienen dadas por la relaci´on de equivalencia: fRg ⇔f≡ge.c.t.p de Ωi.e, ZΩ|f(x)−g(x)|pdx = 0. Esta relaci´on de equivalencia nos permite definir la norma en Lp(Ω), dada por: ∥f∥Lp(Ω) =ZΩ|f(x)|pdx1/p . 1conjunto abierto, conexo y no vac´ıo. 13 El espacio Lp(Ω) junto con su norma es completo, por lo que la norma definida dota al espacio de estructura de espacio de Banach. Para p= 2,L2(Ω) ser´a un espacio de Hilbert, con el producto escalar asociado dado por: (f, g) = ZΩ f(x)g(x)dx. El n´umero pes un par´ametro positivo, y se denomina el exponente de integrabilidad. Las funciones que satisfacen esta condici´on se llaman p-integrables o integrables a la potencia pen Ω. Definici´on 2.65 (El espacio de funciones Lp loc(Ω))Se define el espacio de funciones localmente integrables en Ω, y se denota Lp loc(Ω), como: Lp loc(Ω) = {f:f∈Lp(K),∀K⊂Ωcompacto}. En otras palabras, Lp loc(Ω) es el conjunto de funciones p-integrables en cualquier compacto de Ω(de aqu´ı el nombre de localmente integrables). Definici´on 2.66 (El conjunto soporte de f)Se define el conjunto soporte de f, y se denota por supp f, a la clausura del conjunto {x∈Ω : f(x)= 0}en la topolog´ıa inducida por la norma en L2(Ω). En otras palabras, supp fes el conjunto de puntos donde la funci´on fes no nula o est´a ”cerca de serlo”. Observaci´on 2.67 El conjunto supp f, al ser una clausura, es cerrado. Notaci´on 2.68 (Notaci´on para el operador de la derivada parcial) Sea α= (α1, . . . , αn)∈Zn +. Escribimos |α|= n X k=1 αk. Entonces denotamos por Dαal operador derivada parcial de orden |α|, y se define como: Dα=∂|α| ∂α1x1···∂αnxn . Definici´on 2.69 (Derivada parcial α-´esima) Sea α= (α1, . . . , αn)∈Zn +. Escribimos |α|= n X k=1 αk. Se define la derivada parcial α-´esima de f, como la funci´on Dαf. Definici´on 2.70 (El espacio de funciones Ck(Ω))Sea k∈Z+. Definimos el espacio de funciones Ck(Ω) como el conjunto formado por las funciones f, que son continuas y con Dαf, las derivadas parciales, continuas ∀αcon |α| ≤ k. 14 Definici´on 2.71 (El espacio de funciones C∞(Ω))Se define el espacio de funciones infinitamente diferenciables en Ω,C∞(Ω), como el conjunto: C∞(Ω) = ∞ \ k=1 Ck(Ω). Observaci´on 2.72 Sea f∈C∞(Ω), entonces todas las derivadas parciales de fen cualquier orden son continuas y derivables infinitamente, i.e, Dαf∈C∞(Ω),∀α∈Zn +. Definici´on 2.73 (El espacio de funciones Ck 0(Ω))Sea k∈Z+. Se define el espacio de funciones Ck 0(Ω), como el espacio: Ck 0(Ω) = {f∈Ck(Ω) : supp f⊂Ωcompacto }. En otras palabras, las funciones f∈Ck 0(Ω) son continuas y con derivadas parciales continuas hasta orden k, con soporte compacto en Ω, lo que significa que f(x) = 0 para todo xfuera de un conjunto compacto contenido en Ω. Definici´on 2.74 (El espacio de funciones C∞ 0(Ω))Se define el espacio de funciones C∞ 0(Ω), como el espacio: C∞ 0(Ω) = {f∈C∞(Ω) : supp f⊂Ωcompacto }. En otras palabras, las funciones f∈C∞ 0(Ω) son continuas y con derivadas parciales continuas de todos los ´ordenes, con soporte compacto en Ω, lo que significa que f(x) = 0 para todo xfuera de un conjunto compacto contenido en Ω. Lema 2.75 Sea f∈L1 loc(Ω), y sea ZΩ f(x)φ(x)dx = 0 para todo φ∈C∞ 0(Ω). Entonces, f≡0e.c.t.p de Ω. Gracias a esto, podemos definir el concepto de derivada parcial d´ebil (o generalizada, derivada en el sentido de las distribuciones) de funciones que no tienen por qu´e ser continuas, generalizando as´ı el concepto de derivada habitual: Definici´on 2.76 (Derivada d´ebil parcial α-´esima) Sea α= (α1, . . . , αn)∈Zn +. Escribimos |α|= n X k=1 αk. Sea f∈L1 loc(Ω). Decimos que la funci´on fα∈L1 loc(Ω) es la derivada d´ebil (o generalizada) parcial α-´esima de f, en Ω, si para todo φ∈C∞ 0(Ω): ZΩ f(x)Dαφ(x)dx = (−1)|α|ZΩ f(x)αφ(x)dx 15 Lema 2.77 Si f∈C|α|(Ω), entonces fα=Dαf; lo que quiere decir es que existe la derivada d´ebil fα, y es igual a la derivada parcial cl´asica Dαf. Definici´on 2.78 (Los espacios de Sobolev, Wm,p(Ω))Sea m∈Z+,p≥1. Se define el espacio de Sobolev, Wm,p(Ω), como el espacio de funciones f∈Lp(Ω), para las cuales las derivadas parciales generalizadas de orden αexisten y est´an en Lp(Ω),∀αcon |α| ≤ m. Es decir, Wm,p(Ω) = {f∈Lp(Ω) : Dαf∈Lp(Ω),∀αcon |α| ≤ m}. Este espacio con la norma ∥·∥Wm,p(Ω), dada por: ∥f∥Wm,p(Ω) = X |α|≤m∥Dαf∥p Lp(Ω)  1/p , es un espacio de Banach. Lema 2.79 Sea 1<p<∞, entonces toda sucesi´on en una bola cerrada en Wm,p(Ω) contiene una subsucesi´on d´ebilmente convergente. Definici´on 2.80 (Los espacios Wm,p 0(Ω))Sea m∈Z+,p≥1. Se define el espacio, Wm,p 0(Ω), como el espacio de funciones f∈Lp(Ω), para las cuales las derivadas parciales generalizadas de orden αexisten y est´an en Lp(Ω),∀αcon |α| ≤ m, y adem´as, supp f⊂ Ω. Es decir, Wm,p 0(Ω) = {f∈Lp(Ω) : Dαf∈Lp(Ω),∀αcon |α| ≤ m, supp f⊂Ω}. En otras palabras, una funci´on f∈Wm,p 0(Ω) cumple que sus derivadas parciales generalizadas existen y est´an en Lp(Ω), para |α| ≤ m, y tienen soporte compacto en Ω, es decir, f(x) = 0 para todo xfuera de un conjunto compacto contenido en Ω. Notaci´on 2.81 (Los espacios Hm(Ω) yHm 0(Ω))Los espacios Wm,2(Ω) se denotan como Hm(Ω). Los espacios Wm,2 0(Ω) se denotan como Hm 0(Ω). Ambos son espacios de Hilbert con el producto escalar: (f, g) = X |α|≤mZΩ Dαf(x)Dαg(x)dx. Nota 2.82 (Los espacios H1(Ω) yH1 0(Ω))Para m= 1, en la definici´on anterior, tenemos los espaccios H1(Ω) yH1 0(Ω), que utilizaremos con frecuencia en el trabajo. 16 Definici´on 2.83 Decimos que un abierto acotado Ω∈R3es de clase Ck,α,0≤α≤ 1, k ∈Z+, si para todo punto x0∈∂Ω, existe una bola Bcentrada en x0y una aplicaci´on biyectiva de Ben D⊂Rntales que: 1. ψ(B∩Ω) ⊂Rn +={x= (x1, . . . , xn)∈Rn:xn>0}. 2. ψ(B∩∂Ω) ⊂∂Rn +. 3. ψ∈Ck,α(B), ψ−1∈Ck,α(D). Teorema 2.84 Sea Ω∈Rnun abierto acotado, tal que Ω∈C0,1. Entonces: 1. si kp < n, entonces el espacio Wk,p(Ω) est´a continuamente inyectado en el espacio Lp∗(Ω),p∗=np/(n−kp), e inyectado de forma compacta en Lq(Ω) para q < p∗; 2. si 0≤m < k −n/p < m + 1, entonces el espacio Wk,p(Ω) est´a continuamente inyectado en Cm,α(Ω),α=k−n/p−m, e inyectado de forma compacta en Cm,β(Ω), para β < α. 2.4. Operadores sobre espacios vectoriales y notaciones sobre normas 2.4.1. Operadores sobre espacios vectoriales Sean x∈Ω⊂R3abierto acotado, con u=u(x), v =v(x)∈R3,p=p(x)∈R: Notaci´on 2.85 Denotamos por ∇al operador D, de la derivada parcial de primer orden. Definici´on 2.86 (Gradiente de un vector) Sea u∈C1(Ω; R3), se define el gradiente de u(vector), y se denota por ∇u, como la matriz de orden 3×3con entradas en Rde la forma: ∇u=     ∂x1u1∂x2u1∂x3u1 ∂x1u2∂x2u2∂x3u2 ∂x1u3∂x2u3∂x3u3      . Definici´on 2.87 (Operador de advecci´on (u·∇))Sea u∈C(Ω; R3), se define el operador de advecci´on como el operador (u·∇)(·) : C1(Ω; R3)−→ R3, dado por: (u·∇)(·) = u1∂x1(·) + u2∂x2(·) + u3∂x3(·). 17 Observaci´on 2.88 Sean u∈C(Ω; R3), v ∈C1(Ω; R3), observamos la aplicaci´on del operador de advecci´on (u·∇), a v, dada por el vector: (u·∇)v=u1∂x1(v) + u2∂x2(v) + u3∂x3(v) = ∇v·u =     u1∂x1v1+u2∂x2v1+u3∂x3v1 u1∂x1v2+u2∂x2v2+u3∂x3v2 u1∂x1v3+u2∂x2v3+u3∂x3v3      . Definici´on 2.89 (Divergencia) Sea u∈C1(Ω; R3), se define la divergencia de u(vector), y se denota por div u, o ∇·u, como el escalar: div u=∂x1u1+∂x2u2+∂x3u3. Definici´on 2.90 (Rotacional) Sea u∈C1(Ω; R3), se define el rotacional de u(vector), y se denota por rot u, o ∇×u, como el vector: rot u= e1e2e3 ∂x1∂x2∂x3 u1u2u3  =     ∂x2u3−∂x3u2 −∂x1u3+∂x3u1 ∂x1u2−∂x2u1      , donde eison los vectores de la base can´onica con i∈ {1,2,3}. Definici´on 2.91 (Gradiente de un escalar) Sea p∈C1(Ω; R), se define el gradiente de p(escalar), y se denota por ∇p, como el vector: ∇p= (∂x1p, ∂x2p, ∂x3p). Definici´on 2.92 (Laplaciano) Sea u∈C2(Ω; R3), se define el laplaciano de u(vector), y se denota por ∆u=∇2u, como el vector: ∆u=∂2 x11 u+∂2 x22 u+∂2 x33 u=     ∂2 x11 u1+∂2 x22 u1+∂2 x33 u1 ∂2 x11 u2+∂2 x22 u2+∂2 x33 u2 ∂2 x11 u3+∂2 x22 u3+∂2 x33 u3      . 2.4.2. Notaci´on sobre normas y productos escalares Durante el desarrollo del trabajo, usaremos las siguientes notaciones de forma frecuente Notaci´on 2.93 Sea n∈Z+. Denotamos por 18 1. |·|q, a la norma en Lq(Ω; Rn). Es decir: |u|q=ZΩ|u|qdx1/q . En concreto, usaremos con frecuencia los siguientes casos particulares: |·|2, a la norma en L2(Ω; Rn). Es decir: |u|2=ZΩ|u|2dx1/2 . |·|4, a la norma en L4(Ω; Rn). Es decir: |u|4=ZΩ|u|4dx1/4 . |·|6, a la norma en L6(Ω; Rn). Es decir: |u|6=ZΩ|u|6dx1/6 . 2. ∥·∥m,q, a la norma en Wq m(Ω; Rn). Es decir: ∥u∥m,q = X |α|≤m|Dαf|q q  1/q . 3. ∥·∥1, a la norma en H1 0(Ω; Rn). Es decir: ∥u∥1=|∇u|2=ZΩ|∇u|2dx1/2 . 4. (·,·)al producto escalar en L2(Ω; Rn). Es decir: (u, v) = ZΩ u·vdx. 5. ((·,·)) al producto escalar en H1 0(Ω; Rn). Es decir: ((u, v)) = ZΩ∇u:∇vdx. 6. b(u, v, w), al producto: b(u, v, w) = ((u·∇)v, ω) = ZΩ (∇v·u)ωdx. 19 Cap´ıtulo 3 Estudio del problema de Dirichlet homog´eneo En este cap´ıtulo consideramos un problema de contorno para fluidos micropolares. El objetivo es probar existencia de soluci´on en espacios funcionales bastante grandes, determinar condiciones bajo las cuales hay unicidad de soluci´on y estudiar propiedades de regularidad. Nos restringiremos a un dominio acotado tridimensional Ω con frontera suficientemente suave. Para el desarrollo de los contenidos te´oricos de este cap´ıtulo, as´ı como las demostraciones de la existencia, unicidad y regularidad de soluci´on, nos basaremos en los razonamientos utilizados por G. Lukaszewicz en su libro Micropolar Fluids, theory and applications. Para m´as detalles, ver [6]. 3.1. Introducci´on Vamos a estudiar el problema m´as simple posible y a la vez el problema central de este tipo, es decir, un problema de contorno de Dirichlet homog´eneo para un fluido micropolar incompresible e isot´ermico: −(ν+νr)∆u+ (u·∇)u+∇p= 2νrrot ω+f, (3.1) div u= 0,(3.2) −(ca+cd)∆ω+ (u·∇)ω−(c0+cd−ca)∇div ω+ 4νrω = 2νrrot u+g, (3.3) 26 en Ω, con, u= 0,(3.4) ω= 0,(3.5) sobre ∂Ω. Aqu´ı, las ecuaciones (3.1)-(3.3) expresan las leyes de conservaci´on del movimiento estacionario de fluidos micropolares incompresibles y con viscosidad, leyes de conservaci´on de momento, masa, y momento angular, respectivamente. Las condiciones de contorno (3.4)-(3.5) implican que el fluido se adhiere a la frontera y que los elementos fluidos no pueden rotar en la frontera. Notamos que si la viscosidad cinem´atica Newtoniana νes suficientemente grande, entonces la soluci´on ser´a ´unica, lo que es an´alogo al correspondiente sistema de Navier-Stokes. Al final, probaremos que de hecho la soluci´on d´ebil es en realidad fuerte, es decir, las ecuaciones se satisfacen en casi todo punto del dominio considerado. Las funciones, u(x)=(u1(x), u2(x), u3(x)), p(x) y ω(x)=(ω1(x), ω2(x), ω3(x)) son el vector velocidad, la presi´on, y el vector velocidad angular, de las part´ıculas del fluido, respectivamente. Las funciones f(x)=(f1(x), f2(x), f3(x)) y g(x)=(g1(x), g2(x), g3(x)) denotan las fuentes externas de momento lineal y angular, respectivamente. Los valores ν, νr, ca, cd, c0son escalares positivos, que caracterizan las propiedades is´otropas del fluido, νes la viscosidad cinem´atica Newtoniana habitual, y νr, ca, cd, c0son nuevas viscosidades, asociadas a la asimetr´ıa del tensor de tensi´on y, en consecuencia, a la aparici´on del campo de rotaci´on interna ωen el modelo dado. Asumimos adem´as que c0+cd> ca. Recordamos la notaci´on para las normas y los productos escalares, dadas en los preliminares matem´aticos: Sea n∈Z+: 1. (·,·) es el producto escalar en L2(Ω; Rn). 2. ((·,·)) es el producto escalar en H1 0(Ω; Rn). 3. b(u, v, ω) = ((u·∇)v, ω). 4. |·|2es la norma en L2(Ω; Rn). 27 5. |·|4es la norma en L4(Ω; Rn). 6. ∥·∥1es la norma en H1 0(Ω; Rn). Definimos ahora los espacios V={u∈C∞ 0(Ω; R3) : div u= 0}yV, la clausura de Ven H1 0(Ω; R3), es decir, V={u∈H1 0(Ω; R3) : div u= 0}. Cuando sea obvio, no a˜nadiremos el sufijo Rna la notaci´on para los espacios funcionales. Comenzamos definiendo el concepto de soluci´on d´ebil para el problema (3.1)-(3.5). Definici´on 3.1 (Soluci´on d´ebil del problema (3.1)-(3.5)) Diremos que la terna de funciones (u, p, ω)es una soluci´on d´ebil del problema (3.1)-(3.5) si u∈V,p∈L2(Ω), RΩp(x)dx = 0,ω∈H1 0(Ω), y satisfacen las siguientes identidades: (ν+νr)((u, ϕ)) + b(u, u, ϕ)−(p, div ϕ)=2νr(rot ω, ϕ)+(f, ϕ),(3.6) para todo ϕ∈C∞ 0(Ω; R3), (u, ∇ξ) = 0,(3.7) para todo ξ∈C∞ 0(Ω; R), y (ca+cd)((ω+ψ)) + b(u, ω, ψ)+(c0+cd−ca)(div ω, div ψ)+4νr(ω, ψ), = 2νr(rot u, ψ)+(g, ψ) (3.8) para todo ψ∈C∞ 0(Ω; R3). El nombre “soluci´on d´ebil” se debe a que la terna (u, p, ω) no requiere la regularidad necesaria para que exista ∆u, y toda soluci´on del problema (3.1)-(3.5) verifica el problema (3.6)-(3.8), es decir, la soluci´on d´ebil generaliza el concepto de soluci´on cl´asica del problema (3.1)-(3.5). Adem´as, cualquier soluci´on d´ebil con suficiente regularidad, ser´a soluci´on del problema (3.1)-(3.5). A priori, cabe esperar que resolver (3.6)-(3.8) sea m´as sencillo que resolver (3.1)-(3.5) en un sentido cl´asico. En efecto, en el primer caso, estaremos buscando la soluci´on en un espacio mayor (donde s´olo tienen sentido las derivadas de primer orden), pidi´endole as´ı a la soluci´on propiedades menos exigentes. De hecho una soluci´on d´ebil admite funciones que no sean continuas en un conjunto de puntos de medida nula, por lo que es l´ogico que sea m´as conveniente en muchos casos calcular una soluci´on d´ebil en vez de una cl´asica. Para m´as detalles, ver [4]. Vamos a ver que toda soluci´on cl´asica es soluci´on d´ebil y que toda soluci´on d´ebil con suficiente regularidad es soluci´on cl´asica: 28 Observaci´on 3.2 Vamos a ver aqu´ı que toda soluci´on cl´asica de (3.1)-(3.5) satisface (3.6)-(3.8). Comenzaremos por (3.6). Para ello, tomamos (3.1), multiplicamos por una funci´on test ϕ∈C∞ 0(Ω; R3), e integramos, de forma que se tiene: −(ν+νr)(∆u, ϕ) + b(u, u, ϕ)+(∇p, ϕ) = 2νr(rot ω, ϕ)+(f, ϕ).(3.9) Queremos ahora integrar por partes el primer t´ermino del primer miembro. Para ello, aplicando la primera identidad de Green, se tiene: (∆u, ϕ) = ZΩ ∆u ϕ dx =Z∂Ω (∇u·n)ϕ ∂Γ−ZΩ∇u∇ϕ dx, y como ϕ∈C∞ 0(Ω),ϕ≡0sobre ∂Ω, y por tanto, R∂Ω(∇u·n)ϕ ∂Γ=0, con nel vector exterior normal a ∂Ω, por lo que se tiene: (∆u, ϕ) = −ZΩ∇u∇ϕ dx =−(∇u, ∇ϕ) = −((u, ϕ)). Es decir, el primer t´ermino se reescribe como: −(ν+νr)(∆u, ϕ)=(ν+νr)((u, ϕ)). Para el tercer t´ermino, integramos por partes y teniendo en cuenta que ϕ≡0sobre ∂Ω, se tiene: (∇p, ϕ) = −ZΩ pdiv ϕ dx =−(p, div ϕ). Por tanto, sustituyendo en (3.9), se tiene: (ν+νr)((u, ϕ)) + b(u, u, ϕ)−(p, div ϕ) = 2νr(rot ω, ϕ)+(f, ϕ), ∀ϕ∈C∞ 0(Ω; R3), es decir, se tiene (3.6). Veamos ahora (3.8). Procediendo de forma similar con funci´on test ψ∈C∞ 0(Ω; R3)en (3.3), se tiene: −(ca+cd)(∆ω, ψ) + b(u, ω, ψ)−(c0+cd−ca)(∇div ω, ψ)+4νr(ω, ψ) = 2νr(rot u, ψ)+(g, ψ). Integrando de forma an´aloga, y teniendo en cuenta que ψ≡0sobre ∂Ω, se tiene: (ca+cd)((ω, ψ)) + b(u, ω, ψ)+(c0+cd−ca)(div ω, div ψ)+4νr(ω, ψ) = 2νr(rot u, ψ)+(g, ψ), 29 para todo ψ∈C∞ 0(Ω; R3), es decir, se tiene (3.8). Veremos, por ´ultimo, (3.7). Para ello, multiplicamos (3.2) por la funci´on test ξ∈C∞ 0(Ω; R), e integramos, de forma que se tiene: (div u, ξ) = 0,∀ξ∈C∞ 0(Ω; R). Integrando por partes, y como ξ∈C∞ 0(Ω), se tiene: (div u, ξ) = ZΩ div u ξ dx =ZΩ 3 X i=1 ∂xiuiξ dx = 3 X i=1 ZΩ ∂xiuiξ dx =− 3 X i=1 ZΩ ui∂xiξ dx =−ZΩ 3 X i=1 ui∂xiξ dx =−ZΩ u∇ξ dx, por lo que: (div u, ξ) = −(u, ∇ξ) = 0, lo que implica (3.7). Hemos probado por tanto que toda soluci´on cl´asica de (3.1)-(3.5) es soluci´on d´ebil. Se tiene que (3.4) y (3.5) implican que u, v ∈H1 0(Ω), y adem´as, por (3.2), u∈V. Observaci´on 3.3 Tambi´en se puede comprobar f´acilmente que toda soluci´on d´ebil del problema, con la suficiente regularidad, es soluci´on cl´asica de (3.1)-(3.5). Los pasos son an´alogos a los dados en la observaci´on anterior pero en sentido contrario, de forma que podemos volver hacia atr´as suponiendo la regularidad suficiente para cada funci´on. El objetivo del trabajo, ser´a probar los siguientes tres teoremas, que enunciamos a continuaci´on: Teorema 3.4 (Existencia) Si f, g ∈L2(Ω), entonces existe al menos una soluci´on d´ebil del problema (3.1)-(3.5). Teorema 3.5 (Unicidad) Si νes suficientemente grande, entonces la soluci´on del problema (3.1)-(3.5) (que existe, por el Teorema 3.5) es ´unica. Teorema 3.6 (Regularidad) Bajo las condiciones del Teorema 3.4 se tiene que u∈ W2 2(Ω),p∈H1(Ω), y ω∈W2 2(Ω). Adem´as, se verifica la siguiente estimaci´on: ∥u∥2,2+∥p∥1,2+∥ω∥2,2≤F(|f|2,|g|2),(3.10) donde Fes una funci´on continua y creciente en sus argumentos, tal que F(0,0) = 0. 30 En las siguientes secciones estudiaremos resultados que nos permitir´an acercarnos y obtener las pruebas de los tres teoremas. En la Secci´on 3.2 estudiaremos el problema de contorno para la microrrotaci´on (3.3) y (3.5), con un udado en V. En la Secci´on 3.3 daremos la prueba del Teorema 3.4. Para ello, haremos uso del principio de Leray-Schauder. En la Secci´on 3.4, estudiaremos la unicidad de soluci´on de (3.1)-(3.5), probando as´ı el Teorema 3.5. Por ´ultimo, en la Secci´on 3.5, probaremos el Teorema 3.6. 3.2. Problema lineal auxiliar En esta secci´on, estudiaremos el siguiente problema lineal auxiliar: −(ca+cd)∆ω+ (u·∇)ω−(c0+cd−ca)∇div ω+ 4νrω= 2νrrot u+g, (3.11) en Ω, ω= 0,(3.12) sobre ∂Ω, con udada en V. Pasamos ahora al primer lema importante, que nos aporta la existencia y unicidad de soluci´on de la formulaci´on d´ebil del problema lineal auxiliar (3.11)-(3.12), as´ı como desigualdades muy ´utiles para las pruebas de los teoremas que buscamos. Para probarlo, haremos uso de lemas auxiliares que nos ser´an de utilidad durante la demostraci´on. Lema 3.7 Sean u∈V,v, ω ∈H1 0(Ω), se tiene: b(u, v, ω)≤ |u|4∥v∥1|ω|4. Demostraci´on Se tiene: b(u, v, ω) = ZΩ (u·∇)v·ω dx =ZΩ∇v·u·ω dx ≤ZΩ|∇v·u·ω|dx ≤ZΩ|∇·u||ω|dx ≤ZΩ|∇v||u||ω|dx, y aplicando la desigualdad de H¨older generalizada 2.96, con p1= 2, p2= 4, p3= 4, se tiene: ZΩ|∇v||u||ω|dx ≤ |∇v|2|u|4|ω|4=|u|4∥v∥1|ω|4. □ 31 Lema 3.8 Sean u∈V,v∈H1 0(Ω),ω∈C∞ 0(Ω), se tiene: b(u, v, ω)≤23/4d1/2∥u∥1∥v∥1∥ω∥1. Demostraci´on Aplicando la desigualdad de Ladyzhenskaya 2.99 a la desigualdad del Lema 3.7, se tiene: b(u, v, ω)≤21/2|u|1/4 2∥u∥3/4 1∥v∥1·21/2|ω|1/4 2∥ω∥3/4 1, y por la desigualdad de Poincar´e 2.97, tenemos: 2|u|1/4 2∥u∥3/4 1∥v∥1|ω|1/4 2∥ω∥3/4 1≤2d 21/21/4 ∥u∥ 1 4+3 4 1∥v∥1d 21/21/4 ∥ω∥ 1 4+3 4 1 = 23/4d1/2∥u∥1∥v∥1∥ω∥1. □ Lema 3.9 Sean u∈V,v, ω ∈H1 0(Ω). Se tiene: b(u, v, ω) = −b(u, ω, v). Demostraci´on Se tiene: b(u, v, ω) = ((u·∇)v, ω) = ZΩ (u·∇)v ω dx =ZΩX 1≤i,j≤3 ui∂xivjωjdx =X 1≤i,j≤3ZΩ ui∂xivjωjdx, que integrando por partes, y teniendo en cuenta que ω∈H1 0(Ω), se tiene: X 1≤i,j≤3ZΩ ui∂xivjωjdx =−X 1≤i,j≤3ZΩ uivj∂xiωjdx =−ZΩX 1≤i,j≤3 ui∂xiωjvjdx =−((u·∇)ω, v) = −b(u, ω, v), como quer´ıamos probar. □ Corolario 3.10 Sean u∈V,ω∈H1 0(Ω), se tiene: b(u, ω, ω) = 0. 32 Demostraci´on Tomando v=ωen el lema anterior, se tiene: b(u, ω, ω) = −b(u, ω, ω), de donde se deduce que: b(u, ω, ω) = 0, como quer´ıamos probar. □ A continuaci´on, probamos el primer lema importante. Lema 3.11 Sean g∈L2(Ω),u∈V, entonces el problema: (ca+cd)((ω, ψ)) + b(u, ω, ψ)+(c0+cd−ca)(div ω, div ψ)+4νr(ω, ψ) = 2νr(rot u, ψ)+(g, ψ),(3.13) para todo ψ∈C∞ 0(Ω; R3), que es una formulaci´on d´ebil del problema (3.11)-(3.12), tiene soluci´on ´unica en H1 0(Ω). Adem´as, se verifican las siguientes desigualdades: (ca+cd)∥ω∥1≤2νr|u|2+d|g|2,(3.14) 2νr|ω|2≤νr∥u∥1+ 2−1|g|2.(3.15) donde del di´ametro de Omega. Demostraci´on Probaremos en primer lugar que existe soluci´on ´unica del problema (3.13) en H1 0(Ω). Para ello aplicaremos el teorema de Lax-Milgram 2.49. En primer lugar, definimos los operadores: a(ω, ψ) = (ca+cd)((ω, ψ)) + b(u, ω, ψ)+(c0+cd−ca)(div ω, div ψ)+4νr(ω, ψ), L(ψ) = 2νr(rot u, ψ)+(g, ψ), con ω∈H1 0(Ω) y ψ∈C∞ 0(Ω). Queremos probar que ayLson formas continuas. Para ello, probaremos en primer lugar que aes bilineal y Les lineal, para m´as tarde probar que ambas son acotadas. Comenzamos con a. Como aes composici´on de formas bilineales, entonces aes bilineal. Igualmente con L, como es composici´on de formas lineales, es una forma lineal. Vemos ahora que son acotadas, lo cual implicar´a su continuidad. Comenzamos por a. Se tiene: |a(ω, ψ)| ≤ (ca+cd)|((ω, ψ))|+|b(u, ω, ψ)|+ (c0+cd−ca)|(div ω, div ψ)| + 4νr|(ω, ψ)|. 33 Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz 2.50, tenemos: |((ω, ψ))|≤∥ω∥1∥ψ∥1, y tambi´en: |(div ω, div ψ)|≤|div ω|2|div ψ|2, que por la desigualdad de la divergencia (2.104), se tiene: |div ω|2|div ψ|2≤ ∥ω∥1∥ψ∥1. Tambi´en tenemos: |(ω, ψ)|≤|ω|2|ψ|2, que por la desigualdad de Poincar´e 2.97, se tiene: |ω|2|ψ|2≤d2 2∥ω∥1∥ψ∥1. Finalmente, por el Lema 3.8, tenemos: |b(u, ω, ψ)| ≤ 23/4d1/2∥u∥1∥ω∥1∥ψ∥1. Con todo esto, y como u∈V, tenemos: |a(ω, ψ)| ≤ C∥ω∥1∥ψ∥1, con C=(ca+cd)+23/4d1/2∥u∥1+ (c0+cd−ca)+2νrd2>0, por lo que aes acotada, y por tanto continua en ω∈H1 0(Ω), ψ∈C∞ 0(Ω), para la topolog´ıa inducida por ∥·∥1. Probamos ahora que L es acotada. Se tiene: |L(ψ)| ≤ 2νr|(rot u, ψ)|+|(g, ψ)|, que por la desigualdad de Cauchy-Schwarz 2.50, se tiene: 2νr|(rot u, ψ)|+|(g, ψ)| ≤ 2νr|rot u|2|ψ|2+|g|2|ψ|2, que por la desigualdad del rotacional (2.103), se tiene: 2νr|rot u|2|ψ|2+|g|2|ψ|2≤2νr∥u∥1|ψ|2+|g|2|ψ|2, y por la desigualdad de Poincar´e 2.97, se tiene: 2νr∥u∥1|ψ|2+|g|2|ψ|2≤√2νrd∥u∥1∥ψ∥1+d √2|g|2∥ψ∥1=¯ C∥ψ∥1, 34 con ¯ C= (21/2νr+ 2−1/2)d > 0, por lo que Les acotada, y por tanto continua en ψ∈C∞ 0(Ω), para la topolog´ıa inducida por ∥·∥1. Hemos probado por tanto que (3.13) es continua para ψ, en la topolog´ıa inducida por ∥·∥1, es decir, en la topolog´ıa de H1 0(Ω), y como C∞ 0(Ω) es denso en H1 0(Ω), podemos extender la identidad, para todo ψ∈H1 0(Ω). Para terminar de probar la existencia y unicidad de soluci´on, es necesario ver la coercitividad de a. Lo vemos: a(ψ, ψ) = (ca+cd)((ψ, ψ)) + b(u, ψ, ψ)+(c0+cd−ca)(div ψ, div ψ)+4νr(ψ, ψ), y como b(u, ψ, ψ) = 0 (Corolario 3.10), y (c0+cd−ca)|div ψ|2 2+ 4νr|ψ|2 2≥0, se tiene: a(ψ, ψ)≥(ca+cd)∥ψ∥2 1=α∥ψ∥2 1, con α=ca+cd>0. Por tanto aes coercitiva. Adem´as, H1 0(Ω) es un espacio de Hilbert separable, y por tanto, por el Teorema de Lax-Milgram 2.49, existe una ´unica ω∈H1 0(Ω) soluci´on de (3.13). Vamos a probar ahora las desigualdades del enunciado (3.14) y (3.15). Tomando ψ=ω en (3.13), se tiene (ca+cd)∥ω∥2 1+b(u, ω, ω)+(c0+cd−ca)|div ω|2 2+ 4νr|ω|2 2= 2νr(rot u, ω)+(g, ω). Como b(u, ω, ω) = 0 (Corolario 3.10), y (c0+cd−ca)|div ω|2 2≥0, entonces, se tiene (ca+cd)∥ω∥2 1+ 4νr|ω|2 2≤2νr(rot u, ω)+(g, ω).(3.16) Probamos la primera desigualdad (3.14). Como 4νr|ω|2 2≥0, de la desigualdad anterior, se tiene (ca+cd)∥ω∥2 1≤2νr(rot u, ω)+(g, ω), que por el Lema 3.9, se tiene: 2νr(rot u, ω)+(g, ω) = 2νr(u, rot ω)+(g, ω), aplicando ahora la desigualdad de Cauchy-Schwarz 2.50, se tiene: 2νr(u, rot ω)+(g, ω)≤2νr|u|2|rot ω|2+|g|2|ω|2, y aplicando ahora la desigualdad del rotacional (2.103), se tiene: 2νr|u|2|rot ω|2+|g|2|ω|2≤2νr|u|2∥ω∥1+|g|2|ω|2, 35 Acotamos cada t´ermino del segundo miembro por separado. En primer lugar, acotaremos |b(u−˜u, ω, ω −˜ω)|. Aplicando la desigualdad de H¨older generalizada 2.96 para p1= 4, p2= 2 y p3= 4, se tiene: |b(u−˜u, ω, ω −˜ω)|≤|u−˜u|4|∇ω|2|ω−˜ω|4=|u−˜u|4∥ω∥1|ω−˜ω|4, donde aplicando el Lema 3.14, se tiene: |u−˜u|4∥ω∥1|ω−˜ω|4≤2(1 + d2)1/2|u−˜u|4∥ω∥1∥ω−˜ω∥1. Ahora, vamos a acotar 2νr|(u−˜u, rot (ω−˜ω))|. Aplicando el Lema 3.15, se tiene: 2νr|(u−˜u, rot (ω−˜ω))| ≤ 2νrµ(Ω)1/4|u−˜u|4∥ω−˜ω∥1. Sustituyendo en (3.26), se tiene: (ca+cd)∥ω−˜ω∥2 1≤h2(1 + d2)1/2∥ω∥1+ 2νrµ(Ω)1/4i|u−˜u|4∥ω−˜ω∥1 Dividiendo toda la desigualdad por ∥ω−˜ω∥1≥0, se tiene: (ca+cd)∥ω−˜ω∥1≤h2(1 + d2)1/2∥ω∥1+ 2νrµ(Ω)1/4i|u−˜u|4, como quer´ıamos probar. □ Combinando los Lemas 3.13 y 3.16, obtenemos el siguiente resultado. Lema 3.17 Sea A:V→Vcon u7→ Au, definido por la relaci´on (ν+νr)((Au, ϕ)) = b(u, ϕ, u)+2νr(rot ω, ϕ)+(f, ϕ),(3.27) para todo ϕ∈V, donde ωes la ´unica soluci´on de (ca+cd)((ω, ψ)) + b(u, ω, ψ)+(c0+ca−cd)(div ω, div ψ)+4νr(ω, ψ) = 2νr(u, rot ψ)+(g, ψ),(3.28) para todo ψ∈H1 0(Ω). Entonces, se tiene: ∥Au −A˜u∥1≤C|u−˜u|4,(3.29) donde: C= (ν+νr)−1h|u|4+|˜u|4+ 2νrd(ca+cd)−12(1 + d2)1/2∥ω∥1+ 2νrµ(Ω)1/4i.(3.30) 42 Demostraci´on Es claro que Averifica la ecuaci´on que define a ˜ A. Adem´as, por el Lema 3.11, sabemos que la ´unica soluci´on, ω, de (3.27) est´a en H1 0(Ω). Gracias a esto, podemos aplicar el Lema 3.13 para ˜ A=A, de forma que se tiene: ∥Au −A˜u∥1≤(ν+νr)−1h(|u|4+|˜u|4)|u−˜u|4+ 2νrd∥ω−˜ω∥1i. Adem´as, claramente Atambi´en verifica (3.23), por lo que podemos aplicar el Lema 3.16, de forma que tenemos: ∥ω−˜ω∥1≤(ca+cd)−1h2(1 + d2)1/2∥ω∥1+ 2νrµ(Ω)1/4i|u−˜u|4. Basta con sustituir esta desigualdad en la anterior, obteniendo: ∥Au −A˜u∥1≤(ν+νr)−1h(|u|4+|˜u|4)|u−˜u|4 + 2νrd(ca+cd)−12(1 + d2)1/2∥ω∥1+ 2νrµ(Ω)1/4|u−˜u|4i ≤(ν+νr)−1h|u|4+|˜u|4+ 2νrd(ca+cd)−12(1 + d2)1/2∥ω∥1 + 2νrµ(Ω)1/4i|u−˜u|4, como quer´ıamos probar. □ Queremos probar ahora que Aes una aplicaci´on completamente continua. Para ello, probaremos antes un lema auxiliar. Lema 3.18 Sea u∈L4(Ω). Se tiene: |u|2≤ |u|4µ(Ω)1/4. Demostraci´on Aplicamos la desigualdad de h¨older con p=q= 2, para las funciones u2, y 1, de forma que se tiene: |u|2=ZΩ|u|2dx ≤ZΩ|u|22dx1/2ZΩ 12dx1/2=|u|41/2µ(Ω)1/2. Tomando ra´ız cuadrada a ambos lados de la desigualdad, se tiene: |u|2≤ZΩ|u|4dx1/4µ(Ω)1/4=|u|4µ(Ω)1/4, como quer´ıamos probar. □ Lema 3.19 La aplicaci´on A:V→Ves completamente continua. 43 Demostraci´on Sustituyendo ψ=ωen (3.28), vemos que: (ca+cd)∥ω∥2 1+b(u, ω, ω)+(c0+ca−cd)|div ω|2 2+ 4νr|ω|2 2= 2νr(u, rot ω)+(g, ω), y como b(u, ω, ω) = 0, y (c0+ca−cd)|div ω|2 2+ 4νr|ω|2 2≥0, entonces se tiene: (ca+cd)∥ω∥2 1≤2νr(u, rot ω)+(g, ω). Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz 2.50, se tiene: 2νr(u, rot ω)+(g, ω)≤2νr|u|2|rot ω|2+|g|2|ω|2, y por la desigualdad del rotacional (2.103), se tiene: 2νr|u|2|rot ω|2+|g|2|ω|2≤2νr|u|2∥ω∥1+|g|2|ω|2. Aplicando la desigualdad de Poincar´e 2.97, se tiene: 2νr|u|2∥ω∥1+|g|2|ω|2≤2νr|u|2∥ω∥1+d|g|2∥ω∥1, y por el Lema 3.18, se tiene: 2νr|u|2∥ω∥1+d|g|2∥ω∥1≤2νrµ(Ω)1/4|u|4∥ω∥1+d|g|2∥ω∥1. Despejando y dividiendo por ∥ω∥1≥0 a ambos lados: ∥ω∥1≤(ca+cd)−1h2νrµ(Ω)1/4|u|4+d|g|2i. Sustituyendo esta desigualdad en (3.29) y (3.30), tenemos: ∥Au −A˜u∥1≤(ν+νr)−1h|u|4+|˜u|4+ 2νrd(ca+cd)−12(1 + d2)1/2∥ω∥1 + 2νrµ(Ω)1/4i|u−˜u|4≤(ν+νr)−1h|u|4+|˜u|4+ 2νrd(ca+cd)−1 ·2(1 + d2)1/2(ca+cd)−1h2νrµ(Ω)1/4|u|4+d|g|2i+ 2νrµ(Ω)1/4i|u−˜u|4 =C1|u−˜u|4, con C1dependiendo linealmente de |u|4,|˜u|4y de ν, νr, ca, cd, d, µ(Ω), g. Para probar que Aes completamente continua, es suficiente probar que Atranforma cualquier sucesi´on {un}que sea d´ebilmente convergente en Ven una sucesi´on {Aun} fuertemente convergente en V. Sea {un}una sucesi´on en Vque converge d´ebilmente a un elemento u∗∈V. Por el Lema 44 2.100 y la desigualdad de Ladyzhenskaya 2.99, de los preliminares matem´aticos, H1 0(Ω) se inyecta de manera compacta en L4(Ω), por lo que la sucesi´on d´ebilmente convergente {un}en V⊂H1 0(Ω) converge fuertemente en L4(Ω), es decir: |un−u∗|4−→ 0 (n→ ∞). Finalmente, aplicando esta convergencia en la desigualdad obtenida, con u=un, ˜u=u∗, se tiene: ∥un−u∗∥1≤C|un−u∗|4−→ 0 (n→ ∞), por lo que unconverge fuertemente a u∗en H1 0(Ω), lo que implica que Aes completamente continua, como quer´ıamos probar. □ Lema 3.20 Sea λ∈[0,1], sea usoluci´on de u=λAu. (3.31) Entonces, se tiene: ∥u∥1≤λ(2ν)−1|g|2+λdν−1|f|2.(3.32) Demostraci´on Como (u, rot ψ) = (rot u, ψ), para todo u∈V, ∀ψ∈H1 0(Ω) (Lema 2.102 en los preliminares matem´aticos), entonces consideramos ω∈H1 0(Ω) la ´unica soluci´on de (3.28). Por el Lema 3.11 se mantiene la desigualdad (3.15). Sea λ > 0. Sustituimos Au =λ−1u,ϕ=uen (3.27), y se tiene: (ν+νr)((λ−1u, u)) = b(u, u, u)+2νr(rot ω, u)+(f, u), y como b(u, u, u) = 0 (Corolario 3.10), se tiene: (ν+νr)((λ−1u, u)) = 2νr(rot ω, u)+(f, u), es decir: (ν+νr)λ−1∥u∥2 1= 2νr(rot ω, u)+(f, u)=2νr(ω, rot u)+(f, u). Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz 2.50, se tiene: 2νr(ω, rot u)+(f, u)≤2νr|ω|2|rot u|2+|f|2|u|2, 45 y por la desigualdad de Poincar´e 2.97, y la del rotacional (2.103), se tiene: 2νr|ω|2|rot u|2+|f|2|u|2≤2λνr|ω|2∥u∥1+λd|f|2∥u∥1. Dividiendo la desigualdad a ambos lados por ∥u∥1≥0, se tiene: (ν+νr)∥u∥1≤2λνr|ω|2+λd|f|2. Acotando aqu´ı 2νr|ω|2como en (3.15), se tiene: (ν+νr)∥u∥1≤λνr∥u∥1+ 2−1λ|g|2+λd|f|2, y as´ı: (ν+νr−λνr)∥u∥1≤2−1λ|g|2+λd|f|2= (ν+ (1 −λ)νr)∥u∥1≤2−1λ|g|2+λd|f|2. Como λ∈(0,1], (1 −λ)νr≥0, y por tanto ν+ (1 −λ)νr≥ν, por lo que se tiene: ν∥u∥1≤λ2−1|g|2+λd|f|2, es decir: ∥u∥1≤λ(2ν)−1|g|2+λdν−1|f|2. Para λ= 0, se tiene que u= 0 ·Au = 0 y se verifica el resultado de forma trivial. Esto concluye la prueba. □ Con todo esto, tenemos las herramientas necesarias para probar, el Teorema 3.4 Demostraci´on [Prueba del Teorema de existencia 3.4] El punto esencial para probar el Teorema de existencia es la aplicaci´on de la versi´on del principio de Leray-Schauder, dada en los preliminares matem´aticos, Teorema 2.108. Para empezar, por el Lema 3.19, Aes completamente continua, y para todo u∈Vtal que u=λAu, con λ∈[0,1], se tiene: ∥u∥1≤λ(2ν)−1|g|2+dν−1|f|2, y como λ∈[0,1], entonces, se tiene: ∥u∥1≤(2ν)−1|g|2+dν−1|f|2. Entonces, por el principio de Leray-Schauder, existe u∈Vtal que u=Au. Para completar la prueba del Teorema de existencia 3.4, basta probar la existencia de un 46 ´unico p∈L2(Ω) con RΩp(x)dx = 0 tal que se cumple (3.6). De acuerdo a la regularidad de u, ω yf, se tiene que: ˜ f= 2νrrot ω+f+ (ν+νr)∆u−(u·∇)u, pertenece a H−1(Ω), donde H−1(Ω) es el espacio dual de H1 0(Ω). Adem´as, de acuerdo con la formulaci´on variacional 3.17, se tiene: ⟨˜ f, v⟩= 2νr(rot ω, v)+(f, v)−(ν+νr)((u, v)) −b(u, u, v)=0,∀v∈V. (3.33) Por tanto, de acuerdo con las proposiciones 2.109 y 2.110, se tiene que Ω ∈C0,1y que ˜ f∈H−1(Ω) con ⟨˜ f, v⟩= 0, para todo v∈V, y en consecuencia existe p∈L2(Ω) con RΩp(x)dx = 0 tal que ˜ f=∇p. Por lo tanto: ⟨˜ f, v⟩=⟨∇p, v⟩, que junto con (3.33) implica (3.6). □ 3.4. Unicidad En esta secci´on probaremos el Teorema de unicidad 3.5, que enunciamos de nuevo aqu´ı: “Si νes suficientemente grande, entonces la soluci´on del problema (3.1)-(3.5) (que existe, por el Teorema 3.5) es ´unica.” Demostraci´on [Prueba del Teorema de unicidad 3.5] Sean (u, p, ω) y (˜u, ˜p, ˜ω) dos soluciones de (3.1)-(3.5). Entonces se tiene: (ν+νr)((u, ϕ)) + b(u, ω, ψ)=2νr(rot ω, ϕ)+(f, ϕ),(3.34) y, (ν+νr)((˜u, ϕ)) + b(˜u, ˜ω, ψ) = 2νr(rot ˜ω, ϕ)+(f, ϕ),(3.35) para todo ϕ∈V, y, (ca+cd)((ω, ψ)) + b(u, ω, ψ)+(c0+cd−ca)(div ω, div ψ)+4νr(ω, ψ) = 2νr(rot u, ψ)+(g, ψ),(3.36) 47 y, (ca+cd)((˜ω, ψ)) + b(˜u, ˜ω, ψ)+(c0+cd−ca)(div ˜ω, div ψ)+4νr(˜ω, ψ) = 2νr(rot ˜u, ψ)+(g, ψ),(3.37) para todo ψ∈H1 0(Ω). Restando (3.34) y (3.35), y tomando ϕ=u−˜u, se tiene: (ν+νr)((u, u −˜u)) −((˜u, u −˜u))+b(u, u, u −˜u)−b(˜u, ˜u, u −˜u) = 2νr(rot ω, u −˜u)−2νr(rot ˜ω, u −˜u), y por tanto: (ν+νr)∥u−˜u∥2 1+b(u, u, u −˜u)−b(˜u, ˜u, u −˜u) = 2νr(rot (ω−˜ω), u −˜u).(3.38) Vamos a reescribir el t´ermino b(u, u, u −˜u)−b(˜u, ˜u, u −˜u). Se tiene: (u·∇)u−(˜u·∇)˜u=∇u·u−∇˜u·˜u =∇u·u−∇˜u·u+∇˜u·u−∇˜u·˜u =∇(u−˜u)·u+∇˜u·(u−˜u) = (u·∇)(u−˜u) + ((u−˜u)·∇)˜u, y por tanto, se tiene: b(u, u, u −˜u)−b(˜u, ˜u, u −˜u) = ((u·∇)(u−˜u), u −˜u) + (((u−˜u)∇)˜u, u −˜u) =b(u, u −˜u, u −˜u) + b(u−˜u, ˜u, u −˜u), y como b(u, u −˜u, u −˜u) = 0, por el Corolario 3.10, entonces: b(u, u −˜u, u −˜u) + b(u−˜u, ˜u, u −˜u) = b(u−˜u, ˜u, u −˜u). Sustituyendo esto en (3.38), se tiene: (ν+νr)∥u−˜u∥2 1+b(u−˜u, ˜u, u −˜u)=2νr(rot (ω−˜ω), u −˜u), y como (rot u, v) = (u, rot v), por el Lema 2.102, se tiene: (ν+νr)∥u−˜u∥2 1+b(u−˜u, ˜u, u −˜u)=2νr(ω−˜ω, rot (u−˜u)). Despejando, se tiene: (ν+νr)∥u−˜u∥2 1=−b(u−˜u, ˜u, u −˜u)+2νr(ω−˜ω, rot (u−˜u)), 48 y tomando, valor absoluto, desigualdad triangular, desigualdad de Cauchy-Schwarz 2.50, y por el Lema 3.8, se tiene: −b(u−˜u, ˜u, u −˜u)+2νr(ω−˜ω, rot (u−˜u)) ≤23/4d1/4∥˜u∥1∥u−˜u∥2 1 + 2νr|ω−˜ω||rot (u−˜u)|. Por la desigualdad de Poincar´e 2.97, y la del rotacional (2.103), se tiene: 23/4d1/4∥˜u∥1∥u−˜u∥2 1+ 2νr|ω−˜ω||rot (u−˜u)| ≤ 23/4d1/4∥˜u∥1∥u−˜u∥2 1 + 2νr∥ω−˜ω∥1∥u−˜u∥1. Dividiendo la desigualdad a ambos lados por ∥u−˜u∥1, se tiene: (ν+νr)∥u−˜u∥1≤23/4d1/4∥˜u∥1∥u−˜u∥1+ 2νrd∥ω−˜ω∥1.(3.39) Por otro lado, restando (3.36) menos (3.37), y tomando ψ=ω−˜ω, se tiene: (ca+cd)((ω, ω −˜ω)) + b(u, ω, ω −˜ω)+(c0+cd−ca)(div ω, div (ω−˜ω)) + 4νr(ω, ω −˜ω)−(ca+cd)((˜ω, ω −˜ω)) −b(˜u, ˜ω, ω −˜ω) −(c0+cd−ca)(div ω, div (ω−˜ω)) −4νr(˜ω, ω −˜ω) = 2νr(rot u, ω −˜ω)+(g, ω −˜ω)−2νr(rot ˜u, ω −˜ω)−(g, ω −˜ω), y por tanto: (ca+cd)∥ω−˜ω∥2 1+b(u, ω, ω −˜ω)−b(˜u, ˜ω, ω −˜ω) + (c0+cd−ca)|div (ω−˜ω)|2 2+ 4νr|ω−˜ω|2 2= 2νr(rot (u−˜u), ω −˜ω). Como (c0+cd−ca)|div (ω−˜ω)|2 2≥0, se tiene: (ca+cd)∥ω−˜ω∥2 1+b(u, ω, ω −˜ω)−b(˜u, ˜ω, ω −˜ω)+4νr|ω−˜ω|2 2 = 2νr(rot (u−˜u), ω −˜ω). Como ya vimos en la secci´on de la existencia, podemos reescribir: b(u, ω, ω −˜ω)−b(˜u, ˜ω, ω −˜ω) = b(u−˜u, ˜ω, ω −˜ω), por tanto, sustituyendo esto en la expresi´on anterior, se tiene: (ca+cd)∥ω−˜ω∥2 1+b(u−˜u, ˜ω, ω −˜ω)+4νr|ω−˜ω|2 2= 2νr(rot (u−˜u), ω −˜ω). 49 Como 4νr|ω−˜ω|2 2≥0, despejando se tiene: (ca+cd)∥ω−˜ω∥2 1=−b(u−˜u, ˜ω, ω −˜ω)+2νr(rot (u−˜u), ω −˜ω).(3.40) Vamos a estimar cada t´ermino de (3.40). Comenzamos acotando el primer t´ermino del segundo miembro de (3.40). Aplicando H¨older generalizado 2.96 para p1= 4, p2= 2, p3= 4, se tiene: −b(u−˜u, ˜ω, ω −˜ω)≤ |u−˜u|4∥˜ω∥1|ω−˜ω|4, y por el Lema 3.14, se tiene: |u−˜u|4∥˜ω∥1|ω−˜ω|4≤21 + d2∥u−˜u∥1∥˜ω∥1∥ω−˜ω∥1. Vamos a acotar ahora el segundo t´ermino del segundo miembro de 3.40. Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz 2.50, se tiene: 2νr(rot (u−˜u), ω −˜ω)≤2νr|rot (u−˜u)|2|ω−˜ω|2, que por la desigualdad del rotacional (2.103), se tiene: 2νr|rot (u−˜u)|2|ω−˜ω|2≤2νr∥(u−˜u)∥1|ω−˜ω|2, y por la desigualdad de Poincar´e 2.97, se tiene: 2νr∥(u−˜u)∥1|ω−˜ω|2≤2νrd∥(u−˜u)∥1∥ω−˜ω∥1. Sustituyendo todo esto en (3.40), se tiene: (ca+cd)∥ω−˜ω∥2 1≤21 + d2∥u−˜u∥1∥˜ω∥1∥ω−˜ω∥1+ 2νrd∥(u−˜u)∥1∥ω−˜ω∥1. Dividiendo toda la desigualdad por ∥ω−˜ω∥1≥0, se tiene: (ca+cd)∥ω−˜ω∥1≤21 + d2∥u−˜u∥1∥˜ω∥1+ 2νrd∥(u−˜u)∥1.(3.41) Combinando (3.39) y (3.41), se tiene: (ν+νr)∥u−˜u∥1≤23/4d1/4∥˜u∥1∥u−˜u∥1+ 2νrd∥ω−˜ω∥1 ≤23/4d1/4∥˜u∥1∥u−˜u∥1+ 2νrd(ca+cd)−121 + d2∥u−˜u∥1∥˜ω∥1 + 2νrd∥u−˜u∥1i=23/4d1/4∥˜u∥1+ 2νrd(ca+cd)−1h2(1 + d2)∥˜ω∥1 + 2νrdi∥u−˜u∥1.(3.42) 50 Vamos a combinar ahora (3.14), la desigualdad de Poincar´e 2.97 y (3.32). Por (3.14) se tiene: (ca+cd)∥ω∥1≤2νr|u|2+d|g|2, que por la desigualdad de Poincar´e 2.97, se tiene: 2νr|u|2+d|g|2≤2νrd∥u∥1+d|g|2, y por (3.32), se tiene: 2νrd∥u∥1+d|g|2≤2νrd(2ν)−1|g|2+dν−1|f|2+d|g|2=νr ν+ 1d|g|2+ 2νr νd2|f|2, y despejando, se tiene: ∥ω∥1≤(ca+cd)−1h2νrν−1d2|f|2+ (νrν−1+ 1)d|g|2i.(3.43) Aplicando esto en (3.42), se tiene: (ν+νr)∥u−˜u∥1≤C∥u−˜u∥1, con C=23/4d1/4(ca+cd)−1h2νrν−1d2|f|2+ (νrν−1+ 1)d|g|2i+ 2νrd(ca+cd)−1h2(1 + d2)(ca+cd)−1h2νrν−1d2|f|2+ (νrν−1+ 1)d|g|2i+ 2νrdi∥u−˜u∥1. Se puede observar con facilidad que para νsuficientemente grande, ν+νr> C, y por tanto, por la desigualdad anterior, se tiene que ∥u−˜u∥1= 0 lo que implica que u= ˜u, lo que prueba la unicidad. □ 3.5. Regularidad El fin de esta secci´on ser´a probar el Teorema de regularidad 3.6 enunciado en la secci´on (3.1), y que enunciaremos de nuevo a continuaci´on: “Bajo las condiciones del teorema (3.4) se tiene que u∈W2 2(Ω),p∈H1(Ω), y ω∈ W2 2(Ω). Adem´as, se verifica la siguiente inecuaci´on: ∥u∥2,2+∥p∥1,2+∥ω∥2,2≤F(|f|2,|g|2), donde Fes una funci´on continua y creciente en sus argumentos, tal que F(0,0) = 0.” 51 Bibliograf´ıa [1] R.P. Agarwal, M. Meehan, y D. O’Regan, Fixed Point Theory and Applications, Cambridge Tracts in Mathematics Ser., 141, Cambridge University Press, 2001. [2] Depto. Ecuaciones Diferenciales y An´alisis Num´erico, Asignatura “Ampliaci´on de Ecuaciones en Derivadas Parciales”, Licenciado en Matem´aticas (plan 98), 2012. [3] A. C. Eringen, Theory for micropolar fluid, J. Math. Mech., 16 (1966) 1-16. [4] E. Fern´andez Cara. An´alisis Funcional de Ecuaciones en Derivadas Parciales, Universidad de Sevilla, 2017. [5] M. Lacruz Mart´ın, Apuntes de An´alisis Funcional, Universidad de Sevilla, 2019. [6] G. Lukaszewicz, Micropolar fluids, theory and applications, Modeling and Simulation in Science, Engineering and Technology, Birkha¨user, 1999. [7] J.D. 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