La conjetura de modularidad de Serre

TRABAJO FIN DE GRADO La conjetura de modularidad de Serre Realizado por Marta S´anchez Pav´on Para la obtenci´on del t´ıtulo de Grado en Matem´aticas Dirigido por Sara Arias de Reyna Dom´ınguez Abstract Serre’s modularity conjecture is one of the most important results in number theory in recent decades. Proposed by Jean-Pierre Serre in 1975, the conjecture predicts that every odd, irreducible, two-dimensional representation of Gal(Q/Q)modulo parises from a modular form. It was fully proven by Chandrashekhar Khare and Jean-Pierre Wintenberger in 2008. The objective of this project is to gather the necessary concepts and results to state and understand Serre’s modularity conjecture. Additionally, it aims to motivate the definition of optimal parameters for which there exists a modular form associated with a Galois representation under the aforementioned conditions. Finally, the conjecture will be illustrated with an example, and Fermat’s last theorem will be proved as a consequence of it. i Resumen La conjetura de modularidad de Serre es uno de los resultados m´as importantes en la teor´ıa de n´umeros de las ´ultimas d´ecadas. Propuesta por Jean-Pierre Serre en 1975, la conjetura predice que cada representaci´on de Gal(Q/Q)m´odulo p, impar, irreducible y bidimensional proviene de una forma modular, y fue demostrada en su totalidad por Chandrashekhar Khare y Jean-Pierre Wintenberger en 2008. El objetivo de este proyecto es recopilar los conceptos y resultados necesarios para enunciar y entender la conjetura de modularidad de Serre. Adem´as, se busca motivar la definici´on de los par´ametros ´optimos para los que existe una forma modular asociada a una representaci´on de Galois, en las condiciones mencionadas anteriormente. Finalmente, se ilustrar´a la conjetura con un ejemplo, y se demostrar´a el ´ultimo teorema de Fermat como consecuencia de la misma. ii ´ Indice general 1. Teor´ıa algebraica de n´umeros 1 1.1. Teor´ıa de Galois en extensiones infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Cuerposden´umeros.............................. 4 1.3. Valoraciones asociadas a cuerpos de n´umeros . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Extensiones no ramificadas y moderadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5. Grupos de alta ramificaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2. Representaciones de Galois 22 2.1. Representaciones de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2. Representaciones de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3. Ramificaci´on.................................. 25 2.4. Representaciones de Galois de dimensi´on 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3. Curvas el´ıpticas 34 3.1. Ecuaci´on de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2. Puntos racionales y estructura de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3. Isogenias.................................... 37 3.4. Curvas el´ıpticas sobre extensiones de Qℓ................... 38 3.5. Curvas el´ıpticas sobre cuerpos de n´umeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.6. Representaciones de Galois asociadas a curvas el´ıpticas . . . . . . . . . . . . 41 4. Formas modulares 46 4.1. Formas modulares y formas cuspidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.2. OperadoresdeHecke.............................. 49 4.3. Formas cuspidales con coeficientes en Fp................... 49 4.4. Representaciones de Galois asociadas a formas modulares . . . . . . . . . . 51 5. La conjetura de modularidad de Serre 53 5.1. El nivel N(ρ).................................. 54 5.2. El car´acter ε(ρ)................................ 55 5.3. El peso k(ρ).................................. 57 6. Ejemplo y ´ultimo teorema de Fermat 64 6.1. Ejemplonum´erico ............................... 64 6.2. ´ UltimoteoremadeFermat........................... 66 A. Ap´endice 70 A.1.Trazaynorma................................. 70 A.2.Grupostopol´ogicos............................... 70 A.3.L´ımitesinversos ................................ 71 A.4. Valoraciones en un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 A.5. Demostraciones adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 iii Teor´ıa algebraica de n´umeros 1 “God made the integers, all else is the work of man.” — Leopold Kronecker. 1.1. Teor´ıa de Galois en extensiones infinitas Sea Kun cuerpo cualquiera, y Ksep la m´axima extensi´on separable de Kdentro de una clausura algebraica K. Si Kes un cuerpo perfecto, Ksep ∼ =K, siendo Kuna clausura algebraica de K. En esta secci´on, se desarrollan las herramientas necesarias para estudiar el grupo de Galois Gal(Ksep/K)y sus subgrupos. Ahora bien, Ksep/K es una extensi´on infinita, y el teorema de correspondencia de Galois no se extiende de manera directa a este caso: en general, existen m´as subgrupos de un grupo de Galois de una extensi´on infinita que subextensiones intermedias.1Por ello, el primer objetivo de esta secci´on ser´a generalizar el teorema de correspondencia de Galois. Comenzamos definiendo una topolog´ıa que dota de estructura de grupo topol´ogico al grupo de Galois de cualquier extensi´on, tanto finita como infinita. El contenido de esta secci´on se basa en el cap´ıtulo 7 de [Mil03] y en la secci´on 1 del cap´ıtulo IV de [Neu13]. Tambi´en se recomienda consultar las secciones A.2 yA.3 del ap´endice. Definici´on 1.1. Sea Ω/K una extensi´on de Galois. Dado un subconjunto finito S⊂Ω, se define el conjunto G(S) = Gal(Ω/K)S={σ∈Gal(Ω/K) : σ(s) = spara todo s∈S}. Se define la topolog´ıa de Krull en Gal(Ω/K)como la topolog´ıa cuya base de entornos abiertos de la identidad en Gal(Ω/K)son los conjuntos G(S), con S⊂Ωun subconjunto finito. Es directo comprobar que G(S)es un subgrupo de Gal(Ω/K). La topolog´ıa de Krull est´a bien definida, pues si S1, S2⊂Ωson dos subconjuntos finitos, entonces G(S1)∩G(S2) = G(S1∪S2)es un elemento de la base de entornos de la identidad en Gal(Ω/K). Adem´as, un entorno de σ∈Gal(Ω/K)viene dado por σG(S) = {τ∈Gal(Ω/K) : τ(s) = σ(s)para todo s∈S}, con S⊂Ωun subconjunto finito. Observemos que si S1⊂S2entonces G(S2)⊂G(S1), por definici´on. El producto y la inversi´on en Gal(Ω/K)son aplicaciones continuas respecto de la topolog´ıa de Krull, por lo que Gal(Ω/K)tiene estructura de grupo topol´ogico. 1Un ejemplo de este fen´omeno ocurre con la extensi´on Fp/Fp. Se puede consultar el primer ejemplo de la secci´on 1 del cap´ıtulo IV de [Neu13] para ver detalladamente por qu´e. 1 CAP´ ITULO 1. TEOR´ IA ALGEBRAICA DE N´ UMEROS 2 A partir de ahora, siempre pensaremos en el grupo de Galois de cualquier extensi´on como un grupo topol´ogico con la topolog´ıa de Krull. Observemos que si S⊂Ωes un conjunto finito tal que σ(S) = Spara todo σ∈Gal(Ω/K), entonces K(S)/K es una subextensi´on de Ω/K finita de Galois. Por tanto, {Gal(Ω/L) : L/K subextensi´on de Ω/K finita de Galois} tambi´en es una base de entornos abiertos de la identidad en Gal(Ω/K), con la ventaja de que est´a formada por subgrupos normales de Gal(Ω/K). Proposici´on 1.1. Para toda extensi´on de Galois Ω/K, el grupo de Galois Gal(Ω/K)es compacto y Hausdorff. Demostraci´on. Ver p´agina 262, proposici´on (1.1) de [Neu13]. Proposici´on 1.2. Sean Ω/K una extensi´on de Galois, y L/K una subextensi´on de Ω/K finita de Galois. Entonces, el homomorfismo πL: Gal(Ω/K)→Gal(L/K)dado por la restricci´on σ7→ σ|Les sobreyectivo y continuo. Demostraci´on. Todo σ∈Gal(L/K)es un automorfismo σ:L→Lque deja fijo a K, y se puede extender trivialmente a σ:L→Ω. Gracias al lema de Zorn y a que la extensi´on Ω/K es de Galois, se puede probar que2σse extiende a un automorfismo σ: Ω →Ωque deja fijo a K. Es decir, σ∈Gal(Ω/K)yσ|L=σpara todo σ∈Gal(L/K), por lo que πLes sobreyectivo. Por otro lado, ker πL= Gal(Ω/L). Adem´as, como L/K es finita, si tomamos Scomo el conjunto formado por los generadores de Lsobre K, entonces Ses un conjunto finito y G(S) = Gal(Ω/L). Por tanto, Gal(Ω/L)es abierto. Finalmente, como {id} ⊂ Gal(L/K) es abierto y π−1 L({id}) = ker πL= Gal(Ω/L) tambi´en es abierto, concluimos que πLes continuo, gracias al corolario A.1. Teorema 1.1 (Teorema de correspondencia de Galois).Sea Ω/K una extensi´on de Galois. Existe una correspondencia biun´ıvoca entre {subextensiones de Ω/K} ←→ {subgrupos cerrados de Gal(Ω/K)} dada por L7→ Gal(Ω/L)para toda subextension L/K de Ω/K, y ΩH←[Hpara todo subgrupo cerrado H⊂Gal(Ω/K), de modo que los subgrupos cerrados de Gal(Ω/K)que son abiertos se corresponden exactamente con las subextensiones finitas de Ω/K. Adem´as, un subgrupo cerrado H⊂Gal(Ω/K) es normal si y s´olo si ΩH/K es de Galois. En este caso, denotando L= ΩH, la restricci´on Gal(Ω/K)→Gal(L/K) σ7→ σ|L induce un isomorfismo de grupos topol´ogicos Gal(L/K)∼ =Gal(Ω/K)/Gal(Ω/L). 2Para ver los detalles de este razonamiento, se puede consultar la demostraci´on del teorema 6.6 de [Mil03]. CAP´ ITULO 1. TEOR´ IA ALGEBRAICA DE N´ UMEROS 3 Demostraci´on. Ver p´agina 98, teorema 7.3 de [Mil03]. LL′ ∼ = L ∼ = L′ L∩L′ K Proposici´on 1.3. Sea Kun cuerpo, y fijemos una clausura algebraica K. Sean L/K yL′/K dos subextensiones de K/K. Si L/K es de Galois, entonces las extensiones LL′/L′ yL/L ∩L′tambi´en son de Galois. Adem´as, la restricci´on Gal(LL′/L′)→Gal(L/L ∩L′) σ7→ σ|L es un isomorfismo de grupos topol´ogicos. Demostraci´on. Ver p´agina 99, proposici´on 7.15 de [Mil03]. Grupos de Galois como l´ımites inversos A continuaci´on, vamos a deducir que todo grupo de Galois se puede expresar como un l´ımite inverso de subgrupos finitos del mismo, gracias a la topolog´ıa de Krull. Sea Kun cuerpo, y consideremos una extensi´on de Galois Ω/K. Definimos el conjunto F={L⊂Ω : L/K es finita de Galois}, con el orden parcial dado por la inclusi´on. El compositum de un n´umero finito de subextensiones de Ω/K finitas de Galois es una subextensi´on de Ω/K finita de Galois, por lo que (F,⊂)es un conjunto dirigido. Adem´as, si L, L′∈ F son tales que L⊂L′, consideramos el homomorfismo πLL′: Gal(L′/K)→Gal(L/K) σ7→ σ|L, que es sobreyectivo y continuo por la proposici´on 1.2. No es dif´ıcil comprobar que (Gal(L/K), πLL′) es un sistema inverso indexado por Fen la categor´ıa de grupos topol´ogicos. Denotemos lim ←− L∈F Gal(L/K)a su l´ımite inverso. La siguiente demostraci´on se basa en [Mar]. Teorema 1.2. Sea Ω/K una extensi´on de Galois. Existe un isomorfismo de grupos topol´ogicos φ: Gal(Ω/K)→lim ←− L∈F Gal(L/K), dado por φ(σ)=(σ|L)L∈F . Demostraci´on. Veamos que φes inyectiva. Si φ(σ) = (idL)L∈F , entonces σ|L= idLpara todo L∈ F. Dado que Ω = [ L∈F L, (1.1) entonces σ= idΩ, por lo que φes inyectiva. CAP´ ITULO 1. TEOR´ IA ALGEBRAICA DE N´ UMEROS 4 Por otro lado, sean (σL)L∈lim ←− L∈F Gal(L/K)yx∈Ω. Definimos σ∈Gal(Ω/K)como σ(x) = σL(x)para alg´un L∈ F tal que x∈L. Un tal Lsiempre existe por (1.1). Para ver que σest´a bien definida, consideramos L, L′∈ F tales que x∈L∩L′. Entonces, σL(x) = σL∩L′(x) = σL′(x),pues σL|L∩L′=σL∩L′=σL′|L∩L′. De manera similar se comprueba que σ∈Gal(Ω/K), ya que la restricci´on de σa cualquier L∈ F es un automorfismo que deja fijo a K. Por construcci´on, φ(σ)=(σL)L∈F , por lo que φes sobreyectiva. Por ´ultimo, φes continua pues las proyecciones σ7→ σ|Lson continuas para todo L∈ F, por la proposici´on 1.2. De ahora en adelante, denotaremos lim ←−Gal(L/K) = lim ←−L∈F Gal(L/K),quedando impl´ıcito que Lrecorre las extensiones finitas de Galois de Kdentro de Ksep. 1.2. Cuerpos de n´umeros Esta secci´on presenta los conceptos fundamentales de la teor´ıa algebraica de n´umeros, que es la rama de las matem´aticas que estudia las propiedades algebraicas de las extensiones finitas de Q. Estas extensiones reciben el nombre de cuerpos de n´umeros. Se puede encontrar una exposici´on m´as detallada junto con las demostraciones omitidas en [Neu13] y [Mil08]. Definici´on 1.2. Sea Aun dominio de integridad noetheriano. Se dice que Aes un dominio de Dedekind si todo ideal primo no nulo de Aes maximal y Aes ´ıntegramente cerrado en su cuerpo de fracciones. Proposici´on 1.4. Sea Aun dominio de Dedekind. Todo ideal propio I⊂Ase expresa de manera ´unica como I=pe1 1···per r, donde p1,...,prson ideales primos de Aye1, . . . , erson enteros positivos. Demostraci´on. Ver p´agina 49, teorema 3.7 de [Mil08]. Este resultado es muy importante en teor´ıa algebraica de n´umeros, pues si Kes un cuerpo de n´umeros entonces la clausura entera de Zen Kes un dominio de Dedekind3, y por tanto, se cumple la factorizaci´on ´unica de ideales en ideales primos. Definici´on 1.3. Sea Kun cuerpo de n´umeros. Se define el anillo de enteros de K, y se denota OK, como la clausura entera de Zen K. Sea L/K una extensi´on finita de cuerpos de n´umeros, y sean OKyOLlos anillos de enteros de KyL, respectivamente. Fijemos un ideal primo no nulo p⊂ OK. Por la proposici´on anterior, el ideal pOLse expresa de manera ´unica como pOL=Pe1 1. . . Per r, 3Ver p´agina 17, teorema (3.5) de [Neu13]. CAP´ ITULO 1. TEOR´ IA ALGEBRAICA DE N´ UMEROS 5 donde P1,...,Prson ideales primos de OLye1, . . . , erson enteros positivos. Si Pes un ideal de OLtal que P=Pipara alg´un i= 1, . . . , r, se dice que Pdivide a p, y se denota P|p. De hecho, Pdivide a psi y s´olo si p=P∩OK. Adem´as, para todo i= 1, . . . , r, el exponente eies un entero positivo, llamado ´ındice de ramificaci´on de Pisobre p, y denotado e(Pi/p). Como pes maximal, el cociente OK/pes un cuerpo, llamado cuerpo de residuos de Ken p, y denotado kp. Se verifica que kpes un cuerpo finito de caracter´ıstica p > 0, siendo pun primo entero tal que p|p. Al cardinal de kplo denotamos N(p). Dado un ideal primo P⊂ OLtal que P|p, podemos ver kpcomo un subcuerpo de kP. En efecto, la inclusi´on OK⊂ OLinduce un homomorfismo de anillos OK→ OL/Pcuyo n´ucleo es P∩ OK=p. As´ı, obtenemos un homomorfismo inyectivo OK/p,→ OL/Py podemos definir el grado de inercia de Psobre pcomo f(P/p) = [kP:kp]. La extensi´on kP/kpes de Galois por ser una extensi´on finita de cuerpos finitos. El grupo Gal(kP/kp)es c´ıclico de orden f(P/p), y est´a generado por el automorfismo de Frobenius x7→ xN(p). El ´ındice de ramificaci´on y el grado de inercia est´an relacionados por la siguiente f´ormula. Proposici´on 1.5 (Identidad fundamental).Sean L/K una extensi´on finita de cuerpos de n´umeros, p⊂ OKun ideal primo no nulo, y rla cantidad de ideales primos de OLque dividen a p. Entonces, r X i=1 e(Pi/p)f(Pi/p)=[L:K]. Demostraci´on. Ver p´agina 46, proposici´on (8.2) de [Neu13]. Ramificaci´on En el contexto anterior, es natural tratar de clasificar la estructura de la factorizaci´on ´unica de pen OL. Distinguimos los siguientes casos: Se dice que pes no ramificado en L/K si e(P/p)=1para todo ideal primo P⊂ OL que divida a p. De lo contrario, se dice que pramifica en L/K. Se dice que pes inerte en L/K si sigue siendo primo en OL, es decir, si el ´unico ideal primo P⊂ OLque divide a pverifica e(P/p) = 1. Por ´ultimo, si la cantidad de ideales primos de OLque dividen a pcoincide con el grado de L/K, se dice que pse descompone totalmente en L/K. Nuestro objetivo actual es caracterizar los ideales primos no ramificados en una extensi´on finita de Galois de cuerpos de n´umeros. As´ı, supongamos adem´as que L/K es de Galois, y definimos ΣL,p={P⊂ OL:Pideal primo no nulo tal que P|p}. CAP´ ITULO 1. TEOR´ IA ALGEBRAICA DE N´ UMEROS 12 Definici´on 1.10. Sea F/Kpuna extensi´on finita. Se definen: El ´ındice de ramificaci´on de F/Kpcomo e(F/Kp) = vF(π), siendo vFla valoraci´on normalizada asociada a wF, y πun uniformizante en Kp. El grado de inercia de F/Kpcomo f(F/Kp) = [OF/MF:Op/Mp]. Observaci´on. Sea F/Kpuna extensi´on finita. Notemos que el ´ındice de ramificaci´on coincide con el ´unico exponente eque aparece en la factorizaci´on de MpOF. En efecto, si πes un uniformizante en Kp, se sigue de la proposici´on anterior que e(F/Kp) = vF(π) = ewF(π) = evp(π) = e. Por otro lado, la inclusi´on Op⊂ OFinduce una inclusi´on de cuerpos Op/Mp⊂ OF/MF, luego el grado de inercia f(F/Kp)est´a bien definido. Notemos que, por la proposici´on A.8, existe un isomorfismo Op/Mp∼ =OK/p. Por ello, tambi´en denotaremos kp=Op/Mp, ya que kp=OK/pes el ´unico cuerpo de N(p)elementos (salvo isomorfismo), gracias al teorema de clasificaci´on de cuerpos finitos. Por ´ultimo, denotamos kF=OF/MF, que tambi´en es un cuerpo finito al ser una extensi´on finita de kp. Corolario 1.2. Sean F/KpyF′/Kpdos extensiones finitas tales que F⊂F′. Entonces, e(F′/Kp) = e(F′/F)e(F/Kp),y f(F′/Kp) = f(F′/F)f(F/Kp). Una vez m´as, el ´ındice de ramificaci´on y el grado de inercia se relacionan por la siguiente f´ormula. Proposici´on 1.9 (Identidad fundamental).Si F/Kpes una extensi´on finita, entonces [F:Kp] = e(F/Kp)f(F/Kp). Demostraci´on. Ver p´agina 150, proposici´on (6.8) de [Neu13]. 1.4. Extensiones no ramificadas y moderadas Sea Kpla completaci´on de un cuerpo de n´umeros respecto del valor absoluto p-´adico, y fijemos una clausura algebraica Kp. En esta secci´on, vamos a clasificar las extensiones de Kp seg´un la ramificaci´on de las mismas. Utilizaremos la siguiente notaci´on: Op,Mpykpdenotan el anillo de valoraci´on, el ideal de valoraci´on y el cuerpo de residuos de Kp, respectivamente. La caracter´ıstica de kp, denotada char(kp), es p > 0, con p un primo entero. El cardinal de kpes una potencia de p, que denotaremos q. Es decir, kp∼ =Fq. Si F/Kpes una extensi´on algebraica de Kp, siempre asumiremos que F⊂Kp. Denotamos vFa la valoraci´on normalizada asociada a la extensi´on de vpaF. De manera similar, OF,MFykFdenotan el anillo de valoraci´on, el ideal de valoraci´on y el cuerpo de residuos de F, respectivamente. CAP´ ITULO 1. TEOR´ IA ALGEBRAICA DE N´ UMEROS 13 Extensiones no ramificadas de Kp Definici´on 1.11. Una extensi´on finita F/Kpse dice no ramificada si e(F/Kp)=1. Se dice que una extensi´on algebraica de Kpes no ramificada si puede expresarse como uni´on de extensiones finitas de Kpno ramificadas. Observaci´on 1.1.Sea F/Kpuna extensi´on finita y no ramificada. Entonces, por la identidad fundamental, [F:Kp]=[kF:kp] = f(F/Kp). De hecho, dado que kp∼ =Fq, se sigue que kF∼ =Fqf, siendo f=f(F/Kp). Adem´as, si πes un uniformizante en Kp, tambi´en lo es en F, pues e(F/Kp) = vF(π) = 1. Esto implica que vF(F×) = vp(K× p). Proposici´on 1.10. Se verifican las siguientes propiedades: Sean F/KpyF′/Kpdos extensiones algebraicas. Si F/Kpes no ramificada, entonces FF′/F′es no ramificada. Toda subextensi´on de una extensi´on no ramificada de Kpes no ramificada. El compositum dentro de Kpde un n´umero finito de extensiones no ramificadas de Kp es una extensi´on no ramificada de Kp. Demostraci´on. Ver p´agina 153, proposici´on (7.2) y corolario (7.3) de [Neu13]. Definici´on 1.12. Sea F/Kpuna extensi´on algebraica. El cuerpo obtenido como la uni´on de todas las subextensiones no ramificadas de F/Kpse llama m´axima subextensi´on no ramificada de F/Kp. En particular, la m´axima subextensi´on no ramificada de Kp/Kpse llama m´axima extensi´on no ramificada de Kp, y se denota Kunr p. En el resto de la secci´on, vamos a dar una serie de resultados cuya demostraci´on se encuentra en el ap´endice. Esto se ha decidido as´ı para facilitar la lectura y por la cantidad de espacio que ocupan dichas demostraciones. En primer lugar, vamos a hallar una expresi´on expl´ıcita de Kunr p. Proposici´on 1.11. Sea ζn∈Kpuna ra´ız primitiva n-´esima de la unidad, con gcd(n, p)=1, y denotemos F=Kp(ζn). Entonces, la extensi´on F/Kpes no ramificada de grado f, siendo fel menor entero positivo tal que qf≡1 m´od n. Demostraci´on. Ver ap´endice A.5. Teorema 1.6. Sea F/Kpuna extensi´on finita. Entonces, F/Kpes no ramificada de grado n si y s´olo si F∼ =Kp(ζqn−1), siendo ζqn−1∈Kpuna ra´ız primitiva (qn−1)-´esima de la unidad. En este caso, F/Kpes una extensi´on de Galois tal que Gal(F/Kp)∼ =Gal(kF/kp). Demostraci´on. Ver ap´endice A.5. Observemos que, para todo entero positivo m, los n´umeros de la forma qm−1son enteros positivos coprimos con p. Esta observaci´on junto con el teorema anterior nos da el siguiente corolario. CAP´ ITULO 1. TEOR´ IA ALGEBRAICA DE N´ UMEROS 14 Corolario 1.3. La m´axima extensi´on no ramificada de Kpes Kunr p=[ n≥1, gcd(n,p)=1 Kp(ζn). Observaci´on 1.2.Kunr pes un cuerpo henseliano (ver definicion A.20). Esto se debe al teorema A.5: si denotamos wa la extensi´on de vpaKunr p, entonces w(Kunr p ×) = vp(K× p). Adem´as, w es discreta pues vplo es. Por estos motivos, es habitual denotar vpaw, abusando la notaci´on. Se puede probar6que para toda extensi´on finita F/Kunr p, se verifica la identidad fundamental: [F:Kunr p] = e(F/Kunr p)f(F/Kunr p). Por otro lado, si kunr pdenota al cuerpo de residuos de Kunr p, se verifica que kunr p∼ =kp∼ =Fq, y de hecho, no es dif´ıcil comprobar a partir del teorema 1.6 y la proposici´on 1.10 que Gal(Kunr p/Kp)∼ =Gal(kp/kp)∼ =Gal(Fq/Fq). En particular, si F/Kunr pes una extensi´on finita, el cuerpo de residuos kFes isomorfo a kunr p, por ser una extensi´on finita de un cuerpo algebraicamente cerrado. Entonces, la identidad fundamental se reduce a [F:Kunr p] = e(F/Kunr p). Extensiones moderadas de Kp Definici´on 1.13. Si F/Kpes una extensi´on finita, se dice que F/Kpes moderada si e(F/Kp) es coprimo con p= char(kp). Se dice que una extensi´on algebraica de Kpes moderada si puede expresarse como uni´on de extensiones finitas de Kpmoderadas. Observaci´on 1.3.Sea F/Kpuna extensi´on finita. Notemos que F/Kpes moderada si y s´olo si FKunr p/Kunr plo es, pues e(FKunr p/Kunr p) = e(F/Kp). Proposici´on 1.12. Se verifican las siguientes propiedades: Sean F/KpyF′/Kpdos extensiones algebraicas. Si F/Kpes moderada, entonces FF′/F′es moderada Toda subextensi´on de una extensi´on moderada de Kpes moderada. El compositum dentro de Kpde un n´umero finito de extensiones moderadas de Kpes una extensi´on moderada de Kp. Demostraci´on. Ver p´agina 156, corolario (7.8) de [Neu13]. Definici´on 1.14. Sea F/Kpuna extensi´on algebraica. El cuerpo obtenido como la uni´on de todas las subextensiones moderadas de F/Kpse llama m´axima subextensi´on moderada de F/Kp. En particular, la m´axima subextensi´on moderada de Kp/Kpse llama m´axima extensi´on moderada de Kp, y se denota Ktame p. 6Hemos enunciado la identidad fundamental para extensiones finitas de Kp, pero se puede generalizar cambiando Kppor una extensi´on infinita Ωde Kp, siempre que Ωsea un cuerpo henseliano. La referencia dada en la proposici´on 1.9 lo demuestra en este caso. CAP´ ITULO 1. TEOR´ IA ALGEBRAICA DE N´ UMEROS 15 Vamos a hallar una expresi´on expl´ıcita Ktame p. Por la observaci´on 1.3, basta hallar las extensiones finitas moderadas de Kunr p. Para cada entero positivo ncoprimo con p, definimos Fn=Kunr p(n √π), siendo πun uniformizante en Kunr pyn √πuna ra´ız del polinomio xn−π. Denotemos µnal grupo de las ra´ıces n-´esimas de la unidad en Kp. Proposici´on 1.13. Para todo entero positivo ncoprimo con p, la extensi´on Fn/Kunr pes de Galois de grado n, con Gal(Fn/Kunr p)∼ =µn. Demostraci´on. El polinomio m´ınimo de Fn/Kunr pes xn−π, que es irreducible por el criterio de Eisenstein (ver proposici´on A.6). Sea ζn∈µnuna ra´ız primitiva n-´esima de la unidad. Entonces, las ra´ıces de xn−πson ζi n n √π, para i= 0, . . . , n −1. Como gcd(n, p)=1, entonces ζn∈Kunr p, luego todas las ra´ıces de xn−πest´an en Fn. Por tanto, la extensi´on Fn/Kunr pes de Galois y de grado n. Adem´as, Gal(Fn/Kunr p)act´ua en las ra´ıces de xn−πpermut´andolas, luego podemos considerar un homomorfismo θn: Gal(Fn/Kunr p)→µntal que σ(n √π) = θn(σ)n √π, con σ∈Gal(Fn/Kunr p). Est´a claro que θnes inyectivo, y como Gal(Fn/Kunr p)yµntienen el mismo cardinal (igual an), entonces θnes un isomorfismo. Proposici´on 1.14. Para todo entero positivo ncoprimo con p, la extensi´on Fn/Kunr pes moderada. Adem´as, Fnno depende del uniformizante de Kunr pelegido. Demostraci´on. Sea nun entero positivo coprimo con p. Por la identidad fundamental, n= [Fn:Kunr p] = e(Fn/Kunr p) y como gcd(n, p) = 1, entonces Fn/Kunr pes moderada. Veamos que Fn/Kunr pno depende de la elecci´on de π. En efecto, si π′es otro uniformizante en Kunr p, entonces existe una unidad εen el anillo de valoraci´on de Kunr ptal que π′=επ, luego n √π′=n √εn √π. Ahora bien, el cuerpo de residuos knde Fnes algebraicamente cerrado, luego la reducci´on del polinomio ϕ(x) = xn−εen knes un polinomio que se descompone en factores lineales. Adem´as, como p∤n, entonces gcd(ϕ, ϕ′)=1, luego dichos factores lineales son distintos. Esto implica que n √ε∈Kunr p, por el lema de Hensel (ver observaci´on 1.2). Concluimos que Fnno depende del uniformizante elegido, como quer´ıamos. Teorema 1.7. Sea F/Kunr puna extensi´on finita. Entonces, F/Kunr pes moderada de grado n si y s´olo si gcd(n, p) = 1 yF∼ =Kunr p(n √π)para alg´un uniformizante πde Kunr p. Demostraci´on. Ver ap´endice A.5. Corolario 1.4. Sea πun uniformizante en Kunr p. La m´axima extensi´on moderada de Kpes Ktame p=[ n≥1, gcd(n,p)=1 Kunr p(n √π). CAP´ ITULO 1. TEOR´ IA ALGEBRAICA DE N´ UMEROS 16 Grupos de inercia y de inercia salvaje A continuaci´on, daremos propiedades de ciertos subgrupos de GKp= Gal(Kp/Kp)relacionados con la m´axima extensi´on no ramificada y moderada de Kp. Definici´on 1.15. Dada una extensi´on de Galois F/Kp, se define el grupo de inercia de Gal(F/Kp)como I(F/Kp) = Gal(F/F ∩Kunr p). Si F=Kp, se define el grupo de inercia de GKpcomo Ip= Gal(Kp/Kunr p). Proposici´on 1.15. Existe un isomorfismo de grupos topol´ogicos Ip∼ =lim ←−I(F/Kp), donde Frecorre todas las extensiones finitas de Galois de Kp. Demostraci´on. Por el teorema 1.2, tenemos que Ip= Gal(Kp/Kunr p)∼ =lim ←−Gal(E/Kunr p), donde Erecorre las extensiones finitas de Galois de Kunr p. Ahora bien, para toda tal extensi´on E/Kunr p, existe una extensi´on F/Kpfinita de Galois tal que E=FKunr p. Se sigue de esta observaci´on y de la proposici´on 1.3 que Ip∼ =lim ←−Gal(FKunr p/Kunr p)∼ =lim ←−Gal(F/F ∩Kunr p) = lim ←−I(F/Kp), como quer´ıamos. Definici´on 1.16. Dada una extensi´on de Galois F/Kpuna extensi´on finita de Galois, se define el grupo de inercia salvaje de Gal(F/Kp)como Iwild(F/Kp) = Gal(F/F ∩Ktame p). Si F=Kp, se define el grupo de inercia salvaje de GKpcomo Iwild p= Gal(Kp/Ktame p). La siguiente proposici´on se demuestra de manera an´aloga a la proposici´on 1.15. Proposici´on 1.16. Existe un isomorfismo de grupos topol´ogicos Iwild p∼ =lim ←−Iwild(F/Kp), donde Frecorre todas las extensiones finitas de Galois de Kp. Definici´on 1.17. Se define el grupo de inercia moderada de GKpcomo Itame p=Ip/Iwild p. CAP´ ITULO 1. TEOR´ IA ALGEBRAICA DE N´ UMEROS 17 Vamos a dar una descripci´on expl´ıcita del grupo de inercia moderada Itame pde GQp= Gal(Qp/Qp), por simplicidad de la exposici´on. Denotemos µdal grupo de las ra´ıces d-´esimas de la unidad de Qp. Si dyd′son enteros positivos coprimos con ptales que d|d′, consideramos el homomorfismo fdd′:µd′→µd ζd′7→ ζd′/d d′. Entonces, (µd, fdd′)es un sistema inverso indexado por los enteros positivos coprimos con p, con el orden parcial dado por la divisibilidad. Denotemos lim ←− (d,p)=1 µdal l´ımite inverso de (µd, fdd′). Por el teorema 1.2 y la proposici´on 1.13, Itame p∼ =Gal(Qtame p/Qunr p)∼ =lim ←− (d,p)=1 Gal(Qunr p(d √p)/Qunr p)∼ =lim ←− (d,p)=1 µd.(1.3) Vamos a identificar Itame pcon otro l´ımite inverso. Para ello, si mynson enteros positivos tales que m|n, consideramos el homomorfismo Nmn :F× pn→F× pm x7→ x1+q+···+qn−1, siendo q=pm. Es decir, Nmn es el homomorfismo dado por la norma relativa a la extensi´on Fpn/Fpm. Entonces, (F× pn, Nmn)es un sistema inverso indexado por los enteros positivos y con el orden parcial dado por la divisibilidad. Denotemos lim ←− n F× pnal l´ımite inverso de (F× pn, Nmn). Proposici´on 1.17. Existe un isomorfismo Itame p∼ =lim ←− n F× pn. Demostraci´on. Por (1.3), basta probar que lim ←−(d,p)=1 µd∼ =lim ←−nF× pn. Por un lado, est´a claro que F× pn∼ =µpn−1,pues ambos grupos son c´ıclicos de orden pn−1. Por tanto, gracias al teorema A.1, basta comprobar que el conjunto formado por los n´umeros de la forma pn−1, para cada entero n≥1, es cofinal en el conjunto S={d∈Z:d≥1,gcd(d, p) = 1}. Esto es cierto, pues para todo d∈Sexiste un entero n≥1tal que pn−1≡0 m´od d. En efecto, basta tomar n=φ(d), siendo φla funci´on de Euler. De este modo, ddivide a pn−1, como quer´ıamos. Para acabar esta secci´on, vamos a demostrar un resultado que ser´a de gran utilidad a la hora de definir el peso de la conjetura de modularidad de Serre. Para ello, es necesario definir el concepto de elemento de Frobenius en GQp. Observaci´on. La extensi´on Qunr p/Qpes de Galois, luego por el teorema de correspondencia de Galois, la restricci´on GQp→Gal(Qunr p/Qp)induce un isomorfismo de grupos topol´ogicos GQp/Ip∼ =Gal(Qunr p/Qp). CAP´ ITULO 1. TEOR´ IA ALGEBRAICA DE N´ UMEROS 18 El grupo GFp= Gal(Fp/Fp)est´a topol´ogicamente generado por el automorfismo de Frobenius x7→ xp. Es decir, si denotamos σpal automorfismo de Frobenius, entonces ⟨σp⟩es un subgrupo denso de GFp. Por la observaci´on 1.2,Gal(Qunr p/Qp)∼ =GFp, luego podemos componer este isomorfismo con la restricci´on GQp→Gal(Qunr p/Qp)para obtener el homomorfismo reducci´on GQp→GFp. Definici´on 1.18. Se llama elemento de Frobenius de GQpa cualquier automorfismo σ∈GQp tal que su imagen por el homomorfismo reducci´on es el automorfismo de Frobenius x7→ xp, y se denota Frobp=σ. Proposici´on 1.18. Sea s= Frobp∈GQp. Para todo u∈Ip, se verifica sus−1≡upm´od Iwild p. Demostraci´on. Observemos la proposici´on equivale a probar (sus−1)|Qtame p=up|Qtame p.(1.4) De hecho, basta probar (1.4) al aplicarlo a los elementos de la forma n √ppara todo entero ncoprimo con p, pues cualquier elemento de Qtame ppertenece a Qunr p(n √p)para alg´un entero ncoprimo con p, por el corolario 1.4. Como gcd(n, p)=1, entonces Qunr pcontiene todas las ra´ıces n-´esimas de la unidad, por el corolario 1.3. Sea ζn∈Qunr puna ra´ız primitiva n-´esima de la unidad. El polinomio m´ınimo de la extensi´on Qunr p(n √p)/Qunr pes xn−p, cuyas ra´ıces son ζi nn √ppara i= 1, . . . , n. Sabemos que udeja fijas las ra´ıces n-´esimas de la unidad, y s= Frobpact´ua en las ra´ıces n-´esimas de la unidad elevando a p. Tanto scomo upermutan las ra´ıces de xn−p. En particular, s−1(n √p) = ζi nn √p, yu(n √p) = ζj nn √ppara ciertos i, j ∈ {1, . . . , n}. Teniendo en cuenta todas estas consideraciones, se sigue que up(n √p) = up−1u(n √p) = up−1(ζj nn √p) = ζj nup−1(n √p) =ζj nup−2u(n √p) = ζj nup−2(ζj nn √p) = (ζj n)2up−2(n √p) = ··· = (ζj n)pn √p. Por otro lado, sus−1(n √p) = su(ζi nn √p) = s(u(ζi n)u(n √p)) = s(ζi nζj n(n √p)) =s(ζj nζi nn √p) = s(ζj n)s(ζi nn √p)=(ζj n)ps(s−1(n √p)) = (ζj n)pn √p. Concluimos que sus−1(n √p) = up(n √p), como quer´ıamos. CAP´ ITULO 1. TEOR´ IA ALGEBRAICA DE N´ UMEROS 19 1.5. Grupos de alta ramificaci´on Sea Kpla completaci´on de un cuerpo de n´umeros respecto del valor absoluto p-´adico, y fijemos una clausura algebraica Kp. Sea G= Gal(F/Kp), con F/Kpuna extensi´on finita de Galois. La notaci´on de esta secci´on es la misma que la de la secci´on anterior. Definici´on 1.19. Para todo real u≥ −1, se define el u-´esimo grupo de ramificaci´on de G con numeraci´on baja como Gu={σ∈G:vF(σ(x)−x)≥u+ 1 para todo x∈ OF}. Observaci´on. Sean n≥ −1un entero, y x∈F. Por la proposici´on A.5,vF(x)≥n+ 1 si y s´olo si x∈Mn+1 F, pues vFest´a normalizada. Por el lema A.2,vF(x) = vF(σx)para todo σ∈G, luego vF(x)≥n+ 1 si y s´olo vF(σx)≥n+ 1, y esto equivale a que σx ∈Mn+1 Fpor la proposici´on A.5 de nuevo. En otras palabras, σMn+1 F=Mn+1 Fpara todo entero n≥ −1y para todo σ∈G. Esto implica que todo automorfismo σ∈Ginduce un automorfismo σm´od MFen el anillo OF/Mn+1 F, y podemos considerar el homomorfismo sobreyectivo G→Aut(OF/Mn+1 F)dado por σ7→ σm´od Mn+1 Fpara todo entero n≥ −1. Entonces, est´a claro que el n-´esimo grupo de ramificaci´on Gnes el n´ucleo de dicho homomorfismo, pues vF(σ(x)−x)≥n+ 1 ⇐⇒ σ(x)−x∈Mn+1 F⇐⇒ σ(x)≡xm´od Mn+1 F. Proposici´on 1.19. Se verifican las siguientes igualdades: G−1=G, G0=I(F/Kp)yG1=Iwild(F/Kp). Demostraci´on. Ver ap´endice A.5. Proposici´on 1.20. G1es el ´unico p-subgrupo de Sylow7de G0. Demostraci´on. Ver p´agina 174, proposici´on (9.12) de [Neu13]. En general, los grupos de alta ramificaci´on forman una cadena decreciente de subgrupos G0⊃G1⊃ ··· ⊃ Gu⊃. . . de manera que Gues trivial a partir de un cierto real u. Adem´as, para todo real u≥ −1,Gu es un subgrupo normal de G. En efecto, sean σ∈Gu,τ∈Gyx∈ OF. Entonces, vF(τ−1στx −x) = vF(τ−1(στx −τx)) = vF(σ(τx)−τx), y se concluye el resultado pues τOF=OFpor el lema A.2. Tambi´en se verifica que Gu=G⌈u⌉ para todo real u≥ −1. 7Un p-subgrupo de Sylow de un grupo Ges cualquier subgrupo de Gde orden pm, siendo mun entero tal que pmes la mayor potencia de pque divide al orden de G. CAP´ ITULO 1. TEOR´ IA ALGEBRAICA DE N´ UMEROS 20 Definici´on 1.20. Se define la funci´on de Herbrand φF/Kp: [−1,∞)→[−1,∞)asociada a Gcomo φF/Kp(u) = Zu −1 dt [G0:Gt]. Por convenio, [G0:Gt]−1= [G−1:G0]−1si t=−1, y [G0:Gt]−1= [G0:G0]−1= 1 si −1< t ≤0. Es decir, φF/Kp(u) = upara todo u∈[−1,0]. Observaci´on 1.4.Denotemos gual orden de Gupara todo real u≥ −1. Es inmediato comprobar que φF/Kp(0) = 0 y que φF/Kpes continua, lineal a trozos y estrictamente creciente. De hecho, φF/Kp(u) = 1 g0 (g1+···+g⌊u⌋+ (u−⌊u⌋)g⌈u⌉)para todo u > 0,y φ′ F/Kp(u) = 1 [G0:Gu]=gu g0 =g⌈u⌉ g0 para todo u /∈Z, u > −1. Adem´as, φ′ F/Kp(u)es constante para todo i≤u < i + 1 con i≥ −1entero, pues [G0:Gu]−1= [G0:Gi+1]−1para todo i≤u < i + 1 con i∈Z, i ≥ −1. En particular, φF/Kpes un homeomorfismo del intervalo [−1,∞)en s´ı mismo. A la funci´on inversa φ−1 F/Kpla denotamos ψF/Kp. Definici´on 1.21. Para todo real r≥ −1, se define el r-´esimo grupo de ramificaci´on de G con numeraci´on alta como Gr=GψF/Kp(r). Teorema 1.8 (Teorema de Herbrand).Sean F′/Kpuna subextensi´on de Galois de F/Kp, y H= Gal(F/F′)⊂G. Si t=φF/F ′(u)para alg´un u≥ −1entonces GuH/H = (G/H)t. Demostraci´on. Ver cap´ıtulo IV, secci´on 3, lema 5 de [Ser13]. Corolario 1.5. Sea F′/Kpuna subextensi´on de Galois de F/Kp. Entonces, φF/Kp=φF′/Kp◦φF/F ′yψF/Kp=ψF/F′◦ψF′/Kp. Demostraci´on. Ver cap´ıtulo IV, secci´on 3, proposici´on 15 de [Ser13]. Corolario 1.6. Sean F′/Kpuna subextensi´on de Galois de F/Kp, y H= Gal(F/F′)⊂G. Entonces, (G/H)r=GrH/H para todo r≥ −1. Demostraci´on. Sea r≥ −1real. Por definici´on y por el teorema de Herbrand, sabemos que GrH/H =GψF/Kp(r)H/H = (G/H)t, donde t=φF/F ′(ψF/Kp(r)). Por el corolario anterior, sabemos que ψF/Kp=ψF/F ′◦ψF′/Kp, CAP´ ITULO 1. TEOR´ IA ALGEBRAICA DE N´ UMEROS 21 luego t=φF/F ′(ψF/F ′◦ψF′/Kp(r)) = φF/F ′◦ψF/F ′◦ψF′/Kp(r) = ψF′/Kp(r), pues φF/F ′es la inversa de ψF/F ′. Por tanto, GrH/H = (G/H)t= (G/H)ψF′/Kp(r)= (G/H)r, como quer´ıamos. CAP´ ITULO 2. REPRESENTACIONES DE GALOIS 28 luego ρes no ramificada en ℓsi y s´olo si Iℓ⊂ker ρℓ. Por la proposici´on 2.2, sabemos que K/Qes una extensi´on finita de Galois, y que ker ρ= Gal(Q/K). Adem´as, ker ρℓ= ker(ρ◦ι∗ ℓ) = ι∗−1 ℓ(ker ρ) = ι∗−1 ℓGal(Q/K)= Gal(Qℓ/Kl), siendo l=L∩OK. Por tanto, Iℓ⊂ker ρℓsi y s´olo si Gal(Qℓ/Qunr ℓ)⊂Gal(Qℓ/Kl). Por el teorema de correspondencia de Galois, esto equivale a que Kl⊂Qunr ℓ, que a su vez equivale a que I(Kl/Qℓ) = Gal(Kl/Kl∩Qunr ℓ) = {id}. Por la proposici´on 2.3,I(Kl/Qℓ) = {id}si y s´olo si I(l/ℓ) = {id}. Por el teorema 1.3, esto equivale a que ℓsea no ramificado en K/Q, como quer´ıamos. Corolario 2.3. Toda representaci´on de Galois ρ:GQ→AutFp(V)es no ramificada salvo en una cantidad finita de primos. Lema 2.1. Si ρp:GQp→AutFp(V)es una representaci´on de Galois, entonces VIwild p={0}. Demostraci´on. En primer lugar, ρp(Iwild p)es un grupo finito por la proposici´on 2.2 y de hecho es un p-grupo por la proposici´on 1.20. La acci´on de Iwild pen Vnos permite expresar Vcomo uni´on disjunta de las ´orbitas inducidas por dicha acci´on. El orden de cada ´orbita divide al orden de ρp(Iwild p), que es una potencia de p. Dado que Ves un Fp-espacio vectorial finito, el cardinal de Vtambi´en es una potencia de p. Ahora bien, la ´orbita de 0∈Vtiene orden 1, luego debe de haber al menos otras p−1 ´orbitas distintas de orden 1. Cada una de estas ´orbitas nos da un elemento no nulo de VIwild p, concluyendo que VIwild p={0}. Proposici´on 2.5. Si ρp:GQp→AutFp(V)es una representaci´on de Galois semisimple, entonces ρpes moderada. Demostraci´on. Notemos que si el resultado se verifica para dos representaciones ρpyρ′ p entonces se verifica para ρp⊕ρ′ p, luego podemos asumir sin p´erdida de generalidad que ρpes simple. Dado que Iwild p◁GQp, se sigue de la proposici´on 2.1 que VIwild pes un subespacio de V invariante por la acci´on de GQp. Como ρpes simple, o bien VIwild p={0}o bien VIwild p=V, y por el lema anterior s´olo puede ocurrir VIwild p=V. Concluimos que ρp(Iwild p) = {id}, como quer´ıamos. De esta proposici´on se sigue que todo car´acter GQ→F× pes moderado en p, pues todo car´acter es irreducible. Teorema 2.1. Sean ρ1, ρ2:GQ→AutFp(V)dos representaciones de Galois, y Sun conjunto finito de primos enteros. Si ρ1(Frobℓ) = ρ2(Frobℓ)para todo primo ℓ /∈S, entonces ρ1=ρ2. Demostraci´on. Por la proposici´on 1.7, las representaciones ρ1yρ2coinciden en un conjunto denso. Como ρ1yρ2son continuas, entonces son iguales. CAP´ ITULO 2. REPRESENTACIONES DE GALOIS 29 Teorema 2.2 (Brauer-Nesbitt).Sean ρ1, ρ2:GQ→AutFp(V)dos representaciones de Galois bidimensionales y semisimples, y Sun conjunto finito de primos enteros. Si tr ρ1(Frobℓ) = tr ρ2(Frobℓ)ydet ρ1(Frobℓ) = det ρ2(Frobℓ) para todo primo ℓ /∈S, entonces ρ1∼ =ρ2. Demostraci´on. Ver p´agina 215, teorema 30.16 de [CR66]. Definici´on 2.10. Sea ρ:GQ→AutFp(V)una representaci´on de Galois tal que dim ρ≤2. Despu´es de fijar una Q-inclusi´on Q,→C, se dice que ρes impar si det ρ(c) = −1, siendo c∈GQla conjugaci´on compleja. 2.4. Representaciones de Galois de dimensi´on 1 Comenzamos esta secci´on clasificando las representaciones de Galois de la forma ρ:GQ→GL1(Fp)∼ =F× p. Vamos a probar que se corresponden con unos caracteres particulares, que definimos a continuaci´on. Definici´on 2.11. Sea Nun entero positivo. Un car´acter de Dirichlet m´odulo Nes un homomorfismo de grupos multiplicativos ε: (Z/NZ)×→C×. El entero Nse llama m´odulo de ε. Si el m´odulo de εest´a especificado, se dice que εes un car´acter de Dirichlet. Observaci´on. Sea ε: (Z/NZ)×→C×un car´acter de Dirichlet. Dado que εes un homomorfismo de grupos, entonces εes completamente multiplicativo. Es decir, ε(mn) = ε(m)ε(n) para todo m, n ∈(Z/NZ)×. Sea Nun entero positivo. Para todo entero positivo dtal que d|N, podemos considerar la proyecci´on natural πN,d : (Z/NZ)×→(Z/dZ)×.As´ı, si εdes un car´acter de Dirichlet m´odulo d, podemos obtener un car´acter de Dirichlet εNm´odulo N, dado por la composici´on εN=εd◦πN,d. Definici´on 2.12. Sea εun car´acter de Dirichlet m´odulo N. Se define el conductor de εcomo el menor entero positivo dque divide a Ntal que existe un car´acter de Dirichlet m´odulo d verificando ε=εd◦πN,d. Si el conductor de εcoincide con N, se dice que εes un car´acter de Dirichlet primitivo. Observaci´on. Sea ε: (Z/NZ)×→C×un car´acter de Dirichlet. Podemos extender εa una aplicaci´on Z→Cdefini´endola como n7→ (ε(nm´od N)si gcd(n, N) = 1, 0si no. CAP´ ITULO 2. REPRESENTACIONES DE GALOIS 30 A esta aplicaci´on tambi´en la denotamos ε, abusando de la notaci´on. Observemos que la aplicaci´on extendida ya no es un homomorfismo de grupos, pero sigue siendo completamente multiplicativa. Sea φla funci´on de Euler. Para todo n∈(Z/NZ)×, se verifica que ε(n)es una ra´ız φ(N)-´esima de la unidad. En efecto, por ser εuna funci´on completamente multiplicativa y por el teorema de Euler-Fermat, ε(n)φ(N)=ε(nφ(N)) = ε(1) = 1. En general, dado un anillo R, se puede definir un car´acter de Dirichlet m´odulo N como un homomorfismo de grupos de multiplicativos (Z/NZ)×→R×, y verifica las propiedades mencionadas anteriormente. El caso R=Fpser´a de importancia en el siguiente teorema. Teorema 2.3. Existe una correspondencia biun´ıvoca (caracteres primitivos de Dirichlet ε: (Z/NZ)×→F× p)←→ (representaciones de Galois ρ:GQ→F× p . ) Adem´as, Nes el menor entero tal que ρfactoriza por la extensi´on Q(ζN)/Q. Demostraci´on. Sea ε: (Z/NZ)×→F× pun car´acter de Dirichlet primitivo. No es dif´ıcil comprobar que el homomorfismo Gal(Q(ζN)/Q)→(Z/NZ)× (ζN7→ ζn N)7→ nm´od N(2.1) es un isomorfismo de grupos. Si denotamos πNa la restricci´on de GQaGal(Q(ζN)/Q), obtenemos el siguiente diagrama conmutativo: GQ Gal(Q(ζN)/Q) (Z/NZ)× F× p πN ρε,N ∼ = ε De este modo, obtenemos un homomorfismo ρε=ρε,N ◦πN:GQ→F×.Veamos que ρεes continua para concluir que es una representaci´on de Galois. Para ello, basta ver que ρ−1 ε({id}) es abierto. Esto es cierto, pues ker ρε=ρ−1 ε({id})∼ =Gal(K/Q), siendo K/Quna extensi´on finita de Galois tal que K⊂Q(ζN). Rec´ıprocamente, sea ρ:GQ→F× puna representaci´on de Galois de dimensi´on 1. Por el corolario 2.1, existe una extensi´on K/Qfinita de Galois tal que ρ(GQ)∼ =Gal(K/Q)y Gal(K/Q)es un grupo abeliano. Ahora bien, el teorema de Kronecker-Weber afirma que CAP´ ITULO 2. REPRESENTACIONES DE GALOIS 31 toda extensi´on abeliana de Qest´a contenida en Q(ζN)para alg´un entero N. As´ı, sea Nun entero tal que K⊂Q(ζN). Entonces Gal(Q/Q(ζN)) ⊂Gal(Q/K) = ker ρ, por lo que ρ factoriza por la extensi´on Q(ζN)/Q. Por tanto, el diagrama anterior muestra que ρ=ρερ,N ◦πN para alg´un car´acter de Dirichlet ερde m´odulo N. Para que ερsea primitivo, basta tomar N como el menor entero que divide a Ntal que ρfactoriza por Q(ζN)/Q. El car´acter ciclot´omico Sean pun primo entero y ζpuna ra´ız p-´esima primitiva de la unidad en Q. Sabemos que las ra´ıces del polinomio xp−1son las ra´ıces p-´esimas de la unidad, y forman un grupo c´ıclico µp de orden p, generado por ζp. El grupo absoluto GQact´ua en µppermutando sus elementos. Teniendo en cuenta que Aut(µp)∼ =F× p, esta acci´on da lugar a un car´acter χp:GQ→F× p definido por σ(ζp) = ζχp(σ) p,con σ∈GQ. Definici´on 2.13. El car´acter χp:GQ→F× pdefinido anteriormente se llama car´acter ciclot´omico m´odulo p. La representaci´on local de χpen cualquier primo ℓtambi´en se llama car´acter ciclot´omico m´odulo p, y tambi´en se denota χp. Observaci´on. El car´acter χpno depende de la ra´ız p-´esima de la unidad elegida. En efecto, sea ζ′ p∈µpuna ra´ız p-´esima primitiva de la unidad distinta de ζp. Entonces, existe un entero rcoprimo con ptal que ζ′ p=ζr p. Sea σ∈GQtal que σ(ζp) = ζχp(σ) p. Concluimos que σ(ζ′ p) = σ(ζr p) = σ(ζp)r=ζχp(σ) pr=ζr pχp(σ)=ζ′ pχp(σ), como quer´ıamos. Observaci´on. Si ℓes un primo distinto de p, entonces Frobℓact´ua en ζpelevando a ℓ. Es decir, χp(Frobℓ) = ℓ, para todo primo ℓdistinto de p. Caracteres fundamentales Fijemos un entero n≥1y una Fp-inclusi´on τ:Fpn,→Fp. Sea σpel automorfismo de Frobenius x7→ xp, que es generador topol´ogico de Gal(Fp/Fp). Podemos obtener n−1 inclusiones m´as, dadas por τj:Fpn,→Fp x7→ (σj p◦ι)(x) = ι(x)pj,para todo j= 1, . . . , n −1. Por otro lado, consideramos el siguiente homomorfismo ψ:Itame p t ∼ =lim ←− n F× pn πn ↠F× pn τj ,−→ F× p, CAP´ ITULO 2. REPRESENTACIONES DE GALOIS 32 siendo τjalguna de las ninclusiones τj:Fpn,→Fpcon j= 1, . . . , n,πnla proyecci´on can´onica del l´ımite inverso en F× pn, y tel isomorfismo de la proposici´on 1.17. Definici´on 2.14. Sea nun entero positivo. Si ψ:Itame p→F× pes un car´acter definido por la composici´on ψ=τj◦πn◦tpara alg´un j= 1, . . . , n, se dice que ψes un car´acter fundamental de nivel n. Definici´on 2.15. Sea ϕ:Itame p→F× pun car´acter. Se dice que ϕes de nivel nsi nes el menor entero positivo tal que ϕ(Itame p)⊆F× pn. Observaci´on. Sea ψun car´acter fundamental de nivel n. Por definici´on, ψ=τj◦πn◦tpara alg´un j= 1, . . . , n. Observemos que ψ(Itame p) = F× pn. En efecto, tes un isomorfismo, y en particular, es sobreyectivo. Como πnes la proyecci´on del l´ımite inverso en F× pn, entonces πnes sobreyectivo, y por tanto, πn◦ttambi´en. La imagen de πn◦ttiene cardinal pn−1, luego la inclusi´on τjla lleva en un subgrupo de cardinal pn−1, que es justamente el subgrupo multiplicativo F× pnde F× p. Dado que cada inclusi´on τjse corresponde con la j-´esima potencia del automorfismo de Frobenius x7→ xppara j= 1, . . . , n, los ncaracteres fundamentales de nivel nson ψ, ψp, ψp2, . . . , ψpn−1. Sea ϕ:Itame p→F× pun car´acter de nivel, a lo m´as, n. Entonces, podemos expresar ϕ como ϕ=α◦πn◦t, para alg´un homomorfismo de grupos α:F× pn→F× p. Es decir, ϕyψse diferencian en que αes un homomorfismo de grupos que no necesariamente proviene de un homomorfismo de cuerpos. Dado que F× pnes c´ıclico, dicho homomorfismo est´a determinado por la imagen de un generador de F× pn, que tiene orden pn−1. Esto nos permite expresar ϕ=ψacon a∈Z/(pn−1)Z. Tomando acomo un entero tal que 0≤a<pn−1, la expresi´on anterior es ´unica. Observaci´on 2.1.Consideremos la restricci´on a Ipdel car´acter ciclot´omico m´odulo p, es decir, χp|Ip:Ip→F× p. Este car´acter es moderado por la proposici´on 2.5, es decir, χp(Iwild p) = {id}. Por tanto, χp induce un car´acter χ:Itame p→F× pde modo que el siguiente diagrama IpF× p Itame p χp|Ip χ es conmutativo, y por tanto, χ(Itame p) = χp(Ip) = F× p. Se puede comprobar2que χes el ´unico car´acter fundamental de nivel 1. 2Ver ejercicio 16 del cap´ıtulo 4 de [RS99]. Se incluye la soluci´on al final del cap´ıtulo. CAP´ ITULO 2. REPRESENTACIONES DE GALOIS 33 Proposici´on 2.6. Sea nun entero positivo. Sean ψ1, . . . , ψnlos ncaracteres fundamentales de nivel n, y χel ´unico car´acter fundamental de nivel 1. Entonces, n Y j=1 ψj=χ. Demostraci´on. Por definici´on de car´acter fundamental de nivel n, sabemos que ψj=τj◦πn◦tpara todo j= 1, . . . , n, siendo τ1, . . . , τnlas Fp-inclusiones de cuerpos Fpn,→Fp,πnla proyecci´on can´onica del l´ımite inverso en F× pn, y tel isomorfismo de la proposici´on 1.17. An´alogamente, χ=i◦π1◦t, (2.2) siendo ila ´unica Fp-inclusi´on de cuerpos i:Fp,→Fp. Consideremos la aplicaci´on N:F× pn→F× pdada por N(x) = Qn j=1 τj(x), y observemos que N=i◦NFpn/Fp. Entonces, para todo σ∈Itame p, n Y j=1 ψj(σ) = n Y j=1 τj(πn(t(σ))) = N(πn(t(σ))).(2.3) Por tanto, basta comprobar que N◦πn=i◦π1. Sabemos que lim ←−rF× pres el l´ımite inverso respecto del sistema inverso cuyos morfismos son las aplicaciones NFpn/Fpmpara todo par de enteros positivos (n, m)tales que m|n. Tomando m= 1, el diagrama lim ←−rF× pr F× pF× pn πn π1 NFpn/Fp es conmutativo, luego π1=NFpn/Fp◦πn, y por tanto, i◦π1=i◦NFpn/Fp◦πn=N◦πn. Se sigue de (2.2) que χ=i◦π1◦t=N◦πn◦t, y se concluye el resultado por (2.3). Curvas el´ıpticas 3 “It is possible to write endlessly about elliptic curves. (This is not a threat.)” — Serge Lang. Este cap´ıtulo consiste en una peque˜na introducci´on a la teor´ıa de curvas el´ıpticas, que son variedades algebraicas estrechamente relacionadas con las formas modulares. En este trabajo, tienen relevancia a la hora de demostrar el ´ultimo teorema de Fermat. La principal referencia utilizada para escribir este cap´ıtulo es [Sil09]. 3.1. Ecuaci´on de Weierstrass Definici´on 3.1. Sea Kun cuerpo. Una curva el´ıptica sobre Kes un par (E, OE)tal que: Ees una curva1no singular de g´enero 1. OE∈E(K), donde E(K)denota el conjunto de puntos K-racionales de E. Gracias al teorema de Riemann-Roch (ver teorema II.5.4 de [Sil09]), toda curva el´ıptica (E, OE)sobre Kpuede expresarse de manera que Eest´e definida por una ecuaci´on homog´enea de la forma Y2Z+a1XY Z +a3Y Z2=X3+a2X2Z+a4XZ2+a6Z3,(3.1) con a1, . . . , a6∈K, y OEse corresponda con el punto del infinito [0:1:0]. Para ver una demostraci´on, se puede consultar la proposici´on III.3.1 de [Sil09]. Observemos que [0 : 1 : 0] es el ´unico punto de Eque est´a en el hiperplano del infinito {Z= 0}, por lo que es usual trabajar con la deshomogenizaci´on de (3.1) respecto de Z: y2+a1xy +a3y=x3+a2x2+a4x+a6.(3.2) Tambi´en es habitual denotar E/K a una curva el´ıptica sobre un cuerpo K, quedando impl´ıci- to el punto OE. Definici´on 3.2. Tanto la ecuaci´on (3.1) como (3.2) se llaman ecuaci´on de Weierstrass. Si una curva algebraica Cest´a definida por una ecuaci´on de Weierstrass, se dice que dicha ecuaci´on es un modelo de Weierstrass para C. Observaci´on 3.1.Sea E/K una curva el´ıptica. Entonces, Eadmite un modelo de Weierstrass, pero no es ´unico. Si Eest´a definida por (3.2), podemos obtener otro modelo de Weierstrass para Emediante el cambio de variables (x, y)7→ (u2x+r, u3y+u2sx +t), con r, s, t, u ∈Kyu= 0. Para ver una demostraci´on de este hecho, se puede consultar la proposici´on III.3.1 de [Sil09]. 1Es decir, una variedad algebraica proyectiva de dimensi´on 1. 34 CAP´ ITULO 3. CURVAS EL´ IPTICAS 35 Veamos c´omo simplificar la ecuaci´on (3.2). Si char(K)= 2, el cambio de variable y7→ 1 2(y−a1x−a3). transforma la ecuaci´on (3.2) en y2= 4x3+b2x2+ 2b4x+b6,(3.3) donde b2=a2 1+ 4a4, b4= 2a4+a1a3, b6=a2 3+ 4a6. Tambi´en definimos las siguientes cantidades b8=a2 1a6+ 4a2a6−a1a3a4+a2a2 3−a2 4, c4=b2 2−24b4, c6=−b3 2+ 36b2b4−216b6. Adem´as, si char(K)/∈ {2,3}, podemos simplificar (3.3) con el cambio de variables (x, y)7→ x−3b2 36 ,y 108. De esta manera, podemos expresar (3.3) como y2=x3+Ax +B, (3.4) donde A=−27c4yB=−54c6. Definici´on 3.3. Sea Cuna curva algebraica. Si char(K)/∈ {2,3}y si Cest´a definida por una ecuaci´on de la forma (3.4), se dice que Cest´a en forma corta de Weierstrass. Hay dos par´ametros de inter´es asociados a una ecuaci´on de Weierstrass, que definimos a continuaci´on. Definici´on 3.4. Sea Cuna curva algebraica tal que (3.2) es un modelo de Weierstrass para C. Se definen: El discriminante de Ccomo ∆C=−b2 2b8−8b3 4−27b2 6+ 9b2b4b6. El j-invariante de Ccomo jC=c3 4 ∆. Proposici´on 3.1. Sea Cuna curva algebraica tal que (3.2) es un modelo de Weierstrass para C. Entonces: 1. Ces no singular si y s´olo si ∆C= 0. 2. Ctiene un nodo si y s´olo si ∆C= 0 yc4= 0. 3. Ctiene una c´uspide si y s´olo si ∆C=c4= 0. En los dos ´ultimos casos, el nodo o la c´uspide es el ´unico punto singular de C. Demostraci´on. Ver proposici´on III.1.4 de [Sil09]. CAP´ ITULO 3. CURVAS EL´ IPTICAS 36 x y (a) C´ubica no singular x y (b) C´ubica con un nodo x y (c) C´ubica con una c´uspide Figura 3.1: Tipos de c´ubicas seg´un sus singularidades 3.2. Puntos racionales y estructura de grupo Sea E/K una curva el´ıptica sobre un cuerpo K. De ahora en adelante, denotaremos E(K) = {(x, y)∈E:x, y ∈K}∪{OE} al conjunto de puntos K-racionales de E. Una de las propiedades m´as importantes de las curvas el´ıpticas es que se puede definir una operaci´on en el conjunto de sus puntos K- racionales que lo dotan de estructura de grupo abeliano. Vamos a describir geom´etricamente esta operaci´on, que denotaremos ⊕. Para ello, utilizaremos el siguiente teorema. Teorema 3.1 (B´ezout).Sean CyC′dos curvas algebraicas proyectivas distintas de grados dyd′, respectivamente. Si CyC′no tienen componentes irreducibles en com´un, entonces CyC′se cortan en dd′puntos contados con multiplicidad. Demostraci´on. Ver corolario I.7.8 de [Har13]. Sean P, Q ∈E(K)dos puntos K-racionales de E. Sea L=PQ la recta que pasa por PyQ(si P=Q, definimos Lcomo la recta tangente a Een P). Por el teorema de B´ezout, existe otro punto R∈E(K)tal que E∩L={P, Q, R}, y consideramos la recta L′=ROE. De nuevo, el teorema de Bezout asegura que existe un punto de Eque corta a L′. Dicho punto es el que definimos como P⊕Q. Proposici´on 3.2. Dada una curva el´ıptica E/K, se verifican las siguientes propiedades: 1. P⊕OE=Ppara todo P∈E(K). 2. P⊕Q=Q⊕Ppara todo P, Q ∈E(K). 3. Para todo P∈E(K), existe un punto P′∈E(K)tal que P⊕P′=OE. 4. (P⊕Q)⊕R=P⊕(Q⊕R)para todo P, Q, R ∈E(K). Demostraci´on. Las 3 primeras propiedades son f´aciles de verificar por la definici´on de ⊕. Para ver una demostraci´on de la ´ultima propiedad, se puede consultar el cap´ıtulo 5 de [Ful08]. CAP´ ITULO 3. CURVAS EL´ IPTICAS 37 P Q R P⊕Q x y Figura 3.2: Suma de puntos racionales en una curva el´ıptica Corolario 3.1. Dada una curva el´ıptica E/K, el grupo E(K)con la operaci´on ⊕tiene estructura de grupo abeliano, siendo OEel elemento identidad. De ahora en adelante, dada una curva el´ıptica E/K y dados P, Q ∈E(K), utilizaremos la siguiente notaci´on: P+Q=P⊕Q. −Pdenota al elemento inverso de P. [m]P=P+···+ | {z } mveces P, para todo entero m≥1. 3.3. Isogenias Sea Kun cuerpo de caracter´ıstica 0, y fijemos una clausura algebraica K. Definici´on 3.5. Sean E1/K yE2/K curvas el´ıpticas. Una isogenia entre E1yE2es un morfismo de variedades algebraicas ϕ:E1→E2definido sobre Ktal que ϕ(OE1) = OE2. Se dice que E1yE2son is´ogenas si existe una isogenia ϕ:E1→E2tal que ϕ(E1)={OE2}. Adem´as, si ϕest´a definida sobre K, se dice que E1yE2son K-is´ogenas. El teorema II.2.3 de [Sil09] prueba que si ϕ:E1→E2es una isogenia, entonces s´olo existen dos posibilidades: ϕ(E1) = {OE2}oϕ(E1) = E2. Adem´as, el teorema III.4.8 del mismo libro demuestra que las isogenias son homomorfismos de grupos. Proposici´on 3.3. Sea E/K una curva el´ıptica. Dado un subgrupo finito H⊂E(K), existe una ´unica curva el´ıptica E′=E/H y una ´unica isogenia no constante ϕ:E→E′tal que ker ϕ=H. Demostraci´on. Ver proposici´on III.4.12 de [Sil09]. CAP´ ITULO 3. CURVAS EL´ IPTICAS 44 Las principales referencias para esta subsecci´on son el cap´ıtulo V de [Sil13], el ap´endice C de [Sil09] y el ap´endice A.1.1 y A.1.2 de [Ser97]. Dado q∈Q× ℓtal que vℓ(q)>0, definimos las siguientes siguientes series: sk(q) = ∞ X n=1 nkqn 1−qn, a4(q) = −5s3(q)ya6(q) = −5s3(q)+7s5(q) 12 . Entonces, las series a4(q)ya6(q)convergen en Zℓ, y podemos considerar la ecuaci´on de Weierstrass y2+xy =x3+a4(q)x+a6(q),(3.5) que tiene discriminante ∆(q) = q ∞ Y n=1 (1 −qn)24. Como vℓ(∆(q)) = vℓ(q)>0, el producto anterior converge a un elemento no nulo de Qℓ. Por tanto, la ecuaci´on de Weierstrass (3.5) es un modelo para una curva el´ıptica Eq/Qℓ, llamada curva de Tate asociada a q. El j-invariante de Eqes j(q) = (1 + 48a4(q))3 ∆(q)=1 q1 + 744q+ 196884q2+. . . . En particular, como vℓ(q)>0, vℓ(j(q)) = vℓ1 q+ 744 + 196884q+. . . =−vℓ(q)<0.(3.6) Teorema 3.5 (Tate).Dado q∈Q× ℓtal que vℓ(q)>0, las series X(u, q) = X n∈Z qnu (1 −qnu)2−2s1(q)yY(u, q) = X n∈Z (qnu)2 (1 −qnu)3+s1(q). convergen para todo u∈Q× ℓtal que u /∈qZ, y definen un homomorfismo sobreyectivo Φ: Q× ℓ→Eq(Qℓ) u7→ ((X(u, q), Y (u, q)) si u /∈qZ, OEqsi u∈qZ. cuyo n´ucleo es qZ. Adem´as, Φes compatible con la acci´on de GQℓ, es decir, Φ(σ(u)) = σ(Φ(u)) para todo u∈Q× ℓy para todo σ∈GQℓ. En particular, para toda extensi´on finita K/Qℓ,Φinduce un isomorfismo K×/qZ∼ =Eq(K) que es compatible con la acci´on de Gal(Qℓ/K). Demostraci´on. Ver teorema V.3.1 de [Sil13]. CAP´ ITULO 3. CURVAS EL´ IPTICAS 45 Teorema 3.6 (Tate).Sea E/Qℓuna curva el´ıptica tal que vℓ(jE)<0. Entonces, existe un ´unico q∈Q× ℓcon vℓ(q)>0tal que Ees Qℓ-isomorfa a la curva de Tate Eqasociada a q. En particular, jE=j(q). Es m´as, Ees Qℓ-isomorfa a Eqsi y s´olo si Etiene mala reducci´on multiplicativa split. Demostraci´on. Ver teorema V.5.3 de [Sil13]. Teorema 3.7. Sea E/Quna curva el´ıptica semiestable. Supongamos que Etiene reducci´on multiplicativa en ℓ=p. Entonces, ρE,p es no ramificada en ℓsi y s´olo si vℓ(∆E)≡0 m´od p, siendo ∆Eel discriminante minimal de E. Demostraci´on. Como Etiene mala reducci´on multiplicativa en ℓ, entonoces vℓ(∆E)>0y vℓ(c4) = 0, por la proposici´on 3.4. Por tanto, vℓ(jE) = vℓc4 ∆E=−vℓ(∆E)<0. Por el teorema 3.6, existe un ´unico q∈Q× ℓcon vℓ(q)>0tal que E/Qℓes Qℓ-isomorfa a la curva de Tate Eqasociada a q. En particular, jE=j(q), luego se sigue de (3.6) que vℓ(∆E) = −vℓ(jE) = −vℓ(j(q)) = vℓ(q).(3.7) Supongamos que E/Qℓtiene reducci´on non-split. Entonces, por el teorema C.14.1.d de [Sil09], existe una ´unica extensi´on K/Qℓcuadr´atica y no ramificada tal que E/K tiene reducci´on split. Por el teorema 3.5, existe un isomorfismo E(Qℓ)∼ =Q× ℓ/qZ compatible con la acci´on de Gal(Qℓ/K). La imagen del subgrupo de p-torsi´on E(Qℓ)[p]bajo este isomorfismo es el subgrupo ⟨ζp, q1/p⟩={ζa p(q1/p)b: 0 ≤a, b, < p}, donde q1/p es una ra´ız del polinomio xp−q. Por tanto, despu´es de fijar una Q-inclusi´on Q,→Qℓ, basta probar que la extensi´on K(ζp, q1/p)/K es no ramificada si y s´olo si vℓ(q)≡ 0 m´od p, por (3.7). Si K(ζp, q1/p)/K es no ramificada, entonces ℓes uniformizante en K(ζp, q1/p), pues K/Qℓ es no ramificada. Luego, q1/p =εℓmcon vℓ(ε)=0ym > 0, y por tanto q=εpℓpm. Concluimos que vℓ(q) = pm ≡0 m´od p. Rec´ıprocamente, supongamos que K(ζp, q1/p)/K es ramificada. Sea L=K(ζp). Como p=ℓ, la extensi´on L/K es no ramificada, luego L(q1/p)/L es ramificada. No es dif´ıcil comprobar que esto s´olo es posible si vℓ(q)≡ 0 m´od p. Finalmente, si E/Qℓtiene reducci´on split, se razona de manera an´aloga con K=Qℓ, concluyendo el resultado. Formas modulares 4 “There are five fundamental operations in mathematics: addition, subtraction, multiplication, division, and modular forms.” — Martin Eichler. En este cap´ıtulo introduciremos la teor´ıa b´asica de formas modulares, centr´andonos en la reducci´on m´odulo pde las mismas y sus representaciones asociadas. Las principales referencias utilizadas en este cap´ıtulo son [DS05] y [Loz11]. 4.1. Formas modulares y formas cuspidales Definici´on 4.1. Se define grupo modular como el grupo de matrices SL2(Z) = a b c d:a, b, c, d ∈Z, ad −bc = 1. Denotemos ℑ(z)la parte imaginaria de un n´umero complejo z, y denotemos Hal semiplano superior complejo, es decir, H={z∈C:ℑ(z)>0}. El grupo modular act´ua en Hmediante transformaciones lineales fraccionarias, tambi´en llamadas transformaciones de M¨obius. Esta acci´on se define como M(z) = az +b cz +d,para toda M=a b c d∈SL2(Z)y para todo z∈ H. Veamos que la acci´on est´a bien definida. Dado z∈ H, tenemos que ℑ(M(z)) = ℑaz +b cz +d=ℑ(az +b)(c¯z+d) |cz +d|2=ℑ(adz +bc¯z) |cz +d|2, y como ad −bc = 1, entonces ℑ(adz +bc¯z) = ℑ(z). Finalmente, ℑ(M(z)) = ℑ(z) |cz +d|2>0, pues ℑ(z)>0. Concluimos que M(z)∈ H, luego la acci´on est´a bien definida. Adem´as, se puede comprobar1que el grupo modular est´a generado por las matrices T=1 1 0 1yS=0−1 1 0 . 1Ver corolario 3.3.5 de [Loz11] 46 CAP´ ITULO 4. FORMAS MODULARES 47 Po tanto, el grupo de transformaciones de M¨obius definido por la acci´on de SL2(Z)en el H est´a generado por las funciones z7→ z+ 1 yz7→ −1 z. Tambi´en ser´a de inter´es la acci´on de ciertos subgrupos de SL2(Z)en el semiplano superior complejo. Dado N≥1entero, estos subgrupos son Γ0(N) = a b c d∈SL2(Z) : c≡0 m´od N,y Γ1(N) = a b c d∈SL2(Z) : c≡0 m´od N, a ≡d≡1 m´od N. Definici´on 4.2. Sea kun entero positivo. Para toda matriz (a b c d )∈SL2(Z), se define el operador [M]k:{f:H → C}→{f:H → C}como (f[M]k) (z) = (cz +d)−kf(M(z)) para todo z∈ H. Observaci´on. Sea kun entero positivo. Si f:H → Ces una funci´on meromorfa, entonces f[M]ktambi´en es meromorfa y tiene los mismos ceros y polos que fpara toda matriz M= ( a b c d )∈SL2(Z), pues cz +d /∈ {0,∞} para todo z∈ H. Definici´on 4.3. Sean Nykenteros positivos. Una funci´on f:H → Cse dice d´ebilmente modular de peso ky nivel Nsi fes meromorfa en Hy verifica (f[M]k) = fpara toda M∈Γ1(N). Observaci´on. Sean Nykenteros positivos. Si fes una funci´on d´ebilmente modular de peso ky nivel N, entonces verifica faz +b cz +d= (cz +d)kf(z)para toda a b c d∈Γ1(N)y para todo z∈ H. Esta condici´on para T= ( 1 1 0 1 )se traduce en f(z+ 1) = f(z)para todo z∈ H. Es decir, si f:H → Ces d´ebilmente modular de peso ky nivel Nentonces fes peri´odica de periodo 1 y admite una expansi´on de Fourier de la forma f(q) = X n∈Z an(f)qn,con q=e2πiz, z ∈ H yan(f)∈C, tambi´en llamada q-expansi´on de f. Definici´on 4.4. Sea f:H → Cuna funci´on d´ebilmente modular de peso ky nivel N. Los coeficientes an(f)se llaman coeficientes de Fourier de f. Adem´as, se dice que CAP´ ITULO 4. FORMAS MODULARES 48 fes holomorfa en ∞si an(f) = 0 para todo n < 0. fse anula en ∞si an(f)=0para todo n≤0. fest´a normalizada si se anula en ∞ya1(f)=1. Definici´on 4.5. Sean Nykenteros positivos. Se dice que f:H → Ces una forma modular de peso ky nivel Nsi 1. fes d´ebilmente modular de peso k, 2. fes holomorfa en H, 3. f[M]kes holomorfa en ∞para toda matriz M∈SL2(Z). Si adem´as f[M]kse anula en ∞para toda M∈SL2(Z), se dice que fes una forma cuspidal de peso ky nivel N. Al conjunto de formas modulares (respectivamente, cuspidales) de peso ky nivel Nlo denotamos Mk(N)(respectivamente, Sk(N)). Es directo comprobar que Mk(N)ySk(N)son espacios vectoriales sobre Cy que Sk(N)es subespacio de Mk(N). Adem´as, son de dimensi´on finita (se puede encontrar la f´ormula de la dimensi´on en el teorema 3.5.1 y en el teorema 3.6.1 de [DS05]) y admiten una descomposici´on como suma directa de subespacios que dependen de caracteres de Dirichlet m´odulo N. Definici´on 4.6. Sean Nykenteros positivos, y εun car´acter de Dirichlet m´odulo N. Se dice que fes una forma modular de peso k, nivel Ny car´acter εsi f∈ Mk(N)y verifica faz +b cz +d=ε(d)(cz +d)kf(z)para toda a b c d∈Γ0(N)y para todo z∈ H. Si adem´as f∈ Sk(N), se dice que fes una forma cuspidal de peso k, nivel Ny car´acter ε. El conjunto de formas modulares (respectivamente, cuspidales) de peso k, nivel Ny car´acter εse denota Mk(N, ε)(respectivamente, Sk(N, ε)). Observaci´on 4.1.La matriz M= ( −1 0 0−1)pertenece a Γ0(N)para todo entero N≥1. Por tanto, dados enteros positivos Nyky un car´acter de Dirichlet εm´odulo N, toda forma modular f∈ Mk(N, ε)verifica que f(z) = f(M(z)) = ε(−1)(−1)kf(z)para todo z∈ H. Esto implica que el espacio Mk(N, ε)es trivial a no ser que ε(−1) = (−1)k, y lo mismo ocurre para Sk(N, ε), al ser un subespacio de Mk(N, ε). Adem´as, se puede probar2que los espacios definidos anteriormente admiten una descomposici´on Mk(N) = M εMk(N, ε)ySk(N) = M εSk(N, ε),(4.1) donde εrecorre los car´acteres de Dirichlet m´odulo N. 2Ver capitulo 4, secci´on 3 de [DS05]. CAP´ ITULO 4. FORMAS MODULARES 49 4.2. Operadores de Hecke Fijemos enteros positivos Nyky un car´acter de Dirichlet ε: (Z/NZ)×→C×. Vamos a definir unos operadores en el espacio de formas cuspidales que preservan la descomposici´on (4.1). Esta secci´on se basa en el cap´ıtulo 5 de [DS05] y la secci´on 4 del cap´ıtulo 4 de [Loz11]. Definici´on 4.7. Dado δ∈(Z/NZ)×, se define el operador diamante ⟨δ⟩:Sk(N)→ Sk(N) como (⟨δ⟩(f)) (z)=(cz +d)−kfaz +b cz +d para alguna matriz (a b c d )∈Γ0(N)tal que d≡δm´od N. Se puede comprobar que el operador diamante no depende de la matriz elegida, luego s´olo depende de δ∈(Z/NZ)×. Adem´as, no es dif´ıcil comprobar de la definici´on que Sk(N, ε) = {f∈ Sk(N) : ⟨δ⟩(f) = ε(δ)(f)para todo δ∈(Z/NZ)×}. Definici´on 4.8. Para cada primo ℓ, se define un operador Tℓ:Sk(N, ε)→ Sk(N, ε), llamado ℓ-´esimo operador de Hecke, como sigue: para toda forma cuspidal f∈ Sk(N, ε)con qexpansi´on f(q) = ∞ X n=1 an(f)qn,con q=e2πiz yz∈ H, se define el operador Tℓcomo Tℓ(f)(q) =            ∞ X n=1 anℓ(f)qn+ε(ℓ)ℓk−1 ∞ X n=1 an(f)qnℓ si ℓ∤N, ∞ X n=1 anℓ(f)qnsi ℓ|N. Definici´on 4.9. Una forma cuspidal f∈ Sk(N, ε)se dice autoforma si fes un autovector para todos los operadores de Hecke Tℓ, simult´aneamente. Observaci´on. Se puede probar que si f∈ Sk(N, ε)es una autoforma normalizada, entonces sus coeficientes de Fourier son enteros algebraicos. Se recomienda ver el teorema 6.5.1 de [DS05] para el caso k= 2 y la observaci´on 3.5.3 de [DI95] para el caso general. 4.3. Formas cuspidales con coeficientes en Fp Fijemos un primo p. En esta secci´on, definiremos el concepto de forma cuspidal con coeficientes en Fp, o forma cuspidal m´odulo p. La idea es, como bien indica el nombre, definirlas a partir de la reducci´on m´odulo pde las formas cuspidales cl´asicas, siempre que tengan coeficientes de Fourier en Z. Utilizaremos la siguiente notaci´on: Nes un entero positivo coprimo con p, y kes un entero tal que k≥2. ε: (Z/NZ)×→F× pes un car´acter verificando ε(−1) = (−1)ksi p= 2. De lo contrario, suponemos que kes par. CAP´ ITULO 4. FORMAS MODULARES 50 Fijamos un par de Q-inclusiones Q,→QpyQ,→C. La primera inclusi´on induce un homomorfismo Z→Fp, que denotaremos x7→ ˜x. Sabemos que εtiene imagen finita y toma valores en las ra´ıces de la unidad de orden φ(N). Consideramos el ´unico homomorfismo ε0: (Z/NZ)×→Z× tal que ] ε0(x) = ε(x)para todo x∈(Z/NZ)×.Este homomorfismo es un car´acter que verifica ε0(−1) = (−1)k. Definici´on 4.10. Una forma cuspidal con coeficientes en Fpde peso k, nivel Ny car´acter ε es una serie formal f= ∞ X n=1 an(f)qn,con an∈Fp, tal que existe una forma cuspidal F∈ Sk(N, ε0)con coeficientes en Zverificando e F=f. Es decir, si An(F)son los coeficientes de Fourier de F, entonces ^ An(F) = an(f)para todo entero n≥1. El conjunto de formas cuspidales con coeficientes en Fpde peso k, nivel Ny car´acter εse denota e Sk(N, ε). Se puede comprobar que3que el conjunto e Sk(N, ε)verifica las siguientes propiedades: e Sk(N, ε)es un Fp-espacio vectorial. La definici´on de e Sk(N, ε)no depende de la elecci´on de la inclusi´on Q,→Qp, luego la dimensi´on de e Sk(N, ε)como Fp-espacio vectorial coincide con la dimensi´on de Sk(N, ε0)como C-espacio vectorial. Esto se sigue de la proposici´on 2.7 de [DS74]. Para todo primo ℓ, el espacio e Sk(N, ε)es invariante por la acci´on de los operadores de Hecke Tℓ:e Sk(N, ε)→e Sk(N, ε), definidos como Tℓ: ∞ X n=1 anqn7→            ∞ X n=1 anℓ(f)qn+ε(ℓ)ℓk−1 ∞ X n=1 an(f)qnℓ si ℓ∤pN, ∞ X n=1 anℓ(f)qnsi ℓ|pN. Si f∈e Sk(N, ε)es una autoforma normalizada, entonces la forma cuspidal asociada F∈ Sk(N, ε0)tambi´en es una autoforma normalizada para todo Tℓcon ℓprimo. Twists de formas cuspidales m´odulo p Katz demuestra lo siguiente en [Kat06]: Proposici´on 4.1. Existe un operador θ:e Sk(N, ε)→e Sk+p+1(N, ε)cuya acci´on en las qexpansiones viene dada por θ: ∞ X n=1 an(f)qn7→ ∞ X n=1 nan(f)qn. 3Ver secci´on 3.1 de [Ser87]. CAP´ ITULO 4. FORMAS MODULARES 51 Observaci´on 4.2.Si f∈e Sk(N, ε), entonces Tℓ(θf) = ℓθ(Tℓ(f)) para todo primo ℓ. Por tanto, si f∈e Sk(N, ε)es una autoforma cuspidal normalizada con coeficientes de Fourier aℓ(f), entonces θf ∈e Sk+p+1(N, ε)es una autoforma cuspidal normalizada con coeficientes de Fourier ℓaℓ(f), para todo primo ℓ. 4.4. Representaciones de Galois asociadas a formas modulares En el cap´ıtulo 3, construimos una representaci´on de Galois m´odulo pa partir de los puntos de p-torsi´on una curva el´ıptica. Otra forma de obtener representaciones de Galois m´odulo p es a partir de autoformas cuspidales m´odulo p. Esto se debe al siguiente teorema: Teorema 4.1 (Deligne).Sean Nun entero positivo coprimo con p,k≥2un entero, y ε: (Z/NZ)×→F× pun car´acter. Sea f∈e Sk(N, ε)una autoforma normalizada con coeficientes de Fourier an(f)para todo n≥1. Entonces, existe una representaci´on de Galois semisimple ρf:GQ→GL2(Fp) tal que para todo primo ℓcon ℓ∤Np, se verifica 1. ρfes no ramificada en ℓ, 2. tr ρf(Frobℓ) = aℓ(f),y 3. det ρf(Frobℓ) = ε(ℓ)ℓk−1. Como ρfes semisimple, las dos ´ultimas propiedades aseguran que ρfes ´unica salvo conjugaci´on, gracias al teorema de Brauer-Nesbitt. Por ello, en las condiciones del teorema anterior, se dice que ρfes la representaci´on asociada a f,o que ρfproviene de f. El teorema 4.1 fue demostrado por Shimura en el caso k= 2. Se puede encontrar una construcci´on expl´ıcita de ρfpara este caso en la secci´on 9.5 de [DS05]. El caso general fue demostrado por Deligne en [Del06]. Observaci´on 4.3.Supongamos las condiciones del teorema anterior. Por el teorema 2.3, podemos extender ε: (Z/NZ)×→F× pa un car´acter ε:GQ→F× p. Por tanto, teniendo en cuenta que χp(Frobℓ) = ℓpara todo primo ℓ=p, la propiedad 3 del teorema anterior equivale a det ρf(Frobℓ) = ε(Frobℓ)χk−1 p(Frobℓ)para todo ℓ∤Np. Por el teorema 2.1, esto equivale a det ρf=εχk−1 p. El punto anterior implica que ρfes impar. En efecto, viendo εcomo un car´acter ε: (Z/NZ)×→F× p, tenemos que ε(−1) = (−1)k, por la observaci´on 4.1. Viendo εcomo ε:GQ→F× p, tenemos que ε(c) = (−1)k, donde cdenota la conjugaci´on compleja. En efecto, como ζN c 7−→ ζ−1 N, la imagen de cbajo el isomorfismo (2.1) es −1. De manera similar, ζp c 7−→ ζ−1 p, luego χp(c) = −1. Concluimos que ρfes impar, pues det ρf(c) = ε(c)χk−1 p(c) = (−1)k(−1)k−1=−1. CAP´ ITULO 4. FORMAS MODULARES 52 Fijemos para el resto de la secci´on una autoforma normalizada f∈e Sk(N, ε)en las condiciones del teorema 4.1, y denotemos ρf, p a la representaci´on local de ρfen p, despu´es de fijar una Q-inclusi´on Q,→Qp. Los siguientes resultados ser´an de gran utilidad para motivar la definici´on del peso en la conjetura de modularidad de Serre. Teorema 4.2 (Fontaine).Supongamos que 2≤k≤p+ 1. Si ap(f) = 0, entonces ρf, p es irreducible, y ρf, p|Ip∼ =ψ′k−10 0ψk−1, siendo ψ, ψ′los caracteres fundamentales de nivel 2. Este teorema fue demostrado por Fontaine en dos cartas enviadas a Serre en 1979, pero la demostraci´on nunca lleg´o a publicarse. Se puede encontrar una demostraci´on en la secci´on 6 de [Edi92]. Proposici´on 4.2. Sea ρθf la representaci´on de Galois de m´odulo pasociada a la autoforma normalizada θf ∈e Sk+p+1(N, ε). Entonces, ρθf ∼ =χp⊗ρf. Demostraci´on. Sea ℓun primo tal que ℓ∤Np. Por el teorema 4.1 y por la observaci´on 4.2, ρθf es una representaci´on de Galois semisimple tal que tr ρθf (Frobℓ) = ℓaℓ(f)ydet ρθf (Frobℓ) = ε(ℓ)ℓk+p. Por otro lado, teniendo en cuenta que χp(Frobℓ) = ℓpara todo primo ℓ=p, tenemos que tr(χp⊗ρf)(Frobℓ) = χp(Frobℓ)aℓ(f) = ℓaℓ(f), det(χp⊗ρf)(Frobℓ) = ε(ℓ)χ2 p(Frobℓ)ℓk−1=ε(ℓ)ℓ2ℓk−1=ε(ℓ)ℓk+p. Por el teorema 4.1,ρfes semisimple y por tanto χp⊗ρftambi´en. Como ρθf es semisimple, concluimos por el teorema 2.2 que ρθf ∼ =χp⊗ρf, como quer´ıamos. Teorema 4.3 (Deligne).Supongamos que 2≤k≤p+ 1. Si ap(f)= 0, entonces ρf, p es reducible, y ρf, p|Ip∼ =χk−1 p∗ 0 1. Demostraci´on. Ver [Gro90]. En todos estos teoremas, hemos supuesto que 2≤k≤p+ 1. Esto no es restrictivo gracias al siguiente resultado: Proposici´on 4.3. Sea f∈e Sk(N, ε)una autoforma. Existen enteros iyk′tales que 0≤i≤p−1y2≤k′≤p+ 1, y existe una autoforma g∈e Sk′(N, ε)de modo que fyθigtienen los mismos autovalores para todo Tℓ, con ℓprimo distinto de p. Demostraci´on. Ver teorema 3.4 de [Edi92]. La conjetura de modularidad de Serre 5 Hemos visto en el cap´ıtulo anterior que gracias al teorema de Deligne podemos obtener una representaci´on de Galois GQ→GL2(Fp)a partir de una autoforma cuspidal con coeficientes en Fp. Rec´ıprocamente, dada una representaci´on de Galois ρ:GQ→GL2(Fp), es natural preguntarse bajo qu´e condiciones ρest´a asociada a una autoforma cuspidal con coeficientes en Fp. Esta cuesti´on la resuelve la conjetura de modularidad de Serre en su versi´on d´ebil: Teorema 5.1 (Conjetura de modularidad de Serre, versi´on d´ebil).Dada una representaci´on de Galois impar e irreducible ρ:GQ→GL2(Fp), existe una autoforma cuspidal normalizada fcon coeficientes en Fptal que ρ∼ =ρf,siendo ρfla representaci´on de Galois asociada a f. Ahora bien, si ρes una representaci´on de Galois en las condiciones de este teorema, no se puede garantizar la unicidad de la autoforma de la que proviene ρ. Sin embargo, en [Ser87], Serre define un nivel N(ρ), un peso k(ρ)y un car´acter ε(ρ)asociados a ρ, de modo que N(ρ)yk(ρ)son ´optimos en el siguiente sentido: para toda autoforma cuspidal normalizada g∈e Sk(N, ε)tal que p∤N,k≥2yρ∼ =ρg, se verifica N(ρ)|Nyk≥k(ρ). Con estos par´ametros, podemos dar una versi´on m´as fuerte del teorema 5.1: Teorema 5.2 (Conjetura de modularidad de Serre, versi´on fuerte).Dada una representaci´on de Galois impar e irreducible ρ:GQ→GL2(Fp), existe una autoforma cuspidal normalizada fde nivel N(ρ), peso k(ρ)y car´acter ε(ρ)con coeficientes en Fptal que ρ∼ =ρf, siendo ρfla representaci´on de Galois asociada a f. La conjetura de modularidad de Serre fue demostrada para el caso de N(ρ) = 1 y para pesos peque˜nos por Chandrashekhar Khare y Jean-Pierre Wintenberger en [KW04], y de manera independiente por Luis Dieulefait en [Die07]. En [Kha06], Khare la demostr´o para el caso N(ρ)=1, y finalmente fue demostrada en su totalidad por Khare y Wintenberger en [KW09a] y [KW09b]. Este cap´ıtulo lo dedicamos a la construcci´on del nivel N(ρ), el peso k(ρ)y el car´acter ε(ρ), siguiendo el art´ıculo original de Serre [Ser87] y el art´ıculo de Bas Edixhoven [Edi92]. Para el resto del cap´ıtulo, denotamos Aut(V) = AutFp(V)y fijamos: Una representaci´on de Galois ρ:GQ→Aut(V)∼ =GL2(Fp),siendo Vun Fp-espacio vectorial de dimensi´on 2. Para todo primo entero ℓ, una Q-inclusi´on ιℓ:Q,→Qℓ. As´ı, cada ιℓinduce una inclusi´on ι∗ ℓ:GQℓ,→GQdada por σ7→ σ|Q. 53 CAP´ ITULO 5. LA CONJETURA DE MODULARIDAD DE SERRE 60 Definici´on 5.5. Si los caracteres ϕ1yϕ2son de nivel 1 y ρpes moderada, se define el peso de Serre asociado a ρcomo k(ρ) = (1 + pa +bsi (a, b)= (0,0), psi (a, b) = (0,0). Observaci´on. Notemos que si a=b= 0 entonces k(ρ)ser´ıa 1 seg´un la primera f´ormula, pero el teorema 4.1 s´olo considera autoformas con peso mayor o igual que 2. 5.3.3. Caso ordinario salvaje Supongamos que ρp(Iwild p)={id}. Por la proposici´on 2.1,VIwild pyV/V Iwild pson espacios invariantes por la acci´on de GQp. Sabemos que VIwild p={0}por el lema 2.1, y como V= VIwild p, entonces necesariamente dim VIwild p= 1. Se sigue que dim V/V Iwild p= 1 tambi´en. En otras palabras, GQpact´ua en cada espacio como un car´acter, y podemos expresar ρp=θ2∗ 0θ1,siendo θ1, θ2:GQp→F× pdos caracteres. Como θ1yθ2son irreducibles, entonces son moderados por la proposici´on 2.5, e inducen dos caracteres γ1, γ2:Itame p→F× p tales que γi(Itame p) = θi(Ip)para i= 1,2. Lema 5.3. Los caracteres γ1yγ2son de nivel 1. Demostraci´on. Sea s= Frobp∈GQp. Para i= 1,2, la imagen de γies abeliana, luego se sigue de la proposici´on 1.18 que γi(u) = γi(sus−1) = γp i(u)para todo u∈Itame p. Concluimos que γies un car´acter de nivel 1 para i= 1,2. Por el lema anterior, para todo σ∈Ip, se verifica que θ1(σ) = γ1([σ]) = χα([σ]) yθ2(σ) = γ2([σ]) = χβ([σ]),con α, β ∈Z/(p−1)Z, donde [σ]denota la clase de σen Itame p, y por tanto, ρp|Ip=χβ∗ 0χα,con α, β ∈Z/(p−1)Z. Elegimos representantes de αyβtales que 0≤α≤p−2y1≤β≤p−1.Para definir el peso k(ρ), distinguimos los siguientes casos: Caso β=α+ 1 Razonamos igual en el caso ordinario moderado. Es decir, se define el peso de Serre asociado a ρcomo k(ρ) = 1 + pa +b, siendo a= m´ın{α, β}yb= m´ax{α, β}. CAP´ ITULO 5. LA CONJETURA DE MODULARIDAD DE SERRE 61 Observaci´on. Los representantes αyβse han elegido as´ı para que en el caso χα=χβ= 1 tengamos que elegir α= 0 yβ=p−1, y as´ı obtener k(ρ) = pen lugar de k(ρ) = 1. Caso β=α+ 1 Ahora, la acci´on de Ipen Vviene dada por ρp|Ip=χα+1 ∗ 0χα=χα⊗χ∗ 0 1.(5.7) Por tanto, no est´a claro si la autoforma asociada a la representaci´on antes de hacer el twist por χαtiene peso 2 o p+ 1, pues χ2=χp+1. Para determinarlo, estudiaremos el cociente ρp(Ip)/ρp(Iwild p). Por la proposici´on 2.5,χes moderado, luego ρp|Iwild p=1∗ 0 1. Por otro lado, sea K=Qker ρp pQunr p, y sea Ktla m´axima subextensi´on moderada de K/Qunr p, es decir, Kt=K∩Qtame p. Observemos que, por el teorema 2.2,Qker ρp p/Qpes una extensi´on finita de Galois. Por tanto, los resultados de la secci´on 1.4 y el teorema 1.3 implican que K/Qunr pyK/Ktson extensiones finitas de Galois tales que ρp(Ip)∼ =Gal(K/Qunr p)yρp(Iwild p)∼ =Gal(K/Kt), Tenemos el siguiente diagrama de extensiones y sus correspondientes grupos de Galois: K ρp(Iwild p) ρp(Ip)Kt Qunr p Lema 5.4. El cociente ρp(Ip)/ρp(Iwild p)es isomorfo a (Z/pZ)×. Demostraci´on. Como χ(Itame p) = F× p, entonces ρp(Ip)⊂zα+1 ∗ 0zα∈GL2(Fp) : z∈F× p. Consideramos el homomorfismo δ:ρp(Ip)→(Z/pZ)×definido por zα+1 ∗ 0zα7→ zα+1 zα. Dado que toda matriz de ρp(Ip)es de la forma χα+1(σ)∗ 0χα(σ)con σ∈Itame p, CAP´ ITULO 5. LA CONJETURA DE MODULARIDAD DE SERRE 62 entonces δ(ρp(Ip)) = χ(Itame p), y deducimos que δes sobreyectivo. Veamos que ker δ= ρp(Iwild p). En efecto, M∈ker δsi y s´olo si M=zα+1 ∗ 0zαcon z∈F× pyδ(M) = z= 1 ∈F× p. Equivalentemente, la diagonal de Mes (1,1), y por tanto M∈ρp(Iwild p). Concluimos que ker δ=ρp(Iwild p). Finalmente, por el primer teorema de isomorf´ıa de Noether, ρp(Ip)/ker δ=ρp(Ip)/ρp(Iwild p)∼ =(Z/pZ)×, como quer´ıamos. El lema anterior junto con el teorema de correspondencia de Galois implican que ρp(Ip)/ρp(Iwild p)∼ =Gal(Kt/Qunr p)∼ =(Z/pZ)×.(5.8) Por otro lado, ζp∈Qtame p, luego ζp∈Kt. Adem´as, como [Kt:Qunr p] = p−1por (5.8), entonces Kt=Qunr p(ζp). Dado que ρp(Iwild p)es un grupo de orden una potencia de p, abeliano y finito, entonces ρp(Iwild p)∼ =Z/pZ×···× | {z } mveces Z/pZ, y por tanto Kse obtiene como el compositum de mextensiones c´ıclicas de Ktde grado p. Aplicando mveces el teorema central de la teor´ıa de Kummer4, se sigue que existen x1, . . . , xm∈Kttales que K=Ktx1/p 1, . . . , x1/p mcon pm= [K:Kt]. De hecho, si denotamos K0=Qunr py teniendo en cuenta que Kt=K0(ζp), siempre podemos tomar xien K× 0/(K× 0)ppara todo i= 1, . . . , m. Sin embargo, para poder probar esto, se necesitan algunos resultados de cohomolog´ıa de Galois que est´an fuera del alcance de este trabajo. A´un as´ı, la explicaci´on de este hecho se puede encontrar en el siguiente post: [mar]. Definici´on 5.6. En las condiciones anteriores, se dice que ρpes poco ramificada si vp(xi)≡0 m´od ppara todo i= 1, . . . , m, donde vpdenota la extensi´on de vpaK0. De lo contrario, se dice que ρpes muy ramificada. Teorema 5.3 (Mazur).Para todo primo p= 2, sea f∈e Sp+1(N, ε)una autoforma tal que la representaci´on asociada ρfes irreducible. Entonces, ρf|GQpes muy ramificada. 4Este teorema es el siguiente: Sean nun entero positivo, y Kun cuerpo cuya caracter´ıstica no divida a ny tal que ζn∈K. Si L/K es una extensi´on de Galois tal que Gal(L/K)es c´ıclico de orden n, entonces L=K(n √c)para alg´un c∈K. CAP´ ITULO 5. LA CONJETURA DE MODULARIDAD DE SERRE 63 Demostraci´on. Ver teorema 2.8 de [Edi92]. Por (5.7), tenemos que ρp|Ip=χα⊗ρ′ p|Ip, donde ρ′ p|Ip=χ∗ 0 1. Supongamos que ρproviene de una autoforma cuspidal f, y por tanto, ρ′ p|Ipes la restricci´on aIpde la representaci´on asociada a una autoforma cuspidal f′. Se define peso de Serre k(ρ) asociado a ρcomo sigue: 1. Si ρpes muy ramificada y p= 2, el teorema de Mazur sugiere que f′tiene peso p+ 1. Por tanto, se define k(ρ)=(p+ 1) + α(p+ 1) = (α+ 1)(p+ 1). 2. Si ρpes muy ramificada y p= 2, el peso de f′deber´ıa ser 3 seg´un el razonamiento anterior, pero no existen tales autoformas. En este caso, se define k(ρ) = 4. 3. Por ´ultimo, si ρpes poco ramificada, entonces f′tendr´ıa peso 2, y se define k(ρ) = 2 + α(p+ 1). Ejemplo y ´ultimo teorema de Fermat 6 6.1. Ejemplo num´erico Sea Kel cuerpo de descomposici´on sobre Qdel polinomio g(x) = x4−4x2+ 5.Este polinomio es irreducible sobre Qpor el criterio de Eisenstein, y como la ecuaci´on g(x) = 0 es bicuadrada, obtenemos f´acilmente las ra´ıces de g, que son α1=√2 + i, α2=√2−i, α3=−α1, α4=−α2. Por tanto, K=Q(α1, α2). Calculemos el grupo de Galois G= Gal(K/Q). Tenemos las extensiones de cuerpos Q⊂Q(α1)⊂K. Como ges irreducible, entonces [Q(α1) : Q]=4, y como α1α2=√5, se sigue que [K: Q(α1)] ≤2. Adem´as, todo automorfismo de Ktal que α17→ αj, debe verificar α37→ −αj, para j∈ {1,2,3,4}. Por tanto, G⊂D8, siendo D8el grupo di´edrico de orden 8 generado por las permutaciones (α1, α2)σ 7−→ (α2,−α1)y(α1, α2)τ 7−→ (α1,−α2). En particular, Gs´olo puede ser D8,C4=⟨σ⟩oC2×C2=⟨σ2, τ⟩, donde Cndenota el grupo c´ıclico de orden n, para todo entero positivo n. Veamos que G=D8. En efecto, consideremos el subgrupo H=⟨σ2⟩ ⊂ D8, y observemos que Htambi´en es subgrupo de C4y de C2×C2. Por tanto, σ2se extiende a un automorfismo de Ktal que (α1, α2)σ2 7−→ (−α1,−α2), y podemos considerar el cuerpo fijo KH. Notemos que σ2fija α2 1= 2+iyα1α2=√5, luego Q(√5,2 + i) = Q(√5, i)⊂KH, y tenemos las extensiones de cuerpos Q⊂Q(√5, i)⊂KH⊂K, Dado que [Q(√5, i) : Q]=4y[K:KH] = 2, entonces [K:Q] = 8, y concluimos que G=D8=⟨σ, τ⟩. Vamos a construir una representaci´on de Galois ρ:GQ→GL2(Fp), siendo pun primo no ramificado en K/Q. El discriminante de Kes ∆K= 216 ·54, luego K/Qes no ramificada en todo primo ptal que p /∈ {2,5}. Por ejemplo, tomemos p= 3. Definimos el homomorfismo G→GL2(F3) dado por σ7→ 0 1 −1 0, τ 7→ 0 1 1 0. 64 CAP´ ITULO 6. EJEMPLO Y ´ ULTIMO TEOREMA DE FERMAT 65 As´ı, obtenemos una representaci´on de Galois irreducible ρ:GQ→G→GL2(F3). Despu´es de fijar una Q-inclusi´on Q,→C, podemos considerar la conjugaci´on compleja c∈GQ, que se restringe a un automorfismo en K. Observemos que (α1, α2)c 7−→ (α2, α1), luego c=σ◦τ, y por tanto ρ(c) = 1 0 0−1. Concluimos que ρes impar pues det ρ(c) = −1. Por tanto, podemos aplicar la conjetura de modularidad de Serre a la representaci´on ρ. Vamos a calcular N(ρ),k(ρ)yε(ρ). Para hallar N(ρ), calculamos con SageMath el u-´esimo grupo de ramificaci´on Gℓ,u con numeraci´on baja para ℓ∈ {2,5}y para u≥0. Para ℓ= 2, obtenemos: G2,0∼ =G2,1∼ =C2×C2, G2,2∼ =G2,3∼ =C2,yG2,4={id}. Los subespacios de V=F2 3fijos por estos grupos son: V2,0=V2,1=V2,2=V2,3={0} Por tanto, n(2, ρ) = 4 X u=0 dim(V/V2,u) [G2,0:G2,u]= 6. An´alogamente, para ℓ= 5, obtenemos: G5,0∼ =C2, G5,1={id},yV5,0=⟨(0,1)⟩, y se sigue que n(5, ρ) = dim(V/V5,0)=2−dim(V5,0)=1. Concluimos que N(ρ)=26·5 = 320. Adem´as, como ρes no ramificada en p= 3, estamos en el caso ordinario moderado del cap´ıtulo anterior, y por tanto, k(ρ)=3. Como la imagen de det ρes F× 3∼ =(Z/2Z), entonces ε(ρ)es un car´acter de Dirichlet ε: (Z/320Z)×→F× 3 de orden 2. Sea ε0: (Z/320Z)×→Z×el ´unico car´acter tal que ] ε0(x) = ε(x)para todo x∈(Z/320Z)×, donde z7→ ezdenota el homomorfismo reducci´on Z→F3. Sea f∈e S3(320, ε)la autoforma normalizada asociada a ρ, y denotemos an(f)a sus coeficientes de Fourier. Para hallar las autoformas en S3(320, ε0)cuyos coeficientes de Fourier est´an en Zy tales que ε0tiene orden 2, utilizaremos la base de datos [LMFDB]. Una b´usqueda revela que hay 15 autoformas con estas caracter´ısticas. Veamos cu´al de ellas se corresponde con f. CAP´ ITULO 6. EJEMPLO Y ´ ULTIMO TEOREMA DE FERMAT 66 Para ello, supongamos que ℓes un primo tal que l=ℓOKse descompone totalmente en K/Q. Entonces, el cuerpo de residuos klcoincide con Fℓ, y por tanto, ρ(Frobℓ) = id. En particular, tr ρ(Frobℓ)=2, y por el teorema 4.1, tr ρ(Frobℓ) = aℓ(f) = 2 en F3. Los primeros siete primos ℓtales que lse descompone totalmente en K/Qson D={61,89,109,149,269,389,401}. Por tanto, de las 15 autoformas mencionadas anteriormente, podemos descartar toda autoforma Ftal que aℓ(F)≡ 2 m´od 3 para todo ℓ∈D, donde aℓ(F)denota el ℓ-´esimo coeficiente de Fourier de F. Una b´usqueda en la [LMFDB], revela que podemos descartar todas las autoformas salvo la que tiene etiqueta 320.3.h.e, cuya q-expansi´on es F(q) = 4q+ 4q5−4q9−96q21 −92q25 + 88q29 + 88q41 −4q45+ 92q49 −184q61 −192q65 + 288q69 −284q81 −384q85 + 584q89 +O(q100). La reducci´on m´odulo 3de los coeficientes de Fourier de Fnos da la q-expansi´on de f: f(q) = q+q5−q9+q25 −2q29 −2q41 −q45 −q49 + 2q61 +q81 + 2q89 +O(q100).(6.1) En realidad, es posible modificar la definici´on de formas cuspidales m´odulo un primo p, de modo que podemos considerar autoformas de peso 1. Para ver la definici´on, se puede consultar la secci´on 2 de [Edi92]. Con esta definici´on, el peso de Serre en este ejemplo ser´ıa k(ρ)=1. En efecto, la autoforma con etiqueta 320.1.h.a tiene nivel 320, peso 1 y car´acter ε0de orden 2, y su q-expansi´on es exactamente la de (6.1). En particular, la reducci´on m´odulo 3 de sus coeficientes de Fourier coincide con los coeficientes de Fourier de f. Por ´ultimo, cabe destacar que este es un ejemplo de congruencia entre dos autoformas, una teor´ıa que juega un papel central en la demostraci´on de la conjetura de modularidad de Serre. 6.2. ´ Ultimo teorema de Fermat Teorema 6.1 (´ Ultimo teorema de Fermat).Para todo entero n≥3, la ecuaci´on xn+yn=zn(6.2) no tiene soluciones enteras no triviales.1 1Una soluci´on no trivial es una soluci´on (a, b, c)de (6.2) tal que abc = 0. CAP´ ITULO 6. EJEMPLO Y ´ ULTIMO TEOREMA DE FERMAT 67 Seg´un [Rib08], el caso n= 3 fue demostrado por Leonard Euler en 1770, y el caso n= 4 fue demostrado por el propio Fermat, aproximadamente en 1670. Por ello, podemos suponer que n≥5. Veamos que adem´as podemos suponer que nes primo. En efecto, existen tres posibilidades: o bien 3|n, o bien 4|n, o bien p|n, siendo pun primo mayor o igual que 5. En el primer caso, existe un entero ktal que n= 3k. Si existiera una soluci´on entera no trivial (a, b, c)de (6.2), entonces (ak, bk, ck)es una soluci´on entera no trivial de la ecuaci´on x3+y3=z3, lo cual es absurdo. Si 4|n, se razona de manera an´aloga. Aplicando el mismo argumento para el caso p|n, se deduce que basta probar el teorema cuando n=p, siendo pun primo mayor o igual que 5. Por reducci´on al absurdo, supongamos que (a, b, c)es una soluci´on entera no trivial de la ecuaci´on xp+yp=zp,con p≥5primo.(6.3) Como la ecuaci´on (6.3) es homog´enea, podemos suponer que a, b, c son coprimos dos a dos. Adem´as, uno de ellos debe ser necesariamente par. Sin p´erdida de generalidad, podemos suponer que bes par, que aycson impares y que a≡ −1 m´od 4. Definimos las cantidades A=ap, B =bp,yC=cp, y consideramos la curva el´ıptica racional E:y2=x(x−A)(x+B). El discriminante de Ees ∆E= 16(ABC)2, y c4= 16(A2+AB +B2). Lema 6.1. La curva el´ıptica Ees semiestable. Demostraci´on. Sea ℓ≥3un primo tal que ℓ|∆E. Si ℓ|Aoℓ|B, entonces ℓ∤c4, pues gcd(A, B) = 1. Por tanto, Etiene mala reducci´on multiplicativa en ℓ. Si ℓ|C, entonces C=A+B≡0 m´od ℓ, luego c4≡16A2m´od ℓ. Por tanto, ℓ∤c4, y concluimos que Etiene mala reducci´on multiplicativa en ℓ. Si ℓ= 2, el cambio de variable (x, y)7→ (4x, 8y+ 4x),produce el siguiente modelo de Weierstrass para E: E′:y2+xy =x3+B−A−1 4x2−AB 16 x. Dado que A=ap≡ −1 m´od 4 y que B=bp≡0 m´od 32, los coeficientes del modelo anterior son enteros. Adem´as, ∆E′=∆E 212 =(ABC)2 28yc′ 4=c4 24=A2+AB +B2. En particular, 2|∆E′y2∤c′ 4, luego Etiene mala reducci´on multiplicativa en ℓ= 2. CAP´ ITULO 6. EJEMPLO Y ´ ULTIMO TEOREMA DE FERMAT 68 A continuaci´on, consideramos la representaci´on de Galois ρE,p :GQ→GL2(Fp) asociada a los puntos E[p]de p-torsi´on de E. Proposici´on 6.1. La representaci´on ρE,p es irreducible. Demostraci´on. Los puntos de 2-torsi´on de Eson E[2] = {(0,0),(−A, 0),(B, 0)}∪{OE}, y todos ellos son racionales. Por tanto, E(Q)tors tiene orden divisible por 4. Por reducci´on al absurdo, supongamos que ρE,p es reducible. Entonces, por el teorema 3.4 y el lema anterior, Eo una curva el´ıptica E′que es Q-is´ogena a Etiene un punto de p-torsi´on racional. En el primer caso, E(Q)tors tiene orden divisible por p≥5, luego E(Q)tors tiene orden al menos 4p≥20. Esto es absurdo por el teorema de torsi´on de Mazur. En el segundo caso, E′tiene un punto de p-torsi´on racional, y se razona igual que en el caso anterior, teniendo en cuenta que E′(Q)tors ∼ =E(Q)tors. Por otro lado, la representaci´on ρE,p es impar por la proposici´on 3.7. Entonces, podemos aplicar la conjetura de modularidad de Serre. Comenzamos calculando el nivel de Serre N(ρE,p). Sea ℓ=pun primo. En primer lugar, supongamos que Etiene buena reducci´on en ℓ. Entonces, por la proposici´on 3.6,ρE,p es no ramificada en ℓ, y por tanto, n(ℓ, ρE,p) = 0. Por otro lado, supongamos que Etiene mala reducci´on multiplicativa en ℓ, y supongamos que ℓ /∈ {2, p}. Entonces, ℓ|∆Ey por tanto, ℓ|abc. De aqu´ı se sigue que vℓ(∆E) = vℓ2−8(abc)2p= 2pvℓ(abc), y como vℓ(abc)>0, entonces vℓ(∆E)≡0 m´od p. Por el teorema 3.7, esto equivale a que ρE,p sea no ramificada en ℓ, y por tanto, n(ℓ, ρE,p) = 0. Es decir, el ´unico primo que aparece en el nivel de Serre N(ρE,p)es 2. Se puede comprobar2 que n(2, ρE,p) = 1, y por tanto, el nivel de Serre asociado a ρE,p es N(ρE,p) = 2. El car´acter de Serre asociado a ρE,p es ε(ρE,p) = 1. Esto se debe a que det ρE,p =χp, por la proposici´on 3.7. Por ´ultimo, el peso de Serre k(ρE,p)viene dado por el siguiente teorema. Teorema 6.2. Sea E/Quna curva el´ıptica semiestable. Si Etiene buena reducci´on en p, entonces k(ρE,p) = 2. Si Etiene mala reducci´on multiplicativa en p, entonces k(ρE,p) = (2si vp(jE)≡0 m´od p, p+ 1 si no. Demostraci´on. Ver proposici´on 5 de [Ser87]. 2Ver teorema 2.15d) de [DDT95]. CAP´ ITULO 6. EJEMPLO Y ´ ULTIMO TEOREMA DE FERMAT 69 Veamos que k(ρE,p)=2. Por el teorema anterior, basta suponer que Etiene mala reducci´on multiplicativa en py demostrar que vp(jE)≡0 m´od p. El j-invariante de Ees jE=28(C2−AB)3 (ABC)2. Si Etiene mala reducci´on en p, entonces p|∆E, luego p|abc. Se puede comprobar que p∤C2−AB, luego vp(jE) = −vp(ABC)2=−vp(abc)2p=−2pvp(abc), y como vp(abc)>0, entonces vp(jE)≡0 m´od p. Por tanto, el peso de Serre asociado a ρE,p es k(ρE,p) = 2. Sin embargo, no existe ninguna autoforma en e S2(2,1), lo que concluye la demostraci´on del ´ultimo teorema de Fermat. CAP´ ITULO A. AP´ ENDICE 76 Demostraci´on. Sean I⊂ Ovun ideal no nulo, y x∈Iun elemento no nulo tal que v(x)≤ v(y)para todo y∈I. Si v(x) = n, entonces x=uπncon u∈ O× vynentero, por el lema anterior. Por tanto, πnOv⊂I. Rec´ıprocamente, sea y=επm∈Icon ε∈ O× vymentero. Entonces, m=v(y)≥n, y por tanto, y= (επm−n)πn∈πnOv. Concluimos que I=πnOv. Por ´ultimo, el isomorfismo Mn v/Mn+1 v∼ =Ov/Mvpara todo entero n≥0,se sigue de la correspondencia aπn7→ am´od Mv. Proposici´on A.6 (Criterio de Eisenstein).Sea Kun cuerpo, y vuna valoraci´on discreta en K. Sea ϕ(x) = xn+an−1xn−1+···+a1x+a0∈ Ov[x]un polinomio tal que ai∈Mvpara todo i= 0, . . . , n −1ya0/∈M2 v. Entonces, ϕ(x)es irreducible en Ov[x]y en K[x]. Demostraci´on. Ver lema 11.2 de [Sut21]. Completaci´on de un cuerpo respecto de un valor absoluto Dado un valor absoluto |·|en un cuerpo K, podemos obtener un cuerpo completo replicando la construcci´on de Ra partir de Q. Este procedimiento se llama completaci´on de Krespecto de |·|. Describiremos en qu´e consiste sin profundizar en los detalles, siguiendo la secci´on 4 del cap´ıtulo II de [Neu13]. Definici´on A.16. Sean Kun cuerpo, |·| un valor absoluto en K, y {xn}n∈N⊂Kuna sucesi´on. Se dice que {xn}n∈Nes una sucesi´on de Cauchy respecto de |·| si para todo ε > 0 existe un natural n0tal que |xn−xm|< ε para todo n, m ≥n0. Definici´on A.17. Un cuerpo Kse dice completo respecto de un valor absoluto |·| si toda sucesi´on de Cauchy respecto de |·| definida en Kconverge a un elemento de K. Es decir, si para toda sucesi´on {xn}n∈N⊂Kde Cauchy respecto de |·|, existe x∈Ktal que l´ım n→∞ |x−xn|= 0. Consideramos el anillo Cde las sucesiones de Cauchy respecto de |·| definidas en K, y el ideal maximal m⊂ C formado por las sucesiones {xn}n∈N∈ C tales que l´ımn→∞ |xn|= 0. Definici´on A.18. Se define la completaci´on de Krespecto del valor absoluto |·| como el cuerpo b K=C/m. Notemos que Kest´a inclu´ıdo en b Kmediante el homomorfismo que env´ıa un elemento x∈K a la clase de la sucesi´on constante (x, x, x, . . . ). Adem´as, |·| se extiende por continuidad a un valor absoluto en ˆ K, dado por l´ım n→∞ xn= l´ım n→∞ |xn|para toda sucesi´on {xn}n∈N∈ C, y ser´a habitual llamarlo extensi´on de |·| ab K. CAP´ ITULO A. AP´ ENDICE 77 Al igual que en la construcci´on de Ra partir de Q, se puede verificar que b Kes un cuerpo completo respecto del valor absoluto can´onico en b K, y que todo elemento de b Kes el l´ımite de una sucesi´on de Cauchy respecto de |·| definida en K. Es decir, Kes denso en b K. Tambi´en se tiene la unicidad de b Ksalvo isometr´ıa. Supongamos adem´as que |·| es un valor absoluto no arquimediano y que ves cualquier valoraci´on definida a partir de |·|. Entonces, vtambi´en se extiende a una valoraci´on en b K por continuidad, dada por ˆvl´ım n→∞ xn= l´ım n→∞ v(xn)para toda sucesi´on {xn}n∈N∈ C. Tambi´en ser´a habitual referirnos a ˆvcomo la extensi´on de vab K. Proposici´on A.7. Sean b Kla completaci´on de un cuerpo Krespecto de un valor absoluto no arquimediano |·|,vuna valoraci´on definida a partir de |·|, y ˆvla extensi´on de vab K. Entonces, v(K×) = ˆv(b K×). Demostraci´on. Basta probar que si {xn}n∈N∈ C es tal que l´ımn→∞ xn=x∈b Kcon x= 0, entonces existe un natural n0tal que la sucesi´on {v(xn)}n∈Nes constante para todo n≥n0. En efecto, {xn}n∈Nconverge a xsi y s´olo si para todo ε > 0existe un natural n0tal que |xn−x|< ε para todo n≥n0. Tomando ε≤ |x|, tenemos que ˆv(x)<ˆv(xn−x)para todo n≥n0. Por tanto, por la propiedad ultram´etrica, v(xn) = ˆv(xn−x+x) = m´ın{ˆv(xn−x),ˆv(x)}= ˆv(x)para todo n≥n0, concluyendo el resultado. En las condiciones de la proposici´on anterior, deducimos que si ves discreta y normalizada entonces ˆvtambi´en es discreta y normalizada. Si ves discreta, el anillo e ideal de valoraci´on de b Kson, respectivamente, b Ov={x∈b K: ˆv(x)≥0}y ˆ Mv={x∈b K: ˆv(x)>0}, y se puede probar que OvyMvson densos en b Ovy en ˆ Mv, respectivamente. Proposici´on A.8. Sean Kun cuerpo, vuna valoraci´on discreta normalizada en K, y πun uniformizante en K. Entonces, πes generador de ˆ Mven b Ov. Adem´as, b Ov/ ˆ Mn v∼ =Ov/Mn vpara todo entero n≥1. Demostraci´on. Ver p´agina 126, proposici´on (4.3) de [Neu13] y p´agina 116, lema 7.25 de [Mil08]. Una propiedad importante que satisfacen los cuerpos completos respecto de un valor absoluto no arquimediano es el lema de Hensel: CAP´ ITULO A. AP´ ENDICE 78 Teorema A.2 (Lema de Hensel).Sean Kun cuerpo completo respecto de un valor absoluto no arquimediano |·|,vuna valoraci´on definida a partir de |·|, y ϕ(x)∈ Ov[x]un polinomio tal que ϕ(x)≡ 0 m´od Mv. Denotemos kval cuerpo de residuos de (K, v), y denotemos e ϕ(x) = ϕ(x) m´od Mv. Supongamos que e ϕ(x)admite una factorizaci´on e ϕ(x) = eg(x)eh(x) en polinomios eg(x),eh(x)∈kv[x]coprimos entre s´ı. Entonces, ϕ(x)admite una factorizaci´on ϕ(x) = g(x)h(x) en polinomios g(x), h(x)∈ Ov[x]tales que deg g= deg eg, y g(x)≡eg(x) m´od Mv,yh(x)≡eh(x) m´od Mv. Demostraci´on. Ver p´agina 129, teorema (4.6) de [Neu13]. Corolario A.2. Sean Kun cuerpo completo respecto de un valor absoluto no arquimediano |·|,vuna valoraci´on definida a partir de |·|, y ϕ(x)∈ Ov[x]un polinomio m´onico. Si eα∈kv es una ra´ız simple de e ϕ(x), entonces existe una ra´ız α∈ Ovde ϕ(x)tal que α≡eαm´od Mv. Extensiones de cuerpos completos Definici´on A.19. Sea L/K una extensi´on algebraica de cuerpos y sean |·|Ky|·|Lvalores absolutos en KyL, respectivamente. Se dice que |·|Lextiende |·|KaLo que |·|Kse extiende a |·|Len Lsi |x|L=|x|Kpara todo x∈K. An´alogamente, si vKyvLson valoraciones en KyLrespectivamente, se dice que vLextiende vKaLo que vKse extiende a vLen Lsi vL(x) = vK(x)para todo x∈K. Teorema A.3. Sea Kun cuerpo completo respecto de un valor absoluto |·|K. Sea L/K una extensi´on finita de grado n. Entonces, |·|Kse extiende a un ´unico valor absoluto en L, dado por la f´ormula |x|L=NL/K(x)1 n Kpara todo x∈L×.(A.3) Adem´as, Les un cuerpo completo respecto de |·|L. Demostraci´on. Ver p´agina 131, teorema (4.8) de [Neu13]. El siguiente corolario se obtiene sin m´as que aplicar la funci´on −logcpara alg´un c > 1en la f´ormula (A.3), asumiendo que |·|Kes no arquimediano. Corolario A.3. Sean Kun cuerpo completo respecto de un valor absoluto no arquimediano |·|K,vKuna valoraci´on definida a partir de |·|K, y L/K una extensi´on finita de grado n. Entonces, vKse extiende a una ´unica valoraci´on en L, dada la f´ormula vL(x) = 1 nvKNL/K(x)para todo x∈L×.(A.4) CAP´ ITULO A. AP´ ENDICE 79 Observaci´on A.3.Sean Kun cuerpo completo respecto de un valor absoluto no arquimediano |·|K,vKuna valoraci´on definida a partir de |·|K, y L/K una extensi´on finita de grado n. Sea |·|Lel valor absoluto definido en (A.3), y sea vLla valoraci´on definida en (A.4), Ser´a habitual referirnos al valor absoluto |·|L(respectivamente, la valoraci´on vL) como la extensi´on de |·|K(respectivamente, de vK) a L. El valor absoluto |·|Les compatible en extensiones finitas de K. En efecto, si L′/L es una extensi´on finita de grado m, entonces, |x|L′=NL′/L(x)1 m L=|x|m m L=|x|Lpara todo x∈L×. En otras palabras, |·|L′extiende |·|LaL′. An´alogamente, vLtambi´en es compatible en extensiones finitas de K. Fijemos una clausura algebraica K. Del punto anterior se sigue que |·|KyvKse extienden de manera ´unica a K. Sin embargo, si suponemos que |·|KyvKson discretos, sus extensiones a Kno son discretas, en general. De hecho, Kno es completo respecto del valor absoluto extendido, aunque la completaci´on de Ksigue siendo un cuerpo algebraicamente cerrado. Se puede consultar la observaci´on 7.41 de [Mil08] para ver un ejemplo de este fen´omeno. Supongamos que vKes discreta. Entonces, de la expresi´on de (A.4) se sigue que vL tambi´en lo es, pues vL(L×)⊂1 nvK(K×). Cuerpos henselianos Definici´on A.20. Un cuerpo Kse dice henseliano respecto de una valoraci´on vsi en Ovse verifica el lema de Hensel. Teorema A.4. Sean Kun cuerpo henseliano respecto de una valoraci´on vK, y |·|Kun valor absoluto no arquimediano definido a partir de vK. Para toda extensi´on algebraica L/K,vKy |·|Kse extienden de manera ´unica a una valoraci´on vLy a un valor absoluto |·|Len L, de modo que OvLes la clausura entera de OvKen L. Si L/K es finita de grado n, entonces vL(x) = 1 nvKNL/K(x)y|x|L=NL/K(x)1 n Kpara todo x∈L×. Demostraci´on. Ver p´agina 144, teorema (6.2) de [Neu13]. Teorema A.5. Un cuerpo Kes henseliano respecto de una valoraci´on vsi y s´olo si vse extiende de manera ´unica a cualquier extensi´on algebraica de K. Demostraci´on. Ver p´agina 147, teorema (6.6) de [Neu13]. Observaci´on. Sea Kun cuerpo de caracter´ıstica 0, vKuna valoraci´on en Ky|·|Kun valor absoluto no arquimediano en Kdefinido a partir de vK. CAP´ ITULO A. AP´ ENDICE 80 Si Kes un cuerpo completo respecto de |·|K, entonces Kes un cuerpo henseliano respecto de vK. Sea pun primo. Si Kes la m´axima extensi´on no ramificada (ver definici´on 1.12) de una extensi´on finita de Qp, entonces Kes un cuerpo henseliano respecto de vK, y vKes la ´unica extensi´on de la valoraci´on p-´adica a K. Se recomienda consultar el comentario despu´es de la proposici´on (7.5) de [Neu13]. Lema A.2. Sean Kun cuerpo henseliano de caracter´ıstica 0 respecto de una valoraci´on vK, y |·|Kun valor absoluto no arquimediano definido a partir de vK. Fijemos una clausura algebraica K, y denotemos |·| a la extensi´on del valor absoluto |·|KaK. Entonces, |σ(α)|=|α|para todo α∈Kyσ∈AutK(K). Demostraci´on. Sean α∈Kyσ∈AutK(K). Entonces, αyσ(α)tienen el mismo polinomio m´ınimo f(x)∈K[x], pues f(σ(α)) = σ(f(α)) = 0, y por tanto, NK(α)/K(α) = f(0) = NK(σ(α))/K(σ(α)). Si n= deg f, se sigue del teorema A.4 que |σ(α)|=|NK(σ(α))/K(α)|1/n =|NK(α)/K(α)|1/n =|α|, como quer´ıamos. Definici´on A.21. Sean Kun cuerpo de caracter´ıstica 0 henseliano respecto de una valoraci´on vK, y |·|Kun valor absoluto no arquimediano definido a partir de vK. Fijemos una clausura algebraica K, y denotemos |·| a la extensi´on del valor absoluto |·|KaK. Sean α, β ∈K. Se dice que βpertenece a αsi |β−α|<|β−σ(α)|para todo σ∈AutK(K)tal que σ(α)=α. (A.5) Como consecuencia de la observaci´on A.1, la condici´on (A.5) es equivalente a |β−α|<|α−σ(α)|para todo σ∈AutK(K)tal que σ(α)=α. Proposici´on A.9 (Lema de Krasner).Sean Kun cuerpo de caracter´ıstica 0 henseliano respecto de una valoraci´on vK, y |·|Kun valor absoluto no arquimediano definido a partir de vK. Fijemos una clausura algebraica K, y denotemos |·| a la extensi´on del valor absoluto |·|KaK. Sean α, β ∈K. Si βpertenece a α, entonces K(α)⊂K(β). Demostraci´on. Por reducci´on al absurdo, supongamos que α /∈K(β). Entonces, la extensi´on K(α, β)/K(β)es separable y no trivial, por lo que existe σ∈AutK(K)tal que σ(α)=α yσ(β) = β. En efecto, basta tomar σcomo el automorfismo que env´ıa αa otra ra´ız del polinomio m´ınimo de αsobre K(β). Entonces, por el lema A.2, |β−α|=|σ(β−α)|=|σ(β)−σ(α)|=|β−σ(α)|, en contradicci´on con el hecho de que βpertenece a α. CAP´ ITULO A. AP´ ENDICE 81 A.5. Demostraciones adicionales La notaci´on de esta secci´on es la misma que la de la secci´on 1.4. Demostraci´on de la proposici´on 1.11 Demostraci´on. Sea ϕ(x)∈Kp[x]el polinomio m´ınimo de ζnsobre Kp, y denotemos e ϕ(x) = ϕ(x) m´od Mpye ζn=ζnm´od MF. Por definici´on, ζnes ra´ız del polinomio xn−1, luego ϕ(x) divide a xn−1. Por tanto, e ϕ(x)divide a xn−1 m´od Mp. Como gcd(n, p) = 1, tenemos que (xn−1)′=nxn−1≡ 0 m´od Mp, por lo que xn−1 m´od Mpes un polinomio separable (es decir, no tiene ra´ıces repetidas). Los divisores de un polinomio separable son polinomios separables, luego e ϕ(x)es separable y tiene a e ζncomo ra´ız. Supongamos por reducci´on al absurdo que e ϕ(x)no es irreducible. Entonces, existen polinomios no constantes eg(x),eh(x)∈kp[x]tales que e ϕ(x) = eg(x)eh(x). Como e ϕ(x)es separable, eg(x)yeh(x)son coprimos. Por el lema de Hensel, ϕ(x)tampoco es irreducible, lo cual es absurdo pues ϕ(x)es el polinomio m´ınimo de ζnsobre Kp. Concluimos que e ϕ(x)es irreducible, luego es el polinomio m´ınimo de e ζnsobre kp. En particular, deg ϕ= deg e ϕ, luego [F:Kp] = [kp(e ζn) : kp]. Adem´as, dado que e ζn∈kF, tenemos que [F:Kp]≥[kF:kp]≥[kp(e ζn) : kp]=[F:Kp].(A.6) Por tanto, todas las desigualdades de esta cadena deben ser igualdades. En particular, tenemos que [F:Kp]=[kF:kp], y concluimos que F/Kpes no ramificada. Por otro lado, denotemos f=f(F/Kp). Como F/Kpes no ramificada, [F:Kp] = f. El polinomio xn−1∈ OF[x]se descompone en factores lineales distintos en OF, y como gcd(n, p) = 1, esto tambi´en ocurre en kF. Por tanto, el grupo multiplicativo k× Fcontiene un subgrupo isomorfo a Z/nZ. Como kF=Fqf, tenemos que n|qf−1. Falta probar que fes el menor entero positivo que verifica la propiedad anterior. En efecto, por (A.6), tenemos que kF=kp(e ζn), luego kFes el cuerpo de descomposici´on de e ϕ(x). Ahora bien, sea f′un entero positivo tal que n|qf′−1, y denotemos k′=Fpf′. Entonces, el grupo multiplicativo k′× contiene un subgrupo isomorfo a Z/nZ, y todos los elementos de este subgrupo son ra´ıces de la unidad de orden n. Por tanto, el polinomio xn−1se descompone en producto de factores lineales en k′, luego e ϕ(x)tendr´ıa nra´ıces distintas en k′. Se sigue que k′contiene al cuerpo de descomposici´on de e ϕ(x), que es kF. Concluimos que f|f′, como quer´ıamos. Demostraci´on del teorema 1.6 Demostraci´on. Supongamos que F=Kp(ζqn−1). Dado que gcd(qn−1, p) = 1, la extensi´on F/Kpes no ramificada por la proposici´on 1.11. Adem´as, [F:Kp] = npues nes el menor de entre todos los enteros positivos ftales que qf≡1 m´od qn−1. CAP´ ITULO A. AP´ ENDICE 82 Rec´ıprocamente, supongamos que F/Kpes no ramificada de grado n. Como kp∼ =Fq, entonces kF∼ =Fqn, luego kFes el cuerpo de descomposici´on del polinomio xqn−1−1sobre kp. Sea eαun generador de k× Fcomo grupo c´ıclico, y sea e ϕ(x)∈kp[x]su polinomio m´ınimo sobre kp. Entonces, e ϕ(x)divide a xqn−1−1. Como e ϕ(x)es irreducible, entonces es coprimo con el cociente (xqn−1−1)/e ϕ(x), que es un polinomio. Por el lema de Hensel, existe un polinomio ϕ(x)∈ Op[x]tal que ϕ(x)≡e ϕ(x) m´od Mpyϕ(x)|xqn−1−1∈ Op[x]. Observemos que eα∈kFes una ra´ız simple de e ϕ(x), visto como polinomio de kF[x]. Por el corolario A.2, existe una ra´ız α∈ OFde ϕ(x)tal que α≡eαm´od MF. Por tanto, αes una ra´ız de xqn−1−1, luego es una ra´ız primitiva (qn−1)-´esima de la unidad, pues eαlo es. Como Kp(α)⊂FyKp(α)/Kpes una extensi´on no ramificada de grado n, concluimos que F∼ =Kp(α) = Kp(ζqn−1). Finalmente, la extensi´on F/Kpes de Galois ya que Fes el cuerpo de descomposici´on de xqn−1−1sobre Kp. Adem´as, la correspondencia biun´ıvoca entre las ra´ıces (qn−1)-´esimas de la unidad de FykFinduce un isomorfismo Gal(F/Kp)∼ =Gal(kF/kp), concluyendo el resultado. Demostraci´on del teorema 1.7 Demostraci´on. Sea πun uniformizante en Kunr p. La proposici´on 1.13 y la proposici´on 1.14 prueban que las extensiones Kunr p(n √π)/Kunr pcon gcd(n, p) = 1 son moderadas de grado n. Rec´ıprocamente, supongamos que F/Kunr pes moderada de grado n. Como kFes algebraicamente cerrado, se sigue de la identidad fundamental que n= [F:Kunr p] = e(F/Kunr p) Denotemos e=e(F/Kunr p). Como F/Kunr pes moderada, entonces gcd(e, p) = 1, y concluimos que gcd(n, p) = 1. Supongamos que π0es uniformizante en Kunr p. Entonces, si πFes uniformizante en F, existe una unidad ε∈ O× Ftal que π0=ε−1πe F.Como kunr p∼ =kF, existe una unidad ε0en el anillo de valoraci´on de Kunr ptal que ε≡ε0m´od MF. Definimos π=ε0π0yz=ε−1 0(ε−ε0). Si denotamos |·| a la extensi´on del valor absoluto p-´adico a F, entonces la congruencia anterior implica que z∈MF, por lo que |z|<1. Adem´as, πe F=επ0=ε0π0+ (ε0π0)ε−1 0(ε−ε0) = π+πz, por lo que |πe F−π|=|πz|<|π|.(A.7) CAP´ ITULO A. AP´ ENDICE 83 Ahora, consideremos el polinomio ϕ(x) = xe−π∈Kunr p[x], y sus ra´ıces α1, . . . , αe. Entonces, |ϕ(πF)|= e Y i=1 |πF−αi|=|πe F−π|.(A.8) Por otro lado, |αi|e=|π|=|πF|e,y por tanto, |αi|=|πF|para todo i= 1, . . . , e. (A.9) Supongamos por reducci´on al absurdo que |πF−αi|≥|αi|para todo i= 1, . . . , e. Combinando (A.7), (A.8), (A.9) junto con el hecho de que |αi|=|αj|para todo i, j = 1, . . . , e por ser conjugados (ver lema A.2), llegamos a una contradicci´on: |π|>|πe F−π|= e Y i=1 |πF−αi| ≥ e Y i=1 |αi|=|α1|e=|π|. Por tanto, existe un i(digamos, i= 1) tal que |πF−α1|<|α1|.(A.10) Ahora bien, por la propiedad ultram´etrica, tenemos que |α1−αi|≤|α1|para todo i= 2, . . . , e. Veamos que, de hecho, esta desigualdad es una igualdad. Para ello, teniendo en cuenta que |e|= 1 y derivando la expresi´on de ϕ(x)como producto, observamos que |ϕ′(α1)|=|α1|e−1= e Y i=2 |α1−αi|. Por reducci´on al absurdo, supongamos que existe un i(digamos, i= 2) tal que |α1−α2|< |α1|. Entonces, la igualdad anterior nos lleva a una contradicci´on: |α1|e−1= e Y i=2 |α1−αi|=|α1−α2| e Y i=3 |α1−αi|<|α1||α1|e−2=|α1|e−1. Por tanto, |α1−αi|=|α1|para todo i= 2, . . . , e. Entonces, se sigue de (A.10) que |πF−α1|<|α1|=|α1−αi|para todo i= 2, . . . , e. Por el lema de Krasner (ver proposici´on A.9), tenemos que Kunr p(α1)⊂Kunr p(πF), y por tanto, Kunr p⊂Kunr p(α1)⊂Kunr p(πF)⊂F. Ahora, α1es una ra´ız del polinomio ϕ(x) = xe−π, que es irreducible por el criterio de Eisenstein. Luego, [Kunr p(α1) : Kunr p]≥e=n= [F:Kunr p], y concluimos que Kunr p(n √π)∼ =Kunr p(α1)∼ =F, como quer´ıamos. CAP´ ITULO A. AP´ ENDICE 84 Demostraci´on de la proposici´on 1.19 Demostraci´on. La primera igualdad es trivial. Probemos la segunda. Por la primera observaci´on de la secci´on 5 del cap´ıtulo 1, I(F/Kp)es el n´ucleo del homomorfismo reducci´on πF/Kp: Gal(F/Kp)→Gal(kF/kp) σ7→ σm´od MF. Concluimos el resultado, pues el subcuerpo fijo por ker πF/Kpcoincide con la m´axima subextensi´on no ramificada de F/Kp, es decir, con F∩Kunr p. Se puede consultar la proposici´on (9.11) en la p´agina 173 de [Neu13] para ver una demostraci´on de este hecho. Probemos la tercera igualdad. La inclusi´on Iwild(F/Kp)⊂G1no es dif´ıcil de comprobar, veamos c´omo probar la otra. Dado que Iwild(F/Kp) = Gal(F/F ∩Ktame p), basta probar que la restricci´on de G1aF∩Ktame pes trivial, y esto equivale a probar que si F/Kpes moderada entonces G1={id}. Podemos asumir que Kp=Kunr p, pues G0=I(F/Kp). As´ı, supongamos que F/Kpes moderada. Entonces, por el teorema 1.7,F∼ =Kp(m √π), siendo m= [F:Kp]yπun uniformizante en Kp. En la demostraci´on del teorema citado, se prueba que m √πes uniformizante en F. Dado un automorfismo no trivial σ∈G, entonces σ(m √π) = ζmm √πpara alguna ra´ız primitiva m-´esima de la unidad ζm∈Kp. Como M2 Fest´a generado por (m √π)2, entonces σ(m √π)≡ ζmm √πm´od M2 F, y concluimos que G1={id}. Por tanto, G1⊂Iwild(F/Kp). Bibliograf´ıa [Car86] Henri Carayol. ((Sur les repr´esentations l-adiques associ´ees aux formes modulaires de Hilbert)). En: Annales scientifiques de l’´ Ecole Normale Sup´erieure. Vol. 19. 3. 1986, p´ags. 409-468. [Cla] Claudius. Proving lim ←−Si∼ =lim ←−Sjwhere J⊆Icofinal. Mathematics Stack Exchange. 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