Teoría de cópulas y aplicaciones

Teoría de cópulas y aplicaciones Ignacio García Rosa Teoría de cópulas y aplicaciones Ignacio García Rosa Memoria presentada como parte de los requisitos para la obtención del título de Máster en Matemáticas por la Universidad de Sevilla. Tutorizada por David Gálvez Ruiz Índice general English Abstract 1 1. Conceptos y definiciones básicas 3 1.1. Repaso sobre el cálculo probabilístico multidimensional . . . . . . . . 3 1.2. Definición y primeros resultados sobre cópulas. . . . . . . . . . . . . 5 1.3. ElteoremadeSklar ............................ 7 1.4. Propiedades de las cópulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2. Medidas de asociación. 17 2.1. Medidas de concordancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.1. Coeficiente ρSdeSpearman.................... 19 2.1.2. Coeficiente τdeKendall...................... 20 2.1.3. Coeficiente βdeBlomqvist. ................... 24 2.1.4. Coeficiente γdeGini. ...................... 25 2.2. Medidas basadas en criterios de información. . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3. Medidas basadas en distancias de Lp. .................. 28 2.4. Dependencia de colas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ii teoría de cópulas y aplicaciones 3. Construcción de cópulas 33 3.1. Cópulaselípticas.............................. 33 3.1.1. La cópula gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.2. La cópula t-Student........................ 36 3.2. Cópulas de valor extremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3. Cópulas arquimedianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3.1. Cópula de Clayton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3.2. Cópula de Gumbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3.3. CópuladeFrank ......................... 45 4. Aplicación de cópulas al clustering 47 4.1. Algoritmo EM con cópulas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.1.1. El caso gaussiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.2. Algoritmo jerárquico basado en cópulas . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Anexos 58 A. Demostración del teorema de Sklar 61 B. La cópula empírica 67 English Abstract Copulas are valuable tools employed in modeling the dependence between different random variables. Their best utility comes from the well-know Sklar’s Theorem, which establish, for every random vector, the existence of a copula reflexing its dependence structure. In this work, most copula properties are introduced among some parametric families. Finally, as applications, two copula-based models for clustering are developed. Las cópulas constituyen una gran herramienta a la hora de modelar la dependencia entre una serie de variables aleatorias. Su gran utilidad viene dada por el célebre Teorema de Sklar, que indica que, para cualquier vector aleatorio, existe una cópula que refleja su dependencia. A lo largo de este trabajo se exploran las propiedades de estas estructuras matemáticas, y se presentarán diferentes familias parámetricas. Finalmente se propondrán dos modelos de clustering como aplicación práctica. 1 Conceptos y definiciones básicas 1.1 Repaso sobre el cálculo probabilístico multidimensional Se comienza este capítulo recordando algunas definiciones y propiedades básicas de las de los vectores aleatorios, así como de sus funciones de distribución multivariante: Definición 1.1. Se define el σ-álgebra de Borel en Rncomo el menor σ-álgebra que contiene al conjunto C={B1×.... ×Bn, Bi∈ B(R)}, es decir: B(Rn) = σ(C). Definición 1.2. Sea (Ω, A,P)un espacio de probabilidad. Se dice que una aplicación X:Ω→Rnes un vector aleatorio real si es medible para los σ-álgebras Ay B(Rn), esto es: X−1(B) = {ω∈Ω:X(ω)∈B}∈A,para todo B∈ B(Rn). En este caso Xdefine una probabilidad PXen (Rn,B(Rn)) dada por PX(B) = P(X−1(B)),para todo B∈ B(Rn). APXse la llama distribución de X, y esta caracteriza al vector aleatorio. En el caso particular en que n= 1, la aplicación Xse denomina variable aleatoria. Para las siguientes definiciones y proposiciones siempre se tendrá como marco de trabajo un espacio de probabilidad (Ω, A,P). 10 teoría de cópulas y aplicaciones Ejemplo 1.2.Tomando en el Teorema 1.3 distribuciones marginales N(0,1) y la cópula de independencia CI, se obtiene la función de distribución de un vector aleatorio Nn(0, In×n). 1.4 Propiedades de las cópulas En esta sección se exponen una serie de propiedades que verifican las cópulas. Una consecuencia inmediata de la Proposición 1.2 es el hecho de que las cópulas son uniformemente continuas: Proposición 1.5.Cualquier cópula Ces uniformemente continua, es decir, dados dos vectores u= (u1, ..., un), v = (v1, ..., vn)∈Rnse verifica: |C(u1, ..., un)−C(v1, ..., vn)| ≤ n X i=1 |ui−vi|. Demostración. Basta aplicar la Proposición 1.2 y tener en cuenta que las funciones de distribución marginales de Cperteneces a variables aleatorias U(0,1). Además, para cualquier cópula dada, se pueden obtener cotas fijas de la manera que sigue. Para más información consultar [3], Capítulo 3. Definición 1.8. Se define la cópula inferior de Fréchet como aquella dada por CL(u1, ..., un) = m´ax n X i=1 ui−n+ 1 ; 0!. Se define también la cópula superior de Fréchet como aquella dada por CU(u1, ..., un) = m´ın(u1, ..., un). Observación 1.3.Aunque se denomine a CLcomo "cópula inferior", lo cierto es que solo es una cópula para el caso n= 2, sin embargo, es posible probar que, fijado u0∈ [0,1]n, siempre existe una cópula Cdependiente de u0, de forma que CL(u0) = C(u0). Para una prueba ver [4], Theorem 2.10.13. Por otro lado, CUsiempre es una cópula. Para ello se considera una variable aleatoria uniforme U, y el vector aleatorio dado por X= (U, ..., U). Claramente las marginales de este vector son variables aleatorias uniformes y además se cumple: FX(u1, ..., un) = P(U≤u1, ..., U ≤un) = P(U≤m´ın(u1, ..., un)) = m´ın(u1, ..., un) = CU 1. conceptos y definiciones básicas 11 La cópula CUrepresenta una dependencia positiva perfecta, mientras que CLrepresenta una dependencia negativa perfecta. Teorema 1.4 (Cotas Fréchet-Hoeffding). Para cualquier función de distribución multivariante Fcon funciones de distribución marginales F1, ..., Fn, se verifican las desigualdades m´ax n X i=1 Fi(xi)−n+ 1 ; 0!≤F(x1, ..., xn)≤m´ın(F1(x1), ..., F(xn)) (1.1) para todo (x1, ..., xn)∈Rn.En consecuencia, dada una cópula Cculaquiera, se verifica CL(u1, ..., un)≤C(u1, ..., un)≤CU(u1, ..., un) para todo (u1, ..., un)∈Rn. Demostración. La segunda parte del teorema se deduce de la primera, pues en el caso de las cópulas las marginales siguen distribuciones uniformes. Se procede a probar (1.1) : 1. Para la segunda desigualdad basta ver que, por la monotonía de la probabilidad: F(x1, ..., xn) = P(X1≤x1, ..., Xn≤xn)≤ P(Xi≤xi) = Fi(xi) para i= 1, ..., n, de donde se deduce lo deseado. 2. Se considera ahora la segunda desigualdad. Por definición, es claro que F(x1, ..., xn)≥ 0. Por otro lado, por la Desigualdad de Bonferroni (consultar, por ejemplo, [5]) : F(x1, ..., xn) = P(X1≤x1, ..., Xn≤xn)≥1− n X i=1 P(Xi> xi) = 1 − n X i=1 (1 − P(Xi≤xi)) = 1 −n+ n X i=1 Fi(xi). Proposición 1.6.Sea (X1, ..., Xn)un vector aleatorio con distribuciones marginales continuas y cópula asociada C, y sean T1, ..., Tnfunciones estrictamente crecientes. Entonces el vector aleatorio (T1(X1), T2(X2), ..., Tn(Xn)) también tiene a Ccomo cópula asociada. 12 teoría de cópulas y aplicaciones Demostración. Debido a que T1, ..., Tnson funciones estrictamente crecientes: P(T1(X1)≤x1, ..., Tn(Xn)≤xn) = P(X1≤T−1(x1), ..., Xn≤T−1(xn)) =C(P(X1≤T−1(x1), ..., P(Xn≤T−1(xn)) =C(P(T1(X1)≤x1, ..., P(Tn(Xn)≤xn) Proposición 1.7.Sea Cuna cópula, entonces existen las derivadas parciales de primer orden ∂C/∂ujen casi todo punto uj. Además, se verifica que 0≤∂C ∂uj (u1, ..., un)≤1 para todo (u1, ..., un)∈Rn. Demostración. Como se exponía en la Observación 1.1, al ser Cuna función de distribución verifica que es creciente en cada una de sus componentes. Del hecho de que las funciones monótonas son derivables en casi todo punto (ver [6], pág 96) se desprende la existencia de las derivadas ∂C/∂uj. Por otro lado, tomando en la Proposición 1.3 xj=uj, yj=uj+hyxi=yi=uipara i6=j, se obtiene: 0≤ ∂C ∂uj (u1, ..., un)= l´ım h→0 C(u1, ..., uj+h, ..., un)−C(u1, ..., uj, ..., un) h ≤|uj+h−uj| |h|= 1 Para ver algunas propiedades más de las cópulas, se usan dos teoremas clásicos de teoría de la medida: El teorema de Radon-Nikodym y el Teorema de descomposición de Lebesgue, los cuales se procede a exponer. Una prueba de los mismos puede encontrarse en [2]. Definición 1.9. Sean dos medidas νyµdefinidas sobre un espacio medible (Ω, A). Se dice que son singulares la una respecto de la otra si están concentradas sobre conjuntos disjuntos, es decir, si existen A, B ∈ A con A∩B=∅y tales que ν(E) = ν(E∩A), µ(E) = µ(E∩B),para todo E∈ A. Se denota por ν⊥µ. 1. conceptos y definiciones básicas 13 Por otro lado, se dice que νes absolutamente continua con respecto de µsi se cumple µ(E) = 0 ⇒ν(E) = 0,para todo E∈ A, Se denota por νµ. Teorema 1.5 (Radon-Nikodym). Sea (Ω, A, µ)un espacio de medida σ-finito, es decir, tal que existe una sucesión {An}⊂Averificando [ n∈N An=Ω, µ(An)<+∞para todo n∈N. Sea también νuna medida finita sobre (Ω, A)de forma que νµ, entonces existe una función integrable f:Ω→[0,+∞)verificando: ν(A) = ZA f dµ, para todo Amedible. Afse le llama función de densidad de νrespecto a µ, y es única salvo conjunto de medida µnula. Teorema 1.6 (Teorema de descomposición de Lebesgue). Sea (Ω, A, µ)un espacio de medida σ-finito, y sea νuna medida finita sobre (Ω, A). Entonces existe un único par de medidas finitas νs, νasobre (Ω, A)tales que ν=νs+νa, νs⊥νa,yνsµ. Proposición 1.8.Sea Xun vector aleatorio de forma que su distribución PXes absolutamente continua respecto de la medida de Lebesgue, y sea fla densidad asociada aPXpor el teorema de Radon-Nikodym. Entonces, la función de distribución Fdel vector aleatorio cumple que ∂nF ∂x1...∂xn (x1, ..., xn)(1.2) existe en casi todo punto de Rn. Es más, se verifica que ∂nF ∂x1...∂xn (x1, ..., xn) = f(x1, ..., xn). en casi todo punto de Rn. Aplicando estos resultados a las cópulas, se obtiene el siguiente corolario: 14 teoría de cópulas y aplicaciones Corolario 1.1.Toda cópula Cadmite una descomposición en una componente absolutamente continua y otra componente singular. Es decir, podemos escribir C(u1, ..., un) = AC(u1, ..., un) + SC(u1, ..., un), siendo AC(u1, ..., un) = Zun −∞ ... Zu1 −∞ ∂nC ∂x1...∂xn (x1, ..., xn)dx1...dxn SC(u1, ..., un) = C(u1, ..., un)−AC(u1, ..., un). Observación 1.4.Del corolario anterior se deducen las siguientes observaciones: Si C≡AC, entonces Ces absolutamente continua, y su densidad viene dada por ∂nC ∂u1...∂un (u1, ..., un). Consideremos ahora el caso en el que la cópula Cestá asociada con un vector aleatorio X= (X1, ..., Xn)absolutamente continuo, con función de densidad conjunta fy funciones de densidad marginales f1, ..., fn. En este caso Cserá absolutamente continua, y derivando en la expresión F(x) = C(F1(x1), ..., Fn(xn)). se obtiene f(x1, ..., xn) = c(F1(x1), ..., Fn(xn))f1(x1), ..., fn(xn), donde cdenota la función de densidad de la cópula. Si C≡SC, es decir, si ∂nC ∂u1...∂un (u1, ..., un)=0 en casi todo punto de Rn, entonces Ces singular. En otro caso, Ctiene una componente absolutamente continua y una componente singular, y ninguna de estas componentes son cópulas, pues no tienen marginales uniformes en (0, 1). Ejemplo 1.3.Algunos ejemplos son los siguientes: 1. conceptos y definiciones básicas 15 La cópula de independencia es absolutamente continua, y su densidad es c(u1, ..., un)=1,para todo (u1, ..., un)∈Rn. La cópula superior de Fréchet es singular. Se concluye esta sección con una condición sufiente para comprobar que una cópula es absolutamente continua en el caso bidimensional, cuya prueba puede encontrarse en [7]. Proposición 1.9.Sea Cuna cópula. Si ∂C(u, v)/∂v y∂2C(u, v)/∂u∂v son continuas en [0,1]2y∂C(u, v)/∂u existe para todo u∈(0,1) cuando v= 0, entonces ∂C(u, v)/∂u y∂2C(u, v)/∂v∂u existen en (0,1)2y∂2C(u, v)/∂v∂u =∂2C(u, v)/∂u∂v. 2 Medidas de asociación. En este capítulo se exploran las formas mediante las cuales se pueden usar las cópulas para estudiar los diferentes tipos de dependencia entre variables aleatorias, un primer ejemplo de esto sería el Ejemplo 1.1. Un método clásico para estudiar la dependencia entre variables aleatorias en el caso bidimensional viene dado por el estudio del coeficiente de correlación lineal ρ: Definición 2.1. Dado un vector aleatorio (X, Y ), se define el coeficiente de correlación lineal ρde Pearson como ρX,Y =Cov(X, Y ) pVar(X)Var(Y). Se verifica que −1≤ρX,Y ≤1, el caso ρX,Y = 1 representa relación lineal positiva perfecta, mientras que caso ρX,Y =−1representa relación lineal negativa perfecta. La gran popularidad del coeficiente de correlación lineal se debe a sus buenas propiedades, sin embargo, su uso no es adecuado en situaciones en las que la dependencia multivariante es de tipo más general. Algunos de los problemas que presenta son los siguientes : Es posible que alguna de las varianzas del denominador no sea finita, en cuyo caso no estaría bien definido. Si dos variables aleatorias X, Y son independientes, entonces Cov(X, Y ) = 0, y por tanto ρX,Y = 0. Sin embargo, que ρX,Y = 0 no implica que las variables sean independientes, salvo en el caso gaussiano. Es más, el hecho de que el módulo de ρX,Y sea pequeño no implica necesariamente baja dependencia. El coeficiente de correlación lineal no es invariante bajo transformaciones monótonas. 18 teoría de cópulas y aplicaciones Es por ello que en la siguiente sección se buscan otras medidas alternativas capaces de adaptarse a problemas más generales. Las siguientes definiciones pueden encontrarse [8]. Definición 2.2. Se define Xncomo el conjunto de los vectores aleatorios dimensión ncon distribuciones marginales univariantes continuas. Definición 2.3. Dadas dos cópulas CyC0se dice que Ces más concordante que C0, y se denota como C0Csi, C0(u)≤C(u)para todo C0(u)∈[0,1]n. Esta relación establece un orden parcial en el conjunto de las cópulas (ver [3]). Definición 2.4. Una medida de asociación es una aplicación M:Xn→[−1,1] que verifica las siguientes propiedades: 1. Invariante respecto permutaciones: Para cualquier permutación π, se verifica M(X1, ..., Xn) = M(Xπ(1), ..., Xπ(n)). 2. CIes la cópula asociada a Xsi, y sólo si, M(X) = 0. 3. Si n= 2,M(X) = −1si, y sólo si, la cópula asociada a Xes CL, y M(X) = 1 si, y sólo si, la cópula asociada a Xes CU. Para n > 2,M(X)=1si, y sólo si, la cópula asociada a Xes CU. 4. Si X, X0son dos vectores aleatorios con cópulas asociadas CyC0, y se verifica que C0C, entonces M(X0)≤ M(X). 5. Continuidad: Sea {Xn}es una sucesión de vectores aleatorios de forma que la sucesion de cópulas asociadas {Cn}converge puntualmente a C. Entonces, si X es un vector aleatorio asociado a C: l´ım nM(Xn) = M(X). 2.1 Medidas de concordancia En esta sección se describe como se pueden generalizar al caso multivariantes algunas de las más conocidas medidas para vectores aleatorios bivariantes, tales como la τSde Kendall o la ρde Spearman. Estas medidas se conocen como medidas de concordancia, pues verifican la propiedad 4 de la Definición 2.4, así como las propiedades 1 ,2 ,5. Además son invariantes respecto a transformaciones estrictamente monótonas. Para más detalles, ver [8]. 2. medidas de asociación. 19 2.1.1 Coeficiente ρSde Spearman. Se introduce el coeficiente ρSde Spearman, que fue estudiado por primera vez por Spearman, ver [8], y que es una especie de "normalización" del coeficiente de correlación lineal: Definición 2.5. Se define el coefiente ρSde Spearman asociado a un vector aleatorio bivariante (X, Y )con funciones de distribución marginales F1yF2como ρS=Cov[F1(X), F2(Y)] pVar(F1(X)) Var(F2(Y)). Observación 2.1.Debido a la hipótesis de que XeYson continuos, tanto F1(X) como F2(X)siguen distribuciones U(0,1), que tienen esperanza 1/2y varianza 1/12. De esta forma ρS=E[F1(X)F2(Y)] −(1/2)2 1/12 . Ahora bien, por lo mostrado en la prueba de la Proposición 1.4, por ser (X, Y )un vector aleatorio continuo y ser Csu ccópula asociada, se debe cumplir que Ces también la función de distribución del vector aleatorio (F1(X), F2(Y)). Por tanto E[F1(X)F2(Y)] = Z[0,1]2 uv dC(u, v) = Z[0,1]2 C(u, v)du dv, con lo cual ρS= 12 Z[0,1]2 C(u, v)du dv −3. Por otro lado, un sencillo cálculo muestra que Z[0,1]2 CI(u, v)du dv = 1/4,Z[0,1]2 CU(u, v)du dv = 1/6, por lo que es posible reescribir la anterior expresión como ρS=R[0,1]2C(u, v)du dv −R[0,1]2CI(u, v)du dv R[0,1]2CU(u, v)du dv −R[0,1]2CI(u, v)du dv. en consecuencia, es posible interpretar el coeficiente ρScomo la diferencia media entre las cópulas CyCInormalizada a través de la diferencia media entre CUyCI. La siguiente proposición proporciona una nueva caracterización para el coeficiente ρS, y su prueba puede verse en [3]. 26 teoría de cópulas y aplicaciones se deduce que 4Z Z[0,1]2 CU(u, v)dC(u, v)−1=2Z Z[0,1]2 u+v− |u−v|dC(u, v)−1. Por otro lado, como cualquier cópula es la función de distribución conjunta de un vector aleatorio con marginales uniformes, se verifica Z Z[0,1]2 u dC(u, v) = Z Z[0,1]2 v dC(u, v) = 1 2, y por tanto 4Z Z[0,1]2 CU(u, v)dC(u, v)−1 = 1 −2Z Z[0,1]2 |u−v|dC(u, v). De forma similar, se puede reescribir CL(u, v) = m´ax {u+v−1,0}=1 2(u+v−1 + |u+v−1|), por lo que, de forma análoga 4Z Z[0,1]2 CL(u, v)dC(u, v)−1 = 2 Z Z[0,1]2 |u+v−1|dC(u, v)−1. 2.2 Medidas basadas en criterios de información. En [10] se introduce la entropía relativa como una medida de asociación multivariante basada en la teoría de información. Su definición es la siguiente: Definición 2.11. Dado un vector aleatorio multivariante continuo X= (X1, ..., Xn), con función de densidad fy densidades marginales f1, ..., fnrespectivamente, se define su entropía relativa como δ(X) = ZRn log f(x) Qn i=1 fi(xi)f(x)dx. Observación 2.3.Obsérvese que si las componentes del vector aleatorio son independientes, entonces se verifica f(x) = n Y i=1 fi(xi), y por tanto, en este caso, δ(X) = 0. 2. medidas de asociación. 27 En esta sección se buscará usar este concepto para crear una medida basada en cópulas, y de forma que no dependa de las distribuciones marginales. La siguiente proposición permite reescribir la entropía relativa en función de la cópula del vector. Proposición 2.3.Sea X= (X1, ..., Xn)un vector aleatorio multivariante continuo con función de densidad fy densidades marginales f1, ..., fnrespectivamente. Entonces δ(X) = Z[0,1]n log[c(u)]c(u)du, donde ces la función de densidad de la cópula asociada a X. Demostración. Por lo visto en la Observación 1.4, por ser Xcontinuo se cumple f(x1, ..., xn) = c(F1(x1), ..., Fn(xn))f1(x1)....fn(xn), donde ces la función de densidad de la cópula asociada a XyF1, ..., Fnlas funciones de distribución marginales. Sustituyendo lo anterior en la expresión de la entropía relativa: δ(X) = ZRn log [c(F1(x1), ..., Fn(xn))] c(F1(x1), ..., Fn(xn))f1(x1)....fn(xn)dx. Aplicando ahora el Teorema del cambio de variable con la transformación ui=Fi(xi) para i= 1, ..., n; se obtiene que δ(X) = Z[0,1]n log[c(u1, ..., un)]c(u1, ..., un)du, pues la matriz diferencial asociada al cambio de variable viene dada por A=diag {f1(x1), ..., fn(xn)}, y por tanto su jacobiano es precisamente Qn i=1 fi(xi), mientras que, por otro lado, como Fi(R) = [0,1] para i= 1, ..., n, se deduce que la integral se evalua sobre el cubo unidad. Observación 2.4.Algunas observaciones sobre la proposición anterior son las siguientes: δ(X)=0si, y sólo si, c(u)≡1, lo cual sólo ocurre si la cópula asociada a Xes CI. En resumen, δ(X) = 0 si, y sólo si, sus componentes son independientes, y por tanto se verifica la Propiedad 1 de la Definición 2.4. 28 teoría de cópulas y aplicaciones La invarianza de las cópulas bajo transformaciones monótonas da también la invarianza de δ. Usando el Teorema de la convergencia monótona, se comprueba que también se verifica la Propiedad 5 de la Definición 2.4. Para algunas distribuciones, la entropía relativa puede calcularse de forma analítica. Por ejemplo, para distribuciones gaussianas, la entropía relativa tiene la siguiente expresión: δ(X) = −1 2log[|Σ|], siendo |Σ|el determinante de la matriz de correlaciones de X. 2.3 Medidas basadas en distancias de Lp. Hoeffding fue el primero en considerar medidas de asociación basadas en las distancias en Lpentre una cópula Cy la cópula de independencia, CI(ver [11]). Su trabajo estaba centrado principalmente en el caso p= 2, y fue extendido por Schweizer y Wolff en [12], que introdujeron medidas basadas en los casos p= 1 yp=∞. Se introducen a continuación estas medidas, así como algunas de sus propiedades. Definición 2.12. Se define el coeficiente Φ2asociado a una cópula C n-dimensional como Φ2(C) = h2(n)Z[0,1]n [C(u)−CI(u)]2du, donde h2(n)es el factor de normalización dado por h2(n) = Z[0,1]n [CU(u)−CI(u)]2du!−1 = 2 (n+ 1)(n+ 2) −1 2n n! Qn i=1 i+1 2+1 3n!−1 . Observación 2.5.En caso de que Φ2(C) = 0, se tendría que C=CIen casi todo [0,1]n, y por ser ambas funciones continuas se desprendería que C=CIen todo punto, por lo que Φ2verifica la Propiedad 2 de la Definición 2.4. De hecho, puede probarse que esta medida verifica tambien la Propiedad 4 y la Propiedad 5 de esta misma definición, para ello consultar [8]. Además la normalización usada implica que Φ2(CU) = 1. Proposición 2.4.Sea X= (X1, ..., Xn)un vector aleatorio, y sea Xn+1 una variable aleatoria independiente de X. Entonces, definiendo Y= (X1, ..., Xn, Xn+1), se 2. medidas de asociación. 29 verifica que Φ2(Y)< Φ2(X). Demostración. Denotanto como CXyCYa las cópulas de XeYrespectivamente, es sencillo comprobar que CY(u1, ..., un+1) = CX(u1, ..., un)un+1. Por tanto, en casi todo [0,1]n+1, se verifica que |CY(u1, ..., un+1)−u1...unun+1|2=|un+1|2|CX(u1, ..., un)−u1...un|2 <|CX(u1, ..., un)−u1...un|2. Finalmente, si se integra en [0,1]nen la expresión anterior y se aplica el Teorema de Fubini, se obtiene que Z[0,1]n+1 |CY(u1, ..., un+1)−u1...un+1|2dmn+1 <Z[0,1]n+1 |CX(u1, ..., un)−u1...un|2dmn+1 =Z[0,1]n |CX(u1, ..., un)−u1...un|2dmn, de donde se deduce el resultado. Definición 2.13. Se define el coeficiente σasociado a una cópula C n-dimensional como σ(C) = h1(n)Z[0,1]n |C(u)−CI(u)|du, donde h1(n)es el factor de normalización dado por h1(n) = Z[0,1]n |CU(u)−CI(u)|du−1 . Observación 2.6.De nuevo la medida σverifica las propiedades 2, 4 y5de la Definición 2.4, es más, puede probarse que tambien se verifica la propiedad 3, ver [12]. Proposición 2.5.Sea X= (X1, ..., Xn)un vector aleatorio, y sea Xn+1 una variable aleatoria independiente de X. Entonces, definiendo Y= (X1, ..., Xn, Xn+1), se verifica que σ(Y)< σ(X). Demostración. La prueba es análoga a la de la Proposición 2.4. 30 teoría de cópulas y aplicaciones Definición 2.14. Se define el coeficiente Kasociado a una cópula C n-dimensional como K=h∞(n) sup u∈[0,1]n |C(u)−CI(u)|, donde h∞(n)es el factor de normalización dado por h∞(n) = sup u∈[0,1]n |CU(u)−CI(u)|!−1 . Observación 2.7.La medida Kverifica las propiedades 2, 4 y5de la Definición 2.4. Proposición 2.6.Sea X= (X1, ..., Xn)un vector aleatorio, entonces se verifica que K(X1, X2)≤ K(X1, X2, X3)≤... ≤ K(X1, X2, ..., Xn). Demostración. Ver [8]. 2.4 Dependencia de colas. Esta sección da una breve introducción a las llamadas medidas de dependencia en las colas. El concepto de dependencia en colas trata de cuantificar el grado de dependencia entre las componentes de una distribución multivariante teniendo en cuenta que algunas de ellas toman valores extremos. Para el caso bivariante, existe la siguiente definición clásica (consultar [4],[8]) : Definición 2.15. Sean XeYvariables aleatorias con funciones de distribución F yGrespectivamente. Se define el parámetro de dependencia de colas superior, λU, como el límite, siempre que exista, dado por: λU= l´ım t→1−P[Y > G−1(t)|X > F−1(t)]. De forma similar, se define el parámetro de dependecia de colas inferior, λL, como el límite, siempre que exista, dado por: λL= l´ım t→0+P[Y≤G−1(t)|X≤F−1(t)]. Si λU∈(0,1], se dirá que (X, Y )tiene dependencia de colas superior, mientras que si λU= 0 se dirá que no hay dependencia de colas superior, y exactamente lo mismo para λL. 2. medidas de asociación. 31 El siguiente teorema muestra que ambos parámetros dependen únicamente de la cópula asociada a (X, Y ): Teorema 2.4. Sean X, Y, F, G, λUyλLtales como en la definición anterior, suponiendo que ambos límites existen. Sea además Cuna cópula asociada al vector aleatorio (X, Y ), entonces: λU= l´ım t→1− 1−2t+C(t, t) 1−t, λL= l´ım t→0+ C(t, t) t. Demostración. Se muestra la prueba para λU, ya que para λLes muy similar: λU= l´ım t→1−P[Y > G−1(t)|X > F−1(t)] = l´ım t→1−P[G(Y)> t |F(X)> t] = l´ım t→1− P[G(Y)> t , F(X)> t] P[F(X)> t] = l´ım t→1− 1− P[G(Y)≤t]− P[F(X)≤t] + P[G(Y)≤t , F(X)≤t] 1− P[F(X)≤t] = l´ım t→1− 1−2t+C(t, t) 1−t. donde se ha usado que tanto F(X)como G(Y)siguen distribuciones uniformes en (0,1). Ejemplo 2.4.Considerando la familia paramétrica de cópulas dada por Cθ(u, v) = uv +θuv(1 −u)(1 −v), θ ∈[−1,1], es fácil comprobar que λL= l´ım t→0+ Cθ(t, t) t= l´ım t→0+t+θt(1 −t)2= 0, mientras que el límite λUno existe. 3 Construcción de cópulas Una vez vista la utilidad de las cópulas para medir la dependencia entre las componentes de las distribuciones multivariantes, en este capítulo se procede a presentar diferentes familias de cópulas, así como métodos de construcción para generarlas, obteniéndose de esta forma una amplia gama de ejemplos que cubren la mayoría de casos posibles. 3.1 Cópulas elípticas Se considera aquí una popular clase de cópulas usada a menudo en aplicaciones, las cópulas elípticas, entre las que destacan dos casos especialmente: La cópula gaussiana y la cópula t-Student. La principal característica de estas cópulas es que, para el caso bivariante, son simétricas respecto a la diagonal principal de [0,1]2, es decir, respecto a la recta u=v. Las cópulas presentadas en esta sección también verifican simetría respecto a la recta u= 1 −v. Definición 3.1. Se dice que un vector aleatorio Xsigue una distribución elíptica si es absolutamente continuo y su función de densidad es de la forma gX(x) = A f[(x−µ)tΣ−1(x−µ)], donde µ∈Rn,Σ∈ Mn×nrepresentan el vector esperanza y la matriz de covarianzas asociados a Xrespectivamente, fes una función real y positiva, y Aes una constante que depende de Σ. Definición 3.2. Se dice que una cópula Ces elíptica si existe un vector aleatorio X con distribución elíptica de modo que Ces la única cópula asociada a X. 34 teoría de cópulas y aplicaciones 3.1.1 La cópula gaussiana Se dice que una cópula es gaussiana si es la cópula asociada de un vector aleatorio gaussiano. Normalmente la cópula más usada en la práctica es la siguiente: Se parte de un vector aleatorio Y∼Nn(µ, Σ), y estandarizando llegamos a otro vector X∼Nn(0, Γ), siendo Γla matriz de correlaciones de Y. Como el proceso de estandarización involucra sólo operaciones monótonas, la cópula de Xcoincide con la de Y. Así, si Φndenota la función de distribución de X, y Φla función de distribución de la normal univariante estándar, la cópula viene dada por C(u1, ..., un;Γ) = Φn(Φ−1(u1), ..., Φ−1(un)). Usando la Observación 1.4, es fácil comprobar que la densidad de la cópula Cviene dada por c(u1, ..., un) = |Γ|−1/2exp −1 2ξt(Γ−1−In)ξ, donde ξ= (ξ1, ..., ξn)es el vector de cuantiles, es decir, ξi=Φ−1(ui)para i= 1, ..., n. En particular, para el caso n= 2 la densidad viene dada por c(u1, u2;ρ) = 1 p1−ρ2exp −ρ2ξ2 1−2ρξ1ξ2+ρ2ξ2 2 2(1 −ρ2), siendo ρ∈(−1,1) el coeficiente de correlación asociado al vector. Viendo las expresiones anteriores se puede observar que tanto la cópula de independencia (cuando Γ=In)como la cópula CU(cuando Γ= 1n×n) son casos particulares de la cópula gaussiana, es más, para el caso n= 2, y tomando ρ=−1, se obtiene la cópula CL. Por ello es posible interpretar la cópula gaussiana como una estructura de dependencia que oscila entre la dependencia perfecta positiva y la dependencia negativa perfecta, indicando el parametro ρla fuerza de la dependencia. 3. construcción de cópulas 35 Densidad de la cópula gaussiana para ρ= 0.5: Densidad de la cópula gaussiana para ρ=−0.5: 42 teoría de cópulas y aplicaciones Un resultado similar al Teorema 3.4 se tiene para los parámetros de dependencia de colas: Teorema 3.5. Sea (X, Y )un vector aleatorio con cópula asociada C. Si Ces una cópula arquimediana con función generatriz Ψ, se verifica que λL= l´ım t→+∞ Ψ[−1](2t) Ψ[−1](t) λU= 2 −l´ım t→0+ 1−Ψ[−1](2t) 1−Ψ[−1](t). Demostración. Ver [4], Corollary 5.4.3. A continuación se exponen algunos ejemplos de familias de cópulas arquimedianas: 3.3.1 Cópula de Clayton Esta familia paramétrica de cópulas fue estudiada por Kimeldorf y Sampson en 1975 (ver [14]), y viene dada por la función generatriz: Ψ(u) = α−1(u−α−1), α ∈(−1,+∞)\0. La función cópula viene dada por C(u1, ..., un) = m´ax C(u1, ..., un) = (u−α 1+... +u−α n−n+ 1)−1/α,0, y la densidad de cópula es c(u1, ..., un) = 1−n+ n X i=1 u−α i!−n−1/α n Y j=1 [u−α−1 j(α(j−1) + 1)]. Obsérvese que cuando α→+∞se obtiene la cópula CU, en cambio, si α→0+se obtiene la cópula CI. Un inconveniente de esta familia de cópulas es que no puede capturar dependencias negativas. Para el caso bivariante, es posible calcular el coeficiente τde Kendall asociado mediante el Teorema 3.4, obteniéndose τ= 1 + 4 Z1 0 Ψ(t) Ψ0(t)dt = 1 + 4 Z1 0 tα+1 −t αdt = 1 + 4 α1 α+ 2 −1 2=α α+ 2. 3. construcción de cópulas 43 Del mismo modo, usando el Teorema 3.5, se obtiene: λL= l´ım t→+∞ Ψ[−1](2t) Ψ[−1](t)= l´ım t→+∞ (2αt + 1)−1/α (αt + 1)−1/α = 2−1/α λU= 2 −l´ım t→0+ 1−(2αt + 1)−1/α 1−(αt + 1)−1/α = 0. Densidad de la cópula de Clayton para α= 0.5: 3.3.2 Cópula de Gumbel Este tipo de cópulas ya fue introducido en la sección anterior, debido a que son cópulas de valor extremo, pero además son cópulas arquimedianas para la función generatriz: Ψ(u) = (−log u)δ, δ ≥1. La función cópula viene dada por C(u1, ..., un) = exp  − n X i=1 (−log ui)δ!1/δ . 44 teoría de cópulas y aplicaciones Diferenciando la expresión anterior se obtendría la densidad de cópula. Para el caso n= 2 se tiene c(u1, u2) = (A+δ−1)A1−2δexp(−A) u1u2 (−log u1)δ−1(−log u2)δ−1, donde A= [(−log u1)δ−1+ (−log u2)δ−1]1/δ. Se verifica que para δ= 1, la cópula de Gumbel coincide con CI, y cuando δ→+∞ se obtiene la cópula CU. Tal y como pasaba con la cópula de Clayton, esta familia tiene el inconveniente de no poder capturar dependencias negativas. El coeficiente τde Kendall asociado es τ= 1 + 4 Z1 0 Ψ(t) Ψ0(t)dt = 1 + 4 Z1 0 tlog t δdt = 1 −1 δ. En cuanto a los parámetros de dependencia de colas: λL= l´ım t→+∞ Ψ[−1](2t) Ψ[−1](t)= l´ım t→+∞ exp(−(2t)1/δ) exp(−t1/δ)= 0 λU= 2 −l´ım t→0+ 1−exp(−(2t)1/δ) 1−exp(−t1/δ)= 2 −21/δ. Densidad de la cópula de Gumbel para δ= 1.5: 3. construcción de cópulas 45 3.3.3 Cópula de Frank Esta familia parámetrica de cópulas arquimedianas tiene como función generatriz Ψ(u) = −log e−θu −1 e−θ−1, θ ∈R\ {0}. La función de cópula viene dada por C(u1, ..., un) = −1 θlog 1 + Qn i=1(exp(−θui)−1) e−θ−1, y para el caso bivariante, la densidad de cópula toma la siguiente expresión: c(u1, u2) = θexp[θ(1 + u1+u2)](−1 + exp θ) (exp θ−exp(θ+θu1) + exp[θ(u1+u2)] −exp(θ+θu2))2. La cópula de Frank no tiene dependencia en colas, y captura dependencias tanto positivas como negativas. De hecho, al igual que la cópula gaussiana, la cópula de Frank puede capturar el rango completo de dependencia, verificandose que: l´ım θ→+∞C(u1, u2) = CU(u1, u2) l´ım θ→−∞ C(u1, u2) = CL(u1, u2) l´ım θ→0C(u1, u2) = CI(u1, u2). Finalmente, el coeficiente τde Kendall asociado viene dado por τ= 1 −4(1 −D1(θ)) θ, siendo Dk, para k∈N, la k-ésima función de Debye, dada por Dk(θ) = k xkZθ 0 tk et−1dt. 46 teoría de cópulas y aplicaciones Densidad de la cópula de Frank para θ= 1 : Densidad de la cópula de Frank para θ=−1: 4 Aplicación de cópulas al clustering 4.1 Algoritmo EM con cópulas. En está sección se presenta un algoritmo EM de clustering, ya estudiado en [15], que implementa el uso de las cópulas. La idea reside en clasificar a los individuos de una población teniendo en cuenta la relación existe ciertas de sus variables. Además, se tratará en especial el caso gaussiano, el cual puede resolverse de forma analítica. Sea Xuna población con nindividuos sobre los que puede observarse un conjunto de kvariables continuas. El objetivo es establecer gsubpoblaciones en X, para ello se supondrá que, para cada una de estas poblaciones, los valores de dichas variables proceden un vector aleatorio cuyas marginales y cópula asociadas pertenecen a familias paramétricas prefijadas. Es deseable que la familia paramétrica de cópulas escogida abarque un gran rango de dependencia. En los algoritmos EM tradicionales (consultar [16]), se consideran los datos completos (Y , Z), donde Yes el vector que recoge las kvariables y Zes un vector de etiquetas que indica a que subpoblación pertenece el individuo. De esta forma se obtiene la llamada función log-verosimilitud, dada por: l(Ψ|y, z) = n X j=1 g X i=1 zij log πi+ n X j=1 g X i=1 zij log fi(yj|θi), donde Ψ= (π1, ..., πg, θ1, ..., θg)es el vector de parámetros. Aquí πies la probabilidad a priori de pertenecer a la subpoblación i, y fies la función de densidad del vector aleatorio asociado subpoblación i, que depende del vector de parámetros θi. Ahora 48 teoría de cópulas y aplicaciones bien, haciendo uso de la Observación 1.4, es posible expresar fi(y|θi) = cρi(Fi1(y1|βi1), ..., Fik(yk|βik)) k Y m=1 gim(ym|βim), donde cρirepresenta la densidad de la cópula Cρi, y gmla densidad de la m-ésima marginal. De esta forma es posible reescribir la función log-verosimilitud como l(Ψ|y, z) = n X j=1 g X i=1 zij log πi+ n X j=1 g X i=1 zij log cρi(Fi1(yj1|βi1), ..., Fik(yjk|βik)) + n X j=1 g X i=1 zij k X m=1 log gim(yjm|βim)!, siendo Ψ= (π1, ..., πg, ρ1, ..., ρg, β11, ..., β1k, ..., βg1, ..., βgk). El algoritmo EM se compone de dos pasos en cada iteración, a continuación se expone la iteración r+ 1 supuesta la iteración r: 1. Paso E: Sea Ψ(r)la estimación de Ψcorrespondiente a la iteración r. El paso E consiste en el cálculo de la esperanza condicional de la función l(Ψ|y, Z)dados los datos observados y, empleando la estimación Ψ(r). Es decir, se busca calcular Q(Ψ|Ψ(r)) := E[l(Ψ|y, Z)|Y=y, Ψ(r)]. De esta forma, se obtiene Q(Ψ|Ψ(r)) = n X j=1 g X i=1 τ(r) ij log πi+ n X j=1 g X i=1 τ(r) ij log cρi(Fi1(yj1|βi1), ..., Fik(yjk|βik)) + n X j=1 g X i=1 τ(r) ij k X m=1 log gim(yjm|βim)!, siendo τ(r) ij =E[Zij|Yj=yj, Ψ(r)] = P[Zij = 1|Yj=yj, Ψ(r)]la probabilidad de que el individuo jpertenezca al clúster i, que, haciendo uso del Teorema de Bayes, puede expresarse como τ(r) ij =ˆπ(r) icρ(r) i (Fi1(yj1|β(r) i1, ..., Fik(yjk|β(r) ik )) Qk m=1 gim(yjm|β(r) im) Pg l=1 ˆπ(r) lcρ(r) l (Fl1(yj1|β(r) l1, ..., Flk(yjk|β(r) lk )) Qk m=1 glm(yjm|β(r) lm). 2. Paso M: 4. aplicación de cópulas al clustering 49 Aquí se maximiza la expresión obtenida en el paso E, estableciéndose así una nueva estimación dada por Ψ(r+1) =Arg máxΨQ(Ψ|Ψ(r)). Nótese que, viendo la expresión de Q(Ψ|Ψ(r)), vemos que los parámetros del primer sumando son independientes a los del resto de sumandos, por tanto es posible maximizar dichos parámetros por separado. Para ello, usamos los Multiplicadores de Lagrange, obteniéndose π(r+1) =1 n n X j=1 τ(r) ij . Para los otros dos sumandos la maximización depende de las familias parámetricas de cópula y marginales escogidas. Estimar simultáneamente los parámetros de cópula y los parámetros marginales es computacionalmente costoso, por tanto, siguiendo [15] y [17], esta maximización se realiza mediante la llamada máximo verosimilitud en dos pasos: En el primer paso, se aplica estimación máxima verosimilitud sólo en el tercer sumando de Q(Ψ|Ψ(r)), es decir, en n X j=1 g X i=1 τ(r) ij k X m=1 log gim(yjm|βim)!. para estimar los parámetros de las marginales. De esta forma se obtienen unos estimadores β(r+1) 11 , ..., β(r+1) 1k, ..., β(r+1) g1, ..., β(r+1) gk que verifican (β(r+1) 11 , ..., β(r+1) 1k, ..., β(r+1) g1, ..., β(r+1) gk ) = Arg máx n X j=1 g X i=1 τ(r) ij k X m=1 log gim(yjm|βim)!. En el segundo paso, se estima en parámetro de la cópula usando sólo el segundo sumando de Q(Ψ|Ψ(r))valiéndose de la estimación de los parámetros marginales del paso anterior, es decir, se aplica máxima verosimilitud en n X j=1 g X i=1 τ(r) ij log cρi(Fi1(yj1|ˆ βi1), ..., Fik(yjk|ˆ βik)). De esta forma, se consiguen unos estimadores ˆρ(r+1) 1, ..., ˆρ(r+1) gque verifican (ˆρ(r+1) 1, ..., ˆρ(r+1) g) = Arg máx n X j=1 g X i=1 τ(r) ij log cρi(Fi1(yj1|β(r+1) i1), ..., Fik(yjk|β(r+1) ik )). 50 teoría de cópulas y aplicaciones Observación 4.1.Nótese que para aplicar el algortimo anterior se necesita de una estimación inicial Ψ(0) y un criterio de parada. Para obtener Ψ(0) una forma habitual consiste aplicar cualquier otro algoritmo de clustering, como el k-medias, y estimar en cada subpoblación dada por el algoritmo los parámetros de interés. Como criterio de parada, lo común es detener el algoritmo cuando |l(Ψ(t+1)|y, z)−l(Ψ(t)|y, z)|< ε, para un valor prefijado de ε. Una vez se detiene el algoritmo en el paso re, la clasificación de los individuos se realiza de la siguiente manera: El individuo j-ésimo se asigna a aquella subpoblación i0que verifica τ(re) i0j=máx nτ(re) 1j, ..., τ(re) gj o, en caso de empate, se asignaría al individuo de forma aleatoria entre aquellas subpoblaciones donde de alcanza el máximo τ(re) ij . Para más información sobre estimación de valores iniciales y convergencia del algoritmo, ver [16]. 4.1.1 El caso gaussiano. Aquí se presenta un caso particular del algoritmo anterior, en el cual la maximización de paso M puede realizarse de forma analítica. Se considerará el caso bivariante, con cópula y marginales gaussianas. En este caso, el vector de parámetros viene dado por Ψ= (π1, ..., πg, ρ1, ..., ρg, β11, β12, ..., βg1, βg2), donde βim = (µim, σ2 im)para m= 1,2yi∈ {1, ..., g}. Tal como se comentó en el algoritmo general, los parámetros (π1, ..., πg)pueden estimarse de forma independiente, obteniéndose π(r+1) =1 n n X j=1 τ(r) ij . De nuevo siguiendo [15] y [17], para los parámetros de cópula y marginales se realiza mediante máxima verosimilitud en dos pasos. Se denotarán como Q3(Ψ|Ψ(r))y Q2(Ψ|Ψ(r))al tercer y segundo sumando de Q(Ψ|Ψ(r))respectivamente. 4. aplicación de cópulas al clustering 51 Estimación de las medias marginales: Dados i∈ {1, ..., g}ym∈ {1,2}, para obtener µ(r+1) im se deriva en Q3(Ψ|Ψ(r))respecto de µmi y se iguala a cero: ∂ ∂µim Q3(Ψ|Ψ(r)) = n X j=1 τ(r) ij ∂ ∂µim log gm(yjm|βim) = n X j=1 τ(r) ij ∂ ∂µim −1 2log(2π)−log σim −(yjm −µim)2 2σ2 im  = n X j=1 τ(r) ij yjm −µim σ2 im = 0. Despejando en la ecuación anterior se obtiene µ(r+1) im =Pn j=1 τ(r) ij yjm Pn j=1 τ(r) ij . Estimación de las varianzas marginales: Dados i∈ {1, ..., g}ym∈ {1,2}, para obtener σ2(r+1) im se deriva en Q3(Ψ|Ψ(r))respecto de σim y se iguala a cero: ∂ ∂σim Q3(Ψ|Ψ(r)) = n X j=1 τ(r) ij ∂ ∂σim log gm(yjm|βim) = n X j=1 τ(r) ij ∂ ∂σim −1 2log(2π)−log σim −(yjm −µim)2 2σ2 im  = n X j=1 τ(r) ij −σ2 im + (yjm −µim)2 σ3 im = 0. Despejando en la ecuación anterior se obtiene σ2(r+1) im =Pn j=1 τ(r) ij (yjm −µim)2 Pn j=1 τ(r) ij , y usando las estimaciones de las medias marginales: σ2(r+1) im =Pn j=1 τ(r) ij (yjm −µ(r+1) im )2 Pn j=1 τ(r) ij . Estimación de la cópula: Para no sobrecargar las expresiones, se denotará ui j= (ui j1, ui j2) := (Fi1(yj1|β(r+1) i1), Fi2(yj2|β(r+1) i2)) Anexos A Demostración del teorema de Sklar Se presenta una prueba alternativa basada en trabajo de los autores F. Durante, J. Fernández-Sánchez y C. Sempi (ver [18]) que además mostrará algunas propiedades del conjunto de las cópulas como subconjuntos de espacio de funciones continuas en [0,1]n. Definición A.1. Se define como Cncomo el conjunto de las cópulas en dimensión n. Se considerará como subconjunto del espacio vectorial (C([0,1]n,||.||∞), que, como es bien sabido, es un espacio métrico completo. Teorema A.1. Sea {Ck}k∈N⊂ CnyC0∈ Cnde forma que Ck k →C0puntualmente, entonces Ck k →C0uniformemente. Demostración. Ver [18]. Proposición A.1.El subconjunto Cnes cerrado en la topología de la convergencia uniforme y, en consecuencia, completo. Demostración. Considérese una sucesión {Cn}que converge uniformemente a C. Hay que ver que C∈ Cn. Para comprobar que Ces función de distribución es fácil ver que gracias a la convergencia uniforme se verifican las condiciones del Teorema 1.1. Se procede a mostrar que las marginales deben ser uniformes, se realizará la prueba para la primera marginal, pues es análogo para el resto. Sea ε > 0fijo, por la convergencia uniforme existirá n0natural tal que, para todo n≥n0: sup u∈[0,1]n |Cn(u)−C(u)|< ε En particular, para a2, ..., an>0arbitrarios se tiene que, para todo n≥n0y todo u1∈(0,1) : |Cn(u1, a2, ..., an)−C(u1, a2, ..., an)|< ε y tomando límites en esta expresión cuando ai→1para i= 2, ..., n se obtiene que, 62 teoría de cópulas y aplicaciones de nuevo para todo n≥n0, y todo u1∈(0,1) : |F1,n(u1)−F1(u1)|=|u1−F(u1)|< ε, y finalmente de la arbitrariedad de ε > 0se deduce el resultado. La completitud se desprende de que es un subconjunto cerrado de (C([0,1]n),||.||∞, que es un espacio de Banach. Teorema A.2. El subconjunto Cnes compacto en la topología de la convergencia uniforme. Demostración. Como Cnes cerrado bastará ver que es relativamente compacto. Por un lado: sup {|C(u)|:u∈[0,1]n, C ∈ Cn} ≤ 1 luego Cnes uniformemente acotado. Por otro lado, de la Proposición 1.2 se deduce que dicha familia también es equicontinua, luego aplicando el teorema de Ascoli-Arzelá se concluye que Cnes relativamente compacto. Para la demostración se hará uso de una familia regularizante de funciones {ρε}ε>0, esto es, una familia de funciones que verifican, para todo ε > 0, las siguientes propiedades: 1. ρε∈ C∞ c(Rn) 2. ρε≥0 3. sop(ρε)⊂B(0, ε) 4. ZRn ρε(x)dx = 1 Puede comprobarse que la familia dada por ρε(x) = 1 εnρ(x ε)verifica lo anterior, donde ρ(x) = ˆρ(x) RRnˆρ(z)dz siendo ˆρ(x) = (e−1 1−|x|2,si x∈B(0,1) 0,si x /∈B(0,1). Se introduce ahora el concepto de convolución entre funciones, una herramienta muy útil a la hora de obtener funciones con más regularidad a partir de funciones ya dadas. a. demostración del teorema de sklar 63 Definición A.2. Dadas f, g funciones medibles, entonces, para todo x∈Rntal que la función y7→ f(x−y)g(y)sea integrable, se define: (f∗g)(x) = ZRn f(x−y)g(y)dy. A esta nueva función la llamamos la convolución en fcon g. Observación A.1.Si la convolución de fcon gestá bien definida en el punto x, entonces mediante el cambio de variables u=x−yse tiene que g∗ftambién está bien definida en el punto xy, de hecho, (f∗g)(x)=(g∗f)(x), lo cual muestra la conmutatividad del producto de convolución. Proposición A.2.Sea Hfunción de distribución n-dimensional. Para todo k∈N difinimos Hk(x) = ZRn H(x−y)ρ1/k(y)dy. Entonces se verifica que Hkes función de distribución n-dimensional continua para todo k∈N. En consecuencia, cada función de distribución marginal Fk,i de Hnes continua. Demostración. El hecho de que 0≤H≤1indica que Hkestá bien definida y toma valores entre 0 y 1 para todo k∈N. Para ver que es función de distribución bastará comprobar las condiciones del Teorema 1.1. Si se fija ε > 0arbitrario, por ser H función de distribución deberá existir M > 0tal que, para todo X∈Rnverificando xi> M para i= 1, ..., n, se cumple H(x)>1−ε. Se sigue de aquí que, para todo x∈Rnverificando xi> M + 1/k para i= 1, ..., n y dado yen B(0,1/k)entonces xi−yi> M, con lo cual Hk(x) = ZB(0,1/k) H(x−y)ρ1/k(y)dy > (1 −ε)ZB(0,1/k) ρ1/k(y)dy = 1 −ε de donde se deduce que Hk(x)→1si xi→+∞para i= 1, ..., n. De forma similar se prueba Hk(x)→0si xi→ −∞ para algún i∈ {1, ..., n}. Para ver que se verifica la segunda propiedad del Teorema 1.1, basta considerar [a, b], y notar que : VHn([a, b]) = X v sign(v)Hn(v) = ZRnX v sign(v)H(v−y)ρ1/k(y)dy =ZRn VH[a−y, b −y]ρ1/k(y)dy ≥0, donde el último término es no negativo por ser la integral de una función no negativa, ya que Hes una función de distribucíon y verifica la desigualdad en los puntos a−y 64 teoría de cópulas y aplicaciones yb−y. Resta ver que Hkes continua, como ρ1/k es continua en B(0,1) compacto, es uniformemente continua aquí, por tanto dado ε > 0existe δ > 0tal que si |x−y|< δ se cumple |ρ1/k(x−ρ1/k(y)|< ε. Así, denotando como mna la medida de Lebesgue n-dimensional, y usando la conmutatividad de la convolución, así como el hecho de que |H| ≤ 1: |Hk(x)−Hk(u)| ≤ ZB(0,1/k) |H(y)||ρ1/k(x−y)−(x−y)|dy ≤2ε mn(B(0,1/k)) de donde se deduce la continuidad. Proposición A.3.Si Hes continua en el punto x∈Rn, entonces l´ım k→+∞Hk(x) = H(x). En consecuencia, si Htiene marginales F1, ..., FnyFies continua en el punto xi∈R, entonces l´ım k→+∞Fk,i(xi) = Fi(xi). Demostración. Si Hes continua en el punto x∈Rn, entonces dado ε > 0existe δ > 0tal que para todo y∈B(0, δ)se verifica |H(x)−H(x−y)|< ε. Por tanto, para todo k > 1/δ : |Hk(x)−H(x)|=ZB(0,1/k) H(x−y)ρ1/k(y)dy −H(x)ZB(0,1/k) ρ1/k(y)dy =ZB(0,1/k) (H(x−y)−H(x))ρ1/k(y)dy ≤ZB(0,1/k) |H(x−y)−H(x)|ρ1/k(y)dy < ε ZB(0,1/k) ρ1/k(y)dy =ε, de donde se deduce el resultado. Ya con todas las herramientas listas se procede a la demostración del Teorema de Sklar: Teorema A.3 (Sklar). Sea Xun vector aleatorio con función de distribución Hy funciones de distribución marginales univariantes F1, ..., Fn. Entonces existe una cópula Casociada con X, es decir, tal que se verifica que H(x) = C(F1(x1), ..., Fn(xn)). para todo x∈Rn. a. demostración del teorema de sklar 65 Demostración. Dada la función de distribución Hse construye la sucesión de funciones de distribución continuas Hk, cuyas marginales Fk,1, ..., Fk,n también son continuas. Aplicando a cada Hkla Proposición 1.4 se obtiene que existe una sucesión de cópulas {Ck}tal que, para todo k∈N: Hk(x) = Ck(Fk,1(x1), ..., Fk,n(xn)). Por la compacidad de Cn, existe una subsucesíon Ck(m)de {Ck}que converge uniformemente a una cópula C. Sea entonces x= (x1, ..., xn)∈Rn, se distinguen aquí dos casos: Hes continua en x: Aplicando la Proposición A.3, se tiene que {Hk(x)}converge a H(x), y por tanto también lo hace Hk(m)(x). Este hecho también se aplica la las funciones de distribución marginales, con lo que la sucesión Ck(m)(Fk(m),1(x1), ..., Fk(m),n(xn)) converge a C(F1(x1), ..., Fn(xn)). De esta forma: H(x) = l´ım mHk(m)(x) = l´ım mCk(m)(Fk(m),1(x1), ..., Fk(m),n(xn)) =C(F1(x1), ..., Fn(xn)), con lo que se verifica el teorema. Hno es continua en x: Se escoge en este caso una sucesión de puntos de continuidad de H,xj, verificando xj,i > xipara i= 1, ..., n y todo j∈N, y tales que H(xj) converge a H(x)y{Fi(xj,i)}converge a Fi(xi)para i= 1, ..., n (nótese que esto es posible por ser las funciones de distribución continuas a la derecha). Por tanto, dado ε > 0, existirá j0∈Ntal que, para todo j≥j0, se tiene |H(xj)−H(x)|< ε y|Fi(xj,i)−Fi(xi)|< ε/(2n),para i= 1, ..., n. Por otro lado, como dado xjes un punto de continuidad, gracias a la Proposición A.3, para un m∈Nsuficientemente grande, se tendrá que |Hk(m)(xj)−H(xj)|< ε. Por ello |Hk(m)(xj)−H(x)|≤|Hk(m)(xj)−H(xj0)|+|H(xj)−H(x)|<2ε, 66 teoría de cópulas y aplicaciones de donde se deduce que Hk(m)(xj)m,j converge a H(x)cuando m, j →+∞. Además la sucesión Ck(m)(F1(xj,1, ..., Fn(xj,n))m,j converge a C(F1(x1), ..., Fn(xn)) cuando m, j →+∞. En efecto, para j, m suficientemente grandes, si aplicamos la desigualdad triángular: Ck(m)(F1(xj,1, ..., Fn(xj,n)) −C(F1(x1), ..., Fn(xn))≤ |Ck(m)(F1(xj,1, ..., Fn(xj,n)) −Ck(m)(F1(x1), ..., Fn(xn))| +|C(F1(x1), ..., Fn(xn)) −Ck(m)(F1(x1), ..., Fn(xn))|= (∗) acotando el primer sumando por la Proposición 1.2 y el segundo por la convergencia uniforme de Ck(m): (∗)≤ n X i=1 |Fi(xj,i)−Fi(xi)|+ε 2≤nε 2n+ε 2=ε que era lo que se quería ver. Finalmente, usando el resultado ya probado para puntos de continuidad: H(x) = l´ım Hk(m)(xj) = l´ım Ck(m)(F1(xj,1, ..., Fn(xj,n)) = C(F1(x1), ..., Fn(xn)) concluyendo así la prueba. B La cópula empírica La siguiente exposición se basa en la sección 4.2 de [17]. Sea Xun vector aleatorio d-dimensional, con funciones de distribución marginales F1, ..., Fdy cópula C, del que se posee una muestra aleatoria independiente X1, ..., Xn. Para cada una de estas funciones de distribución marginales, un estimador no paramétrico clásico es el dado por la función de distribución empírica, con expresión Fn,j(x) = 1 n+ 1 n X i=1 I(Xij ≤x),∀x∈R, donde Irepresenta la función indicatriz y j∈ {1, ..., d}. Haciendo uso dichos estimadores, podemos definir la muestra asociada de pseudoobservaciones de Ccomo Ui,n = (Fn,1(Xi1), ..., Fn,d(Xid)), i ∈ {1, ..., n}. Nótese que U1,n, ..., Un,n no son observaciones reales de C, de hecho no son observaciones independientes. La razón de dividir por n+ 1 en la definición de la función de distribución empírica es que, debido a que estas pseudo-observaciones serán usadas para estimar la cópula de X, es necesario que pertenezcan al interior de hipercubo [0,1]d. Aunque de esta forma dichas funciones de distribución empíricas no pueden tomar el valor 1, esto no influye para grandes volúmenes de datos, pues n n+1 ≈1para valores elevados de n. La cópula empírica Cnconsiste en un estimador no parámetrico de C, dado por Cn(u) = 1 n n X i=1 I(Ui,n ≤u) = 1 n n X i=1 d Y j=1 I(Uij,n ≤u), u ∈[0,1]d. Deheuvels probó en 1979 que Cnes un estimador consistente de Cen [19], sin embargo a veces muestra un gran sesgo cuando el tamaño de muestra es pequeño. Para