El bosque de Lyman-alfa

Universidad de Sevilla Facultad de F´ ısica El Bosque de Lyman-α Trabajo de Fin de Grado Autora: Luc´ıa Flores L´opez Tutor: Jose O˜norbe Bernis Mayo 2023 A mis padres, por su apoyo incondicional, por su inquebrantable confianza en m´ı y por ense˜narme que con trabajo todo se consigue. Y a Pach´u, por cuidarme, hacerme sentir en casa y contagiarme un poco de su eterna vitalidad (y rebeld´ıa). i 1. Resumen A medida que la radiaci´on electromagn´etica se propaga a trav´es del universo e interact´ua con el gas que conforma el medio intergal´actico, se producen absorciones del tipo Lyman-αque quedan reflejadas en su espectro. Este conjunto de l´ıneas de absorci´on conforman lo que conocemos c´omo Bosque de Lyman-α. Debido a su naturaleza y caracter´ısticas, el Bosque de Lyman-αse ha convertido en una de las herramientas m´as potentes para el estudio del medio intergal´actico y, por tanto, de la evoluci´on del universo. En este trabajo he desarrollado un programa computacional en Python que, en base a simulaciones cosmol´ogicas hidrodin´amicas, permite la reconstrucci´on del Bosque de Lyman-α. Para ello se har´a necesaria la definici´on de profundidad ´optica del medio intergal´actico como una medida de la opacidad de ´este ante la radiaci´on. En este contexto se han estudiado distintas aproximaciones al c´alculo de la profundidad ´optica, como la Fluctuating Gunn-Peterson Approximation o el ajuste a la sobredensidad. Gracias a ellas la modelizaci´on del Bosque de Lyman-αse simplifica considerablemente, permitiendo la r´apida obtenci´on de resultados que, sin embargo, no difieren de los resultados exactos en m´as del 4 %. Finalmente se ha estudiado el efecto producido en el Bosque de Lyman-α al introducir fluctuaciones sobre la tasa de fotoionizaci´on y se ha comprobado que las observaciones actuales restringen estas fluctuaciones a un factor menor de 0.5. ii ´ Indice 1. Resumen II 2. Introducci´on 1 3. Marco te´orico 3 3.1. Cosmolog´ıa ................................... 3 3.1.1. Redshift Cosmol´ogico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.2. El medio intergal´actico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.2.1. Relaci´on densidad-temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.2.2. Estado de ionizaci´on del medio intergal´actico . . . . . . . . . . . . . 9 3.3. El Bosque de Lyman-α............................. 10 3.3.1. La forma de las l´ıneas de absorci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.3.2. Flujo y profundidad ´optica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4. Metodolog´ıa 19 4.1. Simulaci´on cosmol´ogica del medio intergal´actico: Nyx ............ 19 4.2. C´alculo de la densidad de hidr´ogeno neutro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.3. C´alculo de la profundidad ´optica τy flujo (F)................ 22 4.3.1. Tratamiento de datos: cambio de coordenadas . . . . . . . . . . . . 22 4.3.2. C´alculoexacto ............................. 23 4.3.3. Aproximaci´on Fluctuante de Gunn-Peterson . . . . . . . . . . . . . 25 4.4. Fluctuaciones en la tasa de fotoionizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.5. An´alisis estad´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5. Resultados 28 5.1. C´alculo de densidad de hidr´ogeno neutro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.2. C´alculodelflujo................................. 31 5.3. Aproximaci´on Fluctuante de Gunn-Peterson . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.3.1. Ajuste experimental a la densidad bari´onica . . . . . . . . . . . . . 37 5.4. Fluctuaciones de la tasa de fotoionizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6. Conclusiones 44 iii 7. Bibliograf´ıa 49 8. Anexo A: Modelo ΛCDM 51 9. Anexo B: C´alculo de la profundidad ´optica 54 10.Anexo C: Figuras 58 iv 2. Introducci´on Aproximadamente 4.4 millones de a˜nos despu´es del inicio del Universo tal y c´omo lo conocemos, cuando la denominada materia oscura dej´o de dominar sobre la materia bari´onica, comenz´o una ´epoca de vital importancia: La ´epoca de la Reionizaci´on (EoR) (Zaroubi, 2013). Su inicio viene marcado por la formaci´on de las primeras estrellas y posteriormente cu´asares (Quasi-stellar Objects, mucho m´as luminosos que las estrellas), fuentes de radiaci´on que poco a poco ir´ıan ionizando toda la materia bari´onica que conforma el medio intergal´actico (IGM). El espectro de radiaci´on electromagn´etica de estos cu´asares comenzar´a a viajar por el universo, atravesando vastas regiones del IGM e interactuando con la materia que lo conforma. Cuando dicha radiaci´on cruce zonas del medio donde a´un queden ´atomos de hidr´ogeno sin ionizar, ´estos la absorber´an para promocionar su electr´on hasta el primer estado excitado, produciendo as´ı unas l´ıneas de absorci´on en el espectro del cu´asar a 1215.5 ˙ A. Debido a la expansi´on del universo, la posici´on (en t´erminos de longitud de onda) en el espectro que estas l´ıneas de absorci´on ocupen experimentar´a la variaci´on conocida como corrimiento al rojo. As´ı, aunque todas las l´ıneas se correspondan con el mismo tipo de absorci´on y, por tanto, tengan la misma longitud de onda caracter´ıstica, su posici´on en el espectro observado ser´a distinta y relativa al tiempo en el que se produjo la absorci´on: aquellas m´as antiguas ser´an las que mayor cambio hayan experimentado y viceversa. El conjunto de l´ıneas de absorci´on presentes en el espectro del cu´asar que nos llegua tras atravesar el IGM recibe el nombre de Bosque de Lyman-α. Este tipo de absorciones se caracterizan por su significativa sensibilidad a la densidad de hidr´ogeno neutro y alta secci´on eficaz, lo que implica elevadas posibilidades de que ocurra el proceso. Esto hace del estudio del Bosque de Lyman-αun aspecto esencial para la caracterizaci´on de las principales propiedades del IGM, como su estado de ionizaci´on (Zaroubi, 2013) o la relaci´on densidad - temperatura que exhibe el gas que lo conforma (Kulkarni et al., 2015). Por medio de este trabajo buscamos, en primer lugar, desarrollar una herramienta computacional que nos permita recrear con precisi´on las medidas del Bosque de Lyman-α en base a los datos que proporcionan las simulaciones cosmol´ogicas; en este caso, utilizaremos los resultados de la simulaci´on Nyx. Para ello primero deberemos determinar la 1 densidad de hidr´ogeno neutro presente en cada regi´on del IGM para, a partir de ella, calcular la profundidad ´optica (y, por tanto, el flujo) caracter´ıstico. Buscaremos, adem´as, distintas aproximaciones al c´alculo de la profundidad ´optica que nos permitan prescindir del conocimiento de ciertas magnitudes f´ısicas que s´ı son necesarias para llevar a cabo el c´alculo exacto. Estas aproximaciones resultan extremadamente ´utiles a la hora de descartar nuevos modelos cosmol´ogicos: aquellos modelos cuyo espectro de absorci´on generado por las aproximaciones discrepe del Bosque de Lyman-αobservado por encima del l´ımite de error que supone la aproximaci´on pueden ser directamente rechazados sin necesidad de llevar a cabo el c´alculo completo, el cu´al veremos que es computacionalmente pesado. Por ´ultimo, estudiaremos cu´al es el efecto producido en el Bosque de Lyman-αtras introducir fluctuaciones en el valor del campo de ionizaci´on del medio. Esto, de nuevo, nos permitir´a caracterizar modelos en los que la tasa de ionizaci´on presente en el IGM no sea constante sino dependiente de otras magnitudes f´ısicas como puede ser la temperatura (D’Aloisio, McQuinn y Trac, 2015) o la densidad bari´onica; aquellos modelos que produzcan cambios en el Bosque de Lyman-αsuperiores al margen de error podr´an ser descartados. En cuanto a la organizaci´on de este trabajo, encontraremos en la Secci´on 3 el contexto te´orico necesario para la comprensi´on del procedimiento y los resultados. En ´el hablaremos tanto del modelo cosmol´ogico en el que se enmarca este trabajo como de las principales caracter´ısticas del medio intergal´actico y del Bosque del Lyman-α. A continuaci´on, en la Secci´on 4 explicaremos el procedimiento llevado a cabo para obtener los resultados expuestos en la Secci´on 5. En referencia a los resultados, ´estos se encuentran divididos en cuatro partes principales: el c´alculo de la densidad de hidr´ogeno neutro (Secci´on 5.1), el c´alculo de la profundidad ´optica de forma exacta (Secci´on 5.2), el c´alculo de la profundidad ´optica usando la aproximaci´on Fluctuating Gunn-Peterson Approximation (Secci´on 5.3) y, finalmente, los resultados obtenidos al considerar fluctuaciones (Secci´on 5.4). Por ´ultimo presentamos las conclusiones en la Secci´on 6. Adicionalmente se incluyen varios Anexos (Secciones 8, 9 y 10) donde ampliamos algunos de los aspectos introducidos en el marco te´orico, presentamos parte del c´odigo desarrollado para este trabajo e incluimos algunas gr´aficas complementarias al discurso expuesto en los resultados. 2 radiaci´on sea suficientemente energ´etica como para llevar a cabo la segunda reionizaci´on del helio. No obstante, la existencia de este fondo de radiaci´on emitido por galaxias y cu´asares no s´olo produjo la (re)ionizaci´on del IGM sino tambi´en un fuerte aumento en su temperatura mediante el calentamiento por fotoionizaci´on, alcanzando valores de ∼20000 K (McQuinn y Sanderbeck, 2015). A partir de este momento, el estado t´ermico del medio viene determinado por el equilibrio de principalmente cuatro efectos: el enfriamiento adiab´atico debido a la expansi´on del universo, el enfriaamiento por efecto Compton, el calentamiento por colapso gravitatorio y el calentamiento por fotoionizaci´on (Kulkarni et al., 2015) (Para m´as informaci´on sobre procesos que afecten a la temperatura, consultar (McQuinn y Sanderbeck, 2015)). Este equilibrio desemboca en una estrecha relaci´on entre densidad y temperatura del gas que compone el IGM, la cu´al podemos expresar c´omo (Rudie, Steidel y Pettini, 2012): T=To△γ−1con △=ρ ¯ρ,(10) donde ρse refiere a la densidad del medio, ¯ρa la densidad media del universo y Tola temperatura del gas cuando su densidad es la densidad media. Notemos que esta expresi´on dicta un mayor enfriamiento para aquellas zonas del universo donde la densidad sea baja, mientras que donde haya una mayor densidad, habr´a una mayor temperatura. Tanto To como γson los par´ametros que debemos ajustar con los resultados observacionales para un valor de redshift determinado, pudiendo reconstruir as´ı la historia t´ermica del IGM. Veremos en la secci´on de Resultados (5.3.1) que la caracterizaci´on de estos par´ametros se puede llevar a cabo mediante el estudio de las l´ıneas de absorci´on del Bosque de Lyman-α. 3.2.2. Estado de ionizaci´on del medio intergal´actico Dentro del gas del IGM, y en relaci´on con el estado de las part´ıculas que lo componen, es posible diferenciar dos procesos distintos que alteran el estado energ´etico de dichas part´ıculas: la ionizaci´on y la recombinaci´on. Ambos procesos son contrarios y complementarios: la ionizaci´on consiste en la p´erdida de un electr´on por parte de una part´ıcula tras recibir suficiente energ´ıa, mientras que la recombinaci´on alude al proceso mediante el cu´al una part´ıcula ionizada se vuelve a combinar con un electr´on del medio para alcanzar un estado neutro. Ambos procesos se pueden llevar a cabo a trav´es de diversos canales, 9 cuya probabilidad depender´a en alta medida de la densidad y temperatura del IGM. En cuanto a la ionizaci´on, la energ´ıa puede ser suministrada a la part´ıcula bien gracias al choque de ´esta con un fot´on (en cuyo caso hablamos de fotoionizaci´on) o bien al choque con un electr´on que previamente ha sido expulsado de otra part´ıcula (que entonces denominamos ionizaci´on colisional). Por otra parte, la recombinaci´on puede ser de tipo radiativa, en la que una carga positiva capta un electr´on del medio y emite un fot´on con la diferencia de energ´ıa, o de tipo diel´ectrica, en la que el ´atomo, al captar un electr´on del medio, utiliza su energ´ıa para promocionar otro de sus electrones a un nivel de energ´ıa m´as alto. Eventualmente este electr´on excitado decaer´a, emitiendo entonces un fot´on con la diferencia de energ´ıa, que ser´a menor a la del fot´on emitido tras la recombinaci´on radiativa. Estos cuatro procesos ser´an los que consideremos a la hora de establecer el estado de equilibrio de ionizaci´on en el gas que compone el IGM. 3.3. El Bosque de Lyman-α La radiaci´on emitida por un cu´asar (galaxias en cuyo centro se sit´ua un agujero negro s´uper masivo) a un determinado redshift realiza un largo recorrido en el espacio-tiempo hasta, por fortuna, llegar a nuestra galaxia, permiti´endonos observarla y analizarla. En su recorrido, esta radiaci´on habr´a interactuado con toda aquella materia bari´onica encontrada a su paso, dejando huella de dicha interacci´on en su espectro de radiaci´on. Considerando que, en la vastedad del universo, los picos de densidad (que se˜nalan la presencia de galaxias y cu´asares) son una rareza, la probabilidad de que la radiaci´on haya atravesado en su viaje una de estas zonas es extremadamente baja. Podemos afirmar entonces que las alteraciones en el espectro se deber´an ´unicamente a la interacci´on con el gas del IGM. El an´alisis del espectro observado nos hablar´a, por tanto, de las principales caracter´ısticas de las part´ıculas que conforman el gas del IGM. Imaginemos que el haz de luz emitida por un cu´asar se encuentra en su camino por el IGM una zona de gas neutro. Si la longitud de onda de la radiaci´on es menor a 1215.5 ˙ A, los fotones tendr´an energ´ıa suficiente como para que el hidr´ogeno neutro (que de ahora en adelante tambi´en denotaremos como HI) promocione su electr´on del estado fundamental al primer estado excitado. Esta transici´on, conocida como transici´on de Lyman-α, marcar´a una l´ınea de absorci´on en el espectro continuo del cu´asar. Ahora bien, cuando 10 nosotros observemos dicho espectro, la l´ınea se habr´a desplazado hacia el rojo debido al redshift, resultando en una l´ınea de longitud de onda λobs = 1215.5(1+znube)˙ A.Cuando la radiaci´on vuelva a atravesar otras zonas relativamente neutras, se marcar´an nuevas l´ıneas de absorci´on en el espectro del cu´asar, las cuales tambi´en experimentar´an el correspondiente corrimiento al rojo. El conjunto de l´ıneas de absorci´on producidas por el paso de la radiaci´on a trav´es del IGM se conoce c´omo el Bosque de Lyman-α. Estas transiciones se caracterizan por depender fuertemente de la cantidad de hidr´ogeno neutro de la nube. De hecho, la profundidad ´optica de la nube (definida como la probabilidad de que se produzca la absorci´on de un fot´on al atravesar un medio) es sensible a densidades de HI del orden de nHI ∼10−10cm−3(McQuinn, 2016). Es decir, un solo ´atomo neutro de hidr´ogeno en un volumen de 10000 m3produce efectos relevantes en el espectro que observamos. Es por ello que el estudio del Bosque de Lyman-αpresente en los espectros de distintos cu´asares ha sido tan influyente a la hora de determinar la fracci´on ionizada del gas que conforma el medio. En la Figura 1 podemos ver tres espectros t´ıpicos del flujo de cu´asares a distinto redshift que observamos desde la Tierra. En ella est´an presentes tanto el Bosque de Lymanαcomo el correspondiente a Lyman-β, dos de los elementos caracter´ısticos de un espectro de absorci´on. Debemos tener en cuenta que la longitud de onda ha ido experimentado el corrimiento al rojo en su viaje hasta nosotros. Teniendo esto en mente, veamos las diversas partes presentes en un espectro t´ıpico: L´ınea ”Lyman-α”: Esta l´ınea marca el comienzo del Bosque de Lyman-αjusto despu´es del pico de emisi´on propio del espectro del cu´asar. Se caracteriza por tener una longitud de onda igual a 1215.5(1 + z)˙ A, donde zse corresponde con el redshift del cu´asar. ”Canal de Gunn-Peterson”: En los espectros de cu´asares que se encuentren a un redshift z > 6 podemos observar una zona donde todos los fotones han sido absorbidos y, por tanto, el flujo es nulo. Esta zona recibe el nombre de canal de Gunn- Peterson (GP) en honor al astrof´ısico que dedujo por primera vez su existencia. El hecho de que, como hemos comentado previamente, la absorci´on Lyman-αsea tan sensible a la presencia de HI en el medio provoca que, cuando la radiaci´on atraviese 11 Figura 1: Tres espectros de distintos cu´asares a diferentes redshifts. Se puede observar (de derecha a izquierda) el pico de emisi´on propio del cu´asar en la l´ınea ”Lyman-α” (vertical negra) seguido de las l´ıneas de absorci´on del Bosque de Lyman-αy la l´ınea ”Lyman-β” (vertical roja) seguida de las absorciones correspondientes a las transiciones Lyman-β. Imagen adaptada de (McQuinn, 2016) y (Wise, 2019). una zona poco ionizada, la mayor´ıa de los fotones sean absorbidos de tal manera que el flujo alcance un m´ınimo. Es decir, las zonas neutras del IGM son ´opticamente opacas a la radiaci´on, provocando ”canales” en el espectro. La ausencia de este canal en cu´asares de z < 6 implica, por tanto, que la radiaci´on emitida no atraves´o zonas de poca ionizaci´on. Es decir, el canal de Gunn-Peterson nos permite establecer el final de la ´epoca de reionizaci´on, que los estudios actuales situan en un redshift de z∼6.(Wise, 2019). L´ınea ”Lyman-β”: A medida que nos movemos hacia la izquierda en el eje de longitud de onda, la radiaci´on ser´a m´as energ´etica. Cuando la longitud de onda es superior a 1025 ˙ A los fotones tienen energ´ıa suficiente como para poder producir transiciones Lyman-β, es decir, aquellas que promocionan el electr´on del estado fundamental al segundo estado excitado. A partir de este momento, las l´ıneas de absorci´on no s´olo se corresponder´an con la transici´on αsino tambi´en con la transici´on β. De igual forma, a medida que contin´ue aumentando la energ´ıa, entrar´an en juego tambi´en otras transiciones. Es por eso que, la zona ”´util” (para nuestro objetivo) del espectro acaba con la l´ınea de Lyman-β, ya que ambos tipos de absorci´on comienzan a mezclarse, complicando mucho m´as su an´alisis. 12 L´ınea ”l´ımite de Lyman”: Esta l´ınea marca el punto en el que la radiaci´on tiene energ´ıa suficiente como para ionizar por completo el ´atomo de hidr´ogeno (911 ˙ A). Notemos que ninguno de los espectros mostrados en la Figura 1 presentan el canal de Gunn-Peterson: al ser todos ellos posteriores a z = 6, la EoR ha finalizado y, por tanto, la mayor´ıa de los ´atomos del IGM est´an ionizados. Tampoco es posible apreciar el l´ımite Lyman debido al rango de longitudes de onda escogidas en eje de abscisas. Para la observaci´on de un espectro t´ıpico a un mayor redshift consultar (McQuinn, 2016). 3.3.1. La forma de las l´ıneas de absorci´on No s´olo de la presencia de las l´ıneas podemos obtener informaci´on sobre el medio intergal´actico, sino tambi´en de la forma de las mismas. Como tratamos en la Secci´on 3.1.1, toda onda electromagn´etica sufrir´a, debido a la expansi´on del universo, una variaci´on en su longitud de onda. Es por eso que todas las l´ıneas de absorci´on, pese a producirse a la longitud caracter´ıstica de la transici´on, experimentar´an un desplazamiento de longitud de onda que se reflejar´a en la posici´on que tomen en el espectro; sin embargo, la forma efectiva de las l´ıneas de absorci´on no se ver´a afectada por el redshift. Es as´ı que para el estudio del perfil de las absorciones no tendremos en cuenta el corrimiento al rojo. Es decir, supondremos que la fuente se encuentra a z = 0. Te´oricamente, cuando se produce la absorci´on de fotones (sea cual sea el tipo de absorci´on), en el continuo del espectro podremos observar una l´ınea con longitud de onda correspondiente a la energ´ıa necesaria para la transici´on (en este caso, la longitud de onda de la transici´on Lyman-αes de 1215.5 ˙ A). Sin embargo, en los espectros reales observamos que la ”l´ınea” tiene en realidad una cierta anchura, cuya mayor o menor amplitud depender´a de las caracter´ısticas propias de la zona donde se haya producido la absorci´on. En concreto, y como explicaremos a continuaci´on, la anchura depende de la temperatura del gas, de su densidad y de la velocidad peculiar de los ´atomos que lo componen. El perfil final de la l´ınea de absorci´on recibe el nombre de perfil de Voigt. A la hora de reconstruir el perfil Voigt, existen dos procesos a tener en cuenta: el ensanchamiento Doppler y el ensanchamiento de presi´on (Carroll y Ostlie, 2017). Ensanchamiento Doppler: El hecho de que la nube de gas tenga una cierta tem- 13 peratura necesariamente implica que los ´atomos que lo conforman se mueven con una velocidad aleatoria. De la existencia de esta velocidad se infiere que, por efecto Doppler, el observador encontrar´a l´ıneas de absorci´on de Lyman-αen una longitud de onda distinta a los 1215.5 ˙ A. Como estas velocidades no tienen una direcci´on definida, el efecto puede ser tanto un aumento en la longitud de onda como una disminuci´on de la misma. Es decir, la ”l´ınea” se ensancha tanto hacia la derecha como hacia la izquierda. Asumiendo equilibrio t´ermico (es decir, temperatura homog´enea dentro de la nube), las velocidades de cada ´atomo vienen descritas por la distribuci´on de probabilidad de Maxwell-Boltzmann, cuyo pico nos da la velocidad m´as probable (vmp). Este pico se corresponde con vmp =q2κT m, donde Tes la temperatura de la nube, κla constante de Boltzann y mla masa de la part´ıcula. Si recordamos, el efecto Doppler se pod´ıa describir c´omo △λ λ=v c. De modo que, sustituyendo el valor de la velocidad m´as probable, el ensanchamiento por efecto Doppler se puede aproximar c´omo: △λ=2λo cr2κT m,(11) donde λorepresenta el valor te´orico de longitud de onda correspondiente a la absorci´on. Este valor se corresponder´a con el centro del perfil. Notemos que el resultado depende de la temperatura de la nube: una mayor temperatura implica mayores velocidades y, por tanto, mayor ensanchamiento en el perfil de absorci´on. Adem´as, el hecho de que las velocidades sigan la distribuci´on de Maxwell-Boltzmann implica que el ensanchamiento por efecto Doppler sobre una l´ınea de absorci´on ser´a menos notable cuanto m´as nos alejemos de la longitud de onda central (λo). Ensanchamiento de presi´on (y ensanchamiento colisional) Cuando la densidad de la nube es suficientemente alta (n∼1023m−3) (Carroll y Ostlie, 2017), la probabilidad de que un ´atomo interact´ue con otras part´ıculas no puede ser despreciada, interacci´on que perturbar´ıa la posici´on (en t´erminos de energ´ıa) de sus orbitales. Es as´ı c´omo la longitud de onda necesaria para llevar a cabo la transici´on de Lyman-α puede encontrar variaciones que se traducen en un ensanchamiento del perfil Voigt. 14 El ensanchamiento debido a la interacci´on del ´atomo con el campo electromagn´etico creado por los iones de la nube se denomina ”ensanchamiento de presi´on” mientras que el producido por el choque de colisiones entre ´atomos recibe el nombre de ”ensanchamiento colisional”. Si bien son dos procesos distintos, ambos se suelen englobar bajo el mismo t´ermino de ”ensanchamiento de presi´on”. Podemos expresar este ensanchamiento c´omo: △λ≈λ2nσ cπ r2κT m,(12) donde nrepresenta la densidad de la nube y σla secci´on eficaz de la colisi´on. Como cabr´ıa esperar, el ensanchamiento de presi´on depende directamente de la densidad de ´atomos presentes en el gas de la nube. Adem´as, seguimos observando la proporcionalidad con la temperatura ya que un aumento de esta significar´ıa un aumento de la velocidad de las part´ıculas del gas y, por tanto, un aumento de la probabilidad de interacci´on. Figura 2: Representaci´on esquem´atica del efecto sobre el perfil de absorci´on del ensanchamiento Dopper y del ensanchamiento amortiguador. En el eje x se representa la longitud de onda mientras que en el eje y se observa la relaci´on entre el flujo debido a la absorci´on (Fλ) y el flujo del continuo (Fc). Figura adaptada de (Carroll y Ostlie, 2017). Adem´as del efecto sobre el perfil de absorci´on producido por las propiedades f´ısicas de la nube de gas, no podemos olvidar otro tipo de ensanchamiento: el ensanchamiento natural. Este ensanchamiento se basa en el principio de incertidumbre de Heisenberg, que podemos expresar c´omo △E≈¯h △t. Sabiendo que la energ´ıa del orbital no puede ser definida con exactitud debido a la incertidumbre en el tiempo de vida medio, tampoco la longitud de onda necesaria para la excitaci´on ser´a una magnitud exacta, lo que se traduce en cierta anchura del perfil. El conjunto del ensanchamiento por presi´on y ensanchamiento natural se suele denominar ”ensanchamiento amortiguador”. 15 Teniendo todos estos efectos en cuenta, la expresi´on anal´ıtica de una perfil Voigt viene dada por la siguiente ecuaci´on: (Luki´c et al., 2015) ϕν=a π3/2I(x, a) = a π3/2Z∞ −∞ e−y2 (x−y)2+a2dy con x=(ν−νo) ∆νD ,(13) donde el par´ametro a(a= Γe/4π∆νDcon Γela incertidumbre en el nivel del energ´ıa (Huben`y y Mihalas, 2015)) cuantifica la relaci´on entre el ensanchamiento amortiguador y el ensanchamiento Doppler, mientras que el par´ametro xhace referencia al desplazamiento del perfil por efecto Doppler de la velocidad peculiar de la nube. 3.3.2. Flujo y profundidad ´optica Durante todo el desarrollo del trabajo entenderemos como flujo (F) la relaci´on entre la radiaci´on emitida (del continuo) y la observada. As´ı el valor m´ınimo y m´aximo del flujo ser´an, respectivamente, 0 (cuando toda la luz haya sido absorbida) y 1 (cuando la luz recibida no haya sufrido absorci´on alguna). Podemos expresar el flujo en t´erminos de la profundidad ´optica (τ), definida como el logaritmo natural del ratio entre flujo incidente y flujo transmitido, mediante la Ecuaci´on 14. La profundidad ´optica es, por tanto, un par´ametro adimensional que nos da una idea de la opacidad de un medio, que en este caso, ser´a el medio intergal´actico. F=e−τ.(14) Supongamos que conocemos todos los valores f´ısicos que definen el estado de las nubes de gas que conforman el IGM. La f´ormula general para el c´alculo de la profundidad ´optica del recorrido que la luz emitida por cierto cu´asar (que se encuentra a una distancia com´ovil Q) deber´a hacer hasta llegar a nosotros ser´a la integral en coordenadas com´oviles de la densidad num´erica de hidr´ogeno neutro (nHI), la secci´on eficaz del proceso de absorci´on Lyman-α(σν) y el factor de expansi´on (a=1 (1+z)), como podemos ver en la Ecuaci´on 15 (Zaroubi, 2013). La raz´on por la cu´al realizamos la integral en coordenadas com´oviles y no coordenadas f´ısicas es porque, simult´aneamente al viaje de la radiaci´on por el espaciotiempo, este ´ultimo se est´a expandiendo. Es decir, la distancia propia que nos separa del cu´asar no es constante y, por tanto, ser´ıa complicado establecer correctamente los l´ımites 16 de integraci´on. En cualquier caso, la expresi´on que define la profundidad ´optica total en coordenadas com´oviles es: τ(νo) = ZQ 0 nHI(l)σν 1 (1 + z)dl. (15) Es importante notar que la densidad volum´etrica de HI depende de la posici´on l; cada nube que compone el IGM contiene una cantidad de hidr´ogeno neutro distinta, de modo que cada nube tiene una profundidad ´optica propia. Es por eso que el c´alculo de la profundidad ´optica total expresado en la Ecuaci´on 15 no es m´as que la suma de las profundidades ´opticas de cada nube por la que la luz atraviesa. Efectivamente, y como muestra la Ec.15., una mayor densidad de hidr´ogeno neutro implicar´ıa una mayor probabilidad de que los fotones fuesen absorbidos para llevar a cabo la ionizaci´on. Podemos observar tambi´en que la profundidad ´optica depende del par´ametro νo, el cu´al representa la frecuencia asociada a la longitud de onda central del perfil de nuestra l´ınea de absorci´on (λo) representada en la Figura 2. En nuestro caso, al tratarse de una l´ınea de absorci´on de tipo Lyman-α, sabemos que λo= 1215.5 ˙ A, de modo que podemos f´acilmente obtener el valor de νo. Si recordamos la relaci´on entre coordenadas f´ısicas y coordenadas com´oviles (Ec.1.), podemos obtener que el diferencial de distancia f´ısica equivale al diferencial de la distancia com´ovil divido por el factor de escala, es decir, dr =dl (1+z), que es justamente lo que tenemos en la Ec.15. Es l´ıcito entonces intercambiar un diferencial por otro eliminando el factor 1 (1+z). Adem´as, usando la ley de Hubble-Lemaˆıtre (Ec.2.) es posible hacer un segundo cambio de variable y transformar el diferencial de distancia propia en diferencial de velocidad de recesi´on, obteniendo la siguiente ecuaci´on: τ(νo) = ZvQ 0 nHI(v)σν 1 H(z)dv. (16) Notemos que ahora la posici´on de cada nube (con su respectivo valor de nHI) no se define en base a la coordenada com´ovil de la misma (l) sino a su velocidad de recesi´on (v). En cuanto a la secci´on eficaz del proceso, la expresi´on a partir de la cu´al podemos calcular su valor viene dada por la Ecuaci´on 17 (Luki´c et al., 2015): 17 σν=πe2 mecflu 1 ∆νD ϕν,(17) donde meyerepresentan la masa y carga del el´ectr´on (respectivamente), flu hace referencia a la constante de fuerza de oscilador (que para las transiciones de Lyman-α tiene un valor de 0.416), ∆νDla denominada ”anchura Doppler” y ϕνel perfil de la linea de absorci´on. Es importante recalcar que esta expresi´on est´a escrita en unidades del Sistema Cegesimal de Unidades (CGS) de modo que, si quisi´esemos hacer el cambio al SI, deber´ıamos multiplicar por 1/(4πϵ0). En concreto, la anchura Doppler es la parametrizaci´on del efecto de la temperatura del gas sobre el perfil de la l´ınea, como hemos explicado en la subsecci´on anterior (3.3.1). Sabemos que, a mayor temperatura, mayor anchura del perfil; es por ello que su definici´on debe ser proporcional a la temperatura, como muestra la Ecuaci´on 18: ∆νD=b cνocon b=r2kBT mH ,(18) donde kBrepresenta la constante de Boltzmann y mHla masa del ´atomo de hidr´ogeno. Unificando todas estas expresiones, junto con la expresi´on del perfil Voigt (Ec.13.), obtendremos la ecuaci´on que define la profundidad ´optica a la que deber´a hacer frente la luz emitida por un cu´asar en su viaje por el IGM hasta nosotros: τv=πe2fluλo mecH(z) a π3/2ZvQ 0 nHI(v)I(x, a)dv. (19) El estudio de c´omo afecta cada uno de los factores presentes en la Ecuaci´on 19 y el alcance de las distintas aproximaciones lo llevaremos a cabo en la metodolog´ıa y resultados. 18 4.3.3. Aproximaci´on Fluctuante de Gunn-Peterson Hist´oricamente, debido a la falta de accesibilidad a simulaciones como de la que hacemos uso en este trabajo, el c´alculo de la profundidad ´optica incluyendo los efectos de la velocidad resultaba demasiado complicado a la vez que econ´omicamente costoso. El n´umero de usos de grandes ordenadores para correr las simulaciones y comprobar los resultados estaba en cierto modo limitado, lo que propici´o la b´usqueda de aproximaciones m´as sencillas de comprobar antes de llevar a cabo el c´alculo exacto. Es por esta raz´on que nace la denominada Aproximaci´on Fluctuante de Gunn-Peterson (que denominaremos aproximaci´on FGPA por sus siglas en ingl´es Fluctuating Gunn-Peterson Approximation). La aproximaci´on FGPA, enunciada por Gunn-Peterson, simplifica la recreaci´on del Bosque de Lyman-αobviando los efectos de desplazamiento y ensanchamiento del perfil producidos por las velocidades peculiares y temperaturas de cada celda. Es decir, ´esta es una aproximaci´on al espectro de absorci´on local, donde la profundidad ´optica de cada celda se calcula ´unicamente en base a su propia densidad de HI. Si imponemos por tanto esta aproximaci´on en la expresi´on para la profundidad ´optica (Ec.14.) obtendremos una ecuaci´on mucho m´as sencilla (Weinberg et al., 1997): τFGPA =πe2 mecfluλo 1 H(z)nHI.(29) Usando esta aproximaci´on y tomando un redshift fijo (z= 3), el valor de la profundidad ´optica ´unicamente depender´a de nHI. Sea la xHIla fracci´on de hidr´ogeno neutro definida c´omo xHI=nHI nH. Sustituyendo esta relaci´on en (Ec.29.) y reagrupando constantes, la ecuaci´on para la profundidad ´optica de una nube queda (McQuinn, 2016): τFGPA = 1,3∆( xHI 10−5)(1 + z 4)3/2,(30) donde recordemos que ∆ = ρ ¯ρ. El espectro de absorci´on resultante del uso de esta expre- si´on para el c´alculo de la profundidad ´optica se encuentra en el apartado correspondiente de la Secci´on 5.3. Consideremos el hecho de que para un redshift z= 3 la reionizaci´on del hidr´ogeno y la primera reionizaci´on del helio se suponen ya completas; podemos asumir, por tanto, 25 que la radiaci´on est´a uniformemente distribuida en el medio, dando lugar a un campo de fotoionizaci´on homog´eneo en todas las zonas del IGM. Es decir, la tasa de fotoionizaci´on se supone la misma en todas las celdas de nuestra simulaci´on. As´ı, al estar imponiendo equilibrio de ionizaci´on en el gas que compone el IGM, el valor de la densidad num´erica de hidr´ogeno neutro depender´a de la densidad de la nube, su temperatura y el valor (constante) de la tasa de fotoionizaci´on. Matem´aticamente (Weinberg et al., 1997): nHI∝ρ2T−0,7/Γγ,HI.(31) Esto nos permite calcular la profundidad ´optica de una nube sin necesidad de conocer los valores de la densidad de hidr´ogeno neutro, sino simplemente conociendo su sobredensidad y temperatura. Podemos ir m´as all´a si tenemos en cuenta la relaci´on existente entre sobredensidad y temperatura expuesta en la Ecuaci´on 10: finalmente τde una celda ´unicamente depender´a de su sobredensidad: τajuste ≃α∆βcon β= 2 −0.7γ, (32) donde γes el exponente que, junto con T0, define la relaci´on densidad - temperatura (Ec.10.) Este es el ajuste experimental a la densidad. 4.4. Fluctuaciones en la tasa de fotoionizaci´on En este trabajo estudiaremos los efectos producidos en el Bosque de Lyman-αal introducir ciertas fluctuaciones en el valor de la tasa de fotoionizaci´on. Para ello usaremos el mismo script en lenguaje Python creado para el c´alculo de la cantidad de hidr´ogeno neutro presente en una nube (S.4.2.), nHI, y modificaremos el valor de la tasa de fotoionizaci´on, Γγ,HI, como indica la siguiente expresi´on: Γfluct γ,HI = Γγ,HI(1 + f∆),(33) donde ∆ representa la sobredensidad de la nube y fel factor que dar´a mayor o menor peso a las fluctuaciones. Seg´un esta expresi´on, el valor de la tasa de fotoionizaci´on deja de ser constante e igual para todas las celdas y pasa a depender del valor de sobredensidad de cada una de ellas. Es tipo de fluctuaciones son consistentes con el hecho de considerar que 26 las principales fuentes de radiaci´on ionizantes (cu´asares y galaxias) se originan en aquellas zonas caracterizadas por picos en la densidad bari´onica. As´ı, all´ı donde la densidad sea mayor, mayor ser´a tambi´en el campo de radiaci´on ionizante. Veremos en la Secci´on 5.4 c´omo afectan estas fluctuaciones al flujo en funci´on del valor del factor fque acabamos de definir. 4.5. An´alisis estad´ıstico Para llevar a cabo la comparaci´on de los espectros generados con las distintas aproximaciones al c´alculo de la profundidad ´optica usaremos dos tipos de estad´ıstica: la media aritm´etica y la FDP (funci´on de densidad de probabilidad) del flujo. En cuanto al c´alculo de la media, el mismo proceso tanto para las dos aproximaciones FGPA (en las que la profundidad ´optica se obtiene localmente) como para el c´alculo ”exacto” deber´ıa ser el siguiente: primero se llevar´ıa a cabo el c´alculo de los valores de τde todas las celdas de nuestra simulaci´on, es decir, de los 50000x1024 sets de datos disponibles. A continuaci´on calcular´ıamos el flujo asociado a cada uno de los valores de profundidad ´optica para, finalmente, hacer la media de todos ellos, obteniendo entonces el flujo medio (<F>). Ahora bien, la carga computacional del c´alculo de la densidad de hidr´ogeno neutro y posteriormente de la profundidad ´optica para cada una de las celdas que componen nuestro espacio de trabajo es enorme. Para el estudio estad´ıstico que vamos a llevar a cabo no es necesario calcular todos los datos; con tomar un rango lo bastante grande como para mostrar las caracter´ısticas generales es suficiente. En nuestro caso hemos elegido un rango de 4000 pinchos, lo que hace un total de 4000x1024 celdas con sus respectivos valores. Ser´a sobre estos valores sobre los que calcularemos la media del flujo, la cu´al utilizaremos como herramienta de comparaci´on entre las aproximaciones FGPA y el c´alculo exacto. En cuanto a la FDP, ´esta se define como la densidad de probabilidad de los distintos valores discretizados de, en nuestro caso, el flujo. La implementaci´on de este estudio estad´ıstico se llevar´a a cabo mediante la representaci´on en histogramas de los valores de flujo de cada celda. De nuevo es necesario recalcar que este perfil no se trazar´a con los resultados de todas celdas que componen nuestra simulaci´on sino con las 4000x1024 usadas como representaci´on estad´ıstica. 27 5. Resultados En esta secci´on presentamos, junto con su an´alisis, los resultados obtenidos de la implementaci´on del c´odigo creado de acuerdo a lo expuesto en la secci´on anterior. 5.1. C´alculo de densidad de hidr´ogeno neutro En esta secci´on se exponen los resultados obtenidos de la implementaci´on del programa en lenguaje Python creado para el c´alculo de la densidad de hidr´ogeno neutro (nHI) de las distintas celdas que componen los pinchos de nuestra simulaci´on. Recordemos que para llevar a cabo este c´alculo, el script resuelve de forma iterativa las ecuaciones que definen el equilibrio de ionizaci´on entre los estados del hidr´ogeno y helio que conforman el gas del IGM (S.4.2). Como hemos expuesto, la profundidad ´optica de cada celda (y, por tanto, el flujo) depender´a de nHI, de modo que los resultados obtenidos en esta secci´on ser´an esenciales para la posterior reconstrucci´on del Bosque de Lyman-α. Figura 3: En estas gr´aficas representamos (de arriba a abajo) el logaritmo de la sobredensidad (∆), el logaritmo de la temperatura (T, en K) y el logaritmo de valor de densidad de hidr´ogeno neutro por unidad de volumen (nHI, en part´ıculas/cm3) para todas las celdas que conforman un pincho concreto. Resultados obtenidos en base al c´odigo desarrollado en Python. Es posible ver otro ejemplo en el Anexo C (Figura 19). Un primer an´alisis de los resultados se presenta en la Figura 3, donde observamos, junto con los valores de sobredensidad y temperatura, el valor de nHIobtenido para el conjunto de celdas que constituyen un ´unico pincho. Es posible ver que, all´ı donde encontramos un 28 m´aximo local en la sobredensidad encontraremos tambi´en m´aximos en los valores de nHI y temperatura, reflejo de la estrecha relaci´on existente entre las tres magnitudes: Figura 4: Representaci´on gr´afica de los valores de los logaritmos de sobredensidad (∆) y temperatura (T), respectivamente, junto con el polinomio del ajuste lineal de los datos (rojo). Notemos que el esquema de color est´a en escala logar´ıtmica. Relaci´on densidad bari´onica - temperatura: Como introdujimos en el marco te´orico (S.3.2.1), el equilibrio entre el enfriamiento adiab´atico por la expan- si´on del universo y por efecto Compton con el calentamiento por fotoionizaci´on y por colapso gravitatorio llevan al gas del IGM a mantener una caracter´ıstica relaci´on densidad-temperatura (Ec.10). Al tomar logaritmos decimales en ambos lados de la ecuaci´on, esta relaci´on se traduce en una de tipo lineal, como muestra la Figura 4. En ella advertimos que, al representar el logaritmo de la sobredensidad (∆) frente al logaritmo de la temperatura (T), efectivamente la mayor´ıa de los puntos se ajustan a una relaci´on lineal. Existe, no obstante, cierta discrepancia tanto para celdas con valores de densidad bari´onica ∼10 veces la densidad media del universo (a la derecha del ajuste) como para celdas con temperaturas superiores al orden de ∼104K (por encima del ajuste). ¿Qu´e explicaci´on podemos darle a estas zonas?. Con relaci´on a la zona de alta densidad (∆ >10), es en estos rangos de densidad en los que el enfriamiento radiativo comienza a ser eficiente, desembocando en la observable disminuci´on de temperatura. En cuanto al gas cuya temperatura es considerablemente mayor a la esperada seg´un la relaci´on lineal, podemos deducir que se encuentra en pozos de potencial gravitacional. Estas zonas, normalmente circundantes a objetos masivos, se caracterizan por sus elevadas presiones y alta componente de radiaci´on, resultando en las altas temperaturas observables en la figura. Pese a estas discrepancias, para el rango de densidades bari´onicas en el que nos encontramos (∆ <10) la relaci´on es lineal. As´ı, un aumento de la sobredensidad conlleva un aumento en la temperatura, como ve´ıamos en la representaci´on de los pinchos (Figura 3). 29 Figura 5: Histograma a dos dimensiones del logaritmo de sobredensidad (∆) y el logaritmo de densidad de hidr´ogeno neutro (nHI). Esquema de color en escala logar´ıtmica. Relaci´on densidad bari´onica - densidad de hidr´ogeno neutro: No es necesario establecer una relaci´on basada en principios complejos para entender por qu´e un aumento en la densidad bari´onica se traduce en un aumento en la densidad de hidr´ogeno neutro; al fin y al cabo, el hidr´ogeno (neutro o ionizado) representa el 76 % de toda la materia bari´onica del universo, de modo que all´ı donde ∆ sea al- to, por correspondencia tendremos tambi´en altos valores de nH. Asumiendo que estamos trabajando con un campo de radiaci´on constante y, por tanto, una tasa de fotoionizaci´on invariante, la cantidad de fotones capaces de ionizar al hidr´ogeno que llega a una secci´on del universo es independiente de las caracter´ısticas de esta secci´on. Es por ello que, en una zona con alta nH, la ratio ´atomos neutros/fotones ser´a mayor que para zonas m´as ”vac´ıas”, lo cu´al se traduce en una menor ionizaci´on en comparaci´on con las zonas de baja densidad. En otras palabras, las zonas de alta densidad bari´onica provocan una menor ratio de ´atomos ionizados y, por tanto, mayor densidad de hidr´ogeno neutro. No s´olo la relaci´on entre ambas magnitudes es proporcional sino que, una representaci´on en escala logar´ıtmica (Figura 5) revela que se ajustan en alto grado a una relaci´on lineal. Es interesante destacar que esta linealidad no se mantiene constante en todo el rango de valores sino que, cuando log10∆∼1.5, la pendiente cambia. Notemos que es este valor a partir del cu´al la relaci´on densidad bari´onica - temperatura tambi´en deja de ser lineal. De nuevo es necesario destacar que este trabajo se enmarca en valores de densidad correspondientes a la zona lineal. Podemos concluir, por tanto, que estas tres magnitudes se encuentran relacionadas entre s´ı de tal forma que las zonas de mayor sobredensidad son tambi´en las zonas de mayor temperatura y densidad de HI. Es decir, en concordancia con la Figura 3, los picos de densidad de hidr´ogeno neutro se corresponder´an con las celdas de mayor densidad y 30 temperatura. Figura 6: Funci´on de densidad de probabilidad del logaritmo decimal de la densidad volum´etrica de HI (nHI). En cuanto al estudio estad´ıstico, la Figura 6 muestra la funci´on de densidad de probabilidad (FDP) de la densidad de HI en escala logar´ıtmica. En ella podemos observar c´omo, si bien los extremos muestran un car´acter oscilante y poco definido, la informaci´on que nos proporciona el pico de frecuencia es indudable: la gran mayor´ıa de celdas de nuestra simulaci´on presenta densidades de hidr´ogeno neutro del orden de 10−10 - 10−11 part´ıculas/cm3. En otras palabras, la cantidad de hidr´ogeno neutro contenida en el IGM es considerablemente baja. Estos resultados, en comparaci´on con los valores t´ıpicos de densidad de hidr´ogeno total (del orden de 105 part´ıculas/cm3, como muestra la Figura 20 del Anexo C) ponen de manifiesto el estado pr´acticamente ionizado del medio para z= 3. Queda plasmada esta comparativa en la Figura 7, donde podemos observar que la mayor´ıa de las celdas presentan densidades de hidr´ogeno neutro del orden de entre 10−6y 10−4part´ıculas/cm3en contraposici´on con las densidades de hidr´ogeno neutro del orden de entre 10−12 y 10−8part´ıculas/cm3. Es decir, la nHIpresenta valores de hasta 6 ´ordenes de magnitud por debajo de nH, prueba de que los ´atomos de hidr´ogeno que conforman el medio intergal´actico se encuentran, en su mayor´ıa, ionizados. 5.2. C´alculo del flujo Una vez hemos obtenido la cantidad de hidr´ogeno neutro contenida en las celdas que componen los pinchos podemos llevar a cabo el c´alculo de la profundidad ´optica y, por tanto, del flujo mediante la Ecuaci´on 28. Como se ha explicado en la metodolog´ıa (S.4.3.), vamos a dividir la integral sobre todo el camino desde el cu´asar hasta nosotros en integrales que cubran ´unicamente el paso de la radiaci´on por una celda. Al conocer todas las 31 magnitudes necesarias para el c´alculo de la profundidad ´optica de cada celda (temperatura, velocidad peculiar, y densidad de hidr´ogeno neutro), expresaremos la profundidad ´optica total como la suma de las profundidades de cada celda (como se expone en la Ec.28). Debemos recordar que, para este c´alculo, se han tenido en cuenta posibles efectos de ensanchamiento por temperatura y/o desplazamiento en el espectro debido a las velocidades peculiares. Figura 7: Histograma a dos dimensiones del logaritmo decimal de la densidad de hidr´ogeno neutro (nHI) frente al logaritmo decimal de la densidad de hidr´ogeno total (nH). Esquema de color en escala logar´ıtmica. En primer lugar podemos representar gr´aficamente el espectro de absorci´on generado por un ´unico pincho (Fig. 8.) junto con el logaritmo decimal de nHI, la velocidad peculiar y el logaritmo de la temperatura de las celdas que componen el pincho. En relaci´on a la influencia de la densidad de hidr´ogeno neutro sobre el flujo, podemos observar que cuanto mayor sea nHI, mayor ser´a la profundidad ´optica y, por tanto, me- nor ser´a el flujo. Esta relaci´on ven´ıa ya impl´ıcita en la ecuaci´on en base a la cu´al hemos calculado las profundidades ´opticas de las celdas (Ec.28.), pero ¿cu´al es su significado f´ısico? No debemos olvidar que la profundidad ´optica no es m´as que una cuantizaci´on de la oposici´on de un medio al paso de la luz; en el caso del IGM, esta oposici´on tiene su origen en las absorciones de los fotones incidentes por parte de los ´atomos que lo conforman. As´ı, cuanto mayor sea el n´umero de ´atomos neutros, menor ser´a la probabilidad de que un fot´on consiga atravesar el medio sin ser absorbido por los ´atomos para llevar a cabo su ionizaci´on. Es decir, cuanta mayor densidad de ´atomos neutros, mayor profundidad ´optica, como cuantifica la Ecuaci´on 28, y menor flujo de fotones emergentes, como representa la Figura 8. Por a˜nadidura, en el marco te´orico comentamos c´omo la presencia de las l´ıneas que componen el Bosque de Lyman-αsuponen una prueba de la ionizaci´on del medio debido a su alta sensibilidad al hidr´ogeno neutro. Efectivamente, y como podemos comprobar en la Figura 8, densidades volum´etricas de hidr´ogeno neutro de tan solo 32 10−9part´ıculas/cm3absorben por completo toda la radiaci´on del cu´asar, dando lugar a un flujo neto nulo. El hecho, por tanto, de que nos llegue flujo proveniente del cu´asar en estas longitudes de onda implica necesariamente menores valores de nHI. Como expusimos en la secci´on anterior, las densidades de hidr´ogeno total (nH) son, en su mayor´ıa, del orden de 105part´ıculas/cm3, lo que supone una fracci´on de hidr´ogeno ionizado de, aproximadamente, un 99,99 %. En otras palabras, el medio intergal´actico est´a (casi)completamente ionizado. Figura 8: Representaci´on gr´afica de la velocidad peculiar (vlos), logaritmo de la temperatura (T), logaritmo de la densidad volum´etrica de HI (nHI) y flujo de todas las nubes que componen un pincho concreto. Algunas zonas se han resaltado en distintos colores para recalcar el efecto que la temperatura y velocidad propia producen sobre el espectro final. En el Anexo C podemos encontrar otro ejemplo (Figura 22). Adem´as de la relaci´on de nHIcon la profundidad ´optica y el flujo, la Figura 8 ilustra convenientemente los efectos introducidos en el espectro al considerar la temperatura de las celdas y su velocidad propia. Si nos fijamos en el pico sombreado en azul podemos ver c´omo dicha velocidad peculiar ha afectado considerablemente a la posici´on del perfil Voigt ya que su centro se encuentra desplazado hacia la derecha con respecto al pico de nHIque lo provoca. En cambio, para el pico de absorci´on sombreado en amarillo, las principales alteraciones en el perfil no radican en la posici´on que ocupa en el espectro (ya que la velocidad peculiar no es lo bastante elevada como para modificarla lo suficiente) sino en su anchura. Como explicamos en la Secci´on 3.3.1, esta modificaci´on en la amplitud del perfil efectivo se produce por efecto de la temperatura de los ´atomos del gas: a mayor temperatura, mayor anchura del pico. Destaquemos, por ejemplo, c´omo la anchura del 33 perfil Voigt sombreado en azul es notablemente menor que la absorci´on producida en la zona amarilla; tambi´en su temperatura es menor que la caracter´ıstica del perfil amarillo. Por ´ultimo, fij´emonos en que el pico de absorci´on sombreado en color verde presenta tanto el efecto de desplazamiento (en correspondencia con su alta velocidad peculiar) como el ensanchamiento producido por la temperatura (tanto que dos picos aislados convergen en uno mismo). Figura 9: Histograma de los valores de flujo calculados utilizando la Ecuaci´on 28. En cuanto al estudio estad´ıstico del flujo obtenido mediante la Ec.28. para la profundidad ´optica, un primer enfoque ser´ıa calcular la media del flujo de todas las celdas, obteniendo un valor de < F >= 0.6496. Podemos estudiar con m´as detalle los resultados obtenidos mediante la FDP presente en la Figura 9: si bien la m´axima frecuencia de valores de flujo de las celdas se corresponde con valores de absorci´on total (es decir, flujo nulo), es destacable el crecimiento de la curva hasta encontrar un pico local situado en flujos correspondientes a valores muy cercanos a la unidad; es decir, celdas donde apenas hay absorci´on. Conociendo la alta sensibilidad a ´atomos de hidr´ogeno neutro, la presencia de este pico en zonas de alto flujo indica que en todas estas celdas la cantidad de ´atomos neutros es relativamente peque˜na frente al n´umero de ´atomos ionizados (los cuales permiten el paso de fotones y, por tanto, no modifican el valor del flujo). En consecuencia podemos corroborar una vez m´as el alto grado de ionizaci´on del IGM. 5.3. Aproximaci´on Fluctuante de Gunn-Peterson En esta secci´on estudiaremos el alcance de la FGPA y si es capaz de recrear el Bosque del Lyman-αcon una precisi´on aceptable. Como vimos en la Secci´on 4.3.3, esta aproximaci´on no tiene en cuenta efectos de desplazamiento y ensanchamiento de los perfiles de 34 resultados obtenidos para factores de valores f= 0 (es decir, tasa de fotoionizaci´on constante), f= 0.2, f= 0.5, f= 1 y f= 10, junto con las diferencias relativas con respecto al valor de tasa de ionizaci´on constante. Es importante destacar que, como estamos considerando los mismos valores de temperatura y velocidad peculiar de las celdas que para el caso sin fluctuaciones, el ´unico efecto producido al introducir ´estas ser´a en la profundidad de los picos de absorci´on. Podemos comprobar en la Figura 16 que hasta la fluctuaci´on m´as peque˜na (de tan solo un factor f= 0.2) implica una gran alteraci´on del espectro, sobretodo en las zonas de mayor densidad de HI (es decir, en los picos de absorci´on). En concreto, todas estas fluctuaciones introducidas se traducen en una absorci´on menor a la esperada con la tasa constante. Figura 16: Representaci´on gr´afica del espectro de absorci´on para un pincho concreto tomando valores del factor de fluctuaci´on (f) de 0 (l´ınea morada), 0.2 (l´ınea azul). 0.5 (l´ınea naranja), 1 (l´ınea verde) y 10 (l´ınea roja) y de la diferencia relativa de todas ellas con el flujo tomando Γ constante. En el Anexo C se puede observar otro ejemplo (Figura 25). Seg´un la definici´on que nosotros hemos dado a la tasa de fotoionizaci´on fluctuante (Ec.33.), all´ı donde haya mayor densidad bari´onica (∆) tendremos mayor probabilidad de que se produzca la ionizaci´on de los ´atomos de hidr´ogeno del IGM. Esto implica que nuestras fluctuaciones de la tasa de ionizaci´on provocar´an una disminuci´on en la densidad de hidr´ogeno neutro, o lo que es lo mismo, una disminuci´on en la profundidad ´optica de la zona. Cuanto mayor sea la densidad bari´onica, mayor ser´a ΓHI, y menor nHIen 41 comparaci´on con la densidad de hidr´ogeno neutro resultante de considerar como constante la tasa de fotoionizaci´on. Es por ello que las diferencias m´as marcadas entre los espectros de absorci´on se producen all´ı donde el flujo es menor (es decir, donde ∆ es mayor). Para el estudio anal´ıtico vamos a contrastar dos casos concretos: f= 0 (tasa constante) yf= 0.5. La Figura 17 muestra las funciones de densidad de probabilidad (FDP) de los valores de densidad de hidr´ogeno neutro resultantes al considerar estos dos casos. En ella podemos observar que, si bien ambas densidades de hidr´ogeno neutro presentan su m´aximo de frecuencia en los mismos valores, cuando comparamos las zonas de mayor densidad vemos c´omo el c´alculo suponiendo fluctuaciones implica una menor frecuencia. Esto quiere decir que la tasa fluctuante de ionizaci´on resulta, como esper´abamos que ocurriera, en una menor cantidad de celdas con altos valores de nHI. Esto conllevar´a una menor absorci´on y, por tanto, mayor flujo, como ya intuimos que ocurrir´ıa previamente. Figura 17: FDP de la densidad volum´etrica de hidr´ogeno neutro (nHI) considerando fluctuaciones en la tasa de fotoionizaci´on con factor f= 0,5 (verde) y considerando un valor constante, o factor f= 0, (azul). Podemos comparar los valores medios de flujo para los dos casos mencionados, obteniendo que la media del flujo sin fluctuaciones tiene un valor de < F >= 0.6496 mientras que con fluctuaciones de factor f= 0.5 la media es < F >= 0.7148, lo que supone un error relativo de alrededor del 10 %. Efectivamente, estos resultados respaldan la predicci´on de una menor absorci´on cuando consideramos fluctuaciones en el valor de la tasa de ionizaci´on. En cuanto a la comparaci´on de las FDP del flujo presentes en la Figura 18, podemos reafirmar el efecto de las fluctuaciones: el c´alculo con f= 0.5 predice una menor cantidad de celdas donde el flujo sea nulo, a la vez que una mayor frecuencia de celdas con flujos relativamente altos, lo que se traduce en un espectro con menor absorci´on. En cualquier caso, y como hemos podido comprobar, la introducci´on de este tipo de fluctuaciones en la tasa de ionizaci´on del hidr´ogeno neutro modifican el espectro de forma 42 significativa. Figura 18: FDP del flujo considerando fluctuaciones de factor f= 0,5 (verde) y de factor f= 0, es decir, considerando Γ constante (azul). Supongamos que disponemos de los resultados observaciones de un espectro de absorci´on proveniente de cierto cu´asar del que conocemos su redshift. Usando simulaciones cosmol´ogicas que nos diesen las propiedades del IGM necesarias para implementar el c´odigo creado en este trabajo podr´ıamos reproducir el mismo espectro. Teniendo en cuenta que las observaciones siempre llevan asociadas cierto error por efectos bien inherentes a la precisi´on de los instrumentos de medida o bien a las caracter´ısticas del ambiente, podr´ıamos ”jugar” con las variables de nuestra simulaci´on manteni´endonos dentro del margen establecido por el error de la medida. Uno de estos par´ametros que podr´ıamos variar en la simulaci´on es el factor fque define la amplitud de este tipo de fluctuaciones; podr´ıamos, por tan- to, despreciar en base a la comparaci´on del espectro simulado con el observado, aquellos modelos con factores que produjesen discrepancias superiores al error de las medidas. En concreto, para las observaciones actuales encontramos un error del 5 % (Lee et al., 2015), lo que limita el factor de este tipo de fluctuaciones a f < 0.5. 43 6. Conclusiones El Bosque de Lyman-αsupone una de las herramientas m´as potentes para el estudio del medio intergal´actico y sus principales caracter´ısticas. El desarrollo de m´etodos computacionales que permitan su modelizaci´on, como el presente en este trabajo, facilita la posibilidad de an´alisis de los espectros de absorci´on producidos cuando la radiaci´on de un cu´asar atraviesa el IGM, junto con la posibilidad de comparaci´on de los resultados predichos por distintos modelos cosmol´ogicos. En este trabajo se han estudiado las distintas aproximaciones al c´alculo de la profundidad ´optica del medio intergal´actico y su efecto sobre el espectro de absorci´on; es decir, sobre el Bosque de Lyman-α. Para ello se han utilizado los resultados de una simulaci´on cosmol´ogica ejecutada con el c´odigo Nyx (Almgren et al., 2013), los cuales nos proporcionan los valores (para z= 3) de temperatura (T), sobredensidad bari´onica (∆) y velocidad propia (vlos) de las celdas que conformar´an nuestro espacio de trabajo. En base a estos datos he creado un c´odigo en el lenguaje de programaci´on Python que calculase la densidad volum´etrica de hidr´ogeno neutro (nHI) imponiendo condiciones de equilibrio de ionizaci´on en los ´atomos que conforman el gas del IGM; es decir, teniendo en cuenta las distintas tasas de ionizaci´on y recombinaci´on que afectan a los ´atomos de hidr´ogeno y de helio (Luki´c et al., 2015). Los resultados obtenidos nos hablan tanto de la relaci´on existente entre la densidad de hidr´ogeno neutro con la temperatura y la densidad bari´onica como del estado de ionizaci´on del medio. En cuanto a la relaci´on existente entre magnitudes, los resultados muestran que aquellas celdas caracterizadas por poseer un alto valor de densidad bari´onica generar´an picos en la temperatura y densidad de HI. El v´ınculo entre temperatura y densidad bari´onica es un reflejo de la estrecha relaci´on lineal que, como vimos, se establece tras la EoR. En cuanto a la relaci´on entre nHIy ∆, ´esta se puede explicar en base a la consideraci´on de un campo de radiaci´on constante: all´ı donde haya gran cantidad de ´atomos (es decir, mayor ∆), los fotones ionizantes producidos por estrellas y galaxias no ser´an suficientes como para ionizar toda la materia. As´ı, a mayor valor de densidad bari´onica, menor ser´a el grado de ionizaci´on del medio, coincidiendo con el comportamiento que nuestras gr´aficas muestran. 44 En cuanto al estado de ionizaci´on del medio, la FDP de los resultados obtenidos de densidad volum´etrica de hidr´ogeno neutro muestra un claro pico del n´umero de celdas alrededor de nHI∼10−11 part´ıculas/cm3. Si comparamos este valor con el valor m´as frecuente de densidad de hidr´ogeno total (quiere decir, en cualquier estado ionizado) obtenemos que en el IGM el porcentaje de hidr´ogeno ionizado para z= 3 supone aproximadamente el 99 % de todo el hidr´ogeno. Podemos concluir por tanto que, como expon´ıamos en el marco te´orico, la ´ Epoca de Reionizaci´on ha terminado y el IGM se puede considerar un medio completamente ionizado. Una vez conocidos los valores de nHIes posible reconstruir la forma del Bosque de Lyman-αoriginado por el paso de la radiaci´on de un cu´asar a trav´es de los pinchos de nuestra simulaci´on. Para ello he creado un script de Python que nos permita no s´olo calcular la profundidad ´optica de cada celda del pincho sino modificar el perfil de absorci´on en base al efecto Doppler producido por la velocidad peculiar de la celda y al ensanchamiento por efecto t´ermico. Es importante destacar que, para garantizar la fidelidad de los resultados en los extremos del pincho, ha sido necesaria la implementaci´on de condiciones de contorno peri´odicas. Los resultados muestran c´omo los picos de nHIgenerar´an zonas de m´axima absorci´on y, por tanto, flujo nulo. La raz´on es simple: los ´atomos neutros captar´an los fotones provenientes del cu´asar para llevar a cabo su ionizaci´on de modo que el flujo emergente ser´a menor al incidente. En otras palabras, las zonas con alta densidad de hidr´ogeno neutro son ´opticamente opacas a la radiaci´on. Sin embargo, la posici´on de estas zonas de alta absorci´on no siempre coincide con la de los picos de densidad, muestra de la sensibilidad del Bosque de Lyman-αa la velocidad propia de cada celda, responsable del desplazamiento del perfil Voigt por efecto Doppler. Observamos tambi´en c´omo las te´oricas l´ıneas de absorci´on presentan un mayor ensanchamiento conforme aumenta su temperatura, como predijimos en el marco te´orico que ocurrir´ıa. Es importante destacar que el espectro construido en base a los c´alculos de la profundidad ´optica demuestran una vez m´as el estado ionizado del IGM: s´olo aquellas celdas cuya densidad volum´etrica de hidr´ogeno neutro es menor a ≃10−9part´ıculas/cm3permiten el paso de la radiaci´on. El hecho, por tanto, de que nos llegue radiaci´on con las respectivas longitudes de onda implica que no ha sido absorbida por completo en su paso por el medio 45 intergal´actico. Para que esto ocurra, la fracci´on de hidr´ogeno neutro presente en el medio (la cu´al sabemos que es la responsable de las absorciones) deber´a ser considerablemente peque˜na. En la representaci´on de la FDP del flujo encontramos un pico de n´umero de celdas donde el flujo es cercano a la unidad. Esto, de nuevo, da cuenta de la alta ionizaci´on del IGM. Con el fin de minimizar la dificultad inherente al c´alculo de la profundidad ´optica hemos introducido la denominada Aproximaci´on Fluctuante de Gunn-Peterson, la cu´al desprecia los efectos producidos sobre el espectro de absorci´on debido a la temperatura y velocidad peculiar de las celdas. Es por ello que la posici´on y anchura de los picos de absorci´on presentes en el Bosque de Lyman-αproducido al paso de la radiaci´on por un pincho es distinta seg´un calculemos τcon la FGPA o no. Sin embargo, su estudio estad´ıstico revela que estas discrepancias no resultan en valores alejados de media del flujo ni en perfiles de FDP muy disidentes. Esto quiere decir que la FGPA, pese a ignorar efectos de velocidad y temperatura, representa una buena aproximaci´on al c´alculo de la profundidad ´optica. Su utilidad, por tanto, reside en la posibilidad de ofrecer un primer resultado bastante fiel al c´alculo exacto sin necesidad de llevar a cabo las iteraciones computacionalmente pesadas necesarias para incluir los efectos de temperatura y velocidad. Conociendo que su discrepancia con la media del c´alculo exacto es de tan s´olo un 4 %, llevar a cabo el c´alculo de la FGPA para distintos modelos cosmol´ogicos permite descartar aquellos cuya media difiera en m´as de un 4 % con la realidad; s´olo para aquellos modelos que se encuentren dentro del rango de error de la FGPA tendremos que introducir los efectos despreciados en la aproximaci´on. Podemos ir m´as all´a si postulamos la existencia de una relaci´on entre la densidad bari´onica de una celda y la profundidad ´optica que genera, haciendo innecesario el c´alculo intermedio de nHI. De nuevo, esta aproximaci´on busca optimizar el c´alculo de la profundidad ´optica de forma que nos permita descartar modelos cosmol´ogicos incorrectos con mucha rapidez. Para llevar a cabo este ajuste se ha obtenido el valor del par´ametro βa partir de la relaci´on lineal entre densidad y temperatura, mientras que la constante de proporcionalidad αser´a la constante de renormalizaci´on de la media del flujo. El estudio tanto del espectro generado por un pincho como de la representaci´on de la FDP muestran que esta aproximaci´on no es tan sensible a los cambios en nHIcomo debiera serlo, resul- 46 tando en un mayor grado de disidencia con el c´alculo exacto. Como expusimos, la raz´on detr´as de estas discrepancias es la imposibilidad de establecer una proporcionalidad exacta entre τy ∆β. Sin embargo, aunque con menor eficiencia que la FGPA, puede tambi´en resultar ´util como m´etodo de descarte de modelos cosmol´ogicos. Finalmente se ha estudiado el efecto producido en el Bosque de Lyman-αal introducir fluctuaciones en la tasa de ionizaci´on. Estas fluctuaciones aumentan el valor de la tasa conforme aumenta el valor de la densidad bari´onica en funci´on del factor de control f. As´ı, las zonas con mayor densidad ser´an donde mayor probabilidad de ionizaci´on haya, resultando en una disminuci´on de la densidad de hidr´ogeno neutro. Si recordamos, eran estas zonas las que asoci´abamos a picos de absorci´on del espectro, de modo que, al introducir las fluctuaciones, se espera que estas zonas de alta absorci´on reduzcan su profundidad. Es este mismo comportamiento el que encontramos tanto para nHI(su FDP muestra un claro descenso del n´umero de zonas con alta densidad) como para el flujo. Como hemos podido comprobar, este tipo de fluctuaciones introducen efectos observables en el espectro de absorci´on final, incluso cuando el factor de amplitud es peque˜no. Gracias a ello podr´ıamos despreciar con considerable precisi´on aquellos valores de fque produjesen variaciones del espectro superiores a los errores experimentales inherentes a las observaciones. A medida que la precisi´on de las observaciones aumente, disminuir´a el rango de valores de fluctuaciones en base a la densidad bari´onica que se puedan considerar consistentes con la realidad. Es necesario destacar que existen otros muchos tipos de fluctuaciones, como por ejemplo las impuestas sobre el valor de la temperatura (D’Aloisio, McQuinn y Trac, 2015): considerando la inhomogeneidad del proceso de reionizaci´on, el aumento (y posterior disminuci´on) de temperatura asociado tampoco ser´a uniforme, dando lugar a zonas del IGM con temperaturas extremadamente diversas. S´olo cuando haya transcurrido el tiempo suficiente desde el final de la reionizaci´on todas las zonas del medio habr´an alcanzado el equilibrio t´ermico. Esto implica que, para bajos redshifts (como z= 3) las fluctuaciones en temperatura no son relevantes; en cambio, para valores de redshifts m´as cercanos a la EoR, estas fluctuaciones s´ı que cobran un importante papel (McQuinn y Sanderbeck, 2015). Es por ello que, una de las posibles v´ıas de ampliaci´on de este trabajo ser´ıa el estudio de los espectros de absorci´on producidos al introducir fluctuaciones en la temperatura 47 de las celdas para un mayor redshift. Siguiendo con el discurso en lo que respecta a diversas mejoras de este trabajo, ser´ıa posible comprobar los efectos producidos en el an´alisis estad´ıstico al aumentar la resoluci´on de los datos que obtenemos de la simulaci´on cosmol´ogica. Si bien la literatura destaca los valores de resoluci´on que se han usado en este trabajo como los ´optimos (Luki´c et al., 2015), a la hora de introducir las fluctuaciones en la tasa de fotoionizaci´on podr´ıamos encontrar una resoluci´on ´optima distinta. Una posible ampliaci´on de este trabajo ser´ıa, por tanto, la b´usqueda de aquella resoluci´on que garantice buenos resultados para fluctuaciones a la vez que optimice el c´alculo computacional. Finalmente, y para concluir, debemos tener en cuenta que, pese a habernos centrado en el an´alisis de las l´ıneas de absorci´on que conforman el Bosque de Lyman-α, el m´etodo computacional desarrollado es completamente general. Es as´ı que modificando ´unicamente los par´ametros caracter´ısticos de las l´ıneas de absorci´on Lyman-α, se podr´ıan estudiar otros espectros de radiaci´on, como por ejemplo, el correspondiente a las l´ıneas de absorci´on Lyman-β. Esto permitir´ıa, entre otros, respaldar las predicciones sobre la relaci´on densidad - temperatura obtenidas ´unicamente con el Bosque de Lyman-α(Wilson, Irˇsiˇc y McQuinn, 2022). Por otro lado, podr´ıamos tambi´en estudiar y recrear los espectros de absorci´on producidos en un redshift zdistinto al que nosotros hemos escogido en este trabajo. No s´olo eso sino que, modificando los valores de los par´ametros que definen el modelo cosmol´ogico, podr´ıamos estudiar las predicciones de absorci´on de otros modelos distintos y, al compararlos con los espectros observados, determinar su validez (McQuinn, 2016) y, por tanto, arrojando as´ı luz sobre la historia de nuestro universo. 48 7. Bibliograf´ıa Aldrovandi, S. M. V. y D. Pequignot (mayo de 1973). “Radiative and Dielectronic Recombination Coefficients for Complex Ions”. En: 25, p´ag. 137. Almgren, A. S., J. B. Bell, M. J. Lijewski, Z. Luki´c y E. Van Andel (2013). “Nyx: A massively parallel amr code for computational cosmology”. 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Anexo C: Figuras En esta secci´on incluimos algunas figuras y gr´aficas que complementan el discurso expuesto en la secci´on de Resultados (S.5.). Figura 19: En estas gr´aficas representamos (de arriba a abajo) el logaritmo de la sobredensidad (∆), el logaritmo de la temperatura (T) y el logaritmo de valor de densidad de hidr´ogeno neutro por unidad de volumen (nHI) para todas las celdas que conforman un pincho concreto. Notemos c´omo las tres magnitudes est´an estrechamente relacionadas entre s´ı: cuando una de ellas experimente un pico, tambi´en lo har´an las otras. 58 Figura 20: Funci´on de densidad de probabilidad de la densidad volum´etrica del hidr´ogeno total (tanto neutro como ionizado) (nH). Notemos c´omo el pico en frecuencia se encuentra entorno a nH∼10−5part´ıculas/cm3. Figura 21: Representaci´on gr´afica de la distribuci´on de densidades de hidr´ogeno neutro (nHI) y del flujo resultante de un pincho utilizando el m´etodo aproximado FGPA (l´ınea rosa) y el c´alculo exacto (l´ınea azul). Es posible notar los efectos producidos por la velocidad peculiar (desplazamiento de perfiles) y la temperatura (ensanchamiento de l´ıneas) en el c´alculo exacto en comparaci´on con la FGPA. 59 Figura 22: Representaci´on gr´afica de la velocidad peculiar (vlos), logaritmo de la temperatura (T), logaritmo de la densidad volum´etrica de HI (nHI) y flujo de todas las nubes que componen un pincho concreto. Algunas zonas se han resaltado en distintos colores para recalcar el efecto que la temperatura y velocidad propia producen sobre el espectro final. Figura 23: Flujo de las celdas que componen un pincho concreto calculado siguiendo el m´etodo exacto (azul) y el m´etodo del ajuste experimental (verde). 60 Figura 24: Flujo de las celdas que componen un pincho concreto calculado siguiendo el m´etodo FGPA (rosa) y el m´etodo del ajuste experimental (verde). Figura 25: Representaci´on gr´afica del espectro de absorci´on para un pincho concreto tomando valores del factor de fluctuaci´on (f) de 0 (l´ınea morada), 0.2 (l´ınea azul). 0.5 (l´ınea naranja), 1 (l´ınea verde) y 10 (l´ınea roja) y de la diferencia relativa de todas ellas con el flujo tomando Γ constante. 61