Teoremas de punto fijo y aplicaciones

FACULTAD DE MATEM ´ ATICAS DEPARTAMENTO: ECUACIONES DIFERENCIALES Y AN ´ ALISIS NUM´ ERICO Trabajo Fin de Grado: Teoremas de punto fijo y aplicaciones. Autor: Mari Carmen Villarrubia Bizcocho Dirigido por: Inmaculada Gayte Delgado 2022 - 2023 2 Abstract This paper deals with the study of Banach’s, Brouwer’s and Schauder’s fixed point theorems and their applications. We will see how to apply these results to linear and nonlinear equations, to systems of equations, to initial value problems and to integral equations. In particular, we will look at some of the better known applications such as the Implicit Function Theorem, the Picard-Lindelof Theorem for the case of the Banach Point Theorem, the Fundamental of Algebra Theorem for the case of the Brouwer Fixed Point Theorem and Peano’s Theorem for the case of the Schauder Fixed Point Theorem. Resumen Este trabajo trata sobre el estudio de los Teoremas de punto fijo de Banach, de Brouwer y de Schauder y sus aplicaciones. Veremos c´ omo aplicar estos resultados a ecuaciones lineales y no lineales, a sistemas de ecuaciones, a problemas de valor inicial y a ecuaciones integrales. En particular presentaremos unas aplicaciones cl´ asicas, el Teorema de la Funci´ on Impl´ ıcita, el Teorema de Picard-Lindelof para el caso del Teorema del punto de Banach, el Teorema Fundamental del ´ Algebra para el caso del Teorema del punto fijo de Brouwer y el Teorema de Peano para el caso del Teorema del punto fijo de Schauder. 3 4 ´ Indice general 1. Teorema del punto fijo de Banach y m´ etodos iterativos 11 1.1. Teorema del punto fijo de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2. Dependencia continua respecto de un par´ ametro ................ 15 1.3. La importancia del Teorema del punto fijo de Banach . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4. Teorema de Picard-Lindel¨ of ............................ 20 1.5. Teorema de la Funci´ on Impl´ ıcita.......................... 25 1.6. Teorema principal de los m´ etodos iterativos para ecuaciones con operadores lineales ........................................ 26 2. Teorema del punto fijo de Schauder y compacidad 35 2.1. Teorema de extensi´ on................................ 35 2.2. Retractos ....................................... 37 2.3. El teorema del punto fijo de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3.1. Resultados equivalentes al Teorema de punto fijo de Brouwer . . . . . 39 2.4. Principio de existencia para sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.5. Operadorescompactos ............................... 43 2.6. Teorema del punto fijo de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.7. TeoremadePeano.................................. 48 2.8. Ecuaciones integrales con par´ ametros peque˜ nos................. 48 2.9. Sistemas de ecuaciones integrales y ecuaciones diferenciales semilineales . . 51 2.10.Estrategiageneral .................................. 52 2.11.Principio de existencia de sistemas de inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . 53 5 6 Introducci´ on Este trabajo estudia los principios fundamentales de la teor´ ıa de punto fijo. Para ello seguiremos los Cap´ ıtulos 1 y 2 del libro de Zeidler [1]. Comenzaremos considerando una aplicaci´ on, T:A→B⊆A, y una ecuaci´ on y=T(y),(1) tal que toda soluci´ on x de la ecuaci´ on se llama punto fijo de T. Los teoremas de punto fijo garantizan la existencia de soluci´ on de una ecuaci´ on escrita como (1). Cada ecuaci´ on de la forma F(x) = 0 donde Fes una funci´ on real, o m´ as generalmente una funci´ on en un espacio de Banach, puede escribirse como la ecuaci´ on de punto fijo: x=x+F(x), o de otras muchas formas. Por lo tanto, los teoremas de punto fijo constituyen una herramienta importante para demostrar la existencia de soluciones de ecuaciones. Los tres teoremas de punto fijo siguientes, de importancia fundamental, son los que presentamos en este trabajo: (a) Teorema del punto fijo de Banach (b) Teorema del punto fijo de Brouwer (c) Teorema del punto fijo de Schauder Los teoremas (a) y (b) son unas generalizaciones de dos conocidos m´ etodos de demostraci´ on para el problema de valor inicial        x′(t) = f(t,x(t)), x(t0) = y0 (2) Si fes continua, (2) es equivalente a la ecuaci´ on integral x(t) = y0+Zt t0 f(s,x(s)) ds (3) 7 El teorema de Picard-Lindel¨ of garantiza la existencia y la unicidad de soluci´ on si f(t,y) es continua y localmente Lipschitziana respecto a la segunda variable. Si es fsolamente continua, entonces el teorema de Peano garantiza la existencia de soluci´ on de (2), pero no podemos decir nada sobre la unicidad de la soluci´ on. La construcci´ on de soluciones aproximadas son una aplicaci´ on del Teorema del punto fijo de Banach. Para demostrar estos dos teoremas de una manera funcional-anal´ ıtica, escribimos (3) como una ecuaci´ on de operador no lineal, x=T x, x ∈M⊆X, (4) en un espacio de funciones Xadecuado. Buscamos una soluci´ on de (4), es decir, un punto fijo de T en M. Como veremos en los Cap´ ıtulos 1 y 2, se cumplen las siguientes relaciones: Teorema del punto fijo de Banach =⇒Teorema del punto fijo de Picard-Lindel¨ of Teorema del punto fijo de Schauder =⇒Teorema de Peano El significado intuitivo de estos dos teoremas de punto fijo esta contenido en estas dos figuras. (a) Teorema del punto fijo de Banach (b) Teorema del punto fijo de Shauder Para que los teoremas de punto fijo sean aplicables, es crucial una estructura que garantice que una determinada bola alrededor del origen se aplica en s´ ı misma. El Teorema del punto fijo de Banach puede aplicarse a aplicaciones T que sean diferenciables o, m´ as generalmente, continuamente Lipschitzianas, con tal de que sean contractivas. Proporciona tanto la conclusi´ on de unicidad como un m´ etodo constructivo para determinar 8 la soluci´ on, llamado m´ etodo de aproximaciones sucesivas. El Teorema del punto fijo de Schauder requiere la continuidad, y en los casos de espacios de dimension infinita, la compacidad de la aplicaci´ on T. No proporciona ninguna conclusi´ on de unicidad en general, ni un m´ etodo para construir una soluci´ on. Siempre que apliquemos teoremas de punto fijo a ecuaciones de la forma x=T x, debemos tener cuidado de que no haya soluciones triviales, digamos x= 0, a mano. De lo contrario, la conclusi´ on de existencia del teorema del punto fijo no aporta ninguna informaci´ on nueva. En el caso de una soluci´ on trivial, necesitamos conclusiones sobre la existencia de varios puntos fijos. En el Cap´ ıtulo 1 estudiamos el Teorema del punto de Banach y sus aplicaciones. Este Teorema dice que: Supongamos que: (i) Tes un operador T:M⊆X→M, es decir, de Men s´ ı mismo; (ii) Mes un conjunto cerrado no vac´ ıo en un espacio m´ etrico completo (X,d); (iii) Tes k-contractiva, es decir, d(T x,T y)⩽kd(x,y) para todo x,y ∈My para kfijo, 0⩽k < 1. Entonces se tiene: (a) Existencia y unicidad: La ecuaci´ on x=T x con x∈M, tiene exactamente una soluci´ on, es decir, Ttiene exactamente un punto fijo en M; (b) Convergencia de la iteraci´ on: La sucesi´ on {xn}de aproximaciones sucesivas dada por xn+1 =T xn, con x0∈Myn= 0,1,2,... converge a la soluci´ on, x, para una elecci´ on arbitraria del punto inicial x0en M; (c) Estimaciones del error: Para todo n= 0,1,2,... tenemos la estimaci´ on del error a priori d(xn,x)⩽kn(1 −k)−1d(x0,x1), y la estimaci´ on del error a posteriori d(xn+1,x)⩽k(1 −k)−1d(xn,xn+1); 9 miento te´ orico-pr´ actico de las ecuaciones matem´ aticas, estos son: (A) Existencia de una soluci´ on, (B) Unicidad de la soluci´ on, (C) Estabilidad de la soluci´ on bajo peque˜ nas perturbaciones de la ecuaci´ on (visto en la Proposici´ on 1.7), (D) Existencia de un m´ etodo de aproximaciones convergentes, (E) Estimaciones de error a priori, (F) Estimaciones de error a posteriori, (G) Estimaciones sobre el orden de convergencia, (H) Estabilidad del m´ etodo de aproximaci´ on. Con (H) queremos decir que un cambio en el elemento inicial x0no cambia el valor l´ ımite de la iteraci´ on, mientras que x0pertenezca a M. No todo punto fijo tiene la propiedad de que un proceso iterativo iniciado en sus proximidades converja a este punto fijo. M´ as bien, algunos puntos fijos atraen y otros repelen. Para las matem´ aticas num´ ericas, la importancia de la estabilidad para un m´ etodo iterativo reside en el hecho de que el elemento inicial s´ olo puede introducirse en el ordenador con una precisi´ on limitada. Por tanto, los m´ etodos iterativos que conducen a valores l´ ımites diferentes cuando se produce un ligero cambio en el valor inicial son num´ ericamente inestables y, por tanto, in´ utiles. Las estimaciones del error se dividen en estimaci´ on a priori y a posteriori. Una estimaci´ on a priori proporciona una estimaci´ on del error antes de realizar cualquier c´ alculo. Una estimaci´ on a posteriori proporciona una estimaci´ on del error mientras se est´ a realizando el c´ alculo. La estimaci´ on del error a priori d(xn,x)⩽kn(1 −k)−1d(x0,T x0) en el Teorema 1.4 permite utilizar el conocimiento del valor inicial para determinar el numero de pasos de iteraci´ on necesarios para alcanzar el nivel de precisi´ on deseado. La estimaci´ on del error a posteriori d(xn+1,x)⩽k(1 −k)−1d(xn,xn+1) en el Teorema 1.4 permite utilizar los valores calculados xn yxn+1 para determinar la precisi´ on de la aproximaci´ on xn+1. La experiencia ense˜ na que las estimaciones del error a posteriori son m´ as precisas que las estimaciones del error a priori. Una ventaja importante de los m´ etodos iterativos es que, incluso en ausencia de estimaciones te´ oricas del error, se pueden extraer conclusiones en principio sobre la precisi´ on de los valores calculados aprovechando la observaci´ on pr´ actica de que un decimal se ha determinado con precisi´ on una vez que ya no cambia en el transcurso del c´ alculo posterior. En cuanto a la estabilidad de los m´ etodos iterativos, otra ventaja es que es una prueba de errores: un valor calculado incorrectamente puede aumentar el n´ umero de iteraciones ne- 16 cesarias, pero no afecta a la convergencia del m´ etodo. Supongamos que el ordenador ha calculado incorrectamente xn0. Entonces consideramos xn0como un nuevo valor inicial. Dado que el m´ etodo converge para cada valor inicial en M, por el Teorema 1.4, el hecho de que xn0sea incorrecto no tendr´ a ninguna influencia, siempre y cuando xn0se encuentre en M. Esto supone, por supuesto, que los valores adicionales xn, con n>n0, se calculan correctamente. El Teorema 1.4 estima la tasa de convergencia mediante d(xn+1,x)⩽kd(xn,x)s, k < 1 (18) donde s= 1. Esto significa que, en el caso menos favorable, la precisi´ on aumenta s´ olo en un factor de kcon cada iteraci´ on (convergencia lineal). En la pr´ actica, as´ ı como en ciertas cuestiones te´ oricas importantes relacionadas con el Teorema de la Funci´ on Impl´ ıcita, uno est´ a interesado en tasas de convergencias m´ as r´ apidas, con s > 1. En el Ejemplo 1.10 describimos un m´ etodo para acelerar la tasa de convergencia y lo aplicamos al m´ etodo de Newton. Al construir un m´ etodo iterativo, a menudo resulta ventajoso elegir entre formulaciones equivalentes del problema. Lo ilustraremos con varios ejemplos importantes; para empezar, consideremos la ecuaci´ on g(x)=0, g una funci´ on real. (19) Al transformar (19) en una ecuaci´ on equivalente de punto fijo de la forma x=T x, tenemos al menos las siguientes posibilidades: T x =x−g(x) (versi´ on m´ as sencilla), (20) T x =x−ωg(x) (relajaci´ on lineal), (21) T x =x−ωF(g(x)) (relajaci´ on no lineal), (22) T x =x−g(x)/g′(x) (M´ etodo de Newton), (23) T x =h−1(g(x)−f(x)),donde g(x) = h(x) + f(x) (m´ etodo de divisi´ on). (24) Aqu´ ıωdenota un par´ ametro real distinto de cero, mientras que F,f, y hson funciones adecuadas con h−1denota la funci´ on inversa. Los m´ etodos iterativos correspondientes derivan de xn+1 =T xn. Por ejemplo, (21) conduce a xn+1 =xn−ωg(xn), n = 0,1,2... . (25) 17 Para mejorar la convergencia, con frecuencia se altera el par´ ametro de alguna manera adecuada en cada iteraci´ on. Entonces xn+1 =xn−ωng(xn), n = 0,1,2... . (26) Veamos una aplicaci´ on sencilla del Teorema 1.4. Consideramos la ecuaci´ on no lineal x=T x, x ∈[a,b],(27) junto con el m´ etodo iterativo xn+1 =T(xn), x0∈[a,b], n = 0,1,2,... . (28) Las soluciones x∗de (27) son las intersecciones x∗de la gr´ afica de Tcon la recta y=xcomo representamos en la Figura 1.1. Figura 1.1: Intersecci´ on Proposici´ on 1.8 (Soluci´ on de (27)). Supongamos que: (i) T: [a,b]→[a,b]es una funci´ on real, donde −∞ < a < b < ∞, y (ii) |T(x)−T(y)|⩽k|x−y|para todo x,y ∈[a,b]yk∈[0,1). Entonces (27) tiene exactamente una soluci´ on x, y para n= 0,1,2,... es cierto que |xn−x|⩽kn(1 −k)−1|x1−x0|(estimaci´ on del error a priori); (29) |xn+1 −x|⩽k(1 −k)−1|xn+1 −xn|(estimaci´ on del error a posteriori); (30) |xn+1 −x|⩽k|xn−x|(convergencia lineal). (31) Por lo tanto xn→xcuando n→ ∞ para un x0∈[a,b] 18 Observaci´ on 1.9 La condici´ on (ii) significa geom´ etricamente que la pendiente de la secante en la Figura 1.1 es, en valor absoluto, menor o igual que k, para 0 ⩽k < 1. En particular, (ii) se cumple siempre que Tsea continua en [a,b] y diferenciable en (a,b), con |T′(x)|⩽k < 1 para todo x∈(a,b), pues en ese caso, el Teorema del valor medio implica que: |T(x)−T(y)|=|T′(ξ)(x−y)|⩽k|x−y|,para todo x,y ∈[a,b]. Veamos otra aplicaci´ on: Queremos tratar ahora c´ omo dise˜ nar un m´ etodo iterativo donde la convergencia sea m´ as r´ apida que meramente lineal, es decir, el problema de acelerar la convergencia del m´ etodo. Sea x∈(a,b) una soluci´ on de la ecuaci´ on real x=F(x), y supongamos la sucesi´ on {xn}, donde xn+1 =F(xn), yxn∈(a,b) para todo n, converge a xcuando n→ ∞. Supongamos adem´ as que Fes m-veces diferenciable en [a,b] con F′(x) = F′′(x) = ···=F(m−1)(x)=0. En este caso, el Teorema de Taylor dice que |F(xn)−F(x)|=|F(m)(ξn)||xn−x|m/m!, ξn∈(a,b). Como xn+1 =F(x) y x=F(x), tenemos |xn+1 −x|⩽sup a<ξ<b |F(m)(ξ)||xn−x|m/m!.(32) Si el supremo en (32) es finito, obtenemos convergencia de orden m, frente a la convergencia (m= 1) de (31). Ejemplo 1.10 El truco del m´ etodo de Newton consiste en reescribir la ecuaci´ on f(x) = 0 en la forma equivalente x=F(x),donde F(x) = x−f(x) f′(x).(33) Entonces el m´ etodo iterativo se convierte en xn+1 =xn−f(xn) f′(xn).(34) Supongamos que f′(xn),0 para todo n. Entonces, F′(x) = f(x)f′′(x)/(f′(x))2, de modo que si xes una soluci´ on de f(x) = 0 con f′(x),0, entonces F′(x) = 0. As´ ı tenemos un m´ etodo con m= 2 en (32), es decir, tenemos convergencia cuadr´ atica. 19 La interpretaci´ on geom´ etrica del m´ etodo de Newton se muestra en la Figura 1.2(a). Para encontrar un cero, x, se toma el valor inicial, x0, y se determina el valor funcional correspondiente, f(x0). El siguiente valor iterativo , x1, es la intersecci´ on de la recta tangente en (x0,f (x0)) y el eje X, y as´ ı sucesivamente. Es t´ ıpico del m´ etodo de Newton que converja muy r´ apidamente si el valor inicial x0se encuentra ya en las proximidades del cero. Pero la Figura 1.2(b) muestra una situaci´ on en la que el m´ etodo oscila permanentemente y nunca converge al cero. La raz´ on es la desafortunada elecci´ on del valor inicial. Figura 1.2: (a) M´ etodo de Newton (b) Oscilaci´ on del m´ etodo Hemos visto el caso sencillo de una ecuaci´ on real a fin de ilustrar mejor las ideas subyacentes en los m´ etodos iterativos. Veamos ahora c´ omo aplicar esta teor´ ıa a un problema de valor inicial con una ecuaci´ on diferencial ordinaria de primer orden. 1.4. Teorema de Picard-Lindel¨ of Como otra aplicaci´ on b´ asica del Teorema 1.4 y de la Proposici´ on 1.7, consideramos el problema del valor inicial        x′(t) = f(t,x(t)), x(t0) = p(35) para una ecuaci´ on diferencial ordinaria en [t0−c,t0+c]. Geom´ etricamente, (35) significa que buscamos una curva que satisfaga la ecuaci´ on diferencial y pase por (t0,p), como en la Figura 1.3, con p=p0. En los puntos extremos t=t0±c,x′(t) debe interpretarse como la derivada 20 correspondiente. La ecuaci´ on (35), es equivalente a la ecuaci´ on integral siguiente x(t) = p+Zt t0 f(s,x(s))ds, para todo t∈[t0−c,t0+c],(36) si fes continua en un entorno adecuado de (t0,p). Figura 1.3: Representaci´ on geom´ etrica Teorema de Picard-Lindel¨ of Teorema 1.11 (Picard(1890), Lindel¨ of(1894)). Sean los n´ umeros reales t0,p0y el rect´ angulo Qb={(t,x)∈R2:|t−t0|⩽a,|x−p0|⩽b} para a,b > 0fijos. Supongamos que f:Qb→Res continua y que |f(t,x)−f(t,y)|⩽L|x−y|para todo (t,x),(t,y)∈Qb,(37) |f(t,x)|< K, para todo (t,x)∈Qb,(38) donde L⩾0yK⩾0son fijos. Entonces: (a) Existencia y unicidad. Si fijamos c=min(a,b/K)yp=p0, entonces la ecuaci´ on integral (36) tiene exactamente una soluci´ on continua x(·)en el intervalo [t0−c,t0+c]. Esta funci´ on tambi´ en es la ´ unica soluci´ on del problema de valor inicial (35) en [t0−c,t0+c]. (b) Aproximaci´ on sucesiva. Las aproximaciones sucesivas xn+1(t) = p0+Zt t0 f(s,xn(s))ds, x0(t) = p0, n = 0,1,2,... convergen uniformemente en [t0−c,t0+c]a la soluci´ on x(·). (c) Dependencia continua de la soluci´ on respecto de los valores iniciales. Sea [t0−d,t0+d] con dfijo, 0< d < c, elegido. Entonces la ecuaci´ on integral (36) tiene exactamente una soluci´ on continua xp(·)en el intervalo [t0−d,t0+d]para cada pen un entorno suficientemente 21 peque˜ no de p0. Adem´ as, es cierto lo siguiente: Si p→p0,entonces xp(t)→xp0(t)uniformemente en [t0−d,t0+d].(39) Corolario 1.12 (Estimaci´ on del error). Sea ∥x∥1=maxt0−c⩽t⩽t0+c|x(t)|exp(−L|t−t0|). Para k= 1 −exp(−Lc)y para todo n= 0,1,2,..., tenemos ∥xn−x∥1⩽kn(1 −k)−1∥x1−x0∥1 ∥xn+1 −x∥1⩽k(1 −k)−1∥xn+1 −xn∥1 ∥xn+1 −x∥1⩽k∥xn−x∥1 En el siguiente corolario, consideramos una situaci´ on en la que, a diferencia del Teorema 1.11, se puede garantizar la existencia de un intervalo mayor para la soluci´ on. Corolario 1.13 Dados a > 0yL⩾0fijo, y sea Q={(t,x)∈R2:|t−t0|⩽a}. Si f:Q→Res continuo con |f(t,x)−f(t,y)|⩽L|x−y|para todo (t,x),(t,y)∈Q, entonces el problema de valor inicial (35) tiene exactamente una soluci´ on para cada preal, en C1([t0−a,t0+a]). Demostraci´ on: Podemos reescribir la ecuaci´ on integral (36) como una ecuaci´ on de operador x=Tpx, x ∈M⊆X, X =C([t0−c,t0+c]),(40) donde C([t0−c,t0+c]) es el B-espacio de las funciones reales continuas en [t0−c,t0+c] con la norma uniforme ∥x∥=maxt∈[t0−c,t0+c]|x(t)|; y sea M={x∈X:∥x−p0∥⩽b}. Con esta elecci´ on, la soluci´ on existir´ ıa en el intervalo [t0−c,t0+c], donde c < min(a,b/K,1/L). Se trata de un intervalo m´ as peque˜ no que el reclamado por el teorema. Para obtener este ´ ultimo, proporcionamos Xcon una norma nueva, ∥ · ∥1. Dado que ∥x∥exp(−Lc)⩽∥x∥1⩽∥x∥,para todo x∈X, (41) las normas son equivalentes y (X,∥ · ∥1)y(X,∥ · ∥) son ambos B-espacios. 22 Demostraci´ on del Teorema 1.11 Probamos (a): (I) Definimos un operador Tppor Tpx=y, donde y(t) = p+Zt t0 f(s,x(s))ds, para todo t∈[t0−c,t0+c] y comprobamos que se cumplen las condiciones del Teorema 1.4: (I-1) Mes cerrado en (X,∥ · ∥1). Supongamos que xn∈Mpara todo n, es decir, ∥xn−p0∥⩽bpara todo n, y sea ∥x−xn∥1→0 cuando n→ ∞. Entonces (41) implica que ∥x−xn∥ → 0 cuando n→ ∞. Por lo tanto ∥x−p0∥⩽b, es decir, x∈M. (I-2) Tp0asigna Men M. Porque si x∈M, entonces ∥x−p0∥⩽b, y por lo tanto |x(t)−p0|⩽bpara todo t∈[t0−c,t0+c]. Por (38), ∥Tp0x−p0∥= m´ ax t∈[t0−c,t0+c]Zt t0 f(s,x(s))ds ⩽ ⩽m´ ax t∈[t0−c,t0+c]Zt t0 |f(s,x(s))|ds ⩽ ⩽m´ ax t∈[t0−c,t0+c]Zt t0 Kds =cK ⩽b. Luego, Tp0x∈M. (I-3) Tp0es k-contractivo en M. Supongamos x,y ∈M, es decir, ∥x−p0∥⩽b,∥y−p0∥⩽b. Entonces, usando (37), ∥Tp0x−Tp0y∥1=maxt∈[t0−c,t0+c]Zt t0 f(s,x(s)) −f(s,y(s))ds e−L|t−t0|⩽ ⩽maxtZt t0 eL|s−t0|−L|t−t0|ds L∥x−y∥1⩽ ⩽k∥x−y∥1,donde k= 1 −e−Lc <1. La integral se calcula por separado para t⩾t0yt⩽t0. (I-4) El Teorema 1.4 proporciona la existencia de exactamente una soluci´ on de x=Tp0x, con x∈M. Esta soluci´ on satisface (36) con p=p0, y por lo tanto tambi´ en satisface (35). (II) Demostramos adem´ as que toda soluci´ on y(·) de (36) que sea continua en [t0−c,t0+c] coincide con x(·) en (I-4). De lo contrario, y(·) tendr´ ıamos que difiere de x(·) en alg´ un punto (t1,p1) (Figura 1.4). Entonces, podr´ ıamos fijar el problema de valor inicial en 23 Figura 1.4: y(·) difiere de x(·) este punto, y los resultados anteriores indicar´ ıan la unicidad local de la soluci´ on. Por lo tanto, no puede producirse tal desviaci´ on. Demostraci´ on de (b) y del corolario 1.12: Por el Teorema 1.4, observemos que ∥x−xn∥1→0, lo que significa la convergencia uniforme en [t0−c,t0+c]. Demostraci´ on de (c): Comprobamos las hip´ otesis de la Proposici´ on 1.7. Puesto que queremos dejar que pvar´ ıe cerca de p0, tenemos que reducir el rect´ angulo Qbde la Figura 1.3. As´ ı, sustituimos el intervalo [t0−c,t0+c] en la definici´ on de XyMpor [t0−d,t0+d], y hacemos bun poco m´ as peque˜ no. Los mismos argumentos que en la demostraci´ on de la afirmaci´ on (a) demuestran que xp=Tpxp tiene exactamente una soluci´ on xp∈Mpara todo pen un entorno peque˜ no de p0, y xp(·) es la ´ unica soluci´ on continua de (36) en [t0−d,t0+d]. Como pn→p0yn→ ∞, tenemos ∥Tpnx−Tp0x∥1=|pn−p0| → 0, n → ∞,para todo x∈M. Por la Proposici´ on 1.7 entonces, ∥xpn−xp0∥1→0 cuando n→ ∞. Demostraci´ on del corolario 1.13: En la demostraci´ on de (a), fijemos M=X=C[t0−a,t0+a]. La soluci´ on x∈Mde la ecuaci´ on integral (36) es continuamente diferenciable, es decir, x∈C1([t0−a,t0+a]). □ 24 1.5. Teorema de la Funci´ on Impl´ ıcita En esta secci´ on mostraremos el Teorema de la Funci´ on Impl´ ıcita siguiendo la referencia [3] de la bibliograf´ ıa. Este teorema cl´ asico en An´ alisis Funcional es otra aplicaci´ on del Teorema 1.4. Teorema 1.14 (Teorema de la Funci´ on Impl´ ıcita). Sea Nun entorno de un punto (a,b)∈R2. Supongamos que fes una funci´ on continua de Nen Nverificando que: 1. ∂f ∂y (x,y)existe en Ny es continua en (a,b). 2. ∂f ∂y (a,b),0. 3. f(a,b)=0. Entonces, existe una ´ unica funci´ on y0definida en cierto entorno suficientemente peque˜ no de atal que f(x,y0(x)) = 0 en dicho entorno. Demostraci´ on: A partir de ahora, usaremos la notaci´ on Df=∂f ∂y (a,b). Denotaremos por Mal conjunto de funciones que a lo largo de la demostraci´ on les impondremos condiciones para poder probar la existencia y unicidad de punto fijo de la funci´ on Tde Men M, que para cada x, viene dada por [T z](x) = z(x)−f(x,z(x)) Df . Est´ a claro que, si probamos que dicha funci´ on tiene un ´ unico punto fijo y, dicho punto fijo ser´ a la funci´ on que buscamos. Consideramos el rect´ angulo R= [a−ε,a+ε]×[b−δ,b+δ], donde εyδson n´ umeros positivos suficientemente peque˜ nos para los cuales  1 Df ∂f ∂y (x,y)−1 <1 2para (x,y)∈R,  1 Df f(x,y) <1 2δpara |x|< ε. Ahora, sea C=C([a−ε,a +ε],R) y tomamos M={y∈C:y(a) = b, ∥y−β∥⩽δ}, donde, en este caso, βdenota a la funci´ on que vale ben todo punto y la norma es la norma infinito o de la convergencia uniforme. Claramente Tes una aplicaci´ on que lleva elementos de Men C. Tenemos que ∥T β −β∥=      1 Df f(x,b)      <1 2δ. 25 Para un ci∈Cdado pero fijo, i= 1,...,N, la ecuaci´ on (53) tiene exactamente una soluci´ on ξi∈C,i= 1,...,N, y el m´ etodo iterativo (55) converge a esta soluci´ on a partir de valores iniciales arbitrarios ξ(0) i∈C,i= 1,...,N. Demostraci´ on del Ejemplo 1.20: Sea x= (ξ1,...,ξN), b= (b1,...,bN), y X=CN. Entonces (54) se convierte en la ecuaci´ on x=Ax +b,A∈L(X,X). Como normas en Xelegimos ∥·∥∞y∥·∥1, de modo que obtenemos las siguientes normas para A, respectivamente: ∥A∥∞=max1⩽i⩽N N X j=1 |aij|<1 (para (56)); (58) ∥A∥1=max1⩽j⩽N N X i=1 |aij|<1 (para (57)) (59) El Teorema 1.16(a) establece la conclusi´ on. Obs´ ervese que la convergencia con respecto a ∥ · ∥∞, respectivamente ∥ · ∥1, es equivalente a ξ(n) i→ξicuando n→ ∞ para todo i.□ La siguiente proposici´ on es de importancia general. Proposici´ on 1.21 Sea A= (aij)una matriz compleja (N×N). Entonces (54) tiene exactamente un m´ etodo iterativo estable cuando todos los valores propios λde Asatisfacen que |λ|<1. Demostraci´ on de la Proposici´ on 1.21: El radio espectral satisface r(A) = maxi|λi|, con λi un valor propio de A. Por el Teorema 1.16(b) y el Corolario 1.19(c), la ecuaci´ on (54) tiene exactamente un m´ etodo iterativo estable cuando r(A)<1. □ Observaci´ on 1.22 El Teorema 1.16(b) proporciona las estimaciones del error para el Ejemplo 1.20. El radio espectral es r(A)⩽min(∥A∥1,∥A∥∞). Observando que R∞=log10r(A)−1y usando (58 y 59) con aij =−bij/bii para i,j, llegamos a esta conclusi´ on: Cuanto mayor sea la diagonal de elementos principales bii en comparaci´ on con los elementos restantes bij,i,j, mayor es la tasa de convergencia asint´ otica R∞, es decir, m´ as r´ apido converge el m´ etodo iterativo. Estudiamos ahora otra aplicaci´ on de este teorema a ecuaciones integrales lineales. Comencemos con la ecuaci´ on integral lineal de Fredholm de segundo tipo, x(t) = µZb a K(t,s)x(s)ds +f(t),para todo t∈[a,b],(60) con el m´ etodo iterativo correspondiente xn(t) = µZb a K(t,s)xn−1(s)ds +f(t), n = 1,2,... . (61) 32 Sea X=C([a,b],K), K=R,C, donde Xdenota el B-espacio de todas las funciones continuas x: [a,b]→K, con norma m´ axima ∥x∥= m´ axa⩽t⩽b|x(t)|. Ejemplo 1.23 Dados los puntos reales a < b, y sean las funciones continuas f: [a,b]→K, y K: [a,b]×[a,b]→K. Establecemos c= m´ ax a⩽t,s⩽b|K(t,s)| y supongamos c > 0. Entonces la ecuaci´ on (60) tiene exactamente una soluci´ on x∈Xpara cada µ∈Kcon (b−a)|µ|c < 1, y{xn}converge a xa partir de un valor inicial arbitrario x0∈X. Por definici´ on de ∥.∥, la convergencia xn→xcuando n→ ∞, significa que converge uniformemente en [a,b]. Demostraci´ on: Escribimos (60) en la forma x=Ax +f,x∈X, donde (Ax)(t) = µZb a K(t,s)x(s)ds, para todo t∈[a,b]. Como Kes continua, Aes una aplicaci´ on lineal de Xen si mismo y adem´ as, ∥A∥=sup∥x∥⩽1∥Ax∥ y ∥Ax∥= m´ ax a⩽t⩽b µZb a K(t,s)x(s)ds ⩽|µ|(b−a)c∥x∥. Dado que se cumple la condici´ on ∥A∥<1 del Teorema 1.16(a), la conclusi´ on se cumple. □ Ahora, definiremos lo que significa un operador compacto: Definici´ on 1.24 Se dice que un operador Tes compacto si T(BX) es relativamente compacto, donde Xes un espacio de Banach. Observaci´ on 1.25 Cuando K=C, los resultados del Ejemplo 1.20 puede mejorarse. Llamaremos µ∈Cun n´ umero caracter´ ıstico para la ecuaci´ on integral (60) si y solo si (60) con f(t)≡0 tiene una soluci´ on x(t).0. Aceptamos ahora que el operador A:X→Xes compacto (esto lo veremos en el Ejemplo 2.18 del cap´ ıtulo 2). Por tanto, (60) tiene a lo m´ as una cantidad numerable de n´ umeros µ1,µ2,... con 0 <|µ1|⩽|µ2|⩽... . Por el radio espectral de A tenemos entonces que r(A) = |µ|/|µ1|. Por tanto, solo necesitamos |µ|<|µ1|, en lugar de (b−a)|µ|c < 1, para satisfacer la condici´ on r(A)<1 del Teorema 1.16(b), y obtener los resultados del Ejemplo 1.23 para µ∈C. 33 El hecho de que esto es realmente una mejora se deduce de la relaci´ on general r(A)⩽∥A∥. En contraste con (60), la ecuaci´ on lineal integral de Volterra x(t) = µZt a K(t,s)x(s)ds +f(t),para todo t∈[a,b] (62) con l´ ımite superior variable en la integral y con el correspondiente m´ etodo iterativo xn(t) = µZt a K(t,s)xn−1(s)ds +f(t), n = 0,1,2,..., (63) tiene una soluci´ on para todo µ∈K. Ejemplo 1.26 Sea de nuevo K=R, (respectivamente C), y X=C([a,b],K). Bajo las mismas condiciones que en el Ejemplo 1.20, la ecuaci´ on (62) tiene exactamente una soluci´ on x∈X para cada µ∈K, y {xn}converge a x∈Xpara cada x0∈X. Demostraci´ on: Sea K=C. El caso K=Rpuede tratarse an´ alogamente. Escribimos (62) como x=Ax +f,x∈X, donde (Ax)(t) = µZt a K(t,s)x(s)ds, para todo t∈[a,b]. El operador Ase aplica de Xen si mismo. Tenemos ∥An∥⩽(|µ|(b−a)c)n/n!, donde ces como en el Ejemplo 1.20. Esto es cierto porque |(Ax)(t)|= µZt a K(t,s)x(s)ds ⩽|µ|c∥x∥Zt a ds = =|µ|c∥x∥(t−a) |(A2x)(t)|= µZt a K(t,s)(Ax)(s)ds ⩽|µ|2c2∥x∥Zt a (s−a)ds = =|µ|2c2∥x∥(t−a)2/2!. Haciendo el proceso reiteradamente, obtenemos |(Anx)(t)|⩽(|µ|c(t−a))n∥x∥/n!, y por tanto, ∥Anx∥=maxa⩽t⩽b|(Anx)(t)|⩽(|µ|c(b−a))n∥x∥/n!, As´ ı encontraremos que el radio espectral r(A) = lin→∞∥An∥1/n = 0. Ahora la conclusi´ on se sigue del Teorema 1.16(b), que proporciona estimaciones del error. □ En todos estos resultados y aplicaciones que se deducen del teorema principal, el Teorema del punto fijo de Banach, se garantiza la existencia, la unicidad y un m´ etodo estable de aproximaci´ on a la soluci´ on. Pero, las hip´ otesis a cumplir por el operador pueden ser demasiado restrictivas. En el cap´ ıtulo siguiente veremos teoremas de punto fijo menos exigentes. 34 Cap´ ıtulo 2 Teorema del punto fijo de Schauder y compacidad La demostraci´ on del teorema del punto fijo de Banach solo utiliza las propiedades m´ as sencillas de los espacios m´ etricos. En cambio, la demostraci´ on del teorema del punto fijo de Schauder depende de un profundo resultado topol´ ogico, a saber, que no existe ninguna aplicaci´ on continua y sobreyectiva de una bola cerrada en un n-espacio que deje cada punto de la frontera fijo (el principio de repliegue negativo). La demostraci´ on de esta afirmaci´ on intuitivamente atractiva no es en absoluto trivial. Una vez establecido este teorema topol´ ogico, se deduce inmediatamente el teorema del punto fijo de Brouwer; un proceso de aproximaci´ on que implica el teorema del punto fijo de Schauder. Los operadores compactos desempe˜ nan un papel fundamental en esta teor´ ıa. Haremos una aplicaci´ on inmediata de los teoremas del punto fijo de Brouwer y Schauder a sistemas no lineales de ecuaciones, a sistemas de desigualdades, a ecuaciones integrales no lineales y a ecuaciones diferenciales. Seguiremos la refencia [1] 2.1. Teorema de extensi´ on Primero vamos a dar la definici´ on de cierre convexo. Definici´ on 2.1 Sea Xun espacio m´ etrico, se define el cierre convexo como la intersecci´ on de todos los conjuntos convexos que contienen a X. El siguiente teorema de extensi´ on lo utilizaremos frecuentemente. Teorema 2.2 (Tietze (1915), Dugundji (1951)). Sea T:M⊂X→Yun operador continuo sobre un subconjunto cerrado y no vac´ ıo Mdel espacio m´ etrico (X,d)al espacio normado Y. Entonces 35 Ttiene una extension continua T:X→co(T(M)), siendo co(T(M)) el cierre convexo de T(M). Ejemplo 2.3 En el caso especial de X=RyM= [a,b], el Teorema 2.2 dice que toda funci´ on real continua T: [a,b]→[c,d]puede extenderse a una funci´ on continua T:R→[c,d]. Demostraci´ on: (I) A cada y∈X−Mle asignamos una bola abierta, Uy, con diam(Uy)< d(Uy,M). Esto nos da un recubrimiento (Uy) de X−M. Para este recubrimiento, hay una partici´ on de la unidad, X i∈J fi(x)=1,para todo x∈X−M, (63) donde fi:X−M→[0,1] es continua para todo i∈Jy es cero fuera de Uy(i)para un y(i) adecuado, mientras que cada x∈X−Mtiene un entorno de V(x) tal que todo menos un n´ umero finito de fison id´ enticamente cero en V(x). (II) Para cada y∈X−Melegimos un mytal que d(my,Uy)<2d(M,Uy) y definimos T(x) =        T(x) si x∈M, Pi∈Jfi(x)T(my(i)) si x∈X−M. (III) De (63) se deduce que T(x)⊆co(T(M)). (IV) Tes claramente continuo en int(M) y X−M. (V) Demostramos que Tes continua en ∂M. Sea x0∈∂M. Entonces, T(x0) = T(x0). (V-1) Si x∈X−Myfi(x),0, entonces por la construcci´ on de fi, tenemos que x∈Uy, donde fijamos y=y(i). Aplicando la desigualdad triangular se obtiene que d(my,x)⩽d(my,Uy) + diam(Uy)⩽3d(M,Uy)⩽3d(x0,x), y por lo tanto d(my,x0)⩽d(my,x) + d(x,x0)⩽4d(x0,x). Dado que 0 ⩽fi(x)⩽1 y fi(x) = 0 para d(my(i),x0)>4d(x0,x), tenemos que ∥T(x)−T(x0)∥=      X i∈J fi(x)(T(my(i))−T(x0))       ⩽ ⩽supA(x) para todo x∈X−M. Aqu´ ı, definimos el conjunto A(x) = {∥T(my(i))−T(x0)∥:i∈J,d(my(i),x0)⩽4d(x0,x)}. 36 (V-2) Si xn∈X−Mpara todo nyxn→x0cuando n→ ∞, entonces la continuidad de T implica que supA(xn)→0. Por tanto T(xn)→T(x0) cuando n→ ∞. (V-3) Ahora xn∈Mpara todo nyxn→x0cuando n→ ∞, entonces T(xn) = T(xn), por lo que T(xn)→T(x0). Por tanto, Tes continua en x0∈∂M. □ 2.2. Retractos Definici´ on 2.4 Supongamos que Xes un espacio topol´ ogico (por ejemplo, el subconjunto de un B-espacio), y r:X→Mes una aplicaci´ on continua con M⊆X. La aplicaci´ on rse denomina retracci´ on si y solo si r(x) = xpara todo x∈M. En ese caso, el conjunto Mse denomina retracto de X. Una retracci´ on colapsa el espacio Xen Mcontinuamente, mientras que deja cada punto de Minm´ ovil. Ejemplo 2.5 Sea X=RN,R > 0 y M={x∈X:∥x∥⩽R}. Entonces Mes un retracto de X. Una retracci´ on viene dado por la aplicaci´ on: r(x) =        xsi ∥x∥⩽R, Rx/∥x∥si ∥x∥> R. Para nosotros, la importancia de la retracci´ on est´ a en la capacidad de reducir la cuesti´ on de punto fijo para conjuntos complicados en una cuesti´ on de punto fijo para subconjuntos m´ as simples. Enunciamos los siguientes principios de retracci´ on: Proposici´ on 2.6 (a) Todo subconjunto cerrado y convexo Mde un espacio normado Xes un retracto de X. (b) La frontera ∂U(x0,R)de una bola cerrada U(x0,R)N-dimensional, con radio R > 0yN⩾1, no es un retracto de U(x0,R). 2.3. El teorema del punto fijo de Brouwer Teorema 2.7 (Teorema del punto fijo de Brouwer (1912)). Supongamos que Mes un subconjunto no vac´ ıo, convexo y compacto de RN, donde N⩾1, y que f:M→Mes una aplicaci´ on continua. Entonces ftiene un punto fijo. 37 Figura 2.1: Representaci´ on geom´ etrica Teorema 2.7(a) Demostraci´ on: (I) Supongamos en primer lugar que M=B, una bola de radio R > 0, y que fes una aplicaci´ on sin punto fijo, de modo que f(x),xpara todo x∈B. Entonces podemos construir una retracci´ on r:B→∂B como sigue. Para cada x, construimos la recta que une f(x) y x, y la continuamos hasta su intersecci´ on con ∂B, y sea el punto de intersecci´ on r(x), como en la Figura 2.1. Esto contradice la Proposici´ on 2.6(b). (II) Para Mgeneral, elegimos una bola cerrada Bque contenga a M. Por la Proposici´ on 2.6(a), existe una retracci´ on r:B→M. Luego la composici´ on de las aplicaciones Br −→ Mf −→ M⊆B tiene un punto fijo x=f(r(x)) por (I). Los puntos en B−Mno son fijos y para x∈M, r(x) = x, por lo que x=f(x). □ Ejemplo 2.8 Sea f: [0,1] →[0,1] continua. Por el Teorema 2.7, la gr´ afica de la aplicaci´ on fintersecta la diagonal como se ve en la Figura 2.2. Todos estos puntos de intersecci´ on son exactamente puntos fijos de f. Tambi´ en est´ a claro que los puntos fijos no tienen por qu´ e ser ´ unicos. En el ejemplo sencillo que hemos puesto no nos hace falta acudir al Teorema del punto fijo de Brouwer general. Fijemos g(x) = f(x)−x. Entonces g(0) ⩾0y g(1) ⩽0. Luego, por el Teorema de Bolzano, existe un punto x∈[0,1] tal que g(x) = 0, es decir, f(x) = x. 38 Figura 2.2: Intersecci´ on de fcon la diagonal 2.3.1. Resultados equivalentes al Teorema de punto fijo de Brouwer Veamos ahora algunos resultados que son aparentemente diferentes al Teorema de Brouwer, pero que en realidad son equivalentes. Para enunciar estos resultados hemos utilizado la referencia [4]. Empecemos por enunciar un teorema cl´ asico. Teorema 2.9 (Teorema de Aproximaci´ on polinomial de Weierstrass). Sea funa funci´ on de valores reales o complejos, continua sobre el intervalo cerrado [0,1]. Entonces, existe una sucesi´ on de polinomios pnque converge cuando n→ ∞ afuniformemente en [0,1]. (V´ ease [2]). A partir de ahora, usaremos la notaci´ on BnySnpara representar la bola cerrada centrada en el origen de radio la unidad y de dimension ny la esfera centrada en el origen de radio la unidad y dimension n+ 1 respectivamente, es decir, Bn={x∈Rn:∥x∥⩽1} y Sn={x∈Rn+1 :∥x∥= 1}. Teorema 2.10 El Teorema 2.7 es equivalente a que no existe un retracto continuo y diferenciable de Bnen Sn−1. Demostraci´ on: Supongamos que se verifica el Teorema 2.7 y que existe un retracto r:Bn→Sn−1continuo y diferenciable. Tomamos r1(x) = −r(x), r1es una funci´ on continua de Bnen Bnque no tiene puntos fijos, lo que contradice el Teorema 2.7. Supongamos ahora que no existe ning´ un retracto continuo y diferenciable de Bnen Sn−1y 39 veamos que se verifica el Teorema 2.7. Supongamos que no se verifica el Teorema 2.7, es decir, existe una funci´ on continua fde Bnen Bnque no tiene puntos fijos y consideramos la l´ ınea que une xyf(x) intersecada con Sn−1, lo que nos da un punto que llamaremos g(x). La funci´ on x7→ g(x) est´ a bien definida y verifica que g(x) = xpara todo x∈Sn. Probaremos que ges continua y diferenciable, para ello, la l´ ınea que une xyf(x) tiene la forma α(x)x+ (1 −α(x))f(x). Para probar la afirmaci´ on tenemos que ver que αes continua y diferenciable: ⟨α(x)x+ (1 −α(x))f(x),α(x)x+ (1 −α(x))f(x)⟩= =α(x)2∥x∥2+ 2α(x)(1 −α(x))⟨x,f (x)⟩+ (1 −α(x))2∥f(x)∥2= 1, para todo x∈Sn−1. Por tanto α(x) es la soluci´ on de una ecuaci´ on cuyos coeficientes son continuos y diferenciables, as´ ı la soluci´ on α(x) tiene la misma propiedad y es continua y diferenciable. En consecuencia, el punto fijo de gexiste. Por continuidad de fen el compacto Bn, el Teorema 2.9 nos asegura que podemos encontrar una sucesi´ on {fn}n∈Nde funciones continuas y diferenciables que convergen uniformemente af. Tomamos ahora {xn}n∈Ndada por xn=fn(xn−1). El punto al que converge dicha sucesi´ on ser´ a un punto fijo de f. Contradicci´ on con que no se verifica el Teorema 2.7. □ Otro resultado equivalente es el Teorema de Henri Poincar´ e, 24 a˜ nos antes que el Teorema 2.7. Teorema 2.11 (Henri Poincar´ e (1886)). Sea f:Bn→Bnuna aplicaci´ on continua y supongamos que para alg´ un r > 0y todo λ > 0,f(u) + λu ,0para todo ucon ∥u∥=r. Entonces existe un punto u0, con ∥u0∥< r, tal que f(u0)=0. A continuaci´ on, enunciaremos otro Teorema equivalente muy ´ util para las ecuaciones diferenciales. Teorema 2.12 (Teorema de Poincar´ e-Miranda). Si denotamos por Dn={x= (x1,...,xn)∈Rn:ai⩽xi⩽bi}y dada fi:Dn→Rcontinua y verificando: fi(x1,...,xi−1,ai,xi+1,...,xn)⩾0, fi(x1,...,xi−1,bi,xi+1,...,xn)⩽0, para todo i= 1,...,n. Entonces existe un punto x0∈Dntal que fi(x0)=0para todo i= 1,2,...,n. Demostraci´ on: Veamos que es equivalente al Teorema 2.7, para ello, en primer lugar, supongamos que se verifica el Teorema 2.7 y veamos que se cumple dicho Teorema. Por ser fiuna funci´ on continua definida en un compacto, alcanza el m´ aximo y el m´ ınimo en dicho compacto. Denotemos 40 por miyMiel m´ ınimo y el m´ aximo de fien Dny sean δ′ iyδ′′ ilas distancias del conjunto de puntos de Dntales que fi(x)<0 y fi(x)>0 a los hiperplanos xi=aiyxi=bi, respectivamente. Sabemos que mi<0 y que Mi>0, por tanto, podemos encontrar nn´ umeros εitales que 0< εi⩽−δ′ i/mi, 0< εi⩽δ′′ i/Mi. Definimos as´ ı las funciones gi(x1,...xn) = xi+εifi(x1,...,xn), las cuales cumplen, si f(x1,...,xn) = 0, que ai⩽xi⩽gi(x1,...,xn)⩽bi. Si fi(x1,...,xn)>0, tenemos ai⩽xi< gi(x1,...,xn)⩽bi−δ′′ i+εiMi⩽bi. En el caso de f(x1,...,xn)<0, se tiene bi⩾xi> gi(x1,...,xn)⩾ai+δ′ i+εimi⩾ai. Si tomamos G= (g1,...,gn), por el Teorema 2.7 sabemos que Gadmite un punto fijo, es decir, existe x= (x1,...,xn)∈Dntal que G(x) = x, en particular, xi=xi+εifi(x), es decir, fi(x) = 0. Rec´ ıprocamente, supongamos ahora que se verifica el Teorema 2.12. Veamos que entonces se cumple el Teorema 2.7. Sea fi:Dn→Rcontinua y verificando: fi(x1,...,xi−1,ai,xi+1,...,xn)⩾0, fi(x1,...,xi−1,bi,xi+1,...,xn)⩽0, ∀i= 1,...,n. Entonces existe un punto x0∈Dntal que fi(x0)=0∀i= 1,2,...,n. Tomando g∗ i(x) = fi(x)−xi, por hip´ otesis sabemos que existe x0∈Dntal que gi(x0) = 0, por tanto, F= (f1,...,fn) tiene un punto fijo. □ Otra forma de enunciar el Teorema 2.7 es: Teorema 2.13 Si Ces un subconjunto compacto y convexo de un espacio vectorial de dimensi´ on finita y f:C→Ces una aplicaci´ on continua, entonces fadmite al menos un punto fijo. La demostraci´ on es inmediata, se sigue de que todo subconjunto compacto y convexo de un espacio vectorial de dimension finita es homeomorfo a la bola cerrada en dicha dimension y, como tener un punto fijo se hereda topol´ ogicamente, se obtiene el resultado. Una de las aplicaciones importantes del Teorema 2.7 es el Teorema Fundamental del ´ Algebra, que establece que todo polinomio de grado ntiene exactamente nra´ ıces complejas. Veamos que una de sus demostraciones es una consecuencia del Teorema 2.7: 41 2.7. Teorema de Peano De forma paralela a la Secci´ on 1.4, consideramos el problema del valor inicial        x′(t) = f(t,x(t)), x(t0) = y0 (69) Comparando con el Teorema de Picard-Lindel¨ on (Teorema 1.11), aqu´ ıfes meramente continua. Teorema 2.23 (Peano (1890)). Dados los n´ umeros reales t0ey0, y el rect´ angulo Qb={(t,x)∈R2:|t−t0|⩽a,|x−y0|⩽b}, donde aybson n´ umeros positivos fijos. Supongamos que f:Qb→Res continua y acotada con |f(t,x)|⩽Kpara todo (t,x)∈Qb, yK > 0fijo. Sea c=min(a,K/b). Entonces el problema del valor inicial (69) tiene una soluci´ on continuamente diferenciable en [t0−c,t0+c]. Demostraci´ on: Como en la demostraci´ on del Teorema 1.11, sustituimos primero (69) por la ecuaci´ on integral x(t) = y0+Zt t0 f(s,x(s))ds, y a continuaci´ on, lo escribimos como la ecuaci´ on del operador x=T x, x ∈M⊆X, donde X=C([t0−c,t0+c]), M={x∈X:∥x−y0∥⩽b}, y ∥x∥= m´ axt0−c⩽t⩽t0+c|x(t)|. El conjunto Mes cerrado y acotado en X. Como en la demostraci´ on del Teorema 1.11, en (I-2), se deduce que T(M)⊆M. El operador Tes compacto por el Ejemplo 2.18. Ahora, el Teorema 2.21 implica la existencia de una soluci´ on x=T x,x∈M.□ 2.8. Ecuaciones integrales con par´ ametros peque˜ nos Estudiamos la ecuaci´ on integral no lineal x(t) = µZb a F(t,s,x(s))ds +Zb a G(t,s,x(s))ds +αg(t).(70) Queremos utilizar los teoremas del punto fijo de Banach y de Schauder para establecer la existencia de soluciones cuando se cumplan las siguientes condiciones: 48 (i) µyαson par´ ametros peque˜ nos reales; (ii) El t´ ermino no lineal sin par´ ametros es de orden superior a 1 en x(v´ ease (71)). Proposici´ on 2.24 (Soluci´ on de (70)). Dado un conjunto Q={(t,s,x)∈R3:a⩽t,s ⩽b,|x|⩽r0}, donde a,b,r0son n´ umeros positivos fijos. Supongamos que hay funciones continuas F,G:Q→R yg: [a,b]→R, con |G(t,s,x)|⩽K|x|ρen Qpara ρ > 1yK > 0fijos.(71) (a) Entonces existen los n´ umeros µ0,α0>0, de modo que la ecuaci´ on (70) tiene una soluci´ on para µfijo con |µ|⩽µ0, y αfijo con |α|⩽α0. (b) Si FyGtienen las primeras derivadas parciales continuas respecto de xtales que Gx(t,s,0) = 0 para todo (t,s,0) ∈Q, (72) entonces existen n´ umeros µ0,α0,r > 0, de modo que para µfijo con |µ|⩽µ0, y αfijo con |α|⩽α0, (70) tiene exactamente una soluci´ on x(·)en [a,b]que es continua y tiene m´ axt∈[a,b]|x(t)|⩽r. Esta soluci´ on puede obtenerse mediante aproximaciones sucesivas en (70) a partir del elemento inicial x0(t)≡0. Demostraci´ on: (a) Elegimos X=C([a,b]) con norma m´ axima ∥x∥= m´ axt∈[a,b]|x(t)|y M={x∈X:∥x∥ ≤ r}. Escribimos (70) como una ecuaci´ on del operador x=T x, x ∈M, y comprobamos las hip´ otesis del Teorema del punto fijo de Schauder. Todos los m´ aximos son con respecto a [a,b]. (I) El conjunto Mes cerrado, acotado y convexo. El operador Tes compacto por el Ejemplo 2.18. (II) Tes una aplicaci´ on de Men s´ ı mismo. Para ver esto, fijamos que ∥x∥ ≤ r. Para un valor fijo suficientemente peque˜ no r > 0, de (71) se deduce que m´ ax tZb a G(t,s,x(s))ds ≤(b−a)Krp≤r/2. 49 Si elegimos µ0yα0suficientemente peque˜ nos, entonces para µyαfijos con |µ| ≤ µ0y |α| ≤ α0, se tiene que m´ ax t µZb a F(t,s,x(s))ds ≤r/4 y m´ ax t|αg(t)| ≤ r/4. De estas dos condiciones, se deduce que ∥T x∥ ≤ r/2 + r/4 + r/4 = r. Por el Teorema del punto fijo de Schauder (Teorema 2.21) podemos asegurar una soluci´ on de x=T x, x∈M, y por tanto se tiene (70). (b) En este caso demostraremos que se cumplen las hip´ otesis del Teorema del punto fijo de Banach. El Teorema del valor medio, con A=F,G, establece que |A(t,s,x(s)) −A(t,s,y(s))|≤|Ax(t,s,ξ(s))||x(s)−y(s)|, donde ξ(s) = x(s) + ϑ(y(s)−x(s)), 0 < ϑ < 1. Si aplicamos (72) con x,y ∈Myrpeque˜ no, llegamos a que m´ ax tZb a G(t,s,x(s)) −G(t,s,x(s))ds ≤m´ ax t|x(t)−y(t)|/4 = ∥x−y∥/4. Razonando de manera an´ aloga para Fse demuestra que para µ0yα0peque˜ nos positivos y µfijo con |µ| ≤ µ0yαcon |α| ≤ α0, tenemos que ∥T x −T y∥≤∥x−y∥/2 para todo x,y ∈M, es decir, el operador Tes k-contractivo. La conclusi´ on se deduce entonces del Teorema del punto fijo de Banach (Teorema 1.4) □ Ejemplo 2.25 (Oscilaci´ on no lineal). Consideremos el problema de contorno        x′′(t) + ω2x(t) = µf (t,x(t)), x(a) = x(b)=0 (73) Aqu´ ı, ωyµson par´ ametros reales fijos. La ecuaci´ on (73) describe un muelle oscilante con una fuerza lineal externa µf , y una deflexi´ on x(t) en un tiempo t. Si la ´ unica soluci´ on de (73), µ= 0, es la trivial, x(t)≡0, entonces se puede usar una funci´ on de Green continua Gcon fcontinua para convertir (73) en la ecuaci´ on integral equivalente x(t) = µZb a G(t,s)f(s,x(s))ds, (74) y aplicamos la Proposici´ on 2.24 con µpeque˜ no. 50 2.9. Sistemas de ecuaciones integrales y ecuaciones diferenciales semilineales Los Teoremas de punto fijo de Banach y Schauder pueden ser aplicados sin dificultad a los sistemas de ecuaciones integrales haciendo uso de los espacios producto. Por ejemplo, consideramos el problema de valor inicial        ξ′ i(t) = fi(t,x(t)), ξi(t0) = ηi0, i = 1,...,n, (75) donde x(t)=(ξ1(t),...,ξn(t)). Para ficontinua obtenemos el sistema equivalente de ecuaciones integrales ξi=ηi0+Zt t0 fi(s,x(s))ds, i = 1,...,n. (76) Como B-espacio elegimos el conjunto de todos los x(·) para los que las componentes ξi(·) son continuas en [t0−c,t0+c]. Para la norma, usaremos ∥x∥= m´ ax 1≤i≤n(m´ ax a≤t≤b|ξi(t)|). Entonces, an´ alogamente con el Teorema 1.11 y la Proposici´ on 2.24, se demuestra la existencia de soluciones para ficontinuamente Lipschitziana o continuas en un intervalo [t0−c,t0+c], para cpeque˜ no. Las ecuaciones integrales no lineales son tambi´ en una herramienta para investigar las ecuaciones diferenciales parciales semilineales. Por ejemplo, si Les un operador diferencial lineal de segundo orden, un problema de valor inicial o de frontera para Lu(x) = f(x,u(x)) puede convertirse, an´ alogamente con (74), en u=Jf (·,u), donde Jes un operador integral y este ´ ultimo puede resolverse con ayuda de los Teoremas de punto fijo (el de Banach para fcontinuamente Lipschitziana y el de Schauder para f continua). La reducci´ on a una ecuaci´ on integral es el enfoque cl´ asico. Podemos verlo tambi´ en como un operador L:X→Yentre dos B-espacios, y tener estimaciones sobre Lde la forma ∥Lu∥ ≥ γ∥u∥, γ > 0, que garantiza entonces la existencia de un operador lineal y continuo L−1:Y→X. Entonces J=L−1. 51 2.10. Estrategia general Un estudio cuidadoso de la demostraci´ on de la Proposici´ on 2.24 descubre las siguiente observaciones sobre la aplicaci´ on de los Teoremas de punto fijo de Banach y de Schauder a las ecuaciones integrales. (a) Para obtener una aplicaci´ on de una bola en s´ ı misma, con centro el origen, en un B- espacio de funciones continuas, podemos hacer una de las dos opciones siguientes: • Elegir los par´ ametros dados suficientemente peque˜ nos. • Elegir el radio de la bola suficientemente peque˜ no si los par´ ametros son de orden superior a 1. (b) Si la regi´ on de integraci´ on es compacta, y si todas las funciones dentro de la integral son continuas, entonces obtenemos operadores compactos sobre B-espacio de funciones continuas, y podemos aplicar el Teorema del punto fijo de Schauder. (c) Si la regi´ on de integraci´ on es compacta, y si todas las funciones dentro de la integral son continuamente integrables, o m´ as generalmente, continuamente Lipschitziana, entonces podemos aplicar el Teorema del punto fijo de Banach. Para forzar la kcontractividad, podemos elegir una de las siguientes opciones: • Elegir los par´ ametros dados suficientemente peque˜ nos. • Elegir el radio rde la bola suficientemente peque˜ no, si la constante de Lipschitz para r→0 tambi´ en va a 0 (par´ ametros libres de orden mayor que 1). Para el caso de una ecuaci´ on integral de Volterra con un l´ ımite superior de integraci´ on variable, o m´ as generalmente, con una regi´ on de integraci´ on variable, la situaci´ on se simplifica sustancialmente. En (a) y (c) basta elegir la regi´ on de integraci´ on suficientemente peque˜ na. Este m´ etodo ya se utiliz´ o en la demostraci´ on de los Teoremas de Picard-Lindel¨ of y Peano en las Secciones 1.4 y 2.7. Este sencillo truco puede aplicarse tambi´ en a la ecuaci´ on integral (70), uno se conforma con los resultados de existencia para un intervalo suficientemente peque˜ no [a,b]. En este caso, se prescinde de las condiciones restrictivas (71) y (72). Para ecuaciones diferenciales semilineales, las consideraciones de la Secci´ on 2.9 muestran que esta t´ ecnica aportar´ a resultados de existencia para regiones suficientemente peque˜ nas. 52 2.11. Principio de existencia de sistemas de inecuaciones Queremos encontrar un u∈Kque sea soluci´ on de la inecuaci´ on ⟨f−T u,v −u⟩x≥0,para todo (v,f )∈M. (77) Proposici´ on 2.26 (Debrunner,Flor (1964)). Sea Kun subconjunto convexo compacto no vac´ ıo de un B-espacio Xy sea Mun subconjunto mon´ otono de K×X∗, lo que significa que ⟨f−g,v −w⟩x≥0,para todo (v,f ),(w,g)∈M. (78) Adem´ as, sea la aplicaci´ on T:K→X∗continua. Entonces (77) tiene una soluci´ on u∈K. Veamos el significado de esta proposici´ on con un ejemplo. Ejemplo 2.27 Sea X=R,K= [a,b], −∞ < a,b < ∞, y sea la funci´ on ϕ: [a,b]→Rmon´ otona creciente. Entonces X=X∗. Ahora la gr´ afica de ϕes mon´ otona, es decir, el conjunto M= {(v,ϕ(v)) : v∈[a,b]}es mon´ otono, ya que ⟨f−g,v −w⟩x= (f−g)(v−w)≥0 para todo (v,f ),(w,g)∈M. El problema (77) es equivalente a (ϕ(v)−T(u))(v−u)≥0 para todo v∈[a,b]. La Proposici´ on 2.26 dice que este problema tiene una soluci´ on u∈[a,b], para cada funci´ on continua T: [a,b]→R. La Figura 2.3 da una interpretaci´ on geom´ etrica de la proposici´ on para el ejemplo anterior. Demostraci´ on de la Proposici´ on 2.26: Supongamos, por el contrario, que (77) no tiene soluci´ on u∈K. Para la primera parte de la demostraci´ on usaremos: Teorema 2.28 (Teorema de partici´ on de la unidad). Sea f:M⊆X→Runa funci´ on de valores reales. El soporte de f, denotado por sop(f), es el cierre del conjunto {x∈M:f(x),0}. Sea Xun espacio paracompacto (por ejemplo, un espacio m´ etrico o un espacio topol´ ogico compac- to). Sea {Uα}cualquier recubrimiento abierto de X. Entonces hay una partici´ on de la unidad {fα} contenida en {Uα}. M´ as concretamente, hay un sistema de funciones continuas de valores reales {fα}con las siguientes propiedades: (i) 0≤fα≤1para todo x∈Xy todo α. (ii) Pαfα= 1 para todo x∈X. 53 Figura 2.3: Interpretaci´ on geom´ etrica de la Proposici´ on 2.26 en el Ejemplo 2.27 (iii) El recubrimiento {sop(fα)}de Xes localmente finito, es decir, para cada x∈Xun entorno U(x)tal que un n´ umero finito de fαno son id´ enticamente nulos en U(x). (iv) El recubrimiento {supp(fα)}de Xes una afinaci´ on de U(x), es decir, para cada αexiste un βcon sop(fα)⊆Uβ. Si s´ olo hay un n´ umero finito de U1,...,Un, entonces f1,...,fnpuede ser elegido para que sop(fi)⊆Uipara todo i. Y adem´ as, vamos a definir lo que es un conjunto relativamente abierto: Definici´ on 2.29 Sea Xun espacio m´ etrico y sea N⊆M⊂X, se dice que Nes relativamente abierto en Msi y solo si existe Oabierto en Xtal que N=M∩O. (I) Partici´ on de la unidad. Definimos el conjunto U(v,f ) = {u∈K:⟨f−T u,v −u⟩x<0}. U(v,f ) es relativamente abierto en K, ya que ⟨f−T u,v−u⟩xcambia ligeramente solo si ∥f−T u∥y∥v−u∥cambian ligeramente. Como (77) no tiene soluci´ on por hip´ otesis, la colecci´ on de U(v,f ), para todo (v,f )∈M, forma un recubrimiento del conjunto K. Pero Kes compacto, por lo que se puede extraer un subrecubrimiento finito de K,U(vi,fi), i= 1,...,m. Existe entonces, por el Teorema de partici´ on de la unidad, una subpartici´ on ordenada de la unidad, es decir, existen funciones continuas βi:K→R,con suppβi⊆U(vi,fi),tales que m X i=1 βi(u)=1,0≤βi(u)≤1,para todo u∈K,i = 1,...,m. (79) 54 (II) Teorema del punto fijo de Brouwer. Sea K1=co({v1,...,vm}), y definimos p(u) = m X i=1 βi(u)vi, q(u) = m X i=1 βi(u)fi,para todo u∈K1. Por (79), paplica el conjunto K1en s´ ı mismo continuamente. Por el Teorema 2.7 ptiene un punto fijo, u∗=p(u∗), u∗∈K1. (III) Construcci´ on de la contradicci´ on. Sea ∆ij =⟨fi−T u∗,vj−u∗⟩x. Entonces ∆ij +∆ji =∆ii +∆jj +⟨fi−fj,vj−vi⟩x. Por (78), ⟨fi−fj,vj−vi⟩ ≤ 0, de modo que ∆ij +∆ji ≤∆ii +∆jj. De p(u∗) = u∗y de la definici´ on de pyqllegamos a que 0 = ⟨q(u∗)−T u∗,p(u∗)−u∗⟩= = m X i,j=1 βj(u∗)βj(u∗)∆ij = = m X i,j=1 βj(u∗)βj(u∗)(∆ij +∆ji)/2, por lo que 0≤ m X i,j=1 βj(u∗)βj(u∗)(∆ii +∆jj)/2,(80) Si βi(u∗)βj(u∗),0, entonces u∗∈U(vi,fi)∩U(vj,fj). Por construcci´ on de U(v,f ), esto significa que ∆ii <0 y ∆jj <0. En vista de (80), esto significa que βi(u∗) = 0 para todo i= 1,...,m. Puesto que u∗∈K, esto contradice (79). □ 55 Bibliograf´ ıa [1] Zeidler E., Nonlinear Functional Analysis and its Applications, Fixed-Point Teorems, Springer-Verlag, New York (1986). [2] Yosida K., Functional Analysis, Springer-Verlag, Berlin (1971). [3] Smart D.R., Fixed Point Theorems, 1º edition, Cambridge University Press, Cambridge, UK (1974). [4] Intr˘ atescu V.I., Fixed Point Theory, An Introduction, D. Reidel Pubishing Company, Dordrecht, Holland (1981). 56