Applying photoelasticity to masonry structures analysis
Abstract
Photoelastic analysis is proposed to study the behaviour of discontinuous and orthotropic media subjected to loads. These media are considered to be a suitable model for certain types of materials such as dry masonry. A series of tests have been carried out on similar models previously proposed by other authors, to compare the results with two numerical simulation methods commonly used for this type of structures. The results show similarities in terms of irregularity in the distribution of stresses and differences in their dispersion degree. Hence, it appears that this is a phenomenon to consider for the local behavior of this type of structures and that the stiffness of the material plays an important role to be considered in further studies.
Full text
Applyingphotoelasticitytomasonrystructuresanalysis Mencías,David1;García,Julián2;Magdalena,Fernando3 ABSTRACT Photoelasticanalysisisproposedtostudythebehaviourofdiscontinuousandorthotropicmedia subjectedtoloads.Thesemediaareconsideredtobeasuitablemodelforcertaintypesofmaterials suchasdrymasonry.Aseriesoftestshavebeencarriedoutonsimilarmodelspreviouslyproposedby otherauthors,tocomparetheresultswithtwonumericalsimulationmethodscommonlyusedforthis typeofstructures.Theresultsshowsimilaritiesintermsofirregularityinthedistributionofstresses anddifferencesintheirdispersiondegree.Hence,itappearsthatthisisaphenomenontoconsiderfor thelocalbehaviorofthistypeofstructuresandthatthestiffnessofthematerialplaysanimportant roletobeconsideredinfurtherstudies. Keywords:masonry,walls,photoelasticity,blockystructures,femanalysis,stressfields 1. INTRODUCCIÓN 1.1. Lafotoelasticidadaplicadaalanálisisestructural Lafotoelasticidadesunprocedimientoclásicoparamedirdeformacionesytensiones.Desarrolladaa principiosdelsigloXX,requiere,comocualquierprocedimientoexperimental,deunacierta metodologíapráctica(extremadamentesencilla,yaqueapenassonnecesariosalgunosaparatos ópticosdecostemoderadoyunmodeloenmaterialfotosensibledelapiezaaestudiar)peroofrece datosdegraninterés:permiteestablecerfácilmentepatronesdeesfuerzo,áreasdeconcentraciónde tensiones,entenderelcomportamientogeneraldelelementoestudiado,servircomométodo didácticomuydirecto,….Elprogresivoavancedelosmétodosnuméricosapoyadosenmedios computacionales,apartirdelosaños60delsiglopasado,nopermitiósuusogeneralizado,aunqueha sobrevividoenalgunosámbitosmuyconcretos. Estatécnica,máshabitualmenteempleadaenelestudiodesistemascontinuos,apenassehaaplicado paraelestudiodeobrasdefábricayenalgunasinvestigaciones,comoladeRobertMarkparalas seccionestransversalesdecatedralesgóticas,losmodelosempleadosobviabanlacondición discontinuadelasfábricas,asícomosuorganizacióninterna,másomenosortótropa.Porelloseha llevadoacabounmétododeensayoconlaideadeidentificar,almenosanivelcualitativo,elefecto deladiscontinuidaddelmaterialsobrelascorrientesdetensionesdecontactoprovocadosporlas accionesexterioresimpuestas.Larealidadconstructivaylaexperienciaenintervencióndel 1 EscuelaTécnicaSuperiordeArquitecturadeMadrid.UniversidadPolitécnicadeMadrid(ESPAÑA). [email protected](Correspondingauthor) 2 EscuelaTécnicaSuperiordeEdificacióndeMadrid.UniversidadPolitécnicadeMadrid(ESPAÑA). [email protected] 3 EscuelaTécnicaSuperiordeEdificacióndeMadrid.UniversidadPolitécnicadeMadrid(ESPAÑA). [email protected] 114
Applying photoelasticity to masonry structures analysis Third International Conference on Mechanical Models in Structural Engineering University of Seville. 24-26 june 2015. patrimonioexistente,demuestraqueenlasestructurasdefábrica,tantomásimportantequelas propiaspiezas,eslajuntaentreellasyenmuchoscasosnoesposibleanticiparsenuméricamenteasu comportamiento.Enotroscasosunacercamientomediantelasleyesdelaaleatoriedadpermite conocerundeterminadoconjuntodesituacionesposiblesdecomportamiento,peronolasmás probables. 1.2. Antecedentesdefotoelasticidadaplicadaenfábricas Paralaobtencióndeestasrepresentacionesfotoelásticas,losmodelosensayadossefabricanbien medianteplanchasderesinasepoxídicasobienmediantemetacrilatos(yasevayanaaplicarbajaso altascargas,respectivamente)alasqueserealizanunaseriedecortes,quereproducenlalabraolos bloquesdeladrillos.Debidoalapropiedadópticadelabirrefrigenciayempleandoelpolariscopio,al aplicarlascargasexteriores,esposibleobtenerimágenesmuyexplícitasdelcomportamientodela estructura. Losensayosfotoelásticosresultandeprobadautilidadenlavisualización(yeventualmentede medición)detensionesenmediosdiscontinuospermitiendovisualizarelcarácteranisótropodela respuestadelmaterialporlaformacióndecorrientesdetensión.Enmediosdiscontinuosmás organizados,comolasfábricas,losejemplosdesuutilizaciónsonmásrecientesymásescasos. Lareferenciamásnotableenlaaplicacióndeestatécnicaalanálisisdeestructurasonlostrabajos encabezadosporDavideBigoni(Bigonietal.[1]),queanalizaunmodelode187piezasde20x10x6 mmdediferentesmaterialescomoPC,PSM‐9oPMMAqueconformanunpañodedimensiones totales230x180x6mm.Eneltrabajoqueaquísedescribe,sehapartidodelmismomodeloapesarde empleartécnicasyaproximacionesdiferentes,quepermiteestablecer,lassemejanzasydiferencias quesecomentaránposteriormente. 1.3. Comparacióndemétodosdeanálisis Otrodelosobjetivosplanteadosenestetrabajoescompararlosresultadosdelosensayos fotoelásticosconotrosmétodosnuméricosdeanálisisdefábricamásextendidos,paraconocerel gradodeaproximaciónentreellos.Entrelosmétodosimplementadosestáporunladoelanálisis mediantebloquesrígidosconcondicionesdecontactoaleatoriasyporotroelmétododelos elementosfinitos,condiferentesmodelosensayados. 2. ENSAYOFOTOELÁSTICODEMODELODEBLOQUESDERESINA Lametodologíaempleadaenesteprimergrupodeensayoseslapropiadelanálisisfotoelástico, llevadaalestudiodeladistribucióndetensionesenmediosdiscontinuos:enestecaso,unafábrica enseco.Lafotoelasticidadesconsideradaunatécnicaapropiadaparaelestudiodemedios continuos,sibiendiversostrabajosdeotrosautores(Bigonietal.[2])lahanempleadoyaparael análisisdefábricas. 115
Mencías, D.1, García, J.2 and Magdalena, F.3 2.1. Modelo.Materialesycondicionesdeensayo Elmodelofísicoessimilar,enloposible,tantoalempleadoenlosensayosreferenciacomoalos modelosmatemáticosdescritosenlosapartadosquesiguen.Es,enesencia,unmodelocompuesto porunconjuntodesólidos,enestecasobloquesderesina,dispuestosencontactosecoydirecto. Elmaterialempleadoesunodelosmáshabitualesenensayosfotoelásticos,unaresinaepoxídicade doscomponentespolimerizadaatemperaturaambiente.Labaseesunavariantecomercialdela epiclorohidrina;elagenteendurecedor,unmonómerotipoBPA.Laresinacuradaresultanteesun productotransparente,conmaticesamarillentos,paraelquepuedenestimarseunaresistenciasa compresión,tracciónyflexiónde580,460y570kg/cm²respectivamente,yuncoeficientede contracciónlinealdel0,1%.Elmaterialsehamezcladoycoladoenmoldesdevidrio,produciendo placasplanasdeuncentímetrodeespesor.Éstassehancortadodespuésconunacortadoralaser estándar.Elcorteseharealizadocombinandounaaltapotencia(150W),paraqueelhazdelaser atravieseporcompletolaplaca,conunavelocidadmedia‐bajadelbrazo(0,01m/s),paraevitarel quemadodelaresina. Losdiferentesbloquessehanmontadoensuposicióndeensayodentrodeunacajade confinamientodePMMA(Polimetilmetacrilatodeanilo).Lacajasehadiseñadocomounconjunto deplacasycercosquepermitaensayarmodelosplanosdehasta200x300mmenposicionesvertical yhorizontal.Lascarasprincipaleslimitanfrontalmentelatendenciaalpandeodelosmodelos;los cercoslateralespueden,cuandoesnecesario,contenerlosempujes,aunqueéstanohasidola intencióndelosensayosquesedetallanacontinuación.Enlascarasanterioryposteriordelacajade confinamientosehanañadidodosfiltrospolarizadoresdepoliviniloalcohol‐iodinosindistorsiónde colorydealtaeficienciadepolarización(puedeestimarseunatransmisióncruzadade0.002a570 nm),convirtiendoalconjunto,defacto,enunpolariscopiodiseñadoespecíficamenteparaensayosa compresióndemodelosdebloquesapequeñaescala. 2.2. Implementación Sehanrealizadodiferentesensayosfotoelásticos.Entodosellossesolicitaronacompresión,dentro delacajadeconfinamientodescrita,distintaspiezasderesinaepoxídica.Lacompresiónseejerció conmediosmecánicosconvencionales,empleandodiversaspiezasinterpuestasdePMMAy,como durmiente,unpequeñobloquederesina,de20x10x10mm.Losensayosrealizadossondecarácter cualitativo,nocuantitativo(estoes:pretendendarunaideadelosrangosdedistribucióndelas tensiones,nodesuintensidad)porloquelosvaloresabsolutosdecargasytensionesinternasnoson relevantes.Noobstante,puedeestimarseunaQpuntualde100Naplicadasobredurmiente,una tensiónenlaspiezasmássolicitadasde0,5N/mm²yunatensiónmediaenlabasede0,09N/mm². Elprimerensayo(Fig.1a)serealizósobreunapiezaúnica,continua,de180x220x10mm.Laintención deesteacercamientoinicialeraladeconfirmarlaspropiedadesteóricasdematerial,yaque,al tratarsedeproductosobtenidosporcolada,lasirregularidadesinternaspodíandistorsionar,en algunamedida,elrestodelosensayos.Elresultado,comopuedeobservarse,seajustaalos parámetroshabitualesparalasresinasempleadasenelestudiodemedioscontinuos:elbulbode presionesquesemanifiestacomoefectodelacompresiónejercidaesrazonablementesimétrico;se aprecianlíneasisocromáticascoherentesconlosvaloresresistentesdelmaterial,antes 116
Applying photoelasticity to masonry structures analysis Third International Conference on Mechanical Models in Structural Engineering University of Seville. 24-26 june 2015. mencionados;ysepuedeestimarqueladeformaciónobtenidaescoherenteconelmódulode elasticidadprevisto. Figura1a.Resultadosobtenidosenelensayodeunamuestracontinua.Figuras1b,1cy1d.Resultados obtenidosentresdeloscasosestudiadosconmodelosdebloques. Losensayosposteriores(Fig.1b,1cy1d)serealizaronsobreunmodelocuyageometríareplicalade unafábricadebloqueconstruidaconunaparejoasogaconvencional,enunadisposiciónidénticaala delosmodelosmatemáticosquesedetallanenlosapartadossiguientes.Paraelloseemplearonlos pequeñosbloquesde20x10x10y30x10x10mmdispuestosenunconjuntode180mmdeanchopor 220dealtura.Fueronnecesarios187deestosbloques.Serealizaron14ensayosdeestetipo, reordenandoentodosloscasoslos187bloquesdeformaaleatoria. 117
Mencías, D.1, García, J.2 and Magdalena, F.3 2.3. Resultados Seregistraronfotográficamentelosdiferentesensayosdescritos,obteniendodiferentespatronesde irisacióndelosmodelosensayados.Comoyasehadicho,laintencióndeestosregistroseslade estudiarlarelevanciadelaaleatoriedadenlatransmisióndeesfuerzos.Yaelprimermodelo(Fig.1a) permiteapreciarque,comosucedeenlarealidad,lasuperficiedecontactoentrelosbloqueses imperfecta,loqueprovocaunadistribuciónaleatoriadelospuntosdeaplicacióndelasfuerzasde contacto.Estoesnotableenlaslíneasisocromasdelmodelo:enlazonadelaizquierdapueden observarsehastacincobulbosisocromos,mientrasqueapenassemanifiestancuatrobajoelapoyo derechodeldurmiente. Éstairregularidadseponedemanifesto,enlosensayosdebloquescolocadosahueso,enlasamplias zonassincargaylascorrientesdefuerzasquemuestranlosregistrosfotográficos.Comparandolas figurasadjuntaspuedeobservarsenosololaexistenciadeestaszonassincarga,claramentevisibles (Fig.1b,1cy1d)sinosuvariabilidad,entamañoyposición,enlosdistintosensayos.Lomismopuede decirsedelgradodedispersióndelascorrientesdetensiones,extremadamenteconcentradasen puntosconcretosyvariablesdebidoengranmedidaalaaleatoriedadenlasucesióndecontactos. Estetipodeirregularidadesenladistribucióndelastensionespuedetenerunefectosignificativoen elcomportamientodelmuroanivellocal. 3. MODELODEBLOQUESRÍGIDOSCONCONDICIONESDECONTACTOALEATORIAS ElmétodopropuestoseencuadraentrelosqueRocaetal.[2],ensurecienterevisióndemétodos aplicablesalestudiodelasconstruccioneshistóricasdefábrica,clasificancomo"Advanced ComputerDevelopmentsBasedonLimitAnalysis:AnalysisofBlockyStructures". 3.1. Modelo Seempleaunmodelocompuestoporunconjuntodesólidosrígidosencontactounilateral,secoy directo,conrozamientofinito(Fig.2).Seasumequelasuperficiedecontactoentrelosbloqueses imperfectayqueestoprovocaunadistribuciónaleatoriadelospuntosdeaplicacióndelasfuerzasde contacto. Figura2.Elmodeloysuelementobásicoconstituyente:elcontactoaleatorioenlassuperficiesdecontacto. 118
Applying photoelasticity to masonry structures analysis Third International Conference on Mechanical Models in Structural Engineering University of Seville. 24-26 june 2015. Taltipodemodeloignoraladeformabilidaddelmaterial,ysusconsecuenciassobreladistribuciónde tensiones,yresaltasucarácterdiscontinuo.Trataderepresentarunmaterialconresistenciaa compresiónmuysuperioralascompresionesalascualesestásometidoyescasaonularesistenciaa tracción. Noconsiderarlaaportacióndelaresistenciaatraccióndelmaterialdelajuntaestádelladodela seguridad.Unmodelodeestascaracterísticasesadecuadoparaunanálisissimplificadodelas construccioneshistóricasdefábrica,enlasquenosedisponedeunhistorialdelosdañossufridosa lolargodeltiempopordichomaterialy,enalgunoscasos,nisiquierasetienelaseguridaddeque ésteexistaenlaactualidad. 3.2. Implementación Dadalanaturalezaelementaldelproblemaenestudiosuimplementaciónesmuysencillayconstade lossiguientespasos: 1) Seplanteanlasecuacionesdeequilibrioparacadaunodelosbloquesteniendoencuenta queelcontactoesunilateralysóloseadmitentensionesdecompresiónenlassuperficiesde contacto. 2) Seeligenaleatoriamentelospuntosdeaplicacióndelasfuerzasdecontactoutilizandouna distribuciónuniforme.Otrotipodedistribuciónseríaposibleperodadalarigidezdelmaterial launiformeseconsideralamásadecuada. 3) Sebuscaunasolucióndeequilibriofactibleparalafuerzaexternaaplicadautilizando ProgramaciónLineal. 4) Sinoseencuentraunasoluciónfactible,porquelascondicionesdecontactoañadidashan convertidoelproblemaensobredeterminadoserechaza. 5) Siseencuentra,éstaseráunadelasposiblessolucionesbuscadas. Alternativamente,sielnúmerodeintentosqueacabanenrechazoesdemasiadoalto,sepuedeoptar pornodeterminarelpuntodeaplicaciónentodaslassuperficiesdecontacto.LaProgramaciónLineal encontrarásinproblemasunasoluciónfactibleenelproblemasiésteestáindeterminado.Esta segundaopción,aunqueesmuchomáseficazentérminoscomputacionales,puedeproducirunsesgo enlosresultados. 3.3. Resultados Dadoquenosepretenderealizarunacomparaciónnuméricaconlosotrosmétodosempleados,sino realizartansólounacomparaciónanivelcualitativoconellos,seincluyenacontinuación(Fig.3)tres casosbiendiferenciadosdeentrelosresultadosobtenidos.Lostrazosenrojo,enproporciónasu anchura,representanlastensionesdecontacto. 119
Mencías, D.1, García, J.2 and Magdalena, F.3 Figura3.Resultadosobtenidosentresdeloscasosestudiados. Sepuedeobservarquedebidoalaaleatoriedadenloscontactos,elgradodedispersióndelas tensionesdecontactoaloanchodelmodeloesmuyvariable.Cabeseñalarqueestairregularidaden ladistribucióndelastensionespuedetenerunefectosignificativoenelcomportamientodelmuroa nivellocal. 4. ANÁLISISMEDIANTEELMÉTODODELOSELEMENTOSFINITOS Elanálisisquesedescribeacontinuacióntieneporobjetoemplearelmétododeloselementos finitosparadeterminarlastensionesverticalesproducidasporunacargaexterioryasíservirpara localizareltrazadodelascargasenelinteriordeunmurodefábrica,paraloqueseempleael softwaredeanálisismedianteelmétododeelementosfinitosSAP2000[3].Conelfindepoder compararconlosejemplosanteriormentedescritos,elobjetivoesdeterminar,medianteesta metodología,el“camino”querecorrelascargasenelinteriordelafábricaenlugardeprecisarlas tensionesdecadaunodelosbloques.Tampocosetieneporobjetoeldescribirlasdeformaciones, conloquelacaracterizacióndelmaterialnoesdedeterminanteenesteanálisiscualitativo. 4.1. Modelo 4.1.1. Modelocontinuo(MC) Elmodelocontinuoqueseanaliza,denominadoMC1,seconfiguramedianteunamallade71x87 elementostipo“Shell‐Thin”deespesordeconstantede10mmydedimensiones2,5x2,5mm.La placaanalizadatiene,portanto,unasdimensionestotalesde177,5mmdeanchopor217,5mmde alto.Enlapartesuperior,conobjetodesimularlaaplicacióndelacargademaneracontinua,se remataconunañadidode17,5x10,0mm,conelmismomalladoqueelrestodelmodelo. DenominadoporBaraldietal.[4]comomodelocontinuoplano. 4.1.2. Modelocontinuoconjuntasverticales(MCV) Elsegundomodeloseconfiguramediantelasuperposicióndepiezasbásicasde7x4elementostipo Shell–Thin”delasmismascaracterísticasquelosanteriores,queresultaenbloquesrectangulares de17,5mmx10,0mmyenlosextremosdelasfilasparesconpiezasde“Shell–Thin”27,5mmx 10,0mm,conelfindecuadrarelrectángulogeneral.Conelobjetodesimularlaposibilidaddeno 120
Applying photoelasticity to masonry structures analysis Third International Conference on Mechanical Models in Structural Engineering University of Seville. 24-26 june 2015. trasmisióndetensioneshorizontalmenteentrelaspiezas,sehanseparadolasmismasunmódulo,es decir2,5mm.Asimismoseaplicalacargamedianteunapiezasuperiordetransición. 4.1.3. Modelodiscontinuoconjuntasverticales(MJ) Partiendodelasmismasdimensionestotalesydepiezasdelejemploanterior,enestecasoseha permitidounespacioentrelasjunasverticalesdelpasodemalla,estoes,2,5mm.Paramodelizarel contactocontinuoatravésdelajunta,ycomoelobjetivoesconocerelcomportamientotensional cualitativoenelinteriordelaspiezasquerepresentanlosladrillos,sehansituadounaseriedebarras tipo“frame”derigidezinfinita,encomparaciónconelrestodelmodeloylongitudelmismomódulo de2,5mmqueconectanlosnodosinferioresdelamallaconlossuperiores.Parapermitirla trasmisiónexclusivadeaxiles,sehaimpedidolatrasmisióndeotrotipodesolicitacionesentrelos ambosextremosdelasbarras. 4.1.4. Modelodiscontinuosinjuntas(MD) Elpresentemodelosediferenciadelanteriorexclusivamenteenquesepermitelatrasmisiónde axileshorizontalmente,mediantelamodelizacióndelajuntaverticaldelamismamaneraqueenel modeloMJserealizalahorizontal.Estoes,mediantelaincorporacióndebarrashorizontalesque conectanlosnodosentrelosbloquesdeladrillo. 4.1.5. Modelodiscontinuoconapoyoaleatorio(MDA1,MD3,MDA1) Paralarealizaciónelmodelodiscontinuo,sehapartidodelamismamallaydimensionesdebloques queentodoslosejemplosanteriores,asícomodeltamañodelpañodefábrica.Parapodercomparar conlosmodelosdecontactoaleatorio,sehaintroducidoestacondición,medianteuncontactoúnico entrelasposiblesnodos,talycomomuestralaFig.4.Lasbarrassecolocanverticalmentesiguiendo unpatrónaleatoriodecontacto,demaneraque,deentrelostresbloquesquepuedenestaren contacto,sóloseauno,mediantedosbarrasverticalesconelbloqueinferior.Estepatrónsetomaa partirdelosdatosobtenidosporunahojadecálculoquedeterminalaposiciónaleatoriaentre3en elcasodepiezascentralesyde7enlosextremos.EstemodelosedenominaporBaraldietal.[4] comomodelodeelementosfinitosheterogéneos(FEMHetero)añadiendolaparticularidaddel contactoentrepiezasdemaneraaleatoria. Figura4.Descripcióngeométricaglobalylocaldeunodelosmodelosanalizados(MD3) 121
Mencías, D.1, García, J.2 and Magdalena, F.3 4.1.6. Materialycoacciones. Paraladefinicióndelmaterialsehanestablecidolossiguientesparámetros,obtenidosapartirdelos trabajosdeNarayananetal.[5],quesemuestraenlaTabla1. Tabla1.Caracterizacióndelmaterialparaelanálisis PropiedadValor Fábricadeladrillo Pesoespecífico15kN/m3 Resistenciaacompresión 4N/mm2 Resistenciaatracción0.4N/mm2 Módulodeelasticidad4.000N/mm2 CoeficientedePoisson0,25 Sinembargo,comosehamencionadoanteriormente,elobjetivonoescuantificarlastensionessino poderdeterminarelrecorridodelascargas,porloquelosvaloresmostradosenlaTabla1,puede variarsesinmodificarsesustancialmentelosresultados,salvoenlarelaciónpesopropio–carga exterior,quehabríaqueponderarloproporcionalmente. Entodoslosmodeloslascoaccionesseencuentransituadasenlosvérticesdelafilainferiorylos apoyosempleadossondetiporígido,quedandocoartadostodoslosmovimientosygiros.Asimismo tampocosehacoartadolateralmentelosmodelosensayados 4.1.7. Cargasycombinacionesdecarga.Análisis Lacargaaplicadatieneelvalorde1NenelsentidonegativodelejeZ,encadaunodelos8vértices delelementosuperior.Conelobjetivodepoderdistinguirclaramentelastensionesconorigenenel pesopropiodelafábricaydelascargasexteriores,lastensionessevisualizanconunacombinación deaccionesderelación250:1entrelascargasexterioresylascargasdepesopropio.Serealizaun análisisplano,anulandolasfuerzasenelejeY,asícomolosgirosentornoalosejesXyZ.Se obtienenlastensionesS22,quecorrespondensonlastensionesprincipalesenelejeZ. 4.2. Resultados Comoenloscasosanteriores,comolaintencióneshacerunanálisiscualitativo,nosehanincluido losvaloresnuméricosdetensionesperosílosdiagramas,quepermitenconocercómosecomporta enmaterial.Parahacermásevidenteyproducirmayorcontrastevisualenlacuantificacióndelas tensionessemostradográficamenteunrangodeterminado,conelfindedestacarlastensionesalo largodelejeverticaldelafábricayreducirlaimportanciadelaconcentracióndetensionesbajolos puntosdeaplicacióndelamisma,visualizandounrangodetensionesentrelos‐0.20N/mm²ylos0 N/mm²,entodoslosmodelos. LaFig.5muestralosresultadosdelanálisisparaelMCantepesopropioFig.5a,cargaexteriorFig.5b ylacombinacióndeambasenelFig.5c.Asimismosemuestraelresultadodelacombinaciónde acciónexteriorypesopropioparalosmodelosMCVenlaFig6a,MJenlaFig6b,yMDenlaFig6c. PorúltimosemuestranlastensionesverticalesdetresmodelosdecontactoaleatorioFig.7. 122