In hoc opere haec continentur : Libellus Ioannis Verneri nurembergen. super vigintiduobus elementis conicis ; eiusdem co[m]mentarius seu paraphrastica enarratio in vndecim modos ... eiusdem Co[m]mentario in Dionysodori problema... ; Alius modus idem prob

famtfr ai' mihi initti cmuty. ^vCitfcihu v»n<- rrufyh $n boc opere baec continentur* LIBELLVS IOANNIS VERNERI NVREMBERGEN, SVPER VE GINTIDVOBVS ELEMEN? TIS CONICIS, EIV SDEM. Comentarius feuparaphrafticaenar! ratio in vndecim modos confidendi eius Problemas tis quod Cubi duplicatio dicitur, EIVSDEM, Comentatio in Dionyfodori proble* ma,quodatafphacra plano fub data fecat ratione, ALIVS modus idem problema coficiendi ab eode Ioanne Vernero nouiffime copertus demoftratusq;, EIVSDEMIoannis, de motu octaua: Spharrie, , Tradlatus duo. 'vo ,'' EIVSDEM, Summaria enarratio Theoricat mot tus odaua: Sphterae. ff Cum Gratia &Priuilegio Imperiali, tium vnu quod fit ae,auferat,c6nexis-q; de, dico q> fubtefa bc, diuifa fit fuper d. aquo ipfi ac.lateri parallelus de.ada media eft proportionalis inter bd.d e, fegmenta ipfius bc.fubtenbe. Etquonia per propofitione xlvii.libri primi elementorum Eu. quadrat” ipfius bd, duplus eft quadrati de. igit ratio quadrati bd.adipfius de.quadratu eft,vt bd.ad dc.per conftrudionem aotemb d,dupla eft ipfius cd. Igit per corolariu fecundu pro; pofitionis xx.li.vi.ele, Si tres lineat qiportionales fuerint, erit ficut prima ad tertia, fic quae aprima fit fpecies ad eam quae a fecunda fimilis Si fimiliter deferipta tres redite lineae bd. de. dc.funt cotinue proportionales. Igit dati redanguli, trianguli reliqua vt fupra quod oportebat efficere,At a c.d e.paraleb las effe liquet ex ppofitione ii, lib, vi.el, Eft enim vt a e, ad eb. fic cd, ad db. Corolaritim, Inde etia perfpicuu eft quod tres redae lineae bd.d e.d c.pro» portionales funt iuxta ratione dimetientis quadrati ad fua co< ftam, /deft fecundu rationem potentia duplam. ELEMENTVM CONICVM SECVNDVM In fubtenfa trianguli redanguli ifofcelis dato pundo qui au; ferat partem maiore aut minore tertio vno ipfius fubtenfg.atcp ab eode puncto alteri lateru parallel’ fi fuerit ada, ea alia ipfi fubtenfe parallela fic fecarc q> fuperior eius portio fit media proportionalis inter fecundaparallelae fegmenta. In triarn gulo itacgredangulo abc.Sf ifofceli ex fubtenfa bc,pund’ d. aufferate d.Inprimis minore tertio vno totius bc,St per d./pfi ac.para lellus agat de.fecans latus ab. fug e.atcp ex be.demat ef. dupla ipfius ae, ipfim bc. fubtenfe parallelus adatg.fecet ac.quide fuper g.d e. "cvero fuper h,6£ quia ag.e h, parab leli funt per conftrudione igit per fecunda propofitioneli.vi.de, fh, ad hg.eftvtef.adae.Atexhypothefief.duplaeftipfius ae, igit fh.dupla eft ipfius gh. Sedper xlvii, propofitione li.i.el. quadrat9ipfi’ fh, duplus cfl quadrati eft.rtSJ ef.e h.funt tequa< les St' angui9f £ h.rectus,igif ratio ipfi9fh.adgh.eft vt ratio ipfi9fh.ad he,duplicata,crgo tres redite lineat fh.e h.g h.funt continue proportionales per corolariif praecedentis elementi. In fubtenfaigit trianguli 8d reliqua vt fupra.Sin aute d.c, ma< ior extiterit tertio vno totius fubtenfae bc. ergo fg. cadet infra fubtenfam bdc,atcp indeupofitueode modo vt ante coficiet. ELEMENTVM CONICVM III. Si in trianguli ifofcelis re< dlanguli bafi pundtus fig< net, aquo alteri circa rcdlu angulu lateri, parallelus a« gatur inter bafis fegmenta media exiftens proportio# nalis sdeinde ipfi bafi alia vtcuntp acta fuerit paralie# Ius priorem fecans paralie lum.atqt trianguli latera reliqua,erit quod fit fub fegmentts fe eundae paralleli rcdtangulu aequale ei redlangulo quod fit litb prima parallela,atqj illa ipfius particula,quae lateri iuxtaredlu angulu atep fecudae adiacet parallelo. Sit triangulus redlan# gulus ifofcelis abc.redlu habes angulu abc, atqj circa eunde angulu abc.duo tequalialatera ab.b c.fSdbafimac.inquaa puncto d.ipfi bc.adla fit parallelus de,fecans ab.Iatus fug e. fucritep de.interad.d c.bafis ac. fegmenta media proportio# nalis. Rurfus ipfi ac, bafi,fit adla parallelus fg h.fecas ab. fu# perf.8dparallelude.in g.8dlatusb c.fuperh.dicoq; redlan# gulu fadlum fub fg.g h.fit aequale ipfi redlangulo fub de. eg. facio. Quonia aute ratio ipfi9fg.adg e.eft ficut cdad dc.fiue adaequalem gh.per corolariu primi elementi conici, vtrobicp enieliratiq potetia dupla. Igit peigppofitione xvi.li.vi.el.Eu. Si quattuor redlg line^ proportionales fuerint 8dc,quod fit fub fg.g h. redeangulu cquale eft ei quod fit fub de. eg,rcctangulo Si igrt in trianguli ifofcelis redlanguli bafi pundlus fignet dC reliqua yi fupra quod oportuit demonftrarc. ELEMENTVM CONICVM IIII, Si inredanguli trianguli ifofcelis fubtenfa pundus fuerit afc fignatus, aquo alteri circa redtu angulu lateri parallelus ada fit media extftcns proportionalis inter bafis Tegmenta, in qua vt fupra in partes fubtenfe produda, puudo aflumpto ab eo ipfi bafi feu fubtenfie,parallelus agat duo fecans circa reduni angulu latera in eafde partes produda erit redangulu fubfec dionibus fecundae paralleli faduffi aquale ei rectangulo, qcP fit aprima parallela produdain ei9particula, quae inter bafis fegmenta, media exiftit proportionalis. Sit igit vt prius tri# angulus rcdangulus ifofcelis ab c, circa redum angulu ab c. duo latera ab.b c.habens aequalia, Sd in fubtenfa ac.fitd.figs natus pundus per que ipfi bc, ada parallelus de, fit inter ac, bafis fegmenta ad, dc.mcdia proportionalis,Atqjd e, in pari tes d. produda in rcdum quoad libet vfqj ad f, atcp per f, ipfi fubtenfie ac. parallelus fit kaclagf h.fecans duo circa yX rectum abc. angulu latera c/^ N, ab.b c,in eafde partes pro* y/ \. dudafuperg h.fignts.ed, a\d\cvero in eafde partes cicciti /Ny \xin f, dicoguod redangulu gfhfub gfh.facl ufit aequale ei quod fit fub fe.c d, redans ,.gulo. Et quia quae efi ratio ipuus tg.ad efieade eft etia ratio ipfius de. ad dc.Efi aute cd. aequalis ipfi fh,per corolanu primi huius elementi, vcrobicrj enim eft ratio potetia dupla.Igit per ,ppofi4xvi4Ea. Si quattuor redae lineae proportionales Sdc.redangulu fub gf fh.fadum eft squale ei quod fub fe. ed,fit redangulo. Si lgif mifofcelis redanguli trianguli bafi feu fubtenfa pundus fuc* rit alugnat® aquo Sd reliq vt fupra qtf oportebat demonftrarc, EEEMENTVM CONICVM V. Si aparabola redi redanguliq, coni ad ipfi9paraboles axem orduiaum ada ceciderit in redit parabola latus., erit quadrat9 eiufde ordinarim acte equas Iis ci rcdangulo qcf fit fui» recio latere eiufcp alfunipto (nter paraboles raftigiB atep ordinarim aciam fegmento Sic ergo in redo redangulo qj cono abcd.cui’ vertex b bafis a c d, gabole definii’ axis fg, vertex f.fitcjj fg. Iat tus redu eiufde paraboles de f’ Itaq dg, ftrudim ada Iit arqualis ipfi fg. accp in parabola def.dacu fit e.fignu ai} ad fg.latus redu ftnrdun det ducat eh.dico q>quadrac’ipfius ch, ordinarim ade efteqle ei re dangulo quod fit fub gf.f h. Planu igit aliquod ipfi' ac d. bafi parallelu fecetfup eh,conuab cd.igitp quartupoftulatu,hui’ plani fecatis &C conicg fujificiei cois fedioi ek,eritcirculus,Et iit ab axe coni triangulus abc. qui circulum ek, bifaria fecat, atq? eorundem trianguli ab axe coni 2d circuli eik, comunis fedio ik,diameter eft eiufdem circuli iek.necefTarioq meabit per h.fignu.Ec quia adc.quoq; femicirculus eft,8f per conftru dione dg. adredos angulos eftipfi ac diametro eiufde femi^ circuli adc.atq; dg, aequalis ipfi fg,ex hypothefi SC fexta difs finitioe huius.Ec quia per ppofitione xxxi.li.iii.el.Eu. angui’ adc.redus flfdg.ipfi ac, adredos eft angulos,igitur per coro lariujipofitiois viii.l/.vi.eorunde ele,Eu,dg,inter ag.g c.nie^ dia exiftit proportionalis,Eft autem per conftrudione dg.tccf* lis ipfi fg.igitur fg, media proportionalis cxiftic inter ag.g c, 8lihk,parallel’ipfiac,bafitriaguli ab c.ab axe coni. Ergo g tertiu elementu conicu quod fit fub gf.f li.redangulu aequale eft ci quod fit fub ihk.rcdangulo,Eft autem ick.circtimfercn tia femicirculi velut patuit £d eh.per diffinitione vi.ad redos angulos ipfi ih k.-& p,p politione xxxi,Ii,iii,ele.Eu,i ek.angu lus redus ergo per corolarw.ppofitionis vili, li,vi,ele,Eu.eh» media eft proportionalis inter ih,h k, igitur per propofitione b xvii.li, eiufdc vi.el.Eu.quadrat’ ipfius eh.eft aequalis ei' quod fit fub ih.h k,redangulo,quod giam oftenfa aequale eft ei qdP fit fub gf,f h.redangulo,quadratus igit ipfius eh. aequalis eft ei quod fit fubg f.f h.redagulo.At per conftrudlone fg.axis latus eftredum parabol? defiatqj ad idem latus redum ab ev ligno paraboles def.e h.ftrudim deducit. Ergo fi aparabola redi redanguliqj coni ad ipfius paraboles axem ftrudim ada ceciderit &reliqua vt fupra quod oportebat demonftrare, ELEMENTVM CONICVM VI. Si arcdi redaguliqj coni parabola fit ad ipfi9paraboles axem ftrudim deducta bcadens extra latus redu erit quadras tum ftrudim dedu da: ei aequale re< It dangulo quod fit fub redo latere at< qj ea axis portioe qug ftrudim dedu cd? atfj) paraboles faftigio adiacet. Sit igit in redam gulo redocp cono abc d, parabole dcf. cuius axis fg 5iad, figno ftrtu dim ada fit dg.fecans axem paraboles fuper g.figno.Et latus rectum eiufdem parabole fit eh.qcP per diffinitione fexta cone termina; axis particulae fh.femper eft aquale,Hic quoqj obiter eft notandum cp apud prifeos geometras vtraqj duaru eh,f g, redi lateris appellatione inuenit habere,ea potiflimu, vtpuro, ratioe quia funt aequales,fcd iam adigreflione hac reuertendo ad inftitutS.Sit ab axe coni triangulus abc.Dico itaqj qct quar dratus ipfius dg.fit aequalis redangulo quod fit fub gf.f h. In telligamus itaqj per eh, aliquod planum bafi ipfi9coni abcd. parallelam fecare eundem conu huius igit piam' 2d trianguli abc,ab axe coni comunis fedlio ihk.parallela eft ac»fubten* fae redtanguli trianguli abc.Eiufdem denicp plani atqj inflexa feu conicae fuperficiei comunis fedlio eft.i ek.circul’ per quar tum poftulatu.Igit per propofitione xxxi. lib. iii, elemen.Eu. angulus iek.redlus eft.Ec quia per diffinitionem fexta eh.ipfi ihkad redios exiftit angulos, ergo per corolariu odtaua: pro* pofitiois Ii.vi.ele.Eu.e h.media eft proportionalis inter ih.h k At eh.per diffinitione redi lateris,aequalis eft ipfi fh,crgo,fh. mediapportionalis eft inter ih.h k.igitur per quartu conicum elementu,quod fit fub ag.g c.redlangulu gquale eft ei quod fit fub gf. fh,rcdlangulo,fed ei quod fit fub ag.g c.redlangulo, aequalis eft quadratus ipfius dg. Eft enim ad c, circumferentia fcmicirculi 6C per npofitionexxxi,Ii,iii,eIe,Eu.anguI9adc.rej dius eft Si per conftrudiionedg.ipfi ac.ad redios angulos,igit quadratus ipfius dg.aequalis eft ei quod ficfubgf, axe parabo les fid redlo latere fh.$cd ordinatim adia dg.per conftrudiione £d hypothefim in axem paraboles def.cadtqextraredium Ia* tus f h. Igit, Sia redti redlagulicp coni parabola ad eius axem ftrudiim adia ceciderit extra latus redtum erit quadratu,8d reli* qua vt fupra quod oportuit demonftraffe. ELEMENTVM CONICVM VII. Aredii rediangulicp coni parabola quarumlibet duarum ftrudiim adia? tum quadratis ratio eft vt ratio caru quae ftmtipfis conterminae axis por? tionu. Sit igiturredliredlangulicp coni parabola abcd, cui9axis aef g.in queftrudlim adlae fint be.dg.di co igitur q> ratio quadrati be, ad dg, quadratu,fit ficut ea.ad ag.Sit ergo latus redlum af, paraboles abcd.Et quia per quintu aut fextu conicum elementu,quadratus ipfius be.jqua Iis eft ei cp fit fub f a e.rectangulo/ri militer quadratus ip fius dg, aquatur ei quae fit fub ga, af.are< olaredangula,fed per prima propofltione li. vi.el.Eu.redan gulu fub fa, ae, ad redangulam areolam fub gaf.ratione hau betqua ae, ad ag, hac narncp redangula fub cade funt altitus dirie qua eft aflatus redum paraboles per conftrudione feu ex hypothefi.Ergo eifdemredangulis aqualia quadrata ipfa* rumbe, dg.rationem habent qua ae, ad ag. Igitur aredi re* danguliqjconi parabola 5C reliqua vt fupra qvtod oportebat demonftrare, ELEMENTVM CONICVM VIII, Data quain cono redo 8£ redangulo fit parabola eiufcp axe dato paraboles redum latus dare. Sit ergo data redi redanguliq? coni parabole ab c, cuius axis ad.vertex a,S£ ad axem ad.atqj ad datum in eo fignu a.per propofltione xxxiii, li,i ele.Etr.conftituat angulus rediline9 dac.rcdi dimidio aequalis,&ac.fea cet parabolen abc.in c. pundo aq ad axem ad.ordinatim agatur cd.SC quia in triangulo acd,angulus adc redus eft, c adredi dimidius ex hypothefi, ergo per propos fitione xxxii.li.I, ele.Eu, angui9quocp acd, redi dimidius eft. Quoniatrianguli rectilinei tres interiores anguli duobus funt rectis aquales, Ifofcelis ergo eft triangulus a c d.per propoftb tione vi.eiufdem primi lib.ele.Eu.Et quia cd.ftructim deducta ad ad.axem aqualis exiftit ipfi ad.Per diffinitione igit fextam feu recti in parabola lateris cd,feu aqualis ad.rectum eft lat9 data paraboles abc.Dataigit qua in cono recto 8Crectangu* lo fit parabola &reliqua vt fupra quod oportebat efficere, ELEMENTVM CONICVM IX, Datarectfrectanguliqj coni parabolaeiusqjaxe dato ipfum co numrecta eCrectangulu dare, Sitergo data recti rectjgulicg coni parabola ab.cuius axis ac.atcpper elementu conicu oda uum,redumdetur parabola ab,latus,fitqs bc.atcy per propo Titione xxiii.ti.i.elc.Eu, ipfi ae. axi ad a.fignuredlus conftruat angulus cad,cuius planu redlu fit adipfius paraboles ab c, pia nS.Sit etia ad. redla linea ^qua* lis ipfi ac.et conexa cd.ipfa ad bifariam fecet in e.SCa d,in par tes a.pducat vfqj ad f. fle q> af, aequalis fit ipfi ae.atqjad ac, pa railelus agat fg, 8d dc. in parte c, producta incidat in fg, fuper g.figno. Et quoniam per coftrU! dlione fg.acta cft ad ac.igit per fecunda propofltione li.vi.el, Eu.d c.ad cg.eft vt da, ad aflEfl: autem da. dupla ipfius afligit Sd dc.dupla eftipfius cg.Et ga per propofltione xlvifl lib.i.ele. Eu.quadra uipfius dc.dupla cft ad ipfi9ac, quadratiflergo ratio ipfius dc, quadrati ad ipfi9 ac.quadratu eft vt dc.ad cg.Et quonia per corolariu(ppofitio< nis xx.Iib.vi.ele. Eu. Similes redlilinete figurae ad inuicemin dupla ftmt ratione/imilis rationis lateru, Igit ratio dc.ad cg. dupla eft rationis ipfius dc.ad ca.Igit per diffinitione duplica tae rationis ac.feutequalisbc.media proportionalis exiftit inf dc, 5C cg. Et quia per conftrudione angulus bcd, reditis eft, atqj per corolariu ppofitionis viif.lf, vi. el.Eu, angulus dbg.re* dius eft per imaginatione videlicet conexis db.b g, Igiur per .ppofitione xxxf.li.iii, ele.dgdiuidue fcdlaiit h, 8d cetro b,in« teruallo aute dh.fcriptus circulus dbg.ibit per bfignu.Cons iuncta deinde fh.Et quia angulus ad flrectus efflatqj dflaequaj lis ipfi fg, ergo SCanguli ad h.recti funt,et vtcrqi duone angit!! lorit qui fuper fg.funt bafi rectanguli trianguli fhg, dimidius eft rectfligif partilis triaguli fhg.fixo fh. latere.atqj eode pati! ticulari triagulo fhg.circumdudlo donec eo redeat vnde mo; ueri cceperat,ipfe conii deferibet redlum SCrcdlangttlu per pri ma diffinitione, cuius quide coliibafis eft circulus dbg. Ipfe deniq; triangul9fgh.drcuactione fua paulatim feu fucceftiue f fecabit parabolen ab.in omnibus fuis pundis.Quod aute cir# culus dbg.bafis exiftatconi circumactioe fg h, trianguli con# fedus liquet ex eo,quonia circulus dbg, erectus eft, ad planu trianguli dfg,quia 'per conftrudione planu ab c. eredum eft ad planu trianguli dfg.Ex hypothefi aute angulus acb.rcd’ eft,igitur bc.reda linea erigit ad planu trianguli dfg.per diffi# nitione tertiam li.xi.el, Eu.planu ad planu rectu eft &c,At pia nu circuli dbg.tranfit fuper bc.redam, Igit per propofitione xviii.eiufdeli.xi, cie. planu circuli db g.redu eft ad planu trb anguli dfg.ergo idem circulus dbg bafts eft coni,que partilis triangulus redangulus fgh.fua circumadione defcripfit. Igit fdbg,conus datus cft SC redus redangulusq? in cuius conica fuperfide,paraboleab,data deferibit. Data ergo coni redam guli parabola, datur SC conus in cui9conica fuperficie, eadem' parabole dcfcribipqLioddcmonftrafTe oportuit. .. ELEMENTVM CONICVM X. Aparabola redi rcdanguliqj coni duabus ftrudim dedudis datis atqj inter ipfas axis Tegmento dato totus eiufde parabo#, les axis dabit. Sit ergo data parabole abc.a qua ftrudim de dudte be.c d.at^p inter eas axis fegmentu dedentur,dico q> to# tus paraboles axis aed, detur.Et quo# nia per feptimu elementum conicu ra< tio quadrati cd. ad quadratu ipfius be eft (icut daad ae.dirimendo igitur ex# ceffus quadrati ipfius cdfug ipfius be quadrato ad eiufdem be. quadratu erit ficut dead ea.At ex hypothefi in hac proportione tribus datis terminis,quar tus terminus ae.axis portio datur. To# tus igituraxis aed.paraholes ab c, da tur. Ergo aparabole redi redanguliqj coni duabus ordinarim dedudis datis, &C reliqua vt fupra quod oportuit de# monftrare, Elemen, ELEMENTVM CQNICVM XI, Data refla linea ad quam ftruflim aflat in parabola poliunt: lpfamdefcriberc in dato plano parabola. Refla linea ad qua ordinatim deduflar poffunt alio nomine Iat9parabola: reflu dte dt,per diffinitione fcxta.Pari ratione parabole ibi qad defctit benduproponitur caeft,quc in reflum reflangulumcp contim incidit. Adqua igiturftruflim aflae poliunt refla dc data linea fit ab, Etipla ab,in quotlibet aequales fecet partes ac.c d.d b. atqj earu cuilibet gqualis ad ab, in direflu adiiciat bc, arcp in b, figno ipfi ae.adreflos excitetur angulos bf.quxinpartcs f.iu infinita fit .pdufla.atqj ipfa ae.diuidue fefla iuper d,& d. cen* tro fpacio autem ad.femicirculus feribat afe.fecans bf. pen pendicularem in f.figno.Rurfus ipfi be.acqualis adiungate g, fitep tota aeg.quj iteru bifaria fecctur b. fi'gno,quo centro,atcp interuallo ah, Rurfus femicfrculus feribat aig, difpefces per pendiculare bf.fug i. figno,atcp in huc modirquotlibet ipfi eg. aequales indireflum adiiciant attg femicirculi feribantur fecan tes perpendiculare bf.in Ungulis punflis vitra f.punflum. velat patuit etia erigitur ad trianguli cdh.planS. Igitur eiufde trianguli fgh.ab axe coni atqj plani ceh. comunis fedio eh, ad planu eiufde trianguli cdh, erigit per xix, propofitione eii ufdemli.xi.ele.Eu.paralleliergo funtci,eh,per propofitione vi. eiufde li.xi.elc.Eu,Atqui ci.parallelus quocp exiftit ipfi dg vti patuit,ergo et eh.parallelus eft eidem dg.Et quonia ce.per conftrudione tangit parabolen ab c.in c.figno,8Ce, fignu cos mune eft plano ech,8f plano fgh.trianguli ab axe coni. Igit c.fignu neceffario conftituitur in cotnuni fedione eh. ipforu planoqr fgh.Sf che. Atqui velutpatuit eh.parallelus eft, ipfi dg,igitur per ppofitione xxix.li.i.ele.Eu,angulus ahe, tequat lis eft ag d.angulo, igit etiam aequalis angulo ahd.anguli der nity ad a, redi fune, atqj duobus triangulis aeh.a dh. comtine latus ah. Igitur duo triangula ad h. ach. funt sequilatera, per ^politione xxvi.lib.i.ele.Eu.Etquia latera fimt trqualia, quae aqualibus furbtendunt angulis,ergo ad.jqualis eft ipfi ae, Igit fi in dato figno.que in redu redangulucp cadit conu parabolen SC reliqua vt fupra qd' oportuit demoftrare. Sinaute cg. cirr cumferet/a quadrante mii nor extiterit. Igitur planu tangens conu fc.g h, fuper li c.reda linea coincidet cu dimetiente fdg. in partes gprodudo.Coincidat itacp fuper l.figno, Conexacp hi neceffario meabit per e. fir gnu.Nam didi plani quod tangit conu iuper hc.reda ateg plani ab axe trianguli fg h.comunis fedio eft hi.reda.igitur e.fignu neceffario coni ftituit fup hi.rcda linea. Coniungat deinde cd.ftrudim ada, q ex hypochefi atqj gconftrudione ad redos eft angulos ipfi fd g.dimetienti.Et fi ab axe coni triangulu fhg.fubiedu fuerit in code plano circuli fcg,erit h.pundus fuper circuferentia fcg ,pptercaq> angulus fiig.redus eft,6f fg, fubtenfa, dimetiens circuli fcg. Connedlat deniqs dg. Et quia ci, tangit circulum fcg.fuper c,8d cx c,ad fgi, per ccncru circuli adlam ad rcdlos angulos c.d, agit. Ergo per fuperius oftenfa elementa conica duo anguli dhg,£d ghi.funt equalcs,Et quia per conftrudlio* nem anguli ad a.funt redii, 8d duobus triangulis ah d, ah e. lac | tus cornune ah.Igiturduo trianguli adh.a he.funt aequiaguli 8daequiIatcripcr lppofitione xxvi.lib,i,ele,Eu,Ergo adaqua# lis eft ipfi ae,Si igitur in dato pundlo Sd reliqua vt ftrpra» fAtfi cg. circumferentia,circuli quadrantem exuperct, ergo ci.fccabit dimetiente fg, in partes f, produdlum, Rurfus itacp perfpicuu fit hi,d a.redlas lineas in partes ah.produdlas coiiu cidere tnuice ad eundem e.punclum, nifi quifpia velit afferer? q> eadem redla, ean dem redla linea in duob’ fecct (ignis quod abfurdiffimvi eft, et aperito geo* metramaxime alie num. Na fi fic duae redite linea; firperc ficiem cocluderet* quod neutiqua ftec ri poteft repugna* te comunigeome* trarum fententia, Sufcipiat ltaqj circuli fcg. centrum Sd fit k. Coniunganturcp hk.Et quia per conflructione triangulo fgh, ifofcele eft,ergo anguli adk, redii funt. Et quiah k.k g,ex ccn * tro funt circuli fcg.ipfa: igitur funt aequales. Igitur in triangu loh kg.vterqjduorumanguloruqui funt ad bafimgh, redii dimidius eft. Et per h.fignum ipfi fg.parallelus h1, agatur. Et quia gfi,8d h1, paralleli funt ergo per propofitione xxix.li* bri primi elemetorum angulus eh1, aequalis eft fih, angulo, praeterea per clemen.coni.xu.tres redtac linea: ik.kf,d k. fune continue proportionales.Connedlat deinde dh.ergo vt iJc. ad k.h.fic kli.ad dk,Et quia duobus «iangulis hik.d kh.conuw c nis eft angulus dkh.rcdus ,&f circum eunde angulum, vellit oftenfum eft proportionalia latera. Igitur per propofitione vi, If.vi.elemen, Eu.duo trianguli hik,k dh. aequianguli funt,&T anguli aquales quibus eiufde rationis latera iubtendunt.ergo angulus d h k.aequalis eft hik,angulo,fed eidem hik, angulo iam oftcnfus fuit aqualis eh1. angulus.igitur angulus dhk, aqualis eft ipfi eh1, angulo. Sunt autem 1hg, &ghk, anguli aequales,vterq; enim aqualis eft, velut patuit SC per ,ppofitio« nem xxix.li i.elemen.Eu, angulo ghk. Igitur ex comuni fen* tentia,Si aequalibus addant aequalia &c,Compofiti ex aequali* bus duo anguli ehg,g hd.funt aequales, In duobus aute trian gulis aeh, ah.d.anguli qui ad a.recti funt, &comune lat9ah, Igit per propofitione,xxvi,li,t.elcmc,Eu,duo triangula ahe. et ahd, funt aequiangula &T aequilatera, necnon ad.a e. latera quae aequalibus fubtendtint angulis aequalia.Ex hypotlieft au* tem cc.reda linea tangit parabolen abc.fuper c.figno.Si igit in dato figno,qtia: in redumretftangulumcp conum cadit para* bolen reda linea tangat,cademqt tangens et paraboles axis in eafdem producant partes quoufqj inuicem cocurrant erit pro* dudi axis pars exterior,quae paraboles vertici didocp concur* fui adiacet, aequalis ei axis portioni quae eide vertici atep apa; raboles contadu ftrutftim adae interponit quod hucufqj opor* tuit demonftrafle, ELEMENTVM CONICVM XVII Si in dato cono ab axe trianguli latus vnum vitra coni vertice producatur atqja termino eiufdcm lateris produdi, adbafim ipfius ab axe trianguli reda quaedam linea ducatur fecans alte rumeiufdem trianguli latus, in eadem reda linea intra conii ex duobus contingentibus fignis ad planum ipfius ab axe tri* anguli dug excitent perpendiculares conicae occurretes fuper* fidei eritratio redanguli fadi fub eade linea reda vfqj ad pri* mamperpendiculare ada,et eius portione quae eidem perpen* dicu1ari,atqjabaxe trianguli alteri lateri adiacet ad quadratu eiufdem ppeudicularis, ficut ratio redanguli compraehefi fub eadem reda linea dudavfqj ad fecunda perpendiculare dC ei* particula qitx ad eandem fecib dam perpendicularem &latus ipfi9ab axe trianguli terminat, ad quadratu eiufde fecudx gpe dicularis. Sit itaqj conus abe, cuius bafis bc. circulus 8fab axe coni triagulus ab c, eiufqf latus ab, in partem a, verticis, quantumlibet producatur vfqj ad d. fignum, aquo redi alineaagatur de.vfq; ad bafim abaxe coni triaguli bc.fecas ac.latus eiufdem trianguli fuper f. atqj in ef, linea recta duo vtcunque puncti fummant.g h. aquibus ad planum trianguli abc, duae excitent perpendiculares gi. hk, conicae occurrentes fupera fidei fug ik, fignis.dico q> ratio b redlanguli fub dgf, coprghefi adquadratum perpendicularis gi.eft ficut ratio rcdtanguli fub dh.h f. contenti ad quadratu perpendicularis hk, protrahant erg0J? gh.figna ipfi bcc, dux paralleli Igm.n ho.apud ab, bc.latera trianguli abc.terminat^, Intel ligant deinde duo pia na fuper lgm.nh o.fecantes conuab c.atqj parallela ipfi bc, bafi. Igitur per poftulatum quartum comun.es fectiones eoru* dem planorum atqj conic^ fuperficiei erunt circuli 1im.n ko, quorum dimetientes Im. no. erit itatp rcctangulum fub 1g, g' m.comprXhenfum xquale quadrato ipfius gi. perpendicus laris. Atqj rcdlangulum fub nh. ho. comprxhenfum xquale quadrato perpedicularis hk. per corolariu propofitionis viii, libri vi, elcmen.Bu.Duo enim anguli fub 1im.n ko.redi funt per propo fitione xxxi.li.iii. eorundem ele.Et quonia per pros politione xxiii, eiufdem li.vi.ele, Redangula parcllegranuna d adintiiccm rationem habent eic lateribus compofitam, igitur ratio areolae contente fub dg, gf. ad areolam comprjhcnfam fub 1g. gm, componitur ex duabus rationibus quaru vna eft' ipfusdg.adgl. altera ipfius fg.adgm. Similiter ratio redlan* guli fub dh.h f.facti ad redlangulutn fub nho.copraehenfum coponicur ex ratione ipfius dh.ad hn. 2d ratione ipfius Fh, ad ho. At eadem eft ratio ipfius dg. ad gl.quae ipfius dh.ad hn. Sic quocp eade eft ratio ipfius fg,ad gm.quae ipfius fh.ad ho. Igit ratio redlaugul ifub dgf.contenti ad rcdlangulu fub 1gm. comphenfum feu ad quadratu perpedicularis gi, eft ficut ratio redlanguli fub dh.h f. fadli ad rcdlangulu fub nh.h.o.conten* tum feu ad quadratu perpendicularis hk.Ex comuni fententia Rationes eaedem funtqute eifdem componuntur rationibus. Igitur. Si in dato cono ab axe trianguli latus vnum vitra coni vertice producat, Sd reliqua vt fu pra qd1oportuit demoftrare, Corolarunn, Hinc etiam fit perfpicuum quod hk. maior eft quam gi. Nam nh, maior eft quam gI.fit ho.maior quam gm.Igitur quod fic fub nh.h o, redlangulumai9eftfadlo fub 1g.gm, redlangulo. Quadratus atitem ipfius hk, aequalis eft, vclutpatmqei quod fit fub nho,6d quadratus ipfius gi, aequalis ei quod fit fub Ig. gm.redlangulo. Igitur quadratus ipfius hk, maior eft quadra* to ipfius gi, liquet itacg corolariu, videlicet hk, eft emaiorem ipfag i, Ex comuni fententia. latera funt maiora quorum qua* drati funt maiores. ELEMENTVM CONICVM XVIII Redlangulo aliquo atque quadrato lineaqj redla datis, dabitur’ quadratus ad quem quadratus eiufdem rcdlae erit fub ratione dati redlanguli ad quadratum datum. Datum igitur redlangu* lum fit a.datus quadratus b.et c.redla linea data.deinde per pofitionem vltimam lib .ii, elementoru Eu. dabitur d, redla Ii* nea potens aream a. redlanguli. Et per propofitionexii.li, vi. elemen, Eu.fiat ratio ipfius c.data: redla: lineae ad redlam linea c. velut eft ratio redla; lineae d, ad latus quadrati b.Et quoniam ex hypothefi quadrat9ipfius d.redlj squalis eft rediangulo a. Et per propfoitione xxff, Ii, vi, eos rundem elemen, Si quattuor rectae lineat proportionales fuerint, 8C ab eis redilinea fimilia fimilitercp der fcripta pportionabilia erunt. Igitur quadrat9ipfius d, feu aequalis area ipfi9videlicet qdrangiili a, ad quar dratum b, rationem habet quaqua; dratus ipfius c.ad e.quadratum. Igi tur dato redangulo a.atcp qdrato b, datus efi: quadratus ipfius e, ad que quadratus ipfius c, cft fieut redan; gulum a,ad b.quadratu quod opors tuit efficere. ELEMENTVM CONIr CVM, XIX, Si duo data rcdangula injqualitrm longitudini! quadratis fuarum latis tudinum iunganf.fuerintq! h^c duo aggregata inuice aequalia erit quas dratus aggregati maioris logi; tudinis minor quadrato aggres gari breuioris logitudinis. Sint igit data duo redangula abc, cuius ab. longitudo prolixior et df. cuius longitudo de. lires uior. atque redangulo abc, in diredum additus fit quadratus bch.ipfi9latitudinis bc. Simis liter redangulo de f.indiredu iundus fit quadratus efg, atq; , aggregatu ach, aequale extites rit dfg.aggrcgato, dico q> ef. latitudo redaguli def.maior fit b]c, latitudine redanguli abc. Si enim ef.latitudo redanguji d« f.latus exiftens quadrati efg, aequalis extiterit ipfi latitudis hb f9 ni bc, rectanguli abc. lateri videlicet bch. quadrati, igif eg. latus quadrati efg.erit atquale ipfi bh, lateri quadrati cbh.et tota deg, recta minor erit quam ipfaab h.cx comimi fentctia. Si aqualia inaequalibus addantur &cetera. Igitur aggregata ex dcf. rectangulo quadrato fe g. minus erit aggregato ex abc, rectangulo SC quadrato cbh. per ,ppofirione, l.li.vi.cle, Eu.quod contrarium eft hypothefi,Nam ach.d fg.aggrcgata adinuicem fubiiciuntur ecqualia, Eodem rurfus argumentatio# nis genere probabimus ef, latitudine feu latus quadrati feg, non effe minus latitudine bc.feu latere quadrati cbh.igit qua > dratus fe g.refpectu logitudinis de, breuioris, erit maior qua# drato cb h. in comparatione ad prolixiorem ab,longitudinem Si igitur quo datarectangula intequaliS latitudinum et reliqua vt fupra quod oportebat demonftrare, ELEMENTVM CONICVM XX Duas producere lineas alteram rectam, alteram inflexam quae hyperbole coni fectio eft, quae quanto amplius producutur eo magis viciflim appropinquatnimquacoincidentes etiam fi in infinitum producant. Sit itaq; corius abc. habes bafimbcd, circulum atqj aconi axe triangulum fit abc.cui9ab, latus pro# ducatur in partem a. vfcp in c.quoad id libet.e tapunefto ejntra triangulum ab c,recta agatur linea ef.fecans ac.latus.fuperg,, bafim autem bc.inf.figno.atcp plano ab axerrianguli ab c.ad rectos excitetur angulos gh, recl alinea do fupereg h, planum eat fecans triangula quidea bc, fuper ef, conicam vero fuper ficiem fup gi d.linea.Erit itaqtg h,recta linea contingens gid. fecftionem planum igtt egh.ad rectos fecat angulos abc.tria# guli ab axe planum, Intelligatur deinde planum egh.ex par# te gh, in infinitum produci, fimiliter conum ex parte bcd.ba# fis,Et quia idem planumeg h.per coni verticem no vadit ergo recta linea conectens gi, feu qutecum alia Tectionis gid, figna intra conum cadit per fecundum poftulatu ergo .linea gid, in# flexa eft, fuperquak, fumpto puncto ab eo ad planu trianguli abc.perpendicularis agatur kl.quat neceflario cadit in e f. co# munemlectione trianguli abc, SC plani egh, praeterea linea redi aeg, fuper m. diuidue fecetur.atcg quae fuerit ratio re* dlanguli fub e1g. contenti ad quadra* tumipfius 1k.fipen dicularis ,eade etiS per ele, eo, viti, fiat ratio quadrati ipfi* gm. ad ipfius gh, quadratum,Conncr diat denienm h,re* dia linea, dico quod redla linea mh, 6d gid, inflexa linea fi protrahatur in infi* nitum nuncjj coincis dent, 8C quanto ana piius producantqeo magis inuicem pro* pinquat. Concurrat aute coincidantue (i id fuerit polfibilefu per i. pundio aquo adegf.perpendicu laris agatur in.quac neceffario cadit in e gf.coem fcdfione egb.plani 5d triaguli ab c,8d ad pianti eiufJ de triaguli gpendicularis feu eredla,qrh egh.planu fup plano triaguli ab c, erigit erit ergo ratio redianguli fuben.n g.con* Ceti ad quadraru ipfius in, ficutqdrati gm.ad qdratuipfi9gh. Quare etia ficut ratio qdrati mn.ad quadratu ipfius in.Ec quo niam per propofitfone ixji.v.elcme. Eu, Qua; magnitudines ad eandem, eandem habet rationem atquales adinuiccm funt, ergo redtangulum fub en,n g.co ntentum erit aquale quadras to ipfius mn.vtruqj enim ad quadratu in,eandem habet ratior nem qua quadratus ipfius gm.habet ad gh,quadratum,quod impoifibile eft per propofitionem vi, libri ii.eiementoifi EucI/, quonia eg,bifariam diuidit in m.eicp in redu adiicitur gn.igit per eandem propofitfone vi.li, ii, elemen.Eu, quadratu ipfius mn.fuperat id quod fit fub e n, ng. redangulu quadrato ipfi* gm, patet itaqj pars prima propofiti elementi conici. Scriptae nanqj funt, velut oftenfum eft, redamh, SC inflexa gid.nuncjj coincidentes quantucunqj producant. Deinde dico tf quato plus mh,8f gi d, linea producantur, tanto magis fibi inuicem appropinquant. Protrahatur ergo linea kI, incidens ipfi mh, fuper o.pundo atqj in gid, hyperbole feu conica fedionepoft k.aftumatur p.fignum.a quo fuper egf, perpendicularis aga* tur pq.qux in partes p.ada occurrat ipfi mh.produdae lliper r.Et quia quadratus ok, atcp duplum eius quod fit fub ok, kI. aequalia funt quadrato pr.et duplo cius quod fit fub pr.p q.Et quia ml.ad 1o.eft vt mq.adq r. eft aute mq.maior quam m1. igitur qr, maior eft.quam Io.Et quia per xvii.elemcnm conicu pq, maior eft quam k1, igitur per xix.elementu conicum ko. maior eft qua pr, ergo fignu p, propius eft reda: lines mU.jpe duds qua fignum o.horum aute vtrfiqj fignorum or.exiftitin hyperpolica fedione gid. Et quonia idem de omni alio puns do quod in eade oblicf linea hyperbolics fedioriis 'g id. cxtii terit eodem modo demonftrari poterit vfcp in infinitir,igit qua > to amplius reda linea mh,6t inflexalinea hypcrbolicy fedios nis gid, producantur eo amplius appropinquant,quod fecum do dcmonftrare oportuit. Lemma feu alfumptum. Quodantem Arantibus pr^miflis hypothefibus &T conftrudio: ne, quadratu ipfius ko,SC duplum eius quod fit fub ok,k l.fint atqualia quadrato ipfius pr.& duplo eius quod fit fub rp,p q, quotienfcuq; hyperbole ad non coincidente defcribittir, fic Ht quebit.Namratioredangulifubel.lg. ad quadratuip fius kl. eft flcut ratio quadrati ipfius gm. ad quadratu ip fius gh, atcg idcirco ficut ratio quadrati ipfins 1m,ad ipfius 1o, quadratum per propofitione iiH. H. vf.elemen.Eu.Erit igicper,ppofin'onc xix, Ii. quinti ele.Eu.rado quadrati ipfius gm.quod eft differes tia qua 1m, quadratus excedit redlangulum fub eUg.ad ipfi» ok.quadratum,&: duplum eius quod fit fub ko.k I, ficut ratio quadrati ipiius gm, ad ipflus gli.quadratu,igitur per fecunda partem propofitionis noni Ii. v, ele.Eu. quadratus ipflus gh, iqualis eft quadrato ipflus ko.Sd duplo eius quod fit fub ok. kl.nam ad vtriiqj eorum quadratus ipfius gm.refertur fub eas dem proportione. Similiter quocp demoftrabitur q> quadratus ipfius gh. aequalis eft quadrato ipfius pr. Si duplo eius quod fit fub rp. pq, at ex cornum fententia, Quae vni funt aequalia adinuicem funt aequalia. Igitur quadratu ipfius ko.et duplum cius quod fit fub o k.k l.funt aequalia quadrato ipfius rp.ctdu pio eius quod fit fub rp.p q.patet igit lemma feu affumptutn. ELEMENTVM CONICVIVI XXI. Addatas re< dias lineas non h coincidentes, q adredi2 fe con< tingunt anguy lumper datum fignum hyper* bolen deferibe re. Sint igitur data: duae redig lineae ab.b c, feinuicem cons tingetes in puo dio b.redlumcp comprehendat angulum ab c, et datum fignu ®ede d.Intentioqjflt per fignum d.ipfis ab;bc. redifs datifq; lineis hyperbolen de/ feribere non coincidente. Igitur abc. redus angulus diuidue c fica lapidefcp librantia contorquentia^ augere inftrumenta. Oportet nanqj omnia per proportione augeri,tam magnitudii nes £dperforatioes,quam mentiones imedtofcpneruos, fi mos do curae fit, &fi voluerit ea quis adhibita augere proportione, quae ncutiqua fieri poliunt mediorum non comperta ratione, Demonftratione igitur 8d conftrudtione iam didit inftrumenti tibi hic defcripfi. Sint igit dat* binae inaequales recta’ linea, ab.cd.quarum oporteat duas inedias proportionales fub coni tinua proportione inuenire, Ipfieigitur ab,c d. reftx linea,in quada recta linea bd, ad rectos conftituatur angulos, Sitqj ab, maior quam cd, 8C conexa ac.in c, partem producta coincidat ipfi bd,adeafdem partes protracta fuper e.figno.atqjab a, ad bd.redla ducat lineaaf,8d ab f.ipfiab, parallelus agaturf g. fccans.ipfam ac.ing.rurfusgg.ipfi afiparallelus adiafitgh, fecans bd.mh,atqj iterum per h.ipfiab.adla parallelus hi.fei cet ac. in i, atcp pi. dui dia ipfi af, parallelus veniat gd, fignS ,His ita conftrui diis amplii oris gra dii feretiois ,a b, fg.hi.c d.paralleli prim£,Sd af.g h, di.fecundx dicantur paralleli. Et quia in triangulo abe. partiles trianguli ad primarias parallei los per propofitionemxxix.li.i.elemcntoqt Eucli.xquianguli funt atcp per iiii, propofitione li.vi.eorunde eleme. proportioi nalium latcrum.pari ratione particulares ad fecundas parallei los trianguli proportionalia funt laterum, igitur in primis pai rallelis vt ac,ad eg.fic.b e,ad ef.Et vt ae,ad eg.in fecudis pai rallelis fic fe, ad ch.atcp in primis rurfum parallelis vt {e, ad ch. fic ge, ad ei, at in fecundis parallelis vt ge. ad ei, fic d a lje;*d edrContinucigitiir proportionales funtb e, ef.he.edi ‘Sub eadem etiam ratione continue proportionales probantur ab.fg.hi,cd.Namvtbe,adcf.fica-b;adfg,&;vtfe. ade h.fie fg.adh i.8£ vthe.ade d.fichi.adcd,Datis igitur redtis lineis duabus ab.c d.duxmedix continue proportionales fg.h i.cos pertse funt.quod oportuit efficere. Sciendum deniepeft quod iuxtaEratofthenis fententia a-b, cd. redalineae ipfi bd, ad re< idos coftftttuunt angulos.Verum eidem ab, cd.rccbe linea-, ad qualefcucp angulos ipfi bd.conftituanf, ddmodo ipfse funt pas ralleli fimili contextu propofitu femper efficiemus. Notans duminfuper quod fi velimus plures medias pportionales qua duas inuenire fub continua proportione, Igitur ipfis ab, cd, oportebit plures parallelos interponere, vt fi ppofitum fit tres medias cotinue proportionales ipfis ab.c d.inuenire.igiturne* ceife erit ipfis ab,c d.tres primarias parallelos,8f quattuor fe< cundariasparallelos interponere, ita vt vidmafecundampas rallelus eat per d.fignu.Et fic deinceps augendo parallelos ius xtanumeru mediarum continue proportionalium,' ALITER datis duabus retdis lineisbinas aut plures fub cos tinua .pportione dare, 5Sint igitur vt prius dat* dux recta; lis neat ab. cd, mxguhrquib9opors scT^~\~| fiteat quotliS \\Ibetfubcons *\noI, \x1tmuanpors \1",•tione binas' ^—v. medias Tues \Xnirc.Eftbita Pbefkdqqj inprimis .ppofitu bis nas medias continue proportionales reperlre.Et fintipfx ab. ed.parallelx.atcp connedlatur bd.qute in tres xquas fecet pars tesbe.ef.f d.8f exef.fignis dux perpediculares excitente g; fh.8f compleant bina parallelogrammaabeg.g cfh.2d per c. ipfi bed, parallelus agatur ci, fecans fh, fuper i/figno 8C ex df.auferatur redaquxdamad libitum qua; fit dk, &per k.pas rallelus ipfi c. d.fit kl.fecans ci.fug l.&f agli.in parte a.agatur vfqj ad m.fitcp am.aequalis ipfi c1. 8f conexa 1m.fecct eg.in n, &fh. fuper o, &coniungantur fn,ko, Siitacp fn. ko, recfite paralleli funt ipfi cm.ipfius dk,15gitudo iulle fumpta fuit, fin autem fn, ko.non fuerint paralleli ipfi em,Igitur dk, accipiat aliqn minor aliqn maior qua pri9extiterat donec fn.k o.recfte linea: paralleli fint ipfi em.non autem dk, fumatur maior qua fit df. Sint ergo fn, ko, paralleli ipfi em, atcjjipfiab.perm, parallelus agaturm p.fecans bd,in b,partem„pdudam fug p,-: £t vc prius offendemus quod inter mp, 8C 1k, feu inter aequa* les ab.cd.fint mediae proportionales en,f o. fub cotinua prd* portione produdiis em 1m.k p.in partes k1, donec cocurrant fuper q, figno liquebitpropofitum. Inter datas igitur recftas Iri neas ab cd, duae media: enfo.fub continua proportione comi perne funt, quod oportuit effecifle. Notandum infuper eif. quod dk. am,recta; ideo praeripiunt aequales fieri quoniam a m.infenfibilitermaioreftquamd k, - INSTRVMBNTVM fabricare curiminiflerio datis duas bus redlis lineis duae pluresue mediae fub cotinua proportio* ne poterint inueniri. Quaeigitur in planis fug.fidebas Geo* metrica quadam inuelfigatione pauloante perfpcdafuerut SC demonftrata.haud parum iuuabunt nos ad conftruendu inftrue mentum quoddam,quo pofTimus inftrumentales binas capere' mcdias.latere lgit ideft tabula quanda redlangula cui9logitiri do multo maior fitlatitudinequaquida tabula ttAiv6ov grxei &latini latere dicutcoficienrilignea eburneamue aut a-rea cue iufmodi in fugiori deferiptioe eff abdr.redlangula figura que habeat aliqt tabellas aeqlis fpiflitudinis 8C qua leuigatifflmas atcpgtcnues quaru media velut in eadefuperiori deferiptione e f gh, firmetur habens duo regulamenta velut em,f n,in fri gnis ef. affixa paruis axibus,ita vtipfa fug cf. verfari pofftnt. Sit pterea alia lubtilis tabella velut kdr,quae volui queat hinc inde ita vt eius latera fint femperparallelaipfi fh. lateri pae rallelogramie fgh.habeatcp fimiliter verfatile regulamenta ko, fuper k, figno affixum. Triaitaq) regulamenta verfatilia dii,. «mFn.k o. eo modo cocinnent viciffitnqj aptent vt fint adijv uicem parallela,& comunes eorum fediones cum ag,f h,&' 1, fignu fint in eade reda linea velut mnol.necno am, fubiiciat aequalis ipft dk, ipfa enim am. infenfibiliter fugat dk. his ita conftrudis inter duas redas lineas ab. cd.ipfius inftrumenti duae mediae fub cotinua proportione dantur veluti funt enfo,. Veruntamen fi dat£ dux lineae redae velut st.quibus oporteat duas medias fub continua proportione tnuenire non fuerint aequales ipfis ab.cd, quas inftrumentum habet, ergo fiat vt s, ad t.fic ab.ad cd.Et quia ipfis ab.c d.inftrumetalibus redis in* uentae funt duae mediae fub cotinua proportione, igitur et ipfis st. datis dux medix fub cotinua proportione erunt datae, haec qui fqj in Geometria vel mediocriter eruditus multo facilius in< tclligecqua prxfenrfs deferiptione demonftrationis doceri po* teriqquo deniq? quifqjj cotinuationi aptationiue ipfarum regtw larum tabularuq; artificiofius infifter, eo examinatius coperiet capietq; medias ipfas fubcotinuaproporcione.Ipfaetiatabeb; la Ikdr.coherear cuidam colume aereae in qua volui hinc inde poflit fine trepidatione atep firmari quando libeat. Sit aute ea< dem columna aerea loco bd.atqj ipfi' tabulge fhg. plumbo afi fixa &obfirmata cohereat. Et fi plures quis conftituerit duas bus medias proportionales inuenire cum annexis verfatilibus regulamentis, plures etiam oportebit ipfi columna: aereae mo; biles tabellas qualis eftkd r,admouere,Et tandem inter datas redas duas lineas, toride comperit medias .ppottionales quot in inftrumento fuerant dido modo comperta:, liquet igitur iru ftrumeti fabrica.qua hadenus oftendilfe oportuit. Praeterea fciendum eft,q> decet regulameta fn k o.in partes no. eo vfq; effe produda vt tota .pduda fingulatim fint aequalia dimetieti ipfius efhg.parallelogrami aut paulo longiora,ita vt femper ipfam agh.latus tabella: abd. attingere polfint.Eft praeterea fciendum q>regul amenta fn.ko, faciliratione ipfi em.parah lela conftituent.produda em fn.k o.fecent aghfn. quide in x.k o.autem fup v,8f fiat mx, aequalis ipfi ef. &mv.aequalis ipfi e f k,igitur per xxxui.propofitione li.i.ele. Eu. ipfa -fnx kov, paralleli funt ipfi em. Et ita demu paraphi afis complet fn modos quos Eratofthenes tradidit de mueniedis medii* cotu t/nue proportionalibus interdatas duas redtas lineas. EX ERATOSTHENIS fentetia datis duab9redis line* is binas aut fjtlibet me* dias propor* tionales iue* nire cu faci* li defcriptio* ne parallelo rum.Sinter* go data; duae redite linej a b. cd, inter ?uas intetio it inuenire primum du* as medias proportionales, atcp inter ip fas ab.c d. iungatredla lincabc, fic vt ab.cd. fint paralleli, Compleaturcp parallelo* grammu abce.atcp ipfius bc.tertium vnum fit bf, arqj ex bc. auferatur bg. paulo maior aut minor quam bf. prout res ipfa admonebit,ipfi'q?bg,exa c. aequalis auferatur ah. Connexis a g.g Ii. ad, Etg b, fecet ad, ini. 8C ex ab,dematur bk. xqualis ipfi gi. 8d regula appofita ipffs ik, fecet ag, in 1. Et quia per xxxiii.propofitionem libri primi elementoR- ab.g ih.funt pa* ralleli,8d ex hypothelig i,b k. aequales ergo bg.i I.funt paral* lel i, Praeterea ex ipfis gc.h e. ipfi' i1, aequales auferant gm.h n. Coiundlifqji m.m n.erunt per eandem propoficione xxxiii.li* bri i.ele.g l.m i. paralleli, Simili ratione gh.m n.paralleli.Et m n.fecetad.ino.Etexbk, ipfim o. xqualis auferat bp, Rcgu* Ia denicp applicata op.fignis fecerim, iq.Si iracpmc.xqualis extiterit ipfi oq. bene adium eil. Sin aut mc.minor extitcrit,er* go bg. iufto maior accepta fuerat ergo bg, paulo minor acci* pienda efl.atqj eadem defcriptio refumenda.qute eoufqj exerce da eft donec oq. xqualis fiat ipfi mc, Efto igitur mc. xqualis diii pq.parallcIHgit funt co.mq.exhypothtfi Stiper xxxih. pro», politionem libri primi elementoipjpfte denicp ab.g i,m o.d c, primariae dicantur parallelffed ag.m i.c o.fecundarig,Aio qd* tpfis' ab.c d, mediae proportionales funt gi,m o. .Producant ergo a d.b c.coinddentes in r, Ec ‘quia propter fimilitudine tri* anguloru eft vt ar.adr i.apud primarias parallelos,ficbr,ad. rg.praeterea ad fecundas parallelos vtar.adr i.ficgr.ad r.m, fidapud primas parallelos vt gr.adr m,fici r.adr o.&f adfecu . das parallelos vt ir.ad ro.fic mr.adr c.Cotinue igitur ppor* i tionales funtbr.r g.mr.r c. At fub proportione eadem quoqf, eftperiiii.propo.li.vi.ele.vt ab.adgi.fkg i, ad mo.Simo,ad cd.Datis ergo duabus redis lineis a b.c d. bime inuety funt gi, , mo.cotinue proportionales quod oportuit efFicere.Pari modo plureset quodibet medite proportionales inuenientur, <f Lemma, Pro duabus mediis pportionalibus bf.erit pars tertiaipfPb c. qmbg.paulo maior tertio ipfiusb c, 5C nuncp minor autaeqlis ipfib fRurfus ptrib9mediis ,pportionalibus inter ab, &cd. inueniedis bf.erit quartuipfi9bc. Si bg, paulo maior qua bf, Sf pquattuormediis pportionalib9bf. erit quintu ipfi9bc, 8C Bg.eritpaulo maior qua bfideli quintu ipfi9bc.Et ita deiceps fc c.femg diuiditur in partes vna plures quam funt mediae pro* portionales inueniend*. Earundem deniq? partium bf, femg erit vna. Et bg.paulo maior fumeda erit quam bfEt ideo bf particula aliquotta ipfius bc. aifumitur vt vera ipfi9bg, ma* gnitudo polfit eo citius contedurari. ALITER vtphyloponus 8i Phylon bifantius. Inter datas duas redas lineas duae mediae fub cotinua propor* tioneinuelligantur.Phyloponus itaq; geometres primu refert Biltoriam,ex qua problema hoc habuerat originem, ac deinde ipfum problema cum fua demonllratione profequitur. Et pri* jnum quide,quopado ait duos cubos vnii polfis cubfi facere illo potiffimu tempore fuerat inuentum,quado Deliis,nota fi* quidem cllhiftoria,peltilenti luelaborantibus,Apollo confuk tus refpo4erit,ea luem fedari polfe fi aram duplicaflent; hi ak , ferum' alteri aequalem.cubum fibi capiendo fmpofaCnmir, feif adliuc crudcfceute grailanteqj peftilcutia,refpodit Apollo eos quod imperatum fuerat non foeciffe, Quonia mandalfet arei auplicandam.cos autem cubum cubo fuperimpofuilTe.Plafoi nem adierunt confulendo,quo nampado cubus foret duplica* dus.qui refpodit videri fibi,numen eos inceffere quodgeome* triam ignorarent.Cubi vero duplicationem tum demum pofie' inueniri,cum duabus redis lineis binae media: cotinue proponi tlonales fuiflentinucntat.Et continuo fuis hanc queftionS pro? pofuit indagandam difcipulis ex quibus fuerunt qui hanc feri berent inuentionem. Deinde Philoponus per numero^ exe* plariteroftendit.ij datis tribus redis lineis cotinue proportio* halibus atep aprima SC fecunda,fada fuerint quadrata, erit eo* rumratio,ucuc primae reda: linea: a(l tertiam. Id theorema Eu* elides vniuerfaliter demonftrauit propofifione xxii. Ii.vi.ele. Rurfus fi fuerint quattubr lineae proportionales fub conti* nua proportione erit ratio cubi aprima ad cubii afecuda quat* tuor proportionalis linearum redarum, ficut ratio primae ad quarta. Id ipfe Euclides generaliter oftedit ppofitione xxxiii. li.xi, elcmentoqt,At fuper his theorematibus Philoponus nue audiatur obiter obiurgans Euclidem q> duabus redis lineis da* tis vnam tantu mediam et non etiam duas medias fub cotinua proportione docuit inuenire, Elementariu igitur ait, geome* tren veriffime demonftrafle tribus redis lineis cotinue ,ppor* tionalibus datis,vt prima fe habet ad tertiam,ita*quod aprima defcrtptum di quadratu, ad id quod afecunda. Nec tamceam tradidit dodrinam,qua binarum redarum linearu bin£ mediae continue proportionales inueniant.In planis itacg generaliter demonftrauit, quod datis tribus lineis continue proportionali* bus vt fe habet prima ad tertiam, ita quod aprima eft quadra*1 tum. ad id quod eft afecunda veluti fint tres reda: linea: conti* nue proportionales vna viii, altera quattuor tertia ii, pedum, vt enim fe habent viii, ad iiii, horum fiquidem ratio dupla eft, ita quoqj fe habent iiii, ad ii. nam 8C horum ratio dupla eft. Et idcirco vt fe habet primalinea, ad tertiam ideft viii, adii, horu nempe quadrupla efttatio.Itaetiafc habet quod aprima qua# dratum quod eft Ixim.ad id quod afecuda fit quadratu quod cft xvi,Quadratus igitur qui cft Ixiiii, adxvi.quadratum ratione habet quadruplam,Id ita® inplanis exemplari hac oftenfione liquet, Atin folidis perfpicuum eft,cjj quattuor datis retftis Ii# ncis fub eadem ratione proportionalibus,vt eft prima ad quar tam retftam lineam,ita fe habet folidum quod aprima eft, ad id quod afecunda fit fimile fimiliterqj pofitum folidum, DATIS igitur duabus redtis lineis propofitum fit binas me# dias inucnire continue pro< portionales, Sintigit re# 6ix lineae dup ab.b c.fubq# cuncp ratione dat£ atqj inter ipfas re perier de fut dute c5 tinuj propor# tionales ,Er# goipfte ab.b c,ad recftuiun gantttr angu# lumabc.Co# pleaturcp pa# rallelogramii retftangulum abcd.duca# turqj dimeties ac.fuperquo feribatur circulus ab ced. Et quia anguli ad bd. per conftrutftione recfti funt, igitur per couerfio# nem ppofitionis xxxi.li.iii.elc. Eu, Circulus ab ced.tranfibit perb d.figna at® ab,b c.redlae lineae in partes ac.ad infinitum producant,ponaturqj regulamota ad puneftum d.fecas a b.b c. produdtas in partes ac. ipfam quidem ab, mf.at ipfamb c, (u# perg.moueaturq} ipfarcgula circa d.quoad ex d.in f.fiat requa lis ei,quae eft ex e. in g.rcrtae linea:, Ipfa videlicet circuferentia abc e d. ferta pregul arn fug d, (igno motam, ita vt df. fit aequa; lisipfie g, Aio igitur q> duarertae lineacg.af.fintipfaruab. bc, mediae proportionales,Nam df, a’qualis eft per coftrurtio; nem ipfi e g, atqj vtriqj ipfaru df.e g.comuni addita de, igit cf, aequalis erit ipfi dg. Ergo quod fit fub dg.g e.rertangulu aequa le eft ei qcf fub cf,f d, fit rertangulo. Sed g.ppofitione xxxvi. libri. iii.clei-netoqi Eu,ei quod fitfubdg.g e.rertangulo.aequa le eft id quod fit fub bg.c g.rcrtangulu.Nam vtruqj eft requale quadrato rerta: contingentis ag. punrto ad circulum abccd, arta:, Paricp ratioe ‘quo fit fub cf, fd.^qual eeft ei qeffit fub bf, fa, reftangulum.Igitur quod fit fub bf.f a.aequalc eft ei quod fit fub bg.g c.rcrtagulo.Atqui per propofitione xiiit. libri vi, elementoqt eorunde Eu.AequiangulorS&T tcqualiu parallelo; grammorff mutua funtlatera.quar circa aequales fiint angulos, igitur ut eft bf,ad bg.ita cg,ad af.atqui vt bf, ad bg.ita fa, ad ad, &ab.ad cg,vt igitur fb.ad bg.ita ab. ad cg. 8i cg. ad fa. &C fa, ad ad,duabus ergorertis lineis datis ab, bc.inuetce fimt binae mediae proportionales cg,fa.quod oportebat efficere, ALITER vtApollonius Pergens Heron in mechanicis inftitutionib9.Inter datas duas rertas lineas, medias duas co; tinue ^portionales inuenire, Sintdattedu^rcrtae linee ab. bc. ponaturq; adb, rertucopraehedere angulum coplcaturqi bd. parallelogrammum coniunganturqj a c.b d. diagonii qui fc ad e, fignu bifariam fecabunt.Et producatur ab.b c;in fg.Si per d, punrtum accomodet applicctuvq; rerta linea fg, ita vt ef. aequalis fit ipfi eg, Id aute facile conftruetur adminiculo regu; lamenti habentis in medio callum quendam acuminatum,quo merfo intra d,purtum,atq$ circini pede vno ad e, fignu defixo, altero vero ad fg.figna circulato,!pio etiam regulamento fur; fum deorfumqj moto facite explorari poterit fi ef. eg. rerta: linere aequales fuerint.Sint igitur aequales.Tum aio ipfaru ab. bc.rcrtarumlinearu binas medias efle proportionales cg,a f. ducatur itaqj ab e.inb c,rertam lineam perpendicularis eh,Et e quonia ffofcelis efttriSgulus bec.&C be.ipfi ec.aeqlis, lgit bh.aeqlis erit ipfi hc. Et per* inde quonia bc, bifaria feda eft in h, atq; aequalibus redis lineis bh,h c,adhaeret cg, Igi tur per vi. propofitione libri fecundi elementoru Euclidis quod fit fub bg. gc, cum eo quod fub hc.a-quale eft ei,qtf fub hg.Commune deniq? po natur quocl ab he. quod ergo fub bg.g c.cu eis quaab hc. he.cequale eft cis qua: ab hg, he,Eis autem qua: abc h.h g. aquale eft quod ab eg.Quod igic fub bg. gc. cum cis quae ab hc.h c, aequale eft ei quod ab eg.Eis autem quae fune ab hc.h e. aequale eft quod ace. igitur quod fub bg. gc. fit cu eo quod ex ce. aequale eft ei qd' ab eg. Similiter quoqj oftendemus vt quod fub ipfis fitbf. fa, cuco quod ab ae. aequale fit ei quod ab ef. Atqui per conftrudione ef.aequalis eft ipfi eg. Quodlgit fub bg.g c, cum eo quod ab ec, squale eft ei quod fub ipfis bf, fa. atq; ei quod ab ac. Et quia ae. aequalis eft lpfie c. eis igitur qu£ ab ae.c c. fiunt deni* ptis qdratis erit ex comuni fententia. Si ab nequalib9SC cetera, reliqunm quod fub bg. gc. aequale ei quod fub bf.f a.Et quo* niam per propofitione xiiu.libri vi, clemcntotp Eucli, Aequae fiunt &ae.quianguloru parallelogrammoru mutua funt latera quae circa aequales angulos, Eft igitur vt bf, ad bg. ita cg, ad af. Atqui yt bf.ad bg„itaf a.ad ad,& cd.ad cg.per propofi* tionemjiii.li. vi.clenten.Eu.TrianScp triagula bfg.a d f.c dg. aequiangula funt, vt per conftrutfione atqj ex.xxix,propo,li.i. clemcn. Eu, liquet. Et vt igitur dc. ad cg.ita cg.ad af.&i af.ad ad, Eftqj ipfi quidem cd.aequalis ab.ipfi aucc'ad.aequalis bc. Et vtigitur ab,ad cg.ita cg.ad af.& af.ad bc.duab9ergo da* f nexae c, fit parallelus ipfi ad. his ita conftrus ftis,aio q> ipfarum ab. bc.fub eade ratione bi na: media: db, be. fint continue proporttonas les.Et ga ex hypotheft angulus ade.rccft5eft, &ad. ec. per conftrus tftionem paralleli,igit er .ppo.xxix, li.i.ele. u.angulus ced.rect5 cftatcp angulo ad e.atqualis qui ex hypo.quocprectus eft, Sed per conftru&ione db.perpendicularis eft ad ab e.fimilitcr eb, perpendicularis eft,ad cbd.igitur per corolariu propofitionis viii.li. vi,elemetoi$t bd, media proportionalis eft inter ab, be, fimiliter bc, media eft japorcionalis inter db.b c, comuni itaq>) pofita ratione ipfiusdb. adbe, eritab.adbd.ficuteb.adb c, vtraq; naqj ratio eft vti patuit vt bd.ad be. per propo, xi.li.v. elemento!? igitur vt ab,ad bd,fic bd.ad be,8C eb.ad bc.Ergo datis duabus res dt is lineis ab, b c, binae compers tc (ut mediae fub eade ratione cos tinue proportios nales bd.b c. EX PLATOs nis fententia cos ftruere inftrume tum qdatis duas bus retftis lineis binae mediae llib eade ratione cos tinue proportios nales comperiantur, Sit igitutgnomon fgh,'cx duobMiredtis' regulamentis ligneis aut tereis compofitus quae rectum coms plectantur angulum fgh.In horum altero regulametoiji aliud quoddaaccomodetur normale ik.quodiuxta i.fignupertuni datuicquodani foramine cui comittatur regulamentu gh, gnos: jnonisf gh, fic vt normale ik, adhaerens regulamcntog h,ad rectos angulos nunc verfus g.quandoq; verfus h,volui queat;. His icaqtpraritrutftis, fi datis duabus redtis lineis velut ab; bc.libeat binas fub eadem medias ratione cotinueproportioi nales inuenire, Datte ltac^ redite lincte a.b.b c. ad rectos angu* los.adinuicem coniunganmr in pundto b,Sd reliqua fint difpo? fitavt ante, Sd inftrumcntu hoc fic accomodetur ab. bc.rediis; kt gnomonis fghjatusf g.iaceatfupc.fidg angulus ipfib.e; cofia-reat atqj angulus i.confiftat; fug bd. verfatile deniep nor* malei k, veniat pera.fignu, fic vtg.pundius fuperponat ipft d.atqt i.fignum iaceat fuper d.his itacp cocinnatis inter ab, bc; fompertae iterum crimt huius officio inftrumenti binae propor lienales mediat bd.b c.cui9demonitratio cade eltcu priore, ,VTNICOMEDES in tradfaru de conchoidibus, cllnitrunientu fabricare quo inllcxte quatda lineae qconchori des appcllatte funt deferibuntur, Nicomcdcs-huius initrumc# ti fabricam tradidit in quodam libro quem de cochoidibus in; fcripfiqinquo quidem libro vir ille mathematicam cognitione rerum excellens et venerandus multo plura videt cxcogitaiTe quam Eratoflhenes,atq; longe argutioia inueniffe, Quapror pter ille ad geometria: fc/entiam afpiraubus haud parum pro# fuit, Ac fuperpropofiti fabrica inftrumeti ficdemu locutus eft; Accipere igitur conuenit binaregulamcnta fub eadem.fpiifb tudine accuratius deculfata 6d planata leuigataqp, fic v.t cande’ habeant planam fuperficiengqua: quide regulamcnta finta b; cd,deinde in ab.canalis feu filliiraautrimula<|uaedairi fiat-fe# curis effigie, inqua quidem rimula feu canali cuniculus aptet, quem vir iTlegraxc chelidonia aut chelonarium vocat q> inftar. tcftudinis aut limacis quae chelone agrateis appellat repatfug ab, rcgulameto. Aptetur inqua ad ab.reciam lineavt inipfa'. ii canali feurfa mula furfum deorfug) vo s lin' poilit, In regulamento autem cd.ad parte d, &in , eareda linea qua: regul as jnenticd.Iati tudinrem bifa j-iam dirimit,, eylindr’ pars uulus gh, q grarce cylins drium dicitur eidem regula meta ed,- cos feratur, parui tameemines plano regula menti cd, afs fumatur dein de alia quars da norma ef. verfus limite feu iparte f. exigua: bres .uifqt exiftens a •latitudims.Et gli.cylindrium ita regulamento cd.ad pundlum d. fit infertum vtcircuire polfit, Praeterea normae f. rotundo .quoda pertundat foramine.ad e.cui pufillus quida axis.i.teres elaniculus immittat qcognat9fit aut comiduram conexiones tte habeat cum difeurrete cuniculo feu chelonario fecuris eff» giem habete, qcf quide chelonariiim in ab, regula difeumt. I» fii jpfo quoqj cytindrio gh, fit foramen cui fitinmifTae f.regula4 qux cohaereat paruulo axonio protundum e.foramen traiedo et cognato ipfi chelonario feu dido cuniculo,Si quis itaq; fums pferit k.extremitate ipfi’ regulae ef.moueatcp cam fiue in pars tes a,fiue in partes ipfius b. e.quidem pudum femper vertetur in ab.reda linea, &C norma ef. penetras fedionem feu forame quod eft in cylindriog h. ingredi? egrediturcg atep eiufdem res gul^e f.mediareda linea mouebitur dido motu fuo per axem ipfius ad d.cylindrii.Obfcruetur deliiqj vt ek.exceffus regula; ef.idem femper eadecp mantat longitudine, Qiia de re fi ad k, fixerimus ftilum acuminatu qui pauimentu attingat deferibet obliqua quaedam linea, qualis eft ipfa 1mn, quamNicomedes vocat conchoidea prima lineam. Et interuallu ek.quide linee* magnitudine normae. Polum aurem d.pundum. Huic deniep inflexa: linea: qua* concoides dicitur Nicomedes dcmonftrautt ineifetres praecipuas proprietates, CPrima proprietas conchoidos prima:. Quo cochois dos ampli’pros ducitur eo min» diftat areda lis nea ab, ipfius normae ab. qtf fic itclledui ps bfpicuum&ob* uiufiet, Sititacp in aliadefcripti one pcepta das tacp norma ab, polo aute c, 6C inreruallo dc.linea denicp concboides fe.producantur ac.duae redae lineae cF, cg. fecantes ipfam ab. redam lineam fug hi, pundis,ipfam aute conchoidea in fg.atcp apundis fg.ad ab, binae agantur perpendiculares fk.g 1, Aio q> fk.perpediculas ris minoreft perpendiculari g1. Nam per propofiene xxx/i. libri primi eleme.Eu,angulus kh c.tnaioreft angulo efh.D* duobus itaq; redis reliquus fhk,minor cftreliquo gil,Ex co< muni fentetia, Si aequalibus auferantur inxqualia erit reliqui? maioris ablati min’ refiduo minoris ablati. Atqui ex hypothea fi anguli ad kI.redi funt,igitur ex eadem comunt fententia anu gulus kfh, maior eftlg i, angulo, igitur ex angulo hfk, ipfi tgl.angulo aequalis kfm.augulus auferatur. Reda igitur 1it neaig.feuaeqalis hf,ad g1, eandem habet rationem qua fm. ad fk. Et perinde fh, ad g1,minore habet ratione,qua ad fk. Et quia per propofitione x.li, v,cie, ad qua eadem maiore rati< onem habet,& illa minor eft,ergo g1. maior eft qua fk. Quo igitur amplius producituregf.conchoidesinf.partcm eo mas gis appropinqnatipflab.quodoportuitdemonftrafle, tj Secunda proprietas ipfius conchoid/s primae. Si inter conchoidea Si regula ab, reda qutepia linea (pducatur,fpfa coru choide fecabit. Sit itaq; norma ab.atqt polo c.in< teruallo aute de. defcriV pta conchoides &C inter eamatq; normam 3-b.pt duda fit.reda quaepiam linea fgh, Aio cp reda Ut nca fgh. prodndadecet cochoidea iam defcriptS, ^iduda itaq; lincaf gh, autparallel’ eftipfi ab. normae.autnon, Sicigit tur primu parallelus fit atep vt dg, ad gc. ita de. ad aliam quampia k. Et centro c, interuallo aute k, circumferentia deleri* ptafecet fg.inf.SC con< fiii »W5a? cF.fecJs ab in l.cli igitf vtdg.adgc. ita 1f.ad fc. Atqui vtdg.adg c, ita erat dc.adk.hoccft adc f. aequalis igiteftde, ipftl f.quod eftimpoffibile, Nam fic pars toti fuo fieret aequai lis,quod patet 0cr.producatur quoufcp deferiptam per e, coiu choideam difpefcat in o.Eft enim 1fo, reda linea aequalis ipfi de.pcr diffinitione eonchoidis,igitur fgh.reda linea fecat cos choidea,fi ad eafdem producantur partes. Praeterea inter des fcriptam conchoidea.atqs ab.normam produdarccca linea no fit parallelus ipfi ab, fitqj velut mgn. Et perg.ipfi ab.fit ad^ farali eius fgh, ergo giam oftenfa fgh. coincidit conchoidi. tperinde multo magis mn. coincidet, igit fi inter cochoidca £C_normum ab, reda linea ducatur ipfa conchoidem fecabit, quod oportuit oftcndifTe, fTertia proprietas primae conchoidis. Reda linea ab, atque conchoides prima ad eam defcdpta nufcp coincident cocurratue etiam fi ad infinitum producant* Id facile liquet, fiquis ipfam formulam organi quo concoidcs feribitur diligentius intueatur. Nam in eade formula regulas meti ef. media linea in deferiptione conchoidos femper fecat in e.redam ab, quapropter pSdus k.nuncj; perueniet ad linea ab, licet indies vicinius accedat ipfi ab.pcr prima proprietate cofithoidos, Igit prima cochoidcs reda linea ad qua deforis bitur nuncp coincidet etiam fi ad infinitum producant quauis indies magis fibi appropinquent,qd3oportebat offendere. LEMMA feu ailumptu Nicomedis vtile ad modum fcqueti demonffrationi, Si ad infinitam ex yna parte redam lineam datus coftitutus fuerit angulus apundo extra dato reda ages re lineam quae fecet binas redas circa eundem angulum, cuius quidem ada: redae lineae particula compra:henfa,duabus datu comphendetibus angulum,fit aequalis datae lineae, Sitreda lis nea ab.ex parte b.mfinita 8C fuper eam coftitutus datus angus lus bag,Et pudus extra ab. datus c.dataqj reda linea d. Et ex ex c.ad ablperpendieularis agatur ce.cui indiredum ef.aequa Iis ipfi d.adiiqiatur.atqj officio inftrumenti fuperius conftrudi, polo c.interuallo autem cf, ipfi ab.norntK deferibat conclio» des linea prima fg, ' Igitur per fecundam d proprietate conchoi* , dis primae linea ag. f educta coincidet ipfi conchoidi fg.coinci* det ergo in g, 2C arta cg, fecet in h, ipfam ab.rerta linea ipfius norma; ,Dico q> gh. fit squalis ipfi d. da* tae reda; line£,Quod liquidtt fit exeo quo* ftiam per diffinitione ebnchoidis primae li* rieae gh, aequalis eft ipfi ef, at ef.ex hypothefi aequalis efl: ipfi d. igitur ex cornum fententiaqus vni fuerint squalia inter fe funt squalia.rerta linea gh.aequalis eftdata: ipfi d.Si igitur ad lineam rertam ex altera parte infinitam datus eonftitutus fuei rit angulus SC reliqua vt fupra quod oportuit efficere. VTN ICOMEDES inlibellodeconchoidibus. Datis duabus redis lineis binas medias continue proportio* nales inttenire. Sint data: duae reda: linejab.be, ad rertos in* Micem angulos quarum oporteat binas medias continue pro* portionales intrenire.Et compleatur ab cd.parallelogrammSJ feceturcjj bifariam vtracj! ipfarum cd.d a. in ef. punrtis ,Et co* iuncia quidem be, producatur etiam ac coincidat ipfi ad.pro* durta; in g.ipfi aure ad. ad reclos angulos fitf h, producaturqjt ah.quae fictequalis ipfi cc.Et coniugatur gh.cui parallelus fit ai.itaqi angulus kal.fit squalis ipfi fgh.angulo. Per prtecc* dens deniqj lemma feu problema ducat gik, reda linea fecas' ai.quidcm iii i. St da, in partem a.produrtam fuper k.fic qi ik. fit aquilis ipfi a h. Et conexa kb, producat atq; coincidat ip fit dc.prbdurtarin l,Aioq>cft vtab.adak, ficak.adl c.SCl c. ad eb.quoma ad,bifariam fertaeft in c,dC huic apponitur ka,igw turper vi. propofido* nem li.if.eleme.Eu.qcf fub dka.cum co quod eftex af. cqualecftci quod eftex fk.Comu* ne apponat q$eft cx fh. ergo qtf fub dka. cum eis quae fiunt cx a f. fh, hoc eft cu eo q<T eftex ag.aeqle eft eis q fut ex kf,f h.hoc eft ei qcP eft ex kh. Et qmvt lc.adcd.Sdlb.adbk, Atqui vt 1b,ad bk,ita da.ad ak,vt igitur 1c. ad cd.ita da, ad ak.At eft ipfius quidem c d. dimidiae e, ipfius au* tem da, dupla ag. Nam per iiii, pro. Ii. vi ele.Eu. vtab.ad de. ita ga. ad ad, Ex hypochefi autem ba, dupla eft ipfius de.igit ga, ipfius ad, dupla. Erit ergo vt 1c. ad ce.ita ga.ad ak.ex arquali S>C perturbata proportione per propo.xxiii. li.v. elem. Atqui vt ga.ad ak.& hi, ad ik.per propo.ii.lt, vi.ele.Eu.quia ex hypothefi gh.a i.funt paralleli. Et componenti per propo. xviii,ii.v,ele. Eu, igitur vt 1e.ad ce. hk.adki.arqualis aute pofitaefti k.ipfice.Quonia ik.ipfi ah,aequalis eft Aab.ipfi ce. Aequalis igitur eft e1, ipfi hk. Aequale igitur etiam quod ex 1e, ei quod ex hk. Et eft illud quod ex 1e, aequale ei quod eft fub d1c, cum eo quod eft ex ce.p propo,vi,li.ii, ele.Eu. Ei au* tem quod eft ex hk, aquale elfe demonftratu eft, quod fit fub dka.cum eo quod ex ah.Quorum id quod eft ex cecquale eft ei quod ex ah.Aequalis nacp pofita eft ah.ipfi ce. Sed ex co* muni fentetia, fi atqualxb'’ auferantur aequalia quae relinquunt aequalia funt. Igitur quod fit fub dIc. a-quale eft ei quo fit fub dka, Atquig,ppoficione xiiii,Ii,vi,ele,Eu, Aequaliu SC sequi* angulorum parallelogrammoip latera reciproce funt propora tionalia. Ergo vt ipfal d, addk, ££ka.adc 1, verum vrdl.ad dk.etab.ad ak.&tl c. ad cb.Et vtigit ab.ad ak, dC ak.adlc, &ipfal c.adcb.Duabus igitur datis redis lineis ab, bc.conia pertx ftint bina: medix continue proportionales ak.l c, quod oportebat inuenire, • VTARCHITAS, iuxta Eudemi et Eutocii traditionem, Datis duab9redis,lb ncis,binas medias cos c tinue proportionales "T “ inuenire. Sint datx p duae redte lincte ab.c. quaru oporteat binas medias ,pporriona!es inuenire, deferibat cir ca maiorem ad.circua lus abd f. Et perp.ria mam propofitione IU bri /ii.ele.Eu.in circita loabd f.ipfi c.a-quaa lis accomodctur ab, produda coincidat in p, cum odp.tangea tc circulum abdf, in d.fed ad pdo.parallea Ius agatur bef, fecas ad,in e, Intelligaturqj licmicylindrium, quod cx campani traditione medietas rotuna dx columnx dicitur,rcdum quidem in ipfo abd, femicirculo. Intclligatur deinde in parallelogramo ipfius hcmicylindrii fu per ad.dcfcriptus fcmicirculus qui vclut parallelogramuipfi9 hemiclymdrii adrcdos angulos cftipfius abd f, circuli plano Is aut femicirculus circiiadus velut apundo d.inb,punctum, manete firmatoqs a, termino dimetientis ad. fccabit in circuma dudione cylindricam fupcrficiem deferibetep in ipa quandam S lineam. Praeterea fi ipfa ad.manente triangula apd, circum; adum contrariu fecerit femicirculo «notum, conicam efficiet fLipcrficicm ipfius ap.rcdce lineae quae circumada comittituc iungituruein aliquo pundo linea: perfemicirculumincylin; drica fuperficie pauloante deferiptae. Simul aute etiam b. cirs cumfcribet femicirculu in coni fuperficie. Ipfe denicp femicir; culus adk, habeat pofitione in loco coincidentiae linearu mo; tus quide. Triangulum vero cotra circuadum, vt ipfius dIa. didae aute coincidentiae pundum fit k. Sit autem etiam pet b. deferiptus femicirculus bmf, Comunis autem eius fedio Si ipfius bdfa, circuli fit bf.Etex k.adidquodeftbd a.femicire culi planum perpendicularis agatur .Cadet vero in circuli cirs cumferentiain,quoniam ineiufdem circuli planum eredus eft cylindrus.cadatSdfit ki. Et quae ab i.inipfuma.coiundacor miteatur ipfi bfjn h, At quia vtcrqj ipforu femicirculo^: dka, bmf. eredus eft ad fubiedum planum fcilicct circuli abdf. Igitur comunis ipforum fedio mh, ad redos exiftit angulos plano ab df, circuli. Ergo quod eft fub bhf. hoceftfuba hi, tequalc eft ei quod eft ex h m. Igitur per couerfionem corolarii propofmonis viii.li, vi.elemetoiy angulus ami.redus eft.arqj triangulum ami, fimile vtricp duorum triangulos: mah.a kd. Et quia angulus dka. redus per propofitione xxxi.li.iii.elc, in femicirculo nacp conliftit ex hypothefi, atep velut patuit an; gulus ami.redus igitur per propofitione xxix.I i.i.elcme.d k, mi.paralleli funt.per eandem quocp propofitione ki.mh.pa; rallcli funt.nam ex hypothefi &C per eaquteoftenfa fuerut.ki, mh, perpendiculares feu ad redos angulos funtplano circuli abdf, igitur proportionale eft vrda.ad ak,ita ka.ad ai.BC ia, ad am.quonia trianguli dak.k ai.i ma. fimiles ftmt per .ppo; fitionem iiii, li, vi. elemento#, Ex confequenti igitur quattuor redae linea -da.a k.a i.a m.cotinue fimt proportionales.Eft au; te am.aequalis ipfi c, ex comuni fentetia qua: vniaequalia &'c, quoniS am. ipfi ab.aequalis eft.Duabus lgit datis redis lineis ad. e, duae mediae proportionales funt comparatae conftitui tjrp ak.ai.quod oportuit efficere. pofitionexi.li.vi.el.ipfis cd, proportionalis flate. Et altitudini folidi a.Mtia lis ficf.Etvtc.ade.ficriat f,ad g,Aio cp folidum pa<s rallelepipedum habes p bafe.re&ilineub, altitudi nem ante g,aequale eft da to folido a, Et quia tres re< dhe lineae ede, funt ex hy pothefi continue propors tionales.igitur per corola rium propofitionis xix.li bri vi, elementoru EucliV dis, eft ficut quadrat9ipfi9 c, ad ipftus d.quadratum, ita c. ad e. feu flad g.Eft au temg conftru&ione quae dratus ipfi’ c, aequalis re* (ftilinco b, bC quadratus ipfius d.requalis bafi folii d di a.atqj f.recfta linea aeq* *" t" lis altitudini folidi a. Igit <—p— > folidum parallelepipedu . i habens bafimb.&altitus g dine aequale ipfi g, aequa* « le eft dato folido a. per gt pofitionem xxxiiii, li, xi.elcmeutoiv Eu.Ergo dato folido a, ad datum planum retftilineu b. excitatum eft aequale folidum pas rallelepipedum,quod oportuit efficere. ffAppendixfcxta, Hinc etiam perfpicuum eft, q> per primam appendicem etiam poterimus dato cylindrio fub data ratione fimilem conftituere cylindrum. Et per fecundam appedicem feiemus quoesdato cylindro squalem excitare cylindrum cuius faftigium aequale h fit bafis dimetienti. Praeterea per tertia appendicem dato cys lindro cuius axis dimetietiipfius bafis tequatur fub dato faftis gio «quum conftituemus cylindrum, Deniqj per quarta api pendicem dato cylindro cui’ altitudo bafis diametro no «quas tur fub dato faftigio squalis excitabit cylindrus. Per quintam demumappedicem ad datum circulum excitabimus cylindru dato «qualem cylindro.Hoc tantu refert. q> vbi in pcedentibus appendicibus vtebamur retfta linea potente bafim dati folidi parallelepipedi.hic vfurpanda eft diameter bafis propofiti das tiue cylindri, CAppendix feptima. Omnis quadratus ad circulfi adfibiinfcriptupximerattonehaa bet quam xiiii, ad,xi. Sit ergo datus quadratus ab c.eiqj inferii ptus circulus def.cuius dimetii ens df, centrum g. Et quia iuxta demonftratione Archimedis de menfura fcu quadratura circuli totius circuferetij circuli ad fuu dimetietem paulominor eft qua xxii.ad vii.Et quod fit fub femii diametro circuli eiufqj dimidia circuferetia «quum eft area: ciri culi, igitur area circuli def,tripla eft quadrati ipfi’ fg, femidiai: metri fugparties feptima' vnam quadrati fg, femidiametri per propofitione prima fexti libri elemetoru Eu.Nam ratio ipfoqt Xxii.ad vii, tripla eft fuperpartiens vnam feptima. Et quia per propofitione iiii.libri fecundi elementoruEu. quadratus ab c; quadrati ipfius fg. quadruplus eft.Et totum ad feptimum fui quadrantis rationem habet quamxxviii, ad vnum, fii. area cirs culi inferipti def, ad idem feptimu rationem habet quam xxii. ad vnum per prima propofitione li, vi.cleme. Ex «quali igit &u per propofitione xxii.libri quinti elementoip ratio quadras «i abc.ad area circuli inferipti def,: ratione habet qua_xxviij> ad xxii, Et quia dimidiu cfl ad dimidia vt totu ad totum per politionem xv.eiufdem 1ibri quinti elemcntoru, Partes eodem ‘modo multiplicium eadem ratione habent fumpta; adinutce. igitur etiamratio ipfi9quadrati ab c, ad aream infcripti circuli dcf.cft vt xiiii.ad xi, Omnis igitur quadratus ad infcriptufibi circulum prope ratione habet quam xiiii.ad xi.quod oportuit demonftrare, l[ Appendix octaua. Datum folidum parallele* pipedum in cylindrum eiuii dem altitudinis trafformare, Efto itaqj datu folidum par rallelepipedum a, cui oportet fub eode faftigio aequum cyc lindrum formare.Ipfius itacp a.folidi bafnn potens recfta lir neaper xiiii, ppofitioneli.ii, eleme.fit b,Et b, fit ad c.vtxi, ad xiiii, attp per propofitione xiii.li.vi, eleme.Eu .ipfarum bc, media .pportionalis fit d. Dico q> cylindrus cuius bafis circulus habens dimetietem aequalem ipfi d. faftigiu vero jquale altitudini dati folidi a. aequalis exiftit eidem dato a. folido. Et quia ex hypothefi tres redtae lineae bdc.funt cor tmuepportionales, £d extrer ,— marum bc, ratio eft vt xi, ad d xiiii, igitur per corolariu pror *~• politionis xix, li, vi. elemen, quadratus ipfius b, ad ipfius d, quadratum eft vtb, ad c.id eft vt xi.ad xiiii. At perfcciindS propofitione li.xii.eorunde elcmentoty. vt quadratus ipfius b, ad ipfius d,quadratgjfic circulus circa diametru b,ad circulum hii iuxt» dimetientem d, hoc eft ficut b, ad e. feu vt xi.ad.xiiii, At per pmiiTum theorema.Circulus circa dimetiente b.ad quadra tumipfius b.rationem habet quam xi.adxiiii. Igitur quadrat9 ipfius b, aequalis eft circulo iuxta d. dimetiente per fecundam partem propofitionis nonae li.quinti elementoru,ad quas eade eandem habetrationemipfae funt aequales. Ex hypothefi aute quadratus ipfius b.aequalis eft baft dati a.folidi.igitur circulus iuxta dimetiente d.aequalis eft, eidem baft dati a.folidi. Et quo* nia fub aequalibus faftigiis exiftetes folidum parallelepipedu atqj cylindrus adinuicem fefe habet vt bafes, Igitur cylindrus habens bafim aequalem circulo circa diametru d, faftigiu idem altitudini folidi a, aequalis eft eidem a. folido parallelepipedo. Igitur cylindrus fub eode faftigio datur aequalis dato a, folido parallelepipedo quod oportebat efficere. fAppendix nona. Daco cylindro fub eade altitudine foa lidum gquale parallelepipedu dare. Sit datus cylindrus abcd,cui9axis feu fa* ftigtum ab.bafis aute circa cd.diametru circulus.Et fit cd. ad e, redam lineam vt xiiii.ad xi. SC inter cd.e.media proportio nalis efto f. Aio q> folidum parallelepipe dum cuius.bafls gqualis quadrato ipfius df.altitudo autem ipfi' ab, exiftit aequalis, aequatur dato abcd.cylindro. Et quia ex hypothefi tres recte lineg cd.f.e.funt co< tinue proportionales, igit per corolariu propofitionis xix.libri vi.elementorum Euclidis quadratus ipfius cd, ad ipfius f. quadratu eft, vt cd. ad e, feu ex hypothefi ficut xiiii, ad xi. At per theorema fupra demonftratum fic quoqt exiftit quadratus ipfius cd.ad c/rculu fibi inferiptu feu ad bafim cylindri ab.c d, igitur eadem bafis aequalis eft, quadrato ipfius f, per fecunda partem nonae propofitionis li.quintieleme.adquas tn agnitu* dines eadem eandem habet ratione ipfie funt aequales.Et quia cylindrus 8C folidum parallelepidedum fub eifdem bafibus 8i faftigus funt aequales. Igitur folidum parallelepipediJ habens bafim aqualem quadrato ipfius f. Si faftigium idem ipfi a b.ell aequale dato cylindro abcd. Dato igitur cylindro fub eodem faftigio datur squale folidum parallelepipedu, quodoportuic efficere, Appendix decima. Datum cylindrum in cubum conuertere, ideft dato cylindro squalem cubumdare. Perpcedens igitur problema fub eo; dem faftigio,squale dato cylindro folidumparallelepipcdum conftituemus,cui deinde per fecunda appendicem squalis cu< bus dabitur.qui etia dato cylindro squalis erit ex comuni fen; tentia, Qus vni squanturinter fe funt squalia.Dato igitur cy; lindro squalis cubus datur quod oportuit oftendere. Appendix vndecima. Qtiod radii folares apud terram paralleli appareatoffende; re, Siue acentro Colis, fitie ab aliquo alio pundoin fuperficie folis duo egre dianturradiiab.b c, atejj exiliis sepia; les auferantur, ab. bc* eorumcp vtcrqt per squales feceturpartes velut ab.in ad.de.ef.fc.6iia c.inai.ih.hg.gc. Et connedlant di.e h.fg.b c, ipfs funt ads inuicem paralleli.per fecunda propofi tionem libri fexti eleme, Eu, Et iccirco triagulaadi.aeh. afg.abc.funtlimi; lia Si proportionaliu latera per propo. ilii, eiufdem li. vi.igitur vt ae, ad ad.lic eli.add f. Ex hypothefi' aute ea, ipfius ad.dupla eft.igitur eh.iplius di, dupla, Rurfus vt f a.ad ae, fic fg.ad eh.g co; cb ftrudtionem aute ratio ipfius fa, ad ae, fefqualtcra eft igitur ratio ipfius fg, ad eh. fefqualtera atqj ideo minor ratione ipfius eh, ad di, Prstereab a.adaf.exiftit fefquitertta ex hypothefi', ergo bc, ipfius fg. eft fefquitertia. Qiiade reipfius bc,ad fg.ratio minor eft ratione ipfius fg.ad hiii .eli.quatniinor-exiftit.vtipatuitratione ipfiirs ch.ad di: Igitur be. rg. magnitudine minus differre uitdenturipfis fg.e h.arqp fg.e h, magnitudine minus apparent differre ip fis eh,d i, Si itaejj radii ab.ac, ad terram vfqjprotendantj&quopipinqinus telluri accefferint eo magis ex iam oftenfaratione apparebunt paralleli.Nam circa terram duorum radioru ab vno (olis pun* do procedentium aequales particulas reda: lineae coiungentes infenfibiliterae pene nihil differre magnitudine videbunt per xxxiiii, propo,igiturli.i.el e. qua; parallelas 8t aequas nedunt ipfae funt aequales. Ergo radii folares iuxta tellurem paralleli penitus apparent, IDEMALITER experimento fic patebit. Sint duo ob< feruatores folaris altitudinis iduo; bus locis fub eode meridiano, atqj inter eadem loca itineris fpacium ab.fit mediocre vtputa tricentoru aut quadringentoru paffuu.Et tem pore meridiei ad cade loca duo a, b, bini incidet radii folares ac,b d, quib5iidem obferuatores in locis *beab. conftituti eodem meridiei mo< meto aftrolabis aut fciotheris ean« dem prorfus muenient folis altitudinem, fic vt angulus cae. jequalis erit db e, angulo. Per diffinitione namcp folaris altitua dinis vterqj eorum atqualis cft altitudini folari eodem meridiei tempore in locis ab.depraehenfie.Eftaute ab e, linea meridia* na,quat in comparatione ad totum telluris ambitum areda in* fenfibiliter differt. Et quonia in binas redas lineas ac,b d.rcr daincidens linea abe.angulum exteriorem dbe.facit aequale angulo cae.oppofito £c ex eadem parte igitur per propofitio* nemxxviii.libri primi elemen.duo radii ac, bd. afole eiufde momento temporis egi;cdientes funt paralleli. Radii igitur fos Jares apud tellurem apparent paralleli quod oportebat dido experimento demonftrare. Verum fumptis fub eodemmeri* diano locis ab, quae magno aliquo ac memorabili fpacio difte* certae velut quinqj milibus paffuu ac maiori itineris interaallb eac,d be, anguli fenitbili quadam magnitudine differre cem* periuntur, Meridionaliorifqt loci angulus maior femp cxiiht borealioris angulo. ,fAppehdix duodecima. , Speculum concauum cocauitate parabolica,quam deferibit parabole circumacta defixo eius axe,Colum atota cocauitatis fuperficie folis radiis ad vnum pundlum axis refilientib5igne incendit. Eandem aute concauitate oportebit fieri ab ea piraa bole quae in redtangulum et ercdlum incidit conS,qualem quic dem parabolen vndccimu elementu deferibere docet.Et quia radii folis prope tellurem paralleli funtperxi, appendicem. Ideo ipfi cadentes in fpeculum concauum parabolicacofauis tate ab earefultat ad vnum tantu pundlum, quod iuxta demos ftrationem authoris libelli de eodem fpeculo, diftat avertice poraboles, qua idem fpeculum fuit cauatum, quarta parte las teris redii eiufdem paraboles. At in fpeculis cocauis coneas uitate fphaeriea radii incidentes ad diuerfa pundla. axis ciufde fphatrx £d a lingulis dumtaxat circulorurn circumferentiis in eadem fpharica cocauitate deferiptoru refledluntur.velut Eu< elides de fpeculis illis oflendit.Ergo fpeculum concauu coneas uitate parabolicaforcius celeriusqjincenditfpcculo fphxrico. Q_ui deniqj fpeculum parabolicac concauitatis prseparare ve* Iit,huic neceffaria eit cognitio vndecimi elemeci conici,quo taa lisparaboledefcribi docetur,Hanc itaejj appendicem praecede* ti operi libentius adieci vt perfpicua efficerem eOrunde elemes torum comodiifimam vtilitate,mecp inillis sciendis calamum liaud fruftra triuilfe. COMMENTATIO ET PARAPHRASIS IO. annis Ver.Nurem.inDionyfodori&ldioclis problema fuper fedione fpharae fub data ratione. Theorema primum, Mnis fphsrs eurus fu. perficiet, squalis eftcir culus cuius que ex cen. tro sqlis fuerit axi fp rs. Sit data fphsrs abc.axis ac. centru d,Aio q» circulus cuius qus ex centro squalis extiterit axi ac, squalis eft eurus fuperficiei data fphsrs.Efto igitur eiufdcm fphss rs maximus circulus ab c, cuius diamer eft axis a c.per diffinitione maximi in fphsra circuli, atqi ipfi ad.qus ex cetro orbis abc, aqua, lis reda linea fumatur efiatq? fug eam conftruat trianguluredangu. Ium efg.cui9angulus feg, redus f/t.squale quidem ares ipfius cir. culi ab c.igitur per id quod Arebis xnedes oftedit de quadratura circus li eg. squalis eft circumferentis a bc, Prsterea ef. eg, producantur vfcjs ad hk.fitqj fh. squalis ipi ef, &gk. squalis ipfi eg.Connexaq; hk,erunt duo trianguli efg, ehk. atquianguli. Nam per fecunda qt. politionem li.vi.elem.Eu, fg, hk. paralleli inuicem exiftut. Ideo ra. tio ares trianguli ehk, ad aream trianguli efg, eft ficut ratio ipfiu* hc,ade f, duplicata per^pofitione xix. ii. vi, elcm, Eu, dupla autem ratio duplicata,quadruplam conftituit, ergo triangulu e hk, quadrupla ipfiirs efg, trianguli cxiftit. Rurfus Archime^ des de fphaera Si cylindro demonftrauit,quod fub h e g, rectam gulu atquale fit fphatricie fuperficiei fphaera; abc.datae.adqcP fubheg.reiftangiilS ipfius ef g,trianguli quadruplu eft,quo* niacius quod fub fge, duplum per i. pro.Ii.yi.E, &T quod fub feg.duplumeftipfius efg.trianguli per propo, xli,li,i,ele. Eu, dupla autem ratio duplicataquadruplS conftituit ratione. Igitur quod fub heg, quadruplu eft efg.trianguli, fed eiufde trianguli efg. quadruplus iam pridem oftenfus fuit triangu* Ius ehk, igitur triangulus ehk, tequalis eft cuniat fuperficiei fpherse ab c. Et per ea qux Archimedes demoftrauit de quas dratura circuli triangulu ehk.aequale eftcirculo,cuius qua: ex centro fuerit aequalis ipfi eh.Eft autem eh.aequalis ipfi ac,axi fphatrae datae a bc, Datjigitur fphaerg curuae fuperficiei abc, aequalis eft circulus cuius qua’ ex centro aequalis exriterita c, axi ipfius fphaere abc, data,quod oportuit demonftrare, Corolarium. Inde liquet gibberofam fphaerj fuperficie quas druplam efle aree maximi in ea circuli. Theorema fecundum. Conus habens bafim cuius quae ex centro ^qualis qtiide exiftit axi ,faftigiu aute femidiametro fubietftae fphter^,aequaf eiufde fphare cotinetic.huius theorematis dcmonftratio,quia tum ab Archimede cum aquibufda aliis fatis fuperqj fuerat enarrata. Ideo mpraefentiaru iure optimo relinquitur. VTDionyfodorus, Datam fphaeram plano fccare vtipfius fegmenta rationem adinuicem habeant datam. Sit data fphaera cui’ diameter ab, data aut ratio cp habeat cd, ad dc, Conuenit nepe fecarc fphpr.i plano retfto ad ab.vt fegmentu cui5vertex a.ad fegmecu cui9vertex b.ratione habeat qj cd.ad d e,,pducat ba.inf.ponaturcp ipfius ab,dimidia af.Et £p habeat rationem' ce.ad ed, eandem habeat a f,ad ag.fitq; ag, adretftos angulos ipfi ab.Etipfarumf a.ag, media proportionalis fumatur ah, maior igitur ah.exiftit quam ag.Et fi circa axemfb, deferipta fuerit parabole cuius ftrucKm deduda: pofltnt ad ac;, ipfa paa robole ibitper h.pcr conftrudione atqj percouerfionem quini (i aut fexti elementi conici, quonia per propofitione xvii, libri vi.elc.Eu.quod eft fub fag. jequale eft ei quod eft ex a h,Dei fcribatur itacp parabole hcc per.elementu conicu xi.fitqj fh1k &per btraducatur ipfi ab.ad rcdos angulos bk.fecans para; bolenfh 1k,in kfigno.Et per gcirca non coincidentes fb k.g xxi, elementu conicu defcribatur hyperbole g1, quae nimirum fecabit parabolen inter hk.fccet igitur in 1.8C ex 1. in ab. peri pendicularis ducatur 1m.SC per gI. ipfi ab. paralleli agantur gn,l x, Quonia igitur hyperbole eftg l.non coincidentes aute abk.Et paralleli ipfis agn.funt ipfie m1x.igit tequale efl: qi fub agn.ei quod fub m1x.per odauu thcoremaideft pra;cep< tum fecundi lib, Apollonii conicoiy elementonqfeupxxii, ele. libelli de elementis conicis. Atqui gn.ipfi ab. eft aqualis lx. aute ipfi mb.ergo quod fub 1mb.aequale efl: ei quod fub gab. Et quonia per propofitione xvi.Iib.vi.ele.Eu. Quod fub extre mis eftatquale ei quod fub mediis quattuor.reda; linea; funcqM portionales.eft igitur vt 1m,ad ga,ita ab.ad bm. Et vt igitur vero queArchimedes St Dionyfiodorus demonftrartmt.Con9 habens bafim circulum cuius qua ex centro aqualis extiterit ipfi ab, altitudine vero ipfi ac.aqualcm data fphara par exr iftit.Similiter quocy conus habens bafim cfrculu cuius qua ex centro ipfi br, iuerit aqualis altitudo vero rh, aquatur eiufde fphara fegmcnto cuius vertex b.faftigiu autem br, Igit.data fphara ad fui fegmentu cuius vertex b.faftigium autem br.cft ficutd f.ad fc.SC dirimenti igiturdata fphcra fegmentu cuius vertex a, faftigiu autem ar.adeiufdem fphara fegmentu cui* vertex b.culmen autem br.exiftit ficut de, ad efData igitur fphara plano per r, veniente, atqj ad ab.dimetiente recto fub data ipfius de, ad ef.ratione fecatur,quod oportebat efficere. IOANNfS VERNERI NVREMBERGEN, De motu odraua fphara tractatus primus, qui triginta quattuor cum theorematibus tu problematibus quapropoftuones libuit appellare con; fummatur. PROPOSITIO PRIMA. HRium fixori! fiderum bafilifei qui alio nomine cor leonis diciturArifta 8C lancis auftrinaex diligenti eorum infpeSlione farti prope annos domini conw pIctos If14, declinationes ab aquatore numerare. Anno itaq; redemptionis noftra incoplcto [f14,die prima der cebris idell poft meridiem vltimi diei nenembris horis Id. mu nutis 5o, diuerfis feu no gquatis propenfiori quada infpertioe per regulas Ptolemji Nurembergfconfideraui fixum illud fir dus quod agracis bafilifcus, alatinis regulus &aneotericis cor leonis dicitur,quando idem fidus meridianu polfederat,inr ucniqj illud avertice orizontis remotu gradibus Jf, minutis primis ld.ferc.Suppofita igitur latitudine Nurcmbcrgen.gra. 49,mi,Z$,s,3o,fere,quata*meatcpap1erifcp huius oeui confla deratoribus inuenta. eft,erit decimatio igitur feptemtrionalis ciufdem fixa fideris hoc eft ipfius bafilifci gradtiu 16. mi. prii inoris 7,s.Jo fere.Deinde eodem anno lfi4.incompleto die id. decembris in antelucano ante ortum folis hora vna minutis primis +,feretionsequatis perregulas eafde deprehendi Arii ftamavertice Nurembergen,elongat5gra,f7.mi,f3,fereergo eademlatitudine Nurembergac fubieda /decliuatio Auftrina ipfius arifiq exiftit graduu8.primaru minutiaru zp.fecundaru 30,Praeterea anno domini if tf.incompleto die nona Aprilis hoc eft in nodlequte praecedit diem nona aprilis comperi mei ridiana diftantiam Auftrin^ lancis avertice orizontis Nuremi bergac fuilTe graduum 63. primorum minutoru z. Ergo meridi ana declinatio auftrinae lancis effet hoc tempore fere graduum lo.primoi? minutos SS.s.Jo, Eorundem denicp fideru eafdem verticales meridianas elongationes pluribu; antefatftis ini fpediionibus depra-hendi.igitur compertis declinationibus fii dem tribui indubiam, PROPOSITIO II, Eorundem trium fideru ideft bafilifci Ariftat atep auftrina lam cis veras in zodiaco longitudines muneratioe datas exhibere juxta preferiptione itaqj theorematu tertrj libri quenr fcripfi de triangulis fphaericis pro quolibet triu horu fideru vero in Ioni gitudine zodiactlpco comperiendo, imicniendi funt numeri quattuor proportionalcs,quorum quartus cftfinus verfus feu iuxta alios fagttta fiue cufjl/s diftatite fideris acapite feu initio cancri, Sitqj inprimis intentio vera ar/ftain zodiaco longitui dtne coputare.Suppofitaitaqj maxima folis declinatione grai duutn zj.minutoi? primos zg.fecundoq? 30,Atcp ipfius ariftz fubieda meridionali latitudine graduu.z, Igir iuxta prtecept/i ones theorematii prsedidli tertii libri fphaeraliu triangulorum memoratae proportionis primus terminus inuenitur 39glod7, Secundus I000O00P. partium femidiametri zodiaci,Tcrtius f,Ef quia per propofitiohem xvi, lib. vf.aut per propoli tionem xix,iib, vii.ele,Eu,Si quatitor nueri proportionales fui erint,qui cx primo quarto fit arquus eft ei qui ex fecundo 6C tertio. Igitur praedicte proportionis fecundo tertioq; termino fimul adis &C producto per primu diuifo dabitur eiufdcm pros portionis terminus quartus earundem parriu Iz?ofEO. quaru femidiameter zodiaci fubiicit efle lOOoOOOO.dato itaq; quarto termino fublatis ICOOOOOO, partibus diametri zodiaci ,rcraa; nent partes zjofEO.finus videlicet retftus graduu 5C minutias rumquibus Arifta feu fpica pro annis domini Ifiq.completis remonetur ab initio figni librg.per tabulas itaqj finuu haberes finum maximi! partiuiooooooo.prsedidtofinui recto compes tuntgra.xvi, prima mi.liii. fecunda xix.quae de fignolibrae.ans nis domini if14.completis arifta pertranfiit, per eadem deniep theoremata ciufdcm lib.iii.fph^raliu triangulo^ bafilifc9feu Cor leonis inuenituringra.xxii.mi.primis xliii.leonis. Atque lanx meridionalis in gra.viiiminutis primisxiii, ftgnifcorpii. PROPOSITIO III. Fixa fidera ab aeraPtolemari vfcp ad annos domini completos Iflft.mota fuifte fecundum fucceffum fignoi? zodiaci gradib* xx.mi.primis xitCfecundis xix.fere.Ab aera autem Alfonfi re gis Canalia: feuHifpaniarum vfqjadpraedidtos annos domini If Ift.compktos mota fuifte iuxta eiufdcm zodiaci longitudis nem gra.iii,mi. primis v.fecudis xix.Ab aera denicp Ptolemaei vfqj ad Alfonfi regis aeram gra.xvii.mi.primis viii.ita perfpis cuum fiet.Nam Ptolem^us deprathendir ariftam ftella ingra. xxvi.mi, primis xl. virginis qua: fi detrahantur avero loco ans nis domini ifift .completis obferuato,videlicet a,gra. xvi.mi, liii, s.xix ,librae relinquunt gra.xx.mi.xiii.fecunda xix. prars tcreainaera Alfonfi regis, verus arifta: loc’ deprachenfus fuit in gra.xiii.minutis primis ftg.libr? quibus fi dematur verus lo cus arifta: Ptolemfi tempore compertus, relinquunt gra, xvii. mi, prima viii, quibus fixa fidera ab aera Ptolemd vfcp ad Ais fonfi aeram mota fuerant.Si demu verus locus Arifta: tepore Alfonfi copertus detrahatur vero eius loco annis domini ifiq. completis obferuato refidebunt gradus ,iii, minuta prima v. fecunda xix.quibus fixa fidera atempore Alfonfi regis vfque ad annos domini completos l'f i4.Idem deniqj liquebit ex ve; ris locis Bafilifci feu cordis leonis atq; lancis meridionalis qui pro aeris Pcolemp Alfonfi 8Cannis domini 15-14. copleds ob; icruati fuerant,Libentius autem elegi ad mfpieicndu confide; randumue fixorum fideru lioi$t vera in zodiaco loca,quoniam ipfa modicae funt latitudinis atq; folis orbitae proxima, necno magnitudine &: lumine confpicua, iccirco eadem fidera nedu mihi verumetiaprifeis illis eoi^ infpedoribus ad confidcran; dum vera ipfoipin zodiaco loca reliquis fixis fidelibus longe ampliorem certitudine praebuerunt. Et quia in motu quem ab acraPtoktnei.vftp ad annos domini if14. coplctos perfedffe deprtehendunt.adinuicem concordantjdeo lioijz fideru obfer; uationes certiorem milii de fe fidem reddiderut. In hac tamen arbitror confideratione bafilifco atqj auftrinae lanci praeferen; dam eiFc.atq; maiorem mereri fidem, arifta: confiderationem, quoniam verus arifta: locus in zodiaco propior eft autumnali «cquinodHo iuxta quod zodiaci partes in fuis ab aequarore de; clinationibus .maioribus adinuicem differentiis augentur, qua figniferi partes quae ab aequinocftiorum pundlis magis abeunt zodiaci namcp partes quanto acquinotftialibus pundis extite; rintpropinquiorcs.tanto maiores differentias ipfaru ab £qua; tore declinationes remotioribus obtinebunt partibus atq; pau cioribus figniferi Tegmentis, maiores dcclinationu periferias competere neceffe cft. PROPOSITIO IIII. Quibus temporibus Claudius Ptolemcus alexandrintts ,atcp Alfonfus Caftiliae Hifpaniarucp rex vera fixoru fideru loca co; pararunt offendere. Idem Ptolemcus in libro odlauo fuae ag« gregationis feu magne conftrudh'oms,enarras,fadla afe quan; dam confideratione regii fideris quod bafilifcus grxee feu re; gulus latine dicit quod etiam apud neotericos aftronomos cor leonis appel!ac,ait qd1anno fecundo Antonii menfe phormu; thi qui apud Aegyptios odtauus eftqiono die eiufde menfis oc cidente fole in AlexanSria poft meridiem horis v. 6(media equalibus,poftrema parte geminoru coeli medium occupante. per elongatione lunae, ab eodem bafilifco armillis fuis depra:* henfam comperifle quod idem fidus quod regulus feu cor Ico* nis dicitur fuum verum loeu in zodiaco tunc habuerat in gra* dibus ii, minutis xxx.lconis.Eodemdeniq! momento veru lo* cum folis Ptolemaeus numerans inuenit in gtad.iii, primis mi* nutiis xxiiii.iigni pifcium.vifumdeniq) lunae locum ingra.v. mi.xx, geminorum,poft dictum videlicet occafum folis. Quae quidem loca folis luna: acciderunt refpedu meridiani ale* xandrini anno dominica: incarnationis Ifo.incopktopoftmc* lidiem diei vigcfimifecundi februarii horis quinqj minutis pri* mis vnius hora; xxx.Igitur liquet Ptolemarum vera fixorum fiderulocain zodiaco comparaiTe anno domini lncqpleto Ifo, ad diemxxii.menfis februarii Rhomani calendarii.Ex tabulis autem AI fonfi regis de differetiis aeraru perfpicuum fit, diffe* rentiam incarnationis noftri faluatoris &Alfonfi regis eife bi fextiliu annoR’ izfl.Sf dieru ifz.quibus copletis idem Alfon* fus vera fixoip fiderum in zodiaco loca verificauit.Perfpicuu itaqj eft,quo tempore Clau.Ptolemcus loca fixoi^t fideru in zo diaco coparauit.Sfquo Alfonfus caftilie rex,quod decuit often dillc. PROPOSITIO V. Sidera non erratica atempore Ptolemaei vfqj ad Alfonfi regis aeram velocioris fuifie motus qua ab acraeiufdcm Alfonfi re gis vfqj ad annos incarnationis dominicf if14.completos ,fuc* cindiim oftendere. Et quia velut oftenfum eft Ptolcmanis fi* xorum fiderumloca verificauit annis Rhomanis feu bifextili* bus adominica incarnatione completis I49.diebufqj liii.EtAl* fonfus eadem loca vera fixoi^ fiderum coparauit annis bifex* til ibus ab cade incarnationeizfj.&l diebus ipz.copktis ergo Ptolemari Alfonfi aeraru differentia erit bifextiliu annorum llOz.Sf dierum p9,Declaratum deinde fuit, ipfa fidera non er* ratica,ab Ptolemari aera vfqj ad AI fonfi aera motafuiffe gra, xvii, minutis primis viii.de quibus fumpta particula, quanta funt anni centum de annis IIOZ.& diebus Pp.perfpicuC erit fi* xa fidera ab aera Ptolemaei vfcp ad Alfonfi aeraincentu qui* kiii bufqj annis mota fuiffe gradus i.mi.primis xxxiii,fere, Prretea rea ab Alfonfi aera vfcg ad annos domini m4,completos tran. fierunt anni Rhomani feu bifextiles zdz, dies 213, &: vel ut pa« luit fixoi* fidera in zodiaco motu inter Alfonfi regis aeram et annos domini 1JT14 copletos extitiffegra.iii.primoip minutoip v. fecundoipxix,De his itaqj fumpta portione,quanta funt aiw niIOO.de annis zdz,diebus z^.Conftabitftellas non erraticas, inter Alfonfum& annos dominica: incarnatiois Ifiq.complc* tos motas fuiffe in centenis annis gradu i, proxime minutis primisx.At iampatuit eafdem ftellas inter Clau. Ptolemteum SC Alfonfum regem motas fuiffe in centenis annis gradu vno 6C primis minutiis xxxiii,fere. Igit liquet fixa fidera inter Pto, &: Alfonfi aeras velocioris fuiffe motus qua inter eundem Ab fonfum fid annos domini Iff4,complctos, quod oportebat ha* dfenus demonftrare. PROPOSITIO VI. Fixorum fiderum in (Ignifero motu quadringentis fere annis ante Ptolemaei aeram pene fuiffe vniformem SC arqualem dc<= cl arare. Id Ptolemaeus in fua magna conftrudlione de motu ftellarum paff moftendit/ixa videlicet fidera antefe fuacn de illis obferiratione per quadringentos fermeannos inquibtifcR centenis annis mota fuiffe fingulis tantum gradibus. Si itaqj fi xorum fideru motus per quadringentos annos in fingulis an# noru centenariis fingulos perfecerint gradus.Confeques itara eft eundem hxoija fiderum motu ante PtoI erneum per quadrin gentos annos fere vniformem 8Csqualem extitiffe PROPOSITIO VII. Q_uod ad faluandam iam oftenfam in motu fixorp fideru diuer fitatem neccffefit fubticere in concauitate decimat fphaerte dua os paruos circulos aequales 8C per diametro mundi oppofitos quoiij poli feu vertices confiffant in ecliptica eiufdem decima: fphatraefin quibus quide paruis circulis duo puncti fuper eclfc pueanonx fpha:rar, item per diametro diftantes reuoluantur perfpicuum efficere. Sit ecliptica decimte fphxrte abcSC mundi centtu d,polus eiiifde eclipticae fignue.&Tpolo b.ligno defcrlptus efto alter duos^ par e uoru circulos)! afc.EtquiaeX hipochefib.po Ius parui circii li arc.tonfiftit <1 in ecliptica ab c.quc tnaxim’ eftifphaeracir culus igit per teorcmataThe odofiiin phces nomenis,eciip fica ab c. bifas riam fecat par utim circulum afc. ad eius planu erigitur, Semicircul9de inde a fc.diuidue feretur in f.atqs ex quadrante af.circa af.iig na,dux equalcs auferant fedliones feu periferiac ag.fh.atcp iti cclligam” alterum duos)! ex mundi diametro diftanfiu pun&os rum eclipticae nonae fphterte aequaliter motreri in circumferens tia parui circuli a f c.ab a,in g.atcj; ab hin f,& per e.polu atque per fhg, figna,fuper ecliptica abc. maximos); orbiu quadrans ces defccndant efb.e h i.e gk.quorp planoip pl ariiq; parui cirs culi afc.comunes fcdliones fint fI.h m.g n.redaqqux ad pias numeclipticg abc,criguntur,per prop.xix.lib.xi.de Eu,quo* nia pcreiufdcmTheodofii theoremata in phaenomenis, quas drantu cfb.e hi.e gk. Si parui circuli afc. plana ad eclipticae abc. planumfunt crcfta.ComUnes denicpfcdioncs planorum quadrantum efb.e hi.e gk. pl aniqj ecliptica: abc.cnmt d1b, dmi.d nk.Connexaq; ad.exg h.fignis ad fl, perpendiculares -agantur go.h p. Et quia per conftrudioncm ag.f h. fegmenta funt aequalia, igitur gn. hp.funt aquales, dimidia namqt funt bafium fubtendentium dupla ipfoqr ag,fhfcgmentoq;, Et qa ex comuni fententiafi aqualibus iungant tequalia 8dc,a h,fg, circii inferendae funt aequalcs,cadem igiuir ratione hm, £d go. funt aequales ,quia tequaliu circumferentiam dupla fubtenderu tium dimidia exiftunt. Et quonia per propo. xxxiiii.lib.t.ele. Eu, parallelogrammotp locoqt latera quae ex oppofito £d an* guli aequalia funt ad inuiccm,igitur ex comuni fententia.Qu^ vni funt aequalia Sdc.l p.aequalis eftipfil n,8d ph.ipfil m.atq* lis.Rurfus ex communi fententia.Si ab squalibus auferantur sequalia,quae rclinquuntur^quliliafunt an.fid fp.ad inuicem aequant.At per prop.vii.lib.iii.cle.Eu.h p,maior eft,cp fp.igit aqualis 1m.maior eft qua fp.hoc eft maior qua an. Atqui per prop.xix.li.i.elc.Eu.Omnis trianguli maior angulus fub ma* iori latere fubteditur. Et per conftrudione feup propofitione xix,£d diffinitione fecundam lib.xi.ele.EucIi.al d.angulus re cius eft,ergo dI. minor eflrcjjd m.Sd dm.minorquamdn.Edad maior qua dn, multo igit fortius ad.maior erit qua dm, Sd dn maior qua dl.Eft auteml m.velutpatuitmaiorquaa n. Igitur angulus 1dm.maior eft angulo adn.Et quonia per xxxiii.feu vltima propo.lib.vi.ele.Eu,inaequalibus circulis anguli ean* dem habent rationem ipfis circumferetiis in quibus deducunt Sdc.ergo in ecliptica abccfrcufercntiab i.maiori angulo bdi» fubtenfa fuperat circumferentia ak. minori angulo adk. fub* dudlam.Et quia tempus quo in paruo circulo a f c, affumptus punilus eclipticae nome fphaerae mouebit ex ain g. a-qualc eft temporiquo-cx h.in f.moucbitur. At maximus circulus per po los eclipticae decimae fphaerae,atqj per affumptu pundlum eclif pticae nonte fphaTC tranfiens, per idem tempus, quo affumpt9 pundus ecliptica; nonae fphyae monetur ex a,in g.defcribit fu per ecliptica decimae fphenc circumferentia ak. atcp tempore quoidem affumptus pundus exh.in f,moueturidcmmaxim!’ circulus pertranfict in eadem ecliptica decime fphaerae perife* riamb i.quae velut oftenfum fuipmaior eft qua ak. Ergo fub* iedacalirenolutione in circulo afc.affumpti pundi ediptiese non* fpfiser^neceffe erit motumfixorum fideram aliquando efTe tardiorem,interdum vero velociorem,Et quonia vejut det monftratum fuerat,no erratico^ fiderum motus prsteritis ff* culis Si temporibus,aliquando tardtor,nonnuncp vero veloci* or extitiffe copcritur,ergo ad faluandam talem in motu fixolg fiderum diuerfitatem neceffe eft in concauitate decime fphaerg fubiicere duos paruos circulos permundi diametrum oppofi* ros quoqt vertices feu poli fuper eadem decima: fphier^ eclip* tica confiftant,in quibus quidem paruis circulis duo pundii fu* per ecliptica non* fpli*rt per diametru item diftantes reuols uantur,quod oportuit demonftrare. Lemma fiue affumptum. Sed ne quepiam hefitadi fcrupul’ vrgeret ad dubitandu de du ob9angulis 1dm,adn. vter eotp altero maior eiTec,ergo libuit manifeftius oftendere angulu ldm.elTe maiore ad n.angulo, producantur itaqjdujred^ linee! q.m q.ad idem cj, pundum coe5tes,fitqj 1q.atqualis ipfi dn,8£ mq. aqualis ipfi ad. Et §ni* am vti patuit 1m.maior eft quam an,igitur per propofitionem xxv.lib.i.ele.Eu. angulus adn,minor eft 1qm,angulo.At per conuerfione propoiitionis xxi,li,i,ele,Eu.idem angulus lqm, minor eft 1dm,angulo,ergo multo amplius minor eft adn.an gulus ipfol dm,angulo,quod oportuit dcmonftraffe. Corolarium primu. Hinc perfpicuu eft, motu fixorum fides rum tardiore exiftere,aftumptis duobus eclyptic* non* fph* rat pundis Si reuolutis prope fedfones ecliptica: decima: fp li£ rte Siparuory c/rculoty conftitutis ,eundem deinde motum efle vel ociore,eifdem pundis prope fummitates paruoiy circulo^ collocatis verfatisqt. Corolariufccundu.Indeetiamanifeftu eft,quod cu vnus pundus eclipticae non* fphrera: fuerit in me dictate fui partii circuli fcptcmtrionali, alter per diametru ops pofitus erit in medietate fui parui circuli meridionali Si ccon a Et fi vnus eorundem pundotjt fuerit in cSmuni fedione eclip ticx decima: fphxra-,8f parui fui circuli orientali, alter conftis tuetur in fedione eiufdem eclipticae Si parui fui circuli oriens tali 6C econcra,quonia reuolutio hoqt pundoqt fuper fuis pars trfs circulis tequalis atcj vniformis fubiicitur, Corolariu ter< tiutn fuppofitis fupradidlis paruis circulis duobus/uperqufi bus duo pundli eclipticae nona: fphaerte per diametri! oppofiti reuoluUnthr,liqitet fcgmentu eclipticae decimae fphana: alteri’ paruoi^ ctrculoi^ circumferentia cSpraehenfum maxima effe differentiam,qua Alfonfinae tabulae aequalis diuerfiqi motus fi xorumfiderum aequationem vocant, PROPOSITIO VIII. Motumfixoqtfideru,que longiores propiorefcj! longitudines folis mercurii veneris triumqj fuperioip comitantur, aequalem in centenis annis no bifextilibus vnum perficere gradu in zoi diaco fecundu fignoqt fucceffionem, Idmanifefte liquet libro nono magna: conftrutffionis Ptolemai, praecipue in eo capite, quo Ptolemaeus offendit longitudines longiores propiorefqj merourii, fixorum fidera comitari motum, dC quemadmodum fixa fidera in quadringentis annis motu fuo quattuor perfece^ rant gradus,ita quoq? oftedit,mercurii longitudines longiores propiorefa in quadringentis annis quattuor tantu gradus moj tu fuo perfcrilfe.Idem quocg Ptolemaeus in lib, vii.magnae fug conftrucffionis ,offendit ftellas fixas antefua confideratioliem de ftellarum motibus,centenis annis fuo motu fingulos perfe* ciffe gradus, atcp quadringentis annis aegyptiis quattuor tan\ tum gradibus mota fuilfe.Et quonia continuo quadringentos annoipfpacio,fixorum motus fideru fcmper vniformis aequae iifcp extiterit,ita vt irt centenis quibufqj annis fingulos perfer cerit gradus. Ergo liquet fixa fidera aequali tantumotu fuiffe mutata,diuerfocp motu caruiffe,aut fiquem diuerfum habuerit motumillum admodu paruu ac ferme incompraehenfibile ext titilfe,atqs eundem motu fixorum ftderum per quadringentos Sfnonbifextiles annos pene extitifle tardiflimS, Vnde haud difficulter inferri poterit,fixa fidera squali motu, fingulis arw norum non bifextiliu centenariis vno tantum moueri gradu, Gorolarium.Hinc liquet fixa fidera aequali motu jdOOO.ani norumnon bifextiliu vnajn complere reuoluttone. Nam lon* gitudo zodiaci $<Jo, habet partes ,&C ex iani oftenfis3quaelibet xii.igitur xii.figna totiens auferantur,quotiens fd fieri potent, reliquu deniq) pro fignoi? numero Tertiandum eft, PROPOSITIO XI. Commodas aptasqj fubicdliones,fixoi£motui fiderum plus rimum congruentes perpaucis explicare, PrimiS quidem fubii cere conueniet,q> poli paruoqt circulorum iint capita cancri Sd Capricorni ecliptica: decima: fphara,in quoip quidem paruoip circuloqr circufcrentiis,capita cancri Sd Capricorni nonafphjs ra aequaliter voluantur ita vt in aequalibus temporibus aequas pertrafeant periferias eorundem paruoqi circulorum. Deinde fubiidcndumeftcp poli eclipticarnonae fpbatraefemper manes antfub magno circulo tranfeunte percapita cancri Si capris corni atqj per polos ediptiq; decima fphara,ita vtpoli eclips tica nonafphara,quandocp accedant ad polos eclipticae dccis mafphara,nonnuncgab eifdcm recedant atqj aliquando fub ipfis conftituant.Poli autem aclipticanona fphara in maxis matime exiftuntremotione ab eiitiem polis aeclipticte decima: fphara quotiens capita cancri 8d capricomi nonafphara ca ftituunturin fummitatibus feti contadiibus paruoq: «rculoiy, atqjeiufdemaclipticanonafphara.Ettalis rcceflus fcu mas xima remotio poloqt acliptica nona: fphara apolis aecliptic^ decima fphara aqualis eft/egmento ecliptica dccimafphas r* quod eft: inter polos Si circumferentias paruoip' circulorir, polos dcniqjaclipticanona fphara conftitui necefTeeft fub polis aclipticadecima fphara quando capita cancri Si capris corni acliptica nona fphara conftituant fub fcdiionibus pafs uoq> cirmloqt arqj acliptica decima fp hara. Tertia fubies dio cft,q> planu acliptica orbis fixoqi fideru non inepte collos eat itra planu ^clipticgnona fphara,ita vt poli eiufde^cliptis ca orbis fixoru flderu,feu odtaua fphara fub polis acliptica nonafphara ppetuo maneat,Quarta hypothefis eft qi motus ftellarumnon erraticarum aqualis merito tribuendus eft odias ua fphara eiufqj acliptica ita vt huius acliptica cjlibet puris dius abinitio cancri vel capricorni nona fphara recedens ia m jdOOO, annoiy atgyptioru feti nonbifextilurm,ad idem cancri vel capricorninona fphter* redeat initium,Sd refpcdueiufde imm cancri vel capricorni, «qualibus temporibus aequas cir* cumferentias «clipticaenonae fpha-rc pertrafeat,Ex his deniqj diypothcfibus comitatur,q> motus apparens feti inmqualis on bis fixorum fiderum feu odauae fpham* accidit propter circum itionem capitum cancri 8C capricorni gclipticae nonae fphmrse fuper paruis circulis,quaquide circuitione Tebith 8d Alfonfi .tabulae nominant accelfum 8d recelfum feu trepidatione oda* uae fphacrap.qum etiam trepidatio nonnunqua iuxta, interdum vero contra fignotp fucce(Tionemprogredit,quadere eidem fixorum motui fiderum accidit quandocp effc tardo quandocp veloci.liquet infuper eundem motuftellarum fixaru componi ex aequali motu odau^ fphrerae, atqj trepidatione feuaccelfu fid receifu nong fph^rae fuper paruis circulis. Quinta fubic* dio effqcfhaud parii deceat,caput cancri nonae fphaer^in fep* temtrionali fui parui circuli medietate, fid caput capricorni in Auftrina ferri iuxta fignorum ordinem, in aliis autem medie* tatibus cocra fignorurn fucceffionem, Sexta hypotheiis eft qi differentia gqualis diuer* „flep feu apparentis motus fiderum nonerrantium ex iftit circumferentia aeclip* l —ricaderimg fphgvc ,inter eius paruicp circuli fuper capite 53 deferipti fcdio* nem occidentalem atcpinf magnu circulu per polos eiuldemaeclipticedecimae fptxpte nccnon per capita «3 SC ^'jclipticgnon^ fphgrg eun* tem compr^henfa.Qtia: quidem differentia in tabulis'Alfonfi «quatio odau« fphjrae nominatur. Liquet itacp diucrfum ap< parentemcp ftcllarum non errantiu motu conflari aggregatioe huius differentig ada-qualem ipfarummotu, Septimo pros pter variationem maxima; declinationis folis. in eius augmen? to SC decremento flipp onenda eft decima fphaera cuius fclipti; cae poli capimcp cancri 3f capricorni perpetuo confiftanr fub magno circulo per polos dC initia cancri SC Capricorni primi mobilis tranfeuntc.Et eiufdem decimj fphaer^ initia cancri ca; pricorniqj afeendunt aliquando ad capita cancri &C capricorni primi mobilis itavt fub eifdem capitibus conftituantur, non; nunqua vero ab aifdem recedunt,pari ratione poli ecliptice de cime fphaera: quandocp accedunt ad polos gclipcica: primi mo; bilis nonnunqua vero ab eis recedttnt,interdum deniqj fub eif; dem conftituentur. Ex praemiflis demum fubieclionibus co fequens fiqfignoipinitiumgcliptic^odau^fphatrg fub capite arietis primi mobilis perpetuo conftitui, Nam per praedidas liypothefes poli,quattuor eclipticarum odaua: videlicet fphe rac none fphcrc,decime fphgra: SC primi mobilis fub eodem co fiftunt circulo magno per polos &T capita cancri capricomiqj primi mobilis eunte,atcp idcirco comunis eorundem^diptica; rum aequatoriftp fedio femper vna cademq! cxiftit.Et quia co; munis veterum fententia genethliacoqt SC aftronomoiy,figno; rum initium id eft caput arietis ecliptic^ odauae fphatre pun; dus aequinodii verni exiftiqergo fignoqi principiu hoc eft ca; put arietis ecliptice odaue fphjr^ iuxta has hypothefes fub eodem firmamenti pundo,hoc eft fub capite arietis primi moi bilis femper perfeuerat. Liquet deniqj capita arietis SC libra; ecliptice nonjfph^rj accedere ad duo aequinodioru punda id eft ad capita arietis 8C libry ecliptice odauae fphjrj nonunqua ab eis recedere interdum cum eifdem conftitui, PROPOSITIO XII, Aequalis SC diuerfi motus ftellarum fixarum tres differentias videlicet inter Prolem^um SC Alfonfum,atqj inter eunde Pro; lemarum £b annos dominice incarnationis Ifi 4,perfectos, nec non inter aeram Alfonft atq; eofdem annos domini iflft.cople tos exhibere.Primu itaqj intentio fit dare differentiam aequalis diuerficg motus fixoru fideru inter Ptolemaei Alfonfiqj aeras. Per tertiam itaqjpropofitionem pcrfpicuu eft, pro earundem aerarum intcruallo ftellas fixas diuerfo motu de ecliptica feu figrufcro fph{t{ oclau{ perfeciffc gfa,xvii,inimita primaviif. arcp per x.propofitione earundem ilellarufixaru {qualis mot’ depr{henditur fuiffe graduu xi, minuti primi i, fecundo^ pror pexlix.quibus fublatis ex diuerfo fixorum fideru motu inter Pcolem^i Alfonfiqj aeras id eft ex gradib’ xvii,8f minutis pri< mis viii,relinquitur inter eafdemaeras diuerfi {qualifcp motus diffcrentiagra.vi.primo^t mmutoiji vi.fecundoqixi.Rurfus p eandem propofitione lii.conftatftellas fixas ab aera Ptolemji vfqj ad annos dominic{ incarnationis Ifiq.completos ex figi nifero odlau{ fph{re per motum apparente feu diuerfum moi tumconfeciffe gradus xx, minuta prima xiii.fecunda xix. De motu autem aquali per propofitionem x. gra.xiii, minuta pris maxxxix,fecunda xxviii, his ex apparente motu fublatis rei manent gra.vi.minutaprimaxxxiiffecunda 1i, differentia fcij licet diuerfi tequalifcp motus aPtolemgi aera vfqj ad annos chriftianereligionis ip14.compictos. Pr^terca ab aera Alfonfi vfcp ad eofdem annos domini ifiq. completos,per tertiam pro politionem motus apparens feu diucrfus fixoru fiderum dilis genti confideratio.ne deprathenfus fuit gra.iii.ffi.primoR» v.fer cundot^ xix.quibus detradlo {quali motu,qui per decima pro* pofitione exiftit gra.ii.primoigmmutoi^ xxxvii.feaindorum xxxix.refidebunt minuta prima xxvii.fecunda xl.differentiac {qualis diuerfiqj motus fixorum fideru ab aera Alfonfi vfque ad annos dominic{incarnationis lfI4. completos. Inter Ptoler m{iigitur Alfonfiqj aeras. Inter Ptoleni{i deinde aera atcp an< nos domini Ifi4,atcpinter eofdem annos 5C Alfonfi regis ae* ramdifferieti{ {qualis diuerfiqj motus fixoip fiderum funt da? t{,quodoportuit offendere, PROPOSITIO XIII. Capita cancri &C capricorni non{ fph{r{ tempore Ptolem{i co ftituta fuiffe prope alteras paruoi^ circuloqi 8£{cliptic{ deci* in{ fphatr{ fedfioes.Caput quidem cancri prope occidentalem caput autem capricorni pr-ope orietalem fedlionem atcp vtracp capitaabeifdem fedlionibus fuiffe remota perceptibili ac me* •diocri quadalcircumferentia,verifimiliquadam ratione often* dere, Nam per propofitione vi, huius fixoip fideru motus peif quadringentos fere annos noiibifextiles,vniformis Sfgqualis fuit,quod indicat differentias ^qualis diuerficp motus tunc adi modumparuas ac pene incoprjhcnffbiles extitiflc,ac eundem motum tue valde tardum immo tardiffimu fuifle,ac deinde ab aeraPtolemgi vfcp ad Alfonfi aera eundemmotSconftat Ioni ge fuiiTe velociorem. Nam per quadringentos annos Acgypi tios ante Ptolemgi obferuatione, fixa fidera in centenis annis mota fuerunt gradibus lingulis aPtolem vero confideratioe vfcp ad Alfonfi Caftell^ regis aeram in propofitione v, huius ftellg fixe dcmonftrantur mote fuifle,in centum annis bifextis libus gradu vno minutis primis xxxiii.Tardtorrgttur, aut tari dilfimus fueratmotusftellarum fixarum Ptolempi tempore. At per primu corolariu propofitionis feptimae huius. Tardus huius modi motus accidit fideribus non errantibus quando ca pita cancri &C capricorni eclipticae nonae fphsera: conftituunt prope fediones paruoruorbium ,atcp ecliptica: decima: fphaes rae.Ideo perfpicuum eft capita cancri 8C capricorni nonae fphg rx,tuxta Ptolemaei aeram propinqua fuifle memoratis fecftios nib5paruoiy circuloiy atcjj ecliptica: decime fphgrae manifella itacp eft pars prima huius propofitionis xiii.Addeclarationem fecundae partis ciufdem propofitionis id plurimu facit. Quos niam probabile valde eft immo per fe liquet,q> vt fixorum mo tus fideru per quadringentos annos Aegyptios ante Ptolempi confiderationem squalis appareregnecefie fuit capita cancri SC capricorni eclipticae nonae fphaerae pene per ducetos annos primu contra Ogniferi fucceffione ac deinde per reliquos fers me annos ducetos iuxta fignaiy ordine mota fuilfe, ita vt quas tum ante Ptolemaeum diuerfus motus pquali diminueriqtantu aducentis annis reliquis vfcp ad Ptolemaeu, diuerfus squali fi xorum motui fideru addiderir,fa<ftaitacp tali diuerfi tcqualiTqj fixoiy fideru motus compenfatione accidifte,vt motus ftellaru non errantiu per quadringentos annos nonbifextiles, squalis femper apparuerit,hac itacp argumentatione liquet capita cans eri &capricorni eclipticae non» fphaerae ad aeram Ptolemsi a miii fe&ionibus partioijt circulOqt 8C ecliptica: decima: fptmc pati luium fuifle remota,quod fecundo oportebat oftendifle, Totu igitur hoc xiii.propofitum manifeftum eft, PROPOSITIO XIIII. Motum ftellarum fixarum ab aera Ptolemau vicp ad Alfonfi' regis aeram fuper paruis circulis fuifle progreffum iuxta figs niferi fuccefftonem,id eft caput cancri ecliptica non* fpharne in leptemtrionali Si caput Capricorni eiufdem ecliptica; in au* ftrina fui parui circuli medietate ,fuifle verfatum oftendere. Nam iuxta quintam fubiedfone propofitionis vndecim^ hui» verfatio capitis cancri eclipticae non* fpheragin medietate fui parui circuli feptemtrionali defert fecum fixoru fideru motum iuxta ordinem fignoqt eclipticj odtaue fphcr^.Pt quia per pro* politionem v. huius eorundem fixorum fideru motus ab aera Ptolemaa' vfqj adAlfonfi regis aeram longe fuerat velociot qua aquadringentis annis ante Ptolemeum, Neceffe igitur eft caputcancri ecliptiaenon^ fphsrg ab acraPtolemtei vfq; ad aeram Alfonfi regis per feptemtrionalem fui parui circuli me dietatem fuifle verfatum, &T caput Capricorni eiufdem eclipti* per auftrina,quo fiderum non errantium motus velocior ex ifterecac eo magis properare videret iuxta figniferi fucceflioj nem. Motus igitur fixarum ftellaru abaeraPcolemau v% ad Alfonfi regis aeram delatus fuerat fuper paruis circulis iuxta fignoip ordinem,ita vt caput cancri eclipticatnon* fphaire irt fcptemtrionali,& Capricorni caput eiufdem eclipticae in auftri na fui parui circuli medietate verfaret,quod decuit oftendifle, PROPOSITIO XV. Caput cancri ecliptice non* fpluerc.ab Alfonfi regis aera vfcp ad annos domini lfl4,completos verfatum fuifle infecundo quadrante fui parui circulfiqui quide quadrans incipit afum* mitate eiufdem parui circuli feptemtrionali acq; definit in fc* dtione eiufdem circuli ecliptic^qj decima: fphaerg orientali,aut proxime eidem fedlioni orientali,Sd initium Capricorni eiufde nonat fpluere in oppofitafui parui circuli parte fuifle circum* Uolutum indicare.Quoniam vei patet in dcmonftratione pro* pofitionis quintae huius motus fixorum fi clerum ab Alfonfi re gis aera vfq; ad annos domini If14, perfectos, copleuttm cen^ tum annis gradum vnum &' minuta prima x.fere. Igitur idem motus ab aera Alfonfi vfcjj ad eofdem annos dominica: incarc nationis if 14. perfectos velocior fuerat qua quadringentis ans his ante Pcolemari confiderationem,quod potiflimu exiftit ins dicium, caput cancri eclipticae non^ fphaerae ab Alfonfi aera vfcp ad annos domini ifiq.complctos delatum fuifie iuxta fig niferi fuccefiionem,atq; per fuperiorem feu feptemtrionalem parui fui circuli medietatem.At q> idem caput cancri eclipticae nona; fphxr^ ab Alfonfi aera vfq; ad annos dominiip^.comi: pictos verfatum fit in fecundo quadrante 8Cnon in primo parj ui fui circuli,autpotius iuxta feiftione orientalem eiufdem cirs culi parui &T ecliptica: decima fph:rrar,liquet ex eo.quonia mo tus ftel larum non errantiu, abAlfonfo vfcp ad annos domini IP4. completos inuenitur fuifle tardior, qua aPtolemgi aera vfcp ad Alfonfi aeram. NccelTe igitur eft per primu corolariii propofitionis feptimahuius circa annos domini Ifiq, perfo flos,caput idem cancri alteri duaru feffionu eclipticae decimae fphatrg propinquius extitilfe qua circa Alfonfi regis aera. Na fi per impollibile,eiufdem caput cancri ecliptica: nonae fpha:^ rre fubiecerimus, tum Alfonfi tempore cum oeuo noftro id eft circa annos domini If14 .perfecflos in primo quadrante parui circuli, caput igitur eiufdem cancri noftra artate propinquius accedet eiufdem parui circuli fummitatfqua Alfonfi tempore quia artas noftra Alfonfi tempore longe pofterior exiftit, ergo per primu corolariii propofitionis feptime huius motus ftel 1as rum non erraticaru ab Alfonfo vfq; ad annos domini ifi4,cos pictos velocior fuiffet qua ante Alfonfi aera, quod cft impoft fibile atqj contrariu experientia: &his qua: oftenfa fueruntiri demonftrationc quinta: propofitiois huius, Igitur verfatio ca;> pitis cancri ecliptica: none fpharr^ ab Alfonfi regis aera vfq; ad annos domini ifi4.pcrfecftos fafla fuit in fecundo fui parui Circuli quadrante,aut iuxta feflionem parui circuli &ecliptis ex dcciK fphjra: orientale, quod liafl cn’ decebat dcmoftrarcl k•fCorolarium. • Hinc etiam perfpicuum fit idem cancri caput ecliptica nonf fphrcr£,Alfonfi quocp tepore in fecundo fui parui circuli quas drante fuiffe vetlatum,aut pnjdicpr fediioni orientali fuiife ,ps ximum, Namfi tempore Alfonfi, infummitate, feu circa puns dium aliud primi quadrantis parui circuli ipfum cancri caput fttbiiciatur,perprimtcigiturcorolarium feptimepropofitionis mox concludetur, motu fixoip fideru ab Alfonfi aera vfcpad annos domini iftq, completos velociorem extitiffe quam ante Alfonfi aeram quod iterum impolfibile eft,& contrarium pro pofitioni quinte huius. PROPOSITIO XVI, Maximadifferentiam inter diucrfum arqualemq; motii fixorii fideru effc feregraduu vi.minutoijt primos xlvi.oftendere. Et quonia in propofitione xiii,patuit,caput cancri eclipticenonat fpherg pro Ptolem^i confideratione extitiffe propealteram fer tSionu ehffdcm parui circuli atq; eclipticae decimf fph^rj, p propofitione xiiii.liquet trepidatione ciufdcm initii cancri fu* per fuo paruo circulo motam fuiffe fecundum figniferi fucceft (tonem quod per quintam fubiedlione propofitionis xi, accu dit dum idem caput cancri per feptetrionalem fui parui circuli deferturmedietate. Igit manifefttim eftcaput idem cancri Ptos lemei tempore prope eandem fcdlione parui circuli 8£ decimg fplicrtp occidentale ex qua eadem trepidatio ex hypothefi fu: mit initium,fuiffe verfatum. Et quia per propofitione xiii. idc cancri caputadidia parui fui circuli fedrione occidentali fuerat feperatu mediocri quada circumferentiaeiufdem parui circuli, iccirco liquet prarmiffamtrepidatione eclipticae nonae fphaerac paulo antePtolemji aeram,8£ fere prope natiuitatem faluatot ris noftri vnam perfeci(Fe reuoluttonem. Optimo igituriure fubiidendum tfle arbitror initium alterius reuolutionis eande treptdationemfumpfiffe,nato humana in carne domino Iefu Chrifto faluatorenoftro vt creatura operi fui creatoris aftipus laret faueretqjJEt eo potiffimu temporemundus ifte corruptis bilis &C inferiorid eft mortale hominu genijsIefuChrifti noui hominis mirifico exortu, at(£ principio temporali rcftauraret rcnouarerurcp co inquam tempore quo murrdus fuperior,id eft: fiderea Sf cceleftia corpora per initiu trepidationis nong fphier ra: fuerant rcftaurata,atcp ita opus creaturae fui creatoris operi quodam modo fefe conformaret, Igitur circa natiuitatem fal* uatoris noftri ftrbiecto initio trepidationis nona: fpherg. Sup* pofito etiam capite cancri eclipticgeiufdem fpligrg prope alce* ram fccfioncm id eft orientalem fui parui circuli hoc ceuo no* ftro id eft circa annos domini Ifincompletos perfpicuum fit idem cancri caput nonie fphserac,ab aera faluatoris noftri,id eft ab initio annoigChrifti vfq; ad annos domini lfl4.completos pertranfiffe totam diuerfi tequalifq; motus o&aua: fphgrgdifc ferentiam,hoc eft fegmentu eclipticg decime fphgrg circumfes rentia parui circuli comprghenfum, Si itacp eorundem moruu diffeicmiapfpicuacflct ab aera incarnationis faluatoris noftri vfqjadPtolemgi aeram profecto nobis ecia conflaret vniuerfa fcu maxima diuerfi gqualifqj motus fixorum fideru differentia Atnon abfurdum nunc erit eandem differentiam conietfturali quadamratione veritati tamen proximainprimis inueftigare, per propofitione xii.patuit differentia equalis diucrfiqj motus fixorum fideru ab aera AI fonfi vfqj ad annos domini if 14.00* pictos cxtitiflfe primoit» minutoip xxvii.fecudoqt xl.fcrc, Atqj inter eandem aeram Alfonfi annos domini 1f14. completos dies fluxerant 4?gf13 ,atcp ab initio annoiji Chrifti vfcp ad Pios lemgiaera dies tranfierant/44?f,Igituriuxtaratione49gfi3, dieru ad dies f447f.de primis minutis xxvii. fecundis xl.fum? pta portio videlicetminuta prima xv.fecunda xl. erunt prope differentia diuerfi cqualifqj motus octaue fphere,inter initium annoip Chrifti Ptolemgi actam, cifdem deinde minutis pri* mis xv.fecundis xl.additis differentig diuerfi cqualifqj motus inter Ptolcmgi Alfonfiqj aeras maxima eorundem motud con* flabitur differentia prope graduu vi.primoifminutoif xlix.fc* cundoif xxxi.Nunc itaqj experiri conueniet fi gradus fex, mi* nuta prima xlix.fecunda xxxi.vere &' examuffi fint maxima diuerfi arqualisq; motus fixoif fiderunt differentia. Igitur cfto fphgrte deeimg ecliptica abc, Sf mundi centrud. polus alteri* parui circuli,in quo caput cancri none fphgra: circumfertur b. atcpfuper polob.parui circulidefcripti femicirculus fit acc. qui bifariam fedus fitine.prgtcreaparui circuli aec.dimeties fit ac.dd conexa bd, fecabit ac. dimetiente diuidue atqj ad recftos angulos fup f.figs noquodcentrueftp diffinis tionem parui circuli acc, Deidedue parui circuli aec atcg ecl/pticg decimg fphgrg fetftiones fint ac.a quide oc cidemalis c.vero orientalis atqj ab incarnatione faluai toris noftrivfqjad Ptolemei aeram initium cancri nona: fphatrg motu fit ex a,fedtione,vfqj ad pundfum g.parui circuli Et quia ex hypothefi idem cancri caput feu initium annis hui mante redemptionis Iflq. perfectis exiftit fuper c.fetftione ori entali,atqj per prima fubictftione propofitionis xi.circuitio cii ufdem initii cancri in fui parui circuli circumferentia aequalis vaiformi'% exiftit, igitur ratio femicirculi a e c.ad ag.circunw feretiam eft vt anni incarnationis faluatoris If14, completi ad annos eiufdemincarnationis i49.Sd dies liii.completos ab inii tio annoRt incarnationis faluatoris vfqj ad Ptolemei aera.data igitur pfer hypothefim hac ratibne circumferentia ag. dabitur graduu xvii.primoiy minutos xliii. fecundoip 1v,igitur rei liqua circumferentiae g,de vno quadrante datur gra.lxxii, pri inorumminuto^txvi.fecundoqt .qualium integroru vniucri fa femicirculi aec.periferia datur 180,graduu,atqj exg, fuper ac.perpendkularis gh.defccndat,&: connexa dh.atqj in pari tem h.protracfta fecet circumferentia ab.fuper i. Et quoniam ex hypothefi &: velut oftenfum eft a e.quadras eft, feu graduS xc.ac ge.periferiagra.lxxii.minutOFy primoij! xvi.fecundoru v.igitur per tabulas retftoijt finuu,ratio ipfius af.adf h,cft vt A /‘ 't fiderum diuerfitas datur graduu vi.primorum minutoiy xlvf, quod hucufqj oportuit demonftraffe. CCorolarium primum. Patet itaqj diuerfitatem apparentis arqualifq; motus fixorff fiderum ab initio trepidationis nonafphatrae vfq; ad Ptolcmpi aeram eife primorum minutora xii, fecundoru ix. Et eandem diuerfitatem apparentis atqualifep motus odaria: fpha-ra- ab initio trepidationis nonte fphterat vfqj ad Alfonfi regis aeram effe graduu vi.primoru minutow xviii. fecundoru xx. Denicj hanc differentia apparentis arqualifqj motus ftellaru no errans tium alynitio eiufdem trepidauois vfqjad annos domini 1^14. completos effe graduu vi.primoru minutoru xl vi.fere, Corolarium fecundum. Liquet deinde trepidationis feu accelfus fit' receffus motum nonte fpher^fupcr paruis circulis effc.pro Ptolemaei aeragra dtium xix, primorum minutoru Ivi. fecundoru xlii, Pro aera regis Alfonfigraduu 14?, primorum minutoru xlii.fccundorff xxv.Denfq; pro annis domini IJTI4. completis eundem trepis dationis motueffe graduum 180, primorum minutoru xxxvii, fecundorum viii. <T Corolarium tertium, Manifeftum eft principiu motus prima' trepidatiois feu aes ceffus 8£receffus nonafphaertt fuper paruis circulis ccepiffe ante Chrifti faluatoris noltri natiuitatem diebus 7407, feu ans nis non bifextilibus xx.diebus 107, fiue hromanis annis xx, diebus ICtz. annis videlicet anatiuitate faluatoris copuratis ari c« ab vltimi diei Decembris meridie. PROPOSITIO XVII. Motum acceffus 8Creceffus feu trepidationis primte nonae fphtn te in vno die datum reddere.Et quia per fecundum coros larium propofitionis xvi.motus eiufdem trepidationis feu aes ceffus 8Creceffus nonat fphatrai pro Alfonfi regis aera exiftit graduu I4?, primorum minutorum xlii.fecundorum xxv.fiC a principio eiufde motus feu a74<>7.diebus ante faluatoris nos ftri natiuitatem vfcg ad eandemAlfonfi tegis aera tranfierant o '\ i dics4<$-448-J.Meo gradibus 149. primis minutis xlii.atqifecim dis xxv.diuifis per dies 4d448tS,exibit motus trepidatiSis.feu acceiTus &receiTus nome fphaer* in vno die, fecundi minuti vnius tertiorum ix, quartorumxxxvii.quintorum v.fextorum xl.feptimorum xliii, Idem deinde inuenietur per motum erepi# dationis ab eius initio vfcp ad annos humante rcdeptionis if14 pcrfe&os. Namper fecundum corolarium ipfius trepidatiois non* fph*r* motus pro anno domini Ifr4.c0mpletis exiftit graduu l80,primorum minutorum xxxvii, fecundorum viii, quibus item partitis per dies fd03?r.qui funt aprincipio eiuf# demtrepidationis vfq; ad annos domini lfI4. completos pro# dibunt diurnae trepidationis motus minutum fecundum vnum tertia ix. quarta xxxvii.quinta v.fextaxxvi. feptimaliii.qu* modica admodum quantitate minutis fcilicet fextis xiii. fepti# mis l.a diurna trepidatione prius inuenta differat, At vt aurea hic quocp conferuetur mediocritas huius differenti* dimidium idcft fexta minuta vi.fcptima 1v, addicienda funt minori diur# narum trepidationii duarum iam inuentarum, aut maiori fub# trahenda SC emerget diurna; trepidationis motus fecundi mi# nuti vnius tertiorum ix.quartorum xxxvii,quintoru v.fextoip xxxiii.feptimoijtxlviii.Comperto autem diurna: trepidatiois motu,non erit difficile componere binas tabulas de motu tre# pidationis fcu acceiTus 8f receiTus non*fph*r*, altera quide ad imitationem Alfonfmarum de motibus mediis tabularum alteram in annis menfibus diebus necnon in minutus dieru &horarum colIccKs.De hacitaqj trepidatione duplex tabula# rum formula hic fubiicitur. 1111° - 1 1^11 °i1 IBWravni vim15Q1571 ^ti wh*™-m f'r it_\ ip. 15il4ot 71ifil HI43I IJJ^cnfec atmt bifeytitte ImUliHlTF rtl° ‘«11° isaaiwssll T[«r° 1^«MgjjLlfebl:1 1?ll? IM°T3 isriswiia^HUSlL mamasysisisffiltfeft _ ,;d „|48| T^|j m|| ig| olfif.z|^Ni‘L -^11581 riW'fiii'9ii°IiV(j.iTll.^! C I0|?0| S2|31|I ifclM eJJTft O •gMora?roiH')[Miil °ininMll Badices trc illBlmlip floTsltSlT' .-.LSMj tjWM 77ruint > i L3 1*17/\ ry_ . ‘• («ifiRTTlMlilf«l.LWJ«lM ITOI^in-tflH W11IH1°1 >1 agjg "iisJi ir«i mnnna imi 11mnnH »pidatio[g g.l^bin orae motuulffil 1*Kfolf71*81 3\ '" ii£lt6lmltl ItSlmU \m\i\7mplur i . _i.L« l t -I„i>. iMrl i1ini 2-*l 9I«1 ^ncarnatiotg 11o11\^ •fttolemet Blfonlt ~ll o1z1ii |miiian.ifHcop HI io1o1nikil i111Q1311 ilssl r ol7qlS6KH loliU^irtfillUUUalfUsHa KIUHillfi I'o liS: zol ^7-|l 211<S| 2Q| 8lnH' tjf «I°I37|8| I«l*l«l QlrtSll i|lq| IU" |7|3«1 ' I ) Corolarium, ' Iuxta lias ftacp tabulas manifeftum fit integram huius primx trepidationis reuolutionem compleri hromanis annis JOf8. diebus xv,hora ii, minutis primis xxxviii.fecundis lvii.fere, feu quartis dierum v,tertiis x.fecundis xv, primis xlix, minus ciis dieru vi.fecundis xxxvii,8dtertiis xxiii.Motus trepidatiois huius in diebus refumatur ex prima tabula, in illa namqj dies prima vocantur. PROPOSITIO,XVIII. Ex praecedentibus tabulis motu trepidationis primae feu aes ceiTus dC receffiis nona; fplverg pro dato tepore, fiue pro aera « data numerare.Obitcr notandu eft q> uel ut liquet ex hypothefi bus propofitionis undecimae.Trepidatio prima accelTus recef fufqjexiftit accomodata nona; fphaerx fug paruis circulis, atqj cade nonae fphxrg trepidatio iccirco prima dicit,quonia qapter variatione maximae declinationis folis,eclipticg quocp decimg fphjrq reuolutio feu afcefus &C defcefus fug paruis circulis tri buendus eft,qui fecuda trepidatio deinde vocabit. Sed redeun dii eft ad id vnde paruperdigrediebat oratio. Sidenicpcuipia fuerit libitu hac prima trepidatione fiue accedum &C recellunt nona: fphgrg pro dato aliquo tge fiue pro aera data numerare, is inprimis dato tepori in dies refoluto addat dies 7407.fi datu tepus anoftri faluatoris natiuitate fuerit coputatu, aut dato tes pori in dies quoqj multiplicato dies 7407,auferat, feu minore dierunumeru ex maiore demat, fi datu tepus ante cande faluas toris noftri natiuitate fuerit coputatu. Quod itacp adictfrioe cos flabitur aut diminutioe relinquet,! prima fecuda tertia &qitars ta coponendu colligeduqj eft. Hic itaip dies primueft&: prima lx.id eft dies lx, fecundu unu conftituut,&T fecuda lx.terfiu vnu coflat,& tertia lx.vnii quartu coponut,velutid tabui atj; Alfori finaru canones luculcter explicarut, iccirco qui fug haere ples nioris cuiufpiaidigeatinftitutiois ea ex cifdE repetat canoib’. Itacp coi ledis ex dato tepore primis fecundis Sd reliquis limoi dieru aggregationib9primatabula trepidatiois prime eft cofu lenda,prorfus eode modo quo ex Alfonfinis tabui is medii mo oiii t tus exquirunt, addedo itaq; quodlibet fuo generi, id eft quarta quartis &C tertia tertiis ,Scf fic deiceps fi aliquoties lx. quarta ex creuerttjigit eis lx,quartis fublatis,quoties id fieri poteritjtotb ens vnum tertitf adiiciat tertiis,atqj pro lx.tertiis excrefcetibus vnu fecundu fccudis addat tninutis,&prolx, fecudfs vnumin nutu primu.Et pro primis minutis lx,vnu gradu, 6C pro gradu bus lx.vnu fignu phyficu.atq; ex fignoqt numero toties abiici antur figna vi.quoties id fieri poterit,reliquu fignoqt mime* ro tenendu eft,quodq) hoc pado fuerit coquifitu, motus prini j trepidationis feu acceffus 8d recelTus none fphterferit qui pro dato tepore querebaf.Verutame qn ex dato tepore ante falua* toris noftri natiuitate dies 7407,demunt, Igit cu reliquo qujfu tus trepidatiois mot9aufered9eft ex fex fignis phificis, Quod itaq; relinquit inucftigat’ erit trepidatiois mot9.Atfi datu tep’ dieb97407,quib9ipfa trepidatio ante Chrifti natiuitate ca;pe* rat fubtra&u extiterit, Igit cu reliqno qttefit9trepidatiois mot9 erit,qui iueftigabat nonj videlicet fph^rg accelfus 8C receffus, Velut fit datu tepus aera Alfonfi,id eft anni rhomani Izfi.dies Ifl.copleti anatiuitate ncftrffaluatoris,hi quide anni izyt.et di es ifr.fimulrefoluti faciutdies 417079, his fi congregent dies 7407,quibus eade trepidatio antefaluatotisnoftri natiuitate inchoauerat,fiut dies 4<J448<S,hi faciut quarta z.tertta?.fecun dum vnudies feu primazd.Hui9itacp trepidatiois primy tabu Ia intrati cu quartis duob9occurrut figna pbyficaz,gra,l9, prii maminuta I4,fecudalt, tertia 8,deindecu tertiis p.dephendunt gra,l<J.numita prima zcs.fecada 33, tertia fo.Preterea cu fecudo vno coperiunt minutu primu vnu,fecuda Puertia 37. poltremo cu primis feu dieb9Z6,colligunt fecuda minuta 3o.tertia 10, his adinuice aggregatis fiut ad iuice figna phyfica z,gra,zp, minu ta prima 4z.fecunda z4.tertia4r.Et tantus etia huius trepida tionis motus pro aera Alfonfiregis oftenfus fuitin demonftra tione propofitionis xvi,eiufdem corollarii fecundi. Aliter ex fecuda tabula eudem trepidatiois motu non%fphe rx calcit! are.Datu itaq; rep9,fi afaltiatoris natiuitate fuerit ntK meracu addedutn eft dieb97'407.feurliomanis annis zo, dieb9 Idz.tepus deinde quod ita hac additioe colligit,intromittedum tabulae fecudae,acceifus &C receifus nona: fphprte prirnu cG ant nis collegiis,deinde cumefib9aut dieb’,qui refpodeat ipis me fib9,poftremo cu horis 8ihotaijt minutiis fi quj in dato tepore exiftat, mot9itaqj trep idatiois gdatu tep5hoc modoelicit9:erit accelTus Si receifus nonp fpherpqiii querebat velut fi fuerit in tetio motu acceifus Si receifus nonp fpher^ numerare 4annis bifextilib9feurhomanis izfi.fid dicb9ifz. aClirifti faluatoris: noftri natiuitate copletis feu pro Alfonfi regis aera,igit annis rhomanis feu bifextilib9izfl.dieb9ipz, addant anni rhomani zo.dies lOz.quibus ante noftri faluatoris incarnatione trepidae tio none fphprpintegra reuolutione gfecerat.Et fiut anni 1271, dies 2f4. Secunda itaqj trepidatiois nonefphprp tabula iuprfi mis ingrediedo cu annis rhomanis 1000, Excipiunt ligna coia iii.gra.xxvH.minuta prima xliii, fecundaxx,tertia l.deinde cu annis zoo,gra,xxiii.minuta prima xxxii, fecunda xl, tertia 10. Prpterea cu annis lx.gra, vii.minuta prima lii.fccuda xl vili, ter tiaiii.Rurfus cu annis xi.gradus vnus,minuta prima xvii, fe* cuda xl.tertialvi.Denicpcudiebus Z43.qui copetut diebus ab initioianuarii vfcp ad fine Augufti coputatis, colligunt minus ta prima 4,fecundaxli,terrialvii,Poftremo diebus xi. ex cade fecuda tabula coperiunt minuta fecuda xii, tertia xlvi. his oib’ aggregatis emergit mot9trepidatiois nonp fphprg 41 Alfonfi re gis aera,comuniu fignoip iiii.graduu xxix. primoipminutoiqv xlii.fecimdoip xxiiit.eemora xliiii, quod inuentu vnico differt tertio apriore.Veru nemini fcrupulugignat,q> 4aera Alfonfi in prefenti fupputatione fubiecera annos rhomanos izf1. dies ifz.Na annus incoplet9quo Alfonfi regis aera defierat bifexti lis extitiqatcg iccirco die vnu oportebat adiicere,vt fieret anni rhomani izpi.dies ifz,copleti,quodin fuperiorenumeratione neceifariu no fuerat, Infug notandum q> fi datu ante faluatoris noftri natiuitate tep9extiterit maius annis rhomanis xx, dicb9 ioz.His itaqj ex dato tepore fublatis,relinquit tepus, quo ex fe cuda hac tabula, trepidatiois mot9elicit9Si deptus ex integro circulo,id eftex fignis xii, relinquitnong fplicrj trepidatione. quae fuerat inueftigata. Sin autem idem tempus ante fatuatorfi noftri natiuitatem oblatu minus extiterit annis hromanis xx, diehus toz.quibus ante eandem natiuitatem trepidatio non* fphaerae vna peregerat reuolutione,igitur idem tempus obla* tum annis xx, hromanis 8C diebus toz, fubdudum, relinquet tempus quo fi ad fecundam trepidationis primae tabulam fiat introitus,quarfita nonae fphaera; trepidatio emerget, perfpicuS igitur eft hoc decimumoftauu propofitum. PROPOSITIO XIX, Tabulam cotexerc numeralem quae compledatur differens tias apparentis aequalifqj motus fixorum.fi derum, huiufmodi differentia: aequalis apparentifep motus in tabulis Alfonfinis aequationes dicuntur, Confiderandum itjfuper eft q> ad texen* dum liuiufmodi tabulam complectentem differentias tales in primis feruiet nobis tabula compraehendcns variationem ma ximae declinationis folis, Qiiadere primu computanda eft tat bula variationis maximadeclinationis folis. Refumatur ergo figura propofitionis xvi, in qua ecliptica decima fphatrae ex< iftitabc,circulus centru mundi d,8f paruus circulus a ec. mai nentibuscp caeteris qua: in eadem figuratione deferibunt fubi iedaqj funt, Atcp primu circumferentia eg, cfto gradus vnius qualium quadrans ag e.fubiicitur xc.atcptota parui circuli ciri cumferentia3dO,intentioqjfit bi.fegmentu datum efficere. Et qttonia periferia eg,ex hypothefi dat, eft enim pars vna quae Itum qundrans ae.fubiicitur xc.Sf quia fh.equalis eft redo fu nui circumferentiae e g.igitur li f.exiftit I74fz4. partiu qualiu af.femidiameter parui circuli aee.fubiicitur tooooooo. Ratio igitur ipfius af.adfh.dattir, Rurfus ex memorata tabella foti eunda af.inquantii redus exiftit finus circumferentiae ai b.ha bet partes f9II?I.quales df.habet tooooooo,Atquiratio ipfius af.adfh.eft velutoftenfumfuit.vt ioooooo.ad I74fz4,igitur fh.datin I0ji8,partib9qualiu af, coftatefle pereandetabula fcecundam f9M9l.8f ipfam df.looooooo.Nam per propofitiot nem xvi.periferia abc, eclipticae decimae fphaerae eft graduum vi.primoru minutoru xlvi.atcjs dimidia periferia aib.eorunde / graduu iii, primos minutoqi xxiit. igitur anguis fdh, feu eirt cumferentiam bi.patet ede primoru minutorft iii, fecundorum xxxii.Pari numeratione fegmcto eg, fuppofito graduu ii, b% regitur primoru minutoru vii.fecundoru fex.Idem denicperit computus eg.periferiafuppofitaquotlibet graduu vfq? ad xc. Subicdla itaqj tabula iuxta praedtdlam calculata rationem coi pledlitur bi.fe&ione pro eg.circumferetia parui circuli quot* libet graduu fuppofita numeri denicp in eiufdem tabulae area comprarhenfi variationes funt maximae declinationis folis ves luti pofterius liquebit. Tabula variationis maximae declinationis folis. Nunc icaqj decet nues rare diuerlitates appare* tis ajqualifq! motus fixo* rum fiderum,incipiendo amotu trepidationis no; nae fphatrse vnius grad’ vfqj ad femicirculu id eft vfqjadgrad9l8o,eiufde trepidatiois. Inprimis vi delicet progradu vno ei; ufdctn trepidationis de; inde pro motu trepidati; onis duorum graduum, poft hxc pro trepidatione trium graduu 8Lfic deinceps in mo; tu huius trepidationis fadiavnius continue gradus auftione quoad femicircul us ideft circumferentia graduu 180, impleat. Repetatur ergo fchema propofitionis xvi, cum omnibus ineo fuppofitis 8Cdeferiptis ,8d primum fubiiciatur ag, circumfe; rentia parui circuli gradus vnius,igitur quadrantis ae.comple mentum reliquum eg.erit graduu lxxxix,duorum Agnoru fci; licet comuniu 8f graduaxxix. Cum his itaqt facro introitu ad tabulam praecedentem,fub fignis duobus in fronte eiufdefn ta bulae feriptis SC e regione graduu xxix adextris atq; in prima columna feriptis excipiuntur gradus iii.minuta prima xxii.fe; eunda Iviii.ideft ecliptica: abc.dccimg fphaerte fegmetum bi, quo dempto ex periferia aib, eiufdem ecliptica: per conftru; (ftionem exiftente graduu iii,minutoru primorum xxiii, rema; nent minuta fecunda ii,quae in tabula diuerfitatum apparentis aequalifqj motus fixorum fideram fertbenda funt ex aduerfo, trepidationis primg vilius gradus,Deinde ag.fegmcnto parui circuli fuppofito graduumii.erit eg, complementum quadran tis age.graduu lxxxviii.ideft Agnorum ii. graduu xxviii. igit eandem tabulam ingrediendo fub fignis duobus &C ex aduer; fo graduu xxviii,prima: columna: eiufdem tabula: competi; entur gra.iii.m,prima xxii, fecundaliii, fegmentibi.quo item ab cis confecfUrm, inter Pcolcmai aeram atqi datum tempori* momentum,quiquidem fixorum fiderum motus aggregand’ eft veris eorundem fiderum locis aCi. Ptolemaeo comparatis fi datumtempus Ptolemat aera pofterius extiterit,aut demens dus fi eandem Ptolemaei gram anteceflferit,8d vera fixorum fis derum in zodiaco loca pro datoteporis momento conflabunt, velut fi libitum fuerit veraftellarum non erraticarum in zodis aco loca numerare pro annis dominica: incarnationis ifZO.cS pletis. Igitur pro annis ij70.8d diebus 31J, completis atcp ab aera Ptol. vfqj ad annos domini ifzq.practeritis per propofitis onem xx,verus fixorum flderum motus numerer,qui per eans demprojpofitioneexiftitgraduu xx, m.xvi. s.lii.quib5’additis ad vera fixorum loca fiderix aPtolemteo comparata, vera eos rundem fiderum in zodiaco loca emergent datis annis ifzo, aChrifti natiuitate completis,Verbi gratia.Si eius fixi fideris quodgraecebafilifcus latine leonis cor appellat.loco per Ptos lemam dcpraehenfogradus adiiciant xx, fit.x vi.s.lii. emerget verus eiufde fideris in zodiaco locus in figno graduu xxii, m.xlvi.s.lii.eodemodoprodatis annis Ifzo. perfedhs alfoij» fixorum fiderum locain zodiacovera fientpcrfpicua.illorum videlicet locis fingulis aPtolemaeo numeratis addendo grad* xx.minutaprimaxvi.8d fecunda lii. Haud aliter vera fixos rum fiderum in zodiaco loca comparabimus per vera eorum loca qua: habentur feripta in tabulis Alfonfi regis. Naminter eiufdem regis aeram ,atep propofitum temporis momentum fumpto interuallo,pro co per propofitionem xx. coputandus eft verus ftellartim nonerraticaru motus,quicongregatus fins gulis ftcllaru fixarum locis ab Alfonforegeconftitutis,fi dato temporis momentuAlfonfi regis aera pofterius extiterit, aut abiatus,fi prius eademaera fuerit, vera fixorum fideru in zos diaco 1oca pro dato temporis momento exhibebit. Vehrt (I fit intentio ftellarum nonerraticam verain fignifero loca ex tas bulisAlfon.fi regis pro annis ifzO.completis numerare.Igitur eiufde Alfonfi regis aera afaluatorisnoftr/ natiuitate exiftes annQrumbifextiiiulZfl.dicrum ifz.dcduiftaanms ifzo.bifex q tilibus ab eadem natiuitate computatis ,relinquetur anni item bifextiles zdg.dies zl4,qui Alfon fi regis aera: atqj annis anas tiuitate domini ifzo, completis interfunt ,pro hoc temporis interuallo per propofitionem xx,verus fixarum ftellaru mos tus datur graduvt iii.primorum minutotjt viii. fecundorum lii, his aggregatis ad vera eartindem ftellarum loca perAlfonfum conftituta,vera fixorum fideru loca in zodiaco emergent pro datis annis ifzO.aChrifti faluatoris noftri natiuitate numeras tis.Eifdem denicj gra.iii.m.viii.s.lii.exempli gratia ad didi ba filifci regii fideris verum in fignifero locum ab Alfonfocofti» futum agregatis, ideft adfignaiiii, gradus xix, minuta prima xxxviii.emerget verus eiufdembafilifci locus in fignoleonis gra.xxii, minutorum primos xlvi.fecundoru lii.penitus idem inquam verus locus ei, qui per fuperiorem computu ex Clau» Ptolemaei compertus fuerat tabulis PROPOSTTIO XXII. Quod praecedentes tabula: feu canones de motibus oclauae fphaera: feu fixorum fiderum veterum aftronomoije confides rationibus fiiper veris locis ftellarum non erraticam plurfmu congruant quibufdam exemplis comprobare. Primum lis queb.it eofdem canones congruere conftderationibus Arati, Nam velut Ptolemaeus refert inftia magna copftrudHone dis tftione vii,capite ii, ab Arati confidcratione vfqj ad Ptolemaei aeram quaipfe fixorum fiderum in fignifero loca verificauic, flueranc anni non bifextiles zdp.quibus per x. propofitionem de aequali ftellaru fixarum motucopetuntgradus ii.m.xxxix. *, vii.his addita earundem ftellaru aequalis apparentifq; mot* differentia pro aera Ptolemaei ideft minutis primis xii. fecudis ix.fiunt gradus,ii,m,li,s.xvi,Rurfus zdpanms ante Ptol, ves rificationem.idefttempore confiderationis Arati. Trepidatio nonae fphaerae per xviii,propofitionem datur fignoru xi.grad, xviii.primoruminutorS xliiii.fecundorumlv.quibus per xx. proppfitione de diuerfitate aequalis diuerfiqj motus congruunt m.iii.s.lvi, his demptis exgra,ii,m.li,s,xvi.remancnt grad.ii. m, xlvii. fecunda xx, veri motus fixorum fideru abArati cons fldcratione eorundem fidem vfqs ad Ptolemaei verificationem ideft fixorum fideru verus motus qui debetur annis z6f. eode congregatoad verumipfius bafilifei ideft cordis leonis locum quemAratus conftmut in grad. xxix, minutis primis 1, cancri prouenient gra, ii, minuta xxxvii,fecundaxx.lconis,verus fci licet locus eiufde bafilifei pro aera Ptolemaei,At canones Pton lemaei iuxta obferuadone ipfius,candem ftella ponunt in gra, ii. m.primis xxx. £{,, Igitur canones mei fuperaret Arati obfer uationem minutis primis fere vii.quae pro tanto temporis fpa< cio funt floccipendcnda. Preterea Ptolemaeo referente in AU dlione feptima magnte conftrudHonis capite iii.Timarcliis fua^ infpedione reperit borealiorem ftellamtriu in fronte Scorpii ingra,ii,eiufdem figni Scorpii, ab eadem deniq; Timarchidos infpedione vfcp ad Ptolemaei ftellaru fixarS verificat/one Aut xerut anni hromani 443,dies Ixiiii.fere quibus de motu gquali fixorum fideru debentur grad.iiii.m.xxvi.s, v, his addita diffe* rentia aequalis diuerficp motus ftellaru fixarum pro aera Ptole mji ideft,m.xii.s.ix.emerget gra,iiii,m,xxxviiits,xiiii,Rurfus trepidatio nonae fphaerae pro infpedione Timarchidos eft, figs norumx,gra,xxvii,ni,xlvi,s,xxv,quib9de diuerfitate equalis apparentifqj mot9fixoru fideru competut ffi.xxxi,s,x,t,xxxif, his ablatis exgra.iiii.m.xxxviii.fecundis xiiii.refidebit verus fixorum fiderum motus inter Timarchidem 8C Pto.l,gra,iiii,in vii,s,iii,t,xxviii,his additis ad verum loeu fixi fideris quod in fronte fcorpii borealius eft, quem quidem locum Timarchis confiderauit,prouenient gradus vi, minuta prima vii. fecunda iii. At Ptolemaei canones ponunt idem fidus in grad.vi, minus tis primis xx,(corpii,Igitur canones mei deficerent in eiufdem fideris loco.minutis primis xiii.Deniqs idem Ptol.Iibro feu dis dione xi.capiteiii.fuae magnae conftrudionis refert.ftellamfi; xam quae dicitur afinus meridionalis in anno lxxxiii, amorte Alexandri magni fuifle conftitutam in gradibus vii.in xxxiii, caucrijnter eiufdem itaqt fideris obferuationem 8C Ptolemaei confiderationefluxerant anni hromani 377,dies I7i,fere quib* de motu aequali ftellaru fixarum conueniuntgrad, iii.m.xlvi, qii 4 S.xxxvi,ter,xviii,his additis minutis primis xii.fecudis ix, dif» feretiae aqualis apparentifcg motus ftellaru fixarum pro aera Pto.prouenient gra.iii.rn.lviii.s.xlv, Trepidatio nonae fphgrg pro lxxxiii.annis amorte Alexandri magniex prsediifto cano» ne propofitionis xvii.exiftit.SignorS xi.gra.v.rii.xxx.s.xxxi, quibus ex tabula differentiam sequalisapparctifq} motus ilei» latu fixarS congruut m.xvii.s.lv.c.xm.his demptis ex gra, iii, m.lvii.s.xlv.relinquit verus fixorufideru motus aIxxxiii.an* nis amorte Alexandrimagni vfqj ad Ptolemaei aeram gra.iii. m,xxxix,s.l.his demptis ex eiuiae afini auftralioris vero loco quemPtolemauis numerauit relinquetur grad.vii.mmuta pri* tna xl.Cacri in quibus eadeftella afini auftralioris pro lxxxiii, annis amorte Alexandri magni collocata confideratam fuit, verum bic meus computus fuperat vetuftam illam confidera» rionem imprimis vii. tere. Denicpin eodem capite tertio libri v/i.ieudidrionis fcptimg Almaiefti Ptolemaeus narrat,® anno Nabuchodonoforis 4f4,die quinta mcnfis Tybi qui eft quin» tus xgyptioru mcnfis in notfte qua; anteccflcrat diem fextum eiufdem mcnfis Tybi fixum fidus appellatu aficbcmech incr» mis,gra:ce veropotrygetes ideft vindemiator, fcd latine arifta ab eodem Timarchide confidcratum fuit in gradibus xxii, mi» nutis primis xx,virginis,Etquonia differentia annorp Cbrifti atqj Nabuchodonoforis iuxta Alfonfinas tabui as exiftit anno rum non bifextilium 747, dierum 131, fcu bifextilium annoru 74d.dierum3i0.Ideo confideratio ha-c fadla fuit ante princi» piumannorum Cbrifti faluatoris noftri hromanis annis 293, diebus z97*compleris ,atqs ante Ptolemaei aera annis bifextili» bus 44z.diebus 3f0,completis,bis de medio feu aequali motu fixorum TiderS dcbenpur graMi. minuta prima xxv. fecunda lvii,quibus addendo.ni xii.s, ix,differentia; aeqlis apparentifqt motus fixoriJ fiderunt proPtolemyaera,emergentgra, iiii,m, xxxviii.s,vi. Et quia pro tepore Timarchidis motus trepida» tionis primae exiftit s.x,grad,xxvii, mmutoruprimoruxlvii, fecundoru Ivi.Igiturdifferentiaaequalis diucrfiqj motus ftella» rum fixarum pro temporeeiufdem Timarchidis erit, primoru minutoi^ xxx, feciidoru ix. his dedudts exgra.iiii, m.xxxv/ii, *,vi,refidet gra.iiii,ni.vii.s,lvii, veras no erraticoru fiderfi mo* tus pro hromanis annis 441,8«:diebus JfO.copIetis inter Pto* lemiei Timarcliidiftp obferuationes.Eifdem denitp gra. Mi.m. vii.s, Ivii, ablatis avero Ariftse loco per Ptolem^S confidera< to numeratoue relinquutur gra.xxii.m,xxxii.s.iii. virginis vei rus eiufdeni Arifta: in fignifero locus a Timarchide prope cos fideratus.Verumtamen ifte meus calculus fuperat TimarchiV dos obferuationem minutis primis xii.Perfpicuu igitur eft prg fcriptos meos canones fuper motibus ftellarunon erraticarS vetuftis illis confiderationibus plurimu accedere,atcp aPrifcc^, rumgeometraru feu aftronomotp inuentionibus fuper veris fixorum fideru locis in zodiaco pauculis admodum minutiis differre^ iccirco eofdem canones veterum mathematicorum confiderationibus de ftellis fixis valde congruere. Quod hac tftcnus memoratis exemplis oftendifle oportuit, Corolarium. Hinc etiam Iiquidumfit.no minore fidem tribuendam e(Te meis canonibus fuper motibus 8Cveris locis ftellarum no ers raticarum,ciuam prifcoru aftronomoip infpedionibus 8Cins uentis de eildem veris fixorum fiderum locis.Namid prifcaru de ftellis non erraticis obferuationu illarum fidem haudparS infirmat.quonia aliquae illaru calculu ex prauniflis canonibus 8: tabulis fadumfuperant, quaedam autem ab eodem cal culo deficiunt.Si enim omnes filat veterum obferuationu de ftellis fixis inuentiohes adamuffim veritati quadrarent, iure optimo ameo calculo ex didis canonibus fado fimul vniuerfae defo cerent,aut eundem calculum pariter omnes fuperarent.often* fmneft autem in prrcmilfis veteres obferuationes partim defis cerc,partim fttperare computum ex prgdidis canonibus meis fadum.veluti id liquet de confiderationibus Timarchidis,qug in fixo fidere Arifta dido acomputo meodeficiunt,fuper ftel* la vero illa quae in fronte Scorpii trium fplendidarum borea* lior eft,meum calculum excedunt,qute tamen confiderationes percundemTimarcludcm patrata fi fimulverae fiuffent,de«s berent pariter vinci ameo computo aut pariter eundem cxfu* perare.Non igitur minor fides tribuenda eft meis canonibus, quamveterum infpedionibus 8C inuetis, Quod hucufqj volui praedidlis declaraffe exemplis, PROPOSITIO XXIII, Ob mutationem maximae declinationis folis plurimu con* ueniet fubiicere decima fphaera eiufq; eclipticam cuius cancri capricornitp principia fupcr magno orbe per initia cancri Sd Capricorni eclipticae primimobilis ipfiufcp polos defcripto ari •^Cendantdefcendantcjj fecu trahentes ipfius nonae fphaera: eclri pticam, Suppofito namqj vnicis paruis circulis in concaui* tate primi mobilis fuper capitibus cancri capricornicp eclipci* caceiufdemprimi mobilis defcriptis in quibus initia cancri £d capricorninone fphxne gyrarent velut oftenfum fuit in thco< rematibus fuperius demonftratis confequens effer maximam folis declinatione a xx, annis hromanis fcu bifcxtilibus,& dies ' busioz.vfqj ad annos anatiuitateChriftifaluatoris noftri cirt citer 744, continue augmentata fuiffc ita vt pcneaddoo, an* ’ nos poftPtolemaeu, Eadem maxima folis, declinatio creuiffet fupergrad.xxiii.minuta prima li.fecunda xx, quantam videlu cet maxima folis Cl.Ptolemseus reperit,creuiffet inquam gra, «.minutis primis xiii.Nam per corolariu propofitiois xvii.Re* uolutio trepidationis non^fphaera; fuper didlos paruis circum Iis integra fit annis bifextilibus jOf8, quorum quarta pars exi* ftit annoqj 7d4,8ddimidii fere,Quibus fi detrahantur anni ld9 dies Ifr.qui lapfi fuerant ab initio reuolutionis eiufdem trepi* dationis vfqj ad Ptolemaei obferuatione remanent annifpp, fe re, quibus poft Ptolemrrum exactis maxima folis declinatio creuiffet fuper eam qua Ptolemaeus obferuauit didtis gradib* ii.minutis primis xiii.ita vt maxima folis declinatio annis ab Ptolemaei confideratione praeteritis fuiffet graduu xxvi.mi nutoru primoru quattuor. Quod didlu valde abfurdu eft, atep contrariu illis confiderationibus fuper maxima folis declina* tione prope annos f?5, poft Ptolemaeum fa&is,ideft circiter an r / nos domini 74f.Cundinaqj aftronomi illius aetatis fuis obfe» uationibus minorem inuenerutmaximafolis declinationcea qua Ptolemaeus inuenerat,Albategni namqj qui anno amorte Alexandri 1191. aut circa annos Nabuchodonoforis U<z6.feti circiter annos domini g78.1ideralcs peregerat infpedioes mi< noremreperit quantitatemmaximae declinationis folis, quam Ptolemaeus inuenit,maiorem tame cg qug hac noftra artate ob< feruatur.Parem dentqj maxima folis declinatione reliqui eiufn dem artatis fiderales infpedores deprarhenderunt,quar videlw cet minor effet maxima folis declinatione qua Ptolemarus de< praehendit,maior autem ea,qug noftro hoc aeuo obferuatur.Io^ circo necelle eft,fupponere decima fphaeram eiufcp eclipticam cuius capita cacri 8d capricorni afcendant defcendantqj ab inii Ciis cancri capricorniqj primi mobilis in magno circulo per eas dem initia cancri dC capricorni atqj per polos eclipticae primi mobilis eunte,quibus quidem afceniu &C defcenfu cotrariaqu* damratione fadis eclipticanonae fphcerce retrahatur deprimat turuc ne nimium fubleuetur, prohibeaturcp ne magis defccns datfubmittaturcpqua veritas obferuationu maximar declinatis onis folis admittat. Tales deniqj afcenfus 6Cdefcenfus eclip< ticar huius decimaefpharrae,Trepidatio fecunda, feu trepidatio decimae fphserae polterius appellabitur. PROPOSITIO XXIIII Theorica trepidationis decima huius fphaerar & qua ratioc fe habeat ad tre; pidationem prima quae no nar fphatrae competit ,atqj ad primi mobilis ecliptica fuccindim explicare. Sit' igitur ecliptica primi moi bilis abc,8Cb.pundus ea put cancri primi mobilis SC fedio circuli magni de* fcripti per polos eclipticae &capita cJeri &T capricorni primi mobilis fitdbe.& polob. interuallo autem ab.exiftente gradufiiu, primore minutorum xxiii.fcriptus paruus circulus adce.Et quonia per conftruAis onem duo plana duoru orbium abc,d be, ad reAos angulos feinuicem fecant, igitur ab c, ecliptica &orbis magnus d b e. per polos atcp capita cancri capricornicp eiufdem ecliptice feri ptusdiuidunt paruu circulum adce, in quattuor quadrantes sequales qui flnta d,d c,c e.e a. Sit deniqj c, feAio occidentalis &a, oriecalis feAio ecliptica; abc,primi mobilis atqj parui cir culi ad ce.Rurfus ecliptica decimx fphxrx ficfgh.& punA* •''g,caput cancri eiufdem eclipticx, imaginartdumqj eft g, polo, ateg fpacio fg.fubieAo graduBice iii.primoru minuto^ xxiii, deferiptum etle circula fi hk,paruu in quo nona; fphgre eclip ticre Ini, caput cancri l.circumuoluatur deferibens lita circitis tione parttu fi hk.circiilfi.Intelligamiis deindeg.inititlm cans cri ecliptica* decimg fphxrx in magno circulo dbg e.neutiquS abeo recedens ab e.punAoafcendere vfqt ad d,piinclum,quo cumacceiTericiteru veriits c.punAum in eodem orbe magno dbg e.paulatim defeendere vfqj ad e, punAum ,deinceps vl prius fieri eiufdemg.capitis cancri decimae fphxrx afcenfum ahe.punAo vfcp adct.Tali denicp defcenfu quaclo ecliptica fg h. decimx fphxrx conftituitur in plano ecliptica; abc, primi mobilis,Comunis feAio velut c, eclipticae decimx fphxrx 8£ partii circuli adce.occidentalis regulari &xquali motu apun Ao c.defcendit vfcp ad punAB e.in qtto ecliptica decimp fphxs rx contingit partium circulum adce.ac deinde feAio eiufdem eclipticx ik parui circuli adce.orientalis xquali rurfus motu afeendet vfcgad a,punAum,3f tunc planum eiufdem eclipticg decimx fphxrx iterum conflftet in plano eclipticx primi mos bilis, ac inde eadem feAio orientalis regulari motu paulatim afcendet,vfqj ad eiufdem parui circuli adce.punAum d. quo iterttmeclipticadecimxfphxrx tangit eundem paruu circus lum adce.pofthxc eclipticx decimx fphxrx SC parui circuli adce,feAio occidentalis regulari xqualitte motu defeendet vfcg adc,punAumsatqj tunc planu eclipticx decimx fphxrx rurfus collocabitur in plano ediptic* primimobilis. Et deim eeps redibit prror earundem fed/onS difpofitio.Perinde atque aliquis pundus eclipticae decinq; fpha:rae,in inferiori parui cir culi adce.medietate cea,fecundum,in fuperiori autem adc. contra fignorum fucceffumfeu ordinem delatus defcriberet circumferentiam parui circuli adc e.Prjterea quonia per pr$t cedentes hypothefes,duo plana orbis dbge,& ecliptice dee/# mat fphaer^ ad redos feinuicem fecant angulos, igitur paruus orbis fihk.per eundem magnu circula dbge, atep eclipticam decima: fph^ram in quattuor fcinditur quadrantes fi, ih, hk, kf.paruicp circuli fi.h k,8C eclipticf decimg fedio occidcnta»- lis quidem fit h.orietalis vero fit l.Intelligcndum deinde eftl, pundu caput efTe cancri eclipticae nonj fphgrg collocaricp fub h,pundoleufedione parui circuli fi hk,&: eclipticj decimae Sxoccidentali fica capite cancri eclipticae nonae iphacra: ituto,planum eiuiaem eclipticae in plano eclipticae decir mae fphaera: collocabitur. Abeadem deinde fedione occident tali idem cancri caput recedens mouebitur per fuperforem iui parui circuli medietatemhif.&Tiuxtafigniferi fucceifione ab h,videlicet fedione occidentali verfus i.fummitate parui cire culi fihk.feptemtrionalem,quare tunc ecliptica non* fphgrg erit icotadu eiufde parui circuli feptetrionali,a qua ide caput cancri defeendens mouebitur verfus f.fedione eiufdem parui orbis f ihk.fif eclipticae decimat fphaerae orientalem fub qua eodemcancri capite collocato,planum eclipticae nonae fph^rf confiftetintra planu eclipticae decimae fphaere,£C abeadem fee dione orientali recedens mouebitur aequaliter verfus k, fume snitateeiufdemparuicirculimeridionaleminqua caput cacri confiftens ecliptica nonae fphaerae tanget paruu circulu fihlc, fuperk.fummitateeius meridiona1i,dequaidem caputcancri nonae fph^rg feparatu cotinuo aequalicp motu afeendet verfus h.fedione parui circuli fihk,8C eclipticaedecimat fphaera: oct cidentale,in qua ipfo capite cancri nonae fphjr^ collocato prir or didaqj difpoiitio redibit. Hinc etiam perfpicuu fit qi haec primatrepidatio non£ videlicet fphjrj cotrario modofe habet ad fcciindam trepidationem fysx decima attribuitur fphajra. Namcaput cancri nong fpharg per fupcriorem fcu feptemtris onalem fui parui circuli medietate monebitur iuxta fignonrm ordinem in auftrina vero medietate contra fignoru fucceffiohe In fedionibus deniqs ecliptica decima fphgrg 8d parui fui cirs culi contrario fubiicimus.Nam egdem fediones in feptemtrios riali parui fui circuli medietate mutantur contra figniferi fucs ce(Tionem,In meridionali vero medietate iuxta fignoruordis nem.Prgtereacum prima trepidatio ab feptemtrione in auftru defcendit,fecundatrepidatioabauftro in feptemtrione afceni -vriit &econtra. Liquet deniip q> caput capricorni nona fphas ra fuper fuo paruo circulo,motum habet contrarium ei quem cancri caput eiufdem nona fphgrg habet,Nam capite eiufdem cancriin boreali fui parui circuli medietate motu iuxta fignis ferifucceflionem,caput capricorni eiufdem nong fjphgrgmus tabitur per medietatem fui parui circuli auftrinam &C contra» Pardenicp ratio eft fedlionu ecliptica decimg fphgrg fuicp pars ui circulfqua quidemfediones fiunt circa initia cancri eiufde ecIipcicg.SC cancri primimobilis,ad fedioncs eiufdem ecliptis ca decima fpharg paruiqj circuli iuxta principia capricorni decima fphgrg &C capricorni primi mobilis. Patet itaqj thes orica fecunde trepidationis ecliptica decima fpharg, Sdcp fe contraria ratione habeat ad trepidationem primamqua nonae tribuitur fphgrg,quod hucuiqj decuit enarrafle. PROPOSITIO XXV. Trepidationem fecundamqug decimg fphgrg accommoda? ex obfcruatione PtoIemgi,& ex huius xtatis confiderationib» in vno die numerare,fi£ ex confequenti eiufdem trepidationis canones feu tabulas idoneas conitituere. Pro hoc itacp pros pofito conficiendo.Inprimis fubiicere arbitror q> tempore cos fiderationis Ptol emxi ideft anatiuitate domini bifextilibus an nisi4p.& diebus liii,completis, maxima ecliptica primi mos fcilis ab aquatore declinationem tantam fuifle, quantam idem Ptolemaus obferuauit ideftgraduum xxiii, primoru minutos Wecundo^xx,Ddnde fubueiendum effe^ ex pracedctihys