Método de exploración secuencial cuasi equilibrado en muestreo en poblaciones finitas

ESTADISTICA ESPAÑOLA Vol. 36, Núm. 135, 1994, págs. 143 a 162 Mé odo de explo ación secuencial cuasi equilib ado en mues eo en poblaciones ini as po FRANCISCO R. FERNANDEZ GARCIA y JOSE A. MAYOR GALLEGO Depa amen o de Es adís ica e In es igación Ope a i a Facul ad de Ma e n^ icas. Uni e sidad de Se illa RESUMEN En es e abajo se p opone un p ocedimien o de mues eo de ipo secuencial que p opo ciona p obabilidades de inclusión de p i- me o den p opo cionales al amaño, sob e bloques de la población, siendo las de segundo o den nulas pa a pa es de elemen os simila- es, lo que se aduce en una disminución del e o de mues eo. Pa a la es imación de la a ianza se usa un esquema de eplica- ción que puede se aplicado en pa alelo, bas ando una única explo- ación de la población. Se ealiza un es udio compu acional compa a i o con p ocedi- mien os exis en es de ipo IIPS, an o de na u aieza secuencial como no secuencial, median e es imaciones epe idas sob e pobla- ciones cons uidas po simulación. Palab as cla e: mues eo con p obabilidades a iables, mues eo secuencial, es imado de Ho i z-Thompson, modelo de supe po- blación, esquema eplicado. C/asi icacíón AMS: 62D05. ESTADIST"1CA ESPAÑOLA 1. INTRODUCC^aN La ob ención de una mues a a pa i de una población ini a, can obje a de es ima cie as ca ac e ís icas poblacionales, es á supedi ada a las posibilidades de acceso a los di e en es indi iduos de la pobiación, de mane a que, en la se- lección de los mismos pa a o ma pa e de la mues a, esui a de g an impo - ancia e! mé odo de acceso a los elemen os del ma co. Desde es e pun o de is a, hemos de conside a mé odos de mues eo adap- ados a si uaciones en las cuales sóla es posible la explo ación secuencia! de !a población, usualmen e debid0 a las li ni aciones inhe en es al sopo e de la mis- ma. Así, po ejemplo, ei caso de una población o mada po elemen os que es- án siendo p oducidos en una cadena de ab icación y cuya calidad se quie e es udia . O o ejemplo ípico se da en audi o ía, cuando es necesa io es udia de o ma sucesi a ias di e en es cuen as de un sis ema con able. Es os mó odos ealizan un ba ido sob e la población, dispues a en cie o o - den, de o ma que una ez explo ado el elemen o inal, la mues a es á comple a. En su aspec o más simple, no u ilizan in o mación auxilia pa a selecciona ios elemen os, de mane a que la exis encia de indi iduos muy di e en es, en e- lación a cie as ca ac e ís icas, no es enida en cuen a. Así, si ealizamos una explo ación secuencial en una población U={ ,u3,...,UN} con N elemen os, dispues os en cualquie o den, y cada elemen o de la misma, independien e nen e de los demás, es seleccionado con p obabilidad p, ob en- d emos como espacio mues al el conjun o de odas las mues as posibles. Si se ep esen a po n(m ) el amaño de !a mues a m, cada una de és as end á p o- babilidad p(m} = p^ ^m^ (1 - p)N ^ ^^m^. EI diseño mues al o iginado se conoce como díseña mues al de Be nouilli ( éase S^ ndal, Swensson y W e man, 1992}. Como puede obse a se, el amaño mues al es a iable pe o su espe anza iene dada po E[n (m)] = Np, lo que pe mi e cie o con ol sob e el misma. U o p OCedimien o de es e ipo, que denominamos mé odo de inse ción y que p opo ciana el diseño mues al alea o io simple, consis e en eco e la po- blacián gene and0 pa a cada elemen o un núme o alea o io en e ^ y 1. En odo momen o se man iene una lis a de elemen os, o denada po la magni ud de las co espondien es núme os alea o ios, de meno a mayo . Los n p ime os elemen os son in oducidos di ec amen e en la iis a. A pa i del elemen o n-ésimo, dicha lis a es ac ualizada inse ando p obabilís icamen e el elemen o u; en el luga co espondien e y eliminando en su caso o o elemen- o almacenado. METODO DE EXPLURACION SECUENCIAL CUAS! EQUILIBRAUO EN MUESTREU 14S De es a o ma, una ez explo ada oda la población, se iene una mues a de n elemen as, pe enecien e a un diseño mues al alea o io simple. Hemos de obse a que la aplicación de es e mé odo no equie e el conocimien o del a- maño de la población, N, siendo posible su aplicación incluso en aquellos casos en los cuales la población no es á delimi ada de an emana. Conside emos como ejemplo el caso de una línea de p oducción con un núme o de unidades a p o- duci no con olada con exac i ud. En la sección 5 de es e abajo se expone una e sión algo í mica de es e p ocedimien o, así como una jus i icación del mismo. Obse emos que ninguno de los mé odos desc i os iene en cuen a las di e- encias exis en es en e los elemen os de la población, lo que puede p oduci es imaciones poco p ecisas sob e odo en poblaciones muy dispe sas. Asi, si que emos es ima el o al, T( Y), de una a iable, Y, de inida sob e la pobla- ción, T(Y)^^ Y; iEU a pa i de una mues a m, ob enida de un diseño mues al con amaño de mues a ijo y p obabilidades de inclusión n; y n;^ , la es i nación de Ho i z- Thompson iene po a ianza ^ V[T(Y)]=_ ^ Y; Yi 2 ^ ^ (n;i - n% n%) ,^. - n. ^ ^, ^ E U ^ 1 cuya disminición puede consegui se po dos ías: a) Po una pa e, si las p obabilidades de inclusión de p ime o den san p opo cionales a los alo es Y; end emos a ianza nula. Es e supues o no es ealis a po azones e iden es; sin emba go, sí podemos in en a que dichas p obabilidades de inclusión sean p opo cionales a los alo- es de la a iable auxilia , X, elacionada con Y, con lo que consegui- mos, si no anula la a ianza, al menos educi la. b) Po o a pa e, ambién podemos disminui la a ianza in en ando que los alo es - e;^ = n; ^; - ^;^ sean pequeños ( e incluso nulos) pa a aque- Ilos pa es ( i, j) ales que los co espondien es alo es Y; e Y^ sean muy di e en es, pues son és os los que p apo cionan alo es ( Y; l n; -- Y^ l n^)2 nayo es. Nue amen e, hab á que u iliza la a iable auxilia pa a conse- gui es e obje i o. 14b ESTADISTICA ESPAÑOLA Exisien a ios p ocedimien os de explo ación secuencial que in en an la e- ducción de a ianza po alguna de las ías mencionadas, dando luga a di e en- es diseños mues ales. ^i emos p ime amen e el mé odo sis emá ico de Madow ( 1949), usado en audi o ía, con e! cua! se consigue que las p obabilidades de inclusibn de p ime o den sean p opo cionales a una a iable auxilia , conocida pa a oda la pobla- ción. AI se de ipo sis ®má ico, p esen a el incon enien e de !a es imación de !a a ianza, usual en los mismos. Véanse Hájek ( 1981) y Bellhouse ( 1988). O o mé odo de es a na u aleza es el de Sun e (1977), con el cual se consi- gue ambién que las p obabilidades de inclusión sean p opo cionales al amaño, aunque no necesa iamen e pa a odos los elemen os de la población. Es e mé- odo equie e que la población sea o denada en o den dec ecien e, median e !a a iable auxilia . Finalmen e mencionamos el mé odo de explo ación secuencial denominado del es a o mó ^l, Tillé ( 1994}, con el cual se consígue que las p obabilidades de inciusión de p ime o den sean cons an es, siendo las de segundo o den an o mayo es cuan o más di e en es son los elemen os co espondien es ( en elación a una a iable auxilia que se usa pa a o dena p e iamen e ia población}. Es e mé odo incide, pues, en la segunda ía de educción de a ianza. En es e abajo se p opone un mé odo de explo ación secuencial, que Ilama- mos cuasi equilib ado, y que ob iene la mues a median e un p oceso del ipo an e io men e desc i o, consiguiendo p obabilidades de inclusión de p íme o - den p opo cionales ai amaño sob e bloques de la población, lo que, como se e á, iene e! mismo e ec a de educcián de a ianza que los diseños IIPS usuales. Po o a pa e, as p obabilidades de inclusíán de segundo o den son nulas pa a pa es de elemen os simila es, lo que se aduce en una disminución de! e o de mues eo. EI abajo se ha es uc u ado de !a siguien e o ma: En la sección dos se p esen a el mé odo de explo ación secuencial cuasi equiiib ado, es udi^ndose el diseño mues al esul an e. En la sección es compa amos es e mé odo con ei mencionado an e io - men e de Madow, y c©n e! mé odo de Sa np o d, de na u aleza no secuencial, an o cuando la población es á dispues a alea o iamen e como cuando posee cíe a es uc u a. En !a sección cua o se cons uye una es imación insesgada del e o de mues- eo, y se eaiiza un es udio compu acionai de ia a iabiiidad de dicha es imación, compa ando el mé odo secuencial equilib ado con el mé odo de Samp o d. Finalmen e, en la seccián cinco se ag upan, en © ma algo í mica, los p oce- dimien os p opues os en e! abajo. METODO DE EXPLORACION SECUENCIAL CUA51 EQUILIBRADO EN MUESTREO 147 2. METODO DE EXPLORACION SECUENCIAL CUASI EQUIL.IBRADO Vamos a supone que sob e la población U exis e una a iable de es udio, Y, que oma los alo es Y; , i E U, cuyo o al, T( Y) _^u Y; , que emos es ima . Asumimos la exis encia de una a iable auxilia , X; , elacionada con la an e- io según el siguien e modelo de supe población: Y;=a+^X;+E; ES [E; J = 0 VS [E; ] = Q2 ES[e; Ej]=0 i^j donde ES [•] y VS [•] indican, espec i amen e, los ope ado es espe anza y a- ianza con espec o a dicho modelo de supe población. Supongamos que que emos ex ae n elemen os de la población U, y deno- emos T (X) _^^ X; . Supongamos ambién que la población es á o denada de meno a mayo , po los alo es de la a iable auxilia , es deci , X1 S.X25X35... XN-1 SXN y Ilamemos T; _^ k_^ Xk , siendo To = 0. Los alo es de la a iabie auxilia han de e i ica la condición usual pa a la aplicabilidad de los mé odos IIPS, es deci , X.s 1 T(X) diEU ' n de mane a que si uno o a ios elemen os no la cumplen, en an di ec amen e en la mues a, siendo apa ados de la población. U ilizando el ango de a iación de la a iable X, de inimos n subpoblacio- nes como sigue: U=iEU T. <T(X)sT. , { I ,-, n ^) k-1 X U= i E U T. < k (^ s T. - U^ k= 2 3.. n k { I , - , n , } ^..,^ i ,, • , j=1 14$ F.STADIST7CA FSPAÑOLA Si suponemos que las unidades de la pob ación ienen ama^ios muy peque- ños en elacibn a T(X ) l n, en ances las can idades TX(Uk)-. ^ X; k=1,...,n iEUk se án muy simila es a T(X ) l n, siendo és a la azón de que el mé odo se de- nomine cuasi equi ib ado. Obse emos que en una explo acíón secuencial de la pobiación U se eco- en sucesi amen e las subpoblaciones U,, U2, ..., UN . En pa icula , en la s.ubpoblación Uk , amos a consíde a el siguien e p oce- dimien o pa a ex ae un elemen o, donde con Z,d [0,1) deno amos una dis ibu- ción uni o me con inua en [0,1 }. 1. Gene a un núme o alea o io ^ 2.1 [0,1). 2. Seleccciona el e emen o u; E Uk a que k- T; _^ s TX { Uk }+^ TX ( Uj )< T^ j=1 Así, después de un ba ido comp e o de la población, hab emos selecciona- do n elemen os de la misma, uno po cada subpoblación. En el siguien a eo ema se ca culan os alo es de as p obabilidades de in- c usián y las can idades -- e; j, así como la a ianza del es imado de Ho i z- Thompson pa a el o a poblacional, T( Y). T^eo ema 1 Con el p ocedimien o p e iamen e desc i o se e ^ ica: (a) X; % E U k T X ( Uk ) (b) 0 iEUk,jEU^,k^J -e;j= n;nj i,jEUk,í•^j -n;(1-n;) i,jEUk,i=j METODO DE EXPLORACION SECUENCIAL CUASI EQU[LIBRADO EN NE 1ESTREO I49 (c) La a ianza del es imado de Ho i z-Thompson pa a el pa á ne o T( Y) iene dada po n 1 ^ Y^ Yj 2 V [T ( Y )] _ ^ ^ ^ n; n; - 2 k=1 i,jEU^ ^i nj Demos ación (a) Sea u; E Uk . Se iene n;=P[iEm]-P k--1 k-1 T;_i- ^ Tx(Uj)s Tx(Uk}<T;- ^ Tx(Uj) _ i=^ i=^ k-1 k-1 _ Ti- ^i=^ Tx (Uj) T; ^j_, Tx (Uj) -P - s < - Tx (Uk } Tx (Uk ) Tx (Uk ) Tx (Uk ) ^ T ^ - Ti - ^ Xi _ Tx ! Uk ) - Tx ( ^k } (b) Es inmedia o si se obse a que n;nj iEUk,jEU;,k.^l ?L;j= ^ I, EUk,l^j n I E ; ,j Uk,^=^ (c) Bas a sus i ui los pa áme os ob enidos en el apa ado (b) en la ex- p esión gene a! ^ Y; Yj 2 V [T ( Y)] = 1 ^ ^ - e. - 2 i,jEU ^i ni ^j y al anula se los sumandos co espondien es a pa ejas de elemen os de g upos di e en es, queda la exp esián p opues a. 150 ESTADISTICA ESP'AIVOLA Obse e nos que el mó odo p opues o no se puede conside a II PS en sen#i- do es ic o ya que el ac o de p opo cionalidad pa a las p obabilidades de inclu- sián de p ime o den, en elacián al amaño de cada elemen o, es di e en e en cada una de las subpoblaciones Uk , k= 1, ..., n . No obs an e, ello no a ec a a la disminución de a íanza debido a ia descomposición de la misma ob enida en el apa ado (c). Recalca nos que pa a e emen os de la población dis an es, en ei sen ido de su amaño con espec o a la a iable auxilia , X, el alo de -- d,1 se anula, con ^o cual el é mino co espondien e a dicho pa de elemen os desapa ece de la exp esión de la a ianza. Median e un cálculo di ec o ambién podemos ob ene la siguien e exp esión ai e na i a pa a ia a ianza: n ^^2 ^ 2 ^ IT ( ^` )I = ^ - ^ Ty ( uk ) iEU ni k=i donde deno amos Ty(Uk)= ^ Y; k_1,...,n iEUk Como puede e se, bajo la hipó esis ya mencíonada de que los amaños de los elemen os sean pequeños en eiación a T(X )/ n, se end á que ^ -^ n . -- X' n x' TX {Uk ) T (X) con !o cual el p ime é mino de la a ianza no esul a muy in luencíado po la es uc u a de o denación exis en e sob e la población. Con espec o al segundo é mino, si deno amos po N 1, ..., N^ ios amaños espec i os de U^,..., U^ , e- nemas pa a su espe anza en el modelo de supe población nn Es L.^ T y ( Uk J ^^ V S I T y! Uk j^+ ES ^ T y( Uk )^^ k = 1 k = 1 n _ ^Q`Nk+{aNk+^ TX(Uk))2= k=1 METODO DE EXPI.ORACION SECUENCIAL CUASI EQUIL BRADO EN MUESTREO n =a2N+ ^iaNk+^ TX((^k))2_ k = 1 - 1 (a N + ^ T (X ))2 + 1 (ac N + ^ T (X ))2 = n n =a2N+ 1 (aN+^ T (X))2+naáN + n k ^Txcuw) ISl donde a^ Nk +^ X (^k ^ ep esen a la a ianza de las can idades a Nk +^ TX (Uk ), k-1,...,n. Bajo la hipó esis mencionada, las can idades Tx ( Uk ), k= 1, ..., n son muy simila es, con lo cual, desp eciando su a iabilidad, se iene 2 ^ 2 2 aaNk+^Tx(uk^ a a Nk siendo a Nk la a ianza de las can idades N^, N2, ..., N„ . Así pues, la a ianza de la es imación se á an o meno cuan o m^s dispe - sos es én los alo es N^, N2, ..., N^ y dicha dispe sión ende á a se ele ada cuando la población se o dene po la a iable usada pa a equilib a las subpo- blaciones. En la sección 5 de es e abajo exponemos una e sión algo í mica del mé o- do desc i o an e io men e. 3. COMPARACION CON OTROS METODOS En es a sección ealizamos una compa ación con o os mé odos es ic a- men e IIPS, exponiendo los esul ados ob enidos al aplica an o el mé odo se- cuencial cuasi equilib ado (SCE) como el ya mencionado de Madow, y el de Samp o d, de na u aleza no secuencial. Es a aplicación consis e en la es ima- ción de la media poblacional de una a iable de es udio, Y, en dos poblaciones gene adas po simulación. Ambas poblaciones ienen un amaño N= 10000 y se desc iben a con inuación. l58 E5TADiST1C:A ESPAÑO1.A Como puede e se, el e o ela i o medío es no ablemen e más pequeño pa a el né odo secuencial eplicado que pa a el de Samp o d, siendo esal able que el mé odo de Sa ^p o d enga una a ianza supe io al doble de la del mé o- do secuencial equilib ado. Fínalmen e, podemos ambién a i ma que la es abili- dad de la es imación de la a ianza es simila en ambos mé odos, como puede deduci se de los coeiicien es de a iacián de las a ianzas es imadas. 5. ESQUEMAS ALGORITMICOS En es a seccián p esen amos, en o ma algo í mica, los di e en es mé odos p opues os en es e abajo. En odos ellos, la no ación ^ 21 [0, 1) indica que es una magni ud alea o ia gene ada a pa i de una dis ibución uni o me con i- nua en [0, 1). 5.1. Mé odo de inse cián En es e algo i mo, ® ep esen a una lis a, que siemp e se man iene o dena- da, de elemen os de la población, usando como c i e io de o denación el indica- do más adelan e. ALGC^RITM4 1. METODO DE INSERCION O , (), i .= 1 REPETIR a;~^[^^1) SI(isn) In oduci u; en la lis a ® de o ma que los elemen os de dicha lis a apa ezcan o denados po la magni ud del núme o alea o io asociado. sl Na SI (a; s mÉ é{a,^ }= a^} 1 Elimina u^ de e e inse a en dicha lis a el elemen o u; . FIN SI FIN SI i. i+1 HASTA (u; ^ U) METODO DE EXPLORACION SECUENCIAL CUASI EQUILIBRADO EN MUESTREO 1 S9 Una ez inalizado el algo i mo, la lis a ® con iene la mues a deseada. Es e p ocedimien o asegu a la ob ención de una mues a pe enecien e a un diseño mues al alea o io, es deci , odas las mues as de amaño ijo n can dis ibución de p obabilidad uni o me sob e las mismas, a pa i de una explo ación secuencial de la población, sin eque i el conocimien o p e io del amaño de la población. Pa a p oba lo, bas a obse a que si o denamos la población comple a usan- do como c i e io la magni ud de los núme os alea o ios, cuaEquie a de las N! o - denaciones posibles iene p obabilidad 1/ N!, po lo cual la p obabilidad de ob- ene la mues a m se ^ P (m) = n ! ( N - n )! _ 1 N^ ^^Í 5.2. Mé odo secuencial cuasi equilib^ado Seguidamen e exponemos una e sión algo í mica del mé odo de explo a- ción secuencial cuasi equilib ado. En dicho algo i mo, m ep esen a la mues a a ex ae . ALGORITMO 2. METODO DE EXPLORACION SECUENCIA^ CUASI EQUILIBRADO m:_ {}, i:= 0, k : = 1, T^, .= 0 REPETIR ^ ^1 [0, 1) j .- 0 REPETIR i:=i+1 SI (( Tx(Uk)+ T^,^ T;)Y(j=0)) m.=mU{i} j:=1 FIN SI T(X) HASTA T; z k n TD := T^ + Tx ( Uk ) k:=k+1 HASTA (k > n) 160 ESTAD[5T1CA ESPAÑ(JLA 5.3. M^ odo de explo ación secuencial cuasi equiiib ado en pa aleMo EI algo i mo siguien e ob iene 1 mues as independien es, cada una de n e e- men os, con un soio ba ido de la poblacián. ALGORITMO 3. METODO DE EXPLC)RAC14N SECUENC AL CUASI EQUILIBRA©O EN PARA^ELO i:=O,k:=1, T^,=0 m, . {}, ..., m, ._ {} REPETIR ^, ..., ^ ^ 21(0, ^) j ^ .= 0, ..., j^ :- 0 REPETIR i .-i+1 p := 1 REPETIR SI (( p TX(Uk)+ TD<T^)Y(jp=Q)) nP:=mpU{i} 1 ^^ 1 P FIN SI p : p+1 HASTA p > 1 HASTA 1 T ; z k T ( X ) 1 n ^ TD := T^ + TX ( Uk } k.=k+1 HASTA (k > n ) METODO DE EXPLORACION SECUENCIAL CUASI EQUILIBRADO EN MUESTREO i b ^ 6. CONCLl1SIONES Como se ha is o, el mé odo secuencial cuasi equilib ado, an o en su e - sión básica como eplicada, se p esen a como una al e na i a muy adecuada en aque los casos en los cuales las pa icula idades de la población sólo pe mi en una explo ación secuencial de la misma, sacando pa ido de la o denación exis- en e en elación a una a iable auxilia . Es impo an e obse a que al o dena- ción no iene po qué se es ic a, de mane a que la exis encia de una o dena- ción ap oximada ambién p oduci á una disminución del e o de mues eo. Po o a pa e, dicho mé odo, en compa ación con o os de ipo secuencial de simila es ca ac e ís icas como el de Madow, p esen a la en aja de dispone de un es imado de la a ianza adap ado a sus pa icula idades. REFERENCIAS AsoK, C., y SUKHATME, B. V. (1976): «On Samp o d's p ocedu es o unequal p o- babáli y sampling wi hou eplacemen », J. Ame . Sa is . Assoc, 71, 912-918. BELLHOUSE, D. R. (1988}: «Sys ema ic Sampling», Handbook o S a is ics 6. Sampling, P. R. 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ESTADISTICA ESPAÑDLA A SAMPLING SCHEME W TH SEQUENTIAL QUASI BALANCED EXPLORATION SUMMARY In his pape we p opose a sampling sequen ial p ocedu e wi h i s -o de inclusion p obabili ies wich a e p opo iona! o size o e subpopula ions om he en i e popuia ion, and second-o de inclu- sion p obabili ies equal o ze o o pai s o simila uni s. We show ha his me hod educes he sampling e o wi h espec o simila me hodolagies. A eplica ion me hod is used o es ima e he a iance. I s main ad an age is ha all he sampling eplica íons a e ob ained wi h only one sequen ial explo a ion o he popula ion. The ela i e pe o mance o his me hod, in ela ion wi h ano he unequal p obabili y sampling schemes, ei he sequen ial- ype o no#, is s udied. Fo ha , using simula ed popula ions, he ela i e e a s a e calcula ed unde di e en samp ing schemes. Key Wo ds: sampling wi h unequal p obabili ies, sequen ial sam- pling, Ho i z-Thompson es ima o , supe popu a ion model, epli- ca ed scheme. AMS Classi ica ion: 62D05.