Método de exploración secuencial cuasi equilibrado en muestreo en poblaciones finitas

ESTADISTICA ESPAÑOLA Vol. 36, Núm. 135, 1994, págs. 143 a 162 Método de exploración secuencial cuasi equilibrado en muestreo en poblaciones finitas por FRANCISCO R. FERNANDEZ GARCIA y JOSE A. MAYOR GALLEGO Departamento de Estadística e Investigación Operativa Facultad de Matern^ticas. Universidad de Sevilla RESUMEN En este trabajo se propone un procedimiento de muestreo de tipo secuencial que proporciona probabilidades de inclusión de primer orden proporcionales al tamaño, sobre bloques de la población, siendo las de segundo orden nulas para pares de elementos similares, lo que se traduce en una disminución del error de muestreo. Para la estimación de la varianza se usa un esquema de replicación que puede ser aplicado en paralelo, bastando una única exploración de la población. Se realiza un estudio computacional comparativo con procedimientos existentes de tipo IIPS, tanto de naturaieza secuencial como no secuencial, mediante estimaciones repetidas sobre poblaciones construidas por simulación. Palabras clave: muestreo con probabilidades variables, muestreo secuencial, estimador de Horvitz-Thompson, modelo de superpoblación, esquema replicado. C/asificacíón AMS: 62D05. ESTADIST"1CA ESPAÑOLA 1. INTRODUCC^aN La obtención de una muestra a partir de una población finita, can objeta de estimar ciertas características poblacionales, está supeditada a las posibilidades de acceso a los diferentes individuos de la pobiación, de manera que, en la selección de los mismos para formar parte de la muestra, resuita de gran importancia e! método de acceso a los elementos del marco. Desde este punto de vista, hemos de considerar métodos de muestreo adaptados a situaciones en las cuales sóla es posible la exploración secuencia! de !a población, usualmente debid0 a las lirnitaciones inherentes al soporte de la misma. Así, por ejemplo, ei caso de una población formada por elementos que están siendo producidos en una cadena de fabricación y cuya calidad se quiere estudiar. Otro ejemplo típico se da en auditoría, cuando es necesario estudiar de forma sucesiva ias diferentes cuentas de un sistema contable. Estos mótodos realizan un barrido sobre la población, dispuesta en cierto orden, de forma que una vez explorado el elemento final, la muestra está completa. En su aspecto más simple, no utilizan información auxiliar para seleccionar ios elementos, de manera que la existencia de individuos muy diferentes, en relación a ciertas características, no es tenida en cuenta. Así, si realizamos una exploración secuencial en una población U={ ,u3,...,UN} con N elementos, dispuestos en cualquier orden, y cada elemento de la misma, independienternente de los demás, es seleccionado con probabilidad p, obtendremos como espacio muestral el conjunto de todas las muestras posibles. Si se representa por n(m ) el tamaño de !a muestra m, cada una de éstas tendrá probabilidad p(m} = p^ ^m^ (1 - p)N ^ ^^m^. EI diseño muestral originado se conoce como díseña muestral de Bernouilli (véase S^rndal, Swensson y Wretman, 1992}. Como puede observarse, el tamaño muestral es variable pero su esperanza viene dada por E[n (m)] = Np, lo que permite cierto control sobre el misma. Utro pfOCedimiento de este tipo, que denominamos método de inserción y que proporciana el diseño muestral aleatorio simple, consiste en recorrer la poblacián generand0 para cada elemento un número aleatorio entre ^ y 1. En todo momento se mantiene una lista de elementos, ordenada por la magnitud de las correspondientes números aleatorios, de menor a mayor. Los n primeros elementos son introducidos directamente en la iista. A partir del elemento n-ésimo, dicha lista es actualizada insertando probabilísticamente el elemento u; en el lugar correspondiente y eliminando en su caso otro elemen- to almacenado. METODO DE EXPLURACION SECUENCIAL CUAS! EQUILIBRAUO EN MUESTREU 14S De esta forma, una vez explorada toda la población, se tiene una muestra de n elementas, perteneciente a un diseño muestral aleatorio simple. Hemos de observar que la aplicación de este método no requiere el conocimiento del tamaño de la población, N, siendo posible su aplicación incluso en aquellos casos en los cuales la población no está delimitada de antemana. Consideremos como ejemplo el caso de una línea de producción con un número de unidades a producir no controlada con exactitud. En la sección 5 de este trabajo se expone una versión algorítmica de este procedimiento, así como una justificación del mismo. Observemos que ninguno de los métodos descritos tiene en cuenta las diferencias existentes entre los elementos de la población, lo que puede producir estimaciones poco precisas sobre todo en poblaciones muy dispersas. Asi, si queremos estimar el total, T( Y), de una variable, Y, definida sobre la población, T(Y)^^ Y; iEU a partir de una muestra m, obtenida de un diseño muestral con tamaño de muestra fijo y probabilidades de inclusión n; y n;^ , la estirnación de Horvitz- Thompson tiene por varianza ^ V[T(Y)]=_ ^ Y; Yi 2 ^ ^ (n;i - n% n%) ,^. - n. ^ ^, ^ E U ^ 1 cuya disminición puede conseguirse por dos vías: a) Por una parte, si las probabilidades de inclusión de primer orden san proporcionales a los valores Y; tendremos varianza nula. Este supuesto no es realista por razones evidentes; sin embargo, sí podemos intentar que dichas probabilidades de inclusión sean proporcionales a los valores de la variable auxiliar, X, relacionada con Y, con lo que conseguimos, si no anular la varianza, al menos reducirla. b) Por otra parte, también podemos disminuir la varianza intentando que los valores - e;^ = n; ^; - ^;^ sean pequeños ( e incluso nulos) para aque- Ilos pares ( i, j) tales que los correspondientes valores Y; e Y^ sean muy diferentes, pues son éstos los que praporcionan valores ( Y; l n; -- Y^ l n^)2 rnayores. Nuevamente, habrá que utilizar la variable auxiliar para conseguir este objetivo. 14b ESTADISTICA ESPAÑOLA Exisien varios procedimientos de exploración secuencial que intentan la reducción de varianza por alguna de las vías mencionadas, dando lugar a diferentes diseños muestrales. ^itemos primeramente el método sistemático de Madow ( 1949), usado en auditoría, con e! cua! se consigue que las probabilidades de inclusibn de primer orden sean proporcionales a una variable auxiliar, conocida para toda la población. AI ser de tipo sist®mático, presenta el inconveniente de !a estimación de !a varianza, usual en los mismos. Véanse Hájek ( 1981) y Bellhouse ( 1988). Otro método de esta naturaleza es el de Sunter (1977), con el cual se consigue también que las probabilidades de inclusión sean proporcionales al tamaño, aunque no necesariamente para todos los elementos de la población. Este método requiere que la población sea ordenada en orden decreciente, mediante !a variable auxiliar. Finalmente mencionamos el método de exploración secuencial denominado del estrato móv^l, Tillé ( 1994}, con el cual se consígue que las probabilidades de inciusión de primer orden sean constantes, siendo las de segundo orden tanto mayores cuanto más diferentes son los elementos correspondientes ( en relación a una variable auxiliar que se usa para ordenar previamente ia población}. Este método incide, pues, en la segunda vía de reducción de varianza. En este trabajo se propone un método de exploración secuencial, que Ilamamos cuasi equilibrado, y que obtiene la muestra mediante un proceso del tipo anteriormente descrito, consiguiendo probabilidades de inclusión de prímer orden proporcionales ai tamaño sobre bloques de la población, lo que, como se verá, tiene e! mismo efecta de reduccián de varianza que los diseños IIPS usuales. Por otra parte, tas probabilidades de inclusíán de segundo orden son nulas para pares de elementos similares, lo que se traduce en una disminución de! error de muestreo. EI trabajo se ha estructurado de !a siguiente forma: En la sección dos se presenta el método de exploración secuencial cuasi equiiibrado, estudi^ndose el diseño muestral resultante. En la sección tres comparamos este método con ei mencionado anteriormente de Madow, y c©n e! método de Sarnpford, de naturaleza no secuencial, tanto cuando la población está dispuesta aleatoriamente como cuando posee cíerta estructura. En !a sección cuatro se construye una estimación insesgada del error de muestreo, y se reaiiza un estudio computacionai de ia variabiiidad de dicha estimación, comparando el método secuencial equilibrado con el método de Sampford. Finalmente, en la seccián cinco se agrupan, en f©rma algorítmica, los procedimientos propuestos en e! trabajo. METODO DE EXPLORACION SECUENCIAL CUA51 EQUILIBRADO EN MUESTREO 147 2. METODO DE EXPLORACION SECUENCIAL CUASI EQUIL.IBRADO Vamos a suponer que sobre la población U existe una variable de estudio, Y, que toma los valores Y; , i E U, cuyo total, T( Y) _^u Y; , queremos estimar. Asumimos la existencia de una variable auxiliar, X; , relacionada con la anterior según el siguiente modelo de superpoblación: Y;=a+^X;+E; ES [E; J = 0 VS [E; ] = Q2 ES[e; Ej]=0 i^j donde ES [•] y VS [•] indican, respectivamente, los operadores esperanza y varianza con respecto a dicho modelo de superpoblación. Supongamos que queremos extraer n elementos de la población U, y denotemos T (X) _^^ X; . Supongamos también que la población está ordenada de menor a mayor, por los valores de la variable auxiliar, es decir, X1 S.X25X35... XN-1 SXN y Ilamemos T; _^ k_^ Xk , siendo To = 0. Los valores de la variabie auxiliar han de verificar la condición usual para la aplicabilidad de los métodos IIPS, es decir, X.s 1 T(X) diEU ' n de manera que si uno o varios elementos no la cumplen, entran directamente en la muestra, siendo apartados de la población. Utilizando el rango de variación de la variable X, definimos n subpoblaciones como sigue: U=iEU T. <T(X)sT. , { I ,-, n ^) k-1 X U= i E U T. < k (^ s T. - U^ k= 2 3.. n k { I , - , n , } ^..,^ i ,, • , j=1 14$ F.STADIST7CA FSPAÑOLA Si suponemos que las unidades de la pobfación tienen tama^ios muy pequeños en relacibn a T(X ) l n, entances las cantidades TX(Uk)-. ^ X; k=1,...,n iEUk serán muy similares a T(X ) l n, siendo ésta la razón de que el método se denomine cuasi equifibrado. Observemos que en una exploracíón secuencial de la pobiación U se recorren sucesivamente las subpoblaciones U,, U2, ..., UN . En particular, en la s.ubpoblación Uk , vamos a consíderar el siguiente procedimiento para extraer un elemento, donde con Z,d [0,1) denotamos una distribución uniforme continua en [0,1 }. 1. Generar un número aleatorio r^ 2.1 [0,1). 2. Selecccionar el efemento u; E Uk taf que k-t T; _^ s r TX { Uk }+^ TX ( Uj )< T^ j=1 Así, después de un barrido compfeto de la población, habremos seleccionado n elementos de la misma, uno por cada subpoblación. En el siguienta teorema se cafculan fos valores de fas probabilidades de incfusián y las cantidades -- e; j, así como la varianza del estimador de Horvitz- Thompson para el totaf poblacional, T( Y). T^eorema 1 Con el procedimiento previamente descrito se ver^fica: (a) X; % E U k T X ( Uk ) (b) 0 iEUk,jEU^,k^J -e;j= n;nj i,jEUk,í•^j -n;(1-n;) i,jEUk,i=j METODO DE EXPLORACION SECUENCIAL CUASI EQU[LIBRADO EN NEt1ESTREO I49 (c) La varianza del estimador de Horvitz-Thompson para el parárnetro T( Y) viene dada por n 1 ^ Y^ Yj 2 V [T ( Y )] _ ^ ^ ^ n; n; - 2 k=1 i,jEU^ ^i nj Demostración (a) Sea u; E Uk . Se tiene n;=P[iEm]-P k--1 k-1 T;_i- ^ Tx(Uj)srTx(Uk}<T;- ^ Tx(Uj) _ i=^ i=^ k-1 k-1 _ Ti-t ^i=^ Tx (Uj) T; ^j_, Tx (Uj) -P - sr< - Tx (Uk } Tx (Uk ) Tx (Uk ) Tx (Uk ) ^ T ^ - Ti - ^ Xi _ Tx ! Uk ) - Tx ( ^k } (b) Es inmediato si se observa que n;nj iEUk,jEU;,k.^l ?L;j= ^ I,fEUk,l^j n I E ; ,j Uk,^=^ (c) Basta sustituir los parámetros obtenidos en el apartado (b) en la expresión genera! ^ Y; Yj 2 V [T ( Y)] = 1 ^ ^ - e. - 2 i,jEU ^i ni ^j y al anularse los sumandos correspondientes a parejas de elementos de grupos diferentes, queda la expresián propuesta. 150 ESTADISTICA ESP'AIVOLA Observernos que el mótodo propuesto no se puede considerar II PS en sen#ido estricto ya que el factor de proporcionalidad para las probabilidades de inclusián de primer orden, en relacián al tamaño de cada elemento, es diferente en cada una de las subpoblaciones Uk , k= 1, ..., n . No obstante, ello no afecta a la disminución de varíanza debido a ia descomposición de la misma obtenida en el apartado (c). Recalcarnos que para efementos de la población distantes, en ei sentido de su tamaño con respecto a la variable auxiliar, X, el valor de -- d,1 se anula, con ^o cual el término correspondiente a dicho par de elementos desaparece de la expresión de la varianza. Mediante un cálculo directo también podemos obtener la siguiente expresión aiternativa para ia varianza: n ^^2 ^ 2 ^ IT ( ^` )I = ^ - ^ Ty ( uk ) iEU ni k=i donde denotamos Ty(Uk)= ^ Y; k_1,...,n iEUk Como puede verse, bajo la hipótesis ya mencíonada de que los tamaños de los elementos sean pequeños en reiación a T(X )/ n, se tendrá que ^ -^ r n . -- X' n x' TX {Uk ) T (X) con !o cual el primer término de la varianza no resulta muy influencíado por la estructura de ordenación existente sobre la población. Con respecto al segundo término, si denotamos por N 1, ..., N^ ios tamaños respectivos de U^,..., U^ , tenemas para su esperanza en el modelo de superpoblación nn Es L.^ T y ( Uk J ^^ V S I T y! Uk j^+ ES ^ T y( Uk )^^ k = 1 k = 1 n _ ^Q`Nk+{aNk+^ TX(Uk))2= k=1 METODO DE EXPI.ORACION SECUENCIAL CUASI EQUILtBRADO EN MUESTREO n =a2N+ ^iaNk+^ TX((^k))2_ k = 1 - 1 (a N + ^ T (X ))2 + 1 (ac N + ^ T (X ))2 = n n =a2N+ 1 (aN+^ T (X))2+naáN + n k ^Txcuw) ISl donde a^ Nk +^ rX (^k ^ representa la varianza de las cantidades a Nk +^ TX (Uk ), k-1,...,n. Bajo la hipótesis mencionada, las cantidades Tx ( Uk ), k= 1, ..., n son muy similares, con lo cual, despreciando su variabilidad, se tiene 2 ^ 2 2 aaNk+^Tx(uk^ a a Nk siendo a Nk la varianza de las cantidades N^, N2, ..., N„ . Así pues, la varianza de la estimación será tanto menor cuanto m^s dispersos estén los valores N^, N2, ..., N^ y dicha dispersión tenderá a ser elevada cuando la población se ordene por la variable usada para equilibrar las subpoblaciones. En la sección 5 de este trabajo exponemos una versión algorítmica del método descrito anteriormente. 3. COMPARACION CON OTROS METODOS En esta sección realizamos una comparación con otros métodos estrictamente IIPS, exponiendo los resultados obtenidos al aplicar tanto el método secuencial cuasi equilibrado (SCE) como el ya mencionado de Madow, y el de Sampford, de naturaleza no secuencial. Esta aplicación consiste en la estimación de la media poblacional de una variable de estudio, Y, en dos poblaciones generadas por simulación. Ambas poblaciones tienen un tamaño N= 10000 y se describen a continuación. l58 E5TADiST1C:A ESPAÑO1.A Como puede verse, el error relativo medío es notablemente más pequeño para el rnétodo secuencial replicado que para el de Sampford, siendo resaltable que el método de Sarr^pford tenga una varianza superior al doble de la del método secuencial equilibrado. Fínalmente, podemos también afirmar que la estabilidad de la estimación de la varianza es similar en ambos métodos, como puede deducirse de los coeiicientes de variacián de las varianzas estimadas. 5. ESQUEMAS ALGORITMICOS En esta seccián presentamos, en forma algorítmica, los diferentes métodos propuestos en este trabajo. En todos ellos, la notación r^ 21 [0, 1) indica que r es una magnitud aleatoria generada a partir de una distribución uniforme continua en [0, 1). 5.1. Método de insercián En este algoritmo, ® representa una lista, que siempre se mantiene ordenada, de elementos de la población, usando como criterio de ordenación el indicado más adelante. ALGC^RITM4 1. METODO DE INSERCION O , (), i .= 1 REPETIR a;~^[^^1) SI(isn) Introducir u; en la lista ® de forma que los elementos de dicha lista aparezcan ordenados por la magnitud del número aleatorio asociado. sl Na SI (a; s mÉ é{a,^ }= a^} 1 Eliminar u^ de e e insertar en dicha lista el elemento u; . FIN SI FIN SI i. i+1 HASTA (u; ^ U) METODO DE EXPLORACION SECUENCIAL CUASI EQUILIBRADO EN MUESTREO 1 S9 Una vez finalizado el algoritmo, la lista ® contiene la muestra deseada. Este procedimiento asegura la obtención de una muestra perteneciente a un diseño muestral aleatorio, es decir, todas las muestras de tamaño fijo n can distribución de probabilidad uniforme sobre las mismas, a partir de una exploración secuencial de la población, sin requerir el conocimiento previo del tamaño de la población. Para probarlo, basta observar que si ordenamos la población completa usando como criterio la magnitud de los números aleatorios, cuaEquiera de las N! ordenaciones posibles tiene probabilidad 1/ N!, por lo cual la probabilidad de obtener la muestra m ser^ P (m) = n ! ( N - n )! _ 1 N^ ^^Í 5.2. Método secuencial cuasi equilib^ado Seguidamente exponemos una versión algorítmica del método de exploración secuencial cuasi equilibrado. En dicho algoritmo, m representa la muestra a extraer. ALGORITMO 2. METODO DE EXPLORACION SECUENCIA^ CUASI EQUILIBRADO m:_ {}, i:= 0, k : = 1, T^, .= 0 REPETIR r ^ ^1 [0, 1) j .- 0 REPETIR i:=i+1 SI ((r Tx(Uk)+ T^,^ T;)Y(j=0)) m.=mU{i} j:=1 FIN SI T(X) HASTA T; z k n TD := T^ + Tx ( Uk ) k:=k+1 HASTA (k > n) 160 ESTAD[5T1CA ESPAÑ(JLA 5.3. M^todo de exploración secuencial cuasi equiiibrado en paraleMo EI algoritmo siguiente obtiene 1 muestras independientes, cada una de n efementos, con un soio barrido de la poblacián. ALGORITMO 3. METODO DE EXPLC)RAC14N SECUENCtAL CUASI EQUILIBRA©O EN PARA^ELO i:=O,k:=1, T^,=0 m, . {}, ..., m, ._ {} REPETIR r^, ..., r^ ^ 21(0, ^) j ^ .= 0, ..., j^ :- 0 REPETIR i .-i+1 p := 1 REPETIR SI ((rp TX(Uk)+ TD<T^)Y(jp=Q)) rnP:=mpU{i} 1 ^^ 1 P FIN SI p : p+1 HASTA p > 1 HASTA 1 T ; z k T ( X ) 1 n ^ TD := T^ + TX ( Uk } k.=k+1 HASTA (k > n ) METODO DE EXPLORACION SECUENCIAL CUASI EQUILIBRADO EN MUESTREO i b ^ 6. CONCLl1SIONES Como se ha visto, el método secuencial cuasi equilibrado, tanto en su versión básica como replicada, se presenta como una alternativa muy adecuada en aqueflos casos en los cuales las particularidades de la población sólo permiten una exploración secuencial de la misma, sacando partido de la ordenación existente en relación a una variable auxiliar. Es importante observar que tal ordenación no tiene por qué ser estricta, de manera que la existencia de una ordenación aproximada también producirá una disminución del error de muestreo. Por otra parte, dicho método, en comparación con otros de tipo secuencial de similares características como el de Madow, presenta la ventaja de disponer de un estimador de la varianza adaptado a sus particularidades. REFERENCIAS AsoK, C., y SUKHATME, B. V. (1976): «On Sampford's procedures of unequal probabálity sampling without replacement», J. Amer. Satist. Assoc, 71, 912-918. BELLHOUSE, D. R. 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For that, using simulated populations, the relative errars are calculated under different sampting schemes. Key Words: sampling with unequal probabilities, sequential sampling, Horvitz-Thompson estimator, superpoputation model, replicated scheme. AMS Classification: 62D05.